Динамическое поведение тонких сферических оболочек при больших прогибах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ им. С. Орджоникидзе

На правах рукописи ВЕРЕТЕННИКОВ Сергей Анатольевич

УЖ 531. г

ДИНАМИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ТОНКИХ СФЕРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ПРИ БОЛЬШИХ ПРОГИБАХ

01.02.06 - Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва 1992т.

;; Работа выполнена в Московском авиационном институте

Научный руководитель: член корреспондент РИА,

доктор технических наук, профессор А.И.Станкевич

Официальные оппоненты: докт. техн. наук Б. А. Фельдштейн

канд. физ. -мат. наук Ю. Д. Каплунов

Ведущая организация: Московский институт теплотехники

Защита состоится "_" _ 199 г

в _часов на заседании специализированного

совета Д 053.18.07 Московского авиационного института по адресу:

125871, Москва, А-80, Волоколамское шоссе, 4

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского авиационного института.

Автореферат разослан Ънёа-р!? 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета

В. Н. Зайцев

■ ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ ' л Диссертация посвящена исследовании динамического поведения тонких. упругих сферических оболочек при прогибах, существенно превышающих-их толщину.

Актуальность темы. Сферические оболочки являются элементами многих.тонкостепных конструкций, широко применяемых в различных областях народного хозяйства: строительстве, машино- и судостроении, авиационной и ракетной технике, космонавтике.

Основные зависимости современной теории оболочек содержатся в фундаментальных трудах С.А.Амбарцумяна, В.3.Власова, И. И. Воровича, К. 3. Галимова, А. Л. Гольденвейзера, Н. А. Кильчевско-го, X. М. Муштари, В. В. Новожилова, А. В. Погорелова, С. П. Тимошенко.

Вместе с тем, авторами главным образом изучены статические зад

дачи, тогда как в настоящее время более актуальными становятся задачи динамического поведения оболочек. Этим проблемам в последние годы посвящено ряд монографий отечественных и зарубежных ученых И. Я. Амиро, А. С. Воль мира, Э.И. Григолюка, Я. М. Григоренко,

A. Н. Гузя, В. А. Заруцкого, А. В. Кармишина, Я. Ф. Каюка, А. Б. Китайгородского, В. Г. Паламарчука, В. Н. Ревущсого, Э. Д. Скурлатова,

B.Г. Старцева, В. А. Фельдштейна, А.и.ье^зза и др., в которых в большей степени уделено внимание пластина)/, и цилиндрическим оболочкам, но в меньшей - сферическим. В то же время сферические оболочки обладают рядом преимуществ. Они дают максимальный полезный объем, обладают большой прочностью при различных воздействиях, могут быть одновременно несущими и ограждающими конструкциями.

В последнее время особый интерес вызывают исследования динамического поведения конструкций при больших прогибах. Это связано, с одной стороны, с применением нетрадиционных композиционных материалов, позволяющих создавать более тонкие оболоч-

ки, и резким ростом эксплуатационных нагрузок Св частности, акустических). С другой стороны исследование нелинейного динамического поведения сферических оболочек представляется актуальным в связи с появлением в последнее время по сути нового класса упругих элементов конструкций, работающих при больших перемещениях. Это динамические гасители колебаний в строительных широкопролетных конструкциях, различные виды амортизаторов, предохранительные устройства в газо- и нефтепроводах, вытеснители топлива в двигательных установках летательных аппаратов, хлопающие мембраны и др.

Поэтому представляет интерес совершенствование и развитие существующих, а также создание новых эффективных методов исследования динамики сферической оболочки при больших прогибах.

Целью работы являлась разработка математической модели движения тонкой ортотропной сферической оболочки с различными по величине прогибами и исследование ее применимости для решения задач о нелинейных осесимметричных колебаниях и динамической устойчивости конструкции.

.. Научная новизна работы заключается в следующем:

- с использованием малого параметра, пропорционального отношению толщины оболочки к амплитуде ее прогиба, получено асимптотическое уравнение движения ортотропной сферической оболочки при больших перемещениях, которое является тем точнее, чем тоньше оболочка и больше прогиб;

- выведено уравнение движения тонкой сферической оболочки, справедливое во всем диапазоне изменения перемещений, путем сращивания асимптотических разложений его коэффициентов при малых и больших прогибах;

- получена простая асимптотическая формула для расчета максимальных мзгибных напряжений в оболочке при ее движении;

- предложена простая математическая • модель при помощи которой исследованы динамическая устойчивость и колебания с (Золь-шиш прогибами ортотропных сферических оболочек.

Достоверность результатов обусловлена корректной постановкой задачи, применением математически обоснованных методов решения поставленных задач, а также сравнением результатов с решениями других авторов, полученных иными методами, и известными экспериментальными данными.

Практическая значимость работы. Результаты, полученные в данной работе, могут быть использованы для изучения динамического поведения тонких ортотропных сферических оболочек как при малых, так и при больших Ссущественно превышающих толщину) прогибах, а также могут быть полезны для проектирования реальных конструкций, работающих при больших перемещениях.

Результаты исследований внедрены в расчетную практику НПО "Молния" СМосква] и Московского института теплотехники и используются при проектировании изделий авиационной техники.

Работа выполнена в соответствии с государственной программой "Безопасность населения и народно-хозяйственных объектов с учетом риска возникновения природных и технологических катастроф", а также на основании плана НИОКР ЦНИИСМ "Расчетйо-экспе-риментальная оценка виброакустического состояния несущих самолетных конструкций, выполненных из композшжлшых материалов".

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научно-технической конференции молодых специалистов Научно-производственного объединения "Молния" СМосква, 1990г.), на научно-технической конференции "Обеспечение безопасности полетов и эксплуатация воздушного транспорта в условиях становления рыночных отношений" в Московском институте инженеров гражданской авиации СМосква, МИИГА, апрель 1992г.), совместном се-

минаре кафедры "Детали машин" и "Сопротивления материалов" Московского авиационного института СМосква, МАИ, 1992г.) и опубликованы в работах [1-3].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы. Работа занимает 131 страницу машинописного текста, содержит 38 рисунков, 10 таблиц и библиографии из 133 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении приведен обзор основных исследований, посвященных изучению линейных и нелинейных колебаний сферических оболочек, а также вопросам их устойчивости при динамическом на-гружении; показана актуальность работы и сформулирована ее цель. Дана аннотация по главам.

В первой главе проведен асимптотический анализ нелинейных уравнений теории пологих оболочек. При этом использовался малый параметр с2, пропорциональный отношению толщины оболочки h к амплитуде ее прогиба wQ

DBB 2 4h r-r— , 11 12 12

c = W" ' Ъ = "1- ' V12= - ' "21 = - • Ш

о h В (1-v V ) 12 В z В

22 Л 12 21' 11 22

Здесь fJ2 и w2i - коэффициенты Пуассона; в^ и d(j - коэффициенты силовой и изгибной матриц жесткости. Аналогичный параметр впервые был введен А. D.Евкиным при исследовании закритического поведения статически нагруженной пологой сферической оболочки.

Получена система уравнений, особенностью которой является наличие стоящего перед старшими производными и функцией начального прогиба параметра с2, что позволяет выполнить интегрирование асимптотическим методом. Предельная система уравнений имеет два решения. Первое соответствует исходному безмоментному состоянию оболочки, а второе - зеркальному отражению ее части от-

носителыю некоторой плоскости. Составное решение терпит разрыв, который компенсируется быстро изменяющимися функциями. В основном приближении полученные соотношения пограничного слоя полностью совпадают с соответствующими уравнениями статической задачи. Положение внутреннего пограничного слоя является неопределенным и изменяется во времени. Для нахождения функции v(t) используется вариационный принцип Гамильтона- Остроградского.

После асимптотического анализа и вариации функционала полной энергии системы получено уравнение движения тонкой ортотро-пной сферической оболочки при больших прогибах

1 .2 4f чЛБ" г ,

£ Г + ± f + уГГ = --- q(x) + q0 J . с2)

где дифференцирование осуществляется по переменной т = uQt ;

wQ - собственная частота линейный колебаний оболочки;

w о2 phR2 В б J ь3'4

, О. о 11 2 О

f = - ; А = -— : =

h В В - в2 X

11 22 12

Rh р - радиус кривизны и плотность материала оболочки; чСт) и ^ - динамическая и статическая составляющие равномерно распределенной нагрузки q = q / D^B^ (1 - i-^i-^) .

R

h3/"8 „

J = 0.56 + 0.1 v^ --- , f < К = — ;

0 , ---.- >5/2 О . '

(vat-/^)

н - стрела подъема оболочки.

Отметим, что первое слагаемое в выражении для ^'соответствует функционалу А. В. Погорелова, полученному ■ геометрическим методом в рамках теории пологих оболочек с использованием гипотез. Второе слагаемое учитывает влияние заделки при приближении к ней пограничного слоя.

Для описания движения оболочки с небольшими перемещениями использовался метод Бубнова-Галеркина при следующей аппроксимации функции прогиба:

У(гЛ) = |

ПЛИ О 2 г = г.

СЗЭ

ь [ 1-(-§;) ] при О г Г

О при Г. а г 3 го ,

где г0 - радиус окружности оболочки в плане. Величина произвольна в пределах О = г. 5 г0 и соответствует размеру вмятины ; на начальном этапе движения оболочки. Найденное уравнение движения оболочки при малых прогибах имеет вид

2 3 4 г /~В _

£ + а£ + + т)1 = - ч(х) , (4)

X

где а, з, V и г - известные коэффициенты, соответствующие выбранной аппроксимирующей функции СЗ).

Уравнение, описывающее движение оболочки во всем диапазоне

перемещений представлено в виде

.2 4 тГБ~

...г ч г и г _ _ л

А0£ + А1С + А2^ =- [ А3 д(т) + <а0 ] ,

, _ . . (53

Л , 'з —

где коэффициенты А, получены путем сращивания с использованием аппроксимаций Паде асимптотических разложений при малых и боль- ших прогибах. Тогда

€ £

А0 = 1 + ее; А. =-; А3 = г + -

0 1 2(1 + 3

а3 - ? ар тГГ 5 _ Г2,

Д — г ^ г ^ "" г ^ »

а - ы. уГГ - а$± К ЕЬ

Аналогичным путем получена формула для нахождения наиболее существенных максимальных изгибных напряжений, которые обусловлены изменением кривизны оболочки в меридиональном направлении

пах|о-| =----—-£«2» С63

ЮХЬ2 48Ь уТ

1+-

5.7 К

1+-

. /ч

Таким образом исходная система нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных сводится к задаче Коши,которая решается численным интегрированием методом Рунге-Кутта.

Во второй главе с использованием предложенной математичес-

кой модели исследуются свободные и вынужденные колебания сферических оболочек с большими прогибами .

В п. 2.1 изучаются свободные колебания тонких изотропных сферических оболочек. Проведенное сравнение результатов расчета собственной частоты и частоты колебаний при заданном, относительном. прогибе г = 1 для сферических оболочек различной геометрии с известными данными, полученными аналитическими методами при одно- и двухчленной аппроксимации прогиба, указывает на их хорошее соответствие.

На рис.1 представлены амплитудно-частотные характеристики

(скелетные кривые) для оболочек с различными значениями геомет-

2«

рического параметра ко= = 4, 8, 12. Как видно, в области £ < ки представленные зависимости мягкого типа. Однако при ггро-гибах £ ~ ко они становятся жесткими. Такое их изменение объясняется приближением пограничного слоя к заделке. Дальнейший рост прогиба оболочки мотет осуществляться лишь за счет мембранных деформаций растяжения, что приводит к резкому увеличению жесткости оболочки и изменению характера амплитудно-частотной характеристики.

Исследовалось также влияние на частотные характеристики

г

оболочки параметра ее формы к = г*/к11 на начальном этапе движения. Установлено, что форма, характеризующаяся значением к = 4, реализуется при наименьших частотах колебаний в основном диапазоне изменения прогибов. Поэтому данная форма при деформировании изотропных оболочек будет наиболее энергетически выгодной, что полностью подтверждается дальнейшими расчетами.

Б п. 2. 2 исследуются вынужденные колебания с большими прогибами изотропных сферических оболочек, нагруженных равномерным внешним давлением, которое во времени изменялось по гармоническому закону д(т-) = о соз (ы/"0 "О. Показано, что тлеется некото-

рое, критическое значение частоты вынужденных колебаний, достижение которой приводит к резкому росту амплитуды колебаний обо. .лачки. При этом с ростом нагрузки происходит увеличение максимальной амплитуды прогиба и снижение критической частоты, что соответствует поведению системы с нелинейной амплитудно-частотной характеристикой "мягкого" типа. Типичная зависимость прогиба вершины сферической оболочки (ко= 8, к = к = о.з), представлена на рис.2. Здесь же штриховой линией показаны аналогичные результаты, полученные с использованием процедуры Буб-нова-Галеркина при одночленной аппроксимации функции прогиба. Естественно, что вариационный метод дает завышенное значение критической частоты.

Сравнение полученных максимальных изгибных напряжений, возникающих в оболочке, показывает, что в основном диапазоне изменения прогибов метод Бубнова-Галеркина также дает существенно завышенный результат, что объясняется недостаточной точностью аппроксимации функции прогиба.

Исследовалось также влияние на критическую частоту оболочки дополнительной статической составляющей нагрузки. Приведенные данные могут быть использованы в инженерной практике.

В п. 2.3 эффективность предложенной математической модели движения оболочки исследовалась на примере задачи о колебании сферического сегмента под действием случайной нагрузки. Предложена методика, позволяющая относительно просто определять статистические характеристики реакции сферической оболочки на внешнее воздействие в виде "белого" шума.

Рассматривалось влияние дополнительной статической составляющей нагрузки на случайные колебания оболочки. Показано, что ее наличие приводит, помимо увеличения амплитуды колебаний, к качественно новому поведению оболочки, которое обусловлено поя-

f

Jr *

1

\/ тг

. / 1

• / • !

в

» —- •

Рис.3

влепием при определенном уровне статической составляющей второго устойчивого положения равновесия, характеризующегося значительными прогибами. Это приводит к реализации движения трех типов: движения около первого положения устойчивого равновесия; около второго и движения, охватывающего oda положения устойчивого равновесия.

В п. 2.4 изучается влияние на колебания оболочки ортотро-пии, которая характеризуется параметром а = вгг/ву1 = D2zfl>it.

С увеличением коэффициента а для сферических оболочек различной геометрической формы наблюдается устойчивый рост собственной частоты колебаний.

Из рассмотрения амплитудно-частотных характеристик следует, что при этом нелинейность системы становится более выраженной. В то же время для одного и того же значения параметра нагрузки qCO относительная критическая частота "/<■>„, при которой амплитуда колебаний оболочки резко возрастает, практически не зависит от параметра ортотроши.

В третьей главе исследуется применимость предложенной математической модели для решения задачи динамической устойчивости конструкции.

В п.3.1 рассмотрены пологие изотропные сферические оболочки. В качестве примера расчитывались заделанные по краям сферические оболочки из стали 3, которые были испытаны Р. Г.Суркиным, Б.В.Зуевым и С.Г.Степановым Стаблица 1) при ударном нагружении равномерным внешним давлением.

Таблица 1

№ h, мм Н, ш / h q 10"1S, 2 оп М % f шах

1 0.27 27.0 720 2.32 2.8 1.9

2 0.27 25.3 768 2.36 2.6 2.1

3 0.27 20.7 941 2.06 1.9 2.7

4 0.27 16.2 1200 1.56 1.6 4.2

- 13 -

Здесь q^ ~ расчетное, a qon- опытное критическое давление. Поскольку в эксперименте критерием достижения нагрузки критической величины являлось появление остаточных прогибов, то в расчете в качестве критического принималось давление, при котором в соответствии с С 6) максимальные изгибные напряжения достигали предела текучести. Отмечено хорошее соответствие результатов.

На рис. 3 в качестве другого примера рассмотрена изотропная оболочка с параметрами ко= 6.В7, R/h = звз.о . Зависимость максимального прогиба f ее вершины от амплитуды нагрузки д. здесь представлена кривой 1. Кружочками отмечены данные испытаний В ударной трубе (Hanphreys J.S., Roth R.S., Zatlers J.). Штриховой линией отмечены результаты расчета по методике, описанной А. В. Кармишиным, что отвечает решении уравнеия движения

а

оболочки методом Бубнова-Галеркина при одночленной аппроксимации функции прогиба. В этом случае соответствие с результатами эксперимента несколько хуже. Опыт расчета с использованием двух математических моделей показывает, что расхождение в результатах увеличивается с увеличением параметра kq= 2h/h.

Для хорошо изученного теоретически случая динамического нагружения оболочки мгновенно приложенным, а затем не изменяющимся во времени внешним давлением получено асимптотическое значение критической нагрузки q.» 0.43. Величина я,™ о.4з соответствует известным экспериментальным данным и является значением к которому осциллируя стремится с уменьшением толщины оболочки решение, найденное с использованием мощных численных методов (Huang M.C., Simitses G.J.).

В п.3.2 исследуется устойчивость изотропной сферической оболочки при наличии дополнительной статической нагрузки. Опыт решения таких задач показывает, что приемлемое описание поведения оболочки при помощи приближенных аналитических методов в

этом случае требует, из-за возможных значительных прогибов, резкого увеличения числа аппроксимирующих форму функций. Рассматриваемая же в данной работе модель движения оболочки, полученная асимптотическим методом с использованием малого параметра с2, будет тем точнее, чем тоньше оболочка и больше ее прогиб. Поэтому данная модель может быть эффективно использована при решении задач об устойчивости тонких сферических оболочек при статико-дин&мическом нагружении.

На рис.4 представлены результаты расчета критической динамической нагрузки в зависимости от частоты «■> внешней гармонической силы, полученные для сферической оболочки с параметрами ко= 5.73, к = 4, v ~ о.з . Здесь ке кружочками отмечены результаты опыта (Evensen H.A., Ewan-Iwanowski R.M.). В опыте данная оболочка подвергалась избыточному внешнему давлению qQ= o.4i, после чего на вибростенде нагружалась динамической составляющей с амплитудой Q, которая изменялась и регистрировалась в момент потери устойчивости. Приведенные результаты опыта и расчета хорошо согласуются между собой.

В п. 3.3 рассматривается выпучивание тонких сферических оболочек с учетом начальной погиби. Представлены результаты расчета сферических оболочек, которые подтверждают факт существенного снижения критического давления при наличии у оболочки неправильностей. Обычно при аналитическом решении данной задачи форму погиби принимает подобной форме движения оболочки. Использование при этом в качестве аппроксимирующих функций решений линейной теории колебаний накладывает ограничения на величину как рассматриваемых прогибов, так и начальной погиби. Поэтому исследователи ограничиваются рассмотрением начальных неправильностей оболочки с амплитудой не превышающей ее толщины. Использование асимптотического интегрирования при получении рассмат-

VT

0.2 O.Z5 ОЗ

Рис. 4

0.4 «■>

\v_ 1

А

\ч

Рис.5

Рис. 6

- 1С -

риваемой математической модели движения пологой ортотропной сферической оболочки снимает данное ограниченна и, следовательно, представляет новые возможности для исследования.

На рис.5 зависимость критической динамической нагрузки изотропной сферической оболочки с параметром ко=7.57 от величины начальной погиби 1 сравниваются с данными, полученными я.као и н.Реггопе Сштриховая линия). Условия нагружения здесь соответствуют мгновенно приложенному и затем не изменяющемуся внешнему давлению.

В п. 3.4 рассматривается влияние ортотропии на устойчивость пологих сферических оболочек. Результаты исследований свидетельствуют, что в практически важном диапазоне изменения параметра ортотропии а отмечается устойчивый рост критического динамического давления с увеличением а. Кроме того, уменьшается скорость изменения функции, описывающей зависимость прогиба в вершине оболочки от величины параметра нагрузки, что также характеризует конструкцию как более устойчивую.

В четвертой главе исследуется поведение сферической оболочки при импульсном нагрузкенш внешним давлением.

В п. 4.1 изучается влияние формы импульса на поведение конструкции. Рассмотрена тонкая изотропная сферическая оболочка, которая последовательно нагружалась одинаковыми по величине, но различными по форме импульсами внешнего давления. Для импульсов, длительность которых сравнима с периодом собственных колебаний оболочки, получено значительное влияние их формы на устойчивость конструкции. Вместе с тем для более коротких импульсов это влияние уменьшается, а при длительностях менее четверти периода собственных колебаний оболочки практически отсутствует.

В п.4.2 рассмотрено выпучивание тонкой упругой сферической оболочки при импульсном нагружекии. В качестве примера расчиты-

вались сферические сегменты, изготовленные гидроштамповкой и; листового технического титана О=о.34, Р=4400КГ/ з , <г =25оВДа,

М т

е = ю5МПа), которые были испытанны при импульсном нагрухенга А. И. Телаловым и В.И.Агуловым. В качестве критического принималось значение параметра импульса 3, при котором достигался относительный прогиб £ = 20, Полученное значение 3 = 15.2 достаточно близко к экспериментальному (?= 14.5), При £ = 2о в опып отмечалось появление остаточных деформаций, что связано с достижением напряжения, близкого к пределу текучести. Расчета, выполненные с использованием формулы С6), соответствуют данньз эксперимента. Это позволяет сделать еывод об эффективности ] достаточной точности предлагаемой математической модели пр] описании как интегральных, так к локальных характеристик напря-

А

женно-деформированного состояния при выпучивании сферически оболочек с большими прогибам.

В п.4.3 рассматривается устойчивость сферической оболчю при совместном статическом и импульсном нагружении. На рис. ( кривая 1 иллюстрирует типичную зависимость величины прогиба полюса оболочки г от амплитуды импульса 0. С ростом о прогиб оболочки монотонно возрастает. Наличие статической составляюще! до= о.з, 0.4, о.5 (кривые 2, 3, 4 соответственно) помимо снижения величины амплитуды критического ишульса приводит' к качественному изменении поведения оболочки. При достижении критического значения нагрузки происходит резкое увеличение амплитуд прогиба, что связано с переходом оболочки к новому положешя равновесия.

В заключении сформулированы основные результаты' работы, которые сводятся к следующему:

1. Асимптотическим методом получено обыкновенное дифференциальное уравнение, описывающее динамическое поведение ортотропяст

- 1Ь -

. сферической оболочки при прогибах,4 существенно превышающих ее .. толщину.' При этом использован новый малый параметр с2, пропорци-. овальный отношению толщины оболочки ь к амплитуде ее прогиба «0

': о т. Выявлено существенное отличие формы срединной поверхности обо* : лочки от формы линейных колебаний.

; ,)!:: , 2. Путем сращивания при помощи аппроксимаций Паде асимптотичес-. ких решений, соответствующих большим и малым прогибам, получено . уравнение движения оболочки, справедливое во всем диапазоне изменения перемещений.

3. Предложена простая математическая модель колебаний и динами -¡1: ■ ческой устойчивости тонкой ортотропной сферической оболочки с > .-. ■ начальной погибью.

.. 4. Получена формула для определения наиболее существенных с точки зрения прочности максимальных изгибных напряжений оболочки.

5. Решена задача о свободных и вынужденных Сгармонических и случайных) колебаниях с большими прогибами тонких сферических обо; лочек.

6. Предложен эффективный метод решения задачи динамической устойчивости и колебаний с большими прогибами сферической оболочки при действии на нее случайной нагрузки.

7.Рассмотрено влияние ортотропии на характеристики колебаний и , динамической устойчивости сферической оболочки. Установлено,

...что для одного и того же параметра нагрузки, относительная величина критической частоты, при которой амплитуда колебаний резко возрастает, практически не зависит от величины параметра ортотропии.

8.Показано, что сильное влияние на характеристики динамической устойчивости оболочки оказывает наличие начальной неправильное-

та. В отличие от известных работ, где авторы рассматривают по-гибь оболочки не превышающую ее толщину, получено решение свободное от этого ограничения.

9. Установлено существенное влияние на поведение оболочки дополнительной статической нагрузки, что связано с появлением при определенном уровне статической составляющей второго устойчивого положения равновесия. Показано, что это приводит к реализации движения трех типов: движения около первого устойчивого положения равновесия; около второго и движения, охватывающего оба положения устойчивого равновесия.

10.Полученные в диссертации результаты демонстрируют эффективность и относительную простоту предложенной математической модели движения тонкой сферической оболочки с большими прогибами, что позволяет рекомендовать ее использование на практике.

11. Результаты исследований были использованы при проектировании реальных конструкций в организациях НПО "Молния" и Московский институт теплотехники.

Основное содержание диссетации опубликовано в следующих работах:

1. Веретенников С. А. Устойчивость тонкой ортотропной сферической оболочки при динамическом нагружегога. // Сб. трудов ВНТК "Обеспечение безопасности полетов и экслуатация воздушного транспорта в условиях становления рыночных отношений". - Москва, МИИГА, 1992. - С. 20-27.

2. Станкевич А. И., Евкин А. Ю., Веретенников С. А. Колебания сферической оболочки с большими прогибами. // Известия вузов. Машиностроешю., 1991 Ю.0-12, с. 29-33.

3. Станкевич А. И., Евкин А. Ю., Веретенников С. А. Устойчивость тонких сферических оболочек при динамическом нагру-жении. /V Прикл. механика. - 1993. - Т. 29, N1.