Асимптотический анализ устойчивости, закритического поведения и сильного изгиба тонких оболочек тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Московский авиационный институт

На правах рукописи

ЕВКИН Александр Юзович

УДК 539.3

АШШГОТМЕСКИй АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ, ЗАКРИТИЧЕСК0Г0 ПОВЕДЕНИЯ И СИЛЬНОГО ИЗГИБА ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тола

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора фязико-матештаческзх наук

Москва - 1992

Работа выполнена в Московском авиационном институте

Официальные оппскэнтк:

доктор физико-математических наук профессор Пальмов В. А. доктор технических наук профессор Зарункий В.А. доктор технических наук профессор Зверяев Е.М.

Ведущая организация - Казанский государственный университет

Защста состоится " 8 " J/a(?¿y?J1932 г. в_час.

на заседании специализированного совета Д 053.18.С77 при Московской авиационном институте (125871, Москва, А-80, Волоколамское шоссе, 4")

Автореферат разослан " Д^ " г.

Ученый секретарь спепзалязгпюванного совета

В.Н. Зайцев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Тонкостенные оболочечные конструкции нашли в настоящее время широкое применение в авиационной.ракетно-космической технике, в строительстве и различных областях промышленности. Эффективность их использования обусловлена возможностью решения при малом весе конструкции двух важных проблем: 1 обеспечения необходимой несущей способности и проблемы создания формы, При рациональном выборе конструктивных параметров и использовании высокопрочных материалов одной из основных задач в инкенерной практике является расчет оболочечных конструкций на устойчивость. Несмотря на то,что этой теме посвящено большое количество работ, проблема расчета реальных тонкостенных оболочечных конструкций на устойчивость еще далека от своего исчерпывающего решения. Это, связано,прежде всего ,с сильным влиянием на величину критической нагрузки целого ряда возмущающих факторов, которые трудно поддаются учету, а такке с необходимостью решать задачу в геометрически нелинейной постановке.

В последнее время разработаны численные методы, ориентированные на использование мощных ЭВМ, которые, благодаря ряду приемов, улучшающих их сходимость, позволяют получить решение соотве*. ствующей краевой задачи. Однако отсутствие на практике достаточно полной информации о несовершенствах, неизбежно присущих реальной конструкции и существенно влияющих на ее несущую способность сникает их практическую значимость. Кроме того, в отличие от аналитических результатов, численные данные ,как правило, -слокнее поддаются анализу.

Среди аналитических отметим метод возмущений, предложенный В.Т.Койтером, с использованием которого можно получить достаточно простые формулы, описывающие начальное послекритичесг.ое поведение идеальной конструкции, а таете позволяющие определить критическую нагрузку оболочки, имеющей несовершенства формы se срединной поверхности. Однако данный подход содержит ряд ограничений, среди которых наиболее важными являются близость нагрузки к критической (либо малость амплитуды прогиба по сравнению с тол щиной оболочки) и созпаданение формы начальной погибп с формой потери устойчивости идеальной оболочки. Эти ограничения существенно сникают ценность теории и затрудняют непосредственное ее

использование з инженерной.практике, поскольку начальные нес верпенства констругадаи имеют разнообразный характер,а величи допускаемо]! нагрузки существенно ниже классической критическ Достаточно эффективные аналитические методы определения крит, чес.чкх состояний конструкции с учетом начальных геометрич^ск: несовершенств различной конфигурации и интенсивности, а такк учетом возможных дополнительных внешних воздействий, в насто. время отсутствуют.

Актуальной проблемой, которая исследована в диссертации,, ляется также задача о сильном изгибе тонких непологих оболоч зрашения, функции которых связаны с большими перемещениями и лами поворота. Актуальность расчета в последнее вреда связан, интенсивным их использованием в качестве гибких трансформируй элементов в ракетной технике, космонавтике, химическом машин< роении. При проектировании таких элементов возникает задача I ределения диаграмм деформирования, а также напрякенного сост> ния с цель» оценки их работоспособности. Кроме того, важной : дачей является обеспечение осесимметричного деформирования ю струкции. Это требование вытекает из их функционального пред качения, а такие ввиду отсутствия в настоящее время конструю иных материалов, выдерживающих сильный изгиб в двух направле] Задаче сильного изгиба тонких оболочек вращения посвящены еда ные работы, в которых используются мощные численные методы. , аке об испытаниях оболочек при сильном изгибе в упругой стад] з литературе отсутстзувт. Поэтому разработка асимптотическоп ■года, позволяющего получить результат в виде простых формул, сиьаюизх поведение ортотропных оболочек вращения при сильном гибе, :: их экспериментальная проверка представляется актуалы

Цель пабот». I. Разработка асимптотического метода реше] уравнений геометрически нелинейной теории тонких упругих обо; чек, пригодного в области больших и малых амплитуд прогиба.

2. Обобщение метода на случай несовершенных оболочек и о( чек, подверженных дополнительным внешним воздействиям.

3. Анализ Факторов, влияющих на величину критической на] км реальной конструкции, и на его основе разработка рекомендг по выбору допускаемого внешнего давления.

4. Использование асимптотического метода при исследовании устойчивости к колебаний с большими прогибами сферической оболочки при динамических нагрузках.

5. Разработка асимптотического метода интегрирования уравнений сильного изгиба тонких ортотропных оболочек вращения.

6. Экспериментальное исследование непологой сферической оболочки при сильном изгибе.

Научная новизна. Основные новые результаты, полученные в диссертации сводятся к следующим. I. При решении задачи о нелинейном деформировании оболочек введен новый малый параметр,пропорциональный отношению толщины оболочки к ее амплитуде прогиба. 2. В виде простых формул получено асимптотическое решение задачи при больших прогибах для ортотропной сферической, а такке изотропной строго выпуклой и цилиндрической оболочки. 3. Показано, что в основном щшбликении асимптотика соответствует геометрической теории А.В.Погорелова. 4. Получена приближенная формула, описывающая начальное послекритическое поведение изотропной и ортотропной сферы при равномерном внешнем давлении. 5. С использованием аппроксимаций Паде путем сращивания решения при больших и малых прогибах получено решение нелинейной задачи среднего изгиба сферы и цилиндра во всем диапазоне изменения прогиба. 6. Разработан и подтвержден экспериментально асимптотический метод, позволяющий определять критическое внешнее давление оболочек с начальными несовершенствами формы и начальными напрякенкя-ми, а также с учетом дополнительных внешних силовых, кинематических и энергетических локальных воздействий. 7. Получены значения нагрузок, разделяющих области высокой и низкой чувствительности к рассматриваемым возмущениям. Эти нагрузки рекомендуется учитывать при назначении допускаемой. 8. Экспериментально исследованы осесимметричные и неосесишетричные закритические формы равновесия сферической оболочки при внешнем давлении. Показана возмок-ность использования осесимметричной теории среднего изгиба при малых по сравнению с классической критической нагрузках. 9. Предложена простая математическая модель, описывающая поведение сферической оболочки при динамических нагрузках. 10. Разработан асимптотический метод решения уравнений сильного изгиба ортотроп-ных оболочек вращения. В общем случае получены соответствующие асимптотические формулы, описывающие напряженно-деформированное

состояние оболочек и являющиеся обобщением результатов геоме! рической теории А.В.Погорелова на случай непологих оболочек г сильном изгибе. В качестве примера рассмотрены изотропные и с тотропные сферические оболочки постоянной и переменной толщш тор, эллипсоид вращения, нагруженные радиальным внешним давлс нием. II. Получены формулы для нижнего критического давления (нагрузки обратного выхлопа) эллипсоида и сферы. 12. Теорети* ки и экспериментально исследован вопрос о пределах применимое осесимметричной схемы деформирования сферической оболочки. 13. Получена экспериментальная зависимость "нагрузка-прогиб" сферической оболочки при сильном изгибе, подтверждающая дост< ность асимптотических формул.

Достоверность полученных в диссертации результатов подтв< кдена:

- построением последовательного асимптотического процесс!

- сравнением с имеющимися численными решениями, а такке ; ными специально поставленных опытов и экспериментов других а: торов;

- физической наглядностью полученных предельных систем.

Теоретическая и практическая значимость работы. Разработ;

эффективный аналитический метод решения нелинейных задач те^ рии тонких оболочек. Полученные асимптотические формулы могу быть использованы в инженерной практике при расчете на устой-вость к при рациональном проектировании тонкостенных оболоче-конструкций, для прогнозирования их несущей способности с уч< различного рода дополнительных как внешних, так и внутренних (присущих самой оболочке) возмущений. Эти соотношения могут положены в основу теоретико-экспериментального метода при от: кании структурных формул для искомых зависимостей, а такие в честве исходного приближения для численного решения задачи о критическом поведении и сильном изгибе оболочек вращения. Те тическое значение проведенных исследований заключается в обо вании геометрического метода А.В.Погорелова в рамках теории граничного слоя, в обобщении результатов геометрической теор на случай сильного изгиба оболочек вращения. Для рассматрива го круга задач установлена область возмокного использования кенкй среднего изгиба пологих оболочек, а также применимости симметричной схемы деформирования конструкции.

Результаты исследований внедрены в расчетную практику ВЙИПИокеанмаш (Днепропетровск) и используются при проектировании глубоководных аппаратов. Отдельные положения и выводи работы используются при чтении учебных курсов в Днепропетровском инженерно-строительном и Московском авиационном институтах.

Данная работа выполнена в соответствии с госбюджетными планами важнейших работ, утвержденных Президиумом АН УССР QSJS Г.Р.

1 81020494 ; 01.860031290), государственной программой "Безопасность населения и народно-хозяйственных объектов с учетом риска возникновения природных и технологических катастроф", а такие на основании плана НИОКР ЦНИКСМ "Расчетно-экспериментальная оценка виброакустического состояния несущих самолетных конструкций, выполненных из композиционных материалов".

Апробация ра'боты. Результаты диссертации докладывались на УП Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Москва, 1991); на XI и ХУ Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин (Харьков, 1977, Казань, 1990) ; 28-й Польской конференции по механике конструкций (Лодзь, IS90) ; на II Всесоюзном симпозиуме "Устойчивость в механике деформируемого твердого тела (Калинин, 1986) ; III Всесоюзном совещании-семинаре молодых ученых "Актуальные проблемы механики оболочек" (Казань,

1988 ) ; III Всесоюзной конференции "Прочность.жесткость и технологичность изделий из композитных материалов" (Запорожье,

1989 ); I Всесоюзной конференции "Технологические проблемы прочности несущих конструкций" (Запорожье, 1991), а также на Всесоюзных семинарах по механике деформируемого твердого тела института Проблем механики АН СССР (Москва, 1988) и Московского авиационного института (Москва, 1988) ; научных конференциях и семинарах Днепропетровского инженерно-строительного и московского авиационного институтов.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 22 печатных работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы (190 наименований) и приложения. Общий объем работы 297 страниц, из них 52 стр.рисунков, 14 стр.таблиц, 22 стр.списка литературы, II стр. приложения.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении сформулирована цель исследования, актуально' рассматриваемых вопросов, дана краткая характеристика работы ее научная новизна, теоретическая и практическая значимость.

В первой главе выполнен асимптотический анализ закрятич ких равновесных состояний строго выпуклых оболочек. В качест: исходных использовались уравнения среднего изгиба теории пол гих оболочек Маргерра-Муштари-Власова. Рассматривались достаточно тонкие оболочки, для которых /£ 1 (Я - толщи оболочки, И - ее стрела подъема). В отличие от известных ас мптотическпх решений в диссертапии в качестве малого использ' вался параметр, пропорциональный отношению толщины оболочки : амплитуде прогиба ъб~0 равновесной конфигураптк конструкт Это позволило в виде асимптотических формул получить решение задачи при больших по сравнению с толщиной обшивки прогибах. Показано, что основное приближение асимптотики приводит к со ношения?.: геометрической теории A.B. Погорелова.

В п.1.1 детально рассмотрены осесимметркчные деформации сферической оболочки при больших прогибах. После замены переменных

с^еры, £ г У - монулть упругости и коэффициент Пуассона,

ср - радиальное внкшнее давление, в исходной системе уравн ней выявлен малый параметр

(1

где ztf и - тункитг- прогиба и напряжений, Я - радиус

(2)

стоящий перед старшими производными. Это позволило при решении задачи использовать асимптотический метод интегрирования уравнений. При £ —г- 0 функции описывающие напряженно-деформированное состояние, с учетом первых трех приближений представлены в виде

¿г= I 1 §4-/,

л-У 7-> ¥ ' >" ' (з)

л. ~ (4)

^ 1 - быстро изменяющиеся функции, компенсирующие невязки

при =1, и £5о» - функции, соответствующие основному

состоянию, которые определяются при построении первого итерационного процесса.

В основном приближении асимптотики получена форма срединной поверхности оболочки, близкая к изометрическому преобразованию сферы, построенному путем зеркального отражения сегмента относительно плоскости. Напряженно-деформированное состояние конструкции в области пограничного слоя описывается функциями, которые определяются из уравнений

Связь параметра нагрузки и амплитуды прогиба разновес-

ной конфигурации оболочки (либо параметра ё ) установлена с использованием вариационного принципа Лагранка, который в случае' достаточного удаления внутреннего пограничного слоя от края оболочки позволяет прийти к соотношениям

где

Значение функционала определено после численного решения уравнения (5) с краевыми условиями

у10'~ О ппи Ц-г- -

_ .(7)

= < при

В результате в основном приближении асимптотики при деист на сферическую оболочку равномерного внешнего давления получе формула

(8)

которая соответствует результату геометрической теории А.В.По: релова.

Приведено такке решение задачи в более высоких прибликени. а такке в случае близости пограничного слоя к краю оболочки.

В п.1.2 результат (8) обобщен на случай строго выпуклых оболочек с радиусами глзеных кривизн и йг Здесь

о = ± С- /?2_

У У*7 У* 9 '

(9)

Из анализа (9) следует ,что параметр мал в случае,

если радиусы главных кривизн не сильно отличаются, что эквива< лентно неравенству (Р./)/(й^)■¿.■^ ■/,

В п.1.3 рассмотрена ортотропная сферическая оболочка при больших прогибах. Результат решения задачи представлен в виде а с импто тической формулы

(1С)

где - г „ 4 -—' , ¿э,

йг

у* ' 7*~ Яг » ^ '

считать калым, если исключить из рассмотрения случай сильного увеличения изгибной жесткости в меридиональном направлении^/..

При действии на оболочку сосредоточенной в полюсе поперечной силы <2 получека зависимость

8 н (II)

Б п.1.4 приведено приближенное решение задачи для сферической оболочки при равномерном внешнем давлении при малых по сравнению с толщиной сферы прогибах (малых значениях //§2- ). 'Как и в случае начального послекрптического поведения, строится зависимость параметра нагрузки от амплитуды прогиба в виде

Для этого рассмотрено некоторое характерное промежуточное состояние равновесия конструкции, при котором кривизна срединной поверхности оболочки в некоторой окрестности обращается в ноль (образуется уплощение). В этом случае исходные уравнения существенно упрощаются и соответствуют уравнениям изгиба пластины. Это позволяет достаточно просто определить прогиб гСГ0 п величину параметра нагрузки ^ , при котором рассматриваемое равновесное состояние реализуется. Затем из (12) вычислено значение £ либо 6> .

Для изотропной сферы с уплощением в полюсе 3 =0,77, для ортотрспной сферической оболочки получено выражение

В = 0} 32//(у*. 0,32/с/0г) . При этих параметрах зависимость (12) и соответствующая форма срединной поверхности оболочки хорошо согласуется с известными численными решениями.

В п.1.5 построено решение задачи о закритическом деформировании сферических оболочек во всем диапазоне изменения амплитуды прогиба. Для этого выполнено сращивание асимптотических представлений зависимости параметра давления ^ от амплитуды прогиба при малых ( ) и больших ( $г 0) ее зна_

(12)

где & - коэффициент чувствительности, подлежащий определению.

чениях. С использованием двухточечных аппроксимаций Пдце.пол чены выражения для изотропной

' зе* (13

и ортотропной *!

(14

оболочки.

Зависимость (13) показана на рис.1 кривой I. Кривая 2 соответствует численному решению, полученному В.И.Феодосьевы и А.Г.Габрильянц. Точками отмечены данные прецизионного эксп римента В.И.Бабенко и В.М.Причко. Штриховые линии 3 и 4 отве чают асимптотическим формулам (12) и (10).

Во второй главе диссертации выполнен асимптотический ан лиз устойчивости сферической оболочки с учетом как внутренни (присущих самой конструкции), так и дополнительных к основно нагрузке внешних возмущений.

В п.2.1 построена математическая модель, позволяющая до таточно эффективно определять критические состояния оболочки имеющей как начальные прогибы, так и напряжения. Причем на ф му и амплитуду погиби /с не накладывается жестких ограниче ^ I, ее изменяемость совпадает по порядку с изменяе мостыо формы выпучивания идеальной сферы. В качестве исходны рассмотрены уравнения квадратичного приближения геометрическ нелинейной теории оболочек, имеющих начальные несовершенства формы срединной поверхности. Проведен асимптотический анализ ведения несовершенной оболочки при больших прогибах. При это использован малый параметр (10), где г/Т0 - амплитуда полног прогиба. Показано,что при $ О

(15

где 0(8*) означает,что в приведенном соотношении отброшены слагаемые порядка , связанные с влиянием погиби.

В'общем случае для несовершенных оболочек зависимость ищется в виде

я 0,8

0,6

0,4

0,2

» [у 1

i ->ч f 7Л7Т //// i

\\ < «jN V2

Ч i •

ш

0 i Г

2 3 Ч 5 6

Ргс. 1.

0,5

[\

:\|

\|*

1 • \ *

\ V \ X.

^ * i i

0

Q4 0,8

Pite. 2.

Ü"

При =0 ( -0) получаем формулу для. идеальной обо-

лочки, а кз (15) oLj - oLz = о1ъ =û. Коэффициенты оÎj, и ois- определяются кз условия, чтобы выражение (16) описывало зависимость так>::е но докриткческой стадии дефорпирозэния при малых дополнительных прогибах. Из очевидного условия f =0 при иг0 = /с ( либо ё = ) следует

(17)

Второе соотношение для вычисления ol^ и ois- определяется углог, наклона касательной к кривой докритического деформирования (при Ç =0) и осью абсцисс. Этот угол может быть определен из линейных относительно дополнительного прогиба уравнений (если известно поле начального прогиба) либо экспериментальны:'.! путем при нагрукеник конкретной конструкции некоторой не опасной с точки зрения выпучивания нагрузкой ^ и определении соответствующей величины относительного дополнительного прогиба г^ . При этом в последнем случае автоматически з первом приближении могут быть учтены остаточные напряжения и другие несовершенства конструкции, оказывавшие влияние на ее податливость. В таблице I приведены результаты специально поставленных опытов (оболочки JS 1-6), s такх;е денные эксперимента С.Ямады.К.Учиямы.Ы.Ямады ( оболочка ¡5 7). Соответствующие значения параметра ^° критического давления сопоставляются с результатами подсчетоз "г^* по предлагаемой методике.

Таблица I

jt* i 2 3 4 5- - 6 7

ш 7,2 8,1 7,6 26 41 32 0,088

иь 0,43 0,67 0,67 10,4 3,9 2,9 sj 1 j.3

9- 0,045 0,05 0,05 0,088 0,038 0,038 0,13

Г 0,17 0,15 0,14 0,096 0,093 0,096 j, 56

г 0,16 0,15 0,15 0,11 0,10 0,10 0,52

0,19 0,19 0,19 0,18 0,18 0,18 0,74

Сопоставление результатов расчета и опыта свидетельствует об их хорошем соответствии в широком диапазоне изменения ампли-

тулы -начального прогиба, Кроме того, показана возможность г, рамках предлагаемого подхода учитывать начальные напрятать-; (оболочки й 1-6), поле которых определить в настоящее время натурных конструкций практически невозможно.

В последней строке таблицы I приведены значения параметра критической нагрузки, вычисленного в предположении,что форма начальных прогибов соответствует форме потери устойчивости идеальной оболочки. Тогда второе условие для определения оС^ » <¿-5 принимает вид

Сравнение данных показывает,что идеализированное представление начальных несовершенств оболочки и игнорирование начальных напряжений может привести к существенной погрешности в определении критической нагрузки, причем к завышенному ее значению.

В п.2.2 рассмотрена устойчивость сферической оболочки, нагруженной равномерным внешним давлением и часто реализуемы!,: на практике сосредоточенным в ее полюсе дополнительным воздействием поперечной силой ¿2 • Решение этой задачи геометрическим методом получено А.В.Погореловым. Его справедливость ограничена большими по сравнению с толщиной оболочки амплитудами прогиба, при которых достигается критическое равновесное состояние конструкции. В диссертации на базе асимптотических соотношений (II) и (13),(14) получены достаточно простые приближенные формулы для определения критических параметров конструкции.

Соотношение, связывающее параметры нагрузок и амплитуду равновесной формы оболочки, представлений виде

При 0. 0 имеем предельный переход к выражениям (13) и (14)

критическое состояние конструкции достигается при больших амплитудах прогиба (при малых § ). 3 этом случае асимптотическое представление функции ( ищется в виде

Коэффициенты (/¿, определяются из условия, чтобы йри" выражение (18) совпадало с асимптотическим представлением (II)

(18)

для изотропной и ортотропной сферы, а при достаточно больших <2

Тогда = =0, --0,75. Окончательно получено соотношение _

* * - (18) которое при фиксированном значении 0. дает зависимость <р § ( либо'^У^) с предельной точкой, отвечающей критической комбинации нагрузок Ц* и О* На рис.2, представлена соответствующая кривая I. Штриховая линия 2 отвечает результату геометрической теории, точки на рисунке - данным эксперимента В.И.Бабенко и В.М.Причко.

В п.2.3 анализируется величина энергетического барьера и других возмущающих факторов, необходимых для достижения конструкцией критического состояния. В зависимости от уровня внешне давления выделяются области высокой и низкой чувствительности оболочки к"рассматриваемым возмущениям. Нагрузки, отделяющие 'эти области,рекомендуется принимать во внимание при назначении допускаемой. В частности, при исследовании энергетического бар ра, который необходимо преодолеть оболочке при переходе в закр: тическую стадию, получено соответствующее выражение для параме ра нагрузки . _

К П (20) Зависимость (20) показана на рис.3 кривой I. Здесь же заштрихована область допускаемых значений ^ согласно СНиП. Ступенчатая линия 2 соответствует рекомендуемым значениям расчетного критического давления, полученным в монографии А.С.Вольмира на основе анализа значительного числа экспериментальных данных. Их нижняя граница очерчена кривой 3.

В п.2.4. экспериментально исследуется вопрос о существоваш осесимметричных и неосесимметричных состояний равновесия сферической оболочки при нагрузках, существенно меньших классическоЗ критической. Для этого,кроме внешнего давления, в.опыте полусфера из резины испытывала поперечное сосредоточенное кинематическое воздействие винтами, которые периодически располагались на заранее выбранной параллели. Их число варьировалось и принимало значения /п =?; 4; 6; 10; 12. Величина кинематическ го воздействия каждого винта в пределах одного опыта, была' один кова и для фиксированного значения т изменялась в диапазоне | от О до 10 ^.

Поело ь;:."!1ш;иа1!::я винтов на зодпинуи глуоину путем вмкуушпо ваш:я внутренне!; полости оболочки повышалось избыточное давл> ние в течение 20-30 мин. Фиксировалось значение нагрузки в случае ее падения при выпучивании оболочки хлопком или при н; рушении контакта поверхности сферы по крайней мере с одним в: том. Анализ полученных данных показывает,что минимальные значения нагрузки лежат достаточно близко к соответствующим вел: чинам осесимметричной формы равновесия. Кроме того, в опыте было замечено следующее обстоятельство,которое позволяет ближайшие форш равновесия оболочки рассматривать в рамках осес: метричной теории. При заданном значении /п и небольших иУ0 форма кавдой отдельной вмятины была круговой с центром в мес приложения возмущения. При больших гО~с в этом случае она бы, близка к зеркальному отражению части сферы относительно плои сти. С ростом чаГо зона каждой вмятинн расширялась, что при достаточно больших т приводило к их стесненному развитию вследствие взаимного влияния либо влияния края. Это, в свою I редь, обусловило рост нагрузки (в первую очередь для большое числа/п ). При малых ль в рассматриваемом диапазоне ъГ0 в: имное влияние вмятин отсутствовало, и их можно было рассматр: вать изолировано в рамках осесимметричной теории с осью симм! рии, совпадающей с линией действия кинематических возыущени: Других форм при низких нагрузках, которые реализуются на пра: тике, в опыте на обнаружено.

В третьей главе предложенный подход обобщен на случай к< лебаний и устойчивости изотропной сферической оболочки при д] намическом нагружении радиальным внешним давлением. 3 п.3.1 приведен вывод асимптотического уравнения движения оболочки,] торое представлено в виде

А У+А }%А 2

где ^"/Я1 ? = —3 плотность материала, низшая собственная частота линейных колебаний оболочки,

- динамическая и статическая составляющие параметра на:

рузки.

Для коэффициентов уравнения А^ получены их асимптотические представления при малых и больших . При- /

использован и обобщен на случай динамического поведения конструкции метод, изложенный в первой главе. При мали:: ■/ уравнение (21) получено методом Бубнова-Галеркина с использованием известных функций, достаточно хорошо описывающих форму двивения оболочки в этом диапазоне. Окончательно уравленпе (21), пригодное во всем интервале изменения ^ , получено путем сращивания соответствующих асимптотических представлений коэффициентов А1 при помощи аппроксимаций Паде. При решении конкретных задач уравнение (21) анализировалось численно методом Рунге-Кутта.

В п.3.2 исследовалась устойчивость сферической оболочки при динамических нагрузках. Для проверки работоспособности предложенной математической модели результаты расчета сопоставлялись с данными экспериментов Р.Г.Суркина, Б.М.Зуева, С.Г. Степанова (таблица ?.). Здесь р - расчетное, а <^оп - опытное критическое давление

Таблица 2

Л Л, ,мм И ,мм Чк %П 10"5,н/м2 ь- Ю^.н/м2 таг.-/

I 0,27 27,0 720 2,32 2,8 1,9

2 0,27 25,3 "768 2,36 2,6 2,1

3 0,27 20,7 941 2,06 1,9 2,7

4 0,27 16,2 1200 1,56 1.6 4,2

На рис.4 сопоставляются результаты расчета (кривая I) к испытаний«/. Л. 5:, оболочки с пара-

метрами =6,87, =365, которая в процессе выпучи-'

вания деформировалась з упругой стадии. Здесь не щтриховой линией отмечены результаты расчета по методу Бубнова-Галеркина. Из опыта расчетов, а такке непосредственно из вывода уравнения (21), следует,что предлагаемая математическая модель тем более эффективна, чем больших прогибов достигает конструкция при выпучивании. Кривые 2-4 на рис.4 получены при решении задачи с учетом статической составляющей внешнего давления со значениями параметра =0,1 ; 0,2 ; 0,3 соответственно.

Рассмотрен так:::е хорошо изученный случай динамического на-гружения мгновенно приложенного,а затем не изменяющегося со временем ¿знишкего давления. Получено ьсимптотическоо значение параметра /.рнтачсской нагрузки =0,43, которое хорошо

согласуется с известными данными эксперимента и численного решения задачи.

В п.3.3 исследуются свободные и вынужденные колебания оболочки с большими прогибами, строятся соответствующие амплитудно-частотные зависимости при отсутствии и наличии дополнительных статических составляющих нагрузки. Простота предложенной математической модели позволила в п.3.4 исследовать поведение конструкции при интенсивных акустических воздействиях, которые представлены в виде белого шума. Численным методом получены вероятностные характеристики рассматриваемого процесса. Исследовано влияние дополнительной статической составляющей на поведение конструкции.

Исследование закоитического поведения и устойчивости изотропной цилиндрической оболочки, нагруженной равномерным внеш* давлением, выполнено в четвертой главе. В п.4.1 получено асимл тотическое решение задачи при больших прогибах. Рассмотрена фс ма закритического равновесия цилиндра в виде одной локализовав ной в кольцевом направлении вмятины. В качестве исходных испо; зовались разрешающие уравнения квадратичного приближения нелинейной теории пологих оболочек, записанных через функцию напр* кекий и прогиба. Выявлен малый параметр системы

сг._ Ц-

\ъг0) > " пАу/гсу-УЧ ' (22)

который использовался при ее асимптотическом интегрировании. При В.^-г- 0 получена йормула

При малых прогибах ( ) использовано решение В.И.Бабе!

ко, которое представлено в виде

(24)

После сращивания асимптотических представлений (23),(24) окончательно получено решение в виде

А = (25)

* т+А

которое на пне.5 представлено кривой I. Здесь же '."•очкам! отмечены данные эксперимента Л.И.Маневича, З.И.Ноесаковского, Е.Ф.Прокопало. Кривая 2 соответствует численному решению Л.В.Андреева, Н.И.Ободан, А.Г.Лебедева, штриховая линия 3 -'формуле (24).

В п.4.2. выполнено исследование влияния локализованной в кольцевом направлении погиби на устойчивость цилиндрической оболочки. Получена асимптотическая формула

связывающая амплитуду полного прогиба (либо £,) с параметром нагрузки, соответствующей равновесному состоянию несовершенном оболочки. Предельная точка на кривой (26) дает критическое значение . Коэффициенты оС и зависят от формы и интенсивности несовершенств и определяются начальным докритическим поведением конструкции. В частном случае, когда форма погиби совпадает с конфигурацией выпучивания идеальной оболочки, а начальные напряжения отсутствуют, =-1, р =0. 3 более общем случае данные для определения ^ и р можно получить при испытании конструкции, нагружая ее небольшим, не опасным с точки зрения ее выпучивания, давлением. На рис.6 приведены соответствующие результаты расчета (кривая 2) по предлагаемой методике и эксперимента (кривая I) .выполненного В.Л.Красовсккм.

В пятой главе асимптотическим методом решена задача о сильном изгибе тонких ортотропнкх оболочек вращения. В п.5.1 приведен краткий обзор литературы по рассматриваемому вопросу к сформулирована постановка задачи. В п.5.2 в качестве исходных рассмотрены уравнения Рейсснера, описывающие осескмметричные деформации непологих оболочек при произвольных углах поворота. Выполнен их асимптотический анализ с использованием малого параметра

с-2-_ Аг ■/ '

Я? /VВ* 2 9 <27)

пропорционального отношению толщины оболочки к ее радиусам главных кривизн и Иг . В основном' приближении асимптотики получена разрешающая система уравнений, которая является обобщением уравнений (5) ив диссертации решалась численно. Связь параметра нагрузки и формы равновесия оболочки устанавливалась с использованием принципа Лагранжа. В результате получена формула для потенциальной энергии деформации оболочки

(28)

Здесь все геометрико-жесткостные характеристики оболочки вычисляются при угловой координате & = , определяющей положение внутреннего пограничного слоя (пис.7). Если последний находится достаточно далеко от края оболочки, то

¿=0,56+0,029^. (29)

Для этого случая также приведены выражения для наибольших внутренних усилий, возникающих в зоне пограничного слоя,

? * * , / (зо)

та*//У = 0,4-1-0,ОО^Ъ? J л^х/ Ч>Ч=С>95-+0,О81^

Приведенные результаты обобщены на случай взаимного влияния пограничного слоя и края оболочки. ^

Выражение для работы внешних сил А определяется достаточно просто изометрическим преобразованием срединной поверхности оболочки, полученным путем зеркального ее отраженная относительно плоскости, перпендикулярной оси вращения. Вариация полной потенциальной энергии по дает зависимость нагрузки от параметра формы равновесия ^ , который связан с амплиту- ' дой прогиба простым соотношением

В п.5.3 в качестве примера приведены результаты расчета изотропной и ортотропной сферической оболочки при сильном изгибе. Результаты представлены на рисунках 7,8,9, где сплошные линии соответствуют предложенному асимптотическому решению задачи, а штриховые - полученному численно А.В.Коровайцевым. На рис.7

V л f

ЧС Jf л

о

Ргс. 7.

0,4

0,2

maxIMilR «Du с У'/'

О

i

Рис. 8.

Vfo/Q

од

0,4

тахШ-Ю2 Bu ßif £>« к=5 ^^

^ ss-

О

i

Pic. 9.

Vf0/ß

кривая I отвечает замкнутой сфере, кривая 2 - жестко заде^к-ной по краю полусфере, линия 3 - асимптотическому решение задачи в рамках теории среднего изгиба пологих оболочек. Для замкнутой оболочки имеем величину параметра нижнего критического давления (нагрузки обратного выхлопа) (р,»;* =1.0? 8* • 3 этом же пункте приведено решение для сферической оболочки переменной толщины, а также нагруженной неравномерным внешним давлением и сосредоточенной силой,

В п.5.4 и 5.5 на основе общих формул (28),(29, (30) проведен анализ поведения тора и эллипсоида вращения при сильном изгибе.

В п.5.6 в первом приближении (когда упругие и пластичные деформации одного порядка) изучается сильный изгиб оболочек вращения с учетом физической нелинейности. Приведены формулы, с использованием которых был выполнен расчет необходимой энергии для достижения оболочкой прогиба тхГ0 при ее пластическом деформировании. В таблице 3 полученные данные 3т сопоставляются с результатами 3оп иур.).

Таблица 3.

£ т Ът/я Эсп/,2?

I 245 43 43 44

2 177 60 106 97

В п.5.7 исследуется устойчивость при больших прогибах осе-симметричной формы равновесия ортотропной сферической оболочки, нагруженной внешним давлением и сосредоточенной силой.'В обоих случаях получено значение амплитуды прогиба

/6^)] а+ в2г 1

при котором имеет место бифуркация осесимметричной формы к несимметричной. Соотношение (31) является обобщением результата, полученного А.В.Погореловым, на случай ортотропной сферы.

В шестой главе приведены данные экспериментальных исследований полусферы из резины при сильном изгибе. Нагружение образца осуществлялось как избыточным внешним давлением, так и сосредоточенной в полюсе поперечной силой. При этом варьировалось

время нагружения и его порядок (при монотонном увеличении и при уменьшении прогиба) для оценки влияния на результат pea сационных процессов, происходящих в материале. Средняя толщ оболочки составила Я. =2,014 мм, ее радиус кривизны Л =90 модуль упругости определен экспериментально при растяжении i да Е =4,56 МПа, коэффициент Пуассона для резины был пЬ'и; V =0,48 .

При испытании оболочки, нагруженной внешним давлением, i делировались условия жесткого защемления ее края. На первом этапе нагрукения винтом задавался прогиб в полюсе сферы. По этого осуществлялось плавное нагрунение конструкции мзбыточ: давлением. В момент отрыва оболочки от винта фиксировалась : личина нагрузки, которая соответствовала заданной амплитуд прогиба. На рис. 10 показаны соответствующие данные. Здесь приняты следующие обозначения: о - результаты испытания : нагрунении давлением в течение 10 мин., • - в течение 30 м □ , á - результаты опытов, в которых положение равновес достигалось при уменьшении амплитуды прогиба. Кроме того зн нами и штриховой линией отмечено начало и путь обрати

выхлопа оболочки, когда при заданном прогибе в ходе испытан значение давления было занижено и положение равновесия не д галось. Кривая I соответствует асимптотическому решению зад

Определение равновесных состояний конструкции при дейст в полюсе сосредоточенной силы производилось как при мягком, так к при жестком нагружении двумя способами. Первый соотве вовал монотонному увеличению прогиба, второй - его уменьшен при приближении к равновесному состоянию (рис.11)) Моделиро лись два типа граничных условий: жесткое защемление (светлы значки) к близкое к шарнирному опиранию (темные значки). Кр вал I на рис.II соответствует решению задачи асимптотически методом.

Обмер формы равновесия ободочки, выделение и гармоничес анализ несимметричных ее составляющих, позволил эксперимент но подтвердить полученное теоретически соотношение (31), ко рое на кривой I (рис.11) дает точку бифуркации А . При со ствушеы прогибе в опыте наблюдалось резкое развитие нести ричной составляющей формы. При внешнем давлении вклад несим ричных гармоник был существенно меньше, чем при действии со доточенной силы.

V* До

vC S чч * 12 •8—

О 0,2 0,4 0,6 0,8 -иГо/р

Рис. 10.

о й Л Д D Л Л Д a AS _ fto^ai---

У 0,% О sir мягкое наг o-lcr • -Hen кА ¿в ррсение жес юсо5 л, осо5 А, » А в J 71К09 нагрукет а - Icnacofi Ш - Цспособ

0 24 48 72 к/о(т

Рис. 11.

В заключении сформулированы основные результаты работы,

1. Разработан асимптотический метод интегрирования уравнений квадратичного приближения нелинейной теории тонких оболочек в котором используется новый малый параметр, пропорциональный отношению толщины оболочки к ее амплитуде прогиба.

2. Показано,что основное приближение асимптотики приводит к соотношениям геометрической теории А.В.Погорелова.

3. Предложено приближенное решение задачи о начальном поел критическом поведении ортотропной и изотропной сферической оболочки, нагруженной равномерным внешним давлением.

4. Сращивание асимптотических решений при малых и больших прогибах при помощи двухточечных Паде-аппроксимант позволило получить единое выражение для основных компонентов напряженно-деформированного состояния рассматриваемых оболочек, а также для зависимости "нагрузка-прогиб".

5. Предложенный метод обобщен на случай исследования устойчивости строго выпуклых и цилиндрических оболочек, имеющих начальные прогибы и напряжения, а также подверженных дополнительным внешним лакализованным воздействиям.

6. Анализ влияния рассматриваемых возмущений на критическое давление сферической оболочки позволил выделить характерные уровни нагрузки, разделяющие область высокой и низкой чувствительности оболочки к возмущениям. Эти нагрузки предлагается учитывать в инженерной практике при назначении допускаемой.

7. Разработан эффективный метод решения задачи устойчивости и колебаний сферической оболочки с большими прогибами при действии динамических нагрузок.

8. Асимптотическим методом решена задача о сильном изгибе тонких ортотропных оболочек вращения. В виде простых формул получена зависимость нагрузки и экстремальных напряжений от амплитуды прогиба равновесных состояний конструкции. Проанализировано поведение сферической, тороидальной оболочки при сильном изгибе, а также эллипсоида вращения.

9. Получены формулы для нижнего критического давления (нагрузки обратного выхода) рассматриваемых оболочек с различными условиями закрепления края.

Ю. Исследован вопрос о пределах применимости уравнений среднего изгиба пологих оболочек путем сопоставления соответствующих данных, полученных на основе более обоих уравнений Рейсснера.

11. Для ортотропной сферической оболочки в рамках квадратичного прибливения нелинейной теории асимптотическим методом решена задача о бифуркации осескмметричной формы равновесия

'конструкции при больших прогибах к несимметричной.

12. Экспериментально подтверждены полученные в работе теоретические зависимости, связывающие нагрузку с амплитудой прогиба как в случае внешнего давления, так и при нагрукении сферической оболочки сосредоточенной силой при прогибах порядка ее радиуса.

13. В результате анализа'форм ■ равновесия сферы опытным путем установлена величина амплитуда прогиба, при которой осуществляется переход от ее симметричной конфигурации к несимметричной. Данные эксперимента при нагружении оболочки внешним давлением и сосредоточенной силой согласуются с розуль'пл'ш.-.п предложенного асимптотического решения задачи.

• В приложении з форме таблиц приведены результаты экспериментального исследования сферической оболочки.

Основное содержание диссертации изложено в работах:

1. Моссаковский В.И..Маневич Л.И.,Евкин А.Ю. К исследованию закритических форм равновесия сжатой цилиндрической оболочки //Прикладная механика.-1975.-II И1.- С.24-30.

2. Евкин А.Ю. Драсовский В.Л..Ыаневич Л.И. Устойчивость продольно сжатых цилиндрических оболочек при локальных квазнста-тических воздействиях //Изв.АН СССР. Механика твердого'тела.-1978.-^6.-0. 95-100.

• 3. Евкин А.Ю..Прокопало Е.Ф..Шукуров А.X. Исследование закритических форм равновесия продольно сжатой цилиндрической оболочки// Строительная механика и расчет сооружений.- 1881.-й 6.- С. 45-47.

4. Евкин А.К. О чувствительности сжатых стрингерных оболочек к локальным воздействияц//Гидроаэромеханика и теория упругости Днепропетровск: Днепропетр.ун-т,1986.-С.89-93.

5. Евкин А.Ю., Дугинец С.Г. Закритические осесимметрич-ные деформации замкнутой сферической оболочки //Актуальные про леш механики оболочек. Тезисы докладов III Всесоюзн. совещани. семинара молодых ученых. - Казань, 1988.- 1988.- С.75.

6. Евкин А.Ю., Дугинец С.Г. Закритические осесимметричные деформации сферической оболочки //Повышение эффективности, стро ительства. Киев: УЖ ВО, 1988.- С. 80-85.

7. Евкин А.Ю. Новый подход к асимптотическому анализу устойчивости и закритического поведения строго выпуклых пологих оболочек //Днепропетр. инк.-строит, ин-т.- Днепропетровск.-1988. - 17 с. Деп. в УкрНИИНТИ 01.07.88, & 1710 -Ук 88.

8. Евкин А.Ю. О новом подходе к асимптотическому интегриро еэнию уравнений теории пологих выпуклых оболочек в закритичес-кой стадии //Прикл.матем. и механ. - 1989.- 53, J6 I.- C.II5-I2

9. Евкин А.Ю., Дубичев A.A. Асимптотическое интегрирование нелинейных уравнений теории анизатропных сферических оболочек в закритической стадии //Прочность,жесткость и технологичность изделий из композитных материалов. Тезисы докладов III Всесоюзн.конф., 24-26 октября 1989 г. Запорожье.- 1989. - С. 82.

10., Евкин А.Ю., Дугинец С.Г. Закритические осесимметричные деформации замкнутой сферической оболочки //Изв.вузов.Строите; ство и архитектура.- 1989.- № 8.- С. 36-40.

11. Евкин А.Ю., Дугинец С.Г. Экспериментальное исследование сферической оболочки под действием равномерного внешнего давления при сильном изгибе // Известия вузов. Строительство и ai хитектура.- 1989.- Ji 12.- С. II0-II4.

12. Евкин А.Ю..Дугинец С.Г. Экспериментальное и теоретическое изучение деформаций сферической оболочки из резоноподобноз л'-згериала при сильном изгибе //III Всесоюзн.конф.по нелинейно! теории упругости, 1989.- Сыктывкар, 1989.- С.106.

13. Евкин А.Ю..Дугинец С.Г. Экспериментальное изучение непологой сферической оболочки при больших прогибах//Днепропетр инк.-строит.ин-т.- Днепропетровск.- 1990.- 54 с.Деп. в УкрНИИНТИ 10.04.90, » 646 - Ук 90.

14. Efaifl А. Yv.jKrosofskyV.L. А пеиГ/пос/г-£-¡Рог ссс£сг/~ Co-ilon р/сгс&сс£ pressure о/ ¿.y&oc/rslccn?

■^¿¿А ¿/!Шс£ i/vper/eczL/c>/JS//2?-6c> Рр&'с/, Sofie/'Meede nie s С&*/егел г, Kozvfoix, 4-2 Sepil^fer- /9?о. - Я

15. EzfxisiA. A^flip-ioTitc a/jc/^sis p/Sfflerlcct? sßeMs izW^Ä'^ uTiiLb гibe reocrc/ е/регг&гАг^о/?// V/ Su/npo-RJtssn XtcriLec-z./yp'sCi ffois^ruxcj¿jSKCo2Lo cefizroTtouF, SpcCcs, tJ. /39-/. - /? /3-/57

16. Евкчн A.IO., Егоров E.A., Красовский В.Л. с'ксперимен-тально-теоретлческие основы я опенка устойчивости тонкостенных цилиндрических резервуаров с начальным несовершенствами npv внешнем радиальном даБлонтга//Днепропетр.хнж.-строит, цн-т.-Диепропотровск, 1991.- 44 е.- Деп. в УкрНИИНТИ 23.12.91,

J Ь 1619-Ук31.

17. Короваштев A.B.,Евкин А.Ю..Дугяноц С.Г..Дубичев A.A. Сильный изгиб ортотропных оболочек вра'ценяя щте действии локальных нагрузок//Тр. 1 Всесогозн.конф."Технологические проблем прочности несупщх конструкций",- Запорожье,- 1991,-Т.11,4.1,- С. 27-32.

18. Евкин А.Ю. .Красовскей B.I. Закрятическоо ле?ор:.кроза-няе я опенка устойчявостя реальных паляядряческях оболочек прх внешнем давленяи//Прикладная мехашска.- 1991.- 27,J5 3.-С< 76-83.

19. Станкевгч А.И.,Евккн А.Ю..Веретенников С.А. Колебания сферической оболочки: с большими прогж5амя//Изв. вузов. .'Азнгано-строенке.- 1891.- 10-12.- С. 29-33.

20. Коровайпев A.B. ,Евкхн А.Ю. Осесимметричноо деформирование тороидальной оболочка прз схльном йзгхбе//Прхклацпая механика.- 1992.- 28, ß 4.- С. 16-23.

21. Евкан А. К. К вопросу о выборе допускаемого внешнего давления сферической оболочкт//Строзтельная механака з расчет сооружений.- 1992.- № 1.- С. 48-53.

22. Евкин А.Ю. .Коровайпев А.З. Асюштотпческ^и а^налзз за-крлтического осесямметртчного напряженно-деформтрованного состояния оболочек вращения при сильном ггзгкб9//Изв.Российской АН. Уйханука твердого тела.- 1992.- В 1.- С. 125-133.

Автор выражает глубокую признательность за постоянное зкг-ианяе к работе члону-корреспонденту Мевдунйродкой чнкенерно": академзл, профессору А.И. Станкевичу, а также доктору фгзяко-математичоских наук А.З. Коровайпеву за полезное обсузденге результатов зсследованмя сильного ззгзба оболочек.