Расчет динамических характеристик структурно-неоднородных оболочек тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ТУЛЬСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

На правах рукописи

ШЕНГЕЛИЯ Андро Шалвович

РАСЧЕТ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СТРУКТУРНО-НЕОДНОРОДНЫХ ОБОЛОЧЕК

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого

твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой

степени кандидата технических наук

Тула - 1992

Работа выполнена в

Грузинском техническом университете.

Научный руководитель: кандидат технических наук, профессор

ДАНЕЛИЯ Д.К.;

Научный консультант: кандидат технических наук, доцент

ПУЕЕЛИДЗЕ З.Б.

Официальные оппоненты: доктор технических неук, профессор

БРИГАДИРОВ Г.В.;

кандидат технических наук БУЗОВКИН Е.А.

Ведущее предприятие: Московский институт инженеров транспорта.

Защита состоится 16 июня 1992 г. в 14-00 на заседании специализированного совета К 063.47.03 Тульского ордена Трудового Красного Знамени политехнического института (300600, г.Тула, проспект им.Ленина,92, 9-101).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тульского политехнического института.

Автореферат разослан мая 1592 г.

Ученый секретарь специализиро-эанного совета к.ф.-м.н.,доц.

В.И.Желтков

' | ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

.'.'■£1—¿^Актуальность работы. Одной из основных задач, решаемых при проектировании тошосТешгых конструкций, является задача оценки их динамических характеристик, а такие анализа параметров колебательных процессов. Это относится прежде всего к конструкциям, для которых вибрации неизбежны в процессе функционирования или опасны в определенном диапазоне частот. Такие задачи характерны для авиационной, ракетно-космической техники, судостроения, транспорта, а также при проектировании сейсмостойких сооружкий.

Все более широкое применение в таких конструкциях находят полимерные материалы и композиты на их основе. Конструкции, изготовленные из композиционных материалов, имеют в своем со-' ставе наборы упругих и вязкоупругих демпфирутаих элементов, обладающих различными реологическими свойствами, разнообразные устройства для закрепления и могут быть квалифицированы как структурно-неоднородные системы. В то же время задача прогнозирования поведения этого класса конструкция, особенно при динамических внешних воздействиях, в настоящее время далека от завершения. Известные аналитические методы позволяют решать .только ограниченный круг задач для тонкостенных тел простой геометрической формы, что не может удовлетворить потребностей современной практики проектирования. Применение численных методов, ориентированных на современше ЭЦВМ, позволяет строить алгоритмы и программы, реализующие расчеты без иэлииней геометрической идеализации, учитывать реальные условия работы конструкции, специфические свойства (ползучесть и релаксацию) элементов конструкции и, в конечном счете, сделать научно обоснованный выбор ее параметров. Это позволяет, в конечном счете, существенно сократить время проектирования конструкции и затраты на ее экспериментальную обработку.

В связи с этим разработка, реализация на ЭЦБМ, внедрение в практику инженерных расчетов эффективных численных методов анализа поведения структурно-неоднородных оболочек является актуальной задачей механики деформируемого твердого тела.

Цель работы. Разработка эффективных методов, алгоритмов и програ^:.! численного определения динамических характеристик структурно-неоднородных оболочек с вязкоупругкми слоями..

Автор защищает: соотношения конечноэлементной модели нелинейного деформирования оболочек, учитывающей изменение метрики по толщине и инерцию вращения при решении динамических задач;

. - алгоритмы и программы расчета собственных форм и частот колебаний и построения амплитудно-частотных характеристик многослойных структурно-неоднородных оболочек;

- решение ряда новых задач о динамическом поведении тонкостенных многослойных тел с упругими и вязкоупругими свойствами.

Научная новизна. Предложены оригинальные соотношения геометрически нелинейной теории динамического изгиба многослойных оболочек, учитывающие изменение метрики по толщине, в том числе и внутри каждого слоя, и инерции поворота. Сформулированы и реализованы эффективные алгоритмы решения динамических задач: определения собственных частот и форм колебаний, построения амплитудно-частотных характеристик многослойных оболочек как для упругих, так и наследственно-вязкоупругих материалов отдельных слоев. Выявлены ограничения на параметры ядра Колтунова-Ржаницына, вытекающие из параметрического анализа колебаний.

Достоверность научных положений и выводов обоснована сопоставлением результатов численных экспериментов с известными аналитическими решениями.

Практическая ценность результатов диссертации заключается в реализации на ЕС ЭВМ проблемно-ориентированного пакета прикладных программ, инвариантных относительно вида координатной поверхности оболочек, структуры и реологических свойств слоев, характера гармонического возбуждения, решении ряда практических задач определения собственных форм и частот колебаний для реальных конструкций, формулировке рекомендаций по интенсификации диссипатизних процессов в проектируемых элементах конструкций.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на ежегодных научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава Грузинского технического университета (г.Тбилиси, 1590...1592 г.), на семинаре по механике деформируемого твердого тела Тульского политехнического института (г.Тула, 1992 г.).

Публикации. По результатам исследований опубликовано две работы, отражающие содержание диссертации. . ■

Структура и объем работы. Диссертация состоит из предисловия, введения, четырех разделов, заключения и списка цитированной литературы. Объем работы: 66 страниц машинописного текста, 13 таблиц, 35 рисунков, список литературных источников из III наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Предисловие содержит обоснование актуальности теш диссертации .

Во введении (раздел I) приводится обзор методов решения краевых задач теории оболочек, формулируется цель и методи исследования, кратко описан круг вопросов, изложенных в диссертации.

Во втором разделе приводятся соотношения конечно-элементной модели нелинейного деформирования оболочек. Рассмотрение ведется в системе криволинейных координат d. , oLz , Z , образующих правую тройку, причем oL( , dx - гауссовы координаты поверхности, Z - координата нормали (рис.1).

Клэффициенты Ламэ этой системы

HL-Ai(<->■ kiZl < = /,, »i-i Ш '

где - коэффициенты Ламэ координатной поверхности ,Ыя , - ее главные кривизны.

Принимаются гипотезы Кирхгофа-Лява для всего пакета в целом, откуда получаются выражения для углов поворота нормали . ' ш

и перемещений точки, отстоящей на расстоянии F от координатной поверхности 2 =0:

IT. (г) ~ и+ Z в, , 4 2, U3 = iO-, (3)

Для ненулевых компонент деформации с учетом метрики (I) имеем: у

V + ТТиГг^^К), (4)

где

V- v+K к«-А ü;M)

„ - jL M< . ш = -L- M

Соотношении между напряжениям;! и деформациями представляются в виде:

« а<, ff« + <*<z сп ' би + С fe £);

(6)

где - постоянные материала, ^ - температурные, Qj _ на_ чальные напряжения. Усилия и моменты, приведенные к координатной поверхности 2 =0, определяются интегрированием по толщине пакета:

т = jet(4*k,*)d*; ТК^Ч2^«;

'« х и (7)

Вместо уравнений равновесия используем вариационный принцип Лагранжа с учетом инерционных сил:

KiV/ldJI' 4 (8)

А А

где

£ - {^i ^гКм £i( К„ Кг,J - вектор деформации;

^22 М22 t МгЛ - вектор, обобщенных усилий; /а (4>к<ж)(4*клш)*.{.^ £ т£ «¿J

вектор обобщенной поверхностной нагрузки;

jmTpfMzW*VVi ?{?«

вектор обобщенной нагрузки, причем , ^ приведены к координатной поверхности; р* - поверхностные нагрузки, приложенные к поверхности г'гЧ,«*), £ - вектор кассовой силы, С^*] -матрица направляющих косинусов сопутствующего трехгранника поверхности Zj ,

сим». V»)

„I»)

выражается через вектор перемеще-

1^0010} 1?]= О 1 0 0 2- } [Вр]= О Р т

О О < О 0 £«> § о р"

о У"О о Г

Вариация деформации ний $и в матричной форме:

\ [Ъл(8Я)'8и, (9)

где и*(и1ихигб1 в1) , а матрицы СВ] и [6Я] выражают линейную и нелинейную части форк^ул (4)> (5). Окончательное выражение вариационного принципа (8) имеет вид

53&Т(гВ1Т*[Вя(9)0[сшЪ} <■ с8лШ0М.*

I 1 * (10)

= о.

А

Здесь второй интеграл есть следствие начальных и температурных напряжений, ^ - суммарный вектор обобщенной нагрузки.

Рассматривая состояние, смежное с основным, но отличающееся от него малыми дополнительными перемещениями У, , так, что

гренебрегал слагаемым вида [ Н , получим линеаризованное вариационное уравнение для смежного состояния:

л *

где

(И)

о о о о о

о о о о о

о о о

к к

.0 о о

Т.^Х

(12)

Ъ>к2Нг: ТЛ-К.МД

Вектор 7)* определен дополнительным температурным воздействием.

На основании (10), (II) можно сформулировать конечноэлемент-ные модели динамики оболочки.

Разобьем координатную поверхность на непересекающиеся части - конечные элементы и введем аппроксимацию

й^нН^пй, (13)

где I^ = {^»Чь ••■ - вектор узловых перемещений,

Ук = {и4г, игк, Ч, - вектор перемещения к -го узла.

Применяя обычную конечноэлементную процедуру, из (10), (II) и (13) легко получить разрешающие матричные уравнения движения для всей оболочки в основном состоянии:

[И1г ♦ ск4а)]г (14)

или для смежного с основным состояния:

[Жл, + (гкгё.)1*СКв<7ЭД)д<>- (15)

Здесь -3,2,- векторы узловых перемещений. Исходя из (14), (15) сформулированы основные задачи статики и динамики многослойных оболочек:

1. Геометрически нелинейная деформация

В системе (14) пренебрегаем ускорениями л *, после линеаризации в окрестности искомого состояния имеем, в соответствии с методом Ньютона-Рафсона, итерационную процедуру:

(Ша„)1 * [ Ке/Ы1) ¿¿к ** - С , {16)

2. Линейная деформация при гармоническом нагружении

Если дополнительная нагрузка есть гармонические функции времени, то вектор Р в (15) принимает вид

ё г 4/я а)л?: (17)

где - действительная круговая частота возбуждения. Решение системы (15) ищем в виде:

. (16)

где & а - вектор динамических амплитуд, в общем случае комплексный. Из (15), (17), (18) получаем систему уравнений относительно амплитуд узловых перемещений: _

. (1к{ё.)]*1*в(%)1) (19)

3. Собственные колебания

В этой задаче вектор' Я товдественно раврн цулю. Ее решение будем искать в виде: .

А = (20) '

где ь)й + 1сдг - в общем случае комплексная частота колебаний, причем есть частота собственных колебаний, - коэффициент демпфирования. Из (15) и' (20) получаем систему однородных линейных алгебраических уравнений:

([КШ] * 1Кв(%)] - ])аы»0. (21)

4. Динамическое нагружение

Система (14) приводится к виду:

2 =[МГ4Г(?) - ГМГГК^Л)]2; (22)

аналогично из (15) имеем:

я с (23)

Интегрируя при начальных условиях й(о)"Д, л(0)'л ^ определяем из (14) характеристики НДС оболочки, а из (15) - то же для дополнительного состояния.

5. Устойчивость

Критическую (по Эйлеру) нагрузку определим как наименьшее ее значение, при котором становятся возможными смежные формы равновесия, отличные от основной. Решение этой задачи сводится к отыскании такта значений /V и 9* , при которых однородное уравнение,.соответствующее (15),

■ • СГК(1)1* {«е№>1)* я0 (24)

имеет ненулевое решение.

В третьем разделе приведены исследования эффектов, связанных с применением уточненной теории оболочки путем решения ряда контрольных задач, имеющих аналитическое решение в традиционной постановке. Исследовались два варианта модели:

- учет только изменения метрики по толщине;

- учет изменения метрики по- толщине и дополнительно нелинейных слагаемых в кривизнах.

1, Длинный толстостенный цилиндр с радиусом Л , толщиной Н , нагруженный давлением ^ .

Были проведены расчеты при Я = 100 мм, = 10 МПа для с значений Ь- = 10...40 мм. Наибольшая погрешность расчетов по модели I составила 5,15 % при ^ = 40 мм; для малых толщин порядка 0,17? , погрешность пренебрежимо• мала (в пределах .0,1.. .0,2 %).

2. Тороидальная оболочка под внутренним давлением

Рассматривалось нагружение тороидальной оболочки круглого

поперечного сечения (рис.2) с с£ = ЮО мм, о = 50 мм, /г. = 4 мм,

В = 2 • М5 МПа. = 0,3 давлением £ = 2,4 МПа. ■

Вычислялась интенсивность напряжений

5 - / > с - * . (25)

Установлено, что погрешность вычислений по модели I оказалась в пределах 4 % по сравнению с расчетом по линейной теории.

3. Цилиндрическая оболочка при осевом сжатии

Рассматривалась цилиндрическая оболочка радиуса /? = 200 мм,

толщиной Л = 4 мм, длиной = 300 мм, из материала с модулем Юнга £ = 2-Ю6 МПа и ^ = 0,3, шарлирно опертая при » = 0 й нагруженная осевой силой Т„ = иг • 240 МПа при X = Ь . Сравнивались значения угла поворота в опоре, вычисленные по линейной модели и модели 3 (результаты расчетов по моделям 2 и 3 совпадают, так как в этом случае kt <= 0). Погрешность расчета лежала в пределах 1...1.7 % для = 0,7.. ,0,95. На рис.3 показано поведение поперечного перемещения по длине для линейной (кривая 2) и нелинейной (кривая I) моделей.

4. Полусферическая оболочка при внешнем давлении

Рассматривалась полусферическая оболочка с радиусом Л =

= 200 мм, толщиной >1=2 мм, из материала с £ = МПа, =

= 0,3, шарнирно опертая по контуру и нагруженная внешним давлением <2 = »24 МПа. Сравнивались значения угла поворота в шарнирной опоре, вычисленные по моделям I и 2 (расчет по линейной теории совпадает, с моделью I, так как в этом случае = = кг . Расхождения между значениями составило 0,23...1,29 % для = 0,7...0,95. На рис.4 приведено изменение поперечных перемещений вдоль меридиана при = 0,95 по линейной (кривая 2) и нелинейной (кривая I) модели.

Из проделанных расчетов и рис.2, 3, 4 ясно, что учет изменения метрики по толщине дает более существенные поправки к линейному решению, чем учет нелинейных слагаемых. Существенное отличие в характере деформирования оболочек при использовании уточненных теорий по сравнению с линейной теорией позволяет рекомендовать именно эти теории для анализа форм и собственных колебаний структурно-неоднородных оболочек.

В четвертом разделе рассмотрены алгоритмы построения амплитудно-частотных характеристик и форм и частот собственных колебаний структурно-неоднородных оболочек. В первой задаче использована постановка (20) —(21) при 9„ - О ,. • О ;

(1X1 - и\1М1)лы = ¡ь, (26)

мер, = I.

Амплитудно-частотные характеристики структурно-неоднородных оболочек строятся путем последовательного решения системы (26) при заданном распределении внешних возмущающих нагрузок и изменения частоты в заданном диапазоне с шагом . Результатом работы алгоритма являются зависимости узловых перемещений и напряжений в слоях оболочки от частоты . Алгоритмы реализованы на языке РЬ /I в операционной системе ОС ЕС.

В пятом разделе рассмотрены вопросы практического применения алгоритмов. На примере двухслойной тороидальной оболочки с упругим и вязкоупругда слоем исследовано влияние компонент матриц жесткости и масс конечного элемента. Показано, что для 8, 10 и 12 узлов квадратурной формулы результаты совпадают до пятой-сестой значащей цифры, то есть использование комплексной арифметики не влияет на сходимость численного интегрирования.

Сходимость алгоритма иллюстрируется путем сравнения известных аналитических решений с результатами численного анализа. Первым примером послужило вычисление собственных частот колебаний для юарнирно опертой по контуру прямоугольной пластинки из вязкоупругого материала. Сравнивались значения трех первых собственных частот. Наибольшая погрешность соответствовала третьей собственной частоте (по действительной части = 4,69 % и по мнимой - 5,11 %) при сетке 4x8 узлов; сетка 12x24 узла дает

- 1,08 % и ¿Ц = 1,ю %, Уточнение по правилу Рунге позволяет уменьшить погрешность до 0,51 % и 0,55 % соответственно. Этот результат свидетельствует о монотонной сходимости алгоритма.

Затем проведено вычисление собственных частот и форм для кольцевой трехслойной пластинки при защемлении и шарнирно опертом наружном контуре. Показано, что результаты численного анализа монотонно сходятся; отличие действительной и мнимой составляющих первой собственной частоты при 6 и 6 узлах по радиусу соответствует шестой значащей цифре; аналогичный результат получен и для прогиба в середине кольца, причем изменение краевых условий на сходимость не повлияло.

Для шарнирно опертной пластинки, нагруженной сосредоточенным изгибнцм моментом посередине короткой стороны были сопоставлены результаты анализа собственных частот и АЧХ для сетки 6x12 узлов. Аналогичные результаты получены и для нагружепия той же пластинки сосредоточенной силсй в центре (рис.5). Отсутствие экстремума

При решении второй задачи предполагается известным предварительное (основное) НДС, отвечающее окончанию процессов ползучести. Задача решается путем отыскания нетривиальных решений уравнения (15) при комплексном параметре м .

Свойства каждого слоя оболочки примем наследственно-вязко-упругими в форме Больцмана: т

*I ■ IК - Ч£"1' 1

Здесь

¿н = Е„ /и ~ 9, А), ^ ■= Еи * /Ы - ш, - мгновен-

ные постоянные упругости.

Применяя процедуру "замораживания" для комплексного гармонического возбуждения, получим из (27)

ен = £< £„ * е«, 5* = 5, (28)

где комплексные модули

П^я) (29)

О - Ч/с -1 .

5 - (к О - гяс - I ,

, /с - синус и косинус-изображения ядер релаксации по Фурье. В работе'использовались известные представлений Колтуно-ва-Рканиццна для ядер релаксации:■

Гв)= , о<*<1. . (зо)

Основным отличием предлагаемых алгоритмов является вытекающее ир (28) использование алгебры комплексных чисел. Определение форм и частот собственных колебаний осуществляется 'путем решения нелинейного уравнения.

<М.([Щ,сояП + 1 - £з'[М1) =0. (31)

Для отделения корней (31) на интервале поиска собственных частот делается несколько пробных шагов ; тот шаг, где действительная часть (31) сменит знак, дает начальное приближение для уточнения методом Мюллера:

Ь)„а = » + £,

Собственные формы отыскиваются путем решения неоднородной задачи, получаемой из (15) при подстановке собственных частот со* и наложения условия на одну из компонент вектора Д^ ,'напри-

в окрестности второй собственной частоты отвечает истинному поведения пластинки, так как центр является узловой точкой для мод второго типа. Отсюда следует, что предложенный алгоритм правильно описывает резонансные явления.

Исследовались допустимые границы изменения параметров ядра Колтунова-Ржаницына. Показано, что для практически всегда реализуемого условия <УЛ »р существует ограничение

ггЛс**» ' (32)

обеспечивающее положительность действительной части модуля упругости. Далее показано, что в связи с зависимостью комплексного модуля от cjk , невозможен параметрический анализ собственной частоты без задания конкретных значений размеров, толщины, плотности и мгновенных упругих характеристик материала.

Из анализа влияния комплексного коэффициента Пуассона показано, что пренебрежение его зависимостью от частоты приводит к значительным погрешностям в определении составляющих комплексных частот (до 4,66 % по действительной и до 13,49 % по комплексной части).

Возможности применения алгоритма синэнергетического анализа структурно-неоднородных конструкций продемонстрированы на приме- . ре оптимизаций диссипативных свойств прямоугольной пластинки на впзкоупругих опорах. Показано, что варьируя мгновенную жесткость опор, можно обеспечить максимум коэффициента демпфирования ых для мод колебаний с его наименьшим значением (рис.6). Пунктиром показан закон изменения наименьшего коэффициента демпфирования в зависимости от параметра жесткости Гк . Данный аспект применения алгоритма полезен при проектировании виброзащитных систем.

Решена задача анализа собственных форм и частот шестиугольной в плане трехслойной пологой панели с параболической координатной поверхностью, характеризуемой высотой подъема' И из оптически прозрачных материалов (рис.7). Исследовалось влияние высоты подъема панели На' низшую собственную частоту. Результаты приведены на рис.6, причем кривая £ соответствует граничным условиям V = в, О , ut = о ; a Q - условиям

Решена задача определения низшей собственной частоты лопасти промышленного в'ентплятора - двухслойной цилиндрической панели радиусом 200 мм, длиной 260 мл, углом раствора 20° . Внутренний ■ слой - металлический, В = 2-Ю6 МПа, V = 0,3, р = 8-I0~J H-cVwm4, k = 2 мм; внешний слой - пластик с параметрами £ =

Рис.

= 2-Ю3 МПа, V = 0,23, = 1ГЮ"10 5-с2/мм4, А = 0,02, $> = = 0,11, с¿ = 0,021. Толщина второго слоя линейно изменялась вдоль оси от 10 до 6 мм. В результате расчета определены низшая собственная частота со* = 220 1/с и коэффициент демпфирования Форма колебаний приведена на рис.9.

Проведен анализ несущей железобетонной конструкции зрелищного сооружения (рис.9), представляющей собой половину оболочки вращения с образующей

где Я = 8м- радиус оболочки при у = 0 и х = и = 20 м, # = = 4 м. Толщина оболочки изменялась по закону: и. (х) = 0,05 » 0,00* (х- (ж-10) г«3

Получены первые шестнадцать собственных частот и форм колебаний. Выяснено, что линии симметрии являются узловыми для всех форм колебаний.

Проведен расчет частот и форм собственных колебаний несущей железобетонной конструкции гражданского сооружения, представляющего собой половину цилиндрической оболочки с вырезом, заполненным стеклянным перекрытием. Размеры оболочки А = 10 м, и -= 36 н, к = 0,2 м; размеры выреза: длина 24 м, угол раствора Ь0° . Получены значения низших четырех частот: ^' = 91,92 1/с; ел'г = 96,20 1/с; ' ¿0*3 = 121,09 1/с; Ч' = 144,65 1/с.

Форма колебаний, соответствующая собственной частоте ы, , приведена на рис.10.

В заключении сформулированы основные научные результаты и выводы:

1. На основе вариационной формулировки задали о нелинейной • деформации оболочек получены конечно-элементные модели нелинейного деформировании оболочек, учитывающие, изменение метрики оболочки по толщине пакета слоев и появляющиеся в результате этого учета дополнительные нелинейные слагаемые в выражениях для изменения кривизн и кручения.

2. На основе вариационной формулировки задачи для состояния оболочки, смежного с основным, получены конечно-эле-?

ментше модели поведения оболочек при собственных колебаниях и гармоническом возбуждении, учитывающие изменение метрики оболочки по толщине пакета слоев и инерцию вращения в матрицах масс.

3. Разработены методы и алгоритмы определения смплитудно-

частотных характеристик, частот, коэффициентов демпфирования форм собственных колебаний многослойных оболочек с вязкоупрупгми слоями и опорами.

4. Разработан и реализован в виде пакета прикладных программ математический аппарат реализации техники метода конечных элементов в комплексных переменных (вычисление матриц жесткости, формирование глобальней матрицы жесткости, матричная алгебра, отыскание собственных значений я собственных функций и т.д.).

5. Алгоритмы определения динамических характеристик многослойных оболочек с вязкоупругими слоями и опорами реализованы в виде пакета проблемно-ориентированных программ, инвариантных относительно вида координатной поверхности оболочки, структуры и реологических свойств слоев, характера гармонического возбуждения.

6. С помоглыз численных экспериментов и путем сравнения с • известными аналитическими решениями обоснована достоверность

уточненного варианта конечно-элементной модели оболочки, а также результатов, получаемых с помощью разработанных ориентированных программ определения динамических характеристик многослойных оболочек с вязкоупругими слоями и опорами. Решен ряд новых задач квазидинамики оболочек.

7. Опытная эксплуатация ролработзштых программ позволяет рекомендовать их для широкого использования в расчетной практике научно-исследовательских и проектных организаций для анализа динамических характеристик многослойных оболочек с вязкоупругими слоями и опорами, для проектироввния элементов конструкций с оптимальным демпфирующими свойствами.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОТРЛЙЕНЫ В СВДУЮиЩ ПУБЛИКАЦИЯХ АВТОРА:

1. Г^белидзе З.Б., Мяченков' В.И., Ольшенскал ГЛ., Шенге-лия А.¡Л. Вычисление жесткостных параметров для матриц жесткости и матриц масс многослойных оболочечных конечных элементов // Механика и прикладная математика. - Тула: Приокск.кн.изд., 1990.-С.

2. Губелидзе З.Б., Мяченков В.И., 1Сенгелия А.И. Методы, алгоритмы и программы определения частот и форм колебанья структурно-неоднородных оболочек // Расчеты на прочность. Сб.научн.тр.-М.: Машиностроение, - С.