Распределения интегральных функционалов от случайных процессов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

СУНЬ сянь-го

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ (01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика)

на правах рукописи

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург - 1993 г.

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей и математической статистики Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Ю.А.ДАВЫДОВ

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук В.А.ЕГОРОВ

доктор физико-математических наук М.А.ЛИФШИЦ

Ведущая организация:

Сапкт-Петербугское отделение математического циститу та АН РФ(ЛОМИ).

Защита состоится 1993г. в /.Г часов на заседании специали-

зированного совета К063.57.29 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государствешшм университете по адресу 198904, Санкт-Петербург, Ст.Петергоф, Библиотечная пл.2, математ^механнческий факультет СПбУ.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М.Горького СПбУ, Университетская наб. 7/9.

Автореферат разослан

1993г.

Ученый секретарь

специализированного совета:

кандидат физико-математических наук О.И.РЕЙНОВ

ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Изучение распределений стохастических функционалов - одна из важных задач современной теории случайных процессов. Она связана с изучение« интегральных, локальных и функциональных предельных теорем, а также с многочисленными приложениями в математической статистике и других разделах математики.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Изучение свойств распределений интегральных функционалов от случайных процессов, и в том числе времен пребывания случайных процессов.

ОБШАЯ МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ. Для изучения интегральны! функционалов от случайных процессов применяются метод расслоений, метод надстройки, методы функционального анализа и прямые вероятностные методы.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В работе найдены достаточные условия существования плотностей распределений стохастических функционалов. Получен ряд результатов о распределениях времен пребывания процесса броуновского движения, процесса Но и многомерного процесса броуновского движения. Получены достаточные условия существования плотностей совместного распределения моментов первого входа и первого выхода, и также найдены достаг-точные условия существования плотностей времен между моментами первого входа и первого ныхода.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Результаты и методы, представленные в диссертации, могут бить использованы при решении задач, связанных с изучением распределений функционалов от случайных процессов.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертационной работы доклады-

• вались на семинаре по теории случайных процессов (СПбУниверситет - ЛОМИ) и на 6-ой международной Вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике. Вильнюс, 1993г.

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликована одна работа, еще одна сдана в печать.

ОБЪЕМ И СТРУКТУРА РАБОТЫ. Диссертационная работа изложена на 72 страницах машинописного текста. Она состоит из введения, двух глав и списка литературы. В первой главе рассматриваются интегральные, с достаточно гладкими ядрами, функционалы от случайных npoUivci.ii, во второй времена пребывании случайных процессов и близкие функционалы Библиография содержи! 27 названий.

КРАТКОЕ СОДЕГЖЕНИЕ РАБОТЫ

В диссертации используются следующие обозначения:

Т - интервал [О, 1] или [О, IV, где а натуральное число;

С[0>1] или Ст - пространство всех непрерывных функций Нч [и, 1] или У;

А - мера Лебега;

(С2, Р, Г) - основное вероятностное пространство;

'€'/') - случайный процесс, заданный на 1\ Р распределение процесса (;;,,! 6 /') н пространстве 6'-/; Цр - прост рапсI во вот допус тимых направлений дли мери Р; ■С - шик абсо.иоIной непрерывности; .-■ару! - Нос II 1 е Л 1> фуНКЦИИ I,

пнет' .1ь мери >;-л; замыннше .пшенной оболочки,

~ <7-алгебра борелевских подмножеств X;

—» - сходимость по вариации;

С« — пространство всех функций, имеющих непрерывную первую производную;

С£ - пространство всех вещественных непрерывных функций со значениями в 11.";

1?г - проатранство всех вещественных функций, интегрируемых с квадратом по мере Лебега;

- пространство Ип-значпых функции, интегрируемых с квадратом по

мере Лебега.

Одно('1 из важных задач в теории вероятностей »шляется изучение распределении функционалов, определенных на траекториях случайного процесса. Кс.ш >адан процесс в виде меры 1' в функциональном пространстве -У, то ата задача сводится к изучению распределении Р/~1, где f - измеримое отображение из пространства X в II1.

К концу 70-х годов в »той области были известны лишь разрозненые результаты, относящиеся к небольшому числу функционалов конкретного типа, в основном, от броуновского движения. Существовал, по сути единственный метод, основанный на применении формулы Каца. С его помощью для преобразования Лапласа распределений интегральных функционалов от броуновского движения можно выписывать дифференциальные уравнения. Однако, решение втих уравнений представляет собой сложную задачу.

В ылще 70-а годов появились новые общие методы исследования (метод расслоений, метод дифференциальных операторов), которые дают возможность качественного изучения структуры распределений функционалов в очень

широком классе случаев.

Значительное внимание было уделено задаче исследования распределений интегральных функционалов. К настоящему времени имеется ряд работ Ю.А.Давыдова, М.А.Лифшица, А.Н.Бородина, И .С. Борисова, А.И.Сахапевко, Н.Б.Смородиной и других.

Абсолютная непрерывность распределений широкого класса функционалов вида

№) = Г I»)

Уо

для винеровской меры установлена Ю.А.Давыдовым. Первый результат существования ограниченной плотности распределения функционалов такого типа принадлежит А.И.Саханенко. В нем фигурирует степенная оценка для А . Более слабое экспоненциальное условие на А , близкое к наилучшему возможному, имеется в работе И.С.Борисова. М.А.Лифшиц еще усилил результат И.С.Борисова. Применив метод расслоений, предложенный Ю.А.Давыдовым, Н.В.Смородина исследовала случай интегральных функционалов от диффузионных процессов. Подробная информация об этих и других результатах содержится в обзорной статье (Ю.А.Давыдов, М.А.Лифшиц, Итоги науки и техники 1984, т.22, с.61-157).

Теперь мы сформулируем основные результаты настоящей диссертации.

Первая глава посвящена изучению распределений интегральных, с достаточно гладкими ядрами, функционалов от случайных процессов.

Теорема 1.1. Пусть € Т) - случайный процесс, задшшый в Т. Допустим, что почти все его траектории непрерывны. Пусть 1' - распределение этого процесса в ^[о.ф Нр ~ пространство всех допустимых ваправлений для

меры Р, а функционал / имеет следующий вид:

f(x) = J^h(t,x{t))dt.

Предположим, что

Pf,-1 < А для почти всех t € Т;

2". V» 6 aupp(IJ^1) существует окрестность Ua точки а такая, что на Гх 1!а существует частная производная и A{u £ Ua | hu(t, и) = 0} = 0 для n.B.t 6 Т\

3°. для любого подинтервала [а, 6] С [0,1] существует семейство {(,} С Нр такое, что supplj = [а, 6], span^}^, = bj.

Тогда

РГ1 «

Теорема 1.2. Допустим, что е [0,1]), Р, Нр те же, что и в теореме 1.1.

Пусть интегральный функционал / имеет следующий вид:

f(x) = j\(x{t))dt.

Ja

Предположим, что

1°. (ft) - имеет локальпое время;

2°. Va 6 iupp(P4J"1), существует окрестность Ua точки а в R1 такая, что h абсолютно непрерывна на Ua, и А{и 6 Ua j h (u) = 0} = 0;

3". для любого [a, Ь] С [0,1] существует семейство {iy} С Нр такое, что suppl, = [a,i], iparifi,-}^ = ЦаА.

Тогда

Pf~' < А.

Теорема 1.2 не покрывается теоремой 1.1, потому что существуют гаус-совские процессы, которые не имеют локальных времен.

Теоремы 1.3, 1.6 и 1.6 для многомерных или многопараметрических случайных процессов являются аналогами теоремы 1.1.

Теорема 1.4. Пусть ((¡, I е [0,1]^) - случайное поле. Допустим, что с вероятностью единица траектории поля непрерывны. Пусть Р - распределение втого поля в Ир - пространство всех допустимых направлений для меры Р,

Пусть функционал / имеет следующий вид:

3°. V[а, Ь]^ С [0,1]', существует семейство {/у} С Ир такое, что аирр1, - • ,£],

«р^ел^ = Цм

Тогда

Предположим, что

1°. (£{) имеет локальное время;

2°.Уо(€ виррСР^д"1) существует окрестность 1/а такая, что на 11а фукг.дия А

абсолютно непрерывна, и А{и € Ца | А|,(и) = 0} = 0;

Р}~' < А.

Теорема 1.4 является обобщением теоремы 1.2.

Теорема 1.8. Пусть {£{} = ..., - п-мерное (¿-параметрическое случайное поле, заданное на Т = [0,1]*. Допустим, что с вероятностью единица почти все траектории втого поля непрерывны. Пусть Р — распределение втого процесса в , а функционал / имеет следующий кпд:

л*) = Г10(£, *1(о...., .....

•» б

в

где <7 - некоторая область » Тхй', а г — (гь,.,, хп) е С". Предположим, что 1°. А" для почти всех 4 € Т\

'1°. Уа € существует окрестность точки а такая, что на

Т у. Ь'л П О функция к непрерывно дифференцируема и А{и С 1)а \ дгас^к^, и) = 0} = 0, для п.к. /ё Г;

4е. для любого подннгервала [а, 5] С [б, 1] существует семейство {/у} С Ир

такие, что ащ>р1) — [а, Ь], зрап{1))¿г., = , где

~ * • •'х

Тогда

РГ' < А ■

'Георема 1.4». Пусть {|'= • • • > (ч,^-случайное поле, заданное

н» Т ~ [0, . Допустим, что с вероятностью единица почти все траектории »того поля непрерывны. Пусть Р - распределение итого поля в Су, а функционал / имеет следующий вид:

/(*) = Г ..........«.(А)««'.

Jo

где О - некоторая область и Т х К", а х = (х[,...,!„) £ (?£. Предположим, что

1". I € Т) имеет локалыюи прсмл;

2°. Vа € существует окрестность точки с* такал, что на 1/а

функция А непрерывно дифференцируема, и А{и £ 1!а | уга<1^к(и) = 0} = 0;

3°. для любого подынтервала [а, 6] С [О, I] существует семейство С Иг

такое, что эирр1} = [а,5], = где

~ * ''' *

Тогда

ГГ1 < Л

на II1 \ {0}.

В конце первой главы получено обобщение метода надстройки: Теорема 1.10. Пусть (Х,М,Р) - полное сепарабельное функциональное пространство с вероятностной мерой Р, / - отображение из А в II", | V, Л', - другое полное сепарабельное функциональное пространство с мерой у. Пусть С - отображение из К X [0, в Л'; <3; - сужение О на Ух {("};

А^с,-1;

9,(0 = /(С(!/,0)> где („,0 € У х [0,1]'.

Предположим, что 1". Р{ Р, при £ —• 0;

2". Для - почти всех у, существует с'у > 0 такое, что г.ткО^>у(з) = п для п.в. 5 6 [0,б",], здесь - матрица производных первого порлдка <р. Тогда

ЛГ1 « Л.

С помощью обобщенного метода надстройки получаем следующий результат:

Теорема 1.11. Пусть I 6 Т) - (1, ¿) -случайпое поле, заданное на Т = [0,1]11. Допустим, что с вероятностью единица траектории втого поля непрерывны. Пусть Р - распределение атого поля в Ст, а функционал / имеет следующий вид:

/(»)= ¡\(х{1))£-За

Предположим, что

1. Л - непрерывна на II1;

2.

^Ы*, ) = 3,(а, )} = О, = 1 ,...,<*,

где

«/а) «/а^

Тогда

Р/"1 < л.

Вторая глава посвящена изучепию распределений времен пребывания от случайных процессов.

Время пребывания случайного процесса может быть записано в интегральном виде, поатому по сути здесь будет продолжено изучение распределений интегральных функционалов от случайных процессов, говоря точнее, мы будем изучать функционалы вида

/(х)= /'| о(<,«(0)Д, Уо

где в - некоторое подмножество Т х Л1.

с«*

Функционалы такого тина не являются гладкими, их изучение сопряжено с бАльтимн трудностями. Повтому мы существенно ограничиваем класс рассматриваемых процессов. В первую очередь изучаются броуновские времена пребывания, несколько результатов получено и для времен пребывания процессов диффузионного типа.

Получены следующие результаты:

Теорема 3.1. Пусть (Wt,t € [0,1]) - стандартное броуновское движение, выходящее из нудя. Пусть G - область в [0,1] X II1 такая, что

G = {(t,2) G [0,1] х К1 | r,(t) < i < Га(£)},

где Г; в J = 1,2.

Пусть функционал / представляется соотношением

Дх) = [ 1 a(t, Ф))Л, х € q0,,,. Jo

Обозначим через W распределение броуновского движении и Cjo,i|. Тогда

1. Если Г^ГДО) > О, то

Wf~l « А

па (0,1];

2. Если Г,(0)Га(0) = 0, то

w/-1 < Л

иа [0,1];

3. Если r,(0)l'j(0) < 0, -m

Wf < А 10

на [0,1).

Теорема 2.3. Предположим, что

Io. Р{ш : £.(ш) € С[о,1]} = 3| обозначим через Р - распределение процесса

(fi) в C[o.i];

2". (£<) имеет локальное время, которое обозначается через pä(u,¿);

3". Vt € 'Г, pz(x(t), вм) > 0, Vi > 0, для п.в. х, где %е) = {s :| з - t |< с};

4°. V[a,b] С [0, 1], 31 с Нр такой, что suppl = [а,6], í(t) > 0nnul{t) < 0 na

[а,Ь].

Пусть с; - область в [0, ]] х RJ такая, что

О = {(М) 6 [0, 1] х II1 | ГЦ«) < х < Г2(4)},

где Г; - 1,(0) £ HF,j = 1,2.

Время пребывания атого процесса имеет следующий вид:

Д.~) = J\0(t,x{t))dt.

Тогда

РГ1 < \

на (0, 1)

Теорема 2.4. Пусть {Wt¡t 6 [0, 1]) - стандартное броуновское движение, выходящее из пуля, - o(IV,,;í < г). Допустим, что случайный процесс р(з,а') >ж«шется неупр<гждающим относительно (Ft), ß(stu/) > 0, a cr(u') маркоиский момент относительно (I't).

Пусть оункцттал / имеет следующий вид:

/(W.H) = J^

Пусть

М = {.г | тХА{ш) < а{ш) илит^^и/) <

где гх>л(и.') обозначается момент первого достижения )риьна а тря^кюрьн . Тогда

и'агГ1 < -V

В случае, когда процесс является процессом У;0, имеем следующий результат:

Теорема 2.5. Пусть 1сг) - случайный процесс на Т — [I'. I], лля которого

Г,) - о|>с1) Нош; I-ос .ШШ+Ч'НШ'.

Нугть ~ и, . ;•...'), - ноупр"-«-л»юшие пронесем '-•тогиге.-п.но |!•'•>.

1>»/,' Г 'ХО - 1. !'( / ' < х ) — I

Предположим, то

Г(^) •< •• -

¿" и ) Г' " *1'П| иггч I II ЛЛЯ II.н ..

Л>< 1Ь V - |"|( I ([ И' ЛЛ' Ч111*"1 Пр'МС'ГОН И С,

f-r.li; '!•, ПЬ ¡11ИЙ.1 ; ИМ' ет Г.!'' ¡<~'1Г111 ¡1-141 1

{{X) - I рГ,

ТО 141 '1И

11.1 |>\ ))

1-'

Теорема 2.6. Пусть (Wt) = ((Wt(1), Wt(2\..., W,w),t € [0,1]) - n-мерное броуновское движение, выходящее из нуля, где W - распределение п-мерного броуновского движения. Пусть

G = j(i,z) е [0,1] х R" | а < F{t,x) < i}, где F - некоторая функция из [0,1] х R" — R1.

Предположим, что F имеет непрерывные производные: gf^jj. i,j =

1, 2, • • •, п и кроме того, > 0, для (i, х) € [0,1] * R".

Пусть

Ах) = [ 1 о(«,*(0)л. J о

Тогда

W/-1 < Л

па (0,1).

Теорема 2.8. Пусть ( Wt) = (( W,W, Wf\..., Wt(n)), t € [0,1]) - n-мерное броуновское движение, выходящее из нуля, а функционал / имеет следующий вид:

/(х) = [ l<J,(l,îi(!))Io1(U(i))...iil.((,l.(i)R

Jo

где Gj = {(i, i,) 6 [0,1] x R1 I aj(t) <x,< ft(i)}, a'jt% € Zf0„. Тогда

Wf1 < A

на (0,1).

Теорема 2.9. Пусть (Wf,i e [0,1]J) - Винеровское поле, IV - его распределение CQ jjd, а время пребывания / может быть записано в следующем виде:

/(») = f \a{t,x(t))dï, J о

где х € C[0,ii'1-

Пусть G - область в [О, I]"1 л К1 такая, чю

G = {(t, х) е [0,1]J Л II1 ¡ Гц г) < X < Г,|й}:

где r;(íj = ГАб) + /мЫф,, J = 1,2, h, S L^ Тогда

ит1 < л

ва (0,1).

В последнем параграфе второй глины получен результат о рыире;и.¿¡¡.uiv.t времен между моментами первого входа и первою выхода. По теме диссертации опубликованы две работы:

1. Ю.А.Давыдов, Сунь Ciiiib-1'о, Распределение времен пребывания броуновского движения. ТеЗИСЫ MO/Mj НаролНоИ П11ДЫ11О0С1.ОИ ptlUlli В" !•' ории вероятностей и мал» мл шчесьой статистике Г/, Ihi.ibiuoc, lO'.'Oi, c.Tá.

2. Ю.А.Давыдов, Сунь Сяш.-Го. Оо аосолктюн непрерывноеш времен пребывания броуновского движения. Зап. научи, сем. ЛОМИ ID'JJi в печати.

1-1

Попписано к печати 20 08 Формат 0x^0 Т/Т Пгч.и. Т Тир.100.Зак.30? РИНИпргм. Санкт-Пгтгрбург 23,08.93.