Распространение и дифракция волн в слоистых пористо-упругих средах с плоскопараллельными и цилиндрическими границами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Фоменко Сергей Иванович

РАСПРОСТРАНЕНИЕ И ДИФРАКЦИЯ ВОЛН В СЛОИСТЫХ ПОРИСТО-УПРУГИХ СРЕДАХ С ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИМИ

ГРАНИЦАМИ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Краснодар - 2008

003452832

Работы выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Кубанский государственный университет»

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ: доктор физико-математических наук,

старший научный сотрудник Глушкова Наталья Вилениновна

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: Ростовский государственный университет

путей сообщения

Защита состоится «11» декабря 2008 г. в 14-00 на заседании диссертационн! совета Д 212.101.07 при ГОУ ВПО «Кубанский государственный университет): по адресу: 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149, ауд. 231

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Кубанский государственный университет».

Автореферат разослан «3» ноября 2008 г.

Ученный секретарь

доктор физико-математических наук, профессор Ватульян Александр Ованесови

кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Ратнер Светлана Валерьевна

диссертационного совета

Смирнова А. В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Исследование волновых процессов в слоистых пористых вязкоупругих средах и скважинных цилиндрических структурах представляет значительный интерес в газо-, нефтеразведке, добывающей промышленности и строительстве.

Хорошо известно, что распространение волн в осадочных породах океанского дна, во влажной почве, глине, песке, в снсжном покрове, в различного рода технических пенах, а также во многих других материалах природного или искусственного происхождения сложно, а в некоторых случаях невозможно, правильно описать, используя модели, не учитывающие пористость данных материалов. Среди моделей пористых сред наибольшее распространение и экспериментальное подтверждение получила модель БиоФренкеля пористо-упругой водо- или газонасыщенной среды.

Большинство имеющихся работ по изучению колебаний в пористых слоистых средах опираются либо на метод нормальных мод, основанный на физически наглядном представлении решения в виде набора собственных мод, либо на лучевые методы.

Вопросы, связанные с построением интегральных представлений решений на основе эффективных алгоритмов, а также с анализом энергетических характеристик возбуждаемого заданными источниками волнового поля и влияние водонасыщенности на колебания в слоистых пористо-упругих средах, до сих пор являются актуальными. Информация о мощности колебаний в рассматриваемых слоистых структурах может быть использована, например, при создании направленного излучения и анализе эффективности действующих сейсмоакустических источников.

Другой актуальной задачей является анализ влияния дифракции на цилиндрических включениях на энергетические и волновые процессы в скважине и окружающем се грунте. Такие цилиндрические включения моделируют цементные заглушки и пакеры, являющиеся элементами конструкций промышленных и геологоразведочных скважинных комплексов. С одной

стороны, они используются для герметизации скважин и изоляции потоков флюида из продуктивных геологических слоев, а с другой - могут служить инструментом для более эффективного отвода энергии во внешние слои с целью повышения производительности и реанимации скважин. Основными целями диссертационной работы являются:

1) Исследование влияния микроструктуры (пористости) на характеристики объемных, поверхностных и каналовых волн в многослойном пористо-упругом полупространстве.

2) Анализ влияния водонасыщенности на скважинные и объемные волны в слоистых скважинных волноводах.

3) Изучение распределения энергии источника между объемными и сква-жинными волнами в слоистой цилиндрической структуре.

4) Исследование влияния дифракции на внутренних препятствиях в сква-жинном волноводе на мощность сейсмоакустического источника и оценка на этой основе возможных путей повышения эффективности работы скважинных источников.

Результаты, вошедшие в диссертационную работу, получены в ходе выполнения научного плана Кубанского государственного университета, проектов РФФИ и международного проекта ШТАЭ, что также указывает на актуальность темы исследований. Методика исследований.

Разработанная для линейно-упругих многослойных сред и хорошо зарекомендовавшая себя техника интегрального подхода обобщается в диссертационной работе на случай пористых водонасыщенных сред с плоскопараллельными и цилиндрическими границами. Как и ранее, ключевым моментом здесь является построение фундаментальных решений (матриц Грина), в то время как методы анализа волновых полей практически не меняются. В ближней зоне они определяются путем прямого численного интегрирования, а в дальней зоне - с помощью асимптотик объемных и

бегущих поверхностных, каналовых и скважинных волн, выведенных из полученных интегральных представлений.

Развитые методы позволяют получить простые соотношения для расчетов и исследовать энергетические характеристики волновых полей, возбуждаемых заданными источниками в рассматриваемых слоистых структурах.

Решение задачи дифракции на внутренних цилиндрических препятствиях в скважине строится методом фундаментальных решений в виде разложения по базисным функциям, которые удовлетворяют граничным условиям между слоями цилиндрического волновода и поэтому строго учитывают волновую структуру решения. Минимизация функционала невязки на границах препятствия осуществляется по гибридной схеме с применением метода коллокаций и метода Галеркина.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1) Разработан алгоритм построения фундаментальных решений и интегральных представлений волновых полей, возбуждаемых заданными источниками в слоистом пористо-упругом полупространстве и в слоистой цилиндрической структуре с произвольным числом упругих и пористо-упругих флюидонасыщенных слоев.

2) На основе интегральных представлений волновых полей получена уточненная асимптотика объемных волн в дальней зоне скважинной структуры, учитывающая вклад псевдоволн Стоунли и Рэлея.

3) Развит метод фундаментальных решений для задачи дифракции бегущих волн на упругих цилиндрических включениях в скважинном волноводе.

4) Выявлен эффект появления дополнительных бегущих воля в слоистых средах за счет водонасыщенности слоев и проанализированы их характеристики.

5) Показаны эффекты удвоения и почти полного гашения мощности излучения в скважине в результате дифракции поля на цилиндрическом включении.

Практическая значимость результатов исследований связана с возможностью их использования при решении широкого круга актуальных проблем геофизики, газо-, нефтеразведки и добывающей промышленности.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на конференциях: XXXVI Summer School-Conference «Advanced Problems in Mechanics» (St. Petersburg, 2008), IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006), XVIII сессии Российского акустического общества (Таганрог, 2006), III Всероссийская школа-семинар «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете» (п. Дивноморский, 2007), IV Всероссийская научная конференция молодых ученых и студентов (Анапа, 2007), XI международная конференция «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2007), конференции грантодержателей регионального конкурса РФФИ и администрации Краснодарсксого края «Юг России» (п. Агой, 2006, 2007), а также на семинарах кафедры численного анализа Кубанского государственного университета.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в 13 работах, в том числе 2 публикации в издании, рекомендуемом ВАК.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, заключения и списка литературы, общим объемом в 130 страниц, включающим в себя 30 рисунков и 115 наименований литературных источников.

На защиту выносятся:

1) математические модели и алгоритмы построения фундаментальных решений (матриц Грина) и интегральных представлений волновых полей, возбуждаемых заданными источниками в слоистом полупростран-

стве и в слоистой цилиндрической структуре с упругими и пористо-упругими водо-, газонасыщенными слоями;

2) асимитотические представления волновых полей в дальней зоне сква-жинной структуры;

3) разработанная на основе метода фундаментальных решений математическая модель дифракции бегущих волн на упругих цилиндрических включениях в скважинном волноводе;

4) результаты исследований влияния пористости и водонасыщенности на характеристики волн, возбуждаемых заданными источниками в плоскопараллельных и цилиндрических волноводах;

5) результаты исследований мощности скважинного сейсмоакустическо-го источника, распределение энергии между объемными и трубными волнам в зависимости от строения и упругих свойств внешней среды, а также дифракции на внутренних препятствиях в скважине.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обзор существующих работ по теме диссертации, обсуждается актуальность, формулируются цели, дается общая характеристика, а также указываются основные этапы исследований.

В диссертационной работе рассматриваются задачи распространения волновых колебаний, возбуждаемых заданными источниками в следующих слоистых структурах: полупространство (рис. 1а) и цилиндрическая скважина (рис. 16), состоящих из упругих и пористо-упругих насыщенных жидкостью слоев, а также рассматривается задача дифракции бегущих волн на внутреннем цилиндрическом препятствие в скважинной жидкости (рис.1в).

Характерной особенностью волновых процессов в пористых водонасы-щенных средах является наличие трех типов объемных волн вместо двух классических Р - и Б -волн, как в упругой среде. Феноменологический вывод волновых уравнений для таких сред предложен в работах Я. И. Френкеля

а)

■•• ;/d'

о о о 5"

Öfvvr о

д4г-= ° о °

Я

л V W ЧУ О О Ol 1 О О О У

гМ> О 0 00 О^ООООО

ОС ©ООО О 'О О ООО

оооооо о!осооо1/

б) в)

Рис. 1 - Геометрии задач

(1944) и М. А. Био (Biot, 1956). Позже эти уравнения были получены с помощью статистического и объемного усреднения (В. Н. Николаевский, Р. И. Нигматулин, S. R. Pride), а также с применением метода асимптотического усреднения периодических структур (Т. Levy, J.-L. Auriault, R. Burridge).

Результаты исследований закономерностей распространения поверхностных волн на основе решения дисперсионных уравнений задачи Лэм-ба для одно-, двухслойных пористо-упругих насыщенных флюидом сред с плоско-параллельными границами (рис. 1а) представлены в работах Дери-сиевича (Н. Deresiewicz), П.В. Крауклиса, A.A. Губайдуллина и О.Ю. Болдыревой, Н.С. Городецкой и ряда других авторов.

Для цилиндрических скважинных волноводов первые дисперсионные уравнения были выведены и проанализированы в работах Био (1952) и Уайта (J. Е. White, 1962). К настоящему времени произведен достаточно полный анализ мод, возбуждаемых в упругом грунте с бесконечно длинной скважинной, заполненной жидкостью (Т. J. Plona, R. Burridge, В. К. Sinha,

S. Asvadurov и Г. А. Максимов). Применительно к пористо-упругим флю-идонасыхценным средам анализ мод в скважинных структурах (рис. 16), а также сравнение с экспериментальными наблюдениями были выполнены в 80-90х годах в работах D. Р. Schmitt, К. W. Winkler, S. Kostek и др.

В диссертационной работе, в отличие от вышеприведенных исследований, опирающихся на методы модального и лучевого анализа, предлагается иная численно-аналитическая схема, дающая представление волновых полей в форме контурных интегралов. На основе этих интегральных представлений могут быть получены асимптотические формулы для волновых полей в дальней зоне, но в отличие от лучевых представлений, уже несущих в себе информацию об источнике колебаний, а также об отражении на всех границах рассматриваемой слоистой структуры. Интегральные представления волновых полей в пористо-упругих одно- или двух-слойных структурах были получены ранее в работах В.М. Сеймова и А.Н. Трофимчука, J1.A. Молоткова, П.М. Бокова, A.M. Ионова и др.

Рассматриваемый в диссертации подход основывается на численно-аналитическом построении фундаментальных решений (матриц Грина) для многослойных сред, алгоритмы которых разрабатываются, начиная с первых работ Томсона, Хаскелла и Петрашеня 50х годов XX века. Однако при реализации этих методов на ЭВМ наблюдается неустойчивость численных процедур. В работах В. А. Бабешко, Е. В. Глушкова, Н. В. Гяушко-вой, О. Д. Пряхиной, Г. Я. Попова, L. Knopoff, G. R. Franssens и др. были предложены численно устойчивые алгоритмы формирования матрицы Грина для большого числа слоев. В диссертационной работе данные подходы обобщены на случай пористых водонасыщенных сред. Численная устойчивость разработанных алгоритмов построения матрицы Грина обеспечивав ется аналитическим выделением экспоненциально растущих составляющих и выносом их за рамки численных процедур.

Разработанные численно-аналитические алгоритмы могут быть использованы в решении более сложных смешанных краевых задач, возникающих при анализе дифракции возбуждаемых волн на различного рода локализо-

ванных неоднородностях, таких как трещины, включения и карстовые полости в грунте или перфорация обсадных колон, пакеры, фильтры и заглушки в скважине. Подобные задачи могут быть сведены к решению граничных интегральных уравнений (ГИУ). Разработанный в южно-российской школе математический аппарат, основанный на интегральном подходе, позволил решить сложные динамические контактные задачи, исследовать энергетические, дисперсионные и импедансные свойства слоистых волноводов, открыть неизвестные ранее резонансные явления в слоистых упругих средах с локализованными неоднородностями (И.И. Ворович, В.А. Бабешко, Е.В. Глушков, Н.В. Глушкова, О.Д. Пряхина, A.B. Смирнова, C.B. Ратнер, C.B. Устинов, А.О. Ватульян, Т.В. Суворова и др.).

Несмотря на актуальность задачи дифракции на цилиндрических включениях в скважине (рис. 1в), в настоящее время имеется лишь незначительный круг работ, посвященных ее исследованию. Одним из немногочисленных примеров является работа Робинсона (N. I. Robinson, 2002), в которой предложено решение задачи дифракции на абсолютно жестком цилиндрическом включении методом ГИУ.

Разрабатываемый в диссертации подход позволяет решать задачи для слоистых скважинных структур с упругим включением. Этот подход основывается на методе фундаментальных решений, который можно рассматривать как результат дискретизации и численной реализации метода ГИУ.

В первой главе приводятся определяющие соотношения для пористо-упругой флюидонасыщснной среды в случае малых деформаций скелета, формулируются условия на границах пористой среды, а также условия, обеспечивающие единственность решения задач.

Движение частиц в упругих средах описывается уравнениями Ламе, а во флюидонасыщенных пористых средах уравнениями Био -Френкеля:

V[(A + /х) divits + Qàivuf] + pAus + b(ùf - ùs) = pnüs + p12üf

(1)

V[Q div u3 + R div uj] - b{ùj - ii3) — pl2üs + p22üf Напряжения на площадке, ориентированной единичным вектором нормали

п, определяются равенствами: т„ - < + аг{

ди

= (А С11УП„ + <5(1гуг1/)п + + м(п х го1гг5)

а!п — (<5<1гуи5 + Я ¿IV и/) п = —ер/п. Здесь и„ и - перемещения и напряжения в твердой и жидкой фазах (у = э или / соответственно), р/ - давление в поровой жидкости, и = = - усредненные по объему смещения точек среды, лу = е(и/ — и$) -

вектор относительного смещения фаз; параметр £ носит название пористости и представляет собой отношение объема пор к общему объему среды. Коэффициенты А, ц, Я и <3 - модули упругих связей пористой среды; Рп I Р22 ~ эффективные плотности фаз, а рц - динамический коэффициент связи скелета и норовой жидкости, имеющий размерность плотности; Ь - параметр, зависящий от вязкости флюида, проницаемости и геометрии скелета пористой среды.

На границе О.'1* пористой и упругой сред выполняются условия:

М=0, [т„] = 0, шп = 0, а на границе пористой среды и жидкости

Ы = 0, \тп] =0, р}= р. На внешней поверхности пористого слоя задаются условия:

тп = т°, \¥п = 0,

Здесь т° - вектор внешней нагрузки, р - давление жидкости; [...¡-обозначение скачка на границе; п - нормаль к границе.

На бесконечности выполняются условия излучения, вытекающие из принципа предельного поглощения.

Пористая насыщенная жидкостью среда описывается параметрами: е - пористость (водонасыщенность); р/ - плотности твердой и жидкой фаз соответственно; й - коэффициент извилистости, характеризующий строение пор; (1 - модуль сдвига пористого скелета; Къ - модуль сжимаемости твердого скелета в отсутствии жидкости в порах; К3 - модуль

всестороннего сжатия твердой фазы и К/ - модуль сжимаемости поровой жидкости.

Во второй главе рассматриваются волновые поля, возбуждаемые поверхностными нагрузками в слоистом полупространстве, состоящем из упругих и пористо-упругих водонасыщенных слоев (рис. 1а).

Векторы ии{х,ш)е~ш1, описывающие смещения относительно точки х ~ {х, у, г) упругих (и = в) и жидких [и — /) частиц пористой среды, вызванные произвольной гармонической нагрузкой т° = ц°{х\,хъ) е"~1и,!, при (0:1,2:2) € в области на поверхности полупространства, могут быть представлены в виде свертки и„ = к„ * матриц Грина к„(ж) и нагрузки </°. Столбцами матрицы к„ являются векторы смещений, возбуждаемые в рассматриваемой точке х сосредоточенными поверхностными нагрузками 6(х1,х2)гп, п = 1,2,3, г„ - координатные орты. Это представление позволяет выписать и„ в форме обратного преобразования Фурье от произведения Фурье-символов матрицы Грина К1/(а1, а2, а,г) = ^хУ[к„], а = у/а\ + а\, и вектора нагрузки ф^а^аг) = ^ху[я°\, что в случае осевой симметрии: д° = (г), = ии{г, £), г = уа^ + у2сводится к однократному контурному интегралу Фурье-Бесселя:

г

./0(2) - функция Бесселя.

Представление (2) используется для анализа волновых полей в ближней зоне. С увеличением расстояния от источника /2 = уг2 + г2 численное интегрирование становится все более затратным из-за усиления осцилляции подынтегральных функций, но при этом повышается точность асимптотических представлений. Для объемных волн асимптотика интегрального представления (2) строится методом стационарной фазы и определяется вкладом трех стационарных точек, в то время как бегущие волны описы-

Таблица 1. Параметры двухслойного полупространства (1 ГПа = 109 Па)

№ £ К., Р»> к,, РЬ Кь, а К

слоя ГПа ГПа кг/м3 ГПа кг/м3 ГПа м

1 пористый слой 0,1 8,75 0,098 1884 3,3 1000 11 1,66 5

упругий слой 0,0 11 0,098 1884

2 упругое основание 0 31,84 15,6 2600 оо

ваются вкладом вычетов в полюсах (т элементов матрицы К„:

N

У>ез[К„<2°] СтЯ^^СтГ), Г - 00. (3)

Нд\г) - функции Ханкеля 1-го рода. Вещественные полюса (т - волновые числа поверхностных и каналовых волн, распространяющихся с фазовыми скоростями и /(т.

В конце главы приводятся результаты численных экспериментов. В качестве примера на рис. 2 представлены полученные частотные зависимости фазовых скоростей поверхностных и каналовых волн, возбуждаемых в двухслойном полупространстве: пористо-упругий водонасыщенный слой -упругое основание. Параметры сред указаны в таблице 1. Данный пример иллюстрирует появление за счет водонасыщенности верхнего слоя дополнительных бегущих волн с фазовыми скоростями, близкими к скорости звука в поровой жидкости. Амплитуда этих волн становится ощутимой уже при е = 0.1, их вклад отчетливо виден на теоретической сейсмограмме, приведенной на рис. 3 для вертикальной компоненты смещений поверхности щ — (1 — + £ на расстоянии г = 1 км от источника.

Дополнительные исследования показывают, что в пористом полупространстве, в отличие от слоя, дополнительные поверхностные волны, вызванные водонасыщенностью среды, не возбуждаются.

Третья глава посвящена решению задачи распространения волн в цилиндрических слоистых структурах, возбуждаемых сосредоточенной в центре координат силой давления в скважинной жидкости (рис. 16). Гармоническое поле смещений и = {иГ)иг} представляется в виде обратного

О 10 20 30 40 50 f,ru

Рис. 2-Частотная зависимость фазовых скоростей (км/с) для упругого е = 0 и пористо-упругого е = 0.1 двухслойного полупространства

R,«> I |

1 t,ceK.

t t 0.5 t t 1

Рис. 3 -Влияние пористости на вид теоретической сейсмограммы; справа - вид исходного импульса po[t) сосредоточенного поверхностного источника po5(x,y))nt, его спектр Po(f) покрывает частотный диапазон 0 < / < 10 гц

преобразования Фурье по координате 2:

и(г, г, и) = = ~ [ и (г, а)е-{аЧа. (4)

2% 7

— 00

Вектор-функция и (г, а) в зависимости от упругих свойств рассматриваемого слоя, а также геометрии занимаемой им области (внутренний цилиндр, слой или внешняя среда) представляется в виде линейной комбинации цилиндрических функций Бесселя или Ханкеля, коэффициенты с^п(а) которых находятся из системы линейных уравнений, возникающей при удовлетворении граничным условиям между слоями структуры. Для каждого значения параметра интегрирования а данная система решается численно. Несмотря на это, в ближней к источнику зоне значения и вполне эффективно определяются с помощью прямого численного интегрирования (4), в том числе и в случае многослойных скважинных структур. С увеличением расстояния от источника численное интегрирование становится все более затратным, поэтому в дальней от источника зоне для волнового поля строятся асимптотические представления. Как и для слоистого полупространства, асимптотика вдоль осевой координаты г представляется суперпозицией бегущих скважинных (трубных) волн, которые описываются вычетами в вещественных и близких к вещественной оси полюсах £т функции и (г, а).

Во внешней упругой среде скважинной структуры, помимо классических Р- и 5-волн, могут возбуждаться еще и бегущие волны цилиндрического типа с небольшим декрементом затухания (вытекающие псеводволны Стоунли и Рэлея). Эти волны распространяются на расстояния порядка 104 длин волн, постепенно отдавая свою энергию объемным Р- и 5- волнам, поэтому требуется особая техника для определения асимптотического представления волнового поля при г 1, учитывающая как вклад вычетов в полюсах, так и вклад стационарных точек осциллирующих подынтегральных функций, а также вклад от возможного слияния этих особенностей.

Представляя поле 17 = суперпозицией продольных и попереч-

ных колебаний: II = ип (г, а), асимптотику и во внешней среде мож-

но выписать в виде суммы: з

ип + Уп), Я = у/г2 + г2 —> оо,

П=1

г = Яв'тф, г = Ясо ъф.

Здесь и„ - вклад стационарной точки а°п = —хп соэ ф, оцениваемый методом перевала для гладкой части подынтегрального выражения С7„, уп - вклад в асимптотику волнового поля сингулярной части [/„, определяемой полюсами (пк (к — 1 , ...,М„, п = 1,2,3), которые удовлетворяют условию | Ис (пк | < хп для соответствующих волновых чисел х\ — хр\, Х2 = хР1 и хз = х8 продольных Р\Рг- и поперечных 5-волн пористой среды. Этот вклад может быть представлен в виде суммы

где Иипк - учитывает слияние особенностей при а° —* Ие („к и выражается через интеграл Френеля, а

уп1с - вклад вычета в волновое поле дальней зоны, который описывает псевдоволну Стоунли или Рэлея.

На рис. 4 сопоставляются графики зависимостей амплитуд колебаний от расстояния Я и угла ф, посчитанных численно и по асимптотическим формулам для трехслойной цилиндрической структуры (таблица 4). Из рисунков видно, что точность асимптотических представлений с ростом Я возрастает. Однако одновременно с Я возрастает и осцилляция подынтегральных выражений, что приводит к численным ошибкам при интегрировании. Это отражается в характерной осцилляции численных значений при Я > 400 м и ф > 0.9?г.

Здесь

Таблица 2. Параметры упругих и жидких сред

Жидкость Бетон Сталь Песчаник

Ур, м/с 1500 2915 5800 1073

у,, м/с 0 1875 3100 620

р, кг/м3 1000 4165 7900 2500

Таблица 3. Параметры пористых сред

материал е Р*, кг/м3 к., йРа вРа кг/м3 вРа Кь, вРа а

песок 0,3 2650 36,0 0,05 1000 2,3 0,13 1,25

0^-20 0,42 2730 33,4 6,5 1000 2,19 8,5 1,9

0 2730 33,4 6,5

Далее в тексте диссертации приводятся основные соотношения для потоков энергии в скважине и анализируется распределение излучения в объемные волны мощности источника на отдельных участках скважины.

В конце главы даются результаты численных экспериментов по исследованию влияния водонасыщенности на волновую структуру решения. Для примера на рис. 5 приведены графики фазовых скоростей, иллюстрирующие появление дополнительной трубной волны при учете водонасыщенности двухслойной стенки скважины в упругом грунте ^, таблица 5).

В четвертой главе решается задача о дифракции бегущих волн на цилиндрическом включении в скважинной жидкости (рис. 1в).

Согласно принципу суперпозиции общее поле и в волноводе с препятствием складывается из исходного поля и® для однородной по осевой координате 2 структуры и поля ивс, появляющегося в результате дифракции ина препятствии. Примечательно, что вне заглушки волновая структу-

Таблица 4. Геометрические параметры трехслойных цилиндрических структур

5] или ¿>з (песчаник или песок в столбце 3)

Номер слоя, к 1 2 3

Материал Жидкость Бетон Песчаник / Песок

Внешний радиус слоя, м 0,08 0,1 оо

Таблица 5. Геометрические параметры четырехслойной структуры S2

Номер слоя, к 1 2 3 4

Материал Жидкость Сталь QF-20 Песчаник

Внешний радиус слоя, м 0,06 0,08 0,1 оо

Рис. 4-Сходимость асимптотики волнового поля и потеря точности при численном интегрировании

1.5. 1

т = 1

£ = 0

„х 10

1000

1.5 1

0 15

5 0

т=1

т=2 Е=0.42

*10"*

т=1_____—

т=2

500

f, Гц

1000

Рис. 5-Частотные зависимости фазовых скоростей (км/с) и затуханий = 21т£,„/й.е£т возбуждаемых мод в четырехслойной скважине с упругой (е = 0) и пористой (е = 0.42) обсадкой в упругом грунте

pa ноля u8C такая же, как и у и^, поскольку она определяется теми же упругими свойствами скважины и грунта. Тем самым, usc можно искать в виде суперпозиции базисных решений и^ и г/1'*', г/2'*), порождаемых в рассматриваемом волноводе структуры фиктивными источниками, расставленными вдоль границ препятствия: 2Nr N,

j=l k= 1

Здесь - ноля, порождаемые кольцевыми источниками S(r — rj)5(z — — Z\j), расположенными в скважинной жидкости, вдоль оснований заглушки. Функция 6(r — rj) вводится как обобщенная функция, обладающая свойством:

оо

о

Базисные решения w'1'^ , «С2'*), г = 1,2,..., Nz - волновые поля, возбуждаемые элементарными 5-образными нагрузками (pk(z)nr и фк(г)пг, заданными на границе между жидкостью и упругой стенкой.

В упругой заглушке поле «¡п аппроксимируется набором фундаментальных решений w^'^ и w^для кольцевых источников в безграничной упругой среде, а затем редуцируется:

N,+2Nr N,+2Nr

Win« £ tyw£J-)+ £ ^W^, (6)

J = 1 j=l

Весовые коэффициенты в представлениях (5) и (6) определяются из условий сопряжения полей на границах включения. Минимизация невязки между полями на границах цилиндрической структуры и упругого препятствия осуществляется по гибридной схеме: на основаниях - методом кол-локаций, а на боковой поверхности - методом Галеркина. Точность полученного результата контролируется, с одной стороны, проверкой граничных условий, а с другой, - выполнением энергетического баланса в среде.

Расчеты частотных зависимостей энергии источника в трехслойном скважинном волноводе с заглушкой и без (Es и Е° соответственно) показа-

а) 6)

Рис. С-Влияние заглушки на энергию волнового поля в скважине

ли четко выраженную интерференционную картину (рис. 6). На определенных частотах с некоторым периодом происходит удвоение энергии источника, а на промежуточных частотах практически полное ее гашение из-за сложения в противофазе излучаемого поля с отраженным и1С. На низких частотах справедливо простое соотношение: /п = тг = 1,2,3,..., связывающее расстояние с1 от источника до включения и скорость сква-жинной волны VI с частотами /„, на которых происходит удвоение энергии источника. Для рассматриваемой скважинной структуры £3 (таблица 4) с бетонной заглушкой (ур = 2,37 , = 1,56 км/с и р — 2,3 кг/м3, к = 1м и й — Юм) скорость У\ и 1,24 км/с, тогда имеем Д и 62, /2 « 124 гц и т.д. Сравнение этих частот с частотами максимумов излучаемой энергии на рис. 66) показывает их хорошую согласованность. Интересно, что даже на частотах /и31, 93, 155 гц, когда общий уровень мощности источника Е3 падает, средняя мощность колебаний Ет(—11,11), отводимая в грунт на участке —11 ^ г ^ 11 внешней стенки трубы (г = Ьг), почти на порядок больше, по сравнению с мощностью Е°{—11,11) в том же волноводе без препятствия (кривые 3 и 4 на рис. 6 а).

Полученные результаты можно использовать при оптимизации системы скважина-заглушка-источник.

В заключении даётся краткая сводка результатов, указывается их научное и практическое значение.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИЙ

1. Фоменко С. И. Волновые поля, возбуждаемые поверхностными виброисточниками в пористых водонасыщенных средах // Экологический вестник научных центров ЧЭС, 2007, №1 С. 65-70.

2. Фоменко С. И. Асимптотика волновых полей в слоистом скважин-ном волноводе // Экологический вестник научных центров ЧЭС, 2007, №4, С. 56-62.

3. Глушков Е. В., Глушкова Н. В., Фоменко С. И. Распределение энергии ссйсмо-акустического скважинного источника в пористо-упругом водо-насыщенном грунте // Актуальные аспекты физико-механических исследований. Акустика и волны. Киев: Наук, думка, 2007. С. 73-83.

4. Глушкова Н. В., Фоменко С. И. Моделирование волновых полей в скважинных волноводах с препятствиями // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XI международной конференции. Ростов-на-Дону: Издательство ООО «ЦВВР», 2007. Т. 1. С. 99-103.

5. Глушков Е. В., Глушкова Н. В., Фоменко С. И. Волновые поля, возбуждаемые поверхностными и скважинными виброисточниками в водонасыщенных средах // Физическая акустика. Нелинейная акустика. Распространение и дифракция волн. Геологическая акустика: Сборн. трудов XVIII сессии РАО. Т. 1. М.: ГЕОС, 2006. С. 247-251.

6. Фоменко С. И., Глушков Е. В. Численно-аналитическое моделирование волновых полей в пористо-упругих слоистых средах // Кубанский госуниверситег. Краснодар, 2006. 43 с. Деп. в ВИНИТИ 10.01.2006, № 3-В2006.

7. Глушков Е. В., Глушкова Н. В., Фоменко С. И. Распространение и дифракция на препятствиях скважинных волн в водонасыщенных пористо-упругих средах цилиндрической структуры // Наука Кубани, 2008, № 2. С. 4-8.

8. S.I. Fomenko, E.V. Glushkov, N.V Glushkova, S.N. Verichev. Seismo-acoustic wave propagation and diffraction in layered boreholes with obstacles // XXXVI Summer School - Conférence "Advanced Problems in Mechanics". Books of abstracts. St. Petersburg (Repino), July 6-10, 2008. P. 30.

9. Глушков E. В., Глушкова H. В., Лапина О. H., Фоменко С. И. Распространение волн в пористых водонасыщенных слоистых и скважинных структурах // Труды III Всероссийской школы-семинара «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете», 2007. С. 29.

10. Фоменко С. И. Моделирование волновых полей в слоистых пористо-упругих цилиндрических волноводах с препятствиями // Труды IV Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов. Т.2, Краснодар: Просвещение-ЮГ, 2007. С. 176-177.

11. Глушков Е. В., Глушкова Н. В., Фоменко С. И. Распространение сейсмических волн в средах сложной структуры // Конференции гранто-держателей регионального конкурса РФФИ и администрации Краснодарского края «ЮГ РОССИИ». Сборник тезисов. 2006. С. 4-5.

12. Глушков Е. В., Глушкова Н. В., Фоменко С. И. Распространение скважинных волн в водонасыщенных пористо-упругих средах цилиндрической структуры // Конференции грантодержателей регионального конкурса РФФИ и администрации Краснодарского края «ЮГ РОССИИ». Сборник тезисов. 2007. С. 19-20.

13. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Голуб М.В., Кваша О.В., Фоменко С.И. Интегральный подход в задачах возбуждения, распространения и дифракции упругих волн // IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. T. III. Изд-во Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского, 2006. С. 68-69.

Подписано к печати 31.10.2008. Формат 60х84шб. Уч.-печ. л. 1,33. Тираж 100 экз. Заказ № 8353.

Тираж изготовлен в типографии ООО «Просвещение-Юг»

с оригинал-макета заказчика. 350059, г. Краснодар, ул. Селезнева, 2. Тел./факс: 239-68-31.

ВВЕДЕНИЕ

1. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ ПОРИСТО-УПРУГОЙ ВОДО-НАСЫЩЕННОЙ СРЕДЫ

§1. Вывод уравнений движения пористо-упругой среды на основе объемного усреднения.

§1.1 Понятие микро- и макромасштаба.

§1.2 Основные определения и свойства.

§1.3 Пространственное усреднение энергии. Уравнения пористой среды в эффективных напряжениях.

§2. Уравнения Био-Френкеля. . . .'.

§2.1 Сопоставление моделей

§2.2 Условия на границах пористой среды.

§2.3 Экспериментальное определение модулей среды Био

§2.4 Потенциалы гармонических колебаний пористой среды

2. ВОЛНОВЫЕ ПОЛЯ В СЛОИСТОМ ПОРИСТО-УПРУГОМ ВОДОНАСЫЩЕННОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ

§1. Постановка задачи возбуждения колебаний поверхностными источниками

§2. Интегральное представление волновых полей.

§2.1 Интегральное преобразование Фурье.

§2.2 Общее решение уравнения Био-Фрснкеля для задачи с плоскопараллельными границами

§2.3 Матрично-функциональные соотношения на границах

§2.4 Матрица Грина пористо-упругого водонасыщенного слоя

§3. Асимптотика волновых полей в дальней от источника зоне

§3.1 Вычисление полей с применением теории вычетов; бегущие поверхностные и каналовые волны.

§3.2 Асимптотика объемных волн.

§4. Энергетические характеристики волновых процессов в полупространстве

§4.1 Определение потока энергии

§4.2 Поток энергии через горизонтальную плоскость. Мощность поверхностного источника.

§4.3 Поток энергии в дальней зоне.

§5. Влияние водонасыщенности на волновые процессы в полупространстве

3. ВОЛНОВЫЕ ПОЛЯ В СРЕДАХ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ

§1. Постановка задачи возбуждения упругих волн в скважине

§2. Интегральное представление волнового поля, возбуждаемого стационарным скважинным источником.

§2.1 Упругие потенциалы цилиндрических слоев.

§2.2 Матрично-функциональные соотношения на внутренних границах.

§3. Асимптотика волновых полей в скважинных структурах

§3.1 Асимптотика скважинных волн.

§3.2 Асимптотика объемных волн.

§4. Потоки энергии и коэффициенты излучения в скважине

§5. Анализ энергетических характеристик и волновой структуры

§5.1 Влияние упругих свойств внешней среды на энергетические характеристики скважины.

§5.2 Поток энергии через боковую поверхность скважины в пористом грунте.

§5.3 Влияния водонасыщенности на волновую структуру

4. ДИФРАКЦИЯ БЕГУЩИХ ВОЛН НА ВНУТРЕННИХ ПРЕПЯТСТВИЯХ В СКВАЖИНЕ

§1. Постановка краевой задачи дифракции на упругом включении

§2. Метод фундаментальных решений.

§3. Анализ отраженного волнового поля и влияние препятствия на излучаемую мощность.

Начиная с классических работ Релея (1885), Лява (1911) и Стоунли (1924), к настоящему времени накоплен богатый арсенал методов исследования волновых полей в сплошных упругих средах и, поэтому, влияние упругих свойств на волновые процессы, в том числе, на законы отражения и преломления на граничных поверхностях изучено достаточно хорошо. В связи с практической необходимостью в наши дни все большее внимание уделяется моделированию и исследованию волновых процессов в средах со сложной внутренней структурой, например, среды с нарушенной сплошностью, с макро и микро неоднородностями, а также многофазные дисперсные среды.

Среди многофазных сред весьма важными для приложений являются насыщенные жидкостью или газом пористые материалы. Хорошо известно, что распространение волн в осадочных породах океанического дна, во влажной почве, глине, песке, в снежном покрове, в различного рода технических пенах, а также во многих других материалах природного или искусственного происхождения трудно, а в некоторых случаях и невозможно, правильно описать, используя модели, не учитывающие пористость и флюидоиасыщенность рассматриваемых материалов.

Пористое вещество состоит из твердого скелета (матрицы) и заполняющего его внутреннее пространство жидкости или газа. Существующие модели пористой среды можно классифицировать по способу описания механического взаимодействия между фазами: жесткий скелет и несжимаемая жидкость (Verruijt, 1970 [110]; Bear, 1972 [58]), линейно-упругая матрица и несжимаемая жидкость (Biot, 1941 [59]; Lambe и Whitman, 1969 [88]), линейно-упругий скелет и сжимаемая жидкость (Френкель, 1944 [56]; Biot, 1955 [60]; Verruijt, 1969 [110]; Rice и Cleary, 1976 [100]; Morland, 1978 [91]). Последняя теория, значительный вклад в развитие которой внесли Я. И. Френкель и М. А. Био (Biot), рассматривает волновые процессы в условиях малых деформаций.

Позже уравнения, полученные Био и Френкелем, были выведены с помощью статистического и объемного усреднения (В. Н. Николаевский [40], Р. И. Ниг-матулин [41], S. R. Pride [99]), а также с применением асимптотического метода осреднения периодических структур (Т. Levy [90], J.-L. Auriault [57], R. Burridge [69]). Теория получила экспериментальное подтверждение [92] и, поэтому широко применяется на практике.

Большинство существующих работ, посвященных исследованию распространения бегущих волн в пористых средах, опираются либо на методы, основанные на физически наглядном представлении решения в виде разложения на нормальные моды (модальный анализ), либо па обшую теорию геометрической дифракции (лучевые методы). Результаты теоретических исследований закономерностей распространения поверхностных и каналовых волн на основе решения дисперсионных уравнений задачи Лэмба для однослойных или двухслойных насыщенных флюидом пористо-упругих сред с плоскопараллельными границами представлены в работах Н. Dcrcsicwicz [78-80], Т. Levy [90], а также в работах А. Н. Трофимчука [44], П.В. Крауклиса [86], А.А. Губайдуллина и О.Ю. Болдыревой [31], Н.С. Городецкой [30] и ряда других авторов. Результаты исследований бегущих волн на основе лучевых методов даны в работах [70,72,75].

Для цилиндрических скважинных волноводов первые дисперсионные уравнения были выведены и проанализированы в работах М. A. Biot [64] и J. Е. White [113] и к настоящему времени произведен достаточно полный анализ волн, возбуждаемых в упругом грунте с бесконечно длинной скважинной, заполненной жидкостью (Т. J. Plona [98], R. Burridge [68], В. К. Sinha [104], S. Asvadurov [105], Г. А. Максимов [38] и др.). Применительно к пористо-упругим флюидонасыщенным средам исследование закономерностей распространения волн в скважинных структурах на основе метода модального анализа, а также сравнение с экспериментальными данными были предложены в работах А. N. Norris [96], К. W. Winkler [115], G. Chao [106] и др.

Менее исследованными, однако, остаются вопросы влияния водонасы-щенности на характеристики работы сейсмоисточников, в первую очередь, на отдаваемую в грунт энергию и на ее распределение между возбуждаемыми волнами различных типов. Тем не менее, информация о мощности колебаний в рассматриваемых слоистых структурах может быть использоваиа, например, при создании направленного излучения и решении вопроса об эффективности действующих сейсмоакустических источников.

Другой актуальной задачей является анализ влияния дифракции на цилиндрических включениях на энергетические и волновые процессы в скважине и окружающем ее грунте. Такие цилиндрические включения моделируют цементные заглушки и пакеры, являющиеся элементами конструкций промышленных и геологоразведочных скважинных комплексов. С одной стороны, они используются для герметизации скважин и изоляции потоков флюида из продуктивных геологических пластов, а с другой - могут служить инструментом для эффективного отвода энергии во внешние слои с целью повышения производительности и реанимации скважин.

В задачах, где необходимо учитывать поле источника, часто используют прямые численные методы решения, такие как метод конечных разностей (МКР) или конечных элементов (МКЭ) [87,89,111]. Однако такие методы дают только суммарное волновое поле, а для выделения из численного решения отдельных нормальных мод и оценки переносимой ими энергии требуется применение дополнительных специальных методов обработки сигналов. Кроме того, классические схемы МКР и МКЭ применимы только в ограниченных областях, поэтому для оценки энергии, уносимой от источника на бесконечность поверхностными, каналовыми, скважинными или объемными волнами, возникает необходимость в разработке гибридных схсм, в которых МКР/МКЭ-решения сопрягаются с асимптотикой дальнего поля. Более естественным здесь является использование интегрального подхода, в рамка которого волновые поля ищутся в виде контурных интегралов от фундаментальных решений (матриц Грина), которые автоматически удовлетворяют большей части граничных условий и корректно описывают волны, уходящие на бесконечность.

Интегральный подход занимает промежуточное положение между лучевым методом, методом нормальных мод и МКЭ/МКР. С одной стороны, он дает те лее численные результаты, что и прямые численные методы, а с другой, - физически наглядные асимптотики для волновых полей в дальней зоне, которые, в отличие от лучевых представлений, уже несут в себе информацию об источнике колебаний, а также об отражении на всех границах рассматриваемой слоистой структуры. Широкое применение интегрального подхода сдерживается необходимостью предварительной аналитической проработки.

Явные интегральные представления волновых полей в пористых средах для задач с простой геометрией (одно- или двухслойные структуры) были получены ранее в работах В. М. Сеймова, А. Н. Трофимчука [44], JI. А. Мо-лоткова [39], П. М. Бокова [67], П.В. Крауклиса [33], Суворовой Т.В. [48] и др.

Методы построения матрицы Грина стратифицированного (слоистого) полупространства развиваются, начиная с работ Томсона, Хаскелла и Пет-рашеня [42,81,107]. Однако при реализации методов на ЭВМ наблюдается неустойчивость численных процедур. В работах [6,10] были предложены численно устойчивые алгоритмы формирования матрицы Грина для линейно-упругого слоистого полупространства.

В настоящей работе техника интегрального подхода, развитая для упругих сред, обобщается па случай многослойных пористых водо- или газона-сыщепных сред. Как и ранее, ключевым моментом здесь является вывод Фурье-символов матриц Грина, численная устойчивость алгоритмов построения которых обеспечивается аналитическим выделением экспоненциально растущих составляющих и выносом их за рамки численных процедур. Методы анализа волновых полей в пористых водонасыщенных средах, по сравнению со сплошными упругими, практически не меняются. В ближней зоне они определяются путем прямого численного интегрирования, а в дальней зоне - с помощью асимптотик объемных и бегущих поверхностных, каналовых и скважинных волн, выведенных из полученных интегральных представлений.

Разработанные численно-аналитические алгоритмы могут быть использованы в решении более сложных смешанных краевых задач, возникающих при анализе дифракции возбуждаемых волн на различного рода локализованных неоднородностях, таких как трещины, включения, карстовые полости в грунте или перфорация обсадных колон, пакеры, фильтры и заглушки в скважине. Подобные задачи сводятся к решению граничных интегральных уравнений (ГИУ). Фундаментальный вклад в развитие теории ГИУ применительно к смешанным задачам линейной теории упругости внесли Э. Бетти, Н. И. Мусхелишвили, С. Г. Михлин, А. И. Лурье, В. М. Александров и др. В частности, разработанный в южно-российской школе математический аппарат, основанный на интегральном подходе, позволил решить сложные динамические контактные задачи, исследовать энергетические, дисперсионные и импедансныс свойства слоистых волноводов, открыть неизвестные ранее резонансные явления в слоистых упругих средах с локализованными неоднородностями (И.И. Ворович, В.А. Бабешко [12,11], Е.В. Глушков, Н.В. Глушкова [4,19], О.Д. Пряхина [10,43], А.В. Смирнова [43], С.В. Рат-нер [5], Ю.А. Устинов [13], А.О. Ватульян [8,9], Т.В. Суворова [47] и др.).

Несмотря на актуальность задачи дифракции на цилиндрических включениях в скважине, в настоящее время имеется сравнительно небольшой круг работ, посвященных ее исследованию. Одним из немногочисленных примеров является работа [102], в которой предложено решение задачи дифракции на абсолютно жестком цилиндрическом включении методом ГИУ.

Разрабатываемый в диссертации подход основывается на методе фундаментальных решений, который можно рассматривать как результат дискретизации и численной реализации метода ГИУ и позволяет решать задачи для многослойных скважинных структур с упругими включениями.

Таким образом, основными целями^исследований, представленных в диссертационной работе, являются:

1. Исследование влияния микроструктуры (пористости) на характеристики объемных, поверхностных и каналовых волн в многослойном пористо-упругом полупространстве.

2. Анализ влияния водонасыщеипости на скважинные и объемные волны в слоистых скважинных волноводах.

3. Изучение распределения энергии источника между объемными и сква-жинными волнами в слоистой цилиндрической структуре.

4. Исследование влияния дифракции па внутренних препятствиях в сква-жинном волноводе на мощность сейсмоакустического источника и оценка на этой основе возможных путей повышения эффективности работы скважинных источников.

Структура и содержание диссертации.

Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав и заключения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе получены следующие результаты:

1) На основе интегрального подхода построены и реализованы в виде пакета программ математические модели, описывающие процессы распространения волновых колебаний, возбуждаемых заданными источниками в слоистом пористо-упругом полупространстве и в слоистой цилиндрической структуре с произвольным числом упругих и пористо-упругих флюидонасыщенных слоев.

2) Из интегральных представлений волновых полей получена более точная, по сравнению с традиционной, асимптотика бегущих и объемных воли в дальней зоне скважинной структуры.

3) Выявлен эффект появления дополнительных бегущих волн в слоистых средах вследствие водонасыщенности слоев и проанализированы их характеристики.

4) Проанализированы закономерности распределения энергии источника между объемными и скважинными волнами в слоистой цилиндрической структуре;

5) Построена и реализована математическая модель, описывающая дифракцию бегущих волн на упругих цилиндрических включениях в скважин-ном волноводе.

6) Выявлены эффекты удвоения и почти полного гашения мощности излучения источника в скважине с цилиндрическим включением.

Практическая значимость результатов исследований связана с возможностью их использования при решении широкого круга актуальных проблем геофизики, газо-, нефтеразведки и добывающей промышленности.

Примечание. Основные результаты исследований, выполненных по теме диссертации, содержатся в работах [18,21,23,24,25,26,27,28,52,53,54,55,85] и получены автором совместно с Е. В. Глушковым и Н. В. Глушковой. Постановку задачи и общее руководство исследованием осуществляли Н. В. Глуш-кова и Е. В. Глушков. Автором диссертации осуществлена реализация методов решения рассмотренных задач, разработаны пакеты программ, проведены численные расчеты и дан анализ полученных результатов.

1. Аки, К. Количественная сейсмология. Теория и методы / К. Аки, П. Ричарде; пер. A.J1. Левшина. - М. : Мир, 1983. - Т. 1. - 520 с.

2. Амензаде, Ю. А. Теория упругости / Ю.А. Амензаде. М. : Высшая школа, 1976. - 272 с.

3. Бабешко, В.А. Анализ волновых полей, возбуждаемых в упругом стратифицированном полупространстве поверхностными источниками / В.А. Бабешко, Е.В. Глушков, Н.В. Глушкова // Акуст. журн. 1986. - Т. 32. -Вып. 3.

4. Бабешко, В.А. Динамика неоднородных линейно-упругих сред / В.А. Бабешко, Е.В. Глушков, Ж.Ф. Зинченко. М. : Наука, 1989. - 343 с.

5. Бабешко, В.А. К решению задачи о вибрации упругого тела, содержащего систему внутренних полостей / В.А. Бабешко, А.В. Павлова, С.В. Ратнер, Р. Вильяме // Докл. РАН. 2002. - Т. 382. - № 5. - С. 625 - 628.

6. Бабешко, В. А. Методы построения матрицы Грина стратифицированного упругого полупространства / В.А. Бабешко, Е.В. Глушков, Н.В. Глушкова // ЖВМ и МФ. 1987. - Т. 234. - № 2.

7. Бреховских, Л.М. Волны в слоистых средах / Л.М. Бреховских. М. : Наука, 1973.

8. Ватульян, А.О. О граничных интегральных уравнениях 1-го рода в динамических задачах анизотропной теории упругости / А.О. Ватульян // Докл. РАН. 1993. - Т. 333. - № 3. - С. 312-314.

9. Ватульян, А.О. О колебаниях ортотропной полуплоскости с полостью /

10. A.О. Ватульян, И.А. Гусева // ПМТФ. 1993. - № 2. - С. 123-127. '

11. Ворович, И.И. Динамика массивных тел и резонансные явлениях в деформируемых средах / И.И. Ворович, В.А. Бабешко, О.Д. Пряхина. М. : Научный мир, 1999. - 246 с.

12. Ворович, И.И. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей / И.И. Ворович, В.А. Бабешко. М. : Наука, 1979.

13. Ворович, И.И. Нсклассическис смешанные задачи теории упругости / И.И. Ворович, В.М. Александров, В.А. Бабешко. М. : Наука, 1974. -285 с.

14. Ворович, И.И. О затухании волн Лэмба в окрестности критических частот и локализация колебаний в слое / И.И. Ворович, Ю.А. Устинов // Докл. РАН. 1998. - Т. 363. - № 3. - С. 330-333.

15. Гринченко, В.Т. Гармонические колебания и волны в упругих телах /

16. B.Т. Гринченко, В.В. Мелешко. Киев : Наук, думка, 1980. - 284 с.

17. Егоров, А.Г. Консолидация и акустические волны в насыщенных пористых средах / А.Г. Егоров, А.В. Костерин, Э.В. Скворцов. Казань : Изд-во КГУ, 1990. - 102 с.

18. Зарецкий, Ю.К. Теория консолидации грунтов / Ю.К. Зарецкий. М. : Наука, 1967. - 270 с.

19. Глушко, А.И. Об одном подходе к построению моделей многофазных упругих пористых сред / А.И. Глушко, И.И. Нещеретов // ПММ. 2007. - Т. 71. - Вып. 4. - С. 636-669.

20. Глушков, Е.В. Дифракция упругих волн на пространственных трещинах произвольной в плане формы / Е.В. Глушков, Н.В. Глушкова // ПММ. -1996. Т. 60. - Вып. 2. - С. 282-289.

21. Глушков, Е.В. Интегральные преобразования в задачах теории упругости / Е.В. Глушков, Н.В. Глушкова. Краснодар : Изд.-во. КубГУ, 1990.

22. Глушков, Е.В. Распределение энергии поверхностного источника в неоднородном полупространстве / Е.В. Глушков // ПММ. 1983. - Т. 47. -№ 1.

23. Глушков, Е.В. Распространение и дифракция на препятствиях скважинных волн в водонасыщенных пористо-упругих средах цилиндрической структуры / Е.В. Глушков, Н.В. Глушкова, С.И. Фоменко // Наука Кубани. 2008. - № 2. - С. 4-8.

24. Глушкова, Н.В. Определение и учет сингулярных составляющих в задачах теории упругости : дисс. докт. физ.-мат. наук. / Н.В Глушкова. -Краснодар : КубГУ, 2000.

25. Городецкая, Н.С. Отражение волн от свободной границы пористо-упругого насыщенного жидкостью полупространства / Н.С. Городецкая // Акустичпий В1сник. 2002. - Т. 5. - №4. - С. 5-14.

26. Губайдуллин, А.А. Распростарепие воли вдоль границы насыщенной пористой среды и жидкости / А.А. Губайдуллин, О.Ю. Болдырева // Акустический журнал. 2006. - Т. 52. - № 2. - С. 201-211.

27. Демидов, С.П. Теория упругости / С.П. Демидов. М. : Высш. школа, 1979. - 432 с.

28. Крауклис, П.В. Возбуждение трубной волны радиальным и вертикальным источниками, прикрепленными к стенке скважины / П.В. Крауклис, А.П. Крауклис // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2007. - Т. 342. - С. 153-163.

29. Крауч, С. Методы граничных элементов в механие твердого тела / С. Крауч, А. Старфильд. М.: Наука, 1987.

30. Лаврентьев, М.А. Методы теории функции комплексного переменного: учеб. пособие для ун-тов / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. М: Наука, 1987. - 688 с.

31. Линьков, A.M. Комплексный метод граничных интегральных уравнений теории упругости / A.M. Линьков. СПб. : Наука, 1999. - 382 с.

32. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент (в математической физике, аэродинамике, теории упругости и дифракции волн). М.: ТОО "Янус", 1995. 520 с.

33. Максимов, Г.А. Затухание волны Стоунли и высших лембовских мод вследствие их рассеяния на двумерных неровностях флюидозаполненной скважины / Г.А. Максимов, Е. Ортега, Е.В. Подъячев // Акустический журнал. 2007. - Т. 53. - № 1. - С. 20-37.

34. Молотков, JI.А. Исследование распространения волн в пористых и трещиноватых средах на основе эффективных моделей Био и слоистых сред / Л.А. Молотков. С.Пб. : Наука, 2001. - 248 с.

35. Николаевский, В.Н. Механика насыщенных пористых сред / В.Н. Николаевский, К.С. Басииев, А.Т. Горбунов, Г.А. Зотов. М. : Недра, 1970. -339 с.

36. Нигматулин, Р.И. Основы механики гетерогенных сред / Р.И. Нигмату-лин. М. : Наука, 1978. - 336 с.

37. Петрашень, Г.И. Распространение упругих волн в слоисто-изотропных средах, разделенных параллельными плоскостями / Г.И. Петрашень // Уч. зап. ЛГУ. Л., 1952.

38. Пряхина, О.Д. Интегральные уравнения динамических задач для многослойных сред, содержащих систему трещин / О.Д. Пряхина, А.В. Смирнова // Прикладная математика и механика. 2005. - Т. 69. - Вып. 2. -С. 345-351.

39. Сеймов, В.М. Колебания и волны в слоистых средах / В.М. Сеймов, А.Н. Трофимчук, О.А. Савицкий. Киев : Наук, думка, 1990. - 224 с.

40. Снеддон, И. Преобразования Фурье / И. Снеддон. М.: Инностранная литература, 1955. - 668 с.

41. Сницер, А.Р. Волны при нормальном гармоническом нагружении скважины в упругой среде. I. Структура волнового поля на поверхности скважины и в дальней зоне / А.Р. Сницер // Динамические системы. 2006. -Вып. 20. - С. 68-88.

42. Суворова, Т.В. Динамическая задача об упругое слое и полупространстве, контактирующих через периодическую систему жестких прямоугольных накладок / Т.В. Суворова // Научная мысль Кавказа. 2002. -прил. № 12. - С. 109-115

43. Суворова, Т.В. Волновое поле, возбуждаемое в двухфазном пористо-упругом полупространстве осцилирующей нагрузкой / Т.В. Суворова // Изв. Вузов Сев. кавк. регион., естеств. науки. 2002. - № 4, с. 22-26.

44. Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. М. : Наука, 1972. - 736 с.

45. Федорюк, М.В. Метод перевала / М.В. Федорюк. М: Наука, 1977. -368 с.

46. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г.М. Фихтенгольц. Физматлит, 2003. - Т. 3. - 864 с.

47. Фоменко, С.И. Численно-аналитическое моделирование волновых полей в пористо-упругих слоистых средах / Фоменко С.И., Глушков Е.В. -Краснодар: Кубанский гос. университет, 2006. 43 с. Деп. в ВИНИТИ 10.01.2006, № 3-В2006.

48. Фоменко, С.И. Волновые поля, возбуждаемые поверхностными виброисточниками в пористых водонасыщенных средах / С.И. Фоменко // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2007. - № 1. - С. 65-70.

49. Фоменко, С.И. Асимптотика волновых полей в слоистом скважинном волноводе / С.И. Фоменко // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2007. - № 4. - С. 56-62.

50. Френкель, Я.И. К теории сейсмических и сейсмоэлектрических явлений во влажной почве / Я.И. Френкель // Изв. АН СССР. Сер. геогр. и геофиз. 1944. - Т. 8. - С. 133-149.

51. Auriault, J.-L. Dynamic behaviour of a porous medium saturated by a Newtonian fluid / J.-L. Auriault // Int. J. Eng. Sci. 1980. - V. 18. - P. 775-785.

52. Bear, J. Dynamics of fluids in porous media / J. Bear. New York: Elsevier, 1972.

53. Biot, M.A. General theory of three-dimensional consolidation / M.A. Biot // J. Appl. Phys. 1941,- V. 12.- P. 155-164.

54. Biot, M.A. Theory of elasticity and consolidation for a porous anisotropic solid / M.A. Biot // J. Appl. Phys. 1955. - V. 26. - P. 182-185.

55. Biot, M.A. General solutions of the equations of elasticity and consolidation for a porous material / M.A. Biot //J. Appl. Mech. 1956. - V. 78. - P. 91-96.

56. Biot, M. A. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid. I. Low-frequency range. II. Higher-frequency range / M.A. Biot //J. Acoust. Soc. Am. 1956. - V. 28. - N 2. - P. 168-178.

57. Biot, M.A. The elastic coefficients of the theory of consolidation / M.A. Biot, D.G. Willis // J. Appl. Mech. 1957. - V. 79. - P. 594-601.

58. Biot, M.A. Propagation of elastic waves in cylindrical bore containing a fluid / M.A. Biot // J. Appl. Phys. 1952. - V. 23. - P. 997-1005.65. de Boer, R. Theory of porous media // R. de Boer. Berlin: Springer, 2000.

59. Boeckx. Guided elastic waves in porous materials saturated by air under Lamb conditions / Boeckx et al // J. Appl. Phys. 2005. - V. 97. - P. 094911-1- 094911-8.

60. Bokov, P.M. Stonelcy wave by an external seismic point source in an infinite fluid-filled borehole embedded in a transversely isotropic formation: Basic relationships / P.M. Bokov, A.M. Ionov // Acoust. Phys. 2004. - V. 50.- N 2. P. 126-133.

61. Burridge, R. Tube waves, seismic waves and effective sources / R. Burridge, S. Kostek, A.L. Kurkjian // Wave Motion. 1993,- V. 18. - P. 163-210.

62. Burridge, R. Poroelasticity equations derived from microstructure / R. Burridge, J.B. Keller // J. Acoust. Soc. Amer. 1981. - V. 70. - N 4. -P. 1140-1146.

63. Cieszko, M. Interaction of elastic waves with a fluid saturated porous solid boundary / M. Cieszko , J. Kubik //J. Theoret. appl. Mech. 1998. - V. 36.- P. 561-580.

64. Chao, G. Shock-induced borehole waves in porous formations: Theory and experiments / G. Chao, D. M. J. Smeulders, and M. E. H. van Dongen //J. Acoust. Soc. Am. 2004. - V. 116. - N 2. - P. 693-702.

65. Cheng, C.H. Elastic wave propagation in a fluid-filled borehole and synthetic acoustic logs / C.H. Cheng, M.N. Toksoz // Geophysics. 1981. - V. 46. -N 7. - P. 1042-1053.

66. Gasis, D.C. Three-dimensional investigation of the propagation of waves in hollow circular cylinders, I. Analytical foundation, and II. Numerical results / D.C. Gasis // J. Acoust. Soc. Am. 1959,- V. 31. - P. 568-577.

67. Geertsma, J. Some aspects of elastic wave propagation in fluid saturated porous solids / J. Geertsma, D.C. Smit // Geophysics. 1961. - V. 26 - P. 169-181.

68. Gibson, R.I. Low- and high-frequency radiation from seismic sources in cased boreholes / R.I. Gibson Jr. and C. Peng // Geophysics. 1994. - V. 59. - P. 1780-1785.

69. Deresiewicz, H. The effect of boundaries on wave propagation in a fluid saturated porous solid: IV. Surface waves in a half-space / H. Deresiewicz // Bull, seism. Soc. Am. 1962. - V. 52. - N. 3. - P. 627-638.

70. Deresiewicz, H. The effect of boundaries on wave propagation in a fluid saturated porous solid: V-TVansmission across a plane interface / H. Deresiewicz, J.T. Rice // Bull, seism. Soc. Am. 1964. - V. 54. - N 1. -P. 409-416.

71. Deresiewicz, H. The effect of boundaries on wave propagation in a liquid-filled porous solid: VI. Love waves in a double surface layer / H. Deresiewicz // Bull, seism. Soc. Am. 1964. - V. 54. - N 1. - P. 417-423.

72. Hsu, C.-J. Tube waves and mendrel modes: Experiment and theory / C.-J. Hsu, S. Kostek, D.L. Johnson // J. Acoust. Soc. Am. 1997. -V. 102. - N 4.- P. 3277-3289.

73. Fillunger, P. Der Auftrieb von Talsperren / P. Fillunger // Teil I-III. Osterr. Wochenschrift fur den offentlichen Baudienst. 1913. - N 7. - P. 532-510.

74. Krauklis, P.V. New guided wave in a poroacoustic layer / P.V. Krauklis, A.P. Krauklis // Proceedings. International Seminar. Day on Diffraction, 1999. -P. 113-117.

75. Kurkjian, A.L. Finite-difference and frequency-wavenumber modeling of seismic monopole sources and receivers in fluid-filled boreholes / A.L. Kurkjian, R.T. Coates, J.E. White, H. Schmidt // Geophysics. 1994. - V. 59. - P. 1053-1064.

76. Lambe, T.W. Soil mechanics / T.W. Lambe, R.V. Whitman. New York: Wiley.- 1969.

77. Liu, Q.H. and Sinha B.K. Multipole acoustic waveforms in fluid-filled boreholes in biaxially stressed formations: a finite-difference method / Q.H. Liu, B.K. Sinha // Geophysics. 2000. - V. 65. - P. 190-201.

78. Levy, T. Propagation of waves in a fluid-saturated porous elastic solid / T. Levy // Int. J. Eng. Sci. 1979. - N 17. - P. 1005-1014.

79. Morland, L.W. A theory of slow fluid flow through a porous thermoelastic matrix / L.W. Morland // Geophys. J. R. Astron. Soc. 1978. - V. 55. - P. 393-410.

80. Nagy, P.B. Slow wave propagation in air-filled porous materials and natural rocks / P.B. Nagy, L. Adler, B.P. Bonner // Appl. Phys. Lett. 1990. - V. 56. - N 25. - P. 2504-2506.

81. Nagy, P.B. Observation of a new surface mode on a fluid-saturated permable solid // Appl. Phys. Lett. 1992. - V.60. - P. 2735-2737.

82. Norris, A.N. The speed of a tube wave / A.N. Norris //J. Acoust. Soc. Am. 1990,- V. 87. - N 1 - P. 414-417.

83. Norris, A.N. Acoustoelasticity of solid/fluid composite systems / A.N. Norris, B.K. Sinha, S. Kostek // Geophys. J. Int. 1994. - V. 118. - 439-446.

84. Norris, A.N. Stoneley wave attenuation and dispersion in permeable formations / A.N. Norris // Geophysics. 1989. - V. 54. - N 3 - P. 330341.

85. Peterson, E.W. Acoustic wave propagation along a fluid-filled cylinder / E.W. Peterson //J. Appl. Phys. 1974. - V. 45. - N 8. - P. 3340-3350.

86. Plona, T.J. Axisymmetric wave propagation in fluid-loaded cylindrical shells. Part II: Theory versus experiment / T.J. Plona, B.K. Sinha, S. Kostek, S.K. Chang //J. Acoust. Soc. Am. 1992. - 92. - N 2. - P. 1144-1155.

87. Pride, S.R. Deriving the equations of motion for porous isotropic media / S.R. Pride, A.F. Gangi, and F.D. Morgan // J. Acoust. Soc. Am. 1992. -V. 92. - N 6. - P. 3278-3290

88. Rice, J.R. Some basic stress diffusion solutions for fluid-saturated clastic porous media with compressible constituents / J.R. Rice, M.P. Cleary // Rev. Geophys. Space Phys.- 1976. N 14. - P. 227-241.

89. Roever, W.L. Acoustic waves from an impulsive source in a fluid-filled borehole / W.L. Roever, J.H. Rosenbaum, T.F. Vining //J. Acoust. Soc. Am. 1974. - V. 55. - N 6. - P. 1144-1157.

90. Robinson, N.I. An isotropic elastic medium containing a cylindrical borehole with a rigid plug / N.I. Robinson // International Journal of Solids and Structures. 2002. - V. 39. - N 19. - P. 4889-4904.

91. Santos, J. Reflection and transmission coefficients in fluid saturated porous media / J. Santos, J. Corbero, C. Ravazzoli, J. Hensley //J. Acoust. Soc. Am.- 1992. V. 91.-N 4. - P. 1911-1923.

92. Sinha, B.K. Axi-symmetric wave propagation in fluidloaded cylindrical shells. Part I: Theory / B.K. Sinha, T.J. Plona, S.Kostek, S.K. Chang // J. Acoust. Soc. Am. 1992. - V. 92. - N 2. - P. 1132-1143.

93. Sinha, B.K. Dispersion and radial depth of investigation of borehole modes / B.K. Sinha, S. Asvadurov // Geophys. Prospecting 2004. - V. 52. - P. 271-286.

94. Chao, G. Shock-induced borehole waves in porous formations: Theory and experiments / G. Chao, D. M. J. Smeulders, and M. E. H. van Dongen // J. Acoust. Soc. Am. 2004. - V. 116. - N 2. - P. 693-702.

95. Thomson, W.T. Transmission of elastic waves through a stratified medium / W.T. Thomson // J. Appl. Phys. 1950. - N 21. - P. 89-93.

96. Tsang, L. Numerical evaluation of the transient acoustic waveform due to a point source in a fluid-filled borehole / L. Tsang, D. Rader // Geophysics. -1979. V. 44. - N 10. - R 1706-1720.

97. Tubman, K.M. Synthetic full waveform acoustic logs in cased boreholes / K.M. Tubman, C.H. Cheng, M.N. Toksoz // Geophysics. 1984. - V. 49. -N 7. - P. 1051-1059.

98. Verruijt, A. Theory of groundwater flow / A. Verruijt. London: Macmillan, 1970.

99. Yoon, K.H. 3-D finite difference modelling of elastic waves in borehole environments / K.H. Yoon, G.A. Mc Mechan // Geophysics. 1992. - V. 57. - P. 793-804.

100. Wu, K. Reflection and transmission of elastic waves from a fluid saturated porous solid boundary / K. Wu, Q. Xue, L. Adler //J. Acoust. Soc. Am. -1990. V. 87. - N 6. - P. 2349-2358.

101. White, J.E. Elastic waves along a cylindrical bore / J.E. White // Geophysics. 1962. - V. 27. - N 3. - P. 327-333

102. Wilmanski, K. Toward Extended Thermodynamics of Porous and Granular Materials / K. Wilmanski // Trends in Applications of Mathematics to Mechanics / eds: G. Iooss, 0. Gues, A. Nouri. Chapman & Hall/CRC, 2000. - P. 147-160.

103. Winkler, K.W. Permeability and borehole Stoneley waves: Comparision between experiment and theory / K.W. Winkler, H.-L. Liu, D.L. Johnson // Geophysics. 1989. - V. 54. - P. 66-75.