Размещения частиц с блужданием и статистические задачи зависимых размещений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

РГ 6 НАУК РЕСОУБШИ УЗБЕКИСТАН

I U ¡.nui i

На празаг рукописи IIXIATOB Ха;;руя.та Рахматудяаевач

PAc!ZZZ:£1Л ЧАСТИЦ С ШЕДАНЗЕГЛ И CTATIICTiriECIúE ¿/uíAiil РАс.МЕЗ^ЗНИЛ

Gl.OI.Go - теорая вероягностеЛ я глатемэ-тлческзя сгзтдстзкэ

А 3 Т О Р 3 3 3 Р А Т

пзссертагси на сс^сханзе ученга стапенз кандидата 5яззно-:лате:латзчэскзх нзук

Ташкент

- 1993

Раоота заполнена ъ Институте глатеглагакл вы .В Л! .Рогланозск Ш Республики Узбекистан.

НзучшЛ руководитель - доктор фазико-глатематических .науь

Официальные оппонента:

доктор аязЕКО-глатеглстикескзх неук, профессор Гвфуров ;.!.У. кзндяцат фазпко-глзтеглзтЕческях нгук, доцент .Мирзалиев I*.

Ведущая организация - Институт ;лате:лзтгкп ЛЗ. ?7

Д 015.17.21 в Институте математика вгл.ЗЛ!-Романовского Ш Ресяублзкя Узбекистан-по адресу: 7С0143,г.Тзакзнт-1-43, ул. ё-Хогшаева, 29.

С диссертацией ¡гояно ознакомиться в библиотеке Инств-тута категлатикз п.менп 3Л'!.Романовского АН Республики Узбеки'

Автореферат разослан _" _ 1Э93г.

профессор БАДАЛЕАЕЗ И.С.

УченыЗ секретарь специализированного совета доктор физ.-мат.наук

Ш.А.ШШЮВ

QH5AE XAPAKTSEICTiEiA:.. РДЕСТЫ

Актуальность т а а. В псе. ладнее время зев более соЕнзаатся' интерес зсслеповэтелэЗ к дискретным .задачам тэориг вероятностей, -такам как комбинаторные задача тотряв зэ^оятностеа, о- размещении чаггац по ячейкам, случайные ого-бразэняя з rpaçs, задачз выборочного обследозанзя конечных совокупностей з т.п. Ото, по-вздя:ОД5, объясняется ияогочлс-лзнннг.пз прялок? наягля полуэае:.еяс результатов зо многих обла- , отях наугз и- те'хкзхз, асе более дирокяя яепбльзовзнгем -соз-ре:<:еннол зэтзе.ателззо.'? тзхнг-кз яри проведении исследований з анализе гтолученг-ыг результатов.

Средл пэсечзеленннх аапраглааиг выгодно выделяется задэ-

43, ООДСТВВННН^ С ЗЗДа"ЧеД О СЛ7Ч211НО" 332ГЛЭД5Н2П ЧЗСТ2Ц ПО

ячейке:.', хзк раззптзтл :.:этоеглз гЕзлптэтесг.ого дсслздозандя T3S2S схем, так а -зозтлоязотстякз прхгензна:; з стаггезжш Zv3, тэхндкз, ^"с^гох^л, ïI^ïse^cH' больдсе количество

ÇO<ÎOT, П0СЗЯ!25-КЕЖ ТОННрSTHES! тззенячёехз:?, кв.зчеехя.л-'а за.

ж2д5ля?."!, сводя'л^ЛОЯ к схэ?.!эм пзз?^вщ5нзя. c03es.'22hh0e СОСТОЯ— нзэ тетэретачвеквя работ-этого направлена» довольно полно от-рзнено з обзорд iîBSECBa В.А., Пз^генга» Г.И., ^аззецёва. S.JL. • • CIS84). .

Цель работы. Получзняа достаточных условил з 2X2113 рзз:.йцз1С|я с блукдааве.ч, щп гагарах- спрзаедлавы анз--дет клзес^чзснпх предельных те-оршя о рзспрвдвлэнпн члелз яч-зел, conepô2S3S Z -частзц.- 'Рассметрзззе _ задач "тздэнкз; па-гп::зтса s лрззэсдз гипотез з зяэглз зезпсз:25го разжгдзнпя талдзд Севастьяно:

е т о г а с с л е д о в с а 2 я. Пра доказательстве теорг:,: используются как. щш:,ще вероятностные метода так в .•■■это;; хар-¡стеристичеспмх азнкцд.!:."

Научна л новизна. Получены предедъше теоре:.и; для-раопределенен числа яч?зк содёреацзх 2 частиц б схе:ле разглашения с блуЕданпе:.:. Для одно.-; .схемы заввезхше размещен:;:: згзпеялзх 01" параметра, дредлохаш- оценки этого параметра п пзучецу некоторые иг свойства. Разкгатрявается-тазйе задача проверки гипотез.

Л р а ктическая це нн ост ¿.-Результаты дяс-сертадиз, М017Т быть использованы дог анализе фаззчэезмх, хе;.ш~ чвех-шх, технических в др.гладале.2, которые могут бы&ь представлены как схема случайного раз:леа;ешзя частдц.

А л р о б а д в я работы.. Результаты дпсгергацш: докладывались на сеазнарах отделок .теорагт вероятностей и пате-матпческой статистики института математики е:.:.3.¡¡.Романовского Узбекистана, на конференции колодах ученых: г .Ташкента, по-свяденнол памяти В Л.Рогланозского (1388), на II Всесоюзно.: конференции "Вероятностные .метода б даскретной кате:*атаке" (Петрозаводск, 1388), на Всесотшй конференции по предельна: теоремам теории вероятностей, посвященно:; 70-летню акадег-икз АН Узбекистана С.Х.Сирандинова (Ташкент, 199С).

Публикации. Оснозное содеркание диссертации оцу&шкозано в 5 работах, перечень которых праведен в конце автореферата.

С.-тр^к-тура и об. ъ е м диссертации. Работа состоит из введения, двух глав и списка, дитбратурн (20 названий).' Общий объем работа ■ страниц.

дед ни

. СОдЗРН-АЙЗ д!1иСЗРТлД1и1 Во ззавднзи показана актуальность те:.:а доследования я ссрорглулзрованы оскозные результата.

Б глазе I предлагается к рассмотрении сяедукщая схс:.;а разнесения частяц. ^

П;усть | С^^ (^ - цепь .'.йркозч с пространством

. , ао

;остслез:: 2 , ..., Л а { ^ /1с_0 - аосладозательностъ

цзлочпелзнкь'д, нестр;:д2тэдь:£нд олучадньдс Рассмотри:.:

досдедозатедькость незазд;:з:.дн: рэадзззддл зто.; цепл различно.:

{с'^а-к), 1-0.1,...,^ , <.=о, ^,с -1

Эту . схе:.г,' :.:с~но однсать так.

3 хзздай :.:о:.:ент зре.\:энз 1С з срезу > состсядую лз -Л/ часто!:, д^тдгрзрует ^ активных частлц и начинает блуждать, незадзсдмо от остальных частяц яо закона..: аетзеходоз

>Л-?0/ V 4- ч

цела С (•) . Тогда з :,:о:.:знт с 2:.1зе:.т 2- V,-

частдц расдалсдзкнкд з ячз.:::од ,

Счезздно, что ггрп А, ^\о) Д ^0,!,...,

с вероятности 1 змеем клагезчэснуз долине:,-пальную- схнду ■ размещения.

В I гд^зе получена предельнее рзспрэдедэния. члела ячеек, з которых содержатся ровно -частдц. -

Более точно, эслз здеются зеа.д:заддз .¿Г. '

нззавзсдглзх :л7ча_!нн£ -задичан ,с :.20двстз0и значензд 2,1

то - чдело .ячеек содержащих 21 .частиц определяется

ка;:

Я

f

L--Q L-1

Где ^L (A) —внйпкатор инокастза -А

В § I тжаедены некоторые известные такты, которые часто

используются, е доказаны -теорегльг для-йушщзоналз l\ (!/Z>i )

' JC

от по!

;ледоь'зтелъвостя ( ^ (•[ t ¡с- о t )

дот

г разавчнис- областях изкэненил сара^етроз цени £?*'({). В § 2, рассматривается ~ упсдо coccosssij, в ко-

торых находятся .,% •частиц в кокект з последовательное?;;

(t ■ Отце-тим,'что в.рзботе А.:л.3убксзз

« к / , - .

■ i ■■ f' - т

(1579) для яослздозатеяьнасти пени Мгвкоза..-f tu) г,

Л«. ¿т^с глногестзом* состоянии - } быш

доказаны теореш с :црздельнгк ргодредэлеНЕях чвсла состояний, появившихся в" траектории даш ровне Z раз. -Щйнадизгые нйеэ теоремы ozqse с анзлагшшаки es работы Зубкова а..м. CI973), Взедег.: обозначения. Буст!

-Vе. ; ,, ■ - / ч

л'

£7 / ki у ^

fM ч

№

Дькгяг M3C20 теоремы:

Теорема 2.1. Есдз Z>2 фиксировано- пр л» i упал Р. —О X Т (

з меняется так, что

¿ ¿. (О — О fc V

то

¿слз 2 ¿ 2 прз "П ? /V —ОС? выполнены услозая .(Г), С2), то кснда.? из случайных велзчан

í.- /1 ч" i f * t ~ ¡К(£) t ., .

t, ) -ij-- , y^(t)

лкеет з пределе одан-з тот .тэ пуассоновсзгй закон распредэ-лгнзя с параметром

2 з при £ , //

t" Д / ^ ^

3

л- шп. ^г j\\( р; )

d } ■

Г е о р -i и а 2.2. Если целое £ фзкеяровано, лег

а»

J

ДО

., М -для любого• f3: , j = i, л/

А *

з сущестзует такое <? , ■ О < ¿у < , что

а. (Е^]) ч .'-««а*1

- t> -

то рас.пределэже ьысгор;:

L = о, к.

I а% y ^ ^ .

hi (í)-- l. H. , H. = —r¡— e -

t ¿*i 4 L¿ C!

^(Û) - i , t ~ о~ГГ7 слайс,

пр;з услов:::; Cj"

(С -мэрног.;у нор:лально;.з> расцрегвягзя» с нулвзь*?» срздн:;;.х [> касрицз:: ковсраацз::, ::о?орс£ огредоляогся фор:.^иг

f / ,r¿ £ rj(/'V. /r¿ 'Г пА, ф <-\

Ь -L / H ! 2.~ Р . / - I 7 ./ г-' ир> - h il гиг '¡77 ^ 4«У / л ~ Ai Ln <} '

г1 1*7 Ч Ц 4 ^ <1 У

' г~1 ч е

Т о о р е к о Z.j. фмкжрзгзг», rp:: L,//—-л?

gtfXç ; Hj

с Lb' гоняется тс:-., что заполнено (2), то

•* , __. te

Огиегзм, что в paöoia:: ДьяконазоЛ ЕЛ. в ¡.зхайлова Б.Г. (I2SI), МихаЗдова В.Г. (IS39) доучена so отаточень долезая аоЕьшгогачеокай нормальности разделваас статаствк з кеодно-

роднсл схзлэ.

3 '} 3 рассматривается послодозатольясстз

£= T7JK , o~7Ui }

л îOK333tcr адзлогя тзарогл 2.1-2.3 прз услоззз, что пс---ззтельксоть ^ ,.... ;:ззаззся:.'Л2 слулЛшсс золз-::: • •

■ тзтзор.'вт 301tс*;7 тзсэд.

глазе зсссглатрззазтся забора, ::сгда лс

"•л^дзо "паче*:":т з ааззсзглз, то есть .'лсгут :

за г дол" злз "-ттолг.ззаться" друг от друга з заз:: :

:-;?.сторз~з лзро-зтрз 0 . Более тсм-о, дуотз дзсз:;..-

з 'м расдр-эдалок разнсглзрко из г-нохзстзс- ¿j . ,.L,i3¿, эс~: ггэкзтся зкач-зния £ , X., , то

зе-лдчзйа грлппглазт лгбсо '¡Гжсзрозанное зизчеизч

¿ 3

х;.

от.зствз X « < .... X, 1 з ззсоятпсстыз

j " ........ a /XJ

'л:::;:роза;гнеэ зпзчс-нзч лс :д~:с-:эстза {-i, .</j\X

л

¿д 0 / X¿ ( * (~¿t ,

) X? \ - г.:с.~о элв.'.лг-гссз isosecrsa X¿ . Ci5Е:;ДНО, что

~~ £? > О vscrœcsso значащ* Х^ "^гпгятдзяг«"

здгч-зчпз, гг?я Q с О - "оттаг:лл-зот", л ярз п.м«э?

:-:оза audcprc? пз рзвксглеркого яз { ¿ , 2, л' \

распрс-1сл::-н:*л. Эта глодель ргг^зиокзя часки до W ячз .':;-:&•.: Сдлз лрудлаг.аяз Б.Л.Севзсгс.'Птозытл СК-*Ш. Там булз дзн.'з i-~r:-p~p:Tv.:.3.\: ото:; :лодд.1Д! гл" гсраятзляого обслуг^дганля :'.згл::с-.г;бо слсглддс оЛектоз:

''Предлслогл;".:, что бадс зыдудоно ./У sainas дрсду:дл;з з

по позоду ремонта это;; продукции было П. обращений. Если

I -е обращение связано с ремонте;.' J -го объекта, то будем считать, что I -я частица попала в -ю ячейку. Если про-Бзвогство хоропо шлагено, то случайные дефекты когут возкпк-Еуть б разных узлах объекта, к рассматриваемы1: процесс хорело описывается схсмо'; размещения с 9=0. Если дефект связан-с каким-то одним, одинаковым для всех объектов'слабы:,: узлом, то более подходяще;:- модальэ процесса будет схема с Э < О (т.е. объект, побизавшЛ в ремонте, уае с менълел вероятностью попадает туда вторично). Случай 0 >'0 описывает- процесс,в котором ремонт связан с ойщп;.: травмированием. всего объекта,что приводит к его маньое;! надежности".

В работе Севастьянова Б.Д. (1981) были- получены предельные теоремы для /I I - числа пустых ячеек при /гг ¡¿-*,ао

Здесь ее рассматривается задачи оцйекз параметра 0 е проварки гипотез.

Перейдем к изложению основных .результатов главы II.

Пусть , > ^п.ЕбжРа ячеек дри последова-

тельном размещении' частиц-по оцисанзой схеме. Тогда имеет месте:

Теорема -1.1. Статистика (с^ , , )

является минимально:; достаточной для & в этой модели, где

/

5t(п.)- J _Х I , - число брошенных частиц между мо-

К. £

ментами, когда вяервые было занято t- i ячеек и когда число занятых ячеек стало-равным [

В дальнейшем, для -упрощения, рассматривается случай^когда

tc

объем выборка JE. случаен, т.е. испытания проводятся

тех лор, дока з выборке не появятся К! различных значение, < /) . Отметим, что случайные величины £ , I = ¿^с

швискмы 15 ^^ имеет геометрическое распределение с р'^тро^ Г^ с ) ^ Рс 0 £

л/+&е

Показано также, что в этом случае уравнение правдоподобия ет вид

эние которого з 'явном виде нзати не удается. Но в дальней, когда будем гозорить об оценке максимального правдоподо-, будем иметь ввиду реление этого уравнения. Информационное количество Фишера о параметра з

■истине о* = ( ü„ , „., ) разно

iK(.<frS> = L .

Во втором параграфе рассматриваются некоторые асимптотике свойства оценок параметра Э , которые мсяно подучить тьзуя общие результаты для последовательности неоднородных здекзй (см.' Ибрагимов И.А., Яасьминский P.S. C'i'79)), при иэнив 'К бесконечности К -числа различных заученп."; йных»величин в выборке X и // - числа возглокньд: ниЗ величин из X .JTsk как количеств? дч оргзцви з К9 распределено не равномерно и tc, А—то в) .

сходится. Поэтому, доказано, что

£~ 0) -«а " 1ГОИ --»- оо и

' ' л '

к2

(О) ^ <» ■ при .jj- 2Л < ос.

Бакнуэ роль з асджтотическсм поведении опенок играет овоисзвс 1ДН (локальной асвмптоигеесзол нормальности) послал ватэльнооти на&вдэкзд. Б теореме 2.1 докэсано, '-»то семе^от: .«:ер, соотзетсхвувшев рассматриваемо« модели обладает сео^от; лзбсЛ точке &€. 0 яра —-«> . 3 прет:::

имеет место „

/

т.,г _

/у

с

Ъ П '

I" ~ ^ =

" \ Я;- Г Г/- 4) ) ¿(,/-2)

сходится с вероятностью 4 к нэотринз'Гч^ноЛ личине . Зарактэраствчаскгя ¿^нк^г; £ удд

Е6_жрЦ.г Щ) = (г-ф ¿г ~ Я <±1Т

л*

Определение. это изокест^с ■уу^-^л:.

у до зле тзоря кша зс у с лоза я м: i- v)- ^чы- 2>).

2. '^унх'цзя ¿.^(Ц.) определена и неотрицательна ,

драчам М>(0)-0 , нс-прер^-ина при и = 0 у не рада: токде-отдэнно пула.

3. £г?ягкз« Ц>. саимотрячка, тс е-угъ М-(-и). .. 1С?(и) не уг-чдзе? [0,са) : т: '

хьу'зт у >с , что ¡гр2 2 с .4 .ч

^ Щи),

о

Предполо"!::.; топэтзь, что неизвестном пврпкетр 9 лртг— .-ОГ.КТ ипог.остг;/ (tn., /f ) , гае -i < ht<M«*, Тогда верпе Ьо р о с Пусть Q>~(m,M), -i с m < M < л»

л

te, // —, гаг., что —оо . Тогда хлъ одеккк

:-кс;::.:2лъного поаздояозобвя & и для баосовзгсях опенок

, построенньд: .то произволъпоИ поло:;;:; тельной з нелрегзв-5:; з © апрэорпоЗ плотности q в фушсяв;: потерь

í&j - ) , so & (ÏP , £o>& V/,

трзведлдзи слег;;::::;йп утверждения:

а. лэетор P'VsO (5,, - £) J2L. //(о, -¿ }

:зпо;.:<зрпо по •;? ;¿ , где ,Tí « кс:.аг::т т;? 3 , s s».

:;з одгдок или Г:„ .

5. Ди лзЗо;-! яогзрь ¿t'f• J , полп'кет-

:ь;?уга мо-дзракгу, рзш;о?.-:грно до ¿S if сггрзз^длиго сооп:о-нпе

-yi 'if2 I г

з. Оаэжсз ô зскгигтотгчесп; эййепткг.нг " Я для

JS ,

боЗ 0,,унгл"е лоторь лйля. lî? ( J (ôe ) X ) , rne £ ф

Кат: суде от..:зчопо, опенку иахсъувяьногг яотяояогобхг. н eos: зиле Hsí'TB не удается. Поэтому в 3 рассматривается

полученная кет'одом навмек^зкх пвадрзтоь ГПК - '

t* Ol-t)

2 доказаны теоремы об асимптотическом поведении моментоз и асимптотическая нормальность &*

Теорема 3.1. Статистика несмещенная оцен

гэраметра 9 ■ состоятельная при — « и

8е*~ше)тг-*т шзи 4- — о , —

« 4 ^ К. "Л /V

—3 ^^---

/С

Т е с и е м а 3.2. Пои -у —*•«*>

Л I ' ^

(1

Жол),

1Ъксе)

*

где (©) - главный член асимптотического поведения лнс-

персии .. Это утверздееае останется справедливым, если

параметр & , участвующая в зыракензи для заманить

на сценку .

В § 4 рассматривается задача раздачеквя дзух простых гипотез

Н0 : & = б>0

протиз

^ : , .тзв 0,.., £ ("4, <а») . Эта задача расе "-трзвается при - миллмалзцом предясявяешт, когл-а 11С Ш) —~ «с , плг,,

ч

что то яз- самое, когда . && .

.4

В'дздьнейпегг для определенности-будем считать,что &± >в, .. в, опрадБчЗза' величины и^ , О < и равенством

х2

- ] е ^'ск

<■4

Обозначим через ¡¡¿(-И) и ^-(с) вероятности слшбок паевого и второго рода соответственно.

Т е- о р е к г 4.1. Если з рэссжнтшваекоЗ задаче рззлв-

17

й е-*"

ченвя гипотез, црз —разность —

удовлетворяет услоняю £

*<с к 1

го вероятности оагбсв:. -первого и второго рода •крзтзрия .9'^

постолнноГ; С ш®ш гоэлелы •

^ *

^ - ' соответственно, а

£1,.

Г

В.тесре;.*а 4.3 кардан оптиглалвнил критерий рззлзчвнв'1 засс.'.гатрдззег.'д,'х гтаотвз ерздз хинейЕш:, т.е. сред:

i*í

_Т ? о р е и-6 4-3. Среди критериев о.чределяеетх с по-тодыэ , , .-р--«-<» аскюто-

чзчески наиболее модам является криФерв.;, Оояозэшй: на адгнетшее '

-) - :Т с?.

I

- IS -

Автор выражает признательность. своему яаучнодзу руководптелв доктору физико-математических наук, профессору Бадалбаеву И.С., а также кандидату физако-иатеыатзческгх наук Мухитдинову A.A.,, за внимание и поддержку при работе- над диссертация."

Основные результаты- дзссертацаи опубликованы в следута^ззс работах:

I. Бадалбаэв U.C., .'¿ухптдиноз-A.A., 1Па:.:атсз X.?. Предельнее тосреш для одна} схемы, размещения с блуждание::. Тез.докл. II-Всесоазной нонй. "Вероятностные методы з дискретно.i :.:а-темзтяке". Петрозаводск. ÏS88. С.3-9. Еадалбаев И.С., Шаматов Х.Р. Предельные тэоре:.н .для числа ячеек, содержащих ровно 2 частиц ( 7. 20 ), з моделз • случайного размещения частиц с блуаданиз:.;. // Изв. АЯ

УзССР. Сер.лаз.-мат.наук. 1989, 513.3-11. -3. Бадалбаев И.С., Мухитдинов A.A., Шаманов X.?. Предельнее теоремы з модели случайного размещения с блуждание™ //-Узб.матем.нурнал, I99Ï. С.12-17. , 4. Шаматов Х.Р. Предельные теореш в случайно.-.! разягззеняз • со случайным,числом частиц //,7зб.матем.2урнал. 1992. Ж. С.66-70.

5., шухитдвнов A.A., Шаматав Х.Р. Об оценивание параметра

" притяжения'.' ■ последователькости данных с равномерным . распределением. //Докл. АН ?7з. ISS2. 53. 0.5-7.

ТАС0ДИ5ЙЯ ХАРАКАТЯАНУБЧИ ЗАРРАЧАЛАРШГ КОГЛА!ИПИ ЗА ЕОПЩЛИ ЮШШЯЕЦаАГИ СТАТИСТИК МАСАЛАДАР.

Хозиргк ва^тда затгоачаларнинг тасодафий жоЧлашвя масалга-:ари математик моделлари- купгина мутазсасисларни узига ~алб клган. Бунинг сабаби бу моделларни урганкш математик метол-ари яхшк ривожланганлиги, хамда уларни статистика,' физика, ехника, биология, ва хикияда ^улланияшвдадир. Еу масалалар-а таъаллучли казарий йшларнинг тгозирга ^адар атгволи В.А.Ива-ов, Г.И.Изченко, Ю.И.Медйедевларнинг ма^оласида акс эттирил-ан. .

Диссерташяда заррачаларнинг тасодифий ^ракат чилиши на-■гжасида X та заррачага зга булган уриялар сонк та^скмотаа-^га оид теоремалар исботланган. Вунцай наеткалар харакатсиз шрачалгрнккг тасодкфий жойлашшгардаги тзоремаларга ряпайди. г билак бирга бу ерда Б.А.Севастьянов тсмонидак таклиф этил-1н 6орлю;лл тасодифий аойлапшщагк боглкг?лик параметркчи стг„-гстик бахолаш ва пу асосда статистик фаразларни тек^-.ряв лаларк курилган.

Теорема^арни исботлатда эхтимоллар фазосяки тахлтм: з$илкс улларидан ва характеристик^ункшялар усу.ткдач с-айдаланкл-

she.- ошщадюх, ваовця -о? таз mrmsa s^xts ..akd smiKEic-ij, рдощгаа a? йЕЕзншяг- AssiWE-jEis ' с? "Pifisieiss

Ai present, the icatiiernati-cal Eoriels o£ random nrra-ige.T.erix or bails are the field investigated very intensively. 1'ho reasons ai consideration the3e are that it has a number useful applications in. statistic, puisic, chemistry, biology and залу others and there are developed isathesiaiical methods ior analysis о I it. She review, ot recant- worfcs deals with such models can be find in the paper oi 7.A.Ivar.ov, (J.I.l7chenko, Yu. I .ifedvedev (1934). '

5?he theorems an distribution -ot the number , of doxbs which contains r pas-ticles are-presented' in the dissertation -mare particles- walSt3 accnrding scsne Haeitov chsizu iSaese theor-asas neara .to the ciassisal ones -in .the .mooal. without covezsut - ai partislea... Also tlis . estaat.im р?эЫеш oi the dspensans-e parameter and -the statistical infer-ecce problem in В.Л.Sevast' janov oodBl ox depondaat ai5SER@Si3f?iit ol particles are censidscsd.

She- ffia.fei tools. оi - the irorestigatioisj had the cnarsctsrlstio flections. ©ettei -эдй prpbab.ilistic analysis ot suitable p3p2j35$ills-ti« .-sgsas.

.Падиасааз I£LQ3.2S-r.'. -

iopuasr dyxssra I/IS. - - - cJ^'

Заказ, й iE2,_ таргз-; IQQ,.-qCssm> 1,3 лзч. z, Ог^ечагаиа на рато^адяггв -тдагзййст -