Пунктуальные схемы Гильберта малой длины в размерностях 2 и 3 тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Схемы Гильберта точек

§1. Общие сведения о схемах Гильберта

§2. Пунктуальные схемы Гильберта

§3. Многообразие полных пунктуальных флагов X^

Глава 2. Пунктуальная схема Гильберта длины 5 на поверхности

§1. Пунктуальная схема Гильберта 0) и многообразие полных пунктуальных флагов длины

§2. Основное вычисление

§3. Описание бирационального морфизма забывания и : —>• #5(0)

Глава 3. Пунктуальная схема Гильберта длины 3 в пространстве

§1. Предварительные вычисления

§2. Описание схемы Яз(0) и многообразия полных пунктуальных флагов Х

Глава 4. Пунктуальная схема Гильберта длины 4 в пространстве

§1. Предварительные вычисления

§2. Многообразие Х4 полных пунктуальных флагов длины <

§3. Морфизм забывания а : X5 —> Щ(0)

Актуальность темы. Цели работы. Исследования по схемам Гильберта точек на алгебраических многообразиях занимают одно из важных мест в современной алгебраической геометрии, и в течение последних трех десятилетий поток .работ в этом направлении непрерывно нарастает. Это вызвано с одной стороны богатой геометрией этих многообразий, а с другой многочисленными приложениями как внутри самой алгебраической геометрии, так и в целом ряде смежных областей математики. Особый интерес при этом представляют так называемые пунктуальные схемы Гильберта, играющие ключевую роль в географии и геометрии обычных схем Гильберта точек. Под пунктуальной схемой Гильберта длины d на гладком r-мерном алгебраическом многообразии понимается схема Гильберта Hd(0) = HilbdSpecк[[хъ . -]]red (обозначаемая также для краткости Hilbd к[[х 1,., жг]]), параметризующая 0-мерные подсхемы длины d с носителем в фиксированной точке 0 этого многообразия. Исследование общих свойств схем ДДО), начатое в работах Бриансона [2], Ярробино [11], Грангера [6] и других, в настоящее время представлено довольно большим списком работ (см., например, обзорные статьи [8],[9]). Однако уже для малых размерностей г = 2 и 3 точное бирегулярное описание этих схем было известно только в тривиальных случаях d = 1 и 2, а также в первых нетривиальных случаях d = 3 и 4 в случае размерности г = 2 (см. [16]).

Целью настоящей диссертации является рассмотрение следующего случая d = 5 в размерности 2 и двух первых нетривиальных случаев d = 3 и 4 в размерности 3. В этих случаях детально исследуется бирегулярная геометрия схем #<¿(0) и их естественная десингуля-ризация многообразиями полных пунктуальных флагов.

Методы работы и научная новизна. Основной метод исследования состоит в том, что схема Z^ с носителем в точке 0 получается из схемы операцией "добавления точки" 0, выражаемой на схемном языке точной тройкой 0 —>• к{0) —> Ozd —> —>■ 0; при этом всевозможные такие расширения, классифицируемые соответствующими Ext-группами, дают описание пунктуальных схем Гильберта 0). В работе также используется техника универсальных семейств над схемами Гильберта, позволяющая описывать базы семейств универсальных флагов расширений описанного типа как последовательные проективизации относительных Ext -пучков. При этом для существования глобальных 3 семейств оказывается важным свойство локальной свободы этих Ext -пучков. Доказательство этого свойства в рассматриваемых случаях d = 5 при г — 2 и d = 3,4 при г = 3 составляет основную техническую трудность настоящего исследования и использует конкретную геометрию пунктуальных схем Гильберта. По-видимому, свойство локальной свободы этих относительных Ext -пучков нарушается при больших значениях d.

Результаты диссертации являются новыми.

Практическая и теоретическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы при изучении геометрии пунктуальных схем Гильберта произвольной длины в малых размерностях, в частности, длины d > 6 в размерности 2 и длины d > 5 в размерности 3, а также геометрии многообразий полных пунктуальных флагов 0-мерных подсхем. Кроме того, развиваемый в работе метод последовательного присоединения точек может быть применен для исследования географии обычных схем Гильберта точек HilbdX в размерности 3, т.е. для нахождения неприводимых компонент схем HilbdX при больших значениях d и вычисления их размерностей.

Апробация. Результаты диссертации докладывались на семинаре по алгебраической геометрии при кафедре алгебры Ярославского государственого педагогического университета, а также на конференции молодых ученых г. Ярославля в 1998 и 1999 гг.

Публикации. Результаты диссертации изложены в двух печатных и двух депонированных статьях [17 - 20].

Структура работы. Диссертация изложена на 55 страницах и состоит из настоящего введения, четырех глав и списка литературы, содержащего 20 наименований.

Дадим теперь краткий обзор содержания диссертации по главам.

1. BäNicä С., Putin ar M., Schumacher G. Variation der globalen Ext and Deformationen kompakter komplexen Räume. // Math. Ann. 250(1980), P.135-155.

2. Briançon J. Description de HilbnC{x, y}. // Invent. Math. 41(1977), P.45-89.

3. Briançon J., Iarrobino A. Dimension of the punctual Hilbert scheme. // Journal of Algebra 55(1978), 536-544.

4. Drezet M., Le Potier J. Fibres stables et fibrés exceptionnels sur P2. // Ann. scient. Éc. Norm. Sup., 4 série, 1.18(1985), P.193-244.

5. Fogarty J. Algebraic families on an algebraic surface. // Amer. J. Math. 90(1968), 511-521.

6. Granger M. Géométrie de schémas de Hilbert ponctuels. // Memoire Soc. Math. France, Nouv. sér. n°9/10, t.lll, Fasc.3(1981), P.l-84.

7. Grothendieck A. Techniques de construction et théorèmes d'existence en géométrie algébrique, IV: les schémas de Hilbert. Sem. Bourbaki 221(1960).

8. Iarrobino A. Compressed algebras and components of the punctual Hilbert scheme. Sitges 1983, Lecture Notes in Math., 1124(1985), P.146-165.

9. Iarrobino A. Hilbert schemes of points: overview of last ten years. Proc. of AMS Symp. in Pure Math. (Algebraic Geometry, Bowdoin, 1985), v.46(1987), P.297-320.

10. Iarrobino A. Number of generic singularities. Rice Univ. Stud. 59(1972), 49-52.

11. Iarrobino A. Punctual Hilbert schemes. // Memoires of the Amer. Math. Society, vol.10, №188, 1977.

12. Iarrobino A. Reducibility of the families of 0-dimensional schemes on a variety. // Invent. Math. 15(1972), 72 77.

13. Iarrobino A., Emsalem J. Some zero-dimensional generic singularities: finite algebras having small tangent space. // Compositio Math. 36(1978), 84-92.

14. Matsumura H. Commutative algebra. Benjamin, NY, 1970.54

15. Mumford D., Fogarty J., Kirwan F. Geometric invariant theory. Springer-ferlag, 1994.

16. Тихомиров A.C. Гладкая модель пунктуальных схем Гильберта поверхности, "руды Матем. института РАН, 1995, т.208, С.318-334.

17. Тихомиров С. А. Пунктуальные схемы Гильберта малой длины в размерностях и 3. // Мат. Заметки, 1999 (принято к печати).

18. Тихомиров С.А. Пунктуальная схема Гильберта длины 3 в пространстве. Те-исы докладов 6-й конференции молодых ученых, ЯГПУ, Ярославль, 1998, С. 405-408.

19. Тихомиров С.А. Пунктуальные схемы Гильберта длины 3 и 4 в пространстве, росл. гос. пед. ун-т. Ярославль, 1999. - 22 с. Рус. Деп. в ВИНИТИ, 04.06.99, П813 - В99.

20. Тихомиров С.А. Пунктуальная схема Гильберта длины 5 на алгебраической оверхности. Яросл. гос. пед. ун-т. Ярославль, 1999. - 11 с. Рус. Деп. в ;ИНИТИ, 06.10.99, №2995 - В99.