Равновесные осесимметричные конфигурации в ОТО и в теории потенциала тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

Манько Владимир Семенович

РАВНОВЕСНЫЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ КОНФИГУРАЦИИ В ОТО И В ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2С

0034Т32Б8

003473268

Работа выполнена на кафедре квантовой статистики и теории поля Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Гальцов Дмитрий Владимирович (МГУ им. М.В. Ломоносова)

доктор физико-математических наук, профессор Лукаш Владимир Николаевич (ФИАН им. П.Н. Лебедева)

доктор физико-математических наук, профессор Мельников Виталий Николаевич (ВНИИМС)

Ведущая организация:

Башкирский государственный университет.

Защита состоится 18 июня 2009 г. в 15 час. 30 мин, на заседании диссертационного совета Д 501.002.10 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119991, Москва, Воробьевы горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, физический факультет, Северная физич. ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

Ученый секретарь диссертационного совета

профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Точные решения являются фундаментальной составляющей ОТО, с ними всегда было неразрывно связано развитие и углубленное понимание эйнштейновской теории пространства-времени. Внешние стационарные решения с осевой симметрией имеют важнейшие приложения в физике черных дыр, моделировании полей нейтронных звезд и других компактных астрофизических объектов. При этом точные решения зачастую являются единственным инструментом изучения различных физических эффектов в сильных гравитационных полях. Последнее подтверждается и на примере исследования такого важного феномена ОТО как взаимодействие угловых моментов двух вращающихся тел, которое в принципе может компенсировать силу их гравитационного притяжения: только сранительно недавно с развитием методов генерирования точных решений стал возможным прогресс в теоретическом исследовании этого явления.

Несмотря на большие успехи, достигнутые генерационными методами в конце 70-х - начале 80-х годов прошлого столетия, параллельно обнаружились и серьезные проблемы, связанные с невозможностью строить основными известными методами стационарные электровакуумные решения, которые бы допускали в пределе, когда отсутствует электромагнитное поле, переход к метрикам Шварц-шильда и Керра для черных дыр (в случае стандартных преобразований Бэклунда эта проблема, например, на настоящий момент еще не разрешена). Построение решения, описывающего внешнее поле N

вращающихся заряженных черных дыр, и рассмотрение связанных с ним различных задач равновесия, остро стояло на повестке дня специалистов по точным решениям.

Отдельный непреходящий интерес представляет собой развитие аналитических методов анализа кривых вращения в теории потенциала для решения одной из важнейших задач современной астрономии - определения масс галактических дисков и центральных супермассивных черных дыр.

Цель работы. Целью работы является:

1. Дальнейшеее развитие интегрального метода Сибгатуллина в применении к стационарным осесимметричным полям Эйнштейна-Максвелла и построение с его помощью 2А^-солитонного электровакуумного решения в аналитически расширенном виде, которое позволяло бы моделировать произвольные комбинации суб- и суперэкстремальных коаксиальных источников Керра-Ныомена; использование этого решения для поиска равновесных состояний в различных бинарных системах.

2. Получение общего аналитического решения задачи равновесия двух произвольных керровских частиц. Строгое доказательство невозможности равновесия двух черных дыр Керра с положительными массами. Вывод закона взаимодействия двух сферических заряженных масс в ОТО.

3. Построение эффективной теории сравнения точных и приближенных осесимметричных стационарных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла, берущей за основу вид решений на оси сим-

метрии.

4. Разработка новых аналитических методов восстановления поверхностной плотности в тонких галактических дисках по известному распределению угловой скорости для случая, когда диск имеет центральное изолированное тело, а также для случая конечных дисков.

Научная новизна. Новизна научных результатов, полученных автором и выносимых им на защиту, определяется тем, что

а) впервые в явном виде построено расширенное 2Лг-солитонное стационарное осесимметричное решение электровакуума, включающее в себя случай N произвольных коллинеарных черных дыр Керра-Ньюмена; оно открывает новое, универсальное направление в исследовании равновесных многокомпонентных систем, для которого является несущественным конкретное соотношение суб- и суперэкстремальных источников в системе; введено понятие экваториально антисимметричных метрик и дано их описание посредством потенциалов Эрнста и данных на оси симметрии;

б) впервые решена общая задача равновесия в двойном решении Керра и открыт закон равновесия двух произвольных керровских частиц; впервые дано строгое доказательство невозможности равновесия двух черных дыр Керра с положительными массами;

в) открыт закон взаимодействия двух сферических заряженных масс в ОТО; получены первые примеры равновесия между субэкстремальным и суперэкстремальным заряженными вращающимися источниками, а также между экстремальной и неэкстремальной

компонентами бинарной системы;

г) впервые разработан эффективный подход к сравнению точных и приближенных стационарных решений с осевой симметрией, позволяющий давать правильную физическую интерпретацию приближенного решения;

д) впервые построена теория тонких галактических дисков с изолированной точечной массой в центре и открыт эффект существования верхнего предела массы галактического диска при заданной массе центрального тела;

е) разработан новый метод реконструкции поверхностной плотности в плоских галактических дисках конечного радиуса по известным кривым вращения и получена новая интегральная формула для поверхностной плотности, переходящая в известную формулу Том-ре в пределе дисков бесконечного радиуса; предсказано существование верхнего предела массы и радиуса диска для широкого класса кривых вращения при их аналитическом продолжении в невидимую часть диска.

Достоверность и практическая ценность. Достоверность результатов, полученных в диссертации, обеспечивается использованием современных математических методов расчета, ясной физической интерпретацией построенных метрик и обнаруженных эффектов, возможностью строгой проверки точных решений. Правильность результатов проверялась с помощью компьютерных программ аналитических вычислений, выполнением предельных переходов к известным частным случаям и сравнением с результатами, получен-

ными в рамках других подходов к генерированию точных решений.

Результаты диссертации имеют фундаментальный характер и дают ответы на целый ряд вопросов, долгое время стоявших перед исследователями точных решений ОТО; многие из полученных результатов отмечены в новом издании известной монографии по точным решениям уравнений Эйнштейна под редакцией Х.Штефани (издательство Кембриджского университета, 2003 г.). Построение мно-госолитонных решений по данным на оси симметрии имеет большую практическую ценность, т.к. в таком подходе все параметры решения могут быть аналитически выражены через мультипольные моменты системы, позволяя с самого начала получать ясную физическую характеристику конкретного точного решения. Именно эта особенность расширенных многосолитонных решений, рассмотренных в диссертации, стимулировала применение наиболее интересных частных случаев в теоретических глобальных моделях нейтронных звезд, разрабатываемых, например, исследователями Гейдельберг-ского университета в Германии или Вашингтонского университета г. Сент^-Луиса в США. Эти решения оказались очень удобными и при анализе аккреции вещества на нейтронную звезду: с помощью одного из них Н.Р.Сибгатуллиным и Р.А.Сюняевым был обнаружен интересный физический эффект, согласно которому при падении вещества на нейтронную звезду может высвобождаться больше энергии, чем при аккреции на черную дыру. Расширенные электровакуумные метрики могут быть использованы в качестве "затравочных" решений для изучения более общих физических моделей в различных

нелинейных теориях, обобщающих эйнштейновскую теорию гравитации. Такое использование солитонных решений все более активно ведется в ряде российских и зарубежных научных центров.

Полученные в диссертации общий закон равновесия двух керров-ских частиц и физически значимые равновесные состояния между субэкстремальным и суперэкстремальным стационарными источниками во многом расширяют существующие представления о "спин-спиновом" взаимодействии вращающихся тел, что предполагает учет этих и смежных с ними результатов при проведении любых экспериментальных исследований, связанных с этим типом взаимодействия.

Результаты, полученные в рамках теории потенциала для са-могравитирующих дисков, могут быть использованы при расчетах масс галактических ядер, оценке масс и радиусов галактических дисков.

Личный вклад автора. В работах, выполненных с соавторами, вклад автора диссертации является определяющим на этапах постановки задач, проведения аналитических и численных расчетов, а также интерпретации полученных результатов.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на XIII, XIV и XVII Международных конференциях по общей теории относительности и гравитации (Кордоба, Аргентина, 1992; Флоренция, Италия, 1995; Дублин, Ирландия, 2004); Международной летней школе по гравитации и ОТО (Эскориаль, Испания, 1992); Международном коллоквиуме в честь И.Шоке-Брюа (Париж, Франция,

1992); Испанских конференциях релятивистов (Овьедо, 1993, Сала-манка, 1998; Бильбао, 1999); VII Конференции Марселя Гроссмана (Стэнфорд, США, 1994); X Всероссийской конференции "Современные теоретические и экспериментальные проблемы теории относительности и гравитации" (Москва, 1999); III, V и VI Мексиканских школах по гравитации и математической физике (Леон, 1999; Плайа дель Кармен, 2002, 2006); Международной конференции "Точные решения и скалярные поля в гравитации", посвященной 60-летию Х.Дэнена и Д.Крамера (Мехико, 2000); I Британской гравитационной конференции (Саусэмптон, 2001); Международной конференции по математической физике, ОТО и космологии в честь 75-летия Дж.Плебаньского (Мехико, 2002); I и II Мексиканских конференциях по математической и экспериментальной физике (Мехико, 2002, 2004); VI Мексиканском рабочем семинаре по гравитации и математической физике (Пуэбла, 2005); XIII Международной научной конференции "Физические интерпретации теории относительности" (Москва, 2007).

Кроме того, отдельные результаты докладывались на научных семинарах Российского гравитационного общества (МГУ, Москва), университетов Бильбао и Саламанки (Испания), Национального политехнического института (Мексика), Института физики Йенского университета (Германия), а также на ежегодных собраниях секции гравитации и математической физики Мексиканского физического общества.

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 38

статьях, опубликованных в реферируемых российских и зарубежных журналах. Их список приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Она содержит 229 страниц машинописного текста, включая 13 рисунков и 12 таблиц. Приведенная библиография содержит 235 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий обзор различных подходов к проблеме генерирования точных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла, пределов их применимости, определено историческое место интегрального метода Сибгатуллина вместе с кругом новых задач, которые могут быть решены с его помощью. Формулируются основные цели диссертации, обосновывается их актуальность, схематично излагается содержание каждой главы.

В первой главе вводятся основные понятия, обозначения и терминология, описывается основной подход к построению точных решений, который используется в диссертации.

Уравнения Эйнштейна-Максвелла в стационарном осесим-метричном случае, описываемом метрикой Папапетру, сначала приводятся к форме Эрнста для двух комплексных потенциалов £ и Ф, которые зависят только от двух координат р и г, а затем переписываются в матричном каноническом виде, введенном в работах Киннерсли, Хаузера и Эрнста. Существование бесконечной иерархии матричных потенциалов позволяет далее ввести производящую функцию от дополнительного аналитического параметра и вывести

переопределенную систему уравнений для этой матричной функции, причем условиями совместности переопределенной системы являются канонические уравнения. Построение такой системы двух матричных уравнений с дополнительным параметром дает возможность в конечном итоге переформулировать исходную проблему в виде краевой задачи Римана на плоскости аналитического параметра.

Метод Сибгатуллина сводит задачу Римана к более простым (нематричным) интегральным уравнениям, включающим в себя функции с ясной физической интерпретацией (выражения потенциалов Эрнста на оси симметрии). Существенным моментом в выводе интегральных уравнений является использование общего преобразования внутренней симметрии при генерировании нового решения, что позволяет ограничиться в качестве "затравочного" решения пространством Минковского и рассматривать преобразование последнего в произвольное новое решение как результат сдвига вдоль орбиты бесконечномерной группы внутренней симметрии.

Действие метода проиллюстрировано выводом точного асимптотически плоского решения для внешнего поля керровской черной дыры, наделенной магнитным дипольным моментом.

Во второй главе рассматриваются расширенные солитонные решения, позволяющие на новом качественном уровне решать различные равновесные задачи нескольких тел. Вывод 2Аг-солитонного электровакуумного решения проводится для данных на оси симмет-

рии вида

N

е;

г=1

А'

N

/=1

А

(1)

где ег, и /; - произвольные комплексные постоянные. Применение интегрального метода Сибгатуллина к (1) приводит к следующим элегантным выражениям для £(р,г) и Ф(р, г), удовлетворяющим уравнениям Эрнста:

£ = Е+/ЕФ = (2)

Д± =

1 ±1

±1 О

О

1

г 2М

«1-/01 а 2лг - А

п ?"2лг

оч- Рп /11(01) «1 ~ А ^1(«2Лг) а2лг - А

С*2Ы - Ры

1

= у/р + ^-оьУ.

Здесь определитель ^ отличается от Е- только первой строкой, которая у ^ имеет вид (0, /(«1),. • • ,/(а2лг)), /(<*„) = /(г = а„); величины /гг(а„) связаны с е/, Д, // и а„ соотношением

Ы(ап) = ег + 2 /г/(а„)

(3)

(черта над символом обозначает комплексное сопряжение), а параметры а„ могут принимать произвольные действительные значе-

ния или образовывать произвольные комплексно-сопряженные пары. Ключевую роль в получении решения (2) играет переход от первоначального набора параметров {е/, ßi,fi} к эквивалентному набору параметров {an,ßi, /¿}, причем выражение е/ через ап, fi и ßi задается формулой

anSitö-e») 2fWi/fc f41

¿iÄ-Ä'

а a„ являются (формально) корнями уравнения e(z) + e(z) + 2 }{z)f(z) = 0, которое, в силу произвольности а„, решать не нужно.

Для потенциалов (2) найден явный вид всех метрических функций, входящих в осесимметричный интервал Папапетру, что позволяет применять полученное многосолитонное решение в конкретных приложениях. Формулы (2) в частном случае описывают систему N черных дыр Керра-Ньюмена, расположенных на оси симметрии и разделенных подпорками. Анализ условия отсутствия подпорок приводит к ограничениям на метрические функции 7 и ш, из которых следуют условия равновесия, выделяющие многокомпонентные равновесные конфигурации из общего решения.

Для выделения подклассов электровакуумных решений, обладающих симметрией и антисимметрией относительно экваториальной плоскости, найдены условия на потенциалы Эрнста и на данные на оси симметрии таких решений. Так, в случае экваториальной симметрии, потенциалы Эрнста удовлетворяют равенствам

£(-z,p) = £(z,p), Ф(-г,р) = е™Ф^,р), 6 = const, (5) а в случае экваториальной антисимметрии условия на £ и Ф имеют

ВИД

£{-г,р) = е&р), Ф(-г,р) = ±Ф(*,р).

(6)

Соответственно, данные на оси симметрии е(г) и /(г) должны удовлетворять условиям

(экваториально антисимметричный случай). Соотношения (7) и (8), которые справедлиы лишь для асимптотически плоских полей, позволили получить ограничения на параметры, характеризующие экваториально симметричный и антисимметричный подклассы общего многосолитонного решения.

В отсутствие электромагнитного поля (/; = 0), 2А^-солитонное решение значительно упрощается, и для него, путем раскрытия определителей в основных формулах, выводится представление, наиболее удобное для поиска конкретных равновесных состояний. Благодаря тому, что решение расширенное, субэкстремальный или суперэкстремальный характер каждого отдельно взятого источника при поиске равновесных конфигураций оказывается несущественным. Показано, что все параметры, входящие в солитонные вакуумные решения, могут быть выражены через мультипольные моменты системы, и в явном виде получены формулы, связывающие различные параметризации вакуумного многосолитонного решения с релятивистскими мультипольными моментами Героча-Хансена.

е(г)ё(-г) = 1, /(г) = -е2'г /(-*)е(*)

(7)

(8)

Для наиболее известного частного случая, описывающего систему двух коллинеарных керровских частиц, проанализировано поведение метрических функций на оси симметрии, выписаны в явном виде условия равновесия частиц при равенстве гравитационной силы притяжения и отталкивающей силы взаимодействия угловых моментов. Получено общее решение системы уравнений, определяющих равновесные конфигурации в расширенной двойной метрике Керра, в аналитическом виде найдены комаровские массы и угловые моменты обеих компонент. Доказана теорема о невозможности равновесия двух черных дыр Керра с положительными массами, которая дает строгое обоснование ранее высказанной гипотезе Хо-энселарса об отсутствии таких равновесных конфигураций.

Выведен общий закон равновесия двух керровских частиц, который имеет замечательно простой вид и связывает произвольные массы и угловые моменты частиц с координатным расстоянием, на котором наступает равновесие:

где М — М\ +М2 и 7 = 71 + - соответственно полная масса и полный угловой момент системы, М, и - масса и угловой момент г-ой компоненты бинарной системы, а я - расстояние между компонентами. Тип керровской частицы в (9) произволен, т.е. частица может быть как субэкстремальным, так и суперэкстремальным объектом.

В конце данной главы закон (9) использован для простого доказательства невозможности равновесных состояний двух керровских частиц с положительными массами М,-, удовлетворяющими неравен-

0)

ству М? (оно характеризует изолированную неэкстремальную черную дыру Керра).

Третья глава посвящена конкретным равновесным конфигурациям различных видов. Сначала общие формулы, полученные для двойного решения Керра в предыдущих параграфах, используются для нахождения конкретных физически значимых равновесных конфигураций двух керровских частиц. Несмотря на то, что две субэкстремальные компоненты не могут находиться в равновесии без присутствия отрицательной массы, уже в случае бинарных систем с одной субэкстремальной и одной суперэкстремальной компонентой возможны равновесные конфигурации, в которых положительны массы обеих компонент. Приводятся конкретные примеры таких конфигураций, строятся соответствующие им поверхности предела стационарности и исследуется наличие особенностей в приведенных случаях равновесия. Показано, что в равновесных состояниях с двумя положительными массами не возникают безмассовые кольцевые сингулярности, присущие состояниям с одной или двумя отрицательными массами.

Физически допустимые равновесные конфигурации впервые получены и для двух неодинаковых суперэкстремальных керровских компонент. Для них сначала даются значения параметров двойного решения Керра, определяющие равновесие, затем подсчитываются индивидуальные комаровские массы и угловые моменты каждой из компонент. Построены поверхности предела стационарности в таких бинарных системах, и они представляют собой две разнесенные

тороидальные поверхности, на которых отсутствуют кольцевые особенности при положительности массы каждой из компонент.

В электростатическом случае получены общие формулы, позволяющие расматривать в аналитическом виде равновесные состояния N заряженных невращающихся массивных источников, которые могут быть как черными дырами, так и суперэкстремальными объектами. Для двойного решения Райсснера-Нордстрема найдены равновесные конфигурации, состоящие из одной субэкстремальной и одной суперэкстремальной компонент. Проведенный численный анализ условий равновесия указывает на отсутствие равновесия между двумя субэкстремальными черными дырами Райсснера-Нордстрема и двумя суперэкстремальными статическими заряженными источниками. Используя результат Варзугина и Чистякова для так называемых "неприводимых" масс, двойное решение Райсснера-Нордстрема удалось переписать, используя в качестве произвольных параметров комаровские массы и заряды источников, а также расстояние между последними. С помощью этого представления точного решения найдена аналитическая формула для силы взаимодействия между двумя произвольными сферическими заряженными массами, которая имеет следующий простой вид:

М1М2 - №1 - у)(<Э2 + у) =м201-м}01

№-(М1 + М2у + ((Э1 + (22¥' Д + Л^ + Мз' [ }

где М\ и М2 - массы источников, их заряды, а К - отно-

сительное расстояние между их центрами.

Далее изучается возможность равновесных состояний в двойном решении Керра-Ньюмена, где обе компоненты наделены ироизволь-

ной массой, угловым моментом и электрическим зарядом. Анализ субэкстремального случая опровергает заявление Бичака и Хоэн-селарса о возможности равновесия двух неэкстремальных черных дыр Керра-Ныомена, имеющих положительные массы, что подтверждает гипотезу Томимацу об отсутствии таких равновесных конфигураций. Конкретные примеры равновесия найдены, как и в чисто вакуумном случае, для бинарных систем, состоящих из двух суперэкстремальных компонент, и из одной субэкстремальной и одной суперэкстремальной компоненты.

В заключительном параграфе главы рассматривается равновесие между экстремальной и неэкстремальной компонентами в двойном решении Керра. Для возможности анализа такой модели строится точное решение, описывающее этот предельный случай, и выводятся условия равновесия, которые решаются численно. Для каждого равновесного состояния строятся массы и угловые моменты компонент бинарной системы, а также соответствующие поверхности предела стационарности. Когда неэкстремальная компонента является черной дырой, по крайней мере одна из керровских масс должна быть отрицательной. Физически значимые равновесные конфигурации с положительными массами возможны, когда неэкстремальной компонентой является суперэкстремальный объект. Полученные равновесные конфигурации свидетельствуют о невыполнении для неизолированной экстремальной компоненты известного соотношения |7| = М2 между угловым моментом и массой экстремальной изолированной черной дыры Керра.

В четвертой главе разрабатывается эффективный общий подход к сравнению точных и приближенных решений ОТО в стационарном осесимметричном случае, основанный на исследовании поведения потенциалов Эрнста сравниваемых решений на оси симметрии. Сначала обсуждаются проблемы, возникающие при описании одной и той же физической модели с помощью точного и приближенного метода; они связаны главным образом с трудностями установления соответствия между двумя применяемыми подходами. Отмечается, что наряду со взаимно непротиворечивыми результатами, с помощью точных и приближенных решений были сделаны и исключающие друг друга выводы относительно одних и тех же физических моделей, в частности, относительно возможности равновесных конфигураций в стационарных осесимметричных системах.

Процедура получения точного аналога заданного приближенного решения иллюстрируется на примере известной метрики Боннора для двух вращающихся частиц, которая первоначально объявлялась возможным приближением к двойному решению Керра. По бонно-ровской метрике был найден определяющий ее приближенный потенциал Эрнста, чье поведение на оси симметрии затем было взято в качестве исходных данных для построения методом Сибгатуллина точного решения, имеющего на оси симметрии такой же вид. При этом оказалось, что точным аналогом бонноровского приближенного решения является очень специальный подкласс четверного решения Керра, описывающий систему четырех керровских источников, из которых два - субэкстремальные, а остальные два - суперэкстре-

мальные. Ни при каком выборе параметров в рассмотренном точном решении невозможен переход к двойному решению Керра, что в конечном итоге приводит к правильной физической интерпретации решения Боннора как описывающего специфическую систему четырех вращающихся частиц, а не двух.

Обратный процесс генерирования приближенных решений из точных осуществляется с помощью разложения метрических функций по малым параметрам. Конкретный выбор малого параметра в точных решениях, построенных методом Сибгатуллина, облегчается благодаря изначально известному поведению решений на оси симметрии, и этот выбор зависит от типа изучаемой физической системы. Так, впервые построены приближенные аналоги двойного решения Керра, приводящие к равновесным конфигурациям вращающихся частиц, которые не противоречат известным точным результатам. В зависимости от того, состоит ли бинарная система из двух черных дыр, двух суперэкстремальных объектов или одной субэкстремальной и одной суперэкстремальной компоненты, схема получения соответствующего приближенного решения изменяется, оставаясь в то же время органично связанной с общей структурой точного решения. Построены комаровские характеристики источников в приближенных двойных решениях Керра и показано соответствие приближенных условий равновесия точному закону равновесия двух керровских частиц.

Пятая, заключительная глава посвящена двум задачам классической теории потенциала, представляющим интерес для астрофи-

зики и наблюдательной астрономии, поскольку в них исследуется распределение массы в различных моделях тонких галактических дисков. Общая математическая постановка проблемы и трудности ее разрешения прямолинейным путем, приводящим к сложному интегральному уравнению нефредгольмовского типа, обсуждаются в первом параграфе главы. В следующем параграфе разрабатывается эффективный метод, позволяющий находить распределения поверхностной плотности в самогравитирующем диске бесконечного радиуса с изолированной точечной массой в центре по известному распределению скорости вращения вещества в диске (кривой вращения). Подсчет поверхностной плотности а(р) в диске по заданному распределению угловой скорости ш(р) осуществляется с помощью двух последовательных квадратур: сначала находится дополнительная функция а по интегральной формуле

а(х) _ с? Г М 1 Г1 и2<И 2ах^2~ йх]0 2^Уо ^у/Т^' ( }

где а - радиус внутренней границы диска, х = а2/р2, а затем вычисляется а по формуле

(С - ньютоновская гравитационная постоянная). Для массы диска М<1 и массы центрального тела М получены простые формулы

„ а2 1- «(*) ,, «3 У1 ^

м' = 2СЙ-Г и (13)

Разработанный метод применен к широкому классу кривых вращения, имеющих кеплеровскую асимптотику. Доказано существование верхнего предела для массы галактического диска при заданной

массе черной дыры, причем этот предел оказывается существенно зависящим от вида кривой вращения.

Используя математическую аналонию, существующую между бесконечными дисками с внутренней границей и конечными сплошными дисками, в дальнейшем развивается новый подход к реконструкции поверхностной плотности в плоских галактических дисках конечного радиуса по произвольному гладкому распределению угловой скорости. Сначала, как и в предыдущем случае, общее решение задачи нахождения плотности а(р) представлено в виде двух последовательных квадратур, а затем для о(р) получена формула, требующая лишь однократного интегрирования:

где И. - радиус диска, V = ри - линейная скорость, а к) - неполный эллиптический интеграл 1-го рода. Эта интегральная формула является обобщением хорошо известной формулы Томре, полученной для случая бесконечных дисков, и переход к последней происходит в пределе К —» оо.

В последнем параграфе для широкого класса кривых вращения показано существование верхнего предела значений массы и радиуса галактического диска при аналитическом продолжении кривой вращения в невидимую часть диска. Здесь же на примере новой плоской кривой вращения, представляющей собой ломаную линию, продемонстрирован эффект накопления вещества в периферийной

Р') Р'.

(14)

части диска при увеличении его радиуса.

В заключении формулируются основные результаты, полученные в диссертации. Они сводятся к следующим:

1. В диссертационной работе метод Сибгатуллина построения стационарных осесимметричных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла получил дальнейшее развитие в его взаимосвязи с формализмами Эрнста, Киннерсли и Хаузера-Эрнста. Разработана процедура решения всех трех интегральных уравнений метода Сибгатуллина, что дает возможность в каждом конкретном случае полностью восстанавливать матричный потенциал и строить соответствующую недиагональную компоненту метрического интервала.

2. Впервые построено аналитически расширенное 2Аг-солитонное электровакуумное решение, позволяющее описывать нелинейную суперпозицию N произвольных коллинеарных черных дыр Керра-Ньюмена и включающее в себя как предельные частные случаи все известные классы асимптотически плоских стационарных полей, определяемых на оси симметрии рациональными функциями.

Существенно расширена область применимости метода Сибгатуллина путем эквивалентной репараметризации данных на оси симметрии, которая делает ненужным нахождение корней характеристического алгебраического уравнения 2А?-го порядка.

3. Впервые введено понятие решений, антисимметричных относительно экваториальной плоскости, и показано, каким условиям удовлетворяют потенциалы Эрнста этото подкласса электроваккумных полей, а также подкласса экваториально-симметричных решений,

на оси симметрии и вне нее.

4. Подробно изучена расширенная 2Лг-солитонная стационарная вакуумная метрика, для которой получено простое аналитическое представление, существенно упрощающее рассмотрение задачи равновесия вращающихся источников. Впервые получены формулы, связывающие все параметры многосолитонного решения с его муль-типольными моментами, и дана параметризация выражения потенциала Эрнста на оси симметрии исключительно через произвольные мультипольные моменты.

5. Дано общее решение задачи равновесия в двойном решении Керра, содержащее четыре произвольных действительных параметра и найдены аналитические выражения для массы и углового момента каждой из компонент системы. Доказана теорема о невозможности равновесия двух черных дыр Керра с положительными массами.

Установлен общий закон равновесия двух произвольных керров-ский частиц, который для любых произвольно задаваемых значений масс и угловых моментов частиц указывает координатное расстояние, на котором наступает равновесие.

6. Впервые получены и проанализированы конкретные физически значимые состояния равновесия между субэкстремальной и суперэкстремальной керровскими компонентами, между двумя неодинаковыми суперэкстремальными керровскими частицами, а также между субэкстремальным и суперэкстремальным заряженными вращающимися источниками. В электростатическом случае получе-

ны аналитические формулы, позволяющие вести поиск равновесных конфигураций произвольного числа коллинеарных источников Райсснера-Нордстрема; с их помощью найдены конкретные примеры равновесия между субэкстремальной и суперэкстремальной компонентами бинарной системы данного вида. Получена простая аналитическая формула для силы взаимодействия двух произвольных сферических заряженных масс в ОТО.

7. Построено точное решение для описания бинарной системы керровских частиц, из которых одна частица является экстремальной. Это решение впервые демонстрирует возможность равновесия экстремальной и неэкстремальной компонент, причем физически допустимые равновесные состояния возможны только между экстремальной и суперэкстремальной компонентами. Установлено, что известное равенство = М2, связывающее угловой момент и массу изолированной экстремальной черной дыры Керра, в присутствии других вращающихся источников не выполняется.

8. Впервые разработан эффективный подход к сравнению точных и приближенных стационарных осесимметричных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла, в основе которого лежит сравнительный анализ соответствующих потенциалов Эрнста на оси симметрии и который позволяет, с одной стороны, идентифицировать точное решение, являющееся аналогом конкретного приближенного решения, а с другой - генерировать приближенные решения из известных точных путем разложения по малым параметрам. В рамках разработанного метода дана правильная интерпретация известно-

го приближенного решения Боннора для двух вращающихся масс, а кроме того, получены приближенные аналоги двойного решения Керра, которые допускают равновесные конфигурации керровских частиц.

9. В рамках классической теории потенциала развит метод восстановления поверхностной плотности в тонком самогравитирующем бесконечном диске с изолированной точечной массой в центре по известному распределению скорости вращения в диске. Получены функции плотности для широкого класса кривых вращения, имеющих кеплеровскую асимптотику, и показано существование верхнего предела для массы галактического диска при заданной массе черной дыры, причем масса диска существенным образом зависит от выбора кривой вращения и в принципе может превышать массу черной дыры во много раз.

10. Предложен новый метод решения задачи реконструкции распределения плотности в самогравитирующем диске конечного радиуса для произвольного гладкого распределения угловой скорости в диске, в котором общее решение проблемы представлено в виде двух простых квадратур, а для выражения полной массы диска дана компактная формула. Впервые получена интегральная формула для поверхностной плотности, обобщающая известную формулу То-мре для бесконечных дисков. С ее помощью в явном аналитическом виде найдено распределение плотности для новой кривой вращения, представляющей собой ломаную линию и таким образом включающей в себя два типа известных дисков Местеля.

11. Обнаружен новый физический эффект существования верхнего предела массы диска при конечном значении радиуса, имеющий место для широкого класса кривых вращения, аналитически продолженных в невидимую внешнюю область диска, что позволяет в ряде случаев давать оценки верхнего предела галактической массы и внешнего радиуса галактики.

Список опубликованных работ

Основные результаты диссертации опубликованы в перечисленных ниже статьях автора:

[1] Manko V.S., Sibgatullin N.R. Metric of a rotating, charged, magnetized mass // Phys. Lett. A, 168 (1992) 343-347.

[2] Manko V.S., Sibgatullin N.R. Exact solution of the EinsteinMaxwell equations for the exterior gravitational field of a magnetized rotating mass // Phys. Rev. D, 46 (1992) R4122-R4124.

[3] Chamorro A., Manko V.S., Sibgatullin N.R. The superposition of two Kerr-Newman solutions // Lecture Notes Phys., 423 (1993) 119-122.

[4] Hernández-Pastora J.L., Manko V.S., Martín J. Some asymptotically flat generalizations of the Curzon metric // J. Math. Phys., 34 (1993) 4760-4774.

[5] Manko V.S. New generalization of the Kerr metric referring to a magnetized spinning mass // Class. Quantum Grav., 10 (1993) L239-L242.

[6] Manko V.S. On the simplest magnetic generalization of the Kerr-Newman metric // Phys. Lett. A, 181 (1993) 349-352.

[7] Manko V.S., Sibgatullin N.R. Construction of exact solutions of the Einstein-Maxwell equations corresponding to a given behaviour

of the Ernst potentials on the symmetry axis // Class. Quantum Grav., 10 (1993) 1383-1404.

[8] Manko V.S., Martin J., Ruiz E. On the simplest binary system of stationary black holes // Phys. Lett. A, 196 (1994) 23-28.

[9] Manko V.S., Martin J., Ruiz E. Metric of two arbitrary Kerr-Newman sources located on the symmetry axis //J. Math. Phys., 35 (1994) 6644-6657.

[10] Manko V.S., Martin J., Ruiz E. Extended family of the electrovac two-soliton solutions for the Einstein-Maxwell equations // Phys. Rev. D, 51 (1995) 4187-4191.

[11] Манько B.C., Сибгатуллин H.P. Новое точное решение уравнений Эйнштейна-Максвелла для внешнего поля заряженной вращающейся массы // Вестник МГУ, сер. мат. мех., №5 (1995) 58-62.

[12] Ruiz Е., Manko V.S., Martin J. Extended 6N-parameter family of exact solutions of the Einstein-Maxwell field equations // Phys. Lett. A, 200 (1995) 77-81.

[13] Manko V.S., Martin J., Ruiz E. Extended family of the electrovac two-soliton solutions for the Einstein-Maxwell equations // Phys. Rev. D, 51 (1995) 4187-4191.

[14] Ruiz E., Manko V.S., Martin J. Extended N-soliton solution of the Einstein-Maxwell equations // Phys. Rev. D, 51 (1995) 4192-4197.

[15] Manko V.S., Martin J., Ruiz E. Six-parameter solution of the Einstein-Maxwell equations possessing equatorial symmetry //J. Math. Phys., 36 (1995) 3063-3073.

[16] Breton N., Manko V.S. A binary system of 'antisymmetric' Kerr-Newman masses // Class. Quantum Grav., 12 (1995) 1969-1975.

[17] Manko V.S., Ruiz E. Stationary generalization of the Bonnor magnetic dipole solution // Gen. Relativ. Grav., 29 (1997) 991996.

[18] Manko V.S., Ruiz E. Extended multi-soliton solutions of the Einstein field equations // Class. Quantum Grav., 15 (1998) 20072016.

[19] Breton N., Manko V.S., Aguilar-Sanchez J.A. On the equilibrium of charged masses in general relativity: the electrostatic case // Class. Quantum Grav., 15 (1998) 3071-3083.

[20] Manko V.S. Generating techniques and analytically extended solutions of the Einstein-Maxwell equations // Gen. Relativ. Grav., 31 (1999) 673-679.

[21] Breton N., Manko V.S., Aguilar-Sanchez J.A. On the equilibrium of charged masses in general relativity: II. The stationary electrovacuum case // Class. Quantum Grav., 16 (1999) 725-3734.

[22] Manko V.S,, Mielke E.W., Sanabria-Gomez J.D. Exact solution for the exterior field of a rotating neutron star // Phys. Rev. D, 61 (2000) 08501-1-5(R).

[23] Manko V.S., Ruiz E., Sanabria-Gómez J.D. Extended multi-soliton solutions of the Einstein field equation: II. Two comments on the existence of equilibrium states // Class. Quantum Grav., 17 (2000) 3881-3898.

[24] Manko V.S., Ruiz E., Manko O.V. Is equilibrium of aligned Kerr black holes possible? // Phys. Rev. Lett., 85 (2000) 5504-5506.

[25] Manko V.S., Ruiz E. Exact solution of the double-Kerr equilibrium problem // Class. Quantum Grav., 18 (2001) L11-L15.

[26] Hernández-Pastora J.L., Manko O.V., Manko V.S., Martín J., Ruiz. E. Extended quadruple-Kerr metric // Gravit. Cosmol., 7

(2001) 276-280.

[27] Manko V.S., Ruiz E. A remark on the mass-angular-momentum relation in the double-Kerr solution // Class. Quantum Grav., 19

(2002) 3077-3081.

[28] Сибгатуллин H.P., Гарсия А.А., Манько B.C. О распределении плотности в массивных галактических дисках с черной дырой в центре // Письма в АЖ, 29 (2003) 88-94.

[29] Manko V.S., Ruiz Е. On the discrepancy between two approaches to the equilibrium problem for spinning particles // Gravit. Cosmol., 9 (2003) 183-185.

[30] Сибгатуллин H.P., Гарсия А.А., Манько B.C. Кривые вращения и распределения массы в плоских самогравитирующих дисках// Письма в АЖ, 29 (2003) 927-933.

[31] Hernández-Pastora J.L., Manko O.V., Manko V.S., Martín J., Ruiz. E. Equilibrium states in the quadruple-Kerr solution // Gen. Relativ. Grav., 36 (2004) 781-797.

[32] Manko V.S., Ruiz E. How can exact and approximate solutions of Einstein's field equations be compared? // Class. Quantum Grav., 21 (2004) 5849-5869.

[33] Manko V.S., Ruiz E. Comment on 'The double-Kerr solution' // Class. Quantum Grav., 22 (2005) 635-637.

[34] Garcia A.A., Manko V.S., Sibgatullin N.R. New formulation of the theory of finite galactic disks // Gen. Relativ. Grav., 37 (2005) 837-845.

[35] Manko V.S., Ruiz E. Physical interpretation of the NUT family of solutions // Class. Quantum Grav., 22 (2005) 3555-3560.

[36] Ernst F.J., Manko V.S., Ruiz E. Equatorial symmetry/antisymmetry of stationary axisymmetric electrovac spacetimes // Class. Quantum Grav., 23 (2006) 4945-495.

[37] Ernst F.J., Manko V.S., Ruiz E. Equatorial symmetry/antisymmetry of stationary axisymmetric electrovac spacetimes: II // Class. Quantum Grav., 24 (2007) 2193-2203.

[38] Manko V.S. Double-Reissner-Nordstrom solution and the interaction force between two spherical charged masses in general relativity // Phys. Rev. D, 76 (2007) 124032-1-6.

Формат 60x84/16. Объем 2 печ.'л Тираж 80 экз. Заказ 105 S

Отпечатано в МГУ

Введение

1 Основные уравнения и метод генерирования точных решений

1.1 Метрика стационарного осесимметричного гравитационного поля и формализм Эрнста.

1.2 Матричная запись уравнений поля и соответствующая линейная переопределенная система.

1.3 Метод Сибгатуллина построения точных решений уравнений электровакуума.

2 Равновесные состояния в солитонных решениях

2.1 Расширенное 2Лг- солитонное решение электровакуума и осесимметричные конфигурации N черных дыр Керра-Ньюмена

2.2 Решения, симметричные и антисимметричные относительно экваториальной плоскости.

2.3 Вакуумное солитонное решение: канонический вид, мультипольная структура и ее связь с данными на оси симметрии.

2.4 Двойное решение Керра в аналитически расширенном виде и условия равновесия двух керровских частиц.

2.5 ' Общее аналитическое решение задачи равновесия в двойном решении Керра. Комаровские массы и угловые моменты в равновесных конфигурациях.

2.6 Невозможность равновесия двух керровских черных дыр. Общий закон равновесия, связывающий массы и угловые моменты с координатным расстоянием.

3 Примеры равновесных конфигураций

3.1 Частные равновесные состояния в двойном решении Керра.

3.2 Равновесие двух статических заряженных масс.

3.3 Закон взаимодействия двух сферических заряженных масс в ОТО

3.4 Равновесные конфигурации двух вращающихся заряженных масс.

3.5 Равновесие в бинарной системе, имеющей одну экстремальную компоненту.

Н" л <Х^

4 Сравнительный анализ точных и приближенных осесимметричных решений в ОТО

4.1 Трудности сравнения точных и приближенных решений.

Возможные пути их преодоления.

4.2 Построение точного аналога приближенного решения по данным на оси симметрии.

4.3 Генерирование приближенных решений из точных на примере двойного решения Керра.

4.4 Связь параметров приближенных решений с комаровскими величинами

5 Равновесные распределения массы в самогравитирующих галактических дисках

5.1 Задача восстановления распределения поверхностной плотности массы в тонком галактическом диске по известной кривой вращения.

5.2 Самогравитирующие бесконечные диски с черной дырой в центре.

5.3 Самогравитирующие конечные диски и обобщение интегральной формулы Томре.

5.4 О верхнем пределе для массы и радиуса диска и об эффекте накопления вещества во внешней части диска при продолжении плоской кривой вращения.

Существенный прогресс в области точных стационарных осесим-метричных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла, позволивший приступить к анализу сложных многокомпонентных систем и описанию полей реальных астрофизических объектов, связан с развитием в конце 70-х - начале 80-х годов прошлого столетия различных генерационных методов, основанных на результатах углубленного изучения внутренних симметрий полевых уравнений. Это современное направление точных решений развивалось разными исследовательскими коллективами, разрабатывавшими в основном четыре различных подхода.

Теорико-групповой метод, с помощью которого можно генерировать метрики, содержащие произвольное число параметров, был разработан Киннерсли [125], а затем развит в работах Киннерсли и Читра [128, 129, 130, 131]. Главные достижения этого подхода связаны с отысканием группы преобразований симметрии для уравнения Эрнста [78], известных под названием преобразований Хоэнселарса-Киннерсли-Ксантопулоса (ХКК) [114]; с их помощью был построен ряд асимптотически плоских стационарных вакуумных метрик, не имеющих, правда, шварцшильдовского предела [75, 76, 115, 110, 113, 234], а также одно электростатическое решение [111], переходящее в метрику Шварцшильда при равенстве нулю электрического поля. В работах [204, 205] ц ^

Кеведо и Машхун использовали преобразования ХКК для описания внешнего поля деформированной вращающейся массы, однако полученная ими метрика имеет в общем случае очень громоздкий вид из-за неудачного выбора статического "затравочного" решения (несколько более элегантные решения данного типа даны в [57, 58]).

Второе направление развивалось на пути применения к уравнениям Эйнштейна и Эйнштейна-Максвелла метода обратной задачи рассеяния. В основополагающих работах Белинского и Захарова [5, 6] данным методом было найдено получившее широкую известность статическое jV-солитонное решение, подробный анализ которого выполнен в [4]. Явная детерминантная форма вакуумных солитонных решений была получена Алексеевым [2], который успешно применил солитонную технику также и к уравнениям Эйнштейна-Максвелла, построив, в частности, метрику, описывающую нелинейную суперпозицию N суперэкстремальных источников Керра-Ныомена, расположенных на оси симметрии [1]. Метод обратной задачи рассеяния взят на вооружение представителями различных гравитационных школ [70, 90, 117, 219], а подробно его историю и новейшие достижения можно найти в монографии [36].

Третий подход использует для генерирования точных решений преобразования Бэклунда, существование которых для случая стационарных осесимметричных вакуумных полей было показано Харрисоном [100] и Нойгебауэром [185]. Преобразования Бэклунда, теория которых получила дальнейшее развитие в работах [141, 186, 188], позволяют генерировать новые стационарные вакуумные решения, содержащие произвольное число параметров [187]. Наиболее известный результат, полученный данным методом - решение Крамера-Нойгебауэра [139], описывающее нелинейную суперпозицию двух черных дыр Керра, разнесенных по оси симметрии. Это решение было обобщено Ямазаки на случай N субэкстремальных керрровских источников [235], который сумел также найти явный вид соответствующих метрических функций, что существенно облегчает анализ возможности равновесных конфигураций. В работах [133, 140, 190] данная техника генерирования была распространена на уравнения Эйнштейна-Максвелла. Особо стоит отметить статью Крамера [134], в которой получен вариант суперпозиции решения Керра [121] с решением, описывающим поле безмассового магнитного диполя; однако, в этом решении невозможен переход к статическому случаю, что существенно ограничивает его физическую значимость. Физически важным результатом, полученным в вакуумном случае Нойгебауэром и Майнелем, является глобальное решение для внутреннего и внешнего гравитационного поля бесконечно тонкого самогравитирующего диска с твердотельным вращением [191, 192, 193].

Важное место в теории и приложениях генерационных методов принадлежит формализму Хаузера и Эрнста, который был развит в ряде работ сначала для случая вакуумных полей [101, 103], а затем и для полей электровакуума [102, 104]. В этом четвертом направлении генерационная техника Киннерсли-Читра была записана на языке теории функций комплексной переменной, а само получение новых решений из старых сведено к решению или линейного матричного интегрального уравнения типа Коши, или эквивалентной ему краевой задачи Римана (в литературе последняя известна также под названием однородной проблемы Гильберта). Несмотря на то, что Хаузеру и Эрнсту с сотрудниками удалось в основном лишь повторить уже известные результаты, полученные другими методами, или построить суперэкстремальные электровакуумные поля [91, 65], очень важным достижением явилось доказательство гипотезы Героча [89] для вакуумного случая [105]. Отметим, что Герочем была обнаружена бесконечнопараметри-ческая группа преобразований симметрии [88] для стационарных осе-симметричных гравитационных полей, и в [89] он высказал гипотезу о возможности получения произвольного асимптотически плоского решения из пространства Минковского путем надлежащего преобразования из группы. Работа Хаузера и Эрнста [105] дала строгое обоснование возможности построения решений с произвольной мультипольной структурой и стимулировала разработку конкретных способов реализации этой возможности.

Взаимозависимость всех четырех вышеперечисленных подходов к генерированию полей вакуума и электровакуума, а также их принципиальная математическая эквивалентность, была установлена и детально проанализирована в работах [66, 67, 68, 133].

Среди решений, представляющих несомненный физический интерес и построенных генерационными методами несколько позднее, когда конкретное приложение методов генерирования наполнилось большим физическим содержанием, можно отметить результаты применения простых суперпозиционных соотношений [93] к описанию асимптотически плоского поля массивного магнитного или электрического диполя, имеющего шварцшильдовский вакуумный предел [92, 94, 97, 10], [147, 150, 28, 11]; некоторые из этих решений были затем обобщены на случай произвольно деформированной осесимметричной намагниченной массы [195, 156]. К безусловным достижениям следует отнести также и построение новых стационарных обобщений решения Шварц-шильда как в чисто вакуумном случае [96, 59, 18, 63, 108], так и в случае электровакуума [95, 12, 13, 213, 73, 61, 17], которые отличаются соответственно от полей Керра [121] и Керра-Ныомена [194]. Элегантные обобщения этих решений, включая метрики Керра и Керра-Ньюмена, на случай бесконечного набора массовых мультипольных моментов были получены в работах [148, 60, 151, 164, 49, 50], благодаря представлению общего статического асимптотически плоского вакуумного решения в виде [149]. Различные аспекты теории черных дыр, включая квантовые, подробно освещены в монографиях [20, 7].

Важно отметить, что среди перечисленных выше решений нет ни одного, которое бы содержало три произвольных параметра, описывающих массу, угловой момент вращения и магнитный дипольный момент, обладало псевдоевклидовой асимптотикой и переходило, скажем, в субэкстремальное решение Керра (т2 > а2) при отсутствии магнитного поля (известны магнитные обобщения решений Керра и Керра-Ньюмена [83, 85], но они не являются асимптотически плоскими, а уже упоминавшееся решение Крамера [134] не допускает предельного перехода к случаю черной дыры). Впервые решение такого вида удалось построить только с помощью метода Сибгатуллина, который вполне справедливо можно назвать наиболее эффективным подходом к генерированию полей Эйнштейна-Максвелла.

Этот метод был разработан в статьях [22, 23] и подробно описан в монографии [24]. Н.Р.Сибгатуллин сумел творчески развить идеи

Хаузера и Эрнста и пойти дальше: он нашел общий вид матричной функции, осуществляющей перевод известного решения в любое новое решение полевых уравнений, и сумел связать параметры группового преобразования с произвольными данными на оси симметрии (в форме комплексных потенциалов Эрнста [78, 79]). Взяв в качестве "затравочного" решения метрику Минковского, он свел задачу построения стационарных электровакуумных осесимметричных решений, регулярных на каком-нибудь участке оси симметрии, к решению линейного сингулярного (нематричного) интегрального уравнения, что позволило ему выписать формальное общее решение электровакуума в виде отношения определителей с бесконечным числом строк и столбцов [23].

В силу своей общности и рациональности, интегральный метод Си-бгатуллина позволил получить многочисленные принципиально новые результаты, которые в течение длительного времени не удавалось получить другими генерационными техниками. В первую очередь это касается описания внешнего поля вращающихся намагниченных компактных источников; в работах [179, 177, 178, 180] впервые были построены асимптотически плоские стационарные электровакуумные решения, содержащие произвольные параметры вращательного углового и магнитного дипольного моментов и допускающие предельный переход к метрике Шварцшильда [211]. Решения, включающие дополнительный массовый квадрупольный параметр и поэтому пригодные для описания внешних полей нейтронных звезд, получены в статьях [29, 157, 158, 163, 176]; их физическая интерпретация подтверждена недавними работами, в которых исследуется возможность сшивания внешних и внутренних решений для нейтронных звезд численными методами [27, 217, 37].

Интерес представляют и другие новые решения, например, вакуумная метрика для дифференциально вращающейся массы [109], простейшие асимптотически плоские магнитные обобщения решений Кер-ра и Керра-Ньюмена [152, 153], магнитные обобщения известного стационарного решения Томимацу-Сато с параметром деформации 5 = 2 [224] в рациональных функциях [165, 145, 146], переходящее в отсутствие вращения в метрику Боннора [42], решение для намагниченного вращающегося диска [214]. Некоторые важные аспекты метода Сиб-гатуллина, связанные с построением метрических функций, были развиты в обзорной статье [181], а отличительные особенности метода, особенно в части построения решений в аналитически расширенном виде, обсуждались в [154]. Формальное обобщение метода Сибгатул-лина на случай двух разрезов в плоскости аналитического параметра с целью построения решений для гравитационных и электромагнитных волн, полностью сингулярных на оси симметрии, было приведено Алексеевым [3] (см. также [31, 32]).

Построение с помощью интегральных уравнений Сибгатуллина 2И-солитонного решения в аналитически расширенном виде [208, 209] способствовало разрешению кризиса, имевшему место в области генерационных методов из-за вынужденного получения другими авторами электровакуумных солитонных решений исключительно в суперэкстремальном виде [1, 190]; кроме того, это решение позволило приступить к рассмотрению задачи равновесия в смешанных системах, состоящих из нескольких суб- и суперэкстремальных компонент, которые раньше были в принципе недоступны для анализа из-за ограниченных возможностей "несибгатуллинских" подходов к генерированию полей электровакуума.

Интерес исследователей к точным решениям уравнений Эйнштейна-Максвелла, описывающим системы нескольких тел, наблюдается с самого начала создания ОТО. В известной работе работе Вейля [232] был получен электростатический класс решений, который описывает систему заряженных массивных источников и представляет в частном случае равенства квадратов масс и квадратов зарядов равновесные конфигурации Маджумдара-Папапетру [144, 198], состоящие из экстремальных источников Райсснера-Нордстрема [207, 196]. В статическом вакуумном случае суперпозиция двух решений Шварцшильда была построена Бахом и Вейлем [34], которые в частности обратили внимание на существование подпорки между двумя источниками, компенсирующей силу гравитационного притяжения шварцшильдовских масс. Результат Баха и Вейля был обобщен в работе Израэля и Хана [119] на случай N источников; было показано, что независимо от знака массы две шварцшильдовские частицы не могут находиться в равновесии, а в случае трех частиц, расположенных на оси симметрии, равновесие возможно, когда по крайней мере одна компонента имеет отрицательную массу. Заметим, что решение Израэля-Хана является частным случаем статической солитонной метрики Белинского-Захарова [6]. Статические системы двух частиц Шази-Керзона [64, 69] были рассмотрены в [64], и в них также присутствует подпорка, физические особенности которой проанализированы в работе [118].

Как уже было сказано, в электростатическом вейлевском решении равновесные конфигурации возможны лишь в очень специальном случае, когда заряды по модулю равны массам частиц = Мг-). Вопрос же о существовании более общих условий равновесия заряженных частиц долгое время был доступен исследованию только приближенными методами, причем в трех известных таких работах, посвященных равновесию в бинарных электростатических системах [35, 123, 44], были получены различные условия равновесия: в первых двух работах, в которых применялись, соответственно, пост-ньютоновское и постпост-ньютоновское приближения, в качестве условий равновесия служили в каждом случае классическое условие (М1М2 = (^1(^2) и одно дополнительное соотношение между массами и зарядами, не зависящие от расстояния между частицами; в третьей же работе из рассмотрения уравнения движения пробной заряженной частицы в поле Райсснера-Нордстрема был сделан вывод о том, что условие равновесия, справедливое в классической теории, не является необходимым или достаточным в ОТО, а сами равновесные состояния могут зависеть от расстояния. Точное решенение для двух субэкстремальных заряженных источников было предложено Крамером [136], однако оно не описывает систему черных дыр Райсснера-Нордстрема, и из-за несферичности источников условие равновесия в нем не зависит от расстояния. Равновесные состояния в бинарной системе источников Райсснера-Нордстрема были изучены в работе [201] с помощью решения [62, 160], построенного методом Сибгатуллина, а также более подробно в статье [52], подтвердив правильность результатов Боинора, полученных приближенным методом [44].

Равновесные состояния заряженных вращающихся частиц были получены в случае специального класса конформно-стационарных метрик [200, 120], представляющих собой суперпозицию N источников Керра-Ныомена, у которых заряды по модулю равны массам {М{ = г = 1,.Л0, а угловые моменты параллельны или антипараллель-ны оси симметрии. Для анализа возможности равновесия произвольных масс Керра-Ныомена требуется аналитически расширенное 2Ы-солитонное электровакуумное решение [208, 209]; для двухчастичных систем с осевой симметрией можно использовать различные записи четырехсолитонного решения (двойное решение Керра-Ньюмена) [62, 160, 161], а также более специализированные решения [162, 51]. В работе [51] было доказано, что две антисимметричные частицы Керра-Ньюмена могут находиться в равновесии только в специальном (конформно-стационарном) случае равенства масс и квадратов зарядов источников. Две суперэкстремальные массы Керра-Ньюмена с параллельными угловыми моментами имеют больше возможностей находиться в равновесии, чем с произвольно направленными моментами, при этом соотношения между зарядами и массами источников могут быть произвольными [162]. Равновесные состояния между суб-и суперэкстремальной компонентами Керра-Ныомена впервые были найдены в работе [53]. О возможности равновесия двух черных дыр Керра-Ньюмена с положительными массами было объявлено Бича-ком и Хоэнселарсом [38], хотя эти авторы и сделали оговорку о том, что в таких равновесных конфигурациях присутствует кольцевая особенность. Решение Бичака-Хоэнселарса независимо (и несколько ранее) было получено Томимацу [222], который, в отличие от предыдущих авторов, сделал вывод о невозможности равновесия черных дыр Керра-Ньюмена. Эта конфликтная ситуация была проанализирована в работе [162], результаты которой согласуются с выводом Томимацу, а также указывают на возможную причину ошибки Бичака и Хоэнселар-са. Справедливости ради следует все же отметить, что строгого доказательства отсутствия равновесных конфигураций субэкстремальных источников Керра-Ньюмена до настоящего времени дано еще не было.

В то время как равновесные состояния заряженных частиц в ОТО можно отнести к разряду явлений ожидаемых, т.к. они имеют аналогии в классической физике, равновесие незаряженных вращающихся источников, возможное из-за неныотоновской силы взаимодействия угловых моментов, которая при определенных условиях способна сбалансировать силу гравитационного притяжения - явление чисто релятивистское. Хотя гравимагнитное отталкивание и исследовалось с помощью приближения пробных частиц Уолдом [229], добиться равновесных состояний впервые удалось только в рамках точных решений. В известной работе Дитца и Хоэнселарса [75] с помощью преобразований ХКК было построено точное решение уравнения Эрнста [78], представляющее собой суперпозицию двух вращающихся источников Шази-Керзона; при определенных значениях параметров достигалось равновесие источников. Этот результат Дитца и Хоэнселарса был впоследствии обобщен на более сложный случай керзоновских частиц [107]. Больший интерес, тем не менее, представляют системы, состоящие из вращающих незаряженных черных дыр, и первое решение подобного типа, известное под названием двойного решения Керра, построили с помощью преобразований Бэклунда Крамер и Нойгебауэр

139]. Поиск равновесных состояний в двойном решении Керра велся многими авторами [197, 122, 223, 228, 220, 112, 77, 135, 159], но первая равновесная конфигурация была получена лишь после того, как Дитц и Хоэнселарс переписали субэкстремальное решение Крамера-Нойгебауэра для случая двух суперэкстремальных частиц с помощью простого математического приема - комплексного продолжения параметров - и перешли таким образом к рассмотрению равновесных суперэкстремальных систем. Высшим достижением Дитца и Хоэнсе-ларса является получение формулы равновесия двух одинаковых суперэкстремальных керровских источников [77], а также выдвижение гипотезы о невозможности равновесия двух черных дыр Керра, обладающих положительными массами [112].

Новый подход к двойному решению Керра стал возможен благодаря использованию метода Сибгатуллина, с помощью которого было построено 2ЛГ-солитонное вакуумное решение, в частном случае N = 2 представляющее собой расширенное двойное решение Керра. Последнее решение применимо к любому набору суб- и суперэкстремальных керровских частиц, что позволило получить универсальные формулы равновесия [175, 168] и дать строгое доказательство гипотезы Хоэнселарса об отсутствии равновесных конфигураций двух черных дыр Керра [167]. Более того, в [169] был установлен общий закон равновесия двух керровских объектов, связывающий массы и угловые моменты источников с расстоянием, на котором достигается равновесие. Несмотря на то, что равновесные конфигурации двух черных дыр Керра не существуют, равновесия пары субэкстремальных источников все-таки можно добиться, помещая между ними суперэкстремальный источник или даже третью черную дыру [174]. Также было установлено [106], что равновесные конфигурации четырех керровских частиц (и, по-видимому, любого другого четного числа компонент) аналогичны равновесным состояниям в двойном решении Керра.

Попытки воспроизвести приближенными методами известные точные результаты, полученные для двойного решения Керра, долгое время оставались безрезультатными. В этом отношении показательна работа Боннора [45], в которой автор, известный английский специалист в области точных и приближенных решений уравнений ОТО, претендует на описание произвольных бинарных систем вращающихся частиц, хотя в его приближенной схеме оказываются невозможными равновесные состояния. Дискуссия с Боннором (см., например, [46, 170, 172]) в конечном итоге привела не только к обнаружению скрытых дефектов работы [45], но и к разработке нового, универсального подхода к сравнению точных и приближенных осесимметричных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла, что позволило, в частности, получить корректные приближенные аналоги двойного решения Керра с наличием равновесных конфигураций [171].

Основной целью данной диссертационной работы является построение расширенного многосолитонного электровакуумного решения и его применение для нахождения и описания равновесных конфигураций в стационарных осесимметричных системах двух тел, в частности, получение общего аналитического решения задачи равновесия двух керровских частиц. В небольшой части, отведенной ньютоновской теории потенциала, также ставится задача разработки общих методов восстановления поверхностной плотности в тонких галактических самогравитирующих дисках бесконечного и конечного радиусов. Большинство полученных оригинальных результатов является следствием творческого осмысления и дальнейшего развития интегрального метода Сибгатуллина. Важным составным элементом проводившихся математических выкладок было широкое использование современных компьютерных программ аналитических вычислений, таких как, например, МаЛетаМса 4 [233].

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. В первой главе в историческом контексте дается обзор развития методов генерации точных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла, начиная с формализма Эрнста и заканчивая интегральным методом Сибгатуллина построения решений по данным на оси симметрии. Во второй главе методом Сибгатуллина строится расширенная 2ЛГ-солитонная электровакуумная метрика, позволяющая в частности описывать систему N черных дыр Керра-Ньюмена, расположенных на оси симметрии. В случае отсутствия электромагнитного поля дается простая запись солитонного решения, а все входящие в него параметры выражаются через релятивистские мульти-польные моменты. Для бинарной системы керровских частиц находится общее решение равновесной задачи и в простом аналитическом виде выводится общий закон равновесия двух произвольных керровских компонент. Третья глава посвящена частным бинарным равновесным конфигурациям, составленным из керровских частиц, из частиц Райсснера-Нордстрема, из заряженных вращающихся источников Керра-Ныомена, а также из двух керровских частиц, одна из которых является экстремальным объектом. В четвертой главе разраба

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные результаты, полученные в данной диссертационной работе:

1. Проведено последовательное рассмотрение метода Сибгатулли-на для случая стационарных осесимметричных полей Эйнштейна-Максвелла в его взаимосвязи с формализмами Эрста, Киннерсли и Хаузера-Эрнста. Обращено внимание на общность преобразования симметрии, используемого для вывода интегральных уравнений в этом подходе, что позволяет строить комплексные потенциалы Эрнста, задавая их вид на оси симметрии и выбирая в качестве параметров точного решения набор произвольных мультипольных моментов. Разработана процедура решения всех трех интегральных уравнений метода Сибгатуллина, что дает возможность в каждом конкретном случае полностью восстанавливать матричный потенциал и строить соответствующую недиагональную компоненту метрического интервала.

2. Впервые построено расширенное 2А^-солитонное электровакуумное решение, содержащее произвольных действительных параметров и имеющее простой аналитический вид в форме определителей. Оно позволяет описывать нелинейную суперпозицию N произвольных коллинеарных черных дыр Керра-Ньюмена и включает в себя как предельные частные случаи все известные классы асимптотически плоских стационарных решений, определяемых на оси симметрии рациональными функциями.

При выводе этого решения удалось существенно расширить возможности метода Сибгатуллина, который, как считалось ранее, был ограничен необходимостью решения алгебраического уравнения 2Ы-го порядка. В диссертации показано, что корни этого уравнения можно использовать как произвольные параметры решения, а само уравнение не решать.

Введено понятие экваториально антисимметричных решений и найдены условия, которым подчиняются потенциалы Эрнста и данные на оси симметрии экваториально симметричных и антисимметричных полей Эйнштейна-Максвелла.

3. Подробно изучена расширенная 27У-солитонная стационарная вакуумная метрика, для которой получено простое аналитическое представление, существенно упрощающее рассмотрение задачи равновесия вращающихся источников, причем последние могут быть произвольными комбинациями черных дыр и суперэкстремальных объектов. Впервые получены формулы, связывающие все параметры многосо-литонного решения с его мультипольными моментами, и дана параметризация выражения потенциала Эрнста на оси симметрии исключительно через произвольные мультипольные моменты.

4. Дано общее решение задачи равновесия в двойном решении Кер-ра, содержащее четыре произвольных действительных параметра. С помощью комаровских интегралов найдены аналитические выражения для массы и углового момента каждой из компонент системы. Доказана теорема о невозможности равновесия двух черных дыр Керра с положительными массами.

Установлен общий закон равновесия двух произвольных керровский частиц, который для любых произвольно задаваемых значений масс и угловых моментов частиц указывает координатное расстояние, на котором наступает равновесие из-за равенства силы гравитационного притяжения и отталкивающей силы взаимодействия угловых моментов.

5. Впервые получены и проанализированы конкретные физически значимые состояния равновесия между субэкстремальной и суперэкстремальной керровскими компонентами, между двумя неодинаковыми суперэкстремальными керровскими частицами, а также между субэкстремальным и суперэкстремальным заряженными вращающимися источниками. В электростатическом случае получены аналитические формулы, позволяющие вести поиск равновесных конфигураций произвольного числа коллинеарных источников Райсснера-Нордстрема; с их помощью найдены конкретные примеры равновесия между субэкстремальной и суперэкстремальной компонентами бинарной системы данного вида. Получена простая аналитическая формула для силы взаимодействия двух произвольных сферических заряженных масс в ОТО.

Построено точное решение для описания бинарной системы керров-ских частиц, из которых одна частица является экстремальной. Это решение позволило впервые продемонстрировать возможность равновесия экстремальной и неэкстремальной компонент, при этом физически допустимые равновесные состояния возможны только между экстремальной и суперэкстремальной компонентами, а в равновесных конфигурациях экстремальной и субэкстремальной компонент обязательно присутствует по меньшей мере одна отрицательная масса. Из рассмотрения бинарных систем с одной экстремальной компонентой сделано заключение о том, что известное равенство 1= М2, связывающее угловой момент и массу изолированной экстремальной черной дыры Керра, в присутствии других вращающихся источников не выполняется.

6. Разработан эффективный подход к сравнению точных и приближенных стационарных осесимметричных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла, в основе которого лежит сравнительный анализ соответствующих потенциалов Эрнста на оси симметрии. Этот подход позволяет, с одной стороны, идентифицировать точное решение, являющееся аналогом конкретного приближенного решения, а с другой - генерировать приближенные решения из известных точных путем разложения по малым параметрам. В рамках разработанного формализма дана правильная интерпретация известного приближенного решения Боннора для двух вращающихся масс как описывающего очень специальную четырехкомпонентную систему вращающихся источников, а кроме того, получены приближенные аналоги двойного решения Керра, которые допускают равновесные конфигурации кер-ровских частиц.

7. В рамках ньютоновской теории потенциала развит метод восстановления поверхностной плотности в тонком самогравитирующем бесконечном диске с изолированной точечной массой в центре по известному распределению скорости вращения в диске. В этом методе плотность как функция радиуса находится с помощью двух последовательных квадратур, а массы диска и центрального тела - с помощью простых формул, требующих только однократного интегрирования. В качестве иллюстрации применения общих формул получены функции плотности для широкого класса кривых вращения, имеющих кепле-ровскую асимптотику. Показано существование верхнего предела для массы галактического диска при заданной массе черной дыры, причем масса диска существенным образом зависит от выбора кривой вращения и в принципе может превышать массу черной дыры во много раз.

8. Предложен новый метод решения задачи реконструкции распределения плотности в самогравитирующем диске конечного радиуса для произвольного гладкого распределения угловой скорости в диске. Общее решение проблемы представлено в виде двух простых квадратур, а для выражения полной массы диска дана компактная формула. Переход от двукратного интегрирования к однократному в общем решении позволил впервые получить интегральную формулу для поверхностной плотности, обобщающую известную формулу Томре для бесконечных дисков. С ее помощью в явном аналитическом виде найдено распределение плотности для новой кривой вращения, представляющей собой ломаную линию и таким образом включающей в себя два типа известных дисков Местеля.

Обнаружен новый физический феномен существования верхнего предела массы диска при конечном значении радиуса, который имеет место для широкого класса кривых вращения, аналитически продолженных в невидимую внешнюю область диска. Это позволяет в ряде случаев давать оценки верхнего предела галактической массы и внешнего радиуса галактики.

1. Алексеев Г.А. iV-солитонные решения уравнений Эйштейна-Максвелла // Письма в ЖЭТФ.- 1980.- Т.32.- С.301-303.

2. Алексеев Г.А. О солитонных решениях уравнений Эйштейна в вакууме // ДАН СССР.- 1981,- Т.256 С.827-830.

3. Алексеев Г.А. Метод обратной задачи рассеяния и сингулярные интегральные уравнения для взаимодействующих безмассовых полей // ДАН СССР.- 1985.- Т.283.- С.577-582.

4. Алексеев Г.А., Белинский В.А. Статические гравитационные со-литоны // ЖЭТФ.- 1980.- Т.78 С.1297-1313.

5. Белинский В.А., Захаров В.Е. Интегрирование уравнений Эйнштейна методом обратной задачи рассеяния и вычисление точных солитонных решений // ЖЭТФ.- 1978.- Т.75.- С.1953-1971.

6. Белинский В.А., Захаров В.Е. Стационарные гравитационные со-литоны с аксиальной симметрией // ЖЭТФ 1979 - Т.77.- С.З-19.

7. Гальцов Д.В. // Частицы и поля в окрестности черных дыр М.: Изд-во МГУ, 1986 - 288 с.

8. Гантмахер Ф.Р. // Теория матриц.- М.: Наука, 1967.- 576 с.

9. Градштейн И.С., Рыжик И.М. // Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений М.: Наука, 1971- 1108 с.

10. Гуцунаев Ц.И., Манько B.C. Электровакуумное решение уравнений ОТО, имеющее шварцшильдовский предел // ЖЭТФ.-1989.- Т.95.- С. 1537-1540.

11. Гуцунаев Ц.И., Манько B.C., Хакимов Ш.А. Точное решение уравнений Эйнштейна-Максвелла для поля массивного магнитного диполя // Изв. вузов СССР, Физика- 1991- №1- С.120.

12. Денисова Т.Е., Манько B.C., Хакимов Ш.А. Стационарное электровакуумное обобщение решения Шварцшильда, отличное от метрики Керра-Ныомена // Письма в ЖЭТФ.- 1991.- Т. 53-С.54-56.

13. Денисова Т.Е., Манько B.C., Шорохов С.Г. Об одном обобщении решения Керра-Ньюмена // Изв. вузов СССР, Физика.- 1991.-№11- С.119-120.

14. Кузмин Г.Г. Модель стационарной галактики, допускающая трехосное распределение скоростей // АЖ.- 1956 Т.ЗЗ.- С.27-45.

15. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. // Теория поля.- М.: Наука, 1973504 с.

16. Манжиров A.B., Полянин А.Д. // Справочник по интегральным уравнениям.- М.: Факториал Пресс, 2000 384 с.

17. Манько B.C., Сибгатуллин Н.Р. Новое точное решение уравнений Эйнштейна-Максвелла для внешнего поля заряженной вращающейся массы // Вестник МГУ, сер. мат. мех.- 1995.- №5.-С.58-62.

18. Манько B.C., Хакимов Ш.А. Новое точное решение уравнений Эйнштейна для гравитационного поля стационарной осесиммет-ричной массы // Письма в ЖЭТФ- 1990 Т.51 - С.493-495.

19. Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. // Гравитация. Т. 2 М.: Мир, 1977.- 525 с.

20. Новиков И.Д., Фролов В.П. // Физика черных дыр.- М.: Наука, 1986.- 328 с.

21. Поляченко B.JL, Фридман A.M. // Равновесие и устойчивость гравитирующих систем.- М.: Наука, 1976.- С.214.

22. Сибгатуллин Н.Р. Доказательство гипотезы Героча для электромагнитных и нейтринных полей в ОТО // ДАН СССР.- 1983.-Т.271, т.- С.603-607.

23. Сибгатуллин Н.Р. Построение общего решения системы уравнений Эйнштейна-Максвелла для стационарного осесимметрично-го случая // ДАН СССР.- 1984.- Т.278, №.- С.1098-1102.

24. Сибгатуллин Н.Р. // Колебания и волны в сильных гравитационных и электромагнитных полях М.: Наука, 1984 - 352 с.

25. Сибгатуллин Н.Р., Гарсия A.A., Манько B.C. О распределении плотности в массивных галактических дисках с черной дырой в центре // Письма в АЖ 2003.- Т.29 - С.88-94.

26. Сибгатуллин Н.Р., Гарсия А.А., Манько B.C. Кривые вращения и распределения массы в плоских самогравитирующих дисках // Письма в АЖ.- 2003.- Т.29 С.927-933.

27. Сибгатуллин Н.Р., Сюняев Р.А. Дисковая аккреция в гравитационном поле быстро вращающейся нейтронной звезды с враща-тельно индуцированным квадрупольным распределением массы // Письма в АЖ.- 1998,- Т.24 С.894-909.

28. Abramyan S.M., Gutsunaev Ts.I. A class of asymptotically flat solutions of the static Einstein-Maxwell equations // Phys. Lett. A.- 1990.- V.144 P.437-439.

29. Aguirregabiria J.M., Chamorro A., Manko V.S., Sibgatullin N.R. Exterior gravitational field of a magnetized spinning source possessing an arbitrary mass-quadrupole moment // Phys. Rev. D.-1993.- V.48 P.622-627.

30. Alekseev G.A., Belinski V.A. Equilibrium configurations of two charged masses in general relativity / / Phys. Rev. D- 2007.- V.76-P.021501(R).

31. Alekseev G.A., Garcia A.A. Schwarzschild black hole immersed in a inhomogeneous electromagnetic field // Phys. Rev. D.-1996.—V.53.-P. 1853-1867.

32. Alekseev G.A., Griffiths J.B. Infinite hierarchies of exact solutions of the Einstein and Einstein-Maxwell equations for interacting waves and inhomogeneous cosmologies // Phys. Rev. Lett.- 2000.— V-84 — P.5247-5250.

33. Babcock H.W. The rotation of the Andromeda nebula // Lick Obs. Bull.- 1939.- V.498 P.41-51.

34. Bach R., Weyl H. Neue Lôsungen der Einsteinschen Gravitation-sdleichungen // Math. Z.- 1922.-V.13.- P.134-145.

35. Barker B.M., O'Connell R.F. Conditions for static balance for post-Newtonian two-body problem with electric charge in general relativity // Phys. Lett. A 1977.- V.61- P.297-298.

36. Belinskii V.A., Verdaguer E. // Gravitational Solitons Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2001.

37. Berti E., Stergioulas N., Approximate matching of analytic and numerical solutions for rapidly rotating neutron stars // M.N.R.A.S.- 2004,- V.350.- P.1416-1430.

38. Bicâk J., Hoenselaers C. Two equal Kerr-Newman sources in stationary equilibrium // Phys. Rev. D 1985.- V.31 - P.2476-2479.

39. Binney J., Tremaine S. // Galactic Dynamics.- Princeton: Princeton Univ. Press, 1987.

40. Bonnor W.B. Static magnetic fields in general relativity // Proc. Phys. Soc. Lond. A.- 1954,- V.67 P.225-232.

41. Bonnor W.B. Exact solutions of the Einstein-Maxwell equations // Z. Phys.- 1961.- V.161- P.439-444.

42. Bonnor W.B. An exact solution of the Einstein-Maxwell equations referring to a magnetic dipole // Z. Phys.- 1966 V.190.- P.444-445.

43. Bonnor W.B. Dragging of inertial frames by a charged magnetic dipole // Phys. Lett. A.- 1991.- V.158 P.23-26.

44. Bonnor W.B. The equilibrium of a charged test particle in the field of a spherical charged mass in general relativity // Class. Quantum Grav.- 1993.- V.10.- P.2077-2082.

45. Bonnor W.B. The interactions between two classical spinning particles // Class. Quantum Grav.- 2001.- V.18 P.1381-1388.

46. Bonnor W.B. Comment on 'A remark on the mass-angular-momentum relation in the double-Kerr solution' // Class. Quantum Grav.- 2003.- V.20.- P. 1411-1412.

47. Brandt J.C. On the distribution of mass in galaxies. I. The large-scale structure of ordinary spirals with applications to M31 // Astrophys. J.- I960,- V.131.- P.293-303.

48. Brandt J.C., Belton M.J.S. On the distribution of mass in galaxies. III. Surface densities // Astrophys. J.- 1962.- V.136 P.352-358.

49. Bretón N., Denisova T.E., Manko V.S. A Kerr black hole in the external gravitational field // Phys. Lett. A 1997 - V.230 - P.7-11.

50. Bretón N., García A.A., Manko V.S., Denisova T.E. Arbitrarily deformed Kerr-Newman black hole in an external gravitational field // Phys. Rev. D 1998.- V.57.- P.3382-3388.

51. Bretón N., Manko V.S. A binary system of 'antisymmetric' Kerr-Newman masses // Class. Quantum Grav- 1995- V.12 P.1969-1975.

52. Breton N., Manko V.S., Aguilar-Sânchez J.A. On the equilibrium of charged masses in general relativity: the electrostatic case // Class. Quantum Grav.- 1998.- V.15 P.3071-3083.

53. Breton N., Manko V.S., Aguilar-Sânchez J.A. On the equilibrium of charged masses in general relativity: II. The stationary electrovacuum case // Class. Quantum Grav.- 1999.- V.16- P.3725-3734.

54. Burbidge E.M., Burbidge G.R., Prendergast K.H. The rotation, mass distribution, and mass of NGC 5055 // Astrophys. J.- I960 -V.131-P. 282-292.

55. Burbidge E.M., Burbidge G.R. The masses of galaxies // In: Stars and Stellar Systems IX: Galaxies and the Universe (ed. by A. Sandage, M. Sandage and J. Kristian).- Univ. of Chicago Press, 1975.- P.81.

56. Burstein D., Rubin V.C. The distribution of mass in spiral galaxies // Astrophys. J.- 1985.- V.297 P.423-435.

57. Castejôn-Amenedo J., Manko V.S. On a stationary mass with an arbitrary multipole structure // Class. Quantum Grav.- 1990 V.7.— P.779-785.

58. Castejôn-Amenedo J., Manko V.S. Superposition of the Kerr metric with the generalized Erez-Rosen solution // Phys. Rev. D.- 1990.— V.41- P.2018-2020.

59. Castejôn-Amenedo J., MacCallum M.A.H., Manko V.S. On an axisymmetric solution of the vacuum Einstein equations for astationary rotating mass // Class. Quantum Grav.- 1989.- V.6.-P.L211-L215.

60. Chamorro A., Manko V.S., Denisova T.E. New exact solution for the exterior gravitational field of a charged spinning mass // Phys. Rev. D.- 1991.- V.44 P.3147-3151.

61. Chamorro A., Manko V.S., Denisova T.E. Exterior gravitational field of a charged magnetized axisymmetric mass // Nuovo Cim. B-1993.- V.108 P.905-909.

62. Chamorro A., Manko V.S., Sibgatullin N.R. The superposition of two Kerr-Newman solutions // Lecture Notes Phys 1993.-V.423.-P. 119-122.

63. Chamorro A., Manko V.S., Suinaga J. New exact solution of the Einstein equations for a spinning mass // Nuovo Cim. B 1993.-V.108 - P.717-719.

64. Chazy J. Sur le champ de gravitation de deux mass // Bull. Soc. Math. Prance.- 1924.- V.52.- P. 17-38.

65. Chen Y., Guo D.S., Ernst F.J. Charged spinning mass field involving rational functions //J. Math. Phys.- 1983,- V.24.- P. 1564-1567.

66. Cosgrove C.M. Relationships between the group-theoretic and soliton-theoretic techniques for generating stationary axisymmetric gravitational solutions // J. Math. Phys 1980 - V.21- P.2417-2447.

67. Cosgrove C.M. Backlund transformations in the Hauser-Ernst formalism for stationary axisymmetric spacetimes //J. Math. Phys.1981.- V.22 P.2624-2639.

68. Cosgrove C.M. Relationship between the inverse scattering techniques of Belinskii-Zakharov and Hauser-Ernst in general relativity // J. Math. Phys.- 1980.- V.22.- P.615-633.

69. Curzon H.E.J. Cylindrical solutions of Einstein's gravitational equations // Proc. Lond. Math. Soc 1924.- V.23 - P.477-480.

70. Das K.S. Odd-soliton solutions of the Einstein's equations in a vacuum // Phys. Rev. D 1985.- V.31- P.927-928.

71. De Vaucouleurs G. General physical properties of external galaxies // Handbuch der Physik.- 1959.- V.53 P.311.

72. De Vaucouleurs G., Freeman K.C. Structure and dynamics of barred spiral galaxies, in particular of the Magellanic type // Vistas in Astronomy.- 1972,- V.14 P. 163-294.

73. Denisova T.E., Manko V.S. Exact solution of the Einstein-Maxwell equations referring to a charged spinning mass // Class. Quantum Grav.- 1992.- V.9.- P.L57-L60.

74. Dietz W.New representations of the HKX transformations by means of determinants // Gen. Relativ. Grav.- 1983.- V.14 P.911-918.

75. Dietz W., Hoenselaers C. Stationary system of two masses kept apart by their gravitational spin-spin interaction // Phys. Rev. Lett.—1982.- V.48 P.778-780.

76. Dietz W., Hoenselaers C. A new class of bipolar vacuum gravitational fields // Proc. Roy. Soc. Lond. A.- 1982.- V.382 P.221-229.

77. Dietz W., Hoenselaers C. Two mass solutions of Einstein's vacuum equations: The double Kerr solution // Ann. Phys. (NY)- 1989-V.30 P.2252-2257.

78. Ernst F.J. New formulation of the axially symmetric gravitational field problem // Phys. Rev.- 1968.- V.167.- P. 1175-1178.

79. Ernst F.J. New formulation of the axially symmetric gravitational field problem. II. // Phys. Rev.- 1968.- V.168 P. 1145-1417.

80. Ernst F.J. Determining parameters of the Neugebauer family of vacuum spacetimes in terms of data specified on the symmetry axis // Phys. Rev. D 1994.- V.50 - P.4993-4999.

81. Ernst F.J., Manko V.S., Ruiz E. Equatorial symmetry/antisymmetry of stationary axisymmetric electrovac spacetimes // Class. Quantum Grav.- 2006,- V.23.-P.4945-4952.

82. Ernst F.J., Manko V.S., Ruiz E. Equatorial symmetry/antisymmetry of stationary axisymmetric electrovac spacetimes: II // Class. Quantum Grav.- 2007,- V.24.-P.2193-2203.

83. Ernst F.J., Wild W.J. Kerr black holes in a magnetic universe //J. Math. Phys.- 1976.- V.17 P. 182-184.

84. Fodor D., Hoenselaers C., Perjes Z. Multipole moments of axisymmetric systems in relativity //J. Math. Phys.- 1989.- V.30-P.2252-2257.

85. Garcia A.A. Magnetic generalization of the Kerr-Newman metric // J. Math. Phys.- 1985,- V.26 P.155-156.

86. Garcia A.A., Manko V.S., Sibgatullin N.R. New formulation of the theory of finite galactic disks // Gen. Relativ. Grav.- 2005.- V.37.-P.837-845.

87. Geroch R. Multipole moments. II. Curved space //J. Math. Phys.-1970.- V.U.- P.2580-2588.

88. Geroch R. A method for generating solutions of Einstein's equations //J. Math. Phys.- 1971,- V.12 P.918-924.

89. Geroch R. A method for generating solutions of Einstein's equations. II // J. Math. Phys.- 1972.- V.13 P.394-404.

90. Gleiser R.J. On the physical interpretation of some simple soliton solutions of Einstein's equations // Gen. Relativ. Grav- 1984.-V.16.- P. 1077-1094.

91. Guo D.S., Ernst F.J. Electrovac generalization of Neugebauer's N = 2 solution of the Einstein vacuum field equations //J. Math. Phys.— 1982.- V.23- P. 1359-1369.

92. Gutsunaev Ts.I., Manko V.S. On the gravitational field of a mass possessing a magnetic dipole moment // Phys. Lett. A- 1987.— V.123 P.215-216.

93. Gutsunaev Ts.I., Manko V.S. On a family of solutions of the EinsteinMaxwell equations // Gen. Relativ. Grav.- 1988.- V.20 P.327-335.

94. Gutsunaev Ts.I., Manko V.S. New static solutions of the EinsteinMaxwell equations // Phys. Lett. A 1988 - V.132 - P.85-87.

95. Gutsunaev Ts.I., Manko V.S. New stationary electrovacuum generalizations of the Schwarzschild solution // Phys. Rev. D.-1989.- V.40.- P.2140-2141.

96. Gutsunaev Ts.I., Manko V.S. On a stationary generalization of the Schwarzschild solution // Class. Quantum Grav 1989 - V.6.-P.L137-L139.

97. Gutsunaev Ts.I., Manko V.S., Elsgolts S.L. New exact solutions of the static Einstein-Maxwell equations // Class. Quantum Grav.-1989.- V.6.- P.L41-L44.

98. Hansen R.O. Multipole moments of stationary space-times // J. Math. Phys.- 1974.- V.15.- P.46-52.

99. Harrison B.K. New solutions from the Einstein-Maxwell equations from old // J. Math. Phys.- 1968.- V.9.- P.1744-1752.

100. Harrison B.K. Backlund transformation for the Ernst equation of general relativity // Phys. Rev. Lett.- 1978.- V.41- P. 1197-1200.

101. Hauser I., Ernst F.J. Integral equation method for effecting Kinnersley-Chitre transformations // Phys. Rev. D 1979 - V.20-P.362-369.

102. Hauser I., Ernst F.J. Integral equation method for effecting Kinnersley-Chitre transformations. II // Phys. Rev. D- 1979-V.20 P. 1783-1790.

103. Hauser I., Ernst F.J. A homogeneous Hilbert problem for the Kinnersley-Chitre transformations // J. Math. Phys- 1980-V.21-P. 1126-1140.

104. Hauser I., Ernst F.J. A homogeneous Hilbert problem for the Kinnersley-Chitre transformations of electrovac spacetimes //J. Math. Phys.- 1980.- V.21 P. 1418-1422.

105. Hauser I., Ernst F.J. Proof of a Geroch conjecture //J. Math. Phys.-1981.- V.22 P.1051-1063.

106. Hernández-Pastora J.L., Manko O.V., Manko V.S., Martín J., Ruiz. E. Equilibrium states in the quadruple-Kerr solution // Gen. Relativ. Grav.- 2004.- V.36 P.781-797.

107. Hernández-Pastora J.L., Manko V.S., Martín J. Some asymptotically flat generalizations of the Curzon metric //J. Math. Phys.- 1993-V.34 P.4760-4774.

108. Hernández-Pastora J.L., Manko V.S., Martín J., Ruiz E. A note on the factor structure of some non-rational vacuum metrics // Gen. Relativ. Grav.- 2000,- V.32 P.2131-2139.

109. Herrera L., Manko V.S. Stationary solution of the Einstein equations possessing zero total angular momentum // Phys. Lett. A.- 1992-V.167- P.238-242.

110. Hoenselaers C. On a new solution of Einstein's equations //J. Math. Phys.- 1980.- V.21.- P.2241-2245.

111. Hoenselaers C. A static solution of the Einstein-Maxwell equations // Prog. Theor. Phys.- 1982.- V.67 P.697-698.

112. Hoenselaers C. Remarks on the double-Kerr solution // Prog. Theor. Phys.- 1984.- V.72 P.761-767.

113. Hoenselaers C., Dietz W. The rank N HKX transformations: new stationary axisymmetric gravitational fields // Gen. Relativ. Grav-1984.- V.16.- P.71-78.

114. Hoenselaers C., Kinnersley W., Xanthopoulos B.C. Generation of asymptotically flat, stationary space-times with any number of parameters // Phys. Rev. Lett.- 1979.- V.42 P.481-482.

115. Hoenselaers C., Kinnersley W., Xanthopoulos B.C. Symmetries of the stationary Einstein-Maxwell equations. VI. Transformations which generate asymptotically flat spacetimes with arbitrary multipole moments // J. Math. Phys.- 1979.- V.20 P.2530-2536.

116. Hunter J.H., Ball R., Gottesman S.T. Exact solutions for a generalized Mestel disc, and for truncated Toomre discs // M.N.R.A.S.- 1984.- V.208 P. 1-14.

117. Ibânez J., Verdaguer E. Multisoliton solutions to Einstein's equations // Phys. Rev. D.- 1985,- V.31- P.251-257.

118. Israel W. Line sources in general relativity // Phys. Rev. D 1977.— V.15 - P.935-941.

119. Israel W., Khan K.A. Collinear particles and Bondi dipoles in general relativity // Nuovo Cim.- 1964.- V.33.- P.3611-3624.

120. Israel W., Wilson G.A. A class of stationary electromagnetic vacuum fields // J. Math. Phys.- 1972.- V.13 P.865-867.

121. Kerr R.P. Gravitational field of a spinning mass as an example of algebraically special metrics // Phys. Rev. Lett.- 1963- V.ll.-P.237-238.

122. Kihara M., Tomimatsu A. Some properties of the symmetry axis in a superposition of two Kerr solutions // Prog. Theor. Phys.- 1982.-V.67 P.349-352.

123. Kimura T., Ohta T. On the conditions for static balance in the post-post-Newtonian approximation // Phys. Lett. A 1977.- V.63.-P. 193-195.

124. Kinnersley W. Generation of stationary Einstein-Maxwell fields // J. Math. Phys.- 1973.- V.14.- P.651-653.

125. Kinnersley W. Symmetries of the stationary Einstein-Maxwell field equations. I. // J. Math. Phys.- 1977,-V.18.- P.1529-1537.

126. Kinnersley W. Symmetries of the stationary Einstein-Maxwell field equations. VII. Charging transformations //J. Math. Phys.- 1980.-V.21- P.2231-2235.

127. Kinnersley W. Symmetries of the stationary axisymmetric vacuum Einstein which preserve asymptotic flatness // Class. Quantum Grav.- 1991.- V.8.- P.1011-1022. .

128. Kinnersley W., Chitre D.M. Symmetries of the stationary EinsteinMaxwell field equations. II. //J. Math. Phys.- 1977.- V.18.- P.1438-1542.

129. Kinnersley W., Chitre D.M. Symmetries of the stationary EinsteinMaxwell field equations. III. //J. Math. Phys- 1978.- V.19-P. 1926-1931.

130. Kinnersley W., Chitre D.M. Symmetries of the stationary EinsteinMaxwell field equations. IV. Transformations which preserve asymptotic flatness //J. Math. Phys.- 1978,- V.19.- P.2037-2042.

131. Kinnersley W., Chitre D.M. Group transformation that generates the Kerr and Tomimatsu-Sato metrics // Phys. Rev. Lett.- 1978.-V.40- P. 1608-1610.

132. Komar A. Covariant conservation laws in general relativity // Phys. Rev.- 1959.- V.113.- P.934-936.

133. Kramer D. Equivalence of various pseudopotential approaches for Einstein-Maxwell fields // J. Phys. A: Math. Gen.- 1982 V.15.-P.2201-2207.

134. Kramer D. Kerr solution endowed with magnetic dipole moment // Class. Quantum Grav.- 1984.- V.I.- P.L45-L50.

135. Kramer D. Two Kerr-NUT constituents in equilibrium // Gen. Relativ. Grav.- 1986,- V.18 P.497-509.

136. Kramer D. Two charged masses in equilibrium // Class. Quantum Grav.- 1988,- V.5.- P. 1435-1442.

137. Kramer D., Neugebauer G. Zu axialsymmetrischenstationaren Losungen der Einsteinschen Feldgleichungen fur das Vakuum // Commun. Math. Phys.- 1968.- V.10 P. 132-139.

138. Kramer D., Neugebauer G. Eine exakte Stationare Lösung der Einstein-Maxwell-Gleichungen // Ann. Physik- 1969- V.24-P. 59-61.

139. Kramer D., Neugebauer G. The superposition of two Kerr solutions // Phys. Lett. A.- 1980,- V.75.- P.259-261.

140. Kramer D., Neugebauer G. Prolongation structure and linear eigenvalue equations for Einstein-Maxwell fields //J. Phys. A: Math. Gen.- 1981.- V.14.- P.L333-L338.

141. Kramer D., Neugebauer G. Backlund transformations in general relativity // Lect. Notes Phys.- 1984 V.205.- P. 1-25.

142. Lemos J.P.S., Letelier P.S. Exact general relativistic thin disks around black holes // Phys. Rev. D.- 1994.- V.49.- P.5135-5143.

143. Lynden-Bell D. Galactic nuclei as collapsed old quasars // Nature.-1969.- V.223 P.690-694.

144. Majumdar S.D. A class of exact solutions of Einstein's field equations // Phys. Rev.- 1947.- V.72 P.390-398.

145. Manko O.V., Manko V.S., Sanabria-Gömez J.D. Charged, magnetized Tomimatsu-Sato Ö = 2 solution // Prog. Theor. Phys.-1998.- V.100- P.671-673.

146. Manko O.V., Manko V.S., Sanabria-Gömez J.D. Remarks on the charged, magnetized Tomimatsu-Sato 0 = 2 solution // Gen. Relativ. Grav.- 1999.- V.31.- P. 1539-1548.

147. Manko V.S. On a new static solution of the Einstein-Maxwell equations for a massive magnetic dipole // Phys. Lett. A.- 1989-V.141- P.249-250.

148. Manko V.S. New exact solution for the exterior field of a spinning mass // Phys. Rev. Lett.- 1990.- V.64 P.1625-1627.

149. Manko V.S. On the description of the external field of a static deformed mass // Class. Quantum Grav.- 1990 V.7.- P.L209-L211.

150. Manko V.S. New axially symmetric solutions of the EinsteinMaxwell equations // Gen. Relativ. Grav.- 1990 -V.22 P.799-809.

151. Manko V.S. The exterior field of a static and stationary mass with an arbitrary set of multipole moments // Gen. Relativ. Grav.- 1992-V.24 P.35-45.

152. Manko V.S. On the simplest magnetic generalization of the Kerr-Newman metric // Phys. Lett. A.- 1993.- V.181.- P.349-352.

153. Manko V.S. New generalization of the Kerr metric referring to a magnetized spinning mass // Class. Quantum Grav 1993.- V.10-P.L239-L242.

154. Manko V.S. Generating techniques and analytically extended solutions of the Einstein-Maxwell equations // Gen. Relativ. Grav-1999.- V.31- P.673-679.

155. Manko V.S. Double-Reissner-Nordstrom solution and the interaction force between two spherical charged masses in general relativity // Phys. Rev. D 2007,- V.76 - P.124032-1-6.

156. Manko V.S., Khakimov Sh.A. On the gravitational field of an arbitrary axisymmetric mass possessing a magnetic dipole moment // Phys. Lett. A.- 1991.- V.154 P.96-98.

157. Manko V.S., Martin J., Ruiz E., Sibgatullin N.R., Zaripov M.N. Metric of a rotating, charged, magnetized, deformed mass // Phys. Rev. D 1994.- V.49 - P.5144-5149.

158. Manko V.S., Martin J., Ruiz E. Metric of a rotating, charged, magnetized, deformed mass. II // Phys. Rev. D- 1994.- V.49-P.5150-5152.

159. Manko V.S., Martin J., Ruiz E. On the simplest binary system of stationary black holes // Phys. Lett. A.- 1994,- V.196.- P.23-28.

160. Manko V.S., Martin J., Ruiz E. Metric of two arbitrary Kerr-Newman sources located on the symmetry axis //J. Math. Phys-1994,- V.35- P.6644-6657.

161. Manko V.S., Martin J., Ruiz E. Extended family of the electrovac two-soliton solutions for the Einstein-Maxwell equations // Phys. Rev. D 1995.- V.51.- P.4187-4191.

162. Manko V.S., Martin J., Ruiz E. Six-parameter solution of the Einstein-Maxwell equations possessing equatorial symmetry // J. Math. Phys.- 1995.- V.36 P.3063-3073.

163. Manko V.S., Mielke E.W., Sanabria-Gomez J.D. Exact solution for the exterior field of a rotating neutron star // Phys. Rev. D 2000.-V.61- P.08501-1-5(R).

164. Manko V.S., Novikov I.D. Generalizations of the Kerr and Kerr-Newman metrics possessing an arbitrary set of mass-multipole moments // Class. Quantum Grav.- 1992.- V.9 P.2477-2487.

165. Manko V.S., Ruiz E. Stationary generalization of the Bonnor magnetic dipole solution // Gen. Relativ. Grav.- 1997.- V.29-P.991-996.

166. Manko V.S., Ruiz E. Extended multi-soliton solutions of the Einstein field equations // Class. Quantum Grav.- 1998.- V.15.- P.2007-2016.

167. Manko V.S., Ruiz E. Exact solution of the double-Kerr equilibrium problem // Class. Quantum Grav.- 2001- V.18.- P.L11-L15.

168. Manko V.S., Ruiz E. Solving equilibrium problem for the double-Kerr spacetime // In: "Exact solutions and Scalar Fields in Gravity". New York: Kluwer Academic, 2001- P.63-68.

169. Manko V.S., Ruiz E. A remark on the mass-angular-momentum relation in the double-Kerr solution // Class. Quantum Grav.2002,- V.19 P.3077-3081.

170. Manko V.S., Ruiz E. On the discrepancy between two approaches to the equilibrium problem for spinning particles // Gravit. Cosmol.2003,- V.9.- P. 183-185.

171. Manko V.S., Ruiz E. How can exact and approximate solutions of Einstein's field equations be compared? // Class. Quantum Grav.2004,- V.21- P.5849-5869.

172. Manko V.S., Ruiz E. Comment on 'The double-Kerr solution' // Class. Quantum Grav.- 2005.- V.22.- P.635-637.

173. Manko V.S., Ruiz E. Physical interpretation of the NUT family of solutions // Class. Quantum Grav.- 2005.- V.22.- P.3555-3560.

174. Manko V.S., Ruiz E., Manko O.V. Is equilibrium of aligned Kerr black holes possible? // Phys. Rev. Lett.- 2000.- V.85.- P.5504-5506.

175. Manko V.S., Ruiz E., Sanabria-Gomez J.D. Extended multi-soliton solutions of the Einstein field equation: II. Two comments on the existence of equilibrium states // Class. Quantum Grav- 2000.-V.17 P.3881-3898.

176. Manko V.S., Sanabria-Gomez J.D., Manko O.V. Nine-parameter electrovac metric involving rational functions // Phys. Rev. D.-2000.- V.62.- P.044048-1-10.

177. Manko V.S., Sibgatullin N.R. Kerr metric endowed with magnetic dipole moment // Class. Quantum Grav.- 1992.- V.9.- P.L87-L92.

178. Manko V.S., Sibgatullin N.R. Metric of a rotating, charged, magnetized mass // Phys. Lett. A.- 1992.- V.168.- P.343-347.

179. Manko V.S., Sibgatullin N.R. Exact solution of the Einstein-Maxwell equations for the exterior gravitational field of a magnetized rotating mass // Phys. Rev. D.- 1992.- V.46.- R4122-R4124.

180. Manko V.S., Sibgatullin N.R. Kerr-Newman metric endowed with magnetic dipole moment // J. Math. Phys.- 1993.- V.34.- P. 170177.

181. Manko V.S., Sibgatullin N.R. Construction of exact solutions of the Einstein-Maxwell equations corresponding to a given behaviour ofthe Ernst potentials on the symmetry axis // Class. Quantum Grav.-1993.- V.10 P. 1383-1404.

182. Martin A.W., Pritchett P.L. Asymptotic gravitational field of the "electron" //J. Math. Phys.- 1968.- V.9.- P.593-597.

183. Meinel R., Neugebauer G. Asymptotically flat solutions to the Ernst equation with reflection symmetry / / Class. Quantum Grav.- 1995-V.12 P.2045-2050.

184. Mestel L. On the galactic law of rotation // M.N.R.A.S.- 1963-V.126 P.553-575.

185. Neugebauer G. Backlund transformations of axially symmetric stationary gravitational fields //J. Phys. A: Math. Gen.- 1979-V.12 P.L67-L70.

186. Neugebauer G. A general integral of the axially symmetric stationary Einstein equations //J. Phys. A: Math. Gen.- 1980.- V.13- P.L19-L21.

187. Neugebauer G. Recursive calculation of axially symmetric stationary Einstein fields //J. Phys. A: Math. Gen.- 1980.- V.13 P.1737-1740.

188. Neugebauer G. Relativistic gravitational fields of rotating bodies // Phys. Lett. A.- 1981.- V.86 P.91-93.

189. Neugebauer G., Kramer D. Eine Methode zur Konstruktion stationärer Einstein-Maxwell-Felder // Ann. Physik.- 1969.- V.24-P.62-71.

190. Neugebauer G., Kramer D. Einstein-Maxwell solitons // J. Phys. A: Math. Gen.- 1983.- V.16 P. 1927-1936.

191. Neugebauer G., Meinel R. The Einsteinian gravitational field of the rigidly rotating disk of dust // Astrophys. J 1993 - V.414 - P.L97-L99.

192. Neugebauer G., Meinel R. General relativistic gravitational field of a rigidly rotating disk of dust: axis potential, disk metric, and surface mass density // Phys. Rev. Lett.- 1994 V.73.- P.2166-2168.

193. Neugebauer G., Meinel R. General relativistic gravitational field of a rigidly rotating disk of dust: solution in terms of ultraelliptic functions // Phys. Rev. Lett.- 1995.- V.75.- P.3046-3047.

194. Newman E.T., Couch E., Chinnapared K., Exton A., Prakash A., Torrence R. Metric of a rotating charged mass // J. Math. Phys.-1965.- V.6.- P.918-919.

195. Novikov I.D., Manko V.S. On the gravitational field of an arbitrary axisymmetric mass endowed with magnetic dipole moment // In: "Gravitation and Modern Cosmology" (ed. by A.Zichichi et al.)- New York: Plenum Press, 1991.- P.121-128.

196. Nordstrom G. On the energy of the gravitational field in Einstein's theory // Proc. Kon. Ned. Akad. Wet.- 1918.- V.20 P.1238-1245.

197. Oohara K., Sato H. Structure of superposed two Kerr metrics // Prog. Theor. Phys.- 1981.- V.65.- P.1891-1900.

198. Papapetrou A. A static solution of the equations of the gravitational field for an arbitrary charge distribution // Proc. Roy. Irish Acad. A.- 1947.- V.51 P. 191-204.

199. Papapetrou A. Eine rotationssymetrische Losung in der Allgemeinen Relativitatstheorie // Ann. Physik.- 1953 V.12- P.309-315.

200. Perjes Z. Solutions of the coupled Einstein-Maxwell equations representing the fields of spinning sources // Phys. Rev. Lett 1971-V.27- P. 1668-1670.

201. Perry G.P., Cooperstock F.I. Electrostatic equilibrium of two spherical charged masses in general relativity // Class. Quantum Grav.- 1997.- V.14.- P. 1329-1345.

202. Persic M., Salucci P. Dark and visible matter in spiral galaxies // M.N.R.A.S.- 1988,- V.234.- P. 131-154.

203. Quevedo H. Multipole moments in general relativity. Static and stationary vacuum solutions // Fortschr. Phys 1990 - V.38 - P.733-840.

204. Quevedo H., Mashhoon B. Exterior gravitational field of a rotating deformed mass // Phys. Lett. A.- 1985.- V.109 P. 13-18.

205. Quevedo H., Mashhoon B. Exterior gravitational field of a charged rotating mass with arbitrary quadrupole moment // Phys. Lett. A-1990.- V.148 P. 149-153.

206. Rees M.J. // Black Holes and Relativistic Stars Chicago: University of Chicago Press, 1998.- P.79.

207. Reissner H. Uber die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie // Ann. Physik 1916.- V.50 - P. 106-120.

208. Ruiz E., Manko V.S., Martin J. Extended 6N-parameter family of exact solutions of the Einstein-Maxwell field equations // Phys. Lett. A.- 1995,- V.200- P.77-81.

209. Ruiz E., Manko V.S., Martin J. Extended N-soliton solution of the Einstein-Maxwell equations // Phys. Rev. D 1995,- V.51- P.4192-4197.

210. Schmidt M. The distribution of mass in M 31 // Bull. Astron. Inst. Neth 1957.- V.14 - P. 17-19.

211. Schwarzschild K. Uber das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie // Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss.-1916.- V.7.- P. 189-196.

212. Shakura N.I., Sunyaev R.A. Black holes in binary systems. Observational appearance // Astron. Astrophys- 1973- V.24-P.337-355.

213. Sibgatullin N.R., Manko V.S. New exact three-parameter solution of the Einstein-Maxwell equations for a charged spinning mass // Phys. Lett. A.- 1992,- V.163- P.364-366.

214. Sibgatullin N.R., Manko V.S., Zaripov M.N. Exterior field of a magnetized, rotating disk: exact formulation as a linear problem // Gravit. Cosmol 1996.- V.2.- P.231-234.

215. Smarr L. Mass formula for Kerr black holes // Phys. Rev. Lett.-1973.- V.30 P.71-73.

216. Sofue Y., Rubin V.C. Rotation curves of spiral galaxies // Ann. Rev. Astron. Astroph.- 2001.- V.39.- R137-174.

217. Stute M., Camenzind M. Towards a self-consistent relativistic model of the exterior gravitational field of rapidly rotating neutron stars // M.N.R.A.S.- 2002.- V.336 R831-840.

218. Tassoul J.L. // Theory of Rotating Stars- Princeton: Princeton Univ. Press, 1978.

219. Tomimatsu A. Distorted rotating black holes // Phys. Lett. A1984.- V.103 P.374-376.

220. Tomimatsu A. On gravitational mass and angular momentum of two black holes in equilibrium / / Prog. Theor. Phys 1983.- V.70-P.385-393.

221. Tomimatsu A. Condition for equilibrium of two Reissner-I^ordstrom black holes // Prog. Theor. Phys.- 1984.- V.71- P.409-412.

222. Tomimatsu A. Equilibrium of two rotating charged black holes and the Dirac string // Prog. Theor. Phys.- 1984.- V.72 P.73-82.

223. Tomimatsu A., Kihara M. Conditions for regularity on the symmetry axis in a superposition of two Kerr-NUT solutions // Prog. Theor. Phys.- 1982.- V.67 P.1406-1414.

224. Tomimatsu A., Sato H. New exact solution for the gravitational field of a spinning mass // Phys. Rev. Lett 1972 - V.29 - P. 1344-1345.

225. Toomre A. On the distribution of matter within highly flattened galaxies // Astrophys. J.- 1963.- V.138 P.385-392.

226. Van der Kruit P.C., Allen R.J. The kinematics of spiral and irregular galaxies // Ann. Rev. Astron. Astroph- 1978 V.16 - P. 103-139.

227. Varzugin G.G., Chistyakov A.S. // Class. Quantum Grav 2002-V.19 - P.4553-4564.

228. Veselov A.P. Structure of axisymmetric soliton solutions of Einstein's equations // Theor. Math. Phys.- 1983.- V.54 P. 155-160.

229. Wald R. Gravitational spin interaction // Phys. Rev. D.- 1972-V.6.- P.406-413.

230. Waylen P.C. The general axially symmetric static solution of Einstein's vacuum equations // Proc. Roy. Soc. Lond. A.- 1982-V.382 P.467-470.

231. Weinstein G. On rotating black holes in equilibrium in general relativity // Comm. Pure Appl. Math.- 1990.- V.43 P.903-948.

232. Weyl H. Zur Gravitationstheorie // Ann. Physik.- 1917.- V.54.-P. 117-145.

233. Wolfram S. // The Mathematica Book (4th Edn.)- Cambridge: Wolfram Media, Cambridge Univ. Press, 1999.

234. Yamazaki M. On the Hoenselaers-Kinnersley-Xanthopoulos spinning mass fields // J. Math. Phys.- 1981.- V.22 P.133-135.

235. Yamazaki M. Stationary line of N Kerr masses kept apart by spinspin interaction // Phys. Rev. Lett 1983 - V.50 - P. 1027-1030.