Распределение алгебраических чисел ограниченной степени тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ГЧ. СП СП

го

су, Институт математики НАН Беларуси

УДК 511.36

Тищенко Кирилл Иванович

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ ОГРАНИЧЕННОЙ СТЕПЕНИ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Минск - 1997

Работа выполнена в Институте математики Национальной академии наук Беларуси

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор

Берних Василий Иванович.

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук, профессор

Салнхов Владислав Хасановпч,

Кандидат физ.-мат. наук

Борбат Владимир Николаевич.

Оппонирующая организация: Одесский государственный университет.

Заняла состоится 18 декабря 1997 г. в часов на заседании специализированного совета Д.01.02.01 при Институте математики Национальной академии наук Беларуси по адресу: 220072, г. Минск, ул. Сур-гашва, И, к. 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики ВАК Беларуси.

Автореферат разослан ноября 1997 года.

Учёный секретарь специализированного совета по защите диссертаций кандидат фишко-математнческих наук ф

Беняш-Кривей В. В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Целью диссертации является получение новых результатов, связанных с приближением действительных чисел алгебраическими ограниченной степени. В работе построена система линейно независимых многочленов, с помощью которой конструируется целочисленный многочлен, приводящий к следующей альтернативе: либо он имеет большую производную, либо связанные с ним полиномы сильно приближают ноль б заданной точке. В первом случае получена оценка отношения величины многочлена в точке к его производной. Во втором — получено противоречие. Главный результат диссертации — усиление теоремы Вирзинга о приближении действительных чисел алгебраическими ограниченной степени.

Первые исследования по данной тематике относятся к середине 19-го века. В работах Дирихле, Гурвица, Лиувилля были рассмотрены вопросы приближения действительных чисел рациональными. Современный этап этого раздела теории чисел начался в 60-х годах благодаря работам Э. Вирзинга, В. Шмидта и X. Дэвенпорта. Так, в 1961 году Э. Вирзинг выдвинул гипотезу о порядке приближения действительных чисел алгебраическими ограниченной степени. Им же был доказан ослабленный вариант гипотезы. Общий случай до сих пор остается открытым.'

Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в доказательстве метрических теорем, в которых необходимо строить многочлены с большой производной; в ряде разделов математической физики, гдг используются системы линейно независимых многочленов; в разрешении вопросов, связанных с проблемами малых знаменателей.

Результаты диссертации докладывались на шестой конференции математиков Беларуси (Гродно, 1992), на Международной математической конференции, посвященной 60-летию со дня рождения В. Г. Сприн-джука (Минск, 1996), на международном математическом семинаре по теории чисел в Париже (Франция, 199Т), на Международной 52-ой научно-технической конференции профессоров, преподавателей, научных работников, аспирантов и студентов БГПА "Технические вузы — респу-

блике" (Минск, 1997), на семинарах по теории чисел Института мате матнкп HAH Беларуси (руководитель Бернпк В. И.).

По теме диссертации опубликовано б работ, перечень которых; при веден в конце автореферата.

Диссертация состоит из сведения, обшей характеристики работы, трех глав, включающих 11 параграфов и 34 подпараграфа, выводов и списка литературы, содержащего 36 наименований.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

1

1. Построена система из п линейно независимых многочленов, дающих, хорошую аппроксимацию нуля в точке.

\

2. Построен целочисленный мйогочлен, приводящий к следующей альтернативе: либо он имеет большую производную, либо связанные с

ним многочлены обладают сильной аппроксимацией нуля в точке.

\

3. Найдена оценка отношения величины построенного многочлена в точке к его производной.

4. Введен метод индуктивного построения в случае сильной аппроксимации.

5. Доказана теорема о приближении действительных чисел алгебраическими ограниченной степени.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит историю вопроса, связанного с темой диссертации, и обзор тех направлений теории чисел, которые так или иначе ?атрагиваются в рассматриваемой тематике.

•. Б» обшей характеристике дается опенка современного состояния про-бломи приближения действительных чисел алгебраическими, излагаются j же сушествуюпше методы решения задач в этой области, обосновывается цель- диссертации, ее актуальность ц научная новизна, нриво-дапсч положена л. вычоашые на защиту, говорится про личный вклад,

апробированность и онубликованность результатов, сообщается структура и объем диссертации.

В первой главе приводится формулировка основного утверждения, содержащегося в диссертации, делаются предварительные замечания и доказываются вспомогательные леммы. В §1.1 формулируется основное

Предложение. Для любого действительного числа не являющегося алгебраическим числом степени ^п, существует бесконечно много алгебраических чисел а степени ^ п таких, что

\£-а\«Н(а)-А,

где 3 < n ^ 7, А = А(п)—положительный корень уравнения

A\Zn - 5) + А{-2пг - п + 9) + (-п - 3) = О,

< — известный символ Виноградова (А < В означает, что А < сВ). Константа в «С зависит только от £ и п.

Для п = 7 показатель А — 6.1024183, в то время как теорема Вир-зинга дает лишь результат а = 5.

, Общий метод доказательства предложения — метод от противного. Пусть существует действительное число не являющееся алгебраическим числом степени < п такое, что

Vc> 0 ЗЯ0>0 Va GA>, Н(а)>Н0 - а\ > псН(а)~А,

где Ап — множество алгебраических чисел степени < п. С помощью неравенства

где а — корень многочлена Р(х), ближайший к преобразуем данное предположение к виду

3 Я0 € R+ Щх) 6 Z[eJ, deg Q(x) $ n, \Q\ > Я0

Ш\>С7'т '

где ст — некоторое достаточно большое число.

В §1.2 строится система иело-шсленных многочленов Р<(®) б обладающих следующими свойствами:

(О 1л(01>со|Р2Ю1>-->4"Чад|>...,

где со = Зп!£-П', Щ — некоторое достаточно большое иоложнтельж число..

Доказательству вспомогательных лемм полностью посвящен §1.3. ] него входят: леммы 1 - 6 об общих свойствах многочленов Р;(х) и пол1 номов в целом; леммы 7,8 о системах неравенств; лемма 9 о результант и лемма 10 о связи ¿-ой производной многочлена и его высоты; лемма 1 об опенках для многочленов Р(х) и СЦ(х), не умеющих общих корней леммы 12 и 13 о некоторых свойствах многочленов, связанных с их при водимостыо или неприводимостью над %.

Основными в §1.3 являются лемма 14, в которой доказывается непрп вошамость над Ъ многочленов РДж), а также

Лемма 15. Для многочленов Р;(е) справедлива следующая оценка:

№)\-1

Вторая глава включает в себя три основных момента:

а) построение системы из п линейно независимых целочисленных многочленов с перепадом высот и хорошей аппроксимацией нуля в точке

е-,

б) конструирование с их помощью целочисленного многочлена приводящего к следующей альтернативе: либо он имеет большую про-изгодную, либо многочлены Р*(а.) сильно аппроксимируют нуль в точке

' ■ в) вывод в первом случае так называемого основного неравенства, характеризующего отношение значения величины многочлена <7о(в) в точке к его производной.

В §2.1 введены я. — 2 нетривиальных целочисленных мпогочлена Q^\x) 6 z[x], у = 1 ,п — 1, удовлетворяющих следующим условиям:

Gl

_ ^ т

< М-И-цОГ^! fti lÖF1! • • • IQp1!)--,'

где с\ = 4n!£~n5, с2 = (п + 1)!£~п\ номер ¿SN таков, что |Pj(£)| >

В подпараграфах 2.1.3 и 2.1.4 соответственно доказывается линейная независимость многочленов

и выводится оценка цля произведения высот многочленов Qq'^x), у — = 1,п - 2 :

I¡3p>i <i^V WrVia-i^^IHr2^

В §2.2 с помощью многочленов Pi^l(x),.Pi(x), Qq\x), ... , QcT"2^1) строится нетривиальный целочисленный многочлен Go(x) € Z[x],.

<?о(в) — с^хп -!-...+ с^х -Ь Cq0',

такой, что

IGiiOl < • ■

И^сг-чта

В §2.3 рассматриваются два принципиально различных случая: Случай А.

Случай В.

PSI < \1й\.

Центральное место §2.3 и второй главы в целом — вывод в случае А так называемого основного неравенства для Со (г) (п.п. 2.3.2):

Для этого вначале с помощью леммы 15 преобразуется правая часть оценки для |<?о(£)1:

где а1 и 02 ■— некоторые неотрицательные константы. Положиз »

З п-2 /1-1 о п — 1

■ 7 3(п-2)(Л-1) (А-1)(А-2) 2 - п-1 2

и используя равенство

А2(3п - 5) + Л(-2п2 - п + 9) + (-п - 5) = О,

выводим:

Отсюда, учитывая оценку для Юо(£)1> получаем основное неравенство. При этом используется тот факт, что в случае А

Понятно, что основное неравенство противоречит противному предположению, поэтому сразу переходим к случаю В.

В заключении второй главы показывается, что в случае В для многочлена Р(-2{х) справедлива .опенка

МО! <

из которой следует, что

Третья глала полностью посвящена доказательству следующего не-авенства:

це 0 < к £ £ — 3.

Общий метод доказательства — метод математической индукции, огласно результатам второй главы для к = 0 неравенство верно. В §3.1 делается индуктивное предположение.

В §3.2 вводятся нетривиальные целочисленные многочлены <3т\-г{х)> = 1 ,п — 2, 0 — удовлетворяющие следующим свойствам:

и

1^11 > 71 -2,

< Г ,.. ¡^¡¡РГ-^Д^гГ1 X

х I®!"1 • • • Ч Рг-^ОПК-ш-Ш)^-

В подпараграфах 3.3.10 и 3.3.11 соответственно доказывается линей-ая независимость многочленов

. р,-^), ■-.<?&:?(*)

выводятся оценки для произведения высот многочленов 7 —

: 1.П-2 :

I® • • • !& < ^'(»ЬсгсГГЧРЫМ* х ГГЧ^-ш-^ОГ1-

В §3.4 с помощью многочленов Р,_т. ;(и;), Р;_1П_1(:г), (^¿^(г),... • - > строится нетривиальный целочисленный многочлен

?т+1(х)€г1х]

для которого справедливы следующие оценки: Кроме того,

|4т+1)| < Г-1!?^!, к = ЗЯ

В §3.5 рассматриваются два принципиально различных случая. Случай А.

ген >

Случай В. •

В случав А выводятся основное неравенство для многочлен

¿-{п-И^!-».—¡-Л

Таким образом яротнвное прадзоложенцг- ¿а ае^ко, поэтому сораведлш случай В, из которого согласно еиоГк^аМ многочленов Р,(х) следует что

1Р- ,/">'4 иг да-1!"?3;-Гг-(л—1)

Полагая т » ^ •» 4, ИоЛучае;-? аераг-гнетво

которое противоречит неравенству, приведенному в начале § 2.1 второй главы. .

Полученные противоречия говорят о том, что предположение, сделанное в начале первой главы, не верно, т. е.

■ \

ЭоО УЩ> 0 Зог 6 Лп, Ща) > Щ что и доказывает предположение.

ВЫВОДЫ

Основные результаты диссертации следующие.

Построена система линейно независимых целочисленных многочле-ов с перепадом высот и хорошей аппроксимацией нуля в заданной точ-е. Получен нетривиальный целочисленный многочлен, обладающий ледуюшим свойством: либо он имеет большую производную, либо свя-анные с ним многочлены сильно аппроксимируют пуль в точке. Выедена оценка для отношения значения многочлена в заданной точке к го производной. Улучшена теорема Вирзинга о приближении действи-ельных чисел алгебраическими числами степени < 7.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих ра-отах:

1. Б ерник В. И., Тищепко К. И. Совместные приближения действительных чисел алгебраическими ограниченной степени // Шестая онференпия математиков Беларуси. Тез. дохл. кояф. Гродно, 1992. [. 1. С. 6.

2. Берник В. И., Тищенко К. И. Целочисленные многочлены с пе-епадом величин коэффициентов и теорема Впрзипга [/ Докл. АН Бе-арусн. 1993. Т. 37, К. 5. С. 9 - 11.

3. Тищенко К. И. О приближении действительных чисел алге-рапческимн степени ^ 10 // Международная конф. по днофантовому нализу и приложениям, посвященпая 60-летшо со дня рождения акад. 1.Г. Сприяджука. Тез. докл. конф. Минск, 1996. С. 31.

4. Тищенко К. И.. Системы линейно независимых многочленов с ерепздом высот и проблема Вирзпнга // Весш АН Беларусь Сер. аз.-мат. навук. 1996. К» 4. С. 16 - 22.

5. Тищенко К. И. О приближении действительных чисел алгебра-ческими третьей степени // 05. статей, посвященный 60-летшо со дня ождения проф. В. Г. Спрннджука. 1997. С. 85-96.

6. Тищенко К. Л. О приближении действительных чисел алге-раяческими // Международная 52-я пауто-техническая конференции рофегсоров, преподавателей, научных работников, аспирантов н сту-ептов БГПА "Технические ь>зы — рогпублнке". Тез. докл. .конф. 1инск, 1Э97.

РЕЗЮМЕ Тишенко Кирилл Иванович

Распределение алгебраических чисел ограниченной степени

Ключевые елозя: диофантовы приближения, линейные формы, J нейная независимость многочленов.

, Построена система линейно независимых целочисленных многоч. нов с хорошей аппроксимацией пуля в заданной точке.

Получено улучшение теоремы Вирзинга: для любого дейстыгга ного числа £, не являющегося алгебраическим числом степени ^ п, ( шествует бесконечно много алгебраических чисел а степени < п таы что

где Н(а) — высота тшсла а, < — символ Виноградова, А — А(п) положительный корень уравнения

А\3п - 5) + Л(-2п2 - п + 9) -!• (-п - 3) = 0.

Константа в зависят только от £ и п.

РЭЗЮМЕ Шшчанка К1рыл 1ванавзч

Размеркаваныс олгобралчных лшау абмежаваиай студзш

Ключавыя словы: дыяфантавы наблЬкэкш, лгаейаыя фермы, лше; ная незалежнасщ. мнагас^ладау.

Пабудавана сктэма лшейньхх незалежных цэлалкавых мнагасклад; з добрай алракамацыяй нуля у дадзеным пункце.

\ Атрымана паляпшэнне тзарэмы В1рзшга: для усякага рэчакиа] лжа яш не з'яуляеша алгебрагчным лшам ступеш ¡снуе бя концая колькасць алгебрахчных лкау а ступеш < п тавзх, што

|е-а!<Я(а)

-А

¡e Hip:) — BHiUHiia Jiiicy a, <C — ciMBaji Biiiarpa^ana, A = A(n) — jflaxiiii Kopani. payiiaiHM

A2{Zn - 5) 4- A(~2n2 - n + 9) + (-n - 3) = 0.

aHCTaHxa y -C 3aji©KHHi> tojilki aa i i n.

SUMMARY Tishtchenko Kyril Ivanovich

Distribution of algebraic numbers of bounded degree

Keywords: Diopliantiiie approximation, linear forms, linear independent tlynomials.

The system of linear independent integral polynomials with a good approximaf zero by their values at a given point is constricted. Wirsing's theorem is improved: for any given real number £ which is t an algebraic number of degree ¡j n tliere exist infinitely many algebraic mbers a of degree ;; n such that

lere H{a) denotes the height of a, is the symbol of Vinogradov and = A(n) is the positive root of the equation

A2(3n - 5) + <¿(-2«* -n + 9) + (-« - 3) = 0.

le constant in <C depends on £ and n only.