Расчет оптических характеристик двойных и тройных неупорядоченных сплавов золота, серебра, меди и цинка тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

Г*!-'" . .

' :\ ; На правах рукописи

Моршюва Людмила Витальевна

РАСЧЕТ ОПТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ДВОЙНЫХ И ТРОЙНЫХ НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ СПЛАВОВ ЗОЛОТА, СЕРЕБРА, МЕДИ И ЦИНКА

01.04.07 - Фиоиха твердого тела

I Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физижо-математичесхих наух

Екатеринбург - 1998 г.

Работа выполнена на хафедре математик Уральсхой государственной горно-геологичесхой ахадемии.

Научный руководитель - доктор фиоихо-математичесхих наух,

Официальные оппоненты: дохтор фшихо-математических наух,

Ведущая организация - Уральсхий государственный университет им. А.М.Горьхого

Зашдта состоится 9 октября 1998 г. в 13 часов 00 минут на заседании диссертационного совета К 002.03.01 в Институте фгоихи металлов УрО РАН по адресу: 620219, г.Ехатеринбург, ГСП-170, ул. С.Ковалевсхой, 18.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЙФМ УрО РАН.

Автореферат разослан_июля 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

профессор А.Н.ВОЛОШИНСК1Й

главный научный сотрудних В.И.ГРЕБЕННИКОВ; дохтор фшзихо-математичесхих наух, профессор А.Д.1ВЛИЕВ

хандидат физихо-математичесхих наух

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы обусловлена следующими обстоятельствами.

• Оптические свойства металлов и их сплавов, в частности, их цвет, ис-пояьоуются во многих отраслях современной науки и техники, среди которых — ювелирное дело, стоматология, производство зеркал и светофильтров.

• Для создания материалов с оаранее (заданными оптическими свойствами желателен предварительный прогноо этих свойств. Такое прогнозирование возможно на основе анализа физических механизмов взаимодействия света с веществом и построения соответствующей теории.

• В то же время оптическим свойствам неупорядоченных металлических сплавов посвящено большое число экспериментальных исследований. Теоретические же методы, как правило, применялись лишь к металлам и упорядоченным сплавам. Расчет оптических характеристик неупорядоченных металлических систем до сих пор вызывает большие трудности.

Цель работы состоит в создании метода расчета оптических характеристик неупорядоченных металлических сплавов непереходных металлов.

Научная новизна работы характеризуется следующими результатами.

1. Комплексная световая проводимость металлических сплавов выражена через полные резольвенты, что позволяет ввести в расчет приближение когерентного потенциала.

2. Разработан способ вычисления плотности состояний неупорядоченного сплава непереходных металлов по реалистическим ( т.е. рассчитанным " из первых принципов " ) плотностям состояний его компонент.

3. Вычислены плотности состоянии большого числа двойных и тройных сллавов золота, серебра, меди и цинка.

4. Рассчитана дисперсна комплексной диэлектрической проницаемости, показателя преломления, коэффициента затухания, коэффициента отражения света в диапааоне длин волн 300-1300 нм двойных и тройных сплавов оодота, серебра, меди и цинка.

Практическая ценность работы заключается в том, что :

- создан метод расчета оптических характеристик неупорядоченных сплавов непереходных металлов, основанный на использовании опытных данных по оптическим свойствам чистых компонент;

- получены новые данные о дисперсии комплексной диэлектрической проницаемости, показателя преломления, коэффициента затухания, коэффициента отражения света в ультрафиолетовом, видимом и инфракрасном диапазоне для ранее не исследованных сплавов золота, серебра, меди и цинка.

На защиту выносятся следующие положения.

• Метод расчета комплексной световой проводимости двойных и тройных неупорядоченных сплавов непереходных металлов в приближении когерентного потенциала с использованием экспериментальных данных по оптическим свойствам чистых компонент.

• На основе этого метода рассчитана дисперсия оптических характеристик шести десятков двойных и тройных сплавов золота, серебра, меди и цинка и получено удовлетворительное согласие с экспериментальными данными, что может служить подтверждением правильности данной методики.

• Метод нахождения плотностей состояний неупорядоченных сплавов по реалистическим плотностям состояний их компонент.

Апробация работы: о результатах работы докладывалось на 16-ом Международном Чернявском совещании по химии, анализу и технологии платиновых металлов ( Екатеринбург, 1996 ), на 6-ой Международной конференции " Производство и эксплуатация, годелий го сплавов благородных металлов " ( Екатеринбург, 1996 ), на 2-ой Международной конференции пБРМ-97" ( Донецк, 1997 ).

По теме диссертации опубликовано 6 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Общий объем диссертации - 206 страниц, включая 122 рисунка, 4 таблицы и список литературы го 157 наименований. Диссертации состоит го введения, четырех глав, заключения и приложения.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении отмечена актуальность темы представленной диссертационной работы, сформулированы ее цель и научные положения, выносимые на защиту, а также перечислены основные результаты, характеризующие научную новизну и практическую ценность проведенного исследования.

В первой главе рассмотрено современное состояние исследований оптических свойств металлов и сплавов, и сформулированы задачи настоящей работы.

При создании материалов с заранее заданными оптическими свойствами большую роль играют различные способы прогнозирования, так как простой перебор разных сплавов путем опытного сплавления ведет к неоправданному перерасходу дорогих материалов и большим затратам времени.

Наиболее эффективный прогноо может быть сделан, естественно, если разработать теорию оптических свойств неупорядоченных сплавов. Базисной величиной для расчета всех оптических характеристик является

комплексная световая проводимость / 1 /. Для металлов расчеты этой величины обычно проводятся для абсолютного нуля температур.

Вычисление световой проводимости металла сводится к расчету двух ее составляющих. Одна го них, так называемая внутриполосная проводимость, соответствует ускорению и последующему рассеянию электронов проводимости электрическим полем световой волны внутри одной или нескольких полос, выходящих на уровень Ферми, и находится по классической формуле Друде. Другая, так называемая межполосная проводимость, описывает квантовые переходы электронов из одной полосы (не обязательно полностью заполненной ) в другую / 1 /.

Такой подход подтверждается многочисленными экспериментальными исследованиями оптических свойств металлов и сплавов, обоор которых приведен в диссертации. При обзоре теоретических работ отмечено, что для расчета действительной части межполосной проводимости выбирается модель либо прямых, либо непрямых переходов, при этом зависящие от энергии матричные элементы перехода во многих работах считаются постоянными величинами.

Для неупорядоченных сплавов, по-видимому, более применима модель непрямых переходов, так как в силу нарушения трансляционной симметрии в этих сплавах имеет место существенное уширение одноэлехтронных уровней / 2 /. Поэтому опытные зависимости оптических характеристик неупорядоченных сплавов обычно интерпретируются с помощью формулы Берглунда-Спайсера / 3 /.

Мнимая часть световой проводимости оценивается из соотношений Крамерса-Кронига / 4 /. Недостатком такого подхода является необходимость знания дисперсии действительной части световой проводимости в очень большом диапазоне частот.

Однако главная трудность расчета оптической проводимости состоит в том, что независимо от выбора модели необходимо знание зонной

структуры металлической системы ( или плотности состояний ). Определение оонной структуры является самостоятельной проблемой. На основе анализа работ, посвященных данному вопросу, сделан вывод о том, что если для чистых металлов и упорядоченных сплавов имеются раанообра-оные надежные методы зонных расчетов, то для неупорядоченных сплавов нет достаточно простых и удобных методов расчета оонной структуры "ио первых принципов".

В то же время в раж ах приближения когерентного потенциала ( ПКП ) был предложен вариант расчета плотностей состояний сплавов на основе учета реалистических плотностей состояний компонент и предположения о том, что число электронов проводимости в сплаве равно средне-вовешенному числу электронов проводимости его компонент / 5 /. Такой метод расчета плотности состояний в сочетании с ПКП позволил достаточно хорошо описать температурные и концентрационные оависимости электросопротивления большого числа сплавов ( пятнадцати двойных и трех тройных систем ) / 6-8 /. Естественно предположить, что и расчет дисперсии оптических характеристик, испольоующий предложенный метод, приведет к разумным результатам.

Поэтому перед настоящим исследованием были поставлены следующие задачи:

• создать метод расчета дисперсии оптических характеристик неупорядоченных металлических сплавов непереходных металлов;

• апробировать этот метод на изученных экспериментально двойных и тройных сплавах, содержащих благородные металлы;

• дать прогноо оптических характеристик ряда групп сплавов, перспективных в ювелирной промышленности и ранее не исследованных экспериментально.

Во второй главе изложена разработанная теория дисперсии комплексной световой проводимости металлов и сплавов. При выводе аналитического выражения для световой проводимости может быть использован рад-личный подход. Задачи настоящего исследования диктовали необходимость создания теории, допускающей введение ПКП, что предполагало выражение световой проводимости через полные резольвенты.

Для решения задач данного исследования рассмотрена система электронов металла во внешнем переменном электричесхом поле световой водны. Гамильтониан такой системы записан в виде суммы основного оператора энергии электронов проводимости с учетом взаимодействия их с рас-сеиватеаями В и малого по сравнению с ним оператора взаимодействия элехтронов с электрическим полем световой волны частотой ы.

Представив статистический оператор системы в виде суммы его равновесной части р и неравновесной малой добавки к ней, можно линеаризовать уравнение движения для полного статистического оператора по электрическому полю световой волны. Затем, введя операторы полной резольвенты

1 —(1) Е - Я±0,57ш:р 1£

где е -+ +0 , после ряда преобразований можно получить выражение для компоненты тензора проводимости, связывающей Д-компоненту напряженности электрического поля с а - компонентой вызванного им тока:

• 2 +00

'./»И-тйг/ ¿ЕЪ^й^Н^Цх^^й^Й^Ц. (2) -00

В формуле (2): е — заряд электрона; щ — число электронов проводимости в единице объема сплава; — оператор /?-компоненты радиуса-вектора электрона; Уа — а-компонента оператора скорости электрона.

Формула (2) является общей и положена в основу теории дисперсии световой проводимости. Она эквивалентна формуле Кубо / 9 /, но более

удобна для введения ПКП, поскольку содержит полные резольвенты.

При отсутствии внешнего магнитного поля тензор световой проводимости непереходного металла кубической симметрии диагонален. Кроме того, такой тензор имеет одинаковые диагональные компоненты. Исходя из отих условий, индексы у световой проводимости а(и) могут быть опущены.

Для дальнейшего упрощения формулы ( 2 ) необходимо было найти в разумном приближении полные резольвенты задачи. Они вычислены с использованием ПКП. Дм этого в формулы для световой проводимости введен оператор рассеяния Т:

д = дЫЕ)+0ЫЕ)Т±(Е)6^(Е). (3)

В формуле ( 3 ) есть диагональная в представлении основного

гамильтониана системы Я0 часть полной резольвенты:

= (5)

может быть назван оператором когерентного потенциала ( £ характеризует сдвиг, а 7 — уширение одноэлектронных уровней за счет рассеяния).

Учитывая только две полосы ( полностью заполненную ¿-полосу и единую модельную з-полосу, включающую в себя р- и з-полосы ) при рассмотрении световой проводимости, можно представить а(и) в виде суммы двух слагаемых, одно из которых соответствует внутрююлосному ускорению электронов проводимости электрическим полем световой волны, а второе — межполосным переходам электронов при поглощении ими кванта света:

= (6) } ¡ФН

а

Ограничившись случаем металлов, в сплавах которых взаимодействие электронов проводимости с электричесхими полями ионов является слабым, можно опустить в выражении для проводимости слагаемые, содержащие матричные элементы оператора рассеяния.

При этом для внутриполосной проводимости ( по з-полосе только, так как ¿-полоса в непереходных металлах уровнем Ферми не пересекается ) в пределе абсолютного нуля температур получается ювестная формула Друде / 1 /:

где есть квадрат скорости электронов з - полосы, а д,р — плотность ее состояний на уровне Ферми.

Формула ( 7 ) и используется для расчета однополосной световой проводимости рассматриваемых сплавов.

Межполосная часть проводимости вычислена с учетом тольхо непрямых переходов электронов. Дело в том, что число фотонов, падающих на поверхность металла за время жизни возбужденного состояния атома, в реальных условиях всегда много меньше числа атомов на этой поверхности, и далеко не хаждый атом возбуждается и совершает квантовый переход под действием световой волны. Поэтому при межполосном поглощении фотонов неизбежно нарушение трансляционной инвариантности при переходе олехтрона, а, следовательно, и нарушение закона сохранения его квавиим-пульса. Кроме того, в сплавах происходит значительное уширение уровней оа счет взаимодействия электронов с непериодичесхими электрическими полями атомов сплава.

Тахим образом, в модели непрямых переходов и без учета зависимости квадрата модуля межполосного матричного элемента схорости от волновых векторов, для межполосной проводимости было получено следующее выражение:

ю

,2 +Пр(Е)-р(Е1) дл{Е)д,{Е1)6ЕйЕ1

-со

где р(Е) - функция распределения Ферми, д^Е) и д,(Е) - плотности состоянии и з- полос.

Формула ( 8 ) лежит в основе расчета дисперсии межполосной части комплексной световой проводимости сплавов. Она пооволяет вычислять как действительную, так и мнимую часть этой величины.

Но выражения для действительной части межполосной проводимости, пренебрегая уширением о дноэ лек тронных энергетических уровней за счет рассеяния, для абсолютного нуля температур получается известная формула Берглунда-Спайсера / 3 /.

В диссертационной работе вывод выражений ( 7 ) и ( 8 ) для дисперсии комплексной световой проводимости проведен и непосредственно из теории линейного отклика Кубо. Показано, что результаты обоих подходов совпадают.

Третья глава посвящена нахождению величин, входящих в формулы для световой проводимости, полученные во второй главе. Речь идет о плотностях состояний и мнимых частях когерентных потенциалов и з-полос, а также о квадратах модулей внутриполосного и межполосного матричных элементов скорости электронов.

Первые две величины находятся из решения уравнений ПКП. В работе приведены уравнения для определения когерентного потенциала в однополосной модели проводимости для двойных и тройных сплавов непереходных металлов. В частности, для бинарного сплава такое уравнение имеет вид:

и

где Со (а = {А, В}) — концентрация а-компоненты сплава; X/ — параметр, характеризующий интенсивность рассеяния электронов на примесях, который в локальном приближении не оависит от волновых векторов электронов и принимается равным Е^-Е?, где Е* — энергетический центр тяжести плотности состояний ]- я полосы а - металла; ; = {з,

Й наконец, функция Грина электрона находится с использованием представления Лемана /10 /:

-00

При этом уравнения ( 9 ) решаются методом итераций.

Исходные плотности состояний з- и ¿-полос сплава, входящие в формулу ( 10 ), определяются из условия средневовешенности числа электронов в данной полосе сплава от чисел электронов соответствующих полос его компонент. В диссертационной работе приведены выражения для плотности состояний з - полосы сплава и энергий ее начала и конца, и проиллюстрирован вариант выбора исходных модельных плотностей состояний з-полос компонент сплава. Проведен подробный вывод аналогичных выражений для ¿-полос сплавов непереходных металлов и приведены использованные в работе реалистические плотности состояний компонент этих сплавов (рис.1).

Предложен способ нахождения матричных элементов скорости: в сплавах эти величины аппроксимированы их средневзвешенными значениями от матричных элементов, соответствующих чистым компонентам. Матричные элементы чистых компонент определяются по экспериментальным оптическим данным.

В четвертой главе представлены результаты расчетов оптических характеристик двойных и тройных сплавов на основе золота, серебра, меди и цинка. Выбор этих четырех металлов обусловлен тем, что все они являются непереходными, расположены в одном или в двух соседних столбцах

таблицы Менделеева, и имеются достаточно надежные экспериментальные оптические данные как для самих этих металлов, так и для некоторых их сплавов.

В частности, го опытных данных следует, что все эти металлы имеют отчетливо выраженный оптический край поглощения, который определяет их цвет. В основе интерпретации наблюдаемых оптических свойств этих металлов лежит физический механизм поглощения ( отражения ) ими света, заключающийся в квантовом переходе электрона при поглощении фотона из заполненной ¿-полосы в незаполненные состояния р- и з - полос ( т.е. на уровень Ферми и выше ). Наличие энергетического зазора в несколько электрон-вольт между потолхом полностью заполненной Л - полосы и энергией Ферми в рассчитанных элехтронных спектрах данных металлов и объясняет экспериментальный край поглощения / 1 /.

В работе на основе полученных формул для внутриполосной и межполосной световой проводимости и связи оптических характеристик между собой рассчитаны дисперсия действительной и мнимой е2 частей комплексной диэлектрической проницаемости, показателя преломления п, коэффициента затухания А и коэффициента отражения В ках чистых золота, серебра, меди и цинка, так и трех десятков двойных и трех десятков тройных сплавов этих металлов в диапазоне длин волн электромагнитного излучения от 300 до 1300 нм ( составы сплавов приведены в соответствующих таблицах).

Рассчитанные дисперсионные зависимости перечисленных оптических характеристик для всех чистых металлов, двадцати трех двойных и восьми тройных сплавов сопоставлены с имеющимися экспериментальными данными.

Так, на рис.2 приведены результаты расчетов дисперсии еь е2 и й золота в сравнении с опытными данными / 11 /.

Ках видно из этого и остальных рисунков для чистых металлов, со-

а сост-

2 5- = ' эх-за

2,0-

Рис.1 Электронная плотность состояний оолота / 12 /

-10

-50

•70

' 7 —- г -

-в 7 -

-5 1 / \ /

-4 и \ / / "

-3

-2 ]\

-1

4Ш 600 800 1000 1200

Я

1Л

0,9 0,8 0,7 В,£ 0,5 0,4 0,3

Я, ни

Рис.2 Дисперсия комплексной диэлектрической проницаемости и коэффициента отражения оолота : —— — результаты настоящих расчетов, -— экспериментальные данные / И /

держащихся в диссертации, имеется хорошее согласие между расчетными и экспериментальными данными. Действительно, практически во всей исследованной области спектра оначения коэффициента отражения, полученные расчетным путем, отличаются от соответствующих значений, определяемых из опыта, не более, чем на 3 - 5 % . То же самое можно схавать и о действительной части комплексной диэлектрической проницаемости и коэффициенте затухания. Более существенное отклонение расчетных и опытных значений наблюдается для мнимой части диэлектрической проницаемости и для показателя преломления. Например, в длинноволновом диапазоне разница между соответствующими значениями п или е2 золота достигает 50 % . Однако, подобие между этими кривыми по-прежнему сохраняется, а на й это расхождение существенно не влияет.

Количественные расхождения, по-видимому, связаны с неточностями многочисленных расчетов плотностей состояний металлов " из первых принципов Все имеющиеся результаты таких расчетов совпадают лишь качественно, отличаясь относительными высотами соответствующих пиков и расстояниями между ними. Кроме того, в расчетах не учитываются особенности структуры поверхности металлов, что является существенным при экспериментальном изучении оптических свойств металлов и их сплавов.

Сравнение расчетных и опытных данных по оптическим характеристикам двойных систем Ag - Аи, Си - Аи,Си - Ag, Аи - , Ag - Zn, Си - Ъп и тройных систем Си - Ag - Аи, Zn - Си - Аи демонстрирует удовлетворительное качественное согласие между ними. ( На рис.3 изображены данные для сплава Сиво^Ащ^ ( ат. %).) Как видно из рис.3 и других рисунков, приведенных в работе, каждая пара соответствующих кривых имеет примерно одинаковый интервал роста ( убывания ). То же самое можно сказать и об областях выпуклости и вогнутости. Экстремумы этих кривых приходятся тоже примерно на одну и ту же область спектра.

В работе анализируются также причины количественных отличий расчетных и опытных данных, особенно существенных для е^ и п. Это и неполное соответствие аналогичных данных для чистых металлов, и, по-видимому, более сложный характер концентрационной оависимости квадратов матричных элементов скорости в сплавах, и испольоование предположения о кубической кристаллической решетке для сплавов сцинком, тогда как чистый цинк обладает гексагональной плотноупакованной структурой. Кроме того, имеется определенный разброс опытных данных разных авторов, и, наконец, невозможно полностью исключить частичное упорядочение сплавов в эксперименте.

Для двойных систем Си - А§, -Ъ& ъ тройных систем

- Си - Аи, 2п - Ag - Аи, - Си - Ag, экспериментальные данные о которых отсутствуют или малочисленны, результаты расчетов сгруппированы по оптическим характеристикам, что позволяет проследить их зависимость от концентрации компонент в системах ( рис. 4 ).

Для всех двойных систем приводятся также концентрационные зависимости энергетического положения первого пика поглощения. Хорошее количественное совпадение теоретических и экспериментальных результатов наблюдается для систем Ag - Аи, Си - Аи, Си - А.^ ( рис. 5 ). Так как первый пик ( как и оптический край ) поглощения непосредственно связан с цветом вещества, это свидетельствует о возможности достаточно надежного теоретического предсказания цвета сплавов этих систем. Экспериментальные данные для сплавов, содержащих цинк, слишком отрывочны для подробного анализа соответствующих систем.

Рассчитаны плотности состояний всех исследованных в работе сплавов. Для девяти двойных сплавов проведено детальное сравнение результатов расчета как с имеющимися другими теоретическими данными, так и с данными опыта. Для золото-серебряных сплавов прослежена зависимость плотности состояний от концентрации компонент ( связанная с концентра-

эффициента отражения сплава Сц5о,8 Агцд^ ( ат. %): —— — реоультаты настоящих расчетов,-— экспериментальные данные / 13 /

я

0.3 0,6

0,4

4СЮ 600 800 «ООО иоо ,

Л , нм

Рис.4 Дисперсия коэффициента отражения сплавов 2^841,5-^1158,5 (вес.%)

Рис.5 Смещение первого пика поглощения в системах Ag - Аи, Си - Аи и Си - : —— — результаты настоящих расчетов, — « — — экспериментальные данные /14 /

Рис.6 Плотность состояний сплава Agб0 Аи40 ( ат. %):

—— — результаты настоящих расчетов,

-— результаты расчетов методом РККР-ПКП / 15 /,

---— результаты фотоэмиссионных измерений / 16 /

ционной зависимостью смещения spaa оптического поглощения ) в сопоставлении с данными эксперимента и результатами других работ (рис.6). Сделан вывод о неплохом согласии плотностей состояний, полученных в данной работе, с измеренными и рассчитанными другими авторами ( при отсутствии в спектрах резких пиков ).

Сравнение рисунков плотностей состояний для чистых металлов и сплавов позволяет говорить и о существенной нелинейности концентрационной зависимости этой величины, что указывает на правильность фундаментального предположения о средневзвешенности не самой плотности состояний, а числа электронов проводимости сплава от чисел электронов проводимости его компонент.

И, наконец, один из разделов четвертой главы посвящен цвету сплавов. Показано, как по вычисленной дисперсии коэффициента отражения можно определить цветовые координаты и оценить цвет сплава. Определен-нные по расчетным и экспериментальным данным для Й(А) координаты цветности всех исследованных в работе сплавов приведены в таблицах.

В заключении перечислены основные результаты работы.

В приложении приводятся формулы для расчета оптических характеристик.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Получено аналитическое выражение для вычисления комплексной световой проводимости неупорядоченных металлических сплавов ( 7,8 ). Эта формула выведена как из уравнения для статистического оператора металлической системы, тах и из теории линейного отклика Кубо. Особенность данного выражения для а(ш) состоит в том, что введение в него полных резольвент позволило применить приближение когерентного потенциала.

2. Преимущество полученной формулы для межполосной части комплексной световой проводимости ( 8 ) перед ранее известными выражениями заключается в том, что она позволяет:

- вычислять в рашах единого подхода как действительную, так и мнимую части этой величины, не пользуясь соотношениями Кра-мерса-Кронига;

- учесть уширение одноэлектронных энергетических уровней электронов активных полос за счет рассеяния ( т.е. обобщить формулу Берглунда-Спайсера для действительной части межполосной проводимости );

- использовать реалистические (полученные "из первых принципов") плотности состояний для компонент сплава.

3. Для вычисления плотностей состояний неупорядоченного сплава используется приближение когерентного потенциала. Предложен метод нахождения исходной плотности состояний сплава, входящей в уравнение для когерентного потенциала, основанный на условии средне-взвешенности числа электронов каждой из его полос от чисел электронов аналогичных полос его компонент. В качестве исходных плотностей состояний ¿-полос хомпонент сплава берутся их реалистические электронные спектры, а для гибридизированных з -р~ полос используются модельные плотности состояний с параметрами, определяемыми из требования наилучшего соответствия с опытными данными и условия нормировки. Предложенным методом рассчитаны плотности состояний всех исследованных сплавов. Результаты расчетов в целом хорошо коррелируют как с опытными, так и с расчетными данными других авторов.

4. Методом, основанным на полученном выражении для световой проводимости и введении в него приближения когерентного потенциала,

рассчитала дисперсия комплексной диэлектрической проницаемости, по которой затем вычислена дисперсия показателей преломления, коэффициентов затухания, коэффициентов отражения света в диапазоне 3001300 нм для трех десяткой двойных и трех десятков тройных неупорядоченных сплавов с участием золота, серебра, меди и цинка. Показано, что найденные дисперсионные кривые удовлетворительно согласуются с имеющимися экспериментальными данными. Построены концентрационные кривые смещения первого пика поглощения для всех двойных систем, также удовлетворительно согласующиеся с экспериментом.

5. Таким образом, сравнение расчетных и опытных данных позволяет сделать вывод о том, что несмотря на ряд довольно грубых предположений ( слабость взаимодействия в сплавах, средневзвешенность квадратов матричных элементов скоростей сплавов, кубическая кристаллическая решетка для сплавов с цинком и т.д.) и вынужденное исполь-оование двух параметров для корректировки по экспериментальным оптическим данным абсолютной величины межполосной проводимости чистых металлов, предложенный метод расчета правильно описывает дисперсию всех оптических характеристик. В частности, этот метод может быть использован для прогнозирования оптических свойств неупорядоченных сплавов непереходных металлов, например, их цвета.

Следует отметить, что предлагаемый метод расчета оптических характеристик неупорядоченных сплавов может быть распространен и на неупорядоченные сплавы других непереходных металлов, а также на сплавы с участием переходных металлов.

Цитированная литература

1. Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела: В 2 т. - М.: Мир, 1979. 2 т.

2. Изменение электронной энергетической структуры и оптических свойств в сплаве FeCo при переходе порядок-беспорядок / Й.Н.Анохина, В.Е.Егорушхин, С.Е.Кулькова, В.П.Фадин // ФТТ. - 1981. - Т. 23, Вып. 10. - С. 2971-2976.

3. Berglund C.N., Spicer W.E. Photoemission Studies of Copper and Silver: Experiment // Phys. Eev. - 1964. - Vol. 136, N 4A. - P. A1044-1Q64.

4. Займан Дж. Принципы теории твердого тела: Пер. с англ. - М.: Мир, 1966. - 416 с.

5. Двухполосная модель когерентного потенциала в применении к расчету остаточного электросопротивления сплавов / А.Н.Волошинский, Ю.Ю.Цновкин, Н.В.Рыжанова, Л.Ю.Вишнеков // ФММ. - 1989. -

Т. 68, Вып. 4. - С. 629-634.

6. Циовкин Ю.Ю., Вишнеков Л.Ю., Волошинский А.Н. Расчет концентрационной зависимости остаточного электросопротивления бинарных сплавов в двухполосном приближении когерентного потенциала // ФММ. -1991. - N 7. - С. 48-58.

7. Циовкин Ю.Ю., Волошинский А.Н. Расчет температурных и концентрационных зависимостей электросопротивления сплавов в двухполосном приближении когерентного потенциала // ФММ. - 1993. - Т. 75, Вып. 3. - С. 25-37.

8. Электросопротивление неупорядоченных бинарных сплавов / В.К.Ру-денко, А.Г.Обухов, И.Н.Саханская, А.Н.Волошинский // Производство и эксплуатация изделий из благородных металлов. - Екатеринбург: УрО РАН, 1997. С. 187-200.

9. Кубо Р. Статистическая механика необратимых процессов. ¡.Общая теория и некоторые простые приложения к задачам магнетизма и электропроводности // Вопросы квантовой теории необратимых процессов: Пер. с англ. - М.: Мир, 1961. С. 39-72.

10. Эренрейх Г., Шварц Л. Электронная структура сплавов: Пер. с англ. -М.: Мир, 1979. - 200 с.

11. Johnson Р.В., Christy R.W. Optical Constants of the Noble Metals // Phys. Rev. - 1972. - В б, N 12. - P. 4370-4379.

12. Christensen N.E., Seraphin B.O. Relativistic Band Calculation and the Optical Properties of Gold // Phys. Rev. - 1971. - В 4, N 10. -

P. 3321-3344.

13. Экспериментальное исследование зависимости цвета ювелирных сплавов от химического и фазового состава / А.В.Дружинин, А.А.Махнев, В.М.Маевский , И.Н.Саханская, Н.Н.Голикова, В.К.Руденко. Екатеринбург, 1997. - 96 с. - Деп. в ВИНИТИ 04.02.98, per. N 274-В98.

14. Оптические характеристики и закономерности формирования цвета бинарных сплавов на основе золота, серебра и меди / М.М.Кириллова, А.В.Дружинин, А.А.Махнев, Н.Д.Лобов, И.Н.Саханская, В.К.Руденко. Екатеринбург, 1997. - 59 с. - Деп. в ВИНИТИ 14.01.98, per. N 31-В98.

15. Ebert Н., Weinberger P., Voitlander J. Electronic Structure of Agx Aui_r II Zeitschrift ffir Physik. - 1986. - В 63, N 3. - P. 299-304.

16. A Theoretical Study of X-Ray Photoemission Spektra (XPS) of Some Noble Metal Alloys: AuPt, AgPt and AuNi / U.Konig, P.Marksteiner, J.Redinger, P.Weinberger, H.Ebert // Zeitschrift ffir Physik. - 1986. - В 65, N 2. -

P. 139-147.

Основное содержание диссертации отражено в следующих работах:

А1. Расчет цвета сплавов на основе благородных металлов. / В.К.Руденхо, Л.В.Морилова, А.В.Дружинин, А.Н.Вояошинсхнй // XVI Международное Черняевсхое совещание по химии, анализу и технологии платиновых металлов: Тез. дохл. - М.,1996.- С.250.

А2. Теория оптических свойств сплавов благородных металлов / В.К.Руденхо, Л.В.Морилова, А.В.Дружинин, А.Н.Волоншнсхий // Производство и эксплуатация изделий из благородных металлов. - Екатеринбург: УрО РАН, 1997. С.200-215.

АЗ. Расчет оптических свойств тройных сплавов благородных металлов / В.К.Руденхо, Л.В.Морилова, А.В.Дружянин, А.Н.Волоншнсхий // Там же. С. 215-222.

А4. Морилова Л.В., Волошинсхий А.Н. Расчет оптических свойств сплавов золота с серебром // ФММ. - 1997. - Т. 84, Вып. 4. - С. 22-34.

А5. Изучение колориметрических характеристик ювелирных сплавов. Эксперимент и теория. / В.К.Руденхо, И.Н.Сахансхая, А.В.Дружинин, А.А.Махнев, Л.В.Морилова, А.Н.Волопшнсхий // Благородные и редкие металлы. Сборник информационных материалов второй международной конференции " БРМ-97 Часть III.- Донецк,1997.- С.36-37.

А6. Оптические свойства двойных сплавов непереходных металлов / Л.В.Морилова, А.А.Махнев, А.В.Дружинин, А.Н.Волошинсхий // ФММ. - 1998. - Т. 85, Вып. 3. - С. 82-88.

Подписано в печать 10.07.98

Печать офсетная. Формат бумаги 60x84 1/16

Печ.л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ-/«"7

620219, г.Екатеринбург, ул.Куйбышева, 30

Уральская государственная горно-геологическая академия

Лаборатория множительной техники

/

Государственный комитет России по высшему образованию УРАЛЬСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГОРНО-ГЕОЛОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

На правах рукописи УДК 669.215:539.2:530.145

Морилова Людмила Витальевна

РАСЧЕТ ОПТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ДВОЙНЫХ И ТРОЙНЫХ НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ СПЛАВОВ ЗОЛОТА, СЕРЕБРА, МЕДИ И ЦИНКА

Специальность 01.04.07 - Физика твердого тела

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель -доктор физико-математических наук, профессор Волошинский А.Н.

Екатеринбург, 1998 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение 4

Глава 1. Постановка задачи 7

Глава 2. Теория дисперсии световой проводимости

металлов и сплавов 12

2.1. Постановка задачи к главе 2 12

2.2. Выражение световой проводимости через полные резольвенты 12

2.3. Световая проводимость сплавов непереходных металлов 17

2.4. Оптическая проводимость в теории Кубо-Гринвуда 23

2.5. Выводы к главе 2 27

Гиава 3. Расчет оптических характеристик

сплавов непереходных металлов 28

3.1. Посталовка задачи к главе 3 28

3.2. Приближение когерентного потенциала

дм двойных и тройных сплавов 28

3.2.1. Уравнение для определения когерентного потенциала

в однополосной модели проводимости 28

3.2.2. Функция Грина и определение исходных плотностей состояний сплава 30

3.3. Определение матричных элементов скорости 35

3.4. Выводы к главе 3 38

Глава 4. Результаты расчетов оптических

характеристик сплавов 39

4.1. Оптические свойства золота, серебра, меди и цинка 39 4.1.1. Общая характеристика оптических свойств

золота, серебра, меди и цинка 39

4.1.2. Методика расчета оптических характеристик чистых металлов 40

4.1.3. Результаты расчета оптических характеристик золота, серебра, меди и цинка 47

4.2. Двойные сплавы 56

4.2.1. Методика расчета оптических характеристик двойных сплавов 56

4.2.2. Система Ag-Au 57

4.2.3. Система Си- Аи 75

4.2.4. Система Си-Ag 88

4.2.5. Система Au-Zn 95

4.2.6. Система Ag-Zn 106

4.2.7. Система Си-Zn ИЗ

4.2.8. Смещение первого пика поглощения в двойных сплавах 122

4.3. Тройные сплавы 131

4.3.1. Особенности методики расчета оптических характеристик тройных сплавов 131

4.3.2. Система Си - Ag - Аи 132

4.3.3. Система Zn-Си-Аи 147

4.3.4. Система Zn-Ag-Au 150

4.3.5. Система Zn-Си-Ag 161

4.4. Цвет сплавов 178

4.5. Выводы к главе 4 185 Заключение 186 Список литературы 189 Приложение 206

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы обусловлена следующими обстоятельствами.

• Оптические свойства металлов и их сплавов, в частности, их цвет, используются во многих отраслях современной науки и техники, среди которых — ювелирная промышленность, стоматология, производство зеркал и светофильтров.

• Для создания материалов с заранее заданными оптическими свойствами желателен предварительный прогноз этих свойств. Такое прогнозирование возможно на основе анализа физических механизмов взаимодействия света с веществом и построения соответствующей теории.

• В то же время оптическим свойствам неупорядоченных металлических сплавов посвящено большое число экспериментальных исследований. Теоретические же методы, как правило, применялись лишь к металлам и упорядоченным сплавам. Расчет оптических характеристик неупорядоченных металлических систем до сих пор вызывает большие трудности.

Цель работы и состоит в создании метода расчета оптических характеристик неупорядоченных металлических сплавов непереходных металлов.

Научная новизна работы характеризуется следующими результатами.

1. Комплексная световая проводимость металлических сплавов выражена через полные резольвенты, что позволяет ввести в расчет приближение когерентного потенциала.

2. Разработан способ вычисления плотности состояний неупорядоченного сплава непереходных металлов по реалистическим ( т.е. рассчитанным

И ____ Н \ V

из первых принципов ) плотностям состоянии его компонент.

ь

3. Вычислены плотности состояний большого числа двойных и тройных сплавов оолота, серебра, меди и цинка.

4. Рассчитана дисперсия комплексной диэлектрической проницаемости, показателя преломления, коэффициента затухания, коэффициента отражения света в диапазоне длин волн 300-1300 нм двойных и тройных сплавов оолота, серебра, меди и цинка.

Практическая ценность работы заключается в том, что :

- создан метод расчета оптических характеристик неупорядоченных сплавов непереходных металлов, основанный на использовании опытных данных по оптическим свойствам чистых компонент;

- получены новые данные о дисперсии комплексной диэлектрической проницаемости, показателя преломления, коэффициента затухания, коэффициента отражения света в ультрафиолетовом, видимом и инфракрасном диапазоне для ранее не исследованных сплавов золота, серебра, меди и цинка.

Апробация работы: о результатах работы докладывалось на 16-ом Международном Черняевском совещании по химии, анализу и технологии платиновых металлов ( Екатеринбург, 1996 ), на 6-ой Международной конференции " Производство и эксплуатация изделий из сплавов благородных металлов " ( Екатеринбург, 1996 ), на 2-ой Международной конференции "БРМ-97" (Донецк, 1997 ).

На оащиту выносятся следующие положения.

• Метод расчета комплексной световой проводимости двойных и тройных неупорядоченных сплавов непереходных металлов в приближении когерентного потенциала на основе использования экспериментальных данных по оптическим свойствам чистых компонент.

• Обоснование этого метода выполнено на основе расчета дисперсии оптических характеристик шести десятков двойных и тройных сплавов оолота, серебра, меди и цинка и полученного удовлетворительного согласия с экспериментальными данными.

• Метод нахождения плотности состояний неупорядоченных сплавов по реалистическим плотностям состояний их компонент.

Глава 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В настоящее время много усилий затрачивается на создание материалов с заранее заданными оптическими свойствами. Tai, например, обращает на себя внимание задача изготовления ювелирных сплавов заданной пробы золота или серебра, оттенок которых может быть варьирован от желтого или красного до зеленого или синего путем включения в сплав определенных металлических добавок (меди, цинка, алюминия и др.). Для спайки ювелирных изделий, в свою очередь, часто необходимо создавать материал той же пробы и того же цвета, что и изделие, но имеющий температуру плавления на 100 - 200 градусов ниже.

Материалы, разрабатываемые для нужд стоматологии, наряду с другими свойствами должны иметь требуемый цвет.

Наконец, в качестве важного примера можно отметить производство особых зеркал и светофильтров, применяемых в ряде оптических приборов для съемки поверхности Земли, спектрального анализа, а также в лазерах. При изготовлении этих деталей существенно предсказание прежде всего таких оптических свойств материалов, как характер отражения и поглощения ими света.

Естественно, что при решении задачи создания материалов с заданными оптическими свойствами большую роль играют различные способы прогнозирования, так как простой перебор разных сплавов путем опытного сплавления ведет к неоправданному перерасходу дорогих материалов и большим затратам времени.

Базисной величиной для расчета всех оптических характеристик является комплексная световая проводимость / 1 /. Если она известна, то можно легко найти дисперсию комплексной диэлектрической проницаемости и определить все остальные оптические характеристики, такие как показатель преломления, коэффициент затухания и коэффициент отражения данного вещества, а также его цветовые координаты.

Для металлов эти расчеты обычно проводятся для абсолютного нуля

температур, поскольку экспериментально установлено, что оптические свойства нормальных и ¿-переходных металлов и их сплавов слабо зависят от температуры в широкой области температур /2-17/.

Вычисление световой проводимости металла сводится к расчету двух ее составляющих. Одна из них, так называемая внутриполосная проводимость, соответствует ускорению электронов проводимости электрическим полем световой волны внутри одной или нескольких полос, выходящих на уровень Ферми, и находится по классической формуле Друде. Другая, так называемая межполосная проводимость, описывает квантовые переходы электронов из одной полосы ( не обязательно полностью заполненной ) в другую / 18,19/.

Экспериментальные исследования оптических свойств металлов и сплавов показывают, что световая проводимость для металлов и сплавов существенно зависит от частоты падающего света / 2-17,20-74 /. В инфракрасной области спектра действительная часть световой проводимости, как правило, резко убывает с ростом частоты. Такое поведение в основном обусловлено внутриполосным ускорением электронов проводимости и описывается формулой Друде. При дальнейшем увеличении частоты падающего света, начиная с некоторого ее порогового значения, характер зависимости изменяется. На дисперсионной кривой световой проводимости отмечается появление системы пиков и провалов, в делом коррелирующих с видом кривой плотности состояний металлической системы. Такой вид дисперсии объясняется определяющим влиянием на световую проводимость межполосных квантовых переходов электронов.

При расчете действительной части межполосной проводимости выбирается модель либо прямых, либо непрямых переходов. В модели прямых ( вертикальных ) переходов считается, что квазиимпульс электрона при его взаимодействии с фотоном сохраняется. В модели непрямых переходов такого сохранения не требуется / 18,75,76 /.

Действительная часть межполосной проводимости в модели прямых

переходов рассчитывается черев оптическую ( комбинированную ) плотность состояний / 3,17,42,76-80 /, а в модели непрямых переходов — по формуле Берглунда-Спайсера через плотности состояний оптически активных полос / 21,22,78,79,81,82 /. В обоих случаях необходимо знание зонной структуры металлической системы и энергетической зависимости матричного элемента перехода.

Определение зонной структуры является самостоятельной проблемой. Если для чистых металлов и упорядоченных сплавов ее можно найти зонными расчетами, то для неупорядоченных сплавов нет достаточно простых и удобных методов расчета зонной структуры "из первых принципов". Так, можно рассчитать электронную структуру большого числа кластеров со случайным расположением атомов, а затем провести усреднение по всем конфигурациям / 78,83-87 /. Такие расчеты очень громоздки и трудны, ибо обычно учитывается несколько десятков конфигураций, а кластер содержит до 105 атомов. Неясно также, как обеспечить сходимость описанного процесса как по отношению к увеличению числа конфигураций, так и по отношению к изменению размеров и формы кластера. Другой подход — теория многократного рассеяния в эффективной среде. Основными вариантами этого метода расчета электронного спектра являются приближения виртуального кристалла, средней Т-матрицы и когерентного потенциала / 78,88-108 /. В наиболее совершенном варианте, приближении когерентного потенциала, плотности состояний неупорядоченного сплава находятся самосогласованным образом / 88-94,96-106,108 /. При этом в качестве исходных плотностей состояний, как правило, берутся модельные плотности состояний / 99-106,108 /.

Во многих работах принимается, что в оптическом диапазоне частот матричные элементы перехода слабо зависят от энергии и они считаются постоянными величинами / 17,21,22,37,42,53,55,56,65,79-81,109,110 /. Хотя в ряде работ / 3,43,62,66,67,71,73,77,111-122 / зависимости межполосных матричных элементов от энергии учитываются.

Данные измерений показателя преломления и коэффициента затухания металлов и упорядоченных сплавов хорошо согласуются с результатами расчетов межполосной световой проводимости как в модели прямых переходов / 347,42,43,66,73,77,80409,113-115,117,120-123 /, так и в модели непрямых переходов / 21,37,44,53,55,56,65,74,81 /. В некоторых работах проведено сравнение обоих подходов на базе анализа экспериментальных данных по световой проводимости нормальных и переходных металлов / 33,79,110,116,119,124,125 /. Авторы работ / 22,36,126 / часть особенностей на дисперсионных кривых объясняют в рамках модели прямых переходов, а часть — в рамках модели непрямых переходов. В работе / 75 / предложен метод разделения вкладов прямых и непрямых переходов в величину межполосной проводимости чистых металлов. Однако, во многих металлах очень трудно определить, сохраняется ли квазиимпульс электрона при оптическом переходе, т.к. их зонная структура содержит участки постоянной энергии ( плоские зоны ) / 17,27,75,109 /.

Для неупорядоченных сплавов, по-видимому, более применима модель непрямых переходов, т.к. в силу нарушения трансляционной симметрии в этих сплавах имеет место существенное уширение одноэлектронных уровней / 79 /. Поэтому опытные зависимости оптических характеристик неупорядоченных сплавов обычно интерпретируются с помощью формулы Берглунда-Спайсера / 21 /.

Мнимая часть световой проводимости оценивается из соотношений Крамерса-Кронига / 127 /. Для такой оценки требуется знание дисперсии действительной части световой проводимости в очень большом диапазоне частот. В практических расчетах это труднодостижимо / 128-130 /.

В рамках приближения когерентного потенциала был предложен вариант расчета плотностей состояний сплавов на основе учета реалистических плотностей состояний компонент и предположения о том, что число электронов в каждой полосе сплава равно средневзвешенному числу электронов соответствующих полос его компонент / 131 /. Такой метод

расчета плотности состояний в сочетании с приближением когерентного потенциала позволил достаточно хорошо описать температурные и концентрационные зависимости электросопротивления большого числа сплавов (пятнадцати двойных и трех тройных систем) / 132-135 /. Естественно предположить, что и расчет дисперсии оптических характеристик, использующий предложенный метод, приведет к разумным результатам.

Перед настоящим исследованием стояли следующие задачи:

• создать метод расчета дисперсии оптических характеристик неупорядоченных металлических сплавов непереходных металлов;

• апробировать этот метод для двойных и тройных сплавов на основе благородных металлов;

• дать прогноз оптических характеристик ряда групп сплавов, перспективных в ювелирной промышленности и не исследованных экспериментально.

ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ ДИСПЕРСИИ СВЕТОВОЙ ПРОВОДИМОСТИ

МЕТАЛЛОВ И СПЛАВОВ 2.1. Постановка задачи 5 главе 2

При выводе аналитического выражения для комплексной световой проводимости может быть использован различный подход / 9,76,78,82, 108,115,136-140 /. Задачи настоящего исследования диктовали необходимость создания теории, допускающей введение приближения когерентного потенциала (ПКП ), что предполагает выражение световой проводимости через полные резольвенты.

2.2. Выражение световой проводимости через полные резольвенты

Рассмотрим систему электронов металла во внешнем переменном

А

электрическом поле световой волны. Гамильтониан такой системы Н^ может быть записан в виде:

= Я + + (2.1)

В формуле ( 2.1):

л

Н — оператор энергии электронов проводимости с учетом взаимодействия их с рассеивателями;

Нр е+ ^ — оператор взаимодействия электронов проводимости с электрическим полем световой волны частотой щ

5 +0 — обеспечивает адиабатичность включения электрического

поля;

А А

Н и НР не зависят от времени Запишем уравнение движения для полного статистического оператора рт системы электронов во внешнем электрическом поле световой волны /139/:

(2.2)

Линеаризируем это уравнение по электрическому полю световой волны, представив статистический оператор в виде суммы его равновесной части р и неравновесной малой добавки к ней / е+ ^ :

= р + + (2.3)

Имеем:

Учитывая, что

получим в линейном приближении по полю:

А А АЛ

гЬт}=[НР,р] + [НЛ, т = ш + (2.4) Введем оператор

= + (2.5)

Отметим, что так хак « > 0, то

Продифференцируем ( 2.5 ) по t:

Таким образом,

ib^ = -[H,g} + ibTg. (2.7)

, А » А

Теперь умножим ( 2.4 ) справа на е , слева на е :

«А . А

Н1тд = еЪт[НРур}е-%т + п +{Н,д] (2.8)

и подставим ( 2.8 ) в ( 2.7 ):

И1^ = е№\НР,р}е-№ + ТК (2.9)

Проинтегрируем обе части ( 2.9 ) по I с учетом ( 2.6 ):

+(2.Ю)

-00

ИЛИ

/ = г(0) = ж/ e*Ht\HFJ]e-iHt + Ttdt. (2.11)

-00

Воспользуемся тождеством

j 6(t-t)[Hrtfi]e-i**+W#. (2.12)

-00

Имеем:

-00 -00 Учитывая, что

Ф) = 4 / eikxdk, (2.13)

-00

/= 1 +ГЛЕ [ еЦН-Е^Ш^

2пЖ

-оо -оо

-00

Интегрируем по t и $:

+00

А 1 /* 1 А 1 / =-Го / ЖЕ -—к-[ Ер, Р ] —:—X-

-оо |(Я-£?) + 0,5г1 -¿(Я-Е) + 0,5г

1 1 1 = * / -£-[Нр,р]-*---. (2.14)

Н- Е-0,ЫЬт ] Н-Е + ЬМЬт Введем операторы полной резольвенты

Е) = „ --» (2-15)

£ = 0,5^5, тогда

' ' Е-Н±ЪуЬ%и*1е

^ +00

/ = ¿7 йЕк^(Н,Е)[ЙР,р}й^(Н,Е). (2.16)

-00

Рассмотрим а - компоненту плотности тока

За = ещ 8р{/К*}. (2.17) В формуле ( 2.17 ): е — заряд электрона; щ — число электронов проводи-

А

мости в единице объема сплава; К — а-компонента оператора скорости. Полагаем, что

НР = -е^ ^ = -е^ хр, (2.18)

где F — амплитудное значение напряженности электрического поля све-

* \ товой волны, а г - оператор радиуса-вектора электрона . Тогда

Г / +00

%е2 щ

"2тГ

\-оо +00

1-00

V.

•