Распространение электромагнитных волн в случайно-неоднородных средах из параллельных диэлектрических цилиндров тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.05 ВАК РФ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

УДК 535.36 РГ6 ОД

1 3 ДЕК Ю

Черкас Надежда Леонидовна

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В СЛУЧАЙНО-НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ ИЗ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦИЛИНДРОВ

01.04.05 - оптика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Минск - 2000

Работа выполнена в Белорусском государственном университете информатики и радиоэлектроники.

доктор физико-математических наук, профессор

Верещагин Виктор Григорьевич доктор физико-математических наук, профессор

Барковский Леонид Матвеевич

доктор физико-математических наук, профессор

Семченко Игорь Валентинович Оппонирующая организация - Институт физики HAH Беларуси

Защита состоится «22» декабря 2000 г. в «140С1» часов на заседании совета по защите диссертаций Д 02.01.17 при Белорусском государственном университете по адресу: 220050, Республика Беларусь, г. Минск, пр. Ф. Скорины, 4; главный корпус, ауд. 206, тел. ученого секретаря 226-55-41.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белорусского государственного университета.

Автореферат разослан «1» ноября 2000 г.

Ученый секретарь совета

по защите диссертаций

?

Научный руководитель -

Официальные оппоненты:

общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации. При рассеянии излучения ансамблем неоднородностей для нахождения результирующего поля имеет значение расстояние между рассеивателями, их оптические постоянные, соотношение между длиной падающей волны и характерным размером частиц. К настоящему моменту накоплен обширный материал (как теоретический, так и экспериментальный) по характеристикам рассеяния и поглощения электромагнитных волн частицами различной формы и размера, а также по рассеянию излучения дисперсными средами разной степени упаковки. В зависимости от параметров среды и излучения выбираются различные теоретические. модели для описания рассеяния излучения средой с неоднородностями.; • ■ 1

Вообще говоря,, такая среда может быть заменена модифицированной однородной средой, характеризующейся эффективным показателем преломления, для нахождения которого используются дисперсионные уравнения, полученные с позиций статистической теории, впервые примененной Фолди для .описания рассеяния ансамблем изотропных точечных рассеивателей. Из-за сложности вычислений эти уравнения решаются с использованием: различных приближений. Для дискретных случайно-неоднородных сред с высокой концентрацией неоднородностей с частично или полностью упорядоченным расположением рассеивателей хорошим приближением является квазикристаллическое приближение Лакса. Если концентрация частиц мала, то задача нахождения эффективного показателя преломления упрощается, в этом случае он пропорционален амплитуде рассеяния в направлении вперед электромагнитной волны на одном рассеивателе. Если длина волны больше размеров частицы, амплитуду рассеяния в направлении вперед можно рассчитать в приближении Рэдея. Зная эффективный показатель преломления среды, можно рассчитать коэффициенты пропускания и отражения слоя.

Влияние многократного рассеяния и корреляций в расположении рассеивателей на распространение волн в среде, состоящей из плогноупакованных сферических частиц, достаточно хорошо изучено. В то же время для случая распространения волн в среде из сильно вытянутых частиц, цилиндрических нитей или пор остался ряд неизученных вопросов. Это, прежде всего, связано с вычислительными трудностями (даже расчет амплитуды рассеяния на

одном сфероиде с помощью сфероидальных функций содержит громоздкие вычисления), которые были преодолены Ивановым Е.А.1 для бесконечного цилиндра. Задача рассеяния электромагнитной волны на диэлектрическом цилиндре для всех углов была решена сравнительно недавно2. Имеются исследования по рассеянию электромагнитной волны на двух цилиндрах '' 3, а в последнее время на некотором конечном числе цилиндров4'5"7; Задача распространения электромагнитной волны в среде из параллельных диэлектрических цилиндров исследовалась на основе статистической теории многократного рассеяния волн для случаев распространения скалярных и электромагнитных волн перпендикулярно и параллельно осям цилиндров8'9'10. В этой связи детальное теоретическое рассмотрение процессов распространения электромагнитной волны в среде, состоящей из цилиндрических рассеивателей, и нахождение спектральных характеристик среды является актуальной задачей. В частности, результаты можно применять для расчета оптических характеристик пористых материалов, перспективность использования которых в настоящее время уже несомненна.

Цель и задачи исследования. Цель данной работы состоит в построении теоретической модели распространения когерентного

' Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах.- Минск: Наука и техника, 1968.- 584 с.

2 Wait J.R. Scattering of a plane wave from a circular dielectric cylinder at oblique incidence//Can. J. Phys. - 1955. - Vol. 33,N 5. -P. 189-195.

J Yousif H.A., Kohler S. Scattering by two penetrable cylinders at oblique incidence. 1. The analitical solution// J. Opt. Soc. Amer. A. - 1988. - Vol. 5, N 7.- P. 1085-1096.

4 Olaofe G. O. Scattering by an arbitrary configuration of parallel circular cylinders // J. Opt. Soc. Am. - 1970. - Vol. 60, N 9. - P. 1233-1236.

5 Lee S. C. Dependent scattering of an obliquely incident plane wave by a collection of parallel cylinders // J. Appl. Phys. - 1990. - Vol. 68, N 10. - P. 4952-4957.

Felbacq D., Tayeb G., Maystre D. Scattering by a random set of parallel cylinders // J. Opt. Soc. Am. A. - 1994. - Vol. 11, N 10. - P. 2526-2538.

7 Lee S. C. Scattering of polarized radiation by an arbitrary collection of closely-spaced parallel nonhomogeneous tilled cylinders // J. Opt. Soc. Am. A - 1996. - Vol.13, N 11. -P. 2256-2265.

8 Twersky V. Transporency of pair-correlated, random distributions of small scatterers, with applications to the cornea // J. Opt. Soc. Amer. - 1975. - Vol. 65, N 5. - P. 524-530.

9 Twersky V. Coherent electromagnetic waves in pair-correlated random distributions of aligned scatterers //1 Math. Phys. - 1978. -Vol. 19, N 1. - P. 215-230.

10 Varadan V.K., Varadan V.V., Pao Y.H. Multiple scattering of elastic waves by cylinders of arbitrary cross section I. SH waves // J, Acoust. Soc. Amer. -1978.- Vol.63, N5.-P. 1310-1320.

электромагнитного излучения под любыми углами в среде из параллельных диэлектрических цилиндров с учетом упорядоченности в расположении цилиндров. Для достижения поставленной цели потребовалось решить следующие задачи: в рамках формализма среднего поля с использованием квазикристаллического приближения Лакса вывести дисперсионные уравнения для двух случаев: перекрывающихся и неперекрывающихся цилиндров; численно исследовать зависимость эффективного показателя преломления дисперсной среды, найденного с помощью дисперсионных уравнений, от различных параметров; обозначить границы применимости данной модели.

Объект и предмет исследования. Объектом исследований являются среды из диэлектрических параллельных цилиндров. Предметом исследований являются оптические характеристики таких сред с учетом формы рассеивателей, корреляции в их расположении.

Методология: и методы проведенного исследования. Для вывода дисперсионных уравнений применялись формализм среднего поля, квазикристаллическое приближение Лакса, ^методы нахождения радиальной функции распределения для твердых шаров на плоскости, метод функций Грина, численные методы расчета функций Бесселя и Хапкеля.

Научная новгана и значимость полученных результатов. 1.. В рамках формализма среднего поля с использованием квазикристаллического приближения выведены дисперсионные уравнения, описывающие распространение электромагнитной1 волны под любыми углами в среде- из параллельных диэлектрических цилиндров с учетом упорядоченности в расположении цилиндров. Расщепление бесконечной цепочки уравнений и сведение ее к замкнутой системе • ■ (в ■ нашем случае квазикристалическое приближение) широко используется в статистической физике, оптике, ядерной физике, однако, дисперсионные уравнения для волны в среде из диэлектрических цилиндров получены впервые, тем более, что сделано это для среды с неперекрывающимися и перекрывающимися цилиндрами. Ранее дисперсионные уравнения были получены для более простой акустической задачи, в которой нет обыкновенной и необыкновенной волн, а также для распространения волны в среде из диэлектрических шариков.

2. Предложена методика расчета спектральных характеристик пористого слоя для случая, когда длина волны падающего излучения

много больше радиуса поры и много меньше толщины слоя.

3. Численно исследована зависимость спектральных характеристик пористого слоя от частоты излучения при различных параметрах заполнения, углах падения излучения на пористый слой, толщины слоя.

4. Выявлено влияние упорядоченности в расположении пор на эффективный показатель преломления пористой среды и коэффициент пропускания излучения пористым слоем.

Практическая значимость полученных результатов. Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы в широком круге проблем оптики рассеивающих сред для описания дискретных случайно-неоднородных сред. Теоретическая модель эффективного показателя преломления среды из параллельных диэлектрических цилиндров может быть применена для расчета оптических характеристик пористых сред с различной степенью упорядоченности пор, а также может применяться в экспериментальных работах при изучении и получении диэлектрических материалов, состоящих из неоднородностей цилиндрической формы. Результаты работы также могут найти применение для описания распространения излучения в световодах.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1. Дисперсионные уравнения, описывающие распространение когерентной электромагнитной волны в среде из параллельных диэлектрических цилиндров с учетом корреляции в расположении цилиндров.

2. Область применимости эффективного показателя преломления, найденного из дисперсионного уравнения, для расчета коэффициента пропускания и отражения слоя.

3. Численный анализ дисперсионных уравнений, проведенный для непоглощаю щей пористой среды, в результате которого показано:

■ существование мнимой части эффективного показателя преломления, связанного с ослаблением когерентной волны при рассеянии отдельными неоднородностями;

■ зависимость точности расчетов от используемой корреляционной функции;

■ влияние корреляции в расположении цилиндров и длины цилиндров на когерентное пропускание пористого слоя.

Личный вклад соискателя. Все результаты, изложенные в диссертации, получены лично соискателем. Тема работы, научная

идея исследования сформулированы руководителем. Апробация результатов диссертации: Результаты исследований докладывались на международной конференции, посвященной 90-летиго со дня рождения акад. Ф.Д. Гахова «Краевые задачи, специальные функции и дробное исчисление» (Минск, 1996 г.), на V межгосударственной научной конференции «Актуальные проблемы информатики: математическое, программное и информационное обеспечение» (Минск, 1996 г.), на VII Белорусской математической конференции (Минск, 1996 г.), на международной оптической конференции «Nonlinear Optics at interfaces. NOPTI'98» (Берлин, 1998 г.), на заседании кафедры физики БГУИР (Минск, 1999 г.). Опубликоеанность результатов. Вошедшие в диссертацию результаты исследований опубликованы в четырех статьях в научных журналах, одном докладе в материалах конференции, пяти тезисах докладов конференций, одном препринте. Общее количество страниц опубликованных материалов - 38.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, четырех глав, заключения, списка использованных источников, приложения. Полный объем диссертации составляет 103 страниц. Общее количество рисунков - 18 на 18 страницах. Приложение, занимает 6 страниц. Список использованных источников включает 170 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается краткое описание основных направлений исследований в оптике рассеивающих сред, указываются некоторые неразрешенные в настоящее время вопросы, определяется место диссертационного исследования в данной области. Первая глава, состоящая из двух параграфов, посвящена обзору литературы по теме диссертации.

В первом параграфе рассматривается статистический подход для описания распространения излучения в дискретных случайно-неоднородных средах.

Во втором параграфе излагаются наиболее часто используемые приближения при выводе интегральных уравнений для среднего поля, указывается область их применения для различных сред. Так, приближение однократного рассеяния хорошо описывает распространение излучения в средах с малой концентрацией

неоднородностей. Приближение эффективного поля применяется для сред с хаотическим расположением рассеивателей, когда их местоположения не зависят друг от друга. Для сред с высокой концентрацией неоднородностей или их упорядоченном расположении хорошей аппроксимацией является квазикристаллическое приближение. Более подробно рассмотрено его применение для решения задачи рассеяния когерентной электромагнитной волны однорядным монослоем сферических частиц, а также для получения дисперсионного уравнения для волнового числа акустических волн, распространяющихся в среде, состоящей из параллельных диэлектрических непересекающихся цилиндров.

Во второй главе, состоящей из трех параграфов, рассматривается распространение когерентной электромагнитной волны в среде из параллельных диэлектрических неперекрывающихся цилиндров. Так как центры цилиндров расположены случайно, то "в среднем" среда является однородной, однако анизотропной. Среднее поле в такой среде представляет собой плоскую волну с волновым вектором, который подлежит определению из дисперсионного уравнения.

В первом параграфе в рамках формализма среднего поля с использованием квазикристаллического приближения дается краткий вывод уравнений для среднего поля, выводятся дисперсионные уравнения.

N параллельных бесконечных цилиндров радиуса Я с диэлектрической проницаемостью е находятся в среде, диэлектрическую проницаемость которой без потери общности можно считать равной единице. Координатная ось г направлена параллельно осям цилиндров. Положения осей цилиндров в плоскости, перпендикулярной г, задаются двумерными случайными векторами с функцией распределения /(л',,52...5дГ).

Диэлектрическую проницаемость ~е такой системы можно записать как:

е(р,г) = £(р) = \+ , (1)

м

Г1 Ы<л

где 6(р) = \ . Электромагнитное поле удовлетворяет

О Ы>Я

уравнениям Максвелла, решение которых будем искать в виде:

Ё() = Е(р,х,,52..^)ек'г~\ (2)

где к' - волновой вектор в среде. Для Е(р,,):

ЭхОхЕ(p¡s[,S2■■■sN )~к2Е()-

(и ) . , (3)

= (е-1Д2110ГР - в/ Шр, ,;

где Ъ-{д(ср,)к'.). Усредняя (3) по положениям всех рассеивателей, а также всех рассеивателей кроме одного, используя квазикристаллическое приближение (Е(р;$',з))^(Е(р;5)) и учитывая трансляционные свойства, выводятся уравнения для среднего поля и для среднего поля с одним фиксированным рассеивазздем:

ВхОх{Е(р))-к2(Е(р)) = (£-\)п0к2е'к'Л ]е-'к'^(Е(5,0))с12$, (4)

¿<я

0 х О X (Е(р,0)) -к7(Е(р,о;) = (е -\)к2в(р)(Е(р,0)) +

+ (£-1 )к2 - $)ё(*){Е(р - *,0))с12*, (5)

где wg - плотность рассеивателей на единицу площади, g(s',s) определяет корреляцию рассеивателей, к'~{k'L,k':) есть искомый волновой вектор.

Уравнение (5) является замкнутым и дает дисперсионное уравнение для волнового вектора к'. Используя функцию Грина

С.(п оЧ - ' rf/ I D®D\I-<V-^{Hl(0P')JL(QP) P'>P (6) '' •} l\ Г / \HL(vp)JL(vp') p>p" (6)

где D=\-,- — ,ik: i, и^^чг1, Rev>0, HL и JL -

[dp p d<p "J

функции Ханкеля 1 рода и Бесселя соответственно, (5) можно

переписать в интегральном виде:

(Е(р,0))=(е -1 )к2 \С(р,р'){Е(р,0))^р' +

р'<К

+ (€-\)кг\0(р,р,)е^е(р,-в№в){Е(р'-*,Ъ))с12$<12р' . (7)

Заметим, что при р < К второй член в правой части уравнения (7) обращается в 0, поскольку g(p)=0 при р < 2К (цилиндры не перекрываются). Это дает возможность записать (Е(р,0)) при р < К как:

(Е(р.О)} = I {а™ Е™ (Яр) + аттЕЕТтЕ(Хр)}е^, (8)

гпеЛ = т1ек2-к'г2 .

После некоторых преобразований и вычислений соответствующих интегралов получена однородная система линейных уравнений относительно а™ и а^, при каждом заданном гп - два уравнения:

тк'2

(I2 ^

4-1

Нт(оЯ»т(Ш)а™ + 1Ш\?-1Гт(иК^т(т)-

-Нт(ор)Тт(Ш)

л.

+ iRя\^Jn(Ш)J^n(oR)-JJШ)Jn(oR) ^а™ = 0 (9)

тк[

Нт (иК)1т (Ш)агпЕ - - Н' (оЯ»т (Ш) -

V

- еНт(оКУт(М) а™ - ШЛ\ ± 7„(Ш)Гп(оЯ)

а}п(иЩТп(?Л)-\8п_та1м

Г,2 \

V-!

Везде в (9) подразумевается суммирование по индексу п,

2/этп

+ 2* /Я

п-т

2Я

(10)

где + К(р)~ g(р), К(р) - корреляционная функция, обращающаяся на бесконечности в ноль.

Условие разрешимости системы дает дисперсионные уравнения для определения к'. Существует два вида решения:

„тм тм

/ТЕ .

ЛЕ

[а™ - а™ ТЕ'

[а_п = ~ап

(И)

Первое решение представляет собой чисто поперечную волну, т.е. является обыкновенной волной, в то время как второе соответствует необыкновенной волне.

При распространении электромагнитной волны параллельно осям цилиндров (волна падает на слой из параллельных цилиндров, оси которых перпендикулярны поверхности слоя) решение системы (9) при к'1 = 0 (т.е. к'г = к') существенно упрощается:

(е - I)2

-£0~

X 1Гй(2Яо)

I

У, (Щ

Мой)

к'Ч2

,2 иДЯ,'(ий) 2 Ш\(Щ

А —--1)------

ЩиЯ)

/¡(АЛ)

Л иЯ

Н[(иЛ) Я,(1)Л)

= 4лп0\2{£ - - + 4лп0Л2(е - I)2 х

к'Ч2

У. 2 ЩоЯ) ц/^ий) ЛД/;^)"! | Г 2 иЯНЦиЯ) Л/и;

Я,(иЛ) ЛЯ,(иД) ;

Х| Я,(уЛ) ДЯ,(иА) .

ЩиЛ)

■ - — и--|'

Н^иЯ) МЯК) ;)

к к

2,Л

_ 1x1 ^^ г А\оВ) _а/,(цй)

у/(р/211) = р)/есть так называемая радиальная функция распределения.

От вида используемой корреляционной функции зависит точность расчетов эффективного показателя преломления. Так, если корреляционная функция нарушает термодинамическое неравенство, появляется отрицательная мнимая часть. Дисперсионное уравнение (12) численно исследовано для непогдощающей пористой среды с показателем преломления материала 1,76, радиусом цилиндров 65 нм, различной концентрацией пор. Из-за рассеяния на порах появляется ненулевая мнимая часть эффективного показателя преломления, которая тем больше, чем больше концентрация рассеивателей, в результате наблюдается уменьшение когерентного пропускания в коротковолновой области. Для цилиндров с определенной длиной коэффициент пропускания имеет вид характеристики фильтра отрезающего типа, что может быть использовано для создания рассеивающих фильтров.

В третьем параграфе разработан численный алгоритм для решения дисперсионных уравнений.

Третья глава посвящена изучению распространения когерентной электромагнитной волны в среде, состоящей из параллельных диэлектрических цилиндров, когда цилиндры могут перекрываться, образуя единый рассеиватель сложной формы. В данной главе реализуется идея о том, чтобы внести случайность формы рассеивателей в уравнение, описывающее распространение света. Традиционным путем является введение функции распределения по размеру рассеивателей. Вариация размера рассеивателей также приводит к хаотичности среды, однако хаотичность, рассматриваемая в главе 3, носит принципиально другой характер. При увеличении концентрации цилиндров среда, рассматриваемая в главе 2, переходит в упорядоченную систему плотноупакованных цилиндров, в то время как среда, рассматриваемая в главе 3, при больших концентрациях цилиндров (заполнение > 0,4) остается хаотической. При этом рассеиватели не являются цилиндрами, а имеют сложную форму (результат объединения нескольких цилиндров). Хаотичность или

где Ж0(211и) = Н'0(21{и)+211и ¡Н0(2Яих){^(х)-1}хск,

упорядоченность среды существенно влияет на мнимую часть показателя преломления.

Для обыкновенной волны дисперсионное уравнение имеет вид:

е =к2 - к>1 [к«*

где а

+ XI[8*уп + ^8'пап Л /(а2 - ¡ЗпГп), „ = пк'х /к[л2 /и2 -1 )#„с и*с дд;,

(13)

Л = ^£к2 ~к'2 , о = у1к2- к'2 , Яеи> О,

{Ип(и1фп(к\Я)1

X {[Я л+1 (,;Д)Л+1 (*!*)] ± [#„_, (уЛ)

П'„(оЯ^„(ЛЯ)-£Н„(оЯ)Уп(ЛЯ)),

г[/л+1 гад] ± глд; ./„_, сад], и * о

Хп =

П±и/2 [/^ладс^д;],

Для необыкновенной волны дисперсионное уравнение:

п-О

получено следующее

кI

/Д,+

л=о V к

1 („г

/

к'2-к2

ли0

п

(М)

где Д, =а2п-13„у„.

Вместе с ранее выведенными в главе 2 дисперсионными уравнениям для неперекрывающихся цилиндров уравнения (13) и (14) позволяют находить эффективный показатель преломления среды, состоящей из рассеивателей цилиндрической формы.

В четвертой главе, состоящей из трех параграфов, проводится сравнение результатов, полученных с помощью дисперсионного уравнения (12) и приближения Рэлея-Ганса, для оптически мягких частиц (£-1 «1) частиц; исследуется влияние упорядоченности в расположении пор на эффективный показатель преломления; проведено сравнение расчетов коэффициента пропускания пористого слоя из оксида алюминия с экспериментальными данными.

В первом параграфе получено выражение для эффективного показателя преломления пористой среды в приближении Рэлея-Ганса:

/-7-с г кгВ.га(е\-с2)2я

Кспе]? = +а(гг, - е2), Iти# =- -, (15)

Че2

где е, - диэлектрическая проницаемость материала цилиндра, е2 -диэлектрическая проницаемость материала окружения, а - доля площади в поперечном сечении, занятая порами.

Расчеты, проведенные для пористой среды из цилиндров с радиусом Я = 65 нм и диэлектрической проницаемостью е = 1,3, показывают, что область применимости эффективного показателя преломления, найденного из дисперсионного уравнения (12), - Я> 220 нм. Мнимая часть показателя преломления, найденная из выражения (15), совпадает с найденной из дисперсионного уравнения (12) при Я >1000 нм. Для диапазона X <1000 нм расчет в приближении Рэлея-Ганса дает резкое возрастание мнимой части эффективного показателя преломления пористого слоя, что можно объяснить завышенными значениями амплитудной функции рассеяния отдельной поры. Действительные части эффективного показателя преломления совпадают во всем диапазоне длин волн.

Таким образом, дисперсионные уравнения главы 2 имеют намного большую область применимости для малых е (|<г-1|«1), чем приближение Рэлея-Ганса. При больших же е приближение Рэлея-Ганса вообще не применимо.

Во втором параграфе изучается вопрос влияния корреляций в расположении пор на эффективный показатель преломления. В

расположении неперекрывающихся цилиндрических пор уже существует некоторая упорядоченность, возрастающая с увеличением концентрации пор. Можно увеличить упорядоченность, не меняя концентрацию пор, если поместить цилиндрическую пору в воображаемую непроницаемую окружность радиуса Я].. Для полностью упорядоченной среды с гексагональными ячейками Я'5 - Я5 =1/^¡2л13п0 , где Я$ - радиус окружности, вписанной в шестиугольник, пй = а /(лЯ2)- число пор на единицу площади, а -доля площади в поперечном сечении, занятая порами. В качестве функции \у(х) в дисперсионном уравнении для волнового вектора электромагнитной волны, распространяющейся в среде из параллельных диэлектрических цилиндров (12) мы должны взять следующую функцию

х) =

Я_

: я:

х <

X >

5 /

Я Я

где ™а(х) - радиальная функция распределения для твердых шаров на плоскости с заполнением а - тт0Я'2.

С уменьшением К хаотичность в расположении пор возрастает, максимальная хаотичность для модели с неперекрывающимися порами реализуется, когда Я'5 = Я, где Я - радиус поры. Хаотичность возрастает, когда поры расположены совершенно случайно и могут перекрываться. В этом случае применимы дисперсионные уравнения главы 3. Для частного случая распространения волны параллельно осям цилиндров получено следующее дисперсионное уравнение:

(к'2 -е2к2)

\2

•-1

1

к'2е2к2 )_

Н1 (оЯ)

,2 иЯН{(оЯ) гШ\(ХЯ)

Ш[(Ж, е7 ^(Ш) )

— и

^(ЛЯ)

-а

г \ £->

и4 н'0(ук)\ж(к'

к'2 Нх(оЯ)

■ + £,

ЩЖ)

у, Сж)

Л2Л о

II

Ке2к2

- + 1

Н[(оК) /2(ех-ег)ка

~г---

Еги

Из расчетов эффективного показателя преломления для сред с различной упорядоченностью пор следует, что мнимая часть эффективного показателя преломления, обусловленная рассеянием когерентной волны, тем больше, чем хаотичнее расположены рассеиватели при одной и той же концентрации неоднородностей, и максимальна в случае случайного расположения пор с возможностью их перекрывания. Действительная часть тоже существенным образом зависит от упорядоченности в расположении пор.

В третьем параграфе дисперсионные уравнения, полученные в главах 2 и 3, применяются для нахождения спектрального пропускания пористой пленки оксида алюминия. Так как при увеличении упорядоченности мнимая часть показателя преломления, обусловленная рассеянием когерентной волны, уменьшается, коэффициент пропускания упорядоченного слоя больше, чем неупорядоченного. Результаты расчетов коэффициента пропускания излучения для пористой пленки оксида алюминия с высокой упорядоченностью в расположении пор сравниваются с экспериментальными данными.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные результаты, изложенные в работе, можно свести к следующему:

1. Для рассеивающей среды из параллельных диэлектрических Для рассеивающей среды из параллельных диэлектрических неперекрывающихся цилиндров в рамках формализма среднего поля с использованием квазикристаллического приближения впервые получены дисперсионные уравнения для волнового вектора когерентной электромагнитной волны, распространяющейся под разными углами к осям цилиндров [1]. При падении излучения параллельно осям цилиндров дисперсионное уравнение модифицируется к виду, значительно упрощающему процедуру

вычислений спектральных характеристик среды. Сформулированные дисперсионные уравнения одинаково эффективны и для пористой среды [1,3,5], поскольку параметрами задачи являются величины волновых векторов в материале среды - кс и в материале цилиндра -

кт. Для пористой среды к„ -л[ё~к3 и кс ~ ка От- диэлектрическая проницаемость материала цилиндра, кд=а>/с - волновой вектор в вакууме), эффективный показатель преломления - п^ - к' / кь, где к' найден из дисперсионного уравнения с параметрами к = ,

2. Случайное расположение цилиндров может приводить к образованию рассеивателей сложной формы. Дисперсионные уравнения для волнового вектора электромагнитной волны [3,5] позволяют учесть диэлектрическую проницаемость такой среды.

3. Выявлена область применимости эффективного показателя преломления, найденного из дисперсионного уравнения, для расчета коэффициента пропускания и отражения слоя. Показано, что при

значениях параметра ^е^-е^кЛ, где г, - диэлектрическая

проницаемость материала цилиндра, от нуля и вплоть до единицы дисперсионное уравнение имеет единственный показатель преломления, и при расчете коэффициентов отражения и пропускания диэлектрической пластинки можно пользоваться эффективным показателем преломления, найденным из дисперсионного уравнения для бесконечной среды. Кроме того, дисперсионные уравнения имеют большую область применимости для малых значений диэлектрической проницаемости, чем широко применяемое приближение Рзлея-Ганса [2,4].

4. Численное исследование дисперсионных уравнений проведено для непоглощающей пористой среды [1,3,5]. Существование мнимой части эффективного показателя преломления связано с ослаблением когерентной волны при рассеянии отдельными неоднородностями. Показана зависимость точности расчетов эффективного показателя преломления от используемой корреляционной функции [1]. Так,

ГО р/2Я<\

радиальная функция в виде "ступеньки' м(р/2И) =•! дает

[I р/2к>1

отрицательную мнимую часть эффективного показателя преломления при больших длинах волн. Для радиальной функции в приближении Перкуса-Йевика область с отрицательной мнимой частью показателя

сохраняется, но менее выражена. Для корреляционных функций, удовлетворяющих термодинамическому неравенству, мнимая часть эффективного показателя преломления всегда больше нуля.

5. Эффективный показатель преломления зависит от корреляции в расположении цилиндров [2,4]. Его мнимая часть при увеличении упорядоченности в расположении цилиндров уменьшается, и минимальна для максимально упорядоченной среды (когда точки пересечения осей цилиндров с плоскостью перпендикулярной осям лежат в узлах некоторой решетки, например, квадратной или гексагональной). Действительная же часть для максимально упорядоченной среды уменьшается, а для среды со случайным расположением цилиндров растет при уменьшении длины волны.

6. Увеличение высоты пор приводит к возрастанию крутизны границы отрезания коэффициента пропускания и смещения ее в длинноволновую область. В коротковолновой области наблюдается уменьшение пропускания, связанное с более интенсивным рассеянием излучения на пористой структуре. С ростом толщины пленки спектральная зависимость пропускания имеет вид характеристики фильтра отрезающего типа, что может быть использовано для создания рассеивающих фильтров на видимую и инфракрасную область спектра. Величина пропускания для пористой пленки оксида алюминия с высокой упорядоченностью в расположении пор несколько выше, чем для слоя с хаотическим расположением пор, и соответствует экспериментальным результатам для сотовой пленки оксида алюминия. Содержание этих исследований отражено в работах [2,4].

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ АВТОРОМ РАБОТ

1. Черкас H. JL Электромагнитная волна в среде из параллельных диэлектрических цилиндров // Опт. и спектр.- 1996. - Т.81, № 6. -С.990-996.

2. Верещагин В.Г., Дынич P.A., ; Черкас H.JL, Щукина И.С. Спектральное пропускание пористых пленок // Вест. Белорус, ун-та. Сер.1, - 1998,- №3,-С. 35-41.

3. Cherkas N. The dispersion equation for a wave number of the electromagnetic wave in a random medium of the parallel dielectric cylinders. - Los Alamos, 1999. - 8 p. - (Preprint/ Los Alamos Preprint Library; physics/9902038).

4. Cherkas N. Light transmittance of the layer with cylindrical pores //

Appl. Opt. В. -1999. - Vol. 68, № 3. - P. 365-368.

5. Черкас H.Jl. Дисперсионные уравнения для волнового вектора электромагнитной волны в среде из параллельных диэлектрических цилиндров // Диф. урав. - 1999. - Т35., № 8. - С. 1141-1143.

6. Черкас Н.Л. Исследование дисперсионного уравнения, содержащего функции Ханкеля и Бесселя // Краевые задачи, специальные функции и дробное исчисление: Труды междунар. конфер., посвящ. 90-летию со дня рожд. акад. Ф.Д. Гахова, Минск, 16-20 фев. 1996 г. / Мин. образ, и науки Респ. Беларусь. Белорус, гос. ун-т. - Минск, 1996. - С.

7. Черкас Н.Л. Исследование дисперсионного уравнения, содержащего функции Ханкеля и Бесселя // Краевые задачи, специальные функции и дробное исчисление: Тез. докл. междунар. конфер., посвящ. 90-летию со дня рожд. акад. Ф.Д. Гахова, Минск, 16-20 фев. 1996 г. / Мин. образ, и науки Респ. Беларусь. Белорус, гос. ун-т. - Минск, 1996.

8. Черкас Н.Л., Щукина И.С. Итерационное дисперсионное уравнение для необыкновенной электромагнитной волны в пористых-средах 7/ VII Белорусская математическая конференция: Тез. докл. Часть 3, Минск, 18-22 нояб. 1996 г. / Мин. образ, и науки Респ. Беларусь. Белорус, гос. ун-т. Ин-т матем. акад. наук Беларуси. - Минск, 1996. -

9. Черкас Н.Л. Рассеяние электромагнитной волны в пористых средах // Моделирование и исследование устойчивости систем: Тез. докл. конф., Киев, 20-24 мая 1996 г. / Нац. к-т по теор. и приклад, механике. Киевский нац. ун-т им. Т.Шевченко. Ин-т кибернетики им. В.М.Глушкова HAH Украины. Ин-т матем. HAH Украины. Ин-т механики HAH Украины. - Киев, 1996. - С. 150.

10. Черкас Н.Л., Щукина И.С. Исследование рассеивающих свойств среды из параллельных диэлектрических цилиндров // Актуальные проблемы информатики: . математическое, ! программное и информационное обеспечение: Материалы V межгос. науч. конф., Минск, 14-18 мая 1996 г. / Мин, образ, и науки Респ. Беларусь. Белорус, гос. ун-т. Акад. наук Беларуси. - Минск, 1996. - С. 275.

11. Cherkas N. Light transmittance of the layer with cyiindrical pores // Nonlinear Optics at interfaces. NOPTI'98: Scientific program and abstract, Berlin, 21-24 September, 1998 / Freie Universität. - Berlin, 1998.

383-386.

-C. 107.

C. 58.

18

РЕЗЮМЕ

Черкас Надежда Леонидовна Распространение электромагнитных волн в случайно-неоднородных средах из параллельных диэлектрических цилиндров

Ключевые слова: когерентное электромагнитное излучение, диэлектрические цилиндрические рассеиватели, пористые среды, эффективный показатель преломления, квазикристаллическое приближение.

Объектом исследований являются среды из диэлектрических параллельных цилиндров. Предметом - исследований являются оптические характеристики таких сред с учетом формы рассеивателей, корреляции в их расположении. Цель работы состоит в построении теоретической модели и получении дисперсионных уравнений, описывающих распространение когерентного электромагнитного излучения в среде из параллельных неперекрывающихся и перекрывающихся (когда при перекрытии образуется рассеиватель сложной формы) диэлектрических цилиндров. Для вывода дисперсионных уравнений для волнового вектора электромагнитной волны в среде в работе применялись формализм среднего поля, квазикристаллическое приближение Лакса, методы нахождения радиальной функции распределения для твердых шаров на плоскости, метод функций Грина, численные методы расчета функций Бесселя и Ханкеля.

Численно исследована зависимость спектральных характеристик пористого слоя от частоты при различных параметрах заполнения, различных углах падения излучения на пористый слой, а также с учетохм различной степени упорядоченности в расположении пор. Работа носит теоретический характер. Теоретическая модель эффективного показателя преломления среды из параллельных диэлектрических цилиндров может быть применена для расчета оптических характеристик пористых -сред, а также в экспериментальных работах при изучении и получении диэлектрических материалов, состоящих из . неоднородностей цилиндрической формы, и для описания распространения излучения в световодах.

19

РЭЗЮМЭ

Чэркас Надзея Леашдауна Распаусюджванне электрамагттных хваль у выпадкова-неаднародным асяроддз! з паралельных дыэлектрычных цьшндрау Юиочавыя словы: кагерэнтнае з л е ктр ам агн 1 т н ас выпраменьванне, дыэлектрычныя цыяшдрычныя рассейвацел1, порыстыя асяро;иш, эфектыуны паказчык праламляльнасщ, кваз!крыстал1чнае прыбл1жэнне.

Аб'ектам даследванняу з'яуляюцца асяроддз! з дыэлектрычных паралельных цьшндрау. Предметам даследванняу з'яуляюцца аптычныя характарыстыю таюх асяроддзеу з ул1кам формы рассейвацелеу, карэляцьп у ¡х размеркавант. Мэта працы заключаецца у пабудаванш тэарэтычнай мадэл! 1 атрыманш дысперсных урауненняу, яюя атсвагоць распаусюджванне кагерэнтнага электрамагштнага выпраменьвання пад любымí вуглам1 у асяроддз! з ул1кам уладкавання у размяркаванш цыдшдрау. Для вывада дысперсных урауненняу для хвалевага вектара электрамагнггнага выпраменьвання у асяроддз! скарыставаны фармаизм сярэдняга поля, кваз1крыстал1чнае ирыблЬкэнне Лакса, метады знаходжання радыяльнай функций цвердых шароу на плоскасш, метад функцьн Грына, лшавыя метады вьшчэння функцьп Бессяля 1 Ханкеля.

Лукава даследавана залежнасць спектральных характарыстык порыстага слою ад частаты ■ пры розных вуглах падзення выпраменьвання на порысты слой, а таксама з уликам рознай ступеш уладкавання у размяшчэнш пор. Работа .мае тэарэтычны характар. Тэарэтычная мадэль эфектыунага паказчыка праламляльнасщ асяроддзя з паралельных дыэлектрычных цьшндрау можа выкарыстоувацца для разлшу аптычных характарыстык порыстых матэрыялау, а таксама у эксперыментальных работах пры вывучэшп 1 атрыманш новых матэрыялау, складзеных з неаднароднасцей цылшдрычнай формы, 1 для атсвання распаусюджвання выпраменьвання у светаводах.

20

SUMMARY

Nadezhda L. Cherkas The propagation of electromagnetic waves in the randomly inhomogeneous medium composed of parallel dielectric cylinders ':: •

Key words: coherent electromagnetic radiation, dielectric cylindrical scatterers, porous medium, effective refractive index, quasi-crystal approximation.

The porous medium composed of parallel dielectric cylinders is the object of the present research. The optical characteristics of porous medium, their dependence on the scatterers form and the correlation in their placement are the subject of the investigation. The goal of our study was, .to obtain the theoretical model and the dispersion equations for the description of the propagation of coherent electromagnetic radiation in the medium composed of parallel non-overlapping and overlapping dielectric cylinders in dependence on the incident angles and the con-elation in cylinders placement. The configurational averaging techniques, the quasi-crystal Lax approximation, the method of Green functions, the numerical methods of calculation the Bessel and Hankel functions were employed in the work.

The dispersion equations are investigated numerically for porous layers. The spectral characteristics of porous medium depend on the regularity in pores placement. This work has theoretical' character. The obtained results may find an application in different fields of optics. The theoretical model of the effective refractive index may be applied for the calculations the optical characteristics of porous medium with different order of the regularity in pores placement, in experimental works devoted to the study and obtaining of the materials composed of cylinders, for the description of the radiation propagation in lightguides.