Разработка и исследование методов сигнально-траекторного накопления для решения задачи обнаружения движущейся цели и определения параметров ее движения тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ДАННЫХ РАДИОЛОКАЦИОННЫХ НАБЛЮДЕНИЙ.

Введение.

§ 1. Оптимальная доверительная оценка векторного параметра.

Конкретизация алгоритма доверительного оценивания параметров радиолокационного сигнала.

Экспериментальное исследование алгоритма (одномерный случай).

Экспериментальное определение порога.

Исследование точности произведенной оценки.

Экспериментальное исследование алгоритма (случай трех измерений).

§2 Проблема дальнейшего использования полученных оценок.

Сложность вида полученных оценок.

2.1 Аппроксимация функции правдоподобия.

2.2 . Покрытие получившейся оценки простыми множествами.

2.3 Выбор класса описывающих множеств.

§3 Эллипсоидальное описание.

Пример построения описания.

§4 Клеточное описание.

Выводы.

ГЛАВА 2. МЕЖКАДРОВАЯ ОБРАБОТКА ДАННЫХ РАДИОЛОКАЦИОННЫХ НАБЛЮДЕНИЙ.

§ 1. Априорные знания о законе движения цели.

§2. Гарантированное оценивание наблюдаемых траекторий.

§3 Эволюция множеств допустимых значений параметров.

3.1 Эллипсоидальное описание.

3.2 Клеточное описание.

§4 Возможности предварительной межкадровой обработки.

§ 5. Эллипсоидальное описание.

5.1 Аппроксимация сферического слоя.

5.2 Аппроксимация эллипсоидального слоя.

5.3 Построение субоптимального эллипсоида натянутого на пересечение эллипсоидов.

ГЛАВА 3. ОПТИМАЛЬНАЯ МЕЖКАДРОВАЯ ОБРАБОТКА ДАННЫХ РАДИОЛОКАЦИОННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ.

§1. Оптимальная межкадровая обработка радиолокационного сигнала в ограниченном пространстве параметров.

§ 2. Традиционная процедура обработки сигнала.

§ 3. Сравнение результатов, даваемых различными методами обнаружения-измерения.

§4 Замечания.

1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ.

Задачи обнаружения движущихся объектов и определения параметров их движения возникают с самого рождения радиолокации. В решении этих задач достигнуты значительные успехи, в том числе синтезированы оптимальные процедуры их решения, основанные, например, на минимизации среднего риска при принятии решений [4, 6, 26, 44, 47, 53]. К сожалению, в практических ситуациях, из-за имеющих место неопределенностей относительно наблюдаемых ситуаций, законов распределения сигналов и помех, классические байесовы процедуры оказываются неприменимы, либо применимы лишь частично, в сочетании с другими, небайесовскими процедурами, например, адаптивный байесов подход, минимаксный подход и др. [5, 11, 29, 33, 47] Когда невозможно применение и этих методов, применяются чисто небайесовские подходы, такие как критерий максимального правдоподобия или, даже, критерий минимума среднего квадрата ошибки. Преимущество таких подходов состоит в простоте, и небольших, в сравнении с байесовскими процедурами, вычислительных затратах. Но в то же время эти методы являются, как правило, только частными случаями байесовских решений при довольно жестких условиях, таких как линейная зависимость наблюдаемых ситуаций от параметров, гауссовость исходных распределений, симметричность функции потерь и т.д. Вопрос же об их эффективности (качестве обнаружения, точности оценивания параметров) в общем случае остается открытым [33, 53, 56, 57]. С другой стороны, требования к надежности, качеству и эффективности алгоритмов радиолокационного обнаружения постоянно возрастают. Это связано как с практическими потребностями радиолокации, так и с совершенствованием самих радиолокаторов, так что объем информации, предоставляемый ими, становится все больше и больше. Поэтому, синтез процедур, позволяющих эффективно, качественно и надежно проводить обработку данных радиолокационных наблюдений, становится крайне важен. Этот факт также становится понятен, если учесть, что технические характеристики радиолокатора можно существенно улучшить путем применения соответствующей процедуры обработки сигнала.

Значительный интерес представляют процедуры накопления информации, обработки радиолокационного сигнала во временной области, так как они позволяют, потенциально, значительно улучшить качество обнаружения радиолокационных сигналов и измерения их параметров [5, 11, 24]. Но при таких подходах объем информации, которую предстоит обработать, значительно возрастает. Нельзя забывать, что задача радиолокационного обнаружения должна с необходимостью решаться в реальном масштабе времени.

В настоящее время задача обнаружения-измерения радиолокационного сигнала успешно решена при достаточно высоких отношениях сигнал/шум, а временная обработка зачастую сводится к сопровождению уже обнаруженных целей. Методы же совместного решения этих двух задач, хоть и довольно хорошо исследованы теоретически [5, 11, 19, 25, 63], на практике используются не столь широко, в первую очередь из-за сложности и возникающих при этом высоких вычислительных затратах, особенно в многоцелевых случаях.

2. Обнаружение-измерение.

Обнаружением-измерением называют процедуру проверки гипотезы о наличии, либо отсутствии составляющих радиолокационного сигнала заданного вида в радиолокационном сигнале, с одновременным оцениванием параметров этого сигнала [6, 40].

Назовем кадром радиолокационного измерения в момент времени tk совокупность данных наблюдаемого сигнала zk во всевозможных доступных точках пространства измерений Л. В значительном количестве случаев допустимо приближение ik(A) = f(X,d,tk) + ^X,tk) (1)

Здесь А е А - пространству измерений, /(.) - известная, с точностью до вектора параметров 9к функция, соответствующая обнаруживаемой составляющей радиолокационного сигнала. При этом под 2к(Л) понимается комплекснозначный результат пространственной и частотно-временной обработки в &-ом периоде зондирования реализации электромагнитного поля на апертуре антенной системы радиолокатора с помощью системы фазирования и частотно-временной фильтрации. Соответственно Л - это в общем случае четырехмерное дискретизированное пространство внутрипериодного времени и частоты (или эквивалентной им дальности и радиальной скорости цели) и двумерных точек центров приемных лучей многолучевой приемной антенны, а /(.) -комплекснозначная функция отклика радиолокатора в точке Я е А от цели с вектором параметров вк, включающим дальность, радиальную скорость, угловые координаты цели и комплексную амплитуду (максимальную величину) отклика. В такой интерпретации координатная часть вектора вк изменяется из-за движения цели, а комплексная амплитуда - из-за флуктуации сигнала. Для решения задачи также необходимо задать какую-то модель изменения вк со временем. В данной работе будем считать, что комплексные амплитуды в каждом периоде являются произвольными, а координатная часть изменяется в соответствии с некоторой функциональной зависимостью (полиномиальной, баллистической и т.п.) с конечным числом неизвестных параметров.

Таким образом, задача обнаружения-измерения сводится к оценке вектора параметров принятии решения |/()| = 0, либо /() при всех к. Формально оптимальное решение этой задачи на конечном интервале наблюдения к = 1 ,.п известно и выглядит довольно просто. Необходимо при всей совокупности данных наблюдения zk, к - 1 ,.п найти максимум функции правдоподобия на заданном множестве траекторий движения цели, каждая из которых порождает определенную последовательность вк, и если этот максимум превышает пороговое значение, принять решение о наличии цели с траекторией, соответствующей максимуму.

Однако, реализация этой логики требует больших вычислительных затрат и практически невыполнима. Действительно, для современных радиолокаторов число элементов разрешения (число точек Я, в которых производится измерение значений zk(A,)) достигает величин 108 для РЛС с разрешением по дальности и углам, и 10" для РЛС с разрешением по дальности, углам и радиальной скорости, а типичное число тактов N в интервале наблюдения заключено в пределах 10-102. Таким образом, для расчета правдоподобия каждой из возможных траекторий необходимо обработать до 2 -1013 чисел, выполнив над каждым из них операции умножения на весовые коэффициенты, возведения в степень и суммирования. В свою очередь, даже в том случае, если максимизацию функции правдоподобия по неизвестным комплексным амплитудам удается выполнить аналитически, а движение цели задать с помощью модели с относительно малым числом параметров (минимальное их количество равно 6 для полинома первой степени и для баллистической траектории без учета воздействия атмосферы), число априори значимых траекторий, для которых необходимо рассчитать значение функции правдоподобия с учетом требований к точности оценки их параметров, может достигать величин порядка 1012 -1014. Поскольку никакие сверхбыстродействующие компьютеры не могут выполнить такой объем вычислений за время порядка несколько десятков секунд, отводимое обычно на решение задачи измерения-обнаружения, то ясно, что точная реализация оптимального алгоритма для радиолокатора с большим числом элементов разрешения невозможна. Даже моделирование оптимального алгоритма в реальном масштабе времени с целью определения его характеристик - очень большая проблема, в связи с чем потенциально достижимое качество решения задачи обнаружения-измерения до настоящего времени остается, строго говоря, неизвестным.

Поэтому задача траекторного обнаружения-измерения традиционно разбивается на 2 этапа - первичной и вторичной обработки. Первичная обработка.

На этом этапе каждый кадр входных измерений обрабатывается независимо. Назначение первичной обработки - максимально сократить объем вычислений с размерности 108 -10" до нескольких единиц. Практически обычно такое сокращение производится за счет пороговой обработки сигналов в элементах разрешения (точках дискретизации координатного пространства PJIC), определения положения локальных максимумов сигнала в окрестностях точек превышения порога и переходом от исходного сигнального описания к координатному описанию (единичным измерениям координат цели). В итоге кадр входных измерений заменяется кадром из относительно небольшого числа единичных отметок (единичных измерений), каждое из которых описывается местоположением в координатном пространстве РЛС, ошибками определения местоположения в этом пространстве, и некоторой характеристикой правдоподобия - в лучшем случае величиной логарифма функции правдоподобия в точке местоположения отметки, а чаще всего просто двоичным признаком.

В силу такой логики, полученное множество отметок представляет собой некоторое доверительное множество для положения целей в кадре. Достоинством обычного способа первичной обработки является относительно малый размер этого множества, который регулируется выбором порога. Это достоинство сопряжено с множеством недостатков. Уровень доверия оценки не контролируется и обычно очень низок. Во всяком случае, он не выше вероятности получения целевой отметки, которая обычно имеет порядок 0.5-0.9. Из-за незнания истинного распределения вероятностей ошибок единичных измерений, границы доверительной области определяются неправильно, чаще всего с ошибками в сторону занижения ее размеров, что влечет за собой дополнительное уменьшение уровня доверия. Не исключен случай пустого множества (нет отклика в кадре), что формально соответствует нулевой доверительной вероятности. Вся первичная информация при этом утрачивается, из-за чего при вторичной обработке невозможно найти точное значение правдоподобия никакой траектории.

Перечисленные недостатки настораживают в том смысле, что обычный алгоритм первичной обработки, возможно, очень сильно ориентирован на сокращение объема входных данных в ущерб качеству решения задачи обнаружения измерения в целом.

В данной работе, сохраняя принцип разбиения обработки на первичную и вторичную, и цель первичной обработки, как максимальное сокращение объема входных данных, мы рассмотрим иной способ первичной обработки, который, во-первых, соответствует этой цели, и, во-вторых, не вносит ничего такого, что препятствовало бы возможности реализации строго оптимального алгоритма обнаружения-измерения. А именно, будет рассмотрено решение задачи нахождения доверительной оценки координат цели, то есть такого подмножества координатного пространства Л, которое содержало бы внутри себя цель с заданной доверительной вероятностью и имело бы минимальные размеры. Возможность контроля и выбора достаточно высокого значения доверительной вероятности, а также сохранение первичных данных внутри доверительных множеств в каждом кадре гарантируют возможность реализации оптимальной вторичной межкадровой обработки. Минимальность размеров доверительных областей предельно сокращает трудоемкость оптимальной сигнально-траекторной обработки. Вторичная обработка.

Традиционно вторичная (межкадровая) обработка включает в себя стробирова-ние полученных отметок и их сглаживание с определением параметров движения цели и принятием окончательного решения об обнаружении движущейся цели. Стробирова-ние производится с учетом априорных знаний о законе движения объекта и имеет целью сокращение количества гипотез о возможных значениях параметров его движения. Суть стробирования состоит в том, что каждой отметке приписывается некоторый интервал в пространстве Ли выбирается такая последовательность отметок, для которой взаимное положение этих интервалов во всех кадрах согласуется с априорным законом движения цели и ограничениями на его параметры. Эта связная последовательность, часто называемая треком, используется для оценки параметров движения цели приближенным методом максимального правдоподобия. Приближение заключается в том, что вместо точной меры сигнально-траекторного правдоподобия используется приближенная мера, равная взвешенной (а часто и невзвешенной) сумме квадратов отклонений координат отметок от гипотетических координат цели с данными параметрами движения. Правдоподобие за пределами стробов при этом полагается равным нулю.

Такое приближение правомерно только при очень большом отношении сигнал/шум, когда сигнальная функция правдоподобия во всей области значений удовлетворительно аппроксимируется гауссовой кривой, и если ошибки определяются матрицей вторых производных логарифма сигнальной функции правдоподобия в точках истинного значения координат цели. Принятие окончательного решения об обнаружении движущейся цели чаще всего производится сравнением с порогом статистики, зависящей от количества и взаимного расположения отметок в треке (стробированной последовательности), и лишь очень редко с использованием приближенного расчета сигнального правдоподобия для траекторий цели, с оцененными указанным выше способом параметрами, естественно с потерей информации в тех кадрах, в которых не оказалось простробированных отметок. Аналогично случаю первичной обработки, потери эффективности из-за неоптимальности вторичной обработки, вообще говоря, не ясны. Кажется, что при больших отношениях сигнал/шум они невелики и асимптотически должны отсутствовать, но каковы они при том или ином конкретном отношении сигнал/шум неизвестно.

В данной работе рассмотрен практически оптимальный способ вторичной обработки, реализующий вычисление и максимизацию сигнально-траекторного правдоподобия. Он включает в себя стробирование найденных в процессе первичной обработки доверительных областей, построение по ним TV-кадрового доверительного множества в пространстве параметров траектории цели и максимизацию сигнального правдоподобия в пределах этой последней области. Слова «практически оптимальный» означают следующее. Строго оптимальный способ обнаружения-измерения предполагает для вычисления сигнально-траекторного правдоподобия использование всех полученных в TV-кадрах данных. В рассматриваемом способе они ограничиваются в каждом кадре по уровню доверия 1 -а (а - малое число), а в результате стробирования доверительных областей iV-кадровое доверительное множество имеет уровень доверия (1 -a)N и может с вероятностью 1 - (l - а)л не содержать внутри себя траектории цели. Таким образом, вероятность обнаружения ограничена сверху величиной (1 -a)N. Это ограничение является платой за уменьшение вычислительной сложности по сравнению со строго оптимальным алгоритмом, для которого а = О, и однокадровое доверительное множество содержит все данные этого кадра.

Отметим особенность рассматриваемого способа. В отличие от стробирования отметок, при котором некоторые кадры могут быть вообще исключены из вторичной обработки, в данном случае никакой кадр не утрачивается, так как однокадровое доверительное множество не может быть пустым, поскольку это автоматически влечет за собой принятие решения об отсутствии движущейся цели с регулируемой вероятностью ошибки 1 - (1 - а)ы.

2. НАУЧНАЯ НОВИЗНА результатов диссертации заключается в следующем:

1. Предложена доверительная оценка векторного параметра радиолокационного сигнала. Методом статистического моделирования определены основные свойства этой оценки.

2. Предложены способы описания доверительных множеств, получаемых при первичной обработке кадра радиолокационных измерений множествами простого вида, так что это существенно упрощает последующее использование полученной доверительной оценки. В частности подробно исследован вопрос о построении эллипсоидальных и клеточных описаний.

3. Исследованы положения, связанные с гарантированным оцениванием параметров траекторий цели. Построен и исследован алгоритм приближенного гарантированного оценивания траектории цели при условии, что траектория цели баллистическая, а доверительные оценки в каждом кадре представляют собой совокупность эллипсоидов или совокупность клеток. Указано на эффективность использования упрощенной процедуры гарантированного оценивания для решения задачи фильтрации ложных траекторий. 4. Рассмотрен вопрос, связанный с проведением оптимальной процедуры радиолокационного обнаружения-измерения при ограничениях на возможные значения параметров траекторий цели. Показано, что при низких отношениях сигнал/шум, может быть получен выигрыш в качестве обнаружения цели и точности определения параметров ее движения, в сравнении с традиционно применяемыми процедурами.

3. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ.

Разработанные в диссертации алгоритмы позволяют строить радиолокационные обнаружители-измерители, обладающие лучшими характеристиками, чем удается получить с помощью традиционно используемых подходов.

4. АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ.

Основные результаты исследования докладывались на заседаниях ежегодных научных конференций МФТИ и на Молодежной научно-технической конференции «Радиолокация и связь на пороге третьего тысячелетия».

5. ПУБЛИКАЦИИ.

Результаты также изложены в следующих работах. Репин В. Г., Шадрин А. В. Доверительная квазиоптимальная оценка параметров радиолокационного сигнала // Обработка информации и моделирование. М. 2002, стр. 4-22. Репин В. Г., Шадрин А. В. Метод доверительного оценивания параметров радиолокационного сигнала// Молодежная научно-техническая конференция «Радиолокация и связь на пороге третьего тысячелетия». Тезисы докладов, стр. 12. Москва 2000. Шадрин А. В., Репин В. Г. Доверительное оценивание положения цели в многомерных пространствах измерений.// XLII1 научная конференция МФТИ. Тезисы докладов (Часть 1), стр. 17.

Шадрин А. В., Репин В. Г. Применение процедуры гарантированного оценивания для межкадровой обработки данных радиолокационных наблюдений.// XL1V Юбилейная конференция МФТИ. Тезисы докладов (Часть 1), стр. 56.

Шадрин А. В. Исследование процедур обнаружения-измерения радиолокационного сигнала. //XLV научная конференция МФТИ. Труды конференции (Часть 1), стр. 48.

6. ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ.

В диссертации основное внимание уделено следующим вопросам:

1. Алгоритм первичной обработки данных радиолокационных наблюдений.

Удалось синтезировать асимптотически (при отношении сигнал/шум стремящихся к бесконечности) оптимальный алгоритм нахождения доверительной оценки вектора текущих радиолокационных координат цели по критерию минимума размеров доверительной области. Методом статистического моделирования получены характеристики алгоритма в случаях различных отношений сигнал/шум и размеров исследуемых областей координатного пространства РЛС.

2. Алгоритм описания доверительных множеств множествами более простого вида.

Создан алгоритм построения описаний доверительных оценок, с целью их дальнейшего использования, множеством эллипсоидов и клеточным множеством. Исследовано качество полученных описаний.

3. Алгоритм усекновения множества возможных траекторий.

Синтезирован алгоритм приближенного гарантированного оценивания параметров траекторий целей с заданным законом движения. Исследована эффективность методов гарантированного оценивания для фильтрации ложных траекторий и оценивания параметров траекторий присутствующих целей, в предположении баллистической траектории. В этом же приближении синтезирован детальный алгоритм гарантированного оценивания для эллипсоидальных описаний.

4. Данные экспериментального исследования математической модели радиолокатора и процедуры обнаружения-измерения.

Построена модель радиолокационного сигнала. Проведена оптимальная процедура обнаружения-измерения. Полученные при этом результаты сравнивались с результатами, которые получаются в результате проведения стандартной процедуры обнаружения-измерения. Как оказалось, при низких отношениях сигнал/шум качество решения задачи обнаружения-измерения традиционными методами существенно хуже, чем качество решения, получаемого с помощью оптимальных (квазиоптимальных) методов.

7. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ МАТЕРИАЛА ДИССЕРТАЦИИ.

Диссертация состоит из трех глав.

Выводы.

В этой главе было показано, как можно выполнять первичную обработку радиолокационного сигнала. На основании оценки (1.8) можно получить квазиоптимальную по объему оценку векторного параметра, а с помощью алгоритмов, изложенных в параграфах §3 и §4 получить описание этой оценки в удобном для последующей обработки виде. Было продемонстрировано, что при высоких и умеренных отношениях сигнал/шум удобно пользоваться описанием оценки при помощи эллипсоидов. В общем же случае может быть также использовано клеточное описание оценки, и хотя, возможно, эффективность этого описания не очень высока, очевидным преимуществом клеточного описания является его простота.

К особенностям такой обработки можно отнести то, что при низком отношении сигнал/шум размер оценки получается очень большим и область, в которой проводятся наблюдения, практически не усекается. Другая особенность состоит в том, что при большом количестве узлов рассматриваемой сетки вероятность получить большое значение максимума сигнальной функции правдоподобия из-за флуктуации шума возрастает. Это приводит к тому, что чем большее количество точек мы наблюдаем, тем, большее значение порога необходимо выбирать для получения требуемого уровня доверия оценки, а это неизбежно приводит к тому, что размер этих оценок будет возрастать.

В силу указанных соображений, целесообразно рассматривать лишь те кадры, где произошло существенное усекновение исходного множества параметров, а кадры, где этого не случилось выбрасывать из рассмотрения, либо, если таких кадров окажется много, принимать решение об отсутствии цели.

Ключевыми параметрами полученных оценок являются

1. Уровень доверия - вероятность, с которой действительные значения параметров сигнала принадлежат рассматриваемой области.

2. Отношение сигнал/шум, при котором данная оценка была получена.

3. Размер получающегося множества в целом и размер отдельных областей, из которых эта оценка составлена.

Практически при синтезе процедур оценивания возникают несколько задач.

1. При заданном уровне доверия, а также требуемом усекновении первоначального множества определить отношения сигнал/шум, при которых такие параметры могут быть получены.

2. При заданном уровне доверия и заданном отношении сигнал/шум определить каким будет относительное усекновение первоначального кадра в результате процедуры доверительного оценивания. Соответственно, если усекновение получится незначительным, то проведение такой процедуры смысла иметь не будет.

3. При заданном минимальном отношении сигнал/шум и относительном размере оценки определить возможные уровни доверия.

Важно понимать, что эти три указанные характеристики жестко связанны, и это налагает ограничения на возможные характеристики построенных на основе описанных методов систем. Более того, в силу квазиоптимальности оценки (1.8) приведенные ограничения носят принципиальный характер.

Глава 2

Межкадровая обработка данных радиолокационных

§1. Априорные знания о законе движения цели

В предыдущей главе рассматривались вопросы, связанные с оцениванием параметров радиолокационного сигнала в единственном кадре наблюдений. Как показало статистическое исследование построенных оценок, качество оценивания, особенно при низких и умеренных отношениях сигнал/шум едва ли можно признать удовлетворительным. Однако полученные оценки можно существенно улучшить, если удастся накопить информацию во временной области, использовав для построения оценки несколько кадров наблюдения, и имеющуюся априорную информацию о движении цели.

С другой стороны для практических нужд радиолокации, параметров, которые можно определить, обработав единственный кадр наблюдений, часто бывает недостаточно. В частности, при определении динамических свойств движения цели, максимум, что нам доступно в единственном кадре - это радиальная скорость объекта. Но этого недостаточно для решения задач предсказания значений параметров, характеризующих движения цели в произвольные моменты времени, таких как экстраполяции траектории, ретроспективы и других. Во всех этих случаях необходимо обрабатывать множество кадров во временной области.

Чтобы такая обработка стала возможной, требуются дополнительные знания о возможном характере движения цели. Тогда происходит увеличение количества информации приходящейся в среднем на один параметр радиолокационного сигнала, а это позволяет проводить более точные оценки.

В реальных ситуациях такая информация в распоряжении наблюдателя имеется практически всегда. Так, например, можно говорить о непрерывности траектории цели, существовании и непрерывности ее производных, ограниченности скоростей и ускоренаблюдении ний. Во многих случаях возможно знание закона движения цели с точностью до набора параметров. Таким образом, их определение позволяет задать закон движения цели.

Очевидно, что если априорная информация о движении цели отсутствует совсем, то улучшить оценку параметров сигнала, полученную в единственном кадре не представляется возможным.

Траекторная обработка заключается в выявлении закономерных траекторий движения цели требуемого вида.

Традиционно эта обработка включает в себя стробирование отметок, полученных в каждом кадре. В любом алгоритме траекторного обнаружения-измерения наряду с истинными отслеживаются также и ложные траектории, что влечет за собой увеличение вычислительных затрат. Эта проблема решается путем введения так называемых этапов завязки траекторий. На этих этапах закон движения цели представляется предельно простым, например, равномерным и прямолинейным. Затем на основании выбранной модели движения вычисляют экстраполированную область по параметрам сигнала. Если в эту область попадают отметки от цели, они используются для дальнейших расчетов, если же нет, то экстраполяция производится на следующий кадр, при этом размеры стробов увеличиваются. Размеры стробов выбирают из противоречивых соображений уменьшения вероятностей продолжения сопровождения ложной траектории с одной стороны, и сбрасывания с сопровождения истинной траектории с другой. Сопоставляя отметки от цели и полученные стробы, далее выставляют новые стробы, и процесс продолжается. Накопление правдоподобия в переделах стробов практически заменяется проверкой соблюдения критерия «к из п». В случае принятия положительного решения модель движения заменяется более сложной моделью. Измерение параметров траекторий проводится также приближенно, например, с помощью метода наименьших квадратов.

Данная процедура не лишена недостатков, в первую очередь в силу того, что вычисления проводятся приближено, и вопрос о качестве обнаружения-измерения, в сравнении с оптимальными процедурами, вообще говоря, остается открытым.

С другой стороны можно провести межкадровую обработку, основанную на другом принципе. Если у нас есть информация о законе движения цели, заданном с точностью до некоторого числа параметров, возможно из всех в принципе существующих траекторий выделить те, которые удовлетворяют условию, что в каждом кадре цель, лежащая на этой траектории, попадает в доверительную оценку в этом кадре, а все остальные траектории отбросить. При этом не вводится никаких упрощений, касающихся закона движения цели, и вероятность «потерять» истинную траекторию цели, если в процессе доверительного оценивания внутри кадров цель не была потеряна, равняется нулю в случае точного построения такой оценки. Размер вектора параметров /?, определяющих траекторию, в принципе, может быть довольно большим, и тогда для того, чтобы провести оценивание потребуется значительное количество кадров. Если же в силу какого-либо рода причин собрать требуемую информацию не удается, то будем говорить о невозможности оценивания параметров сигнала (ненаблюдаемых ситуациях). Пусть у нас есть оценка векторного параметра радиолокационного сигнала а в моменты времени tx,.tN в каждом кадре, и траектория определяется вектором состояний

Р. Необходимым условием наблюдаемости вектора fi является A; dim а > dim

В ситуации, когда закон движения цели определен с точностью до набора параметров, важным частным случаем является движение по баллистической траектории.

При этом рассматривается следующая задача. В центральном гравитационном поле движется материальная точка, причем известны ее положение rQ в некоторый начальный момент времени /0, положение г, в конечный момент времени f,, а также время перехода Д/ = -t0. Как оказывается, задание только лишь этих параметров полностью определяет траекторию движения объекта. Также возможно определить траекторию движения тела, зная векторы скорости в начальный и конечный моменты наблюдений и время перехода. Причем, как оказывается, даже в том случае, когда поле не является центральным, но может быть представлено как суперпозиция любого количества центральных полей, решение этих задач все равно остается единственным, несмотря на то, что траектория движения объекта может оказаться чрезвычайно сложной. Этот факт носит название задачи Ламберта и подробно рассмотрен, например, в [1, 48, 64].

Если есть две системы координат, 01 и 02, между которыми существует взаимооднозначное соответствие, и в системе 01 имеется единственное решение задачи Ламберта, то такой же факт будет иметь место в системе 02.

На основании всех перечисленных фактов дадим следующее определение баллистической траектории.

Баллистическая траектория — это траектория, которая однозначно определяется своими начальными и конечными точками и временем перехода.

Для полного описания баллистической траектории необходимо лишь относительно небольшое количество информации, которое заведомо содержится в двух кадрах наблюдений. Заметим, что на практике обычно имеют дело со значительно большим числом наблюденных кадров, и тогда априорная информация может быть использована для улучшения решения задачи обнаружения-измерения.

Пусть у нас есть некоторый набор интервальных оценок Gk в моменты времени tk .tN. Рассмотрим 2 точки в кадрах G, и Gk, таких, что траектория a = F{t) проходит через эти точки. Тогда такая траектория единственна. Пусть теперь эта траектория в кадре j не попала в G., Gг Если мы знаем, что вероятность попадания цели в оценку Gсоставляет 1-е, то вероятность такого события составляет £. Вероятность того, что цель попадет во все допустимые области во всех кадрах, кроме i и к составляет, при условии £ = const, Р = (1-£)Л'~2, гДе N- общее количество кадров. Тогда вероятность пропуска цели по совокупности кадров есть Р = 1 -(1 -£)N~2 и мы гарантируем, что при этом цель попадает в межкадровую оценку с доверием Р, и тогда за счет £ -» 0 можно сделать эту вероятность сколь угодно большой.

Теперь предположим, что цели нет, а оценка однородна (однородность здесь означает, что относительные размеры оценок от кадра к кадру не изменяются), причем если G - оценка X, то = rj. Теперь, в силу однородности, если мы возьмем случайvolX ную траекторию, такую, что ее концы допустимы. Вероятность того, что эта траектория будет допустима во всех остальных кадрах составит Р = 7] '""2, так что с возрастанием N,

Р экспоненциально стремится к нулю, что может служить хорошим способом фильтрации ложных целей. Конечно, в силу того, что мы имеем дело не с отдельными траекториями, а с трубками траекторий, изложенные выше соображения не вполне верны, но качественная картина от этого не меняется.

Существенные отклонения будут наблюдаться лишь тогда, когда у становится близким к единице. Например, при условии rj= 0.1, и е = 0.998, что соответствует отношению сигнал/шум примерно 5 по мощности, на 12 кадрах уровень доверия составит 0.99, а вероятность появления ложной траектории оценочно 10-10. А когда у нас останется область небольшого размера можно будет воспользоваться какими угодно процедурами обнаружения-измерения при существенно меньшей априорной неопределенности.

Помимо баллистических траекторий, возможно также рассматривать и другие виды зависимостей от параметров, пусть даже вектор параметров будет большей размерности. Очевидно, что все сказанное относится и к этим случаям практически без изменений, только кадров для построения первоначальной, гипотетической траектории придется взять больше.

Отсюда следует, что вторым этапом обработки радиолокационного сигнала может стать процедура гарантированного усекновения данных первичной обработки с учетом имеющейся априорной информации о законе движения объекта, когда неопределенность лишь параметрическая.

В следующих параграфах этой главы будет подробно исследовано гарантированное оценивание параметров радиолокационного сигнала на основе данных первичной обработки параметров алгоритмом (1.8) и условии, что траектория движения цели баллистическая.

§2. Гарантированное оценивание наблюдаемых траекторий

Рассмотрим некоторую динамическую систему z(t), причем закон изменения z(t) во времени задан с точностью до набора параметров . z(t) = Y(tJ) (2.1)

Назовем множество D множеством достижимости вектора z на момент времени /, такое множество, что z(t) принадлежит D, и для любого z принадлежащего D найдется допустимый вектор параметров ft. В том случае, если есть ограничения, ft принадлежит некоторому множеству Е (ft е Е ), то множество D,. такое, что

V/? е Е, 2р е D, и \/2 е D/:, ЗД, е Е назовем множеством достижимости при наличии ограничений Е.

Пусть в результате наблюдений получено, что z(tk) eGk для любого к = 1,.,N. Без ограничения общности рассмотрим односвязный случай, так как многосвязный сводится к нему перебором, а именно потребуем Gk -односвязное выпуклое множество.

Будем считать, что G0 - начальное множество вектора z, a GI. — множество достижимости z в момент времени^ , при условии /3 е Ег Траекторию z(t) = Y(t,ft) назовем возможной, если для любого к существует ft, такой что z{tnP) принадлежит Gk. Также будем называть множество Е допустимым множеством параметра ft, если для любого А: и любого ft принадлежащего Е, траектория является возможной.

Задачу нахождения допустимого множества Е по наблюдениям Gk в этом случае будем называть задачей гарантированного оценивания вектора параметров ft.

Пусть, имея набор кадров минимальной длины, мы можем однозначно определить вектор параметров (3 для любой траектории, возможной на данном множестве кадров. Тогда совокупность всех векторов (3 для всей совокупности возможных на данном множестве кадров траекторий даст нам допустимое множество Е. Действительно, так как мы потребовали, чтобы ft однозначно определялся точками zk, наблюденными в минимальном наборе кадров, то для любого к ft е Е по построению. Обратное следует из того, что если ft еЕ, но z(tk,ft) не является возможной, то мы получаем противоречие.

Рассмотрим теперь последовательность кадров большей длины. По условию, выбрав последовательность минимальной длины, мы получили некоторое допустимое множество Еу. Выбрав другую последовательность минимальной длины, мы получим допустимое множество Е2. Пусть эти две последовательности отличаются только одним кадром. Тогда, очевидно, допустимое множество по совокупной последовательности кадров будет представлять собой пересечение этих двух множеств Ех и Ег. Действительно, любая траектория, определяемая f3 е Et о Ег удовлетворяет условию возможности, с другой стороны, если(3 <£ Ех г\Е2, то такая траектория, очевидно, не будет возможной. Отсюда следует, при определении допустимого множества по последовательности кадров порядок разбиения на подмножества совокупности кадров не имеет значения.

Поэтому появляется возможность разбить исходную совокупность кадров наблюдений на последовательность непересекающихся серий кадров минимальной длины, получить допустимое множество для каждой серии, а затем пересечь эти множества. Условием того, чтобы разбиение было хорошим, является, во-первых, то, чтобы в это разбиение вошли все доступные кадры, а во-вторых, число взаимопересечений было минимальным. Указанного нетрудно добиться, если разбить исходное множество кадров на непересекающиеся подгруппы, а оставшиеся кадры пересечь с любыми кадрами из уже использованных.

Еще одним моментом, который заслуживает специального рассмотрения, является процедура разбиения начального множества кадров на собственно подгруппы. Дело в том, что в зависимости от выбора этих подгрупп, размеры допустимого множества параметров Ек могут быть различными. В общем случае, конечно, для того чтобы получить окончательное множество достижимости необходимо честно пересечь все имеющиеся допустимые множества Ек, но может возникнуть такая ситуация, при которой

часть множеств Ек будет иметь размер существенно меньший, чем оставшиеся множества, которые будут просто включать в себя множества меньшего размера, и тогда, в этом случае, процедура пересечения таких множеств может быть существенно упрощенна, что позволит сократить вычисления. Исходя из этого, предлагается, в случае, когда есть возможность определить, пусть даже на основе приближенных соображений, какое из множеств будет меньше, за начало отсчета следует взять самое маленькое множество, а затем пересекать их в порядке возрастания размера Ек. траектория целя отметка от цепи

2 3 4 кадры

Проиллюстрируем все сказанное на простом примере. Пусть у нас имеется набор кадров, в которых наблюдается объект, движущийся равномерно и прямолинейно. Рассматривается одна из координат, описывающих это движение. Будем полагать, что в каждом кадре удалось найти эффективную оценку положения объекта. Эта оценка представляет собой интервал с центром в точке, являющейся точечной оценкой положения цели (в нашем случае, благодаря эффективности оценки она распределена нормально), и длиной 2к<7, где с - дисперсия оценки, а к выбирается из уровня доверия. Прямолинейное движение задается своими начальными и конечными точками, поэтому множества Ек будут представлять собой двумерные области. В координатах i-го и /-го кадра допустимое множество имеет вид прямоугольника (в нашем случае даже квадрата). Пересчитаем эту область для моментов времени tk и tt. Для любого момента времени справедливо zj-zxt-t,)

Zi

Допустимое множество дня кадров i и j

Оценка s i-om калре

Zj

Оценка х j-ом кадре

Z — Z: + "

At.

Тогда преобразование координат имеет вид = г, + z,.-z,)(W,) (Zj-Z^-O

At,,

Z, = Z,. +

At,, и матрица такого преобразования 1

At:,

At.

I, -',) (>,-',)

At,,

At tk-t,) , (t.-t,) , и при условии, что —-—— > 1 и —--> 1, что мы произ

Л/.

At,. и / водим пересчет в отдаленные кадры, допустимое множество увеличивается. е множество для кадров 1 к J

Пересчитанное допустимее инозкесбто

Оценка е j-ом кадре

Исходя их этого, становится понятным, что минимальные по размеру области получатся в крайних кадрах, и далее во внутренних, если брать их попарно, и пересчитывать в крайние. Поэтому, для того, чтобы минимизировать вычислительные затраты, порядок пересечения допустимых множеств должен быть таким же - сначала пересекаются множества построенные по самым крайним кадрам, потом - построенные по крайним кадрам из оставшихся кадров и так далее.

При оценивании вектора параметров /?, вообще говоря, стоит задача получения допустимого множества параметров минимального Отметка от дали размера, так именно размер этого множества оп-Траекгория дезш ределяет точность оценки. При использовании статистических процедур оценивания, например, основанных на расчете сигнального правдоподобия по траектории и построении доверительной области, размер оценки, в случае, если есть

2 3 4 калры эффективная оценка, уменьшается со скоростью 4n , где N - число наблюденных кадров. Более того, и в тех случаях, когда эффективной оценки не существует, возможно построение оценок с аналогичной асимптотикой, например на основе метода наименьших квадратов. При гарантированном оценивании получение оценок с такими свойствами, вообще говоря, не всегда возможно. Даже в том случае, когда в каждом кадре доверительная оценка имеет минимальный размер, нет никакой гарантии, что результирующая гарантированная оценка будет обладать этим же свойством на совокупности кадров.

Рассмотрим другой пример, когда с помощью процедуры гарантированного оценивания измеряется единственный неизменяющийся параметр, характеризующий положение цели в одномерном случае, при прочих условиях, описанных в предыдущем примере. В данной ситуации допустимое множество параметра положения цели будет простым пересечением отметок от цели в каждом кадре, и определяется как максимальное отклонение отметки в каком либо кадре за N измерений. Найдем при этих предположениях математическое ожидание размера допустимой области значений параметра.

Отклонение в одну сторону определяется как максимальное значение нормально распределенной величины по результатам N испытаний. Точно также определяется размер области при отклонении в другую сторону. Поэтому размер области будет определяться как

А = 2 ^(кае(Г - z)p(z)dz, где p(z) - распределение максимума абсолютного значения нормально распределенной величины в серии из N испытаний, при ограничении k<Jejf - z) > 0. Можно показать, что A(N) убывает не быстрее чем ^ ^ , что естественно хуже, чем, . Экспериментальные данные для этого случая приведены в слеtJn дующей таблице. Считается, что дисперсия распределения шума равна 1, а полоса по ширине равна 2- Зет шума.

Заключение

В работе рассматривалась процедура траекториого обнаружения-измерения радиолокационного сигнала, при проведении которой, аналогично традиционным подходам, задача разбивалась на 2 этапа - обработки единственного кадра и траекторной обработки совокупности обработанных кадров.

При проведении обработки в единственном кадре измерений была получена квазиоптимальная (при отношении сигнал/шум стремящемся к бесконечности) доверительная оценка (1.8) параметров радиолокационного сигнала по критерию минимума размеров получающегося множества. Основным достоинством такого способа оценивания является то, что удается проконтролировать уровень доверия этой оценки и избежать потерь полезной информации содержащейся в сигнале. Как показало исследование проведенной оценки, при высоких и умеренных отношениях сигнал/шум удается получить существенное уменьшение исходного множества параметров. При этом, полезная информация, содержащаяся в сигнале, практически не утрачивается. Однако при дальнейшем уменьшении отношения сигнал/шум наблюдается пороговый эффект, который проявляется в том, что размер получаемого доверительного множества резко возрастает, когда отношение сигнал/шум становится меньше некоторого уровня (в рассматриваемой модели сигнала значение этого порога составляет от 3 до 5 по уровню сигнал/шум в зависимости от уровня доверия оценки).

Как оказалось, получаемые с помощью оценки (1.8) множества могут иметь чрезвычайно сложное строение, что сильно затрудняет проведение вторичного (траекториого) этапа обработки. Для того чтобы вторичная обработка стала возможной, были предложены методы упрощения вида полученных оценок, в частности приближения получаемых множеств совокупностью эллипсоидов, либо клеточным множеством. Суть такой обработки состоит в покрытии (описании) исходной оценки множествами более простого вида. В параграфе 2 Главы 1 сформулированы основные требования, предъявляемые к таким описаниям. В параграфе 3 той же главы приведен конкретный алгоритм описания доверительной оценки основанной на (1.8) множеством эллипсоидов, а в параграфе 4 клеточным множеством. Также были исследованы свойства указанных описаний. Как было показано, после проведения предложенной процедуры первичной обработки радиолокационного сигнала возможно получение доверительной оценки с контролируемым уровнем доверия простого вида, удобного для дальнейшего использования. При этом, в отличие от традиционных процедур оценивания, полезная информация, содержащаяся в сигнале практически не утрачивается, а множество возможных значений параметров радиолокационного сигнала при отношении сигнал/шум большем порогового, существенно усекается.

При проведении вторичной обработки радиолокационного сигнала была получена процедура практически оптимального траекторного обнаружения-измерения радиолокационного сигнала. Слова «практически оптимальная» означают, что при проведении обработки часть первичной информации утрачивается, и это является платой за уменьшение вычислительных затрат необходимых для проведения вторичной обработки. При этом есть возможность контролировать уровень возникающих ошибок. Сама процедура вторичной обработки состояла из двух этапов.

Сначала, в предположении, что траектория цели баллистическая, проводилась процедура гарантированного оценивания параметров траектории цели. Обработка сводилась к тому, что траектории, которые хотя бы в одном кадре не попадали в доверительную оценку в этом кадре, выбрасываются из рассмотрения.

Был синтезирован детальный алгоритм гарантированного оценивания параметров баллистической траектории цели при условии, что доверительные оценки в каждом кадре заданы как совокупность эллипсоидов, либо клеток. Как оказалось, эта процедура позволяет эффективно «отфильтровывать» ложные траектории целей. Моделирование обнаружило, что вероятность появления ложной траектории при такой обработке убывает экспоненциально с увеличением числа привлеченных кадров. Однако размер оцененного множества параметров при проведении этой процедуры убывает с ростом числа дополнительных кадров не так быстро, как при использовании статистических методов оценивания. Это, по всей видимости, связано с тем, что при проведении этой обработки никак не учитывается поведение сигнала внутри доверительных областей. Таким образом, применение процедуры гарантированного оценивания оказывается неэффективным при проведении оценок параметров сигнала, но может быть очень полезным, как предварительный этап вторичной обработки, на котором отфильтровываются ложные траектории цели. Более того, даже грубая гарантированная оценка, по сути представляющая собой проверку условия попадает ли трубка траекторий цели, построенная по крайним кадрам рассматриваемой последовательности кадров, в доверительные оценки в каждом кадре этой последовательности, оказывается очень эффективной для фильтрации ложных траекторий цели. Результатом гарантированного оценивания является множество (совокупность множеств) простого вида, такие как клеточное, либо эллипсоидальное множество, и его размер настолько мал, что внутри этого множества становится возможным проведение оптимальной процедуры обнаружения цели и определения параметров ее движения, так что это не вызывает больших накладных расходов.

Дальнейшая обработка заключалась в отыскании максимума сигнальной функции правдоподобия по траектории цели и сравнении его с порогом, который определяется исходя из требуемого уровня ложной тревоги. При этом положение максимума, в случае, если принимается решение о наличии цели, дает точечную оценку параметров ее траектории, а множество, определяемое из условия (1.8) дает интервальную оценку этих параметров.

На основе построенной математической модели наблюдаемой ситуации были получены распределения вероятностей максимумов сигнальной функции правдоподобия по всевозможным значениям параметров траектории в отсутствие цели и распределения вероятностей максимумов функции сигнального правдоподобия, соответствующих цели при различных отношениях сигнал/шум. Затем по этим данным строились кривые обнаружения радиолокационного сигнала. Также проводились измерения размеров доверительных оценок. Как показало сравнение результатов, полученных с помощью указанной процедуры, и результатов, получаемых с помощью традиционных процедур обнаружения-измерения, в первом случае при малых и умеренных отношениях сигнал/шум на одних и тех же модельных ситуациях качество обнаружения оказалось значительно лучше, а размер доверительных множеств меньше в несколько раз при одном и том же том же уровне доверия, причем преимущества квазиоптимальной обработки проявляются тем сильнее, чем меньше становится отношение сигнал/шум.

Таким образом, полученные результаты позволяют производить синтез алгоритмов траекторного обнаружения-измерения радиолокационного сигнала, которые дают более качественное решение этой задачи в сравнении с традиционно применяемыми подходами.

1. Аппазов Р. Ф., О.Г. Сытин Методы проектирования траекторий носителей и спутников Земли. - М.: Наука, 1987.

2. Аристов А. С. Исследование алгоритмов обнаружения «т из т> для различных моделей сигнала и выбор их наилучших параметров. // Молодежная научно-техническая конференция «Радиолокация и связь на пороге третьего тысячелетия». Тезисы докладов, с. 46.

3. Бакан Г. М. Нестатистическая постановка и решение одной задачи фильтрации // Автоматика и телемеханика. 1983. - № 9.

4. Бакут П. А., Большаков И. А., Герасимов Б. М. и др. Вопросы статистической теории радиолокации/ Под ред. Тартаковского Г. П., т. 2. М.: Сов. радио, 1964.

5. Бакут П. А., Жулина Ю. В., Иванчук Н. А. Обнаружение движущихся объектов. -М.: Сов. радио, 1980.

6. Большаков И. А. Выделение потока сигналов из шума. М.: Сов. радио, 1969.

7. Большаков И. А., Гуткин J1. С., Левин Б. Р., Стратонович Р. Л. Математические основы современной радиоэлектроники. М.: Сов. радио, 1968.

8. Большее Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. М.: Наука, 1982.

9. Браммер К. Зиффлиг Г. Фильтр Калмана-Бьюси: Пер. с нем. М.: Наука, 1982.

10. Вайнштейн Л. А., Зубаков В. Д. Выделение сигналов на фоне случайных помех. -М.: Сов. радио, 1960.

11. Вальд А. Последовательный анализ.-М.: Физматгиз, 1960, гл. 1-4.

12. Васильев Ф. П. Методы решение экстремальных задач. -М.: Наука, 1981.

13. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1973.

14. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления.-М.: Наука, 1984.

15. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966.

16. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. М.: Физматгиз, 1962.

17. Гольд Б, Рейдер Ч. Цифровая обработка сигналов. Пер. с англ. под ред. А. М. Трахтмана-М.: Сов. радио, 1973.

18. Гуткин Л.С. Теория оптимальных методов радиоприёма при флуктуационных помехах. М.: Сов. радио, 1972.

19. Жданюк Б. Ф. Основы статистической обработки траекторных измерений. М.: Сов. радио, 1978.

20. Загускин В. J1. Об описанных и вписанных эллипсоидах экстремального объема // Успехи мат. наук. 1958. - Т. 13, № 6(64).

21. Зойтендейк Г. Методы возможных направлений. М.: ИЛ, 1963.

22. Каценбоген М. С. Характеристики обнаружения. М.: Радио и связь, 1965.

23. Коростелёв А.А. Пространственно-временная теория радиосистем: Учебное пособие для вузов. М.: Радио и связь, 1987.

24. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975.

25. Кузьмин С. 3. Основы цифровой обработки радиолокационной информации. М.: Сов. радио, 1970.

26. Кузьмин С. 3. Основы проектирования систем цифровой обработки. М.: Радио и связь, 1986.

27. Куликов Е. И., Трифонов А. П. Оценка параметров сигнала на фоне помех. М.: Сов. радио, 1976.

28. Левин Б. Р. Теретические основы статистической радиотехники: т. 2. М.: Сов. радио, 1968.

29. Левин Б. Р. Статистическая радиотехника. М.: Радио и связь, 1989.

30. Леман Э. Проверка статистических гипотез. -М.: Наука 1979.

31. Мидлтон Д. Введение в статистическую теорию связи: в 2-х т. М.: Сов. Радио, 1961-1962.

32. Моисеев Н. Н., Иванилов Ю. П., Столярова Е. Н. Методы оптимизации. М.: Наука, 1978.

33. Мудров В. И., Кушко В. Л. Методы обработки измерений. М.: Радио и связь, 1981.

34. Обнаружение радиосигналов / Под ред. А. А. Колосова. М.: Радио и связь, 1989.

35. Поляк Б. Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983.

36. Пшеничный Б. Н. Метод линеаризации. М.: Наука, 1983.

37. Проблемы антенной техники / Под ред. Л.Д. Бахрака, Д.И. Воскресенского. М.: Радио и связь, 1989.

38. Пространственно-временная обработка сигналов /Под. ред. И. Я. Кремера. М.: Радио и связь, 1984.

39. Рабинер J1., Голд Б., Теория и применение цифровой обработки сигналов М.: Мир, 1978.

40. Радиоэлектронные системы: основы построения и теория. Справочник /Под ред. Ширмана. М.: ЗАО «МАКВИС», 1998.

41. Репин В. Г., Тартаковский Г. П. Статистический синтез при априорной неопределенности и адаптация информационных систем. М. Сов. радио, 1977.

42. Репин В. Г., Шадрин А. В. Метод доверительного оценивания параметров радиолокационного сигнала // Молодежная научно-техническая конференция «Радиолокация и связь на пороге третьего тысячелетия». Тезисы докладов, с. 12.

43. Репин В. Г., Шадрин А. В. Применение процедуры гарантированного оценивания для межкадровой обработки данных радиолокационных наблюдений.// XLIV Юбилейная конференция МФТИ. Тезисы докладов (Часть 1), с. 56.

44. Репин В. Г., Шадрин А. В. Доверительная квазиоптимальная оценка параметров радиолокационного сигнала // Обработка информации и моделирование. М. 2002, с. 422.

45. Рытов С. М. Введение в статистическую радиофизику: т. 1. М.: Наука, 1976.

46. Саврасов Ю. С. Алгоритмы и программы радиолокации. М.: Радио и связь, 1985.

47. Сейдж Э., Меле Д. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении. М.: Связь, 1976.

48. Сихарулидзе Ю. Г. Баллистика летательных аппаратов. -М.: Наука, 1982.

49. Сосулин Ю. Г. Теория обнаружения и оценивания стохастических сигналов. М.: Сов. радио, 1978.

50. Сосулин Ю.Г., Теоретические основы радиолокации и радионавигации, М.: Радио и связь, 1992.

51. Теория обнаружения сигналов/Под ред. П. А. Бакута.-М.: Радио и связь, 1984.

52. Теоретические основы радиолокации /Под. ред. Я. Д. Ширмана. М.: Сов. радио, 1970.

53. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. -М.: Радио и связь, 1982.

54. Тихонов В. И. Оптимальный прием сигналов. М.: радио и связь, 1983.

55. Тихонов В. И., Харисов В. Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем. М.: Радио и связь, 1991.

56. Устойчивые статистические методы оценки данных /Под ред. Р. Лорнера и Г. Уил-кинсона. М: Машиностроение, 1984.

57. Хьюбер Д. Робастность в статистике. М. Мир, 1984.

58. Фарина А., Студер А. Цифровая обработка радиолокационной информации, ч. 1. -М.: Радио и связь, 1993.

59. Федоренко Р. П. Введение в вычислительную физику. М.: Издательство МФТИ, 1994.

60. Фельдман Ю.И., Гидаспов Ю.Б., Гомзин В.Н. Сопровождение движущихся целей / Под ред. Ю.И. Фельдмана. М.: Сов. радио, 1978.

61. Черноусько Ф. Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. М.: Наука, 1988.

62. Шадрин А. В. Исследование процедур обнаружения-измерения радиолокационного сигнала. //XLV научная конференция МФТИ. Труды конференции (Часть 1), стр. 48.

63. Ширман Я. Д., Манжос В. Н. Теория и техника обработки радиолокационной информации на фоне помех. М.: Радио и связь, 1981.

64. Эскобал П. Методы определения орбит. М.: Мир, 1970.