Рассеяние для четырех тождественных одномерных частиц тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

РГ8 ОД

- ■ ОДЕСПИЯ ГОСУДЛРСТПЕНИЙ УНИВЕРСИТЕТ н1.!1.тл.1лэтнш>вл

На правах рукописи

цдауд аля

рассеяние для четырех товдестшшх

одномерных частиц

01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат . диссертации на соискание ученой степени кандидата фазихо-ыатсиэтзпесюп наук

Одесса - 1993

Раоота выполнена на кафедре теоретической физики Одесского государственного университета им.И.И.Мечникова

Научный руководитель: доктор физ.-мет.наук, профессор Адемян В.М.

Официальные оппоненты: \ ■

доктор физ.-мат.наук, прЬфеесор Асланов С.К.

доктор $из.-мат.наук, профессор Поплавский И.В.

Ведущая организация - Киевский политехнический институт

Защите состоится " ¿¿^¿уф. 1993 года в 14.00 часов на заседании специализированного совета К 06Э.24.11 при Одеоскоу государственном университете им .И.И.Мечникова ',(270100,г.Одесса,ул.Петра Великого, 2, ОГУ)

С диссертацией момю ознакомиться в научной библиотеке Одесского университета (ул.Преображенская, 24) ч

■/í /0

Автореферат разослан " //" / ¡У___1993 годе

Учений секретарь

специализироеянчого*совета. л .■; '■■/"•"■

де*тор физ.-мат.нэук Затовский A.B.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Как известно, даже даосическое описание движения трех и более взаимодействующих частиц требует очень больших усилий, а точные результаты в отой области, полученные еще в прошлом веке, до сих пор считаются вершинами анализа. Такие ке трудности остаются и в квантовой механике. Здесь вообще пока нельзя указав задачу о реальными взаимодействиями и конечным числом частиц, большим двух, которая допускала би точное решение. Поэтому важную роль в понимании даяе таких элементарных явлений играют так называемые решаемые модели. Они позволяют понять основные черты динамика взаимодействующих частиц, указывают направление поиска и очерчивают область применимости приближенных методов, отражающих главные особенности задачи в целом. Следует подчеркнуть, что разрешимость в конечном виде в таких моделях достигается только в частных случаях, когда удается фактически сократить число степеней свободы, и только при специальном выборе потенциалов взаимодействия ила операторов енергии для сиотемы частиц. .

В классической задаче трех тел известны так называемые прямолинейные решения Эйлера, соответствуйте расположению всех трех частиц на одной прямой. Отдаленным квантовым аналоге»! задачи, в которой выделяется такой тип движения йаляэтея модельная задача рассеяния для системы трех одномерных тождественных частиц. После отделения движения центра Масс для относительного движения частиц получается обычная задача для уравнений на плоскости. Само по себе такое упрощение дахе для бистро убывающих потенциалов еще не дает решаемой модели.. Для того, чтобы ее получить, необходимо наряду с одномерностью движения воспользоваться методом потенциалов нулевого, радиуса действия. Суть его форма тно заключается в выборе в качестве потенциалов взаимодействия частиц сингулярных обобщенных функций типа 5-функций Дирака с носителями на многообразиях, выделяемых в конфигурационном пространстве условиями совпадения координат частиц. Применение

метода потенциалов нулевого радиуса действия с принципе

ггозволиет свести иаогочсютичпыо задачи потенциального рассеяна« к классический зсрасвш задачам математической Фимк;;. Тс;;, ка его основе задача рассеяния для трах одиоиерипг «ихюод Сила сведено к двумерной задаче дифракции плоской полна па адсусыс- окрапов (В.С.Буедаов, С.П.Меркурьев, С.П,Сож;г:оа, 1979)»

■о

Следует отмотать, что в вестидосатилетпой истории разиятий катода пэтащиалов нулевого радкуса, начатого зшашездип райотсх^« Э.&зрии, квантовая задача трех тол сыграла дргматическу» роль. К-логао в . связи с стой задачей, пояеклпсь яовосяшо работа: О.Л.Егроэяна, Р.А.11пшюса, Л.Д.$аддеова, в хсоторщ, со-пургах, методу Сила придала мотомаедчекйи? корреюя&а <|арю, а шшо, форма спаг;::1:г1оского юдоша «гарте саиосощы^кяших ■ раоюрешй отразор'^. Ео-вторш, Сит,о показано, . ч?о стмдергиза грдогаопгашя задаче с порам точочишм вгвжядействдея кпаэдаг и . иг$взтоакод? газгльтсмаапу, для которого отри^телмша споктр »о ограничен ехкэу. Послемюе обстоятельство на время ситшо саторас г. изучетш' цаталатачесжг проблем, саяаашка с точечига! пеяекдаолша:, одааг-о ш. продолжай успеваю прглюилть в ксслздовоииаг ' по теории рассешшя к для построезша рссоточиах 'поделай в фата твердого тела. В иоавддоо года ксиснзство работ, поовяасшшт ¡сок ыатеыатачес:-аы вопросам, связшшш с точечатя потенциалами, таи и ик. физически цршш&вдш быстро возрастает.

В'настоящей работе в рамках метода потенциалов нулевого радиуса действия рассматривается связащше состояния я состояния рассеяния для четырех тождественных одномерных частиц, не смотря на увеличение число частиц, етот случай фактически не сломи е аналогичной задачи для трех частиц. Дело в том, что после отделения доняения центра масс задача о связанных состояниях и рассеянии для четырех одномерна тоздественних частиц сводился к детально исследованной задаче об одной частице в потенциальном поле. Единственное отклонение от оСичних требований задачи одночастичного рассеяния состоит в том, что потенциал, вообще говоря, не убивает на

бесконечности.

Кроне того, в случав задачи четырех тел наряду о пари/ми взаимодействиями появляются неприводимые трехчастичные и четнрехчастлчные вклады в оператор взаимодействия. Если четырехчастцчные взаимодействия пороздавт возмутдешш сосредоточенные вблизи начала координат з трехмерной пространстве относительных координат и могут быть сравнительно учтены о помощью точечных потенциалов, то трехчастичные взаимодействия даае в райках метода потенциалов нулевого радиуса приводя? к возмущениям, сосредоточенным па пучке перзсекаидихся пряных.

Парные взаимодействия нулевого радиуса применительно к задаче четырех одномерных частщ приводят к возмущения», сосредоточенный, на шести пересекавшихся плоскостях, ра'зрезашда ; трехнерюе пространство на двенадцать ¡спгчосбрээпих областей. Задача рассеяния в этом случае сводится к задаче дифракции плоской полна на пересекащихся плоскостях. Все вта задачи представляются актуальными для дальнейшего развития теории рассешшя п метода потенциалов пулевого радиуса действия,

Целью работ;; явилось

изучение связшпшх состогашй и состоящей рассеяшш для квантовой система из четырех *гоздественпых одчемерных частиц с учетом парных и'неприводшых трехчастичпих и четырехчастичзшх взаимодействий на цоделд с точечными потенциалами, сводящейся к краевод задачам для трегмерпого уравнения Шредошгера}

- обобщение метода потенциалов нулевого радиуса на . взашодействие, сосредоточенное на пучках прямых;

- исследование всимптотик задачи рассешшя для четырех тождественных одномерных .. частиц и эквивалентных задач .дифракции плоской волны на пучках прямых и в клинообразных областях.

Научная новиаиа и практическая ценность

В работе с помощь» решаемой модели, столь ке простой как к в случав задачи рахеяния для трех одномерных частиц, построена реиения зада>гаТ;ассэяния и исследована локализация

б

л^ара сьнашших состояний для системи из чотирох одномерных »«кеотвешшх частиц. Е связи о отой проблемой дано корректное «•кредомшиб аналога потенциала нулевого радиуса для .•«ыршюдашп трохчастзгишх взашодействиИ и парши лавшдейстшй в система из четирех частиц.

.¡,.!ш самосопряженных операторов Шредингера в трехмерном

■ н.оотраисто, онределяешх обычным лнффе^вщналипли вырогешеы и глюциалышаи гратгашмп условиями на пучке прямых или связке июосостеИ, а помощью формулы М.Г.Крейна для резольвент .•осуровни Функции Грина (ядра резольвент) и на втой основе ¡«следовали связанные состояния и наПдеш асимптотики решений • •адичи рассеяния.

Получмшво результаты, помимо 1 прнловешй. к многочиолешпвл •адачам рассеяния, практически без изменений .могут бить

..епольаовЕЦщ пси изучении дифракции волн вблизи препятствий в пде пучка прямих я связки плоскостей.

•чатор защищает: . . ■

1'ааработанну» решаемую модель для четырех. частиц с паршши, трехчастичшми и четнрехчаетичншп взаимодействиями;

Опшгтралышй анализ оператора Лапласа с саыосопрязеюшш «'(ишкчшэш условия}«! на пучка прямых; !1олучеашв-'аститотики репешгц задача рассеяния;

Апробация работн. Основные. результат роботы догладивались н '»иоуадалиоь на семинарах кафедра теоретической фаззка ОГУ. «леи, подход» положения, развиваемые в диссертации,

■ .публикованы в работе (Ц.

^тцу^'.'/ра л объем работп. Диссертация, общий объемом 112

■ ¡трмпиц мааишопкеного текста, состоит из сведения и трех глав, ;н»с.юдаи.дасп па одиннадцать параграф в. Список литературу, кшммьот 22 назватш.,

КРАТКОЙ С0ДША1ШБ РАБОТН

'-чм№&>Ш лши чОоаиоьвшю ймуяяьиовт теми, > Цел». *,>аботм и ({(дгеодоно ее кк>тк<"4 содержание.

В первой главе диссертации дается ойдпя. постановки обсуздвемих задач для системы четырех тоздествегашх одномерны,-чаотяц. Уравнение Шредингера для этой системы ■ запистапется в виде

где ,2 - координаты одномерных частиц, V(x ,х ,ж ,ж )-

в ' 1 1 2 4 4 2 a J 4

- потенциал взаимодействия, удовлетворяющий условию: для любого сдвига а

Vix^ а, а, хз+а, х4+а) = V.(i:j:x2,x3,z4) (2) После введения координата центра масс X и относительна координат ? по формулам

'' х~г:.(V V ?з+ V ''. ^i^W V V •

п = (2,-v V • ? - "Г ixrW •

и -отделения двнг.енпя центра масс на плоскости Х=0, волновая функция относительногодаитатая u(£,r>,0 удовлетворяй1: обичному уравнению Шредингера для движения . одной трехмерной частици, двияусеПся п потенциальном поле V(£,r),f). ■ Если потенциал V(5,n,C)' порозден лишь . .неприводимыми

четырехчастичннми взаимодействиями, то вполне естественным является условие:

lira V(5,n,C) = 0 , р = /gz+ rj2+ С2 • (3)

Поскольку математическая теория одночастичшх операторов Шредингера о убывающими потенциалами'в настоящее время хорошо разработана, то здесь лишь остается рассмотреть некоторые известие результата с позиций исходной четырехчеотичной задачи. В'частности, тут внделеш комбинации волновых функций задачи рассеяния, удовлетворяющие условию симметрии относительно перестановки тоздэетвеаных частиц. В качестве решаемой- .четырехчостичной задачи ■'рассматривается случай связанный с извостнш точечным потенциалом, действие которого сводится к граничному условию

lim (pu) - h(pu)] = 0 (4)

где h - вещественный параметр.

Вторая глава диссертации посвящено более слогшому случаю, когда возмуце:гае в системе \ четырех тоащественных одномерных частиц вносится неприводимым трехчвстичиши взаимодействиями, и, когда соответствуюдий трехчастичный Потенциал отливши от нуля в малой oitpecTHocTii многообразия, выделяемого условиями координат любых трех частиц. Пусть 1, Зз & - орти, направленные соответственно вдоль координатных осей п. л в-пространстве относительных координат Л. Б рассматриваемом случае влияние потенциала могаго учесть, подчиняя волновую функцию относительного движения ti(5»4,C) дополнительным граничным условиям на четырех прямых (te^), ¡J-1,2,3,4, -¡»<t<o,

е, ---(i+j-Ю. е =--(i-j-k),

' ■ * 3 * (5)

1 -»■»•» 1 + + +

с - - (i-j4k),' е = - (1+3+10,

3 \ГЗ * /3*

Оператор Ырэдингера Н, опиоивзющкй относительное

двиконие. строится здесь самосопряженное расширите

симметрического оператора Шредин?ера (фактически Лапласа),

"одэшюго ¡¿я бесконечно гладей бизтрэ убивштздх фушзвов, сЛрвяякшхся в нуль в кекоторсЛ окрестности шшмшчш пр;и.оа. пусть p~!f,.и,")

{.РИр > е: ].

'iVyifi) - пространство Соболева всех функций, кзшфптично .ijiTRrr.ipyoMuz оо воим с'5с£::; .;;:!;мл ¡¡тор;;:!;. чг.е

i:>i шогоо^рэзип >1. Ii ;.т< К

р р>'ук:,г<;.;ч«С1.-'; сида-тряч-зе'-ого л;г'ротог> - -

<:: 'P'iT'.r . ¡г; f;..ox " U'1- !,

j

а) 3 15гр]= V"'0, " "И' ^ " 1.....4:

3) ¿1ф0 { р(р) - Ыр^Н^р)}, ;] = 1.....4,

гдо Л - полспггелышй фиксированный параметр.

Грашгаше условия 2). 3) в (б) являются аналогом» известных

условий типа (4) в двумерпих и квазидвумерпых задачах.

Доказательство самосопряженности оператора Н получается в результате следующих построений. В соответствии с формулой М.Г.Крейна для резольвент функция Грина С (о, р') (ядро резольвенты (Н-Я) ) оператора Н при невещественных значения? И кается в виде

Ои(р,£') = С^(М') - £ X ¿г СИ;' (рДе,)-* 1 , 1*1 -со -со

• (7)

)ЧГ| р р I I

Хпгл* > О

в продяоложегапк что при 1пг? ~0 натрацо-^утзд«.« Ги . () •• ядро непрерывного интегрального оператор:?. оперггорг. Г и пространстве ^-ксштононтнпх гт:тор-фуш:и:1Л 1/(Е ,С'). такого, что V? Т.2(Е3) фушепря

(С р(р) ~ .! С (р.р'} чЧР' ) .30*

ус"^":!"" (о).

Спнчпл:! дсгл;«ипггся, 'ГГО .ДЛЯ П9Ир0?(ТЙЮГО }•

Функции, получтяиссл и резул?.тоте прзеогмопмшя ('О,

УЛ'..:;:.'—': !■'■;■!' '• 1) Б /¡.а.'г*.;;! ••<■•

УС-УИ-ПИ.-.ГГ':- что ус.-,ак;!Я :•:)• 3) Р

- ; у. I р ' ', ,

:■':■' - ?•.■"./:':.■;•" :: к .-'¡Г,.':'" . ^у'17"11-''? Р!-"

(Ю)

где у - постоянная Эйлера, сингулярный интегральный

оператор о матричным ■ ядром

г

Доказывается, что интегральный оператор с ядром СГ )

1*3» ограничен в Ь2(Е1), причем

Далее показано, что при любых невещественных » оператор обратим, причем . при больших по ' модулю невещественных и отрицательных значениях «вта сумма непрерывно обратима. . Из

■ непрерывной обратимости оператора Сй всюду за исключением я е

(-4Ьге~2*,0)и:леммы, согласно которой С^1 , - оператор

Гильберта-Шмидта в 12(Е1(С4), w £ (-41г2е-25',0), выводится, что

оператор гж, определенный согласно. (9), действительно

непрерывён в ^(Е^С*) по крайней мере при невещественных V). Для любых и^, Ид из области аналитичности операторной

фушсции Си, определяемой как интегралыий оператор с. ядром (7), в частности для любых невещественных для

л ■ «л ,

операторов С„ , С,„ справедливо токдестю Гильберта.' Кроме *1 г • . ^ .

того, в втой области операторы Си обратимы - и 0^= С- . Из

■втих свойств и представления(7) следует, что 0И - резольвента самосопряженного оператора Н, который является расширением исходного симметричного оператора на область (&),

__о ■ ' '

Подпространство волновых функций . симметричных

относительно перестановок координат (£,Г1,С) и не меняющихся при изменении знаков у любых пар коордашат, то есть волновых

к2 > 0,

функций относительного движения для состоянии сшмстрнчних относительно перестановок исходных состояний .....для

оператора Н является инвариантным. Для масти Я оператора Н на

о

Ь построение функции Грина согласно формуле !7) сводится к

п

построении оператора Г^в Ь (Е^) обратного к оператору С„/ где 0,„ - оператор, переходящий при преобрззовашш Фурье п

• т Л

оператор умноа:ения на функцию (Ю), а ¿^ - интегральный оператор с ядром

з

/Ч2+ г'г+ I и*

Спектр оператора Н„ на отрицательной полуоси составляют в

отрицательные значения параметра я, для которых операторная {уккция 0Д+ 5, не является неапрерлЕНо обратимой. Доказывается, что в интервале (-», 27/8 '( 1+/"з )Я - 2у 1) у оператора Н3 нет точек спектра. Несколько неожиданным оказывается то, что, как показано в работе, у оператора Н8 имеется по крайней мере одно изолированное собственное

значение в интервале ( е:>.о{/27/8^( н/ 2 )л - 2г 1 ,

о

ЧЬ^ехрС-ау) ). Этому сщбствешюму значению соответствует связатное состояние всех четырех частиц. Вообще а:е в ;штервале

о

( -а>, -41* ехр(-2у) ) оператор П3 монет млеть только •изолнровашшо собственные значения. В то ::;е время показано,

о

что все точки интервала (--Ж ехр(-2у), 0) принадлежат спектру 11а. Ки соответствуют состояния "3+1", когда три частицы образуют связанный комплекс, а четвертая могкет свободно удаляться от ш1х на любые расстояния.

При поломгголышх онергнях для операторов Н и 11 рассмотрены состояния рассеяния. Следует отметить, что

оператор Н и соответствующий оператор И для невзашодействумщих частиц не являются близкими в том смысле слова как ото обышю понимается в математической теории раосетшя. Однако уравнение Липмана-Шеиигера. о помощью которого там получаются цолювие функции состояний рассеянии

сохраняют смысл и здесь, и поэтому решениями задачи рассеяния но определению считаются функции, определяемые с помощью соотношения

пЫ) = ии> (-10 г оЕ;1е(Н-) в = ^.

Показало, что для направлений всднового вектора к непараллельных ни одной из лшшй ¿=1,...,4 и при р-»ю

вдоль дкбого луча непараллельного ни одной из этих линий

. * • 12р < 4 Ифровсв^)

.У(М)р5лв --ЬтУ -„ X

/ 2ккр 3=1 утп^ ЫлЭ^ (12)

Ч1п ¿Ь1 ] + ООБ9з= сов0^ г(к01)-

отметим, что главный член в асимптотике рассеянной волну в

(12) представляет собой сумму вкладов от рассеяния на отдельных линиях. Эффекты связанные с интерференцией волн, дают ишада порядка 1/р. Волновые функции задачи рассешшя для четырех гоЕдоетвезпшх частиц получается из (12) в результате перехода к походным координатам ц симметризации по перестановкам частиц.

В третьей главе диссертации рассматривается задача рассеяния для четырех одномерных частиц с точечными парными взаимодействиями. В втом случае после отделения двикашш центра масс влияние взаимодействия - сводится к шшм самосопряженным граничным условиям для оператора Шредиягера (Лапласа) на шести плоскостях

5 + п = о, ^ + с = о, г) + С = о

(13)

5 - ц = о, ? - г = о, ч - с = о

чем те условия непрерывности, которые имеют место для свободного движения. В предельном случае сильного отталкивания волновые функции должны обращаться в нуль на поверхностях

(13). В этом предельном случае фактически рассматривается

оператор Лапласа с условиями Дирихле на плоскостях (13).

Плоскости (13) разрезают трехмерное пространство на 12

клинообразных областей, одна из которых выделяется с помсцьв соотношений

151 5 П = С . (14)

При переходе к обычным сферическим координатам задача

допускает разделение радиальноИ переменной р и угловых

пореуетшх 0, о. Собственные функции для состояния с

.2,2

определенной энергией Е = в области (14)

ип(1:.р5Э.9) = (!ф) Пп(0.р), » - -/туг)-

гдо ?! (О,?) - норлпровапзоя собственная функция для угловой чвста оператора Лапласа в о^зрпческом секторе

| я , О й 0 л аг-!зг>1п--1

. 2

от о

с пулесот услов:гягл на границе, Ц, X,,... - соотвотстзуггтл Еозраотаггля последовательность сойетвешпк значеттй, «1п(х) -фугосция Бзеседя. Погазвно, • что *-п>5.

Текло рззепия з других областях получаются п результате преобразования угрозах перомстпл. соответствующего подходящей перестановке к замене знаков у координат г), С> Поотрлэяа Фушщил Гриаа для оператора- Лапласа с условия/и Лиряхкэ на плоскостях (13). Это функция попользована для ■ построения розепап 7(1:,р) задачи рассеяния на основе уравнения Лнгмапа-Швингера. При отсм для ?(К,р) получилась обычная аскоттотияа

^М^е^.^Г^.О^, (15)

однако оказалось, что в выделится области (14) амплитуда рассеяния"отлична от нуля только тогда, когда в ету область попадает луч, соответствующий значениям угловых переменных П-во, где угловые перемегащэ . Я-&0, 2я-ро определяют

направление вектора "-11" * Если после,диее условие выполнено, то для любого направления ь ^¡тоЯ области отличающегося от

» 21' яе.р) = 2*1 £ ув.Р) ип(я-е0.2п^)(в - - 1), . (1б)

■ 21«, »• . л

Решение задачи рассеяния, удовлетворяющее , условии симметрии относительно перестановки токдественши 1 частиц, получается в результате симметризации В1факений (15), (16) по перестановкам компонент и замене знаков у лвбых пар компонент вектора "й".

Все построения, проведенные в случав условий Дирихле, повторены и для условий Неймана на плоскостях (13)-Единственное, но существенное отличие втого случая от предыдущего состоит в том, что здесь необходимо дополнительно вводить граничное условие в., начале координат - точке пересечения плоскостей (13), то есть, вводить дополнительное условие вида (2) в начале координат. При етом может возникнуть связанное состояние, а амплитуда рассеяния есть сумма постоянного слагаемого вида 1/п - 1к и слагаемого с такой кв структурой и свойствами, что и (15).

Основные*результаты диссертации опубликованы в работе 1. Махлуд Али Рассеяние для четырех . тождественных одномерных частиЦ. Деп.И 1б41-Ук91 (1991), 21 с.