Распространение волновых фронтов решений нестрого гиперболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ВОЛНОВОЙ ФРОНТ РЕШЕНИЙ СЛАБО ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ

УРАВНЕНИЙ

§ I. Определения, обозначения и формулировка вспомогательных результатов.

§ 2. Распространение волнового фронта решений слабо гиперболических уравнений.

ГЛАВА 2. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛНОВОГО ФРОНТА РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ МОДЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ I. Распространение волнового фронта для уравнения с характеристиками, слипающимися со степенной скоростью.

§ 2. Параметрикс и распространение особенностей для одного модельного уравнения с экспоненциальным вырождением гиперболичности.

§ 3. Факторизуемые уравнения с вырождением общего вида.

§ 4. Характеристика потери гладкости в задаче Коши в пространствах Хермандера.

ГЛАВА 3. О ЗАДАЧЕ КОШИ И ВОЛНОВОМ ШРОНТЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ С ОСОБЕННОСТЬЮ

§ I. Постановка задачи и формулировка результатов.

§ 2. Энергетические оценки

§ 3. Доказательство основных теорем.

§ 4. Распространение сингулярностей для одного модельного уравнения с особенностью.III

1°. Общая теория гиперболических уравнений и систем впервые была построена И.Г.Петровским еще в 1937 году в работе [I}, где и было дано определение строгой гиперболичности л ■гиперболичности). Согласно этому определению РСЛАД") называется гиперболическим (строго), если все корни характеристического уравнения О относительно 7Г вещественны и различны. Дальнейшее развитие теория гиперболических уравнений получила на основе предложенного Ж.Лере , а затем развитого Л.Гордингом [з], метода разделяющего оператора.

Другое направление развития теории гиперболических уравнений связано с ослаблением условий строгой гиперболичности. П.Лаке И и С.Мизохата [5] показали, что для "хорошей" постановки задачи Коши необходимым условием является вещественность всех характеристических корней (см., также, Сб"]).

В так называемых слабо гиперболических (вырождающихся) уравнениях допускается совпадение характеристических корней на определенных многообразиях, однако при этом изучение задачи Коши значительно осложняется. Случай вырождения на начальной гиперплоскости изучался еще в работах С.Геллерстеда 1[7,8], И.С.Березина £9], М.Проттера [ю], где было показано, что для корректности задачи Коши, в отличие от строго гиперболического случая, необходимы дополнительные условия на младший символ оператора. Более того, в дальнейшем В.Я.Иарием в СпЗ были приведены примеры локально неразрешимых даже в зь' слабо гиперболических уравнений, для которых эти условия нарушены. В этой связи отметим, что изучению вопросов локальной разрешимости посвящены работы многих авторов. Например, так называемым, уравнениям главного типа был посвящен целый ряд работ Ю.В.Егорова (см., например, [12] - [151), где были получены как необходимые, так и достаточные условия локальной разрешимости.

В одномерном случае достаточные условия корректности задачи Коши были получены еще Е.Е.Леви в [1б] (так называемые условия Леви), а затем вместе с другими результатами и А.Лаке [ 17].Впервые достаточные условия корректности задачи Коши для уравнений второго порядка, когда допускается вырождение внутри области, были получены О.А.Олейник в [18, 19]. Предложенная А.Б.Нерсеся-ном [20 - 22] схема вывода энергетических неравенств с помощью доказанной им леммы об обращении интегрального неравенства с не-интегрируемым ядром, позволило получить близкие к точным достаточные условия корректности задачи Коши с данными на гиперплоскости вырождения для широкого класса уравнений (см., также, [23],

Ы)

И нахождению необходимых условий корректности задачи Коши для слабо гиперболических уравнений посвящено большое число работ. Отметим работы В.Петкова [25, 2б], В.Я.Иврия и В.Петкова [27] и др.

Другое направление изучения гиперболических уравнений заключается в исследовании распространения особенностей их решений.

2°. Еще в 1957 году с помощью построения асимптотических решений задачи Коши для строго гиперболических уравнений П.Лаке в [2в] исследовал распространение особенностей решений. Однако окончательные результаты по распространению особенностей решений строго гиперболических уравнений были получены Л.Херманде-ром в [29 , 30] (см., также, [31, 32]), после введенного Л.Хер-мандером и С.Сато понятия волнового фронта.

Л.Хермандером было показано, что вместе с точкой принадлежащей волновому фронту решения ему принадлежит и вся нулевая бихарактеристика, проходящая через эту точку. Обобщения этого результата на случай наличия границы, однако при отсутствии так называемых скользящих лучей было получено П.Лаксом и Л.Ниренбер-гом в [33].

Изучение распространения особенностей для вырождающихся гиперболических уравнений главного типа было начато В.В.Грушиным в £34], где для случая уравнения с постоянными коэффициентами и вещественнозначной характеристической формой был получен точный результат.

Очень важные результаты по распространению особенностей для уравнений главного типа были получены Л.Хермандером в [29, ЗоЗ, а также в [Зб1. В [Зб} Даюстермаатом и Л.Хермандером были полностью изучены уравнения главного типа с вещественнозначными символами, а также уравнения, главные символы которых принимают комплексные значения, однако вещественные и мнимые их части линейно независимы, а скобки Пуассона тождественно равны нулю. Далее, Л.Хермандер в £з?], Н.Денкер в £38} изучают несколько более широкий класс уравнений с комплексными символами.

Построенная Ю.В.Егоровым в £39} схема сведения изучения операторов с комплексными символами к изучению некоторых других операторов с вещественными символами, но действующими в пространстве большей размерности, позволило ему в [40] рассмотреть значительно более широкий класс операторов главного типа и изучить распространение сингулярностей решений.

Для некоторых классов вырождающихся уравнений, с характеристиками постоянной кратности, вопросы распространения особенностей изучались Д.Людвигом [41^ еще в 1960 году, путем построения точного или асимптотического решений задачи Коши.

Для операторов с характеристиками постоянной кратности, когда они являются степенями операторов главного типа с вещественными символами, а младшие члены удовлетворяют условию Леви (см., например, [2?], £42*1), Ш.Шазарен в [/13, 44} доказал те же результаты по распространению особенностей, что и в строго гиперболическом случае. Кумано-го в [4б] для некоторых операторов эллиптико-гиперболического типа, в предположении постоянной кратности вещественных характеристических корней и выполнения условия Леви, с помощью доказанной им факторизационной теоремы построил фундаментальное решение задачи Коши в виде интегрального оператора Фурье-Маслова (см., например, [32], [46, 47]). Это позволило изучить для этих уравнений распространение особенностей решений.

Оператор [, на * , главная часть которого допускает факторизацию т 1 где .Х^^ С СЗ ^ , т.е. при фиксированном принадлежит классу символов ,2 и

- бесконечнодиффе-ренцируема по в топологии » называется оператором с ин-волютивными характеристиками, если для некоторых , >3* ^ ^ :

Иногда под инволютивностью понимают просто то, что^у + А3 ТЛ- =о , где \ скобки Пуассона.

Операторы с инволютивными характеристиками изучали многие авторы, в частности, Б.Граннофф и Д.Людвиг [48], С.Алиньяк [49], И.Шостранд [50], Г.Накамура [51], Г.Ульман [52, 53], Р.Ласкар [54] , Ё.Моримото [55], Т.Кобаяши [5б] и др. Например, в работе [55]изучение распространения особенностей для уравнения с инволютивными характеристиками переменной кратности проводится с помощью построения фундаментального решения, которое, в свою очередь, основано на сведении уравнения к диагональной гиперболической системе первого порядка и построении для нее фундаментального решения аналогично тому как это сделано К.Тани-гучи и И.Кумано-го в [ 5?3. В [ббЗ Т.Кобаяши исследует нехарактеристическую задачу Коши для слабо гиперболического оператора с аналитическими коэффициентами и инволютивными характеристиками в классе гиперфункций, а также распространение аналитических волновых фронтов (сингулярных спектров).

Нетрудно проверить, что операторы, удовлетворяющие условию Леви и имеющие характеристики постоянной кратности - суть операторы с инволютивными характеристиками. Таким образом особый интерес представляют операторы, для которых условие Леви нарушено. Среди таких работ отметим важные работы В.Я.Иврия (см., например, [58]), В.Н.Туловского [593 и др. Например, в [59] В.Н.Ту-ловский рассмотрел и изучил свойства операторов более общих, чем интегральные операторы Фурье-Маслова, а именно, интегральные операторы с неоднородными фазовыми функциями, что позволило рассмотреть широкий класс псевдодифференциальных операторов с характеристиками постоянной кратности и подглавным символом,отличным от нуля на характеристическом многообразии.

Для общего гиперболического оператора с постоянными коэффициентами в 1970 году М.Атья, Р.Бот и Л.Гординг в [60] изучили сингулярные носители (волновые фронты) фундаментального решения в терминах локализации гиперболических полиномов. Далее. С.Вака-баяши в [61, 62*3 обобщает их результаты на гиперболические операторы с постоянными коэффициентами в главной части. Отметим, что в этих работах рассматривались лишь случаи, когда характеристические корни принадлежат классу С ^^ . В работе [бз]

С.Вакабаяши исследует класс гиперболических операторов с такой вещественной главной частью, что с помощью микролокального преобразования ее можно преобразовать в полином с постоянными коэффициентами - класс, так называемых, операторов с "почти" постоянными коэффициентами, причем, - в отличие от [б6], [61,62*], -допускаются не обязательно гладкие характеристические корни. Отметим, что рассмотренные в [бз] случаи включают в себя операторы с инволютивными характеристиками.

Распространению особенностей для операторов с нерегулярными характеристическими корнями посвящен также целый ряд работ В.Я. Иврия (см., например, [64, 65]), Р.Мелроуза и Г.Ульмана [бб], В.Ичинозе [67^ и др. В [б?] рассмотрен случай, когда характеристические корни оператора Ь не бесконечно дифференцируемы по пространственным переменным. К таким операторам относятся, например, операторы вида где ^ СОД"] * • Вводя некоторые классы псевдодифференциальных операторов и развивая результаты, полученные И.Ку-мано-го и К.Танигучи в ["573 и [бв] по теории интегральных операторов Фурье-Маслова с мультифазами, а также путем изучения аппроксимаций нерегулярных символов регулярными. В.Ичинозе иссле-дует [^ через некоторый другой модифицированный оператор уже с гладкими характеристическими корнями. Однако отметим, что главная часть Ь оказывается уже не дифференциальным оператором.

Среди первых работ, посвященных изучению операторов с неин-волютивными характеристиками, отметим важные работы В.Я.Иврия (см., например, [69]), Н.Хэнгса [70*3 и др. В [б9] В.Я.Иврий изучает волновые фронты некоторых псевдодифференциальных уравнений с характеристиками переменной кратности и с вещественными главными символами, в предположении, что главные символы разлагаются в произведение двух вещественных символов главного типа, не находящихся в инволюции. В этой работе показано также, что волновой фронт распространяется вдоль бихарактеристических ломаных (кривых, получаемых склеиванием бихарактеристик соответствующих каждому сомножителю). Здесь же был обнаружен и изучался новый эффект, связанный с ветвлением особенностей (см., также, [58], [71], [72]). В этих работах В.Я.Иврий изучает распространение волнового фронта решений некоторых микролокально гиперболических псевдодифференциальных уравнений вида

Р-и н(ХоЬс + ЬСЛ&'У)-!*. «Л) где Е> - псевдодифференциальный оператор первого порядка, путем построения параметрикса с направленным распространением волнового фронта и изучается эффект, так называемой, конической рефракции. Далее, в [73, 74] изучаются более общие псевдодифференциальные уравнения с характеристиками переменной кратности, для которых строится правый парметрикс и исследуется распространение особенностей, причем проанализированы случаи как выполнения условий Леви на младшие коэффициенты, так и случаи их нарушения.

Еще в 1958 году Чи-Минь-Ю в работе [751 построил решение следующей задачи Коши: ии = 0 > "Ь > о (0.2)

Из этого решения видно, что при^ = О и = распространение особенностей происходит вдоль только одной нулевой бихарактеристики, исходящей из сингулярностей данных.

В работе £76*1 С.Алиньяком был построен параметрикс для зад-чи Коши где

Цо/Г] АШ "Ф 0 , при выполнении условий наСХ^С.^") , обеспечивающих ее корректность (см., например, [7], И,177], [78], 179]).

В более общей ситуации, когда коэффициенты зависят и от пространственных переменных, параметрикс задачи Коши для уравнения второго порядка, однако с вырождением опять лишь степенного характера был построен в работах А.Йошикавы [[80,

81, 82].

Подробное исследование построенных в [76], [80, 81, 82] параметриксов обнаружило связь между коэффициентами при младших производных и гладкостью решения. В частном случае эта зависимость, а также распространение особенностей, легко просматривалась в упомянутой работе [7б], а в более общей ситуации отмечалась в работах О.А.Олейник [18, 19].

В [7б], кроме того, приводится общая теорема о распространении сингулярностей решений (0.4)-СО.5), заключающаяся в том, что волновой фронт распространяется вдоль дуг нулевых бихарактеристик, исходящих из сингулярностей данных, обобщая тем самым на рассматриваемый случай известный результат для строго гиперболических операторов.

В работе [83], используя результаты [*34], С.Алиньяк показал как именно происходит ветвление сингулярностей, при переходе через границу вырождения, для оператора гдеТГ - классический псевдодифференциальный оператор, гладко зависящий от"Ь , в следующих двух частных случаях: ТГСЬ, = т и шло - .

Далее, ветвление сингулярностей слабо гиперболических операторов вида

- X + - • (О.б) изучались многими другими математиками, например, Н.Хэнгсом [70], С.Наканэ [851 и др. К.Танигучи и Ё.Тозаки в [8бЗ для модельного уравнения

Чь -^Ч*-^>(0,7) со степенным вырождением, исчерпывающе изучили характер ветвления особенностей решения задачи Коши с начальными условиями при прохождении через линию вырождения = 0 . Им удалось построить параметрикс и, в зависимости от численного значения параметра (X. , точно указать характер ветвления сингулярностей.

В.Ичинозе и И.Кумано-го рассмотрели случай, когда линий вырождения бесконечно много. А именно, в С 871 рассматривается оператор вида

П - ^ - * ес-ьте., (о.9) 4ЭО с С коэффициентами и задача Коши для него

М. ЛА ^ о

0.10)

М^Г'^ ' (0Л1) л. где ^ выбрана таким образом, что существует последовательность < » ^ » гДе fC^ = О , т.е. линии вырождения скапливаются к *fc = d. . Что же касается поведения ■fOt^ , то в окрестности корня она имеет вид где = ~ .

Применяя к такому оператору результаты, полученные К.Танигу-чи и Ё.Тозаки, в t881 авторы изучают распространение особенностей решения задачи Коши (O.IO)-(O.II). В частности, получен замечательный результат, состоящий в том, что для каждого замкнутого подмножества можно построить ёС-tO , так, чтобы проекция волнового фронта решения на i- 1 в точности совпадала с F , точнее

П V smAsupp иоь) = F где U а4) = (/UC-D , tLtC-t^

В [88, 891 К.Шинкаи изучает ветвление сингулярностей для вырождающейся гиперболической системы первого порядка с диагональной главной частью вида:

I D^

L-V О 'л где вещественные символы, принадлежащие классу S> IX tl (так называемые классы символов Буте де Монвеля [90l) матрица символов нулевого порядка. Отметим, что вырождение гиперболичности и здесь предполагается степенного характера. В этих работах строится фундаментальное решение в виде интегрального оператора Фурье-Маелова, причем ответственность за характер ветвления сингулярностей несет некоторый символ О (*, О нулевого порядка, главная часть Сс которого задается с помощью решения некоторой системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Отметим, кроме того, чтоС0(*>5~") и есть, так называемые, коэффициенты Стокса упомянутой системы.

3°. Актуальность тематики. Настоящая работа посвящена изучению распространения и ветвления сингулярностей решений задачи Коши для слабо гиперболических уравнений, вопросов корректности задачи Коши для операторов, содержащих особенности в коэффициентах, а также исследованию распространения особенностей для них. Как видно из вышеизложенного, эта тематика является актуальной и активно разрабатываемой как у нас в стране, так и за рубежом.

Целью работы являются: а) получение общих теорем о распространении волнового фронта решений для широкого класса вырождающихся уравнений, без каких-либо ограничений на скорости слипания характеристик; б) детальное исследование и описание характера ветвления сингулярностей для некоторых модельных слабо гиперболических уравнений, как со степенным, так и с экспоненциальным характером вырождения; в) доказательство корректности задачи Коши для одного класса вырождающихся гиперболических операторов с сингулярностями в коэффициенте и описание ветвления волнового фронта для одного такого модельного уравнения.

4°. О практической и теоретической ценности результатов. Многочисленные физические задачи, в частности, многие задачи газовой динамики (см., например, Берс £91"1), магнитной гидродинамики и др., сводятся к изучению различных свойств решений слабо гиперболических уравнений и, в особенности, характера распространения волн (возмущений).

Полученные в работе результаты проясняют ряд вопросов теории распространения особенностей для вырождающихся гиперболических уравнений, а предложенные в работе подходы, в том числе, привлечение неклассических псевдодифференциальных операторов при построении параметрикса задачи Коши, могут быть использованы для дальнейшего развития теории задачи Коши.

Кроме того, по-видимому впервые, проводится исследование асимптотики интегралов, для которых классический метод стационарной фазы непосредственно не применен, так как стационарные точки имеют бесконечный порядок.

5°. Основные результаты диссертации.

1. Петровский Pl.Г. Uber das Cauchysche problem fur systeme von partiellen differentialgleichungen. - Мат. сб., 1937, т. 2, с.815-866.

2. Leray J. Lectures on hyperbolic equations with variable coefficients. Princeton: Inst, for Adv. Study, 1952

3. Гординг Л. Задача Коши для гиперболических уравнений. М. : ИЛ, 1961, 122 с.

4. Lax P.D. Asymptotic solutions of oscillatory integral value problems. Duke Math. J., 1957, v.24, J6 4, p.637-646.

5. Mizohata S. Some remarks on the Cauchy problem. J. Math. Kyoto Univ., 1961, v.I, JS I, p.109-127.

6. Иврий В.Я., Петков В.М. Необходимые условия корректности задачи Коши для нестрого гиперболических уравнений. Успехи Мат. Наук,1974,т. 29,вьп 5,с. 3-70.

7. Gellerstedt S. Sur un problem aux limites pour une equation linear aux derivees partielles du second ordre de type mixte. Uppsala, These, 1935.

8. Gellerstedt S. Sur un equation lineare aux derivees partiel- . les de type mixte. Arkiv. mat., 1937, v.25A, № 29,

9. Егоров Ю.В. Об условиях локальной разрешимости уравнений главного типа.-Усп. мат. наук,1971,т.26,вып.3,с.197-198.

10. Егоров Ю.В. О достаточных условиях локальной разрешимости псевдодифференциальных уравнений главного типа. Труды Моск. математ. об-ва,1974, т.31, с.59-84.

11. Егоров Ю.В. Уравнения главного типа. Достаточные условия локальной разрешимости. Мат. сб., т.116 158 , № 4 12 , 1981, с.575-584.

12. Егоров Ю.В, Линейные дифференциальные уравнения главного типа. М.: Наука, 1984, 360 с.16. bevi Е.Е. Caratteristiche multiple е problema di Cauchy.Ann. di Matem. Ser. За, 1909, v.16, p.161-201.

13. Ьах A. On Cauchy s problem for partial differential equations with multiple characteristics. Comm. Pure Appl. Math. 1956, v.9, tè 2, P.135-139.

14. Олейник O.A. 0 гиперболических уравнениях второго порядка, вырождающихся внутри области и на ее границе. Усп. Мат. Наук,1969, т.24, № 2, с.229-230.

15. Oleinik O.A. On the Cauchy problem for weakly hyperbolic equations. Comm. Pre Appl. Math., 1970, v.23, №6, p.359-389.

16. Нерсесян A.B. Задача Коши для одномерного гиперболического уравненшпроизвольного порядка с данными на линии вырождения. -Дифф. ур., 1968, т.4, с.1658-1662.

17. Нерсесян A.B. 0 задаче Коши для вырождающихся гиперболических уравнений второго порядка. Докл. АН СССР, 1966, т.166, с.I288-1291.

18. Нерсесян A.B. 0 задаче Коши для гиперболического уравнениявторого порядка,вьфождающегося на начальной гиперплоскости. Докл. АН СССР, 1968, т.181, № 4, с.798-801.

19. Нерсесян А.Б., Оганесян А.О. О корректности задачи Коши для одного класса слабо гиперболических уравнений. -Изв. АН Арм. ССР, сер. Мат., 1973, т.8, № 3, с.255-273.

20. Нерсесян А.Б., Оганесян Г.Р. О задаче Коши для слабо гиперболических уравнений. Изв. АН Арм.ССР, сер.Мат., 1974, т.9, № 2, с.149-165.

21. Петков В.М. Необходимые условия корректности задачи Коши для гиперболических систем с кратными характеристиками. -Усп. мат. наук,1972, т.27, № 4, с.221-222.

22. Ьах P.D. Asymptotic solutions of oscilatory initial value problems. Duke Math. J., 1957, v.24, p.627-646.

23. Hormsnder L. Linear differential operators. Proc. Internet. Congress Math. (Nice, 1970), Gauthier-Villars, Paris, 1971, v.I, p.121-133.

24. Hormander L. On the existence snd regularity of solutions of linear pseudo-differential equations. Enseignement Math., 1971, v.I7, p.95-163.

25. Duistermaat J., Hormander L. Fourier integral operators I.- Acta Math., 1972,v.128, p.183-269.

26. Horraander L. Fourier integral operators. Acta Math., 1971, v.I27, p.79-183.

27. Hirenberg L. Lectures on linear partial differential equations. Conference board of math, sciences, Regional conf. series in math., Amer. Math. Soc., 1973, J6 I.

28. Грушин В.В. Распространение гладкости решений дифференциальных уравнений главного типа. Докл. АН СССР, 1963, т.148, № б, с.1241-1244.

29. Hormander L. On the singularities of solutions of partial differential equations. Comm. Pure Appl. Math., 1970, v.24, p.329-358.

30. Duistermaat J., Hormander L. Fourier integral operators II.- Acta Math., 1972, v.128.

31. Егоров Ю.В. Об условиях разрешимости для дифференциальных уравнений главного типа. Докл. АН СССР, 1976, т.229, Р 6, с.1310-1312.

32. Егоров Ю.В. Распространение особенностей для решений уравнений главного типа. Мат. сб., 1982, т. 118, №48, с.523-534.

33. Ludwig D. Exact and asymptotic solutions of Cauchy problem. Comm. Pure Appl. Math., I960, v.13, P.473-508.

34. Mizohata S., Ohya Y. Sur la condition de Levi concernant des equations hyperboliques. Publ. RIMS Kyoto Univ. Ser., 1968, v. A4, p.511-526.

35. Chazarain J. Operateurs hyperboliques a caractéristiques de multiplicité constante. Ann. Inst. Fourier Grenoble, 1974, v.24, p.173-202.

36. Chazarain J. Propagation des singularités pour une classe d operateurs a caractéristiques multiple et resolubilite locale.-Ann.Inst. Fourier Grenoble, 1974, v.24, p.203-223.

37. Kumano-go H. Factorisation and fundamental solutions for differential operators of elliptic-hyperbolic type. -Pros. Japan Acad., 1976, v.52, P.480-483.

38. Маслов В.П. Теория возмущений и асимптотические методы.M.: МГУ, 1965.

39. Маслов В.П. Операторные методы. М.: Наука, 1973.

40. Granoff В., budwig D. Propagation of singularities along characteristics with non-uniform multiplicité. Math. Anal. Appl., 1968, v.21, p.556-574.

41. Alinhac S. A class of hyperbolic operators with double involutive characteristics of Fuschian type. Comra in P.D.E, 1978, v.3, p.877-905.

42. Sjostrand J. Propagation of singularities for operators with multiple involutive characteristics. Ann, Inst. Fourier Grenoble, 1976, v.26, p.141-155,

43. Nakamura G. The singularities of solutions of the Couchyproblems for systems whose characteristic roots are not uniform multiple. Publ. RIMS, Kyoto Univ., 1977, v.13, P.255-275.

44. Uhlman G. Pseudo-differential operators with double involutive characteristics. Comm. in P.D.E., 1977, V.2,P.713-779.

45. Uhlman G. Parametrices for operators with multiple involutive characteristics. Comm. in P.D.E.,1979, v.4,P.739-767.

46. Lascar R. Propagation des singularités des solution d equations pseudo-differentialles a caractéristiques de multiplicités variables. Springer Lecture Notes in Math., 1981, v.856.

47. Morimoto Y. Fundamental solutions for a hyperbolic equation with involutive characteristics of variable multiplicity. -Comm. in P.D.E., 1979, v.4(6), p.609-643.

48. Kobayashi T. Elementary solutions and propagation of singularities for hyperbolic operators with involutive characteristics. Comm. in P.D.E., 1982, v.7, P.II89-I2I6.

49. Туловский В.Н. Распространение особенностей операторов с характеристиками постоянной кратности. Труды ММО, 1979, т. 39.

50. Atiyah M., Bott R., Garding Ь. Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients I. Acta Math., 1970, v.I24, p.109-189.

51. Wakabayashi S. Propagation of singularities for hyperbolic operators with constant coefficient principal part. -Tsukuba J. Math., 1978, v.2, P.91-107.

52. Wakabayashi S. The Cauchy problem for operators with constant coefficient hyperbolic principal part and propagation of singularities. Japanese J. Math.,1980, v.6, p.91-107.

53. Melrose R., Uhlmann G. Microlocal structure of involutiveconical refraction. Duke Math. J., 1979, v.46, p.571-582.

54. Ichinoze W. Propagation of singularities for a hyperbolic equation with non-regular characteristic roots. Osaka J. Math., 1980, v.I7, p.703-749.

55. Kumano-go H., Taniguchi K., Tozaki У. Multiproducts of phase functions for Fourier integral operators with an application. Comm. in P.D.E., 1978, v.3, P.349-380.

56. Ivrii V. Wave fronts of solutions of certain pseudodifferential equations. Funk.Anal.Appl., 1976, v.10, P.I4I-I42

57. Hanges IT. Parametrices and propagation of singularities for operators with non-involutive characteristics. Indiana Univ. Math. J., 1979, v.28, p.87-97.

58. Иврий В.Я. Волновые фронты решений некоторых микролокально гиперболических псевдодифференциальных уравнений. -Докл. АН ССОР, 1976, т.226, № 5, с.1009-1011.

59. Иврий В.Я. Волновые фронты решений некоторых гиперболических псевдодифференциальных уравнений и коническая рефракция. Докл. АН СССР, 1976, т.226, № 6, с.1257-1259.

60. Иврий В.Я. Волновые фронты решений некоторых псевдодифференциальных уравнений. Труды ММО, 1979, т.39, с.49-82.

61. Иврий В.Я. Волновые фронты решений некоторых гиперболических псевдодифференциальных уравнений. Труды ММО, 1979, т.39, с.83-112.

62. Chi Min-You. On the Cauchy problem for a class of hyperbolic equations with data given on the degenerate parabolic line. Acta Math. Sinica, 1958, v.8, p.521-529.

63. Alinhac S. Parametria et propagation des singularités pour on problem de Couchy a multiplicité variable.Asterisque, 1976, v.34-35, p.3-36.

64. Bitsadze A.V. Equations of mixte type. M: Acad.Nauk SSSR,1959.78. ÎTersesian A.B. On the Cauchy problem for degenerate hyperbolic second order equations. Dokl. Acad. ITauk SSSR, 1966, v.166, Jg 6.

65. Oleinik O.A. Cauchy problem for weakly hyperbolic equations. Comm. on Pure and Appl. Math., 1970, v.23, № 4.

66. Yoshikawa A. Construction of parametria for the Cauchy problem of some weakly hyperbolic equation I. Hokkaido Math. J.,I977,v.6.

67. Yoshikawa A. Construction of parametria for the Cauchy problem of some weakly hyperbolic equation II. Hokkaido Math. J., 1978, v.7.

68. Yoshikawa A. Construction of parametrix for the Cauchy problem of some weakly hyperbolic equation III. Hokkaido Math. J., 1978, v.7.

69. Alinhac S. Branching of singularities for a class of hyperbolic operators. Indiana Univ. Math. J., 1978, v.27, P.1027-1037.

70. Alinhac S. Parametrix pour un systeme hyperbolique a multiplicité variable. Comm. in P.D.E., 1977, v.2(3),p.256-296.

71. Uakane S. Propagation of singularities and uniqueness in the Cauchy problem at a class of doubly characteristic points. Comm. in P.D.E., 1981, v.6, p.917-927.

72. Taniguchi K., Tozaki Y. A hyperbolic equation with double characteristics wich has a solution with branching singularities. Math. Japonica, 1980, v.25, $ 3, p.273-300.

73. Ichinoze W. , Kumano-go H. On the propagation of singularities with infinitely many branching points for a hyperbolic equation of second order.- Comm. in P.D.E., 1981, v. 6(5), p. 569-623.

74. Shinkai K. On the fundamental solution for a degenerate hyperbolic system. Osaka J. Math., 1981, v.18,P. 257 288.

75. Shinkai K. Branching of singu larities for a degenerate hyperbolic system. Comm. in P.D.E., 1982, v. 7(5),P. 581 607.

76. Boutet de Monvel L. Hypoelliptic operators with double characteristics and related pseudo differential operators. - Comm. Pure Appl. Math., 1974, v. 27,P. 585 639.

77. Bers L. Mathematical aspects of subsonic and transonic gas dynamics. New-York: John Willey and Sones, 1958.

78. Александрия Г.P., Ягджян К.А. Условия корректности задачи Коши и распространение особенностей решений уравнений с кратными харктеристиками. Изв. АН Арм. ССР, сер. Мат.,1983, т.18, № 2, с.134-149.

79. Ягджян К.А. Необходимые и достаточные условия корректности задачи Коши для операторов с кратными характеристиками. -Изв. АН Арм. ССР, сер. Математика, 1985, т. 20, W I,с. 3-25.

80. Amano К. , Hakamura G. Branching of singularities for degenerate hyperbolic operators. Publ. RIMS, Kyoto Univ., 1984, v. 20, p. 225 - 275.

81. Ягджян К.А. Необходимые и достаточные условия корректности задачи Коши для нестрого гиперболических операторов. Материалы У11 советско-чехословатского семинара, Ереван 1981: Ереван - 1982.

82. Агабабян Л.Ш., Нерсесян А. Б. О некоторых задачах для одного модельного слабо гиперболического уравнения. Изв. АН Арм. ССР, сер.Мат., 1981, т. 16, №5, с.397-407 .

83. Нерсесян А.Б. О задачах Коши для вырождающихся гиперболических уравнений второго порядка.- Изв. АН Арм.ССР, сер.Мат., 1968, т. 3,1152, с. 79 100.

84. Оганесян Г.Р. Необходимые и достаточные условия корректности задачи Коши для слабо гиперболических уравнений с коэффициентами,зависящими только от временной переменной. Изв. АН Арм. ССР, сер. Мат., 1981, т.16, № 4, с.301-331.

85. Mandai Т. On energy inequalities and regularity of solutions to weakly hyperbolic Cauchy problems. Publ Rnfs Kyoto Univ.,1982, v.I8, p.607-660.

86. Parenti C. Parametria for an elliptic-hyperbolic operator.

87. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. М: Наука, 1981, 448 с.

88. Шубин М.А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. М: Наука, 1978, 280 с.

89. Трев Ф. Введение в теорию псевдо-дифференциальных операторов и интегральных операторов %рье. М: Мир, 1984,360 с.

90. Frie<Hander P. The wave front set of the solution of a simple initial-boundary value problem with glancing rays. Math. Proc. Camb., 1976, v.79, p. 145-159.

91. Friedlander F., Melrose R. The wave front set of the solution of a simple initial-boundary value problem withglancing rays II.-Math.Proc.Camb., 1977, v.8I, p.81-120.

92. Иврий В.Я. Волновые фронты решений краевых задач длясимметрических гиперболических систем. Основная теорема I. Сиб. мат. журнал, 1979, т.20, № 4, с.741-751.

93. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М: Наука, 1966, 292 с.

94. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции I. М: Наука, 1973.

95. Slater L.J. Confluent hypergeometric functions. Cambridge: Univ. Press, I960.НО. Хермандер JI. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. М: Мир, 1965, 380 с.

96. Taylor М. Pseudo-differential operators. Lecture Hotes in Math., 1974, v.4I6, p.I-155.

97. Смирнов М.М. Задачи по уравнениям математической физики. М: Наука, 1968.