Разработка методов расчета конструкций с мягкими оболочками тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

На правах рукописи

РГВ од

1 /' ДЯГ 2303

БЕЛЯНКИН Михаил Иванович

РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ С МЯГКИМИ ОБОЛОЧКАМИ

Специальность 01.02.06 - Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Омск - 2000

Работа выполнена в Омском государственном техническом университете.

Научный консультант: - доктор технических наук, профессор,

заслуженный деятель науки РФ Белый В.Д. •Официальные оппоненты: - доктор физико-математических наук,

профессор, член-корреспондент РАЕН, заслуженный деятель науки РФ Трусов П.В.;

- доктор технических наук Кадисов Г.М.;

- доктор технических наук, профессор Бурьян Ю.А.

Ведущая организация - ОАО Моторостроительное конструкторское

бюро, г. Омск.

Защита диссертации состоится " 16 " июня 2000 г. в часов в

аудитории 6-340 на заседании диссертационного совета Д 063.23.02 в Омском государственном техническом университете по адресу: 644050, 0мск-50, пр. Мира, 11. Тел.: (8-3812) 65-64-92.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Омского государственного технического университета.

Отзыв на автореферат в 2-х экземплярах, с подписью составителя и заверенный гербовой печатью организации, просим направлять в адрес диссертационного совета.

1 « ис.ОЛ' Автореферат разослан " } I " аяреля 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор технических наук, профессор / Е.А. Воронов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Широкое применение экономически выгодных конструкций с мягкими оболочками, дальнейшее их совершенствование является одним го направлений научно-технического прогресса. Особо бурное развитие это направление получило за последние 2-3 десятилетия. От первых пневмоукрытий сравнительно небольших объемов до проектов и разработок сложных конструкций, имеющих порой размеры десятки километров, таков качественный скачок, являющийся результатом этого развития. В значительной степени этому способствовали создание и производство современных высокопрочных материалов, обладающих также другими положительными достоинствами.

Создание сложных, а в большинстве случаев уникальных объектов с мягкими оболочками требует тщательного анализа их работы. Экспериментальные исследования таких объектов связаны с большими материальными затратами, удлиняют сроки разработок, а зачастую являются невыполнимыми. Поэтому новые подходы к анализу базируются на современных методах расчета с использованием вычислительной техники. Методики расчета, ориентированные на использование ЭВМ, позволяют приблизить расчетные модели к реальным конструкциям, обоснованно выбирать наиболее выгодные варианты из множества возможных, значительно снизить затраты на проектирование.

Одним из современных численных методов является метод конечных элементов (МКЭ). Он позволяет исследовать как отдельные элементы конструкции, так и конструкцию в целом. Однако применение МКЭ к расчету конструкций с мягкими оболочками сопряжено с рядом трудностей, обусловленных проблемами нелинейного деформирования тонких оболочек в сочетании с особенностями формообразования мягких оболочек. Вследствие этого степень отработки методов и алгоритмов решения задач статики еще недостаточна, а численное решение статических задач строится, как правило, на базе динамических моделей, требующих больших затрат как на разработку программ, так и на проведение расчетов. При этом создаваемые программные комплексы не охватывают всего многообразия задач, возникающих в практике проектирования конструкций с мягкими оболочками.

При проектировании сложных объектов с мягкими оболочками рассматриваются и рассчитываются многие варианты конструктивных решений при различных исходных данных. Использование простых и эффективных алгоритмов расчета позволяет при этом существенно снизить затраты на проектирование. Поэтому усилия ученых и исследователей направлены на совершенствование существующих и поиск новых эффективных подходов к расчету мягких оболочек.

В диссертации представлены результаты разработки расчетных моделей конструкций с мягкими оболочками, основанных на использовании МКЭ, а также разработки эффективных методов их анализа.

Цель работы заключается в разработке модифицированного варианта МКЭ, позволяющего решать статические задачи исследования формообразования и напряженного состояния мягких оболочек.

Общая методика исследования. Исследование основывается на общих положениях теорий тонких и мягких оболочек, на численных методах решения нелинейных задач механики твердого деформируемого тела.

В соответствии с целью работы решались задачи по расширению возможностей МКЭ в практике проектирования конструкций с мягкими оболочками.

Научная новизна.

1. Разработан модифицированный вариант МКЭ, позволяющий исследовать конструкции с мягкими оболочками общего вида в условиях статического нагружения.

Основу модификации МКЭ составляют:

А. Конечно-элементная модель конструкций с мягкими оболочками, построенная на базе подхода, включающего:

- неординарные кинематические соотношения, выражающие связь деформированного состояния в элементе с удлинениями его сторон. Соотношения позволяют обеспечить совместность элементов и вместе с тем точно представить в элементах жесткие смещения и постоянные деформации независимо от величины перемещений;

- учет неспособности мягкой оболочки воспринимать усилия сжатия;

- описание распределения давления внутренней и внешней сред, позволяющее учесть воздействие сред практически во всех случаях;

- введение потенциалов давления внутренней и внешней сред и способ их определения, который может быть применим как для однородных, так и неоднородных сред, статически действующих на оболочку. Введение потенциалов позволяет точнее учесть воздействие сред на оболочку при конечных ее перемещениях, а также в случаях образования зон сжатия материала. При сморщивании оболочки составляющие матрицы касательной жесткости, обусловленные давлением сред, являются естественными параметрами регуляризации решения задачи;

- представление полной потенциальной энергии системы функцией координат узлов, вследствие чего выражение энергии является точным в любой точке ограниченного векторного пространства £" и позволяет использовать шаговые процедуры, не ограничивая при этом перемещения базовых точек модели;

- получение уравнений равновесия модели прямой минимизацией функции полной потенциальной энергии по вектору узловых координат;

- получение матрицы касательной жесткости как матрицы Якоби вектор-функции узловых сил.

B. Процедура перехода от текущего состояния конечно-элементной модели к последующему в сочетании с уравнением для определения изменяемого параметра процедуры. Процедура позволяет получить решение нелинейной системы уравнений как в регулярных точках множества решений, так и в области закритического деформирования оболочки в случаях образования зон' сжатия материала вне зависимости от удаленности начального приближения от решения.

C. Итерационные схемы решения системы нелинейных уравнений равновесия модели, основанные на предлагаемой процедуре, с обоснованием сходимости итераций, решением проблемы начального приближения, а также вариантами локализации решения.

2. Численным экспериментом подтверждены:

- существенное влияние составляющих давлений внутренней и внешней сред в матрице касательной жесткости на итерационный процесс решения уравнений равновесия;

- целесообразность и возможность оптимизации итерационного процесса решения уравнений равновесия.

3. Показана работоспособность модифицированного варианта МКЭ путем апробации модели и расчетных схем на решениях тестовых задач, в числовом эксперименте, а также на решениях пробных задач с оболочками общего вида. Подтверждена высокая эффективность расчетных схем при решении задач с существенной геометрической нелинейностью, а также нелинейностью физической, обусловленной неспособностью мягкой оболочки воспринимать усилия сжатия.

4. Рассмотрены подходы и схемы решения частных задач, в том числе:

- задачи о равнонапряженной пленке, натянутой на заданный плоский или трехмерный контур, при действии внутреннего давления и без давления;

- задачи получения решения нелинейных уравнений равновесия за наименьшее число итераций при любом конечном соотношении характерных параметров нагрузки и жесткости оболочки;

- задачи о существовании смежных форм равновесия конструкции;

- определения критических значений параметра нагрузки, соответствующих предельным точкам и точкам бифуркации;

- определения критического соотношения параметров, при превышении которого оболочка не имеет формы равновесия.

Положения, выносимые на защиту.

1. Элементы подхода, использованные при разработке модифицированного варианта МКЭ.

2. Выбор исходного состояния расчетной модели.

3. Процедура изменения состояния модели и уравнение для определения параметра процедуры.

4. Основанные на этой процедуре итерационные схемы решения уравнений равновесия модели.

5. Обоснование сходимости итераций в расчетных схемах.

6. Выделение локального решения нелинейной системы уравнений МКЭ.

7. Подходы и схемы решения частных задач, вытекающих из общей модели.

8. Результаты решения тестовых задач.

9. Результаты исследования модели в числовом эксперименте.

10. Результаты апробации модели на решениях задач с оболочками общего вида.

11. Алгоритмы и программы расчета конструкций с мягкими оболочками.

Практическая ценность работы заключается в разработке новой

конечно-элементной модели конструкций с мягкими оболочками, а также эффективных схем и алгоритмов анализа этой модели. Их использование позволяет значительно снизить затраты на проектирование сложных мягкообо-лочечных конструкций.

Реализация результатов работы. На основе модифицированного варианта МКЭ разработаны алгоритмы и программы, позволившие выполнить расчет мягкой оболочки полужесткого дирижабля. Результаты работы переданы также на Государственное унитарное предприятие "Научно-производственное предприятие "Прогресс" (г. Омск) и могут быть использованы при разработке изделий с мягкими оболочками.

Апробация работы. Результаты выполненной работы докладывались и обсуждались:

на Седьмой Дальневосточной конференции по мягким оболочкам "Совершенствование и оптимизация конструкций, изготавливаемых с применением мягких оболочек" (Владивосток, 1983 г.);

на X научно-технической конференции молодых ученых и специалистов "Совершенствование конструкций, рецептуры, технологии и оборудования для производства шин, резинокордных элементов и резинотехнических изделий" (Омск, 1986 г.);

на региональной научно-методической конференции в Омском технологическом институте (Омск, 1996 г.);

на Международной 52-й научно-технической конференции профессоров, преподавателей, научных работников, аспирантов и студентов БГПА "Технические ВУЗы - Республике" (Минск, 1997 г.);

на II Международной научно-технической конференции, посвященной 55-летию Омского государственного технического университета (Омск, 1997 г.);

на Сибирской школе-семинаре "Математические проблемы механики сплошных сред" СО РАН (Новосибирск, 1997 г.);

на научном семинаре кафедры "Динамика и прочность машин" ПГТУ (Пермь, 1998 г.);

на расширенном научном семинаре лаборатории механики композитных материалов ИМСС УрО РАН (Пермь, 1998 г.);

на Зимней школе по механике сплошных сред (двенадцатой) УрО РАН (Пермь, 1999 г.);

на III Международной научно-технической конференции "Динамика систем, механизмов и машин" (Омск, 1999 г.);

на расширенном заседании кафедры "Сопротивление материалов" ОмГТУ (Омск, 2000 г.);

Публикации. По тематике исследований опубликовано 23 работы.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения и библиографического списка из 250 наименований.

Текст изложен на 209 страницах машинописного текста, содержит 40 рисунков и 23 таблицы.

1. СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ ИССЛЕДОВАНИЙ КОНСТРУКЦИЙ С МЯГКИМИ ОБОЛОЧКАМИ

Теория мягких оболочек развилась в самостоятельную ветвь общей теории оболочек. Это объясняется особенностями деформирования мягких оболочек: неспособностью воспринимать изгибающие моменты, усилия сжатия, а частично и сдвига; геометрическими изгибаниями оболочки в целом или отдельных ее частей.

Основы теории статики мягких оболочек разработаны С. А. Алексеевым и получили развитие в работах В. Э. Магулы, Н. П. Стрекозова, Л. И. Балабуха и В. И. Усюкина, В. И. Усюкина и др. ученых. Значительный вклад в развитие теории мягких оболочек внесли проф. В. Э. Магула, проф. В. И. Усюкин, проф. Б. И. Друзь и др.

Основы теории сетчатых оболочек разработаны В. Л. Бидерманом, Б. Л. Букиным и др. Строгое математическое обоснование теории сетчатых оболочек отражено в работах Г. И. Пшеничного и др.

В общей теории мягких оболочек С. А. Алексеев сформулировал три ее основные задачи.

Задача 1. Задана форма оболочки в конечном состоянии под действием известных нагрузок. Требуется определить начальную (раскройную) форму.

Задача 2. Определение конечной формы оболочки по известным нагрузкам и заданной начальной форме.

Задача 3. Известно исходное состояние оболочки (нагрузка, форма, напряжения). Требуется определить конечную форму и напряжения, возникающие под действием дополнительной системы нагрузок.

Подход к решению задан с позиций математической теории мягких оболочек в общем случае связан с математическими трудностями решения больших систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Поэтому в рамках этого подхода удается получить решения лишь частных задач, имеющих, однако, очень важное практическое значение. Методы теоретических исследований мягких оболочек и решения многочисленных прикладных задач широко представлены в сборниках под ред. И.И. Воровта, Б.И.Друзя, В. Э. Магулы, в сборниках ЦНИИСК им. Кучеренко и др., а также в работах С.М. Белоцерковского с соавт., Б.В. Гулина, В.В. Риделя и др. Обзоры работ данного направления приведены в монографии В.Э. Магулы, статье В. В. Риделя и др. работах.

Метод конечных элементов в настоящее время является наиболее распространенным методом численного решения задач механики твердого деформируемого тела. По МКЭ имеется большое количество зарубежной переводной и отечественной литературы.

Применение МКЭ к оболочечным конструкциям изложено в монографиях В.А. Постнова и И.Я. Хархурима, A.C. Сахарова и В Н. Кислоокого с соавт., И.Ф. Образцова с соавт., Р.Б. Ржардса, H.A. Алфутова с соавт., А.И. Голованова к М.С. Корнишина и др.

Анализ различных подходов к решению задач теории оболочек численными методами приведен в обзорной работе Я.М. Григоренко. Автор в частности отмечает:

- при численном решении линейных задач теории оболочек в основном использовались уже апробированные методы;

- в случае одномерных нелинейных задач продолжается поиск методов эффективного их решения, особенно если решение находится во всей области деформирования, включая предельные точки и точки ветвления;

- в случае двумерных нелинейных задач имеется лишь незначительное число работ, в которых исследуется закритическое деформирование.

В настоящее время наиболее распространенным методом решения нелинейных задач теории оболочек является метод продолжения решения по параметру.

Проблема выбора параметра продолжения, обобщенные формы непрерывного и дискретного продолжения решения в регулярных и предельных точках множества решений, обобщения на нелинейные краевые задачи, а также другие аспекты метода и его приложений рассмотрены в работах В. И. Шала-шилипа, Э.И. ГриголюкаиВ.И. Шалашилина и отражены в монографии этих авторов. Здесь же приведен обширный обзор работ (547 назв.) по использованию метода продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого тела.

Строгое математическое обоснование геометрически нелинейной теории пологих оболочек дано в монографии И. И. Воровича. Рассмотрены вопросы нелинейной устойчивости пологих оболочек. Приведен обзор работ (504 назв.), отражающий развитие теории пологих оболочек и методы решения этого класса задач.

Развитие новых подходов к проблеме понимания нелинейного поведения оболочек, нагруженных статическими и периодическими динамическими нагрузками, освещено в обзоре Я. М. Григоренко и В. И. Гуляева.

К несомненному успеху теории и методов нелинейного анализа авторы относят установление того факта, что в сравнительно простых механических системах при простых видах возмущения возможны сложные непредсказуемые переходы, сопровождаемые резкими качественными скачками от одного состояния к другому.

В настоящее время при расчете тонкостенных конструкций численными методами наиболее широко применяются две теории:

1. Классическая теория, основанная на гипотезах Кирхгофа-Лява.

2. Теория, учитывающая деформации поперечного сдвига (теория типа Тимошенко).

Первая из них приближается к точному описанию напряженного состояния при уменьшении толщины оболочки, однако включает в себя производные от перемещений высокого порядка, что приводит к повышенным требованиям по отношению к гладкости решения.

Теория оболочек, учитывающая поперечный сдвиг, описывается дифференциальными уравнениями меньшего порядка, хотя общий порядок системы остается прежним за счет увеличения числа уравнений и неизвестных функций. Требования к гладкости решения здесь ниже, однако при уменьшении толщины оболочки уравнения становятся плохо обусловленными и могут давать совершенно неверные результаты.

Основы построения искривленных КЭ тонких оболочек с учетом механики их деформирования изложены в монографии Л.И. Голованова и М.С. Корни-шина. Авторы приводят обзор наиболее известных конечных элементов тонких оболочек, в котором излагаются основные этапы построения соответствующих матриц жесткости и дается качественный анализ их свойств.

Авторы обращают внимание на две проблемы, с которыми приходится сталкиваться при расчетах тонких оболочек.

Первая из них связана с малой толщиной оболочек. Известно, что приближенное решение, полученное одним из проекционно-сеточных методов, в частности МКЭ, будет сходиться к точному лишь в том случае, когда выполнены условия согласованности конечных элементов. Удовлетворить требованиям согласованности в рамках классической теории намного сложнее,

чем при использовании теории типа Тимошенко. Но при уменьшении толщины оболочки точность решения, полученного по второй из теорий, резко снижается.

Суть второй проблемы в том, что приближенные выражения для деформаций должны достаточно точно описывать, по крайней мере, нулевое и постоянное деформированное состояние. Но в случае оболочек, этим требованиям можно удовлетворить точно, лишь нарушив совместность и, наоборот, построив совместный элемент, нельзя в общем случае точно представить в нем ни жестких смещений, ни постоянных деформаций.

Обе проблемы присущи КЭ, построенным как на основе классической теории, так и на основе сдвиговой теории типа Тимошенко.

В конструкциях с мягкими оболочками перемещения могут быть сопоставимы с наибольшими размерами самих оболочек. Вследствие этого основные модели мягких оболочек предусматривают конечные перемещения срединной поверхности. При этом физические соотношения могут быть линейными или нелинейными.

Трудности исследования нелинейного деформирования тонких оболочек полностью относятся и к мягким оболочкам. Их сочетание с особенностями нелинейного деформирования мягких оболочек еще более усложняет анализ конструкций с мягкими оболочками.

В отечественной практике одной из первых работ по расчету мягких оболочек методом конечных элементов является работа В Н. Кислоокого. В этой работе фрагменты мягких оболочек аппроксимируются совокупностью плоских треугольных элементов, а тросовые фрагменты - прямолинейными растянуто-напряженными стержнями. Решение задач статики сводится к отысканию равновесных состояний динамической модели методом дискретных торможений.

Анализ программных комплексов по расчету конструкций с мягкими оболочками показывает, что они базируются на динамических конечно-элементных моделях, а статические задачи решаются методами установления или методами торможения.

На основании изучения состояния вопроса по исследованию деформирования конструкций с мягкими оболочками сформулирована основная цель работы: разработка модифицированного варианта МКЭ для решения задач статики мягких оболочек.

В соответствии с целью работы необходимо решить комплекс задач по расширению возможностей метода конечных элементов в практике проектирования конструкций с мягкими оболочками.

1. Решить проблему, связанную с кривизнами оболочки: обеспечить совместность конечных элементов и вместе с тем точно представить в элементах жесткие смещения и постоянные деформации независимо от величины перемещений.

2. Получить математическое описание давления внутренней и внешней сред, действующих на оболочку, которое было бы применимо как при малых избыточных давлениях, например в дирижаблях, так и больших давлениях, например в пневматических амортизаторах, мягких наливных емкостях, т. е. во всех практических случаях.

3. Выразить действие давления внутренней и внешней сред через потенциалы давления сред, что позволит точнее учесть воздействие сред на оболочку при конечных перемещениях, а также в случаях моделирования морщин и складок оболочки.

4. Представить функционал полной потенциальной энергии модели конструкции дискретным аналогом, являющимся точным (в пределах принятых допущений) в любой точке ограниченного векторного пространства Е", что позволит использовать шаговые процедуры не ограничивая перемещения базовых точек аппроксимации оболочки.

5. Разработать конечно-элементную модель конструкции. Получить матрицу касательной жесткости элемента с учетом составляющих, обусловленных давлением внутренней и внешней сред. Учесть в модели физическую нелинейность, связанную с неспособностью материала оболочки сопротивляться сжатию.

6. Разработать простые и эффективные расчетные схемы, позволяющие исследовать конечно-элементную модель конструкций с мягкими оболочками.

7. Обосновать сходимость итераций в расчетных схемах.

8. Решить:

- задачу локализации решения системы нелинейных уравнений равновесия модели;

- проблему неудачно заданного исходного состояния;

- задачу закритического деформирования оболочки в случаях образования зон сжатия материала.

9. Разработать комплекс алгоритмов и программ расчета конструкций с мягкими оболочками на основе новой конечно-элементной модели и расчетных схем.

10. Подтвердить достоверность получаемых расчетных данных путем сравнения с результатами решения тестовых задач.

11. Подтвердить эффективность модифицированного варианта МКЭ в числовом эксперименте и решении пробных задач.

12. Выполнить расчет конкретной прикладной задачи по определению формы и напряженного состояния мягкой оболочки полужесткого дирижабля.

2. ОБОСНОВАНИЕ МОДИФИЦИРОВАННОГО ВАРИАНТА МКЭ

При постановке задачи считаются известными:

- исходная форма поверхности оболочки в декартовой системе координатных осей Охуг (Ог- вертикальная ось);

- форма подкрепляющих и других элементов конструкции (канаты, каркасные ленты, каркасные сети, мягкие перегородки, силовые пояса и т. д.);

- физические свойства материала оболочки и других конструктивных элементов;

- геометрические граничные условия;

- статически действующая нагрузка.

Согласно постановке второй основной задачи теории мягких оболочек требуется определить:

- форму оболочки под нагрузкой;

- напряженное состояние элементов конструкции.

Условно конструкции с мягкими оболочками разделены на открытые и замкнутые.

Открытыми считаются конструкции, расчетная модель которых не имеет замкнутой внутренней полости. Например, парус, дельтаплан, одиночный парашют, тентовая конструкция и др.

Соответственно конструкции, расчетная модель которых содержит замкнутую внутреннюю полость, отнесены к замкнутым. Внутренняя полость заполняется средой (газ, жидкость) и давление среды является частью общей нагрузки, действующей на оболочку. Примерами замкнутых конструкций могут служить воздухоопорные сооружения, аэростаты, мягкие и полужесткие дирижабли, пневматические балки, стойки, арки, пневматические амортизаторы, наливные емкости, мягкооболочечные гидрозатворы, гидроплотины и др.

Среди замкнутых выделены конструкции с абсолютно изолированной внутренней полостью (утечки среды через стенки не учитываются) и названы абсолютно замкнутыми. Например, пневматические амортизаторы, пневматические балки, стойки и др.

Предполагается, что замкнутой конструкцией ограничен объем Ук. Объем, ограниченный оболочкой, обозначен V, а оставшийся объем - Уд . Следовательно,

где V - объем, ограниченный срединной поверхностью оболочки и плоскостью Оху или Оуг, или Огх; Уд - дополнительный объем.

Выбор одной из плоскостей для определения объема V в конкретных задачах осуществляется из соображений упрощения алгоритма решения задачи.

Составляющими общей нагрузки являются давление внешней среды ра на одну из поверхностей (внешнюю) и давление среды рс на другую (внутреннюю) поверхность оболочки. Например, избыточным давлением создается предварительное натяжение, придающее мягкой оболочке определенную форму и обеспечивающее восприятие заданной нагрузки.

Функция давления среды на оболочку представляется в виде

р(г)=р(0)+ кг, где к - константа, зависящая от плотности среды на уровне г - 0 .

В работе вводятся потенциалы давления внутренней и внешней сред, а общий потенциал представляется суммой

П, = П -П = ¡¡¡(Ро+Р^У,

Ун

где Пс , Па - потенциалы давления внутренней и внешней сред; р0 - рс (0) - ра(0) - суммарное давление сред на уровне г - 0; р1 = кс- ка-коэффициент изменения давления по направлению оси 2.

По абсолютной величине потенциал давления среды равен максимальному значению работы, которую может совершить среда с заданным законом распределения давления.

С учетом потенциала Пг принцип стационарности полной потенциальной энергии системы приводит к условию

5П = 5(П)-П2)= 0, (1)

где П) - полная потенциальная энергия системы без учета потенциалов давления внутренней и внешней сред.

При решении второй основной задачи параметры р0 и р] являются заданными. Если же для абсолютно замкнутой конструкции ставится задача догружения, то они уже будут отнесены к определяемым. В этом случае необходимы дополнительные зависимости, связывающие параметры внутренней среды, включая закон сохранения массы среды в форме т = т0, где т0 - масса внутренней среды при начальной нагрузке.

Предполагается, что поверхность оболочки и других оболочечных конструктивных элементов аппроксимированы сеткой, а линейные конструктивные элементы - кусочно-прямыми линиями. Тогда узлами дискретизации элементов конструкции являются узлы сетки и точки сопряжения прямолинейных участков ломаных линий.

В работе полная потенциальная энергия конструкции выражена через координаты узлов дискретной модели, т. е.

П= П(х)=П1(х)-П2(х), где х - вектор координат узлов в системе координат х, у, г.

В таком случае дискретным аналогом условий (1) являются уравнения равновесия модели

ЧГ(х) = О, (2)

где *¥(х) - вектор всех внутренних и внешних узловых сил.

Из обзора работ по решению нелинейных задач теории оболочек и методам решения систем нелинейных алгебраических уравнений следует, что итерационные методы: простых итераций; малого параметра; последовательных приближений; Ньютона-Канторовича (Ньютона-Рафсона); модифицированный вариант метода Ньютона-Канторовича и др. используются как вспомогательные алгоритмы в методе продолжения решения по параметру или, как самостоятельные при нахождении локального решения систем уравнений вида (2).

Однако деформирование мягкой оболочки имеет ряд особенностей, затрудняющих использование известных методов статического расчета. Одна из них заключается в том, что при отсутствии нагрузки мягкая оболочка не имеет определенной формы, а какая-либо задаваемая исходная форма в общем случае является неравновесной. При этом даже малая часть общей нагрузки вызывает перемещения оболочки, сопоставимые с ее наибольшим размером, например, вследствие геометрических изгибаний. В таких случаях возникает проблема задания начальных условий при решении задачи Коши или проблема выбора начального приближения при решении системы алгебраических уравнений методом пошагового нагружения и др. итерационными методами. Поэтому использование шаговых методов, в особенности на начальной стадии процесса деформирования, неэффективно. Возможность геометрических изгибаний и в целом сильная зависимость формы от нагрузки также являются характерными особенностями деформирования мягких оболочек. Неспособность мягких оболочек сопротивляться сжатию, изгибу, а частично и сдвигу обуславливает появление на деформированной оболочке морщин, а в дальнейшем и складок. При этом практически невозможно заранее предсказать, будет ли конечное состояние бесскладчатым. Такое поведение оболочек под нагрузкой зачастую не позволяет получить решение стационарных задач методом конечных элементов из-за плохой сходимости или расходимости итерационных методов.

Вследствие этого решения стационарных задач получают, как правило, с использованием динамических моделей на основе сочетания метода конечных элементов с методами торможения или методами установления.

Предложенные автором схемы решения системы уравнений (2) основаны на процедуре перехода от текущего приближения к последующему, которое определяется на прямой

1.,=х.+ а.5. (3)

1+1111 ^ у

си

из нелинейного относительно параметра X уравнения

(Ч(хи1) , 8; = 0, (4)

где х. - текущее приближение к решению; а - изменяемый на текущем шаге параметр; 5. - задаваемый или определяемый каким-либо способом вектор; ( , ) - обозначение скалярного произведения.

В задачах расчета мягких оболочек уравнение (4) является условием стационарности полной потенциальной энергии модели конструкции Щх) на векторе х .

Процедура (3) используется в ряде расчетных схем, отличающихся лишь способом задания или определения вектора 8.

Во всех схемах итерационный процесс (3) прекращается при достижении заданной точности

НаА11< е/' Ри« (5)

где т - номер итерации; е;, е, - задаваемые константы точности расчета. Предложены следующие основные схемы.

Схема 1. К модели конструкции в исходном ее состоянии прикладывается вся действующая нагрузка, и это состояние принимается за текущее. Не исключается возможность приложения нагрузки по частям или отдельных ее видов. Далее ведется итерационный процесс:

- на / -й итерации задается вектор 5., например, случайным образом;

- осуществляется переход в новое состояние согласно процедуре (3) и уравнению (4);

- проверяются условия (5) окончания итерационного процесса.

Схема 2. Как и в предыдущей схеме, исходное состояние модели принимается за текущее и ведется итерационный процесс: -на /-й итерации формируется вектор

- определяется 5 по формуле

5, = -^;

- осуществляется переход в новое состояние согласно процедуре (3) и уравнению (4);

- проверяются условия (5).

Схема 2 является аналогом метода скорейшего спуска для функции П(х). Схема 3. Исходное состояние модели принимается за текущее, и ведется итерационный процесс:

-на /' -й итерации формируются вектор и матрица К/х). Здесь и далее К/х) - матрица Якоби вектор-функции к1'(х);

- из системы уравнений

К^ЬлЧ^х^ О (6)

определяется вектор 5.;

- осуществляется переход в новое состояние согласно процедуре (3) и уравнению (4);

- проверяются условия (5).

Схему 3 можно рассматривать как метод Ньютона-Канторовича для системы уравнений (2) с минимизацией функции П(х) на прямой

х. , ~ х + а8..

1+1 г 11

В работе эта схема называется также методом Ньютона-Канторовича с параметром.

В диссертации рассмотрены и модификации изложенных схем.

В предлагаемых схемах предусматривается решение нелинейного уравнения (4), имеющего в общем случае множество корней. Подход к определению одного из корней, позволяющий получить локальное решение системы (2), заключается в следующем.

Например, в схеме 3 при положительной определенности К/х^ гарантируется выполнение равенств

т=-1 и т=1, (7)

С?(ХМ), Ъ,)

где М.

Штрихом в (7) обозначена производная по параметру а.

Локализация решения осуществляется на основании следующего утверждения. При условии положительной определенности К7(х} ближайший к состоянию х. минимум П(х) на векторе х соответствует наименьшему положительному корню уравнения (4). Это утверждение следует из равенств (7).

Если при условии положительной определенности К^х) в алгоритме решения задачи предусмотреть определение наименьшего положительного корня уравнения (4), то в итоге итерационный процесс спуска приведет либо к локальному решению системы (2), либо в окрестность особой точки, в которой К^х) = 0 .

В линейных задачах а - 1 и единственное решение находится за один шаг.

В нелинейных задачах в окрестности состояния устойчивого равновесия а. —> 1 при хм —>х*, где х* - состояние равновесия.

В области закритического деформирования оболочки в случаях образования зон сжатия материала параметр а. значительно отличается от единицы при х.+/ —> х*. В таких случаях вероятность сходимости метода Ньютона-Канторовича очень мала.

Аналогично решается задача локализации решения в схеме 2.

В приведенных схемах одним из условий сходимости является условие положительной определенности матрицы К/х.+1).

На прямой хм ~ х. + се.5. функция П(х)=П(^ и минимум Ща.) достигается при

(чух,+;,§,;= о, (8)

(К/х^8,,81)>0. (9)

Выполнение равенства (8) обеспечивается подбором параметра а., а в случае положительной определенности К/х.+1) гарантируется соблюдение соотношения (9). Следовательно, на каждом шаге осуществляется спуск к минимуму функции П(х) по направлению вектора 3.. Если К/х^ не является положительно определенной, то возможны чередования устойчивых и неустойчивых состояний рассматриваемой модели, при этом сходимость процедуры (3) не гарантируется.

В работе установлено, что в схемах 2, 3 и та модификациях условия положительной определенности матрицы касательной жесткости достаточно для сходимости итераций.

В схеме I еще одним условием является линейная независимость векторов

5, и •

3. КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНАЯ МОДЕЛЬ КОНСТРУКЦИИ С МЯГКОЙ ОБОЛОЧКОЙ

При построении конечно-элементной модели конструкции приняты следующие допущения:

- оболочка и другие конструктивные элементы являются абсолютно гибкими, а жесткость при закручивании линейных конструктивных элементов мала и принимается равной нулю;

- материалы конструктивных элементов являются линейно упругими;

- деформации элементов конструкции малы, а ограничений на перемещения не накладывается;

- внутренняя и внешняя среды являются однородными и идеальными.

Принципиально подход применим и для неоднородных сред. Отказ от

допущения малости деформаций требует дополнительных действий, также не изменяющих самого подхода.

Анализ работ, в которых МКЭ используется в расчетах мягких оболочек показывает, что расчетные модели, как правило, строятся на основе треугольных элементов первого порядка, используемых для аппроксимации оболочек, и простейших линейных элементов - для аппроксимации каркасных лент, тросов и других подобных им элементов конструкций.

При построении модели использованы следующие аппроксимации:

- трехузловые лагранжевы конечные элементы - для оболочки и других оболочечных конструктивных элементов, изготовленных из мягких материалов;

- линейные конечные элементы с двумя узлами - для линейных конструктивных элементов.

Предполагается, что в исходном состоянии конструкции поверхность оболочки покрыта сетью а и Р - линий, уравнения которых заданы в декартовой системе координат Охуг. Узловые точки такой сетки, а также точки пересечения линий сетки с линиями границы соединяются прямыми, в результате чего вся оболочка аппроксимируется треугольными конечными элементами. Принципиальная схема разбиения оболочки на элементы представлена на рис. 3.1, где для иллюстрации схемы номерами выделены узлы лишь одного прямоугольного блока элементов.

Рис. 3.1. Схема разбиения оболочки на элементы

Такое разбиение принимается за базовое, и на его основе определенные элементы объединяются в более крупные треугольные элементы. Объединение может строится на координатных линиях одного или двух направлений. Если элементы укрупняются на базе ^ - линий, то узловые точки, лежащие на этих линиях, через один узел соединяются прямыми, а промежуточный узел помещается на эту прямую. Например, укрупненным является элемент, содержащий узлы 1, 5, 7 при вершинах (рис. 3.1) и промежуточный узел 4'.

Элементы, содержащие в качестве одной из сторон аппроксимацию участка граничной линии оболочки, не укрупняются.

Предлагаемое разбиение можно рассматривать как некоторый аналог использования крупной и мелкой сеток.

Указанное разбиение позволяет:

- быстро переходить от одного разбиения к другому;

- точнее аппроксимировать линии границ оболочки при использовании крупного разбиения;

- контролировать точность расчета путем сравнения результатов, полученных на крупном и мелком разбиениях;

- уменьшить затраты времени на проведение расчетов за счет использования мелкого разбиения лишь на окончательных итерациях.

В основу конечно-элементной модели положена связь деформаций в элементе с удлинениями его сторон, которая в общем случае может быть представлена в виде

Е = £Д, (10)

где в - вектор деформаций; А - вектор удлинений сторон элемента; Ь - матрица связи, определяемая в зависимости от конкретного случая сочетания локальной и глобальной нумераций узловых точек. Реализация этих случаев в алгоритме не вызывает затруднений.

Энергия деформации элемента получена с учетом кинематических соотношений (10) для случаев изотропного и ортотропного материалов, а также материала типа сети.

Состояние оболочки в зонах сжатия элементов (складчатое состояние) моделируется одноосно-напряженным состоянием. При этом матрица упругих постоянных содержит единственный ненулевой элемент, характеризующий упругие свойства материала в направлении главного растягивающего усилия натяжения.

В любом из рассмотренных в работе случаев энергия деформации элемента выражается одним обобщенным матричным равенством

V = ¿ГкД , (11)

где А - вектор удлинений сторон элемента; к - матрица мембранной жесткости в локальных А-координатах.

Матрица к имеет размерность 3x3 и ее компоненты зависят от размеров конечного элемента до деформации, физических свойств материала и ориентации элемента по отношению к направлениям, характеризующим свойства материала, а также к направлениям главных усилий натяжения в случае моделирования складчатого состояния.

Если из координат узлов деформированного элемента образован вектор гт=(х. у, г, х у. 2. хк ук гк), то производная от Vе по г представляет собой вектор узловых сил Ч'е®, вызванных деформациями элемента:

Ч>г<~Г(к + кГ)й=кмг, (12)

где Т - матрица направляющих косинусов сторон элемента; км - матрица мембранной жесткости в глобальных координатах, имеющая размерность 9x9.

Деформационная составляющая матрицы касательной жесткости элемента представляется в виде суммы матриц

кг=кг + ки-к*, (13)

где кг - матрица геометрической жесткости, зависящая от направляющих косинусов сторон деформированного элемента; км - введенная ранее матрица мембранной жесткости, зависящая от степеней удлинения сторон элемента; к . - матрица, зависящая и от направляющих косинусов, и от степеней удлинения сторон.

Для матриц кт, км, к. и Т получены следующие выражения:

Аг= Т'(к + кт)Т;

n=¡

k* = ts„(E0-EJraJT;

n=I

Г = ta„ rT(E0 - EJ.

(15)

(16) (17)

Здесь

fl)

' 0' С \ 0

1 0

Ijk J» II

loj J_

{¡Ш

£

---1

0

Ко

(E_

ь

(o

(0\ E ! o;

ЕГ ~E T 0 1 0

~o T o ] ~É>

o ! E]

~o~i ~E~i 0

<E~J 0 ~j 'Ó,

Компоненты векторов а1,...,а] содержат длины сторон деформированного элемента, соответствующих указанным индексам, а в блочных матрицах Е0,...,Е3 блоком £ обозначена единичная матрица размерностью 5. Аналогичные равенства получены для линейного конечного элемента. Для определения составляющих вектора ¥(х) и матрицы К/х), обусловленных давлением сред, использован следующий подход.

Переменная часть потенциала П3 складывается из потенциалов П/ отдельных конечных элементов. Для отдельного элемента

(18)

V

где Vе - объем, ограниченный поверхностью элемента и плоскостью Оху .

Если в глобальной нумерации узлов конечно-элементной модели номера узлов произвольного элемента обозначены ¡,], к, то в результате выполнения операции интегрирования получаем следующую зависимость от координат узловых точек элемента:

П,£ = 2Г Ф , (19)

2 ху гг ' 4 '

где Р^ - площадь проекции элемента на плоскость Оху, Фгг - функция координат г узловых точек.

n/= \\\(p0+p,z)dv,

о

Площадь F вычисляется по известной формуле, а функция имеет следующий вид:

Ф = ip„Z + 4-, р/г2+ z2+ z.2+ -:+ z.z.+ z.zj ,

хг о* 0 с 2-0 r Р г j к I J / к к 1' '

где Z = z.+ г Л z..

с I j к

На основании равенства (19) получены составляющие давления сред, входящие в вектор узловых сил и матрицу касательной жесткости.

В работе получены также выражения потенциалов П,' в случаях, когда интегрирование в (18) ведется по объему, ограниченному срединной поверхностью элемента и плоскостью Oyz или Ozx.

Полученные деформационные составляющие и составляющие, обусловленные давлением внутренней и внешней сред, совместно с внешними нагрузками (снеговой, ветровой и др.), а также массовыми силами образуют полный вектор узловых сил.

Условием равновесия всех узловых сил является уравнение (2), которое можно записать также в виде

K/x}x-F = 0, (20)

где К/х)' матрица секущей жесткости расчетной модели; F-вектор внешних и массовых сил, приложенных в узлах.

Учитывая структуру матрицы К/х), получаем более развернутую форму уравнений (20):

[KJx) -PoW0(x) —p,W/х)]х — F = 0, (21)

где Км (х) - матрица мембранной жесткости всей системы; W0(x), W/x) -матрицы, обусловленные давлением внутренней и внешней сред; рд, р: -константы давления сред, введенные ранее.

Компоненты матрицы Км (х) выражены через степени удлинений сторон конечных элементов и не зависят явно от вектора х.

Система уравнений (21) имеет бесконечное множество решений, соответствующих заданным параметрам оболочки, нагрузки, а также закреплениям отдельных узлов. Схемы решения систем уравнений вида (21) изложены в разделе 2.

Матрицей касательной жесткости системы конечных элементов является матрица Якоби вектор-функции *¥(х). Структура матрицы всей системы элементов имеет вид:

К/х) = КГ + Лм - К.-p0W2(x) -p,W/x), где К/х) - матрица геометрической жесткости, зависящая от направляющих косинусов сторон деформированных элементов; К}/х) - матрица мембранной жесткости, зависящая от степеней удлинения сторон; К/х) - матрица, зависящая и от направляющих косинусов, и от степеней удлинения сторон; IV/х), W/x) - матрицы, обусловленные давлением сред.

4. ТЕСТИРОВАНИЕ КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОЙ МОДЕЛИ

Проверка достоверности результатов, получаемых с использованием разработанной конечно-элементной модели конструкций с мягкими оболочками, проведена на решениях двух тестовых задач. В качестве первой из них была изотропная цилиндрическая оболочка, нагруженная внутренним давлением и осевой растягивающей нагрузкой. Во второй задаче цилиндрическая оболочка нагружалась внутренним давлением и распределенной вдоль образующей цилиндра вертикальной нагрузкой.

Решение, полученное с использованием авторского варианта МКЭ, сравнивалось с известными решениями.

Мотивом выбора указанных задач было стремление охватить различные случаи поведения оболочек под нагрузкой. Если в первой задаче перемещения обусловлены только растяжением материала, то во второй - как растяжением, так и геометрическими изгибаниями оболочки.

Сравнение результатов, полученных МКЭ, с решениями, приведенными в литературе, позволили сделать следующие выводы:

1. Отклонения результатов малы и во всех сравниваемых случаях не превышали одного процента.

2. С уменьшением размеров элементов отклонения уменьшались.

3. Точность расчета, равная 10 6л* для перемещений и 10 'Я для вектора невязки узловых сил, достигалась в основном за 3-7 итераций при задании в качестве исходного состояния круговой формы ненапряженной оболочки.

Таким образом, результаты решений тестовых задач позволили сделать вывод о хорошем совпадении результатов расчета с имеющимися в литературе данными.

5. ЧИСЛОВОЙ ЭКСПЕРИМЕНТ ПО ИССЛЕДОВАНИЮ СХОДИМОСТИ ИТЕРАЦИЙ В РАСЧЕТНЫХ СХЕМАХ

Для исследования влияния на итерационный процесс ряда факторов проведен числовой эксперимент на модели цилиндрической изотропной оболочки, нагруженной внешними нагрузками, не зависящими от продольной координаты у. При этом в направлении оси у оболочка не нагружалась. Таким образом, рассматривалась плоская задача деформирования цилиндрической оболочки радиуса Я.

Закрепление продольных кромок показано на рис. 5.1.

Конечно-элементная модель состояла из 6 элементов, на которые была разделена оболочка в окружном направлении.

В числовом эксперименте задавалось 4 варианта исходной формы модели (рис. 5.1) и 4 варианта внешних нагрузок (рис. 5.2).

22

В вариантах исходного состояния численные значения углов наклона первых четырех элементов (отсчет от левого закрепления) к оси х приведены в табл. 1, а расстояние между продольными кромками принималось равным 2К.

Таблица 1

Варианты исходной формы 1 Углы наклона элементов 1-4 соответственно, •, ■ .¿г......... 75 . 60 15 град -15

2 60 45 0 0

3 45 30 0 0

4 30 15 0 0

Во всех случаях исходные формы считались ненапряженными.

Варианты нагрузок:

1. Постоянное давление р0 (рис. 5.2 а).

2. Переменное давление по координате г (рис. 5.2. б).

3. Постоянное давление р0 и распределенная вдоль образующей цилиндра нагрузка интенсивностью <7 (рис. 5.2. в).

4. Вертикальные распределенные нагрузки д, приложенные вдоль образующей по линиям деления оболочки на элементы (рис. 5.2 г).

В числовом эксперименте проведены исследования:

- по влиянию составляющих матрицы касательной жесткости;

- по влиянию соотношения характерных параметров нагрузки и жесткости оболочки;

- эффективности сочетаний расчетных схем.

В частности, при определенном соотношении характерных параметров нагрузки и жесткости оболочки обеспечивается наиболее быстрый переход от исходного состояния модели конструкции к безизгибному.

в) г)

Рис. 5.2. Варианты внешних нагрузок в числовом эксперименте

На рис. 5.3 представлены графики зависимости количества итераций т от величины соотношения р/ЕЕ. Здесь исходные формы 2-4 являются изгибаемыми, поэтому число итераций возрастает с уменьшением соотношения р/ЕЕ. Каждой из этих исходных форм соответствует параметрр/ЕЕ, при котором количество итераций минимально.

Аналогичные зависимости представлены на рис. 5.4 для варианта нагру-жения 4 при исходных состояниях 1-4.

На основании числового эксперимента автор делает следующие выводы:

- составляющие давления сред в матрице К/х) оказывают существенное влияние на итерационный процесс решения уравнений равновесия модели;

- процесс с использованием метода Ньютона-Канторовича с параметрам во всех рассматриваемых случаях был сходящимся и для заданной нагрузки при любом из 4-х вариантов исходной формы приводил к одному результату. Процесс на основе метода Ньютона-Канторовича при исходных формах, удаленных от равновесных, в ряде случаев приводил к другому решению, а при использовании упрощенного варианта этого метода не обеспечивал сходимости;

- числовым экспериментом подтверждается целесообразность оптимизации итерационного процесса получения решения уравнений равновесия (21);

- из рассмотренных сочетаний расчетных схем наиболее оптимальной является комбинация с циклом: 1 шаг по схеме 3 (метод Ньютона-Канторовича с параметром) + 2-3 шага по схеме 2.

Результаты проведенного эксперимента использованы в алгоритмах, реализующих разработанные автором методы анализа конструкций, что позволило повысить их эффективность.

24

т

30

20

10

О

т

30

20

10

Вариант нагрузки: 1 Варианты исходной формы: 1-4 /

•

У4/ / /

/у/^З ^<2

—-—^

3-10" 3102 3-10-3 ЗЛО-4 ро/ЕР Рис. 5.3. Зависимость количества итераций т от соотношения нагрузки и жесткости оболочки (параметр р0 / ЕЛ)

10° 10ч 10'' 10-' д/ЕР

Рис. 5.4. Зависимость количества итераций т от соотношения нагрузки и жесткости оболочки (параметр д / ЕР)

25

6. АПРОБАЦИЯ МОДЕЛИ И РАСЧЕТНЫХ СХЕМ

Для иллюстрации работоспособности разработанной модели и авторских схем расчета решены следующие пробные задачи.

1. Нагружение оболочки избыточным давлением и локальной нагрузкой.

2. Обжатие поддутой оболочки плоскостью.

3. Нагружение оболочки избыточным давлением.

Сложность решения данных задач заключается в их существенной нелинейности как геометрической, так и физической. Геометрическая нелинейность обусловлена перемещениями оболочек под нагрузкой, соразмерными с максимальными размерами самих оболочек. Кроме того, деформирование оболочек сопровождается появлением зон сжатия материала, при этом необходимо учитывать неспособность мягкой оболочки воспринимать сжимающие усилия, т. е. учитывать нелинейность физическую.

С целью сравнения результатов, получаемых по линейной физической модели и нелинейной модели, учитывающей одноосность напряженного состояния в зонах сжатия, расчеты выполнены как по одной, так и другой моделям.

Например, в задаче 1 рассчитывалась изотропная оболочка, имеющая две плоскости симметрии х = Ы2 и у- О (рис. 6.1). Размеры оболочки указаны на этом же рисунке.

Оболочка нагружалась избыточным давлением р0 = 600 Па и силой Рг, приложенной в точке с координатами х-И2, у = 0 в направлении, противоположном оси г. Граничные условия задачи:

р0 = 600 Па Ь = 1,8м

Рис. 6.1. Схема оболочки и ее размеры

- на кромках х = 0 и х =

- на кромке у > 0 , г = О

- на кромке у < 0 , г = О

и = V = у = 0; м> = 0; мг=>0.

Здесь V и № - перемещения точек оболочки в направлении осей х, у и г соответственно.

Прогибы оболочки в точке приложения силы представлены на рис. 6.2. Пунктирная линия соответствует линейной физической модели, в которой упругие константы материала при сжатии принимались такими же, как и при растяжении. Сплошная линия соответствует нелинейной модели, учитывающей неспособность мягкой оболочки сопротивляться сжатию.

(м)

0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 О

i \ / ✓

j rí^

/- Дас ¿D 2- D^^D

1 i I I

О 100 200 300 400 500 Рг,Н Рис. 6.2. Прогибы оболочки в точке приложения силы

Отклонение результатов, полученных на основе этих моделей при нагрузке Рг = 600 Н, не превышает 7 %.

Вместе с тем форма оболочки в первом и во втором случаях физических соотношений имеет принципиальные отличия. Эти отличия связаны с появлением при Рг = 200 Н зон сжатия, характеризуемых сжимающим главным усилием Т3. Формы профилей оболочки в плоскости у = 0 ив плоскости х- Ы 2 изображены на рис. 6.3.

Пунктирные линии соответствуют линейным физическим соотношениям

D =D,

СУС

где Dcx - матрица упругих постоянных при отрицательном значении одного из главных усилий натяжения; D - матрица упругих постоянных в случае положительных значений главных усилий.

Сплошные линии на рис. 6.3 соответствуют случаям моделирования складчатого состояния, т. е. случаям

D

ФОРМЫ ПРОФИЛЕЙ В ПЛОСКОСТИ У=0

Рг=0

Р. =200 Н

у, м 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 О Рис. 6.3. Формы профилей деформированной оболочки

Как видно из приведенного рисунка, формы профилей при = £> являются нереальными для мягкой оболочки и обусловлены явлением "мембранного запирания" элементов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные результаты диссертационной работы можно сформулировать следующим образом.

1. Исследованы конструкции с мягкими оболочками общего вида в условиях статического нагружения. При этом использован разработанный автором модифицированный вариант МКЭ.

Основу модификации МКЭ составляют:

A. Конечно-элементная модель конструкций с мягкими оболочками, построенная на базе подхода, включающего:

- неординарные кинематические соотношения, выражающие связь деформированного состояния в элементе с удлинениями сторон. Соотношения позволяют обеспечить совместность элементов и вместе с тем точно представить в элементах жесткие смещения и постоянные деформации независимоот величины перемещений;

- учет неспособности мягкой оболочки воспринимать усилия сжатия;

- описание распределения давления внутренней и внешней сред, позволяющее учесть воздействие сред практически во всех случаях;

- введение потенциалов давления внутренней и внешней сред и способ их определения, который может быть применим как для однородных, так и неоднородных сред, статически действующих на оболочку;

- представление полной потенциальной энергии системы функцией координат узлов, вследствие чего выражение энергии является точным в любой точке ограниченного векторного пространства ЕР и позволяет использовать шаговые процедуры, не ограничивая при этом перемещения базовых точек модели;

- получение уравнений равновесия модели прямой минимизацией функции полной потенциальной энергии по вектору узловых координат;

- получение матрицы касательной жесткости как матрицы Якоби вектор-функции узловых сип.

B. Процедура перехода от текущего состояния конечно-элементной модели к последующему и уравнение дня определения изменяемого параметра процедуры.

C. Итерационные схемы решения нелинейных уравнений равновесия модели, основанные на предлагаемой процедуре, с обоснованием сходимости итераций, решением проблемы начальною приближения, а также вариантами локализации решения.

2. Тестированием конечно-элементной модели показано хорошее совпадение расчетных данных с известными в литературе данными.

3. Численным экспериментом подтверждены:

- эффективность предложенных схем расчета;

- существенное влияние составляющих давлений внутренней и внешней сред в матрице касательной жесткости на итерационный процесс решения уравнений равновесия;

- целесообразность и возможность оптимизации итерационного процесса решения уравнений равновесия.

4. Показана работоспособность модифицированного варианта МКЭ путем апробации модели и расчетных схем на решениях тестовых задач, в числовом эксперименте и на решениях пробных задач. Разработанный вариант МКЭ позволяет рассчитывать оболочки общего вида при действии произвольной статической нагрузки как при отсутствии зон складчатости, так и в области закритическопо деформирования оболочки в случаях образования зон сжатия материала.

5. Рассмотрены подходы и схемы решения частных задач, в том числе:

- задачи о равнонапряженной пленке, натянутой на заданный плоский или трехмерный контур, при действии внутреннего давления и без давления;

- задачи получения решения нелинейных уравнений равновесия за наименьшее число итераций при любом конечном соотношении характерных параметров нагрузки и жесткости оболочки;

- задачи о существовании смежных форм равновесия конструкции;

- определения критических значений параметра нагрузки, соответствующих предельным точкам и точкам бифуркации;

- определения критического соотношения параметров, при превышении которого оболочка не имеет формы равновесия.

6. Разработаны алгоритмы и программы, позволившие выполнить расчет мягкой оболочки полужесткого дирижабля.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ

1. Белый В.Д., Белянкин ММ. О равновесной форме сетчатой оболочки пневмоэлементов // Омский политех, ин-т. - Омск, 1984. - 10 е.: ил. - Деп. в ВИНИТИ 17.04.84, №2387-84 Деп.

2. Белянкин М.И. Деформационные составляющие в уравнениях метода конечных элементов для мягких оболочек // Омский гос. техн. ун-т. - Омск, 1999. - 10 с. - Деп. в ВИНИТИ 29.03.99, № 940-В99.

3. Белянкин М.И. Итерационные схемы расчета мягких оболочек // Омский гос. техн. ун-т. - Омск, 1998. - 13 с. - Деп. в ВИНИТИ 16.03.98, № 733-В98.

4. Белянкин М.И. Конечно-элементное представление и расчет мягких оболочек // Динамика механизмов и машин: II Междунар. науч.-техн. конф.: Тез. докл. - Омск: ОмГТУ, 1997. - Кн. 1. - С. 33.

5. Белянкин М.И. Конечно-элементное представление и схема расчета мягких оболочек И Математические пробл. механ. сплош. сред: Сибирская шк.-сем. СО РАН, 15-19 дек. 1997 г.: Тез. докл.-Новосибирск, 1997.-С. 28-29.

6. Белянкин М.И. Матрица связи мембранных деформаций плоского треугольного конечного элемента с удлинениями сторон // Омский гос. техн. ун-т. - Омск, 1998. - 6 е.: ил. - Деп. в ВИНИТИ 16.03.98, № 736-В98.

7. Белянкин М.И. Модификация метода конечных элементов для расчета мягких оболочек // Зимняя школа по механике сплошных сред (двенадцатая). Тез. докл. - Екатеринбург: УрО РАН, 1999. - С. 86.

8. Белянкин М.И. О схеме расчета конструкций с мягкими оболочками И Омский гос. техн. ун-т. - Омск, 1999. - 8 с. - Деп. в ВИНИТИ 04.06.99, № 1821-В99.

9. Белянкин М.И. Обоснование модификации метода конечных элементов для расчета конструкций с мягкими оболочками // Омский гос. техн. ун-т. - Омск, 1999. - 34 с. - Деп. в ВИНИТИ 15.12.99, № 3706-В99.

10. Белянкин М.И. Расчет мягкой оболочки методом конечных элементов // Технич. ВУЗы - Республике: Материалы 52-й Междунар. науч.-техн. конф. БГПА, 18-22 ноября 1997 г. - Минск, 1997. - Ч. 2. - С. 103.

11. Белянкин М.И. Потенциалы давления внутренней и внешней сред в расчетах пластинок и оболочек методом конечных элементов // Омский гос. техн. ун-т. - Омск, 1998. - 9 с. - Деп. в ВИНИТИ 18.01.99, № 65-В99.

12. Белянкин М.И. Решение обратной задачи расчета мягких оболочек методом конечных элементов // Прикладные задачи механики: Темат. сб. ОмГТУ. - Омск, 1997. - С. 50-53.

13. Белянкин М.И. Составляющие давления внутренней и внешней сред в уравнениях метода конечных элементов для мягких оболочек // Омский гос. техн. ун-т. - Омск, 1998. - 10 с. - Деп. в ВИНИТИ 18.01.99, № 64-В99.

14. Белянкин М.И. Энергия деформации конечного элемента модели мягкой оболочки // Омский гос. техн. ун-т. - Омск, 1999. - 15 е.: ил. - Деп. в ВИНИТИ 05.02.99, № 376-В99.

15. Белянкин М.И., Пиновский М.Л., Устинов В.В. Об автоматизации расчета рабочих параметров упругих пневмоэлементов с РКО вращения при осесимметричных нагрузках // Седьмая Дальневосточная конф. по мягким оболочкам: Тез. докл. - Владивосток: ДВВИМУ, 1983. - С. 133-136.

16. Белянкин М.И., Седых О. Ю. Расчет раскройной формы мягких оболочек методом конечных элементов // Материалы докл. регион, науч.-метод. конф. -Омск, 1997. - Вып. 2. - Ч. 1. - С. 41-42.

17. Белянкин М.И. Об одной схеме расчета конструкций с мягкими оболочками // Динамика систем, механизмов и машин: Материалы III Междунар. науч.-техн. конф. - Омск: ОмГТУ, 1999. - С. 59-60.

18. Устинов В.В., Пиновский М.Л., Белянкин М.И. Универсальное уравнение нагрузочной характеристики резинокордных упругих пневмоэлементов // Межвуз. темат. сб. науч. тр. - Омск: Омский ин-т инж. ж.-д. транспорта, 1986. - С. 131-135.