Разогрев неравновесных электронов проводимости в прозрачных твёрдых диэлектриках интенсивным высокочастотным электромагнитным полем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 544.032.65

00500738/

Никифоров Александр Михайлович

РАЗОГРЕВ НЕРАВНОВЕСНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ ПРОВОДИМОСТИ В ПРОЗРАЧНЫХ ТВЁРДЫХ ДИЭЛЕКТРИКАХ ИНТЕНСИВНЫМ ВЫСОКОЧАСТОТНЫМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ПОЛЕМ

Специальность 01.04.07 - Физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

1 2 ЯНВ 2012

МОСКВА-

2011

005007382

Работа выполнена на кафедре «Физика» Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

старший научный сотрудник Епифанов Александр Сергеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Дадиванян Артём Константинович

доктор физико-математических наук, профессор Синкевич Олег Арсеньевич

Ведущая организация Институт общей физики им. А.М. Прохорова

РАН

Защита состоится «УG » Se-é'Ast.*-^ 2012 г. в / 5~ часов на заседании диссертационного совета Д 212.155.07 в Московском государственном областном университете по адресу: 105005, г. Москва, ул. Радио, д. 10а.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Московского государственного областного университета

Автореферат разослан ««# »

2011 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета,

кандидат физико-математических наук,

доцент J^/ Барабанова H.H.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одним из фундаментальных вопросов физики взаимодействия интенсивного электромагнитного излучения с конденсированными средами является пробой прозрачных твёрдых диэлектриков. Неослабевающий интерес к воздействию электромагнитного излучения на природу изменений физических свойств конденсированных сред обусловлен исследованиями быстропротекающих процессов, проектированием высокополевых оптоэлектронных устройств, получением материалов с заданными порогами оптического пробоя, многочисленными приложениями лазеров в технологиях прецизионной обработки материалов, биологии, хирургии. С другой стороны, оптический пробой диэлектриков является одним из основных физических факторов, ограничивающих мощность лазерных систем, что сужает потенциальную область приложений ультракоротких импульсов. В последние годы проблема повышения лучевой прочности оптических элементов приобретает исключительное значение в связи с крайне жесткими требованиями, предъявляемыми к элементам оптических систем установками лазерного термоядерного синтеза. Таким образом, представляется актуальным исследование диэлектрических материалов на предмет выяснения их предельной стойкости к воздействию интенсивного высокочастотного электромагнитного поля.

Максимальные пороговые поля наблюдаются в объемном пробое при однократном облучении предельно чистых оптических материалов. Однако вопрос о том, в каких условиях какой из предельных механизмов нелинейного поглощения оказывается доминирующим в высокочастотном поле, до сих пор остаётся не выясненным. Наиболее вероятными собственными механизмами считаются многофотонная ионизация и ударная лавинная ионизация. В связи с сильной нелинейностью механизмов пробоя они будут конкурировать лишь в достаточно узком диапазоне длительностей воздействия поля на диэлектрик. Для того чтобы попытки совместного рассмотрения нескольких приводящих к пробою процессов были корректными, необходимо уметь определять зависимость постоянной лавинной ионизации от критического поля. Перспективы идентификации доминирующего механизма пробоя связывают со сравнительным анализом характерных зависимостей критического поля от начальной температуры кристалла, энергии ионизации, частоты падающего излучения, длительности воздействия электромагнитного поля.

Адекватный анализ процесса развития лавины, индуцированной ультракороткими импульсами, должен опираться на полученное в работах Мельникова В.И. и Эпштейна Э.М. квантовое кинетическое уравнение, описывающее эволюцию функции распределения электронов проводимости в сильном поле излучения. Ввиду невозможности получения аналитического решения квантового кинетического уравнения, усилия исследователей были сосредоточены на его диффузионном приближении, описываемом уравнением типа Фоккера-Планка. При этом, как было показано в работах Епифанова A.C.,

предполагается классический учёт взаимодействия электрона с полем. В связи с этим Епифановым A.C. было получено дифференциально-разностное квантовое кинетическое уравнение, попытки решения которого, однако, столкнулись с серьёзными математическими трудностями. Это обстоятельство явилось причиной того, что выводы о роли лавинной ионизации делаются, как правило, на основании анализа диффузионного приближения квантового кинетического уравнения, область применимости которого ограничивается условием малости энергии кванта света по сравнению со средней энергией электронов проводимости. Современный эксперимент заведомо выходит за рамки справедливости диффузионного приближения, однако влияние замены квантового кинетического уравнения уравнением Фоккера-Планка до настоящего времени оставалось невыясненным. В итоге складывается весьма своеобразная ситуация: с одной стороны, в работах констатируется ограниченность области применимости уравнения Фоккера-Планка, а с другой,

- это уравнение используется для интерпретации экспериментальных фактов, полученных для случая, когда энергия кванта света порядка или больше средней энергии электронов. В результате целый массив экспериментальной информации в настоящее время не имеет надёжной интерпретации.

Целью настоящей работы является разработка техники идентификации ударной лавинной ионизации в качестве предельного механизма оптического пробоя прозрачных твёрдых диэлектриков. Для этого необходимо

- решить квантовое кинетическое уравнение и установить границы области применимости его диффузионного приближения;

- найти характерные зависимости порогов пробоя от длительности воздействия электромагнитного поля для различных энергий кванта света, энергий ионизации, начальных температур кристалла;

- изучить влияние разогрева решётки в течение импульса на динамику генерации электронов проводимости и характер перераспределения поглощённой энергии между электронным газом и решёткой.

Перечисленные задачи решаются с помощью компьютерного эксперимента - имитации процесса развития лавины в высокочастотном электромагнитном поле методом Монте-Карло.

Научная новизна работы заключается в развитии теории лавинной ионизации для случая, когда энергия квантов света порядка или больше средней энергии электронов проводимости.

1. Впервые исследовано влияние замены квантового кинетического уравнения уравнением Фоккера-Планка на характер зависимости постоянной развития лавины от интенсивности поля. Показано, что использование диффузионного приближения приводит к заметным ошибкам уже при отношении энергии кванта света к энергии ионизации около 0.1.

2. В результате численного решения квантового кинетического уравнения построены зависимости пороговых полей от длительности воздействия поля на диэлектрик для серии частот электромагнитного поля, температур кристаллической решётки и энергий запрещённой зоны, позволяющие делать

обоснованные выводы относительно роли лавинной ионизации в случае, когда диффузионное приближение не применимо из-за большой энергии кванта света.

3. Впервые исследовано перераспределение энергии между электронной и фононной подсистемами; систематически исследовано влияние ключевых факторов эксперимента (начальной температуры решётки, её разогрева в течение импульса, энергии фотонов, длительности воздействия поля) на коэффициент перераспределения поглощённой из поля энергии.

Практическая значимость. Проведённые теоретические исследования могут быть использованы

- для определения предельной стойкости оптических материалов к воздействию интенсивного высокочастотного электромагнитного поля;

- для анализа экспериментальных данных по пробою диэлектриков лазерными импульсами в широком диапазоне длительностей импульсов;

- при планировании специальных экспериментов, целью которых является выяснение роли ударной лавинной ионизации в пробое диэлектриков;

- для решения вопроса о степени очистки материала с точки зрения достижимых выходных параметров лазерных систем.

Построенные зависимости постоянной развития лавины от критического поля могут быть использованы при решении уравнений, учитывающих конкурирующие механизмы генерации свободных носителей. Разработанное программное обеспечение может найти широкое применение в исследованиях по лазерному пробою, поскольку позволяет производить необходимые расчёты без привлечения суперкомпьютеров. Предложенный метод исследования разогрева неравновесных электронов в высокочастотном электромагнитном поле может быть использован для направленного поиска новых материалов, обладающих высокой лучевой прочностью, и при проектировании оптических трактов высокомощных лазерных систем.

Достоверность полученных в работе результатов обеспечивается использованием известных уравнений теоретической физики, выбором адекватных физических моделей для рассматриваемого класса задач, всесторонним тестированием разработанных методов; в предельных случаях решения согласуются известными результатами.

На защиту выносятся:

1. Метод теоретического исследования процесса развития электронной лавины в прозрачных твёрдых диэлектриках в высокочастотном электромагнитном поле при длительностях воздействия поля от Зпс до 30нс. Найденные в результате численного решения квантового кинетического уравнения распределения электронов по энергии, сформировавшиеся за время действия электромагнитного поля.

2. Зависимости постоянной развития лавины от пороговой интенсивности поля, полученные в результате решения как уравнения Фоккера-Планка, так и квантового кинетического уравнения, сравнительный анализ которых устанавливает границы области применимости диффузионного приближения.

3. Идентифицирующие лавину в качестве предельного механизма пробоя зависимости порогового поля от длительности воздействия и частоты электромагнитного поля, начальной температуры кристалла.

4. Установленные закономерности перераспределения энергии между электронной и фононной подсистемами в течение действия поля. Учёт разогрева решётки и релаксационных процессов в фононном спектре в случае нескольких эффективных в плане отбора энергии из поля механизмов рассеяния электронов на фононах. Выявленные особенности влияния нагрева решётки (за время действия поля) на постоянную лавинной ионизации.

Личный вклад автора состоит в разработке компьютерного эксперимента, создании и тестировании программного обеспечения, обработке и интерпретации результатов расчётов. Изложенные в работе результаты получены автором самостоятельно.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Третьей Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике», Москва, 2005; на Четвёртой Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике», Москва, 2007; на Пятой Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике», Москва, 2009; на международной конференции "Fundamentals of Laser Assisted Micro- & Nanotchnologies" (FLAMN-10), St. Petersburg - Pushkin, 2010; на семинаре Теоретического отдела Института общей физики им. А.М. Прохорова РАН, Москва, 2011.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 8 печатных работ, из которых 6 научных статей, в том числе 3 - в рецензируемых научных журналах из перечня ВАК.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх основных разделов и заключения. Общий объём составляет 160 страниц, включая 20 рисунков и 10 таблиц. Список цитируемой литературы содержит 135 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

ВО ВВЕДЕНИИ обоснована актуальность вынесенной в заглавие диссертации проблемы, сформулирована цель работы, её научная новизна, научно-практическая ценность, представляемые к защите положения. В РАЗДЕЛЕ 1 содержится критический обзор основных работ по пробою твердых прозрачных диэлектриков в интенсивном высокочастотном электромагнитном поле, при этом основное внимание уделяется сравнительному анализу теоретических подходов, в которых предпринимаются попытки определения доминирующего механизма пробоя, идентификации электронной лавины в качестве такового механизма. Выясняется, что корректная интерпретация современных экспериментов по пробою диэлектриков пикосекундными лазерными импульсами должна опираться на квантовое кинетическое уравнение, описывающее эволюцию функции

распределения электронов проводимости в присутствии сильного высокочастотного электромагнитного поля. В связи с этим особое внимание уделяется приближениям квантового кинетического уравнения: дифференциально-разностному квантовому кинетическому уравнению и уравнению типа Фоккера-Планка, отвечающему диффузионному приближению.

Невозможность аналитического решения дифференциально-разностного квантового кинетического уравнения, с одной стороны, и заведомая несправедливость диффузионного приближения в случае, когда энергия квантов света порядка или больше средней энергии горячих электронов, с другой, убеждают в необходимости обратиться к компьютерному эксперименту для решения квантового кинетического уравнения.

Анализ работ, посвящённых моделированию поведения электронного распределения в сильных полях, позволяет обозначить круг вопросов, успешно решавшихся с помощью компьютерной имитации и сформировать список первостепенных для развития теории лавинной ионизации задач, решение которых может быть получено с помощью метода Монте-Карло. В заключение раздела на основании оценки существующих подходов и возможностей современной вычислительной техники определяется направление исследований, уточняется постановка задачи и метод её решения. РАЗДЕЛ 2 посвящён разработке, обоснованию и тестированию алгоритма моделирования разогрева неравновесных электронов интенсивным высокочастотным электромагнитным полем, описываемого квантовым кинетическим уравнением

V V " /

В (1) использованы обозначения: /(г,/)-функция распределения электронов по энергии, ^(е)-плотность числа электронных состояний по шкале энергий, В {к) -квадрат модуля матричного элемента электрон-фононного взаимодействия, J¡ - функция Бесселя целого порядка вещественного аргумента, %- косинус угла между направлениями электрического поля Ё и импульса фонона к, 1\\ - число фононов в состоянии с импульсом к, ^-импульс электрона, Ьа>к -энергия фонона, Ш - энергия кванта света. То обстоятельство, что в работе нагрев электронного газа исследуется в контексте

оптического пробоя, выдвигает на передний план симметричную составляющую функции распределения электронов.

В ходе симуляции отслеживается перемещение электрона по энергетической оси (разбитой на ячейки, равные энергии эффективного фонона) вследствие электрон-фононных и электрон-фонон-фотонных процессов, вероятности которых имеют вид

Р Xя ос N -(1- д,(,)У Г"1, Р / ОС + 1).(1 - д,(,))-т-',

рИоп \ / ркоп ' \ /

Р ^ Т ОС N -д?) т-', Р ос (Ы + П-д?)-т-1,

рИоп,рИо1 рНоп,рИо1

(2)

г"1

Р /Ч ос N -qíl) Р Si ос (N + 1)-д,(1)

phon,phot phon,phot

Здесь N - числа заполнения фононов, г - среднее время между электрон-фононными столкновениями, - доля электрон-фонон-фотонных процессов в однофотонном приближении, которая играет роль безразмерной интенсивности порогового поля

2,0) =_fell_Е>

б(тПП)2(\ + П2тр2) ' W

Электрон следует от события к событию, и каждое последующее событие разыгрывается с помощью псевдослучайных чисел, отбираясь из числа возможных. Проведено исследование влияния на результаты моделирования выбора датчика псевдослучайных последовательностей: наиболее подходящей для моделирования лавинной ионизации является комбинация алгоритма генерации псевдослучайных чисел R250 и линейного конгруэнтного метода (для генерации начальной последовательности). Окончательный выбор был сделан на основании сравнения результатов, полученных при использовании генераторов R250 и ISAAC. Важным практическим следствием принятого решения является возможность производить все вычисления по разработанной методике на персональном компьютере.

Случаи ухода электрона за энергию ионизации фиксируются, при этом считается, что происходит удвоение числа электронов. Накопленная в процессе моделирования информация обобщается для построения функции распределения по энергии сильно неравновесного газа горячих электронов проводимости, сформировавшейся к концу действия электромагнитного поля и определения постоянной развития лавины

у- = г-'^Чп2, (4)

" col

где NсЫ - полное число столкновений (число испытаний во внутреннем цикле программы), N¡m - число актов ионизации.

Найденные путём численного решения квантового кинетического уравнения функции распределения приведены на Рис. 1. Сравнительный анализ представленных результатов демонстрируют, что форма распределения

существенно зависит от длительности лазерного импульса: чем короче время взаимодействия электронов с полем, тем сильнее отличается от равновесной функция распределения. Особое внимание следует обратить на Рис. 1(в), где приведена функция распределения электронов по энергиям, характерная для субпикосекундных импульсов и импульсов длительностью в несколько пикосекунд: видно, что явный учёт скачков электрона по энергии за счёт электрон-фонон-фотонных процессов приводит к цепочке четко выраженных эквидистантных максимумов, которые транслируют первый максимум вблизи нуля через интервал (I - энергия ионизации).

кинетическая энергия ^

кинетическая энергия у^

0 25 0 50 0 75

кинетическая энергия £/]

Рис. 1. Гистограммы распределения горячих электронов по энергии, нормированные на максимальное число электронов (приведённые для удобства без множителя плотности числа состояний), в предпробойных условиях, характерные для интервала наносекундных (а), пикосекундных (б), субпикосекундных (в) длительностей воздействия поля на диэлектрик.

Влияние разогрева решётки в течение действия электромагнитного поля на динамику генерации электронов проводимости и характер перераспределения энергии (за время импульса) между электронной и фононной подсистемами учитывается путём модификации вероятностей процессов (2): после каждого акта ионизации производится пересчёт чисел N в соответствии с

N <г- N + АЫ -Ал, (5)

где Дл -текущее показание счетчика разности между числом испусканий и числом поглощений фононов, д^ - изменение чисел заполнения фононов, приходящихся в среднем на одно избыточное испускание фонона.

Находим связь между вероятностями, используемыми в моделировании по методу Монте-Карло, и коэффициентами уравнения типа Фоккера-Планка, записанного в п - фотонном приближении

2>

тВ(к) рЬк

Г, (к), = ^

М

п

де2

(6)

2ц["] - доля всех электрон-фонон-фотонных процессов в и-квантовом приближении, ^л) - определяет долю /-фотонных процессов испускания (или поглощения) в «-квантовом приближении. Используя в (6) соотношение

4200=ш К"1)

^-т 1+к (~<к (21 + 2к)\ 1,2

(для / > 0; Сти- биномиальные

коэффициенты), приходим к

оо /~г1+к к

т/ = 2Е (-1)* *

к=О

(21 + 2к+\у\2

2 (*+/)

еЕкт,

(7)

Для того чтобы корректно учесть первый член в Т„("' =

- в

и-квантовом приближении в разложении Т,

(2л + 1)(Л!)Ч2, достаточно ограничиться

ктж=п~1 +1 слагаемыми. В каждой клетке табл. 1 записан последний член, который необходимо учитывать при данном параметре квантовости процесса п : для получения полного выражения Т,(п) для заданного п необходимо

просуммировать содержимое ячеек, предшествующих п + 1 ячейке, и удвоить полученный результат.

Вспомогательная таблица для получения коэффициентов Т

Таблица 1 (»)

п=0 п = 1 п = 2 п = 3

1=0 1 6 160 5г' 4032

1=1 0 г2 12 11 80 5376

1 = 2 0 0 320 г6 2688

1=3 0 0 0 г6 16128

Пользуясь табл. 1 и принимая во внимание J_l (г) = (-1)'./, (г), заключаем,

что

не является функцией п. Подставляя (8) в (6) и используя (7), приходим к

2д(п) = £ /2Т,("> = (9)

То обстоятельство, что выражение (9) не является функцией квантовости (п) процесса обязывает сделать вывод, что в диффузионном приближении описание развития лавины с учётом п — квантовых электрон-фонон-фотонных процессов (п Ф 0) эквивалентно рассмотрению, учитывающему лишь процессы с участием одного кванта света.

Разделяя в уравнении (6) переменные /^(¿у) = р(г)схр(//), учитывая, что при квТ » йю и используя результаты (8) и (9), приходим к уравнению

рку

-ф(Е)

- I 15а2(Р^

6 =

1+ — со

м:

I

(10)

2лтсоВ(к) К ' йе с1е2

На Рис. 2 построены графики зависимостей постоянной развития лавины от эффективной температуры электронного газа 5. Применение краевого условия удвоения потока электронов приводит к заниженным величинам постоянной развития лавины, что согласуется с физическими предпосылками моделирования и свидетельствует о корректности разработанной схемы.

■ 10

6 ■ 102

Рис. 2. Зависимость постоянной развития лавины от эффективной температуры электронного газа: кривая 1 соответствует аналитическому решению уравнения Фоккера-Планка с краевым условием удвоения потока электронов; кривая 2 -решению уравнения Фоккера-Планка методом Монте-Карло.

РАЗДЕЛ 3 посвящён разработке теоретического обеспечения для построения алгоритма симуляции лавины, учитывающего специфику взаимодействия конкретного материала с излучением.

Приводится модификация алгоритма моделирования случая, когда реализуются два различных механизма рассеяния электронов, обеспечивающих эффективный отбор энергии из электромагнитного поля.

Для ВО-, БА-, РО-, РА-механизмов рассеяния электронов на фононах зависимости времени релаксации продольной компоненты импульса горячего электрона от энергии и температуры включены в алгоритм моделирования

о

п ® = \

1+7

ксо

(Ш+1)2е коз

Г -П г -п <°>

1-Р Ара е .П- I р -Ь<

со

_______ . , .„ , --^х4В,—ггфте.

жП ' з 4Е 1р -1™ яй4 4 5

Из соотношений (11) следует, что характер зависимости частоты столкновений

горячих электронов с фононами от энергии для одноимённых механизмов

рассеяния совпадает. Запуску моделирования предшествует инициализация

массива поправочных коэффициентов: г'-й энергетической ячейке согласно

соотношениям (11) ставится в соответствие значение [у1]'"'^')'

нормированное на опорное время розыгрыша. С помощью указанных зависимостей произведены модификации процедуры в розыгрыше типа процесса. При прогонке программы с учётом разогрева решётки аналогичным образом используются зависимости [г,,ч](С)(Г). Результаты симуляции,

произведённой как с учётом зависимостей [г/1]^,) и [//'Т'^)' так и в

предположении постоянства частот электрон-фононных столкновений, практически не отличаются, несмотря на достаточно большое число актов рассеяния, предшествующих событию ионизации. Однако соотношения (11) оказываются полезными при выборе схемы учёта нагрева решётки для заданного диэлектрика в случае нескольких эффективных механизмов рассеяния электронов на фононах.

Получены оценки поправок к частотам электрон-фононных столкновений, обусловленных присутствием сильного электромагнитного поля (снабжены индексом ЕМР)

[У]„Г [У1

['/■и* [VI

<°)

а те

, ш 0 , ш ,, .ш

1--+ +--~

1 +

Ш

ш

е

(12)

мг и ь-а; ~

(шг)

где

[VI

еЕ

(0)

■ = 2ате\ ,1

ЙП . по. —+М+--

е 1 е

1

6\/иШ2

при П т »1

Интересно заметить, что при рассеянии на горячих электронах, несмотря на различные зависимости матричных элементов электрон-фононного взаимодействия от импульса фонона, определяющие размер поправки выражения (12) для БО- и БА-механизмов, а также для РО- и РА-механизмов совпадают.

Изучается вопрос о включении в схему моделирования разогрева решётки в зависимости от длительности импульса и типа возмущаемых фононов. В связи с последним рассматривается актуальный для пробоя пикосекундными импульсами вопрос о релаксации фононной подсистемы через трёх- и четырёхфононные процессы. Получено общее выражение для одночастичной

мацубаровской функции Грина фононов, позволяющее производить численные оценки времени жизни фононов

'-ф ф«0+^)+([)+|оо

Здесь

- Фурье-образ одночастичной мацубаровской функции Грина

2 квТсо-

фонона, I =---.--—г- — Фурье-образ мацубаровской функции Грина

2 квТ й)! = ——

свободного фонона ( Й - дискретная частота, б - целое число),

Ф.

вид:

массовый оператор. Аналитические выражения для диаграмм имеют

О -^^у^Г^т л,(гу)=-(2.Ы+,);

= 18

' п

л2 (к'ГкТ) =

к? к'Г

2кпТ

Юг.....2) + А со г,2 со,2

к'У ) к'у 1

(2-(^)+1КК+у-у)

[со2 + со-к.; -со ¡„/)2 + 4 СО

V2

■ 96

V

У К г ........ .„ ,.....,.......«Аз (к'ГкУ'к'У"),

1 -к^кук'Ук'У Ьн-ку-ку-к'") * \ ■> ■> ■> )

ку к'Г

к'У

А,(кПТк'Т') = ~

2п кВТ у

03;

к

(2Ы+1)(2Ы+1)

•Яе

('КНИ^М

Яе

(2Ы + 1)(2К-Н

Яе

5 + 1>' + |г"+1>'" 5 + !>'-/>"+!>'"

-4

З^4 - г'4 - г'"4 - г"4 + Ъг (га + г"2 + г"'2) + 2 (/V2 + г'2г'"2 + г'"2г"2)

54+г'4+Г"'4+Г"4 +

2*2(

■2(Г'У'2+г'У"2+Г'"2Г"2)

г'2 + г"2

+ 2/"2)-Л

+ (8 хгУ'г'")2

где для сокращения записи в выражении, определяющем В(з), использованы следующие обозначения

На

г =

ку

ЪжквТ

г -

%СОг„.„ к1

г" =

Й со .-,„.„, * ^

2лквТ

ОО =24

2пквТ '

гу

й

' Юр-.2 - Юг,,,-,2 к ]

Юг,,.,

К')

СО,.....

к'

В зависимости от роли, которую играют рассматриваемые процессы в установлении равновесия, можно пользоваться различными аппроксимациями массового оператора и на основании сравнения определяющих характер задачи временных масштабов выбрать для заданного материала подходящий способ включения нагрева решётки в схему компьютерного эксперимента. Выполненный в настоящем разделе анализ даёт возможность продолжить процедуру моделирования на область субпикосекундных лазерных импульсов.

ЧЕТВЁРТЫЙ РАЗДЕЛ содержит результаты применения компьютерного моделирования к исследованию развития лавины в высокочастотном поле.

Для установления области применимости диффузионного приближения сопоставляются результаты, полученные при моделировании уравнения Фоккера-Планка с эффективной электронной температурой, «заменяющей» процессы, протекающие с участием квантов света, с результатами

непосредственного моделирования квантового кинетического уравнения. На Рис. 3 проведено такое сравнение для трех различных отношений псг^/ -

построены зависимости постоянной развития лавины от пороговой интенсивности поля: видно, что учет процессов с участием одного кванта света приводит к тому, что лавина будет нарастать значительно быстрее.

Рис. 3. Зависимости постоянной развития лавины от параметра безразмерной интенсивности поля q при = 0.1 (а), 0.05 (б), 0.15 (в): штриховые линии -

результат моделирования уравнения Фоккера-Планка с использованием эффективной температуры электронного газа; сплошные линии отвечают моделированию квантового кинетического уравнения, учитывающего явно процессы с участием фотонов; (г) натуральные логарифмы зависимостей, построенных на Рис. 3 (а).

Сравнивая результаты Рис. 3(а)-(в), отмечаем, что поправка к диффузионному приближению возрастает при увеличении отношения энергии кванта света к энергии ионизации. На Рис. 3(г) обращаем внимание на то, что при относительно малых значениях параметра q, соответствующего критическим интенсивностям в наносекундном диапазоне длительностей, моделирование квантового кинетического уравнения, как и диффузионное приближение, приводит к очень сильной зависимости постоянной развития

лавины от интенсивности электромагнитного поля, при сокращении длительности импульса указанная зависимость заметно ослабевает.

Из-за трудностей сравнения теоретических и экспериментальных результатов относительная значимость механизмов пробоя оценивается не столько по величине пороговой напряженности, сколько по характерным зависимостям критического поля от температуры диэлектрика, частоты электромагнитного поля, энергии ионизации, длительности импульса. На Рис. 4 приведены найденные в результате численного решения квантового кинетического уравнения зависимости критического поля от длительности воздействия поля в диапазоне от Ъпс до 30нс. Пороговая величина поля с уменьшением длительности импульса возрастает, причём зависимость является плавной в наносекундном диапазоне длительностей воздействия и резкой в пикосекундном диапазоне.

Е,,., 10' В/и £.',,. 111" И м

Рис. 4. Зависимости порогового поля от логарифма отношения длительности tp импульса к t, = 10"12е (а) для Л = 0.53л<кл< при температурах 300ЛГ (кривые 1), 400а: (2), 500АГ (3), 600а: (4); (б) для Т = 400А' при различных длинах волн падающего излучения: сплошные кривые - 0.27мкм, штриховые - 0.53мкм, пунктирные -1.0 (¡мкм.

На Рис. 4(a) отмечаем, что при более высоких начальных температурах электронная подсистема активнее отбирают энергию из электромагнитного поля, что приводит к меньшим критическим полям при тех же импульсах, но более высоких начальных температурах. Зафиксировав длительность импульса, видим, что с возрастанием температуры критические поля убывают, что качественно согласуется с ранее установленным в диффузионном приближении

результатом (Епифанов A.C., Маненков A.A. Прохоров A.M.) Е„~Т Фиксируя температуру и варьируя частоту электромагнитного поля, из Рис. 4(6) заключаем, что критические поля для случая квантов света, энергия которых выше, будут больше.

Анализ перераспределения энергии между электронным газом и решёткой производится как в пренебрежении влиянием разогрева решётки на

вероятности процессов рассеяния (2), так и с учётом влияния разогрева решётки. Информация, накопленная в процессе моделирования, используется для вычисления отношения энергии, запасенной в электронной подсистеме к избыточной (по отношению к равновесному состоянию) энергии, сконцентрированной в решётке к концу действия импульса. Коэффициент перераспределения Л позволяет делать выводы относительно того, когда разрушение развивается: если отношение Я мало, то необратимые микроскопические изменения могут начаться еще во время действия импульса, в случае й>1 при пороговых интенсивностях все проявления пробоя следует ожидать уже после его прохождения. Сравнительный анализ полученных в предположении «холодной решётки» результатов позволил установить, что коэффициент перераспределения возрастает с укорочением длительности воздействия поля, увеличением энергии кванта света, понижением начальной температуры кристалла и ряд других закономерностей. Для всех длин волн учёт влияния нагрева фононного газа приводит к более высоким значениям коэффициента перераспределения. Анализируя зависимость отношения К от длины волны, наблюдаем интересную особенность: при использовании схемы моделирования без учёта влияния нагрева решётки это отношение растет с уменьшением длины волны падающего излучения, а при учёте - убывает при всех длительностях импульсов, причём расхождение в значениях Л нарастает с увеличением длины волны.

0.27 0.53 1.06

0.27 0.53

Х,.\1КМ

..... Ус -без учёта разогрева решётки

оно Ун - с учётом разогрева решётки

"о 0.27 0.53 1.06

?„ЛКЛ<

Рис. 5. Сравнительный анализ влияния нагрева решётки на постоянную развития лавины (е0 - энергия эффективного фонона).

Анализируя влияние разогрева решётки на постоянную развития лавины Рис. 5, заключаем, что учет нагрева фононов приводит к небольшому, но заметному увеличению скорости развития лавины: это увеличение меньше выражено для длины волны Л = 0.27мкм с одной стороны, а с другой - оно сильнее для наносекундного диапазона длительностей импульса.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Произведённое в настоящей работе теоретическое рассмотрение процесса ударной лавинной ионизации привело к разработке метода численного решения квантового кинетического уравнения Больцмана, описывающего эволюцию функции распределения электронов проводимости в интенсивном высокочастотном электромагнитном поле.

1. Получены решения указанного уравнения для случая, когда энергия кванта света порядка или больше средней энергии электронов, в широком диапазоне длительностей импульсов (от 3-Ю"'2 до 3-10"8 с). Установлено, что с сокращением длительности воздействия поля на диэлектрик форма функции распределения электронов проводимости по энергии существенно определяется способом учёта взаимодействия электронов с полем.

2. Найдены зависимости постоянной развития лавины от критического поля, которые в дальнейшем могут быть использованы при решении уравнений, учитывающих конкурирующие механизмы генерации электронов проводимости.

3. Построены зависимости порогов пробоя от длительности импульса для серии частот электромагнитного поля, энергий ионизации, начальных температур кристалла, позволяющие идентифицировать лавину в качестве предельного механизма пробоя прозрачных диэлектриков. Показано, что критическое поле слабо зависит от длительности воздействия поля, когда последняя больше или порядка нескольких пикосекунд, в то время как в более коротких импульсах критическое поле резко возрастает.

4. Изучено влияние разогрева решётки в течение действия импульса на динамику генерации электронов проводимости. Показано, что хотя разогрев решётки приводит к ускорению развития лавины, на величины порогов это ускорение заметно повлиять не может.

5. Проанализировано перераспределение энергии между электронной и фононной подсистемами для различных схем учёта нагрева решётки.

6. Установлены границы области применимости уравнения Фоккера-Планка, отвечающего диффузионному приближению квантового кинетического уравнения. Произведённые вычисления свидетельствуют о том, что использование диффузионного приближения приводит к заметным ошибкам даже при не слишком больших (-0.1) отношениях энергии кванта света к энергии ионизации.

7. Развитый в настоящей работе подход позволяет отделить погрешности, связанные с применением диффузионного приближения, от ошибок, возникающих из-за использования краевого условия удвоения потока электронов.

Разработанный в диссертации алгоритм компьютерной симуляции разогрева электронов в интенсивном высокочастотном электромагнитном поле представляет собой гибкий и эффективный инструмент целенаправленных исследований роли лавинного механизма пробоя диэлектриков, который, как мы надеемся, позволит согласовать модельные представления о процессе развития электронной лавины с результатами экспериментальных данных по пробою прозрачных твёрдых диэлектриков.

Основные результаты диссертации отражены в работах:

1. Гарнов C.B., Епифанов A.C., Никифоров A.M. Влияние нагрева фононного спектра на процесс образования индуцированной полем лазера электронной плазмы в широкозонных диэлектриках // Многозарядная лазерная микроплазма газов. М.: Наука, 2011. С. 64-78 (Труды ИОФАН; т. 67).

2. Никифоров A.M., Епифанов A.C., Гарнов C.B. Разогрев неравновесных электронов лазерным излучением в твёрдых прозрачных диэлектриках // ЖЭТФ.-2011.-№139. -С. 184-198.

3. Никифоров A.M. Теоретическое исследование процессов релаксации в фононном спектре диэлектриков // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Серия «Естественные науки». - 2010. - № 4. - С. 48 - 59.

4. Епифанов A.C., Никифоров A.M. Исследование развития лавинной ионизации в прозрачных диэлектриках методом Монте-Карло // Сб. научных трудов МГТУ им. Н.Э. Баумана, вып. 3, М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010. С. 98-115.

5. Никифоров A.M. Влияние разогрева фононного спектра на развитие электронной лавины под действием интенсивного лазерного излучения // Сб. научных трудов МГТУ им. Н.Э. Баумана, вып. 3, М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010. С. 91 -97.

6. Никифоров A.M. Исследование методом Монте-Карло развития лавинной ионизации в объёме твёрдых прозрачных диэлектриков // Актуальные проблемы фундаментальных наук: Сборник трудов четвёртой научно-методической конференции аспирантов и молодых исследователей, М.: НИИ РЛ МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010. С. 76 - 77.

7. Никифоров A.M. Разогрев неравновесных носителей в диэлектриках большими квантами света // Труды пятой Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике» (часть 1), М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. С. 196 - 200.

8. Григорьев C.B., Епифанов A.C., Никифоров A.M. Динамические массивы произвольной размерности // Тезисы докладов Третьей Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике». - М.: МГТУ, 2005. С. 144-146.

Подписано к печати 20.12.11. Заказ №892 Объем 1,25 печл. Тираж 100 экз. Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д.5 (499) 263-62-01

ВВЕДЕНИЕ.

РАЗДЕЛ 1. Анализ работ по проблеме оптического пробоя прозрачных твёрдых диэлектриков.

1.1. Введение.

1.2. Общие замечания по теории ударной лавинной ионизации.

1.3. Обзор методов исследования электронной лавины.

1.4. Приближения квантового кинетического уравнения.^

1.5. Обзор основных работ, посвященных моделированию разогрева горячих электронов полем.

1.6. Проблема идентификации механизма оптического пробоя.

1.7. Постановка задачи.

РАЗДЕЛ 2. Моделирование электронной лавины методом статистических испытаний.

2.1. Введение.

2.2. Методика расчёта постоянной развития лавины.

2.3. Распределение неравновесных электронов по энергии.

2.4. Учёт разогрева решётки.

2.5. Диффузионное приближение квантового кинетического уравнения и численное моделирование.

2.6. Генератор псевдослучайной последовательности.

3.2. Моделирование лавины в предположении двух эффективных механизмов электрон-фононного взаимодействия.89

3.3. Время релаксации импульса горячего электрона в присутствии сильного электромагнитного поля.91

3.4. Особенности учёта разогрева решётки для нескольких эффективных механизмов рассеяния электронов на фононах.99

3.5. Одночастичная мацубаровская функция Грина фонона с учётом трёх- и четырёхфононных процессов.106

3.6. Основные результаты и выводы.117

РАЗДЕЛ 4. Применение компьютерного эксперимента к исследованию ударной лавинной ионизации.118

4.1. Введение.118

4.2. Сравнительный анализ результатов моделирования квантового кинетического уравнения и уравнения Фоккера-Планка.118

4.3. Идентификация лавины в качестве предельного механизма оптического пробоя.122

4.4. Перераспределение поглощённой энергии между электронной и фононной подсистемами за время действия импульса.129

4.5. Влияние разогрева решётки на постоянную развития лавины.137

4.6. Основные результаты и выводы.141

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.144

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.146

ВВЕДЕНИЕ

Являясь одним из фундаментальных вопросов физики взаимодействия интенсивного электромагнитного излучения с конденсированными средами, оптический пробой твердых диэлектриков, впервые наблюдавшийся в 1964г. [66], [79], уже многие годы привлекает пристальное внимание исследователей. Неослабевающий интерес к этой проблеме обусловлен исследованиями протекающих на ультракоротких временных масштабах процессов, задачами проектирования высокополевых оптоэлектронных устройств [92], многочисленными приложениями лазера в технологиях прецизионной обработки оптических материалов [4], [58], [65], [85], [133]. Благодаря сильной локализации области разрушения короткоимпульсные лазеры находят широкое применение в биологии [127] и хирургии [95]. Таким образом, всё большее значение приобретает задача контроля области разрушения.

С другой стороны, оптический пробой диэлектриков является одним из основных физических факторов, ограничивающих максимально возможную мощность лазерных систем, и сужает тем самым потенциальную область приложений ультракоротких импульсов. В последние годы проблема повышения лучевой прочности лазерных материалов, оптических элементов приобрела исключительное значение в связи с крайне жесткими требованиями, предъявляемыми к лазерным системам установками лазерного термоядерного синтеза. Кварцевые пленки и светоделители являются, как правило, самыми «слабыми» элементами в конструкциях таких систем, как МБ, ЫРЕЯ, ЫШ и ЕЫ [62], [101].

Изучение ответственных за оптический пробой процессов представляет интерес как с точки зрения создания новых материалов, так и в плане выработки рекомендаций по обработке образцов, которые в зависимости от приложений должны обладать либо высокими, либо низкими порогами пробоя. Перечисленные обстоятельства придают приоритетное значение исследованию диэлектрических материалов на предмет выяснения их предельной стойкости к оптическому излучению.

Экспериментальное изучение оптического пробоя представляет собой исключительно сложную задачу как с точки зрения контроля условий эксперимента и получения воспроизводимых результатов, так и в смысле их интерпретации при значительной нехватке информации о параметрах вещества, свойствах горячих электронов и пр. За более чем сорокалетнюю историю существования проблемы оптического пробоя была проанализирована роль целого комплекса явлений [30], [90], [96], [97], [119]. Исследования показали, что для адекватного представления условий, в которых действуют механизмы пробоя, необходим учет эффектов самодействия [29], [80], [111], [126]: самофокусировки, самодефокусировки, вынужденного рассеяния излучения в среде и пр. И хотя влияние этих процессов на развитие пробоя интенсивно изучалось, количественный учет их до сих пор наталкивается на серьезные трудности. Поэтому одной из главных задач эксперимента является создание условий, в которых упомянутые эффекты не будут влиять существенным образом на измеряемые пороги пробоя.

Чтобы избежать искажения пространственной и временной формы импульса при прохождении его через диэлектрик (обусловленного самофокусировкой, дисперсией групповой скорости, самомодуляцией и пр.), а также сложностей определения мгновенной интенсивности поля в материале, связанных с зависимостью показателя преломления от плотности электронной плазмы, довольно часто принимается решение - исследовать поверхностный пробой. Как правило, при интерпретации результатов предполагается, что работают те же механизмы генерации носителей, что и при объемном пробое. И хотя сопоставление результатов экспериментов по объемному и поверхностному пробою в некоторых случаях демонстрирует согласие, предположение это все ещё нельзя считать убедительно обоснованным (см., например, [80] и ссылки там).

Избавиться от необходимости учёта самофокусировки можно, выбрав в качестве объекта исследования тонкие плёнки (однако при анализе результатов необходимо принимать во внимание интерференционные эффекты). В экспериментах по объемному пробою явление самофокусировки удается исключить с помощью короткофокусных линз (необходимая для пробоя интенсивность в фокусе достигается при мощности входного излучения, меньшей критической мощности самофокусировки).

В реальных оптических материалах порог пробоя определяется несобственными механизмами пробоя - поглощением на неизбежно присутствующих в них дефектах и примесях [7], [13], [54], [59], [70], [78], [123]. Высокой концентрацией дефектов в приповерхностном слое оптических элементов (при механической полировке поверхности) отчасти объясняется разница в поверхностной и объемной лучевой прочности. Специальная обработка поверхностей позволила практически выровнять пороги объемного и поверхностного пробоя [125].

С сосредоточением необратимых изменений в решетке вокруг поглощающих дефектов связывают также эффект накопления - в результате воздействия серии импульсов пробой происходит при заметно более низких интенсивностях, чем при одноимпульсном облучении [30], [64]. Однако в случае относительно небольшого числа ультракоротких импульсов и достаточно высоких частот повторения эффект накопления имеет место также в идеальных диэлектриках. При этом он может объясняться взаимодействием с излучением неравновесного электронного газа, не успевшего рекомбинировать за временной промежуток между импульсами [19], [50], [94].

Устраняя дефекты с помощью термической обработки [7], [11], [12], [74], [97], удаётся существенно повысить стойкость диэлектриков к оптическому излучению и перевести исследования максимальных порогов пробоя в экспериментальную плоскость. В связи с этим важно заметить, что морфология разрушения не позволяет делать выводы относительно того, было оно инициировано собственными механизмами либо поглощающими дефектами [7]. Вопрос о возможности сопоставления опытных данных с теорией решается путем тщательного отбора образцов кристаллов, пороги пробоя которых оказываются наибольшими [12]: считается, что в прочих экспериментах собственный механизм пробоя не реализовывается.

Таким образом, максимальные пороги наблюдаются в объемном пробое при однократном облучении предельно чистых оптических материалов, т.е. именно собственные механизмы пробоя определяют предельную стойкость диэлектриков к лазерному излучению. Последнее обстоятельство послужило мощным мотивом исследований оптического пробоя идеальных прозрачных кристаллов. Отметим, что в рамках проблемы оптического пробоя прозрачными считаются материалы, для которых линейный коэффициент поглощения электромагнитного излучения недостаточен для поглощения за время действия импульса энергии, необходимой для развития необратимых изменений.

Актуальность темы

До настоящего времени вопрос о том, какой из предельных механизмов является доминирующим в процессе пробоя диэлектриков интенсивным электромагнитным излучением, остаётся не выясненным. В работах [40], [113] было показано, что такие явления, как электрострикция, генерация гиперзвука при вынужденном рассеянии Манделыитама-Бриллюэна, световое давление оказываются не достаточно эффективными, чтобы вызвать разрушение идеальных прозрачных диэлектриков. Обсуждался описанный в [88], [89], [112], [114], [115] многофотонно-поляронный механизм, возможность возбуждения лавинной ионизации за счёт электрон-электронных соударений с одновременным многофотонным переходом [32], механизм каскадно-лавинной генерации электронно-дырочных пар (эффект многофотонной лавины) [36], [37], [38]. Наиболее вероятными собственными механизмами, ответственными за пробой широкозонных диэлектриков, в настоящее время считаются многофотонная и ударная лавинная ионизация.

Значительные успехи, достигнутые на пути генерации ультракоротких лазерных импульсов [28], [104], позволили заметно расширить представления о микроскопических процессах, действующих на пико- и фемтосекундных временных масштабах, и тем самым продвинуться в понимании пробоя. В литературе встречается достаточно много интересных работ типа [48], [60], [86], [87], [91], [107], [108], [121], [124], [125], [134], в которых делаются попытки учета нескольких процессов, приводящих к пробою диэлектрика. Для того чтобы такое совместное рассмотрение процессов было корректным, необходимо уметь определять величину постоянной лавинной ионизации. Этой проблеме, в частности, и посвящена настоящая диссертация.

Следует иметь в виду, что в связи с сильной нелинейностью механизмов пробоя они будут конкурировать лишь в достаточно узком интервале длительностей воздействия поля на диэлектрик [50], [87]. Исключительно важным для установления эволюции во времени распределения свободных электронов представляется определение условий, в которых доминирует тот или иной механизм генерации носителей заряда: ответ на этот вопрос позволит исследовать динамику нелинейного поглощения энергии из электромагнитного поля. Несмотря на значительные усилия, предпринятые в этом направлении, вопрос о лидирующем механизме в высокочастотных полях до сих пор остаётся предметом острых дискуссий. Обычно предполагается, что электронная лавина является основным механизмом пробоя предельно чистых оптических материалов при длительностях воздействия поля 10"и-10"7с (для щелочно-галоидных кристаллов см. [12], для 8Ю2 [67], [128]), а в более коротких импульсах следует ожидать заметного влияния многофотонной ионизации [87]. Тем не менее, экспериментальные результаты [67], [128] и вычисления [50], [126], проведённые для 5Ю2, указывают на то, что электронная лавина конкурирует с многофотонной ионизацией и даже может доминировать при длительностях импульса Ю"14 -10"пс. Для СаР2 аналогичные выводы сделаны в работе [85].

Из-за сложности сравнения теоретических и экспериментальных результатов относительная значимость механизмов пробоя оценивается не столько по величине пороговой напряженности1, сколько по ее характерным зависимостям от температуры диэлектрика, частоты электромагнитного поля, длительности воздействия поля на диэлектрик [12], [17], [30], [64], [96], [119], [120], [123].

Выводы о роли лавинной ионизации делаются, как правило, на основании анализа отвечающих диффузионному приближению уравнений типа Фоккера-Планка [50], [124], [125], [134], область применения которых ограничивается условием малости энергии фотона по сравнению со средней энергией электронов проводимости, тогда как эксперимент [84], [93], [94], [124], [125]

•у

Пороговой напряженностью называют минимальное необходимое для пробоя материала в одной вспышке пиковое значение напряженности поля в центре каустики. уже заведомо выходит за рамки справедливости диффузионного приближения. Другое направление критики выводов [67], [93], [124] отражено в статье [98], где выражаются сомнения относительно доминирующей роли собственных механизмов в исследованных образцах, и указывается на возможность истолкования зависимости порога от длительности импульса путём привлечения механизма взрыва поглощающих дефектов [90]. Сказанное свидетельствует о том, что упомянутые экспериментальные результаты в настоящее время не имеют надёжной интерпретации.

Настоящая работа посвящена теоретическому рассмотрению ударной лавинной ионизации. Впервые попытка описания процесса развития лавины в твердых телах в высокочастотном поле была предпринята в [34], где использовался метод, разработанный для исследования ударной ионизации в газах [18]. При этом в [34] пренебрегалось энергетическими потерями при электрон-фононных столкновениях, что впоследствии привело к сильно заниженным оценкам критических полей. В [14] было получено приближение диффузионного типа для квантового кинетического уравнения с учетом энергетических потерь при электрон-фононных столкновениях, справедливое, когда энергия кванта света существенно меньше средней энергии электрона.

Однако диффузионное приближение не вполне адекватно описываемому процессу, если энергия фотона порядка средней энергии электрона. Более того, в работе [15] было показано, что уравнение Фоккера-Планка является классическим даже в том случае, если оно было получено из общего квантового кинетического уравнения. В связи с этим в [12] было приведено носящее квантовый характер дифференциально-разностное квантовое кинетическое уравнение в однофотонном приближении, для которого электрон-фононные столкновения рассматриваются в приближении Фоккера-Планка, а переходы с участием фотонов в электрон-фонон-фотонных столкновениях учитываются как конечные разности.

Затруднения, возникающие в процессе поиска аналитического решения дифференциально-разностного квантового кинетического уравнения, привели к тому, что вплоть до настоящего времени оставалось невыясненным влияние на описание лавины замены этого уравнения уравнением Фоккера-Планка (что указывает на необходимость в разработке методики, позволяющей осуществлять компьютерное моделирование нагрева неравновесных электронов зоны проводимости в сильном высокочастотном поле). Последнее обстоятельство, по-видимому, послужило причиной того, что в ряде работ в попытках объяснения результатов эксперимента авторы выходят за границу области применимости диффузионного приближения [50], [124], [125], [134]. Таким образом, стала складываться весьма своеобразная ситуация, когда в работах, с одной стороны, констатируется ограниченность области применимости уравнения Фоккера-Планка, а с другой, - это уравнение используется для интерпретации экспериментальных фактов, полученных для случая больших квантов света. Отмеченное положение свидетельствует об актуальности исследований, направленных на определение доминирующего механизма оптического пробоя диэлектриков ультракороткими импульсами при энергиях фотонов порядка или больших средней энергии электронов.

При обсуждении зависимости порога оптического пробоя от температуры кристалла, как правило, имеется в виду начальная температура. Однако в течение импульса в процессе лавинной ударной ионизации область взаимодействия разогревается, и естественным образом возникает вопрос о корректности теоретических рассмотрений зависимости порога пробоя от температуры, выполненных в предположении постоянной температуры решётки. Возмущение фононного спектра отражается на относительных долях процессов рассеяния. Это, в свою очередь, должно сказываться на величине энергетических потерь электронов проводимости. Таким образом, в контексте проблемы оптического пробоя диэлектриков и его предельных механизмов, как подчёркивают многие авторы (см. например, работы [49], [51], [87], [125]), важным, но малоизученным оказывается вопрос о влиянии разогрева фононного газа на развитие лавины. Особенно остро потребность в таком исследовании ощущается при описании пробоя пикосекундными импульсами.

Цель и задачи исследования

Целью диссертации является разработка техники идентификации ударной лавинной ионизации в качестве предельного механизма оптического пробоя прозрачных твёрдых диэлектриков. Реализация намеченной цели предусматривает решение следующих задач:

- разработку и обоснование процедуры моделирования процесса развития лавины в высокочастотном электромагнитном поле методом Монте-Карло; создание и тестирование специализированного программного обеспечения;

- численное решение квантового кинетического уравнения для функции распределения электронов проводимости;

- установление границ применимости диффузионного приближения квантового кинетического уравнения;

- анализ влияния разогрева решётки на характер развития лавины.

Научная новизна работы заключается в развитии теории лавинной ионизации для случая квантов света, энергия которых порядка и больше средней энергии электронов проводимости.

В диссертации получены следующие новые результаты:

- Впервые исследовано влияние замены квантового кинетического уравнения уравнением Фоккера-Планка на характер зависимости постоянной развития лавины от порогов пробоя. Показано, что использование диффузионного приближения может приводить к заметным ошибкам уже при отношении энергии кванта света к энергии ионизации около 0.1.

- В результате численного решения квантового кинетического уравнения построены зависимости порогового поля от длительности его воздействия на диэлектрик для серии частот электромагнитного поля, температур кристаллической решётки и энергий запрещённой зоны, позволяющие делать обоснованные выводы относительно роли лавинной ионизации в случае, когда диффузионное приближение не применимо из-за большой энергии фотона.

- Впервые исследовано перераспределение энергии между электронной подсистемой и решёткой; проанализировано влияние ключевых факторов эксперимента (начальной температуры решётки, её разогрева, длительности воздействия поля на диэлектрик, энергии квантов света) на коэффициент перераспределения поглощённой из поля энергии.

Научно-практическая значимость работы

Проведённые теоретические исследования могут быть использованы для анализа экспериментальных данных по пробою диэлектриков ультракороткими импульсами в широком диапазоне частот, определения предельной стойкости оптических материалов к лазерному излучению и планирования специальных экспериментов, целью которых является выяснение роли ударной лавинной ионизации в разрушении материалов. Построенные зависимости постоянной развития лавины от критического поля могут быть использованы при решении уравнений, учитывающих конкурирующие механизмы генерации свободных носителей.

Предложенный алгоритм моделирования и созданное на его основе программное обеспечение может оказаться полезным при проектировании оптических трактов высокомощных лазерных систем и для создания новых оптических материалов, обладающих высокой лучевой прочностью.

Полученные результаты могут найти широкое применение в области численного моделирования оптического пробоя твёрдых диэлектриков, поскольку разработанные в диссертации эффективные алгоритмы реализованы в виде программного обеспечения, позволяющего производить расчёты без привлечения суперкомпьютеров.

Достоверность результатов

Достоверность полученных в работе результатов обеспечивается использованием известных уравнений теоретической физики, выбором адекватных физических моделей для рассматриваемого класса задач, а также всесторонним тестированием разработанных численных методов и алгоритмов.

На защиту выносятся:

- Метод теоретического исследования процесса развития электронной лавины в прозрачных твёрдых диэлектриках в высокочастотном электромагнитном поле при длительностях воздействия поля от Зпс до 30нс. Найденные в результате численного решения квантового кинетического уравнения распределения электронов по энергии, сформировавшиеся за время действия электромагнитного поля.

- Зависимости постоянной развития лавины от пороговой интенсивности поля, полученные в результате решения как уравнения Фоккера-Планка, так и квантового кинетического уравнения, сравнительный анализ которых устанавливает границы области применимости диффузионного приближения.

- Идентифицирующие лавину в качестве предельного механизма пробоя зависимости порогового поля от длительности воздействия и частоты электромагнитного поля, начальной температуры кристалла.

- Установленные закономерности перераспределения энергии между электронной и фононной подсистемами в течение действия поля. Учёт разогрева решётки и релаксационных процессов в фононном спектре в случае нескольких эффективных (в плане отбора энергии из поля) механизмов рассеяния электронов на фононах. Выявленные особенности влияния нагрева решётки (за время действия поля) на постоянную лавинной ионизации.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Третьей Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике», Москва, 2005; Четвёртой Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике», Москва, 2007; Пятой Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике», Москва, 2009; международной конференции "Fundamentals of Laser Assisted Micro- & Nanotchnologies" (FLAMN-10), St. Petersburg - Pushkin, 2010; семинаре Теоретического отдела Института общей физики им. A.M. Прохорова РАН, Москва, 2011.

По материалам диссертации опубликовано 8 работ, из которых 6 научных статей, в том числе 3 - в рецензируемых научных журналах из перечня ВАК:

1. Никифоров A.M., Епифанов A.C., Гарнов C.B. Разогрев неравновесных электронов лазерным излучением в твёрдых прозрачных диэлектриках // ЖЭТФ. - 2011. - Т. 139. - С. 184 — 198.

2. Гарнов C.B., Епифанов A.C., Никифоров A.M. Влияние нагрева фононного спектра на процесс образования индуцированной полем лазера электронной плазмы в широкозонных диэлектриках // Многозарядная лазерная микроплазма газов. М.: Наука, 2011. С. 64-78 (Труды ИОФАН; т. 67).

3. Никифоров A.M. Теоретическое исследование процессов релаксации в фононном спектре диэлектриков // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Серия «Естественные науки». - 2010. - № 4. -С. 48-59.

4. Епифанов A.C., Никифоров A.M. Исследование развития лавинной ионизации в прозрачных диэлектриках методом Монте-Карло // Сб. научных трудов МГТУ им. Н.Э. Баумана, вып. 3, М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010. С. 98 - 115.

5. Никифоров A.M. Влияние разогрева фононного спектра на развитие электронной лавины под действием интенсивного лазерного излучения // Сб. научных трудов МГТУ им. Н.Э. Баумана, вып. 3, М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010. С. 91 - 97.

6. Никифоров A.M. Исследование методом Монте-Карло развития лавинной ионизации в объёме твёрдых прозрачных диэлектриков // Актуальные проблемы фундаментальных наук: Сборник трудов четвёртой научно-методической конференции аспирантов и молодых исследователей, М.: НИИ PJI МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010. С. 76-77.

7. Никифоров A.M. Разогрев неравновесных носителей в диэлектриках большими квантами света // Труды пятой Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике» (часть 1), М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. С. 196 — 200.

8. Григорьев C.B., Епифанов A.C., Никифоров A.M. Динамические массивы произвольной размерности // Необратимые процессы в природе и технике: Тезисы докладов Третьей Всероссийской конференции 24-26 января 2005г. - М.: МГТУ, 2005. С. 144 - 146.

Личный вклад соискателя состоит в разработке алгоритмов моделирования разогрева электронного газа в интенсивном высокочастотном поле, создании и тестировании программного обеспечения, компьютерной обработке и интерпретации результатов расчётов.

Структура и объём диссертации

Работа состоит из введения, четырёх основных разделов и заключения. Общий объём составляет 160 страницы, включая 20 рисунков, 10 таблиц, 15 страниц библиографии, содержащей 135 наименований.

Содержание диссертации

4.6. Основные результаты и выводы

Компьютерное моделирование лавины позволяет корректно рассмотреть случай больших квантов света и строго определить границы области применимости диффузионного приближения. В результате численного решения квантового кинетического уравнения и уравнения Фоккера-Планка в настоящем разделе получены зависимости постоянной развития лавины у от параметра , пропорционального интенсивности лазерного излучения. Сравнение этих зависимостей позволяет заключить, что учёт конечных скачков электрона на энергетической оси приводит к большим скоростям нарастания лавины, чем диффузионное приближение: обусловленная его использованием ошибка становится существенной уже при не слишком больших отношениях (—0.1) энергии кванта света к энергии ионизации, а с увеличением этого отношения поправка заметно возрастает.

Построены зависимости критических полей от длительности импульса (для различных температур решётки и частот электромагнитного поля), способные существенно облегчить интерпретацию экспериментов по лазерному пробою. Сходство результатов эксперимента с построенными зависимостями следует рассматривать как указание на то, что пробой в данной конкретной ситуации есть проявление электронной лавины. Однозначное решение вопроса об условиях, в которых тот или иной механизм пробоя преобладает, должно опираться на сопоставление экспериментальных зависимостей как с представленными в настоящем разделе результатами моделирования, так и с аналогичными исследованиями прочих возможных механизмов генерации свободных носителей заряда. Показано, что порог пробоя, вызванного развитием электронной лавины, слабо зависит от длительности импульса, когда последняя больше или порядка нескольких пикосекунд; в более коротких импульсах критическое поле резко возрастает.

Рассмотрен вопрос о зависимости перераспределения энергии между электронами и решёткой от частоты электромагнитного поля, длительности лазерного импульса, начальной температуры кристалла. В результате учёта влияния разогрева решётки на вероятности разыгрываемых процессов было выявлено качественное отличие в поведении коэффициента перераспределения с ростом длины волны падающего излучения: при использовании схемы без учёта нагрева решётки это отношение растет с уменьшением длины волны лазерного излучения, тогда как включение в процедуру моделирования разогрева решётки приводит к обратному эффекту. Исследовано влияние разогрева решётки в течение действия электромагнитного поля на динамику генерации свободных электронов; показано, что хотя разогрев решётки приводит к ускорению развития лавины, на величинах порогов это ускорение сказывается незначительно.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе произведено последовательное теоретическое рассмотрение процесса ударной лавинной ионизации применительно к проблеме оптического пробоя прозрачных твёрдых диэлектриков. Разработан и реализован метод численного решения квантового кинетического уравнения Больцмана, описывающего эволюцию функции распределения электронов проводимости в предпробойных и пробойных высокочастотных электромагнитных полях.

В результате решения указанного уравнения для случая, когда энергия кванта света порядка средней энергии электронов, в широком диапазоне длительностей воздействия электромагнитного поля на диэлектрик (от 3 • Ю-12 до 3 -10"8 с)

1. получены зависимости постоянной развития лавины от критического поля, которые в дальнейшем могут быть использованы при решении уравнений, учитывающих конкурирующие механизмы;

2. построены серии зависимостей порогов пробоя от длительности импульса для различных частот излучения, энергий ионизации, начальных температур кристалла, позволяющие идентифицировать лавину в качестве предельного механизма пробоя прозрачных твёрдых диэлектриков; показано, что критическое поле слабо зависит от длительности импульса, когда последняя больше или порядка нескольких пикосекунд, в то время как в более коротких импульсах критическое поле резко возрастает;

3. изучено влияние разогрева решётки в течение действия импульса на динамику генерации свободных электронов; показано, что разогрев решётки приводит к ускорению развития лавины, однако, на величины порогов это ускорение заметно не повлияет;

4. установлены закономерности перераспределения энергии между электронной и фононной подсистемами для различных схем учёта нагрева решётки.

Сравнительный анализ зависимостей постоянной развития лавины от интенсивности электромагнитного поля, полученных в результате решения квантового кинетического уравнения и уравнения Фоккера-Планка методом статистических испытаний, позволяет устанавливать границы области применимости диффузионного приближения. Произведённые вычисления показывают, что диффузионное приближение приводит к заметным ошибкам даже при не слишком больших отношениях энергии кванта света к энергии ионизации. Показано, что использования уравнения Фоккера-Планка при описании процесса развития лавины следует избегать уже при отношении энергии фотона к энергии ионизации порядка о.1. Развитый в настоящей работе подход позволяет отделить погрешности, связанные с применением диффузионного приближения от погрешностей, возникающих из-за использования краевого условия удвоения потока.

Разработанный в диссертации алгоритм компьютерной симуляции разогрева электронов в интенсивном высокочастотном поле представляет собой гибкий и эффективный инструмент целенаправленных исследований роли лавинного механизма пробоя диэлектриков, который, как мы надеемся, позволит согласовать модельные представления о процессе развития электронной лавины с результатами экспериментальных данных по пробою прозрачных твёрдых диэлектриков; будет полезен при проектировании оптических трактов высокомощных лазерных систем и при создании новых оптических материалов с высокой лучевой прочностью.

1. Абрамович М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. -М.: Наука, 1979. 830 с.

2. Абрикосов A.A., Горьков Л.П., Дзялошинский И.Е. Методы квантовой теории поля в статистической физике. М.: Физматгиз, 1962. - 444 с.

3. Алексеев А.И. Применение методов квантовой теории поля в статистической физике // УФН. 1961. - Т.73. - С. 41 - 85.

4. Анисимов С.И., Б.С. Лукьянчук. Избранные задачи теории лазерной абляции // УФН. 2002. - Т.172. - С. 301 - 333.

5. Афонин В.И. О критериях лазерного разрушения прозрачных твердых тел // Изв. Челябинского научного центра. 2003. - №1(18). - С. 21 - 26.

6. Афонин В.И. Элементарная теория лазерного пробоя прозрачных твердых тел // Изв. Челябинского научного центра. 2003. - №1(18). - С. 14 - 20.

7. Волкова Н.В., Горшков Б.Г., Епифанов A.C., Маненков A.A. Исследование вариаций порогов разрушения в NaCl // Квантовая электроника. 1979. - Т.6. - С. 1075 - 1076.

8. Воробьев Г.А., Похолков Ю.П., Королёв Ю.Д., Меркулов В.И. Физика диэлектриков (область сильных полей): Учеб. пособие / Томск: Изд-во ТПУ, 2003.-244 с.

9. Гарнов C.B., Епифанов A.C., Климентов С.М., Маненков A.A., Прохоров A.M. Трёх- и четырёхфотонные процессы возбуждения неравновесных носителей в широкозонных кристаллах // Письма в ЖЭТФ. 1987.-Т.45.-С. 399 -402.

10. Гомелаури Г.В., Маненков A.A. Исследование лазерного разрушения кристаллов под действием излучения лазера на CaF2-.Er3+ ( Я = І.ібмкм ) II Квантовая электроника. 1979. - Т.6. - С. 45 - 48.

11. Горшков Б.Г., Данилейко Ю.К., Епифанов A.C., Лобачев В.А., Маненков A.A., Сидорин A.B. Лазерное разрушение щелочно-галлоидных кристаллов // ЖЭТФ. 1977. - Т.72. - С. 1171 - 1181.

12. Горшков Б.Г., Епифанов A.C., Маненков A.A., Панов A.A. Разрушение широкозонных диэлектриков УФ лазерным излучением // Квантовая электроника. 1979. -Т.№6. - С. 2415 - 2419.

13. Епифанов A.C. Процесс развития лавинной ионизации в твёрдых прозрачных диэлектриках под действием импульсов мощного лазерного излучения // ЖЭТФ. 1974. - Т.67. - С. 1805 - 1817.

14. Епифанов A.C., Маненков A.A., Прохоров A.M. Теория лавинной ионизации в прозрачных диэлектриках под действием электромагнитного поля // ЖЭТФ. 1976. - Т.70. - С. 728 - 737.

15. Епифанов A.C., Маненков A.A., Прохоров A.M. Теория лавинной ионизации в твёрдых телах под действием электромагнитного поля // Труды ФИАН. 1978. - Т. 101. - С. 87 - 129.

16. Епифанов A.C., Маненков A.A., Прохоров A.M. Частотная и температурная зависимости лавинной ионизации в твёрдых телах под действием электромагнитного поля // Письма в ЖЭТФ. 1975. - Т.21. -С. 483 -486.

17. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. О лавинной ионизации газа под действием светового импульса // ЖЭТФ. 1964. - Т.47. - С. 1150-1161.

18. Иванов В.В., Михайлов Ю.А., Осетров В.П., Попов А.И., Склизков Г.В. Поверхностная лучевая прочность оптических и лазерных стекол для пикосекундных импульсов // Квантовая электроника. 1995. - Т.22. - С. 589 - 592.

19. Иванов М.А., Чугунков И.В. Теория, применение и оценка качества генераторов псевдослучайных последовательностей. М.: КУДИЦ-ОБРАЗ, 2003.-240 с.

20. Казлаускас П.А., Левинсон И.Б. Релаксация импульса и энергии электрона в кристалле. I. Общие соотношения для пробного электрона // Литовский физический сборник. 1966. - Т.6(1). - С. 33 - 43.

21. Казлаускас П.А., Левинсон И.Б. Релаксация импульса и энергии электрона в кристалле. II. Упругое рассеяние на фононах. Кинетическое уравнение // Литовский физический сборник. 1966. - Т.6(2). - С. 233 -243.

22. Келдыш Л.В. Ионизация в поле сильной электромагнитной волны // ЖЭТФ. 1964. - Т.47. - С. 1945 - 1957.

23. Келдыш Л.В. Кинетическая теория ударной ионизации в полупроводниках // ЖЭТФ. 1959. - Т.37. - С. 713 - 727.

24. Келдыш Л.В. К теории ударной ионизации в полупроводниках // ЖЭТФ. 1965. - Т.48. - С. 1692 - 1707.

25. Кнут Д. Искусство программирования. Том 2. Получисленные алгоритмы. М.: Вильяме, 2000. - 788 с.

26. Кольчужкин A.M., Учайкин В.В. Введение в теорию прохождения частиц через вещество. М.: Атомиздат, 1978. - 256 с.

27. Крюков П.Г. Лазеры ультракоротких импульсов // Квантовая электроника. 2001. - Т.31. - С. 95 - 119.

28. Луговой В.Н., Прохоров A.M. Теория распространения мощного лазерного излучения в нелинейной среде // УФН. 1973. - Т. 111. - С. 203 -247.

29. Маненков A.A., Прохоров A.M. Лазерное разрушение прозрачных твёрдых тел //УФН. 1986. -Т.148.-С. 179-211.

30. Маттук Р. Фейнмановские диаграммы в проблеме многих тел. М.: Мир, 1969.-366 с.

31. Меднис П.М., Файн В.М. Возбуждение лавинной ионизации в прозрачных диэлектриках сильным переменным электромагнитным полем // ЖЭТФ. 1972. - Т.62. - С. 812 - 819.

32. Мельников В.И. Квантовое кинетическое уравнение для электронов в высокочастотном поле // Письма в ЖЭТФ. 1969. - Т.9. - С. 204 - 206.

33. Молчанов А.Г. Развитие лавинной ионизации в прозрачных диэлектриках под действием импульса света // ФТТ. 1970. - Т. 12. - С. 954 - 956.

34. Морозов А.И. Физика твёрдого тела. Кристаллическая структура. Фононы: Учеб. пособие. М.: Изд-во МИРЭА, 2006. 151с.

35. Перлин Е.Ю., Иванов A.B., Левицкий P.C. Каскадно-лавинная генерации электронно-дырочных пар в квантовых ямах типа 11// ЖЭТФ. 2003. - Т.123. - С. 612 - 624.

36. Перлин Е.Ю., Иванов A.B., Левицкий P.C. Предпробойная генерация неравновесных электронно-дырочных пар. Эффект многофотонной лавины // ЖЭТФ. 2005. - Т.128. - С. 411 - 421.

37. Перлин Е.Ю., Иванов A.B., Левицкий P.C. Эффект фотонной лавины в кристаллах и наноструктурах. СПб.: СПб ГУ ИТМО, 2007. - 122 с.

38. Райзер Ю.П. Пробой и нагревание газов под действием лазерного луча // УФН. 1965. - Т.87. - С. 29 - 64.

39. Ритус А.И., Маненков А.А. Вынужденное рассеяние Мандельштама-Бриллюэна в плавленом и кристаллическом кварце без разрушения образцов при Т=300К // Письма в ЖЭТФ. 1967. - Т.6. - С. 927 - 931.

40. Рубинштейн А.И., Файн В.М. К теории лавинной ионизации в прозрачных диэлектриках под действием сильного электромагнитного поля // ФТТ. 1973. - Т.15. - С. 470 - 478.

41. Сканави Г.И. Физика диэлектриков (область сильных полей). М.: гос. изд-во физ.-мат. лит., 1958. - 909 с.

42. Ткачев А.Н., Яковленко С.И. Моделирование электронной лавины в гелии // ЖТФ. 2004. - Т.74. - С. 91 - 97.

43. Хеерман Д.В. Методы компьютерного эксперимента в теоретической физике. М.: Наука, 1990. - 176 с.

44. Херман Й., Вильгельми Б. Лазеры сверхкоротких световых импульсов. М.: Мир, 1986. - 368 с.

45. Чуенков В.А. Современное состояние теории электрического пробоя твёрдых диэлектриков // УФН. 1954. - Т.54. - С. 185 - 230.

46. Эпштейн Э.М. Фононы в поле сильной электромагнитной волны // ФТТ. 1969.-Т.П.-С. 2874 -2880.

47. Apostolova Т., Huang D., Alsing P., Mclver J., Cardimona D.A. Effect of laser-induced anti-diffusion on phonon-assisted electron transitions in semiconductor Fokker-Planck equation // SPIE. 2002. - V.4679. - P. 124 -137.

48. Apostolova Т., Petrov P. Microscopic modeling of short-pulse laser melting of materials // SPIE. 2009. - V.7131. - P. 261 - 268.

49. Apostolova T., Hahn Y. Modeling of laser-induced breakdown in dielectrics with subpicosecond pulses // SPIE. 2001. - V.4347. - P. 255 -266.

50. Arnold D., Cartier E., Fischetti M.V. Monte Carlo calculations of laser-induced free electron heating in Si02 11 SPIE. 1990. - V. 1441. - P. 478 -487.

51. Arnold D., Cartier E., DiMaria D.J. Theory of high-field electron transport and impact ionization in silicon dioxide // Phys. Rev. B. 1994. -V.49. - P. 10278 - 10297.

52. Arnold D., Cartier E. Theory of laser-induced free-electron heating and impact ionization in wide-band-gap solids // Phys. Rev. B. 1992. - V.46. -P.15102 - 15115.

53. Ashkenasi D., Varel H., Rosenfeld A., Noack F., Campbell E.E.B. Pulse-width influence on the laser-induced structuring of CaF2 (111) 11 Appl. Phys. A. 1996. - V.63. - P. 103 - 107.

54. Baidyaroy S., Lampert M.A., Zee B., Martinelli R.U. Monte-Carlo studies of hot-electron energy distribution in thin insulating films. 1. Constant mean free path and a one-dimensional simulation // J. Appl. Phys. 1976. - V.47. -P. 2103-2112.

55. Baidyaroy S., Lampert M.A., Zee B., Martinelli R.U. Monte-Carlo studies of hot-electron energy distributions in thin insulating films. 11. Energy-dependent mean free path and instability // J. Appl. Phys. 1977. - V.48. - P. 1272 - 1277.

56. Bielajew A.F. Fundamentals of the Monte-Carlo method for neutral and charged particle transport. Michigan: The University of Michigan (Department of Nucler Engineering), 2001. - 338 p.

57. Bityurin N., Kuznetsov A. Use of harmonics for femtosecond micromachining in pure dieletrics // J. Appl. Phys. 2003. - V.93. - P. 1567 -1576.

58. Braunlich P.F., Brost G., Schmid A., Kelly P.J. The role of laser-induced primary defect formation in optical breakdown of NaCl // IEEE J. of Quantum Electronics. 1981. V.QE-17. - P. 2034 - 2041.

59. Burakov I.M., Bulgakova N.M., Stoian R., Rosenfeld A., Hertel I.V. Theoretical investigations of material modification using temporally shaped femtosecond laser pulses // Appl. Phys. A. 2005. - V.81. - P. 1639 - 1645.

60. Callen H.B., Offenbacher E.L. Directional effects in the electric breakdown of ionic crystal // Phys. Rev. 1953. - V.90. - P. 401 - 409.

61. Campbell J.H., Rainer F., Kozlowski M. Damage resistant optics for a mega-joule solid-state laser // SPIE. 1990. - V.1441. - P. 444 - 456.

62. Cartier E., Fischetti M.V., Eklund E.A., McFeely F.R. Impact ionization in silicon // Appl. Phys. Lett. 1993. - V.62. - P. 3339 - 3341.

63. Casper R.T., Jones S.C., Shen X.A., Braunlich P., Kelly P. The laser damage mechanism for NaCl and KBr at 532 nm theoretical predictions and experimental tests // NIST (U.S.) Spec. Publ. - 1988. - V.756. - P. 485 -491.

64. Crawford T.H.R., Borowiec A., Haugen H.K. Femtosecond laser micromachining of groves in silicon with 800 nm pulses // Appl. Phys. A. -2005. -V.80. -P. 1717- 1724.

65. Cullom G.H., Waynant R.W. Determination of laser damage threshold for various glases // Appl. Opt. 1964. - V.3. - P. 989 - 990.

66. Du D., Liu X., Korn G., Squier J., Mourou G. Laser-induced breakdown by impact ionization in Si02 with pulse width from 7 ns to 150 fs // Appl. Phys. Lett. 1994. - V.64. - P. 3071 - 3073.

67. Du D., Liu X., Mourou G. Reduction of multi-photon ionization in dielectrics due to collisions // Appl. Phys. B. 1996. - V.63. - P. 617 - 621.

68. Epifanov A.S. Theory of electron-avalanche ionization induced in solids by electromagnetic waves // IEEE J. Quant. Electron. 1981. - V.QE-17. - P. 2018 -2022.

69. Epifanov A.S., Garnov S.V. Statistical approach to theory of electron-avalanche ionization in solids // IEEE J. Quant. Electron. 1981. - V.QE-17. -P. 2023 -2026.

70. Fischetti M.V. Monte Carlo solution to the problem of high-field electron heating in Si02 II Phys. Rev. Lett. 1984. - V.53. - P. 1755 - 1758.

71. Fischetti M.V., DiMaria D.J., Brorson S.D., Theis T.N., Kirtley J.R. Theory of high-field electron transport in silicon dioxide. Phys. Rev. B. -1985. V.31.-P. 8124 - 8142.

72. Fitting H.-J., Frieman J.-U. Monte-Carlo studies of the electron mobility in Si02 II Phys. Stat. Sol. (a). 1982. - V.69. - P. 349 - 358.

73. Franck J.B., Soileau M.J. Effects of temperature cycling on the optical strength of NaCl // IEEE J. of Quant. Electron. 1981. - V.QE-17. - P. 2065 -2067.

74. Frohlich H. Energy distribution and stability of electrons in electric fields // Proc. Roy. Soc. A. 1947. - V.188. - P. 532 - 541.

75. Frohlich H. Theory of electrical breakdown in ionic crystals // Proc. Roy. Soc. A. 1937.-V.160.-P. 230-241.

76. Frohlich H. Theory of electrical breakdown in ionic crystals // Proc. Roy. Soc. A. 1939. - V.172. - P. 94 - 106.

77. Garnov S.V., Epifanov A.S., Klimentov S.M., Manenkov A.A. Pulse-width dependence of laser damage in optical materials: critical analysis ofavailable data and recent results for nano-picosecond region // SPIE. 1992. -V.1848. - P. 403 -414.

78. Giuliano C.R. Laser-induces damage to transparent dielectric materials // Appl. Phys. Lett. 1964. - V.5. - P. 137 - 139.

79. Glebov L.B. Intrinsic laser-induced breakdown of silicate glasses // SPIE. 2002. - V.4679. - P. 321 - 331.

80. Hippel A. Electric breakdown of solid and liquid insulators // J. Appl. Phys. 1937. - V.8. - P. 815 - 832.82. http://www.burtleburtle.net/bob/rand/isaacafa.html

81. Janke W. Pseudo Random Numbers: Generation and Quality Checks // Quantum Simulation of Complex Many-Body System. Julich, NIC Series. -2002. V.10. - P. 447 -458.

82. Jasapara J., Nampoothiri A.V.V., Rudolph W., Ristau D., Starke K. Femtosecond laser pulse induced breakdown in dielectric thin films // Phys. Rev. B. -2001,-V.63.-P. 0451171 -0451175.

83. JIa T.Q., Li X.X., Feng D.H., Cheng C.F., Li R.X., Chen H., Hu Z.Z. Theoretical and experimental study on femtosecond laser induced damage in CaF1 crystals // Appl. Phys. A. 2005. - V.81. - P. 645 - 649.

84. Jing X., Shao J., Zhang J., Jin Y., He H., Fan Z. Calculation of femtosecond pulse laser damage threshold for broadband antireflective microstructure arrays // Optical Express. 2009. - V.17. - P. 24137 - 24152.

85. Kaiser A., Rethfeld B., Vicanek M., Simon G. Microscopic processes in dielectrics under irradiation by subpicosecond laser pulses // Phys. Rev. B. -2000. V.61.-P. 11437 - 11450.

86. Kelly P., Schmid A., Braunlich P. Optical breakdown in alkali halides -an addendum // Phys. Rev. B. 1979. - V.20. - P. 815-817.

87. Kudryashov S.I. Dynamic interplay between femtosecond laser ionization mechanisms in solid dielectrics // SPIE. 2005. - V.5991. - P. 0T-1 - 0T-10.

88. Lee C.H. Picosecond optoelectronic devices. Picosecond optoelectronic devices based on optically injected electron-hole plasma (Chapter 5), Academic Press, 1984. 70 p.

89. Lenzner M., Kruger J., Sartania S., Cheng Z., Spielmann Ch., Mourou G., Kautek W., Krausz F. Femtosecond optical breakdown in dielectrics // Phys. Rev. Lett. 1998. - V.80. - P. 4076 - 4079.

90. Li M., Menon S., Nibarger J.P., Gibson G.N. Ultrafast electron dynamics in femtosecond optical breakdown of dielectrics // Phys. Rev. Lett. 1999. -V.82. - P. 2394 -2397.

91. Loesel F.H., Fischer J.P., Gotz M.H., Horvath C., Juhasz T., Noack F., Shuhm N., Bille J.F. Non-thermal ablation of neural tissue with femtosecond laser pulses // Appl. Phys. B. 1998. - V.66. - P. 121 - 128.

92. Manenkov A.A. Fundamental mechanisms of laser-induced damage in optical materials: understanding after 40-years research // SPIE. 2008. -V.7132. - P. 2021 -20210.

93. Manenkov A.A. New results on avalanche ionization as a laser damage mechanism in transparent solids // Damage in laser materials, Nat. Bur. Stand. (U.S.) Spec. Publ. 1977. - V.509. - P. 455 - 464.

94. Manenkov A.A. Problems of the physics of high-power ultrashort laser pulse interaction with transparent solids // Quantum Electronics. 2003. -V.33(7). - P. 639 - 644.

95. Mann K., Gerhardt H. Damage testing of optical components for high power excimer lasers // SPIE. 1991. - V.1503. - P. 176 - 184.

96. Mann K., Gerhardt H., Pfeipfer G., Wolf R. Influence of the laser pulse length and shape on the damage threshold of UV optics // SPIE. 1991. -V.1624. - P. 436 -443.

97. Mero M., Liu J., Rudolph W., Ristau D., Starke K. Scaling laws of femtosecond laser pulse induced breakdown in oxide films // Phys. Rev. B. -2005. V.71. - P. 1151091 - 1151097.

98. Niemz M.H. Threshold dependence of laser-indused optical breakdown on pulse duration //Appl. Phys. Lett. 1995. - V.66. - P. 1181 - 1183.

99. Perry M.D., Mourou G. Terawatt to petawatt, subpicosecond lasers // Science. 1994. - V.264. - P. 917 - 924.

100. Pronko P.P., VanRompay P.A., Horvath C., Loesel F., Juhasz T., Mourou G. Avalanche ionization and dielectric breakdown in silicon with ultrafast laser pulses // Phys. Rev. B. 1998. - V.58. - P. 2387 - 2390.

101. Quere F., Guizard S., Martin P. Time-resolved study of laser-induced breakdown in dielectrics // Europhys. Lett. 2001. - V.56. - P. 138 - 144.

102. Rethfeld B. Free-electron generation in laser-irradiated dielectrics // Phys. Rev. B. 2006. - V.73. - P. 0351011 - 0351016.

103. Rethfeld B. Unified model for the free-electron avalanche in laser-irradiated dielectrics // Phys. Rev. Lett. 2004. - V.92. - P. 1874011 -1874014.

104. Sanner N., Uteza O., Bussiere B., Coustillier G., Leray A., Itina T., Sentis M. Measurement of femtosecond laser-induced damage and ablation thresholds in dielectrics // Appl. Phys. A. 2009. - V.94. - P. 889 - 897.

105. Sano N., Yoshli A. Impact ionization rate near thresholds in Si // J. Appl. Phys. 1994. - V.75. - P. 5102 - 5105.

106. Schaffer C.B., Brodeur A., Mazur E. Laser-induced breakdown and damage in bulk transparent materials induced by tightly focused femtosecond laser pulses // Meas. Sci. Technol. 2001. - V.12. - P. 1784 - 1794.

107. Schmid A., Kelly P., Braunlich P. Optical breakdown in alkali halides // Phys. Rev. B. 1977. - V.16. - P. 4569 - 4582.

108. Sharma B.S., Rieckhoff K.E. Laser-induced dielectric breakdown and mechanical damage in silicate glasses // Can. J. Phys. 1970. - V.48. - P. 1178- 1191.

109. Shen X.A., Jones S.C., Braunlich P., Kelly P. Four-photon absorption cross section in potassium bromide at 532 nm // Phys. Rev. B. 1987. - V.36. - P. 2831 -2843.

110. Shen X.A., Braunlich P., Jones S.C., Kelly P. Intrinsic optical damage in KBr at 532 nm // Phys. Rev. Lett. 1987. - V.59. - P. 1605 - 1608.

111. Simanovskii D.M., Schwettman H.A., Lee H., Welch A.J. Midinfrared optical breakdown in transparent dielectrics // Phys. Rev. Lett. 2003. - V.91. -P. 1076011 - 1076014.

112. Smith W. L., Bechtel J.H., Bloembergen N. Picosecond laser-induced breakdown at 5321 and 3547 A observation of frequency-dependent behavior // Phys Rev. B.- 1977. V.15.-P. 4039 -4065.

113. Soileau M.J., Wei T., Said A.A., Chapliev N.I., Garnov S.V., Epifanov A.S. Comparison of laser-induced damage of optical crystals from the U.S.A. and U.S.S.R. // SPIE. 1990. - V.1441. - P. 10 - 15.

114. Soileau M.J. 40 year retrospective of fundamental mechanisms // SPIE. -2008.-V.7132.-P. 201-1 201-14.

115. Sparks M., Mills D.L., Warren R., Holstein T., Maradudin A.A., Sham L.J., Loh E., King Jr., King D.F. Theory of electron avalanche breakdown in solids // Phys. Rev. B. 1981. - V.24. - P. 3519 - 3536.

116. Starke K., Ristau D., Welling H., Amotchkina T.V., Trubetskov M., Tikhonravov A.A., Chirkin A.S. Investigations in the nonlinear behavior of dielectrics by using ultrashort pulses // SPIE. 2004. - V.5273. - P. 501 -514.

117. Stratten R. The influence of interelectronic collisions on conduction and breakdown in polar crystals // Proc. Roy. Soc. A. 1958. - V.246. - P. 406 -422.

118. Stryland E.W., Soileau M.J., Smirl A.L., Williams W.E. Pulse-width and focal-volume dependence of laser-induced breakdown // Phys. Rev. B. -1981. V.23. - P. 2144 - 2151.

119. Stuart B.S., Feit M.D., Rubenchik A.M., Shore B.W., Perry M.D. Laser-induced damage in dielectrics with nanosecond to subpicosecond pulses // Phys. Rev. Lett. 1995. - V.74. - P. 2248 - 2252.159

120. Stuart B.C., Feit M.D., Herman S., Rubenchik A.M., Shore B.W., Perry M.D. Nanosecond- to femtosecond laser-induced breakdown in dielectrics // Phys. Rev. B. 1996. - V.53. - P. 1749 - 1761.

121. Sudrie L., Couairon A., Franco M., Lamouroux B., Prade B., Tzortzakis S., Mysyrowisz A. Femtosecond laser-induced damage and filamentary propagation in fused silica // Phys. Rev. Lett. 2002. - V.89. - P. 1866011 -1866014.

122. Svanberg S. Some applications of ultrashort laser pulses in biology and medicine // Meas. Sci. Technol. 2001. - V.12. - P. 1777 - 1783.

123. Tien A.-C., Backus S., Kapteyn H., Murnane M., Mourou G. Short-pulse laser damage in transparent materials as a function of pulse duration // Phys. Rev. Lett. 1999. - V.82. - P. 3883 - 3886.

124. Thornber K.K. Applications of scaling to problems in high-field electronic transport // J. Appl. Phys. 1981. - V.52. - P. 279 - 290.

125. Thornber K.K. Relation of drift velocity to low-field mobility and high-field saturation velocity // J. Appl. Phys. 1980. - V.51. - P. 2127 - 2136.

126. Vaidyanathan A., Walker T.W., Guenther A.H. Competing mechanisms in laser-induced damage // Damage in laser materials, Nat. Bur. Stand. (U.S.) Spec. Publ. 1979. - V.568. - P. 457 - 465.

127. Varel H., Ashkenasi D., Rosenfeld A., Herrmann R., Noack F., Campbell E.E.B. Laser-induced damage in Si02 and CaF2 with picosecond and femtosecond laser pulses // Appl. Phys. A. 1996. - V.62. - P. 293 - 294.

128. Varel H., Ashkenasi D., Rosenfeld A., Wahmer W., Campbell E.E.B. Micromachining of quartz with ultrashort laser pulses // Appl. Phys. A. -1997. V.65. - P. 367 - 373.

129. Vatsya S.R., Nikumb S.K. Modeling of laser-induced avalanche in dielectrics // J. Appl. Phys. 2002. - V.91. - P. 344 - 351.