Распределение простых чисел в арифметической прогрессии, разность которой является степенью фиксированного простого числа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

005016083

На правах рукописи

Шевцова Мария Витальевна

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ В АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ, РАЗНОСТЬ КОТОРОЙ ЯВЛЯЕТСЯ СТЕПЕНЬЮ ФИКСИРОВАННОГО ПРОСТОГ?"ЧИСЛА

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

3 май 201 г

Москва — 2012

/

005016083

Работа выполнена на кафедре алгебры, теории чисел и геометрии факультета математики и информационных технологий ФГАОУ ВПО «Белгородский государственный национальный исследовательский университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Гриценко Сергей Александрович

Официальные оппоненты: Пачев Урусби Мухамедович,

доктор физико-математических наук, доцент, Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова, профессор кафедры геометрии и высшей алгебры математического факультета,

Эминян Карапет Мкртичевич,

кандидат физико-математических наук, Финансовый университет при Правительстве РФ, доцент кафедры математики факультета математических методов и анализа рисков

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского»

Защита состоится «21» мая 2012 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 212.154.32 при Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, г. Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, математический факультет МПГУ, ауд. 401.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического государственного университета: 119992, г. Москва, ул. Малая Пироговская, д. 1

Автореферат разослан « » СГЧРелЯ 2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета //^ Муравьева Ольга Викторовна

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. В теории чисел важную роль играет распределение простых чисел в арифметических прогрессиях.

Пусть при (I, D) — 1 -к(Х, D, I) означает число простых чисел, не превосходящих X и сравнимых с I по модулю D. Не доказанная к настоящему времени расширенная гипотеза Римана привела бы к следующему асимптотическому закону1:

где D < Х*~е, г > 0 — произвольно малое число.

Без допущения расширенной гипотезы Римана и наложения каких-либо ограничений на D, асимптотическая формула для 7г(Х, D,I) получена при весьма «малых» D. Например, при D ^ (1пХ)Л, где А > О — константа, с = с(А) > 0, справедлива формула:

которая известна в литературе как формула Зигеля—Вальфиша1.

Но в случае, когда D = р™, р0 > 3 — фиксированное простое число, можно получить асимптотическую формулу для 7г (X,D, I) при гораздо больших D.

В 1955 году А. Г. Постников2 обнаружил, что сумма значений неглавного характера по модулю D, равному степени нечетного простого числа, представляет собой сумму Вейля специального вида. Это открытие замечательно тем, что суммы Вейля, даже очень короткие (а вместе с ними и очень короткие суммы значений характера), допускают нетривиальные оценки.

Идея А. Г. Постникова позволила решить некоторые проблемы теории чисел, к которым в общем случае не было никаких подходов.

К таким задачам относится получение асимптотической формулы для it(X, D, I) при возможно большем значении D.

В 1964 году Ю. В. Линник, М. Б. Барбан и Н. Г. Чудаков3 доказали следующий асимптотический закон, справедливый при

'Карацуба A.A. Основы аналитической теории чисел. — М.: Наука, 1983.

^Постников А. Г. О сумме характеров по модулю, равному степени простого числа//Изв. АН СССР, сер. Матем. -1955. - Т. 19, М» 1. - С. 11-16.

3Линник Ю. В., Барбан М. Б., Чудаков Н. Г. О простых числах в арифметической прогрессии с разностью, равной степени простого числа//Acta arithm. J. —1964. — vol.9, № 4. — Р. 375-390.

D = Po® < (e > 0 — произвольно малое число, М > О — произ-

вольно большое число):

Доказательство этой теоремы основано на плотностной технике, и поэтому для него требуется информация о распределении нулей L-функции Дирихле в критической полосе.

Другая задача, в которой исследования А. Г. Постникова нашли свое применение, — это проблема делителей Дирихле в арифметических прогрессиях.

Пусть Тк(п) — число решений в целых положительных числах П1,...,Пк уравнения

Hi . . . 7lfc = П .

Рассмотрим сумму

£ гк{п). (1)

nsCX nsl (modD)

В работе А. Ф. Лаврика4 получена асимптотическая формула для суммы (1) при к > 4 с произвольной разностью D. Эта формула нетривиальна при D < Хе, а > 0 — константа.

Г. Иванец5 на основе модулярной техники получил асимптотическую формулу в случае к = 2, справедливую при D ^ (е > 0 — произвольно мало), и совместно

с Дж. фридлендером6 - для к = 3,

справедливую при D <

В 1979 году М. М. Петечук7 усилил результат Лаврика и получил асимптотическую формулу для суммы (1) при фиксированном к > 2

4Лаврвк А. Ф. Функциональное уравнение для L-фунхций Дирихле и задача делителей в арифметических прогрессиях//Изв. АН СССР, сер. Матем. -1966. - Т. 30. - С. 433-448.

5Iwaniec Н., Kowalsky Е. Analytic number theory. -American Mathematical Society, Colloquium Publications. — Volume 53, 2004.

sFriedlander J., Iwaniec H. Incomplete Kloosterman sums and divisor problem//Ann. Math. — 1985. -121. - P. 319-350.

'Петечук M. M. Сумма значений функции делителей в арифметических прогрессиях с разностью, равной степени простого нечетного числа//Иза. АН СССР, сер. Матем. —1979. — Т. 43, № 4. — С. 892-908.

£ (2) n=l (mod D)

где (/,0) = 1, Pfc-jflnJO — многочлен степени к — 1с коэффициен-

f £ ß\ а

тами, зависящими от к и ро, к = min — константа,

зависящая от ро-

Формула остаточного члена (2) получена с применением оценки короткой суммы значений характера по модулю D = р", основанной на работе А. Г. Постникова. Доказательство (2) проводится без применения средств комплексного анализа. Оно опирается на метод работы А. А. Карацубы8, позволяющий оценивать остаточный член асимптотической формулы по схеме решения тернарной аддитивной задачи.

С помощью этого метода 3. X. Рахмонов9 решил задачу распределения чисел Харди — Литтлвуда в арифметических прогрессиях с растущей разностью. В его работе получена асимптотическая формула для числа решений сравнения

p + n2 = l (mod £>), р^Х, п < VX,

где D — достаточно большое простое число, 1 < / ^ D—1, X ^ Z)3/2+i, и найдена следующая граница наименьшего числа Харди — Литтлвуда в арифметической прогрессии:

Я(Д/) <£>3/2 + е.

В данной диссертации получена асимптотическая формула для 7г(Х, D, I) при D = pg1 < е~(ЫиА:)\ а также рассматривается проблема делителей Дирихле в арифметических прогрессиях.

8Карацуба А. А. Распределение произведений сдвинутых простых чисел в арифметических прогрессиях//ДАН СССР. -1970. - Т. 192, №4. - С. 724-727.

"Рахмонов 3. X. Распределение чисел Харди - Литтлвуда в арифметических прогресси-ях//Изв. АН СССР, сер. Матем. -1989. - Т. 53, ЛЧ. - С. 211-224.

Цель работы.

1. Вывести приближенные формулы для сумм значений функции делителей в арифметических прогрессиях.

2. Получить асимптотическую формулу для ДI) при

Методы исследования. Работа выполнена на основе методов мультипликативной теории чисел, метода тригонометрических сумм И. М. Виноградова и метода контурного интегрирования.

Научная новизна работы.

В диссертации представлены доказательства асимптотических формул для сумм значений функции делителей по числам, лежащим в арифметической прогрессии. Получен асимптотический закон распределения простых чисел в арифметической прогрессии с разностью £) = р™ ^ е-(ЫпХ>2. Все результаты работы являются новыми.

Положения, выносимые на защиту:

1. Доказательство асимптотических формул при произвольных Б для суммы

£ Ф)>

п-^Х п=1 (тос! П)

где Б < (£! > 0 — сколь угодно малое число) и для суммы

£ Тз(п), п=1 (шоа о)

где В < Хъ~Ег (е2 > 0 — сколь угодно малое число).

2. Получение приближенной формулы для суммы значений функции Тк{п) с равномерной по к оценкой остаточного члена, где п лежит в арифметической прогрессии с разностью В = р™ ^ Х*-£, р0 3 — фиксированное простое число.

3. Вывод асимптотической формулы для7г(Х, £>, I) — числа простых чисел, не превосходящих X лежащих в арифметической прогрессии с разностью И = ру ^ е"(1пк1Х^ р0 > 3 — фиксированное простое число.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в дальнейших исследованиях, посвященных аддитивным задачам с простыми числами, а также при разработке специальных курсов по теории чисел.

Апробация результатов. Основные результаты работы были представлены на следующих конференциях:

Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов — 2011», Москва, 2011 г.

Международная научная конференция «Комплексный анализ и его приложения к дифференциальным уравнениям и теории чисел», Белгород, 2011 г.

Всероссийская конференция по математике, информатике и методике их преподавания, Москва, 2011 г.

Публикации. Все результаты диссертации опубликованы в работах автора [1]—[7]. Из них статьи [1], [2], [3] опубликованы в журналах из списка ВАК РФ. Список публикаций автора приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Список литературы содержит 26 наименований. Общий объем диссертации — 85 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационного исследования, дается краткий исторический обзор результатов, полученных ранее и связанных с тематикой диссертационной работы, формулируются основные результаты диссертации и приводятся схемы доказательств.

Первая глава диссертации содержит сведения из теории чисел, необходимые при дальнейшем изложении. Основные результаты научной работы сформулированы во 2 и 3 главах.

Вторая глава посвящена проблеме делителей Дирихле в арифметических прогрессиях. Элементарными методами доказана следующая теорема.

теорема 1. При (l,D) = 1 имеет место формула:

£ гк(п) = X) + R. (3)

п^Х n=l (mod D)

1. При к = 2 формула (3) справедлива для D ^ (е\ > 0 — сколь угодно малое число).

2. При к — 3 формула (3) справедлива для D < Х^~£2 & > 0 — сколь угодно малое число).

В этой главе также рассматривается задача о равномерной оценке остаточного члена асимптотической формулы для суммы значений функции делителей в арифметической прогрессии с разностью

Теорема 2. При (l,D) = 1, D ^ Х&~£ справедлива формула

п^Х n^l (mod D)

где

R -С —— i)7(fc-2)ec(fc~2) (lnX)2fe_2 , ip(D)

Рк—\ (z*) —многочлен степени к - 1 от переменной z с коэффициен-

(£ 7 1

гпами, зависящими от к и ро, х = min j-, 7 > 0, с > 0 —

константы.

Данная формула нетривиальна при к

In In X У '

Доказательство теоремы 2 проводится по схеме работы М. М. Петечука7. Для получения равномерной по к оценки мы используем теорему А. И. Виноградова и Ю. В. Линника10:

£ n(n)<c?-Xl/

nsi (mod D) где С = exp - 1) e32/5}.

Кроме того, мы применяем неравенство К. К. Маржджанишвили11:

2>(n)<*-(SfcTiji-•

Заметим, что, поскольку главный член является величиной порядка {lnXf-\ то формула (4) при данных ограничениях на D спра-

Ь<( 1пХ У''

ведлива для к ^ І ^ I

В третьей главе рассматривается проблема распределения простых чисел в арифметических прогрессиях с разностью, равной степени фиксированного простого числа. Основной результат сформулирован в теореме 3.

теорема 3. При (г,і>) = 1, £> = ^ ХІ є~(1п1ііх)2 справедлива формула

7r{X,D,l)=—— + 0

ЫХ , о ( Х ip(D)+U\ip(D)e

где 0 < х < 1 — константа.

По сравнению с теоремой Ю. В. Линника, М. Б. Барбана и Н. Г. Чу-дакова3 получено незначительное уточнение остаточного члена и верхней границы изменения D. Наше доказательство существенно отличается тем, что не использует информации о распределении нулей L-функции Дирихле в критической полосе, а использует лишь теорему

'"Виноградов А. И., Линник Ю. В. Оценка суммы числа делителей в коротком отрезке арифметической прогрессии//Успехи матем. наук. —1957. — Т. 12, вып. 4 (76). — С. 277-280.

11 Марджанишвили К. К. Оценка одной, арифметической суммы //ДАН СССР. —1939. — Т. 22, №7. - С. 391-393.

о границе нулей, принадлежащую В. Н. Чубарикову12, доказательство которой элементарно.

Вывод асимптотической формулы осуществляется по схеме работы Петечука7. Однако в эту схему пришлось внести изменения. Мы применяем метод контурного интегрирования, поскольку нам необходимо оценивать не только суммы значений характера, но и суммы значений характера по простым числам.

Опишем схему доказательства теоремы 3. Рассмотрим сумму

п<Х n~l (mod D)

Используя свойство ортогональности характеров и выделяя слагаемое с Хо, имеем:

£ = ^ £ Л(„) + ^£*(0£Л(П)Х(»).

п^Х ' п<Х ^ 'хФхо п^Х

n=l (mod D) (n,D)=1

Первая сумма справа даст нам главный член асимптотической формулы, а вторая — остаток R.

Применим формулу типа малого решета и разобьем R наО(1п2Ь X) сумм вида: 1

Ч>1Р)

X) "' С1(П1)...С2к(П2к)х(П1...П2к),

Х^Хо Лг1<щ$2Л'1

П1—пг кКХ

где сДп,-) — либо 1, либо \nrij, либо д(п^), j = 1,... ,2к. Если с^щ) = м(пД то щ < Х1!К, к = 1,...,К.

Заметим, что в этой сумме имеется условие:

т • • • П2к ^ х. (5)

Области суммирования такого рода называются криволинейными. Пользуясь известным приемом Линника13, заменим суммирование по криволинейной области суммированием по области, в которой условие (5) отсутствует (такую область мы будем называть прямоугольной).

"Чубариков В. Н. Уточнение границы нулей Ь-рядов Дирихле по модулю, равному степени простого числа//Вестник Московского университета. — 1973. — №2. — С. 46-52.

13Линник Ю. В. Теория чисел. Ь-функции и дисперсионный метод. — Ленинград: Наука, 1980.

Получим суммы вида:

£ е е tUVMV),

^ ' хфхв N<nü2N U<u^2kU V<v<2k"1V

где c(n) = 1, либо Inn, либо /i(n), UVN < X,

U = N2Ni...N2k, V ~N3N5...N2k-i,

Tfc(u) = E "' E C2{n2)Ci(ni)...C2k(n2k),

N2<n2^2N2 N^Km^Ni N2k<n2k^2N2k

П2П4-"П2к—и

TL l(V) = E E "' E Сз(пз)с5(п5)...02к-1(ПЙ_1).

Ni<n3<2N3 N5<n5^2N6 N2k-i<n2k-i<2Nv,-i П3П6—n2t_i=a

Применим неравенство Коши. Тогда имеем:

2\ 1/2

Si -С тах

хФхо

J2 фм**)

JV<n<2JV /

/

1

e

X (mod D)

X

1

e

X (mod D)

£ Tfc(«)xW

U<u^2kU

2\ !/2

e TÎ-ixî«)

vcu^-'v

1 v^

Заметим, что cri = . _,. > ip{D) ^

x(mod D)

e т'к(иЫи)

U<u^2kU

равняется числу

решений сравнения

Х\Х2 ■■■Хк = х[х2 ■•■х'к (тос! £>),

N2 < Ж2, Х2 К 2 N2, ■ ■ ■ , N2к < Х2к, х'2к < 2 1я2к, и<х2---хк, х'1х'г--х'к<2ки. Оценивая число решений этого сравнения, получим:

и г-<71 <с -7= + у/и. у/О

Аналогично оценивается сумма

<p{D)

Таким образом: Я« (InХ)4*шах

Х^Хо

Y1 фм«)

N<n£2N

е

x(mod D)

' и

£ 7fc-l(u)x(w)

Далее, оценка суммы £ ф)х(") зависит от коэффициентов N<n^2N

с(п).

Если c(n) = 1, либо Inn, то мы имеем сумму значений характера. Используя оценку, полученную в работе Линника, Барбана и Чудакова3, приходим к следующему:

шах

Хф-Хо

Г<„<2Л' \ VD )

« (lnX)4* (X^D-V* + «: X^D-^OnX)^

Для более короткой суммы значений характера мы применим оценку, доказанную в работе Чубарикова12:

£ Х(п) <

N<n^2N

где г = 1 < г < 0<7<1- константа. Тогда:

V-. , UV________ Xі-ob

N<n<&N

max

Х^Хо

^xr« D

Отдельную задачу представляет оценка суммы £ с(п)х(п) в

N<n^2N

случае, когда параметр N «очень маленький», то есть самая длинная сумма оказывается короткой. Тогда с(п) = ц{п), и возникает сумма

/Ф)х(п)-

N<71^

Пользуясь определением функции Мебиуса представим эту сумму в виде:

и

N<4^ 2N 1=1

где 5; = £ $I — бесквадратное число, имеющее ровно I

простых делителей, Ьо ^ [1о§2 •

Применяя решето Виноградова, мы сводим сумму 5; к сумме значений характера по простым числам

2ЛГ'

Эту сумму не удается нетривиально оценить, используя метод тригонометрических сумм И. М. Виноградова, в силу мультипликативности функции характера. Поэтому здесь мы применяем теорему Чубарико-ва о границе нулей Ь-функции Дирихле: для произвольного неглавного характера х по модулю £> = р™ Ь(э,х) не имеет нулей в области

Ьх, Ъг — положительные константы.

На основе этой теоремы мы получаем оценку логарифмической производной Ь-функции в области

„ 1__^_ М <

а>1 2(1пД)2/3(1п1п1)Г |г|<е

«(1п£)5/3(1п1п£>)2.

Далее, применяя формулу Перрона и метод контурного интегрирования, приходим к следующему неравенству:

Л" <р <2Л'' где 0 < с < 1 — константа.

Таким образом, имеем: /х(п)х(п)

тах

хФха

N<n^2N

NUV

X

_ -0,1с(ІпЬХ)2 ^ __р—0,1с(1п 1пX)

Последний результат и определяет в конечном счете оценку остаточного члена асимптотической формулы.

Из полученной асимптотической формулы преобразованием Абеля приходим к утверждению теоремы.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Шевцова М. В. О распределении простых чисел в арифметических прогрессиях с разностью специального вида/С. А. Гриценко, М. В. Шевцова // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия Математика. Физика. - 2011. - № 5 (100). - Вып. 22. - С. 1738. — 1.38 п.л. (авторский вклад 50%)

2. Шевцова М. В. О распределении простых чисел в арифметической прогрессии, разность которой является степенью фиксированного простого числа / С. А. Гриценко, М. В. Шевцова // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия Математика. Физика. — 2010. — № 23 (118). — Вып. 25. — С. 54-59. — 0.38 п.л. (авторский вклад 50%)

3. Шевцова М. В. О суммировании функции делителей в арифметической прогрессии// Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия Математика. Физика. — 2011. — № 17 (112). — Вып. 24. — С. 172-178. — 0.44 п.л.

4. Шевцова М. В. О суммировании функции Тк{п) по числам, лежащим в арифметической прогрессии// Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия Математика. Физика. — 2010. - № 5 (76). - Вып. 18. - С. 154-169. - 1.00 п.л.

5. Шевцова М. В. О распределении простых чисел в арифметической прогрессии, разность которой является степенью фиксированного простого числа/ С. А. Гриценко, М. В. Шевцова // Тезисы докладов секции «Аналитическая теория чисел» Международной научной конференции «Комплексный анализ и его приложения к дифференциальным уравнениям и теории чисел». — Белгород, 2011. — С. 45-46. — 0.13 п.л.(авторский вклад 50%)

6. Шевцова М. В. Сумма значений функции делителей в арифметических прогрессиях с разностью, равной степени нечетного простого числа// Материалы Международного молодежного научного форума «Ломоносов - 2011»/ М.: МАКС Пресс. — 2011. Шр://1отопозоу-msu.ru/archive/Lomonosov_2011/structure_16_1257.htm. — 0.13 п.л.

7. Шевцова М. В. О распределении простых чисел в арифметической прогрессии, разность которой является степенью фиксированного простого числа / С. А. Гриценко, М. В. Шевцова // Чебышевский сборник. - 2011. - Том 12. - Вып. 1. - С. 60-78. - 1.19 п.л. (авторский вклад 50%)

Подп. к печ. 09.04.2012 Объем 1 п.л. Зак. № 86 Тир. 100 экз.

Типография МПГУ

61 12-1/805

ФГАОУ ВПО «БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

На правах рукописи

Шевцова Мария Витальевна

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ В АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ, РАЗНОСТЬ КОТОРОЙ ЯВЛЯЕТСЯ СТЕПЕНЬЮ ФИКСИРОВАННОГО ПРОСТОГО ЧИСЛА

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук

Гриценко Сергей Александрович

Белгород — 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ

Обозначения ......................................................3

Введение .........................................................5

Глава 1. Вспомогательные утверждения

§1. Вспомогательные леммы ..................................16

§2. Основные леммы ..........................................21

Глава 2. Доказательства теорем 1 и 2 ...........................46

Глава 3. Доказательство теоремы 3 .............................70

Список литературы .............................................81

Обозначения

с,С\.С2, - • • — положительные постоянные, в различных формулах, вообще говоря, различные;

£ — произвольно малое положительное постоянное число, £ < 1;

р, Р1,Р2,- ■ ■ — простые числа;

ро — фиксированное простое число, ро ^ 3;

2

ехр х = ех;

т~к(п) ~~ число решений уравнения х\ ■ • • х-к = п в натуральных числах Х\..... ж/1:;

<р(п) — функция Эйлера — число натуральных чисел, не превосходящих п и взаимно простых с п;

запись а = Ь (тос! то) означает, что то | (а — Ь);

ц(п) — функция Мебиуса — равна единице при п = 1, равна нулю, если р2\п и равна (—1)к , если п равно произведению к различных простых сомножителей;

Л(п) — функция Мангольдта — равна 1пр, если п — степень простого числа р} и равна 0 в противном случае;

Х(п) — характер Дирихле по модулю И;

если V - целое число,

ехр{2тп^}, если (п, Л) = 1; 0. если (те, Б) > 1.

V шс1 п

Ч>Ф)

Х(п) — комплексно-сопряженный характер Дирихле;

тт(х, И, I)— число простых чисел, не превосходящих числа х и сравнимых с I по модулю И, (7,12) = 1;

||£[| — расстояние от £ до ближайшего целого числа;

запись А <С В означает, что \А\ ^ сВ.

Введение

В теории чисел важную роль играет распределение простых чисел в арифметических прогрессиях.

Пусть при (/,£>) = 1 7г(Х, Б Л) означает число простых чисел, не превосходящих X и сравнимых с I по модулю В. Не доказанная к настоящему времени расширенная гипотеза Римана привела бы к следующему асимптотическому закону |1]:

И ^ е> 0 — произвольно малое число.

Без допущения расширенной гипотезы Римана и наложения каких-либо ограничений на .О, асимптотическая формула для 7г(Х, О, I) получена при весьма «малых» Б. Например, при В ^ (1пХ)-4, где А > 0 — константа, с = с(А) > 0, справедлива формула:

7Г(х,дг) = ^.+о(хе-^), (1)

которая известна в литературе как формула Зигеля—Вальфиша [1|.

Но в случае, когда И = р™, ро ^ 3 — фиксированное простое число, можно получить асимптотическую формулу для 7г(Х, И, I) при гораздо больших I).

В 1955 году А. Г. Постников обнаружил |2|, что существует многочлен с целыми коэффициентами /(и) = и + й2и2 + • • • + ат_1?/т_1 степени т—1 такой, что для любого первообразного корня д по модулю р™ ПРИ любом целом и справедливо сравнение

-у----= А/(и) (то

р 0-1

где (А,ро) = 1 и А — корень сравнения

тф;(Ц-р0) _

р о-1

А/(1) (тоарГ1)-

Данное наблюдение позволило представить сумму значений неглавного характера по модулю И, равному степени нечетного простого числа, как сумму Вейля специального вида. Это открытие замечательно тем, что суммы Вейля, даже очень короткие (а вместе с ними и очень короткие суммы значений характера), допускают нетривиальные оценки.

Идея А. Г. Постникова позволила решить некоторые проблемы теории чисел, к которым в общем случае не было никаких подходов.

К таким задачам относится получение асимптотической формулы для 7г(Х, И, I) при возможно большем значении И.

В 1964 году Ю. В. Линник, М. Б. Барбан и Н. Г. Чудаков [3| доказали следующий асимптотический закон, справедливый при В = р™ ^ Х»~£ (е > 0 — произвольно малое число, М > 0 — произвольно большое число):

тг(ХД0 = ^(1 + О(1п-мХ)). (2)

Доказательство этой теоремы проводится на основе плотностной техники и поэтому требует информации о распределении нулей Ь функции Дирихле в критической полосе.

Используя идею Постникова, авторы получили оценку для суммы значений неглавного характера по модулю И = р™:

< а^ЬпО. (3)

Эта оценка дала возможность Линнику, Барбану и Чудакову вывести новую плотностную теорему:

Ща, Т, Х) < Г3^8/3*1-") 1п13 О, (4)

где М(а,Т,х) — число нулей х) в прямоугольнике а ^ ¡3 < 1, |7| ^ Т, р = ¡3 + ¿7 — нуль Ь(в, х) в полосе 0 < ¡3 < 1.

Используя оценку (4) авторы получили формулу (2) для больших И по сравнению с (1).

В монографии А. А. Карацубы |1| приводится следующая формула, справедливая при D = р™ ^ X1/9:

ib(X,D,l) = (l + О , (5)

X

W)

где с > 0 — константа.

Доказательство (5) осуществляется на основе плотностной техники. Отметим, что, хотя оценка остаточного члена точнее, чем в (2), граница изменения D гораздо меньше.

Другая задача, в которой исследования А. Г. Постникова нашли свое применение, — это проблема делителей Дирихле в арифметических прогрессиях.

Пусть Tfc(n) — число решений в целых положительных числах Щ,..•, щ уравнения

щ... пк = п.

Рассмотрим сумму

Е ■ (6)

п^Х n=l (mod D)

В работе А. Ф. Лаврика [4] получена асимптотическая формула для суммы (6) при к ^ 4 с произвольной разностью D:

п< А' n=l (mod D)

где

R «

ip{D)

С\, (>2 — константы, Рк-1(2) — многочлен степени к — 1 от переменной

сд

г. Эта формула нетривиальна при П ^ X к.

Если к < 4, последний результат существенно усилен.

Г. Иванец [5] на основе модулярной техники получил асимптотическую формулу в случае к = 2, справедливую при D ^ X з~е (е > 0 — произвольно мало), и совместно с Дж. Фридлендером |6| — для к = 3, справедливую при D ^

В 1979 году М. М. Петечук |7| усилил результат Лаврика и получил асимптотическую формулу для суммы (6) при фиксированном к ^ 2 и D = pf ^ х1-£:

^ X/WlnX) (х1~Л

5 (7)

n=Z (mod D)

где = 1, Рк-i(lnX) — многочлен степени к — 1с коэффициен-

f ^ /5 1

тами, зависящими от /г и ро, ^ =: min \ —"пт г > > 0 — константа,

I 16 к6 I

зависящая от Pq.

Формула остаточного члена (7) получена с применением оценки короткой суммы значений характера по модулю D = р™, основанной на работе А. Г. Постникова. Доказательство (7) проводится без применения средств комплексного анализа. Оно опирается на метод работы А. А. Карацубы |8|, позволяющий оценивать остаточный член асимптотической формулы по схеме решения тернарной аддитивной задачи.

С помощью этого метода 3. X. Рахмонов [9] решил задачу распределения чисел Харди — Литтлвуда в арифметических прогрессиях с растущей разностью. В его работе получена асимптотическая формула для числа решений сравнения

р + п2 = I (mod D), р^Х, п^ УЖ

где D — достаточно большое простое число, 1 ^ I D — 1, X ^ D3/2+e, и найдена следующая граница наименьшего числа Харди — Литтлвуда в арифметической прогрессии:

H(D,l) <L>3/2+£.

В настоящей диссертации решены три задачи, связанные с изложенной тематикой.

Первая глава содержит леммы, необходимые для доказательства утверждений диссертации. Основными результатами являются теоремы 1 — 3, которые доказываются во 2 и 3 главах.

Во второй главе элементарными методами доказана следующая теорема.

теорема 1. При (I.D) = 1 имеет место формула:

Е rk{n) = -^)Pk^{\nX) + R. (8)

п^Х n=l (mod D)

1. При к = 2 формула (8) справедлива для D ^ (е\ > 0 -сколь угодно малое число) .

4 ^

2. При к = 3 формула (8) справедлива для D ^ Х$~£'2 (бо > 0 — сколь угодно малое число).

В этой главе также рассматривается задача о равномерной оценке остаточного члена асимптотической формулы для суммы (б) при D =

Теорема 2. При (l,D) = 1, D = р™ ^ справедлива формула

^ -yPt-tpnX)

£ Тк{п) = <fi(D) + R' (9)

п^Х n=l (mod D)

где

R « ~ 1)7(к-2}е«к~2) (InX)2*"2 ,

Pk-i(z)— многочлен степени к — l от переменной z с коэффициентами, зависят/ими от к и ро, х = min j -, |. 7 > 0; с > 0 — константы.

( 1пХ \1/4

Данная формула нетривиальна при k ^ I

ЫпХ

Доказательство теоремы 2 проводится по схеме работы [7]. Для получения равномерной по к оценки мы используем теорему А. И. Виноградова и Ю. В. Линника [10]:

Е Мп)*С— In- 1--

Xi<n^X 4 4

n=l (mod D)

где С = ¿fM exp {f (k - l)e32/5}.

Кроме того, мы применяем неравенство К. К. Маржджанишвили [11]:

| i . ^(lnX+.fc-l)*-1

£/*(»)<*—(jferTjj—•

, что, поскольку главный член является величиной порядка X , 1

——— (In А")' , то формула (9) при данных ограничениях на D спра-

<p(D)

i (V/4

ведлива для к ^ -—:—77

\т In a J

Третья глава посвящена проблеме распределения простых чисел в арифметических прогрессиях. В этой главе доказывается асимптотическая формула для 7г(Х, D, I) при D = р™.

Теорема 3. При (l.D) = 1, D = ^ xie_(lnlnx)2 справедлива формула

где 0 < я < 1 — константа.

По сравнению с теоремой К). В. Линника, М. Б. Барбана и Н. Г. Чу-дакова получено незначительное уточнение остаточного члена и верхней границы изменения О. Наше доказательство существенно отличается тем, что не использует информации о распределении нулей Ь-функции Дирихле в критической полосе, а использует лишь теорему о

границе нулей, принадлежащую В. Н. Чубарикову [12|, доказательство которой элементарно.

Вывод асимптотической формулы осуществляется методами работ Петечука |7] и Карацубы [8]. Однако наряду с этими методами мы применяем метод контурного интегрирования, поскольку нам необходимо оценивать не только суммы значений характера, но и суммы значений характера по простым числам.

Опишем схему доказательства теоремы 3. Рассмотрим сумму

Используя свойство ортогональности характеров и выделяя слагаемое с Хо, имеем:

Первая сумма справа даст нам главный член асимптотической формулы, а вторая — остаток И.

Применим формулу типа малого решета и разобьем И наО((1пХ)2А:) сумм вида:

гКХ,Ю,1)= А(п)

п^Х п=1 (тос! В)

п=1 (тос! П)

(п,В)=1

Х¥=Х0 АТ1<П1^'2Ы1 ^r2A;<n2fe<2Д'2fc

где с^щ) — либо 1, либо либо ] — 1,..., 2к.

Если су(г^) = /х(те^), то щ < Хг!К, к = 1,..., К.

Заметим, что в этой сумме имеется условие:

Щ ■ • • П'2к ^ X.

(10)

Области суммирования такого рода называются криволинейными. Пользуясь известным приемом Линника, заменим суммирование по криволинейной области суммированием по области, в которой условие (10) отсутствует (такую область мы будем называть прямоугольной). Получим суммы вида:

Si

1

V ' хФхо N<n^2N

X

X X T'k(u)x(u) rfc-i('u)x(?

где c(n) = 1, либо In n, либо ß(n), UVN < X,

U = N2N± ■ ■ ■ N2k, V - N3Nb • • • N2k-1, 4(U) = ■■■ X С2(п2)С4(щ)---С2к{П2к),

N2<n2^2N2 Лг4<п4<2Л'4 N2k<n2k^'2N2k n2n4--n2k=u

4,-l(y)= ■■■ E C3(n-3)c5(n5)---C2fc_l(n2fc-i;

N3<7i:K2N3 Nb<n64:2Ns Ar2fc-i<n2fc-i<2iV2fc_i П3П5-П2к-i = v

Применим неравенство Копти. Тогда имеем:

2\ V2

Si <С max

хФхо

N<n^2N /

П

(

1

<p(D)

\

£

х (mod D)

£ T'k(UMU)

U<u<2kU

X

X

1

V

Заметим, что о\

ip(D)

1

Е

<p(D)

X (mod D)

Е

x(mod D)

E Tkiu)x{u)

U<u^2kU

1/2

равняется числу

решений сравнения

• • • %к = •' • (mod D),

N2 < X2,4 < 2 N2,..., N2k < X2k, х'2к < 2 Nu, U < X2 • • • Ж2Ь x'^2 • • • x'2k < 2kU. Оценивая число решений этого сравнения, получим:

U

о\ < -р= + VU.

л/Г)

Аналогично оценивается сумма

<p(D)

Таким образом:

R «С (In Х)ш шах

хФхо

с(п)х(р>)

N<n^2N

Е

\(mod D)

U

]Г Tk-iiv)x(v)

Vkv^-W

vd+vü){tb+vv)-

Далее, оценка суммы ^^ с(п)%(п) зависит от коэффициентов

N<n<2N

max

X^Xü

с(п).

Если с(п) = 1, либо Inn, то мы имеем сумму значений характера. Используя оценку (3), получим:

< VNDWQiiX)** + VÜV^ <С

« {\пХ)ш (x'^D-^ + X^D1^ « Х^О-1'\\пХ)АК.

Для более короткой суммы значений характера мы применим оценку, доказанную в работе [12]:

£ « Л/W'"2,

N<n^2N

где г = 0<7<1 — константа.

Тогда:

max

х¥=хо

N<n^2N

UV,

(lnX)4ii <

D 13

D

1

Отдельную задачу представляет оценка суммы ^^ с(п)х(п) в

случае, когда параметр N «очень маленький», то есть самая длинная сумма оказывается короткой. Тогда с(п) = /¿(п), и возникает сумма

Лт<п^2Лт

Пользуясь определением функции Мебиуса представим эту сумму в виде:

лг<п< 2Лг г=1

где = ^Г^ ^ ~ бесквадратное число, имеющее ровно I

простых делителей, Ьо ^ Лг].

Применяя решето Виноградова, мы сводим сумму 5'/ к сумме значений характера по простым числам

Эту сумму не удается нетривиально оценить, используя метод тригонометрических сумм И. М. Виноградова, в силу мультипликативности функции характера. Поэтому здесь мы применяем теорему Чубарико-ва о границе нулей Ь-функции Дирихле: для произвольного неглавного характера х п0 модулю И = р™ X) не имеет нулей в области

а- > 1__Ъ._ \ + \ < рЬ2(1п1п£>)2

(1п£>)2/3(1п1п I))2' 11

Ь[, Ь-> положительные константы.

На основе этой теоремы мы получаем оценку логарифмической производной Ь-функции в области

2(1п П)2/3(1п 1п Б)2' 11

!<'(*, X)

ь&х)

< (1п£>)5/3(1п1пР)2.

Далее, применяя формулу Перрона и метод контурного интегрирования, приходим к следующему неравенству:

Е *(Р) « А^е-С(1п1п13)2,

где 0 < с < 1 — константа. Таким образом, имеем:

тах

хФхо

]г ФЫп)

N<п^2N

и^У ,- шЛ ,

—)(1пХ)4А«

миу 0Лс(1ц1пХ)2 X 0.1с(1п1пХ)2

« ^ « ^е

Последний результат и определяет в конечном счете оценку остаточного члена асимптотической формулы.

Из полученной асимптотической формулы преобразованием Абеля приходим к утверждению теоремы.

Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в работах автора (1] - [6].

Глава 1

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ

Здесь формулируются основные и вспомогательные леммы, необходимые для изложения утверждений диссертации. Основные леммы доказываются.

§1. Вспомогательные леммы.

лемма 1. (тождество Хис-Брауна) Пусть К ^ 1.2^1. Тогда для любого п < 2гк имеем

\<Ск<К ^ ' т 1 ■ • • токПуПк =п

Доказательство см. в [5, с. 344].

лемма 2. (неравенство Марджанишвили) При любых п ) 1 « к^2 выполняется неравенство:

V- Г ^ льх + к-г)"-1

тк{т) < X—

(к- 1)! • т=1

Доказательство см. в |llj.

лемма 3. Пусть F (s) — аналитическая в круге |s — §о| ^ г функция, F (s о) ф 0, и в этом круге

F (s

F(s о)

^ M.

Если F{s) ф 0 в области |s — Soi ^ г/2, Re (s — so) ^ 0; то F'(s о) 4

F {s о) г

F'(s о) 4 1

2. Re —;—^ ^ —ln M + Re -; где p — любой пуль F(s) в

F{s о) r s о p

области |s — So| ^ r/2, Re (s — Sq) < 0.

Доказательство см. в [1, с. 99].

лемма 4. (оценка Виноградова — Пойа) Пусть \ ~ примитивный характер по модулю В. Тогда справедлива оценка:

< ^1Лпв.

¡у^а

Доказательство см. в (1, с. 123|.

g2iriax

< min ( Р,

2 b

Лемма 5. При Р ^ 1

р

Е

Х=1

Доказательство см., например, в |1, с. 94].

Лемма 6. Пусть

а в . . , .

а = - + -г, (a, ç) = 1, g ^ 1, 0 < 1. q q2

Тогда при любом fi, U > О, F ^ 1 имеем Доказательство см., например, в |1, с. 94].

лемма т. (неравенство Гельдера) Пусть иу. vv ^ Q, а > О, /3 > О, а + = 1. Тогда

Доказательство см., например, в [1, с. 85].

лемма 8. (неравенство Коши)

р

i>=1 i/=l 17

Утверждение леммы является следствием леммы 7.

лемма 9. (А. Г. Постников) Пусть pQ ^ 3 — простое число, то — натуральное число, т ф api — v, f = 1,2,..., О ^ ^ ^ / — 1, (а,Ро) = 1-

Существует многочлен с целыми коэффициентами f (и) = u + a,2u2 + • ■ • + üm-\'um~~l степени т — 1 такой, что для любого первообразного корпя g по модулю p'¿1 при любом, целом и справедливо сравнение

indg(l + Pqu) г -—-= Af(u) (mod p¿

Пусть к =рТ0к', где (к',ро) = 1; тогда

ак = (-1 )А+1Ро"т"Ч

(очевидно, (ik мооюно брать с точностью до кратных р™~1), где. щ, есть решение сравнения

к!ик = 1 (mod р™~к+Т),

и Л — корень сравнения

ind(y(l+po) _ .

-i-= А/( 1 (mod ро ),

Ро - 1

'причем сравнение разрешимо и (А,ро) = 1. Доказательство см. в |2|.

лемма 10. Примитивный характер по модулюр™ для а = 1 + р$+1х можно представить в виде:

/О*

Х(а) = ехр { 2т-—[ Р о

где

/оX) = х + р^х + • • • + (mod й1—1),

(а2,р0) = (а3,Ро) = • •' - (flí,Po) = 1-

Доказательство. Утверждение леммы получается из леммы 9 при подстановке формул коэффициентов в выражение для многочлена/(и).

лемма 11. Пусть ах,..., агг — целые числа.

2к

J = JkAP)

J о

Х^Р

п(агх-\-----h апхп)

dai... dan

— среднее значение модуля тригонометрической сулемы и -Л:,п(Аь • • • 5 Ап) ~ число решений систелш уравнений

xi +----Ь хк - хк+1

Х2 к

1 ^ хк Хк+1

— X

ГУ.П

2 к

Аь

АП5

1 ^ ЖЬ . . . , Х2к ^ Р-

Справедливы следующие соотношения: a) Jk,n(^ь • • • j А„) =

2 к

Е'

х€Р

,27гг(ах.-гН-----На„жп)

e-2m(ai\1+...+anXn)dai do,n.

b) Jk,n{Аь • • •, A.,,,) < JM(0,..., 0) = JkJP) = J;

c) Jk.n(Аь • • • 5 An) = Р2к;

d) кР,.... |An| < кРп;

e) J = Jfc,n(P) >

Доказательство см., например, в [1, с.

Следующая лемма известна как теорема о среднем И.М. Виноградова.

JlEMMA 12. Пусть т > 0 — целое, k > пт, Р > 1. Тогда J = Л(Р) = JM(P) < DTP2k-^T\

где

Вт = (пг)6пт(2П)4п(п+1)т. Доказательство см., например, в [1, с. 89].

лемма 13. (формула частного суммирования — преобразование Абеля) Пусть /(,т) — непрерывно дифференцируема на [а.Ь}, сп —

произвольные комплексные числа,

С(ж) = Сп'

а<п^х

Тогда

£ спПп) = - ( с(х)/'(х№ + с(Ь)№.

а<п<Ь ^а

Доказательство см., например, в {1, с. 29].

лемма 14. (формула Перрона) Пусть ап — комплексные числа,

00

s = a+it, ряд f(s) = ^^ абсолютно сходится при а > 1, \ап\ ^ А(п),

71

п= 1

где -А (те) > 0 — монотонно возрастающая функция п и при а —> 1 + 0

оо

^ |an|n_ÍT = 0((<7 - 1)-°), а > 0.

П=1

1

Тогда при любых I)q ^ b > 1, Т ^ 1, з; = АГ+-. имеет место формула:

¿j

1 fb+iT Xs ( xb \ íxA(2x)\nxs

S -='«т*+0 {w^w)+ 0 (-V-

где постоянная в знаке О зависит только от Ьо. Доказательство см., например, в |1, с. 76-78].

Лемма 15. (А. И. Виноградов) Количество чисел, не превосходящих х, все простые делители которых не превосходят z ^ л/х, имеет оценку

fifi Ai в \

Сх ехр--ln — + ln ln — Н---1---—т- ,

\ а \ a ai a a ln ¿ /

где а = ln.z/lnx; \в\ < 1, С — константа.

Доказательство см. в [13].

2. Основные леммы.

лемма 16. (А. И. Виноградов, К). В. Линник) Пусть X — большое число, D ^ Х1~а, где

i-f

О < а < 1, (I, D) = 1, Хх<Х, X - Xi > X

Тогда

k-1

X^Dn+KX \ p\D F

где С = ex

Доказательство. Заметим, что утверждение леммы достаточно доказать для суммы

]Г rk(Dn + l).

Dn+KX

Проведем доказательство леммы по индукции.

1. Докажем сначала лемму для к = 2. Возьмем г = j и разобьем число Dn + I на два множителя:

Dn + I = anbn,

где bn включает все простые множители Dn + l, превосходящие Xе, и, следовательно, каждый простой множитель ап меньше либо равен Xе. В таком случае

£ r(Dn + lК £ т(ап)т(Ьп) ^ 21/£ J2 (П)

Dn+KX Dn+KX Dn+KX

Имеем:

Е = Е Е 1

Dn+KX п<К an=vii>2

Возьмем некоторое число ап и все решения уравнения ап = Р\1>2 разделим на два класса. К первому кл�