Распространение и локализация света в фотонных микроструктурах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.10 ВАК РФ

Российская академия наук Физико-технический институт им. А. Ф. Иоффе

на правах рукописи

Калитеевский Михаил Алексеевич

Распространение и локализация света в фотонных микроструктурах

(01.04.10 - физика полупроводников)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Работа выполнена в Физико-техническом институте им. А.Ф. Иоффе РАН

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук,

Профессор Зегря Г. Г.

Доктор физико-математических наук,

Профессор Кулаковский В. Д.

Доктор физико-математических наук,

Профессор Розанов Н. Н.

Ведущая организация:

Институт общей физики им. A.M. Прохорова РАН, Москва

Защита состоится « 23 » декабря 2004 г в ___ час на заседании

специализированного совета Д 002 205 02 при Физико-техническом институте им А.Ф.Иоффе РАН (194021, Санкт-Петербург, ул. Политехническая, 26)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Физико-технического института им. А.Ф. Иоффе РАН.

Отзывы о диссертации в двух экземплярах, заверенные печатью, просим направлять по вышеуказанному адресу ученому секретарю специализированного совета.

Автореферат разослан «__»_ноября_2004г

Ученый секретарь специализированного совета, доктор физико-математических наук,

профессор Сорокин Л.М.

йозтв

30&

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Всякое оптоэлектронное устройство основано на взаимодействии двух подсистем - электронной и фотонной - и поэтому для принципиального улучшения свойств оптоэлектронных приборов необходимо обеспечить такую модовую и пространственную структуру электромагнитного поля, которая бы обеспечивала взаимодействие света с веществом наиболее эффективным для того или иного прибора образом.

Эта задача может быть решена путем применения фотонных микроструктур (в частности, фотонных кристаллов), построенных из элементов, характерные размеры которых порядка длины волны света. Фотонные микроструктуры могут быть использованы для управления скоростью спонтанной эмиссии фотонов и управления потоком света [1,2].

Фотонные кристаллы (ФК) представляют собой структуры, в которых показатель преломления периодически модулирован в одном, двух или трех направлениях. Брэгговская дифракция блоховских фотонных состояний на краю зоны Бриллюэна приводит к появлению фотонных запрещенных зон (ФЗЗ) - интервалов частот, в пределах которых свет, распространяющийся в определенных направлениях, экспоненциально затухает. При этом свет, падающий на фотонный кристалл извне, полностью отражается. Энергетическая ширина и размер телесного угла, соответствующий ФЗЗ, определяется глубиной модуляции показателя преломления. В случае, когда ФЗЗ имеет место только для определенных направлений (неполная ФЗЗ, стоп-зона), плотность фотонных мод уменьшается, но остается конечной. В случае полной ФЗЗ, когда распространение света запрещено во всех направлениях, плотность фотонных мод обращается в ноль. Следует отметить, что эмиссия фотона, частота и направление которого соответствует ФЗЗ, невозможна. Таким образом, ФК могут быть использованы для подавления спонтанной эмиссии.

Простейшим, одномерным образцом ФК является брэгговский отражатель - периодическая последовательность пар слоев четвертьволновой толщины. Изменение плотности фотонных мод вследствие периодической модуляции показателя преломления - появление «брэгговской щели» в плотности фотонных состояний - было впервые использовано для создания лазера с распределенной обратной связью [3, 4] В таких лазерах генерация осуществляется на частотах, близких к краям запрещенной зоны. В лазере с распределенной обратной связью амплитуда модуляции показателя преломления крайне мала и составляет 10~2- Ю 3, соответственно ширина ФЗЗ порядка нескольких мэВ. В брэгговских отражателях, получаемых эпитаксиальными методами либо напылением тонких пленок, контраст показателей преломления может быть достаточно высок, и относительная ширина ФЗЗ может достигать 50%.

Влияние квантования электромагнитного поля радиочастотного диапазона в резонаторе на интенсивность взаимодействия поля с веществом известно достаточно давно [5]. Например, вероятность эмиссии фотонов

| »Н>С НАЦИОНАЛЬНАЯ 3 I библиотека

I С1

существенно возрастает, если частота излучения совпадает с частотой резонатора Это возрастание тем больше, чем больше добротность и меньше объем резонатора. Развитие эпитаксиальных технологий позволило создавать полупроводниковые структуры, в которых могут наблюдаться подобные эффекты - микрорезонаторы. Микрорезонатор (МР) состоит из двух брэгговских отражателей и заключенной между ними центральной полости, толщина которой сопоставима с длиной волны света. Экспериментальное обнаружение расщепления и осцилляций Раби [6] в МР с квантовыми ямами (КЯ) вызвало всплеск интереса к таким структурам и процессам, протекающим в них. Фотонные микроструктуры могут найти много применений в технике. На основе фотонных кристаллов могут быть созданы оптические волноводы, допустимый радиус кривизны которых сопоставим с длиной волны света. Устройства на основе таких волноводов могут быть интегрированы с активными электронно-оптическими элементами и стать основой для создания малогабаритных твердотельных оптических коммутаторов и систем обработки информации.

Для развития теории фотонных микроструктур, позволяющей адекватно описывать результаты экспериментальных исследований и проектировать фотонные микроструктуры с заданными свойствами, было необходимо решить следующие задами:

1) Проанализировать влияние разупорядочения фотонных кристаллов на их оптические спектры и модовую структуру

При современном уровне развития технологии создать совершенный ФК для оптического диапазона не представляется возможным - реальные образцы фотонных кристаллов в той или иной степени разупорядочены В самоорганизованных ФК, таких как опалы, размер шаров, образующих кристаллическую решетку, варьируется Кроме этого, в опалах имеют место вакансии и дефекты упаковки. ФК, получаемые литографическими методами, не являются идеальными вследствие шероховатости стенок и неоднородности травления по глубине.

Исследование влияния разупорядочения на оптические свойства ФК является важной задачей, как с фундаментальной, так и с прикладной точки зрения. Экспериментально наблюдаемые свойства фотонных кристаллов (например, спекгры люминесценции, отражения и пропускания) есть результат одновременного действия многих факторов' дальний порядок, сохраняющийся несмотря на разупорядочение, ведет к формированию блоховских состояний и ФЗЗ, а разупорядочение ведет к рэлеевскому рассеянию блоховских световых волн и может приводить к локализации света [7]. Необходимо отметить, что попытки использования скейлинговой теории локализации [8], иногда назвываемой гипотезой [9], а также попытки перенести результаты исследования поведения электронов в разупорядоченных кристаллах на «фотонный» случай не приводят к получению адекватных ответов на вопросы об устойчивости ФЗЗ к беспорядку. Необходимость одновременного учёта перечисленных _ эффектов, проявляющихся как на микро- так и на

макроскопичЛких масштабах, делает построение детальной аналитической

« * - * .*« ■ • - 4

- » > {

теории распространения и локализации света в разуг.орядоченных ФК достаточно сложной задачей, и в ряде случаев целесообразно пользоваться численными методами.

2) Разработать методы определения зонной структуры фотонных квазикристаллов, исследовать возможность изготовления фотонного квазикристалла с полной фотонной запрещенной зоной

Для подавления спонтанной эмиссии излучения необходимо применение материала с полной ФЗЗ. Добиться ситуации, при которой фотонные запрещенные зоны для разных поляризаций света перекрываются для всех направлений в фотонном кристалле, достаточно сложно. Геометрические параметры системы и контраст показателя преломления, необходимые для образования полной ФЗЗ, технологически трудно достижимы. Максимальная С1епень вращательной симметрии кристалла равна шести и свойства кристалла вдоль физически неэквивалентных направлений могут существенно различаться Вместе с тем, в квазикристаллах - непериодических системах, обладающих дальним порядком, степень вращательной симметрии может быть больше шести' восемь, десять и т.д [10-12]. Исследование возможности создания материала, обладающего полной ФЗЗ, на основе фотонного квазикристалла являлось важной задачей, имеющей практическое значение, и фебовало создания соответствующего расчетно-теоретического аппарата.

3) Разработать теорию взаимодействия экситонных и фотонных "состояний в связанных микрорезонаторах Теоретически исследовать влияние магнитного поля на оптические свойства микрорезонаторов Разработать теоретические методики, позволяющие количественно анализировать результаты экспериментальных исследований микрорезонаторов с квантовыми ямами. Теоретически исстедовзть размерное квантование объемных экситонных поляритонов в микрорезонаторе.

Микрорезонатор может рассматриваться как резонатор Фабри-Перо с очень короткой базой или как изолированный дефект в ФК. Светоизлучающие оптоэлектронные приборы на основе микрорезонаторов - вертикально-излучающие лазеры и резонансные светодиоды - обладают рядом преимуществ по сравнению с выполненными в традиционной, полосковой геометрии, например, симметричной диаграммой направленности и меньшей расходимостью излучения. К моменту начала данной работы теория взаимодействия экситонных и фотонных состояний в микрорезонаторах с квантовыми ямами была в целом построена, однако ряд проблем требовал дополнительного изучения.

Эффект расщепления мод в связанных микрорезонаторах может быть использован для создания твердотельных источников излучения в терагерцовом диапазоне, а эффект усиления фарадеевского вращения - для создания эффективных магнитооптических устройств [13]. Взаимодействие макроскопически разнесенных экситонных состояний в связанных микрорезонаторах с квантовыми ямами позволяет рассматривать такую систему как базовый элемент квантового компьютера, а стимулированное рассеяние

поляритетов в микрорезонаторах позволило сформулировать концепцию т н поляритонного лазера.

4) Разработать теорию взаимодействия экситонных и фотонных состояний в цилиндрических и сферических микрорезонаторах

Бурное развие оптоэлектроники в последние десятилетия было в значительной степени обусловлено использованием низкоразмерных ге!ероструктур, таких как квантовые ямы (КЯ), толщина которых сравнима с длиной волны Де-Бройля электрона и составляет единицы-десятки нанометров Использование КЯ позволило создать инжекционные полупроводниковые лазеры, модуляторы излучения и другие оптоэлектронные компоненты, которые стали основой волоконно оптических линий связи, систем обработки информации и многих других технических устройств. В настоящее время достигнуI существенный прогресс в технологии квантовых точек, где реализуется предельный случай размерного квантования носителей заряда, энергетический спектр которых становится дискретным [14]

В планарных микрорезонаторах свет локализован лишь в одном направлении Дальнейшее снижение размерности локализованных фотонных состояний может быть достигнуто в цилиндрических и сферических микрорезонаторах и может привести к существенному изменению характера взаимодействия света с веществом. Например, на основе структур, в которых реализуегся нуль-мерное фотонное состояние и имеет место полная ФЗЗ, возможно создание беспорогового лазера.

Таким образом, основная цель работы - построение теории локализации и распространения света в фотонных микроструктурах разных типов и взаимодействия локализованных фотонных состояний с различными объектами, в том числе и низкоразмерными, - является безусловно актуальной.

Объектами исследования в работе являются' планарные микрорезонаторы с квантовыми ямами, связанные микрорезонаторы, цилиндрические и сферические микрорезонаторы, фотонные кристаллы и квазикристаллы.

Научная новизна

Теоретически предсказаны и экспериментально обнаружены эффекты усиления фарадеевского вращения плоскости поляризации света в микрорезонаторах, взаимодействия макроскопически разделенных экситонных состояний в связанных микрорезонаторах с квантовыми ямами. Построена теория взаимодействия низкоразмерных экситонных и фотонных состояний в цилиндрических микрорезонаторах с квантовыми проводами и сферических микрорезонаторах с квантовыми точками. Получены уравнения и приближённые аналитические выражения для частот собственных мод цилиндрических и сферических микрорезонаторов. Детально исследован спектр собственных оптических мод в разупорядоченных ФК, сформулирован критерий устойчивости ФЗЗ к беспорядку. Проанализировано влияние разупорядочения на оптические свойства фотонных крйсталлов с полной и

неполной ФЗЗ Исследованы зонная структура, дифракция и распространение света в фотонных квазикристаллах

Научная и практическая значимость.

Рассмотрены базовые -элементы фотонных микроструктур (планарные одиночные и связанные микрорезонаторы, цилиндрические и сферические микрорезонаторы, фотонные кристаллы и квазикристаллы), в которых спектр оптических мод и просфанственная структура электромагнитного поля принципиально изменены по сравнению со случаем свободных (трёхмерных) фотонов

Детальный анализ влияния разупорядочения на свойства фотонных кристаллов позволяет сформулировать требования к качеству фотонных микроструктур, предназначенных для создания опгоэлектронных приборов

Результаты анализа влияния параметров фотонных микроструктур на на спектр их собственных оптических мод представляют собой непосредственные рекомендации для практической реализации лазеров на основе цилиндрических и сферических микрорезонаторов

Эффекты резонансного усиления фарадеевского вращения и взаимодействия макроскопически разделённых экситонных состояний, предсказанные и обнаруженные при исследовании микрорезонаторов и связанных микрорезонаторов с квантовыми ямами могут служить основой для создания нового покопения полупроводниковых приборов, предназначенных для обработки информации.

Основные положения, выносимые на защиту

1) В одномерных и двумерных фотонных кристаллах существует пороговое значение параметра, характеризующего беспорядок, и при увеличении параметра беспорядка от нуля до порогового значения ширина ФЗЗ уменьшается, но остаётся большей нуля, а длина затухания света на частотах, соответсвующих ФЗЗ, практически не меняется При увеличении параметра беспорядка выше порогового значения ФЗЗ заполняется локализованными состояниями, а длина затухания света начинает увеличиваться. Для одномерных фотонных кристаллов пороговое значение относительной флуктуации оптических длин периодов структуры соответсвует квадратному корню \л\ одной [ре!и относительной ширины ФЗЗ.

2) При прохождении света с частотой, соответствующей ФЗЗ, через двумерный фотонный кристалл с полной изотропной ФЗЗ, при значениях параметра беспорядка, меньших чем пороговое, интенсивность прямо прошедшего света превышает интенсивность рассеянного света. Вблизи порогового значения параметра беспорядка интенсивности прямо прошедшего и рассеянного света сравниваются, и при дальнейшем увеличении параметра беспорядка интенсивность рассеянного света растёт быстрее интенсивности прямо прошедшего света.

3) В двумерных фотонных кристаллах с неполной ФЗЗ интенсивность рассеянного света превосходит интенсивность прямо прошедшего света даже

при чалом беспорядке При этом минимум в спектре пропускания может быть смещён относительно центра ФЗЗ

4) Эффект полного внутреннего отражения не имеет месга при отражении цилиндрической (сферической) волны от цилиндрической (сферической) границы раздела сред' при уменьшении радиуса границы коэффициент отражения асимптотически приближается к единице, оставаясь меньше её Поэтому оптические собственные моды цилиндра и сферы обладают конечными временами жизни В сферических брэгговских микрорезонаторах возможна реализация дискретного спектра собственных оптических состояний, причём частотный интервал между состояниями и их времена жизни достаточно велики.

5) В фотонных квазикристаллах формируются аналоги оптических блоховских мод Двумерные фотонные квазикристаллы могут обладать полной ФЗЗ даже при малом контрасте показателей преломления

Апробация работы

Результаты, вошедшие в диссертационную работу, докладывались и обсуждались на' Международных симпозиумах «Наноструктуры' Физика и Технология» (Санкт-Петербург, 1995,1997, 2000, 2001, 2003); 14 Конференции по квантовой электронике (Манчестер, Великобритания, 1999), Конференциях по физике твердого тела и материалов (Манчестер, Великобритания, 1999; Бристоль, Великобритания. 2000); 5 Международной конференции оптика экситонов в низкоразмерных системах (Геттинген, Германия. 1997); 8 Международной конференции по полупроводникам на основе соединений П-У1 группы (Гренобль, Франция, 1997); 8 Международной конференции по модулированным полупроводниковым структурам, (Санта-Барбара, США, 1997), 23 Международном симпозиуме по полупроводниковым соединениям (Санкт-Петербург, 1996); конференциях «Физика взаимодействие света с веществом в нанострукгурах» (Сен-Нектэр, Франция, 2000, Рим, Италия, 2001; Реминтон, Греция, 2002; Ачериале, Италия, 2003; Санкт-Петербург, 2004), 15 и 18 Конференциях отделения физики твердого тела европейского физического общества (Бавено-Стреза, Италия, 1996; Монтрё, Швейцария, 2000;) 23 и 25 Международных конференциях по физике полупроводников (Берлин, Германия, 1998; Эдинбург, Великобритания, 2002) Основное содержание работы опубликовано в 37 научных статьях.

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из введения, четырёх глав и заключения, включая 300 страниц текста, 3 таблицы, 101 рисунок и список литературы из 131 наименования Во введениях к каждой главе содержатся обзоры литературы по соответствующим проблемам.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы, определён объект исследования, сформулирована цель работы, задачи, которые необходимо решить исходя из пели работы, научная новизна и практическая ценность полученных результатов, изложены основные положения, выносимые на защиту.

Глава 1. Микрорезонаторы и связанные микрорезонаторы с квантовыми ямами

/ / Введение

Микрорезонатор (МР) состоит из двух брэгговских зеркал и заключенной межд\ ними полости, толщина которой /. имеет порядок длины волны света Я„ (См Рис 1) Основное отличие МР от традиционного резонатора Фабри-Перо состоит в том, что частотный интервал между двумя соседними оптическими модами МР очень велик Подобно тому, как в квантовых ямах (КЯ) осуществляется размерное квантование носителей заряда, в микрорезонаторах осуществляется размерное квантование света Успехи в развитии молекулярно-пучковой и газофазной эпигаксии позволили создавать высококачественные полупроводниковые МР на основе соединений А3В5, А2В6, пористого кремния и дру! их материалов, в том числе и МР, содержащие низкоразмерные объекты в полости

R

Рисунок 1 Схема МР. Профили электрического (сплошная линия) и магнитного (штриховая линия) полей собственной оптической моды МР

Frequency

Рисунок 2 Типичный спектр отражения света от пустого МР (сплошная линия) и от МР с КЯ (штриховая линия), при взаимодействии с экситоном в КЯ в режиме сильной связи. На вставке показаны дисперсионные зависимости для МР с КЯ.

Наиболее эффективным методом расчета свойств МР является метод матриц переноса, основанный на том, что электромагнитное поле может быть описано двумя линейно независимыми скалярными величинами, например тангенциальными по отношению к границам слоев компонентами электрического и магнитного полей, и значения этих величин в двух разных точках структуры связаны матрицей переноса Т Матрица переноса через всю слоистую структуру Лесть произведение матриц переноса через отдельные слои Г. Метод матриц переноса позволяет расчитать коэффициенты отражения и пропускания света, комплексные частоты собственных мод (где мнимая часть соответствует скорости затухания оптической моды), а также профили электромагнитного поля для собственных мод, либо профили, установившиеся в МР при внешнем освещении. В спектрах отражения света от МР имеется провал, соответствующий собственной моде МР (см. рис. 2). Профиль электромагнитного поля собственной моды МР представляет собой стоячую электромагнитную волну переменной амплитуды с максимумом в полости МР Следует отметить, что узлу электрического поля соответствует пучность магнитного и наоборот. Вследствие размерного квантования света в МР взаимодействие света с объектом, помещенным в полость МР, может быть существенно изменено. В частности, скорость спонтанной эмиссии для излучателя, помещенного в полость МР, существенно увеличивается, если направление и частота фотона соответствует собственной оптической моде МР, и подавлена в противоположном случае. Это делает МР перспективными для создания светоизлучающих устройств - резонансных светодиодов и лазеров с вертикальной эмиссией излучения Взаимодействие оптической моды МР с экситонами может приводить к образованию их смешанных состояний -поляритонов Экспериментальное открытие взаимодействия оптической моды и экситона в КЯ в режиме сильной связи, проявившееся как расщепление и антипересечение мод в оптических спектрах, делает МР с КЯ крайне интересным с фундаментальной точки зрения.

I 2 Фарадеевское вращение плоскости поляризации света в микрорезонаторах Линейно-поляризованная световая волна, распространяющаяся в среде, к которой приложено магнитное поле, может расщепиться на две циркулярно-поляризованные волны (<т, ист), которым соответствуют разные показатели преломления п^=п„+б и п_=пи-8. Угол поворота ф плоскости поляризации линейно поляризованного света будет изменяться тем больше, чем больший путь с! прошел свет: ф = 2ШКЬ. При множественном переотражении света от зеркал, образующих микрорезонатор, фарадеевское вращение плоскости поляризации света в полости микрорезонатора на частотах собственных мод будет существенно усилено. Расчёт рапространения света двух циркулярных поляризаций может быть произведен с помощью метода матриц переноса. Очевидно, что частоты собственных циркулярно поляризованных мод МР и сои будут различны, и со{ ,-о\ °с 8 При падении на структуру линейно поляризованного света происходит

существенное усиление фарадеевского вращения и изменение поляризаци отраженного и прошедшего света, что можно видеть на Рис. 3 и 4, где показаны спектральные зависимости коэффициента отражения света разных

Рисунок 3. (а) Спектры отражения для двух циркулярных поляризаций. (Ь) Спектры отражения света в линейной поляризации,

совпадающей с поляризацией падающего света (штриховая линия), и в поляризации, перпендикулярной поляризации падающего света; (с) спектральная зависимость угла поворота плоскости поляризации; (с1) спектральная зависимость степени линейной (сплошная линия) и циркулярной (штриховая) поляризации отраженного сигнала Коэффициенты отражения зеркал, образующих резонатор, равны 0.9, 5= 0.03 поляризаций, угла поворота и степени .1 отраженного сигнала.

Рисунок 4. (а) Спектры отражения для двух циркулярных поляризаций (Ь) Спектры отражения света в линейной поляризации,

совпадающей с поляризацией падающего света (штриховая линия), и в поляризации, перпендикулярной поляризации падающего света; (с) спектральная зависимость угла поворота плоскости поляризации; (с!) спектральная зависимость степени линейной (сплошная линия) и циркулярной (штриховая) поляризации отраженного сигнала. Коэффициенты отражения зеркал, образующих резонатор, равны 0.99, 3= 0.03 нейной и циркулярной поляризации

1 0

0,9

08

07

06

1 0

>> 0,9

08

>

— 0,7

О 06

1) 1 0

09

D

08

07

0 6

0 3

02

0 1

0 0

0 1

e1 hh1 e1-lh1e1-lh3 bulk GaAs

o^ Circular Polarization

- Linear Polanzation

Linear Cross-Polanzation X20

м.

1 0

i 0,9

- 0 8 >

Z 0 7

и

^06 В01

00

й 3

CJJ

J j 0

= - ,

о -3

— о

re ^ „ S ~ 0

3

I 0 1 . I 11 00

Ujl

101

e1-hh1 e1-lh1e1-lh3 bulk GaAs 1—_.....!.._ i„

iear Polanzation

Linear Cross Polarization X20

Лг

48 1 49 1 50 1 51 1 52 1,53 Energy, eV

1 48 1 49 1,50 1 51 1 52 1 53

Energy, eV

Рис 5 Измеренные (сплошные линии) и рассчитанные (штриховые) спектпы

отражения света от МР в двух

поляризациях, поляризации, с поляризацией света, и в

циркулярных линейной совпадающей падающего поляризации, перпендикулярной поляризации падающего света. Оптическая мода МР настроена еЫМ экситон. Величина приложенного магнитного поля 11.25 Т

Рис 6 Измеренные (сплошные линии) и рассчитанные (штриховые) спектры отражения света линейной поляризации, совпадающей с поляризацией падающего света, и в поляризации, перпендикулярной поляризации падающего света Угол поворота плоскости поляризации света при прохождении полости МР (штриховая линия) и для света отраженного от микрорезонатора (сплошная линия). Степень циркулярной поляризации света, отраженного от МР Оптическая мода МР настроена е1-М)1 экситон Величина приложенного магнитного поля 11.25 Т

Оптическое поведение системы определяется как фарадеевским вращением света в полости (т.е. параметром <5), так и коэффициентами отражения зеркал,

или, точнее, добротностью резонатора Когда расщепление <а„ и не превышает ширины оптической моды МР (режим слабого расщепления), в спектрах линейно поляризованного света присутствует одна особенность на частоте оптической моды МР при отсутствии магнитного поля (о, (ши, + 0) )/2, при этом фарадеевское вращение в области частот между ю1п и <у, существенно усилено Когда разность а>Ьг - <ы„ превосходит ширину моды, устанавливается режим сильного расщепления. При этом в спектрах линейно поляризованного света присутствует две особенности, частоты которых совпадают с л>„, и <и„ , а коэффициенты отражения и пропускания линейно поляризованного света на этих частотах устанавливаются на уровне 0.25 и не меняются при дальнейшем увеличении параметра ё. Таким образом, если МР обладает достаточной добротностью, то даже малое вращение плоскости поляризации света в его полости может приводить к существенному изменению тензора поляризации отраженного (прошедшего) света по сравнению с падающим светом. Данный эффект может быть использован для создания миниатюрного (размер полости резонатора порядка длины волны света) оптического детектора магнитного поля, а также новых магнитооптических устройств.

Экситоны в квантовых ямах испытывают зеемановское расщепление в магнитном поле, что приводит к различию частот собственных мод МР с КЯ для двух циркулярных поляризаций в магнитном поле. Следствием этого является резонансное фарадеевское вращение света в области частот собственных мод резонатора. Важным проявлением этого эффекта является появление пиков в спектрах отражения и пропускания, поляризация которых ортогональна поляризации падающего света Это обстоятельство позволяет использовать фарадеевское вращение в МР для прецизионного измерения параметров экситонов в квантовых ямах. На Рис. 5 и б приведены результаты исследования фарадеевского вращения в МР с полостью из ваАз, содержащей две КЯ из 1поо4Сао9бАБ толщиной 8 нм, зеркала которого изготовлены из ОаАз/А1Аз и имеют коэффициент отражения 0.996. В таком МР имеет место ( взаимодействие экситона и оптческой моды МР в режиме сильной связи, и

величина расщепления поляритонных мод составляет 7 мэВ. В спектре отражения в линейной поляризации, перпендикулярной поляризации падающего света, имеются пики, соответствующие собственным модам МР, ' несмотря на то, что в данной структуре нет магнитных материалов.

» Резонансное фарадеевское вращение на КЯ максимально на частоте

невозмущенного магнитным полем экситона, отличной от частот собственных мод резонатора (См. Рис. 6). Несмотря на это, максимальное фарадеевское вращение "к изменение типа поляризации происходят вблизи частот собственных мод МР. Отметим, что в данном случае имеет место «режим слабого расщепления» - расщепление оптических мод а, и а_ поляризаций меньше, чем ширина моды.

/ 3 Объемные поляритоны в микрорезонаторах

Появление добавочных оптических мод на частотах, близких к экситонному резонансу, обусловленное пространственной дисперсией экситонных поляритонов, было теоретически предсказано Пекаром [15] и впоследствии обнаружено экспериментально. Пространственная дисперсия экситонных поляритонов может оказывать существенное влияние на свойства МР, когда оптическая мода взаимодействует с объёмным экситоном. Пространственная дисперсия означает зависимость тензора диэлектрической проницаемости среды от волнового вектора света В полупроводниках с кубической кристаллической решеткой для каждой частоты существуют три поляритонных моды, распространяющиеся в определенном направлении: две поперечные и одна продольная. При падении ТЕ-поляризованной световой волны возбуждаются только поперечные моды, тогда как ТМ- поляризованный свет, у которого проекция электрического поля на нормаль к границе раздела сред отлична от нуля, может возбуждать и продольные моды

Рис. 7 Дисперсионные зависимости для поперечных (сплошные линии) и продольных (штриховые линии) поляритонных мод в слое СаАБ.

Рис. 8 Спектры отражения света от МР с полостью из ваАБ, частота экситона в котором й £У„ = 1 515 эВ для ТЕ- и ТМ-поляризованного света. Угол падения света 55°.

На рис. 7 показаны дисперсионные зависимости для поперечных (сплошные линии) и продольных (штриховые линии) поляритонных мод в слое СаАБ. Вертикальные линии отмечают значения волнового вектора, соответствующего условию размерного квантования Ы = 7 = 1,2,3,... в слое толщиной ¿=114.8 нм. Пересечения дисперсионных кривых с вертикальными линиями соответствуют собственным размерно-квантованным поперечным и продольным экситон-поляритонным состояниям в слое. Такие состояния проявляются в спектрах отражения и пропускания как резонансные

особенности. Для расчета оптических спектров для слоя полупроводникового материала, в котором имеет место экситонный резонанс, будет использоваться обобщенный метод матриц переноса. Матрица переноса через слой с экситонным резонансом при учете пространственной дисперсии эксигонных поляритонов должна учитывать распространение четырех волн с комплексными амплитудами для ТЕ- поляризации и шести волн для ТМ-поляризации. Обычные Максвелловские граничные условия недостаточны в данном случае. Простейшие дополнительные граничные условия были предложены Пекаром, согласно которым экситонная составляющая диэлектрической поляризации равна нулю на границах слоя. Выражения для матриц переноса достаточно громоздки, и использование метода матриц переноса нецелесообразно для одиночного слоя, но необходимо для описания многослойных структур с резонансными слоями, таких как МР.

Степень влияния поляритона с определенным уровнем квантования на спектры МР определяется интегралом перекрытия электрического поля оптической моды МР и экситонной диэлектрической поляризации, которая всегда имеет узлы на границах слоя, в то время как электрическое поле оптической моды МР может иметь как узлы, так и пучности на границах полости. С полем оптической моды МР взаимодействуют только размерно-квантованные поляритонные состояния одинаковой с ней четности В рассматриваемом случае, когда электрическое поле оптической моды МР имеет пучности на границах полуволновой полости, взаимодействовать с ней могут только поляритоны с четными индексами размерного квантования' N=2, 4, 6 ... На рис. 8 показаны спектры отражения света ТЕ и ТМ-поляризации от микрорезонатора для угла падения света 55". В обоих случаях в полосе отражения появляется серия минимумов, являющихся следствием взаимодействия оптической моды резорнатора и объемных экситонных поляритонов, размерно-квантованных в полости микрорезонатора, однако для ТМ-поляризаиии в спектре появляется дополнительная особенность, соответствующая продольному экситонному поляритону Измерение оптических спектров МР с объёмным экситоном в полости может быть использовано для точного определения дисперсинных зависимостей поляритонов.

1 4 Связанные микрорезонаторы

Если два осциллятора произвольной природы, имеющие в свободном состоянии одинаковые резонансные частоты, связаны между собой, то такая система связанных осцилляторов будет обладать двумя собственными частотами, причем расщепление между ними будет возрастать с увеличением силы связывающего взаимодействия. Локализованные фотонные состояния, соответствующие собственным модам МР, могут взаимодействовать между собой в МР, связанных через общее зеркало, как показано на рис. 9. Комплексные частоты собственных мод, профили электромагнитного поля и оптические спектры таких структур могут быть расчитаны методом матриц переноса. Затухание собственных мод будет определяться коэффициентами

И,и,

отражения боковых зеркал, а расщепление между модами Д&>- связано коэффициентом

«/ я- —I/ Vе "(/""'ну показаны профили электрического и магнитного полей низкочастотной оптической моды, и можно видеть, что они обладают разной четностью: магнитное поле симметрично, а электрическое антисимметрично.

пропускания среднего зеркала ? выражением где /-длина полостей МР. На рис. 9

2{пг -п)псо„

С

Л О 1- 1 -Е-

,1

.....£ V

.....Л4"" А ч-.......

I I

) / со.

Рис. 9 Схема связанных

микрорезонаторов: среднее зеркало, состоящее из нечётного числа слоев, связывает две полости. Профиль показателя преломления и

электрического (сплошная линия) и магнитного (штриховая линия) полей собственной оптической моды двух связанных МР. показатели преломления слоев 1.45 и 2.3

Рис. 10. Спектры пропускания света двух связанных МР. Сплошные линии

соответствуют внешним

отражателям, толщина которых 6 пар слоев , штриховые линии соответствуют внешним

отражателям толщиной 3 пары слоев.

Для высокочастотной оптической моды четности электрического и магнитного полей меняются местами Чешость электрического и магнитного

полей зависит также от числа пар слоев в среднем зеркале. Меняя число пар слоев в среднем зеркале, можно изменять величину А со в широких пределах.

Взаимодействие локализованных фотонных состояний в связанных МР может осуществляться в режиме слабой связи, когда величина Леи меньше затухания собственных мод МР (при этом в оптических спектрах наблюдается одна уширенная особенность), и в режиме сильной связи, когда расщепление мод превосходит затухание (при этом в спектрах наблюдаются две линии, форма которых близка к лоренцевской). Рис 10 иллюстрирует переход от режима слабой связи к режиму сильной связи Если соединить между собой \ одинаковых МР, то система будет обладать V собственными модами, и расщепление будет возрастать при увеличении V. Увеличение N ведет к образованию фотонной минизоны, положение которой определяется частотами оптических мод отдельных МР, а ширина - коэффициентами пропускания зеркал средних МР Структуры на основе связанных микрорезонаторов могуч быть использованы для создания оптических фильтров, у которых форма полосы пропускания близка к прямоугольной Кроме этого, эффект биения собственных мод связанных МР может быть использован для создания компактного оптоэлектронного источника излучения терагерцового диапазона.

1 5 Взаимодействие окситонных и фотонных состояний в связанных иикроре¡опаторах с квантовыми ямами

Эксиюн в КЯ, помещенной в полость МР, может взаимодействовать с локализованной оптической модой, что приводит к расщеплению частот собственных мод системы Аналогично, экситоны в двух КЯ, находящихся на достаточно малом расстоянии, могут взаимодействовать друг с другом, и мерой итенсивности такого взаимодействия может служить перекрытие волновых функций экситонов Волновая функция экситона в КЯ затухает на расстоянии нескольких нанометров, и поэтому, если расстояние между КЯ превосходит указанную величину, экситоны не взаимодействуют, и экситонное состояние двукратно вырождено. Если же квантовые ямы помещены в полости двух связанных МР, то каждый из экситонов будет взаимодействовать с оптической модой своего резонатора. В свою очередь, оптические моды двух МР взаимодействуют между собой, все четыре локализованных состояния - два "экситонных и два фотонных - становятся связанными Можно сказать, чго зкситоны в квантовых ямах будут взаимодействовать между собой через посредство оптических мод, даже если расстояние между КЯ многократно превышает длину затухания волновой функции экситона

I 425 1 435 1 445 1 455 I 465 I 475 1 48 Energy (cV)

10 15 20 25 30 35 40 45 50 Angle (Degrees)

Рис

Спектры отражения света от Рис 12 Позиции минимумов в

связанных МР с КЯ для разных углов падения света При малых углах падения симметричная (Съ) и антисимметричная (CAS) оптические моды не взаимодействуют с экситоном (X). Пунктирными линиями показаны теоретически расчитанные спектры.

спектрах отражения, показанных на рис 11, как функция угла падения света Стрелками отмечены антипересечения оптических и экситонных состояний

На рис. 11 показаны спектры отражения света от двух связанных микрорезонаторов с ¡ПообСас^Аэ КЯ. Когда интервал между частотами оптических мод и экситона велик, в спектре можно видеть три особенности, две из которых соответствуют оптической моде, а одна - экситонному резонансу В этом случае экситонное состояние не взаимодействует с оптическими модами и остается вырожденным. При изменениии угла падения света меняется частота оптических мод связанных МР, и когда частоты оптических мод становятся близки к частоте экситона, в спектрах появляется четвертая особенность -вырождение экситонных состояний снимается вследствие взаимодействия с оптической модой. Можно видеть (см. рис 12), что дисперсионные зависимости представляют собой два антипересечения.

1 б Взаимодействие низкоразмерных экситонов с экспоненциапьно затухающей электромагнитной волной

Глубина экситонной модуляции спектра отражения может быть существенно увеличена, если угол падения света близок к углу полного внутреннего отражения. При этом КЯ может быть расположена за границей, на которой свет

испытывает полное внутреннее отражение Взаимодействие экситона в КЯ с оптической модой плоского волновода приводит к появлению волноводных поляритонов.

/ 7 Метод матриц переноса д ¡я сред с квадратичной непинейпостъю Эффективность генерации второй гармоники может быть существенно повышена в МР, поскольку напряженность поля в полости МР может быть значительно увеличена Кроме этого, малые размеры полости снимают ограничения, накладываемые требованием фазового синхронизма Генерация второй гармоники в таких структурах может быть описана с помощью метода матриц переноса для сред с квадратичной нелинейностью

1 8 Применения брзгговской интерференции для зонной инженерии -надбарьерная локализация экситонов

Локализация света в МР осуществляется вследствие интерференции световых волн, причем волновой вектор света в каждом из слоев действителен. Анало1ично, можно создать структуру, в которой электроны и дырки будут локализованы вследствие интерференции волновых функций, а не в потенциальной яме. Экспериментальное исследование структуры на основе сверхрешеток (1п,Са)А5/СаА5, параметры которой были заданы таким образом, чтобы обеспечить надбарьерную локализацию экситона, показало наличие экситонного резонанса на частоте 1 548 эВ, что на 33 мэВ выше объемного экситона в СаАв. Использование интерференции волновых функций носителей заряда открывает новые возможности в зонной инженерии полупроводниковых Iегероструктур

Глава 2. Цилиндрические и сферические микрорезонаторы

2 / Введение

Брэтзвский отражатель - одномерный фотонный кристалл - ограничивает распространение света только в одном измерении При этом эмиссия фотона определенной частоты может быть запрещена в некотором конусе. Величина телесного угла, соответствующего запрещенным направлениям, может быть увеличена, если эмиттер окружить цилиндрическим брэгговским отражателем, и доведена до в случае сферического брэгговского отражателя. В цилиндрических (сферических) МР, состоящих из центральной полости, окруженной цилиндрическим (сферическим) брэгговским отражателем, возможно появление собственных оптических мод. Эмиссия света на частотах собственных мод может быть существенно усилена. Взаимодействие оптических мод цилиндрических (сферических) МР с низкоразмерными объектами - квантовыми проводами и квантовыми точками - представляет интерес с фундаментальной точки зрения Кроме этого, цилиндрические и сферические МР могут быть использованы для создания новых оптоэлектронных приборов, например, излучателя нерасходящихся бесселевских пучков и беспорогового лазера.

2 2 Метод матриц переноса для цилиндрических вочн Цичиидрический бр )гговский отражатель и микрорезонатор

Произвольную цилиндрическую электромагнитную волну, распространяющуюся перпендикулярно оси симметрии г, можно представить в виде суперпозиции Е-поляризованных волн, с компонентами (Ги,11 И ), и Н-лоляризованных волн, с компонентами (// ,о ,С ). Электромагнитное поле в

Рис. 13. Схема цилиндрического МР. Я и г - коэффициенты

отражения от брэгговского отражателя и квантового провода в центре структуры

Рис. 14. Траектория переноса энергии в преломленной цилиндрической волне с уголовым моментом т=5. Радиус границы р удовлетворяет равенству ра/2лс=0.55, =3.0, я, =1.0

слоистой цилиндрической структуре может быть описано с помощью метода матриц переноса. В цилиндрической волне, угловой момент которой т =0, вектор Пойтинга направлен радиально. Для ненулевых т вектор Пойтинга образует с радиальным направлением угол 0, удовлетворяющий соотношению sin e = mjnKp, где п - показатель преломления, см. Рис.14 Амплитудный коэффициент отражения расходящейся цилиндрической световой волны от цилиндрической границы раздела сред описывается формулой

= UC" - aC'VUC - Р>СЯ?), где С21 = Н^(п,Кр)/нГ(п,Кр), /1^2)(п,Кр) - функции Ханкеля. Для Е - поляризации pi=nt , для Н -поляризации /?/=1/и/. Когда радиус границы велик, то коэффицент отражения соответствует ситуации падения плоской волны на плоскую границу раздела двух сред. При значении радиуса, определяемом выражением Крт = т^п^2 +п2г , угол в соответсвует углу Брюстера, и в спектрах отражения Н-поляризованного света имеются минимумы (см. Рис. 15). В отличие от «плоского» случая, величина коэффициента отражения в минимуме не достигает нуля. Можно показать, что значение коэффициента отражения г не зависит от порядка

чередования слоев, в отличие от «плоского» случая, когда при наклонном падении коэффициент отражения зависит от того, падает ли свет из оптически более плотной среды на оптически менее плотную, или наоборот. Это означает, что для цилиндрических волн не имеет места эффект полного внутреннего отражения При уменьшении радиуса границы коэффициент отражения приближается к единице, оставаясь меньше её

Максимальным коэффициентом отражения будет обладать слоистая структура, границы между слоями которой находятся на таких расстояниях, что волна с частотой ан, отразившаяся от первой границы, и волны, отразившиеся ото всех следующих границ, и вернувшиеся к первой границе, синфазны Поскольку фаза коэффициентов отражения от цилиндрических границ и набор фазы цилиндрической волной при движении по слою зависят от удаленности от оси симметрии структуры, то толщины слоев оптимального цилиндрического брэгговского отражателя не будут четвертьволновыми, а будут зависить от удаления от центра структуры. У цилиндрического брэгговского отражателя с одинаковыми четвертьволновыми толщинами слоев = лс/2пй)„, частота, на которой отражение максимально, не будет равна со„. Частоты оптических мод

1

£ >

•£3 0

!> а> Он

О

Рис. 15 Коэффициенты отражения цилиндрической волны с разными угловым^и моментами как функция радиуса границы р и частоты света со для Е- и Н-поляризаций.

Рис. 16. Спектр поглощения Е-поляризованной сходящейся

световой волны цилиндрическим МР с квантовым проводом. На вставке показано сечение структуры.

такого МР приближенно описываются формулой

со1 =\п{т±\17 + 2]) + Ь^\2.ппра1 с + Ы ын\, где знак «+» соответствует Е-

поляризации, а знак «-» - Н-поляризации, Ь = тг1п2/(п2 - я,), у - целое.

2 3 Взаимодействие одномерных жситонных и фотонных состояний в цилиндрических микрорезонаторах с квантовы ми проводами Электрическое поле в центре цилиндрического микрорезонатора будет отлично oí нуля только для E-поляризованной оптической моды с моментом т- 0, и эта мода может взаимодействовать с квантовым проводом в центре МР Взаимодействие электромагнитного поля с экситоном в квантовом проводе может быть описано с помощью теории нелокального диэлектрического отклика. В частности, коэффициент Офажения для сходящейся электромагнитной волны т =0 от квантового провода имеет вид 2/1 „

г, „ =1 +---гдеа>,, г„ и Г - резонансная частота, радиационное и

-a)-l(I + [„)

нерадиационное затухание экситона. Можно видеть, что когда Г(1 = Г, падающая волна полностью поглощается. Пользуясь методом матриц переноса для цилиндрических волн, можно получить выражение для частот собственных мод системы Взаимодействие оптической моды цилиндрического МР и экситона приводит к расщеплению собственных мод системы, и величина расщепления определяется выражением А = 2^21 „щ/(Ь + 2n„pacoh/с). Если затухание собственных мод меньше расщепления, то реализуется режим сильной связи и в оптических спектрах имеются две изолированные особенности При увеличении затухания собственных мод две особенности сливаются в одну (см рис. 16).

2 4 Метод матриц переноса для сферических вот Сферическии брэгговский отра ж ame чь и микрорезонатор

Произвольную сферическую электромагнитную волну можно представить в виде суперпозиции ТЕ-поляризованных волн, с компонентами [Н, ,Hu,Hv,Ee,Ev)^ и ТМ-поляризованных волн, с компонентами у), выражаемых через сферические гармоники, характеризуемые полным моментом / и его проекцией т, так что - I <т<1.

Для коэффициента отражения сферической волны от сферической границы раздела сред можно получить выражение, аналогичное цилиндрическому случаю, с помощью замены функций Ханкеля на сферические функции Бесселя. Как и для цилиндрических волн, в «сферическом» эффект полною внутреннего отражения не реализуется, а эффект Брюстера проявляется слабее. Из концентрических сферических слоев можно сформировать сферический брэгговский отражатель и сферический МР, в котором свет будет локализован во всех трех направлениях. Электромагнитное поле в такой структуре может быть расчитано с помощью метода матриц переноса для сферических волн. Сферический МР будет обладать дискретным спектром собственных мод, частота которых будет

Рис. 17. Схема сферического МР. В центре структуры расположена квантовая точка

Рис. 18. Распределение напряженности электрического поля в сечении сферического МР для ТМ моды с / =1 и т

= 0.

й Ь +n:\2j+ 1 + \) _

приближенно определяться выражением со =-—-- для ТЕ- мод и

' ¿М+2 пар„/с

6 + тг(2 / + /)

выражением со =—-——для ТМ мод, где ]- целое.

Ь/о),, + 2п0 р0!с

2 5 Взаимодействие нульмерных экситонных и фотонных состояний в сферических микрорезонаторах с квантовыми точками

Электрическое поле в центре сферического МР будет отлично от нуля только для ТМ моды с /= 1 (см. рис.18). С помощью теории нелокального диэлектрического отклика можно получить коэффициент отражения сходящейся сферической волны от квантовой точки, в виде, описывающем отражение цилиндрической световой волны от квантового провода. Если частота экситона в квантовой точке близка к частоте оптической моды, то будет иметь место расщепление мод (см. рис. 19), и выражение для величины расщепления также аналогично «цилиндрическому» случаю. В режиме сильной связи, когда затухание собственных мод меньше расщепления, в оптических спектрах сферического МР с квантовой точкой будут наблюдаться две линии, в режиме слабой связи - одна уширенная линия.

" 5| К аг1 2/г с - 0 10125

600 400 2'0 И 200 400 СО

(<о-шг>)/Г0

Рис 19 Спектры поглощения света сферическим МР с квантовой точкой для разных значений радиуса центральной полости рь Сплошные линии соответствуют брэгговскому отражателю, состоящему из семи пар слоев, штриховые - брэгговскому отражателю толщиной в пять пар слоев.

Глава 3. Влияние разупорядочения на свойства фотонных кристаллов.

3 1 Введение (

Известно, что наличие беспорядка в полупроводниках может приводить к локализации электронов, что проявляется как снижение электрической '

проводимости [9, 16]. Многократно высказывалась гипотеза [7], что подобный '

эффект - локализация света - может наблюдаться и в соответствующих Л

диэлектрических структурах. Поскольку теория локализации электронов в ;

разупорядоченных твёрдых телах достаточно хорошо развита и позволяет описывать значительную часть экспериментально наблюдаемых явлений, а также вследствие похожести волновых уравнений для света и носителей заряда, естественным представлялось перенести результаты, полученные для носителей заряда на фотонный случай. Следует отметить, что в квантовой механике, локализация, применительно к электронам, означает что волновая функция электрона экспоненциально затухает при удалении от некоторой области пространства, что ведет к подавлению траспорта. Вместе с тем, аналогичное поведение электромагнитного поля не ведет к подавлению

транспорта на частоте собственной моды МР (которая является локализованным состоянием) коэффициент пропускания увеличивается (см. Рис 1, 2) Таким образом, теоретические подходы, описывающие поведение электронов в неупорядоченных системах, не позволяют адекватно описывать поведение фотонов в ФК, и в частности, не позволяют количественно ответить на вопрос об устойчивости ФЗЗ к разупорядочению фотонного кристалла Для «электронной» задачи электрон-электронное и электрон-фононное взаимодействия не дают возможности получить точное решение задачи в системе реального размера. В «фотонном» случае модовая структура электромагнитного поля в системе большого размера может быть рассчитана точно, путем численного решения уравнений Максвелла

3 2 Статистика собственных состояний и оптические свойства одномерных разупоряОочениых фотонных кристалюв

Рассмотрим одномерную периодическую структуру, представляющую собой последовательность пар слоев «А» и «В» одинаковой толщины d, показатель преломления которых описывается формулой п'"'0 = пи ± g, где модуляция показа1еля преломления g = 0 025. В спектре мод такой структуры имеется ФЗЗ, и её относительная ширина Дси/сой к Agl{mu).

Для структуры конечного размера можно поставить граничные условия, согласно которым свет не падает на структуру извне и расчитать спектр собственных оптических мод структуры Для конечной структуры спектр coociвенных мод будет дискретным (см. Рис 20), причём собственные частоты со б>дут обладать ненулевой мнимой частью, вследствие утечек света через границы структуры. Иначе говоря, время жизни собственных состояний г = 1/1т(<ы ) будет конечным По времени жизни состояния можно судить является состояние локализованным или нет. В соответсвии с критерием Таулюса, если ширина уровня (обратное время жизни) меньше, чем расстояние между уровнями, то состояние локализовано, в противном случае -делокализовано. Квадраты на рис 20 соответсвуют собственным модам идеальной струк1уры толщиной в 200 периодов. Для краевых состояний время жизни увеличивается, и в соответсвии с критерием Таулюса они локализованы. Нижняя горизонтальная линия соответствует времени жизни для делокализованных состояний.

Для исследования свойств разупорядоченной структуры введём случайную флуктуацию показателей преломления: для каждой пары слоев показатели преломления определяются в соответствии с формулой п ,„ = я„ ± g + nnSP, где величина Р принимает хаотические значения в интервале от -1/2 до 1/2. Таким образом, оптическая длина периодов в разупорядоченной структуре D=DÜ(\ + SP) характеризуется относительной флуктуацией S.

На рисунке 20 показаны частоты собственных состояний и соответствующие им времена жизни для 1000 разупорядоченных структур, со

случайным разупорядочением профиля показателя преломления, характеризуемых флуктуацией 5 = 0.035; 0.07; 0.1 ; и 0.15.

Рис. 20. Чёрными точками показаны частоты Re(<y,) и времена жизни г = I/ lm(á)) собственных мод для 1000 разупорядоченных структур, характеризуемых относительной флуктуацией оптических длин периодов ö =0.035; 0.07; 0.1; и 0.15. Белые квадраты соответсвуют частотам и временам жизни собственных мод в идеальной структуре. Вертикальными линиями показаны границы ФЗЗ. Толщина структуры - 200 периодов, модуляция показателя преломления g = 0.025

При флуктуации 5 =0.035 собственные моды начинают проникать в ФЗЗ, однако большая часть ФЗЗ остаётся незаполненной состояниями. Частоты собственных мод Re(<y,) и их времена жизни г флуктуируют вблизи значений, соо1ветствущих собственным модам идеальной структуры, однако для краевого состояния флуктуация времени жизни больше, чем для прочих. При этом профили плотности энергии для состояний внутри ФЗЗ практически идентичны профилям краевого состояния, и таким образом, можно говорить о проникновении краевых состояний внутрь ФЗЗ. При увеличении флуктуации 5 до 0 07 краевые состояния глубже проникают в ФЗЗ, и профили поля таких состояний сильнее отличается от профиля краевого состояния. При этом ФЗЗ сужается, но её ширина остается существенной. При увеличении S до 0.1

вероятность появления оптических состояний в любом месте ФЗЗ становится отличной от нуля. При этом флуктуация времён жизни собственных состояний увеличивается Для некоторых состояний профиль поля напоминает собственную моду микрорезонатора, т е экспоненциально затухает в обе стороны, несмотря на то, что при флуктуации ¿>' = 0 1 не может быть изолированных дефектов, на которых может быть локализован свет. Таким образом, при увеличении разупорядочения в ФЗЗ появляются не только сдвинутые краевые состояния, но и состояния, локализованные в «случайных микрорезонаторах», характеризуемые большим временем жизни. При увеличении параметра S до 0.15 состояния заполняют ФЗЗ. При дальнейшем увеличении разупорядочения эффекты, связанные с периодической модуляцией показателя преломления, исчезают.

В спектрах пропускания собственные состояния проявляются как пики в области ФЗЗ, причём чем больше время жизни тем острее пик. В спектрах пропускания усредненных по ансамблю структур в области ФЗЗ имеется провал, однако при увеличении флуктуации 8 его глубина уменьшается, а форма меняется.

На рисунке 21а показано изменение положения границ ФЗЗ в зависимости от флуктуации 8, для структур, характеризуемых различной модуляцией показателя преломления (g = 0 025; g = 0.05; и g = 0.1), и, следовательно, различной шириной ФЗЗ Границы ФЗЗ в координатах 8{а) напоминают параболы. Можно видеть, что при малом беспорядке наклон границы ФЗЗ 8(ы) мал. Вершины парабол соответствуют пороговому значению 8Л, и при увеличении модуляции показателя преломления

Рисунок 21 (а) Границы ФЗЗ как функция флуктуации 5 для структур с различной величиной модуляции показателя преломления круги £ = 0 025; треугольники £ = 0.05; квадраты £ = 01 (Ь) Зависимость пороговой величины относительной флуктуации оптической длины периода ¿>Л модуляции показателя преломления g. Пунктирной линией показана зависимость

(и, следовательно, ширины ФЗЗ) пороговое значение флуктуации 8Л увеличивайся На рисунке 21Ь показана зависимость пороговой флуктуации 8Л от g Можно видеть, что 8Л пропорциональна квадратному корню из модуляции показателя преломления g, и приближённо описывается зависимостью 8Л = -^0 27^. Поскольку относительная ширина ФЗЗ прямо пропорционально g, го критерий заполнения ФЗЗ фотонными состояниями может быть сформулирован следующим образом в одномерном случае ФЗЗ заполняется локализованными оптическими модами, когда относительная флуктуация оптической длины периода становится примерно равной корню из одной трети относительной ширины запрещенной зоны 8Л « ^{Асч/юи)/3 . Данное утверждение противоречит принятым в настоящее время представлениям, согласно которым ФЗЗ заполняется локализованными состояниями даже при малом беспорядке [7].

3 3 Распространение света в двумерных фотонных кристаллах с полной и непо шои фотонной запрещенной зоной

Произвольную электромагнитную волну, распространяющуюся в двумерном ФК, можно представить в ви"де суперпозиции Е-поляризованных волн, с компонентами (£г,#, //1), и Н-поляризованных волн, с компонентами (// £", %). ФК на основе двумерной гексагональной структуры (см рис. 22)

• ••• • • • • • • • • •

о*

*

Ч Ч

Рис 22. Разупорядоченный фотонный кристалл на основе гексагональной структуры с относительной флуктуацией радиуса цилиндров 8= 0.25. Штрихованные стрелки соответствуют рассеянному прошедшему свету, сплошные - прямо прошедшему свету. Также показана зона Бриллюэна гексагональной фотонной структуры.

обладает неполной ФЗЗ в направлении Г-М для Е-поляризованных мод и может обладать (при достаточно высоком котрасге показателя преломления) полной ФЗЗ для Н-поляризованных мод, как показано на рис 23

В одномерном случае рассеяние приводит к изменению направления распространения свеза на противоположное В двумерном случае возможно рассеяние на малые углы, и поэтому помимо зеркально отраженного (прямо прошедшего) света, характеризуемого коэффициентами отражения и пропускания и 7"/,, в двумерном случае необходимо учитывать рассеянный свет, с коэффициентами отражения и пропускания Rs и Г,.

Для идеального ФК в спектре пропускания имеется провал, соответствующий фотонной запрещенной зоне, при этом рассеянный свет огсугствует, если показатели преломления сред, ограничивающих структуру, соответствуют условию «отсечки» дифракции (см.рис 24).

Рис 23 Дисперсионные зависимости для Е-поляризованных фотонных мод в ФК, состоящем из цилиндров с « = 10, расположенных в узлах гексагональной решетки в среде с п = 3 6. Радиус цилиндров р= 0 4с/, где с1 -расстояние между узлами гексагональной решетки.

При малых значениях относительной флуктуации радиуса цилиндров спектры пропускания для «прямого» света соответствуют спектрам пропускания идеальной структуры. При увеличении 3 выше порогового значения (<5=0 05 для Е-поляризации и <5~0 15 для Н-поляризации) в спектрах пропускания в области ФЗЗ появляются пики, и усредненный коэффициент пропускания начинает увеличиваться. Подобно одномерному случаю, для двумерных ФК существует предельно допустимый уровень беспорядка, при котором не происходит появления локализованных состояний внутри ФЗЗ. Для ФК с полной ФЗЗ, интенсивность рассеянного света крайне мала (Г«^), если 8 меньше пороговой. При достижении порогового значения Т, и Ть становятся сравнимы, и при дальнейшем увеличении беспорядка рассеянный свет доминирует. Положения минимумов и Ть для ФК с полной ФЗЗ совпадают.

Для ФК с неполной ФЗЗ Г » Ть даже при малых значениях 8. Кроме этого, спектральные зависимости Г и Ть существенно различаются: минимум Г сдвинут относительно центра ФЗЗ, и спектр имеет ассиметричную форму. Данный эффект объясняется тем, что затухающая блоховская волна (см. рис 25) может рассеяться и изменить направление на такое, которое будет соответствовать распространяющейся блоховской волне, и далее распространяться по ФК без затухания. Такой процесс более эффективен на частотах, для которых положение границы ФЗЗ быстро меняется как функция направления (см. рис. 23). Этот эффект необходимо учитывать при экспериментальном исследовании ФК- положение центра ФЗЗ не обязательно совпадает с минимумом пропускания, если апертура спектрометра велика

Рис.24. Спектры пропускания све1а для Н-поляризации (верхний ряд) и Е поляризации (нижний ряд). Штриховая линия соответствует идеальной структуре Сплошные линии соответствуют прошедшему свегу, направление распространения которого соответствует направлению падающего света, штриховые - рассеянному свету. Тонкими линиями показаны спектры, соответствующие индивидуальным разупорядоченным ФК, толстыми -спектры, усредненные по различным конфигурациям беспорядка в ФК.

(а) (Ь) (с) (ф

Рис.25. Рассеяние блоховских волн в ФК с неполной ФЗЗ: (а) отсутсвие рассеяния; (Ь) рассеяние затухающей волны в распространяющуюся вблну; (с) рассеяние из затухающей волны в затухающую волну с большей длиной затухания; (с!) множественное рассеяние волн.

Для ФК с полной ФЗЗ Тк и 7", экспоненциально уменьшаются с увеличением толщины ФК. Для ФК с неполной ФЗЗ зависимость Ть и Г, от толщины ФК имеет более сложный характер.

3 4 Миншоны в спектрах фотонных кристаллов

Свет может быть локализован на изолированном дефекте в ФК, и такие локализованные состояния имеют дискретный спектр внутри ФЗЗ.

с

о

О 22 0 30 0 38 /(¡/С

Рис 26. Спектры пропускания ФК с хаотически распределенными вакансиями (сплошные линии, тонкими линиями показаны спектры, соответствующие индивидуальной конфигурации вакансий, толстыми - усредненные по различным конфигурациям вакансий. Штриховыми линиями показаны спектры пропускания идеального ФК, пунктирными - спектры структуры с одиночным дефектом. Концентрация вакансий 3% (а); 6 7 %(Ь); 8.3% (с)

Изолированные дефекты - вакансии - мо[ут появляться в самоорганизованных фотонных крис1аллах (опалах) и оказывав существенное влияние на их свойства Перекрытие электромагнитных полей состояний, локализованных на отдельных изолированных дефектах, может приводи 1ь к формированию минизон в спеюрах собственных мод фотонных кристаллов В случае периодического расположения вакансий в ФК, дисперсионные зависимости таких структур (фотонных сверхрешеток) могут быть рассчитаны методом плоских волн. При этом внутри ФЗЗ появляются минизоны, положение которых определяется частотами локализованных состояний, а ширина - концентрацией дефектов Таким минизонам соответствуют полосы пропускания внутри ФЗЗ При хаотическом расположении вакансий (см рис 26) в спектрах пропускания света также наблюдаются полосы пропускания, соответствующие минизонам, однако распространение света в данном случае имеет «прыжковый» характер и пропускание света меньше, чем для периодического упорядочения вакансий

3 5 Пюминесценцш света в разупорядоченных фотонных крита пах Скорость спонтанной эмиссии фотона может быть рассчитана с помощью

правила Ферми - рМ' гле рМ плотность фотонных состояний и

//¡//¡(у II - гамильтониан взаимодействия, который пропорционален

напряжённости электрического поля фотонной моды Рели частота и направление распространения света соответствуют ФЗЗ, то поле экспоненциально затухает в толще ФК Таким образом, если эмиттер помещён в ФК и частота эмисии соответствует ФЗЗ, то скорость спонтанной эмиссии уменьшится вследствие падения интенсивности поля

Рис. 27 (а) Фрагмент зонной структуры опала (Ь) Спектры люминесценции

нанокристаллов Сс1Те в опале в напралении Г-Ь (0°) и под углом 80°, в направлении, близком к Г-и Вертикальные стрелки указывают частоты, для которых были измерены зависимости интенсивности фотолюминесценции от накачки внутри (/"') ФЗЗ и вне её( /,'"" и I"'" ).(с) Измеренный (сплошная линия)

и рассчитанный для идеальной структуры (пунктирная линия) спектры пропускания света в направлении Г-Ь Отношение спектров люминесценции измеренных в направлении Г-Ь и под углом 80° (правая шкала).

18 2 0 2,2 2 4 2,6 2 8 Епе^у (сУ)

1,8 2 0 22 2 4 2 6 2 8 Епет^у (сУ)

18 20 22 2,4 26 28 Рпег§у (сУ)

1000-

100-

10-

0 01 0 1 1 Р(т\У)

Рис. 28. Зависимость интенсивности фото люминесценции в направлении Г-Ь от накачки измеРенный

Можно сказать, что в люминесценции участвует приповерхностный слой ФК, толщина которого порядка длины аттенюации £. Эксперименты показывают [17], что интенсивность тюминесценции в области ¡>33 падает в несколько раз. Ла рис. 27 приведены спектры люминесценции нанокристаллов СсЛе в опале, в направлении Г-Ь, для которого существует ФЗЗ, и для направления, близкого к Г-и, где нет ФЗЗ. Оказывается, что

экспериментально

коэффициент

на частотах вне ФЗЗ: 2.0 эВ (треугольники, /-) пРопУскания света на

1 порядок выше теоретически и 2.4 эВ (квадраты, /,""'); и внутри ФЗЗ: 2.2 эВ рассчитанного для

(кружки, !'"). На верхней и нижней вставке идеальной структуры, что показаны зависимости отношений /"/и свидетельствует о

/'"//,'"', соответственно, как функция накачки. значительном

разупорядочении структуры. Если в системе помимо излучательной рекомбинации имеет место безызлучательная рекомбинация, то можно показать, что увеличение времени излучательной рекомбинации ведет к уменьшению скорости роста интенсивности I люминесценции с ростом накачки Р. В нанокристаллах С<1Те безызлучательная рекомбинация достаточно интенсивна вследствие развитой поверхности. Поэтому следует ожидать, что внутри ФЗЗ зависимость 1(Р) будет слабее, чем вне её. Экспериментально измеренные зависимости 1(Р) показывают, что внутри ФЗЗ интенсивность 1 растет быстрее с ростом накачки Р, чем вне ФЗЗ (см. рис. 28). Данный эффект может быть объяснён тем, что разупорядочение приводит к появлению локализованных состояний внутри ФЗЗ Для таких состояний электромагнитное поле не затухает экспоненциально вглубь ФК, а имеет максимуы. В областях, соответствующих максимумам поля, время спонтанной эмиссии падает, что приводит к более быстрому росту 1(Р). Каждое локализованное состояние может быть рассмотрено как аналог лазерной моды. Если «добротность» такого состояния и уровень накачки досгагочно велики, то возможно появление стимулированного излучения. Для

таких локализованных состояний пространство! тая--структура

электромагнитного поля зависит от ^^^м^^ИЕКА41^ ^^

& —— - ^ - . I

V пШжчфЩфрТ I

о> ж ю ;

Г лава 4. Фотонные квазикристаллы

4 1 Введение

Квазикристаллы представляют собой системы, обладающие дальним порядком, но не отпадающие периодичностью. Дифракционная картина квазикристаллов может обладать осью симметрии восьмого, десятого, двенадцатого и т.д. порядков [12]. Квазикристаллическая решетка может быть получена путем расположения некоторого набора элементов в соответствии с определенными правилами [11], либо путем проектирования участка периодической решетки в пространстве высокой размерности (например, кубической решетки в пятимерном пространстве) на плоскость или трехмерное пространство [12]. Свойства ФК в разных направлениях могут существенно различаться, и добиться ситуации, при которой ФЗЗ прекрываются для всех направлений и поляризаций света, достаточно сложно. Покольку квазикристаллы могут обладать высокой степенью вращательной симметрии, то можно предположить, что на основе квазикристаллических структур можно создавать материалы с полной ФЗЗ.

4 2 Оптические свойства и 'спектр оптических мод решёток Фибоначчи Метод расширенных зон для квазикристаллов

Решетка Фиобоначчи представляет собой простейший одномерный квазикристалл. Решетка Фибоначчи может быть построена с помощью рекуррентного правила ^ = с начальными элементами, г„ = {ь} и

^ = й. Оптическая решетка Фибоначчи представляет собой последовательность слоев, толщины которых I и 5 удовлетворяют соотношению ¿/5 = г, где т.н. «золотое сечение» удовлетворяет соотношению

г -1 = 1/г и имеет величину (| + -75^2 = 1.618.... Показатели преломления слоев = г и п1 = 1, вследствие чего слои имеют одинаковую оптическую длину, и для частоты соак, удовлетворяющей соотношению ыш - ж с/(я45 + /,), оба слоя являются четвертьволновыми. Спектр пропускания света может быть рассчитан методом матриц переноса. Если размер системы достаточно велик, то разные типы граничных условий слабо меняют спектр собственных мод, и мы можем применить периодические граничные условия несмотря на то, что такая система не является периодической. Применение подобного подхода оправдывает также тот факт, что дисперсионные соотношения для фотонов в решетках Фибоначчи имеют ясный физический смысл и даже были экспериментально измерены [19]. На рис.29 показаны спектры произведения мнимой части блоховского вектора К и длины оптической решетки Фибоначчи А а также коэффициента пропускания света для решёток Фибоначчи = ^ЬЗЬвЗЬв} и ?, = {Ь88Ь881,8Ь88Ь881.8Ь88Ь81,88Ь88Ь8Ь88Ь8}. Можно видеть, что для решетки Фибоначчи И, в спектре формально имеется несколько ФЗЗ, однако только для двух ФЗЗ (центры которых имеют частоты 0156твн и 1.244 сот, будем называть эти зоны зонами типа I, см рис. 30) затухание света

существенно. Для прочих ФЗЗ коэффициент пропускания ближе к единице, чем к нулю. При увеличении порядка решетки Фибоначчи в спектре собственных мод появляются новые ФЗЗ, которые не сопровождаются заметными провалами в спектрах пропускания. Для решетки F„ для четырех новых ФЗЗ (с центральными частотами 0.949 и 1.051, которые мы будем называть зонами типа II, и с центральными частотами 0.457 и 1.543, которые мы будем называть зонами типа III, см. рис. 30) достигается критический уровень 1т(^)Д = 1. Последующее увеличение размеров системы приводит к «усилению» установившихся запрещенных зон и дальнейшему появлению новых

III

•Mill

■ I I и

о о u <3 и

и

00 SP

'IIIIII

I I III

« F4 FS F6 F7 F8 F9 F,O F„

Рис. 29. Спектральные зависимости произведения мнимой части блоховского волнового вектра К и длины оптической решетки Фибоначчи О, также коэффициента пропускания света для решёток Фиобоначчи (Р5 и Р8). Горизонтальные пунктирные линии отмечают уровень 1т (К)йт = 1, когда волна существенно затухает на длине структуры. Этот уровень используется для определения «реальной» зоны.

Рис. 30. Изменение зонной структуры оптической решетки Фибоначчи при увеличении размера системы. Серые полосы соответствуют частотам, при которых вектор К становится мнимым. Черные полосы соответствуют частотам, при которых 1ш(А^)Ош > 1, затухание волны существенно и запрещенная зона реально существует. Для сравнения показана запрещенная зона для брэгговского отражателя.

запрещенных зон, и так до бесконечности. Эта тенденция проиллюстрирована на рис 30, где показана фотонная зонная структура решегок Фибоначчи разного размера. Можно видеть, что для зоны каждого типа существует некий критический размер, разделяющий неэкспоненциальное (когда размер системы относительно невелик) и экспоненциальное (когда система становится достаточно большой) затухание света в структуре. Когда размер системы превышает критический (индивидуальный для зоны каждого типа), устанавливается экспоненциальный характер затухлшя света, что свидетельствует о формировании ФЗЗ.

Рис. 32. Дисперсионные соотношения для оптической решетки, рассчитанные с использованием доминирующих векторов обратной решетки Жирными линиями отмечены ветви дисперсионной зависимости, соответствующие схеме расширенных зон. Тонкими наклонными линиями показаны границы «наклонной зоны», расположенной вдоль

дисперсионной линии свободного фотона. Черные полосы обозначают положение «главных» запрещенных зон, полученных методом матриц переноса.

Фурье-преобразование профиля диэлектрической проницаемости решетки Фибоначчи показано на рис.31. Можно видеть, что Фурье-преобразование представляет собой набор острых брэгговских пиков

Рис 31. Фурье- преобразование профиля диэлектрической

проницаемости для решетки Фибоначчи. Базовые обратные вектора (0,1) и (1,0) имеют величины л/ ? и соответственно. Вставка:

Детальный вид Фурье-преобразования в интервале обратных векторов от 0 до 1.

различной амплитуды, как и в случае периодической структуры, однако заполняющих все обратное пространство. Наибольший Фурье-коэффиценг соответствует обратному вектору g = n¡L Фурье-коэффициенты, соответствующие длинам 5' и S + L, также имеют существенные величины Несмотря на то, что структура одномерна, для идентификации дифракционной картины необходимо использовать два целых числа Естественно выбрать два вектора п/S и n/L в качестве базового набора векторов, обозначив их (0,1) и (1,0) соответственно, выбрав также величину n/S как единицу измерения в обратном пространстве.

В ФК пространственное распределение диэлектрической проницаемости и электромагнитного поля в блоховской волне может быть представлено в виде рядов Фурье. Подстановка этих рядов в волновое уравнение для электромагнитного поля позволяет получить систему линейных уравнений, решение которой позволяет получить дисперсионные зависимости т{К) Диэлектрическую проницаемость в решетке Фибоначчи можно представить в виде ряда Фурье с обратными векторами, определямыми дифракционной картиной Предположив, что электромагнитное поле в решетке Фибоначчи можно с некоторой точностью представить в виде блоховской волны (с пространственным распределением поля, представленным в виде Фурье с обратными векторами, определяемыми дифракционной картиной) можно формально попучить дисперсионные соотношения для электромагнитного потя в решетке Фибоначчи (см. рис 32).

Для квазикристаллов такое понятие, как зона Бриллюэна, не имеет места, поэтому для анализа зонной структуры целесообразно пользоваться аналогом схемы расширенных зон, когда рассматриваются ветви дисперсионной зависимости, расположенные вдоль дисперсионной зависимости свободного фотона, показанные на рисунке жирными линиями - «методом наклонных зон» Качественно эти ветви похожи на экспериментально определенные дисперсионные зависимости для фотонов в решетках Фибоначи [19] Рассмотрение этих ветвей позволяет предсказать положение и ширину «главных» ФЗЗ с хорошей точностью, используя малое число обратных векторов «Метод наклонных зон» может быть использован для расчета зонной структуры двумерных и трёхмерных квазикристаллов

4 3 Двумерные фотонные квазикристаллы Дифракция света Появпение фотонных запрещенных зон

На рис. 33 показан двумерный квазикристал - решетка Пенроуза Такая структура может быть получена укладкой ромбов двух типов - толстого (с углами 72° и 108°) и тонкого (с углами 36° и 144°), либо путем проектирования на плоскость участка пятимерной кубической решетки Для исследования дифракции был изготовлен образец, представляющий собой подложку кварца, в которой были вытравлены цилиндры диаметром 3 мкм, расположение которых соответствовало узлам решетки Пенроуза, с длиной стороны ромбов d - 10 мкм

Дифракционная картина, полученная при освещении такой структуры Не-Ые лазером с длиной волны 633 нм, обладает ращательной симметрией 10 порядка. Помимо пиков, показанных на рис. 34, дифракционная картина содержит множество пиков меньшей интенсивности. Выбирая пять обратных векторов,

(00110)

(0

(НИ) 10) /2

Рис 33. Двумерная решетка Пенроуза. Круги соответствуют воздушным цилиндрам. На границах заштрихованных областей могут быть поставлены периодические граничные

условия при локальном сохранении упорядочения в структуре. Профили показателя преломления, усредненные в сечениях, перпендикулярных направлениям (00110) и (10000).

Рис. 34. Фотография дифракционной картины от двумерной решетки Пенроуза, полученной путем вытравливания воздушных цилиндров в

подложке из кварца (вверху). Дисперсионные зависимости, рассчитанные с использованием 31 доминирующего вектора обратной решетки, соответствующих пикам на дифракционной картине. Жирными линиями

отмечены ветви дисперсионной зависимости, соответствующие схеме расширенных зон (внизу).

соответствующих «внутренней» серии дифракционных пиков в качестве базисных (их модули связаны с длиной стороны d соотношением |F| = 2jc¡{d cos(tt/10)), можно проиндексировать дифракционную картину. Появление фотонных запрещенных зон физически соответствует изменению волнового вектора волны, распрострняющейся в среде (величина которого можег быть оценена как {п)со/с) на противоположный вследствие дифракции. Для модельной структуры, у которой воздушные цилиндры (с радиусом 0.17d) протравлены в среде с показателем преломления « = 3, дифракция «назад», характеризуемая обратными векторами (10000) должна приводить к появлению ФЗЗ около частоты fd/cа 0.18. Обратные вектора, такие как (10010), должны обуславливать появление ФЗЗ вблизи частоты fdlc « 0.23.

Рис. 35. Спектры отражения и пропускания «прямого» (штриховые линии) и рассеянною (пунктирные линии) света Е- и Н-поляризации. Полное отражение и пропускание, являющееся суммой рассеянного и «прямого», показано сплошными линиями.

Представляя электромагнитное поле в виде блоховской волны, пространственное распределение поля в которой описывается рядом Фурье с обратными векторами, соответствующими наиболее интенсивным пикам

дифракционной картины, можно рассчитать дисперсионные зависимости для поля в квазикристалле. На рис. 34 показаны дисперсионные зависимости для Е-лоляризованного света для двух физически неэквивалентных направлений фоюнного кристалла. (10000) и (10010), угол между которыми составляет 18° Дисперсионные зависимости показывают, что следует ожидать появления ФЗЗ вблизи частот /¿/с» 0.2 и /(//с» 0 25, что в целом соответствует оценкам, основанным на дифракции света.

На рисунке 35 показаны спектры отражения прямо прошедшего (зеркально отражённого) и рассеянного отражённого и прошедшего света Е- и Н- поляризации для структуры, изображённой на рис 33 В спектрах отражения света имеются полосы отражения, которые перекрываются для обеих поляризаций света и двух направлений (10000) и (10010) Для низкочастотной полосы отражения (с центральной частотой / с«0 18) свет отражается зеркально, а в пропускании интенсивность рассеянного света имеет провал в области полосы отражения Такое поведение спектров отражения и пропускания юворит о том, что система обладает полной ФЗЗ Для высокочастотной полосы отражения отраженный и прошедший свет рассеян, вследствие дифракции света, обусловленной обратными векторами (10000). Ширина высочастотной полосы отражения больше, а коэффициент отражения выше, потому что амплитуда Фурье коэффициентов, соответствующих обратным векторам (10010), больше, чем для векторов (10000)

В Заключении приводятся основные результаты и выводы

1) В одномерных и двумерных фотонных кристаллах существует максимально допустимый уровень разупорядочения, до превышения которого плотность состояний в запрещенной зоне остается исчезаюше малой В одномерном случае вероятность появления собственной оптической моды в любом месте ФЗЗ становится отличной от нуля, когда относительная флуктуация оптической длины периода становится примерно равной корню квадратному из одной трети относительной ширины ФЗЗ. Данное обстоятельство проявляется как пороговая зависимость длины затухания от величины параметра, характеризующего беспорядок.

2) В разупорядоченных фотонных кристаллах с неполной, анизотропной ФЗЗ распространение света с частотами, соответствующими ФЗЗ для определенного направления, определяется процессами рассеяния затухающих блоховских волн. При этом максимальное увеличение коэффициента пропускания света вследствие разупорядочения имеет место для частот, для которых максимальна кривизна зависимости границы запрещенной зоны от направления. Это может приводить к ассиметричной форме спектрального провала, соответствующего ФЗЗ, и несоответствию наблюдаемого минимума в спектре пропускания центру фотонной запрещённой зоны для определенного направления.

3) В случае полной ФЗЗ, интенсивность прямо прошедшего и рассеянного света экспоненциально падает при увеличении толщины структуры, как при наличии, так и при отсутствии разупорядочения, а разупорядочение приводит к увеличению длины затухания В случае неполной ФЗЗ, интенсивность прямо прошедшего света экспоненциально падает при увеличении толщины идеальной структуры, а разупорядочение может приводить к более медленному затуханию интесивности прошедшего света, чем экспоненциальное

4) Наличие изолированных одинаковых дефектов в фотонных кристаллах может приводить к образованию фотонных минизон, положение которых определяется частотами локализованных состояний, а ширина - концентрацией дефектов.

5) Наблюдаемое увеличение скорости роста интенсивности люминесценции как функции накачки в области частот, соответствующей ФЗЗ, подтверждает, что в разупорядоченных фотонных кристаллах имеет место локализация света, радиационное время жизни для люминесценции через локализованные состояния падает, и возможно появление стимулированного излучения и лазерной генерации

6) Существует критический размер оптической решетки Фибоначчи, необходимый для формирования ФЗЗ. Для расчета зонной структуры квазикристаллических систем разработан «метод наклонных зон», основанный на представлении пространсвенного распределения диэлектрической проницаемости и поля собственной моды в виде ряда Фурье с набором обратных векторов, соответствующих доминирующим пикам на дифракционной картине квазикристаллической системы и анализе участков дисперсионной зависимости, примыкающих к продолжению низкочастотной асимптотики дисперсионной зависимости.

7) В фотонных квазикристаллах формируются аналоги блоховских состояний В двумерных фотонных квазикристаллах возможно формирование полной ФЗЗ для обеих поляризаций света Если частота света лежит вне ФЗЗ, то свет распространяется по квазикристаллу без ослабления Положение и ширина ФЗЗ в квазикристаллах может оценена методом «наклонных зон» Затухание света с частотой, соответствующей ФЗЗ, в фотонном квазикристалле как правило счабее, чем в фотонном кристалле, построенном периодическим упорядочением аналогичных элементов Это объясняется меньшей величиной Фурье-коэффициентов в разложении пространственного распределения диэлектрической проницаемости при квазикристаллическом упорядочении. Вместе с тем, вследствие более высокой степени вращательной симметрии, перекрытие ФЗЗ для разных направлений достигается легче, чем для фотонных кристаллов

8) Различие положений фотонных запрещенных зон для разных поляризаций света в двумерных фотонных квазикристаллах значительно меньше, чем для фотонных кристаллов. Это объясняется меньшим различием пространственной структуры «блоховских» мод для разных поляризаций в случае квазикристалла, меньшим отклонением от формы плоской волны, что объясняется отсутствием периодичности в структуре квазикристалла.

9) Фарадеевское вращение плоскости поляризации света в микрорезонаторах может быть на порядки усилено вследствие многократного отражения света При этом возможно изменение типа поляризации отраженного и прошедшего света Измерение фарадеевского вращения в микрорезонаторах с квантовыми ямами позволяет прсцизионно измерять параметры экситонных переходов

10) В связанных микрорезонагорах с квантовыми ямами локализованные оптические моды могут обеспечивать взаимодействие пространственно разделенных экситонов (на расстоянии, многократно превышающем размер волновой функции)

11) Эффект полного внутреннего отражения не имеет места при падении цилиндрических (сферических) волн на цилиндрическую (сферическую) границу раздела сред при уменьшении радиуса границы коэффициент отражения асимптотически приближается к единице, оставаясь меньше её Эффект Брюстера для цилиндрических (сферических) волн имеет место, однако выражен тем слабее, чем меньше угловой момент цилиндрической (сферической) волны коэффициент отражения для ТМ-поляризации имеет минимум при определенном соотношении радиуса границы, угловою момента и частоты света, однако не достигает нуля

12) В сферических брэгговских микрорезонаторах возможно достижение дискретного спектра собственных оптических мод, причём частотный интервал чежд> модами может бьпь достаточно велик В сферических микрорезонаторах активная область, помешенная в центральную часть резонатора, может взаимодействовать только с одной ТМ-оптической модой, характеризуемой полным моментом, равным единице.

Публикации по теме диссертации

1) М R Vladimirovd, А V Kavokine, М A KahU-evski, Dispersion of bulk exciton polaritons in d semiconductor microcavity, Phys Rev B. 54(20). 14566-14571 (1996)

2) Г К Lmdmark, I R Nelson, H M Gibbs, G Khitrova A V Kavokine and M A Kahteevski, Three coupled oscillator semiconductor microcavity with two different quantum wells. Optics Letters, 21(13), 994-996 (1996)

3) ID Berger, OLjnges. MM Gibbs. G Khitrova, Г R Nelson. E К I indmark, A V Kavokine, M A Kahteevski V V Zapasskn Magnetic-ficid enhansmcnt of the exciton-polariton splitting in a semiconductor quantum-well microcavity Ihe strong coupling threshold, Phys Rev B, 54(3), 1975- 1981 (1996)

4) A V Kavokin, M A Kahteevski, S V Goupalov, J D Berger, О Lynges, H.M Gibbs, G Khitrova, A Ribarol, P Lefebvre, DCoquillat, J P Lascaray, Quantum wells with zero valence band offset Drastic enhancement of forbidden excitonic transitions, Phys Rev B, 54(16), 11078-11081 (1996)

5) M А Кали1еевский, А В Кавокин, ПС.Копьев, Фарадеевское вращение света в микрорезонаторах, ФТП, 31(7), 880-884 (1997)

6) А V Kavokin, М A Kahteevski, М R Vladimirova, J D Berger, О Lynges, H M Gibbs, G Khitrova. Resonant Faraday rotation in quantum microcavity. Phys Rev В, 56(3), 1087-1090(1997)

7) D Baxter, M S Skolmck, A Armitage, V N Astratov, D M Whittaker, ТА Fisher, J S Roberts D J Mowbray, M A Kahteevski, Polarization-dependent phenomena in the

lelleetmty spectra of semiconductor quantum microcavities, I'hvs Rev R. 56(16). 10032-10035(1997)

8) М А Кали1еевскии, E Л Портной. Г С Соколовский, Фазовые эффекты в полупроводниковом idjepe с дифракционным выводом излучения. Письма в ЖТФ, 23(18) 7-11(1997)

9) М А Калшеевский, Ошические свойства системы двух связанных вертикальных микрорезонаторов, ЖТФ, 68(5) 94-97 (1998)

10) A Armitage. М S Skolmck. V N Astratov. D М Whittakcr. G Panzarini, L С Andreani, I A I isher J S Roberts, A V Kavokin. M A Kalitccvski. M R Vladimirova. Optically induced splitting of bright excitonic states m coupled quantum microcavities. I'hys Rev B. 57(23) 14877-14881 (1998)

1 1) Cj I'anzarmi. 1 С Andreani A Armitage. D Baxter, M S Skolmck V N Astratov. I S Roberts, A V Kavokin. M R Vladimiiova. M A Kaliteevski, Exciton-light coupling in single and coupled semiconductor microcavities Polariton dispersion and polarization splitting, I'hvs Rev B. 59(7). 5082-5089. (1999)

12) M A Kaliteevski, R A Abram, V V Nikolaev, G S Sokolovski, Bragg reflectors for cylindrical waves. Journal of Modern Optics, 46(5), 875-890(1999)

13) Yu A Vlasov, M A Kaliteevski. V V Nikolaev, Different regimes of light localization in d disoidercd photonic crystal, Phys Rev B, 60(3) 1555-1562(1999)

14) С В Федоров, M А Калигеевский, Н В Луковская, В В Николаев, Метод матриц переноса ия сред с квадратичной оптической нелинейностью, ЖТФ, 69(4) 116-117 (1999)

15) VI Р В ииимирова. А В Кавокин, М А Калитеевский, С И Кохановский, VI') Сасин, Р Г1 Сейсян, Надбарьерные экситоны первое Mai нигоопгическое иссле ювание. Письма в ЖЭТФ, 69(10) 727-732 (1999)

16) М A Kaliteevski. R A Abram, V V Nikolaev, Optical eigenmodes of a cylindrical microcavity. Journal of Modern Optics, 47(4), 677-684 (2000)

17) M A Kaliteevski. S Brand. R A Abram. V V Nikolaev, M V Maximov, N N Ledentsov. С M Sotomayor-Torres, A V Kavokin, Exciton polantons in a cylindrical microcavity with an embedded quantum wire. Phys Rev B, 61(20), 13791-13797 (2000)

18) M А Калигеевский, В В Николаев. R A Abram, Расчет модовой структуры мноюслойных оптических волокон методом матриц переноса для цилиндрических волн. Оптика и спектроскопия, 88(5), 871-974 (2000)

19) М A Kaliteevski, S Brand, R A Abram, 1 Н Krauss, R De La Rue, P Millar, Two-dimensional Penrose-tiled photonic quasicrystals diffraction of light and fractal density of modes, Journal of Modern Optics, 47(11), 1769-1776 (2000)

20) M A Kaliteevski, S Brand, R A Abram, Л L Krauss, R De La Rue, P Millar, Two-dimensional Penrose-tiled photonic quasicrystals is there a pure photonic band gap'', \anotechnology, 11(4) 274-280 (2000)

21) M А Калигеевский, В В Николаев, Аналоги эффекта Брюстера и полного внутреннею отражения для.цилиндрических волн, ЖТФ, 70(7), 52-56 (2000)

22) М A Kaliteevski, S Brand, R A Abram, V V Nikolaev, Optical eigen mode of a multilayered sphcrical microcavity, Journal of Modern Optics, 48(9), 1503-1516 (2001)

23) M A Kaliteevski, S Brand, R A Abram, V.V Nikolaev, M V Maximov, С M Sotomayor-Torres, A V Kavokin, Electromagnetic theory of the coupling of zero-dimensional exciton and photon states' A quantum dot in a spherical microcavity, Physical Review B. 64(11) 115305 (2001)

24) M A Kaliteevski, S Brand. R A Abram, T I- Krauss, R De La Rue, P Millar, The design of two-dimensional photonic quasicrystals by means of the Fourier transform method, Journal of Modern Optics, 48( 1) 9-14 (2001)

25) M Л Калтеевский, В В Николаев. R A Abram. S Brand. Зонная структура оптических решеток Фибоначчи как следствие дифракции света от них, Оптика и спектроскопия, 91(1) 120-129 (2001)

26) М Л Kaliteevski. S Brand, R A Abram, Т Ь Krauss. R De I a Rue, P Millar, Diffraction and transmission of light in low refractive index Penrose tiled photonic quasicrystals, Journal of Physics Condenced Matter, 13(46) 10459-10470(2001)

27) V V Nikolaev, M A Kaliteevski, D Cassagne, J P Albert, С M Sotomayor-Torres, Spontaneous light emission from a spherical microcavity with a quantum dot. Physica Status Solidi, 190(1) 199-203 (2002)

28) M A Kaliteevski, J M Martinez, D Cassagne, J P Albert, Disorder-induced modification of the transmission of light in a two-dimensional photonic crystal, Phys Rev B, 66(11) 113101(2002)

29) M A Kaliteevski. J M Martinet, D Cassagne, J P Albert, Disorder-induced modification of the transmission of light in a two-dimensional photonic crystal with incomplete photonic band gap, Proc of 1CPS, Edinburg (2002)

30) M V Maximov, E M Ramushina V I Skopina. E M Tanklevskaya, V A Solov'ev,

Y M Shernyakov, 1 N Kaiander, M A Kaliteevski, S A Gurevich. N N Ledentsov,

V M Ustinov. Zh 1 Alferov, С M Sotomayor-Torres, D Bimberg, Edge-emitting InGaAs/GaAs lasers with deeply etched semiconductor/air distributed Bragg reflector mirrors, Semiconductor Science and Technology, 17( 11), L69-L71 (2002)

31) M A Kaliteevski, J Man/anarez-Martmez, D Cassagne, J P Albert, Disorder-mduced modification of the attenuation of light in a two-dimensional photonic crystal with complete band gap, Physica Status Solidi A, 195(3) 612-617 (2003)

32) M A Kaliteevski, J M Martinez, D Cassagne, J P Albert, S Brand, R A Abram Appearance of photonic minibands in disordered photonic crystals, Journal of Physics Condenced Matter, 15(6)785-790 (2003)

33) S G Romanov, M A Kaliteevski, С M Sotomayor-Torres, J M Martinez, D Cassagne. J P Albert, A V Kavokin, F Laussy, V V Nikolaev, S Brand, R A Abram, N Gaponik, A Eychmueller, A L Rogach, Stimulated emission due to light localization in the bandgap of disordered opals, Physica Status Solidi C, 1(6) 1522-1530(2004)

34) M A Kaliteevski, S Brand, R A Abram, Directionality of light transmission and reflection in two-dimensional Penrose tiled photonic quasicrystals, Journal of Physics Condenced Matter, 16(8), 1269-1278 (2004)

35) D M Beggs, M A Kaliteevski, S.Brand, R A Abram, Optimization of an optical filter with a square-shaped passband based on coupled microcavities, Journal of Modern Optics, 51(3), 437- 446 (2004)

36) D Beggs, M A.Kaliteevski, S Brand, R A Abram, V V Nikolaev, and A V Kavokin, Interaction of quantum well excitons with evanescent plane electromagnetic waves, Journal of Physics Condenced Matter, 16(20), 3401-3409(2004)

37) M А Калигеевский, В В Николаев, Статистика собственных состояний и пропускание света в одномерных разупорядоченных фотонных кристаллах, ФТТ, 2004,в печати

Список нитрованной литературы

[ 11 ID loannopoulos R D Meade. J N Winn. Photonic crystals molding the flow of light (Princeton University Press. 1995),

[21 К Sakoda. Optical Properties of Photonic Crystals, (Springer, Berlin, 2001) 131 Авт свил СССР № 392875 по заявке № 1677436 с приоритетом от 19 июля 1971 г Аиторы Ж И Алферов, В М Андреев, Р Ф Казаринов, М Н Мизеров, Е Л Портной, Р 11 Сейсян, Р АСурис, ЬИ 1977 №1 с 259

[4) 11 Kogelnick and С V Shank, Coupled wave theory for distributed feedback lasers, JAppl Phys 43(5), 2327-2335 (1972)

15) I M Purcell, Spontaneous emission probabilities at radiofrequency, Phys Rev 69, 681 (1946)

[6] С Weisbouch. M Nishioka. A Ishikava, Y Arakava, Observation of the coupled exciton-photon mode splitting m a semiconductor quantum microcavity, Phys Rev Lett 69, 3314 (1992)

[7|S lohn Strong localization of photons in certain disordered dielectric superlattices, Phys Rev I ett. 58(23), 2486-2489 (1987)

|8J Г Abrahams, P W Anderson, D С Licciardello, and T V Ramakrishnan, Scaling Theory ol I ocali/ation Absence of Quantum Diffusion in Two Dimensions, Phys Rev Lett, 42(10), 673-676(1979)

[9] В Ф I антмахер, )лектроны в неупорядоченных средах (Физматлит, Москва, 2003) [I0J D Shechtman, 1 В lech, D Gratias, and J W Canh, Metallic Phase with Long-Range Orientational Order and No I ranslational Symmetry, Phys Rew Lett, 53(20), 1951-1953 (1984)

[11] R Penrose, The Role of Aesthecs in Pure and Applied Mathematical Research, Bull

Inst Yfath Appl. 10. 266(1974)

[12] "Г lanssen Aperiodic crvstals - a contradictio in terminis, Physics Reports,, 168(2), 55-113(1988)

[13] P [I Сейсян. Патент РФ «Оптический носитель записи и способ считывания информации с оптическою носителя записи» с приоритетом от 20 11 2001 Решение о выдаче патента но заявке №2001131363/28(033461) от 20 05 2002i

[ 14| М Grudmann, J Christein, N N Ledentsov, J Bohrer, D Bimberg, S.S.Ruvimov, P Werner. U Richter, U Gosele, J IIeydenreich, V M Ustinov, A Y Egorov, A E Zhukov, P S Kop'cv. Z1 Alferov, Ultranarrow luminescence lines from single quantum dots, Phys Rev Letters, 74(20) 4043-4046 (1995)

[ 15] С И TltiKdp. Кристспкюптики и добавочные световые вочны, (Наукова лумка, Киев, 1982)

[16] Р W Anderson, Absence of Diffusion in Certain Random Lattices, Phys Rev, 109(5), 1492-1505 (1958)

[17] E P Petrov, V N Bogomolov. 11 Kalosha and S V Gaponenko, Spontaneous Emission of Organic Molecules Embedded in a Photonic Crystal, Phys Rev Lett, 81(1), 77-80 (1998)

[18] G van Soest, F J Poelwijk, R Spirk, and A Lagendijk, Dynamics of a Random Laser above Threshold, Phys Rev Lett, 86(8), 1522-1525 (2001)

[19] H Tosshiaki, N Tsurumachi, S Kawato and H.Nakatsuka, Photonic dispersion relation in a one-dimensional quasicrystal, Phys Rev B, 50(6), 4220-4223 (1994)

ПЛД №69-378 от 09.06.1999.

Ротапринт. Подписано в печать 18.112004 Формат бумаги 60х84'/16

Объем 2,0 уч.-изд. л Бумага офсетная. Тираж 100 Заказ 269

ОАО «НПО ЦКТИ». 191167, Санкт-Петербург, ул. Атаманская, д 3/6

ч

»

i «

» t

У 2 6 6 2 9

РНБ Русский фонд

2006-4 308

Введение

Глава 1. Микрорезонаторы и связанные микрорезонаторы с квантовыми ямами

1.1 Введение

1.2 Фарадеевское вращение плоскости поляризации света в микрорезонаторах.

1.3 Объёмные поляритоны в микрорезонаторах.

1.4 Связанные микрорезонаторы.

1.5 Взаимодействие экситонных и фотонных состояний в связанных микрорезонаторах с квантовыми ямами.

1.6 Взаимодействие экситонов квантовых ямах с экспоненциально затухающей электромагнитной волной.

1.7 Метод матриц переноса для сред с квадратичной нелинейностью

1.8 Применения брэгговской интерференции для зонной инженерии - надбаръерная локализация экситонов

Глава 2. Цилиндрические и сферические микрорезонаторы

2.1 Введение

2.2 Метод матриц переноса для цилиндрических волн. Цилиндрический брэгговский отражатель и микрорезонатор.

2.3 Расчет модовой структуры многослойных оптических волокон на основе матриц переноса матриц переноса для цилиндрических волн

2.4 Взаимодействие одномерных экситонных и фотонных состояний в цилиндрических микрорезонаторах с квантовыми проводами.

2.5 Метод матриц переноса для сферических волн. Сферический брэгговский отраэ/сатель и микрорезонатор.

2.6 Взаимодействие нульмерных экситонных и фотонных состояний в сферических микрорезонаторах с квантовыми точками.

Глава 3. Влияние разупорядочения на свойства фотонных кристаллов

3.1 Введение

3.2 Статистика собственных состояний и оптические свойства одномерных разупорядоченных фотонных кристаллов

3.3 Распространение света в двумерных фотонных кристаллах с полной и неполной фотонной запрещенной зоной.

3.4 Минизоны в спектрах фотонных кристаллов.

3.5 Люминесценция в разупорядоченных фотонных криталлах.

Глава 4. Фотонные квазикристаллы

4.1 Введение

4.2 Оптические свойства и спектр оптических мод решёток Фибоначчи. Метод наклонных зон.

4.3 Двумерные фотонные квазикристаллы. Дифракция света. Появление фотонных запрещенных зон.

Актуальность темы

Всякое оптоэлектронное устройство основано на взаимодействии двух подсистем -электронной и фотонной - и поэтому для принципиального улучшения свойств оптоэлектронных приборов необходимо обеспечить такую модовую и пространственную структуру электромагнитного поля, которая бы обеспечивала взаимодействие света с веществом наиболее эффективным для того или иного прибора образом.

Эта задача может быть решена путем применения фотонных микроструктур (в частности, фотонных кристаллов), построенных из элементов, характерные размеры которых порядка длины волны света. Фотонные микроструктуры могут быть использованы для управления скоростью спонтанной эмиссии фотонов и управления потоком света [1,2].

Фотонные кристаллы (ФК) представляют собой структуры, в которых показатель преломления периодически модулирован в одном, двух или трех направлениях. Брэгговская дифракция блоховских фотонньк состояний на краю зоны Бриллюэна приводит к появлению фотонных запрещенных зон (ФЗЗ) - интервалов частот, в пределах которых свет, распространяющийся в определенных направлениях, экспоненциально затухает. При этом свет, падающий на фотонный кристалл извне, полностью отражается. Энергетическая ширина и размер телесного угла, соответствующий ФЗЗ, определяется глубиной модуляции показателя преломления. В случае, когда ФЗЗ имеет место только для определенных направлений (неполная ФЗЗ, стоп-зона), плотность фотонных мод уменьшается, но остается конечной. В случае полной ФЗЗ, когда распространение света запрещено во всех направлениях, плотность фотонных мод обращается в ноль. Следует отметить, что эмиссия фотона, частота и направление которого соответствует ФЗЗ, невозможна. Таким образом, ФК могут быть использованы для подавления спонтанной эмиссии.

Простейшим, одномерным образцом ФК является брэгговский отражатель -периодическая последовательность пар слоев четвертьволновой толщины. Изменение плотности фотонных мод вследствие периодической модуляции показателя преломления -появление «брэгговской щели» в плотности фотонных состояний - было впервые использовано для создания лазера с распределенной обратной связью [3, 4]. В таких лазерах генерация осуществляется на частотах, близких к краям запрещенной зоны. В лазере с распределенной обратной связью амплитуда модуляции показателя преломления крайне мала и составляет 10"2 - 10"3, соответственно ширина ФЗЗ порядка нескольких мэВ. В брэгговских отражателях, получаемых эпитаксиальными методами либо напылением тонких пленок, контраст показателей преломления может быть достаточно высок, и относительная ширина ФЗЗ может достигать 50%.

Влияние квантования электромагнитного поля радиочастотного диапазона в резонаторе на интенсивность взаимодействия поля с веществом известно достаточно давно [5]. Например, вероятность эмиссии фотонов существенно возрастает, если частота излучения совпадает с частотой резонатора. Это возрастание тем больше, чем больше добротность и меньше объем резонатора. Развитие эпитаксиальных технологий позволило создавать полупроводниковые структуры, в которых могут наблюдаться подобные эффекты - микрорезонаторы. Микрорезонатор (MP) состоит из двух брэгговских отражателей и заключенной между ними центральной полости, толщина которой сопоставима с длиной волны света. Экспериментальное обнаружения расщепления и осцилляций Раби [6] в MP с квантовыми ямами (КЯ) вызвало всплеск интереса к таким структурам и процессам, протекающим в них. Фотонные микроструктуры могут найти много применений в технике. На основе фотонных кристаллов могут быть созданы оптические волноводы, допустимый радиус кривизны которых сопоставим с длиной волны света. Устройства на основе таких волноводов могут быть интегрированы с активными электронно-оптическими элементами и стать основой для создания малогабаритных твердотельных оптических коммутаторов и систем обработки информации.

Для развития теории фотонных микроструктур, позволяющей адекватно описывать результаты экспериментальных исследований и проектировать фотонные микроструктуры с заданными свойствами, было необходимо решить следующие задачи:

1) Проанализировать влияние разупорядочения фотонных кристаллов на их оптические спектры и модовую структуру.

При современном уровне развития технологии создать совершенный ФК для оптического диапазона не представляется возможным - реальные образцы фотонных кристаллов в той или иной степени разупорядочены. В самоорганизованных ФК, таких как опалы, размер шаров, образующих кристаллическую решетку, варьируется. Кроме этого, в опалах имеют место вакансии и дефекты упаковки. ФК, получаемые литографическими методами, не являются идеальными вследствие шероховатости стенок и неоднородности травления по глубине.

Исследование влияния разупорядочения на оптические свойства ФК является важной задачей, как с фундаментальной, так и с прикладной точки зрения. Экспериментально наблюдаемые свойства фотонных кристаллов (например, спектры люминесценции, отражения и пропускания) есть результат одновременного действия многих факторов: дальний порядок, сохраняющийся, несмотря на разупорядочение, ведет к формированию блоховских состояний и ФЗЗ, а разупорядочение ведет к рэлеевскому рассеянию блоховских световых волн и может приводить к локализации света [7]. Необходимо отметить, что попытки использования: скейлинговой теории локализации [8], иногда назвываемой гипотезой [9], а также попытки перенести результаты исследования поведения электронов в разупорядоченных кристаллах на «фотонный» случай не приводят к получению адекватных ответов на вопросы об устойчивости ФЗЗ к беспорядку. Необходимость одновременного учёта перечисленных эффектов, проявляющихся как на микро- так и на макроскопических масштабах, делает построение детальной аналитической теории распространения и локализации света в разупорядоченных ФК достаточно сложной задачей, и в ряде случаев целесообразно пользоваться численными методами.

2) Разработать методы определения зонной структуры фотонных квазикристаллов, исследовать возможность изготовления фотонного квазикристалла с полной фотонной запрещенной зоной

Для подавления спонтанной эмиссии излучения необходимо применение материала с полной ФЗЗ. Добиться ситуации, при которой фотонные запрещенные зоны для разных поляризаций света перекрываются для всех направлений в фотонном кристалле, достаточно сложно. Геометрические параметры системы и контраст показателя преломления, необходимые для образования полной ФЗЗ, технологически трудно достижимы. Максимальная степень вращательной симметрии кристалла равна шести и свойства кристалла вдоль физически неэквивалентных направлений могут существенно различаться. Вместе с тем, в квазикристаллах - непериодических системах, обладающих дальним порядком, степень вращательной симметрии может быть больше шести: восемь, десять и т.д. [10-12]. Исследование возможности создания материала, обладающего полной ФЗЗ, на основе фотонного квазикристалла являлось важной задачей, имеющей практическое значение, и требовало создания соответствующего расчетно-теоретического аппарата.

3) Разработать теорию взаимодействия экситонных и фотонных состояний в связанных микрорезонаторах. Теоретически исследовать влияние магнитного поля на оптические свойства микрорезонаторов. Разработать теоретические методики, позволяющие количественно анализировать результаты экспериментальных исследований микрорезонаторов с квантовыми ямами. Теоретически исследовать размерное квантование объемных экситонов микрорезонаторе.

Микрорезонатор может рассматриваться как резонатор Фабри-Перо с очень короткой базой или как изолированный дефект в ФК. Светоизлучающие оптоэлектронные приборы на основе микрорезонаторов - вертикально-излучающие лазеры и резонансные светодиоды -обладают рядом преимуществ по сравнению выполненными в традиционной, полосковой геометрии, например, симметричной диаграммой направленности и меньшей расходимостью излучения. К моменту начала данной работы теория взаимодействия экситонных и фотонных состояний в микрорезонаторах с квантовыми ямами была в целом построена, однако ряд проблем требовал дополнительного изучения.

Эффект расщепления мод в связанных микрорезонаторах может быть использован для создания твердотельных источников излучения в терагерцовом диапазоне, а эффект усиления фарадеевского вращения - для создания эффективных магнитооптических устройств [13]. Взаимодействие макроскопически разнесенных экситонных состояний в связанных микрорезонаторах с квантовыми ямами позволяет рассматривать такую систему как базовый элемент квантового компьютера, а стимулированное рассеяние поляритонов в микрорезонаторах позволило сформулировать концепцию т.н. поляритонного лазера.

4) Разработать теорию взаимодействия экситонных и фотонных состояний в цилиндрических и сферических микрорезонаторах.

Бурное развие оптоэлектроники в последние десятилетия было в значительной степени обусловлено использованием низкоразмерных гетероструктур, таких как квантовые ямы (КЯ), толщина которых сравнима с длиной волны Де-Бройля электрона и составляет единицы-десятки нанометров. Использование КЯ позволило создать инжекционные полупроводниковые лазеры, модуляторы излучения и другие оптоэлектронные компоненты, которые стали основой волоконно оптических линий связи, систем обработки информации и многих других технических устройств. В настоящее время достигнут существенный прогресс в технологии квантовых точек, где реализуется предельный случай размерного квантования носителей заряда, энергетический спектр которых становится дискретным [14].

В планарных микрорезонаторах свет локализован лишь в одном направлении. Дальнейшее снижение размерности локализованных фотонных состояний может быть достигнуто в цилиндрических и сферических микрорезонаторах и может привести к существенному изменению характера взаимодействия света с веществом. Например, на основе структур, в которых реализуется нуль-мерное фотонное состояние и имеет место полная ФЗЗ, возможно создание беспорогового лазера.

Таким образом, основная цель работы - построение теории локализации и распространения света в фотонных микроструктурах разных типов и взаимодействия локализованных фотонных состояний с различными объектами, в том числе и низкоразмерными, - является безусловно актуальной.

Объектами исследования в работе являются: планарные микрорезонаторы с квантовыми ямами, связанные микрорезонаторы, цилиндрические и сферические микрорезонаторы, фотонные кристаллы и квазикристаллы.

Научная новизна

Теоретически предсказаны и экспериментально обнаружены эффекты усиления фарадеевского вращения плоскости поляризации света в микрорезонаторах, взаимодействия макроскопически разделенных экситонных состояний в связанных микрорезонаторах с квантовыми ямами. Построена теория взаимодействия низкоразмерных экситонных и фотонных состояний в цилиндрических микрорезонаторах с квантовыми проводами и сферических микрорезонаторах с квантовыми точками. Получены уравнения и приближённые аналитические выражения для частот собственных мод цилиндрических и сферических микрорезонаторов. Детально исследован спектр собственных оптических мод в разупорядоченных ФК, сформулирован критерий устойчивости ФЗЗ к беспорядку. Проанализировано влияние разупорядочения на оптические свойства фотонных кристаллов с полной и неполной ФЗЗ. Исследованы зонная структура, дифракция и распространение света в фотонных квазикристаллах.

Научная и практическая значимость.

Рассмотрены базовые элементы фотонных микроструктур (планарные одиночные и связанные ми'крорезонаторы, цилиндрические и сферические микрорезонаторы, фотонные кристаллы и квазикристаллы) в которых спектр оптических мод и пространственная структура электромагнитного поля принципиально изменены по сравнению со случаем свободных (трёхмерных) фотонов.

Детальный анализ влияния разупорядочения на свойства фотонных кристаллов позволяет сформулировать требования к качеству фотонных микроструктур, предназначенных для создания оптоэлектронных приборов.

Результаты анализа влияния параметров фотонных микроструктур на на спектр их собственных оптических мод представляют собой непосредственные рекомендации для практической реализации лазеров на основе цилиндрических и сферических микрорезонаторов.

Эффекты резонансного усиления фарадеевского вращения и взаимодействия макроскопически разделённых экситонных состояний, предсказанные и обнаруженные при исследовании микрорезонаторов и связанных микрорезонаторов с квантовыми ямами могут служить основой для создания нового поколения полупроводниковых приборов, предназначенных для обработки информации.

Основные положения, выносимые на защиту

1) В одномерных и двумерных фотонных кристаллах существует пороговое значение параметра, характеризующего беспорядок, и при увеличении параметра беспорядка от нуля до порогового значения ширина ФЗЗ уменьшается, но остаётся большей нуля, а длина затухания света на частотах, соответсвующих ФЗЗ, практически не меняется. При увеличении параметра беспорядка выше порогового значения ФЗЗ заполняется локализованными состояниями, а длина затухания света начинает увеличиваться. Для одномерных фотонных кристаллов пороговое значение относительной флуктуации оптических длин периодов структуры соответсвует квадратному корню из одной трети относительной ширины ФЗЗ.

2) При прохождении света с частотой, соответствующей ФЗЗ, через двумерный фотонный кристалл с полной изотропной ФЗЗ, при значениях параметра беспорядка, меньших чем пороговое, интенсивность прямо прошедшего света превышает интенсивность рассеянного света. Вблизи порогового значения параметра беспорядка интенсивности прямо прошедшего и рассеянного света сравниваются, и при дальнейшем увеличении параметра беспорядка интенсивность рассеянного света растёт быстрее интенсивности прямо прошедшего света.

3) В двумерных фотонных кристаллах с неполной ФЗЗ интенсивность рассеянного света превосходит интенсивность прямо прошедшего света даже при малом беспорядке. При этом минимум в спектре пропускания может быть смещён относительно центра ФЗЗ.

4) Эффект полного внутреннего отражения не имеет места при отражении цилиндрической (сферической) волны от цилиндрической (сферической) границы раздела сред: при уменьшении радиуса границы коэффициент отражения асимптотически приближается к единице, оставаясь меньше её. Поэтому, оптические собственные моды цилиндра и сферы обладают конечными временами жизни. В сферических брэгговских микрорезонаторах возможна реализация дискретного спектра собственных оптических состояний, причём частотный интервал между состояниями и их времена жизни достаточно велики.

5) В фотонных квазикристаллах формируются аналоги оптических блоховских мод. Двумерные фотонные квазикристаллы могут обладать полной ФЗЗ даже при малом контрасте показателей преломления.

Апробация работы

Результаты, вошедшие в диссертационную работу, докладывались и обсуждались на: Международных симпозиумах «Наноструктуры: Физика и Технология» (Санкт-Петербург, 1995,1997, 2000, 2001, 2003); 14 Конференции по квантовой электронике (Манчестер, Великобритания, 1999); Конференциях по физике твердого тела и материалов (Манчестер, Великобритания, 1999; Бристоль, Великобритания, 2000); 5 Международной конференции оптика экситонов в низкоразмерных системах (Геттинген, Германия, 1997); 8 Международной конференции по полупроводникам на основе соединений П-VI группы (Гренобль, Франция, 1997); 8 Международной конференции по модулированным полупроводниковым структурам, (Санта-Барбара, США, 1997); 23 Международном симпозиуме по полупроводниковым соединениям (Санкт-Петербург, 1996); конференциях «Физика взаимодействие света с веществом в наноструктурах» (Сен-Нектэр, Франция, 2000; Рим, Италия, 2001; Реминтон, Греция, 2002; Ачериале, Италия, 2003; Санкт-Петербург, 2004); 15 и 18 Конференциях отделения физики твердого тела европейского физического общества (Бавено-Стреза, Италия, 1996; Монтрё, Швейцария, 2000;) 23 и 25 Международных конференциях по физике полупроводников (Берлин, Германия, 1998; Эдинбург, Великобритания, 2002). Основное содержание работы опубликовано в 37 научных статьях.

Основные результаты и выводы:

1) В одномерных и двумерных фотонных кристаллах существует максимально допустимый уровень разупорядочения, до превышения которого плотность состояний в запрещенной зоне остается исчезающе малой. В одномерном случае вероятность появления собственной оптической моды в любом месте ФЗЗ становится отличной от нуля, когда относительная флуктуация оптической длины периода становится примерно равной корню квадратному из одной трети относительной ширины ФЗЗ. Данное обстоятельство проявляется как пороговая зависимость длины затухания от величины параметра, характеризующего беспорядок.

2) В разупорядоченных фотонных кристаллах с анизотропной ФЗЗ распространение света с частотами, соответствующими ФЗЗ для определенного направления, определяется процессами рассеяния затухающих блоховских волн. При этом максимальное увеличение коэффициента пропускания света вследствие разупорядочения имеет место для частот, для которых максимальна кривизна зависимости границы запрещенной зоны от направления. Это может приводить к ассиметричной форме спектрального провала, соответствующего ФЗЗ, и несоответствию наблюдаемого минимума в спектре пропускания центру ФЗЗ для определенного направления.

3) В случае полной ФЗЗ, интенсивность прямо прошедшего и рассеянного света экспоненциально падает при увеличении толщины структуры, как при наличии, так и при отсутствии разупорядочения, а разупорядочение приводит к увеличению длины затухания. В случае неполной ФЗЗ, интенсивность прямо прошедшего света экспоненциально падает при увеличении толщины идеальной структуры, а разупорядочение молсет приводить к более медленному затуханию интесивности прошедшего света, чем экспоненциальное.

4) Наличие изолированных одинаковых дефектов в фотонных кристаллах молсет приводить к образованию фотонных минизон, положение которых определяется частотами локализованных состояний, а ширина - концентрацией дефектов.

5) Наблюдаемое увеличение скорости роста интенсивности люминесценции как функции накачки в области частот, соответсвующей ФЗЗ, подтверждает, что в разупорядоченных фотонных кристаллах имеет место локализация света, радиационное время леизни для люминесценции через локализованные состояния падает, и возможно появление стимулированного излучения и лазерной генерации

6) Существует критический размер оптической решетки Фибоначчи, необходимый для формирования ФЗЗ. Для расчета зонной структуры квазикристаллических систем разработан «метод наклонных зон», основанный на представлении пространсвенного распределения диэлектрической проницаемости и поля собственной моды в виде ряда Фурье с набором обратных векторов, соответствующих доминирующим пикам на дифракционной картине квазикристаллической системы и анализе участков дисперсионной зависимости, примыкающих к продолжению низкочастотной асимптотики дисперсионной зависимости. б) В фотонных квазикристаллах формируются аналоги блоховских состояний. В двумерных фотонных квазикристаллах возможно формирование полной ФЗЗ для обеих поляризаций света. Если частота света лежит вне ФЗЗ, то свет распространяется по квазикристаллу без ослабления. Положение и ширина ФЗЗ в квазикристаллах может оценена методом «наклонных зон». Затухание света с частотой, соответствующей запрещенной зоне, в фотонном квазикристалле как правило слабее, чем фотонном кристалле, построенном периодическим упорядочением аналогичных элементов. Это объясняется меньшей величиной Фурье-коэффициентов в разложении пространственного распределения диэлектрической проницаемости при квазикристаллическом упорядочении. Вместе с тем, вследствие более высокой степени вращательной симметрии перекрытие фотонных запрещенных зон для разных направлений достигается легче, чем для фотонных кристаллов.

8) Различие положений фотонных запрещенных зон для разных поляризаций света в двумерных фотонных квазикристаллах значительно меньше, чем для фотонных кристаллов. Это объясняется меньшим различием пространственной структуры «блоховских» мод для разных поляризаций в случае квазикристалла, меньшим отклонением от формы плоской волны, что объясняется отсутствием периодичности в структуре квазикристалла.

9) Фарадеевское вращение плоскости поляризации света в микрорезонаторах может быть на порядки усилено вследствие многократного отражения света. При этом возможно изменение типа поляризации отраженного и прошедшего света. Измерение фарадеевского вращения в микрорезонаторах с квантовыми ямами позволяет прецизионно измерять параметры экситонных переходов.

10) В связанных микрорезонаторах с квантовыми ямами локализованные оптические моды могут обеспечивать взаимодействие пространственно разделенных экситонов (на расстоянии, многократно превышающем размер волновой функции).

11) Эффект полного внутреннего отражения не имеет места при падении цилиндрических (сферических) волн на цилиндрическую (сферическую) границу раздела сред: при уменьшении радиуса границы коэффициент отражения асимптотически приближается к единице, оставаясь меньше её. Эффект Брюстера для цилиндрических (сферических) волн имеет место, однако выражен тем слабее, чем меньше угловой момент цилиндрической (сферической) волны: коэффициент отражения для ТМ-поляризации имеет минимум при определенном соотношении радиуса границы, углового момента и частоты света, однако не достигает нуля.

12) В сферических брэгговских микрорезонаторах возможно достижение дискретного спектра собственных оптических мод, причём частотный интервал между модами может быть достаточно велик. В сферических микрорезонаторах активная область, помещенная в центральную часть резонатора, может взаимодействовать только с одной ТМ-оптической модой, характеризуемой полным моментом, равным единице

Благодарности

В заключение считаю своим приятным долгом поблагодарить за дружескую поддержку и помощь своих коллег, сотрудников лаборатории квантоворазмерных гетероструктур Физико-технического института им. А.Ф.Иоффе, других лабораторий Центра Физики наногетероструктур, чьи исследования внесли значительный вклад в эту работу. Выражаю искреннюю признательность д.ф.-м.н. профессору П.С. Копьеву за постоянно ощутимый интерес к работе и неоценимую помощь. Я особенно благодарен профессору E.JI. Ивченко, профессору Р.П. Сейсяну, профессору А.В. Кавокину, профессору Е.Л. Портному, профессору В.М. Устинову, профессору А.Е. Жукову, к.ф.-м.н. В.П. Евтихиеву, к.ф.-м.н. Ю.А. Власову, к.ф.-м.н. В.Н. Астратову, В.В. Николаеву и многим другим сотрудникам ФТИ.

Список публикаций, включенных в диссертацию

1) M.R.Vladimirova, A.V.Kavokine, М.А. Kaliteevski, Dispersion of bulk exciton polaritons in a semiconductor microcavity, Phys.Rev. B, 54(20), 14566-14571 (1996)

2) E.K. Lindmark , T.R.Nelson , H.M.Gibbs , G.Khitrova, A.V. Kavokine and M.A.Kaliteevski, Three coupled oscillator: semiconductor microcavity with two different quantum wells, Optics Letters, 21(13), 994-996 (1996)

3) J.D. Berger, O.Lynges, H.M.Gibbs, G.Khitrova, T.R.Nelson, E.K.Lindmark, A.V.Kavokine, M.A. Kaliteevski, V.V.Zapasskii, Magnetic-field enhansment of the exciton-polariton splitting in a semiconductor quantum-well microcavity: The strong coupling threshold, Phys.Rev. B, 54(3), 1975- 1981 (1996)

4) A.V.Kavokin, M.A.Kaliteevski, S.V.Goupalov, J.D.Berger, O.Lynges, H.M.Gibbs, G.Khitrova, A.Ribarol, P.Lefebvre, D.Coquillat, J.P.Lascaray, Quantum wells with zero valence band offset: Drastic enhancement of forbidden excitonic transitions, Phys.Rev. B, 54(16), 11078-11081 (1996)

5) М.А.Калитеевский, А.В.Кавокин, П.С.Копьев, Фарадеевское вращение света в микрорезонаторах, ФТП, 31(7), 880-884 (1997)

6) A.V.Kavokin, M.A.Kaliteevski, M.R.Vladimirova, J.D.Berger, O.Lynges, H.M.Gibbs, G.Khitrova, Resonant Faraday rotation in quantum microcavity, Phys.Rev. В, 56(3), 1087-1090 (1997)

7) D Baxter, M.S. Skolnick, A. Armitage, V.N. Astratov, D.M. Whittaker, T.A. Fisher, J.S. Roberts, D.J. Mowbray, M.A. Kaliteevski, Polarization-dependent phenomena in the reflectivity spectra of semiconductor quantum microcavities, Phys.Rev. B, 56(16), 10032-10035 (1997)

8) М.А.Калитеевский, Е.Л.Портной, Г.С.Соколовский, Фазовые эффекты в полупроводниковом лазере с дифракционным выводом излучения, Письма в ЖТФ, 23(18) 711 (1997)

9) М.А. Калитеевский, Оптические свойства системы двух связанных вертикальных микрорезонаторов, ЖТФ, 68(5) 94-97 (1998)

10) A. Armitage, M.S. Skolnick, V.N. Astratov, D.M. Whittaker, G. Panzarini, L.C. Andreani, T.A. Fisher, J.S. Roberts, A.V. Kavokin, M.A. Kaliteevski, M.R. Vladimirova, Optically induced splitting of bright excitonic states in coupled quantum microcavities, Phys. Rev. B, 57(23), 1487714881 (1998)

11) G.Panzarini, L.C. Andreani, A. Armitage, D. Baxter, M.S. Skolnick, V.N. Astratov, J.S. Roberts, A.V. Kavoldn, M.R. Vladimirova, M.A. Kaliteevski, Exciton-light coupling in single and coupled semiconductor microcavities: Polariton dispersion and polarization splitting, Phys.Rev. B, 59(7), 5082-5089, (1999)

12) M.A. Kaliteevski, R.A. Abram, V.V. Nikolaev, G.S. Sokolovski, Bragg reflectors for cylindrical waves, Journal of Modern Optics, 46(5), 875-890 (1999)

13) Yu. A.Vlasov, M.A. Kaliteevski, V.V. Nikolaev, Different regimes of light localization in a disordered photonic crystal, Phys.Rev. B, 60(3) 1555-1562 (1999)

14) С.В.Федоров, М.А.Калитеевский, Н.В.Луковская, В.В.Николаев, Метод матриц переноса для сред с квадратичной оптической нелинейностью, ЖТФ, 69(4) 116-117 (1999)

15) М.Р. Владимирова, А.В. Кавокин, М.А. Калитеевский, С.И. Кохановский, М.Э.Сасин, Р.П.Сейсян, Надбарьерные экситоны: первое магнитооптическое исследование, Письма в ЖЭТФ, 69(10) 727-732 (1999)

16) M.A. Kaliteevski, R.A. Abram, V.V. Nikolaev, Optical eigenmodes of a cylindrical microcavity, Journal of Modern Optics, 47(4), 677-684 (2000)

17) M.A. Kaliteevski, S. Brand, R.A. Abram, V.V. Nikolaev, M.V. Maximov, N.N. Ledentsov, C. M. Sotomayor-Torres, A.V. Kavokin, Exciton polaritons in a cylindrical microcavity with an embedded quantum wire, Phys.Rev. B, 61(20), 13791-13797 (2000)

18) M.A. Калитеевский, В.В. Николаев, R.A. Abram, Расчет модовой структуры многослойных оптических волокон методом матриц переноса для цилиндрических волн, Оптика и спектроскопия, 88(5), 871-974 (2000)

19) M.A. Kaliteevski, S. Brand, R.A. Abram, T.F. Krauss, R. De La Rue, P.Millar, Two-dimensional Penrose-tiled photonic quasicrystals: diffraction of light and fractal density of modes, Journal of Modern Optics, 47(11), 1769-1776 (2000)

20) M.A. Kaliteevski, S. Brand, R.A. Abram, T.F. Krauss, R. De La Rue, P.Millar, Two-dimensional Penrose-tiled photonic quasicrystals: is there a pure photonic band gap?, Nanotechnology, 11(4) 274-280 (2000)

21) М.А.Калитеевский, В.В.Николаев, Аналоги эффекта Брюстера и полного внутреннего отражения для цилиндрических волн, ЖТФ, 70(7), 52-56 (2000)

22) М.А. Kaliteevski, S.Brand, R.A. Abram, V.V. Nikolaev, Optical eigen mode of a multilayered spherical microcavity, Journal of Modern Optics, 48(9), 1503-1516 (2001)

23) M.A. Kaliteevski, S. Brand, R.A. Abram, V.V. Nikolaev, M.V. Maximov, С. M. Sotomayor-Torres, A.V. Kavokin, Electromagnetic theory of the coupling of zero-dimensional exciton and photon states: A quantum dot in a spherical microcavity, Physical Review B, 64(11) 115305 (2001)

24) M.A. Kaliteevski, S. Brand, R.A. Abram, T.F. Krauss, R. De La Rue, P.Millar, The design of two-dimensional photonic quasicrystals by means of the Fourier transform method, Journal of Modern Optics, 48(1) 9-14 (2001)

25) M.A. Калитеевский, B.B. Николаев, R.A. Abram ,S. Brand, Зонная структура оптических решеток Фибоначчи как следствие дифракции света от них, Оптика и спектроскопия, 91(1) 120-129 (2001)

26) M.A. Kaliteevski, S. Brand, R.A. Abram, T.F. Krauss, R. De La Rue, P.Millar, Diffraction and transmission of light in low refractive index Penrose tiled photonic quasicrystals, Journal of Physics :Condenced Matter, 13(46) 10459-10470 (2001)

27) V. V. Nikolaev, M. A. Kaliteevski, D. Cassagne, J.P. Albert, C.M. So to mayor-Torres, Spontaneous light emission from a spherical microcavity with a quantum dot, Physica Status Solidi, 190(1) 199-203 (2002)

28)M.A. Kaliteevski, J.M. Martinez, D. Cassagne, J.P. Albert, Disorder-induced modification of the transmission of light in a two-dimensional photonic crystal, Phys.Rev. B, 66(11) 113101 (2002)

29)M.A. Kaliteevski, J.M. Martinez, D. Cassagne, J.P. Albert, Disorder-induced modification of the transmission of light in a two-dimensional photonic crystal with incomplete photonic band gap, Proc. of ICPS, Edinburg (2002)

30) M.V. Maximov, E.M. Ramushina, V.I. Skopina, E.M. Tanklevskaya, V.A. Solov'ev, Y.M. Shernyakov, I.N. Kaiander, M.A. Kaliteevski, S.A. Gurevich, N.N. Ledentsov, V.M. Ustinov, Zh. I. Alferov, C.M. Sotomayor Torres, D. Bimberg, Edge-emitting InGaAs/GaAs lasers with deeply etched semiconductor/air distributed Bragg reflector mirrors, Semiconductor Science and Technology, 17(11), L69-L71 (2002)

31) M.A. Kaliteevski, J. Manzanarez Martinez, D. Cassagne, J.P. Albert, Disorder-induced modification of the attenuation of light in a two-dimensional photonic crystal with complete band gap, Physica Status Solidi A, 195(3) 612-617 (2003)

32) MA Kaliteevski, JM Martinez, Cassagne D, J.P. Albert, S. Brand, R.A. Abram Appearance of photonic minibands in disordered photonic crystals, Journal of Physics: Condenced Matter, 15(6) 785-790 (2003)

33) S.G.Romanov, Kaliteevski MA, C.M. Sotomayor Torres, JM Martinez, Cassagne D, Albert JGP, A.V. Kavokin, F.Laussy, V.V. Nikolaev, Brand S, Abram RA, N. Gaponik, A. Eychmueller, A. LRogach, Stimulated emission due to light localization in the bandgap of disordered opals, Physica Status Solidi C, 1(6) 1522-1530 (2004)

34) M.A. Kaliteevski, S. Brand, R.A. Abram, Directionality of light transmission and reflection in two-dimensional Penrose tiled photonic quasicrystals, Journal of Physics:Condenced Matter, 16(8), 1269 -1278 (2004)

35) D. M. Beggs, M. A. Kaliteevski, S. Brand, R. A. Abram, Optimization of an optical filter with a square-shaped passband based on coupled microcavities, Journal of Modern Optics, 51(3), 437-446(2004)

36) D.Beggs, M.A. Kaliteevski, S.Brand, R.A. Abram, V.V. Nikolaev, and A.V. Kavokin, Interaction of quantum well excitons with evanescent plane electromagnetic waves, Journal of Physics:Condenced Matter, 16(20), 3401-3409 (2004)

37) M.A. Калитеевский, B.B. Николаев, Статистика собственных состояний и пропускание света в одномерных разупорядоченных фотонных кристаллах, ФТТ, 2004, в печати.

Заключение

1. J. D. Joannopoulos, R.D. Meade, J. N. Winn, Photonic crystals: molding the flow of light (Princeton University Press, 1995);

2. K. Sakoda, Optical Properties of Photonic Crystals, (Springer, Berlin, 2001)

3. Авт. свид. СССР № 392875 по заявке № 1677436 с приоритетом от 19 июля 1971 г. Авторы Ж.И. Алферов, В.М. Андреев, Р.Ф. Казаринов, М.Н Мизеров, E.JI. Портной, Р.П. Сейсян, Р.А. Сурис, БИ. 1977 №1 с.259

4. H.Kogelnick and C.V. Shank, Coupled wave theory for distributed feedback lasers, J.Appl.Phys. 43(5), 2327-2335 (1972)

5. E.M. Purcell, Spontaneous emission probabilities at radiofrequency, Phys.Rev. 69, 681 (1946)

6. C. Weisbouch, M.Nishioka, A.Ishikava, Y.Arakava, Observation of the coupled exciton-photon mode splitting in a semiconductor quantum microcavity, Phys.Rev. Lett. 69, 3314 (1992)

7. S. John, Strong localization of photons in certain disordered dielectric superlattices, Phys. Rev. Lett., 58(23), 2486-2489 (1987)

8. E. Abrahams, P. W. Anderson, D. C. Licciardello, and Т. V. Ramakrishnan, Scaling Theory of Localization: Absence of Quantum Diffusion in Two Dimensions, Phys. Rev. Lett., 42(10), 673676 (1979)

9. В.Ф. Гантмахер, Электроны в неупорядоченных средах (Физматлит, Москва, 2003)

10. D. Shechtman, I. Blech, D. Gratias, and J.W.Canh, Metallic Phase with Long-Range Orientational Order and No Translational Symmetry, Phys. Rew. Lett., 53(20), 1951-1953 (1984)

11. R. Penrose, The Role of Aesthecs in Pure and Applied Mathematical Research, Bull. Inst. Math. Appl, 10, 266 (1974)

12. T. Janssen, Aperiodic crystals a contradictio in terminis, Physics Reports, 168(2), 55-113 (1988)

13. Р.П.Сейсян, Патент РФ «Оптический носитель записи и способ считывания информации с оптического носителя записи» с приоритетом от 20.11.2001. Решение о выдаче патента по заявке №2001131363/28(033461) от 20.05.2002г

14. С.И. Пекар, Кристаллооптика и добавочные световые волны (Наукова думка, Киев, 1982)

15. P.W. Anderson, Absence of Diffusion in Certain Random Lattices, Phys.Rev., 109(5),1492-1505 (1958)

16. E. P. Petrov, V. N. Bogomolov, 1.1. Kalosha and S. V. Gaponenko, Spontaneous Emission of Organic Molecules Embedded in a Photonic Crystal, Phys. Rev. Lett., 81(1), 77-80 (1998)

17. G. van Soest, F. J. Poelwijk, R. Spirk, and A. Lagendijk, Dynamics of a Random Laser above Threshold, Phys. Rev. Lett., 86(8), 1522-1525 (2001)

18. Tosshiaki Hattori, Noriaki Tsurumachi, Sakae Kawato and Hiroki Nakatsuka, Photonic dispersion relation in a one-dimensional quasicrystal, Phys. Rev. B, 50(6), 4220-4223 (1994)

19. M. Борн, Е.Вольф, Основы оптики (М., Наука, 1970)

20. Н.И. Калитеевский, Волновая оптика (М., Наука, 1971)]

21. Л.Д. Ландау, Е.М. Лившиц, Электродинамика сплошных сред (М, Физматгиз, 1957)

22. J. Frenkel, On the transformation of light into heat in solids, Phys. Rev., 37,1: 17-50, П: 12671294 (1931)

23. G. H. Wannier, The Structure of Electronic Excitation Levels in Insulating Crystals, Phys. Rev. 52,191-197 (1937)

24. N. F. Mott, Trans. Faraday Society, 34, 500 (1938).

25. Е.Ф. Гросс и H.A. Каррыев, Поглощение света кристаллом закиси меди в инфракрасной и видимой части спектра, Доклады АН СССР 84(2), 261-264 (1952)

26. Е.Ф. Гросс, Б.П. Захарченя и Н.М. Рейнов, Экситоны в кристалле закиси меди при температуре жидкого азота, Доклады АН СССР 92(2) 265-269 (1953)

27. В.М. Агранович, В.Л. Гинзбург, Кристаллооптика с учётом пространственной дисперсии и теория экситонов, (Москва, Наука, 1979)

28. J. J. Hopfield, Theory of the Contribution of Excitons to the Complex Dielectric Constant of Crystals, Phys. Rev. 112(5), 1555-1567 (1958)

29. E.L. Ivchenko, Spatial Dispersion Effects in Exciton Resonance Region, in Excitons, ed. by E.I. Rashba and M.D.Sturge, (Elsevier, North Holland, 1982)

30. M.A. Калитеевский, И.Н. Уральцев, Д.Р. Яковлев, Е.Л. Ивчешсо, В.П. Кочерешко, П.С. Копьёв, Отражение в экситонной области спектра от структуры с одиночной квантовой ямой. Наклонное и нормальное падение света, ФТП, 22(5) 485-489 (1988)

31. E.L. Ivchenko and G.E. Pikus, Superlattices and other heterostructures: symmetry and optical properties (Springer, Berlin, 1995)

32. Y.Chen, A. Tredicucci, F. Bassani, Bulk exciton-polaritons in GaAs microcavities, Phys. Rev. B, 52(3) 1800-1805 (1995)

33. L.C.Andreani, F. Tassone, F. Bassani, Radiative lifetime of free exciton in quantum wells, Solid State Communications, 77(9) 641-645 (1991)

34. E.JI. Ивченко, Экситонные поляритоны в периодических структурах с квантовыми ямами, ФТТ, 33(8), 2388-2393 (1991)

35. E.JI. Ивченко, А.В. Кавокин, Отражение света от структур с квантовыми ямами, квантовыми проводами и квантовыми точками, ФТТ, 34(12) 1815-1821 (1992)

36. U. Oesterly, R.P. Stanley, R. Houdre, M. Gailhanou, M. Ilegems, Molecular-beam epitaxy growth of an ultrahigh finesse microcavity, Journal of Crystal Growth, 150 (1-4) 1313-1317 (1995)

37. N.E.J Hunt, E.F. Schubert, R.A. Logan, G.J. Zydzik, Enhanced spectral power density and reduced linewidth at 1.3 micron in an InGaAsquantum well resonant cavity light emitting diode, Appl. Phys. Lett., 61(19) 2287-2289 (1992)

38. A.M. Vredenberg, N.E.J Hunt, E.F. Schubert, D.C. Jacobson, J.M. Poate, G.J. Zydzik, Controlled atomic spontaneous emission from Er3+ in a transparent Si/Si02 microcavity, Phys. Rev. Lett., 71(4) 517-530 (1993)

39. Vertical Cavity -Surface Emitting Lasers, ed. by C. Wilmsen, H. Temkin, and L.A.Coldren, (Cambridge University Press, 1999)

40. J.A. Lott, Design of vertical cavity lasers with intracavity photodetectors, Electronic Letters, 33 (11) 955-957 (1997)

41. A.J. Fischer, K.D. Choquette, W.W. Chow, A.A. Allerman, D.K. Serkland, K.M. Geib, High single-mode power observed from a coupled-resonator vertical-cavity laser diode, Appl. Phys. Lett., 79(25) 4079-4081 (2001)

42. M. Brunner, K. Gulden, R. Hovel, V. Moser, J.F. Carlin, R.P. Stanley, M. Ilegems, Continuous-wave dual-wavelength lasing in a two-section vertical-cavity laser, IEEE Photonics Technology Letters, 12(10) 1316-1318 (2000)

43. D.L. Huffaker, Т.Н. Oh, D.G. Deppe, Tunnel injection active region in an oxide-confined vertical-cavity surface-emitting laser, IEEE Photonics Technology Letters, 9(6) 716-718 (1997)

44. A.V. Kavokin, M.A. Kaliteevski, and M.R. Vladimirova, Coupling between one-dimensional excitons and two-dimensional photons: Quantum wires in a microcavity, Phys. Rev. В 54, 14901493 (1996)

45. A. Tredicucci, Y. Chen, V. Pellegrini, M. Borger, L. Sorba, F. Beltram, and F. Bassani, Controlled exciton-photon interaction in semiconductor bulk microcavities, Phys. Rev. Lett. 75 (21) 3906-3909 (1995)

46. M. Bayer, A. Kuther, V.D Kulakovskii, A.Forchel, P.A.Knipp, T.L. Reinecke, Control of light polarization in structured cavities by a magnetic field, Phys.Rev. В., 64, 201307 (2001)

47. Y.Yamamoto. F.Tassone, H.Cao, Semiconductor Cavity Quantum Electrodynamics (Springer, Berlin 2000)

48. V. Savona, L.C. Andreani, P. Schwendimann, and A. Quattropani, Quantum well excitons in semiconductor microcavities: Unified treatment of weak and strong coupling regimes, Solid State Commun. 93(9) 733-739 (1995)

49. A.V. Kavokin and M.A. Kaliteevski, Excitonic light reflection and absorption in semiconductor microcavities at oblique incidence, Solid State Commun. 95(12) 859-862 (1995)

50. E.L. Ivchenko, M.A. Kaliteevski, A.V. Kavokin, A.I. Nesvizhskii, Reflection and absorption spectra from microcavities with resonant Bragg quantum wells, Journal of the Optical Society of America B, 13(5) 1061-1068 (1996)

51. J.S. Seeley , Resolving Power of Multilayer Filters, Journal of the Optical Society of America. 54(3) 342-346 (1964)

52. E. Rosencher, B. Vinter, V. Berger, 2nd harmonic generation in non birefringent semiconductor optical microcavities, Journal ofAppl. Phys., 78(10) 6042-6045 (1995)

53. G. D. Gusev, I.V. Soboleva, M.G. Martemyanov, T.V. Dolgova, A.A. Fedyanin, O.A. Aksipetrov, Enhanced second-harmonic generation in coupled microcavities based on all-silicon photonic crystals, Phys.Rev. В., 68, 233303 (2003)

54. E. Burstein and C. Weisbush, ed., Confined Electron and Photon, New Physics and Applications, NATO ASI Series 340, Plenum, New York, 1995],

55. C. Weisbuch and J.Rarity, Microcavities and Photonic Bandgaps: Physics and Applications, NATO Advanced study Institute, 324 (Dordrecht, Kluver, 1996)

56. A.Kavokin and G. Malpeuch, Cavity polariton (Elsevier, Amsterdam, 2003)

57. G. Mie, Annalen derPhysik, 25, 377 (1908)

58. D. S. Jones, The theory of electromagnetism (Pergamon Press, New York, 1964)

59. M. Kerker, E. Maticevic, Scattering of electromagnetic waves from concentric infinit cylinders, Journal of the Optical Society of America, 51(5) 506-511 (1961)

60. E.W. Montroll, R.W. Hart, Scattering of Plane Waves by soft obstacles. 2. Scattering by Cylinders, spheroids and disks, Journal of. Appl. Phys., 22(10) 1278-1289 (1951)

61. P. A. Belanger, Packetlike solution of the homogeneous wave equation, Journal of the Optical Society of America A, 1 (7) 723-724 (1984)

62. J. Durnin, Jr. Miceli, and J. H. Eberly, Diffraction-free beams, Phys. Rev. Lett., 58(15) 14991501 (1987)

63. S.L. McCall, A.F.J. Levi, R.E. Slusher, S.J. Pearton, and R.A. Logan, Whispering-gallery mode microdisk laser, Appl. Phys. Lett., 60(3) 289-291 (1992)

64. L. Djaloshinski, M. Orenstein, Disk and ring microcavity lasers and their concentric coupling, IEEE Journal of Quantum Electronics, 35(5) 737-744 (1999)

65. A.A. Tovar and G.H. Clark, Concentric-circle-grating, surface-emitting laser beam propagation in complex optical systems, Journal of the Optical Society of America A, 14(12) 3333-3340 (1997)

66. Er-Xuan Ping, Transmission of planar, cylindrical and spherical multiple dielectric layer systems, Electronic Letters, 29(21) 1838-1839 (1993)

67. Д.В. Швырков, В. H. Листвин, А. В. Листвин, Оптические волокна для линий связи (М, ВЭЛКОМ, 2003)

68. H.-G. Unger , Planar Optical Waveguides and Fibres (Oxford University Press, 1977)

69. J.D. Love , A. W Snyder, Optical Fiber Eigenvalue Equation Plane Wave Derivation, Appl. Opt., 15(9), 2121-2125 (1976)

70. А. Снайдер, Дж. Лав, Теория оптических волноводов (М:, Радио и связь, 1987)

71. D. Gloge, Weakly Guiding Fibers, Appl. Opt., 10(10) 2252-2258 (1971)

72. R. Marz, Integrated optics: design and modelling (London, Artech House, 1994).

73. K. Oh, H.S. Seo, J.K. Lee, U.C. Paek, Polarization dependent dispersion characteristics of high order modes in a cylindrical dual mode fiber with an arbitrary index profile, Opt. Comm. 159(1-3) 139-148 (1999)

74. J.M. Gerard, D. Barrier, J.Y. Marzin, R. Kuszelewicz, L. Manin, E. Costard, V. Thierry-Mieg, and T. Rivera, Quantum boxes as active probes for photonic microstructures: The pillar microcavity case, Appl. Phys. Lett., 69(4) 449-451 (1996)

75. B. Ohnesorge, M. Bayer, A. Forchel, J.P. Reithmaier, N.A. Gippius, and S.G. Tikhodeev, Enhancement of spontaneous emission rates by three-dimensional photon confinement in Bragg microcavities, Phys. Rev. В 56(8) R4367-R4370 (1997)

76. J.M. Gerard, B. Sermage, B. Gayral, B. Legrand, E. Costard, and V. Thierry-Mieg, Enhanced Spontaneous Emission by Quantum Boxes in a Monolithic Optical Microcavity, Phys. Rev. Lett. 81(5) 1110-113 (1998)

77. L.C. Andreani, G. Panzarini, and J.M.Gerard, Strong-coupling regime for quantum boxes in pillar microcavities: Theory, Phys. Rev. B, 60(19) 13276-13279 (1999)

78. Eli Kapone, in: "Optical properties of Low Dimensional Semiconductors". G. Abstreiter, A. Aydinli, and J.-P. Leburton, Eds., (NATO ASI Series. Series E: Applied Sciences 344. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Netherlands. 99-125, 1997)

79. Т. Rajh, O.I. Micic, and A.J. Nozhik, Synthesis and Characterization of Surface Modified Colloidal CdTe quantum dots, J. Phys. Chem., 97(46) 11999-12003 (1993)

80. G. Subramania, K. Constant, R. Biswas, M.M. Sigalas, K.M. Ho, Optical photonic crystals fabricated from colloidal systems, Appl. Phys. Lett., 74(26) 3933-3935 (1999)

81. J. Ding, D. Chen, F.Q Tang, Fabrication of photonic band gap crystals through colloid self-assembly methods, Progress in Chemistry, 16(4) 492-499 (2004)

82. Er-Xuan Ping, Transmission of electromagnetic waves in planar, cylindrical and spherical dielectric layer systems and their applications, J. Appl. Phys, 16, (11) 7188-7194 (1994)

83. S.M. Dutra, J.P. Woerdman, J. Visser, G. Nienhuis, Route toward the ideal thresholdless laser, Phys. Rev. A, 65, 033824 (2002)

84. A. Imamoglu, D.D. Awshalom, G. Burkard, D.P. DiVincenzo, D. Loss, M. Sherwin, and A. Small, Quantum Information Processing Using Quantum Dot Spins and Cavity QED, Phys. Rev. Lett., 83(20) 4204- 4204 (1999)

85. M. V. Artemyev and U. Woggon, Quantum dots in photonic dots, Appl. Phys. Lett, 76(11) 1353-1355 (2000)

86. N.F. Mott, Metal-Insulator Transitions (Taylor and Frencis, London, 1974)]

87. Photonic Band Gap and Localization, ed. by C.M Soukoulis, NATO ASI Series B, 308 (Plenum, New York, 1993)

88. Y. Kuga and A.Ishimaru, Retroreflectance from a dense distribution of spherical particles, J. Opt. Society of America A 1(8) 831-835 (1984)

89. M.P. van Albada and A. Lagendijk, Observation of Weak Localization of Light in a Random Medium, Phys.Rev. Lett., 55 (24) 2692-2695 (1985)

90. P.E Wolf and G. Maret, Weak Localization and Coherent Backscattering of Photons in Disordered Media, Phys.Rev. Lett., 55(24) 2696-2699 (1985)

91. P.W. Anderson, D.J.Thouless, E. Abrahams, and D.S. Fisher, New method for a scaling theory of localization, Phys.Rev.B., 22(8) 3519 -3526 (1979)

92. N. Garcia and A.Z. Genack, Anomalous photon diffusion at the threshold of the Anderson localization transition, Phys.Rev. Lett., 66(14) 1850-1853 (1991)

93. A.Z. Genack and N. Garcia, Observation of photon localization in a three-dimensional disordered systems, Phys.Rev. Lett., 66(16), 2064-2067 (1991)

94. A. Z. Genack, Optical Transmission in Disordered Media, Phys.Rev. Lett., 58(20), 2043-2046 (1987)

95. S.H. Chang, H. Cao, S.T. Ho, Cavity formation and light propagation in partially ordered and completely random one-dimensional systems, IEEE Journal of Quantum Electronics, 39(2) 364374 (2003)

96. P.Sheng, ed. The Scattering and Localization of Classical waves, (World Scientific Press, Singapore, 1990)

97. Photonic Band Gap Materials, NATO ASI Series E Applied Sciences 315, ed. С. M. Soukoulis, (Kluwer, Dordrecht, 1996)

98. T.F. Krauss, R.M. De La Rue, S. Brand, Two-dimensional photonic-bandgap structures operating at near infrared wavelengths, Nature, 383 (6602) 699-702 (1996)

99. Yu. A. Vlasov, V. N. Astratov, O. Z. Karimov, A. A. Kaplianskii, V. N. Bogomolov, and A.V. Prokofiev, Existence of a photonic pseudogap for visible light in synthetic opals, Phys. Rev. B, 55(20) 13357-13360 (1997)

100. А.В.Барышев, А.В.Анкудинов, А.А.Каплянский, В.А.Кособукин, М.Ф.Лимонов, К.Б.Самусев, Д.Е.Усвят, Оптическая характеризация синтетических опалов, ФТТ, 44(9) 15731581 (2002)

101. А.В.Барышев, А.А.Каплянский, В.А.Кособукин, М.Ф.Лимонов, К.Б.Самусев, Д.Е.Усвят, Брэгговская дифракция света в искусственных опалах, ФТТ, 45(3) 434-445 (2003)

102. S. John, Localization of light, Physics Today, 44(5) 32-40 (1991)

103. A.F. Ioffe and A.R. Regel, Non-crystalline, amorphous and liquid electronic semiconductors, Progress in Semiconductors, 4, 237-291 (I960)

104. L.I. Deych, D. Zaslavsky, and A.A. Lisyansky, Statistics of the Lyapunov Exponent in ID Random Periodic-on-Average Systems, Phys.Rev. Lett., 81(24) 5390-5393 (1998)

105. L.I. Deych, A.A. Lisyansky, and B.L. Altshuler, Single Parameter Scaling in One-Dimensional-Localization Revisited, Phys.Rev. Lett., 84(12) 2678-2681 (2000)

106. В.А.Кособукин, Локализация электромагнитных возбуждений в неупорядоченных слоистых диэлектриках, ФТТ, 32(1) 227-234 (1990)

107. В.А.Кособукин, Экситонные поляритоны и их одномерная локализация в неупорядоченных структурах с квантовыми ямами, ФТТ, 45(6) 1091-1098 (2003)

108. A. R. McGurn, К. Т. Christensen, F. М. Mueller and A. A. Maradudin, Anderson localization in one-dimensional randomly disordered optical systems that are periodic on average, Phys.Rev. B, 47(20) 13120-13125 (1993)

109. E. Yablonovitch T. J. Gmitter, R. D. Meade, A. M. Rappe, K. D. Brommer, J. D. Joannopoulos, Donor and acceptor modes in photonic band structure, Phys. Rev. Lett., 67(24), 3380-3383 (1991)

110. Sheng Lan, Satoshi Nishikawa, Yoshimasa Sugimoto, Naoki Ikeda, Kiyoshi Asalcawa, and Hiroshi Ishikawa, Analysis of defect coupling in one- and two-dimensional photonic crystals, Phys. Rev. B, 65, 165208 (2002)

111. Jordi Martorell and N. M. Lawandy, Observation of inhibited spontaneous emission in a periodic dielectric structure, Phys. Rev. Lett., 65(15), 1877-1880 (1990)

112. S. G. Romanov, T. Maka, and С. M. Sotomayor Torres, M. Muller and R. Zentel, Suppression of spontaneous emission in incomplete opaline photonic crystal, Journal of Applied Physics, 91(11) 9426-9428 (2002)

113. J.B. Pendry and A. MacKinnon, Calculation of Photon Dispersion Relations, Phys. Rev. Lett., 69(19) 2772-2775(1992)

114. J.B. Pendry, Photonic Band structures, Journal of Modern Optics, 41(2) 209-229 (1994)

115. Janot, C., Quasicrystals: A Primer (Oxford Univ. Press, New-York, 1994)

116. Y.S.Chan, С. T. Chan, and Z. Y. Liu, Photonic Band Gaps in Two Dimensional Photonic Quasicrystals, Phys. Rev. Lett., 80(5), 956-959 (1998)

117. C. J. Jin, B.Y. Cheng, B.Y. Man, Z. L. Li, D.Z. Zhang, S.Z. Ban, B. Sun, Band gap and wave guiding effect in a quasiperiodic photonic crystal, Appl.Phys. Lett, 75(13) 1848-1850 (1999)

118. M.E. Zoorob, M.D.B. Charlton, G.J. Parker, J.J. Baumberg, M.C. Netti, Complete photonic bandgaps in 12-fold symmetric quasicrystals Nature, 404(6779) 740-743 (2000)

119. А. Е. Carlsson, Band-gap creation by icosahedral symmetry in nearly-free-electron materials, Phys. Rev. B, 47, 2515 (1993)

120. R.F. Sabiryanov, and S. K. Bose, The decagonal plane-wave model for 2D and 3D quasicrystals, J. Phys.: Condens. Matter 6(31), 6197-6210 (1994)

121. Xiujun Fu, Youyan Liu, Peiqin Zhou, Wichit Sritrakool, Perfect self-similarity of energy spectra and gap-labeling properties in one-dimensional Fibonacci-class quasilattices, Phys. Rev. B, 55(5), 2882-2889 (1997)

122. M. Kohmoto, B. Sutherland, Chao Tang, Critical wave functions and a Cantor-set spectrum of a one-dimensional quasicrystal model, Phys. Rew. В., 35(3), 1020-1033 (1987)

123. R.W. Peng, G.J.Jin, Mu Wang, A Hu, S S Jiang and D Feng, Electronic transport in k-component Fibonacci quantum waveguides, J.Phys.: Condenced Matter, 12(26), 5701-5712 (2000)

124. W. Gellermann, M. Kohmoto, B. Sutherland and P.C. Taylor, Localization of light waves in Fibonacci dielectric multilayers, Phys. Rew. Lett., 72(5), 633-636 (1994)