Спектральные тождества и низкоэнергетическое рассеяние в квантовых системах нескольких частиц тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИ! ГОСШРМЕЩШ УШВЕРСКГО

На правах рукописи УЖ 630.145

ШШИСКИЙ АНДРЕЙ АНАТОЛЬЕВИЧ

СГЕКТРШШс ТОЖДЕСТВА И ШЗКОЭЯЕРШИЧЕСКОЕ РАССШМЕ 9 КВАНТОВЫХ СИСТЕМАХ НЕСКОЛЬКИХ ЧАСТИЦ

( 01.01.03 - мзтоматаческэл физика )

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учэноа степени доктора физико-мзтемаютеских наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1992

Работа выгшиава в отдало математической и вычислителыюй физики ЛИЙ физики Санкт-Петербургского государственного университета

ОфштльЕыа оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор B.C. Буслаев

доктор физико-математических наук, профессор В.Б. Беляев

доктор физико-математических наук, профессор В.Б. Матвеев

Ведущая организация: Сагдгг-Потербургское отдела ¡даэ Математического Института АН СССР.

Защита состоится УЧУ " _ Ш2 г.

в часов на за седа ис/ сго&ализировашюго соЕета

Д063.57.15 го защите диссертаций на соискание ученой стбпзни доктора наук при Санкт-Штзрбургском государственном университете (Х99034, Санкт-Петербург, Унивеситетская наб., д. 7/9).

С диосертащей можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского университета.

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного совета доктор Сиз,-мат. наук

А.Н. ВАСИЛЬЕВ

системах трех частиц,

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все результаты диссертации получеки впервые. К основным из них относятся:

- Исследована структура т- иэ-мэчрицдля системы т|«х частиц с фиксированкым орбстальиым моментом. Доказано отсутствий трзхчастичшх особзшостея в ялрв т-матрши и получено асюшготитеское рззлоиешго т-мзтрицы приболыеик значениях спектрального параметра. На основе этих результатов выведена полная серия спектральных тонщзств, которые обобщают формулу Левинсонз на задачу трех тел,

-Получены зяконалъше асимптотики волновых функций и исследованы сингулярности в особых направлениях амплитуда рассеяния (3 —. 3) для кулоновских систем трзх час гац с фиксированным орбитальным моментом.

- Получены явные формулы, описывающие пороговое поведение и угловые сингулярности амплитуд упругого бинарного рассеяния в кулоновскихтрехчастачных системах и в ряде задач потенциального рассеяния с дальподеаствующими потенциалами.

- Доказали обобщэьшформулы Лэвинсонэ для радиального оператора Шредингера с дэльнодойствуюаими степенными потенциалами к для трехмерного оператора Шредангера с кулояовским дальнодействием ,

- Изучены сингулярности амплитуды рассеяния на дальподейст-вующих потении? лах в присутствии внешнего однородного электрического поля и пороговое поведение »-матрицы рассеяния во внешнем постоянном магнитном поле.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Разработанные метода вывода сгоктрэльяых тоетэстз и анализа низкознерпгапеских асимптотик кмаюгг общий характер и ногут быть применены в ряде других задач, в частости, в задачах рассеяния на ркмановьпе многообразиях. Полученные явные формулы для пороговых и углошг особенностей в-иатриц вагаы для качественного анализа широкого класса теоретических и прикладных задач атомлой и мезоатомной флэшей, в некоторых задэчах астрофизики, а тагоге ногут использоваться для усовершенствования вычислительных методов расчета греетастичйькрзатша. О чисто математической точи*

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛБКХТЬ ТЕМЫ. Теория ра ссеялия при низких энергиях в квантовых системах нескольких частиц играет ключевую роль во многих разделах современной физики. В ео контексте возникает ряд содержательных математических задач, связанных с исследованием структуры сшктралышх характеристик квавтовьи гамильтонианов вблизи границ непрерывных спектров. В частности, к ним относятся изучение пороговых асимптотик е-матриц и вывод спектральных тоадеств, связываших инварианты э-матриш с характеристиками дискретного спектра. Классический пример таких тождеств - формула Левинсона в задаче потенциального рассеяния. Большое количество работ было посвящено исследованию низкоэнергетического рассеяния для д вухчастичного оператора Шредингера с быстроубывзкяшмипотенциалами. Весьма детально изучены пороговые асимптотики фаз рассеяния и получены разнообразные обобщения формулы Левиисоиа. Однако современное развитие квантовой теории рассеяния выдвинуло на первый план целый ряд проблем, в которых аналогичные вопросы остались малоисследованными. Это прежде всего задачи, связанные с теорией рассеяния в системе трех частиц, а также с нестандартными вариантами двухчастичных операторов Шредингера, описывающих рассеяние на дальшдаяствуюшкх потенциалах и в присутствии внешних ■ электромагнитных полей. Поэтому исследование этого круга задач представляется весьма актуальным.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Вывод аналога формулы Левиясона и спектральных тождеств высшего порядка для системы трох частиц с фиксированным орбитальным моментом. Исследование порогового поведения и угловых сингулярностеае-матриц в кулоновских системах трех частиц. Обобщение формулы Левкнсона и анализ низкознергетичес-ких асимптотик Б-матриц для двухчастичных операторов Шредингера с дальнодействующими потенциалами. Изучение особенностей е-матриц в задачах рассеяния во внешних электромагнитных полях.

ОБЩАЯ МЕТОДИКА. В работе используются метода асимптотического анализ, дайеренциальпоя геометрии, теории функций и рядов, а тзгеко трплишонные метода квантовой теории рассеяния в

гранил, полученныо спектральные тоздзхтвэ для системы трех час-тнц представляют собоя гарпия нетривиальный пример спектральных тоздсств для оператора Кредитора на многообразии с асимптотически пезвклвдовоя гетржои.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации домалывались на научных семинарах отдела математическое ¡I вычислительной физики Н>Г<1 Физики Санкт-Петербургского университета, отделения Калифор-икаск го университета (Лос Аасдалес, Беркли. Сайта Барбара). Калифорнийского технологического института (Пасадена), университета штата Ипдааяз (Блумингтон ) и Института ядерных исследования (Гренобль), на Всесоюзных иМэвдуяародвых конференциях: по квантовой проблеме нескольких частиц: Тбилиси <1981), Санкт-Петербург (1983), Ажа-Ата (1885), Дубна (1987), Ташкент (IÍ89), Лндовер (1900). Эльба <1991).

ПУБЛИКАЦИИ. Результаты диссертации опубликованы в 14 научных статьях U-14J.

ОБЪЕМ РАБОТУ Диссертация состоит говведения, трех глав, разбитых па 19 параграфов, и списка литературы из 1X2 наименований. Это занимает 293 стр. машинописного текста.

Во введении сформулированы основные задачи и результаты дас -сертации и описана структура работы.

Глава I посвящена выводу ешктрзлыгых тождеств для системы трех частиц и состоит из 7 параграфов. В описывается струетура внутреннег о пространствам=в/ям 3), о »Ли1 системы трех частиц с фиксированным орбитальным моментом I и прово-дгггея ремукшя трехчаатичясго гамильтониана на подрострзнство состояний с фиксированным г. Редуцированный гамильтониан

действует в гильбертовом пространстве ^(«¡с' ) (2ет -вектор-Фунмщй на м и имеет вид:

СОДЕИНАНИЕ РАБОТЫ

- 1с(ч); * Jv. , ы

I а»1

где we- потенциалы парных взаимодействий» t' - локальные

координаты на Hj ь1' - метрический тензор и, I. - главные

моменты тензора инерщмя, о- = слл<лп"*. Векторные поля

сутьroPlooirr3JIbIIb|0-®в>гы полей по отношениюк

связности на тривиальном расслоении otn,so(î),n), которая порождается вокгсраоа I-фэриоа угловой скорости вращения системы как целого.

В $2 строится специальное представление для гамильтониана (t>. дяагокализующге его кинетическую часть. Оно порождается

интегральным преобразованием в Çmjc2'*1^ с адром Г*(r,q| - п" J ¿9 «p{i [ *, gx в s»;'p )] Df(g) ( (г )

SOfS>

гда d'îs ) - матрица функция Влпюрз» (дя ,г),{вр,ч>еео{3)»и » d| гкц суть канонические проекции векторов х ир в расслоении QiM.taiï),*). с точки эрепия теории рассеяния функция (2> представляет собой аналог плоской волны для процессов рассеяния (3 —» s ) при фиксированном i. Для нее получены явные выражения. которые позволяют вычислить соответствующее представление для гамильтониана (!>■

rf _ - н^ ♦ Jv* . fi)

а

В нем киветиче екая часть - матричный оператор умножения, а потенциалы суть матричные интегральные операторы, ядра которых ииешт «-образные сингулярности.

В не основе представления <3 ) исследуется структура т-мзтрида гамильтониана < I ). Используется техника уравнения Фад-деевз для компонент т-матрицы. Доказано, что т-матрица имеет только стандартныо особенности типа ¿-функций и полюсов по спектральному параметру, порожденных дискретным спектром

двухчастичных подсистем. Существенно, что она не имоот трегчастичных особенностей; Послэдтмэ исчезают в результате редукции на подпространства состоя!шя с фиксированным Это обстоятельство играот важную роль при вывода спекгралы я тсздеств.

В §4 строятся простри {ства каналовреакшя и опрэяэлоттся волповые операторы и в-матркца, связанные с гамильтонианом (I). Вычисляются их лдра в терминах компонент Фадгеева соответствую-иея т-матрицы. •

В§5исследуетсяастгтотика плоской волны (2). Показано, что она задается определили ми решениями г1,?2 уравнегая эйконала на многообразии м. Этт эйконалы нетривиальны, т.к. метрика м неевклидова.

В §6 проводится .тотальное исследование плоской болпы (2) в частом. случае, Показано. тто ядро У* пзлпется функцией только двух переменных - упомянутых эйконалов г гг - и задается представлением

Г Г 1

= <4/п> £ йх «п X [ X1 - г] ] [ 2, - X ]

г

I

Получено такте разложение у" по скалярным гигорсферичэским гармоникам:

ю

- в ¡1п1ч1г1 2 (-1)" л2^2пг| »41)п ) у

ПГО

гда - проектор на собственное подпространство гипоругловой части оператора (I). Для его ядро получены явные выражения, имеющие смысл новых теорем сложения дяя гигюрсферических функций.

Результаты §§ I -6используются в §7, где выводитсяглавные результат 1'лзвы I: ползая серия спектральных тоадеегв для гамильтониане <1), Вывод основан на резольвентной формуле следа

21 грв'се^ю) = ер^е* (Е) , С 5-)

которая связывает следа связных частей резольвенты оператора (I) и соответствующей ему в-мзтриш. В отличии от изучавшейся ранее

задачи. в шторой орбигалишл иикват т\ех частиц но фиксирован, формула следа (Я ье нуждается б дополнительных регулярцзашях, т.к. т-матрица в яаиен случае во имеет трехчастичних особенностей.

При Быаода сгоктральнеж таадзс гь существенную роль играет

ташдаасиыототичосиоеразложеийврр'сг) при г ->ш. Доказано, что оно икеет вид

с

гдэ

= л1 - *Г2 <^><*2> ,

о

о'/1 с2) » (1/а) |с81(г) . ((,)

и

Функции цыракаотся явно через парные потенциалы, например

"=г> = [К)*' К + '

а с»

евесоьоя множите пь игзадается свертков шосгсад волн (Я> но единичной сфере п во йнуцишнек пространстве:

= / йнсч» м

где Бр - матричный елея. При с * о этот вес вычисляется явно с номоцыо разложения (4):

ф

р((г,\> = (зг/п) (х|пГ* ]> '

п=о

X п*2, и?) 3/2, б1пгу-с-1) ,

где vir) - одна из локальных координат точки г <; и.

Спекгрпльвь» тождества имеют вид: 1! п » о (".налог формул,1 Левингоиа):

n

Г I \ ' Ы'И) /Бр( 5* ^ 3 ] (С) ЙС ,

с 5

с

где - граница непрерывного спектра»/; количество точек дискретного спектра ек и их кратности. 2) п = 1,2, ... :

N оо

" 2 "V ** = ('1/21> I ^ { ^ 5р( "е 5 ) (Е) +

к-1 го

гдо в - функция Хевисаяда, а определено в (6).

В главе 2 исследуются пороговые и угловые особенности амплитуд рассеяния в кулоновг-ких системах трех частиц.

В $8строэтся зякональная асимптотика волновой функции процессов (3 —>г,з) при фиксированном орбитальном моменте. Она

определяется упомянутым эйконалами г% г тоской волны ^ и решениями уравнения законала нам. соответствующими процессам однократных двухчастичных столкновений при фиксированном л Кулоновскиефазым, искажающие эти эйконалы, получаются путем решения уравнения

к*((1г,м) - - (1/2)Г"г V ,

где V-суммарный кулоновский потенциал, ¿г - 1-форма градиента на м, *£(.,.) - скалярное произведение в кохасательиоч

пространстве т*Н. Кулояовские фазы сингулярны в ряда особых направлений внутреннего пространства. В особых направлениях амплитуда рассеяния <з —»з> имеет гояосньюсингулярйоста. Они

исслодусггся в §9 котором параболического уравнения, обобщенным па случаг многообразия с неевклидовой мотрксой.

В §§10-12 изучаются пороговые и угловые особенности полных амплитуд упругого б ¡тарного рассеяния (2 —.г; в кулаков с ких системахтрех частиц. В§10 развиваетслкатодэдакгавногопотенциала, который позволяет свести трохчастичную задачу к иИекгквной задаче двух тел в R3. При этом особенности амплитуд рассеяния опродшкл-ся а сюшгатической структурой эффективных потенциалов. Доказало, что в смысл® обобщенных функша последние асишгготичэски локальны и в старшем порядке равны суше статических мульташлышх и динамического поляризационного членов:

аз

»t„(x) в Z/!x| l*l"J' - ClxV* * ... , (7)

14

В § II исследуется пороговая асимптотика и сингулярности в направлении рассеяния вперед амплитуда рассеяния на потенциалах (7). Путем анализа итераций соответствующего уравнения Липшапа-Шзингера получокы следующие результаты.

Нжзкознергетическое поведении ашлитуд рассеяния имеет вид (к2 0} i

W,« «= fc * ,к> tkVX'^ * f <" k' Ч

tos в * 1

где s - í если ¿lV о и J =a если м"'» о, о;fc -

кулоновская амплитуда рассеяния, хс - фактор Гамова. Второй члои (Q) порощет иультипольнши слагавший потенциала (7), Его особенность при нулевой энергии описывается сингулярным фактором

ош(кг,&) в -<í/2|k|) exp£2li) (1л|т)| -1)1 Cs¡n f } "21"

где ч = */2|м. Коэффициенты и* вычислены явно.

Угловая особенность акшштуды при а -» о икеет вид

п.

flk'jk) » f ■* <s(k',k) |k' - It |

(e)

t;(fc',k) |k' - к Г21"7 ,

где «,ь - глада» футсши, тзгсгв ваядашшз в явном сиде.

В $12 рассматривается Ба.тгг таопм случая: расеептзз заряиенпой частый на водородогадобноя кжви. Кулонозскоэ шрсздвииз спекгра мисени приводит к необходимости учета дальноязйстаувдзй связи Бороздиных уровней, что дадаот аффективную задачу матричной. Получены обобкепул формул (8), (Э) для этой задачи.

В§13рассмзтр;1ВзэтслЕОШфотиаафжяпеокап задача: рассеянно при низюн энергиях в эталонной систсмэ ядарной Фкзгася протон.* дээтроа, Исследуется влшшиэ шл/роусмостадрлтролэяа пороговое поюдса;з фззи рассегшня и зйекты, связалжо с наличием полоса у функции эФ^ктг.вного радиуса в дублотнои сшнговоч состояния. Описьговотсптаккй чкелздаь'лмзтодрлечота длин pd рассеяния, основанный па решении уравнения Фадкэева а конфигурационном пространстве.

В глава 3 выводятся обобщения формулы Лзвинсоиа и изучветгея особенности s-матриц в ряде задач потенциального рассеяяия. В ч 14 рассматривается радиальный оператор Ередангорз с

дальнодегсгвувщй! потенциалом ) a a x'a, «<«ci,2l. Полу Чем аналог формулы Левинсона. учиткззодил сингулярность Фаз рассеяния б{(к > при нулзвоя злерпяи бесконечность дискретного

спектра (при л < О). Например, при о « (1,2), 4 < о доказано соотвокениз

lie [6,fk> - в,(ЮЗ - <5,(о>) W nd. , к - О ' C 1 *

где

e{(k) » - (n/<K2WI + la|1/a i}'*''™ £**).

Константа имеет смысл квэнтового декокта дискретного спектра

и определяет асимптотику собственных чисел при п -» -о ••

= - [ с(п + с - <з( ^(1)

(2/а - 1)|а|"1/а В<1/2,1/а)

В Н5 решена аналогичная задача для трехмерного оператора Шредшгера с кулоновсккм дальнодействием:

Н = -А + а/|х| Ч(*) , ч е ¡.¿Я3) п 1-2«3) . (Ю)

Аналог формула Левинсона в этом случае имеет вид

(2ттк) 1л с!^* (О) ■»

Р , а < о

где эче) = 6СЕ)£^1(Е), бс - кулоновская а-матрица! г!ь -

суммарная кратность дискретного спектра (конечная приа>о>. Константа в имеет смысл квантового дефекта дискретного спектра оюратора <10) при а < о. Доказано представление

С - Ия,Ч1/«2 кик)

ш=1 сс»1

где - квантовые дефекты собственных чисел оператора (10):

Ела=-(а1/4)(ш-с)тз )"2 . Индексыт,« отвечает определенному

упорядочиванию дискретного спектра.

В§врзссматрквэются центральные потенциалы с дальнодействием степенного вида при х -» « :

У(х) а а , е. « (1,3) , (И)

У(х) г г/я + » к"®* ,

а > 1

(12)

Подучены жжгшгнт Ф<)з рассеяния при низкой аиергни и иссдэдовыюшрл-свое логлуэшта пешихаипля-удрзссвйния. кото-рь!в задзип сяпардоалиимразл<-.:дзш»ч по фазамрассеяния. Развита техника асимгетотичеек' то апи»»п условно сходящихся изрцидли.'чх рядов, основанная аз формуле суктофоьэяия Пуассона. Например, для потенциалов ( XI ) с л > о доказано С.МЩ11150 предстглуганко при к О:

fa,в) а С27" с(в) cxpj^ ¡ь(е> к1_2/<< j

а для потенциалов (12) с i < а < 3/2

f(k,ej s fjk,«) a*p j i J си(б)

В§? изучается частный случай нэдентралышх дальнодзастадю-eu« потенциалов (? ), возникающий в задаче р-чсееяния на систеиз ы фиксированных кулоночских центров. Бичислены явно вса коДОиця-ентипринизкозноргетическихиуглоных амгулярностях (8), (0) и получено единое представление, одновременно одасывагаре оба типа особенностей :

fs(t',k) = f_ + г{1нт))г J'(l-ir))(k-H'<d)^inI0/2>j

где d - вектор дополькего момента системы кулововских цантроь.

В§8рассмятривается гамильтониан частица во внешнем однородном электрическом поле:

H = -А * (3,*) - VU) , lilî3 .

Показано, что соответствующаяs-мзтрица имеет сингулярности, аналогичные сингулярностям в направлении рассеяния вперед, если

потенциал V(k) убывает медленнее степэш I * I при х ~» »о. Они возни Kin>T в ситуации, когда in-и out-траектории асимптотического лвигеиия (пчрчЗо.гы ) совпадают. Сыч.ислэнывяе

сингулярности ядрав-натрицы для потенциалов У(х) йр(к| |*| "а а е (1/2,5/23. Например, в случао потенциалов типа (7) особенность амплитуда рассеяния в электрическом шла ¡диет вид

3

п=1

где - составляющая квазшэдулъса, ортогональная поля *.

В §9 рассматривается гамильтониан частицы во вывшем постоянном магнитном поло,

Н =» ♦ </Чх) , аЫГ* < 1/2)ВхХ »

Предполагается, что потенциал V аксиально симметричен и быстро убывает в направлении поля В. В этой задаче в-матрица описывает гераходы меэду уровняли Ландау и состоит из коэффициентов проховдония ^(Е) и отражения »^(е); т,п- номера уровне*

Ландау. Исследуется структура в-матриш в продело, когда спектральный пзраметер стремтхя к одному из порогов Ландау »

1В| (2П4-1), Техника анализа основана на методе низкоэнергетических разложений операторов перехода, который обобщен на многоканальный случай. Получены полные асимптотические разлода-ния коэффициентов проховдения и отражения для всех типов переходов. Например, прига< п, е -»¿п *о (упругая реакция м перехода на более визкиэ уровни)

00

^ = IС <"«,/ ' 8=1

<о

- * У <и >* /

тп яп ь *** ^

6=1

где кп « (Е-

основные результаты диссертации опубжковаш в статьях:

1. Квицинскиа A.A. Ляша рассеяния в систета трек заряженных частиц// Письма в ГЭГФ. 1932. Т.38. Вып.Ю. С.375-377.

2. Квицинскиа A.A., Комаров И. В.. НеркурьевС.П. Особенности амплитуда рассеяния для кедаенно убывающих потонциалоз// Ядерная физика. 1583. Т.38. Вьш.1. C.IOI-XI4.

3. Квицинскиа A.A. Рассеяние на дэльнодэйствуюцшс потенциалах при малых звергаях// Тоор. и мат. физика. 1834. Т.Б9. n.3.

С. 472-478.

4. Квицинскиа А. А., Меркурьев С. П. Поляризационный потенциал и низкознергетичвские характеристики & рассеяния// Ядзрная физикз. IS85. Т.41. Вип.З. 0.647-654.

s. Квицинскиа А. А. Рассеяние при низких энергиях на потенциалах . содержание степенные поправка к кулоновскому взаимодействии// Теор, и мат. физика. 1985. 1.85. N.2. С.226-237.

ь. Квицинскиа A.A. Аналог формулы Лзсщсоиа для оператора Шредингзра с дальиодааствуюодм потенциален// Геор. и мат. физика. 1983. Т.63. n.3. С.244-254.

?. Квицкзскга A.A. Формула слада для оператора Иредангвра с кулоновегам взаимодействию« в трехмерном пространство// Теор. и мат. физика. 1837. г.70. n,i. c.i04-ii4.

в. Квицинскиа A.A.. НеркурьевС.П. ЗМеативныа потенциал в задаче рассеяния трех заряженных частиц// Щгзриая физика. 1988. Т.48. ВЬШ.Х. С.127-137.

9. Квицинскиа а. А., КострькиаВ.В. Потенциальное рэссеянга во внешнем однородном электростатическом полз// Геор. к кат. физика. 1888. 1,75. n,3. С.418-430.

10. Kvitdnskу ft.fl., Iterkurlav Э.Р, Sun rulea In л three-body problem at fiwsf «ngutw nmsntum/f Lett. Miäi. Mys. 1909. V.t7. P.307-313.

11. Квицинскиа A.K., Мэркурьев С.П. Сгоктралькштсятасгвздия системы трех частиц// йок*. АН СССР. ICG9. Т.303. м.в, C.I355-I358.

12. KWttíncky Я.Й., Kbewrov I.V., Ibrkurla* 6.P. а-twíri*

singularities зл scot taring of л сH>r$e<J pariiele cn A r/drog£J>-Uls tivrget/V Fetj-Hrjjy Systems. 1990. V.7, Ы.2. P.79-93.

.13. Kvitslnsk/ A.A., >terkuriev S.P. Tbree-bocly plans wav^ at zero finguilar rf**n£nium scfl« addition theorems//

Math. Phys. l??l, V.32. N.l. P.60-5S.

)•■>• Квицшския А.Л., КострцкигВ.В., Меркурьев С.П. Квантовая теория рассеяния дал систем трох частиц с фиксированным полпшорбетэльньимоментом//ЭЧАП. 1890. Т.27.М.6. 0.1301-1359,