Прямые методы в нелинейных задачах теории виброакустического взаимодействия поверхностных волн тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

РГ6 од

1-5 НОЯ АКАДЕМШ НАУК УКРАХНИ •

шститут математики

На правах рукоцис>

ТИМОХА Олександр Миколайович

' ПРЯМ! МЕТОДИ , „ В НЕЛ1Н1ЙНИХ ЗАДАЧАХ • ТВОРЙ ВШРОДК устичноУ 1'.ввдемодй *-,•

ИОВЕР X И Е ВШ Л 71ВИЛЬ

03.01.03 - - математпчш* фтша

V Авторгфврч?

дисертацГ» на одобут'тя пченого ступени доктщэя фЬико-матамптичии^г няук 7

\

. К'иУв 1993

Робота виконана в 1нституЯ матбме^йяи АН Гкра!нз

~0ф1дШ1 огкшатй:

члэп-хоресвондевт АН Ткра1ш, доктор ф1вшо-иатеьатичШг каук, /. профэоор \

влг

доктор ф1впкр-могоиатЕЧнш: наук, прсфзоор ,

" КШАНЗВОЬККЙ Ц.д,

* ' w доктор ф18исо-«этеиат1мн21 веув,

профоеор

asiests i.t«

ч • .

ЩювТда устаяовв} Ке1всышй дергашвй ,ув1вэрпетот у lîli Т.Г. Еэьчешго

Батата в1дбудвться " Г "ДОагег^ ЮЭЭ р. о ..... год. на

ааШдава! flmmîanlBCBmraî. родя^Д^Чб.Рд.скГпри ГнотЕтут^гштекотвта АН У*фя?на ва влряооя: ЕВйбСИ Iîjîïî» 4, I ffl. г>7Л. ТсредагиТРоьяя. г? .

, в «ïOepTWItl»») K0Q3TA оаняйпматяср РЧЧЧя1»ГП\\% *ЯГТИТТТ| . %

^птор^рдт f л^ДО Я 0*м)I р. __

4 кч^ят? e=tcpr?rp Г".пяп1рл 1гоп;гг1оТ ряда* i -

/Л * ~ ' '

ЗАГАЛША ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

АктуальаЮть тана. Теор1я хряль ив повэргн! вакко! р!дшш сфс рмувалась в С8моот1йний розд!л математичних досл1даань в працях Ко-и1 1 Пуассон» що па початку XIX стор!ччя. В щи працях буж складен! звгальн! р1вняння задач!, отримана 1х л!неаризована форма для хвиль мало! амш11туди та проведен! досл!даення поширення магаа хвиль "ti поверхн! при досить загальннх припущеннях в!даосно початкових збу-рень, що визначають прочее хвилэутворения.

Найпростйпа а задач теорИ хвиль на поверхн! р!дшш £ьрмулюе-

ться наступннм чином:

Аф öcp с» р

Аю=0 в Q; —=0 на S; —=--— 40,5(?<pr+gi=0 на П >

бп an |vC| at

дв (p(x,y,z,t) - потенц!ал швидкостей, ii - орт аовнИпньо! нормал! ди границ! облает! Q(t), Sq5Q - поверхня порокншш твердого т!ла, що зиочуеться, 2(t) - нев!дома (в!льна) поверхня р!дшш, g - приско-рення сшш ваги. (Кр!м граничних умов до задач! (1) необх!дно дода-ти в!дпов!дн* початков! умови). Присутн!сть двох нвл!в!йних уWOB,' як! сформульован! на нев!дом!й в!лызМ поверхн! S(t), залегш!сть в!д t облает Бизначення в!дносять цп задачу до числа складню по-чвтково-кройових задач математпчно! ф!зпки.

Нааб!лыя сГуттев! 1дэ1, то застосовуються при аналШ та розв'-язанн! нел1н!ЯШ£х задач (1) у вкладку нвскйнвдоли об'ему булл за-пропонован! в класичних працях Стокса, Ролея, 0.1. Некрасова. Валика К!льк1сть складностей мвтвмвтичного характеру, rati зустр!чаю'1ься при розв'язшш! задач точноI творН поворхнових хепль, шишка е вэ-обх!ди!оть створэння р!зного роду наближэшк нел!я1Йшп теор!й, що прнзодять Еих!дну задачу до вових нэлШйних лвблшкэнчх задач (моделей), Широка розговсюдкзнвя сэред метод!в редацЛ вях!дна! аада-ч! до наблшгэно! (в т.ч. в теор!! м!лко! та глибоко! воли) отрнмадэ р!зн! вэр!анти асиштотнчшх п!да.од!з,яК1 зводять i'i до шлш^них рхвнпнь. 3 моделей, як! цай(5!дьш часто зустр1ча®тьс, rnsno навое та вдел! Дж.Бусйэска, д.кордевега ! Г. Вр!зв, К.®р!др!хса, В.е.Захарова та !кшах. 'Геср!я сол!тоновщ. розв'язн!в в заачн!* ы!р! опяраетъея па класичн! розв'язки, отршан! в мени заблтаоних моделей повврхнових хшшь на аеобметан!й р1дна1, а такоа на нов! роз? -ль та та, як! стриман! пр? розв'язанн! проблем обгрунтураянч набяш-на* мол?лей. сучаст«Я стпр pf?®ff 9С".екг»в nroöwm ? дс-пр-яня

1

¡ирх иовно визначвно в роботах Дх. Майлса, МЛ.Макаренко, Е.1.Нал1мова, Л.В.0всян1кова, Я.Т. Секерг-Зеньковича, Х.Т.Селезова, Р.Л.Свл1ндЕвра, Дк.Стокера, В.1. Фущича та багатьох 1нших.

Шршою науконою працею, ¡цо в?дноситься до проблем« стоячих хвиль не в!льн1й поворхг*. оОмвкеного об'ему р}липп, сл1д вважатп працю М.В.Остроградського "Мемувр про поширэння хвкль в щшддрич-ному Оасейн!", яка представлена ним ПаризькШ акадэмИ наук у 1826 роц1. Цо досл!дашш бу-га виконано в л1н1йн:Ш постанош!. В внало-г!чн!й л!н1Ян1ё постанови! задача про стояч! хвил! в цил1ндрЕчюст областях розглядалася такоз в класичшх роботах Дамба, Пуас-с.на;Ре-лея, де, по сут1, Сули вкчерпая! мойлебост! методу розд!лення вм!н-иих в вкладку областей капоШчно! форми. В той же час II анал!з 1 в теперешней ча~ е досить складно» математичною проблемою. Це взноситься, пери гь все, до розвитку як!сноГ теорИ яел1н!йних крайо-вкх задач, що описують хвильов! рухи р1дини (в т.ч. у вяпадку, коли порожпина рухаеться):

слу ^ <эф ^ ,---рг

№=0 вО; — = иш(Г'й) на Б; — = ?л+и(Г'П)-1на 2, ап 0 ап 0 4

(2)

— + 0,5(ъФг - + ы»г) + И = 0 на 2.

¿3 г 0

Тут у - вектор квидкост! поступального руху полюсу О в т1л1. ¡5 -кутова швидк1стъ в1дносно О, Ф - потенц1ал шзвдкостей в р!дип1, 1снуючими. метода?,к аааЛтзу не вдалося поки ио встансвитй теорем! 1снувашя розв'язку задач! (2).В той же час роззиток котод!в розв*-язування цих задач за останп! десятил1ття поглтблззвався. При цьому наШИлып суттев! результата е в галуз! побудош пряшх метод1в розв'язку задач (1) чи (2).

Запита еучасно! техн!ки виклинвли на початку 50-х рок!в вели--ккй- пот1!с роб^т^—де -роз^ю^пялась л!!!шсьз теор!я хеель на гювархнт-р1ди.л, що частково заповнюе шрошшну, як а рухаеться. Нэзалекно один в!д одного, при првдушэннях що - . малост! дефорыац!й та швид-костей е::лыю! поверхн1 р1диш М.М.Мо1сеевим, Г.С.Нар!мановим, Д.е.Охоцймським, БЛ.Рабйювичвм, В.В.Румянцевш та рядом йших ав-тср!в була створена л1нМна теор!я руху т!ла з тюрохшною, що частково заповненп 1дяалъноп нестисливсю р1диною. Бона дозволила звести ро~1В'язок задач! до розя'язку задач! на власн! знэченя з параметром п крайов!й умов! •

2

дш дш

л<о = О в CL; — - О на S; — = Щ на sn(i=-0>. о

0 en an

рсзв'язок яно1 внзначае частота 3 форми коливання р!дшш а ааружо

mîîî пороаган! а в!льяоа позэрзпав, а такой до розв'язку задач длл

шзначопня штенц1ал1а Стокса-Еуковсысого (Vt та 0()

avM тг\ _„ . ауз|

Д Vt=0; Д 0{=0 в — |suCni: ^ Й l*'1»"3'

en., ао,, <эп,.

И.

Pi3îil аспекта обчислення г1дродинам1чши коефШент!в aaculii ченовшз1рзйх р1вшшь, що виникавть при розв'яаанн! задач про сум!с их рут Т1яа з р1даноэ шляхом нккор..стання розв'язк1в задач (3), (4), a з-акез п1дх.оди до роду^Ш да р1вшшь до си1ичвшювншу;т. розглядалнея в роботах Н.Я.Барпяка, Г.Б.Вогоряда, В.В.Болот1на, И.С.ГажЬш, Л.В.Докучаева, 1.0.Дружан1за, К.С.КолзснЬсова, 1.0.Яу-кобсьяого, M.M.KoïcoeEa, О.О.Петрова, ГЛ.Швшяиова, БЛ.РесЛновн , ча, Е.Ы.Ств_кова, В.Ы.Сузова, Ф.М.И5слярчука, 3. П. Исакова, X.-Н,Абрз»сона, Л-".Кана, Х.-Ф.Бауора, Дз.В.Майлса, В.-Х.Чу та Iwmu sbtopib. При цъо:^7 леШльеэ попирания вар1ацШа матоди.

Шз гая багато фхзхгппта явщ моауть зпайто свое «ьтаматнчнэ оОгрунтувашя лишэ в межах bojiîhIShoî Tscpil. Ца - залекн1сть час-тост в!д г -ллИ'уда» О0;геявн1сть шяхлИуд коллвшшя р!дшш в резона-ескиг рэг&каг, нзсвызгричзппть проф1ля стоячих хбель та руз.см1сть вугдонЕХ л±я15, Енстшеянд свладаш иросторовшг. pysiB в1лшо1 п-зз-рш1 прн npocTsx гаразя112И2 нбурокнях (кругова гакля 1 ï.u.)» нор-сггсай хераэтвр вЗур°Еня псвзрхнеЕих хзяль в взИквому вали i

т.я. Дяа опасаяня чша. явт. яео<ЗДшо будуватя прям: изтода роз-B'ass? евдач (1 ).та {25. PîshI п1дз»да, вр ваноркстовуаться дьт рсза'язснпя яздзч (1) sa (2), яобудсван! Г.С.НарйгановЕа, оэевна, Т.о.Дужавськш, Р.Е.Хвттошга« В Л.Столбэцозгы, О.О.&мзрчз ¡п:? та tsssssz. Прп цье«у неШ1льи ярнстос^эашпга для розв'язваая

es25&hehs Проояеа 8НПВЯЛИСЯ ШТОДЯ, що бВЗуЮТЬСЯ к- Ввр18ЦШШ. фо

{эдлвзйшяг вах1да>1 задач! в $орм! Лека чи r&fL-toBa-Оетроградпыюго. Дня шбудови розв'яг?к?з ям la Ибо! знааэ! з вика ристаяшш шсазаята п1дход!в Я90йх1даю PHitopacTosysaia рочв'яакя за дач! про влчоп! котевев ч. !Т<> псавзйяе нп Ttn*-if" о'щгаги Ha."fnt8fraii

мэхан!зм хвилеутЕоренвя, але й будуваги нвближан! ск!нченновиы1р!п модел! сум!сних рух!в т1ла з р!даною.

Врахування кап!лярност1 р!дани приводить до зам!ни динам 1чно1 умови на S(t) (осташе в (1)) на кваз1л!н!йну крайову задачу виду Эф -с (vW,v£)

— +0.5(wp)£)r-f(K1+«_)=□ на S(t);---=cosälve| на Ö2(t), (6)

St j у i с

де ,T( +Ег - сума головних кривизн поверхя! S(t), u=conat - кут змо-. чуваши, W(x,y,z.)iO - рхвняння пороишши. Суттево таксл-. те, що ка-п!лярна поверхня р!вноваги 20 (<p=conaf). взагал! кавучи, в!дм!нна в!д плоско1 & визначаеться з стац!онарно! задач! про каШляр. На тепврешн!й час, дякувчи працям М.Д.Копачевського, С.Г.Крейна, Л.О. ТьомкШа та ряду 1нпшх автор 1в, можно ввакйти зак!нченим створення базису reopll шлих (власних) коливань кап1лярно! р!дани. Бона зво-диться до анал!зу й розв'язаяня спец!ального вигляду задач! на влага! значения з параметром в крайовМ умов!.

Кр!м грав!тац1йного поля на в!льну повврхню р!дини можуть д!я-ти в1брац!йн! чи акустичн! поля. Присутн1сть подобиях високочастот-них пол!в Ъуттево ускладнюють задачу (2) та загалом змйшвть характер хб/Шовихявщ на в!льяМ поверхн!, що вшшвае як на динам!ку, ток ! ст1йк1сть системи. Досл!даення таких проблем пов'язано з нв-обх!дн1ств розв'язанвя доскть важливих задач ф!зюш, г!дромехан1ки та акустики 1 зводитьсй до анал!зу нових нел!п1йних еволюцИйих крайових задач з в!льною поверхнею (чи поверхнею розд!лу), як! в!д-м!нн! в!д в!домих задач теор!1 поверхневих хвиль. Це не дозволяе використати метода анал!зу та побудови пряких метод!в розв'язку, що створен!, для теорП хвиль на поверхн! вестисливо! 1деально1 р!дини. Ряд роб У.Айнгврда, а.Росса, в.г.Гввриловв, м.Корнфвльда, В.Г.Не-вол!на, Ф.Вбссельна, Р.Ф.Ган!ева, В.Д.Любимова, А.А.Черепанова та !нших, що присвячен! проблемам анал!зу хвилеутворения, були чи екс-

перимэнтальними. чи носили февомрт^ппг-ипшй—та—ф!зично—спро-ений-

■характер. В той же час було виявлено, що ф!зичн! властавост! руху в!льно! поверхн!, як! виявлен! в цих роботах, суттево в!дм!нн! в!д Щдомкх нел1н!йних ефект!в теорП поверхневих хвиль, ала под!бн! до ефект!в маятниково! в!бромехан!ки, що базуеться ьа . фундаментальних роботах М.М.Боголюбова, П.Л.Кап!ци та 1нших. 0ставн!й факт дозволив ггри спец1олъних ф1зичних припупеннях эвести задачу анал1зу ст!йкос-Tf поверхн! при в1брац!ях сили в^ги до сукупност! р!внянь Мат'е-Мла, а тякож в ряд! частшших випадк!в проанал1зув8Ти втрату ст!й-

кост! плоско! поверхн! при горизон^алыгах вЮрац!ях (В.Д.Любимов, А.А.Чэрепанов).

Таким чином, актуалън1оть теми досл1даэння таких задач, як вказако вищв, обумовжетьоя нвлех!дн!сти створвння теор!!, елал!зу та побудовн метсд!в розв'язку ц!лого класу проблем Ф13ИКЙ та нолг-н1йко! механ&си, як! зводяться до кол1и1йн;гх крайовкх задач з в!ль-псю границею (чи границею розпдлу) 1 в по своТй структур! та епец.-альама задачога тэорН повсрхнззих хьыь, та задачами акустично! взаемодП в обмежених об'емвх. Ц1 задачI мають, з одного Ооку, во! власишост! нэлШйнях задач з вольною границею, з другого боку, ъс1 БЯ8СТИВОСТ1 Еел1н1йних зад'-ч маятшисово! з!бромвхан!ки. Тому, як з практично!, так з теорэтично! точки зору для вказаних задач досеть актуальном е як уззгЕЛШэкня яШсаих теорзтачних результата теор И хвиль на оовчрха! р!дши у вказаних вяпадаах, обгрунтувяння й застосувэчня примет. метод!в 1х розв'язку, так й узагальпання ые-тод!в нел1нМно1 мэхянйга, стгактрально! тэорИ та вар!ац!й?гах мэто-д!а на задан глзтематичко? ф1зшш, щр досл!двушьоя. Дана дисэрта-ц11аа робота цригвлчояа собудов! ооноьа теорП повзрхнеаах хкш. при наявностх ргзного роду вМроакустнчно* д!х иляхом шшфзннл но дзиий клас в1домих результате» теор!Т поЕэрхЕввих хв:ш> та розробц! прчмих метод!в розв'язку крайогих та сиоктралыпга задач, щп виникзють.

Ызтз роботя. Роиробка ноаих штод!в анал!зу та розв'язку нэл!-н!йних явс.лоцхЯпгх крайоккх задач з нов!домо» границею, що виника-ють в теорП взаемодИЕ повэрхнэвих хвиль з а!<5роакустачяйми шимми, а тахоя епал!з (Формулввапня, досл!джонна влаогизоотой, исбу^ва пра>ст иетод1в розв'язку) набджших математачнкх. моделей, як! ви-пливають з аагальнс постановки задач!, опиоуать хвильов! процесс на в!лья!й гранил! й являють собою нов! яелШйп! -таЦЮпарн!, ода-ктральн! та вар1зц1"'н1 задач! мэтематично! ф!скки, матаматкчне опксаияя ря.ду ф!гичних явищ та створвння нбтод!в розрахупку в!бро-якустичних ГфИНЦИП1В П031Щ1ПВ8Н11Я I стпбШзацИ р!дини В СЛВбКИХ силових полях.

Матодл дослЗдаэызя. Досл!дйвкня провадялися з застосупэдн.тм мотод!в функцЮзвдьного чнял1:зу, теорИ узагвльнвких фушш!й, спэ Щальнпх функиШ, теорП самоопряжешн гпйрятор!в, теорМ ол!ппп них крайових вад,чт. сгг^трчльноТ твори, рэр^цШлог" чр.плчэтя,

ГОД!В НеЛ"НЙ((пТ «ХЧТ'КИ, ТРПр1Т ^'^УГИЦ! Т. туор^Т СГЧИ'ССТ*, тз

с

орИ Флоке, а також асимптотичних 1 наближэних проекШйно-вар!ац!йних Й чисельши. метод!в, 1нши метод!в математично! ф!зики, комп'ютерно! граф!ки.

Наукова новизна результат!» визначветься як новизнов постановок задач математично! ф!зики для а!броакусткчно! взаемодИ з пове-рхнэвимз хвилями, новими вар!адШаши задача;®, нк! екв!валентн1 вих!дшм, так ! узагальнэншш мэтод!в в!брошхап!ки, спектральноI теорИ, вар!ац1йних лрс 'лем й новими цр.ляпш методам розв'язання Щлого класу нозих аел!н!йних еволюцМшп, нел!н!йних стац!онарних (з в!льпож границею), спекгральних (з параметром в крайовМ умов!) задач. Ц1 метода бззуються на мозиивост! побудови вар!ац!йного аналога когно! з задач, що досл!дкуеться.

В рсОот! отриман! наступи! вов! результата.

1. Побудовег' вар1ац!йн! аналоги нових клас!в нел!н!йиих ево-лад1йних крайовкх задач з в!льною границею теор!Т взаемодИ вкустачного поля з поворхнег, рХдини та теор!! коливвиь обменного об'ему рШша в в!бруш!й псрошпий.

2. 3 використанняк есимптотячних метод!е побудован! та обгруи-тсван! метода рэдукцН нэл!н!йних крайовях задач теор!! в1броакус-ткчно! вза?чод!1 поверхнэвих хвиль, як1 зводягь задачу шзначення хвш.л на поверхн! р!дини те анал!з 1х ст!йкост! до розв'язання 0!льи просткх нел!н!йних крайовкх задач з в!льпою грашщею, що по-д!бп! до задач! про влясн! коллвання каггЦшрно! рхдипи в обмежеиому об'ем! з потенц1алом сшц!ального вигляду. Эасюсувашчя рёдукцИ до в!лпов!дш!х вар!ап1йнкх задач приводить до вар!ац1йнт\ иринциШв Гам!льтона-Остроградського 1 Лхжа.

3. Побудоваво узвгвльнеяня теор!1 л!н!йних геиль на поверхн! обменного об'ему р!дини в зипадку вЮроекустично! д!1, яке вклю- . чае: задачу про Форми кваз1р!вноваги (кап!лярно-звукову чи в!брока-п!лярну) та задачу про власШ коливання (яка е новою спектральной

адач^ю -я -паряиетром - в -крейов!й-умов1 на чаи'хмн! гракип! ча гранил! розд!лу двох областей).

4. Яо^лТлкен! леяк! влбстивост1 (на моделы&а привадах) статично! мл!я!йно1 крайоЕо! задач! з б!лвше границею (про капишр-но-?пукору та в!брокоп!лярну Форми р'внсваги.). Показано, ео задача

МПТК !1ЗДДН0я;тЧН1СТЬ рсзв'язку, ВКБЗан! деяк1 типи б!фуркьц!й.

.5. Досл!жн! спектрпльн1 блвстнвостт задач! про влага! коли-ванря Мялосно квчзястаткчкгх форм р!ввсв&ги. Доведена свмоспрята-

С,

н!сть в!дпов!дних Ытвгро-дифэренЩальних операторов. Доведено, що спэктр складаеться лшв з власних значень а граничною точкою + ш. Сформульовяа! спэктральн! ознаки*ст!йкост! кваз!р1вновакних форм, доведена 1х окв1валентн!сть динам!чним. Показано, що втрата ст1йко ст! мохе в!дбуватися лише сличенною к1льк!стю л1н1йпо незалвкних СГЮСО01В. Побудопан! вар1ац1йн1 задач! на м!н!мум функц!опалу, що екв!валонтн1 спектральном.

6. Побудовен! та обгрунтован! екстрзмальн! ознаки стШгаст! кваз!р1вноважямх форм.

7. Побудован!' прям! катода розв'язку.задач!, ио описуе сум!сн1 рухи система "т!ло-р!дана-газ+гжустичне поле".

*8. Результата 1-7 дозволили побудувати та обгрунтувага ряд еф~ вктивних про0кц12но-вар1ац!Вних ыетод!в розв'язку задач, що вшиа-ють. Розв'язапо ряд модельних приклад!в, псбудован! б!фуркац!йн! картини, що описують "рззонавсну" зм!ну геомэтр!I форм р!вноваги, втахисан! схеми методу Р1тца визначэння розв'язку спектральнюс задач та л!я1йн! ск1етеннов11М1рн! нодал! систеш "т!ло-р!дина-гоз+ акуетичне поле".

9. Розв'лзано ряд новях задач ф1зкхи, акустики, кехаШки р!дп-ни. Списан! е«епги: стабШзац!! та здуття поверхн1 при акустичн!й д!1, лвр8каду та провалу г,1льноХ поверхи! при в!брац!ях поусааини. Описано рух р1дшга п!д д!еа акустичного шля (ефект "акустичного насосу").

Суку1..!сть теоретичних та прикладах р&зультат!в е повит в тзорП нолШйншс крайосих задач математично! ф1зшга з в!л зою границею , теоретично! г!дромвхан1ки 1 акустшш, вона створюе мь:е-мяигшу базу для нових в!брац!йних та косм!чних технологи.

Достоэ1рп1сть сгржланих в Дисэртоц!йп!й робот! результата ба-эуеться на виваяеШй математичн!й постанови! задач! та застосуванн! до I! досл!дкэння та розв'язвння теорвтачно обгрунтованих мэтод!в.

АпробаЩл робота. Основя! результата ! полмюння робота оого-ворввалися на сем!нарах 1 Вчен!й рад! Хнституту математики АН Укра-1ш, а такоа на Всесоюзному симпоз!ум! "Кслэбания ¿пругих конструкций с жидкость*)" (1938 р., 1991 р., м. Ноэосйб1рськ,, ВсесоюзнМ ко нферешШ ."Нелинейные проблемы днф&эранцияльяых уравнений и митемв тичоской физики" (1989 р., м. ТерногПль), 8сесовэа!й тколЬсемШар! "Моделирование динамических процпссов взаимодействия в системах тел

р ЕДКОСТЬЮ" М9Я9 р.. N.. 1/к|в), СРИ*?1ЯГ!

т

сть та $ормозь!1ва елемент!в конструкШй при д!1 динам!чних ф!зжо-механ!чних пол1в" (1990 р., м. Ки!в), М1кнародн!й конфэрвнцИ "Free Boundary Problems InContinuum Mechanics" (1991 р., м. Нохзоси-й1рськ), VII Всесоюзному з'?зд! 3 теоретично! та пршшадаоз: кеханi )СИ (1991 р., м. Москва) Шшарода!й конферэнцП "ПроОлэми Пдроме-хвн1ки в освоекн! океану" (1992 р., м.КиТв), IV ICj мськ!й ос!нн!й кате на тичи 1й школ 1 - czn.cio з t ум 1 з еволвщМни:: i сыектральня;; зада0 (1993 р., с.Ласп!) на i знферэнц!ях молода, вчэша 1нс7лтуту механ!-кй Ail УкраЗни, сэи1нарат. йпвсытого та Симфэропольського дернуй ice-pcHTOiiE, Институту г!дромохал1ж1 All Укра!ни.

ПублИицИ. Основа! шшшзння 1 результат, отриман! в дисор-тацН, опубликован! в 37 наукових працях 11-37].

Структур« i об'ей робота. ДисортаЩйна робота складаеться з вотупу, семи гла., заключения та списку uictoeshoI л!тератури, що м!ститъ 198 даерэл. ОО'ям 239 стор!нок, табжць - 1, рисунк!в - 33.

аглют роботи

У вступ! даеться огляд досл!дагзпь за тематикою дисертпц.!! та 1х вз;.гмозв'язок, аргументуеться актуэльн!стх> теки, {ормулветься метя робот., i метода доол!джонь, новизна отриманих розуль*гат!в i Ix Micixe серед спор!днених роб1т 1шт автор!в, короткий огляд зм!сту дисертэцП.

Параш глава присвячена апол!зу кол!н1Кно! еволшх" но! крайо-во1 садзч! з неведомою пояерхнвв розд!лу, яка вютикае при розв'я-занн! ф!зично! задач! про взаемод!» акустичких пол1в з псворхною розд!лу в обмвкеному об'ели. Наводиться загалмп дифэрнкцХбльна постановка задач!, яка приводить до необх!дяост! розв'язання нэступ-но! задач! з нов!домою поверхнек розд!лу:

(hp. <3ф, •> .

p..+(itvtp.vip,)=0 в Q ; — -0 на S,: —-|+/|v?|. на S,i=1.2;} (6 )

" ' '_L-йа_—да_1—-J-

Р ,/7<

'VKt* n-5(vat)2t- Во x/'i-f) - vpt; р, ■--- [ ] n Q{;

Р/

jfj = - p. на (fi)

(vW.vt) sup v. V H

......— = t;o£M!vfi ¡12 r)S; ;>. O'f. /.On - —-i - -—- — sin t на S0,

|V«i ' С V; !twp v И

дэ Q,(t) - cissosb, sp 522sasa rasou, Qg(t) - область, цо зайнять

рШзов, Во - число Вопда, v#=v{gl3/a}1/2 - базрозм!рна частота, к

- гвшяовочиоло. В!даосш поот1йних величин, що входять до задач! (в), шодсн! са!вв!даошоння

с = fiup|V0|/(cn0) « Ii р01/р0а - в - ц,в. |ц,1 - 1.

v;2= Ц. i^e3. ц~1; 7(i,y,a)-V0(x,y,8)/stip|70|; К ~ 1; Во ~ 1,

Визяачонш в (8) п1длягахггь облает! Q,(t): JQ,(t)=StüS(t), SqcS^ a laitos Ix поверзня розд!лу a(t):£(x.y.z,t)==0. Функц!! pt(x,y»z.t). q>{(x,y,ß,t) та pt(T,y,B.t). Структура задач! дозволяе вад!лптп малай паршэтр s, який ото!ть при едага!й наоднор1да13 умов! й характоризув акустичний характер в!брополя в газ!, та в дша-м!чн!2 умов! й хорактерцзуе кадЫярн! та грав1тац!йн! сили. Така структура розпод!лу малпх. парамэтр!в характерна для ц!лого класу задач иаятЕнково! в!броьшан!ки, що I дае в:,югу при оп8ц!альпих припущеншп; в!даооно влаотлвостзй розв'язкШ задач! (6) заотосуватн до на! принцип розд1л0щя рухйз, вшшеати спзц!альяу рэкурзнгну процедуру та редукуваги ви£!дпу задачу до пвл1н!йно! еволюц!2но! itpaitoBoi задгч! з в!лыюэ псвэршов, як. ошеуе гвпльов! рухп позе-рхн! розд!лу.

Теорема 1.3.1. Нэхай початков! збурэння |(x,y,z,0)=^o(x,y,a)l St(s,y,z,0)=g1 (г,у,я), ф{(з,у,Е,0)^(зг,у,а), <p{t(x,y,z,0)=--1=1,2 так!, ецз задача (6) мае розв'язок, який для '«удь яках t^tg ф^.р^гё,), 9t={(t,s,y,z): vteit,,^]

(х,у,г)£а4иЕ(!)|, а повэрхня S(t) гладка (тобто it.iye гладкий

iao;:opJ)lSM ) для даяко! ф£ксовано! одноав'язьо! облает! з ку-

- Г ~ У"1

сочно-гладаою граипцав Et, >t2bC!0—- О,-----[t1,t2]«Q0) t

S.fpj.pj.^^1) - анал!тпчн! по s фупкц!! в окол! !уля. Тод! рух поверхя! роад!лу Я ноге бута знайдепо з задач! /?-t, е*1)

Дер = 0 а <0г>; Эф/еп = 0 на <Зг>; 0ф /ön = - Ct /|vC| нз Е,

4^+0,5(^)^(41, [Вг>х-(К,< "^»О.гбц, [кг(Ф, )г- (v$, )2]=ccnat na mi;

f ~(7> -(vH,vC)/|vff| = coaa jvC| на <9<S>(t); dQ = const,

<02>

- V(i,y,e) б^+к^Ф =0 в <Q >(D; Si ,Jn=0 на <S >U<S>(x), аФ,/Зп=р0---на SQ,

Кр1м того,С(1.У,21,г:Ч0(1.У,г.1), <pu.y,s.t)=<pp/2(-.y.z.-O й

(8)

■g

kQl^li •/ f ft '/—fg (" .Уг^.Т)

виконан! сп1вв1даош8ння м!ж ф1, <pg, С та ср, ф,, С-

P2(x,y,z,t,i:)=e3/^3/a)(i,y,z,i)+o(e3/2); £(i.y,a,t,i)=C0(x,y,z,T)+

ю(Е3/г); <p1 (x,y,z,t,ct)-e®1 (x,y,z)stnt +е3/гф1(3/г,(х.у,г,гЬо(е3/г).

Така нова нел!я!йна математична модель (7) по форм! аналог!чна в1домим задачам теорН новерхневих хввль в обмегеяих об'емах з! сшц!ального виду потенц!алом, що носить 1нтегро-даференц1альний характер. Побудова теорП хвильових рух!в з задач! (7), (8) в!ддо-в!дно до методолог!! теорП поверхневих хвиль включае в себе визна-чевня ферм р!вноваги та формулювання й онал!з спектрально! задач1 про влаон! (1.ормальн1) коливання в!дносво вказаного положения р!в-новаги. Перша проблема приводить до нел!н1йно! стацЮнарно! крайо-во! задач! з в1льною поверхнею, так звано! задач! про капШрно-звукову форму р!вноваги (SQ: C0(x,y,z)=0):

Во х -(Я, + £,)] + 0,25 [ Кг(Ф1 )2 - ] = const на Е0>

-(vW,vC0)/|vff| = созй |vC0| на ег0; | dQ = const, (9)

ЛФ^^Ф^О в <(!,>; «»,/611=0 на <S,>U20; ЭФ/йил^х.у.г^к не SQ.

Ця задача е стац!онарною задачею з в!льною поверхнею для р!в-няння Гелытолъца в облает! <QV~> з неоднородною уыовою Неймана на частин! ф!ксовано! границ! S0> Задеча (9) е аналог"м задач!*прс ка-п!ляр у ИБьеденому винадку. Досл!давння шитань, пов'язаних з описаниям в1домих ефект!в здуття та стаб!л!зац1! roBepXHt, визначагться п.п9стив0стями задач! i;;;.;,.; 1) 1снуванля 1 однс8начн!сг! розв'язку; ' 1 ГчфуркацН розв'язк!в; 3) стМкЭст г розв'язк!в задач! (6), що

10

в!дпов1дають розв'язквм (9).

0ск1лыга гшташш, пов'язан! а однозначн!стю розв'язку, не остаточно визначэншз нав1ть для'КШИлярно! вадач!, в робот! досШд нугаъся аяаотивоот! 1)-2) на в«падок цал!ндричного об'ему а коловим перер!зсм у вкладку, коля а^тиг, У=1 (кап!лярна задача мае тр1в1-алышй плоский розв'язок). Застосовуючи проокц!йн1 метода до задач! (9), моша ввести II до звпчайш! неск!нчвновим1рно1 нел!н!йно1 с,, стена р1ЕШП1ь. в глав! 1 вдалооя знайти тр1в!вльний розв'явок ц!е! енотами, вивпачити значения к, при якпх порушуеться умова однозначно? розв'язносп. 3 заотосуванням теорема Ы.А.Красносельськогомокна довести, цо 1снуигь оовсиметря'ш б!фуркац11лнайдени1 форм р!вно-вагя. Оствш! знаходяться конструктивно в окол! б!фуркац!йного зна-чання к.

Теор!я мала хвиль для кап1лярш>1 р!дини будуетьтя в!дносно кап!лярно! форма р!вновага. Для задач! (7), (8) теор!я хвиль будуеться в1дносно кап!лярш-звуково1 форми р!вноваги. Нэхай 20 £0»х-Н0(у,г), Ф,(х.у.г) - розв'язок задач! (9). Тод! задача в

пар!вц!ях, пп описуе мал! поливания (в!даосно Н, ср 1 Ф^ мае вигляд

Аф=О в <С^>; 5ф/еп=0 на <82>; вф/йп^/У 1+(уН0)г; на >:о,

(10)

дэ оператор л визначаетьоя з сп!вв1даоиення .4 Н = - й1и[7Н/(1+(7П0)г),/г - (^2,уН0М0/(1 + (уН0)3/г] » + (2 ц)-1 [к2®,«^ Н - (V®, Н + к2®^ - I ВоП,

(1П

н (1ус12 = 0; ^ + '&> , <уь+ ус,)

(7Н,^Н0)

на

«V« 'VI (1+(*Н0)г)1/г "" "

а Ф - розв'язок задачи

, а®

В <Ч(>; — "О на <3,>и : ' <Эп 1о'

ЗФ , л. „ -г

Задача (10) по структур! под1бна до в!домих задач твор!Г чилих повер*явпих хвиль, ч.ч° -'гетвтор А те гл^мц екпвтщий ритячя.

розглянути нормальн! коливавня cp=iu ехр(1цпЩг,у,г), B=exp(tun)E, то отримаемо задачу про власн! колавевяя поверхн! в1даосно мап1ляр-но-звуково I форш р!внонаги

g

Аф=0 в <Qg>; 0ф/вп=0 на <S.>;0ф/0п=-; -<А)н-ц1р/Н«Ю на 20, (1oJ

■/ 1+(vH0)e

до w - власн! частота, H(y,z) -поди ха"шаш> в!льно1 поверхн!, ;-(i,y.z) - моди коливань об'еку. 3 растооуваншм лет 1.3.1

|л8ыа 1.3.1. Нэхай (Нд,®, )-розв'язок задач! (9), Н0<еС1 (pEq),®^

v^(<Q1>UZ0), а пари (Hj.ij), (>1,2 вивначен! а задач! (11) та ' HjCO1 (Р20), JHt(%dz = О, |Н{|С1=1, Р20 - проакц!я повврхн! 2Q на

Oyz. Тод!

J (к2®,.v®, )]g2/(1+(vH0)2)1/2da=J {^^-(.Ф,.^))^] S0 «Э,> }

поведена самоппряЕен!сть оператора А в i_^ j.

'(1 + сн0)г)1/г 0

Теоргыо 1.3.3 (про точковий спектр оператора А).

Нехай (Н0.®, )-розв'язок задачи (9), ^еС1 (Р£0), Ф, (<Q, >USQ)

(.УS0— npoeitiiiH SQ на Oys). Тод!

1.. Лип!йний самоспряжэний оператор А мае д!йсшй точковий спектр, який складаеться лише г власних значень.

2 . Haötp власних функцШ оператора А е базисом в фактор-

простор! Lg(PS0> без константа.

о . Мнохива власних значень оператора А мае едину граничну гпчку +«. Мнохива в!д'шних власних значень скхнчена;

Творена 1.3.4 (про властивоот! спектра задач! но')).

Нехай (Н0,®1)-розв'язок задач* (9). Н0€С1(РГ0), .

Ф,?в|(<01>и2о). Тод! спектральна задача (ю') мае лише власн! зна-

1 яня (и^,Нп,фп) 1

1 . Vn ur € к, |нп| - Оазис в фактор-простор! L2 (РЕ0) без коя станти.

2 . Шохина |п: и? < о| ск!нченна.

В п.п. 1.4-1.6 побудовано вар!ац!йниа апарат для задач! (6) ЦЗ дозволило звести процедуру ровв'язку задач! до визначення стаи! онарняз. точек дэякого функц!оналу.

Тесрана 1.4.1. Нехай розв'язок задачи (6) такг.л, що V t^ct^

ipt,p,,ptis|(6,). Ö^it.x.y.e): vtett,,^] (x.y,ß)€Qt(t)J, в

повергая 2(t) гладка (3 !зоморф!зм 7(7~у ) для деяко1 ф!ксовано!

- 7 ~ 7'^ —

облает! Q0 Et, ,t2]«Q0---- Qg —>[t1 ,t2]»QQ). Тод! мнояина

розв'ягш!в задач! (6) сп!впадае з тошнот стаЩонарних Точок фуЕкцюяалу

0tt.<P,.Pf) « J (i-u-п) ftt = J { l j Pt(—¡Л- - y{(pt) - gx)üQ s, t, Q{(t)

- o[|2| - сова |Зг|]| dt (13) при Шненатичпому зв'язку (6*) ± укав!

eg|t(it2 = o; ept|tji^ = o. (14)

Тут U (p ):

л/ - 00. P( = P?5p7-

Tacpsiia 1.4.2 ..aapiauitoa задача типу Еайтмана),

Пря уновая тэореш 1.2.1 нноняна розв'я^Ли ччця-и <сп

сп1впадае я ишояшой отац!ояарних точок фувкп!ов<т 2

B(i.4>,.p,) - / [ У J р,[~ -р1 *т]с1п

t, 1 1 0,(t)

■ of|E| r.CM etnipt) cfIIP,

" Bo " '

При «n^rj.no^nriri t пптрлт>» t nortj-iit tipp; ..-vqi/i/

< -J

e£,trtg = 0: ^iU,.^ = 6Piltrt2 = °-

Теореме 1.4.3 (вар1ац!йна задача типу Вейтмева-Бердичевського), При умоввх твореми 1.2.1 мношна розв'язк!в задач! (6) :п!вцвдае s мноаиною стг'д!онарних точок функц!оналу

w-v = f Ц -г fp{p<[--г- - w - «*}} « -

V1-1 af(t> Pt '

- o[|S1 - созос ISglJ+j- p0V0 ain(vt) tpjda} dt (1?> 3o

при незалевнкх IsoxpoEi шхгладасих ввр!вц!лх { и ip

6£|t t = 0; ^{t- t = <17'>

Яюцо функц!я стану pt=pt(pt) в1дома в явному вигляд!, то результат застоеування ошрацН вир буде в!домиЗ ! дасть залекн!сть

Mis р та ф р = P~1 (-<pt-0.5(vrp)2-gx), а функц!онал Вь(1,<р{) матвме вигляг:

^ 2 («pt)£

згсе.ч» - j Ц f Фп- -JÎ- - w _ gx)

- a[|S| - соаы. |S2|]+J pcV0 aln(vt) ф,сй| dt

Бо

Теорема 1.4.4 (вар!ац!лйа задача типу Бвйтмена-Люка).

При умовах геореми 1.2.1 тахта розв'язк!в задач! (6) сп!впадае з шозиною стац!оиарних точок функц!оналу (18) при ко залэБНих !зохроиних гладких вар!ац!ях £ и фг (17 ).__

Вяшсап! Бар!ац1йн! задач! теорем 1.4.1- 1.4.4 екв!валентн! вих!дним задачам та допусьсавть при пршутеннях теорема 1.2.1 процедуру рэдукцИ (6) до задач! (7), (8). Це приводить до сукупност! вор!ац!йних задач для (7), (8). 0сташ1 е базовими для поСудови прямнз кетод!в роав'язку задач! про н8л1н1йн! рухп р!дини при внустичн!8 дП 1 дають мсшшв1сть перенести на вшадок, що ',ос!дауеться, результата нэл!н1йео1 теорИ повэрхневих хвпль.

14

Teopeua 1.5.1. Нэхай виконан! умова теорэми 1.4.1 1, кр1м того, Ё.ф^р,,/^"') - аналЮТга! функцП в!д е в окол1 нуля. Тод! задача еезнзчэння розв'явку вадвч! (в) з точнЮтю до е3 на S та стад1онвршп точок функц!оналу (14) екв!валантна визначвнню отац!онарних точок функцЮналу (G* - функц!онал (14) в безрозм!рноыу вигляд!)

<ff*ie.<pt.p4)>1> = conat + е3/26(С,Ф) 0(е2),

да

Тг r(v4>)2

i

n.

С(С.Ф) = ï fj - МП, Во x]dQ - wi,(l«>l COflci 1<3г>|)

t- 0.25 ц, f [lt2®^ - (v®, >2]c2Q - 0 5ц,р0/к: J e^Vd.y.zjds} й

<V. so

для !зохронних гладких. вар!ац!й ocj^ т = 0. к!нематачнах

обмэжень

4ф = 0 в <02 - ; 0ф/0и=0 на <S2>; Зф /Эп = - С,/|?С1 па <£> (20!

! умов пар. .гатрично! залекност! Ф^х.у.г.т) в!д - а«. оф.

в <Q,>i —'=0 на <S1>U<S>; —1= ll V(x,y,E)/k на S,,. (21) 1 1 1 0а 1 За 0 0

ïocpsisa 1,6.2. НетаЗ Енконан! уыони твореш 1.5.1. Тод! задача визначзпяя розв'яаку задач! (в) з точн!стю до е3 ва S та отац1о1"ф -них точок фуннц!онал!в (17), (10) вкв!валзнтна назначения стадloua рних т0ч0н функц!сн^лу [G* - фушщ10п8л (17) чи (18) Ь 693Ita3UipHO му БИГЛЯД!)

<В"({,Ф,,р!)>(. = conat i s3/R3(C,(p) ! lue*),

Дв

Н - (Уф)2 3(С.ф.Ф1 )=f [ф;.....iqi^oij.lQ |1|Ц [i | C-)!U |.-S,:

1, <Q2>

^ 0.25 ц, / jk2tf| (vS, >s)cîQ 0.5^|1о к j i s :!.) ¡Ijl rit,

<V S.,

цчя !3oxiK)i:]n;■ тнаяких нззачежшг!. вар tau1.:

15

ее

0;

= о.

"1 '"г

Показано, що, на в!дм1ну в!д задач! (6), вадача (7),(8) допускав лишэ два вар1ац12н! фориуливааня талу Гвм!льтона-Остроррадського (т. 1.5.,) та Лша (т. 1.5.2). Дую важливим е та-кож те, що вар1ад1йн! задач! Бейтмона, Бейтыэна-Бердичевського, Бе-йтмона-Люка п!сля опорацИ рэдукц!! пригодять до вар!ацШо! задач! Люка. НаявнЮть вар!ец!йних задач т. 1.Б.1 та т. 1 .ь.2 дозволле сформулювати вар1ац1йн! задач! для задач! про кап1лярно-звукову форму р1вЕовЕ£2(ЭЬ Характерно тачоа те, що ц! вар!ац1йн! Формула-вання стосуетьсн одного й того а функц!оналу, який носить характер потенц!ально! еперг!!.

Теорема 1.6.3 (вархзц!йна задача тина Гамхлыона- Остроградсь-кого для зада'« про кашлярно-звукову форму р1вновага).

Задача визначення гладких поверхонь 20 з задач! про кап^лярно-звукову форму р!вноваги при умовах теорвмн 1.5.1 еквйзалентна виз-наченню стац!онарних точок функц!оналу

1Т(-)=^[-|201-созсс |<8^1 - X Вох аа ] + ¡0.25 X (к2 Ф,2-^ )г)С10+

<а,> <«,>

, (21 )

+ 0.5 р0/к /7(з,у,г) -о

при оОмехешшх

с1а = сопаХ

(22!

«Эг>

6Ф, ОФ. А.Ф.^Ф^О в <0,>; — =0 на <5,>ия„; —1=^пУ(х,у,й)/к на Бп. (23) ' 1 1 бп_'. 0 Ап 0_^-

Георана 1.5.4 (вар!ац1;на задача чипу Бейтмена для катлярно-'вуково! 1^рми р!вноваги).

Задача визначення гладких поверхонь 20 з за,, л! про квщлярно-эвукову форму р!вноваги при умовах теореми 1.5.1 екв!валентна ГИЗН8Ч8НЮ стац!онарних точок функц!оналу (21) по £0 та Ф, при сгх'.'кеян! (22).

Таким чином, у випадку акуотично! взаемодИ вдалося побудувети

16

ряд вар!ац!8них звдач, що ек^валентн1 вих!длим нелШйним ди*еренц1альним. Це е базою для побудова прямих метод!в розв'язку вквзвних звдач, наявнЮть останн1х двох вар1ац!йних задач для задачг про кап!лярно-звукову форму р1Б эваги е суттевим узагальнеяням вар1ац1Яиих принципу маятщковоТ в!бромехан1ки на випадок конт1нуально! задач1. Не дозюляе будувата вар!ац1Ян1 ознаки ст1йкост1 поверх?.! розд!лу.

Друга глвез присвячена побудов! теорП ст!2кост! поверхн! розд1лу 1 > в задач! (7), (8), яка розум!еться як ст1йк!сть (2тс) -пер!одичного розв'язку задач! (6). 11а баз! досл1диень спектрально! задач! про власн! коливання в!дносно кап!лярно-звуково! фор® р!вноваги формулветься динам!чний кр!твр!й ст!йкост!: Угс з

(13). Динам!чний критер1й е ун1версвльним крнтор!ен сИйяост!, на ньому базуються 1нш1.

Задача про ст!йк!сть кап!лярно-звуково! форми р!вповаги допускав ф!зичне узагальнення (цо вит1кае з анал!зу баланса сил па поверхн!)- спектрэльну ознаку ст!йкост!: V п, >^п>0- В робот! доводиться екз!валентн!сть динамичноI та спектрально! ознак На когасретних прикладах побудовоно процедуру застосування спектрально! ознаки для "тр!В1альних" та осесииетричних "нетряв1алъних" кап!ляр-ко-звукових форм р!вноваги в и 1!ндр! кодового перер!зу, що знаЯде-н! в глав! 1. Ц! приклада мокуть !люструвати в1домй ефект акустич-но! стаб!л!заи11 при в!д'емних числах Бонда, який полягае в тому, що при деяких значениях к при в!д'емннх числах Бонда, де не е С1.Л-кою кеп!лярна форма р1вноваги, е ст!2кою в!дпов!дна кап!лярно-звукова форма р!вновзпк

Наступив узагальнепня шв'язапо з мохлив!стю форму люваши ва-р!ац!йного принципу стШсост! (що е узагальненням в1дпов!дних пршщип1в маятниково! в1бршехан1ки на досл!дауввний клас задач в частияних пох!дних - аналог фушщ!оналу нотенц!ально! епергИ), яка зводиться до твороми.

Тоорэаа 2.2.2 (вар!ац1йний принцип стШост! капи. ,рно-зв"ково! форми р!вноваги).

Не хай (Н0.г,) - рсзэ'ячок задач! (9) зад^зольняе умови ■ гладкост! Н0 € С2(РО), ®ге 57|(<01>и2о), (РО - проекц!я облает! О на Оуг). Тод! задача визначення ст!йких кап!лярно-звукових' форм р!вноваги екв!валентна визначэнню точних м!н!мум!в функц!оналу (21) при зиконаних умовах зв'язку м!а Нд та Ф1 (22), (23).

Наступав означения дозволяе ввести поняття узагальненого розв'язку задач1 (9).

Оаначання 2.2.1. Пехай С^ - кусочно-гладка одноаЕ?язна п1доблаоть облаот! о а маояпва - куоочно-гладких однозв'язних п!добластей 0. Нехай такой сдпозвязна частана границ! Б0с<эа е гладко» 03о: 2осй0о, 50<=аоп, а границ! 20=еа0\аа, Е^С^чэа також одао8вязн1 кусочно-глада! й Юнуе кусочно-гладкий 1зоморфТзм

а^га.у.г)

У=ТГ1 (х* ,у',2*), С1 (0о) 1

(х'.у'.г')

Х-1,У"1,2~1 € С1(0П). Будвмо говорит, що область 0П прямуе до 0о (0п-*Со) за визпаченшм 2.2.1 1 поверхн! 2я = асАао прямують до £0= аОд-чбО за визначепвяы 2.2 1, яйцо ХД.г ■* х.у.г и Х-1 х'.у'.а' в ыетриц! о1.

Б робот! доводаться, що функц!онал (21) при уиов!-зв'язку (22), (23) е недарервнш за озваченнш 2.2.1 1 на мыоазшах (0,2о), як! визначен! сзначешям 2.2.1, дакна ввести поняття узагальненого розв'язку задач! (9). Кр!ы того, так! розв'язш, якщо вош мавть в1"Пов1дну гладк1сть, Оудуть стШаши.

Трети глава нрисвячена побудов! мэтод!в розв'язку основных (Оазовах) задач творП налих хвнль: задач! про кап!лярю-ааукозу фзрму р!вноваги (9) та задачу про власн! коливапня (10'). Ыетодз ба-вувть^я на шалнвост! гобудови вар1ац!йного аналога шазавих задач. Тая, для розв'явання проблема визначэння капШрна-звуково! формы р!вловагп ввкорастовуеться вар&щОава ознака стШаот!, що дае аио-гу запой!готи рчаикшнню неотШсих розв'пзк!в. В дасертацШШ ро-_Сот1~ Хм поОудовн вар!ац!йшя мэтод!в розв 'язку -за ^ вар1 ац!йнош ~ оз^ наков вшаоуеться сшгаральвпа роаклад функц!онаду (21). Дня цього ыае Сути проавал!аована спектр&шш задача в параметром на чаотш! границ! для рхвшшпя Гельигольца

ЛФ1+11еФ1=0 в < ОФ/дв=С на (В^и 20; вФ/дп = АФ, на 80, (24)

(тут к - хвильове число), хака задача приводить до онераторнях

1В

р!внянь, як! не е додатньо визначепими. в той ке час в робот! у?.:пгальнюються деяк! теореми про властивост! спектру, про критичн! значения к, про вар1ац1йне формулювання, про неперервну залекн!сть спектра, про к!льк1сть в!д'емних власних значе: , •в.

Якщо ф , •б1 - розв'язок задач! (24), то функцЮнал (21) мае вигляд

П(с!1,)=ц[|Х0|+совс(|<Б1>|+ I Вохаа]-(цо/к)г0.252[; УИ.у.г)»,^] /«,,

<а,> г 3-

г 0 (25)

Д9 51=р0 f УФиОв/(к'в}), а поверхня 20 мае розклед Н0=£ <^11,.

8о

Вид спектрального рюзклвду фуякц!оналу уточнюеться в робот! для випадк!в, коли е мозливим розд!л змЛнына. У випадку цил!ндра колового перер!зу уточнюеться та досл!дауеться за допомогоп вар!а-ц1йно-проекц!йних мэтод!в ефект резонансно! втрати ст!йкост! та ба-гатовим!рно! б!фуркац1!, нпводяться в!дяов1дн! чисельн! приклада. Наведен! чисельн! д!агра;>!и, що сули отриман1 за допсмогс» комп':оте-рно! граф!ки, демонструють залэкнЮть значенпя фушщ1оналу в!д к та геометр!! поверхн!. Показано, що. при к, Олизькому до резонансного, (першого власного значения а,,: J (эеи)=0), в!дпов!дна кап!лярно-звукова ферма р!вноваги втрачае ст10к!сть, зам!сть вказано! кап!ля-рно-звуково! форми р!вноЕаги з'являеться ц!лий п1дщ. ст1р в 1>г(РХ0), що Ь е аналогом розв'язку звдач! та в!дпов!дае резонансом рухам система.

Друга половина глави 3 присвячена формулвванню та доведение вар!ац!2них лришдпПв (на м1н!мум фупкц!оналу) для спектральных задач (10') та спектрально! задач! для оперторй А: Вар!ац1-Ян! пршщипи для задач! (10') е прямим алалогом в!домш1 вар!ац!йнпх прннцш!в для задач! про власн! колавання капШярно! р!дшш, як! доведен! в роботах М.Д.Копачевського, Ы.Я.Барняка.

Принципово новями е взр!ац!Ян! принциш для аектралчю! задач! з параметром в крайов!й умов!, яка мае слераторниЛ зашс

Теорема 3.6.2 НехаЯ виконан! умови теореми 1.3.3. Тод! задача шсл!довного (в порядку зростання) вязпачення власних заачонь оператора А екв1валента наступн!й вар!ац!2нМ процедур!.

Нохая (рг0) - допустима Шохина фушщМ для функцЮнал!в

19

Р(Н,Ф) та ^(Н,Ф), ф£^«0,>). Тод!

Г Г(7Н,<?Н) (7НП,^Н)(УНП,7Н) г тШ У(Е,Ф> а т(п { Г -=ГТ7р--у-г Ч/р н Во

'о ""-"о * о

+ 2П Г (к2®2-^.'®))^]/ I = РШ,.«,). <о,> > п0

де С0= [ф: 0<(Н,Ф)=0, НеД0},

Хг= и(п ЩН.Ф) = в\), где Л,= (Н€^0: / НН1 вуйг = о| та

И0

С,= {ф: 8^(Н,Ф)=0, Нед,};

НеД, и0

«6С1

Шп УШ.Ф) = У(е,,Ф1), ГГ Д, ,= {нед,_2: / нн, ■ )«%«аа = о] яед,_, п0

с»-,= {ф: <Ш.Ф)=о, Нед,,,}, а <?уекц!онал 1^(Н,Ф) мае вигляд

У^(Н.Ф) = X + / (®1ХХН - Ф12ни - ®, н -

<«1> *о

[Ч , ф С¡3

Оформульован! в робоИ вар!ацШн1 пршщипи дають вмогу побуду-вата споЩальн! сшш мотоду Рхтца ддя шзначевня вяаснет вначень вказаши шектреяьшк еадач 1 в базою для побудоаи лШйяо! твори сумЮних рух!в система " 1ло-р1даа8-гав+акустичпе соле"» схема и<п

20

тоду Ргтца Овзуеться на мохливост! розкладу в1даов1даих задач я роз в' язкамч 1шш. задач на влаон! значения. Показано, со ягацо

dtu[^tk)/(1 + (vH0)a)V2- (vB'^.vHoM^fl + tvH,,)3^]*

SH,k) OH- „,. ...

/ H(k)dü/d2=0; -- —°(4«(k5p^0)/(1+(vH0)),/2 на 61Q, a

v fle fle

АФ(к)+К2Ф(к,=0 в <Q,>; a®tk)/fti-0 на <S, >US¿; » /Ы Ф^ <к)на 20,

то власн! значения та власн! функцП оператора А иохуть бути анайдэн! з задач!

**[{*) " Р С{1/4}°Т -»•*]- Р.

де {Х} 1 {1/Лв} - д!йгональн! матриц! з в!дпов1дних власннх аначень,

а J"btH(k)] Фспйа = ow (bt*l визначаетьоя s право! чаотинн «о

крайово! умови на ZQ в задач! (10$. Кр!м того, якцо

iffl(kl=^H(k); / H(k,d&/cte - О, PIo

дф(к) = о в <Qg>; аф(к)/дп «О на <S2>;

0ф(к)/Оп = якф(к)/(1+(^0)г),/2 на 20; / <p<k,(tydz - О

"о

то знаходаання власвих значэнь иг задач! (10') 1 г*.дпов!дах власних фувкц!й зведеться до задач!

deí [{aj-^cjVaejc1] - О,

де опгш f <p<n)¡z В1 'dydz PIo

Четверга глава присвячена побудов1 метод!в розв'язку задач про

хвильов! рута р!дааи при вкустичн!® д11 в рухоый порохнин!

р

plt* dtufp((vVV^r>J = Pi» Pot[ ) * + (*Ф,)г/2 - vffl{(T0-«5«r)4- U(r)] = -p, в Q{, i=1.2, 09.

p. - Pn,(vnn + S(r«n)) на s , (=1,2, { да 01 0 1

P«^ "fbc(»o+a"r>a-Po»it'/lvt" - рг + о(Я1+ï2) « - p1 на 2. (vW,v{>

--«= coboL на as,

<

a®,

'= P01<V» + ¿(r»n) + v0(x,y,z) eln(vt)) ва 30.

В дасертацИ доведено, то одаочасне зестосуваная методу редук-Ulï глава 1, а такс» розкладу розв'язку на потеши ал виутр1шнього р:ту та потенц!апа Стокоа-Жуковського доаволяе при виконанн! умов теореш t.2.1 вшасага задачу про суы1сн! рухи, то под!баа до вада-ч! (2), ало 8 потенц1влом спец!ельпого шгляду, сфораулювати в!доо-в!днна вар!ецШ1Ий принцип лшв, поЗудувати вар!ацШо-проещШиаа што" 2»0 ■ Луковського та в!доса!дн! нэл!н!йн! та л1н!йн! ск!нчвйно-вям!рн! иодел! (в вшгористанвям реаулвтат!в глава 3) сунЮних рух!в оиотема, як! в ав'явку з! звачпов грси!здк1стю форкулдаань нэ наводиться в автореферат!.

П'дта п поста глава присвячен! розгляду спецЬльного клясу задач типу (2), що вяникають пра в!брац!1 порокгаши:

1Л

pt + dlY(p wp) ^ 0; р - I I в Q,

ш

P 9(<Pt + 0«6(V4»8 + v~zBox 4 е(а,х + агу= f а3в) Мп(и] = -тр в О,

22

€

ар «зср et

— = 0 на S; — -----5- на S, (26)

ön ön |v{|

p- v"z(Ä1+Ä2)= p°=conet на - (vW,1?£ )/| j = aoaat/ 1 + (vH)2ha ÖZ,

де виконан! с.п1вв1дношоння

1/v2= ц e2, ц ~ 1 при Во ; üo/v?= ц e2, ц ~ 1 при Во

а Q(t) - нев!дома область визначення, <p(x,y,z,t), pd.y.z.t), p(x,y,z,t) - фунвдП, то пЩятають назначению, 2(t):{ (x.y,z,t)«=0 -нев!дома поверхня. Анал1з задач! проводиться за схемою глав t-з. Введено поняття виброкап!лярно! форми р!вноваги (анвлога задач! про кап!ляр), яка визначасться з задач!

.2

-(i dlvi --1+ ц Во х- 0.25 fl^i®, - (8,1 + а^у + a3z)]'

1 /l +(vH0)2 >

- (v®,)г] - 0.5 |Ф1г- a,J Н, = conat на 20,

= joa* /1 +(vH0)2 на öSq,

MI U и (2?)

ДФ1+кгФ1=к2(а1х+а2у+а3г) в С^; Ф^а^+а^+а^ на 20;

09, ОФ.

—^0 на S; —' = —-на 2„.

вп Sil |v£0| 0

В дисертацН побудована задача про власн! коливання в!дносно в!брокап!лярно! форми р!вноваги, яка зводаться до ровв'язку наступно! спектрально! задач! :

0$ fll}) /--р— -

¿(р=0 и Q_; — - 0 на <S>; — =h// f + (vHQ J11 ;-ürtfn4h=0 на 2_,(28) ön ön

• де оператор А

Г vb vH0(vh,vH0) áh. - - ц diu'-----—

+ ix Bo h +

(1 + (vH,/)"2 (1 ♦ (vH0)2)=

t 1.5 ,v®)- líí«,- - £L,y - BgZ) « - Ф^В, + (ve^.v®, ) h. --К? (Ф, -atx-agy-aga > (®1x-a, )h - №1xa3,№ - (®1x- a,)h,j иа 20î (29)

<*•«*>> на 3SQ,

, fle (i + w0fy\

a

„ «ЗФ

ЛФ + 1ГФ-0 в CL; — = 0 на <S>; © + Ф. Ji = a.h на £., u ai 1* 1 u

M 0Ф в® гаго, О2Ф. агФ. ■»

h. = —--IL--Jf t —--1 H---i H- h - (30)

^ 8i ¿3y ^ Sa 0z töi2 dm 07 flZflZ 03J

0Ф, ô®,

--'h--V, на

Oy * dz 0

&ша 6.3.1. Нахай (Н0,Ф( ) - розв'язок задач! (27), а I^tO1^)» <Ф(1>, h(l>, h¿l)) визначаеться в

ровв'язку задач! (30), a hll,e01(PSQ), |H(I)}01 = 1. Тод!

J (k2®«1 > (Ф,-a^-s^y-aaBj-ív®«1 >>)bt2>/(l + (viy2}1 /гОа= so

fl^et1 ><¡>ta (Уф( 11 > ))gq + J^ ^'^yf^a.

l'eopouß 6.3.2. Шхай (S0,ffi,) - розв'язок вадач! (27), а н0е01 (PS0), ©^(QjjUEq). Тод! огоратор А ошюощмшнвй в

1 ' <Я0>-

Теорвыа 5.3.3 (про точковий спектр оператора А).

КохаЯ (Н0.Ф1) - розп'язок задач! Щ). Н0еС1 (РЕ0),

(0ош:о). Тод!

1 . ЛШйний самосирязмикй оператор А мае д1йсш13 точковий спектр, який складаеться лише з власних значень.

Я . На01р власних ф;.~гкц1Я е базисом в

Ц> ______

'<1 + (<т0>г>,/г

Ъ . Множила власних значень оператора Л мае лише одну граничну точку к». Мн:.:*ша гид'емних власних значень ск Ьпеш:-.

Теорема 5.3.4. КохаЯ СК0.Ф,1 - розв'язок задач! (2Г)г а н0ес1(Р20), Ф,^(айиг;0). тод!

' . Споктральна зодачч (?,3! мае лкге власн! значения

К^пЛ] и Ю " 0азис в

< . Множна |п: ск!нченнг..

Тоороми 5.3.2-5.3.4 дають змогу узагальнити на цей клоо задач результата глави 1.

Динам!чна ознакз стМкост! в1дпов1днсго (2тс)-пер1одичнсго розв'язку задач! (26) можо бути сформульована у влгляд! а^>0, VI з задач! (28). Використовуючи спектральн! властивост! задачу доведено, ио

Насл1док 5.4,,?. при удавах теореми 5.4.1 втрата отМкоит! в!брокал!лярно1 псБорхн! 20 мояе статися лише скЫчешш числом л!н!йно незалеаыих способ!в.

Спэктрглшг сзявг.з гтМхост! зводить аиал!з до визначення знак!в власних значень оператора А,

Насл1док 5.4.3. При умовах теореми 5.4.1 га. ¿тральна ознока

25

ст12кост! екв1валэнтна дшам1чному критер1ю стШост!.

Так саыо, як для задач! про каШлярно-звукову форму р!вноваги, вдаеться поОудуваги вар1ац!йний принцип ст!акост1.

Твораиа 5.4.4. К&хай (Н0,®1) - розв'язок задачи (2?), Н0 е

с (РЕ0), Ф, < ^(<а,>и5;0). Тод! задача визначвння стШсах

в!броакустичних форм окв!валентва визначеняю строгих м!н!мум!в функц!оналу

И(Е0,Н»,Ф1}=ц[|£с1-со8Гс£Л&|)+| рВохйа- 0.25| [^^-а^-а^у-азП2

. ®о °о

-(v®, )г]й0-0.5[ ——--а,х-а2у-а3а^йа,

г/1

да вшсонан! умови зв'язк; м!а Н0, Н4 та Ф,

„ 8Ф, Нв ДФ.+К Уг (а х+а_у+а г) в 0П; — = —---на

11 1 ,1 о у-5 о"

011 /1 +(^Н0)г

8Ф.

—' = 0 на 3; Ф, = а.х + а^у + а„г на

вп 1 ( -г з о

ОотаннМ функцЮнал допускае спэктралъний розклад: °о

1 <в>___

до ф - розклад задач! (30) за власиими функд!ями:

о 6Ф

М + Гв = 0 в Цз? Ф = 0 на 2 ; — = КФ на <3>.

бп

Побудован! наблшшн! проекц1йно-вар1ац!йн1 катода роав'яаку задач! про в10рокал1лярну форму р!вноваги в цил1ндр! кодового пэре-р!ву, чисельно досл1дхен! 'ЧфуркоцИ форьГ р!вновяги. Комп'ютчрн! тривим!ра1 граф!ю! Шютрувть 1снування критичяих йнрчййк к, прс

• ге

яких суттево зм!нюеться геометр!я I) 1 льно I поверхн! •

* Для задач! про влясн! значения оператора А сформульований ва-р!ац1йний принцип, який е базою для схеми мотода Р1тца .

Теорзма 3.6.1. НехаЯ виконан! умови теорема 5.3.2. Тод! звдача посл!довного ( в порядку зростапня) визначепня власних значень оператора А екв1валонтна настуш!й вар1ац1йний процедур!. Не •,а2 ,<0сЬг(Р20) СРг0 - проокШя 10 па Оху) - допустила миозина фушоШ

для функц!онэл1в ОУШ.^.Ф) та т^ф.^.ф), Ф«^«^), Тод!

ьм0 ис^о 1РГ0

Г (УИд.УЮ (УН0,УЬ) г

1р{ [7ГГ(7Н)г),/г+ (14-(УН0)г)3/г 'I

°0

'У ) -к2(ф;-а,х-агу-а32) (Ф,^а, )-(®1:схН<)|]11гс%й2+

¿ц / [к2®7-^,^)]^ -

| {п,(«1х-а, )ь\ауаг}/ I ЪгацОг = 1»«ц ).

■г0 ' Р1о

и ф

т С0= [(Ф.Ь.): 6,^(11,1), ,Ф)=0, 0П 1'от,Лф.0)=0, а

.ф)= ; Гкгф2-(^ф^)]сго+ г/ ■у.Гф^-сф.-а.)п"1аз,

1_

'------ Н. -

бг~ с?х(зу 07 ехдг

, 1 в®. <50,

1 Н. (1--1г--V на

г 0г) 07 У Ог 2 0

т1п т,И„,Ф) = де Л,= / « о} л

>с л рг

■'-•*) 'О

с,= {(Ф,я.): й»У0(1г.ь4,Ф)=о, в11 1у!1.11,,®)«а, им,};

\j= min V(h,bt,®)= Vthj.h,,^). де he^j 1

Г 2' S = °} 11

Сьсыв глава присвячена розв'язку ряду кошсретних задач ф!зикн, акустики, г!дромэзи,н1кк, що г.ов'язаШ з розв'яаком задач про вк;-с-тачну чн в1броюа£мод1ю,пох!дшх чи узагальнених в!д них. За допо-тогов побудоваи_х метод!в розв'язку в!дпов!дщ« еволюц^йних задач (главк 1-6) дсслдавно i описано ряд ф!зичних ефект!в, пов'язаних з проя. Btöpoai. стачного впишу та званы;/. до внал!зу задач, по-д!б?шх до (6), (26).

В робот1 описан! Gp. ;ти проввлу та перепаду р!дини в обмекен!й nopossiaHl при горизонт а льних вМрац1ях. Анал1з проездами за допомо-гою мо д!в глав 5-S звс,"шться до знаходження к!в!муму функц!олалу. ГПсля використання проекц!йних метод!в оудуеться функц!я к!лькох зыхняих та обчислветься II ийНмум. Це дас змогу на Ильки вычислите значения частот, при якях втрачае ст!йк!сть плоска форма piuno-ваги, але й гобудувати геометр!- ново! форми р!вноваги. Ка копкрет-них прикладах досл!даено вплав в!броакустично1 д!1 на частота й Форш колавання р!дини в порокнин!.

3 викоркстаиням методу редукцН показано, ¡до п!д вшивом аку-стичного пол.! р!днна в труб! в невагомост! починяе рухатися в!д акус;ичпо10 в!братора. Для цього проанал!зована трьохфазна задача з двома в!льшши поБорхнями, що по структур! под!бна до задач (6) (в об'ек!, що торкаеться друго! поверхн!, вс! умовп однор!да! - в!дсу-

тн!й вкуотичнд^ в!братор). На приклад! тдаттпвтта птялу^ рятам_руху-

й пс;;азаяо, цр в деяких д!апазонах хвйльових чисел К , /йнуеться в!-льва поворхня. Це приводить в реальвюс г!дроданзм!чшх системах до проштовхувшшя р!даии.

На конкретаах прикладах досл!даено вплив поздовкнхх в!брац!й на частота колнванпя р1даш. в порсхнинд:.

В заплачена! наведен! основа! результата, що ввносятьоя т зя-

хист.

OchobhI результата лнсеотяцП опубл1кован1 в наступних

, роботах:

t. О свободных колебаниях системы "кидкооть-гвз" в цилиндрическом сосуде в слабом гравитационном поле // Прясле методы в.задачах динамика и устойчивости многомерных систем.- Киев: Ин-т математики АН УССР, 1986.- С. 5-12 (сум1сно з 1.0.Луковським).

2. О формах равновесия свободной поверхности ограниченного обьг-va кидкости, находящейся в высокочастотном акустическом поле // Прикладные задачи динамики и устойчивости механических систем.-Киев: Ин-т математики АН УССР, 1987.- С. 22-26.

3. Нелинейная динамика поверхности раздела кидкости и газа при наличии в газе высокочастотного акустического поля. Установившиеся режимы движения,- Киев, 1988.- 39с.- (Препр./АН УССР. Ин-т математики; 88.9) (сум!сно з 1.0. Луковським).

4. Нелинейная динамика поверхности раздела жидкости и газа при наличии в газе высокочастотного акустического поля. Устойчивость установившихся рёюмов.- Киев, 1988.- 48с.- (Препр./АН УССР. Ин-т математики; 88.10) (сум!сно з 1.0.Луковським).

5. О капиллярно-звуковых формах равновесия // Математическое моделирование динамических процессов в системе тел с жидкостью.- Киев: Ин-т математики АН УССР, 1988.- С. 77-84

6. Применение мэтода вариации границы для отыскания устойчивых капиллярно-звуковых равновесных форм // Тр. XIII н°уч: . конф. молодых ученых Ин-та механики АН УССР, Киев, 24 -

27 мая 1938tr Ч. III/ Ин-т механики АН УССР.- Кивг,, 1988.- С. 528-532.- Деп.0 ВИНИТИ 27.12.88 J6 9073-В88.

т. К задаче управления свободной поверхностью ограниченного объема жидкости при помощи звука // Докл. АН УССР. Сер. А.- 1989.-J6 7.- С. 52-55 (сум!сно з 1.0.Луковським).

8. Теория возмущения в нелинейных задачах акустического

взаимодействия со свободной поверхностью жидкости // Всесоюз . конф. "Нелинейные проблемы диффер. ур-ний и матомат. физики", 12-15 сент. 1989 г. Тез. докл. - Ч. 1.-Тернополь, 1989.- с. 254-255 (сум!сно з 1.0.Луковським).

9. Об осесимметричных "нетривиальных" каяаялярно-звукормх равновесных формах // Тр. XIУ пауч . копф^молодах учетах Ин-та механики АН УССР, Киев, 23 - 26 мая 198?-- Ч. I/ ИН-т механики АН УССР.- Киев, 1988.- С. 192-196.-Деп. в ВИНИТИ 2.08.89 * 5164-В89.

10. 00 устойчивости регима, порожденного "нетривиальной" осе симметричной кашшшрно-звуковой равновесной формой // Устойчивость двивэния твердо; тел и деформируемых оиотеы.- Киев: Ин-т математики АН УССР, 1989.- С. 4-6.

11. Вариационная формулировка одной нелинейной краевой задачи с неизвестной поверхностью раздала двух областей // Устойчивость движения твердых тел и деформируемых систем.- Киев:Ин-т математики АН УССР, 138Э.- С. 4-е (суи!сно з ЬО.Луковськиы).

12. О самосопряженности одного штегро-даф^еренциального одаратори // Укр. MtT. курн.- 1990.- 42, S» 3.- 3. 421-423 (cyiHcHO а

Г.О.Луковсыш!).

13. Пространстр^ншэ днагашя резервуара с вдскостью, находящейся под действием шброакустичес; '2 нагрузки.- Киев, 19ЭС.- 56с.-(Црепр./. АН УССР, йн-т штеыатнки; 20.31) (cyuícao а I .О.Дуковсыаш).

14. О фзриах ращовэсяя свободной поверхности ограниченного объема годности, находящейся в условиях ваброзвадайствзя // Ыодолзро -ванае данашчзскгх процессов ввашгодейстым в систеиах тел с -KSWíOCTba.- Киев; Ин-т математики АН УС-СР, 1S90.- 16-20.

15. Нзлинейные всшознэ вкброакустичесюш процесс« в ограшчэаных объемах квдкостг и газа // Респ„ сзг.'лдьр "Прочность а формоизменение алеюнтов конструкций пра воздействии динамических физкко-иахнничешел cojisíí", Киев, 25-27 сэнг. 1990 г.: las. докл.- Киев: йн-т провлею прочности АН УССР, 1990.- С. 53. (сугйсно 8 1.0.ДУКОВСЫЖМ).

16. Вннуздонянз нелинейные колебания ввдкоста а газа, воабуздаэ-

акустиэдокии иеточшмш в rase // Колаоаная упруги конструкций с квдкостьв.- Новосибирск, 1950.- С. 127-131 (сун1сно в 1„О.ДушЕсыаш).

Vi, Еатлтсцнонниг нранщш типа Еейтшва ь задаче еб акустическом взаимодейс зии со свободной поверхность® кэдкоста '/ Кодэляро•

-ванш-динагтвготатшоцтешг^зашодэаетшя в системах тел с

авдкостьв.- Киэв; Йа-т катомвшш АН УССР, 1950. ■ о. 20-21 (CyillCHO В 1.0.ЛуКОВСЬЯЕЫ).

18, Собственною тяэбашш свободной поверхности огршнчагного объема гидкоста, взашлодзйотвущэго с авуотичвтааи полом /' Докл. АН УССР. Сер.А. - 1990.- » 12..- С. 23-26 (сумЮно з 1.0.Дуковоькш).

19. Об акустическом воздействии на свободную поверхность ограничен-■ ного объейа ющкости // Акуст. нурн.- 1931.- 37, вып. 1.-

С. 144-149 (сум1сио з Г.О.Луковським).

20. Об одном классе краевых задач в теории поверхностных волн // Укр. мат. нурн.- 1991.- 43, Л 3.- -С. 359-364 (сум!сно 8 Г.О.Луковським).

21. О стабилизации поверхности раздала жидкости и газа при взаимодействии с акустическими полями в газе // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. - 1991.- £ 3.- С. 80-86 (сум!сно в Г.О.Луковським).

22. О построении приближенных нелинейных моделей в задачах о взаимодействии акустического поля со свободной поверхностей яидкости // Докл. АН УССР. - 1991.- Я 6.- 0. 40-42 (сумЮНО э Г.О.Луковським).

23. Об акустической транспортировке жидкости в трубе // Докл. АН УССР.- 1991.- № 9.- С. 82-84 (суШсно 3 1.0.луковським).

24. Вариационный принцип Бейтмена для одного класса задач датчики „ и устойчивости поверхностных волн // Укр. мат. гурн.-1991.- 43, JS 9.- С. 1181-1186 (сум!сно з Г.О.Луховським).

25. Формулировка нелинейных краевых задач пространственного движения твердого тела с ¡к хкостьв, подверженной воздействию акустического поля // Проблемы динамики и устойчивости многомерных систем.- Киев: йн-т математики АН Украшы, 1991.-С. 52-59.

26. Нелинейная динамика акустило- газошщкостннх систем при высокочастотном воздействии // Гидромеханика.- 1992.- Вт. 65.-С. 52-59 (сум!сно з Г.О.Луковським).

27. Нелинейные модели в прикладных задачах динамики тел с еидкос-тью со свободной поверхностью // Прикл. механика.- 1992.- 23, * 11.- С. 75-аэ (сум1сно з Г.О.Луковським, О.С.Лимарченко).

28. Рзриедасшшэ формулировки задачи о взаимодействии поверхности раздела "аиякооть-гяз" с акустическим полем // Иатвпт. метода исслед. прикладных задач динамики тел, несущих видкость.-Киев, 199?-.- С- 4-11 (сум!сно з Г.О.Луковським)

29. О воздействии акустического поля на поверхность раздала пщкости и газа // Проблем« гидромеханики в освоении океаьа: Материалн конф. по прикл. гидромеханике;- Киев: Кп-Т гидромеханики АН Украины, 1992.- С. 141-144 (сум!сно а

31

1.0. Луковсыаш).

30. Вариационный подход к решению задачи о равновесии свободной поверхности жидкости в вибрирующем сосуде // Мат. методы исслед. прикладных вадач динамики тел, несущих жидкость.-Киев, 1992.- С. 27-35.

31. Поведение свободной поверхности жидкости в вибрирующем ограниченном сосуде.- Киев, 1992.- 46с.- (Препр./ АН Украины. Ин-т математики; 92.22).

32. О виброакустическом воздействии на свободную поверхность ограниченного объема «едкости// Проблемы гидромеханики в освоении океана: Материалы конф. по прикл. гидромеханике.- Киев: Ин-т г тромеханики АН Украины, 1992.- С. 129-131.

33. Про вшшв в!брвцН па геомет^Лю та ст!йк1сть в1льно! поверхн! обмеквЕого об*ему р!дини // Доп. АН Укра1ни.- 1993.- а 3.-G. 65-68 (сум!сно з 1.0.Луковсыаш).

34. Wavee on the liquid- ''вз free eurface In limited volume In the ргевепсе ol the acoustic Ileld In gas // Int. Conl. Free Bo'udary Problem 1л Contlnuua Mech.- 15- 19 July, 1991.-Kovoalblrsk.- Abstracts.- 19Э1.- P. 82-83 (сум1оно в Х.О.Дуковсышм).

35. Raves on the llquld-gas iree surface In limited volume in the precance ol the acoustic i: ?ld In gas // int. Serlea of numerical Mathematics.- 1992.- 105.- P. 167-194 (оуы!сно. a 1.0.Луновськгм).

36. О воздействии звука на характер собственных колебаний давэрзи "5ти раздела "жидкость-газ" в ограниченном объеме // "кус: аурн.- 1993.- 39, вил. 2.- С. 357-381.

37. Прямыо штодн решения статических к спектральных задач теории ваашодайстЕия поверхностных волн с акуотическина поляш.-Киэв, 1993.- 49о.- (Цропр./ АН УКршшн. Ия -т математики; 93.15).