Разделение чисел, изображаемых специальными формами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГ6 од

і & дпр да

. Оцесьшй дэртавний університет їм. І.Г.Мсчникова

На правах рукопису

«ВДОРСВСЫМ СЕРГІЙ ваотъович

РОЗПОДІЛ ЧИСЕЛ, ЩО ЗОБРАЖУЮТЬСЯ СЛЩГАЛШМИ Ш*ЛШ

01.01.01 - математичний аналіз, 01.01.06 - математична логіка,

алгебра та теорія чисел

. АВТОРЕ С'ЕРАТ . дисертації на здобуття вченого ступеня кандидата фізико-математичних наук

Одес" - 1991

Дисертацією е руклпис.

Работа виконана на кафедрі алгебри та теорії чисел Одеського державного університету їм. І.І.Мечникова, і

• Науковий керівник: кандидат фізико-математичних наук,

доцент ГІ.Д.Варбанець.

Офіційні опоненти: доктор фізим-математичних наук, професор В.І.Берник, ■ ■

■ кандидат фіаико-матєматичних наук,

доцент В.А.Авдріскко.- •

Провідна організація; Володимире вгий державний педаго- ' гічяий Інститут' '

Захист відбудеться " " рІ{__________1994р. на засідан

ні спеціалізованої вченої ради Д 05.01.01 по фізико-математич ни« наукам /математика/ в Одеськім державнім університеті їм. І,І.Мечникова за адресою: 270000, м.Одеса, вул. Петра Великого

2, ауд. __________ .

З дисертацією можна ознайомитися у науковій бібліотеці Одеського державного університету.,

Автореферат

розісланий "

25 " 0?йя 1994 р.

Вчений секретар спеціалізованої рад’.'., кандидат фізико»

¡¿агемагичшх наук.

ЦА

доцент хУ" О.М.Стокодос

ЗЛГАЛЬНА ХАРАгСГЕРИСПШ РОБОТИ

А . туальніеть течи, Дисертація в дослідженим розподілу натуральних чисел, 40 зображуються спеціальними ортт. В ній побудовані асимптотичні формули для суматорнпх ункцій від кількості зображень натуральних чисел тактом формами.

Задачі, пов'язані з зображенням цілих чисел квадратичними ор.іагли, відомі давно. Так, в ХУП столітті та ка початку XIX ед ними працювали такі видатні математика, як Л.Е>лер, '£.Л.Лаг-авд, А.Ы.Лехандр, К.Ф.Гауо. В наш час вони включаються в гаїро-ий клас адитивігих задач теорії чисел Із своєю проблематикою та етодами дослідження. Серед них значне місце займеать проблтта оиі.штотичного поводження /при ЗС-* оо / суматорних функцій

£(ос) = 21^00 } $(зе;а.о) = 2І.$(«-) ,

■ п і ОС ПІК

игастооіо) в £(іг) - функція натурального аргумента.

Методи дослідження адитивних задач теорії чисел суттєво мінилися та роз’шршмея з часів класиків. Зокрема, широко аасто-овуються засоби теорії функцій комплексної змінної, тригоно;!)етичні суми та Ін. Зауважимо, по теоретнко-чналові задачі призве-и до розвитку спеціальних питань теорії функцій. Відзначимо юзеиток цілого напряму - теорем тауберового тішу /ліс ‘з дійсній', ‘ак I в комплексній областях/, дослідження властивосте!) дЗета- . ункції Римана та Інших дзета-подібнкх функцій. '

Ниділчмо деякі характерні задачі на побудову асимптсті<іііїіс юрмул суматорних функцій1^ які можна розглядати ’як їакі,'щй .ііе-іать в основі вибору на'-мт досліджень. Це-, насамперед, 'хла'сичні

' ‘Л

іадачі круга та дільникГ-;'

^ ?(n.)-$4c«-R(og) ,

л $ ое

21t(n.) = я£оо К + (2$-1)ос *Töc),

и

до £Ог) - кількість зображень натурального П. сумо» двох квадратів, Т(п.) - функція дільників, £ - стала Ейлвра. Спочатку К.Гаус та Л.ДІрІхлс одержали оцінки залишкових членів RCx) <га Т(ос) у ВИГЛЯДІ 0(ос,/2) . Потім, на початку XX ст., Г.Вороной та В.Серпинський показали, що ці залишкові члени мають оцінку 0(ос**£) • а зовсім недавно H.Uifianiec та СЛ.Мозгосйі. в I) одержали оцінку залишкових членів 0( Сс ^гг £) .ЦІ результати одержано шляхом використання сучасних досягнень в галузі теорії функцій та теорії тригонометричних Ьум. '

•Хоча суматорні функції мають Інтегральний характер, вони дають певну Інформацію локального типу. Цьому сприяють дослідкен' ня арифметичних функцій на спеціальних послідовностях.натуральна чисел, зокрема на арифметичних прогресіях Із зростаючою різницею До таких задач, наприклад, належать задачі, розглянуті П.Д.Зар-банцем в 2): .

де - неголовний характер по mool к , та С - Цсо?.еі|

1) Moxzocfii C.lJwntecH.Ort ttie ЇХоїьог and Сігкіс // ^оигп.МищЬ.Т{іеог.- 198S,aJ29.- pp.60-93,

2) Варбанец П.Д., Проблема круга в арифметической прогрессии// Матем. заметки,- 1970,- T.8,fP 6.- С. 787-798.

Д0 - _ • 01 ЙГійЬ

И(«.^) = 51 (а) , С.(«)=2_е а

- сПс, * Ь',1

. * «,о1м

Обидві ці формули нетривіальні для ^ СС .

Задачі, розглянуті в дисертаційній роботі, за своєю постановкою /але не за методом дослідження/ аналогічні до задачі побудови асимптотичної формули

'Т1 Т І \ К> ' \ л/ *%>7+Є - б%э?\

■ 4_М^ = М5ч«;«.ф^О(ос .

п. = а(»погІ

де Т3(^) - кількість зображень натурального п, у вигляді добутку трьох цілих множників, (<2,Ср= і ,

- дзетп-функція Рішана. Цей результат нале.’.сить НеаіА-

Vп Т>.^/див. 4) /. Асимптотична фои.-ула нетривіальна для

‘

V* ’ .

І.П.КубІлюс застосував апарат 2-функцій Гекке для дос-

3) Нооігі^ С. і Аа йашрЫхс ^оітиіа. Іп іііе ІНео-гІ

ЮіщЬє'гз //Ргос.Іопоіоп-. Маїїі.Зое. (3),? (1957).- ь. 396 - 413.

4) НеаНі-^оик. О.И.,Ткв сЛілілой ^¡ипеїіои- Х5(*г) /І Асіс» Агсікт , — 1986 , V. >/1. — рр, ЗЗ-їб.

лідкєння іглзіят задач "геометрії чисел" /див., наприклад, 5) /. До такого типу задач налетять задача про кількість, цілих точок круга, що містяться у вузькій секторіальній області. Наведемо один Із результатів такого типу, що належить П.Д.Варбанца /див. б) /: . •

2L«»>-^ f 0-^И(зУ * V) •

ці*; n«iAt;a ,

п, з aCmott р )

í ал^Сц*тЛ^Ч>а '

де р - просте, непарне; Ос ^ 0< olí ^ “ ^5', 2<keJ{'l.

В дисертаційній роботі такок розглянуто задачу, що має відношення до "геометрії" чисел.

Дисертація виконана в рамках досліджень, що проводяться і кафедрі алгебрі та теорії чисел Одеського державного уніветсит« ту їм. 1.1.Мечникова по теї І "Метод функціональних рівнянь в аналітичній теорії чисел" /номер державної реєстрації -0182*1007167 / згідно з планом фундаментальних досліджень' в гал: природничих наук АН України. .

Мета роботи. Основною метою роботи е дослідже; ня розподілу натуральних чисел, що зображуються формою ^(а:,^,ї}= (ас+у*)2 І таких, що належать різним послідовнос

натуральних чисел. Так, якщо ЯСи.) означає кількість зобра^е: натурального п. вищезгаданою формою |(ї,уд) , то розв’яз

5) Кубилюс И.П., 0 некоторых задачах геометрии простых чисел / Матем. сб.- 1952.- т.31/78/,Р З,- С. 507-542.

\

6) Варбаноц П.Д., Аналитическая теория сравнений по модулю р Диссерт. ... канд. Зиз.-мат. наук.- Одесса, 1968.- IÍG с.

ьоя задача побудови асимптотичних формул для сум

,$(ос;А)= .

п*ое.

неЛ

і А - деяка нескінченна послідовність натуральних чисел.

Методика дослідження. В роботі викорис-івувться. метод твірних рядів Діріхле, тауберові теореми, йункці-¡альні рівняння дзета-подібних функцій, оцінки спеціальних трибометричних сум. .

Наукова новина. В дисертації одержано ншсче-ідані нові результати:

1. Побудовано асимптотичну форлулу для суиаторної функції д кількості зображень натурального к. в арифметичній прог-юІІ Із зростаючою різницею первісног додатньо означенси бінарно квадратичною формо».

2. Доведено (функціональні рівняння кількох допоміжних фун-[Й. ' ' '

3. Побудовано асиїттоти'чні формули для суматорних функцій Ед кількості зображень натурального К формой ^(ж.уд)*(ж*уг)Н [дповідно до умов

*< а) «.ні^тосіа),

б) 0С?*угз£ (гоосЦ),

в)

4. Побудовано асимптотичну формулу для суиаторної функції

Ід кількості зображень натурального К. в арифметичній прогро-ІЇ Із зростаючою різницею у вигляді добутку натурального та нор*

* цілого гаусового числа, до належить певній секторіальній ой-ЇСТІ. _ ” ; .

5. Дано оцінки двох спеціальних тригонометричних еуьи

Теоретична га практична цінністі Робота е теоретичним дослідивши». Результати дисертації можуть бути використані при дослідженні близьюос адитивних задач теорії чисел, в теорії рцців Діріхле, як матеріал для спецкурсів по спе ціальності "математика" математичних факультетів ВУЗІв України.

Апробація роботи. Результати дисертації доповідались на Всесоюзній науковій конференції "Теорія чисел та її застосування" /Тбілісі,1985/, Всесоюзній школі "Конструктивні метода* та алгоритми теорії чисел"/МІнськ,І989/, Республіканській науково-теоретичній конференції "Теорія чисел та її застосування /Ташкент,1990/, Республіканській науково-методичній конференції до 200-рІччя з дня народнсішя М.І,Лобачевського /Одеса,1992/, на наукових семінарах кафедри алгебрі та теорїї чисел Одеського держуніверситету.

Публійаці ї . Основні результати дисертації опублі ковані в роботах.-. Г І 2 — Г 7 2. В роботах Е 5 3,Г6 3 результат належать порівну кодному з авторів.

Структура та об'єм дисертації. Дисертація містить 146 сторінок машинописного тексту І складається Із вступу, трьох глав та списка літератури з 35 найменувань. .

ЗМІСТ РОБОТИ •

У вступі подано деякі Історичні відомості та огляд результатів, близьких до проблем, що вивчаються в роботі. Крім того, коротко викладаються результати, одержані в дисер'їцЙ.

В першій главі будується асимптотична формула для суматор-ноі функції 0 _

ft«

де (2,Ср= 1 , 2^(н) - кількість зображень натурального а

первісною додатньо означеною бінарною квадратичною Формою |(ас,у)=Ожг+Взсу ^С-у1 . Викорістовуючи відповідність .між лсіма класами властиво еквівалентів« первісних додатньо означення квадратичних гформ фундаментального дискримінанта (- о() / оі > О / та групою класів Ідеалів уявного квадратичного поля О. (л/-сГ) /дав., наприклад, 7) 1 методом твірних радів Діріхле одержуємо

де _

fe’ZL ¥ 'A Zj,®Z(* .S,C), Re S > і; изЄ(ср 4 V' 7^ f ■ .

oteC •

oí.* O ___

G - клас Ідеалів уявного квадратичного поля Q. (^~d ) , Ц>(іг} -функція Ейлера, г- характер Діріхле fnool , характер групи класів лишок Ідеалів класу Ідеалів С по модулю деякого цілого Ідеіла (X е надану випадку вибрано спеціальним чином, а саме HCoi)=^£j,(^(c¿)) , де pJ(«Q - норма елемента oíe¡S(v-j) ,

тобто М (і) = сі оС ,

Далі, з використанням Функціональних рівнянь 2-функцій і. 0KK0 . Z(4.C) ,E(s,S,c) та оцінки спеціальної тригономст-ричної суми компляксчим Інтегрування1# доводиться основна

7) БоревичЗ.И., Шізпревяч И.Р., Тсория 'гасел.- М.,Наука,IS72.-495 с.

ТВ0РВ.ІЛ І. Нехай %л , С^.^) = СІо і

- первісна додатньо означена квадратична форма фуццамен-тального дзіскрішін-гкта (-о!) ^ сі, - дискримінант поля 2|(и,) - кількість зображень й, формоя ^ , ^(Н) - кількість неодинаковнх простих дільників п, , (^) - символ Лежандра. Тоді при *-» оо рівномірно по ОН^ Е(Уі ' ма*

місце асимптотична формула ;

Ця тоорша I з^верпуе першу главу роботи. •

В другій тлаві будуються асимптотичні формули для сумато)

них функцій від' К(н) - кількості зображень натурального И/ 2 ^ - . . формою на спеціальних послідовностях

натуральних чисел /перші три параграфи глави/ та для випадку,

коли враховусаься "геометрія” чисел /четвертий параграф глави/

Більш точно, в перших трьох параграфах будуються відповідно асі

птотичні формули для ' .

ЇЦи-Дф ; "Ці ,

. ия£с^)

имцц); Одчі^-г.! ,

(иС'іс^п. и2*о*ПО^ ■

£3(^4)- \ якс!° п

пйсс { 0 , Інакше

При дослідженні й і (ос; ї.ср / і - 1,2,ї / використовується метод твірних рядів ДІрІхле з твіріпши функціями, відповідно

' Р2(5) = 5? <5,~)- ^ йе 5 > і .

І \Я «‘-еге« » £ '

. ■ Ж«маі<9

.. • ^Л.ІіС'иоіо) * * у6ь •

(гМі)Мецг •

де- Ь * ^ІДЯ\ , 6,€[ос-^, ог] , Б4є[*. >0) - дзета-

функція ГурвІца

>22, -5

. 0<<Хіі, Ка :>>і,

ЦаО

та Н(6) ,2 (£,оі) - дзета-функції Гегосе

Н<3) = 2(5,0.о) ; ^.с^о);

&і 5р(5”р>)

‘2(5Л^=21 0 ,5:г- , Ке5>1>5р(0І)=2!?Є0І1^)^.

5 є ЯКІ N (Ь+іі) 1

■ 3*-о£ .

Дослідження Я, <ое • ■) змусило нао побудувати два функціональні

рівняння ряцанівського типу .

л® . .гзге(ар)

Ч>(5Ар) = 21. гг . Ке 3 > і ,

п.е2 \Л*ЛГ

П^-об .

ф($д) = ^д)Л0м-<*.) , йеЫ.

Ч'СбД)* 21 ~|4 , Ін«-і^л(іг)е ( .

и еж "гМ

. п+о

ВищенаведенІ функціональні рівняння дала зиогу при дослідженні дзет і-функцІІ Гурвіца ^($Д) скористатися результата!«! А.5.Лаври ка /даз. 8) / про набліг..анІ функціональні рівняння даетя-по-дібних функцій, які мають функціональні рівняння риманівського типу, та побудувати нао'лнжене функціональне рівняння для ^(БД) що дало можливість довести для ^(^Д) аналог теореми про середній квадрат дзета-функції Римонаї

ТЕОРША 2. Нехай ,0<І < ,Т>Т0 * 2. .^(ЪД) -

дзета-функція Гурвіца. Тсді при Т—» *>*> має місце оцінка

б) Ловрик А.$., Приближенные Функциональные уравнения (Ьункций Дирихле// Язв. А'! СССР, сер. мата;.- 1968.~ т.32,№ I,-С. 134 -185.

Основними результатній перших трьох параграфів другої глави роботи е тімчотіодані асимптотичні формули;

ТЕОРЕМА 3. Нехай к , І ,^е ІЬІ , (Ц;= І . Тоді при ЗС-* ел для X має ііісцп асимптотична формула

^ А(Ц>. -

де А(і(р=2НП/е^за'едМ- стала ЕЯлера, похідна ЦзДі,) , - неголовний характер по Пяосі к , И^) -

І, -функція ДІрІхлв. .

ТЕОРЕМА 4^ Нехай П , 2 , С^Є іН , (Ц)* 1 . Тоді при для мав місце асимптотична формула

<За(*;Ц') ■ ^ р(м/ій^'і ф®^(!іЧ|)Д,(!Чі),

^..,0^1*0,^)'

■» /<Еф-К«,Ч) Я'Г\ч1-^) , 0<«ЦИ2,

Л,(Ц)-ЛГ(2^$-3^2) + 29-4і,(і^)+ А»(Ц1 ,

Дг(8,(|) - обчислювана стала така, що 4і(Ц) , У% < . ГЕОРЕМА- 5. Нехай И.Д,0,€ІК О-ф* 1 . Тоді ари.,»;??*-

^/ілт £ ’

%пя (^4 X мав місце асимптотична формула

+о№ЬоіГі\ %

де /^(Ц) - Із теорем 4/, в((

ВД<^ додатні функції такі» що ^ * ^(2,^) <* 1 .

В четвертому параграфі другої глави роботи при аобра-цеїші ' . ■ 2 2 натурального и. формою ) X сума квадратів

^ і 1 • ,

Х + у Інт ерпретувться як норма цілого гаусового числа

І будується асимптотична формула для судаторної функції від кількості зображень натурального и, згаданою фориои при ухові» що гаусове число Ос+^у належить певному сектору Таким чином, вивчається суматорна_£ушсцІя

И.* Ой

іга£(т<«{ф , .

• 4>,<ia^(u*W)<ift - .

• и.С.мГЄ2, •

Використання при цьому метода Е.Лаадау /дав, 9) / пов»язано з дослідження« асимптотичного поводження суматорної функції

~ 2L RmOO ,

H4Ä . • •

И.8Цто<Ц)

Дв - '

RmCn)= 5LexP^int<toa(U4ii/)} .

V4,j-,j-e2i 4

(uW>x<re|-t ,

9) Landau E. tjfcefc tjdeate und РгімЬсІеаІе ih. tJcteaLki-ftfise«./i Molk. ?eii- <9i8,64.2.- s.52-154.

Як І в попередніх дослідженнях, асимптотична формула дли S*n(») будується методом твірних рядів ДІрІхле. Твірною функцією в цьому випадку в .

■ Res>l.

(*?*ЄНз*

Д0 J^Cs.O)- дзета-функція Г^віца, а '

' __ <W¡ ^

со є 2t¿ J

СО*-ОІ -

Основним результатом четвертого параграфу другої глави fe ТЕОРШ 6. Нехай г:,<Д ,<£« IR ; £ , (Ц) = і ,

£ - як завгодно малі додатні числа такі, що §>£,-* í.£ .

У2-6 „ $-<

Тоді при се-» оо для fys ОС та Ч*-1# »(Jcoíe) мае

місце асимптотична формула

де В,((Ц) , &г(2,<^} ^(Ц,) Із теореми 5.

Третя глава дисертаційної роботи, по складається з двох параграфів, носить допоміжний характер. В НІЛ даються оцінки двох спеціальних тригоночетрічних сум зведенням їх до повних та нєповїих с}и Гауса чи Клостермана. ЦІ оцінки використовуються при побудові асимптотичних формул в попоре,гтіііх главах дисерта-

ції. Основним результатом глави третьої с

ТЕОРЕЛА 7. Нехай 0„ ûz ,03Є'2; , (Ц)=1 ;

Нехай ще ,

. U,rU*,U»(*noolo') ’

«+u*)uss£(<p

Тоді при С^-» 00 нас місце оцінка ,

з абсолютно» сталою в символі « . Тут ~^(°г) - кількість

неодинаковгес простих дІль:гикІв .

OchobhL результати дисертації опубліковані в роботах:

1. Федоровский C.B. О числах вида ії*(ціог)иї в арифметически прогрессии // Бсес. кс"ф. "Теория чисел и ее приложения":

Тезиси докладов,- Тбилиси, 1985,- С. 278-279.

• - ■* • .

2. Федоровский С.В. О числах вида K=(uV/)uT // Qn. ун-т,-Одесса.ІИ?.- 21с,- Деп. в УкрНШНГИ 16.12.87, IP ЗГ58-Ук87

3. Федоровский C.B. Функция R(ri) на арифметической прогрессии Всес. окола "Конструктивные методы и алгоритм теории чисе, Тезиси докладов,- Микок,І5Є9.- С.153,

4. Федоровский С.В. О некоторых тригонометрических суммах тип сумм Клостермана // Респ. научн.-тзорет. конф. "Теория чмс и ее прило:?°ния": Тезисы докл.- Ташкент,1990,- С.125.

5. Варбанец П.Д..Федоровсіотй C.B. Приближенное функциональное

уравнение для Н Одес. ун-т.- Одесса,1989,- 17 с,-

Деп. в /крІЗКГШІ 14,04.ВУ, » ЬП - Ук 89.

6. Белозеров Г.С.,Тодоровский С.В. Сб оценка специальніос триг