Равновесие и устойчивость конечных деформаций изгиба и растяжения упругих тел при учете собственных напряжений тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Шубчинская Наталия Юрьевна

Равновесие и устойчивость конечных деформаций изгиба и растяжения упругих тел при учете собственных напряжений

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

28 ОКТ 2015

Ростов-на-Дону - 2015 005563938

005563938

Работа выполнена в федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего образования «Южный федеральный

университет».

Защита состоится «1» декабря в 16.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.208.06 при ФГАОУ ВО «Южный федеральный университет», по адресу: 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова 8а, институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича, ауд. 211.

С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке им. Ю.А. Жданова ФГАОУ ВО «Южный федеральный университет» по адресу: 344103, г. Ростов-на-Дону, ул. Зорге, 21 Ж, http://hub.sfedu.ru/diss/announcement/8882f7fa-27 5d-4c54-893f-6ee70a4e663c/.

Автореферат разослан « /3" » _ 2015 г.

Научный руководитель: Карякин Михаил Игорьевич

доктор физ.-мат. наук, доцент Официальные оппоненты: Ерофеев Владимир Иванович

доктор физико-математических наук, профессор, ФГБУН Институт проблем машиностроения РАН (г. Нижний Новгород), директор Шейдаков Денис Николаевич кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Южного научного центра РАН

Ведущая организация: ФГБУН Институт Проблем Машиноведения

РАН (г. Санкт-Петербург)

диссертационного совета

Ученый секретарь

Боев Николай Васильевич

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации. В медицине, биомеханике и технике уже достаточно давно стали применять материалы, способные испытывать большие деформации и при этом сохранять упругие свойства. Согласно предложению К. Трусделла подобные материалы были выделены в отдельную группу и получили обозначение «гиперупругие материалы». В теории упругости их механические свойства целиком задаются упругим потенциалом (функцией энергии деформации). Существует достаточно большое количество различных моделей, описывающих поведение материалов данного класса. Однако, не все они адекватно отражают известные экспериментальные данные и результаты. В этой связи весьма актуальной является проблема выбора подходящей нелинейной модели материала и ее параметров для решения конкретной механической задачи.

При определении свойств материалов по-прежнему используются стандартные механические эксперименты: на растяжение, сжатие, кручение, изгиб. Задачи о равновесии и устойчивости конструкций с нелинейными свойствами (конструкции из резиноподобных материалов и эластомеров) при этих типах деформаций достаточно непросты несмотря на то, что рассматриваются тела простой геометрии. В то же время во многих случаях сам процесс анализа напряженно-деформированного состояния и устойчивости (аналитические преобразования, связанные с выводом нелинейных краевых задач и генерированием уравнений нейтрального равновесия) достаточно алгоритмичен и дает возможность автоматизации его главных этапов с помощью современных средств компьютерной алгебры.

Цель диссертационной работы состоит в моделировании традиционных экспериментов (изгиб, растяжение-сжатие) по определению характеристик материалов, степени пригодности новых и уже существующих моделей материалов; автоматизации процесса анализа решения и устойчивости тел с использованием нелинейно-упругих моделей и собственных напряжений.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующих положениях, выносимых на защиту:

1. В рамках конечных деформаций изучено НДС бруса при чистом изгибе. Методом наложения малой деформации на конечную выведены уравнения нейтрального равновесия изгибаемого нелинейно-упругого бруса.

2. На основе бифуркационного подхода исследовано существование нетривиальных решений линеаризованной краевой задачи. Для рассмотренных моделей материалов для каждого номера моды установлено существование двух точек бифуркаций, первая из которых расположена существенно левее точки максимума на диаграмме изгиба, а вторая - в непосредственной близости к ней.

3. Исследовано напряженно-деформированное состояние нелинейно-упругого цилиндра, содержащего изолированную дисклинацию. В рамках теории эффектов второго порядка получена аналитическая формула изменения длины ненагруженного цилиндра вследствие образования в нем дефекта.

4. Исследовано влияние величины вектора Бюргерса винтовой дислокации на длину цилиндра. Выведена аналитическая зависимость изменения длины и закручивания свободного от внешних нагрузок цилиндра от параметра дислокации; показано, что в ряде случаев эта зависимость немонотонна.

5. Методом наложения малой деформации на конечную изучено явление потери устойчивости нелинейно-упругого цилиндра с клиновой дисклинацией. Исследовано влияние материальных характеристик, геометрических размеров цилиндра и параметра дисклинации на бифуркационные кривые при сжатии и растяжении.

Научная и практическая значимость. В диссертационном исследовании приводится решение одной из фундаментальных проблем механики твердого тела, связанной с разработкой общих методов решения и анализа задач деформирования и устойчивости упругих тел, подверженных большим деформациям. Полученные результаты, описывающие эффекты второго порядка и устойчивости тел при изгибе и растяжении, представляют интерес для разработки новых

методик испытания материалов и определения их параметров.

Степень достоверности результатов, полученных в диссертационном исследовании, обеспечивается использованием строгого математического аппарата нелинейной теории упругости, сравнением асимптотических и численных результатов, применением проверенных и надежных численных алгоритмов, сравнением результатов в частных случаях с результатами других авторов.

Основные результаты работы докладывались на V, VI, VII, VIII, IX всероссийской школе-семинаре «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете» (Дивноморск 2009, 2011 - 2014), XIV международной научной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды», посвященной 90-летию со дня рождения академика И. И. Воровича (Ростов-на-Дону - Азов, 2010), международной конференции молодых ученых «Математический анализ и математическое моделирование» (Владикавказ, 2010), международной конференции «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» (Владикавказ, 2010), «Six M.I.T. Conference on Computational Fluid and Solid Mechanics - Focus: Solids and Structures» (Cambridge, M.A., 2011), XXXIX, XXXXI Summer School «Advanced Problem in Mechanics» (Saint-Petersburg, 2011, 2013), второй всероссийской школе молодых ученых-механиков в рамках «X Всероссийского съезда по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики» (Нижний Новгород, 2011), всероссийской школе-семинаре «Современные исследования в области естественных и технических наук: междисциплинарный поиск и интеграция» (Тольятти, 2012), второй научно-практической школе-семинаре молодых ученых по мероприятию «Поддержка развития внутрероссийской мобильности научных и научно-педагогических кадров путем выполнения научных исследований молодыми учеными и преподавателями в научно-образовательных центрах» (Тольятти, 2012), Second China-Russia Conference on Numerical Algebra with Applications (Rostov-on-Don, 2013), 39th SOLID MECHANICS CONFERENCE (Zakopane, Poland, 2014), научной конференции «Проблемы прочности, динамики и ресурса», посвященной 90-летию

академика РАН Ф. М. Митенкова (Нижний Новгород, 2014), на научных семинарах кафедры теории упругости Южного федерального университета.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 19 работ, в том числе 4 статьи в журналах, входящих в перечень изданий, рекомендованных ВАК РФ [1-4].

Работы [1,2,4 - 10] посвящены компьютерной автоматизации исследования равновесия и устойчивости изгибаемого нелинейно-упругого бруса. Из них [2,4,7] выполнены в соавторстве с М.И. Карякиным, которому принадлежит постановка задачи и выбор метода исследования решений краевых задач, а диссертанту - формулировка нелинейных и линеаризованных краевых задач, проведение численных расчетов при решении этих задач, реализация вычислительных схем бифуркационного анализа, на основе которого определены точки бифуркации на диаграмме нагружения. В работах [1,6,8,10] Д.Ю. Сухову принадлежит разработка интерфейса вычислительной системы с использованием технологии Maplets в системе компьютерной алгебры Maple.

Работы [3,11 - 19] посвящены исследованию равновесия и устойчивости растягиваемого нелинейно-упругого цилиндра с собственными напряжениями, источником которых являются изолированная дисклинация и винтовая дислокация. Формулировка задачи и выбор метода решения задач о равновесии и устойчивости цилиндра с собственными напряжениями принадлежит М.И. Карякину. В работах [3, 12, 15, 18] И.В. Позднякову принадлежит компьютерная реализация анализа решений задач о равновесии цилиндра с винтовой дислокацией. В работе [3] О.Г. Пустоваловой принадлежит формулировка метода последовательных приближений. Диссертанту принадлежит компьютерная реализация этого метода и вывод аналитических зависимостей для изменения длины нена-груженного цилиндра с клиновой дисклинацией и аналитических формул для закручивания цилиндра с дислокацией. Вывод уравнений нейтрального равновесия и компьютерная реализация метода поиска нетривиальных решений линеаризованной краевой задачи также осуществлены соискателем.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, обзора литературы, 3 глав, заключения, приложения и библиографических источников, содержащих 107 наименований, и изложена на 105 страницах.

Содержание работы

Во введении содержится обзор работ по теме диссертационного исследования, сформулированы цели и задачи работы, сформулированы научные положения, выносимые на защиту, обоснована научная и практическая значимость полученных результатов, указаны печатные работы, в которых отражены основные результаты и определена доля участия автора в совместных публикациях.

В представленном обзоре отечественной и зарубежной литературы отмечено, что нелинейная теория упругости представляет собой широкую область знаний, способную описывать большие деформации упругих тел, эффекты высших порядков. Она получила свое развитие при описании поведения материалов, способных выдерживать большие упругие деформации, на основе определяющих соотношений, отличных от закона Гука. Проблемами деформирования трехмерных тел в рамках нелинейной теории занимались многие отечественные ученые: Б.Д. Анин, A.A. Буренин, Е.В. Ломакин, А.Н. Гузь, П.А. Жилин, JI.M. Зубов, В.А. Еремеев, В.И. Ерофеев, М.И. Карякин, А.И. Лурье, Н.Ф. Морозов, В.В. Новожилов, В.А. Пальмов, А.А Роговой, К.Ф. Черных, А.Б. Фрей-дин. Среди зарубежных авторов стоит выделить таких авторов, как S.S. Antman, M.F. Beatty, J. Ball, J.L. Ericksen, W. Noll, R.W. Ogden, R.S. Rivlin, C. Trusdell и др.

Зачастую в задачах в рамках нелинейной теорией упругости не удается получить точное решение даже для объектов достаточно простой формы с простыми граничными условиями. Известные аналитические решения таких задач получены, в основном, с использованием полуобратного метода Сен-Венана. Одной из важных задач, рассмотренных полуобратным методом, является задача об

изгибе прямоугольного бруса торцевыми моментами. Она была решена в рамках линейной теории упругости еще самим автором данного метода. С тех пор было много попыток обобщить это решение на случай больших деформаций. Специальная нелинейная теория чистого изгиба призматического бруса была представлена JI.M. Зубовым и A.A. Зелениной. Исследованиям устойчивости изгиба посвящены, например, работы Триантафиллидиса, Хогтона, Комана и Дестраде, Гилкриста и Мёрфи и других авторов.

Наряду с исследованием задач о больших деформациях нелинейно-упругих тел, анализом устойчивости и закритического поведения, модель нелинейной теории упругости позволяет изучать эффекты образования несовершенств в упругих телах и их влияние на НДС. Изучению дислокаций, как источников собственных напряжений в твердых телах на данный момент посвящено большое количество экспериментальных и теоретических работ. Подробные исследования появления и влияния такого дефекта в рамках теории дислокаций приведено в работах А. Келли и Г. Гровса, Д. Хирта и И. Лоте. К первым работам о собственных напряжениях, появляющихся благодаря дислокациям, в рамках линейной теории относятся работы В. Вольтерры и А. Лява, где изучено равновесие цилиндра с разрезом, и представлены описания дислокаций: краевых и винтовых, клиновых дисклинаций. Большой вклад в развитие теории дислокаций внесли представители ростовской школы механики - Л.М. Зубов, Ю.А. Устинов и их ученики.

В первой главе приводится решение задачи об изгибе бруса торцевыми моментами. В п. 1.1 приводится описание процесса деформирмации бруса прямоугольного поперечного сечения шириной Ь и толщиной d торцевыми моментами, которое задано полуобратным представлением

R = P(x),<b = By,Z = z. (1)

Здесь В — положительная постоянная, x,y,z — декартовы координаты в отсчет-ной конфигурации упругого тела, R, Ф, Z — цилиндрические координаты в его

актуальной конфигурации. Функция Р(х) в (1) описывает радиус точки бруса в деформированном состоянии, а параметр В = у/b пропорционален углу раствора сектора цилиндра.

Рис. 1. Деформация панели

Геометрические характеристики деформации - градиент деформации С, мера деформации Коши-Грина С и ее главные инварианты левый тензор искажений и, тензор поворота А, вычисляются в соответствии с преобразованием (1).

На основе определяющего соотношения для сжимаемого изотропного тела находится тензор напряжений Пиолы:

d = 2jg с'

(2)

где IV(1\,¡2,/з) — функция удельной потенциальной энергии деформации. Уравнения равновесия, записанные через тензор напряжений Пиолы:

div D = О,

сводятся к уравнению вида:

d Dxr d*

В Dys = 0.

(3)

(4)

Граничные условия

' = 0 (5)

выражают отсутствие напряжений на боковых поверхностях; отсутствие осевой растягивающей силы и равенство суммарного момента заданному на торцах панели выполняются в интегральном смысле.

В п. 1.2 для исследования устойчивости приводится описание процесса линеаризации необходимых деформационных характеристик. Это осуществлено на основе модифицированного полуобратного представлления

R = Р(х) + eU(x, у), Ф = By + eV(x, у), Z = z, (6)

где е — малый параметр, U(x, у), V(x, у) - новые неизвестные функции. Процесс линеаризации представлен в виде:

F = "T-F(Co + еС)|е=о. de

Уравнения нейтрального равновесия - линеаризованные уравнения (3) - запишутся в общем виде как

div D = 0, (7)

где D — линеаризованный тензор напряжений Пиолы.

Линеаризованные граничные условия выпиываются через компоненты тензора D:

= = (8)

DyR¡x,±^j = 0,v(jc,±|) = 0. (9)

Условия (8) означают отсутствие напряжений на боковых поверхностях панели, а (9) описывают условия скользящей заделки вдоль оси Ох.

Система (7) представляет собой систему дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка относительно неизвестных функций U (х,у и V(x,y). Отыскивая решение (7) в виде

V (х, у) = V (х) sin (апу), U (х,у) = и (х) cos (апу), (10)

где а„ - —,пе Z, получим систему обыкновенных дифференциальных уравне-2 b

ний второго порядка, причем благодаря (10) краевые условия (9) выполняются автоматически.

Изучение возможности существования нетривиальных решений системы вида (7) - (9) проводилось по следующей схеме. Общее решение разыскивалось в виде:

и = С\Щ + С2и2, V = С\У\ + C2V2, (11)

где (мь V*), к - 1,2 — линейно-независимые наборы функций, представляющие собой решения задач Коши для полученной системы дифференциальных уравнений. В каждой задаче Коши первая пара начальных условий имеет вид соответственно:

щ Ы/2) = 1, VI {-(112) = 0, и2 Ы/2) = 0, у2 (-¿/2) = 1, (12)

а вторая — для производных и'к (-¿/2), у'к (-(1/2) — получается выражением последних из равенств (8) в точке х = -¿¡2 с учетом (12). Удовлетворение краевым условиям (8) в точке х - (1/2 приводит к линейной однородной системе уравнений для определения С\ и С г, которая имеет нетривиальные решения только в том случае, когда определитель этой системы равен нулю, причем элементы этого определителя зависят от параметра изгиба В.

Функция удельной потенциальной энергии полулинейного материала имеет

вид

= ^1г2(и-Е)+^г(и-Е)2, (13)

где Е — единичный тензор, Л, ц — материальные параметры; функция удельной потенциальной энергии материала Блейтца и Ко задается выражением

ы? + {п -1) ■- з| + [/.+ ~ (7Г - 0 - з

(14)

здесь при малый деформациях параметр ц имеет смысл модуля сдвига, а па-

V

раметр а связан с коэффициентом Пуассона выражением а = -——, материальный параметр ¡3 € [0,1] характеризует нелинейность. В п. 1.3, 1.4 на основе удельной потенциальной энергии для обеих рассмотренных моделей материалов сформулированы краевые задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка для функции изменения толщины бруса.

В п. 1.5 проведен анализ зависимости изгибающего момента от угла изгиба для обеих моделей рассмотренных материалов на основе численного расчета краевых задач, сформулированных в пунктах 1.3 и 1.4. Установлено, что для всех рассмотренных параметров моделей (13), (14) на графиках зависимости момента от угла изгиба есть точка максимума, за которой следует падающий участок. Наличие такого участка может означать потерю устойчивости бруса при больших углах изгиба. Для полулинейного материала проводился анализ влияния значения коэффициента Пуассона на изгибающий момент. Показано, что значение коэффициента Пуассона влияет только на величину момента, в то время как различные константы модели материала Блейтца и Ко изменяют положение точки максимума диаграммы нагружения.

При поиске нетривиальных решений линеаризованных краевых задач численным методом установлено, что для каждого номера моды (и > 0) существует две точки потери устойчивости. Первая из них - кратный корень характеристического уравнения - расположена существенно левее точки максимума на диаграмме изгиба, а вторая расположена весьма близко к точке максимума и тоже ее не превосходит. Остальные пары точек бифуркации расположены внутри отрезка, определяемым первой парой. На примере гармонического материала приведены моды потери устойчивости бруса с размерами поперечного сечения 2:1- для двух точек точек первой моды и 1 : 1 - для первой точки первой моды соответственно.

Результаты первой главы опубликованы в работах [1,2,4 - 10].

Во второй главе исследована одна из задач нелинейной теории изолированных дефектов. Цель исследования состояла в определении характера влияния собственных напряжений, вызванных изолированным дефектом типа клиновой дисклинации или винтовой дислокации, на деформированное состояние цилиндра.

В п. 2.1 на основе полубратного представления, описывающего образование

клиновой дисклинации, вида

R = Р(г), Ф = х<р, Z = yz.

(15)

сформулированы краевые задачи о равновесии цилиндра. Здесь г, ср, г - цилиндрические координаты в отчетной конфигурации; /?, Ф, Z - цилиндрические координаты в пространстве; Р (г) - подлежащая определению функция изменения радиуса цилиндра, к - пропорционален углу раствора клина, у - положительная постоянная. Граничными условиями являются выражения, описывающие отсутствие напряжений на боковых поверхностях цилиндра

го, П - внутренний и внешний радиусы недеформированного цилиндра соответственно. Из уравнений равновесия (3) для (15) получается одно обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка относительно функции смещения точек цилиндра Р(г), выписанное в компонентах тензора напряжений Пиолы

В случае материала (13) известно аналитическое решение, в случае материала (14) задача решалась численно. В терминах тензора напряжений Пиолы на основе решения краевой задачи построена зависимость осевой растягивающей силы от изменения длины цилиндра. Численный расчет осевой нагрузки

совпадает с ранее проведенными расчетами для набора констант материала (14), для которых есть падающий участок на диаграмме нагружения; в случае материала (13) диаграмма нагружения представляет собой монотонно возрастающую функцию.

Проанализировано влияние дисклинации на длину ненагруженного цилиндра. Для этого из условия <2 = 0 построена зависимость у от х. Несмотря на

DrR(r0) = 0, DrR(r,) = 0,

(16)

(17)

Q = 2л 0-лР(г)Р\г)<1г

(18)

простоту изложенной выше схемы исследования, в общем случае уравнение (17) относительно Р(г) является нелинейным, и его решение не может быть найдено в явном виде. Для материала (14) краевые задачи (16) - (17) с различным параметром ¡3 решались численно. Анализ зависимости изменения длины нена-груженного цилиндра от параметра дисклинации показал, что для полулинейного материала - цилиндр удлиняется, а для материала (14) характер изменения длины цилиндра существенно зависит от материального параметра /3.

Для проверки численных результатов порядка проведено решение краевой задачи о равновесии цилиндра с клиновой дисклинацией в рамках теории эффектов второго порядка. Для этого функция Р{г) исклась в виде:

Р(г) = г + ôfi(r) + б1 Mr) + о (â2), (19)

где б = 1-х - малый параметр, fa, к = 1,2 - неизвестные функции. Аналитические выражения для этих функций получены на основе последовательного рассмотрения краевых задач, соответствующих различным степеням параметра 6.

Условие отсутствия осевой силы Q - 0 по (18) приводит к аналитической зависимости у от ô, /3, h и а следующего вида:

а (2а2 (2/3 - 1) + а (6/3 - 5) + 2 ф - l)Un

7=1+ S2—---=--, (20)

4h2 (2 - h) (За3 + la2 + 5a + 1)

где Jfen =/г2(2-/г)2-4(1 -hf\n(\ -h)2.

В п. 2.2 приводится анализ напряженно-деформированного состояния цилиндра с винтовой дислокацией. По полуобратному представлению вида

R = Р(г), Ф = (p + tf/z, Z = yz + âip, (21)

b к

где ф - угол закручивания на единицу длины цилиндра, а - —, b - вектор

2л

а

Бюргерса, а =--параметр дислокации; сформулированы краевые задачи (3),

г\

(16) для двух моделей материалов (13), (14).

При исследовании задачи о дислокации из условий равенства нулю осевой силы (18) и крутящего момента

п

М = 2л D&P(r)P'(r)dr

Го

построены зависимости изменения длины и угла закручивания цилиндра от параметра дислокации. В случае цилиндра из материала Блейтца и Ко при некотором наборе констант установлен немонотонный характер изменения длины цилиндра с дислокацией. В рамках теории эффектов второго порядка это явление не описывается, поэтому для его объяснения получено аналитическое решение с точностью до 4 порядка. Таким образом, получены асимптотические формулы для изменения длины и угла закручивания цилиндра вида

7=1- а2— + а40)з + о (а4),

(22)

где ¿о\ = (ß — 1) (1 + аг) (ln(l - /г) (2 - 2/г + /г2) - /г (/i - 2>) + (1 - Л)2 (3 + 5а-) -- (1 + За), (х>2 = h (1 + За) (h3 - 4h2 + 6h- 4), а ы3 - не приводится в силу громоздкости. Проведен подробный анализ полученных соотношений при широком наборе диапазонов варьируемых параметров.

Результаты второй главы опубликованы в работах [3, 13, 16, 18]. В третьей главе проводилось исследование устойчивости растягиваемого цилиндра длины I с клиновой дисклинацией. Все необходимые линеаризованные характеристики деформации выводятся на основе модифицированного полуобратного представления

R = р (г) + eU(r, ip, z), Ф = ipx + sV(r, cp, z), Z = yz + eW(r, ip, z), (23)

здесь функции U(r, tp, z), V(r, ip, z), W(r, tp, z), которые предстоит определить.

В п. 3.1 приводятся выражения линеаризованного тензора напряжений Пио-лы для обеих моделей материалов (13), (14).

Уравнения нейтрального равновесия (7) с помощью замены U(r,(p,Z) = u(r) cos(ny) cos(iz),

V(r, (р, Z) = v{r) sin(wyj) cos(iz), (24)

W(r, lp, z) = w(r) cos(nip) sin(iz),

где t = лт/l, n, m € Z; сводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций н(г), v(r), w(r).

Линеаризованные граничные условия, отвечающие свободным боковым поверхностям цилиндра, записываются в виде:

D J = 0, ¿>гф| = 0, DrZ\ = 0. (25)

Результаты численного расчета приводятся в п. 3.2. Построены бифуркационные кривые при сжатии цилиндра с клиновой дисклинацией в случае полулинейного материала с различным значением параметров модели. Установлено, что наличие дисклинации в цилиндре носит стабилизирущий характер.

Приведены таблицы координат точек бифуркаций для различных номеров мод и толщин цилиндра. По результатам расчета для значений параметров цилиндра h - 0.1 и / = 10 наименьшие точки бифуркации наблюдаются при номерах мод п = 2, т = 2.

Приведены бифуркационные кривые для сжимаемого цилиндра из материала Блейтца и Ко. Все кривые симметричны относительно значения параметра дисклинации к = 1. Установлено, что и для этой модели материала наличие дисклинации является стабилизирующим фактором, который проявляется тем сильнее, чем больше значение параметров а и ß.

В случае растяжения цилиндра с клиновой дисклинацией приведены значения точек бифуркационного параметра для различных значений величин параметров модели материала Блейтца и Ко. Установлено, что дисклинация практически не влияет на устойчивость цилиндра при растяжении, в то время как параметр а оказывает стабилизирующее влияние.

Результаты третьей главы опубликованы в работах [11,12,14 — 19].

В Заключении приводятся результаты, полученные в диссертационном исследовании.

1. На основе точных трехмерных уравнений методом наложения малой деформации на конечную изучены проблемы устойчивости изгибаемого нелинейно-упругого бруса торцевыми моментами, растягиваемого и сжимаемого полого нелинейно-упругого цилиндра с собственными напряжениями. Изучены эффекты второго порядка в задаче о равновесии цилиндра с клиновой дисклина-цией и винтовой дислокацией.

2. Для задачи об устойчивости изгибаемого бруса на основе численного анализа нелинейной краевой задачи построены уравнения нейтрального равновесия. Проведен анализ влияния геометрических характеристик и параметров моделей материалов на расположение точек бифуркации на диаграмме нагруже-ния.

3. В рамках теории эффектов второго порядка выведены аналитические формулы зависимостей закручивания и изменения длины в задачах о равновесии ненагруженного цилиндра с собственными напряжениями, создаваемыми клиновой дисклинацией и винтовой дислокацией.

4. В рамках нелинейной теории упругости проанализировано явление потери устойчивости цилиндра с клиновой дисклинацией при сжатии и растяжении. Исследовано влияние параметров моделей материалов и геометрических характеристик цилиндра на бифуркационные кривые.

Список публикаций

1. Сухов Д. Ю., Шубчинская Н. Ю. Автоматизация анализа равновесия и устойчивости чистого изгиба нелинейно-упругой панели // Вестник ниж. ун. им. Лобачевского. 2011. Т. 4, № 5. С. 2617-2618.

2. Карякин М. И., Сухов Д. Ю., Шубчинская Н. Ю. Об особенностях чистого изгиба упругой панели при больших деформациях // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2012. № 4. С. 69-75.

3. Карякин М. И., Поздняков И. В., Пустовалова О. Г., Шубчинская Н. Ю. О деформированном состоянии нелинейно-упругого цилиндра с внутренними напряжениями // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2013. № 6. С. 46-51.

4. Karyakin М., Kalashnikov V., Shubchinskaya N.. Nonlinear effects in a plane problem of the pure bending of an elastic rectangular panel // International Journal of Engineering Science. 2014. Vol. 80. P. 90-105.

5. Шубчинская H. Ю. Равновесие и устойчивость нелинейно-упругого бруса при чистом изгибе // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете: Тез. докл. V Всерос. шк.-сем. Ростов-на-Дону: Терра-Принт, 2009. С. 93.

6. Сухов Д. Ю., Шубчинская Н. Ю. Исследование устойчивости чистого изгиба панели в среде компьютерной алгебры Maple // Математический анализ и математическое моделирование: Труды межд. конф. мол. уч. / ЮМИ ВНЦ РАН. Владикавказ, 2010. С. 161-162.

7. Карякин М. И., Шубчинская Н. Ю. Равновесие и устойчивость нелинейно-упругой панели при чистом изгибе // Современные проблемы механики сплошной среды: Труды XIV межд. конф. Т. 1. Ростов-на-Дону: Изд. ЮФУ, 2010. С. 162-166.

8. Shubchinskaya N. Y., Sukhov D. Y. The equilibrium and stability of the bended nonlinearly elastic panel // Sixth M.I.T. Conference on Computational Fluid and Solid Mechanics. Compilation of Abstract. 2011. P. 122.

9. Шубчинская H. Ю. Численно-аналитическое исследование устойчивости изгиба нелинейно-упругой панели // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете: Тез. докл. VI Всерос. шк.-сем. Терра-Принт, 2011. С. 86.

10. Shubchinskaya N.Y., Sukhov D.Y. The stability analysis of bending within the computer algebra system // Advanced Problems in Mechanics: Book of Abstracts. St. Petersburg: IPME RAS, 2011. P. 85-86.

11. Шубчинская H. Ю. Об устойчивости нелинейно-упругого цилиндра из сжимаемого материала при наличии внутренних напряжений // Современные проблемы механики сплошной среды: Тез. докл. XV межд. конф. Ростов-на-Дону: Изд. ЮФУ, 2011. С. 52.

12. Карякин М.И., Поздняков И. В., Шубчинская Н.Ю. О влиянии внутренних напряжений, вызванных изолированным дефектом, на устойчивость цилиндра при сжатии и растяжении // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете: Тез. докл. VII Всерос. шк.-сем. Ростов-на-Дону: Изд. ЮФУ, 2012. С. 67.

13. Шубчинская Н.Ю. Влияние внутренних напряжений, вызванных изолированным дефектом, на равновесие упругого цилиндра // Современные исследования в области естественных и технических наук: междисциплинарный поиск и интеграция: Труды науч.-практ. всерос. конф. (шк.-сем.) мол. уч. Тольятти: ТГУ, 2012. С. 200-202.

14. Шубчинская Н.Ю. Численно-аналитическое исследование равновесия и устойчивости упругого цилиндра, содержащего изолированный дефект, при растяжении и сжатии // Поддержка развития внутрироссийской мобильности научных и научно-педагогических кадров путем выполнения научных исследований молодыми учеными и преподавателями в научно-образовательных центрах: Материалы второй науч.-практ. шк.-сем. мол. уч. по мероп. / ТГУ. Тольятти: 2012. С. 146-148.

15. Karyakin М. I., Pozdnyakov I. V., Shubchinskaya N. Y. On the influence of internal stresses caused by the isolated defects on the stability of elastic cylinder under compression and tension // Advanced Problems in Mechanics: Book of Abstracts. St. Petersburg: IPME RAS, 2013. P. 59.

16. Shubchinskaya N. Y. The influence of internal stresses on equilibrium and sta-

bility of elastic cylinder under tension and inflation // The Second China-Russi Conference "Numerical algebra with applications": Abstracts of Lecturers an Young Scientists. Rostov-on-Don: SFU Publishing, 2013. P. 117-118.

17. Карякин M. И., Шубчинская H. Ю. Влияние собственных напряжений н устойчивость цилиндра при растяжении и раздувании // Математическо моделирование и биомеханика в современном университете: Тез. докл. I Всерос. шк.-сем. Ростов-на-Дону: Изд. ЮФУ, 2014. С. 76.

18. Karyakin М., Pozdnyakov I., Shubchinskaya N. The Equilibrium and Stabili of the Nonlinearly Elastic Cylinder with Internal Stresses under Tension an Inflation // 39th Solid Mechanics Conference: Book of Abstracts / Institute о Fundamental Technological Research PAN. WARSZAWA: 2014. P. 75-76.

19. Шубчинская H. Ю. Равновесие и устойчивость нелинейно-упругого цилиндра с внутренними напряжениями при растяжении и раздувании // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете: Тез. докл. VII Всерос. шк.-сем. Ростов-на-Дону: Изд. ЮФУ, 2013. С. 106.

Подписано в печать 29.09.2015. Формат 60x841/1б. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. лист. 1,0. Тираж 120 экз. Заказ 4717.

Отпечатано в отделе полиграфической, корпоративной и сувенирной продукции Издательско-полиграфического комплекса КИБИ МЕДИА ЦЕНТРА ЮФУ 344090, г. Ростов-на-Дону, пр. Стачки, 200/1. Тел. (863) 247-80-51.