Расчет однородных и многослойных оболочек произвольной геометрии методом конечных элементов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РГ6 од

КАЗАНСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КЩСШПО]ед^МЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 1 -1 ' ^ имени В. И. УЛЬЯЮВА-ЛЕНИНА

На правах рукописи

ГОЛОВАНОВ Александр Иванович

РАСЧЕТ ОДНОРОДНЫХ И МНОГОСЛОЙНЫХ ОБОЛОЧЕК ПРОИЗВОЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

01. 02. .04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

КАЗАНЬ - 1993

Работа выполнена в лаборатории механики оболочек НИ математики и механики им. Н. Г. Чеботарева при Казанско государственном университете им. В. И. Ульянова-Ленина.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В. Н.Паймушин

доктор физико-математических наук, профессор Г. И. Пшеничнов

доктор физико-математических наук, профессор Я.Г. Савула

Ведущая организация -

НИИ механики Нижегородского университета

Защита состоится 10" Щр-кя 1993г. в Г

заседании специализированного совета Д. 053.29.01 по защит диссертаций на соискание ученой степени доктора физике математических наук по механике при Казанском государственнс университете им. В.И.Ульянова-Ленина

С 420008, г.Казань, ул.Ленина, 18 ).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке К] им. Н. И. Лобачевского.

Автореферат разослан " (Аа/и?/^ 1993г.

Ученый секретарь специализированного совета доктор физ.-мат. наук, профессор

^»оТУу^уу^лол^о Ю. П. Жигалко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Акхуальнос1ь_Еайо1ы.При создании современных технических >делий и строительных сооружений в качестве силовых элементов [роко используются тонкостенные конструкции, состоящие из пластин оболочек. Применение их позволяет существенным образом снизить .териалоемкость всей конструкции с сохранением требуемых проч-стных и жесткостных характеристик. Однако при этом кон-руктивные особенности и технологические условия эксплуатации сто требуют применения конструкций, геометрически весьма ожных. Это обстоятельство приводит к необходимости разработки ем предварительного анализа напряженно-деформированного сос-яния С НДС), устойчивости и колебаний тонкостенных конструкций, ементами которых является оболочки сложной геометрии. Одним - из мых удобных методов, позволяющих решить эту задачу, является тод конечных элементов (МКЭ).

Несмотря на многообразие уже разработанных схем расчета ожных тонкостенных конструкций МКЭ, отметим, что большая часть ориентирована на исследование либо пластинчатых простран-венных систем, либо конструкций, состоящих из пологих оболочек, я существенно непологих тонких оболочек возникают проблемы с лучением реальных результатов на "умеренных" сетках. Речь идет гом, что точность результатов можно обеспечить двумя путями: Зо на основе простых конечных элементов СКЗ) строить мелкие гки, либо применять сложные высокоточные КЭ. Каждая из этих зможностей имеет свои недостатки.

Например, построение густых сеток для оболочек с дискретно данной геометрией требует большой предварительной работы по эмированив исходных данных и сложного программного попечения. Более того, в областях резкого изменения геометрии (>екты, типа краевого, присущие тонким оболочкам, столь сильно эажены, что возможность их моделирования плоскими КЭ в принципе >блематична. Аналогичная ситуация имеет место и в задачах :ойчивости тонких оболочек, которые, как известно, весьма ¡ствительны к начальным несовершенствам С неточности геометрии).

Применение высокоточных КЭ, построенных на основе сложных [зорных соотношений теории оболочек и аппроксимаций высокой ¡пени, дает хорошую точность на редких сетках, но требует от

"расчетчика" высочайшей квалификации. Во-первых, при использова! численной параметризации поверхности необходимо нанести сетку таким образом, чтобы она была достаточно регулярной (равномерш и одновременно позволяла улавливать концентрация напряжений локальных зонах. Во-вторых, наличие в качестве узловых степе! свободы первых и, особенно, вторых производных от компош перемещений затрудняет формулировку граничных условий и сопряхе; оболочек с изломом срединной поверхности. Эти обстоятельс ограничивают- область применения таких КЭ, т.к. на практ; предпочитают действовать с такими схемами, в которых все узло неизвестные имеют ясный физический смысл.

Исходя из вышесказанного, могло утверждать, что пробл построения КЭ, которые одновременно имели бы широкую обла применения, были удобны в работе и давали хорошую точность редких сетках, является весьма актуальной задачей.

Ц£ЕЬЮ_нас£оящвй_работи является:

- исследование различных конечно-элементных моделей ток непологих оболочек в плане возможности их применения для расч геометрически слогных оболочек;

- разработка новых конечно-элементных схем расчета НДС, кс баний и устойчивости оболочек и оболсчечных конструкций п извольной, в том числе и дискретно заданной, геометрии с уче возможной слоистой структуры их по толщше;

- создание программного обеспечения для расчета реальных i костенных конструкций, ориентированного на наиболее распрс раненную вычислительную технику - ЕС ЭВМ и ПЭВМ типа PC/AT;

- решение новых задач по исследование НДС, свободных колебани! устойчивости сложных тонкостенных конструкций, имз: практическое значение для науки и техники.

Науннуц-ноеиану работы составляют следующие результаты.

Дана классификация искривленных КЭ неполйгих обрло1 сформулированы основные проблемы построения КЭ различных тш проведено исследование точности аппроксимации деформаций в п; сравнительного анализа возможностей каждого подхода канонических оболочек и оболочек сложной геометрии.

Разработана эффективная конечно-элементная модель то; оболочки произвольной геометрии на основе гипотез Кирхгофа-Л дано ее развитие для расчета составных оболочечных конструкци:

- 5 -

■феделения форм и частот свободных колебаний.

Существенно развита техника построения конечных элементов энких оболочек на основе уравнений трехмерной теории упругости: зказана эквивалентность технологии построения так называемого КЭ смада (Ahmad) и использования теории оболочек типа Тимошенко, шучены явные соотношения для декартовых компонент деформаций, 1я квадратичных аппроксимаций в четырехугольнике найдены точки гаерсходимости, разработан алгоритм построения матрицы жесткости 1Я 9 - узлового изопараметрического КЭ оболочки с двойной шроксимацией деформаций по точкам суперсходимости.

Разработана схема расчета слоистых оболочек из композитных сериалов: дано обобщение упомянутого выше 9 - узлового КЭ в гане использования послойного вычисления интегралов по толщине и ¡едения модифицированной сдвиговой жесткости, предложена юцедура определения - напряжений поперечного сдвига путем [тегрирования векторных уравнений равновесия в напряжениях.

Разработана конечно-элементная модель трехслойной оболочки [ещанного типа: несущими слоями является оболочки типа Тимошенко неизвестными перемещениями,заполнитель предполагается легким и ¡известными в нем служат напряжения поперечного сдвига.

На базе трехмерных соотношений теории упругости разработана 1нечно-элементная схема определения форм потери устойчивости и ответствующих им критических нагрузок для однородных и огослойных оболочек произвольной геометрии.

ÜQSXQBgEHQQife__SSHQBHbß__Ш^чцых___аслджениЗ обеспечивается

тематически корректной постановкой решаемых задач, пользованием строгих математических методов, многочисленными авнениями результатов расчета с известными теоретическими шениями тестовых задач и экспериментальными исследованиями альных конструкций.

_DßaKTUHgQK33_UeaHQQIb состоит в следующем:

- разработаны эффективные конечно-элементные модели тонких олочек и оболочек средней толщины (однородных и слоистых), зволяющие на редких сетках получать хорошую точность;

- составлены пакеты прикладных программ для анализа НДС, ободных колебаний. и устойчивости оболочек и составных олочечных конструкций произвольной геометрии, часть которых едрена в расчетную практику заинтересованных организаций, что

- 6 -

подтверждено соответствующими актами;

- исследована прочность ряда реальных конструкций, дл некоторых из которых предложены варианты их конструктивно доработки, признанные изобретениями С за что автор был удостое серебряной медали ВДНХ СССР);

- разработанные теоретические положения по применению МКЭ дл расчета оболочек внедрены в учебный процесс и используются спец.курсах на механико-математическом факультете Казанского университета.

Ба.защйТУ-ЕЫЫЭЗЯТСя следующие основные научные положения, имеющие научную новизну.

1. Обзор, классификация и сравнительный анализ различны конечных элементов тонких непологих оболочек. Формулировк основных проблем построения подобных элементов и развернуто описание способов удовлетворения требований сходимости с анализе возможных негативных последствий, каждого из них.

2. Конечно-элементная модель тонкой оболочки с дискрета заданной геометрией, построенная на основе гипотез Кирхгофа Лява, изопараметрической кубической аппроксимации на макроче тырехугольнике, численного интегрирования и тензорных соотнс шений теории оболочек.

3. Разработка техники построения конечных элементов тонга оболочек на основе соотношений трехмерной теории упругости, анаш причин потери точности подобных элементов при малых толщина) построение процедуры "двойной аппроксимации деформаций' исключающей это явление, и реализация этих разработок в виг универсальнрго конечного элемента.

4. Разработка схемы расчета слоистых оболочек из компс зитных материалов на основе гипотезы Тимошенко, включающей в сес конечно-элементную модель для определения поля перемещен^ мембранных и изгибных напряжений и специальной пост-процессорнс процедуры вычисления поперечных касательных напряжений.

5. Конечно-элементная модель трехслойной оболочки с легю заполнителем и несущими слоями - оболочками типа Тимошенко.

6. Разработка на основе построенных конечно-элемедтн! моделей схем:

а) расчета составных оболочечных конструкций; 6} определения частот и форм свободных колебаний оболочек;

i решения задач устойчивости в рамках подхода Эйлера.

7. Решение ряда новых задач, имеющих большое практическое ¡ачение для науки и техники.

_Апрд£ация_работа. Основные результаты работы докладывались и ¡суждались

- на итоговых научных конференциях Казанского государствен-то университета СКазань, 1985 - 1992 г. г. 3;

- на VII, VIII, X Всесоюзных школах-семинарах "Метод конечных граничных элементов в строительной механике" (Запорожье, 1985г., фва, 1987г., Одесса, 1992г.);

- на II, III Всесоюзных совещаниях-семинарах молодых ученых Актуальные проблемы механики оболочек" (Казань, 1985г., 1988г.);

- на II, IV, V Всесоюзных научно-технических совещаниях [инамика и прочность автомобиля" (Москва, 1986г., 1990г.,, )92г.);

- на V, VI Республиканских научно-технических конференциях 1мАЗ-КамПИ "Научно-производственные и социально-экономические юблемы автомобилей КамАЗ" (Набережные Челны, 1986г., 1988г.);

- на II Республиканской конференции "Механика машиностроения" ¡рехнев, 1987г.);

- на XIV, XV Всесоюзных конференциях по теории пластин и !олочек (Кутаиси, 1987г., Казань, 1990г.);

- на научно-технической конференции "Эксплуатационная и шструктивная прочность судовых конструкций" (Горький, 1988г.);

- на III Всесоюзной научной конференции "Современные проблемы ■роительной механики и прочности летательных аппаратов" (Казань, ¡88г.);

на Республиканской научно-технической конференции [атематическое моделирование процессов и конструкций [ергетических и транспортных турбинных установок в системах соматического проектирования" (Харьков, 1988г.);

- на Международном семинаре "Тазовые турбины" (Казань, 189г.);

- на XX научно-технической конференции молодых специалистов I "Ленинградский металлический завод" (Ленинград, 1989г.);

- на XI, XII Всесоюзных конференциях по численным методам 'шения задач теории упругости и пластичности (Волгоград, 1989г., .ерь, 1991г.);

, - 8 - •

- на III Всесоюзной конференции "Прочность, жесткость технологичность изделий из композиционных материалов" СЗапорожье 1989г.);

на Республиканской научно-технической конференци "Наука-производству" (Набережные Челны, 1990г.3;

- на III Всесоюзной конференции по механике неоднородны структур (Львов, 1991г.};

- на III Симпозиуме "Устойчивость и пластичность в механик деформируемого твердого тела" (Тверь, 1992г.).

Публикации. Основные результаты исследований по теме дис сертации опубликованы в монографии, 31 статье и 16 тезиса докладов. Вклад автора состоит: в работах [5,19,20,24,25,] использование разработанного и созданного им пакета программ дл анализа НДС реальных конструкций; в [17,18,21,23,321 - построен« новых соотношений деформаций и участие в постановке задачи и об суждении полученных результатов; в 16,28,31] - построение основнк разрешающих уравнений, составление программ, получение результате и участие в постановке задачи и обсуждении полученных резуль татов; в [1,4,11] - разработка схемы решения алгебраической прс блемы и участие в разработке КЭ.

СТЕУКХУКа_й_20Ъ2М_ДИ2сейТаииИ-Диссертация состоит из введе ния, шести глав, заключения и списка литературы, включающего 4С наименований. Изложена на 328 страницах машинописного тексте содержит 23 таблицы и 84 рисунка.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

BQ_fi£§BgHM дается обоснование актуальности теш диссертацш В частности отмечается ,что решение проблемы построения сх< расчета геометрически сложных оболочечных конструкций распадаетс на ряд этапов. Первый связан с построением математических модел« объектов типа пластин и оболочек, в том числе и слоист; структуры. Этот вопрос в настоящее время изучен весьма глубоко большой вклад в создание теории пластин и оболочек внесли таю отечественные ученые, как Н. П.Абовский, А.В.Александров, H.i Алфутов, С.А.Амбарцуыян, Л.В.Андреев, В.А.Баженов, В.Л.Бидерма] И.А.Биргер, В.В.Болотин, А.Т.Василенко, В.В.Васильев, И.Н.Веку; В. Е. Вериженко, В.В.Власов, В.3.Власов, A.C.Вольмир, И. И. Воровн К.З.Галимов, А.Л.Гольденвейзер, А.Г.Горшков, Э.И.Григолюк, Я.]

Григоренко, А.С.Григорьев, А.Н.Гузь, Ю. П.Жигалко, В. Г.Зубчанинов, А. А. Ильюшин, В. В. Кабанов, А. В. Кармишин, Я. Ф. Каюк, Ю. Г. Коноплев, М. С. Корнишин, В.И.Королев, А. Н. Кудинов, Г.М.Куликов, Э.Э.Ла-вендел, Н. Н.Малинин, Х.М. Муштари, Ю. В.Немировский, Ю. Н. Новичков, 9. В. Новожилов, И.Ф. Образцов, П, М. Огибалов, В. Н. Паймушин, Б. Л. Пелех, В.В.Петров, В.В.Пикуль, В.Г.Пискунов, А.В. Погорелов, Я.С. Тодстригач, В.И.Пожуев, А.П.Прусаков, Г. И. Пшеничнов, А. 0. Рассказов, А.В. Саченков. И.Г.Терегулов, ,П.Е.Товстик, В.М.Толкачев, I.А.Толоконников, А.Г.Угодчиков, А.П.Филин, К. Ф. Черных и другие.

Второй этап состоит в разработке схем интегрирования разрешающих уравнений теории оболочек. Здесь следует разделить зсе возможные методы на две большие группы - аналитические и тасленные. Как правило, точные Саналитические) решения удается гастроить лишь для узкого класса канонических поверхностей ' и слассических граничных условий. Для геометрически сложных Волочек основными являются численные методы, которые целиком фиентированы на применение ЭВМ. Развитием и популяризацией этих ютодов занимались следувщие отечественные ученые: Ю.П.Артюхин, L В.Александров, В.Г.Баженов, В.П.Бакулин, Н.Г.Бандурин, 3. И. Бур-ган, Д. В. Вайнберг, Н. В. Валишвили, А..С. Вольмир, Н. С. Ганиев, С. Городецкий, А.Н.Гузь, В.И.Гуляев, Я. М. Григоренко, В.А.Иванов, I. В. Кабанов, Б. Я. Кантор, С.А.Капустин, М. С. Корнишин, Г.М.Куликов, i.A. Куранов, В. А. Крысько, Б. Я. Лащеников, Ю. В. Липовцев, A.M. Мас-енников, И.Е.Милейковский, В.И.Мяченков, А.П.Николаев, В.Н.Пай-ушин, В. В. Петров, Б. Е. Победря, В. А. Постнов, Р. Б. Рикардс, В. В. Ро-алевич, Л. А. Розин, Я. Г. Савула, А.С.Сахаров, М.Н.Серазутдинов, .Н.Скопинский, H.H. Столяров, А.П.Филин, В. И.Феодосьев, В. И. Ша-аищлин, Н. Н. Шапошников и другие. Среди зарубежных ученых, которые ктивно занимались проблемой развития МКЭ для расчета пластин и болочек, следует отметить таких, как Argyris Y.H., At1 игi S., aihe К.-J., Belytschko Т. , Clough R. W. , Fraeijs de Veubeke B., allager R. H. , Hinton E. , Hughes T.J. R., Irons B.M., Lee S.W., Drley L. S. D. , Pian Т. H. H. , Zienkiewicz 0. С.

Третий этап разработки схем расчета заключается в создании акетов прикладных программ (ППГО, которые реализуют тот или иной деленный алгоритм. В подавляющем большинстве универсальные ППП зиентируются на МКЭ и весьма развиты в плане сервисной части и дебства работы пользователя. Среди отечественных ППП следует

упомянуть такие, как КИПР, ЛИРА, МИРАЖ, ПРОЧНОСТЬ, ПУСК, РИПАК СПРИНТ, СУМРАК, ФРОНТ и другие. За рубежом количество подобны: ППП весьма велико и среди них наиболее известны ASKA, ADINA ANSIS, MARC, NASTRAN, SAP-IV и другие.

Далее формулируются цель исследования, ее новизна, основные научные достижения и представлена общая характеристик; диссертации.

Пёвваа-Гдава является обзорной и в ней изложены ochobi применения МКЭ к расчету тонких непологих оболочек. В § формулируются основные проблемы построения КЭ, которыми являются

1)параметризация срединной поверхности Сдля оболочек сложно] геометрии и дискретно заданных), т.е. задание функции ?=?,^ удовлетворяющей необходимым требованиям точности внутри элемента : гладкости на межэлементных границах;

2)обеспечение конформности (совместности, согласованности) гарантирующее существование всех интегралов в минимизируемо функционале и физически необходимую гладкость решения во все области;

3)представление смещений элемента как твердого целого, чт обеспечивает нулевые деформации при движении элемента как твердог тела, величина которого в общем смещении элемента может быт значительной, и растет по мере измельчения сетки КЭ;

4)представление независимых деформированных состояний и в перву очередь чистого изгиба , т.к. появление ошибок в мембранных сдвиговых деформациях при чистом изгибе приводит к большо относительной ошибке в энергии за счет малой жесткости на изгиб п сравнению с жесткостью на растяжение и сдвиг (явление мембранног и сдвигового "заклинивания").

В § 2,3 дается классификация различных КЭ тонких оболочек по тип используемой теории оболочек (основанной на гипотезах Кирхгофа Лява или Тимошенко) и виду разложения вектора перемещений ли0 по базисным векторам поверхности г^ и вектору нормали Й в виде

либо на орты глобальной декартовой системы координат X,Y,Z в виде

(с

Для каждого случая формулируются возникающие проблемы.

1. Теория Кирхгофа-Лява и разложение (1): - представление смещений элемента как твердого целого ССТЦ);

- и -

с i)

- конформность поля прогибов w е С ;

цля оболочек сложной геометрии дополнительно

- параметризация срединной поверхности.класса С^;

- представление состояния "чистого изгиба".

2. Теория Кирхгофа-Лява и разложение (2):

- совместность поля перемещений класса

- представление состояния "чистого изгиба''; (ля оболочек сложной геометрии дополнительно

■ параметризация срединной поверхности класса С^.

3. Теория типа Тимошенко и разложение С13:

• представление смешений как твердого целого; [ля оболочек сложной геометрии дополнительно

■ представление состояния "чистого изгиба";

■ параметризация срединной поверхности класса С^*1.

4. Теория типа Тимошенко и разложение (2):

• представление состояния "чистого изгиба".

Дается сравнительный анализ точности каждого из вариантов рименительно к оболочкам канонической и сложной геометрии. В астности показано, что для численно параметризованных оверхностей КЭ основанные на разложении (2) имеют существенные реимущества. Во-первых, в них возможно точно представить СТЦ, .к. их явные выражения ,=$0+!qX?,, где - вектор

инейных смещений, fg - вектор вращения, заданные относительно истемы координат X,Y,Z, будут воспроизводиться точно, если тепень полинома для ^Qf^fg) не ниже чем для ?,¡у. Во-вторых, нализ ошибок представления деформаций в зависимости от степени ппроксимации геометрии показывает, что для существенно непологих Волочек порядок этих ошибок для разложения С 2) выше чем для С1). бъяснение этому в том, что в соотношениях для деформаций, зпользуемых при разложении С2) .Сем. далее (4), С17), С18)), гсутствувт кривизны и производные от них.

В § 4 описываются различные способы обеспечения необходимой звместности поля перемещений класса С*. Среди них как чисто ¿числительные: полиномы высокой степени (пятой степени в эеугольнике и бикубические в прямоугольнике), макроэлементы составные элементы), сингулярные аппроксимации; так и авиационные -постановки: принудительная совместность (учет взрывов в нормальных производных при кубической аппроксимации

прогиба за счет специального слагаемого в функционале), гибридный метод перемещений Ссамостоятельные аппроксимации перемещений внутри элемента и на его границе в сочетании с вариационные способом их сопряжения), смешанный подход (функционал Рейсснера и самостоятельная аппроксимация усилий и перемещений во всей области), гибридный метод сил (функционал типа Кастильяно к аппроксимация усилий внутри элемента и перемещений на границе).

В § 5 описываются способы точного учета СТЦ, такие кап добавление в аппроксимации их явных выражений и коррекция матриць жесткости. §6 посвящен представлению состояния чистого изгиба. Туч упоминаются следующие приемы:

-метод штрафа, как способ уменьшения вклада сдвиговой хесткосп в общую энергию;

-использование связанных аппроксимаций перемещений типа дискретного наложения гипотез Кирхгоф?-Лява, что позволяет избавить^ от ошибки в сдвиговых деформациях и повысить точность представления изгиба;

-сокращенное интегрирование для сдвиговых четырехугольных КЭ, ка! способ борьбы с мембранным и сдвиговым заклиниванием (приводят« приемы повышения ранга матрицы жесткости для лагранжевой серш аппроксимаций);

-двойная аппроксимация деформаций в различных модификациях СМСКЭ, смешанный подход, "декомпозиция мод", и т.д.); -построение аппроксимаций с заданными деформациями. В § 7 рассмотрены вопросы представления геометрии оболочек и, ] частности, исследуется возможность моделирования поверхност! оболочки плоскими и пологими КЭ.

ВС__МЕВ2й^_ЕДаве предлагается новая конечно-элементная

модель, основанная на гипотезах Кирхгофа-Лява, разложении (2) ] предназначенная для расчета оболочек и оболочечных конструкций ( дискретно заданной геометрией. Построение этого КЭ описано в § 1, Геометрически он представляет собой искривленный четырехугольник < 8 узлами (рис. 1). В вершинах определено по 9 степеней свободы, ; в серединах сторон по 3, всего - 48 на элемент. Для построена аппроксимации класса С1 двумя диагоналями исходный четырехугольна разбивается на 4 треугольника, в каждом из которых определяютс; самостоятельные аппроксимации в виде кубичного полинома. Дале-ставятся условия.равенства этих аппроксимаций узловым значениям :

условия совместности на внутриэлементных границах. В результате получаем,что в к-ом треугольнике справедливо

г* С? 1. * («->т1+тт}+<г>т1{) рк]т<ис ^, ?2>,

С 33

* (?1. У = 0Сх) >Т?+<уС ^ >Т!+<УС2} >ТЙ) р»к]т<ис ?!, ?2>,

где рЗК]-ма-

трицы размером 10x16, для которых • получены стуктурные выражения, <у х-) >, ^ >, (у^Ъ-векторы узловых перемещений, Ш,<У>,{2>-векторы проекций узловых значений

После подстановки этих выражений в соотношения для тензоров деформаций в виде

. а? ей л

полученных выражений в потенциальную энергию деформаций

С5)

и вычисления интегралов в каждом треугольнике по известной 7-точечной квадратурной формуле 5-го порядка, получается матрица жесткости этого элемента.

На тестовых примерах С представленных в § 23 этот КЗ демонстрирует высокую скорость сходимости и дает хорошую точность на весьма редких сетках в случае сложно-напряженного состояния.

В § 3 описывается схема расчета дискретно-заданных оболочек, в которой для вычисления узловых значений производных от радиуса-вектора срединной поверхности с^? предполагается использование простейшей конечно-разностной аппроксимации касательных векторов дпо значениям векторов г* в прилегающих /злах. Примером ресльной конструкции, которая была рассчитана но разработанной схеме, может служить кронштейн передней опоры крепления двигателя автомобиля КамАЗ, представляющий собой гонкую оболочку сложной геометрии. Помимо численных расчетов эта конструкция исследовалась экспериментально на основе методов фупких лаковых покрытий, электротензометрирования и голо-графической интерферометрии. В результате были получены взаимо-зогласующиеся данные по оценке ее НДС. На рис. 2. приведены

графики деформаций вдоль линии ABC в окрестности т. В на верхне« С+) и нижней С-) поверхностях оболочки при "вертикальном изгибе". Треугольниками помечены экспериментальные данные, полученные В. В. Нехотяевым методом тензометрирования.

В § 4 строятся расчетные схемы анализа "периодических оболочек". В этом случае на линиях периодичности (циклической симметрии) производится пересчет вектора перемещений от декартовых проекций к проекциям на орты и соответствующим компонентам

присваиваются одинаковые номера. Для этого используются соотношения

$ = uni5 + uT? + vft, + - етп* + ^ ♦ "А

+ = епп* + епт* ♦

В § S описывается схема расчета составных оболочек. При этом равенство полей перемещений вдоль линий стыка всех прилегающих к нему сегментов выполняется автоматически, т.к. неизвестными функциями являются декартовые проекции вектора перемещений и необходимо лишь им присвоить одинаковые номера. Учет жесткого соединения, как условия равенства углов поворота нормали шп относительно векторов касательной ? к линии сопряжения производится путем наложения этих условий в каждом узле дополнительно. Для всех узлов это дает систему уравнений вида tBKq) = 0, которая методом множителей Лагранжа присоединяется к функционалу Лагранжа'

Э*= ^q)T[K.Kq>-{P>Tíq>+mT[BHq>, ■ (7)

где <q> - глобальный вектор узловых перемещений, <Р> - глобальный вектор узловых сил, [К] - глобальная матрица жесткости , Ш - вектор множителей Лагранжа. Решение этой задачи основано на предварительном разложении Холецкого [(С] = ШШ^, и сводится к решению ряда вспомогательных задач:

1) С К] t А] =[ В]Т, [ К] <Ю=СРУ; 2) [ D] =[В] Е АЗ, (Т>=[ В] Ш;

3)[D]OJ={T>; 4Х0>=ШТШ; 5)IKHY>=<Q>; 6ЭШ=Ш-Ш.

По указанной схеме были проведены расчеты рабочих колес центробежного компрессора С рис. 3) и гидротурбины (рис. 4) под действием центробежных сил и давления на лопасть.

Хйетьа.ЕЯава является центральной и посвящена изложен схемы расчета тонких оболочек произвольной геометрии без пр менения соотношений теории оболочек. Техника построения подобных КЭ описана в § 1. Элемент оболочки представляется к искривленный параллелепипед в трехмерном пространстве с линейчат поверхностью по толщине Срис. 5). Радиус-вектор элемента объема определяется через радиусы-векторы срединной поверхности векторы нормали ^ и значения толщин Ь, заданных в узловых точк на срединной поверхности. После введения соответствуют аппроксимации справедливо

= С8:

где М - число узлов, НтС?,7?) - функции формы. Вектор перемене! элемента объема $ представляется в виде аналогичном С8] Сизопараметрическая аппроксимация):

где Йт- вектор перемещений точек срединной поверхности, б^- уз поворота вектора относительно векторов ,^

ортогональных вектору • Введение аппроксимации С9) эквиваж тно выполнению кинематической гипотезы о линейности перемеще; по толщине Сгипотеза прямой нормали).

При вычислении потенциальной энергии деформации иста зуется численное интегрирование, т.е.

У=Д|«С?,т).С)с1П= рС?1с-1)к.Ск^е1р(?к.,7?к.(1с)]со|с, С1(

где - координаты квадратурных точек, с^ - веса

множители, беи Л - определитель матрацы Якоби (элемент объема) каждой квадратурной точке вводится новая декартовая сист координат х' ,у' л' с ортами ориентированная та

образом, что орт $3 совпадал с нормалью. В этих осях удел* потенциальная энергия деформации представляется в виде

V = у.£,>Т1Ъ11<£')^у'У11Т>г\1г'У. (

где

{£х<х, ,£у|у.(

(12)

х'г' "у'г1

- матрицы упругих постоянных, соответствующих плос->-напряженному состоянию, что эквивалентно выполнению гипотезы о лости напряжений обжатия.

В большинстве работ для вычисления деформаций используются ^образования

-^Сх') а/2'5]

ах' ах' ах' ¿»¡г а?

в/У5 ^шг1] а/х3 З/У5

ау ау ау' Л? дт) дл

в/х'5 в/*'3 а/2'1 дУ^ дУ™

. дг' дг' аг- дЦ дК

СФ]1, (13)

;е [13 - матрица Якоби, С Ф1 - матрица направляющих косинусов 1Тов ^ относительно декартовой системы координат х,у,г.В работе строено явное выражение матрицы [.I-*] , что позволило получить юстые соотношения для вычисления деформаций С12), основанные бо на векторных соотношениях Коши

-Л 3$ * 5$

х х 1 ах' у у ау' :бо на введении ковариантных компонентов деформаций

г = &М V

д? Ю дп дг>' К дп ас ас дт) использованием полученных явных соотношений

дг'

V -Л Г*

»'у'г'-Рз'^Рг

СИ)

С15)

С16)

Т

е(г:> В конце параграфа рассмотрен

риант с аналитическим интегрированием по толщине, в котором пользуется разложение деформаций <сУ на мембранные <е>

- Л _ д? „ <ЭЙ

^ а? а?

изгибные -Сге> й„ =

а? б?

е =

''п дп дп'

Чт)-

с? дт) дг) а?

д? зт) дп а? а?

з.сйд

<771 дп ОС,

(17)

(18)

В § 2 на примере четырехугольного элемента с квадратичной

аппроксимацией прогиба и углов поворота предлагается процедур анализа причин потери точности сдвиговых элементов лр уменьшении толщины и показывается- существование точек мини мальной погрешности аппроксимации деформации Сточки суперсхо димостиЭ. Точное решение задается в виде разложения деформаций ряд Тейлора и строится интерполянт этих деформаций. Для этогс интегрируя соотношения Коши, находится поле перемещений соответствующее деформированному состоянию, подставляя ту; координаты узлов , находятся их узловые значения , по ним строятс квадратичные 8 - и 9 - узловые аппроксимации и, затем, по эи аппроксимациям находятся интерлолянты деформаций. Поел* проведения всех вычислений получается, что ошибка для } минимальна вдоль линий ?=±1/V3 и, в случае прямолинейно! четырехугольника, исчезает в точках у = 0,±1, а для у - п] тр+1/УЗ, f=0, ±1.

§ 3 посвящен построению нового 9-узлового КЭ, в котор< используются обнаруженные выше точки, как вспомогательные, да определения дополнительной аппроксимации деформаций. При эт< вводятся две системы точек помеченные на рис. 6, 7 к и □ . ! система тестов Сприведенных в § 4 ) показано, что наилучш: результаты получаются при использовании для деформаций точек » на рис.6, гг^р точек * на рис.7, е^.у^ - □ на рис.6, к - а на рис.7. Деформации е^ и ¡¡¡с вычисляются в точк интегрирования по формуле 2x2, т.е. при ¡*,т)=±1/УЗ, и далее линей интерполируются по обеим координатам. Потенциальная знерг деформации вычисляется путем численного интегрирования поверхностный координатам (формула Гаусса-Лежандра порядка 3x3) аналитического . по толшине. В результате получается демонстрирующий точность не хуке чем 9 - узловой КЭ с сокращен! интегрированием, но свободный от недостатка - пониженного pai матрицы жесткости.

В § 5 дается схема расчета составных оболочечных конструкщ описывается созданный на этой основе пакет программ "FESHELI ориентированный на ПЭВМ типа PC/AT и предназначенный для расч< пространственных конструкций сложной геометрии, и приводя' примеры расчета реальных конструкций. Там, где есть числен) или экспериментальные результаты, дается сравнение точности, качестве примера на рис 8 приведены кривые распределе:

Vß.V/5

«±L

i_ H—9- -I-

w

Рис. 5.

Рис. 6.1

te'м'

Рис. 7.

4

* V J

\ л » \ V

WVN ч S

25

Рис. 8.

Рис. 9.

Рис. 10.

Рис. И.

напряжений на верхней поверхности основной оболочки тройникового соединения вдоль оси симметрии в зависимости от расстояния S от линии сопряжения. cTq - значение напряжения для безмоментного решения С ctq = qR^/hj). Сплошная и пунктирная кривые соответственно осевые и окружные напряжения, приведенные в работе Khan A.S., Hsiao С. CComput. Struct. 1985, V.21, N. 4.), квадратами и треугольниками помечены соответствующие напряжения настоящего расчета. На рис. 9, 10, И изображены рабочие сетки КЭ для расчета соответственно развилки трубопровода ГЭС, элемента рамы грузового автомобиля, диска колеса легкового автомобиля.

Heil§BTaa_CaaBS посвящена обобщению предложенной в предыдущей главе конечно-элементной схемы расчета изотропных оболочек на случай многослойных . и анизотропных. В §1 дается краткий обзор известных КЭ многослойных оболочек, основанных на различных кинематических и статических гипотезах: Кирхгофа-Лява, типа Тимошенко и т.д. Показывается, что наиболее удобной для МКЭ является схема, основанная на гипотезах типа Тимошенко, т.е. аналогичная той, которая используется в предыдущей главе.

В § 2 описывается процедура построения матрицы жесткости многослойной композитной оболочки с кинематической гипотезой о единой прямой нормали для всего пакета. Предполагается, что каждый слой является ортотропной оболочкой, плоскость ортотропии которой а,(3 коллинеарна плоскости х', у' в пределах элемента толщины и углы армирования каждого слоя переменны и при переходе межэлементных границ непрерывны. В общем случае для каждого слоя справедливо

<ор=[Ак] С<е'>+ф<й'}), <т£>=[ВкКг'>, С19)

где 1с - номер слоя, h - общая толщина, C^-C-C^+j - _ безразмерные поперечные координаты поверхностей раздела слоев (^=-1, ín+i=+l' n ~ число слоев). Подставляя С19) в выражение интеграла потенциальной энергии деформации типа СИ), получим

J C<cr' >TÍ£' >+ÍT' >т<г' >)dC=<7 ' >TÍ Dj,] <r' > +

n Л

DL D«. U'J

¿Л3 к|[Ак3 с^гФ-

Показано, что введение модифицированной жесткости поперечных сдвигов существенно уточняет решение. Суть этой процедуры состоит в априорном введении закона изменения напряжений <т'> по толщине в виде

<т£ф>= / -1

(1 (</Г> = [ГкСрК13'У. С 22)

где Ск ^=А^ ц+А^ 12+а|< 13- Ак хИ" коэффициенты матрицы упругости для к-го слоя С подобная структура вытекает из анализа однородных уравнений равновесия), и определении связи между векторами </3'> и {}■•'> из функционала Рейсснера. В результате вместо матрицы СП^] появляется

С 23)

где

[0*]=[ИТ1Н 1][И.

V1

[Ш= Ё / [^СрЙВ^Н^ССШС, Ш = Е / [ГкСр]<1С. С 24)

к=1 ск к=1 Ск

Для иллюстрации точности и границ области применимости проводилось сравнение конечно-элементного решения задачи изгиба трехслойной квадратной шарнирно-опертой пластины под синусоидальной нагрузкой с точным решением Броюсера Л. Э. (Расчеты элементов авиационных конструкций. Вып. 3, М. -.Машиностроение, 1965}. В таблицах 1, 2 представлены погрешности прогиба и

V1

Е^/Е^ 50 10 5

1 -1.2У. ОН 2,45«

10 -1.55« -1,35« 0,15«

100 -1,85« -15« 344

50 10 5

1 3.25« г,5'4 0.1Х

10 ЗУ. -3,8% -20,85«

100 0,2У. -38,4% -77%

Таблица 1

Таблица 2

(25)

нормальных напряжений , полученных на сетке 2x2 для 1/4 пластины при различных значениях отношений E^/Eg и a/h.

В § 3 предлагается схема построения поперечных касательных напряжений, непрерывных по толщине всего пакета. Она основана на интегрировании уравнений равновесия каждого слоя, в которых мембранные и изгибные напряжения считаются известными и берутся из прямого расчета. Разрешающие уравнения получаются путем интегрирования их по Ç в пределах от Ç^ до сначала просто, а затем предварительно умножив на эксцентриситет. В результате уравнения равновесия сил и моментов k-го слоя имеют вид

<3? ôP Л)с

^ Ck

^k+1 ^ Ck+i

À Ml

ci ci

S? Clc+1 ' Д3

+?гзг i Ty'z' çk

Если подставить в эти уравнения для Tx'z',xy'z' КваДРатичные аппроксимации в пределах каждого слоя, составить подобныо

уравнения для каждого слоя к=1, 2.....пи учесть, что значения

Tx'z' ,Ty'z' ,Tx*z''Ty'z' я®"®3™ известными величинами, как значения напряжений на лицевых поверхностях, то получается 4п уравнений для определения 4п-2 неизвестных. Для того, чтобы получить замкнутую систему, для двух крайних слоев вводятся по два параметра , Р*,, , Ру., которые добавляются в первыо два уравнения системы С25) при k=l,k=n. Их можно трактовать как ошибку в значениях производных от сгх<х', ау'у'- тх'у'' что вполне правомочно, т.к. эти величины вычисляются приближенно. Выбор крайних слоев объясняется тем, что в этих слоях напряжения

сг„,максимальны, следовательно, и ошибки в них тоже.

Л Л у у X у

,алее составляются два уравнения вида +1

х <т')с1С=С0р<г'>, <27)

оторые обеспечивают уравновешенность построенных напряжений и слученных из расчета перерезывающих сил. '

Для иллюстрации точности вычисления напряжений приведем ешение двух тестовых задач.

1.Перекрестно армированная двухслойная цилиндрическая оболочка, дин из торцов которой жестко закреплен, а другой перемещается на аданное расстояние А. На рис. 12,13 изображены эпюры поперечных асательных напряжений Сокружных на рис.12 и осевых на рис.13), плотные кривые - данные исследований Куликова Г. М. С /Журнал рикл. механики и техн. физики. 1988. N 5), точками отмечены астоящие результаты в случае трех КЭ по длине для половины Золочки. По окружности был взят один КЭ с наложением условий эриодичности на прямолинейных кромках.

3. Задача об изгибе шарнирно-опертой девятислойной квадратной титы из однонаправленного композита под синусоидальной 1Грузкой. В таблице 3 представлены погрешности вычислений

a/h 100 20 10 4

Txz 0.4Х 0,8'/. 2,154 7,2'/.

0,0°/. 0,4'/. 1,8* 8,9*/.

Таблица 3

шеречных касательных напряжений-, полученных по предложенной :еме в сравнении с точным решением Pagano N. СРакетн. техн. и >см. 1972. Т. 10. N7).

§ 4 посвящен разработке конечно-элементной модели юхслойных оболочек с легким заполнителем и несущими слоями !олочками типа Тимошенко (КЭ из главы III). Неизвестными шциями в заполнителе считаются напряжения поперечного сдвига =тх,2/, Чз=ту'2''чеРез которые выражаются перемещения и пряжения обжатия. Условия сопряжения заполнителя с несущими

- 24 - '

слоями для нормальных перемещений жестко навязываются в вид выполнения равенств

где - вектор перемещений и углов поворота нижнего несущег

слоя, - верхнего; а для касательных перемещений используете

обобщенный вариационный принцип , который приводит к модификаци функционала энергии к виду

А

Сх'Э Су'Э

где у; .у«' - касательные перемещения нижнего несущего слс

А 1 Сх'З (у'З

на поверхности его раздела с заполнителем, »

аналогичные компоненты для верхнего несущего слоя.

Для определения границ области применимости построение

модели рассматривалась та же задача, что и в § 2 настоящей главь

а именно: задача изгиба шарнирно-опертой квадратной трехслойнс

изотропной плиты под действием синусоидальной поперечной нагруз!

в сравнении с точным решением Брюккера Л.Э.. В таблице

представлены погрешности определения нормальных напряжений

центре пластины и в скобках напряжений поперечного сдвига на кра)

полученные на сетке 4x4.

а/Ь 10 5 4 3

1 2,1С 1,03% 1,7(0,63% 1,3(1,43% 0,8(3,43%

2 0,ОС 1,63% 1,1(4,23% 2,8(6,23% 3,7(10,23%

3 0,4(3,83% 5,3(8,03% 6,6(10,33% 6,4(14,43%

Таблица 4

-ПяШ.ЕДава посвящена задаче о свободных колебаниях тоню оболочек в плане приложения разработанных ранее конеч» элементных моделей для определения собственных частот и форм. В > дается постановка задачи, которая включает в себя: а) вывод вариационного уравнения свободных колебаний

шр^к+нй-0*)dn=0; сзш

п л

б) сведение этого уравнения к обобщенной матричной задаче на обственные значения

iKHq>-cAMHq>=0; С 31Э

в) построение матрицы i.:acc для КЭ главы II;

г) итерационную процедуру определения нижней части спектра обственных значений и векторов матричной задачи С313, известную в итературе как алгоритм Рутисхаузера и являющуюся одним из ариантов метода итераций подпространств.

В § 2 приводятся примеры некоторых 'задач - консольной цилин-;рической панели, сферического купола, лопасти гидротурбины, амкнутой цилиндрической оболочки некругового профиля. В (ольшинстве случаев дается сравнение либо с расчетными данными ;ругих авторов,. либо с экспериментальными результатами. В качестве [римера на рис. 14 структурно изображены формы колебаний лопасти >абочего колеса поворотно-лопастной гидротурбины , соответствующие гаименышш частотам, и значения этих частот в герцах. В скобках [риводятся результаты экспериментальных исследований на моделях, (ыполненные в СКВ.

BJBSCIQ&__главе исследуется линеаризованная задача устой-

швости оболочек. В § 1 дается постановка задачи устойчивости как бифуркации равновесного состояния в рамках подхода Эйлера. Зариационное уравнение нейтрального равновесия получено в ррехмерной постановке, что удобно для применения КЭ из главы III, i имеет вид

/Я CoiIciiik+crlkd1^t • дк6$*) ) d0=0. С 32)

0

1оказано, что конечно-элементная дискретизация приводит зариационное уравнение к обобщенной матричной задаче на собственные значения, для которой необходимо найти наименьшее собственное значение, соответствующее наименьшей критической ?агрузке. Описаны схемы построения матриц геометрической сесткости Сс учетом всех компонент напряжений докритического состояния) для однородного КЭ из главы III и слоистого КЭ из главы [V, основанные на представлении

Рис. 15.

3 § 2 приводятся числовые примеры, на которых демонстрируется шсокая точность разработанной схемы: стержень и длинная цилирическая оболочка под осевой силой, цилиндрическая оболочка под Зоковым давлением, коническая и торовая оболочки при кручении и г.д. В качестве примера в таблице 5 приведено решение задачи об устойчивости круговой конической оболочки при кручении в сравнении : известными теоретическими и экспериментальными решениями.

Настоящее решение Муштари Саченков А. В. Выборнов В. Г.

0,0917 0,1084 0,0913 0,0785

Таблица 5

§ 3 посвящен исследованию устойчивости пространственной тонкостенной конструкции типа шпангоута, представляющей собой *абор пересекающихся композитных ребер-пластин (рис.15). Исследуется влияние числа ребер и их размеров на значения критических нагрузок, соответствующих плоской и пространственной формам выпучивания:

_В_закдвн§ННИ сформулированы основные результаты и выводы заботы.

1. Сформулированы основные проблемы построения искрив-пенных КЭ тонких оболочек, которые возникают при попытке выполнить все условия сходимости приближенного решения к точному. Этих проблем четыре: первая - обеспечение требуемой гладкости решения, вторая - необходимость представления смещений элемента юак твердого целого, третья - хорошее представление независимых сформированных состояний (в первую очередь "чистого изгиба"), четвертая возникает для оболочек сложной геометрии и связана с 1араметризацией ее поверхности.

2. В рамках метода перемещений дана классификация КЭ гонких оболочек по типу используемых кинематических предполо-кений (гипотезы Кирхгофа-Лява или Тимошенко) и виду представ-

ления неизвестных компонент перемещений (проекции на базисн! векторы криволинейной системы координат поверхности или пр< екции на орты глобальной декартовой системы координат).

3. Для каждого типа КЭ исследована возможность • выполнен] сформулированных выше требований. При этом показано, что д; численно параметризованных оболочек наиболее эффектов! использовать в качестве неизвестных функций проекции векто] перемещений на орты глобальной декартовой системы координат, этом случае в соотношениях для деформаций отсутствуют кривизны основная информация о геометрии содержится в виде перв! производных от векторов ? и I

4. Дан подробный обзор способов выполнения сформулирс ванных выше требований с анализом возможных негативных по< ледствий каждого из них. Этот обзор также можно рассматривать кг обзор известных из литературы КЭ тонких оболочек различных типо!

5. Разработана новая конечно-элементная модель тонкс оболочки, построенная на основе гипотез Кирхгофа-Лява, с н« известными декартовыми проекциями вектора перемещений, изс параметрической кубической аппроксимацией на ыакрочетырех) гольнике, численного интегрирования и тензорных соотношешй теории оболочек. По результатам решения ряда тестовых задг делается вывод о его высокой эффективности..

6. На основе разработанного КЭ построены расчетные схемы алгоритмы исследования напряженно-деформированного состояш оболочек с дискретно заданной геометрией, оболочек с циклическс симметрией геометрии и нагрузок, составных оболочечнь конструкций. Программная реализация осуществлена на языке Фортрг применительно к ЭВМ ЕС. С помощью созданного- пакета програ» произведены расчеты ряда реальных конструкций: кронштей! передней опоры крепления двигателя автомобиля КамА£ перспективного варианта кожуха дифференциала грузового автомобилз рабочих колес турбокомпрессора высокого давления и гидротурбин! Во всех задачах обнаружены зоны концентрации и уровни напряжен! в них. Для некоторых конструкций предложены варианг конструктивной доработки.

7. Разработана методика построения КЭ тонких оболочек оболочек средней толщины на основе соотношений трехмерной теор! упругости. Показана эквивалентность так называемых элементе

Ахмада" и элементов, построенных на соотношениях теории оболочек йпа Тимошенко с неизвестными декартовыми проекциями вектора эремещений. При этом получены новые явные выражения для роизводных по декартовым координатам х',у',г' через производные о локальным координатам ?,77,(.

8. Разработан метод анализа причин потери точности сдвиговых Э при уменьшении толщины Сявление "заклинивания" или "запи-ания"). Показано существование точек минимальной погрешности ппроксимаций деформаций Сточки суперсходимости) и найдены эти очки для квадратичных аппроксимаций на прямоугольнике и етырехугольнике. Оказалось, что для разных компонент деформаций х расположения отличаются.

9. Предложен новый универсальный искривленный элемент болочки, при построении которого используются трехмерные со-тношения теории упругости в криволинейных и декартовых коор-инатах, изопараметрическая 9 -. узловая биквадратическая ап-роксимация на поверхности и линейная по толщине, численное нтегрирование по поверхностным координатам и аналитическое в оперечном направлении, 'определение вспомогательной декартовой истеиы координат в каждой квадратурной точке, двойной ппроксимации деформаций по их значениям в точках минимальной огрешности аппроксимации. Численное тестирование свидетельс-вует о высокой точности этого КЭ на редких сетках и демонст-ирует стабильность результатов в широком диапазоне изменения еометрических параметров элементов, особенно толщин.

10. На основе разработанного элемента составлен пакет рикладных программ 'ТКНЕИ.", ориентированный на ПЭВМ типа С/АТ и предназначенный для расчета произвольных тонкостенных онструкций. Решен ряд тестовых задач и рассчитаны некоторые еальные конструкции: тройниковые соединения различной конфи-урации, диски колес легкового автомобиля, элементы различных онструкций рамы грузового автомобиля и т. д.

11. Дано обобщение изотропного сдвигового КЭ на случай лоистой композитной оболочки. При этом предполагается, что аздый слой является ортотропной оболочкой с переменными в ределая элемента толщиной и углами армирования. Приведенные еханическне характеристики определяются путей аналитического итерирования по толщине со специальной корректировкой

сдвиговой жесткости. Для вычисления поперечных касательньс напряжений предложена пост-процессорная процедура их вычисления основанная на интегрировании уравнений равновесия каждого слоя напряжениях. На числовых примерах демонстрируется высокая степен точности вычисления всех компонент напряжений (кроме обжатия) достаточно широкая Св плане изменения механических характеристик область применимости.

12. Для трехслойных оболочек с мягким заполнителем, которых существенное значение имеет деформация обжатия, пред ложена конечно-элементная модель комбинированного типа. Он состоит из трех элементов: для несущих слоев - оболочечна модель по описанной выше схеме, для заполнителя - трехмерна модель в напряжениях с ненулевыми напряжениями обжатия и по перечных сдвигов, условия сопряжения для нормальных напряжени удовлетворяется точно, для касательных - вариационно. На решени ряда задач демонстрируется высокая эффективность этой схемы широком диапазоне хесткостных характеристик слоев.

13. Разработана схема решения задачи о свободных колебания тонких оболочек, для которых справедливы гипотезы Кирх гофа-Лява. Для частичного решения обобщенной матричной задачи н собственные значения используется вариант метода итераци подпространств в форме алгоритма Рутисхаузера.' Реш^-л ряд тес товых и новых задач по определении нижней части спектра частот форм свободных колебаний тонких оболочек.

14. Разработана схема решения задачи устойчивости тонки оболочек и оболочечных структур в рамках подхода Эйлера. Получен вариационные разрешающие уравнения для однослойных изотропных многослойных композитных оболочек и разработан алгорит построения их матричных аналогов. Дано решение ряда задач, н которых демонстрируется высокая точность результатов на редки сетках. Для одного варианта пространственной тонкостеннс конструкции проведен анализ ее весовой эффективности в зависимое! от геометрических характеристик.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующ* работах.

1. Голованов А. И. , Кузнецов Ю. М. Метод Рутисхаузера в конечно-элементном анализе динамических характеристик тонких оболоче //Актуальные проблемы механики оболочек. - Казань, КАИ, 1985.- (

6-10.

2. Голованов А. И. Новый конечный Элемент для расчета произвольных тонких- оболочек //Строительная механика и расчет сооружений. - 1986. - N 4. - С. 21-23.

3. Голованов А. И. Конечно-элементный расчет оболочек с дискретно-заданной геометрией //Прочность и устойчивость оболочек. Труды семинара. -Вып. XIX. Часть II. -Казань, 1986.- С. Б9-82.

4. Кузнецов Ю. М., Голованов А. И. Элементы с явным выражением жестких смещений в расчете тонких цилиндрических оболочек //Прочность и устойчивость оболочек. Труды семинара. - Вып. XIX. Часть II.- Казань, 1986.- С. 83-93.

5. Голованов А.И., Нехотяев В.В., Шалабанов А.К. Об использовании оболочек • как несущих элементов конструкции грузового автомобиля //Труды XIV Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек.- Том I.- Тбилиси, 1987.- С.361-367.

6. Черевацкий С. Б., Голованов А. И. Расчет на устойчивость шпангоута сложной структуры //Прикладная механика. - 1987. - Т. 23. - N 2. - С. 78-82.

7. Голованов А. И. Расчет составных оболочек произвольной геометрии //Проблемы механики оболочек. - Калинин, 1988. - С. 33-40.

8. Голованов А. И. Сравнительный анализ- различных схем расчета оболочек произвольной геометрии методом конечных элементов //Исследования па теория оболочек. Труды семинара.- Вып. XXI. Часть I,- Казань, 1989.- С. 104-111.

9. Голованов А.И. Исследование явления потерн точности при расчете тонких пластин сдвиговыми конечными элементами // Известия вузов. Математика. - 1989. - N 8. - С. 21-27.

10. Голованов А.И. , КорнииинМ. С. Введение в метод конечных элементов статики тонких оболочек.- Казань, 1989,- 270 е.,

11. Голованов А. И., Кузнецов D.H. Свободные колебания цилиндрических оболочек с системой симкетрично расположенных этверстий //Исследования по теории пластин и оболочек. Вкл. =1,- Казань, КГУ, 1939.- С. 131-159.

12. Голонанов А. И. Конечные элементы тонких непологих обо-чочек. Классификация и основные требования /-Прикладные проблеш точности и пластичности. Численное ' моделирование физико-

- 32 -

механических процессов. - Горький, 1990.- С. 89- -96..

13. Голованов Л.И. 0 расчете тонких оболочек трехмерными изо-параметрическиыи элементами //Исследования по теории пластин и оболочек. Вып. 20,- Казань, КГУ, 1990.- С. 134-140.

14. Голованов А. И. Расчет оболочек на основе простейших соотношений Коши //Статика и динамика элементов конструкций сложной формы. - Наб. Челны, 1990. - С. 54-59.

15. Голованов А. И. Универсальный конечный элемент тонкой оболочки //Исследования по теории оболочек. Труды семинара.- Вып. XXV.- Казань, 1990. - С. 66-83.

16. Голованов А. И. Численный анализ тонких оболочек произвольной геометрии методом конечных элементов //Геометрия и прочность в САПР изделий.- М., МАТИ, 1990,- С. 44-50.

17. Голованов А. И. , Красновский И. Ю. , Нехотяев В.В., Павленко П.Д., Песоаган A.B. Исследование прочности картера заднего моста грузового автомобиля //Проблемы динамики и прочности машиностроительных конструкций.- Казань, 1990.- С. 58-67.

18. Голованов А.И., Красновский И. Ю., Нехотяев В.В. , Песошин A.B., Шалабанов А.К. Численный анализ тонкостенных конструкций как трехмерных тел //Численные методы решения задач теории упругости и пластичности. Материалы XI Всесоюзной конференции. - Новосибирск, 1990.- С. 50-53.

19. Голованов А.И., Нехотяев В.В., Павленко П.Д. Особенности использования оболочечных конструкций как несущих элементов автомобилей //Автомобильная промышленность. - 1990, N 8.- С. 10-12.

20. Голованов А. И. , Нехотяев В.В., Павленко П. Д., Шалабано! А.К. Проектирование тонкостенных элементов рамы автомобиля нг основе комплексного исследования их прочности и долговечности //Проблемы динамики и прочности машиностроительных конструкций.-Казань, 1990,- С. 36-44.

21. Голованов А.И., Песошин А. В. Новый вариант построена трехмерного конечного элемента для анализа произвольных оболоче! //Исследования по теории пластин и оболочек. Вып. 22. - Казань, КГУ, 1990.- С. 79-90.

22. Голованов А.И. # Песошин A.B. Расчет оболочек квадратичными С0 элементами //Труды XV Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Гом I. - Казань, 1990. - С. 492—497.

23. Голованов А. И. , Песошин А. В., Красновский И. Ю., Нехотяе:

В.В. Расчет геометрически сложных штампованных конструкций как оболочек средней толщины //Известия вузов. Машиностроение. -1890. - II 4. - С. 30-34.

24. Коноплев Ю. Г. , Голованов А. И., Красновский И. 10. , Бережной Д. В. Численное исследование НДС элементов турбомашин //Газовые турбины Стеория, конструирование, производство, эксплуатация). Материалы международного сешшара.- Казань, 1990.- С. 52-61,

,.,23. Нехотяев В. 3. , Голованов А. И. Исследование напрягенно-дефсркирсванкого• состояния кронштейна крепления двигателя грузового автомобиля //Исследования по теории пластик и оболочек. Вып. ¿О,- Казань, КГУ, 1330,- С. 165-173.

со. Голованов А. И. Исследование свободных колебаний оболочек .методом коночных элементов //Исследования по теории пластан и оболочек. Вып. 23,- Казань, КГУ, 1391,- С. 81-85.

27. Голэвг.нов А. И. Конечные элементы тонки;: непологпх оболочек. Способы построения //Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения. - Н. Новгород, 19Э1.- С 58 - 65.

28. Голованов А. И , Красновский И.Ю. ИзопараметрическиЗ конечный элемент композитной оболочки с двойной аппроксимацией деформаций //Механика композитных материалов,- 1991. - N 5.- С. 885-890.

29. Голованов А. И. Исследование устойчивости тонких оболочек пзспараметрическнитг конечны!« элементани//Строительная .механика и расчет сооружений. - 1992. - М 2 - С.51-53.

30. Голованов А И Расчет трубчатых соединений как составных сболочек//Известня вуэов. Авиационная техника. - 1392. - Н 2. - С. 83-85

31. Голованов А. И. , Красновский И. С. Расчет композитных оболочек на основе гипотез Тимошенко н метода конечных эле-меитсв//Прикладная механика. - 1992. - Т. 23 - N 8.- С. 53- 53.

32. Голованов А. И. , Пэсощин А.В. Трехмерный конечный элемент для расчета произвольных оболочек//Исследования по теории пластик и оболочек. Вып. 24. - Казань, КГУ, 1892. - С. 6-21.