Сингулярности ядра матрицы рассеяния для системы одинаковых одномерных частиц тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

рте ов

ГОСУДАРСТВЕННЫ* КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ОЕДЕРА1Щ

ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ С. -ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

13а правах рукописи

Калитээаетсга Николай Алексеевич

СИНГУЛЯРНОСТИ ЯДРА МАТРЩ! РАССЕЯНИЯ ДЛЯ СИСТЕМЫ ОДИНАКОВЫХ ОДНОМЕРНЫХ ЧАСТИЦ

01.01.03 - математическая физика

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физгао-матейатачеоких наук

0.-ПЕТЕРБУРГ 1893

Гчбота выполнена на кэфздре математической физики Физического факультета Санкт-Петербургского

государственного университета.

Научный руководитель - доктор физико-математических

наук, профессор В.С.Буслаев.

Официальный оппоненты - доктор физико-математических

наук, вед. нзуч.сотр. А.И.Короток;

кандидат физике-у.атемэтичэ-скил наук, дэтнт С.Л.Якоачев.

Ведущая организация - Петербургское отделение

математике ского института РАН.

Защита диссертации состоится " Ю " 1933 г.

ь /^7 УЗ/, часов на заседании Специализированного учоного совета К 083.57.17 физического факультета Санкт-Петербургского государственного университета по адресу 139034, С.-Петербург, Университетская наб., д. 7/9.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан уЧАЛ_1093 г.

Ученый секретарь Специализированного совета К 0G3.57.T7

С.Н.Манвда

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТИМ обуславливается тем, что теория систем нескольких одномерных изакмодепствущих частиц является одним из современных направления математической физики. Задача схЗ одномерных частицах с парным взаимодействием появилась при построения различных язяорешамвя моделей математическое физики. Дальнейшее развитое проблемы рассеяния одномерных частиц шло ао двум основным поправлениям. Первое - расширение класса потенциалов, при которых модель остается я5иорвшаемоа ми хотя бы сингулярная часть матрипн рассеяния по прежнему допускает редуцированное выражение через компоненты двухчастичной матрицы рассеяния. Второе - рассмотрение задачи рассеяния в системе нескольких одномерных частиц д>гя достаточно общих потенциалов. 3 работе дол случая нескольких частиц получена лучовял асимптотжа волновой функции в ввдэ системы разрывных плоских волн. Установлено, что дифраквдонЕыо' эффекты в кяогочасгкчьсг задаче отсутствуют при тех и:э условная на компоненты двухчастичной матрицы рассеяния, что и в трехчэстичноа. • Установлено таюко, что эти условия могут быть записаны в ввдэ уравнения Пнга-Бакстера. Получены явные выражения доя главных сингулярнсстея ядра матрицы рассеяния системы нескольких частиц в виде суммы вкладов, имеющее ввд полюсных особенностей. Найдены всо сингулярности ядра матрицы рассеяния для системы чотырох частиц.

Системы одномерных частиц обладают болов богатой кинематикой, чем трехмерные часгацы, что приводит к дополнительным трудностям при вывода формулы для сингулярностея матрицы рассеяния. Это вызвано том, что в первом случае коррзмерность экранов, в ок^стности которых сосредоточен потенциал, равна >. В случае трехмерных частиц потенциал сосредоточен в окрестности подпространств коразмерности 3. Рассматриваем,™ работа посвящена, в частности', решению этих проблем. Одинаковость чаепщ в рассматриваемых системах приводит к интересным алгебраическим результатам.

цель работу:.

1) Рассмотрение алгебраических свойств системы одномерных одинаковых частиц.

2) Описание глазных скпгуляркостог ядра матрицу рассеяния системы нескольких одномерных одинаковых частиц в терминах двухчастичных матриц рассеяния с использованием алгебраических свойств систем одномерных одинаковых частиц.

3) Определение условия на двухчастичную матрицу рассеяния, при которых в асимптотике волновой функции для систем нескольких частиц отсутствуют дифракционные эффекты.

4) Нахождение всех сингулярностей ядра матрицы рассеянии-для системы четырех частиц.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В работе рассмотрена проблема нахождения сингулярностэй ядоа матрицы рассеяния для систохы нескольких одномерных •■одинаковых частиц. Каэдоны явные выражения для главных сингулярностез .матрицы рассеяния дта системы произвольного числа частиц. Установлено, что для потенциалов общего вида они представляют ссбоя лилейную комбинации полюсных особенностей, что обуславливается наличием дифракционных эффектов при построении координатной асимптотики волновод функции. Установлено такие, что дифракционные эффекты отсутствуют и главные сингулярности представляют собой набор 6-функций, -если двухчастичная матрица рассеяния удовлетворяет уравнению . Яяга-Бакстера, В работе предложен метод вывода формулы для всех сингулярностеа ядра матрицы рассеяния для систем нескольких частиц. Получены явные 'выражения для всех сингулярностей матрицы рассеяния для системы четырех частиц.

НАУЧНАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Результаты данной работы могут быть использованы дяя исследования многочастичных, физических систем с одномерным характером движения, например,в некоторых задачах физики твердого'тела, в молекулярной физике, а также при развитии сверил рассеяшя для с лете к нескольких частиц.

НА ЗАЩИТУ ШНОСЯТСЯ:

1) Формула для главных сшгулярзостея ядра матрицы рассеяния системы нескольких одномерных одинаковых частиц, выписанная а паркингах двухчастичных матриц рассэяния с использованием алгебраических свойств систем одномерных одинаковых частиц.

2) Условия кэ двухчастичную матрицу рассеяния, записанные в вида уравнения Язгга - Бакстэра.при которых в асимптотика волковой функции для систем нескольких частиц отсутствуют дифракционные аффекты.-

5) Явные выражения душ всох сингулярноствй ядра матрицы рассеяния для системы четырех частиц.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертационной работы докладывались па . ,семинарах в . Петербургском отделении Математического института/им. В.А.Стоклова и в Петербургском государственном университете.

ПУБЛИКАЦИИ. По тема диссертации опубликованы дав работы 11,21.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Дйссэргтэшя состоит из введения и четырёх глав. Она изложена на 104 страницах машинописного текста, включающих' один рисунск и список литературы . из 45 названий.

СОДЕЙКАКИЁ РАБОТЫ '

Диссертация состоит из четырех глав.

В ПЕРВОЙ ГЛАВЕ даны постановка задачи, подробное описание геоттрическоя и алгебраической структуры конфигурационного пространства,, связанной с оддааковастыо частиц.

Система одномерных одинаковых, частиц с парным быетроубываадим Потенциалом огассывается гамильтонианом:

х = <*4,... .х^з«^*1. После отделения центра инерции мы получим гамильтониан Нп , определяет.« той ш формулой и действующи« на функции у"-»С, где V" - п-мерное подпространство в я*"'1», характеризуемое условием +... +хг 4 =о. исходным объектом для определения матрицы рассеяния является решение х,рву" уравнения

описывающее рассеяние плоской волны ехрскх,р>э на потенциале V. Асимптотическое неведение функции V при |*|-»оо определяется формулой

*;(х,рЛ=|х| * Гс**"1 ,р| ,Х,6(-ч,р5К! в1 ,р1 Сч,р>+оа>], <23

I Гг п п I

п-в

где с^с-зш |Р|> 4 , Коэффициент ^с-.рз и

является ядром матрицы рассеяния.

Потенциал у сосредоточен в окрестности экранов ь.. асвву"-!^«* ■>, 1,1 =1,... ,пм, которые разбивают пространство V" на <ггмЛ связаих компонент, которые мы будем называть камерами и обозначать символом с, Для произвольного вектора ч камеру, которой он принадлежит, обозначим ссч>. Пусть , 1=1,... ,п+1, -. стандартный базис в Н"**. Введем векторы »^»г»^ 1*1. Оаи образуют систему корней Ап в V". Обозначим через т отражение относительно Порождаемая отражениями т груша преобразований называется группой Вейля системы Ап И обозначается Фиксируя некоторую камеру со (для

определенности поломим со ^хе-у" с .. < ^ ^ > >, можно отождествить множество камер с с множеством элементов с группы ВбЙЛЯ: с «хз„.

£7 О

Изложим некоторые факты из теории групп Вейля и групп Кокстерз в щшлах&ш к группе мп. Обозначим-. отражение от

в

экрана ь t, ч-i,... ,n символом т.. Множество s<n>=<rt,... ,тп> есть система образующих группы Вейля Wn со свойствами

т г =т г , Ii-J | г т. Т. =т. г.г . ДШЩОЙ ЭЛЭМвНТЭ <»eW

I j J I 1 lV*ill*«ll»i "

называется наименьшее число ч такое, что о есть произведение q элементов из s<n> и обозначается Два элемента с и «*•

называется сопряженными, если существует элемент такое,

что *>>"'. Множество элементов, сопряжённых с элементами множества образующие sen), обозначим тоо. Последовательность элементов S-cs(.. и, «sen), называется приведенным

разложением если •■ - ■ , причём ice/>«i.

Последовательность Ccs>=ctt.....• ■ назовем . сопряженным

приведенным разло»эаием о, если - ■ ■<*,arl' " -at»

i-i,...,<i. Существует единственный максимальный по джине элемент с^=-со. обозначим ао>> множество

всех приведенных представлений элемента *v а а*сп> - множество всех сопряженных приведённых представлений.

Назовем разбданизм некоторое разделение числового отрезка i,...,n+i на классы веда i<j. То есть вместе с

числами i ,i классу до л «но принадлежать каждое число k:i<k<i. Обозначать разбиения будем символом а. Разбиение можно записать, разделяя классы скобками иди запятыми. При записи разбиения будем опускать классы, состоящие из одного элемента. Например, а=1,2,348,в,7=С1><а>С343)С6ЭСГ)=С343>. Разнооть числа п+1 и числа классов разбиения а назовем модулем л и будем обозначать modca>. Разбиение будем называть простым, если в не* существует один и только один класс, содержании» более одного числа. В противном случав разбиание будем называть сложным. Введем так»® для простых разбиений вида a»ck...Wm> следуодэо обозначение -

Рассмотрим кзмеру *i»<«vn:x. ■ <...<xt Назовем

* '« ,0 1 п-и feJ

ячейкой zoa множество точек на граница камеры aa, удовлетворяющих условиям

■ а ■ а

, если k*k+t; X =х , если к*=М1, к ,0 lk ,0 Ч,. ,<7

Здесь записи I* I <к « I) означают, что I д принадлежат одному и тому же (или разных) классам з разбиении а. Если ячейка ^ а определяется простым разбиением, то будем называть такую яче'яку фундаментальной. В случае, если а - сложное разбиение, будем называть такую ячейку вырожденной. На границе каждой камеры лежат сп-т+1> фундаментальных ячеек коразмерности т. Введём для них следующую систему обозначения ячеек:

2„ . , =-<>:«Уп:х <...<ж =. . . =х <. . . <х >•.

с,к ,( т> 1 V I I I |

Здесь «г - номер камеры, на границе которой лежит ячейка, т -коразмерность ячейки, к - номер ячейки, ,п+1-т. в

дальнейшем будем называть фундаментальные ячейки просто ячейками. Номер ячейки является инвариантом преобразований из группы

Линейную оболочку фундаментальной' или выронщеяной ячейки и обозначим и „. Точки и ' характеризуются условия™ =х

с у з с р<1 р ||Я I J

для кавдх - ¡- Множество экранов, содержащих а,

обозначим е^ а. Экраны ьеЕ^ а делят пространство V" на связные компоненты, ' которые будем' называть. камерами относительно системы экранов а и. обозначать символом о. Множество всех таких камер обозначим с<с,а>. Камеру из сса.аэ, содержащую обычную камеру с^, обозначим в^ а. Отражения относительно экранов й порождают группу а. Эта группа изоморфна группе Бойля т-тос!са>, если а является простш

разбиением. Если а - сложное разбиение, то V - прямое произведение нескольких групп Бейля, соответствующих разным классам разбиения включающим более одного элемента. Введя обозначение оа , мы ввели естественный способ нумерации камер из сс<?,а> элементами о,с, отличающимися друг от друга на множитель• а =*хз ,

о,а с ,а с,а

Если а является простым разбиением и имеет вид ск..,к+т+»>, то вместо обозначений на а, вр а, ва а, а, с<о,а> будем использовать обозначения ' ,, ! •

о , v , , осс,1с ,< ш) э.

с,! ш) * огк ,< по л

В заключение сопоставим каждому оеУ оператор с,

действующий на функции г-, б""1 с по формула

гагкч>-г<.о <,). Ясно, что о~*о - является представлением групппы \/п. В дальнейшем символ """ будем опускать.

Во ВТОРОЯ ГЛАВЕ описаны главные сингулярности системы нескольких частил. Рассмотрен вопрос о дифракционных эффектах в асимптотике волновой функции. Подучены необходимые и достаточные условия на двухчастичную матрицу рассеяния, при которых эти эффекты отсутствуют.

Главные сингулярности .в общем случае описываются предельными в смысла . Коши значениями некоторых комбинаций' координат зэкторсв а и р. В этом находят отражение дифракционные эффекты, присущие рассеянию в системе одномерных частиц. Для довольно широкого класса потенциалов V, допускающих явное описание, дифракционные эффекты не проявляются и главиые. сингулярности изображаются ¿-функциями. Дифракционные эффэкты исчезают такта, если ограничить систему на подпространство симметричных или антисимметричных функций.

Переход к геометрической задаче основан на следующих сообраданиях. Главные сингулярности ядра матрицы рассеяния в рассматриваемой задаче совпадает с главаыми сингулярностями в задаче рассеяния плоской волны на система полупрозрачных экранов 1*1> определяемых. уравнениями =*. ,с

коэффициентами прохождения я отражения, ; соответствующими двухчастичной матрицз рассеяния. Заметим, что пересечения экранов имееют меньшую размерность, . чем экраны, и, как следствие, вызывают эффективное рассеяние падающих за них волн. Поэтому характер граничных условия на пересечениях не влияет на главные сингулярности.

Фиксируем реУ", предполагая, что р Принадлежит камере с^. Пусть $=фсрэ - <п-1>-мерное подпространство в V", оргогокальнсе, V. Рассмотрим пе]:всечол1и1 к1 . р ьи двух различных экранов. Введем ортогональные ' проекции ь. к1 пересечения в на подпространство ФсР>. Эти проекции разбивают Ф<р> на

выпуклые конусы.

фиксируем какую-либо нумерацию конусов, на которые разбивается Фср>, индексом а, пробегающим некоторое множество. Рассмотрим "прямолинейные" лучи , ?еФ. Будем

наоывэть 'луч г лучом типа с., если ?вФасР>. Дуч типа а пересекает все и-\/?.п<г,+1-> экранов во вполне . определенной последовательности ьа , Такие последовательности

могут играть роль номеров « конусов Оа. Ыс«яо дать чисто алгебраическое, описание множества подобных последовательностей в терминах так называемых приведенных разложений максимального элемента и. Лэгко показать, что <т ..,, ,т где т -отражение от экрана ^, является сопряженным .приведенным разложением элемента »«у^. с учетом того, что между л*сп> и жго имеется взаимнооднозначное соответствие, будем полагать, что элементы а, которыми нумеруются.конусы принадлежат жп> - множеству всех приведённых разложения максимального элемента

«еУ .

л

Введем коэффициенты отражения и прохошдения для экрана:

ВС«Э^ ,гС«>=»3 <«*,*>,

где - ядро двухчастичной матрицы рассеяния. Далее

определим комплексные коэффициенты трансформации для экрана: в°ск>«яскэ, в'ск^гск). определим дня любого отражения о « уп оператор

Легко видеть, что операторы кв<*> унитарны в Асимптотика компонент волновой .функции, дающих вклад в матрицу рассеяния, имеет вид:

Го»1<" Кс. 1 • ^««»»Ес •

ае4Сп>

ЕС ■ ,р,ф>=екрС» <х,р», если кеССр! ИМевТ ВИД *=С"М.р ПрИ некоторых оо; ес-,р,«»хо в остальных случаях.

Регуляризация это* функции вне угловых окрестностей экранов имеет виц

ю

су*А С п }

2|Р|_

Ф

1 \

{(К,Х)=— I--К* " С\ I х I ),

4 1**1*1 -1 ' '

Функции и согласно <г> отвечает следующий вклад в ядро матрицы рассеяния:

- 1 - п-1 ^

*СЧ,р,Ф>=Г- ]

2п О

.В дальнейшем множество Ф будет конусом. Поскольку справедливо соотношение всч.р^иф^ясч.р.ф^+в^р.ф^, то конус Ф без ограничения общности можно считать симплициальным:

Ф

п- *

- линейно независимые векторы в подпространстве Фо.

Введем в Ф0 биортогональный базис .....<г. ^>=<5...,

Разложим векторы р,ч по базису <*/ >-. , . Тогда

>агг=

1

«С<,,р,ф>=( -1- )"' X .....гп.4

2л е'го ■

здесь Гс^. .,.,»• э - определитель Грама системы векторов

в итоге получаем. следующее выражение для главных сингулярностей ядра матрицы рассеяния:

1 = »

S С ,p)»Ук Cp>...R Ср>аС-,р,Ф «afp».

n,«otn £u o, t " et, N a

u

Функция vout , вообце говоря, млеет разрывы. Можно показать, что наличие иди отсутствие разрыва определяется структурой разности

R Ск Ж С* >R С* }-R Ск <« >R С* >,

Т 1Г 2 Г SI T 3 T 2 T J '

i 3 1 а г i

т ,г, ,т - отражения от экранов вида ь =ь, . , h л , ь ^ь ;

1 '2 Э 1 1J 8 J 8 f >

Km=-<p,ntn>-, nm - единичная нормаль к экрану Ь(1. разрывы, отсутствуют тогда и только тогда, когда выполнено уравнение

й С* ЭК Си ЗИ <* См Ш <« Ж Си >

т »г гг а т » т » т л

* 2 ) 3 2 .А

при всех *4, . *а, удовлетворявших условию ск1+ка,+кя»о). Это соотношение, является одной та форм записи уравнения Янга-Бакстера, Б терминах коэффициентов отражения и .прохождения оно может быть записано следующим образом:

г г н -г 3 г г г =0, 123 12« 12а'

где г.=гс*. >, в^с*^, При выполнении последнего условия главны© сингулярности ядра матрицы рассеяния имоют вид

5 Сх,р>1=К Ср>...К Ср>6Ск,р>,

. л. 1 " а, к 1

От а правая часть' последнего равенства н© зависит,

В ТРЕТЬЕЙ" ГЛАВЕ рассмотрен . новый подход к ; нахождению сингулярностог .ядра матрипы рассеяния на примэре системы трех частиц. Этот подход сострит в слюдущем.. Конфигурационное пространство разбивается экранами на" связные компоненты -камеры. В каздеа камере вместо волновая функции рассматривается ей разложение по плоским волнам. На гранит» камеры., состоящая из ячеек разной размерности,, ставятся, .граничные условия,

связываздиэ разложения по плоским волнам в соседних камерах. Из граничных условий внеодогсл система иктогрзлышх уравнения. для набора разложения по плоским волнам волновой Функции в разных камерах. Зная разложение волновой функции по плоским волнам .в каждой камере и вклад плоской волны в ядро матрицы рассеяния, легко вычисх»ггь его матрицу рассеяния.

В 'КТЕЕРТОй ГЛАВЕ■с помощью этого подхода выведаны явные выражения для всох скнгулярностеа ядра матриш рассеяния, охарактеризован носитель главных и слабых сингулярностен. Дало тага« поточечное описание сингулярностея ядра матрицы рассеяния с помощью более простых формул, не содоркащих интегралов. Доказана теорема об унитарности,

Опииом кратко структру формулы, определяющая сингулярности ядра матрицы рассеяния:

3 Сч.рЭ"»

а, а V г?д

4 3)

Гър>.

Оператор т1п переводит функцию и(->, заданную на сфере Б2 в вектор-функцию :

' исч>,

и <ч>«

" о,

Оператор Т°и' переводит вектор-функцию {и^с • э}«^ в скалярную

функцию, заданную на сфере Б* :

. 1Р1

о-^з

Операторы ва. определяются разбиениями и являются

компонентами интегрального оператора о в уравнении.

ГДО -КЗ -KS *G +G •'G ,

* z.iii a.ci> "г,<2> "ujimi

fg u] X* s D x~ u ,

[ a Jiï ¿ с/ ( а с , а от ( а с/т *

ieW

е .л

здесь » - едЕКныг элемент Щ'ггпы v u <q>=o, если -о«с .

Операторы > ^ ' ~ ' , -s' , d .s .в

1 ^ ^с ,а ' о»,|с ,с i > • о ,< i > ' о,( 12)1 141 ' а ,1 пи Л!

определяются следующем сбраээк:

CS , /Kq>«-C|q , I >УСсГ»+1-С ! о |>/Сг ср,

где т - атрэжнке от окрааэ ¡<<z '. j.

CD . fií Ь , tq.q'i/CqOuq',

C7,k,iIlJ n J „2 Cf.i.ln M 1 ' 1

ъ

Ipl

1 ' ( 2rr> г

с/ э< i )

= ! q ' i • Г1 ' ¿ Се Со .k ,t i > Са.к ,t i) ))• i t * * 2 * '

, к, ■,,1 ! « 'Ч i > ■ s2. г „в [т~т I ч; 1.4 ;] ;

а

•,(121(34) 1 1 1.1' • ,1 1 ,« . г »5 (_ I ^ | '-1. ' .!._) '

в этих формулах а - прое:шуы вектор?! ч на с^тветстБуахую ячейку т. и на срггогонэльноо подпрсстрэдстзо х но?..

Прокомментируем посуда» р^зскстзэ .с точки зрения гооиэтрии задачи. Если ячэакз , лгккт одасврзхгнко на границе камер с ¡с с ,, то ргззхюткп га плоским волнам граничной задачи в этих двух камерах связаны ззгжголяствиея через эту ячейку. Если т. нз .«ззжиг на границе камера с^, то нккакоа связи менаду и и через дапау» кчэаку кет.

5?ч> - мношство послодозатольяостза разбиений, которым соответствуют итерации уравнения <з>, дапп^о вклзд в сингулярности ядра матрицы рассеяния. В этоа я» главе дано геометрическое описание множества 2"3> в терминах лучей, рассокващихся на ячейках по законам геометрической сттгики. Подробно описан носитель сингулярностей. Глэвкыо сингулярности сосредоточены в точках оси , Носитель слабых полюсных

сингулярное/еа расположен на всевозможных окружностях, проходящих через точки и имеклях центры в местах

пересечения фундаментальных одномерных ячеок со сфорса Б2

|р|

ЛИТЕРАТУРА

I. Буслаев В.С., Кзлитеевский II. А. Главные сингулярности матрицы рассеяния для системы одномерных частиц. 7№5. 1987, т.70,№2,с.266-277.

3. Калитеевс/ий II. А. Сингулярности ядра матрицы рассеяния для системы четырех частиц. Поп. в ВИНИТИ, I7.C5.I988, МС839.