Распространение волн в неоднородной среде тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

на правах рукописи УДК 517.958

Боровских Алексей Владиславович

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ 01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 2006

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Механике* математического факультета Московского государственного университета нм. М.В. Ломоносова

Научный консультант:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Розов Николай Христович

академик РАН, профессор Моисеев Евгений Иванович

доктор физико-математических наук, профессор Мышкис Анатолий Дмитриевич

доктор физико-математических наук, профессор Чупахин Александр Павлович

Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского Отделения РАН

Защита состоится 16 июня 2006 г. в 16 часов 15 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 в Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские Горы, МГУ им. М.В.Ломоносова, Механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 16 мая 2006 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501.001.85 доктор физико-математических наук, профессор

Т.ПЛухашенко

дгобА-

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В динамике сплошных сред можно выделить три типа процессов, которые наиболее типичны. Это колебания, диффузия и распространение волн. Каждый из типов в чистом виде встречается лишь в идеальных частных случаях и описывается модельными уравнениями. В более же общих и более реальных ситуациях процесс включает в себя все три компоненты, и здесь типизация является скорее свойством точки зрения на процесс, чем свойством самого процесса.

Тем не менее каждая точка зрения является предметом самостоятельного изучения в теории дифференциальных уравнений с частными производными, и наша работа посвящена взгляду, который рассматривает динамику сплошной среды как процесс распространения возмущений - волн.

Несмотря на изобилие литературы, посвященной "волнам", на самом деле практически вся она опирается не на волновую точку зрения, а на точку зрения колебаний, ибо использует решения вида А(х, у, или

их суммы (конечные или бесконечные). Смешение терминов восходит, по видимому, к Дж. Уизему, который назвал решения указанного вида "дисперсионными волнами". Собственно же "волновая" система представлений - когда речь идет о распространении возмущения, произведенного в некоторой области, с течением времени, о распространении возмущения, которое связано с переносом по бихарактеристикам значений параметров, характеризующих состояние среды, представлена крайне бедно, хотя именно она явилась в свое время опорным пунктом для многих современных разделов математики.

Первые математические формулировки, отражающие человеческие представления о волнах, принадлежат Ферма и Гюйгенсу, которые в геометрических терминах охарактеризовали базовые свойства лучей и фронтов. В XIX веке, который по праву можно считать "веком формул", получены формулы Даламбера и Фурье, Пуассона и Кирхгофа, Вояьтерра и Дюамеля, введены функция Грина и функция Римана, проведены исследования Гурса и Дарбу. Все они создали классическую систему представлений о волне как о поле некоторой величины, которая переносится фронтами вдаль лучей.

В XIX веке были написаны и основные уравнения, описывающие волновые поля - уравнения Максвелла, газовой и гидродинамики, теории упругости. В XIX же веке установлена связь между уравнениями лучей, фронтов и волнового поля в терминах характеристик. К концу этого века исследование простейших уравнений, описывающих неоднородные среды, было в основном завершено. В какой-то мере "рубежной"

можно считать ияяяс г РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА С.-Петербург ОЭ 200^акт '

ную монографию Адамара1.

Среди достижений волновой теории XX века в которой в центре внимания стоят уже неоднородные, нестационарные, и нелинейные среды, прежде всего, следует отметить исследование вопроса об уникальном свойстве волнового уравнения в трехмерном пространстве, которое Ж. Адамаром было названо "принципом Гюйгенса". Изучение степени общности этого свойства было начато И.Г. Петровским в его работе о лакунах2 и опиралось на ставшее теперь каноническим понятие гиперболичности; это направление было затем продолжено работами L. Gârding'a3, Л.Г. Громовой, В.А. Боровикова, С.А. Гальперна, A.A. Локшина, Ю.Ю. Береста и А.П. Ве-селова, Н.Х. Ибрагимова и А.О. Оганесяна.

Представление о волне как о движущейся форме дало толчок целой серии исследований, в которой среди решений того или иного класса уравнений отыскивались решения вида A(x)F(t — ф{х)) с произвольной функцией F и фиксированными функциями А, ф, которые должны удовлетворять соответствующим уравнениям. Такие решения получили название функционально-инвариантных, впервые вопрос был поставлен в работе С.Л. Соболева4, и исследовался Н.П. Еругиным и М.М. Смирновым, F.G. Friedlander'oM, А.П. Киселевым и М.В. Перель.

F.G. Friedlander'oM была, видимо, впервые, сделана попытка распространить идею волны как величины, переносимой по характеристикам, на случай неоднородной среды5 (изначально понятие функционально-инвариантного решения вводилось для уравнений, описывающих однородные среды). Поскольку на всех характеристиках одновременно решение сохраняться не может, здесь был поставлен и исследован вопрос о существовании решений, которые сохраняют свое значение на одной характеристике.

Хотя, конечно, представление о волне, как о величине, которая переносится без изменений, для неоднородной среды некорректно и должно быть заменено на представление о волне, как о величине, которая переносится с изменениями, и эти изменения описываются теми или иными формулами (здесь есть аналогия с понятием скорости: для равномерного прямолинейного движения скорость есть постоянная характеристика, для неравномерного - переменная, и закон ее изменения описывается уравне-

1 Адяыяр Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными эллиптического иша. М.: Наука, 1978.351 с.

'Петровский И.Г. О диффузии воля и лакунах для систем гиперболических уравнений // Матем. сборник. 1945. Т. 17, N 3. С. 289-370.

'Girding Ь. The theory of lacunae // Hyperbolic equations and waves. Battelle Seattle 1968 Rencontres. Springer, 1970. P. 13-21.

4 Соболев CJI. Функционально-инвариантные решения уравнения 2-го порядка с двумя независимыми переменными // Труды физ.-мат. нн-та им. В.А.Стеклова. 1934. Т. 5. С. 269-264.

'Friedlander F.G. On the integrals of a partial differential equation // Proc. Cambr. Philoe. Soc. 1947. V. 43, N 3. P. 348-359.

ниями Ньютона), указанная работа, на наш взгляд, является важной хотя бы просто в связи с самой постановкой вопроса.

Существенно было расширено представление о лучах и фронтах как в однородной, так и в неоднородной среде, начатое работами A.C. Алексеева и В.М. Бабича6, где была обнаружена некорректность геометро-оптического подхода в случае неоднородной среды, A.C. Алексеева7, где получены уравнения лучей и описан головной фронт волны для полупространства с линейно меняющейся скоростью распространения волн, и В.М. Бабича8, где был сформулирован результат о неуничтожимости особенности волнового фронта. Переход к изучению нестационарных волновых процессов привел к пространственно-временному лучевому методу®, в основе которого лежит представление о фронтах и лучах как проекциях гладких гиперповерхностей и кривых на пространство "пространственных переменных", так что все особенности возникают только как результат проектирования. Это позволило подключить к волновой теории мощнейший аппарат теории особенностей, что было сделано в цикле работ В.А. Арнольда и его учеников10.

Был предпринят и ряд попыток явного решения уравнения эйконала или уравнений лучей для неоднородной среды (A.C. Алексеев11, А.Г. Багдоев12, Ю.Е. Аниконов и JI.H. Пестов13, А.Н. Марчук14) и некоторых анизотропных (В.Г.Гоголадзе15) нестационарных сред (Н.Х. Ибрагимов и А.О.Оганесян1®), однако эти результаты носили все-таки единичный характер (неко-

в Алексеев A.C., Бабич В.М. Об одном эффекте экранирования упругих воли тонким слоем // Уч. зап. ЛГУ. Математика, вып. 28, N 177. С. 180-193.

7Алексеев A.C. Задачи типа Лэмба для волнового уравнения в линейно-неоднородном полупространстве // Уч. зап. ЛГУ. Математика, вып. 32. N 24в. С. 167-227.

'Бабич В.М. Распространение нестационарных волн и каустики // Уч. зал. ЛГУ. Математика, вып. 32, N 246. С. 228-260.

вБабич В.М., Булдырев B.C., Молотков И.А. Пространственно-временной лучевой метод: линейные и нелинейные волны. Л.: Из-во ЛГУ, 1985. 272 с.

10 Арнольд В.И. Геометрия сферических кривых и алгебра кватернионов // Успехи матем. наук. 1995. Т. 60. вып. 1. С. 3-68.

Арнольд В.И. Топологические проблемы теории распространения волн // Успехи матем. наук. 1996. Т. 51. вып. 1. С. 3-50.

Современные проблемы математики. Итоги науки и техники. Т. 22. ВИНИТИ АН СССР. М.: 1983.

11 Алексеев A.C. Задачи типа Лэмба для волнового уравнения в линейно-неоднородном полупространстве // Уч. зап. ЛГУ. Математика, вып. 32. N 246. С. 167-227

12Багдоев А.Г. Некоторые нестационарные задачи распространения волн в полупространстве. Дне.... канд. физ.-мат. наук. М, МГУ, 1958. 220 с.

13 Аниконов Ю.Е., Пестов Л.Н. Формулы в линейных и нелинейных задачах томографии. Новоси-

бирск, НГУ. 1990. 64 с.

"Марчук А.Н., Чубаров Л.Б., Шохин Ю.И. Численное моделирование волн цунами. М., Наука, 1983.

175 с.

"Гогсяадзе В.Г. Волновое уравнение для неоднородных и анизотропных сред // Тр. Матем. ии-та им. В.А.Стеклова АН СССР. 1935. Т. 9, С. 107-166.

•"Ибрагимов Н.Х., Оганесян А.О. Иерархия пойгенсовых уравнений в пространствах с нетривиальной конформной группой // Успехи матем. наук. 1991. Т 46, вып. 2. С. 111-146.

торые частные решения также можно найти в справочнике Э. Камке17).

В чрезвычайно важном вопросе об обобщении понятия решения, также восходящем к Ж. Адамару в связи с изучением структуры фундаментального решения, безусловно, решающую роль сыграло введение C.JI. Соболевым пространств обобщенных функций18. Докторская диссертация O.A. Ладыженской, опубликованная в виде монографии19, положила начало целому направлению, связанному с исследованием условий корректности краевых задач для широкого класса гиперболических уравнений в обобщенной постановке. Следует отметить, что, несмотря на свою универсальность, соболевские пространства далеко не исчерпали полностью ту степень обобщения понятия решения, которая требуется для решения физических задач, так что исследования в этом направлении продолжаются до сих пор. Из работ в этом направлении отметим, напр., работы А.Д. Мышки-са20, Б.Л. Рождественского, С.Н. Кружкова, Е.Ю. Панова, В.Г. Данилова и В.М. Шелковича.

Примечательным является то, что введение обобщенных решений отнюдь не решило проблем с решениями классическими, так что исследование условий классической разрешимости продолжается до сих пор. Отметим в связи с этим совсем недавнюю работу В.А. Чернятина21, где почти 200 лет спустя после Фурье удалось применением метода Фурье получить необходимые и достаточные условия классической разрешимости одномерного волнового уравнения.

Распространению метода Римана на более широкие классы уравнений, начатому еще в XIX веке Ф. Реллихом22, посвящены работы М.Е. Лер-нера23, Р.К. Романовского24, М.М. Смирнова25, причем в первой из них интегральное представление Римана само эффективно используется для

>7Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. М., Наука, 1966. 260 с.

"Соболев С.Л. К теории нелинейных гиперболических уравнений с частными производными // Матем. сборник. 1939. Т. 5, N 1. С. 71-98.

Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Новосибирск, язд-во СО АН СССР, 1962. 255 с.

"Ладыженская O.A. Смешанная задача для гиперболического уравнения М., ГИТТЛ, 1953. 276 с.

20 Мышки с А.Д. О максимальной области разрешимости сметанной задачи для почти линейной гиперболической системы с двумя независимыми переменными // Матер, к совм. сов-амер симп. по уравнениям с частными производными Новосибирск, 1963. 10 о

21 Чернятин В.А. Обоснование метода Фурье в смешанной задаче для уравнений в частных производных. М.: Изд-во МГУ, 1991. 112 с.

и Reilich F. Verallgemeinerung der Riemannschen Integrationsmethode auf Differentialgleichungen n-th Order in Zwei Veränderlichen // Bullet Soc Math. France. 1878. V 16, P 249-278.

мЛернер M E. Принцип максимума для уравнений гиперболического типа и новые свойства функции Римана. Самара, 2001. 112 с.

24Романовский Р.К. Метод Римана для гиперболических систем г двумя независимыми переменны-

ми. Омск, 1995. 87 с.

^Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка Минск, БГУ, 1974. 232 с.

анализа решений.

В XX веке появился и ряд новых направлений, связанных с распространением волн. Прежде всего - это теория дифракции, начатая М.А. Леон-товичем и В.А. Фоком26 и развивавшаяся настолько бурно, что одно перечисление работ здесь, наверное, заняло бы несколько сот страниц. Упомяну лишь те, которые, скажем так, "держал в руках" (в основном - отечественных авторов) и которые, на мой личный взгляд, являются наиболее значимыми. Это, безусловно, работы В.М. Бабича27, A.C. Алексеева28, Ю.А. Кравцова и Ю.И. Орлова29, Б.Р. Вайнберга30, Л.М. Бреховских31, F.G. Friedlander'a 32, J.B. Keller'a33, А.Ф. Филиппова34, Г.И. Петрашень35,

2вЛеонтович М.А., Фок В.А. Решение задачи о распространении электромагнитных волн вдоль поверхности Земли по методу параболического уравнения // ЖЭТТФ 1946. Т. 16, вып. 7. С. 567-573.

Фок В.А. Поле плоской волны вблизи поверхности проводящего тела // Изв. АН СССР. Сер. физическая. 1946. Т. 10, N 2. С. 171-188.

Фок В.А. Обобщение отражательных формул на случай отражения волны произвольной волны от поверхности произвольной формы // ЖЭТТФ. 1950. Т. 20, вып. 11. С. 961-978.

Фок В.А. Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн. М.: Сов. радио, 1970. 520 с.

этБабич В.М. Доказательство геометро-оптического приближения для функции Грина // Матер, к совм. сов.-амер. симп. Новосибирск, 1963. 7 с.

Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука, 1972. 456 с.

28 Алексеев A.C., Бабич В.М. Об одном эффекте экранирования упругих волн тонким слоем // Уч. зап. ЛГУ. Математика, вьш. 28, N 177. С. 180-193.

Алексеев A.C., Гельчинский Б.Я. Об определении интенсивности головных волн в теории упругости лучевыми метопом // ДАН СССР. 1958. Т. 118, N 4. С. 661-664.

Алексеев A.C. Задачи типа Лэмба для волнового уравнения в линейно-неоднородном полупространстве // Уч. зап. ЛГУ. Математика, вьш. 32. N 246. С. 167-227

^Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И. Геометрическая оптика неоднородных сред. М.: Наука, 1980. 304 с.

^Вайнберг Б.Р. Принципы излучения, предельного поглощения и предельной амплитуды в общей теории уравнений с частными производными Ц Успехи матем. наук. 1966. Т. 21, вып. 3. С. 115-194.

31 Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. M : Наука, 1973. 343 с.

Бреховских Л.М., Годин O.A. Акустика слоистых сред. М.: Наука, 1989 416 с.

33Friedlander F.G. On the half-plane diffraction prtoblem // Quart. J Mech Appl. Math. 1951. V. 4, N

3. P. 344-357.

Friedlander F.G. Note on the geometrical optics of diffracted wave fronts // Proc. Cainbr. Philos. Soc. 1949. V. 45, N 3. P. 395-404.

3SFriedlaader F.G., Keller J.B. Asympthotic expansinons of solutions of (V2 + k2)t» — 0 // Comm. Pure Appl Math. 1955. V. 8, N 3. P. 387-394.

34Филиппов А.Ф. Дифракция произвольной акустической волны на клине // ПММ. 1964. Т. 28, вьш. 2. С. 305-318.

Филиппов А.Ф. Дифракция на двугранных и многогранных углах // Матем. сборник. 1966. Т. 70, N

4. С. 562-590.

Филиппов А.Ф. Отражение волны от границы, составленной из дуг различной кривизны // ПММ. 1970. Т. 34, N 6. С. 1076-1084.

35Петрашень Г.И. Основы математической теории распространения упругих волн. Л : Наука, 1978.

248 с.

Петрашень Г.И., Молотков Л.А., Крауклис П.В. Волны в слоисто-неоднородных изотропных упругих средах. T. 1. Л.: Наука, 1982. 288 е.; Т. 2. Л.- Наука, 1985. 302 с.

Петрашень Г.И., Каштан Б.М., Киселев Ю.В. Количественное изучение нестационарных волновых

полей в слоисто-однородных уругих средах с плоско-параллелькыим границаи раздела. I. Постановки задач и рациональные методы их решения // Интерференционные волны в слоистых средах. Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1994. T.214. С. 7-185.

В.А. Боровикова36, Н.С. Григорьевой37, Е.А. Габова38.

В связи с практическими нуждами геофизики, радиотехники, радиолокации оформилась в чрезвычайно мощное направление теория обратных задан - спектральных (В А.Марченко, Б.М.Левитан, М.Г.Крейн, А.С.Алексеев, В.А. Юрко), динамических (A.C. Благовещенский, A.C. Алексеев, М.И. Белишев, М.М. Лаврентьев, В.Г. Романов), интегральной геометрии (F. John, Ю.Е. Аниконов и Л.Н. Пестов, А.Г. Меграбов, В.А. Шарафутиди-нов). Отчасти связано с этим кругом вопросов и исследование условий разрешимости задачи Дирихле, которая для гиперболических уравнений является некорректной (С.Л. Соболев, А. Huber, D.G. Dourgm and R. Duffín, F. John, H.H. Вахания, Б.И. Пташник, М.М. Лаврентьев).

Началось исследование задан управления для гиперболических уравнений и систем (А.Г. Бутковский39, V. Komornik40, J.-L. Lions41, D.L. Rüssel42, Б.В. Капитонов43, С.А. Авдонин и М.И. Белишев44, В.А. Ильин45 и его ученики46).

Невозможно не упомянуть возникшую из задач квантовой механики теорию рассеяния (Л.Д. Фаддеев, P. Lax and R. Fillips, Н.И Гринберг, Л.П. Нижник) также, как и теория дифракции, опирающуюся на асимптотические методы.

8* Боровиков В.А. Дифракция на многоугольниках и многогранниках. М., Наука, 1966. 455 с.

"Григорьева Н.С. Асимптотические методы в задачах распространения звука в неоднородной движущейся среде. Л.: ЛГУ, 1991. 240 с.

Табов Е.А. Новые задачи математической теории волн М.: Наука, 1998. 448 с.

^Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. M , Наука, 1976. 586 с.

"Komornik V. Exact controlability and stabilization. John Wiley & eons, 1994.156 pp.

41 Liona J.-L. Exact controllability, stabilization and perturbations for distributed systems // SLAM Rev. 1988. V. 30. N 2, P. 1-68.

42Rüssel D.L. Boundary value control of the higher-dimentional wave equation // SLAM J. Control. 1971. V. 9, N 1. P. 29-42.

Rüssel D.L. Controllability and stabilizability theory for linear partial differential equations: recent progress and open questions // SLAM Review. 1978. V. 20, N 4. P. 639-739.

"Капитонов Б.В. Теоремы единственности и точное граничное управление для эволюционных систем // Сиб. иатем. журн. 1993. Т. 34, N 5. С. 67-84.

"Авдонин С.А., Белишев М.И., Иванов С.А. Граничное управление и матричная обратная задача для уравнения u,t - u« + V(i)u = 0 // Матеи. сборник. 1991. Т. 182, N 3. С. 307-331.

"Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний на двух концах в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, N 11 С. 1513-1528.

Ильин В.А. Граничное управление сферически симметричными колебаниями трехмерного шара // Труды МИРАН. 2001. Т. 232. С. 144-155.

Ильин В.А., Моисеев Е И Граничное управление радаально-симметричными колебаниями круглой мембраны // Доклады РАН. 2003. Т. 393, N 6. С. 730-734.

Ильин В.А., Моисеев Е.И. Граничное управление на двух концах процессом, описываемым телеграфным уравнением // Доклады РАН. 2004. Т. 394, N 2. С. 154-158.

^Тихомиров B.B. Оптимальное управление нелокальных задач для распределенных систем // Дифферент уравнения. 1998. Т. 34, N 5. С. 709-718.

Тихомиров В.В. Волновое уравнение с граничным управлением при упругом закреплении // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38, N 3. С. 393-403; N 4. С 529-537.

Знаменская Л.Н. Управление упругими колебаниями // M.i Физматлит, 2004. 175 с.

Исследование нелинейных уравнений асимптотическими методами как в "волновой" интерпретации (И.А. Молотков47), так и с точки зрения теории колебаний (А.Ю. Колесов, Б.Ф.Мищенко и Н.Х. Розов48) сейчас является, пожалуй, одним из наиболее бурно развивающихся направлений в теории волн.

Правда, переход к нелинейным уравнениям оказывается связан с рядом достаточно тонких вопросов понятийного характера, так как здесь многие представления начинают "расплываться". Так, представление о волнах обычно связывают с конечностью скорости распространения возмущения, и это свойство традиционно считается следствием гиперболичности "главной части" уравнения. Однако открытый A.C. Калашниковым48 эффект конечной скорости распространения в нелинейном параболическом уравнении показывает, что наличие нелинейных членов может, грубо говоря, превращать параболическое уравнение в гиперболическое. Этому же вопросу посвящены работы С.П. Ваутина, Ю.А. Клокова и А.П. Михайлова, в которых изучается уже "тепловая волна" (хотя с точки зрения исходных представлений о разграничении тепловых и волновых свойств это словосочетание звучит абсурдно).

Вопрос о балансе влияний на характер уравнения составляющих его слагаемых оказался нетривиальным не только для нелинейных, но и для линейных уравнений, и исследовался в терминах вопроса об иерархии волн. Термин, наверное, не самый удачный, поскольку иерархизации подлежат не волны, а слагаемые, составляющие уравнение - так же, как в методе диаграмм Ньютона решения алгебраических уравнений в виде степенных рядов, когда главный член ряда определяется только несколькими членами уравнения. Нетривиальность вопроса об иерархии волн показывает тот факт, что перенос базового принципа ("правильная" перемежаемость корней соответствующих полиномов или символов) на уравнения для многомерной среды был сделан совсем недавно в работе В.М. Бабича и A.A. Климовой60.

Наконец, отметим возникшие в последние 20 лет совсем новые направления в теории гиперболических (особенно волновых) уравнений и систем -теория усреденения (Н.С. Бахвалов и М.Э. Эглит, М.С. Бирман и Т.А. Су-

47Мологков И.А. Аналитические методы в теории нелинейных воля. М.: Физматлит, 2003. 208 с.

18Колесов А.Ю., Мщценко Е.Ф., Розов Н.Х. Асимптотические методы исследования периодических решений нелинейных гиперболических уравнений // Тр. МИАН. 1998. Т. 222,191 с.

Колесов AJO., Розов Н.Х. Параметрическое возбуждение высокомодовых колебаний у нелинейного телеграфного уравнения // Матем. об. 2000. Т. 191, N 8. С. 45-68.

"Калашников A.C. Об уравнениях типа нестационарное фильтрации с конечной скоростью распространения возмущений // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1972. N в. С. 45-49.

мБабичВ.М., Климова A.A. Гиперболическое уравнение с большим параметром при младших членах я иерархия воли // Алгебра и анализ. 1994. Т. б, вып. б. С. 126-171.

слива и др.) и исследование нелокальных задач (Т.Ш. Кальменов и М.А.Са-дыбеков, Д.Г. Гордезиани и Г.А. Авилашвили, В.Е. Волкодавов и В.Е. Шу-лов, JI.C. Пулькина).

Особого упоминания заслуживает исследование волновых уравнений групповыми методами, начатое работами С. Ли51, и продолженное работами Л.В.Овсянникова52 и его учеников, из которых, безусловно, следует отметить работы Н.Х.Ибрагимова63. На наш взгляд, работа Л.В.Овсянникова по исследованию уравнения Чаплыгина до сих пор не имеет аналогов по тому, как удалось связи между различными семействами уравнений, до тех пор формулируемые лишь в механических терминах (одно- или двухатомный газ, сжимаемая или несжимаемая жидкость и т.п.) выразить в математических терминах отношений групп симметрий. На наш взгляд, исследование дифференциальных уравнений групповыми методами только началось, и в XXI веке групповой анализ будет играть такую же роль, как классический анализ в XIX, а функциональный - в XX веке.

Возвращаясь к вопросу об актуальности темы нашей работы, подчеркнем еще раз два аспекта. Первый - что во всех перечисленных направлениях содержательное исследование опирается на разнообразные математические формы описания процессов, происходящих в сплошных средах, и среди этих форм описания те, которые связаны с идеей переноса волн, играют, как правило, решающую роль. Второй - что связь тех форм описания, которые используют представления о переносе волн, с другими изучена еще мало, так что создание более-менее цельной системы таких связей даже для простейших, скажем так, "модельных" уравнений представляет интерес и в плане дальнейшего обобщения, и в плане использования такой системы для анализа конкретных проблем волновой теории.

Работа поддержана грантами РФФИ № 04-01-00049, 04-01-00697, программы "Университеты России"(проект УР.04.01.004) и гранта Президента РФ для ведущих научных школ НШ-1643.2003.1.

Цель работы. Целью работы является описание в математических терминах процесса переноса волн в неоднородной среде и установление связи между различными математическими формами описания переноса волн и

"Lie S., Engel F. Toerie der Transformationagruppen, Bd. 1-3. Leipzig, Teubner, 1888, 1890,1893.

"Овсянников Л.В. Групповые свойства уравнения С.А.Чаплыгина // ПМТФ. 1960. N 3. С. 126-145.

Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 400 с.

Овсянников Л .В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Газовая динамика // ПММ. 1994. Т. 58, вып. 4. С. 30-65.

"Ибрагимов H.X. Группы преобразований в математической физике. М • Наука, 1983. 280 с.

п-1

Ибрагимов H.X., Мамонтов Е В. О задаче Коши для уравнения и,( - «„ — £ <4<(х- t)uytVl = 0 //

Матем. сборник. 1977. Т. 102, N 3. С. 391-409. <J=I

Ибрагимов H.X., Оганесян А О. Иерархия пойгенсовых уравнений в пространствах с нетривиальной конформной группой // Успехи матем. наук. 1991. Т. 46, вып. 2. С. 111-146.

различными математическими формами описания эволюции среды.

К интегральной форме описания эволюции среды можно отнести интегральные формулы решения задачи Коши для волновых уравнений (таких, как формулы Даламбера, Римана, Пуассона, Кирхгофа).

Формулу распространяющихся волн для одномерного уравнения = ихх следует считать тоже "интегральной", но она, в отличие от перечисленных выше, выражена в терминах переноса волн (движущихся с характеристической скоростью состояний среды).

К дифференциальной форме описания эволюции среды относятся классические волновые уравнения, а к дифференциальной форме описания переноса волн - различные варианты уравнений переноса

V+(t, х) - V+(t, х) = crt(x)V+(t, х) + aï(x)V~(t, х), Vf(t, х) + V~(t, х) = cr^(x)V+(t, х) + eZ{x)V~{t, х),

в одномерном и уравнения излучения

Vt(t, х, в) + evx(t, х, в) = -¿г [ a{t, х, в, (f)V{t, х, ^dSv

PI JsM

в многомерном случае (S - единичная сфера в Kn, |5| - ее площадь).

Несколько промежуточное положение между дифференциальными и интегральными формами занимают интегральные уравнения (например, известная формула С-Л. Соболева54, распространенная затем В.Г. Гоголадзе58 на анизотропный случай), которые являются важным средством установления эквивалентности дифференциальной и интегральной формы описания одного и того же явления.

И дифференциальная, и интегральная формы описания выражаются через решения уравнения характеристик - уравнения эйконала и связанные с ним величины. В случае неоднородной среды уравнение эйконала на самом деле решено только в нескольких частных случаях, причем безо всякой системы. Поэтому оказывается необходимым систематически изучить и само уравнение эйконала, и связанное с ним уравнение лучей (уравнение бихарактеристик волновых уравнений) на предмет интегрируемости и получить по возможности все решения, какие только возможно.

Таким образом, для решения сформулированной задачи - создания полноценной системы математически выраженных представлений о переносе волн - необходимо сделать как минимум три вещи. Во-первых, получить интегральное представление для распространяющихся волн хотя бы для

мСоболев СЛ. Волновое уравнение для неоднородной среды // Труды Сейсмологического ия-та. 1930. вып. 6. С. 1-57.

"ГЪгаладзе В.Г Волновое уравнение для неоднородных и анизотропных сред // Тр. Матем. ин-та им. В.А.Стеклова АН СССР. 1935. Т. 9, С. 107-166.

одномерной среды и связать его как с дифференциальными уравнениями переноса, так и с интегральным описанием состояния среды (с Помощью функции Римана, например); развить технику перехода от одних представлений к другим и оперирования внутри самих представлений (например, с помощью тех или иных принципов композиции отображений данных); разработать технику решения наиболее типичных задач. Во-вторых, по возможности максимально исследовать геометрию уравнения эйконала и уравнения лучей, получить какой-то хотя бы минимальный запас явных примеров решений для случая неоднородной среды; изучить уравнение переноса волн в многомерном случае и установить его связь с волновыми уравнениями. Наконец, в-третьих, - перенести на многомерный случай всю систему связей между дифференциальными и интегральными представлениями в терминах переноса волн и в терминах изменения состояния среды.

В представляемую работу включены результаты, которые удалось получить к настоящему времени: это полностью разработанный метод распространяющихся волн для одномерной среды, детальное исследование интегрируемости уравнения эйконала для двумерной и трехмерной сред, систему явных решений уравнения эйконала и некоторые новые факты общего характера, которые удалось обнаружить с помощью этих решений.

Методика исследования. Результаты получены с помощью методов как классического анализа, так и современных (главным образом - группового анализа).

От классики (классический подход используется в первой и второй главах) взят принцип выражать исследуемые свойства формулами и находить законы, связывающие эти формулы друг с другом, устанавливать эквивалентность различных форм выражения тех или иных свойств, создавая тем самым аппарат для исследования более тонких и сложных вопросов. В этом смысле наша техника ближе всего к работам С Л. Соболева и В.Г. Го-гол адзе 30-х годов XX века, в которых строятся те или иные интегральные представления для решения волнового уравнения в неоднородной, а затем - анизотропной среде. Методы, развитые в самой диссертации (метод распространяющихся волн для решения краевых задач, формулы свертки для коэффициентов переноса и функции Римана) использованы для получения различных новых представлений решений.

Что же касается третьей и четвертой глав, то в них основной упор делается на методы группового анализа, как классические (исследование групп симметрий и группы эквивалентности), так и оригинальные (анаг лиз структуры конуса касательных эквивалентностей, позволяющий явно описывать расслоение семейства дифференциальных уравнений на классы эквивалентности).

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Основные из них следующие:

• Формула распространяющихся волн, метод распространяющихся волн, позволяющий выписывать формулы решения различных краевых задач, формулы, выражающие через коэффициенты переноса волн функцию Римана и ее производные, формулы свертки для функции Римана, условия граничной управляемости и формулы граничного управления для неоднородной струны.

• Групповая классификация трехмерных и двумерных уравнений эйконала, исследование свойств конуса касательных эквивалентностей, условия редукции трехмерных уравнений эйконала к двумерным, условия принадлежности уравнения эйконала тому или другому классу и условия эквивалентности двух разных уравнений (теорема о семи инвариантах).

• Довольно большой комплект решенных уравнений эйконала (получены решения, описывающие фронт волны точечного источника и уравнения лучей).

• Формулы, выражающие скорость движения центра кривизны фронта через радиус кривизны, иллюзия движущегося источника. Явление локализации фронта в отсутствие волноводов.

Сравнивая эти результаты с полученными, отметим, что на самом деле вопрос о волновых представлениях ранее поднимался более-менее регулярно и как-то решался, пусть и даже частично, в рамках того или иного класса задач, но только для одномерной среды. Наиболее рафинированным образом вопрос об эквивалентности волнового уравнения и системы переноса выражен, например, в работах Э.В. Никольского56, однако там речь идет только о взаимном отношении дифференциальных (локальных) форм, вопрос об интегральном представлении решений системы переноса и связи этого представления с интегральным представлением решения волнового уравнения (формулой Римана) не обсуждался.

Уравнение переноса с ст+ = aZ = 0 под названием "двухкомпонентной системы Дирака" достаточно подробно изучалось в работах Л.П. Нижник57 с точки зрения теории рассеяния, там же в контексте теории рассеяния изучалось и уравнение излучения, но зато вне связи с волновыми уравнениями.

"Никольский Э.В. Обобщенные функционально-инвариантные решения и эквивалентные системы уравнений математической физики. Новосибирск, Наука, 1997. 156 с.

"Нижник Л.П. Обратные задачи рассеяния для гиперболических уравнений. Киев' Наукова думка, 1991. 231 с.

Значительное внимание системам уравнений переноса уделяется в теории обратных задач - там переход от волнового уравнения к системе носит название "волнового расщепления", или "wave splitting"(M.Е. Davison58, S. He59, V.H. Weston60). Однако и здесь полноценная связь между уравнениями состояния среды и уравнениями переноса волн происходит "на решении "(как правило, удовлетворяющем нулевым начальным условиям), а не в целом. Отметим, что и сама идея "волнового расщепления" несколько отлична от представлений о распространяющихся волнах: "волновое расщепление" производится по двум направлениям времени, а когда мы говорим о распространяющихся волнах - то расщепление происходит по направлениям пространства. В одномерных задачах это различие практически неощутимо, а в многомерных - дает совершенно разные формы уравнений.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Развитый в работе метод распространяющихся волн и сверточные формулы для функции Римана могут быть перенесены на более общие классы уравнений. Результаты групповой классификации уравнений эйконала могут быть использованы как в геометрии римановых пространств, так и в теории гамильтоновых систем уравнений. Техника анализа, разработанная в диссертации, может быть использована для анализа анизотропных уравнений эйконала и уравнений более общего типа. Формулы решений являются базой для различного рода общих предположений, некоторые из которых обоснованы в диссертации.

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, докладывались на семинарах В.А. Кондратьева, Е.В. Радкевича (2003, 2004 г.), В.А. Ильина, Е.И. Моисеева, A.A. Дезина (2002, 2004 г.), В.А. Кондратьева, В.М. Миллионщикова, Н.Х. Розова (2002, 2005 г.), В.М. Бабича (2002, 2003, 2004 г.), JT.B. Овсянникова (2003, 2004 г.), A.C. Алексеева (2004 г.), И.А. Шишмарева (2003, 2004, 2005 г.), А.Д. Мышкиса, А.С.Братуся (2005 г.), А.Г. Свешникова (2005 г.), В.А. Садовничего (2002 г.), Д.Д. Соколова (2005 г.), А.И. Прилепко, В.А. Садовничего (2005 г.), A.C. Шамаева, В.В. Жикова, Т.А. Шапошниковой (2002 г.), E.JI. Тонкова (2003 г.), на семинаре кафедры волновой механики, рук. Е.И. Шемякин в 2003 и 2005 г., на семинаре отдела дифференциальных уравнений МИРАН, рук. Д.В. Аносов, A.A. Болибрух, Ю.С. Ильяшенко в 2003 г., на семинаре отдела прикладной математики ИМ HAH Украины, рук. А.Г. Никитин (Киев, Украина) в

"Davison М.Е. A general approach to splitting and invariant embedding for linear wave equations // J. Math. Anal. Appl. 1994. V 188, N 1. P. 158-181

"He S. An explicit time-domain solution for the reflection from a etratiied acoustic half-space obtained by the boundary control method // TMTA-TET 95-5.16 p.

"'Weston V.H. On the inverse problem for a hyperbolic dispersive partial differential equation // J. Math. Phys. 1972. V. 13, N 12. P. 1952-1956.

2004 г.; на международном семинаре "Дни Дифракции" (СПбО МИРАН, С.-Петербург) в 2003 и 2004 г., на конференции, посвященной 85-летию академика Л.В. Овсянникова (Ин-т Гидродинамики СО РАН, Новосибирск) в 2004 г., на конференции им. И.Г. Петровского (МГУ, Москва) в 2001 и 2004 г., на международной конференции "Дифференциальные уравнения и динамические системы" (ВлГПУ, Суздаль) в 2002 и 2004 г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 14 работах, список которых приводится в конце автореферата [1-14].

Структура и объем работы. Диссертация занимает 300 страниц текста и состоит из введения, четырех глав, разбитых на шестнадцать парагра-о фов и списка литературы, включающего 202 наименования. Работа снаб-

жена двумя приложениями. Нумерация формул, теорем и лемм тройная - номер главы, номер параграфа и собственный номер, например, лемма 3.2.1 - лемма 1 второго параграфа третьей главы.

Основное содержание работы.

Первая глава. В первом параграфе обосновывается формула распространяющихся волн для уравнений

к(8)ии = (*(«)«,)„ (1.0.2)

■ и

+ (1.0.4)

являющихся каноническими формами (первую из них иногда называют

импедансной) общего одномерного уравнения для неоднородной среды

/■ д

ф)дё = гМ •

Связь между уравнениями (1.0.2) и (1.0.4) устанавливается заменой г = у/к(з)и, при этом ф(з) —

Теорема 1.1.1 Пусть к(з) >0 (з € М) и дважды непрерывно дифференцируема. Тогда общее классическое решение уравнения (1.0.2) описывается формулой

»+< I-

,1 [ к{у) .з + у-г з-у-г

2 У

W^i+l+i.LUL±l,s)iy+

.j,8 + y + t S-y + t . .

k(s)V(y)J{-Y-> —Г"'s) (LL1)

e-t 1

rfeV uW - произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции, связанные с начальными условиями uo{s) = u(0, s), vq(s) = щ(0, s) соотношениями

V(s) + W(s) = uo(s), -[k{a)V(s)Y + [fc(e)W(e)]' = k{s)vQ(s). (1.1.2)

Через J(a,ß, 7) и J(a,ß, 7) обозначены функции, которые являются решением системы интегральных уравнений

1

J(a,ß,y) = - J

° о (1-1-3)

J(a,0,7) = ф(а) + J ф(а — r)J(a, г, 7) dr. ß

В доказательстве этой теоремы появляются главные инструменты метода распространяющихся волн - система уравнений переноса волн

- zt = (Ы-4)

сумма компонент решения которой всегда дает решение (1.0.4), и формула дифференцирования коэффициентов переноса J и J по третьему аргументу.

Лемма 1.1.1.

—{а, /3,7) = -^(7)7(7-/3,7-а, 7),

dJ <Ы-в>

= -ФЬШТ ~ ß>4 ~

Формула для решения уравнения (1.0.4) получается из формулы (1.1.1) удалением радикалов.

Поскольку исходные правая и левая волны V и IV условиями (1.1.2) определяются не однозначно, в этом же параграфе показывается, что эта неоднозначность влияет только на баланс слагаемых в решении (1.1.1), и не вызывает неоднозначности в самом решении. Здесь же показывается, что начальным условиям ио = 1, щ = 0 соответствует, как и полагается, решение и(Ь,х) = 1. Во всех этих обоснованиях важны не столько обосновываемые факты - в них нет ничего неожиданного, сколько используемая в доказательствах техника обоснования, с помощью системы (1.1.4), тех или иных тождеств для коэффициентов переноса волн.

Во втором параграфе приводится вывод формулы (1.1.1) с помощью одного из вариантов классического метода дискретизации. Основная нагрузка этого параграфа - установление связи с "физическим" смыслом используемых всюду далее величин. Функция ф(з) оказывается аналогом коэффициента отражения, функции 3 и 3 представляются в виде рядов, каждый элемент которых является суммарным коэффициентом переноса с заданным количеством отражений, так что в / собраны коэффициенты, отвечающие за четное количество отражений, а в 3 - за нечетное. Система интегральных уравнений (1.1.3) описывает итерирование отражений, а ее решение методом последовательных приближений дает аппроксимацию истинного решения, в которой игнорируются волны, испытавшие большое количество отражений.

В третьем параграфе вводится понятие волнового оператора - интегрального оператора, преобразующего пару начальных волн V, XV в пару волн Vотвечающих моменту времени Ь — в.Ъ этом параграфе мы начинаем преобразование волн рассматривать как самостоятельный процесс, имеющий дифференциальную (уравнения переноса) и интегральную (волновой оператор) форму описания, и который связан с уравнениями состояния среды только в силу каких-то соотношений между коэффициентами уравнения переноса и коэффициентами уравнения состояния среды. Такое рассмотрение требует независимого обоснования группового свойства волнового оператора, которое и дается в этом параграфе с помощью формул свертки для коэффициентов переноса

Лемма 1.2.2. Имеют место следующие тождества:

о*«

тА + у t-v i±Vs J[ 2 ' 2 ' 2 )

-- ft ÍJ.,, f J-n

4 2 ' 2 ' 2 ^[^.^(Ш.Цг.Ш,.

-J{-2~>~2~dy - 2~»-J—.- ^i-y-'-у-.

+ 0 z-ß t + щ ^ 2 ' 2

[ß\j(V + a y~ß л Л + у t-v t + ri

у + Д y-a , f,( + y j-y ͱV,' K 2 ' 2 1 2 ' 2 2~j

(1.2.7)

dj/ ;

2 z ■ - - - и ■ z ' ü '

\ 9 ' 9 ' 2

dy =

-¡u^.í^í+s,,

(1.2.9)

y/0 + 0 y-a . ?A + V Ç-» ,

2 ' 2 ' ^ ( 2 ' 2 ' 2 =

_of/í + e Í-/3 í + »?4 о?/!!" í-e É + Чч - . —, —; - 2J(~2~> —, - j-;-

(1.2.10)

В четвертом параграфе изложен собственно метод распространяющихся волн - метод построения решения различных краевых задач. Принцип применения этого метода прост: если данные заданы на какой-то линии, то сначала строится волновой оператор, описывающий перенос правой и левой волн с этой линии в произвольную точку пространства (для этого необходимо только проделать элементарные вычисления по определению аргументов коэффициентов переноса и по выбору промежутка интегрирования). После чего, с помощью (1.1.6) проверяется, что построенные формулы дают решение системы уравнений переноса, сумма компонент которого будет решением уравнения (1.0.4) для любых исходных волн V, IV, заданных на линии данных. Остается связать эти исходные волны с теми данными, которые заданы на линии, что приводит либо вообще к локальным соотношениям (как в случае начальной задачи), либо к одномерным интегральным уравнениям с вырожденным ядром. Мы здесь эти формулы не приводим, они аналогичны (1.1.1). Отметим, что мы здесь не занимаг лись выдумыванием каких-то особых задач, все они известны (принцип отражения для задач с закрепленными и свободными концами, начально-краевая задача, задач Гурса, один из вариантов задачи Дарбу, который мы назвали задачей Фридландера). Нас интересовала именно технология построения решений.

Пятый параграф является, на наш взгляд, одним из самых существенных: в нем устанавливается связь между интегральными представлениями волнового процесса (которые описываются в терминах волнового оператора) и интегральными представлениями изменения состояния среды (которые описываются известно формулой Римана). Ключевую роль здесь играют формулы выражения через коэффициенты переноса функции Римана эквивалентного (1.0.4) уравнения

и производных этой функции Римана.

Лемма 1.4.2. Функция Римана Д(£,7];а,Ь) уравнения (1.1.5) может быть выражена одной из четырех следующих формул:

а+а

(1.1.5)

Д(е,77,а,Ь) =

1-е

2 ' 2

(1.4.5)

mt » л « + T«[7 fi±* 1±* - „ -

2' f±» 2

j^.Sri.i+S)]*.

(1.4.6)

a+n

a±b 2

a+b

2 o+b

m,V,a,b) = JAg + j ^J , — -

2' fi* 2

a+y 2

vm¥) J V *(») V 2 ' 2 * 2

a+b 2

Лемма 1.4.3. Производные функции Римана R(^,rf;a,b) уравнения (1.1.5) выражаются следующими формулами:

(1.4.7)

(1.4.8)

дЩ,т),а,Ъ) 1 + м

—а^— =

(1.4.9)

dR(Z,T),a,b) l.o + b. . . -&Ь-= 2 2 ' ^ '

(1.4.10)

Следствие.

dR(s-t,s + t,a,b) _

at

1 ?/s~t + b s-t-a \ 1 r/s-t + Ь s-t-a \

= 2 J ^ 2 ' — 2—' У + 2 {——Г"' 7 "

1 y /s + f + a s + t-Ь \ 1 fs + t + a s + t-b \

~2J (~2 '~2~~'7 ~ Y V 2 ' 2 '7 '

(1.4.11)

dR(Ç,ij,cr -т,а + t)

-i—i-^--= <f>(o)R(Ç, г],а-т,а + т)-

il(L±£±I + r £ + l./^ + g + r £-<т + т £ +

2 \ 2 ' 2 ' 2 j+2J{ 2 ' 2 ' 2 j

* ? ( r} + a~r V~ <r ~ т € 4- тЛ 1 / г) + а — т •q-a-T Ç +гД

~2 \ 2 ' 2 2 ' 2 ' 2 j'

(1.4.12)

Полученные формулы позволяют преобразовать формулы решения задач в терминах волн в формулы решения задач в терминах состояния среды, получив чрезвычайно компактные выражения в терминах функции Римана. В качестве примера приведем формулу решения начальной задачи

s+t-в

(2.1.11)

для уравнения (1.0.4), формулу для производной этого решения

А

a+t-в

+1 J [C(y)Rt(s-t,s + t,y-9,y+9) + Lz(y)R(s-t,s + t,y-e,y + e)]dy, a-t+8

(2.1.12)

(где Lz - оператор в правой части (1.0.4)), формулу решения задачи Гурса

*(í' 8) = \[f {4е) + 9 (^т5)]- м+д в)+

я+t+A s-t+B

2 Л

+ J f'(j{)R(s-t,s + t,A,2x-Á)d^+ J g'{x)R(s-t,s+t,2K-B,B)dx,

A+B A+B

2 2 ,

(2.1.13)

формулу решения задачи с данными z(t, а) — z(t), zs(t, а) = C(í) на вертикальной прямой s — а

z{tj s) = z(t-s) + z(t + s) + 1 ft+°[aT)R{s _ í( e +, _ т> „ + r)_ ¿ ¿ Jt-a

-z{t)Rc{s -t,s + t;<T -т,а + т)] dr.

Вторая глава посвящена формулам граничного управления и условиям граничной управляемости для задачи граничной управляемости неоднородной струной. Для простоты результаты сформулированы для уравнения (1.0.4), поскольку переход к уравнению (1.0.2) здесь связан только с дописыванием радикалов.

Задача состоит в следующем: определить, при каких условиях для заданных начальных данных z0(s) = z(0,s), Co(s) = dz/dt(0,s) и конечных данных zt(s) — z(T,s), Cr(s) = dzfdt(T,s), заданных на [0, l), существуют граничные управления i>{t) ~ z(t, 0) и fi(t) = z(t,í), которые позволяют перевести "струну", описываемую уравнением (1.0.4), из заданного начального состояния в заданное конечное. Нашей целью является вывод явных (насколько это вообще возможно) формул как для условий, так и для граничных управлений.

В первом параграфе приводятся условия управляемости и формулы граничного управления в случае Т < I.

Через А(у; tj; А, В) обозначается функция

А+п 2

А(у, Г)\ А, В) = J г,; А, 2х - А)2* - А; у, у) dx-

А+В 2

ч; У, У) + V, A, B)R(A, В; у, у),

(2.1.1)

а через Л'(у; 77; А, В) - ее производная Л^ - Av + Аа — Ав, или, другими

словами,

(2.1.2)

9=0

Л'(у; е, v, А, В) = -Л(у; f + в, V ~ в; А + в, В - в) Оператор j^J, определяемый формулой

i г0

+2 J [ziy)Rt{s ~t,s + t-,y,y) + С(у)Я(в -t,s + t;y, y)] dy, (2.1.3)

мы будем называть оператором Римана, отображающим начальные данные с отрезка [а,Р] в точку (i, s), операторы и j^J, отличающиеся от (2.1.3) отсутствием члена с г(а) или z(/3) соответственно - усеченными операторами Римана, а оператор

А0 [*] (í, a) , ZW-ZMR{S -t,s + P,a, 0)+

+ / [z(y)A'(y; a - t, a +1; а, 0)- f(y)A(y; s - t, s + í; a, 0)) dy (2.1.4) Ja

- оператором коррекции, также отображающим начальные данные с отрезка [а, 0\ в точку (£, s).

Через Lz обозначается функция Lz = z" — (</>' -f- 4>2)(s)z, т.е. результат применения оператора в правой части (1.0.4) к функции z.

Теорема 2.1.1. Если Т <1, то классическое решение задачи граничной управляемости для уравнения (1.0.4) на отрезке [0,/j существует тогда и только тогда, когда начальные и конечные данные zq(s), Co(s)) •zt(s), Ct(s) удовлетворяют условиям

dí+T/2 \z<) - Zt] /rr/0 4 _ pS+T/2 Со ~Ct

•~T/2 Leo + CtJ ( 7 ' ' ~ °-T/2 [Lzo + Lzr.

при s € [T/2, / — T/2\ в случае T < l и условиям

(1/2,1/2) = О,

(Г/2,5) = 0 (2.1.5)

О оа+</2 ds '-Ч2

zq — zt LCo + <T

m,s)

zq — zt

Со + Cr.

l«=I/2

= 0, 4

Co-Cr Lzq +

(2.1.6)

(1/2,1/2)= 0, (2.1.7)

т*>+1/2 ¿З^-Т/ 2

Со - Сг //2о + Ь^Г

] ОА

я=(/2

= 0, 4

— Ъгх Цо + ЬСт

{1/2,1/2)^0,

(2.1.8) в случае Т =

Яр« выполнении этих условий граничные управления определяются по го, Со, ■гт, Ст однозначно и даются формулами

и{1) = Л£} (*, 0) + {Я?-4 - А?}

гТ

(Т-«,0), (2.1.9)

мЮ - {г - лГ} [£ ] (* - Г, I) + {ЯГ - лГ}

-Со

Н,0-(2.1.10)

Основную роль в получении указанных формул играют формулы свертки для функции Римана. Мы, для примера, приведем одну из них

Д+2 2

/

Д(£, 77; А, 2х - А)ЯГ,{А, 2х - А\у - в,у + 6)<1к =

л+у+е 2

= 7г,у-в,у + 9)~ Щ, т)\А,у + в)}.

(2.1.26)

Во втором параграфе условия управляемости из первого параграфа (в случае Т < I) разрешаются относительно части конечных данных, что позволяет считать, что часть данных является "свободной" (правда, всегда остается несколько скалярных условий, ограничивающих эту свободу), а остальные могут быть по ним вычислены. При этом удается выразить только через "свободные" данные и граничные управления.

Отметим, что здесь появляется некоторое различие между случаями Т < I/2и Т > I/2, в первом из них и конечная скорость, и конечное состояние на промежутке [Т, I — Т] просто явно определяются начальными данными, а вне этого промежутка конечная скорость определяется по конечному состоянию и начальным данным. В случае же Т > 1/2 на промежутке [I — Т,Т] все конечные данные являются свободными, а вне этого промежутка конечная скорость определяется по конечному состоянию и начальным данным.

В третьем параграфе изучается случай Т > I. Здесь управляемость имеет место для любых начальных и конечных данных, и, даже более того, имеется произвол в выборе граничных управлений, например, на начальном промежутке времени (0, Т — I). В формулах этот произвол описан

явным образом. Поскольку здесь перенос данных происходит не только с горизонтальных, но и с вертикальных прямых, помимо операторов (2.1.3) и (2.1.4), используются также операторы

(4>,) == *(а) + ^ + I [тЩз -г,а + Р,а~т,а + т)-

-■г(т) - г, з + Ц а - т, о + г)] йт

(2.3.1)

М, М («, я; А, В) = - г(а)Ща -1,в + г,А,В)~

п 4

ГР

Л (2.3.2)

Третья глава посвящена изучению трехмерного уравнения эйконала

- основного уравнения геометрической оптики и акустики

Первый параграф носит вводный характер - в нем излагаются некоторые общие волновые представления и связи между ними.

Во втором параграфе основные понятия и формулы группового анализа - группы и алгебры симметрии, группы и алгебры эквивалентности. Здесь же вводятся и новые понятия конуса касательных эквивалентно-стей и пространства касательных эквивалентностпей. Конус касательных эквивалентностей для фиксированного уравнения - это конус касательных векторов (при значении параметра, равном нулю и отвечающем тождественному оператору) к однопараметрическим семействам операторов, не обязательно образующих группу. Элементы этого конуса удовлетворяют некоторому линейному дифференциальному уравнению, аналогичному уравнению Ли. Все решения этого уравнения образуют линейное пространство, называемое пространством касательных эквивалентностей.

Пространство касательных эквивалентностей наверняка "покрывает" конус касательных эквивалентностей, а с другой стороны - этот конус наверняка содержит сумму алгебры эквивалентности и алгебры симметрий соответствующего уравнения. Идеальный случай (который для уравнений эйконала как раз реализуется) состоит в совпадении пространства касательных эквивалентностей с указанной суммой, откуда немедленно следует, что класс эквивалентности уравнения является орбитой группы эквивалентности семейства.

Теорема 3.2.1. Пусть пространство касательных эквивалентностей некоторого семейства уравнений для любого уравнения из семейства является суммой алгебры Ли группы симметрий этого уравнения и алгебры Ли общей группы эквивалентности, и пусть обе группы (группа эквивалентности и группа симметрий) являются конечномерными. Тогда любая компонента С1-связности любого класса эквивалентности этих уравнений может быть получена из любого из уравнений этой компоненты действием на него группы эквивалентности.

В основе этой теоремы лежит лемма об аппроксимации неавтономной системы уравнений системами "кусочно-автономными", то есть о возможности аппроксимировать каждый оператор из однопараметрического семейства суперпозициями операторов некоторой группы, откуда и вытекает его принадлежность (при условии замкнутости группы) этой же группе.

В третьем параграфе осуществлена сепарация уравнений эйконала по группам симметрий, явно описаны и сами группы (точнее, их алгебры), и соответствующие семейства. Возможные размерности группы симметрий -это 15, 6, 5, 4, 2 и 1, причем одномерная группа сдвигов переменной гр является тривиальной, ею обладают все уравнения, ее наличие связано только с тем, что сама функция ip в уравнение не входит, и никакой информации о решении она не дает.

Теорема З.З.1./. Группа симметрий уравнения эйконала (3.1.3) является 15-мерной для следующих функций скорости v(x,y, z) (с точностью до сдвига системы координат): постоянной

v(x, у, z) = const, (3.3.1)

линейной

v(x,y,z) = Px + Qy + Rz (P2 + Q2 + R2> 0), (3.3.2) и квадратичной одного из трех типов

v(x, у, z) — w • (х2 + y2 + z2- V2) (и > 0), (3.3.3)

v{x,y,z) = w (x2 + y2 + z2 + v2) {v> 0), (3.3.4)

v(x, y,z) = w {x2 + y2 + z2). (3.3.5)

Соответствующие алгебры Ли приведены в приложении II. 2.

II. Группа симметрий уравнения эйконала является 4-мерной для

v(x,y,z), принадлежащей (с точностью до сдвига системы координат)

одному из четырех семейств функций (V(-) - произвольная функция, р2

+ Q2 + R2 = 1): плоско-слоистых

v(x,y,z) = V(Px + Qy + Rz), (3.3.6)

сферически-слоистых

v(x,y,z) = V(x2 + y2 + z2), (3.3.7)

цилиндрически-слоистых

v(x, у, г) = (-Rx + Pz) -V , (R Ф 0). (3.3.8)

и осесимметрично-слоистых

Соответствующие алгебры JIu перечислены в таблице II. 1 в приложении II.S.

Каждое из указанных семейств содержит по нескольку (четыре, шесть, шесть и шестнадцать соответственно) конечномерных подсемейств, для которых группы симметрий уравнения (3.1.3) шестимерны; кроме того, семейство (3.3.6) и семейство (3.3.9) имеют по одному подсемейству, для которых группа симметрий уравнения (3.1.3) пятимерна. Списки этих подсемейств для каждого семейства и соответствующие алгебры Ли приведены в таблицах II.S-II.6 в приложении II. 3.

III. Для 11 семейств функций скорости v(x,y,z), описываемых произвольными функциями от двух аргументов, группа симметрий уравнения (3.1.3) двумерна. Эти семейства определяются как общие решения уравнений вида

tvx + nvy + Çvz = (Çx-M)v (3.3.10)

(классифицирующих уравнений), где

£ = А(х2 ~ у2 - z2) + 2Вху + 2Cxz + Dx + Gy — Fz + H,

rj = В (y2 -x2- z2) + 2 Axy + 2Cyz -Gx + Dy + Ez + I, (3.3.11)

с = C(z2 - x2 - y2) + 2Axz + 2Byz + Fx - Ey + Dz + J,

a A, В, C, D, E, F, G, H, I, J и M - некоторые константы. Для каждого из таких семейств соответствующая алгебра Ли имеет вид

2 = д[£дг + Т)ду + 0Z - Мтрдф] + Ьдф, (3.3.12)

где Au L- произвольные константы. Формулы решений уравнения (3.3.10) для случая А2 + В2 + С2 ф 0 (классифицирующие уравнения с квадратичными коэффициентами) приведены в приложении II. 4, а для случая А =■ В — С ~ 0 (классифицирующие уравнения с линейными коэффициентами) - в приложении II.5. В обоих приложениях уравнение (3.3.10)

приведено сдвигом и поворотом системы координат к нормализованной форме, и формулы решений соответствуют именно этой форме.

IV. Во всех остальных случаях группа симметрий уравнения (3.1.3) одномерна (это - группа сдвигов по ф с алгеброй Ьдф).

Эта теорема является, наверное, самой сложной во всей диссертации. Огромный объем рутинных вычислений, который пришлось выполнить, вполне оправдался результатом, который дал опору для поиска интегрируемых уравнений (это уравнения с 15-мерной, 6-мерной и отчасти с 5-мерной группой симметрий) и решений. Кроме того, характер найденных групп (группы размерности 15 оказались просто группами конформных преобразований) оказался тесно связанным с геометрией: соответствующие уравнения порождают римановы метрики постоянной кривизны.

В четвертом параграфе находятся группы эквивалентности и исследуется пространство касательных эквивалентностей.

Теорема 3.4.1. Общая группа эквивалентности уравнений (3.1.3) совпадает с прямой суммой группы конформных преобразований пространства переменных (х,у, г) и группы сдвигов и растяжений переменной ф.

Теорема 3.4.2. Пространство касательных эквивалентностей для всякого уравнения вида (3.1.3), за исключением уравнений (3.3.1) и (3.3.5), является суммой алгебры Ли группы симметрий этого уравнения и алгебры Ли общей группы эквивалентности. Для уравнений вида (3.3.1) и (3.3.5) пространство касательных эквивалентностей является суммой алгебры Ли группы симметрий, алгебры Ли группы эквивалентности и четырехмерного пространства, образованного операторами

Ё = ва[ф\хдх + уду + гдг) + ф(х2 + у2 + г2 + ~ф2)д^ -ь(х2 + у2 + г2)д„}+

+ф2(Н0дх+Году+^дг+2(Нох+1оУ+^г)фдф-2ь(Н0х+10у+^)дг, (3.4.8) в случае уравнения (3.3.1) и операторами

Е = О0[ф2(хдх + уду + гдж] - В0ф

+ 1Ф2

дф+

+А>

2 ф2+

го2(х2 + у2 + г2) Зъ ду + ф2{А0[(х2-у2- г2)дх + 2худу + 2хгд,]+

•ш2(х2 + у2 + г2)

+В0[2худх + (у2 -х2- г2)ду + 2 ухдж] + С0\2хгдх + 2 угду + (г2 -х2- у2)дг\}

^и>2(х2+у2 + г2) 9ф + 2{А°Х + 0У + С°г) в случае уравнения (3.3.5).

т2(х2 + уг + гг)

(3.4.9)

В пятом параграфе на основе полученных в предыдущем параграфе результатов завершается групповая классификация: осуществляется расслоение всего семейства на классы эквивалентных уравнений. Классификационную теорему мы здесь не приводим, она лишь уточняет результат теоремы 3.3.1.

Наконец, шестой параграф этой главы посвящен явным решениям уравнения (3.1.3).

Теорема 3.6.1.Пусть v(x, y,z) = Рх + Qy + Rz (где Р2 + Q2 + R2 = w2 > 0). Тогда фронт волны точечного источника, находящегося в точке (х0, уо, zq), является сферическим и определяется соотношением

(x-xQ- Pp{t)f + (у - ¡/о - Qp{t)f + (z - zo - Rp(t)f = r2(f), (3.6.1) в котором

p{t):=^0 + Qy0 + Rz0{chwt_ r(t) = Px° + + Rz° shwt.

w w2 w

(3.6.2)

Теорема 3.6.2. Пусть v(x, y,z) = w- (x2 4-y2 + z2 ± v2). Тогда фронт волны от точечного источника, расположенного в точке (xo,yo,zn), является сферическим и определяется соотношением

(х - x0p(t))2 + (у- Уор(г))2 + (z - zop(t))2 = r2(t), (3.6.3)

где функции p(t) и r(t) задаются формулами (всюду г2 — х2 +у2 +

= + J"* (3.6.4)

для v(x, y,z)=w {x2 + y1 + z2 + i/2),

# »«о

i/2 - ц th wist v2 — 7q th wi/t

для v(x, y, z) = w • (x2 + y2 + z2 — i/2),

"М-т^да- чо-т^р* (3'6-6>

для v(x, y,z) = w ■ (а? + У2 + 2?).

Теорема 3.6.3. Пусть v(xt y,z) = Px + Qy + Rz (P2 + Q1 + R2 > 0). Тогда лучи (семейство кривых, ортогональных фронтам) являются полуокружностями, лежащими в плоскостях, ортогональных плоскости горизонта Рх + Qy + Rz = 0 и опирающимися на плоскость горизонта.

Теорема3.6.4. Пустьи(х,у,г) = ы-(х?+у2+г2-1'2) (гдер > 0). Тогда лучи являются дугами окружностей, лежащих в плоскостях, проходящих через начало координат, и эти дуги опираются на сферу горизонта х2 + у14- г2 = V1.

Теорема 3.6.5. Пусть ь(х,у, г) = ■ш-(х2+у2+г2+!/2) (где и > 0). Тогда лучи являются являются окружностями, проходящими через исходную точку (х0, уо, ¿о) « инверсную ей -1/2(х0, у0, го)/{х1 + у2 +

Теорема 3.6.6. Пусть у(х, у, г) — ю-(х2+у2+г2). Тогда лучи являются являются окружностями, проходящими через исходную точку (хо, уо, го) и начало координат.

Уже сами эти формулы оправдывают весь труд по вычислению групп симметрия. Однако оказалось, что с помощью этих формул удается увидеть новый факт, который был назван иллюзией движущегося источника.

Дело в том, что во всех формулах, как нетрудно заметить, фронт является сферическим (несмотря не неоднородность среды), но эта сфера -с движущимся центром. В простейшем случае ь(х, у, г) = х ее уравнение имеет вид (аг — хос\хиЛ)2 + (у — уо)2 + (г — го)2 = (ховЪм^2, из которого легко увидеть, что центр сферы движется со скоростью, пропорциональной радиусу сферы. Проверка показывает, что это имеет место для всех приведенных выше примеров, а естественная ассоциация с законом Хаббла (наблюдаемая скорость движения источника пропорциональна расстоянию до него) порождает вопрос о степени общности этого факта. Оказалось, что факт имеет общий характер и может быть описан как закон движения центра кривизны фронта:

Теорема 3.6.7.Пусть V : К2 —► К1 - произвольная дважды непрерывно дифференцируемая функция на плоскости, V« - ее градиент, 02ь -матрица ее вторых производных.

Пусть (х,у) - некоторая точка плоскости, Г - проходящая через эту точку вполне регулярная в окрестности этой точки кривая (фронт), т и V - нормальный и касательный к кривой Г в точке (х, у) единичные векторы, 7 - кривизна Г в этой точке.

Тогда для точки (х, у) скорость движения г* центра кривизны г* при сдвиге Г вдоль лучей (9) определяется формулой

г* = -Чь(х, у) - у) ■ V, I/)т. (3.6.9)

7 7

Теорема 3.6.8.Пусть V : К3 —► К1 - произвольная дважды непрерывно дифференцируемая функция, Уг> - ее градиент, И2ь - матрица ее вторых производных.

Пусть (х,у,г) - некоторая точка в пространстве, Г - проходящая через эту точку вполне регулярная в окрестности этой точки поверхность (фронт), тик- нормальный и некоторый касательный к Г в точке (х, у, г) единичные векторы, 7/, и е/, - нормальная кривизна и геодезическое кручение фронта в этой точке, отвечающие направлению Л.

Тогда для точки (х,у,г) скорость движения Гд соответствующего центра нормальной кривизны при сдвиге Г вдоль лучей (3.1.1) определяется формулой

Иллюзия движущегося источника возникает, когда наблюдатель, находясь в неоднородной среде, предполагает тем не менее, что она однородна (т.е. что скорость распространения возмущения постоянна) и не имеет в своем распоряжении средств достаточной точности, чтобы погрешность в измерении расстояния удалось соотнести с перемещением, которое можно вычислить по "наблюдаемой скорости".

Четвертая глава посвящена исследованию уже двумерного уравнения эйконала

Причин интересоваться этим уравнением две: во-первых, к этому уравнению сводятся все трехмерные уравнения с группой симметрий размерности четыре и выше. А во-вторых, как оказывается, двумерное уравнение эйконала оказывается по своим свойствами гораздо ближе к трехмерному анизотропному уравнению, чем к трехмерному изотропному (например, тем, что его группа эквивалентности является бесконечномерной: алгебра конформных преобразований двумерного пространства, в отличие от пространств более высокой размерности, довольно обширна - это алгебра аналитических преобразований комплексной плоскости). Поэтому можно ожидать, что техника, разработанная для двумерного уравнения, окажется полезной и для уравнения анизотропных. Сразу отметим, что это предположение уже подтвердилось, но рассмотрение анизотропных уравнений выходит за рамки нашей диссертации.

В первом параграфе этой главы проводится групповой анализ уравнения (3.1.4). В результате этого анализа выделяется два важных семейства уравнений: уравнения с правой частью и(х,у) = У{х), зависящей только от одной переменной, которые мы будем называть уравнениями с плоским слоением (имеется в виду слоение среды), и уравнения с ь(х, у) — емуУ(х),

т.

(3.6.15)

(3.1.4)

которые мы будем называть уравнениями с квазиплоским слоением, предполагая при этом, естественно, что н ф 0. Функцию V(x) и в том, и в другом случае мы будем называть функцией слоения. В роли центральной характеристики, от которой зависят свойства решений уравнения эйконала, оказывается кривизна пространства лучей (риманова пространства с метрикой dl2 = (dx2 + dy2)/v2(x,y), в котором лучи являются геодезическими), вычисляемая по формуле

К(х, у) = v(x, y)Av(x, у) - у)?. (3.1.10)

Теорема 4.1.1. Общая группа эквивалентности уравнения (8-1-4) совпадает с прямой суммой группы конформных преобразований двумерного евклидова пространства, и группы линейных преобразований переменной ф. Алгебра Ли этой группы является бесконечномерной и определяется соотношениями

tv + V* = 0, Ф = Мф + L (j = v(£x-M). (4.1.4)

Теорема 4.1.2.1. Уравнение (3.1.4) имеет 10-мерную группу симмет-рий тогда и только тогда, когда пространство лучей имеет постоянную кривизну. Любое такое уравнение некоторой заменой переменных х — а(х,у), у = ß(x,y) сводится к некоторому уравнению с плоским слоением.

II. Среди уравнений с плоским слоением постоянную кривизну имеют только уравнения с V = const, V = wekx (для которых кривизна К = 0), V = wx (для которого К = —w2), V = w cos(fcr + h), V = wsh(kx + h) (для которых К = -k2w2) и V — wch(kx -t- h) (для которого К = k2w2). Алгебры Ли групп симметрий этих уравнений для k = w = 1, h = 0 приведены в приложении II. б.

III. Уравнение (3.1.4) с пространством лучей непостоянной кривизны имеет нетривиальную группу симметрий (более широкую, чем группа сдвигов переменной ф, порожденная алгеброй Ьдф) тогда и только тогда, когда оно некоторой заменой переменных х = а{х, у), у = ß(x, у) сводится к уравнению с плоским или квазиплоским слоением.

IV. Среди уравнений с квазиплоским слоением трехмерную группу симметрий имеют только уравнения с v(x,y) = w(x+h)1+x, алгебра Ли этой группы имеет вид

S = А((х + h)dx + уду - Хфдф) + Вду + (4.1.6)

и уравнения с v(x,y) = we*ysin1+'</x(\x + h), алгебра Ли этой группы имеет вид

Е = АеХу(со&(\х + Л)<% + sin(Ax + h)dv) + В{ду - яфдф) + Ьдф. (4.1.7)

Для остальных же уравнений группа симметрий двумерна и ее алгебра Ли имеет вид (х = 0 для плоского ус ф 0 для квазиплоского слоения)

= В(ду - хфдф) + Ьдф.

(4.1.8)

Теорема 4.1.3. Пространство касательных эквивалентностей для любого уравнения вида (1) является суммой алгебры симметрий этого уравнения и общей алгебры эквивалентности.

Четвертый результат этого параграфа - классификационная теорема, уточняющая теорему 4.1.2.

Во втором параграфе, завершающем диссертационную работу, приводятся условия приводимости уравнения заменой пространственных переменных к уравнению с плоским или квазиплоским слоением, критерий эквивалентности двум уравнение (теорема о семи инвариантах), описаны явные формулы решений достаточно широкого класса уравнений, и, наконец, описан новый эффект локализации фронта в некоторой области. Этот эффект не связан с традиционно изучаемыми, в частности, в теории волноводов причинами: с наличием нулей или экстремумов функции скорости и(х, у). Причиной появления эффекта является резкий рост функции скорости, в результате чего лучи быстро разворачиваются в сторону ее антиградиента и превращаются в практически параллельный пучок.

Лемма 4.1.4. Для того, чтобы уравнение (3.1.4) было приводимо к уравнению с плоским слоением, необходимо, чтобы функции + К2)

и ь2(Кхх + Куу) были функционально зависимыми с К(х,у), т.е. чтобы выполнялись условия

Эти условия являются и достаточными для существования в окрестности точки (х,у) замены, приводящей к уравнению с плоским слоением, если либо К(х,у) = const в этой окрестности, либо в этой точке

В отличие от уравнений с плоским слоением, для уравнений с квазиплоским слоением критерии приводимости используют не столько саму функцию К(х,у), сколько вычисляемые по ней величины

иК\ + Ц)\х [v2(K2x + K2)}y =Q Кх Ку

+ куу)]у _

(4.1.31)

(4.1.30)

Кх

К1 + К1Ф 0.

v2(x,y) K(x,y)

Они, как нетрудно видеть, являются инвариантами (поскольку представляют собой отношение первого и второго параметров Бельтрами для логарифма кривизны к самой кривизне). Поскольку случай нулевой кривизны сводится к уравнению с плоским слоением, мы будем предполагать здесь, что кривизна ненулевая и даже более того - непостоянная.

Лемма 4.2.1. Для того, чтобы уравнение (3.1.4) с непостоянной кривизной К(х,у) было приводимо к уравнению с квазиплоским слоением (с я фО), необходимо и достаточно, чтобы для функций а*, а**, определяемых формулами (4.2.7)-(4-2.8), выполнялись два условия: 1. Эти функции должны быть функционально зависимы:

= 0;

(4.2.9)

&. Если при этом обе они являются константами, то должно выполняться соотношение а* = 2(сг**)2/(2 — а**); в противном случае функции т и 9, определяемые по а (где а — а* если а* Ф const и а — а** если а* = const, но а** ф coast), формулами

т =

9 =

{v^l + ol))yax-{v2[al + al))xay (v2[<r2x + ^})yay + (v2[al + al])xax

(4.2.10)

(4.2.11)

ь2[а1 + а2у}2

должны быть функционально зависимыми с о(х,у), т.е. должны выполняться соотношения

Тх Ту 9Х 9у

ах (Ту crx cry

= 0,

(4.2.12)

причем т должна быть отлична от нуля.

Теорема 4.2.1. Для того, чтобы уравнение (1) с функцией ь(х, у) некоторой точечной заменой а — а(х,у), /3 = /3(х, у) приводилось к уравнению с функцией У(а,0), необходимо, чтобы семь функций

К{x, у) = у(ьхх + Ууу) - (у2х + v2),

= и2(х,у)(К2х + К1), 52(х,у) = у2(х,у)(К£х + Куу), £><+ = у2(х,у)(рхкх + &уку), ег - у2(х,ущк, - &хку)

находились между собой в тех же функциональных зависимостях, что и семь функций

я(а, ß) = ViYca + Vßfi) - (v2 + vi), o\a,ß) = V2(a,ß)(^a + 4), <r2(a,ß) = V2(a,ß)(xaa + xßß), 5i+ = V2(a, ß){aixQ + a*ßXß), <T = V2(a, ß)(a^a -

Это условие является и достаточным для существования в окрестности точки (х*,у*) соответствующей замены в случаях, когда

• Sl(x,y) = 0 (т.е. К(х,у) = const^ в окрестности (х*,у*);

• S1(x*, у*) ф 0, но Dl~(x, у) = 0 в окрестности (х*,у*) (т.е. S* функционально зависимы с К) и К(х*, у*) принадлежит множеству значений x(a,ß);

• по крайней мере одна из Dl~(x*,y*) отлична от нуля и система x(a,ß) = К(х*,у*), о*(ot,ß) - &(х*,у*) для соответствующего г имела хотя бы одно решение.

Приложения содержат вспомогательный материал: первое приложение содержит вывод формулы распространяющихся волн, второе - формулы для алгебр Ли групп симметрий уравнений эйконала, третье - решение определяющих уравнений для алгебры Ли группы конформных преобразований трехмерного пространства.

Автор выражает глубочайшую благодарность своему научному консультанту профессору Николаю Христовичу Розову за постоянное внимание, за ценные советы, помогавшие ему в работе над диссертацией, за создание той творческой атмосферы, без которой написать эту работу было бы невозможно.

Основные публикации автора по теме диссертации

[1] Боровских A.B. Формула распространения волны в одномерной неоднородной среде // Труды ВВМШ "Понтрягинские чтения - XI". Часть II. Воронеж, 2000. С. 36-40.

(2] Боровских A.B. Формула распространяющихся волн для одномерной среды // Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения И.Г.Петровского. Тез. докл. М.: Изд-во МГУ, 2001. С. 72-73.

[3] Воровских A.B. Формула распространяющихся волн для од- номерной неоднородной среды // Дифференциальные уравнения. 2002. Т. 38, N 6. С. 758-767.

[4J Боровских A.B. Групповая классификация уравнения эйконала для неоднородной среды // Дифференциальные уравнения. 2002. Т. 38, N П. С. 1570.

(5) Боровских A.B. Геометрия фронтов и лучей в среде с линейной и квадратичной функцией скорости // Дифференциальные уравнения. 2002. Т. 38, N 11. С. 1573.

[6J Боровских A.B. Уравнение эйконала в неоднородной среде//Доклады РАН. 2003. Т. 391, N 5. С. 587-590.

[7] Боровских A.B. Групповая классификация уравнений эйконала для t волнового уравнения в неоднородной среде // Современная математика и ее приложения. 2003. Т. 10, С. 22-33.

[8] Боровских A.B. Групповая классификация уравнений эйконала для трехмерной неоднородной среды // Математический сборник. 2004. Т. 195, N 4. С. 23-64.

[9J Боровских A.B. Иллюзия движущегося источника в геометрической t

оптике неоднородных сред // Дифференциальные уравнения. 2004. Т. 40, N 7. С. 867-873.

[10J Боровских A.B. Уравнение эйконала в неоднородной среде // Тез. *

докл. Междунар. конф., посвященной 103-летаю со дня рождения И.Г.Петровского. М.: Изд-во МГУ, 2004. С. 36-37.

[11J Боровских A.B. Метод распространяющихся волн для одномерной неоднородной среды // Труды семинара им. И. Г. Петровского. 2004. Т. 24. С. 3-43.

[12] Боровских A.B. Выражение функции Римана для волнового уравнения в неоднородной среде через коэффициенты переноса // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41, N 6. С. 851.

[13] Боровских A.B. Групповой анализ двумерного уравнения эйконала // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41, N 6. С. 854.

[14] Боровских A.B. Явные решения двумерных уравнений эйконала // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41, N 6. С. 859.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М В. Ломоносова. ЛД 03 Подписано « печать

Формат 60 х 90 I /1« . Усл. печ. л. 2,5

Тираж 100 эю. Заказ (5

¡I

I

I

I

Í

! к

!

s 4

с 4

i

i \

f

I

f

t

t \

YsfAO

#11520

Введение

1 Постановка задачи и описание проблемы

Основная цель настоящей работы - описать в адекватных математических терминах процесс переноса волн в неоднородной среде и установить связи между различными математическими формами описания переноса волн и различными .математическими формами описания эволюции среды.

Здесь необходимо сразу уточнить, что имеется в виду, поскольку в существующей литературе понятие "волна" является чрезвычайно расплывчатым. Суммируя все употребляемые смыслы, можно прийти к заключению, что волной называется "все, что движется". Это, вообще говоря, не вполне оправдано. Отметим, кстати, что понятие "волна" не фигурирует ни в математических энциклопедиях, ни в математических справочниках. Что же касается физической справочной литературы, то в ней понятие волны автору удалось найти только в физической энциклопедии [59].

Для уточнения смыслов приведем следующую табличку:

Волны в среде Эволюция среды Колебания в среде

Дифф. форма Уравнения переноса Уравнения сплошной среды Уравнения геометрической оптики

Интегр. форма Формула распр. волн Формула Римана Формулы контурного интегрирования

В ней "переносу волн" (т.е. процессу преобразования движущихся форм) соответствует левая колонка, средняя колонка отвечает за "эволюцию среды "в динамической системе представлений (как процесс преобразования с течением времени "фазовых"характеристик - состояния среды и скорости изменения этого состояния), правая - за "колебания в среде", т.е. изменение состояния среды, являющееся синусоидальным по времени и сохраняющим свою форму в пространстве.

Конечно, поскольку речь идет но существу об одном и том же процессе, лишь описываемом разными способами, между этими колонками не может быть принципиальной разницы. Однако для того, чтобы ясно представить и точно описать переход одного смысла в другой, необходимо четко зафиксировать разделение этих смыслов.

К дифференциальной форме описания состояния среды можно отнести практически все уравнения, называемые сейчас "волновыми" - уравнения акустики, систему Максвелла, уравнения упругого тела, уравнения гидродинамики и газовой динамики.

К интегральной форме описания состояния среды можно отнести интегральные формулы решения этих уравнений (таких, как формулы Далам-бера. Римана, Пуассона, Кирхгофа). Несколько промежуточное положение здесь занимают интегральные уравнения (например, известная формула С.Л.Соболева [146], распространенная затем В.Г.Гоголадзе [63] на анизотропный случай), которые являются важным средством установления эквивалентности дифференциальной и интегральной формы описания одного и того же явления. Такого рода эквивалентность на самом деле чрезвычайно важна как математическая связь между представлениями о близко-и дальнодействии (см., напр., [108, Гл. IV, п. 95а]).

Уравнения геометрической оптики - это уравнения, получающиеся из уравнений состояния среды при подстановке в них решения вида общее же решение уравнений состояния получают интегрированием решений (1.1). причем, поскольку параметр и обычно допускается не только вещественным, но и комплексным, это интегрирование происходит в комплексной области по некоторому контуру:

Хотя в формуле (1.1) не написано ничего более чем "рассматриваются гармонические колебания среды с фазой и амплитудой, зависящей от точки этой среды", эти решения часто называют, следуя Уизему [160]. "дисперсионными волнами". В целях разделения смыслов мы будем эту систему представлений называть "колебаниями в среде", чтобы рельефнее выделить основной смысл понятия "волна", который идет от непосредственных наблюдений за волнами, например, на воде и который состоит в том, что волна ~ это некоторое поле, скалярное или векторное, которое изменяется с течением времени путем переноса его, в силу связанности среды, из одних точек пространства в другие. Носителем волны является фронт, а направление переноса определяется лучами. Под фронтом понимается набор линий уровня решения уравнения характеристик (уравнения эйконала) соответствующего волнового уравнения, а под лучами - интегральные линии поля коградиентов этого решения уравнения эйконала (или, другими словами, бихарактеристики волнового уравнения).

Обоснованность такой дискриминации по отношению к "дисперсионн-ным волнам" мы хотели бы проиллюстрировать на двух совершенно тривиальных примерах.

Пример 1. Рассмотрим одномерное уравнение ии = ихх - а2и, где а - константа. Решениями этого уравнения являются, очевидно, функции и = 8щ(оД — кх)1 где к = ^ш2 — а2. Можно ли эти решения считать "волнами"?

На первый взгляд - да, поскольку налицо некая движущаяся форма (синус). Однако в полученной формуле скрыт хорошо известный парадокс фазовой скорости. Он состоит в том, что скорость движения этой формы (которая и называется "фазовой") и/к=ш/\/ш2 - а2 больше единицы, т.е. характеристической скорости распространения конечных возмущений, и поэтому получается, что наша синусоидальная форма, рассматриваемая как целое, двигается с большей скоростью, чем та же самая синусоидальная форма, мысленно разбитая на конечные фрагменты (например, по полпериода).

Парадокс этот не только обнаруживается, но и разрешается мысленным экспериментом: выделим в некоторый момент времени одну из полуволн ("горбик"), отметим его точку максимума (пусть это будет точка А), затем посмотрим, куда этот максимум переместился за время Д£ и обозначим эту точку через В. Теперь вернемся назад, к начальному моменту времени, удалим полуволну, содержащую точку А (т.е. заменим на полупериоде синус нулем), и посмотрим, что будет происходить с такой испорченной движущейся формой дальше. Элементарные рассуждения, основанные на линейности дифференциального уравнения, показывают, что созданный нами дефект будет распространяться с единичной скоростью, поэтому он будет отставать от синусоидальной формы, и в результате через время в точке В, как ни в чем не бывало, появится максимум синусоидальной формы.

Проведенные рассуждения показывают, что в нашем примере в точке В форма синуса из точки А не переносится, она в этой точке воспроизводится на основе предшествующего состояния среды в пределах области влияния точки Б, в которую точка А, естественно, не попадает.

Пример 2. Усугубим ситуацию, удалив из уравнения производную по х и рассмотрев для функции х) уравнение ии = ~а2и.

У этого уравнения, как и в предыдущем примере, имеется решение вида 2 = Бт(а;£ — кх), только здесь и = а. а к может быть любое. Значит ли это, что мы получаем волны с различной скоростью распространения?

Оказывается, что нет. Считать полученные решения волнами абсурдно, ибо написанное уравнение описывает континуум никак не связанных с собой гармонических осцилляторов. И поэтому наличие "волны" является здесь иллюзией, следствием случайного согласования фаз колебаний этих осцилляторов.

Второй пример делает несомненным заключение, которым мы завершили первый пример, и которое хотели бы рафинированно выразить в следующей форме: гармонические колебания среды, вообще говоря, не совпадают с волнами, так как форма колебаний в них не переносится, а воспроизводится. Несомненно, что этот эффект носит совершенно общий характер и не связан с постоянством коэффициентов рассматриваемых уравнений. Совпадение гармонических решений с волнами эффект, возникающий только в однородной среде.

Возвращаясь к основной задаче настоящей работы, мы теперь можем сказать, что основной целью является получение для неоднородной среды описания переноса волн в дифференциальной и интегральной форме, т.е. уравнений переноса (аналогичных уравнениям V* г^ = 0, на которые, как известно, распадается классическое одномерное волновое уравнение Щг — иХх) и формулы распространяющихся волн (аналогичных формуле = ¡{х — ¿) + д(х + ¿) для того же уравнения) и установление связи такого описания с уравнениями состояния среды (также и в дифференциальной и в интегральной форме).

Основная проблема здесь состоит в том, что несмотря на базовый, для всей теории гиперболических уравнений и систем, характер математического представления о том, что волны (некоторые величины) переносятся фронтами (линиями уровня решений уравнения характеристик) вдоль лучей (бихарактеристик), оказывается, что уже в хоть сколько-нибудь неоднородной среде эти представление оказывается несколько "дефектным". Уже в случае кусочно-однородной среды исходная движущаяся форма начинает дробиться с течением времени, "перемешиваться", так что возмущение, пришедшее в одну точку из другой, при этом проходит довольно извилистый путь. Ситуация усугубляется в среде более высокой размерности: хотя вроде бы для однородной среды формулы плоской и сферической волны во всем пространстве соответствуют представлениям о переносе волн. появление в этом пространстве препятствий (т.е. с математической точки зрения - появление граничных условий) немедленно приводит к появлению эффекта дифракции, разрушающего эти представления.

Единственным объектом, который действительно отвечает представлениям о переносе волн, является разрыв решения, и именно эта интерпретация (разрывы распространяются вдоль характеристик) обычно цитируется во всех учебниках.

Таким образом, вдоль бихарактеристик, изначально возникших из представлений о переносе волн, переносятся только разрывы, которые являются "волнами" только в очень сильно обобщенном смысле.

Решение проблемы здесь связано с коррекцией исходной системы представлений и введением в него явления дисперсии (рассеивания) волн: в каждой точке волна, пришедшая в эту точку, распространяется из нее не только по тому направлению, по которому она пришла, а по всем направлениям (этот эффект становится особенно очевидным при изучении распространения волн на сетях - см. [176], [132]). В одномерной среде таких направлений два, и наличие неискажающегося движения вправо или влево в случае уравнения utt — ихх связано с чисто случайным фактом аннуляции соответствующего коэффициента. В среде более высокой размерности волна, т.е. ориентированное возмущение V(t, х, в) (t - момент времени, х -точка среды, в - единичный вектор направления распространения волны) должно в каждой точке подчиняться уравнению вида

Vt{t, х, в) + 6Vx(t, х,6) = — [ o-(i, х,в, 6')V{t, х, e')dSe> (1.3)

SU JSgl где sn - площадь единичной сферы в пространстве размерности п, Sq> -сфера (для переменной в'), по которой происходит интегрирование, dSe> -элемент площади этой сферы. Коэффициент а описывает собственно перераспределение волн по направлению (он называется индикатрисой рассеяния) и может быть как обычной функцией, так и обобщенной (что может приводить к появлению внеинтегральных членов).

Уравнение (1.3) известно, и носит название линейного уравнения переноса излучения (см., напр., [8], [122]), однако связь его, например, с классическим уравнением utt = А и до сих пор не установлена: не ясны ни условия на сг, при которых решение волнового уравнения представляется в виде интеграла по сфере Se от V(t,x,ö), ни условия на сами волны, ни связь их с начальными условиями. Единственное, что можно предполагать, исходя из общих соображений - что в случае стационарной однородной среды а не зависит ни от t, ни от х и что для изотропной среды она зависит только от угла между в и 9'.

Уравнение (1.3) является локальной формой описания волн. Интегральная форма, естественно, должна выражаться через решения уравнения эйконала и связанные с ним величины. В случае неоднородной среды здесь возникает еще одна проблема: уравнение эйконала, широко известное [97] и, как считается, "решенное" (алгоритм решения этого уравнения методом характеристик изложен, наверное, во всех книжках по распространению волн в неоднородной среде), на самом деле решено только в случае среды однородной. Желающий попробовать решить это уравнение в соответствии с вышеупомянутым алгоритмом в лучшем случае получает пару квадратур, из которых надо исключить константы, находящиеся где-то под знаком радикала от функции общего вида, который подвергается интегрированию.

Известные попытки решения уравнения эйконала или уравнения лучей в каких-то частных случаях не имеют систематического характера. Остается только удивляться, насколько мал тот зазор, который отделял их авторов (см., напр. [17], [8]) от эффектных и ярких геометрических представлений с которыми оказываются связанными решения уравнений эйконала. Единственными, пожалуй, примерами, когда исследование уравнений эйконала и лучей дало геометрический результат, являются работы [3], где получено уравнение лучей для среды с линейно меняющейся скоростью распространения возмущений (там же построен головной фронт волны с учетом отражений от границы полупространства, хотя и не указано, что часть этого фронта, отвечающая за волну, прошедшую без отражений, является просто дугой окружности), и [111], где для функции скорости типа квадратного корня из линейной функции удалось описать лучи в виде дуг циклоид. Ближе всех к описанию наиболее типичных решений удалось приблизится в [8], и, видимо, только отсутствие уверенности в том, что найденные случаи - наиболее рафинированные, остановило авторов в двух шагах от геометрических образов.

Проблемы, связанные с уравнением эйконала, конечно, исчезают в случае среды одномерной. В этом случае в принимает всего два значения (±1), интеграл в уравнении (1.3) превращается в сумму двух слагаемых, само уравнение (1.3) превращается в систему и вопрос о связи между этой системой и, например, уравнением а{х)щ = (Ь(х)их)х существенно упрощается и сводится к вопросу об их эквивалентности в том или ином смысле.

Именно для одномерной среды вопрос о волновых представлениях поднимался более-менее регулярно и как-то решался, пусть и даже частично, в рамках того или иного класса задач. Наиболее рафинированным образом вопрос об эквивалентности волнового уравнения и системы (1.4) выражен, например, в [121], однако там речь идет только о взаимном отношении дифференциальных (локальных) форм, вопрос об интегральном представлении решений (1.4) и связи этого представления с интегральным представлением решения волнового уравнения (формулой Римана) не обсуждался.

Уравнение (1.4) с сг+ = сС — 0 под названием "двухкомпонентной системы Дирака" достаточно подробно изучалось в [122] с точки зрения теории рассеяния, там же в контексте теории рассеяния изучалось и уравнение (1.3), но зато вне связи с волновыми уравнениями.

Значительное внимание системам вида (1.4) уделяется в теории обратных задач (там переход от волнового уравнения к системе носит название "волнового расщепления", или "wave splitting") [179, 187, 202]. Однако и здесь полноценная связь между уравнениями состояния среды и уравнениями переноса волн происходит "на решении "(как правило, удовлетворяющем нулевым начальным условиям), а не в целом. Отметим, что и сама идея "волнового расщепления" несколько отлична от представлений о распространяющихся волнах: "волновое расщепление" производится по двум направлениям времени, а когда мы говорим о распространяющихся волнах - то расщепление происходит по направлениям пространства. В одномерных задачах это различие практически неощутимо, а в многомерных - дает совершенно разные формы уравнений.

Таким образом, для решения сформулированной задачи - создания полноценной системы математически выраженных представлений о переносе волн необходимо сделать как минимум три вещи. Во-первых, получить интегральное представление для распространяющихся волн хотя бы для одномерной среды и связать его как с дифференциальными уравнениями переноса, так и с интегральным описанием состояния среды (с помощью функции Римана, например); развить технику перехода от одних представлений к другим и оперирования внутри самих представлений (например, с помощью тех или иных принципов композиции отображений данных); разработать технику решения наиболее типичных задач. Во-вторых, по возможности максимально исследовать геометрию уравнения эйконала и уравнения лучей, получить какой-то хотя бы минимальный запас явных примеров решений для случая неоднородной среды; изучить уравнение переноса волн (1.3) в многомерном случае и установить его связь с волновыми уравнениями. Наконец, в-третьих, - перенести на многомерный случай всю систему связей между дифференциальными и интегральными представлениями в терминах переноса волн и в терминах изменения состояния среды.

Конечно, все перечисленное в несколько раз превосходит по своему объему то, что может представлять из себя докторская диссертация. В представляемую работу включены результаты, которые удалось получить к настоящему времени: это полностью сделанный метод распространяющихся волн для одномерной среды и детальное исследование геометрии уравнения эйконала для двумерной и трехмерной сред.

Представления, связанные с волновыми процессами, встречаются в природе повсеместно, и в человеческом мышлении они отражены не только на уровне сознания, но и на уровне подсознания, благодаря чему и оказывается столь богатой различными продуктивными идеями.

Даже такие базовые геометрические объекты как прямая линия и окружность есть не более чем идеализированные образы луча света и кругов на воде. Теория характеристик нелинейных уравнений первого порядка - это абстрагированная теория взаимного отношения фронтов и лучей. Классическое вариационное исчисление - сплав оптико-механических аналогий. Развитие математических представлений о волновых процессах важно не только для естествознания, но и для самой математики, так как именно волновые процессы являются одним из основных поставщиков математических идей, понятий, представлений.

Первые математические формулировки, отражающие человеческие представления о волнах, принадлежат Ферма и Гюйгенсу, которые в геометрических терминах охарактеризовали базовые свойства лучей и фронтов. В XIX веке, который по праву можно считать "веком формул", получены формулы Даламбера и Фурье, Пуассона и Кирхгофа, Вольтерра и Дюамеля, введены функция Грина и функция Римана, проведены исследования Гурса и Дарбу. Все они создали классическую систему представлений о волне как о поле некоторой величины, которая переносится фронтами вдоль лучей.

В XIX веке были написаны и основные уравнения, описывающие волновые поля - уравнения Максвелла, газовой и гидродинамики, теории упругости. В XIX же веке установлена связь между уравнениями лучей-, фронтов и волнового поля в терминах характеристик. К концу этого века исследование простейших уравнений было в основном завершено. В какой-то мере "рубежной" можно считать монографию Адамара [2].

XX век, помимо новых классов волновых уравнений, возникающих в квантовой механике и теории относительности, породил, в связи с интенсивным темпом развития техники, многочисленные классы уравнений, уточняющих классические модели и учитывающие большее или меньшее количество разнообразных факторов. Именно в XX веке приобретает особую роль проблема общности получаемых математических результатов. Дело здесь не только в том, что когда речь идет о реальных процессах, то описывающие их уравнения могут, в зависимости от конкретных условий, иметь тот или иной вид. Проблема состоит в том, что эти уравнения пишутся нередко исходя из тех или иных предположений, не имеющих абсолютного обоснования.

Так, в теории деформаций упругих сред переход к упруго-пластическим деформациям связан уже с гипотезами о природе пластичности, для которых до настоящего времени нет ни безусловных экспериментальных подтверждений, ни безусловных экспериментальных опровержений. Гипотетическими, по большому счету, являются и модели детонационых процессов в газовой динамике, и модели глубинной структуры Земли, и модели плазменных процессов в звездах. Пользующаяся всемирной популярностью система уравнений Навье-Стокса для течения вязкой жидкости выведена в предположении ламинарности и плоско-параллельного характера течения. Она адекватно не описывает даже течение в искривленной трубе, а в общих постановках вообще неясна ее корректность (см., напр. [138]). Точно так же лишь модельный характер носят многие уравнения квантовой механики.

Поэтому приобретает особую роль вопрос о том, какие свойства тех или иных классических уравнений и в какой форме сохраняются для всех уравнений некоторого класса, независимо от конкретных деталей устройства этих уравнений (которые, как мы уже отметили, основываются на гипотезах, не всегда допускающих проверку как по ограничениям технических возможностей, так и по ограничениям доступных для этого ресурсов).

Среди достижений волновой теории XX века, прежде всего, следует отметить исследование вопроса об уникальном свойстве волнового уравнения в трехмерном пространстве, которое Ж.Адамаром [2] было названо "принципом Гюйгенса". Изучение степени общности этого свойства было начато И.Г.Петровским в его известной работе о лакунах [131] и опиралось на ставшее теперь каноническим понятие гиперболичности; это направление было затем продолжено работами [186, 65], [68], [33], [61], [107], [27], [77[.

Представление о волне как о движущейся форме дало толчок целой серии исследований, в которой среди решений того или иного класса уравнений отыскивались решения вида А(х)Р(1 — ф(х)) с произвольной функцией Г и фиксированными функциями А, ф. которые должны удовлетворять соответствующим уравнениям. Такие решения получили название функционально-инвариантных, впервые вопрос был поставлен в работе С.Л.Соболева [148], и исследовался в [72], [182], [85, 86].

Отметим работу [181], в которой была сделана попытка распространить идею волны как величины, переносимой по характеристикам, на случай неоднородной среды (изначально понятие функционально-инвариантного решения вводилось для уравнений, описывающих однородные среды). Поскольку на всех характеристиках одновременно решение сохраняться не может, здесь был поставлен и исследован вопрос о существовании решений, которые сохраняют свое значение на одной характеристике.

Хотя, конечно, представление о волне, как о величине, которая переносится без изменений, для неоднородной среды некорректно и должно быть заменено на представление о волне, как о величине, которая переносится с изменениями, и эти изменения описываются теми или иными формулами (здесь есть аналогия с понятием скорости: для равномерного прямолинейного движения скорость есть постоянная характеристика, для неравномерного - переменная, и закон ее изменения описывается уравнениями Ньютона), указанная работа, на наш взгляд, является важной хотя бы просто в связи с самой постановкой вопроса.

Существенно было расширено представление о лучах и фронтах, начатое работами [6] (где была обнаружена некорректность геометро-оптического подхода в случае неоднородной среды), [3] (где получены уравнения лучей и описан головной фронт волны для полупространства с линейно меняющейся скоростью распространения волн), [12] (где был сформулирован результат о неуничтожимости особенности волнового фронта). Переход к изучению нестационарных волновых процессов привел к пространственно-лучевому методу [14], в основе которого лежит представление о фронтах и лучах как проекциях гладких гиперповерхностей и кривых на пространство "пространственных переменных", так что все особенности возникают только как результат проектирования. Это позволило подключить к волновой теории мощнейший аппарат теории особенностей [9]-[10],[153[.

Чрезвычайно важным оказался вопрос об обобщении понятия решения, также восходящий к работе Адамара [2] в связи с изучением структуры фундаментального решения. Здесь, безусловно, величайшим открытием XX века стало введение Соболевым пространств обобщенных функций [149, 151]. Использование этих пространств, несомненно, избавляет нас от необходимости изучать, какие несущественные особенности решений как себя ведут, что с ними происходит, как они взаимодействуют. Докторская диссертация О.А.Ладыженской, опубликованная в виде монографии [101], положила начало целому направлению, связанному с исследованием условий корректности краевых задач для гиперболических уравнений в обобщенной постановке. Следует правда, отметить, что соболевские пространства далеко не исчерпали полностью ту степень обобщения понятия решения, которая требуется для решения физических задач, так что исследования в этом направлении продолжаются до сих пор. Из работ в этом направлении отметим, напр., [119], [139], [127], [69].

Примечательным является то, что введение обобщенных решений отнюдь не решило проблем с решениями классическими, так что исследование условий классической разрешимости продолжается до сих пор. Отметим в связи с этим совсем недавнюю работу [171]. где почти 200 лет спустя после Фурье удалось применением метода Фурье получить необходимые и достаточные условия классической разрешимости одномерного волнового уравнения.

Распространению метода Римана [198] на более широкие классы уравнений, начатому еще в XIX веке [197], посвящены работы [106], [142], [144]-[145], причем в первой из них интегральное представление Римана само эффективно используется для анализа решений.

В XX веке появился и ряд новых направлений, связанных с распространением волн. Прежде всего - это теория дифракции, начатая в [105, 166, 167, 168] и развивавшаяся настолько бурно, что одно перечисление работ здесь, наверное, заняло бы несколько сот страниц. Упомяну лишь те, которые, скажем так, "держал в руках" (в основном - отечественных авторов) и которые, на мой личный взгляд, являются наиболее значимыми. Это, безусловно, работы [11,13], [6, 7, 3], [91], [55], [52, 53], [183, 184, 185], [162]-[164], [128], из более современных отметим [14, 15], [34], [129, 130], [66], [60].

В связи с практическими нуждами геофизики, радиотехники, радиолокации оформилась в чрезвычайно мощное направление теория обратных задач - спектральных [110], [62, 104], [92]-[96], [4], ¡175], динамических [29]-[32], [3|, [22]-[25], [1, 26], [100], [140, 141], [99], интегральной геометрии [190], [8], [112], [172]. Отчасти связано с этим кругом вопросов и исследование условий разрешимости задачи Дирихле, которая для гиперболических уравнений является некорректной [150], [188], [177], [189], [56], [135], [98].

Началось исследование задач управления для гиперболических уравнений и систем [54], [191], [193], [199]-[200], [87], [1], [78]-[81], [156]-[157], [73].

Невозможно не упомянуть возникшую из задач квантовой механики теорию рассеяния [161], [102], [67], [122] также, как и теория дифракции, опирающуюся на асимптотические методы.

Исследование нелинейных уравнений асимптотическими методами как в "волновой" интерпретации (см., напр., [116, 117]), так и с точки зрения теории колебаний (см., напр., [113, 89, 114, 90]) сейчас является, пожалуй, одним из наиболее бурно развивающихся направлений в теории волн.

Правда, переход к нелинейным уравнениям оказывается связан с рядом достаточно тонких вопросов понятийного характера, так как здесь многие представления начинают "расплываться". Так, представление о волнах традиционно связано с конечностью скорости распространения возмущения. и это свойство традиционно считается следствием гиперболичности "главной части" уравнения. Однако открытый А.С. Калашниковым эффект конечной скорости распространения в нелинейном параболическом уравнении [82] показывает, что наличие нелинейных членов может, грубо говоря, превращать параболическое уравнение в гиперболическое. Этому же вопросу посвящены работы [20], (88], в которых изучается уже "тепловая волна" (хотя с точки зрения исходных представлений о разграничении тепловых и волновых свойств это словосочетание звучит абсурдно).

Вопрос о балансе влияний на характер уравнения составляющих его слагаемых оказался нетривиальным не только для нелинейных, но и для линейных уравнений, и исследовался в терминах вопроса об иерархии волн. Термин, наверное, не самый удачный, поскольку иерархизации подлежат не волны, а слагаемые, составляющие уравнение - так же, как в методе диаграмм Ньютона решения алгебраических уравнений в виде степенных рядов, когда главный член ряда определяется только несколькими членами уравнения. Нетривиальность вопроса об иерархии волн показывает тот факт, что перенос базового принципа ("правильная" перемежаемость корней соответствующих полиномов или символов) на уравнения для многомерной среды был сделан совсем недавно в работе [16].

Наконец, отметим возникшие в последние 20 лет совсем новые направления в теории гиперболических (особенно волновых) уравнений и систем -теория усредеиения [21], [155] и исследование нелокальных задач [83], [64], [58], [136]-[137].

Возвращаясь к вопросу об актуальности темы нашей работы, нужно, наверное, указать только два аспекта. Первый - что во всех перечисленных направлениях содержательное исследование опирается на разнообразные математические формы представления волновых процессов, и среди этих форм те, которые связаны с идеей переноса волн, играют, как правило, решающую роль. Второй - что связь форм, описывающих перенос волн, с другими формами изучена еще мало, так что создание более-менее цельной системы таких связей даже для простейших, скажем так, "модельных" уравнений представляет интерес и в плане дальнейшего обобщения, и в плане использования такой системы для анализа конкретных проблем волновой теории.

3 Новизна полученных результатов

Результаты, представленные в диссертации, являются новыми, хотя, как было уже указано в предыдущих параграфах, основываются на идеях, неоднократно возникавших то в том, то в другом контексте.

Перечислим эти результаты. Это формула распространяющихся волн, метод распространяющихся волн, позволяющий выписывать формулы решения различных краевых задач, формулы, выражающие через коэффициенты переноса волн функцию Римана и ее производные, формулы свертки для функции Римана, условия граничной управляемости и формулы граничного управления для неоднородной струны.

Групповая классификация трехмерных и двумерных уравнений эйконала, использование для классификации свойств конуса касательных экви-валентностей, условия редукции трехмерных уравнений эйконала к двумерным, условия принадлежности уравнения эйконала тому или другому классу и условия эквивалентности двух разных уравнений (теорема о семи инвариантах).

Довольно большой комплект решенных уравнений эйконала (полу чены решения, описывающие фронт волны точечного источника и уравнения лучей).

Формулы, выражающие скорость движения центра кривизны фронта через радиус кривизны, иллюзия движущегося источника. Явление локализации фронта в отсутствие волноводов.

4 Использованные методы и подходы

Результаты получены с помощью методов как классического анализа, так и современных (главным образом - группового анализа).

От классики (классический подход используется в первой и второй главах) взят принцип выражать исследуемые свойства формулами и находить законы, связывающие эти формулы друг с другом, устанавливать эквивалентность различных форм выражения тех или иных свойств, создавая тем самым аппарат для исследования более тонких и сложных вопросов. В этом смысле наша техника ближе всего к работам С.Л. Соболева ([146,147] и др.) и В.Г. Гоголадзе ([63] и др.), в которых строятся те или иные интегральные представления для решения волнового уравнения в неоднородной, а затем - анизотропной среде. Методы, развитые в самой диссертации (метод распространяющихся волн для решения краевых задач, формулы свертки для коэффициентов переноса и функции Римана) использованы для получения различных новых представлений решений. В диссертации не ставилась цель изобретения каких-то новых задач, поэтому большинство задач - известные (начальная, начально-краевая, Гурса, и.т.п.), нас интересовала именно техника преобразования друг в друга различных представлений.

Что же касается третьей и четвертой глав, то в них основной упор делается на методы группового анализа, о которых хотелось бы сказать особо. На взгляд автора, групповой анализ для получения различных форм представления решений дифференциальных уравнений играет такую же роль, как классический анализ - для вывода этих дифференциальных уравнений, а функциональный - для исследования их разрешимости и корректности постановок соответствующих задач.

Будучи заложен еще в конце XIX века в работах С.Ли [192], и ставший достаточно широко известным благодаря работам [173], [170], [133], он по-настоящему получил свое развитие только во второй половине XX века благодаря работам Л.В.Овсянникова (см. [124, 123, 125] и другие работы), его учеников и последователей (среди которых, в первую очередь, следует упомянуть работы Н.Х.Ибрагимова [74, 75]). В нашей стране также известна монография П.Олвера [126] и практически недоступна другая, более современная монография того же автора [195].

Для автора диссертации образцом группового анализа уравнений механики, непревзойденным до сих пор, является работа [123], посвященная уравнению Чаплыгина.

Дело в том, что в механике дифференциальные уравнения являются не самостоятельной сущностью, как в математике, а скорее обозначением тех или иных идеализированных свойств изучаемых механиками объектов (в нашем случае - движений сплошных сред: газообразных, жидких, упругих). В зависимости от условий наблюдения и изучения получаются разные уравнения. Одним из основных фактов, делающих механику сплошных сред теорией, является наличие некоторых общих уравнений, из которых все остальные получаются как частные случаи при тех или иных предположениях.

Эти предположения, как правило, формулируются в чисто механических или даже физических терминах (например, одно- или двух-атомный газ, идеальная или неидеальная жидкость и пр.), которые невозможно использовать в математике. В работе же [123] было показано, что эта же связь между общими и частными уравнениями может быть выражена и в чисто математических терминах - посредством отношений эквивалентности и вложения для тех групп симметрий, которыми обладают соответствующие уравнения. То, что в этой работе автор ни на минуту не отрывался от механического понимания изучаемых уравнений, сыграло, на мой взгляд, решающую роль, поскольку удалось установить математическую связь мео/сду различными физическими смыслами.

Несмотря на многочисленность работ по групповому анализу, подобного рода результаты в них встречаются довольно редко (в качестве такого исключения необходимо, конечно, упомянуть работы команды Л.В. Овсянникова по исследованию уравнений газовой динамики и работы Н.Х. Ибрагимова, в том числе посвященные волновым уравнениям [75, 76, 77], [118]) по причине их огромной трудоемкости. К сожалению, ни вычисление групп симметрий самых разных конкретных уравнений, ни нахождение всех уравнений, которые обладают заданной группой симметрии не дает какого-то ощутимого полезного для науки эффекта, поскольку при этом теряется основное - связь между физическими смыслами. Групповой анализ оказывается эффективным и полезным только в применении к целому семейству физически осмысленных уравнений, связанных физически осмысленными связями.

Несмотря на всю свою сложность и громоздкость, методы группового анализа представляются автору диссертации одними из наиболее перспективных, и, по его убеждению, в XXI веке групповой анализ будет играть такую же роль, как функциональный в веке ХХ-м. По существу исследование уравнений сплошной среды этими методами только начато. Практически не исследованы с точки зрения групповых отношений уравнения теории упругости и пластичности (с произвольными дифференциальными связями между напряжениями и деформациями). Не тронута этими методами и теория обратных задач, где вычисление инвариантов группы, которая "держит" краевые данные, и вычисление инвариантов группы, которая "держит" параметры уравнения могло бы помочь в ключевом для многомерных обратных задач вопросе приведения задачи к нормальной форме, допускающей установление взаимно-однозначного соответствия между той информацией, которую нужно взять от граничных данных и той информацией, которую мы можем получить относительно параметров уравнения. Не исследован с групповой точки зрения и переход от "микромоделей" (например, от уравнения Больцмана) к "макромоделям", осуществляемый путем усечения бесконечной системы уравнений относительно моментов распределения: связь известных принципов усечения [138] с групповыми отношениями совершенно не изучена.

В контексте всего многообразия нерешенных задач применение групповых методов для изучения уравнений эйконала, на наш взгляд, способствует распространению этих методов хотя бы как эффектный пример их результативности.

5 Апробация

Результаты, полученные в диссертации, опубликованы в [35]-[51], они докладывались на семинарах В.А. Кондратьева, Е.В. Радкевича (2003, 2004 г.), В.А. Ильина, Е.И. Моисеева, A.A. Дезина (2002, 2004 г.), В.А. Кондратьева, В.М. Миллионщикова, Н.Х. Розова (2002, 2005 г.), В.М. Бабича (2002, 2003, 2004 г.), Л.В. Овсянникова (2003, 2004 г.), A.C. Алексеева (2004 г.), И.А. Шишмарева (2003, 2004, 2005 г.), А.Д. Мышкиса, А.С.Братуся (2005 г.), А.Г. Свешникова (2005 г.), В.А. Садовничего (2002 г.), Д.Д. Соколова (2005 г.), А.И. Прилепко, В.А. Садовничего (2005 г.), A.C. Шамаева,

B.В. Жикова, Т.А. Шапошниковой (2002 г.), Е.Л. Тонкова (2003 г.), на семинаре кафедры волновой механики, рук. Е.И. Шемякин в 2003 и 2005 г., на семинаре отдела дифференциальных уравнений МИРАН, рук. Д.В. Аносов, A.A. Болибрух, Ю.С. Ильяшенко в 2003 г. на семинаре отдела прикладной математики ИМ HAH Украины, рук. А.Г. Никитин (Киев, Украина) в 2004 г.; на международном семинаре "Дни Дифракции" (СПбО МИРАН,

C.-Петербург) в 2003 и 2004 г., на конференции, посвященной 85-летию академика Л.В. Овсянникова (Ин-т Гидродинамики СО РАН, Новосибирск) в 2004 г., на конференции им. И.Г. Петровского (МГУ, Москва) в 2001 и 2004 г., на международной конференции "Дифференциальные уравнения и динамические системы" (ВлГПУ, Суздаль) в 2002 и 2004 г.

6 Краткое содержание диссертации 6.1 Структура работы

Диссертация занимает 300 страниц текста и состоит из введения, четырех глав, разбитых на пятнадцать параграфов, и списка литературы, содержащего 202 наименования. Она снабжена тремя приложениями, занимающими еще 37 страниц. Нумерация формул, теорем и лемм тройная - номер главы, номер параграфа и собственный номер, например, лемма 3.2.1 -лемма 1 второго параграфа третьей главы.

1. Авдонин С.А., Белишев М.И., Иванов С.А. Граничное управление и матричная обратная задача для уравнения utt — ихх + V(x)u = 0 // Матем. сборник. 1991. Т. 182, N 3. С. 307-331.

2. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными эллиптического типа. М.: Наука, 1978. 351 с.

3. Алексеев A.C. Задачи типа Лэмба для волнового уравнения в линейно неоднородном полупространстве /7 Уч. зап. ЛГУ. Математика, вып. 32. N 246. С. 167-227.

4. Алексеев A.C. Некоторые обратные задачи теории распространения волн // Изв АН СССР. Сер. геофиз.1962. N 11. С. 1514-1-531.

5. Алексеев A.C. Обратные динамические задачи сейсмики // Некоторые методы и алгоритмы интерпретации геофизических данных. М.: НАука, 1967. С. 9-84.

6. Алексеев A.C., Бабич В.М. Об одном эффекте экранирования упругих волн тонким слоем // Уч. зап. ЛГУ. Математика, вып. 28, N 177. С. 180-193.

7. Алексеев A.C., Гельчинский Б.Я. Об определении интенсивности головных волн в теории упругости лучевыми методом // ДАН СССР. 1958. Т. 118, N 4. С. 661-664.

8. Аниконов Ю.Е., Пестов Л.Н. Формулы в линейных и нелинейных задачах томографии. Новосибирск, НГУ. 1990. 64 с.

9. Арнольд В.И. Геометрия сферических кривых и алгебра кватернионов // Успехи матем. наук. 1995. Т. 50. вып. 1. С. 3-68.

10. Арнольд В.И. Топологические проблемы теории распространения волн // Успехи матем. наук. 1996. Т. 51. вып. 1. С. 3-50.

11. Бабич В.М. Доказательство геометро-оптического приближения для функции Грина // Матер, к совм. сов.-амер. симп. Новосибирск, 1963. 7 с.

12. Бабич В.М. Распространение нестационарных волн и каустики /./ Уч. зап. ЛГУ. Математика, вып. 32, N 246. С. 228-260.

13. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука, 1972. 456 с.

14. Бабич В.М., Булдырев B.C., Молотков И.А. Пространственно-временной лучевой метод: линейные и нелинейные волны. Л.: Из-во ЛГУ, 1985. 272 с.

15. Бабич В.М. Математическая теория дифракции /7 Тр. МИАН. 1986. Т. 175. С. 47-62.

16. Бабич В.М., Климова А.А. Гиперболическое уравнение с большим параметром при младших членах и иерархия воли // Алгебра и анализ. 1994. Т. 6, вып. 5. С. 126-171.

17. Багдоев А.Г. Некоторые нестационарные задачи распространения волн в полупространстве. Дис. канд. физ.-мат. наук. М., МГУ. 1958. 220 с.

18. Баранник А.Ф., Баранник Л.Ф., Фущич В.И. Редукция и точные решения уравнения эйконала // Украинский матем. журнал. 1991. Т. 43, N 4. С. 461-474.

19. Баранов В., Кюнец Ж. Синтетические сейсмограммы с многократными отражениями // Проблемы сейсмической разведки. М.: Гостехиз-дат, 1962. С. 179-188.

20. Ваутин С.П. Аналитическая тепловая волна /"/' М.: Физматлит, 2003. 88 с.

21. Бахвалов Н.С., Эглит М.Э. Эффективные уравнения с дисперсией для распространения волн в периодических средах // Докл. РАН. 2000. Т. 370, N 1. С. 7-10.

22. Белишев М.И. О нарушении условия разрешимости обратной задачи для неоднородной струны // Функц. анализ и его прил. 1975. Т. 9. вып. 4. С. 57-58.

23. Боровских A.B. Формула распространяющихся волн для одномерной среды // Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения И.Г.Петровского. Тез. докл. М.: Изд-во МГУ, 2001. С. 72-73.

24. Боровских A.B. Групповая классификация уравнений эйконала для волнового уравнения в неоднородной среде /7 Воронеж, ун-т. Воронеж, 2002. 143 с. Деп. в ВИНИТИ 29.05.02. N 953-В2002.

25. Боровских A.B. Формула распространяющихся волн для од- номерной неоднородной среды // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38, N 6. С. 758-767.

26. Боровских A.B. Групповая классификация уравнения эйконала для неоднородной среды // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38, N 11. С. 1570.

27. Боровских A.B. Геометрия фронтов и лучей в среде с линейной и квадратичной функцией скорости // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38, N 11. С. 1573.

28. Боровских A.B. Уравнение эйконала в неоднородной среде // Доклады РАН. 2003. Т. 391, N 5. С. 587-590.

29. Боровских A.B. Групповая классификация уравнений эйконала для волнового уравнения в неоднородной среде // Современная математика и ее приложения. 2003. Т. 10, С. 22-33.

30. Боровских A.B. Групповая классификация уравнений эйконала для трехмерной неоднородной среды // Матем. сборник. 2004. Т. 195, N 4. С. 23-64.

31. Боровских A.B. Уравнение эйконала в неоднородной среде // Тез. докл. Междунар. конф., посвященной 103-летию со дня рождения И.Г.Петровского. М.: Изд-во МГУ, 2004. С. 36-37.

32. Боровских A.B. Иллюзия движущегося источника в геометрической оптике неоднородных сред // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40, N 7. С. 758-767.

33. Боровских A.B. Метод распространяющихся волн для одномерной неоднородной среды // Труды семинара им. И. Г. Петровского. 2004. Т. 24. С. 3-43.48 495054