Псевдофинслероидные эффекты в процессах квантовой теории поля тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА

Дворников Павел Владимирович

Псевдофинслероидные эффекты в процессах квантовой теории поля

(01.04.02 - теоретическая физика)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

Москва — 2006

Работа выполнена на кафедре теоретической физики физического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: Доктор физико-математических наук,

профессор Ю. В. Грац

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук,

профессор П. А. Эминов

Кандидат физико-математических наук, н.с. С.А. Шаракин

Ведущая организация: Российский университет дружбы народов,

г. Москва

Защита диссертации состоится " 7 " о^гля^рЯ 2006 года в часов на заседании Диссертационного Совета К 501.001.17 в МГУ им. М. В. Ломоносова по адресу: 119992, г. Москва, Ленинские Горы, МГУ, физический факультет, ауд. С*РА .

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке физического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова.

Автореферат разослан "_3_" 2006 г.

Ученый секретарь

Диссертационного Совета К 501.001.17

П.А. Поляков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Преобразования Лоренца и лоренц-инвариантность играют важную роль в физике высоких энергий и служат для вывода уравнений фундаментальных физических полей. Релятивистская инвариантность прямо связана с геометрией пространства. Например, для плоского пространства Минковского метрическая функция остается инвариантной относительно 6-параметрической группы преобразований Лоренца. Что произойдет с релятивистской инвариантностью при обобщении метрики?

В последнее время также широко рассматривался вопрос о влиянии возможных нарушений лоренц-инвариантности на квантовые процессы. Теория с нарушенной инвариантностью используется, в частности, для оценки того, какие ограничения накладывают экспериментальные данные на эту инвариантность, то есть для нахождения верхней границы коэффициентов перед неинвариантными членами.

Наиболее последовательным способом нарушения лоренц-инвариантности и построения обобщенной квантовой теории поля является изменение геометрии пространства с последующим исследованием как кинематических, так и квантовых эффектов. Одним из метрических обобщений евклидовой геометрии является геометрия Финслера. За последние 30 лет появилось значительное количество работ, посвященных геометрии Финслера, в которых были обобщены многие свойства римановых пространств. Ближайший геометрический путь обобщения преобразований Лоренца, использующий идеи финслерова пространства - это замена лоренцевой инвариантности псевдоевклидовой метрической функции на требование инвариантности финслеровой метрической функции (ФМФ). Релятивистская финслерова метрическая функция, названная псевдо-финслероидной, была предложена и использована Г.С. Асановым. При этом было показано, что следующие требования однозначно определяют явный вид указанной функции:

- поверхность индикатрисы ФМФ является пространством постоянной отрицательной кривизны;

- ФМФ сохраняет изотропность трехмерного подпространства;

- получаемый финслеров метрический тензор обладает псевдоевкли-

до вой сигнатурой пространства-времени;

- выполняется принцип соответствия: при обращении финслерова характерного параметра в ноль финслеров метрический тензор переходит в псевдоевклидов тензор Минковского.

В этой связи большой интерес представляет изучение ближайших следствий псевдофинслероидного пространства и построения на нем квантовой теории поля.

Цель работы.

Целью настоящей диссертационной работы является последовательное построение квантовой теории поля в псевдофинслероидном пространстве и нахождение соответствующих поправок в выражениях для различных экспериментально наблюдаемых квантовых процессов. В соответствии с поставленной целью было намечено решение следующих задач:

- Построение лагранжиана и уравнений спинорной электродинамики в псевдофинслероидном пространстве, исследование их свойств и возможности нахождения псевдофинслероидных поправок в квантовых процессах.

- Построение лагранжиана и уравнений стандартной модели электрослабых взаимодействий, исследование их свойств и возможности нахождения псевдофинслероидных поправок в квантовых процессах.

- Анализ конкретных квантовых процессов, описываемых в рамках исследованных теорий, сравнение предсказываемых поправок с известными экспериментальными данными.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- Получены лагранжиан и уравнения спинорной электродинамики в псевдофинслероидном пространстве. На основании конформного метода найдены решения этих уравнений, построены перестановочные и причинные функции. Произведено обобщение разложения Б-матрицы, что позволило предложить способ вычисления псевдофинслероидных поправок в квантовых процессах.

- Рассмотрение в псевдофинслероидном пространстве уравнений неабелева калибровочного поля позволило построить лагранжиан и уравнения стандартной модели электрослабых взаимодействий. Показано, что при спонтанном нарушении калибровочной симметрии полученный

лагранжиан переходит в рассмотренный ранее лагранжиан спинорной электродинамики.

- Использование этих результатов позволило найти псевдофинсле-роидные поправки в ряде экспериментально наблюдаемых процессов, описываемых квантовой теорией поля. Показано отсутствие поправок в сечении рассеяния для эффекта Комптона, получены поправки для сечений упругого рассеяния электрона на электроне и электрона на позитроне, а также для процессов аннигиляции электрон-позитронной пары с образованием двух фотонов и обратного ему процесса. В рамках обобщенной стандартной модели электрослабых взаимодействий найдены поправки в выражении для вероятности распада мю- и тау-мезонов; получена поправка для процесса рассеяния мюонного нейтрино на электроне. Показано отсутствие наблюдаемых поправок для аномального магнитного момента электрона и мюона.

Научная и практическая значимость работы.

- Предложен способ вычисления псевдофинслероидных поправок в выражениях для сечений рассеяния квантовых процессов.

- Показано, что в ряде процессов (в частности, в измеряемых с высокой точностью величинах аномального магнитного момента) наблюдаемые поправки отсутствуют.

- Продемонстрировано, что все полученные поправки являются малыми величинами и имеют порядок малости финслерова параметра, характеризующего степень отличия исследуемого пространства от псевдоевклидова.

- Развитая теория является тест-теорией специальной теории относительности, позволяющей получать ограничения на постлоренцевы параметры. Оказывается, что не всегда высокая точность измерений приводит к сильным ограничениям на эти параметры.

- Продолжение начатых исследований позволит перейти к изучению петлевых процессов в квантовой теории поля и рассмотреть проблемы регуляризации в финслеровом пространстве.

Апробация работы.

Материалы диссертации докладывались на международной конференции по гравитации, космологии, астрофизике и нестационарной газодинамике, посвященной 90-летию со дня рождения профессора К.П. Ста-

нюковича (Москва, 2006 год). Материал диссертации докладывался и обсуждался на семинарах кафедры теоретической физики физического факультета МГУ.

Публикации.

Основные результаты диссертации изложены в 4 опубликованных работах, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы, включающего 103 наименования. Общий объем работы составляет 137 страниц, включающих 10 рисунков.

Во введении приводится обзор выбранных направлений исследования, обосновывается актуальность избранной темы, излагается общая постановка задачи и описывается структура диссертации.

Первая глава диссертации носит вводный характер.

В первых четырех разделах вводится понятие финслеровой метрической функции F = F(R), описываются ее основные свойства, приводятся выражения для финслерова метрического тензора, картановского тензора кручения, для символов Кристоффеля и для тензора кривизны, записанные через ФМФ. Далее мы рассматриваем канонически сопряженную финслеровой метрической функции величину - финслерову функцию Гамильтона и приводим выражения, устанавливающие ее связь с ФМФ. Мы описываем также калибровочные преобразования, оставляющие ФМФ инвариантной, и вводим понятие метричности этих преобразований.

В пятом разделе приведен явный вид используемых нами в дальнейших построениях релятивистских финслеровой метрической и финслеровой гамильтоновой функций. Эти функции характеризуются одним безразмерным параметром д, описывающим степень отличия от псевдоевклидова пространства. Обозначения

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

9+ = ~о 9 + h, д-

-¿9 -К G+ = g+/h, G- = g-/h,

1

д+ - 1 /д+ - -д., д = 1 /д. = -д+, <?+ = д+/И, в = д /к позволяют нам записать финслерову метрическую функцию в виде

F{g-,R) = y/\B(g;R)\j(9-,R),

В(д; R) = - ((Л0)2 - g&\R\ - |R|2) , j(g; R) = и финслерову гамильтонову функцию согласно

И(д;Р) = ^\В(д',Р)\з(д;Р), В{д; Р) = - ((Р0)2 + <?Д,|Р| - |Р|2) , j{9\ Р) =

R° + g- |R|

-G/ 4

Po-

|Р|

Po-

G/4

Далее мы приводим явные выражения для метрического тензора и других геометрических объектов исследуемого псевдофинслероидного пространства £дК- Из вида тензора кривизны можно сделать вывод, что финслерово релятивистское пространство является пространством постоянной отрицательной кривизны.

Шестой раздел посвящен описанию псевдофинслероидных ^-вращений, являющихся обобщением калибровочной группы Лоренца. Преобразование называется У7-вращением, если ФМФ остается инвариантной относительно такого преобразования:

Г(Л) = Р(Л), когда Я = ^(Л).

Принципиальное отличие этой инвариантности от обычной релятивистской теории в том, что финслеровы ^-вращения являются, вообще говоря, нелинейными преобразованиями. В них входят две очевидные подгруппы линейных преобразований, а именно: трехмерные вращения и бусты.

В седьмом разделе мы выписываем формулы квазипсевдоевклидова преобразования, при котором финслерова метрическая функция переходит в метрическую функцию пространства Минковского. При этом в получающемся метрическом тензоре псевдофинслероидные члены будут составлять порядок малости 0(д2).

В восьмом разделе мы выписываем формулы и основные следствия конформного отображения в псевдофинслероидном пространстве, широко используемые в настоящей диссертации. Эти преобразования записываются как г' = р'(д; В.) с функциями

В девятом разделе мы приводим выражения для псевдофинслеро-идных ортонормированных реперов и коэффициентов вращения Риччи, необходимые для построения уравнений и лагранжианов спинорных полей. Приведены явные выражения псевдоевклидовых ортонормированных реперов, используемых при псевдофинслероидном обобщении преобразований Лоренца, а также инвариантных ортонормированных реперов, удовлетворяющих принципу соответствия и переходящих при д 0 в тождественные преобразования.

В заключительном, десятом разделе первой главы мы приводим явные выражения для обобщенных преобразований между движущимися системами отсчета. При этом оказывается, что рассматриваемое псевдо-финслероидное пространство предполагает существование выделенной системы отсчета, а сами преобразования Лоренца, в отличие от калибровочных ^-вращений, не сохраняют инвариантности финслеровой метрической функции.

Во второй главе диссертации мы переходим к исследованию возможности псевдофинслероидного обобщения квантовой теории поля. Существует несколько подходов к записи уравнений поля.

Во-первых, можно строить лагранжианы и уравнения поля в псевдофинслероидном пространстве общими методами, разработанными для

при этом в терминах коэффициентов

для метрического тензора выполняется тождество

Л(М5; К))29рд{9\ Я) = Рр{а\ В)р{{9\ еу = -1, -1, -1}.

искривленного пространства-времени. Однако, основываясь на конформных свойствах пространства £дК, можно предложить другой метод обобщения квантовой теории поля, записывая лагранжианы, превращающиеся после конформных преобразований в стандартные псевдоевклидовы. На 0(д)-уровне эти методы очевидно дадут одинаковый результат. Более того, как оказывается, множители, отличающие эти два способа построения, содержатся только в массовых членах лагранжианов. В частности, переход к рассмотрению стандартной модели электрослабых взаимодействий с использованием голдстоуновского механизма генерации масс позволит снять противоречия между этими методами построения квантовой теории поля. Поэтому в настоящей диссертации используется второй метод, который более перспективен для получения результатов и обобщения основных выражений.

Первый раздел второй главы посвящен постановке задачи и краткому описанию полученных в этой главе результатов.

Во втором разделе мы кратко записываем результаты по построению лагранжианов и уравнений свободных скалярного, электромагнитного и спинорного полей, изложенные в работах Г.С. Асанова, на которых и базируется наше дальнейшее рассмотрение. Использованный способ основан на выполнении свойства конформной инвариантности. Это позволяет отображать уравнения в конформное пространство, в котором их решения будут записываться стандартным образом.

В третьем разделе мы осуществляем квантование этих полей и записываем выражения для коммутаторов и перестановочных функций в псевдофинслероидном пространстве. При квантовании полей в выражениях появляются волновые векторы кВ стандартной теории они отождествляются с импульсами частиц.

В четвертом разделе мы исследуем свойства этих волновых векторов, рассматривая распространение волнового пакета, и показываем, что теперь они являются конформными образами импульсов.

Этот результат позволяет нам в пятом разделе записать уравнение массовой поверхности в псевдофинслероидном пространстве и исследовать его основные свойства:

Н2(д-,Р) = т\

При этом мы получаем обобщенные выражения для зависимости энергии частицы от ее импульса, связь импульса со скоростью частицы и другие полезные для дальнейших рассмотрений формулы. В частности, для безмассовых частиц мы получаем уравнение

Е± = д±Р,

что позволяет нам доопределить выражения для конформных преобразований в безмассовом случае." В случае массивных частиц получаются выражения

Е±=т + Т ^m|P/m|3 - i|P/m|4 + 0(д\Р/т\5)

для медленных частиц и

1 1 т2 1т4 , 1 /т2 lm4\, ( Р 1т\

2W) = (1 Т 2-р - зрз ^± -2э(-р - 5рз J Ь (2- -

для быстрых частиц.

Шестой раздел посвящен построению причинной функции Грина для квантованных полей в лсевдофинслероидном пространстве. При этом оказывается, что причинная функция Грина записывается стандартным образом через приведенные ранее частотные части перестановочных функций.

В седьмом разделе мы, используя лагранжианы свободных электромагнитного, скалярного и спинорного полей, на основании свойств калибровочной инвариантности строим лагранжианы взаимодействия. При этом для лагранжиана КЭД для электромагнитного поля Ар и спинорного поля ф получаем выражение:

L = -—V^Fpq + г-Ы>ЧрПрф - - хтфф, (1)

где J{g\ R) =f л/1 det(gP4(g\ Л))| = (j(g; R))4, тензоры поля

Рря = ЛМ ~ Л,P. VP"{R) = J(m R)!?{9\ R)g4"{g\ R)Ft,(R),

гамма-матрицы

7p(g;R) = gpq(g-, R)epq{g-,R)^P, 10

(д\ К) - ортонормированный инвариантный репер, ур - обычные гамма-матрицы) и ковариантные производные

Ир-ф = дрф — грф — геАр1р, Орф — дрф + + геАртр со спинорными коэффициентами связности

2Р(д; К) = -|дРСР(9; ЩЬруя - 7«7я),

где Кр®р{д\ К) - ассоциируемые коэффициенты вращения Риччи. При этом конформные преобразования, действующие на полевые функции согласно

АР(Е) = К)ВЫа\ Я)), = Ыя\ Щ3/МР(З; Щ,

^рд(Д) = е'р(д; НЩд-, Д)Ву(з; г), г' = р\д; Я) приводят лагранжиан к стандартному виду

Ь = -\вцБЧ + г-[ч? (А - геВ^ и - ((А + гед) й) - тйи.

Использование полученных выражений совместно с записанной ранее причинной функцией Грина позволяет нам в восьмом разделе предложить выражение для ¿'-матрицы, исследовать свойства нормального и хронологического произведений в псевдофинслероидном пространстве и записать обобщенные правила Фейнмана. Вычисления показывают, что при этом все конформные множители сокращаются, что позволяет не вычислять заново матричные элементы для различных квантовых процессов, а использовать результаты стандартной псевдоевклидовой теории.

В девятом разделе исследована возможность появления поправок в выражениях для сечений рассеяний процессов, описываемых в рамках спинорной электродинамики. Предложенный способ заключается в следующем:

- Для нахождения псевдофинслероидных поправок в процессах квантовой электродинамики мы, осуществив отображение в конформно-плоское пространство, можем не вычислять заново матричные элементы, а использовать выражения, получаемые в псевдоевклидовой теории.

11

- Используя матричный элемент или выражение для сечения рассеяния, вычисленные в рамках стандартной теории, нам необходимо вместо стоящих в них внешних импульсов частиц подставить конформные образы соответствующих псевдофинслероидных импульсов.

- При сложении импульсов двух или более частиц необходимо складывать их конформные образы, а результат отображать обратно в исходное псевдофинслероидное пространство.

Использованный для построения спинорной электродинамики лагранжиан, однако, не лишен ряда недостатков. Так, в массовом члене спинорного поля присутствует конформный множитель >с, что приводит к отличию этого лагранжиана от лагранжиана, который может быть построен стандартными методами общей теории относительности. С целью разрешить эту неоднозначность мы далее переходим к рассмотрению стандартной модели электрослабых взаимодействий в рамках псев-дофинслероидного конформного метода.

Для этого в десятом разделе мы записываем лагранжиан неабелева векторного поля и получаем уравнения поля. Дальнейшее квантование, проводимое аналогично случаю электромагнитного поля, позволяет нам записать перестановочную функцию. Исходя из свойств локальной калибровочной инвариантности, мы записываем лагранжиан взаимодействующих спинорного и векторного неабелева полей. Мы также демонстрируем механизм генерации массы векторного поля с помощью введения голдстоуновских бозонов, что позволяет избавиться от содержащих конформный множитель к массовых членов в лагранжиане.

Полученные результаты позволяют нам в одиннадцатом разделе предложить псевдофинслероидное обобщение лагранжиана стандартной модели электрослабых взаимодействий:

Л = Лх + Л0 + Лх/а, (2)

Ло = Здк{д\ Я)п;ф+пдф + з\д2^Ф+Ф - ЩФ+Ф - "V)2, Л1/2 = + - (Уе)и$ьФтРя ~

ф = ^ , Врф = Эрф - ^ехМЩф - ге2Аар(11)^-ф.

Здесь фь = Фл = ед. Производные

г 1

DpipL ~ Ор-Фь - Zp-фь - -е2Аараафь + ге\-Арфь,

Dp-фгг = дрфц - + геАрфR.

Исследовав все его члены, включая юкавские взаимодействия, мы получаем, что содержащие конформный множитель части находятся лишь в потенциале хиггсовского бозона, выбор которого не фиксируется строго. При спонтанном нарушении калибровочной симметрии получается лагранжиан спинорной электродинамики, записанный именно в конформно-инвариантном виде. В результате мы приходим к заключению: предложенные лагранжианы совпадают с лагранжианами, получаемыми на основании обычного (не конформно-инвариантного) построения теории поля в псевдофинслероидном пространстве, если в качестве потенциала скалярного поля хиггсовских бозонов выбрать величину

У{Ф) = - J {9-, Н)~д2~ф+ф + J(g; ЩХ{ф+ф - Л2)2. (3)

Приведенные соображения позволяют нам аналогично случаю спинорной электродинамики использовать результаты вычислений в псевдоевклидовой теории, осуществляя затем конформное преобразование к псевдо-финслероидным импульсам частиц.

Двенадцатый раздел посвящен краткому анализу теории сильных и электрослабых взаимодействий, основанной на калибровочной группе SU(3) х 5(7(2) х 17(1). При этом мы опять показываем возможность отображения указанного лагранжиана в конформное пространство и обратного отображения получаемых результатов. Как и ранее, все члены, содержащие конформный множитель я, оказываются в потенциале хиггсовских бозонов.

В заключительном, тринадцатом разделе второй главы мы кратко исследуем возможность обобщения взаимодействий до калибровочной группы SU(5). Наше рассмотрение опять показывает возможность конформного отображения получаемых лагранжианов; кроме того, конформный множитель х появляется только в массовых членах хиггсовских бозонов и отсутствует в членах четвертого порядка по полям.

Третья глава посвящена вычислению способом, обоснованным в предыдущей главе, псевдофинслероидных поправок в различных квантовых процессах, описываемых квантовой электродинамикой: эффекте Комптона, рассеянии электрона на электроне, двухфотонной аннигиляции электрон-позитронной пары, рождении электрон-позитронной пары двумя фотонами, рассеянии электрона на позитроне, а также в процессах, описываемых в рамках стандартной модели электрослабых взаимодействий - таких, как распад мюона и рассеяние мюонного нейтрино на электроне.

В первом разделе очерчен круг поставленных задач и описана структура главы.

Во втором разделе мы исследуем в рамках псевдофинслероидной теории эффект Комптона. При этом получается, что в выражении для сечения рассеяния наблюдаемые поправки отсутствуют.

В третьем разделе мы рассматриваем процесс рассеяния электрона на электроне и получаем финслерову поправку, которая, в принципе, может быть обнаружена экспериментально. В низкоэнергетическом приближении выражение для дифференциального сечения рассеяния, зависящее от относительной скорости w электронов, записывается как

/ e2/i2 \ 2 1 + 3 cos2 в ( п 2/, 3 2ч N

doг = -5 ) . 4д 1 + 2+ w2 1 + -д2) + ... hffl. (4

\mur/ 4snr0 V 2 /

На рисунке 1 приведены графики для дифференциального сечения при

разных значениях финслерова параметра д.

Сравнивая полученные выражения с экспериментальными результатами, мы приходим к относительно слабому ограничению на характерный финслеров параметр д < 10~3.

В четвертом разделе мы исследуем процесс двухфотонной аннигиляции электрон-позитронной пары. В результате при малых скоростях w мы получаем выражение

г? 1 - gw/2 + w2 ,г.

а в ультрарелятивистском случае, переходя к нормированным на псев-дофинслероидную скорость света величинам w' = w/g+, г2 cos 0(sin2 в — cos в)

da =

2 1 - cos в

dfi (6)

Рис. 1. Зависимость дифференциального сечения рассеяния электрона на электроне от скорости: жирной линии соответствует д — О (псевдоевклидово пространство), сплошная линия построена при д — 0.5, пунктирной линии соответствует значение д = 1.0

(рассмотрение производилось в системе центра инерции). Относительная псевдофинслероидная поправка изображена на рисунке 2. Если же в эксперименте измеряются энергии родившихся фотонов, то наблюдаемые финслеровы поправки отсутствуют.

В пятом разделе мы исследуем обратный процесс - образование электрон-позитронной пары двумя фотонами. Получаемая при рассмотрении этого эффекта поправка изображена на рисунке 3.

В шестом разделе рассматривается еще один процесс - упругое рассеяние электрона на позитроне. В случае низких скоростей, рассматривая процесс в системе центра инерции, получаем

¿а= Т\ , ^ (1 — 2дю +...). (7)

В ультрарелятивистском пределе, опять переходя к нормированной на скорость света величине и/, будем иметь

^=й(35^Т/Г[(1 - ш'2) -зи/2(1 -+• ■ (8)

15

Рис. 2. Относительная псевдофинслероидная поправка Аа/и в сечении электрон-позитронной аннигиляции при д = 10_6

Рис. 3. Относительная псевдофинслероидная поправка Аа/сг в сечении двухфотонного рождения электрон-позитронной пары при д = 10_б

Рис. 4. Относительная псевдофинслероидная поправка Дст/сг в сечении рассеяния электрона на позитроне при = 10~6

Относительная псевдофинслероидная поправка изображена на рисунке 4. Процесс рассеяния электрона на позитроне играет большую роль при анализе экспериментов на электрон-позитронных коллайдерах и служит для определения значений констант, входящих в лагранжиан стандартной модели электрослабых взаимодействий. Кроме того, измерение зависимости величины сечения рассеяния от энергии сталкивающихся частиц позволяет находить зависимость постоянной тонкой структуры от энергии. Анализируя с использованием полученного нами выражения результаты экспериментов по наблюдению электрон-позитронного рассеяния, мы приходим к ограничению на характерный финслеров параметр 9 < Ю-4.

В седьмом разделе мы переходим к рассмотрению процессов, описываемых в рамках стандартной модели электрослабых взаимодействий и начинаем с исследования процессов распада мюона и тау-мезона:

-> е~ + ¡>е + иц,

) е~ + ¡>е + V?, Т <

+ 1/д + IV

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Рис. 5. Относительная финслерова поправка в выражении для вероятности распада мюона (тау-мезона) при д = 10~6. По оси абсцисс - нормированная на массу исходной частицы энергия рождающейся частицы

Вероятность распада, выраженная через энергию рождающегося электрона, записывается как

¿и> = -г

(9)

тг* \ т^; то£

к 192 т^

где

Е2\ 1 Е + \/Е2 - т2

—|-....

т

ек-Ек + 9^Е2-т2(1 + ^)-1-дЕЫ Полная вероятность не изменяется:

1 е4 ггу> . .

ю = (10)

Зависимость вероятности распада от энергии изображена на рисунке 5.

Анализируя далее аномальный магнитный момент электрона и мюона в рамках нашего подхода, мы показываем, что наблюдаемые псевдо-финслероидные поправки в этих выражениях отсутствуют.

18

Восьмой раздел посвящен анализу процесса рассеяния мюонного нейтрино на электроне

V? + е иц + е. Получающееся сечение рассеяния составляет

Лг=8 т&Н>*Е я

7Г

где

(Я,)2]

1 В - - т2

1 + 1п-.

4 Е+л/Е2-т2

Ср во 1 р 1 . о л . . 2 л

Осуществляя разложение полученного выражения, в нерелятивистском пределе для поправки получаем множитель 1 + |а в ультрарелятивистском случае появляется множитель вида 1+д-сопзЬ(д)+дО(т2 / Е2). Таким образом, по порядку величины поправка не превышает финсле-рова параметра д.

Во всех рассмотренных нами процессах в нерелятивистском и ультрарелятивистском приближениях отсутствуют поправки в угловом распределении, что несколько затрудняет экспериментальную проверку полученных выражений.

В заключительном, девятом разделе третьей главы мы рассматриваем еще одну возможность появления псевдофинслероидных поправок, связанную с неинвариантностью выражения для сечения рассеяния при псевдофинслероидных преобразованиях Лоренца. При этом возникает выделенная система отсчета, с которой естественно отождествить так называемую космологическую систему отсчета (КСО) - систему изотропности космического реликтового излучения. Согласно последним измерениям скорость Земли относительно этой системы отсчета составляет 368 ± 2 км/с. Вычисление с учетом этих факторов поправок в процессе электрон-позитронной аннигиляции в случае, когда измеряются энергии рождающихся фотонов, приводит к следующим эффектам:

- появляется зависимость полного сечения рассеяния от скорости движения лабораторной системы отсчета относительно выделенной; направление скорости (по отношению к направлению пучков сталкивающихся частиц) при этом на поправку не влияет;

- предсказывается различие энергий двух рождающихся фотонов, зависящее от скорости т лаборатории относительно КСО и от направления этой скорости:

А >-, „ и;сова

При этом предсказываемые поправки получаются по порядку малости меньше, чем характерный финслеров параметр д.

В заключении изложены основные результаты и выводы диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Построены лагранжианы для квантовой электродинамики и стандартной модели электрослабых взаимодействий в псевдофинслероидном пространстве.

2. Предложен способ вычисления псевдофинслероидных поправок в выражениях для сечений рассеяния квантовых процессов.

3. Найдены псевдофинслероидные поправки для ряда процессов, описываемых в рамках квантовой электродинамики и стандартной модели электрослабых взаимодействий. Показано, что все полученные поправки имеют порядок малости 0{д) или меньше.

4. Из анализа экспериментов найдено ограничение на псевдофин-слероидный характерный параметр д < Ю-4.

СПИСОК РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Дворников П.В. Псевдофинслероидные поправки в сечениях рассеяния электронов // Известия вузов, Физика - 2005. - 48, №8. -С. 52-58.

[2] Дворников П.В. Псевдофинслероидный анализ стандартной модели электрослабых взаимодействий // Известия вузов, Физика - 2006. - 49, №4. - С. 44-51.

[3] Дворников П. В. Псевдофинслероидные эффекты в процессах квантовой теории поля // Международная конференция по гравитации, космологии, астрофизике и нестационарной газодинамике, посвященная 90-летию со дня рождения профессора К.П. Станюковича. Тезисы докладов. М.: Изд-во РУДН, 2006, С. 30.

[4] Dvomikov P. V. Pseudo-Finsleriod effects in quantum field-theoretical processes // Gravitation & Cosmology - 2006. - №2-3. - P. 133-136.

Подписано к печати ЗО -Ю-ОА Тираж 10 О Заказ <67

Отпечатано в отделе оперативной печати физического факультета МГУ

Введение

1 Исходные определения и вычисления

1.1 Финслерова метрическая функция.

1.2 Картановский тензор, тензор кривизны, индикатриса.

1.3 Финслерова Гамильтонова функция.

1.4 Инвариантность финслеровой метрической функции.

1.5 Псевдофинслероидное релятивистское пространство.

1.6 ^-вращения.

1.7 Квазипсевдоевклидово преобразование.

1.8 Конформность.

1.9 Ортонормированные реперы.

1.10 Псевдофинслероидное обобщение преобразований Лоренца.

2 Псевдофинслероидная квантовая теория поля

2.1 Введение

2.2 Уравнения свободных скалярного, электромагнитного и спинорного полей

2.3 Квантование свободных полей.

2.4 Анализ скалярных волн и трактовка волнового вектора.

2.5 Псевдофинслероидное дисперсионное соотношение.

2.6 Причинная функция Грина.

2.7 Калибровочная теория поля и лагранжианы взаимодействия.

2.8 Построение 5-матрицы и правила Фейнмана.

2.9 Псевдофинслероидные поправки в выражениях для сечения рассеяния

2.10 Псевдофинслероидное обобщение уравнений поля Янга-Миллса.

2.11 Лагранжиан стандартной модели электрослабых взаимодействий в псевдофинслероидном пространстве.

2.12 Анализ модели сильных и электрослабых взаимодействий Вайнберга-Салама-Глешоу.

2.13 Анализ объединения сильной и электрослабой модели до группы SU (5)

3 Поправки в процессах квантовой теории поля

3.1 Введение

3.2 Эффект Комптона.

3.3 Рассеяние электрона на электроне.

3.4 Аннигиляция электрон-позитронной пары с образованием пары фотонов

3.5 Образование электрон-позитронной пары фотонами.

3.6 Рассеяние электрона на позитроне.

3.7 Распад мюона.

3.8 Рассеяние мюонного нейтрино на электроне.

3.9 Поправки, связанные с выбором системы отсчета.

Преобразования Лоренца и лоренц-инвариантность служат для обработки феноменологии высоких энергий и вывода уравнений фундаментальных физических полей. В частности, из релятивистской инвариантности действия по теореме Нетер получаются законы сохранения полного момента количества движения, а при инвариантности относительно группы Пуанкаре - еще и закон сохранения тензора энергии-импульса [1-6].

Релятивистская инвариантность прямо связана с геометрией пространства. Например, для плоского пространства Минковского метрическая функция остается инвариантной относительно б-параметрической группы преобразований Лоренца. Что произойдет с релятивистской инвариантностью при обобщении метрики?

Важной вехой в проверке справедливости преобразований Лоренца послужили работы Хаугана и Уилла [64] (1987 год) и Уилла [63] (1992 год). В этих работах предлагается выразить в точных числах степень согласия между следствиями специальной теории относительности и экспериментальными данными, а также оценить степень верности преобразований Лоренца. Преобразования Лоренца - это проявление геометрии пространства-времени. Для их проверки необходимо провести сравнение предсказаний обобщенной теории с соответствующими экспериментальными значениями и получить, ограничения на параметры, входящие в обобщенные преобразования. С этой целью в работах Уилла и Хаугана для оценок была использована MS-тестовая теория [41, 42, 43] (поправки к преобразованиям Лоренца с произвольными кинематическими параметрами). Поскольку ко времени появления этих работ была достаточно развита лазерная техника, настал момент установки определенных границ верности специальной теории относительности. Авторы теоретически проанализировали некоторые прецизионные эксперименты, а именно: измерение зависимости резонансной частоты атомного двухфотонно-го поглощения от вращения Земли (проверка изотропности доплеровско-го сдвига первого порядка) [66]; измерение (как функции поворота Земли) времени прохождения световых сигналов по оптоволоконной линии между двумя часами, работающими на основе водородных мазеров [74]; эксперименты с ротором Мессбауэра [75]. Также рассматривались эксперименты, проверяющие следствия общей теории относительности (измерение гравитационного красного смещения сигнала от ракеты [76, 77]). Понятно, что в последнем эксперименте обобщенные постлоренцевы поправки будут смешаны с релятивистскими гравитационными поправками. Для анализа таких экспериментов при феноменологическом подходе необходимо дополнить MS-теорией РР]М-формализм,.в значительной степени развитый Уиллом в 70-х годах [10].

Вместе с тем, был высказан ряд критических замечаний. Одно из них - MS-теория, на основании которой были получены оценки на постлоренцевы коэффициенты, является чисто кинематической, то есть оперирует соотношениями координат в различных системах отсчета. В процессе вычислений авторам приходилось делать некоторые дополнительные динамические предположения. Более того, как показано в работе Хаугана и Уилла [64], нарушение лоренц-инвариантности неустранимо ведет к изменению динамики линеек и часов, на которых основаны преобразования между инерциальными системами отсчета.

В последнее время также широко рассматривался вопрос о влиянии возможных нарушений лоренц-инвариантности на квантовые процессы. Теория с нарушенной инвариантностью используется, в частности, для оценки того, какие ограничения накладывают экспериментальные данные на эту инвариантность, то есть для нахождения верхней границы коэффициентов перед неинвариантными членами. Было предложено ([17, 64]) изменить коэффициент при квадрате магнитного поля в лагранжиане квантовой электродинамики:

В2 (1 + б)В2, где б - малый феноменологический параметр. В результате лагранжиан остается инвариантным относительно сдвигов и поворотов в выделенной системе отсчета, в других же системах инвариантность нарушается. Одним из эффектов такой модификации, как показано в [17], является отличие скорости света с, даваемой выражением с2 = 1+е, от максимально достижимой материальным телом скорости, которая остается прежней. Наличие выделенной системы отсчета тогда должно проявиться в анизотропности экспериментальных наблюдений. В такой теории высокоточные спектроскопические эксперименты, направленные на поиск анизотропии пространства [80], накладывают ограничение на отличия скорости света от максимально достижимой |1 — с2| = |б| < 6 • Ю-22. Производя дальнейшее развитие теории с модифицированным лагранжианом [17], авторы предсказывают такие эффекты, как распад фотона 7 е~+е+, распад мюона с излучением фотона ц e-f 7, запрещенный в стандартной модели электрослабых взаимодействий, и другие.

Еще одна обсуждаемая в литературе в последние годы возможность нарушения лоренц-инвариантности - это модификация дисперсионного соотношения [85, 82]

2 = р2 + m2 + где А имеет порядок планковской длины. Такой добавочный член предсказывается некоторыми вычислениями в квантовой теории гравитации [83, 86]. Эта модификация дисперсионного соотношения приводит к таким эффектам, как зависимость скорости света от энергии фотонов [82], которую, как ожидается, можно будет обнаружить при наблюдениях космических гамма-лучей [87]. Также модификация дисперсионного соотношения приводит к изменению порогов реакций взаимодействия высокоэнергетичных фотонов и протонов космических лучей с фотонами реликтового излучения, что позволяет объяснить отсутствие предсказанного обычной релятивистской физикой излома их наблюдаемого спектра [82, 85].

Однако при таком обобщении возникает ряд новых проблем. В частности, поправки должны проявляться на масштабах меньше планков-ских, но, поскольку длина не является инвариантной относительно преобразований Лоренца, масштабы длин для разных наблюдателей будут различны.

Рассмотрению различных способов обобщения квантовой теории поля способствовали также проблемы, связанные с ультрафиолетовыми расходимостями, присутствующие в псевдоевклидовой теории. Один из методов их решения - построение нелокальной квантовой теории поля. Однако при развитии таких теорий выяснилось, что не соблюдается принцип причинности для 5-матрицы. В дальнейшем был предложен новый класс релятивистски инвариантных формфакторов, а также методы их квантования. В этом направлении были доказаны причинность и унитарность получающейся 5-матрицы [45]. Ряд недостатков предложенных формфакторов, как показано в работах [51, 52], может быть устранен обобщением уравнения Шредингера для нелокальных взаимодействий.

Проводились построения квантовой теории поля и в искривленном импульсном пространстве. В работах [47-50] исследуется импульсное пространство постоянной кривизны с радиусом, равном некоторой предельной массе /2о, при этом в пределе цо оо теория должна переходить в обычную. Исследование свойств такого пространства показало, что обобщается закон сложения импульсов (в системе единиц (jlq = 1) согласно:

При этом получается, что новый закон некоммутативен:

Обобщение закона сложения импульсов естественным образом ведет к изменению закона сохранения энергии и импульса частиц в рассматриваемой теории. В частности, из него следует, что, как и в обычной теории свободная частица не может испустить бозон; с другой стороны, исследование процесса рассеяния бозона фермионом (например, эффекта Комптона) приводит к рассмотрению двух диаграмм Фейнмана, различающихся последовательностью испускания и поглощения бозона. Вследствие некоммутативности закона сложения импульсов эти две диаграммы, в отличие от обычной теории, при одинаковых начальных импульсах сталкивающихся частиц приводят к различным конечным состояниям. В случае эффекта Комптона для высоких энергий фотона предсказывается расщепление линии

ДсУ/о/ = тш/2, где tJ - энергия конечного фотона, и - энергия начального фотона, т -масса электрона.

Выбрав, исходя, с одной стороны, из принципа соответствия при малых значениях импульсов, и, с другой стороны, из условия постоянной кривизны импульсного пространства пропагаторы полей, авторам удалось получить обобщенные интегралы для фотонного и электронного собственно-энергетических операторов. Они оказываются сходящимися, что позволяет избежать ультрафиолетовой катастрофы.

Другая возможность возникновения нелокальностей связана с квантованием пространства-времени. Так, в работе [53] рассматривается квантовая теория поля, построенная на квантованном пространстве-времени, получаемом из трех основных принципов: коммутационные соотношения должны быть основаны на соотношениях неопределенности между различными координатами пространственно-временных событий; в пределе больших масштабов, когда характерные расстояния намного больше планковской длины, должно получаться обычное пространство-время; полная группа Пуанкаре должна являться группой симметрий используемого пространства-времени. Развитие такой теории приводит к тому, что коммутатор свободных полей на пространствен-ноподобных интервалах убывает как гауссовский. При таком подходе квантовая природа пространства-времени заменяет локальное взаимодействие характерным нелокальным эффективным взаимодействием в обычном пространстве Минковского. Возможно, это позволит сгладить ультрафиолетовые расходимости.

Также к нелокальным взаимодействиям приводит рассмотрение квантовой теории поля в искривленном пространстве. В работах [54, 55] предлагается применить каноническое построение квантовой теории поля, которое заключается в том, что выбор основных элементов теории должен быть каноническим (естественным), то есть должен включать в себя только структуру пространства-времени, даваемую метрикой. При таком рассмотрении появляются такие эффекты, как отсутствие рождения частиц, предсказываемого обычной теорией в искривленном пространстве, нарушение уравнения Клейна-Гордона. Кроме того, локальное изменение метрики приводит к релятивистски-гравитационной нелокальности, то есть динамическая величина р = (s,t), измеренная в некоторой точке s, зависит от метрики h(t) во всем трехмерном пространстве, а не только в s. Применение предложенной квантовой теории поля в космологии и при рассмотрении черных дыр позволяет автору снять проблему темной материи. При этом получаемые энергии частиц находятся в согласии с общей теорией относительности.

В работах [59, 60, 61] описывается стандартная релятивистская теория ускоренных систем отсчета в пространстве-времени Минковского. Ее построение мотивировано тем, что все реальные наблюдатели находятся в неинерциальных системах отсчета, тогда как, с другой стороны, результаты экспериментов трактуются с использованием плоского пространства Минковского. Поэтому следует установить связь неинерциальных систем отсчета с инерциальными. Построение и исследование нелокальных уравнений поля для случая электродинамики линейно ускоренных систем дает интересные результаты: нелокальность остается, даже когда ускорение выключается, то есть у системы есть "память" прошлого ускорения.

Вопрос о локальности или нелокальности квантовой теории поля остается на сегодняшний день открытым.

Наиболее последовательным способом нарушения лоренц-инвариантности и построения обобщенной квантовой теории поля является изменение геометрии пространства с последующим исследованием как кинематических, так и квантовых эффектов. Одним из метрических обобщений евклидовой геометрии является геометрия Финслера. За последние 30 лет появилось значительное количество работ, посвященных геометрии Финслера, в которых были обобщены многие свойства римановых пространств (см., например, [19, 20]). Релятивистская финслерова метрическая функция была предложена и использована Г.С. Асановым в серии работ [21-30]. Ближайший геометрический путь обобщения преобразований Лоренца, использующий идеи финслерова пространства - это замена лоренцевой инвариантности псевдоевклидовой метрической функции на требование инвариантности финслеровой метрической функции (ФМФ). Таким методом релятивистская ФМФ, названная впоследствии псевдофинслероидной, была впервые найдена в работе Г.С. Асанова [29] в 1995 г. При этом в теории возникает характерный параметр g, характеризующий степень отличия от псевдоевклидова пространства. Построенная финслерова метрическая функция F(g;T,X,Y,Z) обладает следующими замечательными свойствами:

1) Поверхность индикатрисы Тд, определяемой уравнением

FfoT,X,Y,Z) = 1 является пространством постоянной отрицательной кривизны.

2) Финслерова метрическая функция сохраняет изотропность (сферическую симметричность) трехмерного подпространства (собственно пространства).

3) Получаемый финслеров метрический тензор обладает псевдоевклидовой сигнатурой пространства-времени (+ —--).

4) Выполняется принцип соответствия: при обращении финслерова характерного параметра д в ноль финслеров метрический тензор переходит в псевдоевклидов тензор Минковского.

Эти четыре условия однозначно определяют явный вид псевдофин-слероидной метрической функции.

Первая глава посвящена обзору основных свойств финслерова пространства (разделы 1.1-1.4), а также свойств псевдофинслероидной метрической функции (разделы 1.5-1.10). После вводных разделов 1.1 и 1.2, в разделе 1.3 определена финслерова функция Гамильтона (ФФГ). В разделе 1.4 вводятся понятия финслеровой инвариантности и метричности преобразований. В разделе 1.5, следуя работам Г.С. Асанова [21-30], описывается псевдофинслероидное релятивистское пространство. Приведен явный вид псевдофинслероидных метрической и гамильтоновой функций, а также основных геометрических объектов: финслерова метрического тензора, картановского тензора кручения и тензора кривизны. Из вида последнего тензора можно сделать вывод, что финслерово релятивистское пространство является пространством постоянной отрицательной кривизны. В разделе 1.6 мы кратко описываем финслеро-вы ^"-вращения. Преобразование называется Т-вращением, если ФМФ остается инвариантной относительно такого преобразования:

F(R) = F(R), когда R = T(R).

Принципиальное отличие этой инвариантности от обычной релятивистской теории в том, что финслеровы ^-вращения являются, вообще говоря, нелинейными преобразованиями. В них входят две очевидные подгруппы линейных преобразований, а именно: трехмерные вращения и бусты.

В следующем разделе мы выписываем формулы и основные следствия квазипсевдоевклидова преобразования и конформного отображения в псевдофинслероидном пространстве, широко используемые в настоящей диссертации. Кроме того, в разделе 1.9 мы приводим выражения для псевдофинслероидных ортонормированных реперов и коэффициентов вращения Риччи, необходимые для построения уравнений и лагранжианов спинориых полей.

Заключение

В настоящей работе мы провели исследование возможности псевдофинслероидного обобщения квантовой теории поля. На защиту выносятся следующие результаты:

1. Построены лагранжианы для квантовой электродинамики и стандартной модели электрослабых взаимодействий в псевдофинслероидном пространстве.

2. Предложен способ вычисления псевдофинслероидных поправок в выражениях для сечений рассеяния квантовых процессов.

3. Найдены псевдофинслероидные поправки для ряда процессов, описываемых в рамках квантовой электродинамики и стандартной модели электрослабых взаимодействий. Показано, что все полученные поправки имеют порядок малости 0(g) или меньше.

4. Из анализа экспериментов найдено ограничение на псевдофин-слероидный характерный параметр д < Ю-4.

В заключение, хочу выразить благодарность моему научному руководителю,' доктору физико-математических наук, профессору Юрию Владимировичу Грацу за прекрасное руководство в течение многих лет моего обучения. Также хочу поблагодарить кандидата физико-математических наук, старшего научного сотрудника кафедры теоретической физики Геннадия Семеновича Асанова за неоценимую поддержку в научной работе и ценные дискуссии по теме диссертации. Благодарю всех преподавателей и сотрудников кафедры теоретической физики физического факультета МГУ за внимание ко мне и моей научной теме.

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая электродинамика.- М.: Физматлит, 2002.

2. Славное А.А., Фаддеев Л.Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей.- М.: Наука, 1988.

3. Birrel N.D., Davis P.C.W. Quantum fields in curved space time Cambridge: Cambridge University Press, 1982.

4. Боголюбов H.H., Ширков Д.В. Квантовые поля М.: Наука, 1993. Газиорович С. Физика элементарных частиц - М.: Наука, 1969. Ченг Т.-П., Ли Л.-Ф. Калибровочные теории в физике элементарных частиц-М.: Мир, 1987.

5. Петров А.З. Новые методы в общей теории относительности М.: Наука, 1966.

6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля М.: Наука, 1988.

7. Уилл К. Теория и эксперимент в гравитационной физике.- М.: Энергоиздат, 1982.

8. Дубровин Б.А., Новиков С.Н., Фоменко А.Т. Современная геометрия.- М.: УРСС, 1999.

9. Принципотпосшелъпостя /под ред. A.A. Тяпкина M.: Атомиздат, 1973. Asanov G.S. Finsler Geometry, Relativity and Gauge Theories - Dordrecht: D. Reidel Publ. Сотр., 1985.

10. Рунд X. Дифференциальная геометрия финслеровых пространств.- М.: Наука, 1981.

11. Асанов Г.С. Финслероидная геометрия М.: Издательство МГУ, 2004. Асанов Г.С. Финслерово обобщение преобразований Лоренца // Вестник Московского Университета, Физика, Астрономия- 1995 - 35 (4).- С. 7.

12. Asanov G.S. Finslerian extension of Lorentz transformations // Reports on Math. Phys- 1998 42- P. 273-296.

13. Asanov G.S. Can Neutrinos and High-Energy Particles Test Finsler Metric of Space-Time? // arXiv: hep-ph/0009305.

14. Asanov G.S. Finsleroids Reflect Future-Past Asymmetry of Space-Time // arXiv: math-ph/0012028.

15. Asanov G.S. Finslerian Anisotropic Relativistic Metric Function Obtainable under

16. Breakdown of Rotational Symmetry // arXiv: gr-qc/0204070.

17. Asanov G.S. Finslerian Extension of Lorentz Transformations and First-Order

18. Censorship Theorem // Found. Phys. Lett 2002 - 15 - P. 199-207, arXiv: grqc/0207089.

19. Asanov G.S. Finslerian Post-Lorentzian Kinematic Transformations in Anisotropic-Space Case // arXiv: gr-qc/0207117.

20. Asanov G.S. Finsler cases of GF-space // Aequationes Mathematicae- 1995 49-P. 234-251.

21. Dvornikov P. V. Pseudo-Finsleroid Corrections to Electron Scattering Cross Sections // Rus. Phys. J 2005 - 48 - P. 839-847.

22. Дворников П.В. Псевдофинслероидные поправки в процессах аннигиляции // Вестник Московского Университета, Физика, Астрономия- 2006.- №4 С. 1316.

23. Dvornikov P.V. Pseudo-Finsleriod effects in quantum field-theoretical processes // Grav. & Cosmol- 2006.- №2-3 P. 133-136.

24. Nielsen H.B., Picek I. Lorentz non-invariance // Nucl. Phys- 1983,- B211.-P. 269-296.

25. Chanda S., Nielsen H.B. Lorentz invariance as a low energy phenomenon // Nucl. Phys.- 1983.- B217 P. 125-144.

26. Mansouri R., Sexl R. U. A Test Theory of Special Relativity: III. Second-Order Tests // Gen. Rel. Grav.- 1977 8.- P. 809-814.

27. Zhang Y.Z. Test Theories of Special Relativity // Gen. Rel. Grav 1995 - 27-P. 475-493.

28. Ефимов Г.В. Нелокальные взаимодействия квантованных полей.- М.: Наука, 1977.

29. Snyder H.S. Quantized Space-Time // Phys. Rev 1947 - 71- P. 38-41. Голъфанд Ю.А. О введении "элементарной длины" в релятивистскую теорию элементарных частиц // ЖЭТФ- 1959.- 37 - С. 504-509.

30. Голъфанд Ю.А. Квантовая теория поля в р-пространстве постоянной кривизны // ЖЭТФ- 1962.- 43 С. 255-267.

31. Кадышевский В.Г. О различных параметризациях в теории квантованного пространства-времени // Доклады АН СССР- 1962 147 - С. 588-591.

32. Тамм И.Е., Вологодский В.Б. Об использовании кривого импульсного пространства при построении нелокальной квантовой теории поля // Труды ФИ-АН СССР- 1972.- 57.- С. 5.

33. Gainutdinov R.K. Nonlocal Interactions and Quantum Dynamics // J. Phys. A-1999 32 - P. 5657-5677, arXiv: quant-ph/0106110.

34. Georgiades N.P., Polzik E.S., Edamatsu K., Kimble H.J., Parkins A.S. Nonclassi-cal Excitation for Atoms in a Squeezed Vacuum // Phys. Rev. Lett 1995 - 75-P. 3426-3429.

35. Mashhoon B. Vacuum Electrodynamics of Accelerated Systems: Nonlocal Maxwell's Equations // Annalen Phys 2003- 12 - P. 586-598, arXiv: hep-th/0309124.

36. Chen H., Zheng H. Q. Canonical Formalism for Lagrangians of Maximal Nonlocality // arXiv: hep-th/0308183.

37. Will C.M. Clock synchronization and isotropy of the one-way speed of light // Phys. Rev. D- 1992 45.- P. 403-411.

38. Haugan M.P., Will C.M. Modern tests of special relativity // Physics Today-1987.- 40.- P. 69-76.

39. McGowan R. W., Giltner D.M., Sternberg S.J., Lee S.A. New Measurement of the Relativistic Doppler Shift in Neon // Phys. Rev. Lett 1993 - 70 - P. 251-254.

40. Brillet A., Hall J.L. Improved Laser Test of the Isotropy of Space // Phys. Rev. Lett.- 1979 42.- P. 549-552.

41. Jaseja T.S., Javan A., Murray J., Townes C.H. Test of Special Relativity or of the Isotropy of Space by Use of Infrared Masers // Phys. Rev 1964 - 133-P. A1221-A1225.

42. Joos G. Improved Test of the Isotropy of Space // Ann. Phys 1930 - 7 - P. 385. Hils D., Hall J.L. Improved Kennedy-Thorndike Experiment to Test Special Relativity // Phys. Rev. Lett - 1990 - 64 - P. 1697-1700.

43. Vessot R.F.C., Levine M.W. A Test of the Equivalence Principle Using a Space-Borne Clock // Gen. Rel. Grav 1979 - 10 - P. 181-204.

44. Vessot R.F.C., Levine M.W. et al Test of Relativistic Gravitation with a Space-Borne Hydrogen Maser // Phys. Rev. Lett 1980 - 45- P. 2081-2084. Zee A. Perhaps proton decay violates Lorentz invariance // Phys. Rev. D- 1982.25- P. 1864-1866.

45. Sato H. Extremely High Energy and Violation of Lorentz Invariance // arXiv: astro-ph/0005218.

46. Ellis J., Mavromatos N.E., Nanopoulos D. V. Space-Time Foam Effects on Particle Interactions and the GZK Cutoff // Phys. Rev. D- 2001- 63 P. 124025, arXiv: hep-th/0012216.

47. Ellis J., Farakos K., Mavromatos N.E., Mitsou V.A., Nanopoulos D.V. Astrophys-ical Probes of the Constancy of the Velocity of Light // Astrophys. J- 2000 535-P. 139-151, arXiv: astro-ph/9907340.

48. Fixsen D.J., Cheng E.S., Wilkinson D.T. Large-Scale Anisotropy in the 2.7-K Radiation with a Balloon-Borne Maser Radiometer at 24.5 GHz // Phys. Rev. Lett.- 1983 50.- P. 620-622.

49. Eidelman S. et al. Review of Particle Physics // Phys. Lett. B- 2004 592 - P. 1. Bennet C.L. et al. First-Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) Observations: Preliminary Maps and Basic Results // Astrophys. J. Supp - 2003.148 - P. 1-28.

50. Laporta S., Remidi E. The analytical value of the electron (g — 2) at order a3 in QED // arXiv: hep-ph/9602417.

51. Kinoshita Т., Lindquist W.B. Eighth-Order Anomalous Magnetic Moment of the Electron // Phys. Rev. Lett 1981- 47 - P. 1573-1576.

52. Van Dyck R.S., Schwinberg P.В., Dehmelt H.G. New High Precision Comparison of Electron and Positron g Factors // Phys. Rev. Lett 1987 - 59- P. 26-29.

53. De Rafael E. The Muon g- 2 Revisited // arXiv: hep-ph/0208251.

54. Davier M., Eidelman S., Hocker A., Zhang Z. Confronting Spectral Functions from e+e~ Annihilation and r Decays: Consequences for the Muon Magnetic Moment // Eur. Phys. J. C- 2003.- 27 P. 497-521, arXiv: hep-ph/0208177.

55. Bennet G.W. et al. Measurement of the Positive Muon Anomalous Magnetic Moment to 0.7 ppm // Phys. Rev. Lett 2002 - 89 - P. 101804, arXiv: hep-ex/0208001.

56. Barber W.C., O'Neil G.K., Gittelman В., Richter В. Test of Quantum Electrodynamics by Electron-Electron Scattering // Phys. Rev. D- 1971- 3 P. 2796-2800.

57. Abbiendi G. et al. OPAL Collaboration] Precision Luminosity for Z° Lineshape Measurements with a Silicon-Tungsten Calorimeter // Eur. Phys. J 2000 - C14-P. 373-425, arXiv: hep-ex/9910066.

58. Abbiendi G. et al. OPAL Collaboration] Measurement of the running of the QED coupling in small-angle Bhabha scattering at LEP // Eur. Phys. J 2006 - C45-P. 1-21, arXiv: hep-ex/0505072.

59. Acciarri M. et al. L3 Collaboration] Measurement of the running of the fine-structure constant // Phys. Lett 2000 - B476 - P. 40-48, arXiv: hep-ex/0002035.

60. Achard P. et al. L3 Collaboration] Measurement of the Running of the Electromagnetic Coupling at Large Momentum-Transfer at LEP // Phys. Lett 2005-B623 - P. 26-36, arXiv: hep-ex/0507078.