Расчеты резонансной поляризации фраунгоферовых линий

Дементьев, Андрей Викторович

Расчеты резонансной поляризации фраунгоферовых линий тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.02 ВАК РФ

Дементьев, Андрей Викторович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Санкт-Петербург МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.03.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по астрономии на тему «Расчеты резонансной поляризации фраунгоферовых линий»

Автореферат диссертации на тему "Расчеты резонансной поляризации фраунгоферовых линий"

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕНН1

484421)0

ДЕМЕНТЬЕВ АНДРЕЙ ВИКТОРОВИЧ

РАСЧЁТЫ РЕЗОНАНСНОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ ФРАУНГОФЕРОВЫХ

ЛИНИЙ

01.03.02 - Астрофизика и звёздная астрономия АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

2 1 ДП^

Санкт-Петербург - 2011

4844208

Работа выполнена на Кафедре астрофизики Математико-механичсского факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Иванов Всеволод Владимирович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Гнедин Юрий Николаевич

Главная (Пулковская) астрономическая обсерватория РАН; доктор физико-математических наук, профессор

Шибанов Юрий Анатольевич

Физико-технический институт им. А. Ф. Иоффе РАН.

Ведущая организация: Институт земного магнетизма, ионосфе-

ры и распространения радиоволн им. Н. В. Пушкова РАН.

Защита состоится 26 апреля 2011 г. в 15 часов 30 минут на заседании совета Д 212.232.15 но защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 28, ауд. 2143 (Матсматико-механический факультет).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПбГУ.

Автореферат разослан «. Учёный секретарь диссертационного совета

о г

.2011 г.

Орлов В. В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Большинство имеющихся знаний о звёздах и других небесных объектах нолучено путём анализа их спектров, как непрерывных, так и линейчатых. При этом наиболее полную картину свойств объекта может дать исследование зависимости от длины волны как интенсивности излучения, так и его поляризации.

Поляризация излучения многих объектов очень мала, и измерить её зависимость от длины волны достаточно трудно. Существенный прогресс в этой области, произошедший в последние два десятилетия, связан с усовершенствованием техники и методов измерения поляризации. Современные поляриметры, такие как ZIMPOL I, II (Повел, 2001), THEMIS (Палету и Молодый, 2001) и другие инструменты, позволяют получать одновременно два или три параметра Стокса с хорошим спектральным и временным разрешением, обладая при этом высокой поляриметрической чувствительностью.

Особенно большие успехи достигнуты в спектрополяриметрии Солнца, систематические поляризационные наблюдения которого проводятся вот уже более тридцати лет (Келлер, 2009). В результате усилий большого числа учёных накоплен огромный объём наблюдательных данных о поляризации солнечного излучения как в линиях, так и в непрерывном спектре. Несмотря на то, что Солнце является одним из наиболее изученных астрофизических объектов, полученные данные о поляризации его излучения содержат массу новой информации о физических условиях в солнечной атмосфере. Эту информацию, однако, пока не всегда удаётся должным образом извлечь из результатов наблюдений и надёжно проинтерпретировать — поляризационный спектр Солнца содержит ещё немало загадок (Стенфло, веб-страница).

Значительный интерес представляют результаты наблюдений линейной

поляризации фраунгоферовых линий, возникающей за счёт многократного резонансного рассеяния (Стенфло и Келлер, 1997). Эти наблюдения проводятся на краю солнечного диска вдали от активных областей. Именно, фиксируется зависимость отношения <3/7 от длины волны, где С} и I — параметры Стокса. Оказывается, что спектр линейной поляризации, полученный таким образом, совершенно не похож на обычный спектр интенсивности: линии, которые сильны в спектре интенсивности, могут быть весьма слабыми в поляризационном спектре, и, наоборот, линии, показывающие значительную поляризацию, в спектре интенсивности могут оказаться практически невидимыми. Данное обстоятельство позволяет говорить о спектре линейной резонансной поляризации как о втором спектре Солнца (Иванов, 1991). Ган-дорфером (2000, 2002, 2005) был составлен подробный атлас второго спектра Солнца, охватывающий диапазон от 3160 А до 6995 А.

Инструменты и методы современной поляриметрии находят применение также и в исследованиях излучения, приходящего от планет (Гислер и Шмид, 2003). Хорошо известно, что излучение, отражённое как поверхностью планеты, так и её атмосферой, может иметь значительную поляризацию. Данное обстоятельство предполагается использовать в будущих поектах по поиску и изучению внесолнечных планет (Шмид и др., 2005).

Возможность проводить высокоточные поляриметрические наблюдения требует, в свою очередь, развития теории переноса поляризованного излучения. Поэтому разработка новых, либо усовершенствование известных аналитических и численных методов расчёта поля излучения с учётом поляризации несомненно актуальна. При этом хорошо изученные классические задачи о переносе излучения в атмосферах звёзд (в частности, Солнца) или о рассеянии света в атмосферах планет лучше всего подходят для тестирования этих методов.

Цель работы состоит в развитии метода расчёта поляризации в линиях, основанного на общей аналитической теории 1-матриц (данная теория предложена Ивановым и др., 1997а). Другой целыо работы является применение этого метода для решения ряда модельных задач теории переноса поляризованного излучения и доведения этого решения до числа.

Научная новизна работы

На примере решения ряда новых модельных задач расширены возможности метода 1-матриц для расчёта поляризации выходящего излучения. Именно, впервые получено численное решение обобщённого матричного уравнения Амбарцумяна-Чандрасекара в случае, когда

- профиль коэффициента поглощения является фойгтовским;

- имеется поглощение в континууме на частотах линии;

- первичные источники излучения в линии являются частично поляризованными.

При этом предложена универсальная схема численного решения матричного уравнения Амбарцумяна-Чандрасекара, применимая как при наличии поглощения в континууме, так и при его отсутствии. Для элементов матричной функции (¿(л), входящей в подынтегральное выражение в уравнении Амбарцумяна-Чандрасекара, найдены асимптотические выражения.

Выведена формула для матрицы Стокса выходящего излучения в случае равномерно распределённых частично поляризованных первичных источников. При этом показано, что решение задачи при любых источниках такого вида может быть достаточно просто выражено через решение так называемой стандартной задачи при первичных источниках вполне определённого вида.

Впервые рассчитана предельная степень поляризации ро на краю диска звезды с рассеивающей атмосферой для фойгтовского профиля коэффициен-

та поглощения. В случае консервативного рассеяния полученные значения ро дополняют известные значения предельной степени поляризации при допле-ровском (9.443%, Иванов и др., 1997Ь) и лоренцевском (5.421%, Лоскутов и Иванов, 2007) профилях, а также классическое значение поляризационного предела Соболева-Чандрасекара (11.713%), соответствующего прямоугольному профилю.

Стандартная задача о многократном резонансном рассеянии сведена к интегральному уравнению Вольтерра для матричной функции источников 8(т). Это уравнение решено численно для доплеровского профиля коэффициента поглощения при разных значениях вероятности выживания фотона при рассеянии.

Теоретическая и практическая ценность результатов

По сравнению с прямым решением уравнения переноса излучения метод расчёта поляризации в линиях, основанный на теории 1-матриц, обладает тем преимуществом, что позволяет найти вектор Стокса выходящего излучения без расчёта поля излучения внутри атмосферы. При этом решение многих задач может быть достаточно легко выражено через решение одной, так называемой стандартной, задачи. Поэтому представляется несомненной важность расширения круга задач, к которым может быть применён данный метод.

Разработанная универсальная схема нахождения вектора Стокса выходящего излучения не требует больших вычислительных затрат и позволяет достаточно быстро получать решение рассматриваемых задач. Сравнением полученных решений этих модельных задач с решением задач, более близких к реальности, можно выяснить, какое влияние оказывают на поляризацию выходящего излучения учёт дополнительных факторов: магнитного поля, частичного перераспределения по частотам и др. Кроме того, решение простой задачи может быть использовано в качестве разумного начального

приближения при итерационном решении сложных задач в тех случаях, когда предполагаемое влияние этих факторов невелико.

Апробация результатов

Основные результаты диссертации докладывались на семинаре кафедры астрофизики СПбГУ, а также на следующих конференциях:

1. III Всероссийская астрономическая конференция, Казань, 17-22 сентября 2007 г.

2. IV Всероссийская астрономическая конференция, Нижний Архыз, 12-19 сентября 2010 г.

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из пяти глав, трёх приложений, списка цитируемой литературы (61 наименование). Общий объём диссертации составляет 102 страницы, в том числе 28 рисунков и 3 таблицы.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Выражение для матрицы Стокса излучения, выходящего из однородной рассеивающей атмосферы, в случае равномерно распределённых частично поляризованных первичных источников.

2. Универсальная схема численного решения обобщённого матричного уравнения Амбарцумяна-Чандрасекара, применимая как при наличии поглощения в континууме, так и при его отсутствии.

3. Результаты расчётов резонансной поляризации в ряде модельных задач, проведённые на основе теории 1-матриц.

4. Вывод уравнения Вольтерра для матричной функции источников в стандартной задаче о многократном резонансном рассеянии и результаты его численного решения.

Краткое содержание работы

Во Введении (первая глава диссертации) обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цели исследования и обсуждается научная новизна работы. Перечисляются положения, выносимые на защиту, раскрывается теоретическая и практическая ценность полученных результатов. Приводится список работ, в которых опубликованы результаты диссертационного исследования. Указывается личный вклад автора и апробация результатов. Описывается структура диссертации.

Во второй главе описывается используемый теоретический аппарат и выводятся уравнения, решение которых даёт вектор Стокса выходящего излучения в рассматриваемой задаче.

В п. 2.1 описана постановка рассматриваемой в диссертации задачи, которая состоит в следующем. В полубесконечной плоскопараллельной однородной атмосфере происходит образование спектральных линий за счёт многократного резонансного рассеяния. Считается, что излучение в континууме на частотах линии в атмосфере отсутствует. Кроме того, предполагается, что в атмосфере нет магнитного поля и нет падающего на неё снаружи излучения. Относительно элементарного акта рассеяния принимается полное перераспределение по частотам внутри линии. Из-за наличия границы поле излучения в атмосфере анизотропно, что служит причиной возникновения линейной поляризации при рассеянии. Задача состоит в том, чтобы для выходящего из атмосферы излучения найти вектор Стокса.

В силу принятых предположений, все величины в рассматриваемой задаче могут зависеть только от следующих переменных: обычная усреднённая по линии оптическая глубина в атмосфере т, частота излучения х, отсчитанная от центра линии и измеренная в доплеровских ширинах, и косинус угла между направлением распространения излучения и внешней нормалью к границе

атмосферы ц. Параметрами задачи, характеризующими процесс рассеяния, являются профиль коэффициента поглощения в линии ф(х), параметр деполяризации IV, определяемый квантовыми числами уровней, при переходах между которыми возникает линия, вероятность выживания фотона при рассеянии Л, а также /3 — отношение коэффициента поглощения в непрерывном спектре к коэффициенту поглощения, среднему по линии. По симметрии задачи, поле излучения может быть описано с помощью векторов размерности 2 и матриц — 2 х 2.

В пп. 2.2 и 2.3 векторное и матричное уравнения переноса, к решению которых сводится рассматриваемая задача, преобразованы к виду, удобному для дальнейшего исследования. Установлена связь между решениями векторного и матричного уравнений переноса.

В п. 2.4 к интегральному уравнению для матричной функции источников применён резольвентный метод. В результате получена формула, дающая матрицу Стокса выходящего излучения при произвольных первичных источниках, описываемых матрицей в,(г).

В п. 2.5 для матрицы Н(г), являющейся аналогом Я-функции, используемой в скалярной теории переноса, выведено нелинейное интегральное уравнение — матричное уравнение Амбарцумяна-Чандрасекара (г = ц/[ф(х)+Р}). Это уравнение преобразовано к виду, аналог которого в скалярном случае удобен для численного решения. Однако полученное матричное уравнение недоступно непосредственному решению, поскольку в отличие от скалярного случая соответствующее уравнение для Но — момента Н-матрицы, не позволяет определить этот момент. Вследствие этого, величина Н(оо), входящая в матричное уравнение Амбарцумяна-Чандрасекара, остаётся неизвестной.

С целью преодоления данного затруднения вводится матрица 1(г), связанная с Н-матрицей соотношением Н(л) — 1(г) 1т(0), где т обозначает

транспонирование. Для 1-матрицы также выводится уравнение Амбарцумяна-Чандрасекара, которое выглядит следующим образом:

Г^^ЧГ^Т^ОД- (1)

.Ь 2 + г'

Это уравнение, в отличие от аналогичного уравнения для Н-матрицы, не содержит неизвестных величин, за исключением самой искомой матрицы В уравнении (1)

О VI - 0.7И^Л/

где

-I

с»

Ф(х') + /3'

Матричная функция

^00

¿х'ф2{х')Щ2(ф(х')+р)},

Ф)

где функция х(г) определяется равенствами

Ф)=0, \г\<1/[ф{О) + 0]

ф[х(г)} = \l\z\ -р, 1//3 > N > /[<¿>(0) + 0\,

(4)

(5)

А / 1 л/¥( 1-3/л2) ,

Ф(м) = ± V ^ • (6)

^-12^ + 5)/ В п. 2.6 рассмотрен случай равномерно распределённых частично поляризованных источников диффузного излучения б« (согласно своему определению, векторная функция источников в,(т) описывает испытавшее первое рассеяние излучение первичных источников). Получена формула, выражающая матрицу Стокса выходящего излучения через матрицу 1(г) и значения элементов вектора в,. Установлено, что матрица 1(г) является решением

матричного уравнения переноса излучения в стандартной задаче при г = О по терминологии Иванова и др. (1997а), стандартной называется задача, в

которой в» = 1 — А, у/1 — 0.7IV А) |. Проведён анализ решения при предельных значениях параметров А и ¡3.

В п. 2.7 рассмотрен случай равномерно распределённых частично поляризованных первичных источников излучения, описываемых векторной функцией источников Выведена формула, связывающая матрицу Стокса выходящего диффузного излучения с 1-матрицей и значениями элементов вектора э;. При этом полученная формула оказывается не такой простой, как в случае, рассмотренном в п. 2.6, поскольку в ней требуется провести несложное дополнительное численное интегрирование.

Случай неполяризованных первичных источников сводится к случаю равномерно распределённых первичных источников б,. Это даёт возможность получить соотношение, связывающее решения при неполяризованных источниках Б;, полученные по двум разным формулам. Такое соотношение можно использовать для проверки точности численной схемы нахождения матрицы 1(г), т.е. решения уравнения Амбарцумяна-Чандрасекара.

В п. 2.8 резюмируются основные результаты главы.

В третьей главе описывается схема численного решения матричного уравнения Амбарцумяна-Чандрасекара.

В п. 3.1.1 приведены выражения для используемых профилей коэффициента поглощения. Вычисление значений фойгтовского профиля коэффициента поглощения проводилось по алгоритму Гаутчи (1969), в основе которого лежит представление функции Фойгта в некотором приближённом виде. При интересующих нас значениях безразмерной частоты х и фойгтовского параметра а точность данного алгоритма была протестирована путём вычисления значений функции Фойгта непосредственным численным интегрированием с

точностью, близкой к погрешности представления вещественных чисел на компьютере в формате двойной точности.

В п. 3.1.2 описано, каким образом вычислялись элементы матричной функции С (г), входящей в подынтегральное выражение в правой части уравнения Амбарцумяна-Чандрасекара (1). При расчёте значений элементов матрицы в (г) использовалась замена переменной £ = г/{\ — 0г), позволяющая составить универсальную программу вычисления матрицы (5 как при /9^0, так и при (3 = 0.

Выведены асимптотические формулы для элементов матрицы (¿(г) при фойгтовском профиле коэффициента поглощения. Они используются для оценки точности численного расчёта в (г).

В случае фойгтовского профиля коэффициента поглощения при вычислении интегралов, через которые выражаются элементы матрицы С (г), использовалась замена переменной, позволяющая существенно уменьшить число узлов квадратурной формулы, требуемых для достижения заданной точности вычисления этих интегралов.

В п. 3.2 описан выбор узлов квадратурной формулы, по которым с заданной точностью вычислялись интегралы в правой части уравнения Амбарцумяна-Чандрасекара (1). Для определения этих узлов используется нормировка матрицы Найдена замена переменной, которая на порядки уменьшает число узлов, требуемое для достижения заданной точности при вычислении интеграла в нормировке по сравнению с вычислением указанного интеграла без замен переменной.

Значения матрицы 1(г) в узлах находились из уравнения Амбарцумяна-Чандрасекара итерациями типа Гаусса-Зейделя. В качестве начального приближения I во всех узлах использовалась единичная матрица. Для контроля точности вычислений использовался тот факт, что матрица 1(0) является

матрицей вращения.

Используемая схема вычисления позволяет рассчитать матрицу 1(2) как при Р ф О, так и при 0 = 0. Все численные интегрирования проводились по составной квадратурной формуле Симпсона с использованием экстраполяции Ричардсона.

В п. 3.3 резюмируются основные результаты главы.

В четвёртой главе представлены результаты расчётов резонансной поляризации в рассматриваемых модельных задачах. Во всех случаях при расчётах принималось, что параметр деполяризации У/ = \ (диполыюе рассеяние).

В п. 4.1 при фойгтовском профиле коэффициента поглощения, отсутствии поглощения в континууме (/? = 0) и неполяризованных первичных источниках вида э; = (\/1 — А ,0)г, где А — вероятность выживания фотона при рассеянии, проведены вычисления поляризационных характеристик выходящего из атмосферы излучения. В частности, рассчитана предельная степень поляризации ро на краю диска звезды с рассеивающей атмосферой при нескольких значениях А (Рис. 1). При консервативном рассеянии (А = 1) степень поляризации ро меняется от 9.443% при фойгтовском параметре а = О до 5.421%, когда а —> оо (Табл. 1). В случае А = 1 при значениях а таких, что Ю-4 < а < Ю-2, для ро найдена эмпирическая формула.

В числе других результатов расчётов получены зависимости степени поляризации р от фойгтовского параметра а, от безразмерной частоты х и от угловой переменной ¡1. Выявлены особенности поведения р при изменении этих величин.

Результаты расчётов представлены на 5 рисунках и в таблице.

Для сравнения с результатами расчётов, выполненных ранее другими авторами иными методами, проведены расчёты поляризационных характери-

Рис. 1. Предельная степень поляризации ро на краю диска звезды с рассеивающей атмосферой в функции фойгтовского параметра а. Сплошная линия — А = 1, пунктирная — Л = 0.9999, штриховая — А = 0.999, штрих-пунктирная — А = 0.99.

Таблица 1. Предельная степень поляризации ро на краю диска звезды с рассеивающей атмосферой (консервативное рассеяние, А = 1) в зависимости от значения фойгтовского параметра а.

р0{а), % р0(а), % р0(а), % р0(а), %

— 00 9.443 -3.25 9.142 -1.25 7.025 -0.25 5.620

-6.00 9.432 -3.00 9.040 -1.10 6.752 -0.10 5.340

-5.50 9.423 -2.75 8.905 -1.00 6.573 0.00 5.503

-5.00 9.406 -2.50 8.729 -0.90 6.400 0.25 5.451

-4.50 9.375 -2.25 8.504 -0.75 6.161 0.50 5.431

-4.00 9.320 -2.00 8.220 -0.60 5.913 1.00 5.422

-3.75 9.277 -1.75 7.874 -0.50 5.836 1.50 5.421

-3.50 9.219 -1.50 7.470 -0.35 5.693 оо 5.421

стик выходящего излучения при доплеровском, лоренцевском и прямоугольном профилях коэффициента поглощения. Обнаружено хорошее согласие наших результатов с результатами других авторов.

В п. 4.2 впервые рассчитаны поляризационные характеристики выходящего из атмосферы излучения при фойгтовском профиле коэффициента поглощения, неполяризованных первичных источниках вида э; = (\/1 — А, 0)т и при наличии поглощения в континууме (/3 ^ 0). В частности, для двух значений фойгтовского параметра а (а = 10~4 и а = Ю-2) проведено вычисление предельной степени поляризации ро как функции параметров А и /3 (Рис. 2 и 3).

При /? = 0и1 — А<^1,а также при /3 1 и А = 1 для р0 получены эмпирические формулы.

Представлены результаты расчётов профилей линий в интенсивности при разных значениях /3 и ц для случая консервативного рассеяния (А = 1) и а = Ю-2. Приведены также результаты расчётов степени поляризации выходящего излучения в зависимости от частоты х и угловой переменной ц при разных значениях /3. Результаты расчётов представлены на 8 рисунках. Коэффициенты найденных эмпирических формул приведены в таблице.

В той области значений параметров, где возможно провести сравнение, обнаружено хорошее согласие наших результатов с результатами расчётов других авторов.

В п. 4.3 протестирована численная схема нахождения матрицы 1(г).

Для равномерно распределённых поляризованных первичных источников рассчитана передельная степень поляризации р0 выходящего излучения при доплеровском профиле коэффициента поглощения и отсутствии поглощения в континууме (/3 = 0). Результаты расчёта ро в зависимости от степени и направления поляризации равномерных первичных источников для разных

-КМ1-Х) 1 1 - |д р

Рис. 2. Предельная степень поляризации ро на краю диска звезды с рассеивающей атмосферой. Фойгтовский параметр а = 10"2.

значений Л представлены на рисунке (Рис. 4).

В п. 4.4 резюмируются основные результаты главы.

Рис. 4. Степень поляризации р0 на краю диска звезды в зависимости от степени поляризации ps первичного излучения. Жирная сплошная линия соответствует Л = 0.999, штриховая — Л = 0.99, штрих-пунктирная — Л = 0.9, пунктирная — Л = 0.7, тонкая сплошная - Л = 0.5.

Пятая глава посвящена выводу уравнения Вольгерра для матричной функции источников стандартной задачи и его численному решению.

В п. 5.1 аналогично тому, как это было сделано в работе Иванова (2009) для многократного рэлеевского рассеяния, получено матричное обобщение двухточечного Q-интеграла Райбики для случая резонансного рассеяния в полубесконечной атмосфере с равномерно распределёнными первичными источниками неполяризованного излучения. Как частный случай матричного Q-интеграла получено уравнение Вольтерра для матричной функции источников рассматриваемой задачи.

В п. 5.2 описана схема численного решения уравнения Вольтерра, а также приведён способ контроля точности вычислений по этой схеме.

В п. 5.3 уравнение Вольтерра численно решено при доплеровском профи-

Рис. 5. Зависимость элементов матричной функции источников S от оптической глубины в атмосфере т. Толстые сплошные линии соответствуют Л = 1.0, тонкие сплошные — Л = 0.99, штриховые — Л = 0.9, штрих-пунктирные — Л = 0.7, пунктирные — А = 0.5.

ле коэффициента поглощения и отсутствии поглощения в континууме (0 = 0) для ряда значений параметра А (Рис. 5). С помощью найденной матричной функции источников получены поляризационные характеристики выходящего из атмосферы излучения. Результаты расчётов представлены на 10 рисунках.

В п. 5.4 резюмируются основные результаты главы.

В Заключении перечисляются наиболее важные результаты, полученные в работе.

В Приложении А для фойгтовского профиля коэффициента поглощения дан вывод асимптотик матрицы G(z) при z —> со, если /3 = 0, а также G(£) при i —+ оо в случае замены переменной t = z/(l — 0z), если 0 Ф 0.

В Приложении Б найдены значения коэффициентов составной квадратурной формулы Симпсона при использовании экстраполяции Ричардсона третьего порядка.

В Приложении В приведена таблица значений матрицы I(z) для фойг-

товского профиля коэффициента поглощения с параметром а = 0.01 при Л = 1 и ß = 0.

Список литературы

1. Гандорфер (А. Gandorfer), The Second Solar Spectrum, Vol. I: J¡625 A to 6995 A (Zürich: VdF, 2000), 272 p.

2. Гандорфер (A. Gandorfer), The Second Solar Spectrum, Vol. II: 3910 A to 4630 A (Zürich: VdF, 2002), 103 p.

3. Гандорфер (A. Gandorfer), The Second Solar Spectrum, Vol. Ill: 3160 A to 3915 Ä (Zürich: VdF, 2005), 188 p.

4. Гислер и Шмид (D. Gisler, H. M. Schmid) in Solar Polarization 3, eds. J.Trujillo Bueno and J.Sánchez Almeida, (San Francisco: Astronomical Society of the Pacific), ASP Conf. Ser. 307, 58 (2003).

5. Гаутчи (W. Gautschi), Comm. of the ACM, 12, 635 (1969).

6. Иванов (V.V. Ivanov) in Stellar Atmospheres: Beyond Classical Models, eds. L. Crivellari, I. Hubeny, and D. G. Hummer, (Dordrecht: Kluwer), NATO ASI Series С 341, 81 (1991).

7. Иванов В. В., Астрофизика, 52, 301 (2009).

8. Иванов и др. (V. V. Ivanov, S. I. Grachev, V. М. Loskutov), Astron. Astrophys., 318, 315 (1997a).

9. Иванов и др. (V. V. Ivanov, S. I. Grachev, V. M. Loskutov), Astron. Astrophys., 321, 968 (1997b).

10. Келлер (C.U.Keller) in Solar Polarization 5, eds. S. V.Berdyugina,

K. N. Nagendra and R. Ramelli, (San Francisco: Astronomical Society of the Pacific), ASP Conf. Ser. 405, 29 (2009).

11. Лоскутов B.M., Иванов В. В., Астрофизика, 50, 199 (2007).

12. Палету и Молодый (F. Paletou, G. Molodij) in Advanced Solar Polarimetry — Theory, Observation, and Instrumentation eds. M. Sigwarth, (San Francisc Astronomical Society of the Pacific), ASP Conf. Ser. 236, 9 (2001).

13. Повел (H. P. Povel) in Magnetic Fields across the Hertzsprung-Russell Diagra eds. G.Mathys, S.K. Solanki, and D.T.Wickramasinghe, (San Francisco: Astronomical Society of the Pacific), ASP Conf. Ser. 248, 543 (2001).

14. Стенфло (J.O.Stenflo) in Solar Polarization 6, eds. J. Kuhn, ASP Conf. Ser., in press (веб-страница:

http: //www.exp-astro.phys.ethz.ch/astrol/Users/jstenflo/papers.php).

15. Стенфло и Келлер (J.O.Stenflo, C.U.Keller), Astron. Astrophys., 321, 927 (1997).

16. Шмид и др. (H. М. Schmid et al) in Direct Imaging of Exoplanets: Science & Techniques, eds. C. Aime and F. Vakili, (UK: Cambridge University Press), Proc. of the IAU Colloquium #200, 165 (2006).

Публикации по теме диссертации

Статьи в рецензируемых журналах из списка ВАК

1. Дементьев А. В., Поляризация резонансных линий при фойгтовском ко-эфициенте поглощения, Письма в Астрон. журн., 34, с. 633-640 (2008).

2. Дементьев А. В., Влияние поглощения в непрерывном спектре на поляризацию резонансных линий, Астрофизика, 52, с. 605-621 (2009).

3. Дементьев А. В., Уравнение Волътерра для матричной функции источников при резонансном рассеянии, Астрофизика, 53, с. 465-477 (2010).

Публикации в трудах и тезисах всероссийских конференций

4 Дементьев А. В., Иванов В. В., Лоскутов В. М., Влияние вида профиля коэффициента поглощения на поляризацию резонансных фраунгоферо-вых линий, Труды Всероссийской астрономической конференции ВАК-2007, Казань, с. 133-135 (2007).

5 Дементьев А. В., Поляризация резонансных фраунгоферовых линий при равномерно распределённых источниках первичного излучения, Тезисы докладов на Всероссийской астрономической конференции ВАК-2010 «От эпохи Галилея до наших дней», Нижний Архыз, с. 66-67 (2010).

Личный вклад автора

В работе 4 автором выполнены расчёты предельной степени поляризации на краю диска звезды с рассеивающей атмосферой для фойгтовского профиля коэффициента поглощения.

Подписано к печати 15.03.11. Формат 60 »84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 5096. Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии Химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (812) 428-40-43,428-69-19

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Дементьев, Андрей Викторович

Глава 1. Введение.

Глава 2. Обобщённое матричное уравнение Амбарцумяна—Чандрасекара.

2.1. Основные предположения.

2.2. Векторное уравнение переноса излучения.

2.3. Матричное уравнение переноса излучения.

2.4. Применение резольвентного метода к интегральному уравнению для матричной функции источников

2.5. Матричное уравнение Амбарцумяна-Чандрасекара.

2.6. Случай равномерно распределённых частично поляризованных источников Э*.

2.7. Случай равномерно распределённых частично поляризованных первичных источников в/

2.8. Выводы к главе.

Глава 3. Численное решение матричного уравнения Амбарцумяна-Чандрасекара

3.1. Вычисление вспомогательных функций.

3.2. Методика вычисления 1-матрицы.

3.3. Выводы к главе.

Глава 4. Результаты решения матричного уравнения Амбарцумяна-Чандрасекара

4.1. Фойгтовский профиль: /3 = 0.

4.2. Фойгтовский профиль: (3 ф 0.

4.3. Равномерно распределённые первичные источники частично поляризованного излучения Б/.

4.4. Выводы к главе.

Глава 5. Уравнение Вольтерра для матричной функции источников

5.1. Вывод уравнения Вольтерра для Я (г).

5.2. Численное интегрирование уравнения Вольтерра.

5.3. Результаты вычислений.

5.4. Выводы к главе.

Введение диссертация по астрономии, на тему "Расчеты резонансной поляризации фраунгоферовых линий"

Актуальность темы

Большинство имеющихся знаний о звёздах и других небесных объектах получено путём анализа их спектров, как непрерывных, так и линейчатых. При этом важнейшую роль в этом анализе играет исследование именно спектральных линий, содержащих огромное количество информации о физических свойствах изучаемого объекта — о химическом составе, о распределении температуры, плотности, магнитного поля, о движении излучающего вещества и др. (Михалас, 1982; Соболев, 1985).

Как известно, для полного описания поля излучения требуется четыре величины, в качестве которых в астрофизике обычно используется вектор Стокса. Его компонентами служат интенсивность /, параметры (2 и 17, характеризующие линейную поляризацию, и параметр круговой поляризации V. Из наблюдений легче всего получить спектральную зависимость интенсивности. Поэтому зачастую именно эта зависимость и используется для получения сведений об изучаемом объекте. При этом, когда говорят о спектре того или иного объекта, то имеют в виду спектр интенсивности (или потока) излучения данного объекта. Однако ясно, что спектральная зависимость одной лишь интенсивности заведомо не может дать полной картины свойств объекта, поскольку она позволяет судить только о скалярных физических величинах. Всю возможную информацию об объекте, в том числе и о векторных величинах, можно извлечь из наблюдаемого излучения, получив спектральную зависимость всех четырёх параметров Стокса (Флури, 2003).

Поляризация излучения многих объектов очень мала, и измерить её зависимость от длины волны достаточно трудно. Существенный прогресс в этой области, произошедший в последние два десятилетия, связан с усовершенствованием техники и методов измерения поляризации. Современные поляриметры, такие как ZIMPOL I, II (Повел, 2001), THEMIS (Па-лету и Молодый, 2001) и другие инструменты, позволяют получать одновременно два или три параметра Стокса с хорошим спектральным и временным разрешением, обладая при этом высокой поляриметрической чувствительностью. Например, инструмент ZIMPOL II (Zurich IMaging Stokes POLarimeter) имеет чувствительность по поляризации Ю-5.

Особенно большие успехи достигнуты в спектрополяриметрии Солнца, систематические поляризационные наблюдения которого проводятся вот уже более тридцати лет (Келлер, 2009). В результате усилий большого числа исследователей накоплен огромный объём наблюдательных данных о поляризации солнечного излучения как в линиях, так и в непрерывном спектре. Несмотря на то, что Солнце является одним из наиболее изученных астрофизических объектов, полученные данные о поляризации его излучения содержат массу новой информации о физических условиях в солнечной атмосфере. Эту информацию, однако, пока не всегда удаётся должным образом извлечь из результатов наблюдений и надёжно проинтерпретировать — поляризационный спектр Солнца содержит ещё немало загадок (Стенфло, веб-страница).

Значительный интерес представляют результаты наблюдений линейной поляризации фраунгоферовых линий, возникающей за счёт многократного резонансного рассеяния (Стенфло и Келлер, 1997). Эти наблюдения проводятся на краю солнечного диска вдали от активных областей. Именно, фиксируется зависимость отношения от длины волны, где ф и I — параметры Стокса. При этом, если поляризация в линии превышает уровень поляризации прилегающего к ней континуума, то можно рассматривать эту линию как «эмиссионную» в поляризационном спектре Если же, наоборот, на частотах линии континуум деполяризован, то можно считать, что в спектре имеется линия «поглощения» (Стенфло, 2001). Оказывается, что спектр линейной поляризации, полученный таким образом, совершенно не похож на обычный спектр интенсивности: линии, которые сильны в спектре интенсивности, могут быть весьма слабыми в поляризационном спектре, и, наоборот, линии, показывающие значительную поляризацию, в спектре интенсивности могут оказаться практически невидными (см. Рис. 1.1 и 1.2). Данное обстоятельство позволяет говорить о спектре линейной резонансной поляризации как о втором спектре Солнца (Иванов, 1991). Гандорфером (2000, 2002, 2005) был составлен подробо ный атлас второго спектра Солнца, охватывающий диапазон от 3160 А до 6995 А.

Остановимся на физических причинах возникновения поляризации солнечного излучения. Как известно, излучение становится поляризованным при нарушении пространственной симметрии в среде по тем или иным причинам. В атмосфере Солнца такими причинами выступают магнитное поле и анизотропия поля излучения. Магнитное поле приводит к поляризации излучения за счёт эффектов Зеемана и Ханле, а анизотропия излучения служит причиной появления поляризации при резонансном рассеянии. Оче

5150 5152 5154 5156

Wavelength (Á)

5158

5160

Рис. 1.1. Участок второго спектра Солнца (внизу) и соответствующий ему участок спектра интенсивности (вверху) (Гандорфер, 2000).

1.0

0.8 о

0.6 т а> о 0.4 -t-> от

0.2

0.0 0.024 К

0.016

С от

0.008

•j т

0.000

6707

6708 6709

Wavelength (А)

1 1л I 6".1 " V" j ?08 Á : 1,I■.■ • • • 1 ■ ■ ■,1.■.1.1 ,. .—.— 1

6710

Рис. 1.2. Участок второго спектра Солнца вблизи линии 1л I 6708 А(внизу) и соответствующий ему участок спектра интенсивности (вверху) (Стенфло и др. 2000).

Рис. 1.3. Анизотропия излучения вблизи границы атмосферы. Толщина стрелок условно показывает относительную величину интенсивности излучения, распространяющегося в соответствующем направлении. видно, что анизотропия поля излучения в атмосфере Солнца обусловлена наличием границы, через которую излучение покидает атмосферу (см. Рис. 1.3). Анизотропия поля излучения проявляется, в частности, в потемнении диска к краю. Отметим, что при резонансном рассеянии поляризация возникает и в отсутствие магнитного поля.

Инструменты и методы современной поляриметрии находят применение также и в исследованиях излучения, приходящего от планет (Гислер и Шмид, 2003; Буенцли и Шмид, 2009). Хорошо известно, что излучение, отражённое как поверхностью планеты, так и её атмосферой, может иметь значительную поляризацию. Данное обстоятельство предполагается использовать в будущих проектах по поиску и изучению внесолнечных планет (Шмид и др., 2005).

Существует богатая литература по теории переноса поляризованного излучения. Изложение этой теории можно найти, например, в книгах Дол-гинова и др. (1979), Ховенира и др. (2004), Стенфло (1994), Ланди дель-Инноченти и Ландольфи (2004). В двух последних книгах среди прочего подробно рассмотрены вопросы переноса поляризованного излучения в спектральных линиях. Обзор ранних работ в этой области выполнен На-гирнером (1985).

Наша работа посвящена, в основном, расчётам поляризации в спектральных линиях, возникающей при многократном резонансном рассеянии, которое происходит в плоскопараллельной однородной атмосфере в отсутствие магнитного поля и внешнего облучения. Расчёты поляризации в линиях в задачах со схожей постановкой в большом количестве проводились разными авторами. Например, в работах Дюмон и др. (1977), Риса (1978), Риса и Салибы (1982), МакКенны (1985), Форобер (1987, 1988) и Форобер-Шолль и Фриш (1989) поляризация в линиях рассчитывалась непосредственным численным решением векторного уравнения переноса. В настоящее время множество расчётов выполняется путём решения уравнения переноса в интегральной форме, для чего был предложен метод «поляризованных приближенных лямбда-итераций». Работа Форобер-Шолль и др. (1997) является первой из серии статей, развивающих PALI-метод (PALI — Polarized Approximate Lambda Iteration). Обзор численных методов, используемых в теории образования поляризованных спектральных линий, сделан в работе Нагендры и Сампурны (2009).

Расчёт поляризации в линиях в рассматриваемой задаче может быть выполнен также на основе общей аналитической теории (теория 1-матриц), развитой в работе Иванова и др. (1997а). Эта теория использует приближение полного перераспределения по частотам при рассеянии и применима для произвольного профиля коэффициента поглощения. В ней нахождение вектора Стокса выходящего излучения фактически сводится к решению нелинейного интегрального уравнения Амбарцумяна-Чандрасекара, обобщённого на матричный случай. Решение этого уравнения позволяет получить вектор Стокса выходящего излучения без расчёта поля излучения внутри атмосферы, что является преимуществом по сравнению с прямым решением уравнения переноса. На основе этой теории выполнены расчёты резонансной поляризации в линиях при доплеровском (Иванов и др., 1997Ь) и лоренцевском (Лоскутов, Иванов, 2007) профилях. Таким же путём проведены расчёты поляризации, результаты которых представлены

Л. в настоящей работе. Отметим, что впервые аппарат 1-матриц был введён для монохроматического рассеяния в работах Иванова (1995, 1996). Также укажем, что теория 1-матриц тесно связана с принципом инвариантности, впервые сформулированным Амбарцумяном при исследовании задач многократного рассеяния света (см. Амбарцумян, 1960).

Рассматриваемая нами задача является достаточно упрощённой, поэтому полученные результаты расчётов не могут быть приложены напрямую к какому-либо астрофизическому объекту. Очевидно, что применимость результатов серьёзно ограничивает, например, предположение об однородности атмосферы. Магнитное поле в общем случае может значительно влиять на поляризацию излучения, поэтому его неучёт также отдаляет нашу модель от реальности — скажем, в атмосфере Солнца магнитное поле присутствует повсеместно (Трухильо Буено и др., 2004), имея величину от десятков гаусс в спокойных областях до килогаусс в пятнах. Предположение о полном перераспределении по частоте, означающее отсутствие корреляции между частотами падающего и рассеянного фотонов, не годится для расчёта поляризации в крыльях сильных резонансных линий (Сампурна и ДР., 2010).

В то же время, ясно, что решение рассматриваемой простой модельной задачи должно предварять решение задач, более близких к реальности. Из сравнения таких решений выясняется, какое влияние оказывают на поляризацию выходящего излучения учёт магнитного поля, поглощения в континууме, частичного перераспределения по частотам и других факторов. Кроме того, решение простой задачи может быть использовано в качестве разумного начального приближения при итерационном решении сложных задач в тех случаях, когда предполагаемое влияние этих факторов невелико.

Цель работы состоит в развитии метода расчёта поляризации в линиях, основанного на общей аналитической теории 1-матриц. Другой целью работы является применение этого метода для решения ряда модельных задач теории переноса поляризованного излучения и доведения этого решения до числа.

Научная новизна работы

- профиль коэффициента поглощения является фойгтовским;

- имеется поглощение в континууме на частотах линии;

- первичные источники излучения в линии являются частично поляризованными.

При этом предложена универсальная схема численного решения матричного уравнения Амбарцумяна-Чандрасекара, применимая как при наличии поглощения в континууме, так и при его отсутствии. Для элементов матричной функции С (г), входящей в подынтегральное выражение в уравнении Амбарцумяна-Чандрасекара, найдены асимптотические выражения.

Впервые рассчитана предельная степень поляризации ро на краю диска звезды с рассеивающей атмосферой для фойгтовского профиля коэффициента поглощения. В случае консервативного рассеяния полученные значения ро дополняют известные значения предельной степени поляризации при доплеровском (9.443%, Иванов и др., 1997Ь) и лоренцевском (5.421%, Лоскутов и Иванов, 2007) профилях, а также классическое значение поляризационного предела Соболева-Чандрасекара (11.713%), соответствующего прямоугольному профилю.

Теоретическая и практическая ценность результатов

Апробация результатов

1. III Всероссийская астрономическая конференция, Казань, 17-22 сентября 2007 г.

2. IV Всероссийская астрономическая конференция, Нижний Архыз, 12-19 сентября 2010 г.

Публикации по теме диссертации

1. Дементьев А. В., Иванов В. В., Лоскутов В. М., Влияние вида профиля коэффициента поглощения на поляризацию резонансных фраунгофе-ровых линий, Труды Всероссийской астрономической конференции ВАК-2007, Казань, с. 133-135 (2007).

2. Дементьев А. В., Поляризация резонансных линий при фойгтовском коэфициенте поглощения, Письма в Астрон. журн., 34, с. 633-640 (2008).

3. Дементьев А. В., Влияние поглощения в непрерывном спектре на поляризацию резонансных линий, Астрофизика, 52, с. 605-621 (2009).

4. Дементьев А. В., Уравнение Вольтерра для матричной функции источников при резонансном рассеянии, Астрофизика, 53, с. 465-477 (2010).

5. Дементьев А. В., Поляризация резонансных фраунгоферовых линий при равномерно распределённых источниках первичного излучения, Тезисы докладов на Всероссийской астрономической конференции ВАК-2010 «От эпохи Галилея до наших дней», Нижний Архыз, с. 66-67 (2010).

Личный вклад автора

В работе 1 автором выполнены расчёты предельной степени поляризации на краю диска звезды с рассеивающей атмосферой для фойгтовского профиля коэффициента поглощения.

Структура и объём диссертации

Основные положения, выносимые на защиту

3. Результаты расчётов резонансной поляризации в ряде модельных задач, проведённые на основе теории 1-матриц.

Глава 2

Обобщённое матричное уравнение Амбарцумяна—Чандрасекара

Заключение диссертации по теме "Астрофизика, радиоастрономия"

5.4. Выводы к главе

Данная глава посвящена выводу уравнения Вольтерра для матричной функции источников стандартной задачи и его численному решению. Резюмируем основные результаты главы.

1. Аналогично тому, как это было сделано в работе Иванова (2009) для многократного рэлеевского рассеяния, получено матричное обобщение двухточечного (^-интеграла Райбики для стандартной задачи в случае многократного резонансного рассеяния в спектральной линии.

2. Как частный случай матричного (^-интеграла получено уравнение Вольтерра для матричной функции источников рассматриваемой задачи.

3. Для доплеровского профиля коэффициента поглощения и отсутствии поглощения в континууме (¡3 = 0) уравнение Вольтерра численно решено для ряда значений параметра А.

4. С помощью найденной матричной функции источников получены поляризационные характеристики выходящего из атмосферы излучения. Результаты расчётов представлены на 10 рисунках.

Заключение

Настоящая работа посвящена расчётам поляризации в спектральных линиях, возникающей при многократном резонансном рассеянии в плоскопараллельной однородной атмосфере в отсутствие магнитного поля, внешнего облучения, а также излучения в континууме. Эти расчёты проводились по общей схеме, позволяющей либо учитывать поглощение в континууме на частотах линии, либо считать, что такого поглощения нет. В работе рассматривалось главным образом излучение, выходящее из атмосферы. Некоторые поляризационные характеристики излучения на оптической глубине т т^ 0'получены в Главе 5. Большая часть расчётов выполнена для фойгтовского профиля коэффициента поглощения. Расчёты при. других видах профиля проводились в основном для сравнения с аналогичными расчётами других авторов.

Отметим наиболее важные результаты, полученные в работе:

1. Выведена формула (2.132), выражающая матрицу Стокса выходящего излучения в случае равномерно распределённых первичных источников в;, т.е. при Б1(т) = Данная формула показывает возможность применения аппарата 1-матриц в рассматриваемой задаче к случаю, когда первичные источники могут быть поляризованными (в® 'Ф 0). До сих пор в работах других авторов, использовавших теорию 1-матриц для расчёта резонансной поляризации, расматривались либо неполяризованные равномерно распределённые первичные источники (в® = 0), либо поляризованные равномерно распределённые первичные источники диффузного излучения (з? ^ 0).

2. Разработана схема численного решения уравнения Амбарцумяна-Чанд-расекара (2.97), применимая как при /3 = 0, так и при /3^0.

3. Рассчитана предельная степень поляризации ро на краю диска звезды для фойгтовского профиля коэффициента поглощения при разных значениях параметра а (Рис. 4.1). В случае консервативного рассеяния значения ро, представленные в таблице 4.1, дополняют известные значения предельной степени поляризации при доплеровском (9.443%) и лоренцевском (5.421%) профилях, а также классическое значение поляризационного предела Соболева-Чандрасекара (11.713%), соответствующего прямоугольному профилю.

4. Разработана численная схема и получены решения уравнения Воль-терра (5.21) для матричной функции источников в (г).

Список источников диссертации и автореферата по астрономии, кандидата физико-математических наук, Дементьев, Андрей Викторович, Санкт-Петербург

1. АмбарцумянВ. А., Астрон. журн., 19, 30 (1942).

2. Амбарцумян В. А., Научные труды, том 1, (Ереван: изд-во АН Арм. ССР, 1960), 430 с.

3. Босма и де Рой (Р. В. Bosma, W. А. de Rooij), Astron. Astrophys., 126, 283 (1983).

4. Буенцли и Шмид (Е. Buenzli, Н. М. Schmid), Astron. Astrophys., 504, 259 (2009).о

5. Гандорфер (A. Gandorfer), The Second Solar Spectrum, Vol. I: 4625 A to 6995 A (Zürich: VdF, 2000), 272 p.о

6. Гандорфер (A. Gandorfer), The Second Solar Spectrum, Vol. II: 3910 A to 4630 Ä (Zürich: VdF, 2002), 103 p.о

7. Гандорфер (A. Gandorfer), The Second Solar Spectrum, Vol. Ill: 3160 A to 3915 A (Zürich: VdF, 2005), 188 p.

8. Гаутчи (W. Gautschi), Comm. of the ACM, 12, 635 (1969).

9. Гаутчи (W. Gautschi), SIAM J. Numer. Anal., 7, 187 (1970).

10. Гислер и Шмид (D. Gisler, H. M. Schmid) in Solar Polarization 3,eds. J. Trujillo Bueno and J. Sanchez Almeida, (San Francisco: Astronomical Society of the Pacific), ASP Conf. Ser. 307, 58 (2003).

11. И. Грачев С. И., Астрофизика, 44, 455 (2001).

12. Дементьев А. В., Письма в Астрон. журн., 34, 633 (2008).

13. Дементьев А. В., Астрофизика, 52, 605 (2009).

14. Дементьев А. В., Астрофизика, 53, 465 (2010а).

15. Дементьев А. В., Тезисы докладов на Всероссийской астрономической конференции ВАК-2010 «От эпохи Галилея до наших дней», Нижний Архыз, с. 66 (2010b).

16. Дементьев А. В., Иванов В. В., Лоскутов В. М., Труды Всероссийской астрономической конференции ВАК-2007, Казань, с. 133 (2007).

17. Долгинов А. 3., ГнединЮ.Н., Силантьев Н. А.,Распространение и поляризация излучения в космической среде,{М.: Наука, 1979), 424 с.

18. Домке X., Астрофизика, 7, 39 (1971).

19. Дюмон и др. (S. Dumont, A. Omont, J. С. Pecker, D. Rees), Astron. Astrophys., 54, 675 (1977).

20. Иванов В. В., Перенос излучения и спектры небесных тел, (М.: Наука, 1969), 472 с.

21. Иванов В. В., Transfer of Radiation in Spectral Lines, NBS SP #385, (Washington, 1973), 480 p.

22. Иванов В. В., Астрон. журн., 55, 1072 (1978).

23. Иванов (V.V. Ivanov) in Stellar Atmospheres: Beyond Classical Models, eds. L. Crivellari, I. Hubeny, and D. G. Hummer, (Dordrecht: Kluwer), NATO AS I Series С 341, 81 (1991).

24. Иванов (V. V. Ivanov), Astron. Astrophys., 303, 609 (1995).

25. Иванов (V. V. Ivanov), Astron. Astrophys., 307, 319 (1996).

26. Иванов В. В., Астрофизика, 52, 301 (2009).

27. Иванов В. В., Нагирнер Д. И., Астрофизика, 1, 143 (1965).

28. Иванов и др. (V. V. Ivanov, S. I. Grachev, V. М. Loskutov), Astron. Astrophys., 318, 315 (1997a).

29. Иванов и др. (V. V. Ivanov, S. I. Grachev, V. M. Loskutov), Astron. Astrophys., 321, 968 (1997b).

30. Келлер (С. U. Keller) in Solar Polarization 5, eds. S. V. Berdyugina,

31. K. N. Nagendra and R. Ramelli, (San Francisco: Astronomical Society of the Pacific), ASP Conf. Ser. 405, 29 (2009).

32. Ланди дель-Инноченти и Ландольфи (Е. Landi Degl'Innocenti, M.Landolfi), Polarization in Spectral Lines, (Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 2004), 890 p.

33. Лоскутов B.M., Иванов В. В., Астрофизика, 50, 199 (2007).

34. МакКенна (S.McKenna), Astrophys. к Space Sci., 108, 31 (1985).

35. МихаласД., Звёздные атмосферы, часть 2 (М.: Мир, 1982), 424 с.

36. Нагендра и Сампурна (К. N. Nagendra and М. Sampoorna) in Solar Polarization 5, eds. S. V. Berdyugina, K. N. Nagendra and R. Ramelli, (San Francisco: Astronomical Society of the Pacific),

37. ASP Conf. Ser. 405, 261 (2009).

38. Нагирнер Д. И., в сб. Фотометрические и поляриметрические исследования небесных тел, (Киев: Наукова Думка), 118, (1985).

39. Палету и Молодый (F. Paletou, G. Molodij) in Advanced Solar Polarimetry — Theory, Observation, and Instrumentation eds. M. Sigwarth,

40. San Francisco: Astronomical Society of the Pacific), ASP Conf. Ser. 236, 9 (2001).

41. Повел (H. P. Povel) in Magnetic Fields across the Hertzsprung-Russell Diagram, eds. G. Mathys, S.K.Solanki, and D. T. Wickramasinghe, (San Francisco: Astronomical Society of the Pacific), ASP Conf. Ser. 248, 543 (2001).

42. Рачковский Д. H., Изв. Крымск. астрофиз. обсерв., 67, 78 (1983).

43. Рис (D.Rees), Publ. Astron. Soc. Japan, 30, 455 (1978).

44. Рис и Салиба (D.Rees, G.Saliba), Astron. Astrophys., 115, 1 (1982).42. де Рой и др. (W. A. de Rooij, P. В. Bosma, and J.P.C. van Hooff), Astron. Astrophys., 226, 347 (1989).

45. Самарский А. А., Гулин А. В., Численные методы, (M.: Наука, 1989), 432 с.

46. Сампурна и др. (М. Sampoorna, J. Trujillo Bueno, E. Landi Degl'Inno-centi), Astrophys. J., 722, 1269 (2010).

47. Соболев В. В., Перенос лучистой энергии в атмосферах звёзд и планет, (М.: Гостехиздат, 1956), 392 с.

48. Соболев В. В., Изв. АН Арм. ССР, сер. физ.-мат. наук, 11, 39 (1958).

49. Соболев В. В., Астрон. журн., 36, 573 (1959).

50. Соболев В. В., Курс теоретической астрофизики, (М.: Наука, 1985), 504 с.

51. Стенфло (J. О. Stenflo), Solar Magnetic Fields. Polarized Radiation Diagnostics, (Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1994), 385 p.

52. Стенфло (J. O. Stenflo) in Solar Polarization 6, eds. J. Kuhn, ASP Conf. Ser., in press (веб-страница:http://www.exp-astro.phys.ethz.ch/astrol/Users/jstenflo/papers.php).

53. Стенфло и Келлер (J. О. Stenflo, С. U. Keller), Astron. Astrophys., 321, 927 (1997).

54. Стенфло и др. (J. О. Stenflo, С. U. Keller, A. Gandorfer), Astron. Astrophys., 355, 789 (2000).

55. Трухильо Буено и др. (J. Trujillo Bueno, N. Shchukina, A. Asensio Ramos), Nature, 430, 326 (2004).

56. Форобер (M. Faurobert), Astron. Astrophys., 178, 269 (1987).

57. Форобер (M. Faurobert), Astron. Astrophys., 194, 268 (1988).

58. Форобер-Шолль и Фриш (M. Faurobert-Scholl, H. Frisch), Astron. Astrophys., 219, 338 (1989).

59. Форобер-Шолль и др. (M. Faurobert-Scholl, H. Frisch, К. N. Nagendra), Astron. Astrophys., 322, 896 (1997).

60. Флури (D.M.Fluri), Radiative Transfer with Polarized Scattering in the Magnetized Solar Atmosphere, (Göttingen: Cuvillier Verlag, 2003), 141 p.

61. Ховенир и др. (J. W. Hovenier, C.van der Мее, H. Domke,), Transfer of Polarized Light in Planetary Atmopheres. Basic Concepts and Practical Methods, (Dordrecht: Kluwer Acad. Publ, 2004), 258 p.

62. Чандрасекар С., Перенос лучистой энергии, (М.: Иностранная литература, 1953), 432 с.

63. Шмид и др. (Н. М. Schmid et al) in Direct Imaging of Exoplanets: Science & Techniques, eds. C.Aime and F.Vakili, (UK: Cambridge University Press), Proc. of the IAU Colloquium #200, 165 (2006).