Устойчивость сферических подкрепленных оболочек при внешнем давлении тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.03 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ И ЗАВИСИМОСТИ,

ПОЛОЖЕННЫЕ В ОСНОВУ МЕТОДИКИ РАСЧЕТА

§ I.I. Основные геометрические зависимости и исходные предположения для оболочек произвольного очертания.

§ 1.2. Полная потенциальная энергия ребристой оболочки произвольного очертания

§ 1.3. Основные зависимости для сферических оболочек, подкрепленных регулярной перекрестной системой ребер.

ГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКОГО ДАВЛЕНИЯ ДЛЯ

СФЕРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК С МЕРИДИОНАЛЬНО-КОЛЬЦЕВОЙ

СЕТКОЙ РЕБЕР

§ 2.1. Уравнения для определения критического давления.

§ 2.2. Формулы параметра критического давления

§ 2.3. Исследование влияния сдвиговых деформаций на величину критического давления

ГЛАВА 3. ВЛИЯНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПОДКРЕПЛЕНИЯ НА УСТОЙЧИВОСТЬ

РЕЕЭДСТЫХ СФЕРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК.

§ 3.1. Влияние числа ребер на величину критической нагрузки.

§ 3.2. Влияние жесткости ребер на величину критической нагрузки.

§ 3.3. Влияние эксцентриситета ребер на критическую нагрузку.

§ 3.4. Использование многочленной аппроксимации перемещений для определения параметра критической нагрузки.

§ 3.5. Выбор рациональных параметров подкрепления

ГЛАВА 4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ

РЕБРИСТЫХ СФЕРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК

§ 4.1. Технология изготовления сферических оболочек с меридионально-кольцевой сеткой ребер

§ 4.2. Методика экспериментального исследования

§ 4.3. Результаты экспериментального исследования напряженно-деформированного состояния

§ 4.4. Результаты экспериментального исследования устойчивости оболочек

4.4.1. Устойчивость гладких оболочек

4.4.2. Оболочки с меридиональными ребрами.

4.4.3. Оболочки с кольцевыми ребрами

4.4.4. Оболочки с перекрестной системой ребер

§ 4.5. Сопоставление результатов эксперимента с расчетными данными

Сферические оболочки применяются во многих областях народного хозяйства. При строительстве различных сооружений (цехов, испытательных лабораторий, зрелищных комплексов, резервуаров и др.) широко применяются сферические купола. Применяются они также в летательных аппаратах, судовых конструкциях, радиолокационных антеннах и других конструкциях.

К числу преимуществ этих конструкций относится то, что они дают максимальный полезный объем, являясь одновременно несущими и ограждающими конструкциями. Опыт показывает, что использование оболочек, например для покрытия цехов, приводит к существенному удешевлению строительства. По сравнению с рамными конструкциями расход бетона и стали снижается на 25 - 30%, а по общей стоимости экономия составляет 12 - 14% [72] . Экономический эффект возрастает и в связи с тем, что увеличение пролетов позволяет осуществлять планировку промышленных зданий с учетом изменения технологических процессов, т.е. зданий универсального назначения.

Проверка оболочек на устойчивость является задачей первоочередной важности, т.к. известно, что оболочки, даже при незначительной толщине, обладают большой прочностью и поэтому их недостаточная устойчивость может оказаться критерием, определяющим несущую способность.

Стремление к снижению веса и увеличению жесткости обязательно приводит к подкреплению оболочек тем или иным способом.

Таким образом, при проектировании различных конструкций и сооружений стремление к максимальному снижению веса изделий при одновременном повышении их качества приводит ко все более широкому применению тонкостенных элементов, параметры которых определяются расчетом на устойчивость.

Задача устойчивости в классической постановке впервые рассматривалась Л.Эйлером в работах, посвященных выпучиванию сжатых стержней. В этой постановке признаком неустойчивости исходной формы упругого равновесия является существование отклоненных равновесных форм (при неизменной нагрузке), смежных с исходной. Критическая нагрузка определяется уровнем, при котором происходит разветвление форм равновесия, с превышением этого уровня устойчивыми становятся только отклоненные формы.

Такая постановка задачи не является единственно возможной, однако она позволила решить задачи устойчивости различных стержневых систем, пластин и оболочек.

Поведение оболочек при потере устойчивости существенно отличается от поведения стержней и пластин. Выпучивание оболочек сопровождается появлением как напряжений изгиба, так и дополнительных (цепных) напряжений растяжения в срединной поверхности.

Различают общую и местную (локальную) формы потери устойчивости. Общая потеря устойчивости оболочки характеризуется вовлечением в процесс выпучивания большей части ее поверхности. Форма выпучивания при этом может быть одноволновой (для пологих оболочек) или многоволновой. Местная потеря устойчивости оболочки характеризуется появлением одиночной вмятины или отдельных, локальных вмятин, расположенных далеко друг от друга, а для обшивки ребристой оболочки - образованием вмятин в панелях. Часто местная потеря устойчивости элемента оболочки предшествует общей (прощелкивание панели оболочки, подкрепленной жесткими ребрами, происходит раньше, чем деформирование всей оболочки).

Каждая форма выпучивания требует своей расчетной модели. Исследование всех форм необходимо для полной и всесторонней оценки устойчивости, несущей способности и, в конечном счете, оптимизации оболочек.

Несмотря на большое количество исследований по устойчивости оболочек, в настоящее время не всегда удается точно определить критические нагрузки даже для гладких оболочек, что объясняется сложностью процесса выпучивания. Экспериментальные данные о величинах критических нагрузок для оболочек характеризуются большим разбросом. Поэтому их необходимо подвергать тщательному анализу при наличии определенных критериев устойчивости.

В настоящее время различают устойчивость в малом, которой соответствует верхняя критическая нагрузка (максимальное значение нагрузки, предшествующее хлопку); устойчивость в большом, которой соответствует нижняя критическая нагрузка (нагрузка, до которой начальное состояние является единственным устойчивым состоянием).

Особенностью процесса выпучивания реальной сферической оболочки, подвергающейся внешнему давлению, состоит в том, что в одних случаях он сопровождается появлением одной быстр развивающейся вмятины, а в других - серии волн, расположенных по окружности. Поэтому построение приближенных решений, связанных с аппроксимацией изогнутой поверхности, требует особой тщательности. Таким образом, практически важная классическая задача о выпучивании сферической оболочки является одной из наиболее сложных задач этого круга как в теоретическом, так и в экспериментальном плане.

Задача определения верхнего критического давления для гладкой сферической оболочки, в линейной постановке, впервые рассматривалась Р.Цолли в диссертации (см. об этом в [32] ) и Л.С.Лейбензоном £'75] в 1915 - 1917 г.г. Дальнейшие исследования были проведены Цянь-Сюэ-сэнем [134 ] , Е.З.Власовым [2б] и другими авторами. Наиболее полный обзор исследований, выполненных в этой области, можно найти, например, в работах А.С.Вольмира [32] , Э.И.Григолюка и В.В.Кабанова [52] , Н.Н.Малахова [78] . -Краткие обзоры по отдельным вопросам устойчивости гладких сферических оболочек при внешнем давлении имеются в работах [[23, 32, 33, 35, 52, 53, 54, 59, 62, 63, 74, 81, 90, 97, 117, 118, 122, 128, 129, 131] .

Изучение процесса выпучивания гладких сферических оболочек проведено в работах Т.Кармана и Цянь-Сюэ-сэня [12б] , К. Фридрих-са [l20] , X. М. Муштари и Р. Г.Суркина [82] , В.И.Феодосьева [l09 , М.Емуры и И.Иошимуры £ 135] . В дальнейшем этому вопросу был посвящен ряд работ различных авторов. Так исследования А.Каплана и И.Фына £125] и X.Вейнитшке [l38] , проведенные энергетическим методом, основаны на предположении, что в начале нагружения форма прогиба является осесимметричной, а при достижении некоторого уровня нагрузки происходит волнообразование по иному закону. В соответствии с этим Функции прогиба и напряжений представлялись в виде суммы двух выражений, одно из которых соответствует симметричной, а другое несимметричной формам. При изменении характера выпучивания прогибы несимметричной формы являются малыми, поэтому для определения нагрузки, соответствующей этому моменту, использовались линеаризованные уравнения.

Первые экспериментальные исследования устойчивости гладких сферических оболочек (сегментов) под действием внешнего давления были проведены Т. Карманом и Цянь Сюэ-сэнем [*12б] . Испытывались сферические сегменты с углом раствора 18° и 180°. У полусфер потеря устойчивости заключалась в образовании вмятины с углом охвата 16°. Затем ряд опытов был проведен А.Капланом и И.Фыном £l25] , К. Клеппелем и 0. Юнгблуцом £127] , Г.А. Гениевым и Н.С.Ча-усовым [39] , которые испытывали металлические оболочки, а также

И.В.Кондриковым и А.И.Мельниковым [73] , испытавших целлулоид' ные оболочки. Экспериментальные значения критического давления в названных работах оказались в 3 - 4 раза ниже теоретического значения, определенного по известной классической формуле верх

Многочисленные опыты со сферическими сегментами были променты изготавливались из листового материала (стали, латуни, меди, алюминия) вытяжкой гидравлическим способом. Диаметр основания оболочек составлял 105 мм и 200 мм, высота подъема в центре различная. Все испытанные оболочки при нагружении их внешним давлением теряли устойчивость "хлопком" по несимметричной форме. Значение критического давления было в 3 - 3,5 раза меньше теоретического значения. Р.Уэнгом проведены экспериментальные исследования по определению влияния различных граничных условий на критическое давление сферических оболочек: горизонтальных перемещений краев, вращения краев и первоначальных краевых моментов. В. Ф.Цыбулин ["ш] исследовал устойчивость сферических оболочек переменной толщины.

Ряд опытов с тщательно изготовленными образцами дал значения критического давления близкие к верхнему теоретическому значению. Это относится к экспериментам, проведенным А.В.Пого-реловым[9о] (образцы диаметром 180 мм изготавливались методом напыления в вакууме). В.И.Еабенко и В. М.Причко {[1б] испытали жестко закрепленные образцы, полученные методом напыления меди в вакууме, критическое давление совпало с классическим значением. На 10 - 40% отличались от классического значения результаты в экспериментах М.Кренцке и Т.Кирнана, Р.Пармейтера*^ а также

J Эксперименты описаны в [~32, 107] . него критического давления £32] . ведены под руководством Р. Г.Суркина

100 и др.] . Сег

Г.Терстона и А.Пеннинга [132] (оболочки изготавливались напылением), Б.Галлетли [l2l] (пологие оболочки из алюминиевого сплава), Е.В.Чурикова и Ю.П.Шишалова [ИЗ] (стальные оболочки изготавливались методом горячей штамповки), B.C.Гудрамовича и И.А.Дисковского [5б] (сегменты изготавливались из листового материала АМГ-6М тремя способами: холодной штамповки, вытяжкой давлением воды и штамповкой взрывом). При испытаниях таких оболочек наблюдались как симметричная, так и несимметричная формы выпучивания. Отметим, что в результате экспериментального исследования устойчивости гладких оболочек установлена справедливость классической формулы для критических напряжений, показано сильное влияние начальных несовершенств и граничных условий на критическую нагрузку.

Судя по экспериментальным данным развитие процесса потери устойчивости сжатых тонкостенных сферических оболочек весьма многообразно, характер процесса образования крупных вмятин зависит от картины распределения и интенсивности возмущений. Построение универсальной математической модели, охватывающей различные варианты потери устойчивости, является пока неразрешенной задачей. С чрезвычайно большими трудностями связано и примене ние традиционных методов для исследования отдельных комбинированных вариантов выпучивания.

Использование известных методов расчета для подкрепленных оболочек основано на сведении последних к конструктивно орто-тропной схеме, при использовании которой реальная оболочка с дискретно размещенными ребрами заменяется гладкой оболочкой с приведенными жесткостными характеристиками. Такой подход прост и получил значительное распространение. Однако известно, что данная модель ребристых оболочек дает удовлетворительные результаты лишь при достаточно густой сетке ребер и при условии, что потеря устойчивости сопровождается образованием волн большой длины. Однако в последнее время интерес исследователей вызвал другой подход к расчету подкрепленных оболочек, основанный на расчетной схеме, учитывающей дискретное размещение ребер.

Принципы построения исходных соотношений теории ребристых оболочек с дискретными ребрами были высказаны С.П.Тимошенко [iC^j , В.З.Власовым [27] , А.И.Лурье [7б] . Они рассматривали ребристую оболочку как конструкцию, состоящую из собственно оболочки и подкрепляющих ее одномерных упругих элементов - тонкостенных стержней или стержней Кирхгофа-Клебша. При этом предполагая, что оболочка и ребра взаимодействуют вдоль линий пересечения нормального к срединной поверхности оболочки сечения ребра и поверхности оболочки и что перемещения оболочки и ребер вдоль линии контакта равны.

Большой вклад в дальнейшее развитие теории и методов расчета ребристых оболочек внесли Н. А.Алфутов, И.Я.Амиро, И.В.Андрианов, Д.В.Вайнберг, А.С.Вольмир, Е.С. Гребень, Э.И. Григолюк, П.А.Жилин, В. А. Зар.уцкий, В.В.Кабанов, С.Н. Кан, А.И.Маневич, 0. И. Теребушко, С.А.Тимашев и др.

Наиболее всесторонне с учетом дискретного размещения ребер изучены цилиндрические оболочки, в меньшей степени это относится к коническим оболочкам. Обзор исследований в этой области имеется в работах И.Я.Амиро и В.А.Заруцкого ["И, .

Сферические подкрепленные оболочки исследуются в небольшом количестве работ на базе теории конструктивно ортотропных оболочек и экспериментально. В этих работах исследовались, главным образом, оболочки с прямоугольной сеткой ребер. Рассмотрим содержание основных работ в этой области. В статье Б.И.Сахарова [93] исследовано напряженно-деформированное состояние сферической оболочки, подкрепленной регулярной радиально-кольцевой сеткой ребер, нагруженной внутренним или внешним давлением. Задача решена энергетическим методом, при этом пренебрегается тангенциальными перемещениями. Даются формулы для определения нормальных напряжений и рекомендации по расчету сферических днищ. При этом проверку устойчивости рекомендуется производить по формуле работы [lI9j . Такая же рекомендация содержится и в монографии С.А.Тимашева £юз] . Необходимо заметить, что эта формула для определения критического давления получена К. Бухер-том в результате решения задачи устойчивости купола с прямоугольной сеткой ребер энергетическим методом на основе конструктивно ортотропной схемы при следующих предпосылках: угол раствора вмятины мал, поэтому ее можно рассматривать как пологую оболочку; деформация выпучивания осесимметрична относительно оси, нормальной к срединной поверхности оболочки; перемещения всех элементов во время выпучивания происходят параллельно упомянутой оси; влияние сжимающих усилий в момент выпучивания не учитывается; расстояние между ребрами жесткости значительно меньше вмятины; ребра не обладают жесткостью на кручение; введены и некоторые эмпирические коэффициенты.

В.Ф.Чижов в статье [lI2] в линейной постановке исследовал устойчивость подкрепленной шпангоутами сферической оболочки при равномерном давлении и сосредоточенных силах, докритическое состояние предполагалось безмоментным.

В статье А.И.Маневича и М.Е. Каганова [80] и монографии А.И.Маневича [79] применена линейная теория конструктивно ор-тотропных оболочек для исследования устойчивости и весовой оптимизации подкрепленных оболочек, в первой из указанных работ рассматриваются пологие сферические оболочки с прямоугольной сеткой ребер. Вопрос оптимального пректирования по весу таких оболочек при внешнем давлении рассмотрен также в работах

Ю. М. Почтмана [92] , Е. Я. Кавалерчика, А.А.Кожевникова и Е.Е.Кузнецова [67] . Оптимизация параметров проведена как задача математического программирования, которая решается методом случайного поиска, анализируется влияние эксцентриситета ребер.

G.J.Simlt&es и С.Ш.ЗСсхЛлгол в статье [130] рассмотрели выпучивание эксцентрично подкрепленных пологих сферических куполов под действием внешнего давления. В статье И.В.Андрианова и Л.И.Маневича [15] асимптотическим методом исследовано напряженно-деформированное состояние оболочек вращения, подкрепленных меридиональными ребрами.

В работе С.И.Тренина и Э^С.Шимусюка [108] на основе экспериментальных исследований устойчивости подкрепленных сферических оболочек (методика испытаний и характеристики испытанных образцов не приводятся) предложена методика определения критического давления, на базе конструктивно ортотропной модели, с использованием коэффициента устойчивости. Рекомендован способ определения коэффициента устойчивости в зависимости от приведенных жесткостных характеристик.

В работе В.Ф.Зипаловой и А.С.Юдина [бб] сделано сравнение трех схем учета подкреплений при исследовании устойчивости непологого сферического купола: I) "размазывание" ребер; 2) дискретность; 3) ступенчатое изменение толщины. Исследуется купол регулярно ступенчато-переменной толщины при жестком закреплении края и равномерном внешнем давлении. При расчете по дискретной схеме выступы трактовались как шпангоуты. Подчеркнуто, что характер волнообразования у подкрепленной оболочки сохранялся таким же как у неподкрепленной (три полуволны на меридиане) и 2-я схема дает лучшие результаты при одном ребре на полуволну (первая схема дала значения, завышенные на 25% и более). Если шпангоуты широкие (ширина шпангоута составляет 20% и более от шага шпангоутов), то наиболее оправдана 3-я схема, первые две дали завышение более 20%.

CL.fZ.JeJ-tsг £ , СгиАа-77ZQjw7ictat и ШЖ.Шглс&о в статье [l24] анализируют устойчивость куполов при различных материале, схемах подкрепления и экономичности. Критические нагрузки вычислены по программе, составленной в рамках теории конструктивно ортотропных оболочек и энергетического метода по методике [П9].

В статье Е.Я.Вороненка, Ю.С.Куркина, В.Е.Спиро [34] сделана попытка учесть основные особенности неупругой устойчивости подкрепленных высоконапряженных произвольных оболочек вращения, подверженных внешнему давлению. Продольные ребра учитываются по схеме конструктивной ортотропии, а кольцевые - дискретно, оговорены условия перехода к расчетной схеме конструктивно орто-тропной оболочки.

В статье И.Я.Амиро [Ю] на базе конструктивно ортотропной теории с использованием упрощенного варианта основных уравнений линейной теории В.З.Власова, когда в пределах осесимметричной вмятины оболочка рассматривается как пологая, аналогично процедуре изложенной в [32] , исследована устойчивость сферической оболочки с прямоугольной сеткой ребер при статическом и импульсном приложении внешнего давления, дана оценка влияния параметров подкрепления на величину критической нагрузки.

Рассмотрим работы, посвященные экспериментальным исследованиям устойчивости подкрепленных сферических оболочек, которые изучены значительно хуже гладких, что связано с трудностью их изготовления и большим разнообразием возможных параметров подкрепления. Одним из' первых в этой области были работы К.Клеп-пеля, О.Юнгблуца и К.Бухерта [l03, 127, 119] , где изучены полученные гидростатической вытяжкой алюминиевые сегменты (радиус основания Z = 616 мм, высота подъема Н = 127 мм, толщина стенки ^ = 0,061 г 0,51 мм) с ребрами из алюминиевой проволоки (диаметр 0,9 т 1,7 мм), прикрепленных к оболочке эпоксидным клеем. Ребра образовывали квадратную сетку. Подкрепление привело к изменению формы потери устойчивости: если гладкие оболочки выпучивались с образованием одной вмятины в вершине оболочки, подкрепленные оболочки теряли устойчивость в виде одной эллиптической вмятины у края оболочки. Сравнение результатов эксперимента с результатами расчета, выполненного с использованием теории пологих оболочек и ортотропной схемы для описания подкрепления, показало хорошее соответствие экспериментальных и расчетных данных.

В работе [ЮЗ] экспериментально изучено влияние краевых условий на устойчивость оболочек ( Z - 518 мм, Н = 118 мм, /С = 1,4 г 2,9 мм, материал - пластмасса с модулем упругости £ = 1,7-I03 кг/см^ ), подкрепленных частой прямоугольной сеткой приклееных ребер. На результатах сравнительных экспериментов показано, что с увеличением жесткости опорного шпангоута критическое внешнее давление увеличивается. 1Меняется также и форма потери устойчивости: при слабом опорном кольце вмятины располагаются у края, а при жестком - в центре сегмента.

В работе 0.З.Волосовича и С.А.Тимашева [29] экспериментально исследованы пологие прямоугольные в плане оболочки и отмечена большая эффективность косого расположения ребер по сравнению с расположением параллельно сторонам.

Результаты экспериментального исследования устойчивости сферических оболочек с меридионально-кольцевым подкреплением изложены в работе Я. М. Зильбера и С. А. Тимашева .[б5\ . Всего было изготовлено четыре модели. Сначала на специальном кондукторе изготавливался каркас из подкрепляющих оболочку ребер. Все оболочки имели 24 меридиональных ребра и 5 кольцевых, одно из которых было опорным. Меридиональные ребра и опорное были прямоугольного сечения 7x4 мм, кольцевые (кроме опорного) - круглого сечения d - 2 мм. В местах пересечения ребра спаивались. Обшивка изготавливалась из медной или латунной фольги толщиной ^ = 0,1; 0,15; 0,2 мм. Из листового материала вырезались лепестки в форме сектора (24 лепестка для каждой оболочки) и припаивались к каркасу. К меридиональным ребрам припаивались опоры, обеспечивающие шарнирное точечное опирание оболочки. Диаметр основания оболочек = Т320 мм, высота подъема в центре Н - 282 мм, радиус кривизны R. = 900 мм. Две из четырех изготовленных оболочек испытывались на равномерное внешнее давление и две на давление, распределенное в секторе площадью 1/4 от площади поверхности оболочки. Нагружение производилось воздухом от компрессора на установке, аналогичной описанной в [*Ю4] . В процессе испытания оболочки ( /С = 0,2 мм) на равномерное внешнее давление сначала происходило образование вмятин в отсеках при нагрузке ^ = 1400 Па, при ^ = 3100 Па выпучивались, а кое-где и рвались, кольцевые ребра, образование вмятин с вовлечением меридиональных ребер происходило при ^ = 4600 Па, при этом по окружности образовалось 12 полуволн, по меридиану 2 полуволны. В результате испытаний всех четырех моделей делается вывод о том, что равномерно распределенное давление является более опасной нагрузкой.

В статьях С.Тиллмана

106, 133] проведены экспериментальные исследования устойчивости при равномерном внешнем давлении сферических куполов с некоторыми вариантами расположения ребер с целью выбора оптимального по весу подкрепления. Сами оболочки и подкрепляющая система ребер прямоугольного поперечного сечения изготавливались прессованием из полихлорвиниловых листов.

Крепление ребер жесткости и опорного металлического кольца к оболочке осуществлялось с помощью цементно-эпоксидного раствора. Всего было изготовлено 12 оболочек с одинаковой геометрией самих оболочек и включавших б вариантов схем подкрепления при условии, что суммарный вес ребер для всех оболочек одинаков. Ребра располагались с внутренней стороны, нагр.ужение производилось сжатым воздухом. Сделан вывод о наибольшей эффективности треугольного в плане подкрепления ребрами жесткости в районе края оболочки.

В статьях Р.Д.Степанова, З.В.Еоронова, В.Н.Фролова, Е.З.Воробьева 95, $б] приведены результаты экспериментального исследования устойчивости жестко защемленных по контуру гладких и подкрепленных одним или двумя меридиональными ребрами жесткости (проходящими через полюс с внутренней стороны) сферических оболочек (полусфер) под действием внешнего равномерно распределенного давления. Оболочки были изготовлены из эпоксидной смолы ЗД-5 и ЗД-б в специальных прецизионных разъемных формах с последующим отжигом и контролем начальных несовершенств, однородности и изотропности материала и остаточных напряжений. Экспериментальная установка и процесс испытаний не обсуждаются. Всего было испытано S оболочек: три оболочки гладких, с одним и двумя ребрами жесткости трапециидального поперечного сечения. Радиус срединной поверхности всех оболочек был равен 50 мм, а толщина составляла 4 мм, 3 мм и 2 мм. Отмечено, что наличие одного ребра ведет к снижению критического давления для всех испытанных типоразмеров оболочек на Ю| по отношению к гладким оболочкам соответствующих типоразмеров, а наличие двух взаимноперпендику-лярных ребер жесткости - к снижению критического давления на 20%.

Из анализа приведенных результатов исследований следует, что в постановке, учитывающей дискретное размещение ребер в настоящее время завершены в основном лишь исследования статической устойчивости ребристых цилиндрических оболочек и формулировка основных соотношений теории ребристых оболочек вращения. Отсутствуют работы, в которых бы изучалась устойчивость сферических оболочек с меридионально-кольцевым подкреплением.

Существующие методики определения величин критической нагрузки для сферических оболочек, подкрепленных ребрами, относятся, в основном, к оболочкам с прямоугольной сеткой ребер. Эти методики основаны на использовании теории конструктивно ортотропных оболочек или эмпирических зависимостей. Поэтому является актуальным исследование устойчивости сферических оболочек с меридионально-кольцевой сеткой ребер на основе теории, учитывающей дискретное размещение ребер. Большое теоретическое и практическое значение имеет разработка методов определения критических нагрузок для сферических ребристых оболочек из материалов с пониженным модулем поперечного сдвига. В связи с этим методики расчета должны учитывать деформации поперечного сдвига по уточненным те-о риям.

Целью настоящей работы является разработка приближенной методики расчета устойчивости непологих сферических оболочек, усиленных регулярной меридионально-кольцевой системой ребер, на основе теории, учитывающей как дискретное размещение ребер, так и сдвиговые деформации в обшивке и подкрепляющих ребрах.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературных источников из 138 наименований.

Основные результаты, полученные в работе, заключаются в следующем.

Разработана методика приближенного расчета на устойчивость сферических оболочек, подкрепленных регулярной системой меридиональных и кольцевых ребер под воздействием равномерного внешнего давления. Задача решена энергетическим методом в перемещениях, которые аппроксимируются при потере устойчивости в виде двойных тригонометрических рядов. Учтено дискретное размещение ребер, несимметричность их расположения относительно обшивки и сдвиговые деформации в обшивке и ребрах, что позволяет использовать разработанную методику для расчета толстых оболочек и оболочек, выполненных из материалов с низким модулем сдвига, имеющих меридионально-кольцевое подкрепление. Упрощенные формулы получены на основе одночленной аппроксимации перемещений. При этом для тонких гладких оболочек результаты совпадают с классическим решением, что свидетельствует о приемлемости выбранной аппроксимации форм выпучивания оболочек.

Исследовано влияние сдвиговых деформаций на величину критического давления сферических оболочек с меридионально-кольцевым .подкреплением. Определен круг параметров оболочек, для которых необходимо учитывать сдвиговые деформации.

На основе разработанной методики проведен анализ влияния параметров подкрепления (числа, жесткости и эксцентриситета ребер) сферических оболочек с меридионально-кольцевой сеткой ребер на параметр критической нагрузки и установлены оптимальные значения некоторых из них. Выявлены особенности форм потери устойчивости сферических оболочек с указанным подкреплением, обусловленные дискретным размещением ребер. С целью иллюстрации возможностей уточнения расчета для конкретной оболочки, когда минимальное значение критической нагрузки соответствует одному из частных случаев деформации, приведены данные, полученные с использованием многочленной аппроксимации перемещений.

Эффективность подкрепления ребристых сферических оболочек оценивается на основе коэффициента относительной эффективности, представляющего собой отношение критических нагрузок для ребристой и гладкой оболочек, имеющих одинаковые генеральные размеры и вес. Из анализа влияния параметров подкрепления на этот коэффициент установлен ряд закономерностей его изменения.

Проведено экспериментальное исследование устойчивости металлических (стальных и титановых) сферических оболочек с меридионально-кольцевым подкреплением, подверженных действию внешнего давления. Результаты изучения докритического напряженно-деформированного состояния подтвердили приемлемость принятого предположения о его однородности. Изучение форм потери устойчивости испытанных оболочек при различном числе подкрепляющих ребер подтвердило теоретические данные о существовании частных случаев деформации, обусловленных дискретным размещением ребер. Сопоставление теоретических и экспериментальных результатов исследования влияния числа, жесткости и эксцентриситета ребер на критическую нагрузку свидетельствует о их качественном совпадении.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Абовский Н.П. Ребристые оболочки (учебное пособие). Красноярск: КПИ, 1967. - 64 с.

2. Абовский Н. П., Андреев Н. П., Деруга А. П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. М. : Наука, 1978. - 288 с.

3. Абовский Н. П., Чернышов В.Н., Павлов А.С. Гибкие ребристые пологие оболочки (учебное пособие). Красноярск: КПИ, 1975. -128 с.

4. Адлер Ю.П. , Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. Программированное введение в планирование эксперимента. М.: Наука, 1971. -283 с.

5. Алфутов Н.А., Трофимов В.В. Энергетический метод расчета оболочек на устойчивость, не требующий определения начального напряженного состояния. В кн.: Тр. УП Всесоюзной конф. по теории оболочек и пластинок, 1969, М.: Наука, 1970, с. 52-57.

6. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974. - 446 с.

7. Амиро И.Я. Об устойчивости упругих систем "в малом" и "в большом". Прикл. механика, 1966, 2, № 12, с. 33-40.

8. Амиро И.Я. Исследование влияния параметров подкрепления ребристых цилиндрических оболочек на величину осевой критической нагрузки. Прикл. механика, 1969 , 5, № 2, с. 71-78.

9. Амиро И.Я. Определение критических параметров кратковременного внешнего давления для сферической оболочки. Прикл. механика, 1981, 17, № 9, с. 34-38.

10. Амиро И.Я. Об устойчивости ребристой сферической оболочки при статическом и динамическом нагружении внешним давлением. -Прикл. механика, 1981, 17, № 10, с. 51-60.

11. Амиро И.Я., Заруцкий В.А. Методы расчета оболочек. Т. 2. Теория ребристых оболочек. Киев: Наук, думка, 1980. - 368 с.

12. Амиро И.Я., Заруцкий В.А. , Поляков П.С. Экспериментальные исследования устойчивости и несущей способности ребристых цилиндрических оболочек. В кн.: Пробл. устойчивости в строит, механике, М.: Стройиздат, 1965, с. I59-T65.

13. Амиро И.Я., Заруцкий В.А. , Поляков П.С. Экспериментальное исследование несущей способности ребристых цилиндрических оболочек. Прикл. механика, 1965, I, № 4, с. 39-43.

14. Амиро И.Я., Заруцкий В.А. , Поляков П.С. Ребристые цилиндрические оболочки. Киев: Наук, думка, 1973. - 248 с.

15. Андрианов И.В., Маневич Л.И. К расчету оболочек вращения, подкрепленных меридиональными ребрами. Строит, механика и расчет сооружений, 1977, № 3, с. 16-20.

16. Еабенко В.И., Причко В.М. Потеря устойчивости сферических оболочек при внешнем давлении. Локл. АН СССР, 1981, 260, № 4, с. 831-833.

17. Еабич И.Ю., Лериглазов Л.В. Об устойчивости сферической транс-версально-изотропной оболочки. Докл. АН УССР, Т979, А, № 10, с. 805-809.

18. Бабич И.Ю. , Лериглазов Л.В. , Чернушенко И.И. О влиянии свойств материала сферической оболочки на величину критической нагрузки. Механика композитн. материалов, 1980, № 2, с. 281-285.

19. Еалабух Л.И., Колесников К.С., Зарубин B.C. Основы строительной механики ракет. М. : Высш. школа, 1969. - 494 с.

20. Еиценно К. Д., Граммель Р. Техническая динамика, т. I. М.; Л.: Гостехиздат, 1950. - 900 с.

21. Болотин В.В. Вопросы общей теории упругой устойчивости. -Прикл. матем. и механика, 1956, 20, № 5, с. 561-577.

22. Боронов В.В., Степанов Р.Д., Фролов В.Н. Экспериментальное исследование устойчивости оребренных полусферических оболочек.-Хим. машиностроение, 1978, № 10, с. 30-34.

23. Валишвили Н.В. Устойчивость сферических оболочек при конечных перемещениях. В кн.; Механика деформируемых тел и конструкций. М. : Машиностроение, 1975, с. 92-98.

24. Ванин Г.А. , Семенюк Н.П. , Емельянов Р.Ф. Устойчивость оболочек из армированных материалов. Киев: Наук, думка, 1978. -212 с.

25. Варвак А.П., Заруцкий В.А. О погрешности теории ребристых оболочек, основанной на гипотезах Кирхгофа-Лява. Прикл. механика, 1970, 6, № 6, с. 49-57.

26. Василенко А.Т., Голуб Г.П. , Григоренко Я.М., Панкратова Н.Д.

27. О влиянии сдвиговой жесткости на деформацию анизотропных оболочек. В кн. : Тр. X Всесоюзной конф. по теории оболочек и пластин, т. П, Тбилиси: Мецниереба, 1975, с. 499-508.

28. Власов В.3. Тонкостенные пространственные системы. М.: Гос-стройиздат, 1958. - 502 с.

29. Власов В.З. Избранные труды, т. I. М. : АН СССР, 1962. -528 с.

30. Волосович О.В., Тимашев С.А. Устойчивость тонких выпуклых подкрепленных оболочек. В кн.: 4-я Всесоюзная конф. по пробл. устойчивости в строит, механике. Тез. докладов. М.; 1972, с. II9-I20.

31. Вольмир А.С. Актуальные задачи устойчивости оболочек. В кн.: Тр. П Всесоюзного съезда по теор. и прикл. механике, 1964. Обз. докладов, вып. 3. М.: Наука, 1966, с. 95-115.

32. Вольмир А.С. Задачи теории устойчивости оболочек и пластинок. В кн.: Тр. 1У Всесоюзной конф. по теории оболочек и пластинок, 1966. М.: Наука, 1966, с. 977-983.

33. Вольмир А.С, Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука,1967. 984 с.

34. Ворович И.И., Минакова Н.И. Устойчивость непологого сферического купола. Прикл. матем. и механика, 1968, 32, № 2,с. 332-338.

35. Габрильянц А.Г., Феодосьев В.И. Об осесимметричных формах равновесия упругой сферической оболочки, находящейся под действием равномерно распределенного давления. Прикл. матем. и механика, 1961, 25, № 6, с. I09I-II0I.

36. Гольденвейзер А. Л. Теория упругих тонких оболочек. М. : Наука, 1976. - 511 с.

37. Горский А.Г., Адлер Ю.П. О регрессионном и дисперсионном анализе при планировании эксперимента с неравномерным дублированием опытов. Заводская лаборатория, 1971, № 3, с. 319-325.

38. Градштейн И.С. , Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1963. - 1100 с.

39. Гениев Г.А., Чаусов Н.С. Экспериментальное исследование устойчивости металлических оболочек. В кн.: Исследования по вопросам строительной механики и теории пластичности. М.: Гос-стройиздат, 1956, с. 233-267.

40. Грачев О.А. О влиянии сдвиговых деформаций на величину критического внешнего давления сферической оболочки. Прикл. механика, 1980, 16, № 8, с. II9-I22.

41. Грачев О.А. Об оптимизации проектирования сферических оболочек, подкрепленных меридионально-кольцевой сеткой ребер.

42. Грачев О.А., Пальчевский А.С. Результаты экспериментального исследования напряженно-деформированного состояния куполов с меридионально-кольцевым подкреплением. Сб.: Исследования по расчету пластин и оболочек. Ростов н/Д: 'РИСИ, 1982, с. 59-62.

43. Грачев О.А., Пальчевский А.С. Экспериментальное исследованиеустойчивости ребристых сферических оболочек при внешнем давлении. Прикл. механика, 1983, 19, № 2, с. 52-57.

44. Грачев О.А. Расчет и выбор рациональных параметров сферических оболочек с меридионально-кольцевым подкреплением. В кн.: Пути повышения надежности и ресурса систем машин. (Тез. докладов Уральской зональной конф.). Свердловск: УНЦ АН СССР, 1983, с. 59.

45. Гребень Е.С. Основные соотношения технической теории ребристых оболочек. Изв. АН СССР, Механика, 1965, № 3, с. 124-130.

46. Гребень Е.С. О деформациях и равновесии подкрепленных ребрами тонких оболочек. Изв. АН СССР, Механика тверд, тела, 1969, № 5, с. I06-II4.

47. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978. - 360 с.

48. Григолюк Э.И., Мамай В.И., Фролов А.Н. Исследование устойчивости непологих сферических оболочек при конечных перемещениях на основе различных уравнений теории оболочек. Изв. АН СССР, Механика тверд, тела, 1972, № 5, с. 154-165.

49. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек. М. : Машиностроение, 1973. - Т72 с.

50. Грунд Ф. Программирование на языке Ф0РТРАН-1У. М.: Мир, 1976. - 184 с.

51. Гудрамович B.C., Лисковский И.А. Экспериментальные исследования сферических оболочек при внешнем давлении. Строит, механика и расчет сооружений, 1980, № I, с. 45-47.

52. Гузь А.Н. Устойчивость трехмерных деформируемых тел. Киев: Наук, думка, 1971. - 275 с.

53. Гузь А.Н., Чернышенко И.С. , Шнеренко К.И. Сферические днища, ослабленные отверстиями. Киев: Наук, думка, 1970. - 324 с.

54. Гуляев В.И. , Баженов В.А., Гоцуляк Е.А. Устойчивость нелинейных механических систем. Львов: Вища школа, 1982. - 225 с.

55. Жилин П. А. Общая теория ребристых оболочек. Сб. : Прочность гидротурбин, № 8, Л.: ЦКТИ, 1968, с. 46-70.

56. Жилин П. А. Линейная теория ребристых оболочек. Изв. АН СССР, Механика тверд, тела, 1970, № 4, с. 150-162.

57. Жуков Ю. М. , Срубщик Л.С. Об асимптотическом значении верхнего критического давления непологих сферических оболочек.-Прикл. матем. и механика, 1974, 38, № 4, с. 760-765.

58. Заруцкий В.А. О влиянии числа и жесткости ребер на устойчивость ребристых цилиндрических оболочек при осевом сжатии. -Сб.: Гидроаэромеханика и теория упругости, 1971, вып. 13,с. 79-88.

59. Заруцкий В. А. , Кизима Г. А. Подкрепленные оболочки (методы и результаты исследований). В кн.: Тр. 1У Всесоюзной конф. по теории оболочек и пластин, 1973. Л.: Судостроение, 1975,с. 54-58.

60. Зильбер Я.М., Тимашев С. А. Экспериментальное исследование устойчивости куполов с радиально-кольцевым подкреплением.

61. Сб. тезисов, докладов и сообщений Ш Всесоюзной конф. "Экспериментальные исследования инженерных сооружений". /НИИСК, Уральский промстройниипроект, Свердловск; 1973, с. 16-17.

62. Зипалова В.Ф., Юдин А.С. Сравнение схем учета подкреплений при исследовании устойчивости непологого сферического купола. В кн.: Тр. X Всесоюзной конф. по теории оболочек и пластин, Кутаиси, 1975, т. I. - Тбилиси: Мецниереба, 1975, с. 610-618.

63. Кавалерчик Е.Я. , Кожевников А.А., Кузнецов Б.Е. Оптимальное проектирование подкрепленных сферических оболочек. Прикл. механика, 1973, 9, № 10, с. II9-I22.

64. Камышев В.В., Суркин Р.Г. Влияние граничных условий на критическую нагрузку сферических оболочек высокого подъема. Сб.: Тр. Семинара по теории оболочек.-Казань: Казан, физ.-техн. ин-т АН СССР, 1973, вып. 3, с. 385-396.

65. Кан С.С. Устойчивость подкрепленных оболочек. В кн.: 4-я Всесоюзная конф. по пробл. устойчивости в строит, механике. Тез. докладов. М.; 1972, с. 87-88.

66. Кармишин А.В., Лясковец В.А., Мяченков В.И. Устойчивость эксцентрично подкрепленных оболочек вращения. В кн.: Теория пластин и оболочек. М. : Наука, 1971, с. I43-I4I.

67. Кильчевский Н.А. Основы аналитической механики оболочек. -Киев: АН УССР, 1963. 354 с.

68. Колкунов Н.В. Основы расчета упругих оболочек. М. : Высш. школа, 1972. - 296 с.

69. Кондриков Л.В. , Мельников A.M. Некоторые вопросы экспериментального исследования упругой устойчивости цилиндрических и сферических оболочек. Тр. Ленинград, кораблестроит. ин-та, вып. 29, I960, с. 2II-2I9.

70. Ларченко В.Д., Мельник В.В., Срубщик Л.С., Царюк Л.Б. О верхней критической нагрузке тонких непологих сферических оболочек и влиянии на нее несовершенного края. В кн.: Теория оболочек и пластин. М.: Наука, 1973, с. 316-320.

71. Лейбензон Л.С. О применении гармонических функций к вопросу об устойчивости сферической и цилиндрической оболочек. Сб. трудов, т. I. М. : АН СССР, 1951, с. 50-85.

72. Лурье А.И. Статика тонкостенных упругих оболочек. М.; Л. : Гостехиздат, 1947. - 252 с.

73. Максименко В.Н. , Филыптинский Л. А. Упругое равновесие анизотропных оболочек, подкрепленных ребрами жесткости. Прикл. матем. и механика, 1975, 39, № 5, с. 900-908.

74. Малахов Н.Н. К вопросу практического расчета устойчивостисферических оболочек. В кн.: Тр. IX Всесоюзной конф. по теории оболочек и пластин, 1973. Аннотации докладов. Л., 1975, с. 47-48.

75. Маневич А.И. Устойчивость и оптимальное проектирование подкрепленных оболочек. Киев; Донецк: Вища школа, 1979. -152 с.

76. Маневич А.И., Каганов М.Е. Устойчивость и весовая оптимизация подкрепленных сферических оболочек при внешнем давлении» -Прикл. механика, 1973, 9, № I, с. 20-26.

77. Муштари X.М. К теории устойчивости сферической оболочки под действием внешнего давления. Прикл. матем. и механика, 1955, 19, № 2, с. 251-254.

78. Муштари X.М., Суркин Р.Г. О нелинейной теории устойчивости упругого равновесия сферической оболочки при действии равномерно распределенного внешнего давления. Прикл. матем. и механика, 1950, 14, № 6, с. 573-586.

79. Налимов В.В., Чернова Н.А. Статистические методы планирования экстремальных экспериментов. М.: Наука, 1965. - 340 с.

80. Немировский Ю.В., Шкутин Л. И. Моделирование и расчет на устойчивость сетчатых и подкрепленных оболочек. В кн.: 4-я Всесоюзная конф. по пробл. устойчивости в строит, механике. Тез. . докладов, М.; 1972, с. 135-136.

81. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л. :Судпромгиз, 1962.432 с.

82. Огибалов П. М., Колтунов М.А. Оболочки и пластины. М.: Моск. ун-т, 1969. - 695 с.

83. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. М.: Наука, 1978. - 384 с.

84. Пелех Б.Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. -Киев: Наук, думка, 1973. 248 с. .

85. Пелех Б.Л. Обобщенная теория оболочек. Львов: Вища школа,1. Т978. 160 с.

86. Погорелов А.В. Геометрическая теория устойчивости оболочек. -М.: Наука, 1966. 296 с.

87. Погорелов А.В. Исследование потери устойчивости сферической оболочки под внешним давлением. Докл. АН СССР, 1971, 200, № 4, с. 805-808.

88. Почтман Ю.М. К вопросу об оптимальном проектировании подкрепленных сферических оболочек. Изв. высш. учебн. заведений. Строительство и архитектура, 1976, № 3, с. 40-44.

89. Сахаров Б.И. Расчет тонких подкрепленных сферических оболочек, нагруженных внутренним или внешним равномерным давлением. -Тр. Моск. авиац. ин-та, 1971, вып. 180, с. I5I-I72.

90. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций. /Кармишин А.В., Лясковец В.А., Мяченков В.И., Фролов А.Н. -М.: Машиностроение, 1975. 376 с.

91. Степанов Р.Д., Еоронов В.В. Исследование устойчивости полусферических оболочек с меридиональным ребром жесткости. -Хим. машиностроение, 1978, № 10, с. 25-29.

92. Степанов Р.Д., Фролов В.Н., Воробьев Е.В., Еоронов В.В. Экспериментальное исследование устойчивости гладких и ребристых сферических оболочек с использованием метода фотоупругости.

93. В кн.: Материалы 8-й Всесоюзной конф. по методу фотоупругости, Таллин, 1979, т. 4. Таллин: 1979, с. I9I-I93.

94. Суркин Р.Г. К вопросу о потере устойчивости сферической оболочки при внешнем равномерно распределенном давлении. Изв. Казан, филиала АН СССР, 1956, № 10, с. 51-56.

95. Суркин Р. Г., Бакирова А. 3., Коргов А. А. Экспериментальное исследование устойчивости вытянутых оболочек вращения при внешнем равномерном давлении. В кн.: Тр. XI Всесоюзной конф. теории оболочек и пластин. Тез. докладов. М.: Наука, 1977, . с. 60.

96. Суркин Р.Г., Степанов С.Г. Экспериментальное исследование устойчивости сферических сегментов при внешнем равномерно распределенном давлении. В кн.: Теория пластин и оболочек. Киев: АН УССР, 1962, с.311-313.

97. Сурк1н Р.Г., Степанов С.Г. Експер1ментальне досл1дження ст1й-koctI сферичних сегмент1в при зовн1шньому р1вном1рно розпод1ленному тиску. Прикл. механ1ка, 1963, 9, № 6, с. 649-658.

98. Теория оболочек с учетом поперечного сдвига. Под ред. К. 3. Га-лимова. Казань: Казан, ун-т, 1977. - 212 с.

99. Теребушко О.И. Устойчивость подкрепленных и анизотропных оболочек. В кн.: Тр. УП Всесоюзной конф. по теории оболочек и пластинок. М.: Наука, 1970, с. 884-897.

100. Тимашев С.А. Устойчивость подкрепленных оболочек. М.: Стройиздат, 1974. - 256 с.

101. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем. М.; Л.: Гостех-издат, 1946. - 532 с.

102. Тимошенко С,П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. -М.: Физматгиз, 1963. 616 с.

103. Тонкостенные оболочечные конструкции. Теория, эксперимент и проектирование. Перевод с англ. Под ред. Э.И. Григолюка. М.: Машиностроение, 1980. - 607 с.

104. Тренин С.И., Шимусюк Э.С. Устойчивость подкрепленных сферических оболочек. В кн.: Теория оболочек и пластин. М.: Наука, 1973, с. 348-351.

105. Феодосьев В.И. Об устойчивости сферической оболочки, находящейся под действием внешнего равномерно распределенного давления.-Прикл. матем. и механика, 1954, 18, №1, с.35-42.

106. ПО. Хитров В.Н. Упругое равновесие ребристых оболочек. -Прикл. механика, 1971, 7, № 4, с. II0-II5.

107. Чижов В.Ф. Устойчивость сферической оболочки при существенно неоднородном напряженном состоянии. В кн. : 4-я Всесоюзная конф. по пробл. устойчивости в строит, механике. Тез. докладов. М. : 1972, с. 106.

108. Чуриков В.В., Шишалов Ю. П. Учет влияния начальных несовершенств на устойчивость штампованных сферических оболочек.-Строит, механика и расчет сооружений, 1978, № б, с. 28-31.

109. Шиманский Ю.Н. Строительная механика подводных лодок. -Л.: Судпромгиз, 1948. 230 с.

110. Юдин А.С. Устойчивость сферической оболочки ступенчато переменной жесткости. В кн.: Физ.-матем. исследования. Ростов н/Д: Ростов, ун-т, 1972, с. 46-51.

111. Batterman S.C., Singer J. Rigid body instabilities and the buckling of spherical shells under external pressure. -J. Franklin Inst. 1974, 298, N2, p. 125-151.

112. Buchert К.P. Zur Stabilitat grosser, doppelt gekrummter und versteifter schalen. Stahlbau, 19651 34-, nN 2,p. 55-62.

113. Friedrichs K.O. On the minimum load, for spherical shells. -Th. Karman anr. volum, 1941, p. 258 272.

114. Galletly G.D. On the buckling of shallow spherical caps subjected, to uniform external pressure. AIAA J., 1976, 14, N 9, p. 1331-1535.

115. Hill J.M. Critical pressures for the buckling of thick-walled. spherical shells under uniform external pressure. -Quart. J. Mech. and Appl. Math. 1976, 29, N 2, p. 179-196.

116. Hutchinson J. W. Imperfection Sensitivity of externally pressurized spherical shells. J. of Appl. Ivlech., 1967, N 3, P. 49-55.

117. Jefts A.E.; Gyha-Majumdar S., Wanchoo M.K. Instability behavior or stiffened dome liners under construction condition. Trans. 4th Int. Conf. Struct. Mech. React. Technol., San Francisco, Calif., 1977» vol. 3 (a). Amsterdam, e.a. 1977, j.5.10, p. 1-11.

118. Kaplan A., Fung Y.C. A nonlinear theory of bending and buckling of thin elastic shallow Spherical Shells. Nat. Advic. Comm. Aeronaut. Techn. Notes, 3212, 1954, p. 58.

119. Karman Т., Tsien H.S. The buckling of spherical shells on external pressure. J. Aeron. Sci. 1939/12, 7, n 2;p. 43-50.

120. Kloppel K., Jungbluth 0. Beitrag zum Durchschlagproblem dunnwandiger Kugelschalen. Versuche und Bemessungsformein.

121. Stahlbau, 1953, 22, N 6, p. 121-133.

122. Murray F.J., Wright F.W. The buckling of thin spherical shells. J. Aero/Space Sci.; 1961, 28, N 3, p. 223-236.

123. Rentrop P. Stability curves for thin spherical caps and. hemispheres. Ing. Arch., 1979, 48, N 3, p. 197-203.

124. Simitses G.J. , Blackmon C.Ivl. Snap through buckling of eccentrically stiffened shallow spherical caps. Int. J. Solids and Struct., 1975, 11, N 9, p. 1055-1040.

125. Thurston G.A. A numerical solution of the nonlinear aanations for axisymmetric bending of shallow spherical shells. Trans. ASME, 1961, 28, N 4, p. 557-562.

126. Tsien Hsue-Shen. A theory for the buckling of thin shells.-J. of the Aeronautical Sciences. 1942/8, 3, N 10, p. 373-584.

127. Uemura M., Yoshimura Y. The buckling of spherical shells by external pressure. Proc. of the 2nd Japen Nat. Gon-gress for Appl. Mech. 1952, p. 145-148.

128. Wang R.L., Rodriquez-Agrait L., Litle V/.A. Effect of boundary conditions of shells buckling. J. Engng. Mech. Div. Proc. Amer. Soc. Civil Engrs. 1966, 92, N 6, p. 101-116.

129. Wang R.L. Boundary distrubance and pressure rabe on the buckling of Spherical caps. AIAA J., 1968, 6, N 11, p. 2192-2193.

130. Weinitschke H. On the stability problem for shallow shells.-J. Math, and Phys., 1960, 38, N p. 209-231.