Различные типы квазинепрерывности и их применение тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Лыивсышй нацшналышн ушверситет ^^ ¡мет 1вана Франка

/ На правахрукопису

Нестеренко Василь Володнмирович

УДК 517.51

Р13Н1 ТИПИ КВА31НЕПЕРЕРВНОСТ1 ТА IX ЗАСТОСУВАННЯ

01.01.01 — математпчнпм анал1з

АВТОРЕФЕРАТ

днсертацп па здобуття паукового ступени кандидата (¡нзнко-математнчних наук

Льв1в - 1999

Дисертащею е рукопис

Робота виконана на кафедр1 математичного анашзу Чершвецького державного ушверситету ш. IOpin Федьковича.

Науковий кер1вник кандидат фЬико-математичних наук, доцент

Маслюченко Володнмир Кириловпч,

Чершвецький державний ушверситет

¡меш Юр1я Федьковича,

доцент кафедри математичного анал13у

Офщшш опоненти доктор ф^зико-математичних наук, професор

Петушн Юрш 1вановнч,

Кшвський нащональний ушверситет ¡меш Тараса Шевченка, • професор кафедри обчислювальшм математики;

кандидат ф^зико-магематичних наук, доцент

Банах Тарас Онуфршович,

Льв1вський нащональний ушверситет

¡меш1вана Франка,

доцент кафедри алгебри 1 топологи

Прошдна установа 1нститут математики HAH Укра'ши, м. Кшв

Захист вщбудеться ^upyujylo 2000 р. о 45~ годпж на

засщанш спещал1зовано1 вченоУ ради Д 35.05.07 у Льв1вському нацюнальному ушверсител ¡меш 1вана Франка за адресою: 290602, м. JlbBiB, вул. Ушверситетська 1, ауд. 377

3 дисертащею можна ознайомитися у 6i6jiioTCui Льв1вського нацюнального ушверситету ¡меш 1вана Франка (м. Льв1в, вул. Драгоманова, 5).

Автореферат розклано {9. Oj.U>QO^.

Вчений секретар ¡г

спещал1зоваио1 вченоУ ради /¿"¡гк-^ Я.В. Микитюк

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ Актуальшсть теми. Поняття квазшеперервносп, що було ведсне у 1932 рощ С.Кемшстим, природно виникае у звязку дослщженням сукупнсн неперервносп нар1зно неперервних )ункцш /(.Т1,..., хп) в1д п змпших, кваошеперервшсть яких становили В.Вольтерра, Р.Бср (1898) 1 Г.Ган (1919) задовго о С.Кемшстого. Для нар!зно неперервних функщй /(хх,..., хп) )ункщя /Хп(х1,..., х'п_1) = /(хь ..., жп_1, хп) часто виявлясться вазшеперервною в1дносно сукупност1 змшних Х1,...,жп_х 1 ому виникае задача: вивчити множину точок сукупно1 непе-ервност1 функщй /(х,у), яю квазшеперервш вщносно х I не-ерервш вщносно у (функцп з класу КС). Вщповщна щеоло-\я розроблялась в працях Дж.Бреккенрщж 1 Т.Шппури (1976), ¡.Маслюченка (1990), Ж.-П.Труалл1ка (1990) 1 Ж.Гансела та К. - И. Тру ал;п к а (1992).

К.Бебель (1926) шд назвою умова (А) також ув1в певну умову ипу квазшеперервност! для функщй двох змшних, заданих на. обутках паралелепшед1в, 1 застосував и при дослщженш су-уппоУ неперервност! функщй трьох дшсних змшних. Г. Ган 1932) перенос умову (А) Бебеля на випадок фупкцш, що за-аш на добутку метричних простор!в, назвавши функцп, що адовольняють умов! (А) В-функщями, i застосував В-функцп ри вивченш сукунно1 неперевпосп нарЬно неперервних функ-ш вщ багатьох змшних. Впродовж тривалого часу ш резуль-атп К. Бебеля 1 Г. Гана залишалися поза увагою численних [атематшав, що вивчали поняття квазшеперервносгл та його налоги. Наприклад, у ведомому огляд! Т. Нойбрунна (1987), де роанал1зовано багато роб1т про квазшеперервш вщображсння, они не згадуготься. Лише в 1996 рощ умова Бег'еля була пере-есена нами на випадок вщображень тополопчних простор1в 1 азвана горизонтальною квазшеперервшстю. У зв'язку з цим иникло природне питания про досл1джспня на. сукупну непере-вшсть вщображеиь з класу А/, С, що горизонтально квазше-ерервш 1 неперервш вщносно другоУ змшноУ, в найзагальшшш итуацп, подобно до того, як це рашше робилося для в1добра-сень з класу КС чи нав1ть КС. При пор1вняпш отриманих результат1в з ввдомими стала ак-

туальною задача про звязки зшж класами КС, KWC i КнС, яка привела до питания про наявшсть точок симетрично'] квазше-перервнослч у квазшеперервних функцш, що paninie вивча-лося тшьки для функцш з клас.у КС в роботах С.Кемшстого (1932), Н.Мартша (1961), Дж.Бреккенрщжа i Т.Н'шйури (1976), З.Пьотровського (1978, 1980), Дж.Л! i З.Пьотровського (1985). KpiM того, природно постали обернет задачу а також питания про застосування отриманих результате до функций багатьох змшних та многозначних вщображень. Розробщ цих актуаль-них проблем i присвячена дана дисертащя.

Зв'язок роботи а науковими програмами, планами, темами. Рсзультати диссртаци отримаш у рамках наукових дослщжень, яю проводились на кафедр1 математичного анал1зу Чершвецького державного ушверситету iMeiii lOpifl Федько-вича. Тематика дисертаци пов'язана з науково-дослщними роботами "Дослщження властивостей вщображень в абстрактних просторах" (номер реестрацн - 6683).

Мета i задач1 дослщжень. Метою дисертаци с визна-чення типу множини точок кваз1неперервност1, виявлення точок неперервносп вщображень з к ласу К^С на горизонталях та неперервних кривих, опис квазшеперервних та симетрично квазшеперервних вщображень, виявлення зв'язку Mi ж класами КС, KWC i KhC, розв'язання р1зпомаштних обернеиих задач пов'язаних з квазшеперервшстю, а також перенесения основ-них результатов дослщжень на випадок функцш багатьох змш-них та многозначних вщображень.

Наукова новизна одержаних результате. Bei одержан! результати с новими. В дисертаци встановлено тин множини точок квазшеперервност1 для функцш визначених на R. Показано, що вщображення двох змшних точково розривне, якщо воно горизонтально квазшеперервне i точково розривне вщ-'носно другоУ змшноУ, а також встановлено, що воображения з класу КhС мае всюди щшьну множшгу точок неперервност! на кожшй горизонтали та кожнш неперервнш кривш. Встановлено, що квазшеиерервне за сукушнстю змшних вщображення / : X х Y —> Z мае точки симетрично!' квазшеперервност! при певних умовах на простори. Використовуючи цей факт одер-

кано опис кваошеперервних та симетрично квазпхеперервних .¡дображень, а також встановлено умови на простори, при яких \С = KWC = KhC. KpiM того, розв'язанно основт обернет ¡адачй пов'язахп з квазшеперервнютю та перенесено деяю ре-»ультати дослщжень на випадок функщй багатьох змшннх та .шогозначних »¡дображень.

Практично значения одержаних реоульта-Нв. Резуль-LdTii дисертацн носять теоретичний характер. Вони можуть jyrii використаш в загальшй Teopi'i функщй, топологи та функциональному аиалюь

Особистий внесок одобувача. Bei науков1 результати, 'хлючехй в днеертацпо, одер л< а но здобувачем особисто. В :,;нц51Х [1, 2, 4, 5, 7, 8] В.Маслюченку належать постановки за-uvi та в робот! [2] перша частпна ста.тт1, а в [1, 7] В. Михай-::оку - 1дея доведения теореми 1 для вииадку дшених змшних. Апробацих роботи. Результати дисертацн доповцт,ались Всеукра'шськш науковш конференцп, присвяченш пам'ят1 П. Каз1м1рського, у Львов1 (1995), науковш конференцп', присвяченш пам'ялл В. Левицького, у Tepiiononi (1997), на ¡шжнарод-riiix нлукових конференции "Су части нроблемл математики" ¡1998) i "100 рокхв дисертацн Р. Бера" (1999) у Чершвцях, ем науковш ceciV НТШ в Чершвцях (1999), на ceMmapi з "За-гальноУ Teopi'i функщй та функцюналыхого аналЬзу"', пауковому ceMiiiapi математичного факультету у Чершвецькому державному ушверситеал (1995 - 1999) та паукових семнхарах у JlbBiß-ському университета

Публжацп. OcnoBHi результати дисертацй' опублковаш у восьми роботах, список яких подано в кшщ реферату. 3 них три надруковаш у виданнях з [терелпчлв. затверджених ВАК УкраУни.

Структура i об'ем роботи. Дисертащя складаеться з

ПСТупу, ЧОТИрЬОХ рОЗДШВ, рОЗбиТИХ На ШДрОЗдЬпТ, ВИСНОВХОВ

i списку використаних джерел. Обсяг дисертацй' - 107 сторнюк. Список використаних дл<ерел вклхочас 65 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМ1СТ РОБОТИ

У встуш подано загальну характеристику роботи, виамтлеп< стан науково!" проблеми, обгрунтовано актуальшсть теми, сфор мульовано мету та задач! дослщження.

В першому роздш зроблено огляд л1тератури за темой дисертащ!', викладено основш допом1жш поняття та теореми пов'язаш з напрямком дослщження.

В другому роздш! розв'язана обернена задача до теорем! Маркуса, встаыовлено тип множшш тонок квазшеперервност! застосована горизонтальна квазшеиерервшсть до точково ро зривних вщображепь. Перин два пщроздЬш 2.1 1 2.2 носять шд готовчий характер.

Ыехай Р I Z - тополопчш простори, <3 - деяка система пщ-множин простору Р, ро £ Р 1 / : Р 2 - вщображення. Мг кажемо, що воображения / е д-квазтеперервним у точг{« р0 якщо для кожного околу IV точки го = /(ро) в простор! Z : для кожного околу О точки ро в простор! Р 1снус така мно-жина 5' 6 Я., що 3 С О \ /(£') С IV. Якщо вщображення / с £/-квазшеперсрвним у кожнш точщ ро € Р, то кажуть, що / с 0-квазмепсрервпим. Звичайна квазгнепереронгсть одержусться, коли ми за д беремо систему вс!х вщкритих непорожшх множнн У Р-

Нехай Р — X х У - тополопчний добуток просторов А' ! У, ро = (жо,уо), тгх Р X \ '■ Р У ~ проекци простору Р вщповщно на простори X ! У. Позначимо через 0Х° чи, вщповщно, @Уо систему вах в!дкритих в Р ! непорожшх множим С, для яких а,'о € тгд-(б') чи, вщповщно, у0 е <гу(0). Вщо-браження називаеться симетричио к в а зтспсрсрои и л г вгдносно х чи, вщповщно, у о точцг ро, якщо воно С/^-квазшеперервне чи, в!дпов!дно, (^„-квагзшеперервне у цш точц!. Позначимо через Их систему вах множин виду II х {?/}, де И - вщкрита непорожня множин в X, у довшьна точка з У. Аналогично через Лу позначимо систему вах множин виду {ж} х V, де V - вщкрита непорожня множина в У, х довшьна точка з А'. Вщображення / : Р —> Z називасться горизонтально чи, вщповщно, вертикально квазЫеперсроним о точщро, якщо воно %х-квазшеперервне чи, вщповщно, ?{у-квазшеперервне в цш

точщ. Якщо вщображення / симетрично квазшеперервне вщ-носно х чи у, горизонтально чи вертикально квазшеперервне в кожши точщ ро £ Р, то кажуть що / е симетрично квазтепере-рвне вгдносно х чи у, горизонтально чи вертикально квазте-перервне. Квазшеперервш воображения / : Р назива-

ються ще сукупно кваз1неперервними.

Позначимо через клас вс1х вщображень / :

X х У --> /у, ям горизонтально квазшеперервш 1 неперервш вущосио друго!" змшно!', а через КС(Х, У, 2) - клас вах в ¡добр а-жень / : X хУ —)■ 2.як! квазшеперервш вщпосно першоТ змшно1 П1)и всIX значениях другоГ змшноУ, що пробшають деяку всюди гщльну в У множину (свою для кожного воображения), 1 неперервш вщносно друго1 змшноГ. Для вщображення / : X х У —> 2 1 точки х 6 X через КТ(/) позначимо множину вах тих точок у € У, для яких воображения /у : /V —> с квазшеперервним у точщ х. Введемо ще один клас вщображень, який ми нозна-чатимемо КШС(Х,У^). Сюди ми вщнесемо вс1 вщображення

/ : А' х У —У Z для яких Кх(/) = У для кожного х £ X \ яга неперервш вщносно у.

Надал1 ¡под! для спрощення замкть КьС(Х, У, КС'(Х, У. г/) 1 КШС(Х, У, 2) будемо гшеати вщповщно ЛдС,

КС \ ЖШС.

Для довшышх тополопчних простор1в легко встановнти таю включения

кс\х, у, г) с к,ис(х, у, г) с к\с(х, у, г).

Горизонтальна квазшеперервшеть, яка е одним 1з основних ¡нструмен'пв доопдження, в деяких теоремах використовуеться не в повшй м!рК а застосовуеться тшыш така и властивкть.

Лема 2.2.7. Иехай X, У 1 Z - тополог^чиг простори, О -вгдкрита мноэюина, мноэюина Л щыьна в С I / : X хУ Z -горизонтально квазтеперервне воображения. Тод1 мае мгеце включения

1(0 X У) С ДА х У).

Добре вщома теорема про тс, що множина тонок неперерв-ност1 С(/) квазшеперервного воображения / : X —> У, де X -тополопчний прост'ф, У - метричний, або задовольняс другу аксюму зл1ченност1, е залишковою множиною. В шдрозднп '2.3 розв'язана обернена задача до щеУ теореми в том}' випадку, коли X — У — II.

Теорема 2.3.7. Исхай В - тдмножина 13. першог категоргг г типу Гс,. Тод1 гснуе квазтеперервна функцгя / : И —> Л, така, що — В.

Дослщженню типу множини К(/) точок квазшеперервност1 вщображення / : И, —> II присвячено шдроздш 2.4. Там встано-влена такий результат.

Теорема 2.4.1. Нехай А г В тдмножини И i А = Для

того щоб гснувала функщя / : И —> И, така, що К(/) = А, необхгдно г доситъ, щоб для кожиог вгдкритог непорожнъог множини С виконусться альтернатива: або А не с щглъною в С, або В П (7 - множина першог категори.

Побудовою функций з даними множинами точок неперерв-ност!, квазшеиерервносгп 1 юпковостч займались також Я.Еверт I Я.Лшшський (1988).

Необхщшсть в теорем1 2.4.1 насправд1 мае м!сце в загаль-шшш ситуацп 1 випливае з такого результату.

Теорема 2.4.2. Пехай X - бер1всъкий просгтр, що задовольняс другу аксюму злгченностт, У - метризовний простгр, / : X —> У - деяке вгдображення, О - в1дкрита непорожня множина в X, А — К(/) г В = £(/). Тодг або А не е щглъною в С, або В П С - множина першог категоргг.

В класичшй роб о С. Кемшстого (1932) використовуючи по-няття квазшеперервност1 зверху I знизу, показано, що функщя, яка точково розривна вщносно одшсТ змшноУ I квазшеперервпа вщносно кожноТ з шшнх змшних, с точково розривною. До результат, яю пов'язаш з точковою розрившстю слщ в1днести також другу теорему про неперервшсть К.Бег'еля. В гидроздЫ 2.5 резузьтати С.Кемшстого \ К.Бебеля узагальнюються, при-чому застосовуеться завам шли методи м1ркувань.

Теорема 2.5.2. Пехай X - топологгчний просттр, У -бергвський просттр, який мае злгченну псевдобазу, Я - метра-

зоопий простгр г / : X х У -Л '1- горизонтально коазгие-перервне отображения, яке точково розрионе в1дносно другог змтног г Ст(/) — {у £ У : (ж, у) £ С(/)}. Тод( миожииа

А = {.т е X : С*(/) = К} - залишкова в X.

Якщо в попереднш теорем! на прост!р X накласти ще умову беровоелл, то в!дображепня / буде точково розривне. Под1бш результати шшим способом отрималп В.Маслюченко 1 В.Михайлюк.

В цьому ж шдроздш встановлена ще одна властивкть горизонтально! квазшеперервностк

Теорема 2.5.1. Нехай X - тополог1чутй прост1р, прост(р У мае зл1ченну псевдобазу, Г1 - метпричний проатр, / : X х У —> 2 - горизонтально квазтеперервне вгдображення г ВХу€(/) — {у £ У : ш/ (х) < г}. Тодг для кожного е > О

множила Ле(/) = {а; 6 I : Д^Д/) = У} - залишкова.

Третш роздш присв'яченнй питанию наявност! точок непе-рсрвност1 вщображенъ / : X х У 2 з класу К^С, як! горизонтально квазшеперервш ! неперервш вщносно другоУ змшноУ. В шдроздш 3.1 мова йде про точки неперервност! вщображень з класу КкС на горизонталях, а також про кваошеперервшеть вщображень з цього класу.

Пехай X, У \ 2 - тополопчш простори ! / : X х У —у 2 -вщображення. Для множшт Е С ХхУ ! точки у £ У иокладемо Еу = { х £ X : (х, у) £ Е}. Ми кажемо, що вщображення / мае властивгстъ Бестона, якщо для кожного у £ У множина <?„(/) = Еу, де Е — С(/), залишкова в X.

Розвиваючи перв!сний метод Бебеля ! застосовуючи теорему Банаха про категорпо, ми одержусмо наступну теорему, яка узагальшос результати К.Бебеля ! Г.Гана.

Теорема 3.1.4. Нехай X - тополог{чпий простгр, У -зидоволъияе першу аксгому злгченностг, 2 - метризовиий проатр I / : X х У —V 2 - горизонтально квазгнеперервне в1добраэюепня, яке неперервне вгдносно другог змтног. Тод1 / мае властивгстъ Вестона.

В дисертацй наводиться ! шше дведепня щсУ теореми, яке ве-деться в!д супротивного категорним методом з допомогою не-

обхщних сортувань. Використовуючи теорему 3.1.4, в poôoTi отрпмана наступна тсоорема про квазшеперервшсть вщобра-жень з к ласу К h С.

Теорема 3.1.6. Нехай X - бцпвсъкий npocmip, Y -задовольпяе першу аксюму зл1чеиност1} Z - метризовний npocmip if : X х У —f Z - горизонтально квазисеперервне огдображен'ня, яке непсрервне oidnocno другог зммпог. Todi f квазмгеперсрвне.

Аналопчш результата про симетричну квазшеперервшсть вщображень з класу КС о три.мал и С.Кемшстий, Н.Мартш, Дж.Бреккснр1дж i T.Hiiniypa та З.Пьотровсышй.

В шдроодип 3.2 вивчаеться иасичешсть множили точок не-перервност! вщображення / : А' х Y —У Z з класу I\hC вертикалями. Використовуючи горизонтальну квазшеперервшсть, одержано достатш умови наспченосп множини С(/) вертикалями, яю T04Hiini iii>K умови Дж.Кальбр1 та Дж.Труалпка для вщображень з класу С С i В.Маслюченка для КС.

Введемо в розгляд множину Cy(f) = {.т G X : {.т} х Y С С(/)}. Ми кажемо, що вщображення f : X х Y -ï Z мае ола-cmueicmb Гана, якщо множина Су (J) залишкова в X.

Теорема 3.2.1. Нехай X - топологгчний npocmip, Y задовольняе. другу аксгому злгченност1, Z - метризовний npocmip if : X x Y -ï Z - горизонтально квазтеперервне i неперервне eidttocHo другог з.нпшог eidoâpazicenHX. Todi мно-жина

Cy(f) = {a- G A : {*} x У Ç C(f)}

залишкова в X.

В шдроздш! 3.3 перенесено теорему 3.1.4 на випадок не-перервних кривих i тим самим узагальнено класичш резуль-тати Р.Вера i С.Кемшстого про паявшсть точок непсрервност1 napi3iio неперервних функцш на неперервних кривих i поверх-нях. Для множини Е в добутку А х У i точки x G X покладемо

Е* = {у С Y : (х,у) € Е}.

Нехай g : X —ï Y - неперервне вщображення i L — {(x,g(x)) : x G А"} - вщповщна крива в добутку X х У. Ми будемо гово-

рити, що крива Ь с зялчетюго типу, якщо ¡снуе послщовшсть вщкритих множин \¥п в X х У, така, що для кожного х 6 X система {И^ : п £ N1 утворюе баоу окол1в точки д(х) в У. Якщо проспр У метризовний, то кож на неперервна крива в X х У, яка е графшом неперервного воображения д : X —> У, с кривою зл1ченного типу.

Теорема 3.3.2. Нехай X г У - тополог1чт простори, 2 -метризовний проспйр, (йд поражения / : X х У —> X - горизонтально кваз1неперервне г неперервне вгдносно другог змЫно'г г Ь '■ У — з(х) неперервна крива ,зл1ченного типу в X х У. Тод1 множима

СтМ) = {хеХ:{х,д(х))еС(/)}

с типу 0$ г залишкова в X.

В роздьтн IV дисертацп встаповлено ще одш достатш умови сукуштоУ квазшеперервпос'п, характернзацн симетричноТ квазшепсрервносяч та квазшепсрсрвносп, розглянуто питания про зв'язки м1ж ркппши класами шдображеиь, а також перенесено деяк1 результати на випадок вщображень В1д багатьох змпших та многозначних вщображень.

В шдроздш 4.1 одержано теорему про сукупну квазшепере-рвшсть вщображень з класу К), К.

Теорема 4.1.2. Нехай X - бергвський проспйр, У задовольняс другу аксгому зллченпоат, ГА - регул ярний проспйр г вгдображспня / : А' х У —у Ъ горизонтально квазЫепсрервне I квазЫепсрервне в(дноспо другог змгнног. 'Годг вгдображения / квазЫепсрервне за сукупнгстю змЫних.

Ця теорема узагалыпое результати С.Кемшстого (для дшс-них змпших) I П.Мартша (замшено квазшеперервшсть вщ-носно першоУ пм 11Ш01 на горизонтальну квазшеперервшсть 1 }гмову метричносал простору £ па р^гуляршсть).

Кр]м того, показано, що горизонтально 1 вертикально квазшеперервш функцп вже не зобов'язаш бути квазшеперерв-ними (приклад 4.1.3). Бшыне того, нав1ть додаткова умова точ-ково1 розривпосп функцп / : X х У —\ 2 не гарантус квазше-перервност1 за сукупшстю змпших. Але якщо на горизонтально \ вертикально квазшеперервпу функцно накласти трохи силь-шшу умову шж точкова розрнвшсть, яка також пов'язана з на-

явшстю точок неиерервнос/п функцп, то це дасть нам квазше перервшсть функцп за сукупшстю змшнпх.

Позначимо символом ДД/) множину точок х 6 X, таких, щс вщображення / : X хУ —>• Z розривне в точщ (ж, у).

Теорема 4.1.4. Нехай X, Y i Z топологгчнг простори f : X X V —> Z - горизонтально i вертикально квазте перервне вгдображенпя i множина M — {у 6 Y : Dy(f) -десь щыъна в X} - Hide не щыъна в Y. Todi eidoopaoicenm f квазшеперервнс за сукупнгстю змтних.

Paiiiuie вже були згадаш результата С.Кемшстого И.Мартша, Дж.Бреккещйджа i T.Hiiniypii та З.Пьотровськогс про симетричну квазшеперервшсть в!дображень з класу КС Виявляеться, що i просто сукупно квазшеперервш вщобра-ження також будуть симетрпчно квазшеперервними у багатьо> точках. Вщповщний результата встановлюеться у шдроздш: 4.2.

Теорема 4.2.1. Нехай npoemip X задоволъняе другу аксюмя зл1ченност1, npoemip Y - метричний або задоволъияе друг] aKcioMy зллченноспи, Z - сепарабельний мстризовний тополо-гЬший npoemip i вiдoбpaжeння f : A' x Y —y Z квазтеперерв'не, Todi ienye залигикова в Y множина В, така, що eido6paoicenHi f симетрично квазгнеперервне вгдносно у в кожпт точи,г до-бутку X х В.

Ця теорема дае можливкть встановити необхщш i достатш умови квазшеперервностц яю доводяться в наступноыу шдроздш.

Перша теорема дас характерпзащю сукупно!" квазшеперерв-

hoctï.

Теорема 4.3.2. Нехай npoemip X задоволъняе другу ак-cioMy злгч.синостг, Y - 6epiecbKim npoemip, який метризовниь бо задоволъняе другу акелому злгченноетг, Z - еепарабелънии метризовний npoemip. Biдoбpaэ¡ceння f : X x Y —» Z 6ydt квазп1е.перервиим modi i тллъки modi, коли f с вертикально квазмгеперервиим i ienye в сю du щыъна в Y лшожина другое категори В, така, що в id обр а oie с пня [у - к в a sin е п ер с]>вне для кожного у G В.

Наступнип результат дае характеризацпо симетрично!

квазшеперервность

Теорема 4.3.5. Нехай X - бергвсъкий npocmip, npocmip Y задовольняс першу акЫому ' зллченностл, Z - мстризовний npocmip. Вгдображенпя f : X xY —> Z симетрично коазтепе-рервне огдносно у modi i тгльки modi, коли для кожного у £ Y о^дображення fy : X —> Z коаз'т сп ер сран е i icnyc всюди ¡цгльна множина My типу Gs, така, що

Му С {* € А' : у € С( Л}.

Дж. Бреккенр]дж та Т. Hiiniypa (1976) встаповили, що воображения / : X х Y —> Z з I\C(X,Y, Z) мае всюди щшьну множину тонок iienepepBHOCTi на кожшй горизонтал! X х {у}, якщо А' - бер1вський npocTip, iipoc'rip Y задовольняе першу аксюму зл1ченнослл, Z - метричний npocTip. Насправд!, як показав В.Маслюченко (1999), що теорему молота розповсю-дити на ширший клас КС(Х, У, Z). Як вщзначалося вищс та-кий ж результат одержано в теорем] 3.1.4, тшьки для вщобра-жстгь з класу KhC(X, У, Z). Тому ириродно постало питания про взаемозв'язок цих двох клаав. Очевидно мае Micn,e таке

включения _

КС(X, У, Z) С IihC(X, Y, Z).

Взагал1 кажучи, включения в шший 6ii< для довклышх тополо-пчних npocTopin не правильне (приклади 4.4.1 i 4.4.2)

Як уже зазначалось, для довклышх тоиолопчиих npocTopie очевидннмп с таю включения

АС'(X, У, Z) С Ки,С(X, Y, Z) С KhC{X. Y, Z).

При певних умовах на простори ni три класи зб1гаються. Пор1в-няншо цнх та inniirx клаав присвячений шдроздш 4.4.

Сночатку було встановлено пролпжний результат, який дае piBuicTb класлв А'/,С = I(WC

Теорема 4.4.3. Пехай X г Y бергвскг простори, що за-доволъняють першу аксюму злгченностл i Z - мстризовний npocmip. Todi

KWC(X,Y,Z) = I<hC{X,Y,Z).

Пстм використовуючи теорему 3.1.6 про квазшеперервшсть вщображень з класу К^С 1 теорему 4.2.1 про симетричшсть квазшеперервного воображения встановлено р!вн!сть клаав

КС 1 кнс.

Теорема 4.4.5. Нехай X - бергвський прост1р, що задовольняс другу аксюму злгченносгт, У - бергвський простгр, який задовольняс другу аксюму зллченностл або ме-тричний г ГА сепарабельний метризовний топологгчний простгр. Тодг

ккс(х,у,г) = кс(х,у,г).

По/цбш р1вност1 аналогично встановлюються для клаав

КС, К „С \ КнС.

Теорема 4.4.4. Нсхай X г У - бср1вськг простори, прост1р X задовольняс першу аксюму зл1ченностг, проеттр У задовольняс другу аксюму зл1ченност1 г 2 - метризовний npocmip. Тодг

ккк(х, у, г) = ки,к(х, у, г).

Теорема 4.4.6. Нсхай X г У - бергвеьт простори, що за-довольняють другу аксюму злгченноам г Ъ - сепарабельний метризовний топологгчний простгр. Тодг

к11к(х,у,г) = кк{х7у,г).

В пщроздш 4.5 розв'язано обернену задачу до теореми 4.2.1 про точки симетричноТ квазтеперсрвиост1 квазшеперервних вщображень.

Теорема 4.5.4. Нехай А i В - множини пергиог категорп г типу Та на числовт прямы И. Тодг ¡снус квазтеперервна функцгя / : Л2 Л, така, що БД А с множиною точок егше-тричног кваз1неперервност1 вгдносно х г квазтеперервноегт

о1дносно у вгдображегтя f г И \ В с множиною тпочок симе-тричног к в аз гне п ер ер оно с т г вгдносно у г квазтеперервностл вгдносно х в1до5раження /.

На випадок вщображень вщ багатьох змшних перенесено те-ореми 3.1.4, 4.1.3 1 2.5.3 в шдроздЫ 4.6.

Теорема 4.6.1. Нехай Х\ х Х2 х ... х Ап_2 ~ бергвський простгр, Х2,Хп задовольняють першу аксгому зл1чеи-носгт, 2 - метризовпий простгр г вгдображегтя / : Х\ х Х2 х ... х Хп —2 иеперероне в(диосио змшиих Х2,...,хп зокрема г вгдображегтя /(о, о, ,тз,..., хп) горизонтально квазшеперервне для кожного набору (,гз,..., .г-,,) € А'3 х ... х Хп. Тодг множина

СХп = {(х!,...,.гп_1) € АЛ1 х ... х Л'„_1 : (.^1,..., жп_1, Хп) € С(/)}

с залишковою о просторг А^ х АГ2 х ... х Ап для кожного хп з простору Хп. Лкщо ж до того Х\ х Х2 х ... х А'гг_1 - бергвський просгтр, то вгдображення / коазтеперероне.

Теорема 4.6.2. Нехай X?,..., А'„_1 - бергвськг простори, простори Хо, А'3,.... Хп задовольняють другу аксгому зл1чен-ност1, А - регулярний простгр г вгдображення / : Х\ х А'2 х ... хЛ'„ —>• £ квазшеперервне вгдносно хп г с)ля кожного 1 < А; < ??, — 1 г кожного набору (х\,х2-.., ¿'¿-О € А'х х А'2 х ... х^-1 вгдображення д{х,у) = ¡(хи ...,хк-ихк,хш, ...,хп), дс х = хк,у = ,..., жп), горизонтально квазшеперервне. Тодг в1добра-ження / квазигспсрервне за сукупплсгпю змтних.

Теорема 4.6.3. Нехай Х\ ~ бергвський

простгр,Х2, А'з,..., Хп - бергвськг простори, яга мають злгченну псевдобазу, 2 - метризовпий просгтр г вгдображення / : Х\ х Х2 х ... х Хп —> 2 точково ро-зривне вгдносно хп г для кожного 1 < /с < п — 1 г кож-ггого набору (хх,х2...,хк_1) € х Х2 х ... х Аг{._г

вгдображення д(х,у) = ¡{хи ..., хк_ихк, хк+1, ...,хп), де х — хк,у = (хк+1,..., хп), горизонтально квазгиеггерервне. Тодг вгдображення / точково розривне за сукутпсгто змгн-них.

В шдроздш 4.7 розглядаютъея многозначш вщображепня 1 встановлено для них теорему под1бну до теореми 4.2.1.

Многозначним вщображеншгм Р : Р —»■ 2 називаеться правило, за яким кожному елементу р € Р ставиться у вщповщ-шсть множииа Р(р) С Z. Для многозначних вщображень ¡снуе два типи неперервностл 1 квазшеперервность Вщображення Р : Р —> 2 називаеться неперервпим зверху /знизу/ у точщ ро € Р. якщо для дов1льно1 вщкрито!' множини IV в Z, такоГ, що Р(р0) С \'\;(Р(ро) П ф 0) )снус оюл О точки ро в X, такий, що Р{р) ^ №(Р(р) П \¥ ф 0) для вс1х точок р € О. Вщображення Р : Р —> Z пеперервне зверху /знизу/, якщо воно неперервне зверху /знизз'/ в кожнш точщ.

Нехай 0 - деяка система шдмножгш простору Р. Вщобра-ження Р : Р —> Z називаеться ¿/-квазшеперервним зверху

/знизу/ у ТОЧЩ ро £ Р, ЯКЩО ДЛЯ ДОВШЬНО! 1МДК|)ИТ01 множини в простор! Z, тако!', що Р(ро) Я И/Т(/''(Ро) П \\г ф 0) I довшьиого околу О точки ро в Р ¡снус множина 0\ £ 0, така, що Ох С О \ Р(р) С П \¥ ф 0) для вс1х р € Воо-

бражения Р : Р —» Z називаеться ¿7-квазшеперервним зверху /знизу/, якщо воно (у-квазшеперервне в кожнш точщ.

Як 1 рашше беручи замкть Я систему вах вщкритих непо-рожшх множин простору Р, вщповщпу р-квазшеперервшеть зверху /знизу/ ми називатимемо просто квазшеперервшетю зверху /знизу/. Якщо Р = А' х У, то £/х°-квазшеперервшсть /знизу/, ¿/^-квазшеперервшеть зверху /знизу/, 7-{х'-квазшеперервшсть /знизу/ чи Ну-квазшенерервшеть зверху /знизу/ у точщ р0 = (жо,Уо) € А' х У називасться вщповщно спметричною квазшеперервшетю вщносно х зверху /знизу/, спметричною квазшеперервшетю вщиосно у зверху /знизу/, горизонтально квазшеперервшетю зверху /знизу/ чи вертикальною квазшеперервшетю зверху /знизу/ у точщ р0. Як 1 рашше, наприклад, вщображення Р : X х У називасться симетрично квазшеперервним вщносно х зверху, якщо воно е таким у кожнш точщ р £ X х У.

Теорема 4.7.1. Нехай проспир X задооольняс другу аксюльу злгченноспй, проспир У - метричний аоо задовольняс другу ак-сгому зллчстюстг, Z - проспир з другою акещмою злгчепноепп ?' в1дображення Р : X х У —>• Z коазгнеперервне знизу. Тодг ¡снус залишкооа о У множгина В, така, що в1дображення Р

метрично коазшеперервне знизу огдносно у о кожтй точщ ■)обутку X х В.

висновки

У дисертацшпш робст дослщлсуються властивосп квазше-терервних вщобрал<ень вщ одшеТ, двох та багатьох змшних. Зикорисговуючи горизонтально' квазшеперервшсть одержано зяд результатов про наявшсть тонок квазшеперервност1, симе-грпчно1 квазшеперервносп та неперервносчл для вщображень двох змшних. Кр1М того, одержано опис множини тонок <вазшеперервност1, характерпзацио квазшеперервност1 та си-летричноТ квазшеперервиоеп, а також розв'язано ряд оберне-шх задач пов'язапих з квазшеперервшстю.

Днсертащя мктить нов1 обгрунтоваш теоретичш результат!, як! е певпими внеском у загальну теорт функцш.

Ochobhí результати опубл!коваш в працях:

1. Маслюченко В.К., Михайлюк В. В., Нестеренко В.В. Си-летрнчна квазшеперервшсть сукупно кваошеперервних функ-# // Мат. Студп. - 1999. - Т;'и, N2. - С. 204-208.

2. Маслюченко В.К., Нестеренко В.В. Про неперервшсть iapÍ3iio неперервних вщобралсень па кривих // Мат.Студи. -1998. - 9, N 2. - С. 205 - 210.

3. Нестеренко В. В. Про множпну точок к в an i пен е р е р в но ст i '¡ Науковий bíciiiik Чершвецького ушверситету: Зб. наук. пр.

Вип.46. Математика. - Чершвщ: ЧДУ, 1999. - С. 104 - 106.

4. Маслюченко В. К., Нестеренко В. В. Про розвиток од-гого результату Бебеля // Всеукрашська наукова конференщя 'Розробка та застосування математнчпих метод')в в науково-гехшчних дослщлсеннях" прпсвячепа 70-р1ччю вщ дня паро-;ження проф. П. С. Ka3ÍMÍpcbiíoro. 4.1. - Льв1в. - 1995. -I!. 80.

5. Маслюченко В.К., Нестеренко В.В. Горизонтальна аииннеперервшсть та и застосування. - Чершвщ, 1996. - 15 :. - Деп. в УкрПГГЕ1 01.11.96, N 98 - Ук.96.

6. Нестеренко В. В. Про симетричну квазшеперервшсть су-супно квазшеперервпих функцш // Матер1али науковоУ конфе-

1С

ренцп присвячепо1 125-pi44io В1Д дня народження В.Левицкого, Терпошль, - 1997, - С. 52 - 55.

7. Маслюченко В.К., Михайлюк В. В., Нестеренко В.В. Зв'язки м1ж piaiiHMii типами квазшепсрсрвност1 // Матер1али АПжнародноГ наук. конф. "Сучасш проблеми математики", -Ч.З. - Чершвщ, - 1998. - С. 40 - 42.

8. Маслюченко В.К., Нестеренко В. В. Обернена задача для квазшеперервних функцш // 36ipnrn< науковнх праць Кам'янець-Подшьського державного педагогичного университету ю. Кам'янець-Подшьсышй держ. пед. ушвер., Сер1я ф1зико-математична (Математика). Випуск 4. - 1998, - С. 76 - 79.

Нестеренко В.В. Pioni типи квазшеперервносач тачхзастосу-вання. Рукопис. Дисертащя на здобуття вченого ступеия кандидата ф13ико-математичних паук за специальшстю 01.01.01 -математнчний апал'ю, Льв1вськип нацюналыпш ушверситет, Льв1в, 2000.

Дослщжуються властивост1 квазшеперервних вщобргшень заданих на тополопчних просторах. Одержано опис множини точок квазшеперервност1 i встаиовлено наявшсть точок пепере-pBiiocTi вщорбражень двох змшних, якч горизонтально квазше-nepepBiii i HenepepBiii вщюсно другоУ омшшл, а також точок симетрично1 квазшеперервност'1 сукупно кваз'шеиерервиих вщо-бражень. KpiM того, одержано характеризацп симетрично квазшеперервних i сукино квазшеперервних вщображень.

Ключов1 слова: квазшеперервш вщображення, горизонтальна квазшеперервшсть, симетрична квазшеперервшсть, нар1зна кваз1неперервшсть.

Nesterenko V.V. Various types of continuity and them Application. The manuscript. Thesis for a degree of candidate of Science (Ph. D.) in Physics and Mathematics,speciality 01.01.01 - Mathematical Analysis. L'viv state university, L'viv, 2000.

It is investigated conditions of quasicontinuous mappings which defined on topologigal spaces. A description of set of quasicontinu-ity points and existing of continuity points of maps of two variables which horisontal quasicontinuous and quasicontinuous on the sec-

ond variable are obtained, and points of simmetrical quasicontinu-ity of quasicontinuous maps. Besides a description of simmetrical quasicontinuity and quasicontinuity are obtained.

Key words: quasicontinuous mappings, horisontal quasicontinuity, simmetrical quasicontinuity, separate quasicontinuity

Ыестеренко В.В. Различные типы квазинеирсрывности и их применение. Рукопись. Дисертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ, Львовский национальный университет, Львов, '2000.

Дисертацпонная работа посвящена исследованию свойств различных типов квазинепрерывных отображений. В разделе I подан литературный обзор развития иследования этих понятий.

В разделе II рассматриваются свойства квазинепрерывных отображений одной переменной. Здесь подано общее определение (у-квазииепрерывности, с которого, как частные случаи, получается симетрическая, горизонтальная и вертикальная ква-зипеирерывность.

Первые два подраздела 2.1 и 2.2 подготовительные. Основным результатом подраздела 2.3 есть теорема 2.3.7, которая развязывает обратную задачу к теореме о множестве точек непрерывности квазпнепрерывного отображения в том случае, когда функция задана на R с значениями в R. В подразделе 2.4 получено описание множества точек квазинепрерывности отображения / : R —> R (теорема 2.4.1). В следующем подразделе применена горизонтальная квазиненрерывность к точечно разрывным отображениям и установлено, что горизонтально ква-зинепрерывпое отображение, которое точечно разрывно относительно второй переменной будет точечно розрывным от совокупности переменных при некоторых условиях на пространства (теорема 2.5.3).

Раздел III посвящен вопросу наличия точек непрерывности отображения / : A' х Y —> Z з класа. К и С. В подразделе 3.1 установлено, что отображение / € А д С" имеет всюду плотное множество точек непрерывности на каждой горизонтали, при некоторых условиях на пространства X,Y и Z (теоремй 3.1.3,

3.1.4, 3.1.7). Кроме того, показано, что горизонтально квазинепрерывные и непрерывные относительно второго переменного отображения / : X х У где X - беровское пространство,

пространство У удовлетворяет первой аксиоме счетности и 2' -метризуемое пространство, есть квазинепрерывным от совокупности переменных (теорема 3.1.6). Насыщености множества точек непрерывности отображения с класса К\С посвящен подраздел 3.2. Установлено, что для отображения / : А'хУ —» X с класса Л'дС, где X - топологическое пространство, пространство У удовлетворяет второй аксиоме счетности и £ - метризуемое пространство, множество Су(/) есть остаточным б .V (теорема 3.2.1). В подразделе 3.3 перенесено теорему 3.1.4 с горизонталей па непрерывные кривые, (теорема 3.3.1).

В разделе IV установлено ха растеризации симетричной кьо, зинепрерывности и квазинеирерывности, рассматрен вопрос о связях между различными классами отображений, а также перенесено некоторые результаты на случай отображений от нескольких переменных и многозначных отображений. В подразделе 4.1 обобщено теорему о совокупной квазинепрерывности квазинепрерывных отображений. Установлено, что горизонтально квазинепрерывное и квазинепрерывное относительно второго переменного отображения / : X х У -} где X - беровское пространство, пространство У удовлетворяет второй аксиоме счетности и 7, - регулярное пространство, будет квазинепрерывным от совокупности переменных (теорема 4.1.2). Это лее нельзя сказать о горизонтально и вертикально ква-зинеирерывных отображениях. В подразделе 4.2 установлено, что квазинепрерывное отображение / : X х У —У Ъ имеет точки симетричной квазииепрерывности относительно у (теорема 4.2.1). Эта теорема дает возможность установить необходимые и достаточные условия квазинеирерывности (теорема 4.3.2). При сравнении полученых результатов с ранее известными возник вопрос о связи между классами КС, КШС к /иС', которое решено в подразделе 4.4, где установлено, чте КС = К и,С — К}гС, при некоторых условиях на пространства.

Результаты дисертации получено применением методов общей теории функций и топологии, в частности широко пеполъ-

зован категорный метод.

Основные результаты дисертации носят завершальный характер и сопровол<даются полным доказательством. Они могут быть использованы в общей теории функций.

Ключевые слова: квазинеирерывные отображения, горизонтальная квазинепрерывность, симетрическая квазинепрерывность, раздельная квазиненрерывность.