Устойчивость и колебания подкрепленных и артифицированных оболочек вращения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

ЮДИН Сергей Анатольевич

УСТОЙЧИВОСТЬ И КОЛЕБАНИЯ ПОДКРЕПЛЕННЫХ И АРТИФИЦИРОВАННЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ

01 02 04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ООЗОБОЭБЭ

Ростов-на-Дону - 2007

003060959

Работа выполнена в НИИ механики и прикладной математики им Воровича И И ФГОУ ВПО «Южный федеральный университет»

Научный руководитель кандидат физико-математических наук,

старший научный сотрудник Сафроненко Владимир Георгиевич

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Зубов Леонид Михайлович

кандидат физико-математических наук, доцент Дроздов Александр Юрьевич

Ведущая организация Саратовский государственный университет

Защита состоится 28 июня 2007г в 16 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212 208 06 по физико-математическим наукам в Южном федеральном университете по адресу 344090, г Ростов-на-Дону, ул Мильчакова, 8а, факультет математики, механики и компьютерных наук, ауд 211

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ЮФУ по адресу 344006, г Ростов-на-Дону, ул Пушкинская, 148

Автореферат разослан 25 мая 2007 г

Ученый секретарь «

диссертационного совета Боев Н В

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Тонкостенные оболочечные конструкции имеют широкое применение в современной технике. Целесообразность применения оболочек во многом связана с возможностью эффективного решения проблемы минимизации массы. Наиболее полно этим требованиям отвечают конструктивно-анизотропные (КА) оболочки -подкрепленные ребрами жесткости, слоистые, композиционные

Для анализа КА-оболочек развиваются как уточненные по сравнению с классической теорией Кирхгофа-Лява модели, так и упрощенные, направленные на получение аналитических решений в частных случаях геометрии оболочек Такие возможности имеются для цилиндрических конструктивно-ортотропных (КО) оболочек Погрешность, вносимая дополнительными гипотезами упрощенных моделей, обычно неизвестна Поэтому актуальны оценки применимости упрощенных решений, а также построение эффективных решений задач о вынужденных колебаниях КО-оболочек, позволяющих оперативно анализировать амплитудно-частотные характеристики в задачах вибродемпфирования.

Одной из важных сфер применения оболочек являются устройства для обеспечения безопасности емкостей и оборудования, нагруженных давлением жидкостей или газообразных сред Присоединяемые, к основной конструкции оболочки специального типа используются в качестве разрушаемых элементов, сбрасывающих давление при заданном уровне в, случае аварийного его возрастания К элементам таких устройств относятся хлопающие предохранительные мембраны (ХПМ), разрушаемые на основе эффекта потери устойчивости.

Целями работы ставились- анализ упрощенной математической модели, использующей дополнительные кинематические гипотезы, в задачах устойчивости и собственных колебаний цилиндрических конструктивно-ортотропных оболочек, реализация эффективного аналитического решения вынужденных колебаний оболочек с локальными виброгасителями на основе общей теории оболочек; решение нелинейных задач пластического формоизменения оболочек вращения применительно к задачам изготовления артифицированных ХПМ, исследование устойчивости артифицированных ХПМ, сравнение теоретических и экспериментальных результатов

Научная новизна работы заключается в следующих основных результатах, полученных автором.

1 Оценены погрешности упрощенной теории конструктивно-анизотропных цилиндрических оболочек в задачах устойчивости и собственных колебаний

2. Реализованы эффективные аналитические решения задач вынужденных колебаний цилиндрической конструктивно-ортотропной оболочки и алгоритмы

\

построения амплитудно-частотных характеристик, учитывающие рассеяние энергии и демпфирование колебаний виброизолированными массами.

3. Разработана математическая модель больших деформаций физически-нелинейных оболочек вращения, учитывающая большие перемещения и углы ' поворота и обжатие нормали На её основе получены аналитические решения и условия пластической формовки сферического купола из пластины

4 Построено аналитическое решение задачи пластической формовки куполообразной оболочки в классе эллипсоидов вращения. Определена степень влияния артификации на геометрию оболочки Получено согласование теории и эксперимента.

5. Выполнено исследование устойчивости артифицированных хлопающих предохранительных мембран, дан диализ результатов теорий и эксперимента.

Практическая значимость работы состоит в возможности использования разработанных моделей, методов и реализованных комплексов программ в анализе виброактивности и эффективности демпфирования широко применяемых подкрепленных цилиндрических оболочек; в возможности приложения моделей и найденных решений пластической формовки артифицированных оболочек для создания предохранительных мембранных устройств высокой точности срабатывания

Достоверность результатов обеспечивается' -сравнением вариантов общей и упрощенной теорий конструктивно-ортотропных оболочек, согласующихся в областях их применимости; совпадением резонансных частот вынужденных колебаний с результатами решений задач на собственные колебания, применением методов нелинейной теории деформаций я пластичности к решению задач имитационного моделирования технологии изготовления артифицированных хлопающих мембран; согласованием теоретических и экспериментальных результатов

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на VII-X Международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (г Ростов-на-Дону, 2001-2006г г ), Ш Всероссийской конференции по теории упругости с международным участием (г Ростов-на-Дону - Азов, 2004г), 11-й Международной конференции «Математические модели физических процессов» (г. Таганрог, 2005г.), на Международной научно-технической конференции «Математические модели для имитации физических процессов» (ММА-2006, г Таганрог), на семинарах отдела тонкостенных конструкций НИИ механики и прикладной математики и кафедры теории упругости Южного федерального университета

Публикации. Основное содержание и результаты диссертации опубликованы в 14 работах, список которых приведен в конце автореферата

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы Общий объем работы 136 страниц, включая список литературы из 158 наименований, 48 рисунков, 9 таблиц

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации Характеризуется широта применения оболочек в технике, вклад ведущих ученых-механиков в развитие теории оболочек, многообразие моделей оболочек со сложными конструктивными свойствами Дается обзор ключевых публикаций, связанных с тематикой диссертации, характеризуется структура работы Отмечается, что линейная теория оболочек, сформированная в своей основе А Лявом и Г Киргофом, получила развитие в трудах В 3 Власова, АЛ Гольденвейзера, А И Лурье, В.В.Новожилова, С.П Тимошенко, КФ. Черныха и ряда других ученых. Основы геометрически-нелинейной теории и методов решения нелинейных задач заложены в трудах И Г Бубнова и П Ф Папковича Значительный вклад в этой области внесли Валишвили Н В, В 3. Власов, А.С Вольмир, И И Ворович, К 3 Галимов, Э И Григолюк, Л М Зубов, X М Муштари, В В Новожилов, Л Донелл, В Т Койтер, Э. Рейсснер и другие Существенный вклад в развитие теории и методов расчета прочности, устойчивости и динамики слоистых и подкрепленных оболочек и пластин внесли С А Амбарцумян, И Я. Амиро, В В Болотин, В В. Васильев, В.А Заруцкий, С.Н. Кан, В В Кабанов, В И Королев, Маневич А И, ЮН. Новичков, И Ф Образцов, О.И. Теребушко, Ю А. Устинов, А С Юдин, М. Барух, И Зингер, М Стейн и другие. Активное применение и эффективное развитие численно-аналитических методов, алгоритмов и программного обеспечения выполнялись в работах А.В Кармишина, В И Мяченкова, И В Григорьева, в работах украинской школы ЯМ Григоренко, в Институте механики и прикладной математики им. Воровича И И Южного федерального университета

В главе (разделе) 1 представлены уравнения для исследования колебаний и устойчивости конструктивно-анизотропных оболочек Уравнения записаны в ортогональных криволинейных координатах Рассматриваются тонкие оболочки на основе гипотез Кирхгофа-Лява В качестве исходных взяты уравнения квадратичного приближения Уравнения для гармонических колебаний и устойчивости конструктивно-анизотропных оболочек вращения в окрестности осесимметричного статического напряженно-деформированного состояния следуют из квадратичной теории на основе разбиения состояния на две составляющие и соответствующей линеаризации Выполнено отделение окружной координаты посредством рядов, осуществлен переход к безразмерным величинам Сформирована разрешающая система обыкновенных дифференциальных уравнений и краевые условия. Представлены геометрически-нелинейные уравнения осесимметричной деформации

Глава 2 посвящена исследованиям устойчивости, собственных и вынужденных колебаний интегрально подкрепленных цилиндрических

оболочек, В этом случае при построении уравнений колебаний и устойчивости оболочек применяется схема конструктивной ортотропии.

Подкрепленным оболочкам присущи эффекты, связанные с влиянием величины и знака эксцентриситетов подкрепляющих ребер Этот эффект был обнаружен Ван-дер-Нейтом и подтвержден в ряде теоретических и экспериментальных работ.

Задачи устойчивости для подкрепленных цилиндрических оболочек рассмотрены в подразделе 2.1 диссертации в аспектах анализа применимости одного из вариантов упрощенной, теории. Он широко применялся в работах С Н Кана и др [*Устойчивость оболочек / Кан СЛ., Бырсан К.Е., Алифанова О А. и др - Харьков Изд-во Харьковского ун-та, 1970 156с ]. В этом подходе для цилиндрических оболочек, теряющих устойчивость по неосесимметричным формам, наряду с предположениями общей теории оболочек (гипотез Кирхгофа) приняты две дополнительные гипотезы, а) нерастяжимость нейтральных слоев при изгибе конструкции в окружном направлении, б) отсутствие сдвигов в срединной поверхности обшивки Применяемые дополнительные гипотезы позволяют понижать вдвое порядок разрешающих уравнений и получать компактные формулы для критических на1рузок

Сравнение выполнено для регулярно подкрепленных тонкостенных круговых цилиндрических оболочек с входными параметрами из работы [*] при безмоментном докритическом состоянии. Рассмотрено шарнирное опирание торцов (условия Навье), нагрузки осевого сжатия и внешнего бокового равномерного давления.

Условиям свободного опирания соответствуют следующие формы выпучивания ип=цпксо5(тх), у„=упк81п(тх), \уп=ТУпк8т(тх), где т=кж!1/Ь, к=1, 2, 3, , И - радиус срединной поверхности обшивки оболочки, Ь - длина оболочки При использовании общей теории задача приводится к системе однородных линейных алгебраических уравнений относительно Х!=ипк, х2=упк,

аиXI + а12х2 + аззХз=0, а21Х1 + (а22+ е*р)х2+ (агз+ е,пр)х3=Ю,

а31 хх+ (а32 + ё, и р) х2 + [а33 + е* (п2р+ш2 Т)] Х1= 0, (1)

где:

ац = -(Впт2+Вз3п2), аи = тп[В,2+Взз+е.(Л,2+Азз)],

а« = {В12+Е4Аит2+п2(А12+2А33)]},

агг = -т2[Взз+Е»(2Аз3+В33)]-112[В22+е»(2А22+В22)],

а23 = -п[В22+е*(т2А12+п2А22)]-£*п{2т2(Азз+е,Взз)+[А22+£»(ш2В12+п2022)]}, а3з = -В22-2Е,(А12т2+А22Х12)-2(£»тп)2(2Взз+В12)-

' -еДОцт'+ЦиП4); = 2,3. (2)

Система симметрична и имеет нетривиальное решение при обращении в нуль ее определителя Это дает характеристические уравнения относительно

параметров нагрузки, При Т=0 из него следует решение для критических значений внешнего бокового давления При раскрытии определителя квадратичные члены относительно р приводятся к нулю в силу симметрии матрицы системы В результате для критического давления получается формула: р0 = С/Кр, где С =

Кр = е* [аиазз-а1з2+2п(а12а1з-аца2з)+п2(аиа22-ах22)]. Для критических нагрузок осевого сжатия формула имеет вид- Т0=С/Кт, где- Кт = Е*ш2(а1г2-аца22) Величины р0 и Т0 минимизируются по т и п.

Выяснено, что погрешность приближенных формул зависит от типа нагрузки Для внешнего бокового давления она составляет около 3%. Для нагрузки осевого сжатия формулы приближенной теории имеют сравнительно большую погрешность (Ю..20%)

В подразделе 2 2 выполнены сравнения результатов расчетов собственных (свободных) колебаний по общей и упрощенной моделям Поиск частот свободных колебаний сводится к задачам на собственные значения. В общей теории задача сводится к поиску корней бикубического уравнения при учете нормальных и тангенциальных сил инерции (к,=1).

ап + к з 11 а^з

"12 а22 а23

= 0, (3)

а1з а23 а зз

где ач определены формулами (2), 0=шК/с, с={Е/[р(1-у2)]}1/2 При крО, что имеет место в упрощенном подходе [*], уравнение линейно относительно квадрата частотного параметра

Сравнение приближенной теории с общей по наименьшим собственным частотам дает расхождение около 12% без учета тангенциальной инерции и около 20% с их учетом в общей теории

Разложением амплитуд перемещений по собственным формам колебаний строились решения задач о вынужденных колебаниях Этот подход, реализованный подразделе 2 3, позволяет аналитически строить амплитудно-частотные характеристики

В качестве вынуждающей колебания нагрузки рассмотрен вариант нагрузки, равномерно распределенной по локальной площадке, которая ограничена парами координатных линий Решения для компонент перемещений представляются двойными рядами по продольной и окружной координатам, коэффициенты которых зависят от параметра частоты £3=юК*/с*.

М М N

и(х, в, £2)= 2 ию(£2)со8(тх)+ 2 2 ц1ш(0)со8(тх) сс«(пв),

к-1 к»1п=4

М N

у(х, 9,0)= 2 2 ук„(£2)8ш(тх) 8т(п0),

к=1п-1

М М N

6,0)= 2 w^o(Q)sin(mx)+ £ 2 \У|сП(Й)8т(тх) совГпв). (4)

к=1 к=1 п=1

Коэффициенты разложений являются решениями линейной алгебраической системы В(0) где

ЧДО) 0

u(Q)= vta(û) > q= 0

wta(£2) Якп.

, B(Q)=Â+piQ2-Ê,

(5)

ukr,(0)sKu(k,n,Q) = -qlm-vfc„(£2)=Kv(k,n,Q) - qkn ■

wk„(Q)a Kw (k, n, £2) = -qkn ■

(6) (7)

Ê - единичная матрица, Â=||a,J| - квадратная матрица, элементы которой вычисляются через коэффициенты жесткостей оболочки и волновые параметры по формулам (2). Соответствующее решение системы записывается в аналитической форме-

bb12(k,n) bb23(k,n)-bb13(k,n) bb22(k,n,P) Det(k,n,Q)

bbu(k, a, Q) • bb23 (k, n) - bb13 (k, n) • bb21(k, n) Det(k,n,Q)

bbu(k, n, Q) • bb22(k, n, Q) - bb12(k,n) • bb21(k, n) Det(k,n,Q)

„ ,, „, bb13(k,0) „ -bbn(k,0,Q)

ksi,. ,M, n = 1,...,N;

где.

b11(k,n,Q) = a11(m,n)+pu1£22, b12(k,n) = a12(m,n), b13(k,n) = a13(m,n), b21(k,n) = a21(m,n), b22(k,n,Q) = a22(m,n)+pUjQ2, b23(k,n) = a23(m,n), b31(k,n) = a31(m,n), b32(k,n) = a32(m,n), b33(k,n,Q) = a33(m,n)+pu1Q2, (8) Det(k,n,Q) = b„(k,n,Q) b22(k,n,!Q)- b33(k,n,Q)-bn(k,n,Q> b23(k,n> b32(k,n) --b2x(k,n) bbi2(k,n)- b33(k,n,Q)+b21(k,n) Ь13(к,п)-Ьз2(к,п)+

+ b3, (k,n)-b 12(к,п)Ь2з(к,п)-Ьз1 (k,n) b13(k,ti)-b22(k,n,Q) (9)

Det(k,n,i2) - определитель матрицы B(Û), Deto(k, Q)= Det (k,0,Q)

Здесь компоненты матрицы A рассматриваются как функции волновых чисел в соответствии с (1)

Реализация данного решения в программе позволяет эффективно строить амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) как функции частоты, а также легко идентифицировать соответствующие резонансные формы колебаний Дня оболочек длиной L~п на рис.1 показано влияние коэффициента потерь г) на АЧХ входных податливостей - амплитуд нормального перемещения под силой Сравнивая АЧХ для г|=0.015, 0.03 и 0.05, можно видеть оседание пиков амплитуды с ростом внутренних потерь

В подразделе 2 4 работы представлены также решения задач вынужденных колебаний в аспектах их демпфирования Это направление актуально в ряде отраслей современной техники, в частности, в строительстве, транспортном и энергетическом машиностроении, приборостроении

■!20 240 160 80

0

0 05 0 08 011 0 14 0 17 О ---11 = 0015 - »1 = 003 ---я = 005,

Рис 1

Выведены пять вариантов переходных функций для вибрационной силы, действующей через систему масс с упруговязкйми связями Сравнение рассмотренных вариантов виброзащиты наглядно демонстрируется с помощью характеристики эффективности Э=10 ^^пДу,,) Эффективность измеряется в относительных единицах - децибелах Ординаты Э выше нуля определяют положительный эффект виброгашения, ниже - отрицательный Сводный график эффективности представлен на рис 2

24

16 8 0

-8 -16

0 01 0 05 0 09 0 13 0 17 Й

1 и

ч >1 п=3м 11

• а •'а! 1 п=4 • Ц п=2

И »А у* «К IV

/'V \ п=5 ' »

Рис 2

9

Номера кривых соответствуют номерам вариантов. 1 - эффективность Вибродемпфирования (ЭВД) жестко прикрепленной массы, 2 - ЭВД виброизолированной массы, 3 - ЭВД динамического гасителя колебаний; 4 -ЭВД двухкаскадной виброизоляции, 5 - ЭВД виброизолированной массы с ДГК.

Видно, что вариант 3 эффективен для подавления конкретных резонансных частот В относительно широких диапазонах частот наиболее эффективны варианты 2, 4, 5 При этом вариант 5 предпочтителен для переходных режимов, поскольку не проявляет виброактивности на собственных (парциальных) резонансных частотах присоединенной системы

Глава 3 работы посвящена вопросам нелинейного деформирования и пластической формовки оболочек Строятся математические модели обеспечения эффективной формы оболочек вращения под воздействием осесимметричных нагрузок По-существу решается задача имитационного моделирования технологии изготовления методом пластической формовки куполообразной оболочки, имеющей заданную критическую нагрузку потери устойчивости от внешнего гидростатического давления В теоретическом и прикладном аспектах эти задачи актуальны, интересны и практически значимы для класса хлопающих предохранительных мембран (ХПМ)

В настоящее время для прогнозирования критических нагрузок применяются преимущественно экспериментальные методы неразрушающего контроля Наиболее удобен здесь метод анализа кривых нагружения «давление-перемещение» для аппаратной экстраполяции критических нагрузок

В Отделе тонкостенных конструкций (ОТК) НИИМ и ПМ разработаны способы получения мембран, удовлетворяющие жестким требованиям к точности и стабильности срабатывания Они основаны на применении концепции и технологий артификации. Термин «артификация» (от artificial (англ ) - искусственный) в техническом смысле подразумевает изготовление и доводку хлопающих предохранительных мембран (ХПМ) с целью повышения точности давления срабатывания и его стабильности в процессе эксплуатации С теоретической точки зрения с позиций чувствительности оболочек к начальным технологическим несовершенствам артификацию можно трактовать как искусственно вносимые «несовершенства», которые перекрывают влияние случайных и стабилизуют критическую нагрузку и форму потери устойчивости Применение для решения этой задачи численого алгоритма на основе метода пристрелки в сочетании с итерационным процессом оказалось затруднительным В диссертации удалось построить аналитические решения задачи формовки артифицированных оболочек Практическая значимость проведенных исследований состоит в применимости построенных решений к задачам, как этапа формовки, так и этапа определения критической нагрузки методами математического моделирования Поскольку математические модели реализованы в безразмерном виде, это позволяет проводить параметрические

исследования по выбору геометрических параметров мембран, материалов, давлений вытяжки, уровней артифидирующих нагрузок с последующим переносом результатов на натуру по критериям подобия.

В подразделе 3 1 работы представлены уравнения для моделирования больших осесимметричных деформаций изотропных оболочек вращения Дано обобщение кинематики конечных деформаций с болышши перемещениями и углами поворота Э Рейсснера на случай больших относительных удлинений с учетом поперечного обжатия

£j= =(£,+<;К,), К1=[Ф<>'-(' +Ез)Ф']/«о, е^^'ктФ+и'совФУао+сс^Ф-Фо)-!, 4=(е2+'Ск2), Ё2=иУг0, к2=[8тФ0-(1+бз)8шФ]/г0, у=уД1+£1)+£е37[а0(1+Е1)],

Y0=(w'cos®-u'sm®)/a0--sin^^0) (10)

Здесь Ф0 и Ф - углы наклона материальной нормали к оси вращения до и после деформирования, К| и к2 характеристики изменения главных кривизн, 8k=l+ek, k=l, 2,3 Для пластинки в исходном состоянии угол наклона нормали к оси симметрии Ф„=0 Угол поперечного сдвига у полагается малым и далее зануляется

В выражении виртуальной работы внутренних сил для исключения явного присутствия поперечного обжатия применено условие несжимаемости, что дает

Цо =-//{Ni°S£i +Щ&2 +Q°§Yo +м1°5к1 + M^8K2}a(,rod4d0, (И) а

Здесь введены обобщенные усилия:

Ц = NJ + —— (KjM° + К2М°2), N°2 =№2+ -i-(КХМ? + К2М(2) (12)

1 + £1 1 + Е2

Уравнения равновесия в усилиях и моментах и краевые условия следуют из принципа виртуальных перемещений

(r0V0)' + a0r0p° =0, (r0H°)'-a0N£ + a0r0p° =0,

(r0 M? )' - o0M° cos Ф + a0r0 [y0 N ? - (1 + 6l )Q° ] = 0, (13)

(r0V°8w + r0H°8u - = 0, (14)

V° = N° smФ + Q° cos Ф, H° = N" cos Ф - Q° sin Ф,

Pw-(l + SiXl + e2)Pw} Pu=(l + ^)(l + e2)Pu- (15)

Здесь V" и H° имеют смысл внутренних усилий, ориентированных, соответственно, вертикально (вдоль оси симметрии) и горизонтально (по радиусу цилиндрической системы координат)

Для задания свойств материала привлекается степенная аппроксимация физической зависимости о(ё) между интенсивностью напряжений а и интенсивностью истинных (логарифмических) деформаций ё Константы

11

аппроксимации определяются через координаты двух точек диаграммы. (ог, £[) и (о», вв) При переходе к безразмерным величинам' в разрешающих уравнениях диаграмма переводится на единичную плоскость Основные нелинейные физические соотношения получены на основе определяющих уравнений Дэвиса-Надаи (ДН), связывающих напряжения и логарифмические относительные удлинения Выполнено также построение определяющих соотношений на основе обобщения полулинейного материала Уточненные варианты соотношений учитывают наведенную пластической деформацией неоднородность свойств материала по толщине оболочки.

В общем случае уравнения моделируют формоизменения оболочек вращения Важный для приложений вариант деформации круглой пластины, представленный в подразделе 3 2, имеет вид (в безразмерной форме):

% =аД8162рсо8Уб, У2' = «„N2 - Й0^5152 эш У6;

У/= а0М5со8У6+~аД510о,

У4 ^а^ятУс; У5 »»„(б^совУб-1), У6 =а0Кг;

где

Ух = Т°, У2 - У3 = М°, У4 = #,У5 - и, % = Ф

В самом простом случае определяющие соотношения типа безразмерной форме для вытяжки пластинки имеют вид.

-(^/еЛВД+О^), ^=(к0/,б*)В2(в2 +0.56,), Й? = -кД^ +0.5К2), М° = -кД(к2 +0.5К]),

где.

=1п(1+ел), К, =1^/5^=1,2; к^Ов/Е*; §!=§/§!, Вг = В/52, Ох =5з82В, &>=5¡ф, В=(4/3)Л(1)К0, 0 = (1/9)Л(?)^.

Здесь Ь0 - исходная толщина пластинки, Л(е) - секущий модуль.

Уравнения применены для построения аналитического решения задачи формовки сферического купола в подразделе 3.3. Решение построено полуобратным методом и базируется на адекватной аппроксимации распределения толщины по меридиану Вид этой зависимости установлен на основании анализа физических экспериментов по процессу формовки и проведения вычислительных экспериментов. В частности, на основе этого решения получена формула зависимости утонения вершины купола от высоты подъема \у0 , по которой можно оценить предельную высоту вытяжки. Формула имеет вид

(16)

(17) ДН в

(18)

(19)

(20)

„ 0.5 1р2К(#0) агс8ш(К(у/0))-1-агс81п(К(уу0)) д/к(#0)2-1 Ьоо(™о) = Ьо------—--

Л($0) - агс&т(К(#0)) -1

где К(^ = 2#0/(1 + у^)? К^о)»^)-1 (22)

График зависимости (21) показан на рис.3 Предельная высота подъема, при которой толщина в апексе обращается в нуль, составляет 0.74 По-существу это чисто геометрическая оценка, основанная на сохранении объемов исходной пластинки и получаемого купола Экспериментальный результат работы, в которой вытяжка доводилась до разрыва, соответствует величине 0.76

Рис 3

Более общее аналитическое решение задачи формовки артифицированной хлопающей мембраны сфероидальной формы изложено в подразделе 3.4 В процедуре построения решений для сферического и эллипсоидального куполов активно используется условие несжимаемости (УН) Его применение для оболочки в целом позволяет получить распределение поперечной деформации е3 Применение УН к лагранжево-эквивалентным произвольным частям купола и исходной пластинки дает функциональное уравнение для радиальных перемещений В его решении задействуется быстро сходящийся итерационный процесс, из которого определяется е2 Локальное применение УН дает еь а также внутренние усилия и моменты. Таким образом, метрика формируемой оболочки оказывается параметрически определенной, зависящей от эксцентриситета меридиана эллипсоидальной оболочки

При известных функциях деформаций можно проинтегрировать уравнения равновесия Из первого, второго, четвертого и пятого уравнений (16) следуют величины

т°© = Р 1и© + Р„/(2*), -121(0- Р• 122(0 + грН,, (23)

ВД = „ +141(4), Щ) = 151<4) (24)

lnG)-/R/«3<0] «»©(Qd?, I22(0=/K/S3(Q] о о

I«(4)-J8i(Q ыпФЯЖ, ^©^(O'Cos®^, (25)

ООО Перемещение w(§) обращается в нуль на краевом контуре (при '§==1), а

и(5) близко к нулю там же Величины Р0 и Нг являются константами интефирования. При этом Р0 имеет смысл сосредоточенной в вершине силы, управляющей артификацией, а Нг - погонная сила радиального направления на контуре, имеющая смысл реакции краевого закрепления

Из третьего уравнения системы (16) определяется давление формовки купола заданной высоты w0. Это можно сделать двумя способами дифференциальным и интегральным Поскольку геометрия получаемой оболочки параметрически известна, то через ее кривизны и полученные выражения относительных удлинений можно определить моменты и их производные Это первый подход, который дает

~ Ра®РН, ЗавФ(Р - [Р„ /(2л)]со8Ф(|) +

р --с-- const, (26)

1и(|)со8Ф(?) + 122(§)8тФ(|) '

где

ВД = ыит - [Ь3©/82(&]cos®($)} + % dM?(S)/dS (27) Вывод выражения (24) на константу управляется параметрами Р0, Нг, ех. Во втором способе третье уравнение интегрируется, что дает возможность ввести еще одну константу интегрирования, имеющую смысл изгибающего момента на контуре

_ (р+^м, - J31 ® - J33eo+J34 (Ю+he (I) р =--£-<= const (28)

где

■Ь,С§)=}Й2 созФСОС,

О /ЖЕ» Q

£* о 5* о

J«©--/8t(Q'Iu(Q«*4KQ<iC, J3s© = ~/5i(Q 122(08ШФ(ОД, (29)

8* О о

■М, - третья константа интегрирования (краевой изгибающий момент)

Этот способ методически лучше и дает несколько более сглаженную функцию р, близкую к константе Однако расчет по формуле (28) требует больше времени, поскольку связан с двойным Вычислением интегралов Существенное ускорение счета здесь достигается использованием сплайн-аппроксимаций для интегралов (25), (29). В целом, оба способа приводят практически к одинаковым результатам

Для этих решений в подразделе 3 5 выполнено сравнение теории и экспериментальных данных по пластической формовке артифицированных мембран Изготовление и испытание мембран выполнено на установке, разработанной в ОТК НИИМ и ПМ ЮФУ. Установка позволяет выполнять как изготовление ХПМ, так и прогнозирование их давлений срабатывания неразру¡лающими методами, а также, проводить разрушающие испытания.

Для сравнения брались два реальных варианта мембран, изготавливаемых для предохранительных мембранных устройств систем защиты реакторов на быстрых нейтронах Материал мембран - нержавеющая сталь 12X18Н9 Использовалась кривая нагружения для близкого материала 12Х18Н10Т, свойства которого определены продавливанием пластинки сквозь круглое отверстие Е=0 21 106МПа, у=03, Оо;2=360МПа, е012=о,)>2/Е=:0 001714, ов=720МПа, 8В=0 615 Константы степенной аппроксимации т}=0.1178256, С=762 445МПа

В варианте 1 толщина заготовки (пластины) 11о=111=0.28.0 Змм Радиус пластинки на контуре защемления кольцевыми фланцами - 100 мм Номинальная высота подъема 35 .36мм Давление вытяжки (формовки) Рф=1.59МПа (15 бати). Уровень артифйцирующей силы Р0=6 87н (0 7кгс) Номинальное критическое значение оболочки р„р=0 255МПа (2 5ати). В варианте 2 толщина заготовки-пластины Ьо=Ь2=0 38 .0 4мм Радиус пластинки на контуре защемления кольцевыми фланцами - 100мм. Номинальная высота подъема 35 36мм Давление вытяжки (формовки) рф=2.4МПа (23 5ати) Уровень артифицирующей силы Ро=10 1н (1 ОЗкгс) Номинальное критическое значение оболочки р,ф=0.432МПа (4 4ати)

При задании в расчетах таких же уровней артифицирующих нагрузок, что и в экспериментах, давления формовки по формулам (26), (28) согласуется с экспериментальными с точностью 2.3% При этом геометрия сегмента соответствует приплюснутому сфероиду с эксцентриситетом ех=012 и отношением полуосей ке =(1-ех2) = 0 993 Безразмерные значения, которые принимают константы интегрирования для оболочки варианта 2 Р0 = 0.096,

Н, = 0.9, М, = 0 032.

Таким образом, при вытяжке оболочки из пластинки применяемое технологическое артифицирующее воздействие приводит к слегка сплюснутому сфероиду с полуосями, различающимися в пределах одного процента

Представим далее еще некоторые результаты расчетов для оболочки типа 2 На рис 4 изображены графики 1 и 2 двух вариантов начального приближения, соответствующих параболам, с независимыми переменными типа радиальной координаты и угла наклона нормали к оси симметрии. Приближения применялись для решения функционального уравнения, из которого определяется радиальное перемещение и(|) Кривая 3 отвечает первому приближению, кривая 4 - второму приближению, которое практически совпадает с точным решением. Процесс быстро сходится

_____2 "341

--- V

г . ч \ ч\

Л*,

1---Й,, 2---- 04. 3---- О,,,. 4- ивд

Рис 4

Рис.5 показывает распределения трех компонент относительных удлинений по радиусу как функций нормированной лагранжевой координаты %

з ~ - - ,

1

ч >

О 02 0.4 06 08 <

1- «12 «2,3-- -=з

Рис 5

В зоне купола до §=0.8 тангенциальные деформации ег и е2 мало различаются, т е деформированное состояние достаточно близко к однородному в

центральной части В краевой зоне удлинения 61 и гг заметно расходятся. Наибольших значений удлинения достигают в вершине купола и составляют 12% для еь £2 и -20% для е3 при заданной относительной высоте подъема 0.35 Величина 83 характеризует утонение оболочки в процессе вытяжки Очевидна существенная переменность толщины получаемой оболочки от исходного значения Ьр пластинчатой заготовки до 0 8-Ьр в вершине купола.

Анализ изгибающих моментов показывает наличие значительного краевого эффекта На рис 6 показано распределение момента М° по радиальной координате В центральной части до ^=0.6 состояние близко к безмоментному, но резко меняется краевой зоне. Краевой эффект можно объяснить не только моментной реакцией краевого пластического шарнира Он связан также с переменностью свойств материала Свойства меняются от упругого состояния непосредственно на защемленном контуре, где е,»0, до состояния с развитой интенсивностью деформаций. Наличие резко выраженного краевого эффекта является причиной численной неустойчивости задач Коши, к которым сводится краевая задача в алгоритме метода пристрелки

Рис.6

Сравнение вариантов учета и неучета логарифмичности относительных удлинений в интенсивности деформаций показывает, что расхождение достигает 6% в зоне максимума (в вершине купола) Соответствующее распределение относительной погрешности, в том числе, для главных относительных удлинений, показано на рис 7

Рис 7

В теоретическом решении геометрические параметры оболочки и формирующие силовые воздействия (уровень давления и артифицирующая сила) задаются сразу При реальном физическом процессе формовки они изменяются во времени. Поскольку в теоретической модели используется степенная аппроксимация, то нагружение должно быть близким к простому (теорема А А. Ильюшина). Т е возрастание давления и сосредоточенной силы в вершине должно осуществляться пропорционально.

В реально используемой технологии сила прикладывается не сразу и постепенно, а ступенчато на завершающем участке вытяжки Однако теория и эксперимент хорошо согласуются, хотя нагружение непропорциональное Это можно объяснить тем, что главным формообразующим фактором является давление среды, а артифицирующая сила лишь корректирует форму Эта коррекция не очень значима для задачи пластической вытяжки, которая контролируется по давлению и высоте подъема купола Однако, как показывает анализ устойчивости, получаемые при этом несколько разные кривизны в зоне вершины купола оказываются существенными для критической нагрузки

В главе 4 представлено решение задачи устойчивости хлопающих мембран Форма мембраны должна обеспечивать заданную критическую нагрузку внешнего давления и начальную осесимметричную форму потери устойчивости. Теоретический смысл артификации состоит в том, чтобы уйти от бифуркационной формы потери устойчивости, на которую сильно влияют случайные несовершенства, к предельной нагрузке потери устойчивости по осесимметричной форме Плавное приближение кривой нагружения к предельной точке позволяет наиболее простым способом прогнозировать критическую нагрузку по тангенсу угла наклона касательной

Пробные расчеты в задаче устойчивости вначале выполнялись методом пристрелки для вариантов уравнений Э Рейсснера и В.В. Новожилова Потом основным был принят метод ортогональной прогонки в сочетании с итерационным процессом, который оказался намного эффективней В этом методе использовались уравнения В В. Новожилова. Соответствующая разрешающая система уравнений в безразмерной форме и итерационный процесс имеют вид

У1=тп, у2 = Оц, Уз = Мп, у4 = и, = у6-ег (зо) У.^А^Н^У)++Я ] (31)

я ={0,5,0,0,0,0}; (32)

ад, У)=(1 - г)(|/(^{В(^)(1 + у)[^)у4 + ] - У1> - , У)=- Ш)Ь++Ук2(Ж + £2(ОВ(4)(1- +

у)=(1-у)^)[б(4)(1 + уЖ^)у6 - у3] + у1/е,, У)=У!У6,

-Гк1(4) + Ук2(4)]У5> ^14 У) =0.5е*(ув)2> ^5^,у)=к1(|)у4-Уб> (33)

У(,+1и= М® у8+г) + ш, У«+1» У8) + Ч] (34)

®к={0,0, 0,0}, Ы, У)=0.5[У1(3+1)У& +

Чс4(^У)=0-5£*уб8у6(5+1), - (35)

Здесь: (30) - основные функции, (31) - разрешающая система с правыми частями, в которых выделены линейные и нелинейные слагаемые (33). Вектор нагрузки (32) соответствует внешнему равномерному давлению Система для итерационного процесса записана в (34), где квазилинеаризация нелинейных членов выполняется в соответствии с (35). На нулевом этапе решается чисто линейная задача В вершине оболочки применялся прием «вырезания особенности» с краевыми условиями свободного края на контуре малого отверстия порядка 10""2..10"3 от длины интервала интегрирования. На опорном контуре ставились условия жесткого защемления.

Несмотря на то, что математическое моделирование этапа формовки показало вполне приемлемое согласование с результатами экспериментов, использование полученной теоретически геометрии оболочки в задаче устойчивости вначале не дало хорошего согласования с номиналами заданных критических нагрузок. Как показали вычислительные эксперименты, характер приложения артифицирующей силы в реальности приводит к большему выполаживанию центральной зоны оболочки, чем в теоретической модели

На рис,8 показана форма прогиба сфероидальной оболочки в докритическом состоянии нагружения Здесь отсутствует явная тенденция к появлению вмятины в окрестности вершины, которая инициирует начало потери устойчивости в центре оболочки Это связано с весьма медленным и плавным изменением кривизны меридиана эллипсоидальной оболочки от контура до вершины. Причем в зоне вершины главные кривизны сравниваются, как у сферической оболочки Поэтому нет локализации наибольших прогибов в

Рис 8

Были выполнены численные эксперименты по подбору зоны коррекции формы и кривизны в этой зоне. Совпадение с экспериментом было получено уменьшением безразмерной кривизны с 0 62 до 0.5 в зоне 14% от длины интервала В этом варианте имеется явная тенденция развития больших прогибов в центральной части оболочки, рис 9. Здесь показана также сходимость итерационного процесса при 92%-ном уровне нагрузки от критической. Кривая 0 соответствует линейной задаче, далее необходимо 5 6 итераций При меньших нагрузках число итераций уменьшается

Рис. 10 показывает выход расчетной кривой нагружения я (на номинал критической нагрузки реальной хлопающей мембраны варианта 2. Расхождение составляет не более 1 5%.

Сравнение теоретической кривой нагружения с экспериментальной, получаемой при аппаратном прогнозировании критической нагрузки, показало сходство вида кривых и величин максимального прогиба Имеющаяся некоторая специфика экспериментальной кривой на начальном участке нагружения связана с просадкой мембраны на краевом «буртике» - узкой зоне контурного перегиба пластинки в купол

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Дана оценка упрощенной теории конструктивно-ортотропных цилиндрических оболочек на основе сравнения с общей теорией Кирхгофа-Лява в задачах устойчивости и собственных колебаний.

2 На основе аналитического решения задачи вынужденных колебаний подкрепленной цилиндрической оболочки реализованы алгоритмы, эффективные для построения амплитудно-частотных характеристик с учетом рассеяния энергии и демпфирования колебаний виброизолированными массами Дана сравнительная оценка эффективности вариантов виброгашения

3 Развита математическая модель больших деформаций оболочек вращения, учитывающая большие перемещения, углы поворота, обжатие нормали и физическую нелинейность материала На основе соотношений

21

Дэвиса-Надаи и обобщенного полулинейного материала для тел построены определяющие физические соотношения для оболочек, в том числе, учитывающие наведенную пластической деформацией неоднородность свойств материала по толщине.

4. Построено аналитическое решение и определены условия пластического формоизменения пластинки в сферический купол Решение обобщено в задаче пластической формовки сфероидальной оболочки Определена степень влияния на геометрию оболочки технологического артифицирующего воздействия Получено согласование теории и эксперимента

5 Выполнено исследование устойчивости артифицированных хлопающих предохранительных мембран На основе решения задачи пластической формовки в сочетании с локальной коррекцией формы центральной зоны оболочки получено согласование теории и эксперимента по критическим нагрузкам

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Юдин А.С, Пономарев С.Е, Юдин С А. Модели устойчивости подкрепленных оболочек // Изв Вузов Сев.-Кавк регион. Естественные науки 2001 №4 С 71-77.

2 Юдин А С, Пономарев С Е., Юдин С, А. Устойчивость подкрепленных цилиндрических оболочек // Изв. вузов Сев.-Кавк регион. Естественные науки 2002 Ж.С.45-49

3 Юдин С.А., Пономарев СЕ. Сравнение упрощенной и общей теорий в задачах устойчивости подкрепленных цилиндрических оболочек // Современ пробл. мех. сплош среды Тр VII Междунар конф, посвящ. памяти акад ИИ Воровича. Т.2 Ростов н/Д/ Изд-во ООО «ЦВВР» 2002 С.185-190

4 Юдин С А, Пономарев С Б Некоторые модели для подкрепленных оболочек вращения в задачах на собственные значения // Матем моделир, выч мех и геофизика Тр 1шк-сем - Ростов н/Д Изд-во РГУ 2002 С.173-175

5 Юдин А С, Пономарев С Е., Юдин CAO спектре собственных частот колебаний подкрепленных цилиндрических оболочек // Современ пробл мех сплош среды Тр. VIII Междунар конф Ростов-на-Дону. Изд-во "Новая книга", 2002 Т2 С 212-216.

6. Юдин А.С, Юдин С.А., Пономарев С Е Вынужденные колебания подкрепленной цилиндрической оболочки // Труды Ш-й Всеросс конф по теории упругости с Международн. участием Ростов-на-Дону. «Новая > книга», 2004 С.433-436. 7 Юдин С А, Пономарев С.Е, Юдин А С Анализ вариантов вибродемпфирования оболочки // Труды Ш-й Всеросс конф по теории упругости с междунар участием Ростов-на-Дону «Новая книга», 2004 С 429-432

8 Юдин С А Резонансные спектры вынужденных колебаний подкрепленных оболочек // Тр аспирантов и соиск Ростовского госун-та Т 10 Ростов-на-Дону Изд-во Ростовского ун-та, 2004 С 51-53

9. Юдин А С, Юдин С. А, Музыка Т Н Математическое моделирование в задачах для оболочек средствами интегрированного пакета // Матем модели физич процессов Сб науч трудов 11 -й Междунар конф. Т 1 Таганрог Изд-во ТГПИ, 2005 С 213-217.

10 Юдин С А Модель формовки оболочки вращения при конечных деформациях // Соврем пробл. мех спл среды. Тр IX Междунар. конф Т 2 Ростов-на-Дону Изд-во ООО «ЦВВР», 2005. С.228-231

11 Юдин С А, Юдин А С. Аналитика пластической формовки сферического купола из круглой пластинки // Матем модели и алгор для имитац физич процессов М-лы Междунар науч-технич конф Т1 Таганрог Изд-во ТГПИ, 2006 С 212-215

12 Юдин С А Пластическое формоизменение оболочек вращения // Труды аспирантов и соискателей Ростовского государственного университета Т 12 Ростов-на-Дону. «ТерраПринт», 2006 С 38-40

13 Юдин А С, Юдин С А Моделирование пластической формовки артифицированной хлопающей мембраны // Соврем пробл мех сплош. среды Тр X м/нар конф Ростов-на-Дону МП "Книга". 2006 Т 1 С 290-294

14 Юдин С А., Юдин А С Устойчивость сфероидальных оболочек переменной толщины // Соврем пробл. мех сплош среды Тр X м/нар конф Т1 Ростов-на-Дону МП "Книга" 2006 С 295-299

УПЛЮФУ Зак 140 Т 100 22 05 07 Ростов н/Д, пр Стачки, 200/1

Введение.

Глава 1. Уравнения колебаний и устойчивости подкрепленных оболочек.

1.1. Уравнения для конструктивно-ортотропных оболочек в ортогональных криволинейных координатах.

1.2. Уравнения гармонических колебаний и устойчивости осесимметрично напряженных конструктивно-ортотропных оболочек вращения.

1.3. Уравнения осесимметричного напряженно-деформированного состояния.

1.4. Отделение окружной координаты, переход к безразмерным величинам и построение канонической системы ОДУ.

Глава 2. Устойчивость и колебания подкрепленных цилиндрических оболочек.

2.1. Устойчивость и собственные колебания: сравнение общей и прикладной теорий.

2.1.1. Свойства устойчивости подкрепленных цилиндрических оболочек.

2.1.2. Упрощенная теория, использующая кинематические гипотезы.

2.1.3. Устойчивость по уравнениям общей теории.

2.1.4. Расчеты и сравнительный анализ.

2.2. Собственные колебания подкрепленных цилиндрических оболочек.

2.3. Вынужденные колебания подкрепленных цилиндрических оболочек.

2.3.1. Моделирование локальных нагрузок.

2.3.2. Решение в рядах.

2.3.3. Амплитудно-частотные характеристики и влияние внутренних потерь.

2.4. Демпфирование колебаний локальными массами.

2.4.1. Жестко прикрепленная масса под нагрузкой.

2.4.2. Передача нагрузки через виброизолированную массу.

2.4.3. Виброизолированная масса в качестве виброгасителя.

2.4.4. Двухкаскадная виброизоляция.

2.4.5. Передача нагрузки через виброизолированную массу с виброгасителем.

2.4.6. Сравнительная эффективность вариантов виброгашения.

Глава 3. Нелинейное деформирование оболочек вращения

3.1. Уравнения больших деформаций изотропных оболочек вращения.

3.1.1. Кинематика конечных деформаций с большими перемещениями и углами поворота.

3.1.2. Виртуальная работа внутренних сил.

3.1.3. Уравнения равновесия в усилиях и моментах.

3.1.4. Аппроксимация свойств материала.

3.1.5. Нелинейные физические соотношения.

3.2. Уравнения формоизменения круглой пластинки.

3.3. Аналитическое решение задачи формовки сферического купола.

3.4. Аналитика задачи формовки сфероидальной оболочки.

3.5. Сравнение теории и экспериментальных данных по пластической формовке артифицированных мембран.

Глава 4. Нелинейная устойчивость оболочек вращения.

4.1. Исходные уравнения для изотропных оболочек вращения.

4.2. Разрешающие уравнения линейно-упругой задачи.

4.3. Анализ устойчивости хлопающих мембран.

Тонкостенные оболочечные конструкции имеют широкое применение в современной технике. Они способны выдерживать разнообразные виды нагрузок, обеспечивать изоляцию от окружающей среды, снижают массу конструкций. Оболочечные элементы используются в конструкциях воздушных, надводных, подводных и наземных транспортных средств, резервуаров различного назначения, в строительстве и многих других отраслях промышленности.

В настоящее время теория оболочек имеет разветвленные варианты математических моделей. Наиболее существенным является разделение на линейные и нелинейные модели. Линейная теория, сформированная в своей основе А. Лявом и Г. Киргофом, получила развитие в трудах В.З. Власова [19], А.Л. Гольденвейзера [31], А.И. Лурье [64], В.В.Новожилова [76], С.П.Тимошенко [101], К.Ф. Черныха [76, 111] и ряда других ученых. Основы геометрически-нелинейной теории и методов решения нелинейных задач заложены в трудах И.Г Бубнова и П.Ф. Папковича. Значительный вклад в этой области внесли ВалишвилиН.В. [14-16], В.З.Власов [17], А.С. Вольмир [21], И.И. Ворович [22, 24-26], Э.И. Григолюк [32-35], Л.М. Зубов [44], Х.М. Муштари и К.З. Галимов [71, 30], В.В. Новожилов [75], В.В. Погорелов [83], В.И. Феодосьев [29,104,105], К.Ф. Черных [112], Л.И. Шкутин [114], Л. Донелл (Donell L.) [38], В.Т. Койтер (Koiter W.T.) [56, 107], Э. Рейсснер (Reissner Е.) [152,153] и другие.

При проектировании оболочки должны удовлетворять критериям прочности, устойчивости и виброзащищенности при малой массе. Наиболее полно отвечают этим требованиям конструктивно-анизотропные оболочки - подкрепленные ребрами жесткости, слоистые, композиционные. Существенный вклад в развитие теории и методов расчета прочности, устойчивости и динамики слоистых и подкрепленных оболочек и пластин внесли Н.А. Алфутов [1], С.А. Амбарцумян [2], И.Я. Амиро и В.А. Заруцкий [3, 4], В.В. Болотин и Ю.Н. Новичков [9], В.В. Васильев [17], С.Н. Кан [49], В.В. Кабанов [47, 48], В.И. Королев [60-61], Маневич А.И. [68, 69], И.Ф. Образцов [77], О.И. Теребушко [99,100], Ю.А. Устинов

103], А.С. Юдин [43,115,118,134-136], М. Барух (Baruch М.) и И. Зингер (Singer J.) [146, 147, 154-156], М. Стейн (Stein М.) [66, 95, 157] и другие. Метод анализа чувствительности устойчивости оболочек к начальным несовершенствам, разработанный В.Т. Койтером [56], развивался Б. Будянским (Budiansky В.), И.В. Хатчинсоном (Hutchinson J.W., ) [13, 106,107,149,150], JI.C. Срубщиком [94] и другими.

В технике и расчетной практике широко применяются конструкции и математические модели оболочек вращения, для расчета которых используются численно-аналитические методы расчета [28]. Алгоритмы методов включают этап снятия окружной координаты тригонометрическими рядами Фурье. Далее краевая задача сводится к задачам Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Для их устойчивого интегрирования применяется ортогонализация по С.К. Годунову в точках сетки продольной координаты. Применение и развитие таких методов, реализации алгоритмов и программного обеспечения выполнялись в работах А.В. Кармишина, В.И. Мяченкова, И.В. Григорьева [37,54, 70], в работах украинской школы Я.М. Григоренко [36], в Институте механики и прикладной математики им. Воровича И.И. Южного федерального (Ростовского государственного) университета [27, 28, 39, 90-92, ИЗ, 128-131,134-136].

Весьма значительный теоретический и экспериментальный материал накоплен для цилиндрических оболочек [1—4, 32, 41, 47-49, 61, 62, 66, 68, 69, 95, 99, 100, 109, 146-148, 151, 154-158]. Для их исследований разработан ряд упрощенных моделей, в которых помимо известных гипотез общей теории оболочек присутствуют и другие допущения. Цель таких гипотез - получение достаточно компактных формул, облегчающих расчеты в технических приложениях. Однако погрешность получаемых на такой основе формул обычно неизвестна. Поэтому актуальна задача исследования их применимости, что ставилось одной из целей первой части работы, объединяющей первые две главы.

В главе (разделе) 1 работы представлены уравнения для исследования колебаний и устойчивости конструктивно-анизотропных оболочек. Уравнения записаны в ортогональных криволинейных координатах. Рассматриваются тонкие оболочки на основе гипотез Кирхгофа-Лява. В качестве исходных взяты уравнения квадратичного приближения. Уравнения для гармонических колебаний и устойчивости конструктивно-анизотропных оболочек вращения в окрестности осесимметричного статического напряженно-деформированного состояния следуют квадратичной теории на основе разбиения состояния на две составляющие и соответствующей линеаризации. Выполнено отделение окружной координаты посредством рядов, осуществлен переход к безразмерным величинам. Сформирована разрешающая система обыкновенных дифференциальных уравнений и краевые условия. Представлены геометрически-нелинейные уравнения осесимметричной деформации.

В главе 2 решаются и анализируются задачи устойчивости и собственных колебаний для подкрепленных цилиндрических оболочек. Задачи рассматриваются в аспектах оценки применимости одного из вариантов упрощенной теории. Поиск критических нагрузок и частот свободных колебаний сведен к задачам на собственные значения. Предварительное знание собственных частот позволяет оценивать опасные резонансные частоты вынужденных колебаний и сопоставлять с ними частоты вынуждающих колебания источников (двигателей, движителей, механизмов и т.д.).

В подразделах 2.3 и 2.4 представлены решения задач о вынужденных колебаниях в аспектах их демпфирования. Это направление актуально в ряде отраслей современной техники, в частности, в строительстве, транспортном и энергетическом машиностроении, приборостроении, судостроении [74]. Здесь наряду с необходимостью обеспечения прочности ставятся также требования по условиям эксплуатации и защиты людей от вредного воздействия вибраций. К мерам по уменьшению вибраций относятся применение материалов с высокими демпфирующими свойствами, применение виброизоляции и динамических гасителей гасителей колебаний (ДГК). Обсуждение вопросов применения и расчета ДГК для разнообразных конструкций приведены в [53, 58]. Системы типа цилиндрических оболочек в этих монографиях не рассматривались. Поэтому такая актуальная цель были поставлена в данной работе.

Одной из проблем, существующей в механике оболочек, является проблема сближения результатов теории и эксперимента в задачах устойчивости. Известно существенное их расхождение, причиной которого являются малые, обычно случайные, технологические несовершенства, которые не предполагаются в идеализированных моделях.

С исследованием актуальных задач из этой области связаны цели глав 3 и 4 диссертации. Они посвящены разработке теоретических моделей как формоизменения, так и прогнозирования устойчивости получаемых оболочек вращения.

Сопоставление теории и физического эксперимента выполнялось на оболочках типа предохранительных мембран (ПМ). Они относятся к элементам устройств систем безопасности, защищающих технологическое оборудование и емкости от разрушения избыточным давлением.

К мембранным предохранительным устройствам (МПУ) привели поиски надежных средств защиты от взрывов и аварий в химической промышленности [20, 78, 79]. На основе хлопающих мембран, разработанных и изготовленных в НИИ механики и прикладной математики (НИИМ и ПМ) Южного федерального (Ростовского государственного) университета, разработаны МПУ, которые используются в атомной промышленности [50, 51].

Для широкого внедрения МПУ потребовалось проведение наукоемких исследований. В процессе развития данного направления, начатого работами [80, 104, 29, 105, 96, 97, 22, 24-26, 42], в Отделе тонкостенных конструкций (ОТК) НИИМ и ПМ был выполнен комплекс теоретических и экспериментальных исследований [10, 40, 43, 50, 51, 57, 85-89, 115-123] . Разработаны экспериментальные методы: 1) неразрушающего определения критического давления по нелинейной диаграмме нагружения; 2) неразрушающего контроля давлений срабатывания мембран на основе метода акустической эмиссии; 3) тензочувствительных покрытий; 4) зеркально-оптический. В целом задача была решена путем создания установки по изготовлению мембран и разработки аппаратуры для прогнозирования давлений срабатывания неразрушающими методами, которые применяются в настоящее время. Из них наиболее удобен метод анализа кривых нагружения «давление-перемещение» для аппаратной экстраполяции критических нагрузок. При этом используются методы компьютерного управления и математической обработки информации программно-аппаратным комплексом [7].

В последнее время для изготовления высокоточных мембран используются концепция и технология артификации [87, 88, 133]. В техническом смысле это подразумевает специальные способы изготовления и доводки хлопающих предохранительных мембран (ХПМ). Обычно предусматриваются малые дозированные (артифицирующие) воздействия на форму купола в процессе вытяжки из пластинки основным формообразующим давлением.

С теоретической точки зрения с позиций чувствительности оболочек к начальным случайным технологическим несовершенствам артификацию можно трактовать как искусственно вносимые «несовершенства», которые перекрывают влияние случайных, и стабилизуют критическую нагрузку и форму потери устойчивости.

До настоящего времени адекватных теоретических решений, согласующиеся с результатами физического моделирования поведения мембран, не были реализованы. Для первичного подбора параметров проектируемых мембран использовались простейшие полуэмпирические формулы, имеющие структуру формулы Цолли-Лейбензона [21] с редукционными коэффициентами [85, 86, 89].

В настоящей диссертации сделан серьезный шаг по сближению теории и эксперимента, что является наиболее важным и новым научным результатом. Удалось построить аналитические решения задачи формовки артифицированных оболочек и теоретически обосновать концепцию артификации.

Практическая значимость проведенных исследований состоит в применимости построенных решений к задачам имитационного моделирования технологий создания высокоточных хлопающих мембран. При этом потенциал моделей позволяет применить их к задачам идентификации пластических свойств листовых материалов, важных в задачах штамповки.

Отметим ряд работ, близких по направлению к главам 3 и 4. Некоторые из них дали информацию для ключевых идей построения аналитических решений.

В работе [46] отмечается актуальность совершенствование технологии изготовления к контроля мембран из коррозионностойкой стали 12Х18Н10Т. Отмечаются высокие качества этого материала, находящего применения также и в криогенной технике. Представлены результаты замеров параметров технологического процесса. Приведены таблицы среднестатистических значений формообразующего давления для заданных высот, распределения толщин и кривизны мембраны. Вытяжка проводилась вплоть до разрыва образцов. Замерялось утонение оболочки в полюсе. На основе замеров получено, что изменение толщины мембраны вдоль меридиана при формообразовании достаточно хорошо аппроксимируется квадратичной степенной зависимостью.

На необходимость учета ряда отклонений от сферической идеальности купола, получаемого пластической вытяжкой равномерным давлением из круглой защемленной пластинки указано в [121]. Предложен подход, аппроксимирующий геометрию купола как оболочку вращения переменной толщины с эллипсоидальной основной центральной областью, сопряженной с узкой краевой зоной в виде части кругового тора. Со ссылкой на [46] толщина оболочки задается квадратичной зависимостью от полярного текущего радиуса, убывающей от периферии к центру. Выполнены расчеты, дано сравнение со сферическими сегментами эквивалентных основных размеров. Показана существенность отклонений от идеализированных оболочек и необходимость более адекватного моделирования параметров реальных хлопающих мембран с учетом технологии их изготовления.

На основе подхода [121] в [123, 131] проведены вычислительные эксперименты, показывающие тенденцию сближения рассчитанных бифуркационных и экспериментальных критических нагрузок хлопающих мембран, теряющих устойчивость по несимметричным формам. В [123] указывается также на необходимость развития методов имитационного типа, моделирующих как технологию пластической формовки, так и решение задач устойчивости.

В [89] представлена типология оболочек предохранительных устройств с учетом механики их разрушения. Указаны относительно новые факторы начальных несовершенств хлопающих предохранительных мембран (ХПМ). Сообщено о двух основных экспериментальных методах неразрушающего определения давлений срабатывания, разработанных в НИИМ и ПМ. Даны используемые в инженерной практике формулы для предварительного подбора основных параметров ХПМ при проектировании.

В [87, 88] представлены конструктивно-анизотропные и геометрически артифицированные мембраны, технологии их изготовления, предпочтительные варианты и рекомендации по математическим моделям. Данные типы оболочек базируются на идее управления свойствами оболочки путем внесения искусственных (артифицированных) начальных несовершенств, позволяющих обеспечить стабильность формы потери устойчивости и критической нагрузки. Влияние таких детерминированных, контролируемых несовершенств должно превалировать над случайными. Это особенно важно для обеспечения ресурса мембран, стареющих в реальных условиях эксплуатации.

В работе [98] в терминологии понятий вытянутости и сплюснутости исследуется соотношение между геометрическими параметрами и мембранными напряжениями тонкой оболочки, нагруженной давлением. Вытянутость или сплюснутость рассматривается как мера отклонения формы тела от сферы. Отмечается, что для тонкой оболочки изменение этой величины имеет сложный характер. Обнаружено, что для испытанных в работе металлов поверхность является точно сферической только у полюса. В остальных местах она представляет собой либо вытянутый, либо сплюснутый сфероид. Отмечается также, что при обработке металлов и полимеров, поставляемых в виде листа, метод вытяжки давлением используется для определения показателя деформируемости. В качестве него принимается максимальная высота формуемого купола, при которой еще не происходит разрушение.

Глава 3 работы посвящены вопросам нелинейного деформирования и пластической формовки оболочек. Строятся математические модели обеспечения эффективной формы оболочек вращения под воздействием осесимметричных нагрузок в сочетании с анализом нагрузок потери устойчивости. По-существу решается задача имитационного моделирования технологии изготовления методом пластической формовки куполообразной оболочки, имеющей заданную критическую нагрузку потери устойчивости от внешнего гидростатического давления. В теоретическом и прикладном аспектах эти задачи актуальны, интересны и практически значимы для моделирования артифицированных хлопающих предохранительных мембран.

Представлена математическая модель деформирования физически нелинейных оболочек вращения при больших перемещениях и углах поворота. Построены определяющие соотношения типа Дэвиса-Надаи, учитывающие наведенную деформациями неоднородность свойств материала по толщине. Даны аналитические решения задач пластической формовки сферических и эллипсоидальных куполов из пластины. Выполнено сравнение теории и эксперимента.

В главе 4 представлены уравнения и постановки упругих и упругопластических задач устойчивости оболочек вращения на основе уравнений типа Э. Рейсснера и В.В. Новожилова. Применительно к хлопающим мембранам дано пояснение теоретического смысла артификации. Представлены разрешающие системы уравнений и алгоритм метода ортогональной дифференциальной прогонки в сочетании с итерационным процессом. Выполнены расчеты, проведен их анализ, выяснены условия локальной корректировки теоретической формы оболочки, приводящей к согласованию с экспериментом.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на VII-X Международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (г.Ростов-на-Дону, 2001-2006г.г.), III Всероссийской конференции по теории упругости с международным участием (г.Ростов-на-Дону - Азов, 2004г.), 11-й Международной конференции «Математические модели физических процессов» (г.Таганрог, 2005г.), на Международной научно-технической конференции «Математические модели для имитации физических процессов» (ММА-2006, г.Таганрог), на семинарах отдела тонкостенных конструкций НИИ механики и прикладной математики и кафедры теории упругости Южного федерального (Ростовского государственного) университета.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 работ [124-127, 132, 133, 137-144]. В [124] лично соискателем выполнено программирование задач устойчивости и колебаний в системе MathCad. В работе [125] соискателем получено характеристическое уравнение устойчивости по общей теории оболочек для варианта внешнего гидростатического давления. В работе [126] соискателем проведены исследования для гидростатического давления, включающие сравнение упрощенной и общей теорий. В [127] соискателем получено характеристическое бикубическое уравнение относительно параметра частоты, выполнен сравнительный анализ результатов общей и упрощенной теорий. В [132] соискателем построено аналитическое решение задачи о вынужденных колебаниях оболочки, выполнен анализ амплитудно-частотных характеристик для разных коэффициентов внутренних потерь. В [133] соискателем получено обобщенное для эллипсоидальной оболочки функциональное уравнение для радиальных перемещений и реализован метод его решения. В [137] соискателем выполнены исследования применимости упрощенной теории для гидростатического давления на основе сравнения с общей теорией. В [138] соискателем получено решение задачи на собственные значения на основе общей теории; выполнен анализ применимости упрощенной теории в задаче устойчивости оболочки под действием гидростатического давления и собственных колебаний. В [140] соискателем построены переходные функции для локальных виброгасителей, построены амплитудно-частотные характеристики колебаний для разных вариантов демпфирования. В [142] соискателем получено функциональное уравнения для радиальных перемещений, составляющее важный этап получения решения в целом, и разработан метод его решения. В [144] соискателем запрограммирован алгоритм решения задачи устойчивости и проведены вычислительные эксперименты.

Исследования диссертационной работы связаны с плановыми темами (заказ-нарядами) НИИМ и ПМ ЮФУ: №4.3.01 «Разработка компьютерных моделей механики оболочек и конструкций на основе новых информационных технологий»; №4.1.06 «Разработка методов математического и физического моделирования в задачах формоизменения, устойчивости и колебаний оболочек и структурно-неоднородных материалов».

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы 136 страниц, включая список литературы из 158 наименований, 48 рисунков, 9 таблиц.

Заключение

В диссертации получены следующие основные результаты.

1. Дана оценка упрощенной теории конструктивно-анизотропных цилиндрических оболочек на основе сравнения с общей теорией Кирхгофа-Лява в задачах устойчивости и собственных колебаний.

2. На основе аналитического решения задачи вынужденных колебаний подкрепленной цилиндрической оболочки реализованы алгоритмы, эффективные для построения амплитудно-частотных характеристик с учетом рассеяния энергии и демпфирования колебаний виброизолированными массами. Дана сравнительная оценка эффективности вариантов виброгашения.

3. Развита математическая модель больших деформаций оболочек вращения, учитывающая большие перемещения, углы поворота, обжатие нормали и физическую нелинейность материала. На основе соотношений Дэвиса-Надаи и обобщенного полулинейного материала для тел построены определяющие физические соотношения для оболочек, в том числе, учитывающие наведенную пластической деформацией неоднородность свойств материала по толщине.

4. Построено аналитическое решение и определены условия пластического формоизменения пластинки в сферический купол. Решение обобщено в задаче пластической формовки сфероидальной оболочки. Определена степень влияния на геометрию оболочки технологического артифицирующего воздействия. Получено согласование теории и эксперимента.

5. Выполнено исследование устойчивости артифицированных хлопающих предохранительных мембран. На основе решения задачи пластической формовки в сочетании с локальной коррекцией формы центральной зоны оболочки получено согласование теории и эксперимента по критическим нагрузкам.

1. Ал футов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. - М.: Машиностроение, 1978. 312с.

2. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974. 448с.

3. Амиро И.Я., Заруцкий В.А., Поляков П.С. Ребристые цилиндрические оболочки. Киев: Наукова думка, 1973. 248с.

4. Амиро И.Я., Заруцкий В.А. Теория ребристых оболочек / Методы расчета оболочек. В 5т. Т.2. Киев: Наукова думка, 1980. 367с.

5. Ахмеров А.Ф. О кривых упрочнения материалов и их аппроксимации // Изв. ВУЗов. Авиационная техника. 1972. №3. С.79-86.

6. Бакирова А.З., Ольховский Н.Е., Суркин Р.Г., Федоров В.В. Большие перемещения и формы потери устойчивости сферических мембран // Повыш. безопасн. экспл. нефтеперераб. и нефтехим. пр-в. М.: ВО «Нефтехим», 1979. Вып. 19. С. 11-27.

7. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969. 367с.

8. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. -М.: Машиностроение, 1980. 375 с.

9. Бриджмен П. Исследование больших пластических деформаций и разрыва. М.: Изд-во ИЛ, 1955. 444с.

10. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов / 13-е изд., исправл. М.: Наука, 1986. 544с.

11. Будянский Б., Хатчинсон Дж. Выпучивание: достижения и проблемы

12. Мех. деф-х тв. тел: Направления развития. М.: Мир, 1983. С.121-150.

13. Валишвили Н.В. Об устойчивости пологих сферических оболочек // Тр. VII Всес. конф. по теор. оболоч. и пл-нок. М.: Наука, 1970. С. 114-119.

14. Валишвили Н.В. Неосесимметричное деформирование и устойчивость пологих оболочек вращения // Теория пластин и оболочек. М.: Наука, 1971. С.22-28.

15. Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. -М.: Машиностроение, 1976. 278с.

16. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1988.269с.

17. Вибрации в технике: Справочник в 6 томах. Т.1. Колебания линейных систем / Под ред. В.В. Болотина. М.: Машиностроение, 1978. 352с.; Т.6. Защита от вибрации и ударов / Под ред. К.В. Фролова. - М.: Машиностроение, 1981.456с.

18. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. -M.,J1.: Гостехиздат, 1949. 784с.

19. Водяник В.И. Предохранительные мембраны: Справочное пособие. -М.: Химия, 1982, 132с.

20. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем- М.: Наука, 1967. 984с.

21. Ворович И.И., Зипалова В.Ф. Анализ нелинейной деформации сферического купола в высоких приближениях // Инж. журн. МТТ. 1966. №2. С.150-153.

22. Ворович И.И., Лебедев Л.П. Функциональный анализ и его приложения в механике сплошной среды. Учеб. пособ. М.: Вузов, кн., 2000. 320с.

23. Ворович И.И., Минакова Н.И. Устойчивость непологого сферического купола // ПММ. 1968. Т.32, №2. С.332-338.

24. Ворович И.И., Минакова Н.И. Исследование устойчивости непологого сферического купола в высоких приближениях // Изв. АН СССР. МТТ. 1969. №2. С.121-128.

25. Ворович И.И., Минакова Н.И. Проблема устойчивости и численные методы в теории сферических оболочек // Итоги науки. Механика. Т.7. М.: ВИНИТИ, 1973. С.5-86.

26. Ворович И.И., Ционский А.Я., Юдин А.С. Метод собственных форм решения задачи о вынужденных колебаниях оболочки вращения, подкрепленной ребрами, в жидкости // Акуст. журнал. 1983. Т.29, №6. С.744-748.

27. Ворович И.И., Юдин А.С., Сафроненко В.Г. Численно-аналитические методы в задачах виброакустики оболочечных конструкций // Конструкц. из композиц. м-лов. 2000. №2. С.7-18.

28. Габрильянц А.Г., ФеодосьеВ.И. Об осесимметричных формах равно-весия упругой сферической оболочки, находящейся под действием равномерно распределенного давления // ПММ. 1961. Т.25, №6. С. 1091—1101.

29. Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1975. 326с.

30. Гольденвейзер A.JI. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука, 1976.512с.

31. Григолюк Э.И., КабаноВ.В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978. 360с.

32. Григолюк Э.И., Мамай В.И., Фролов А.Н. Исследование устойчивости непологих сферических оболочек на основе различных уравнений теории оболочек // Изв. АН СССР. МТТ. 1972, №5. С. 154-165.

33. Григолюк Э.И., Мамай В.И. Механика деформирования сферических оболочек. -М.: МГУ, 1983. 114с.

34. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек.-М.: Машиностроение, 1973. 170с.

35. Григоренко Е.М., Мукоед А.П. Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ: Учеб. пособ. для вузов. Киев.: Вища школа, 1983. 286с.

36. Григорьев И.В., Мяченков В.И. Колебания многосвязных оболочечных конструкций // Прикл. пробл. прочн. и пластичн. Горький, 1975. №2. С.51—61

37. Донелл Л.Г. Балки, пластины и оболочки: Пер. с англ. М.: Наука, 1982. 568с.

38. Емельянова JI.A., Шепелева В.Г., Юдин А.С. Влияние внутреннего трения на амплитуды вынужденных колебаний подкрепленных оболочек вращения // Мех. спл. среды. Ростов н/Д: Изд-во РГУ. 1985. С.61-67.

39. Зацаринный В.П., Пьянков Б.Г., Рожков Е.В., Тищенко С.Г., Царюк Л.Б. Неразрушающие методы контроля устойчивости хлопающих мембран // Мех. спл. среды. Ростов н/Д, 1982. С.49-54.

40. Зингер И. Колебания и устойчивость подкрепленных оболочек с начальными прогибами новые результаты // Потеря уст-сти и выпуч. к-ций: теор. и практ. Тр. Лондон, симп., 31 авг- 3 сент., 1982.- М., 1991. С.348-375.

41. Зипалова В.Ф., Ненастьева В.М. Исследование в высоких приближениях устойчивости сферического купола при различных способах нагружения и закрепления // Инж. ж-л. МТТ. 1966. №6. С.98-103.

42. Зипалова В.Ф., Юдин А.С. Сравнение схем учета подкреплений при исследовании устойчивости непологого сферического купола // Тр. X Всес. конф. по теории оболочек и пластин. Кутаиси, 22-29 сент. 1975г. Тбилиси. 1975. Т.1. С.610-618.

43. Зубов Л.М. Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек. Ростов н/Д: Изд-во Ростовского ун-та, 1982. 144с.

44. Ильюшин А.А. Пластичность. 4.1. Упруго-пластические деформации. М.: Гостехиздат, 1948. 376с.

45. Кабанов В.В. Устойчивость эксцентрично подкрепленных цилиндри-ческих оболочек при внешнем давлении // Изв. АН СССР. МТТ. 1969, №1. С.158-165.

46. Кабанов В.В. Устойчивость эксцентрично подкрепленных цилиндри-ческих оболочек при сжатии // Изв. ВУЗов. Авиац. техника. 1971. №1. С.45-52.

47. Кан С.Н., Бырсан К.Е., Алифанова О.А., Бутенко Ю.И., Ингульцов В.Л. Устойчивость оболочек. Харьков: Изд-во Харьковского ун-та, 1970. 156с.

48. Какурин A.M., Пьянков Б.Г., Юдин А.С. Ресурс хлопающих мембран // Современ. пробл. мех. спл. среды. Тр. IV Междунар. науч. конф. Т.2. Ростов н/Д: Изд-во СКНЦ ВШ, 1998. С.28-29.

49. Какурин A.M., ПьянковБ.Г., ЮдинА.С. Натурные испытания оболочек предохранительных мембранных устройств // Изв. вузов. Сев-Кавк. регион. Естеств. науки. 1998. №3. С.51-55.

50. Калнинс, Бирисикоглу. О расчете устойчивости сферических оболочек с неправильностями формы // Прикл. Мех. М.: Мир, 1970. С.56-61.

51. Карамышкин В.В. Динамическое гашение колебаний. JL: Машиностроение, ЛО, 1988. 108с.

52. Кармишин А.В., Лясковец В.А., Мяченков В.И., Фролов А.Н. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций. М.: Машиностроение, 1975. 376с.

53. Качанов Л.М. Основы механики разрушения. -М.: Наука, 1974. 312с.

54. Койтер В.Т. Устойчивость и закритическое поведение упругих систем // Сб. перев. "Механика". М.: ИЛ, 1960. №5.

55. Кокорина Г.Н., ЮдинА.С., Сизова Т.П. Расчет конструктивно-анизотропных хлопающих мембран // Повыш. безоп. экспл-ции нефтеперерабат. и нефтехим. пр-в с помощью предохр. мембран. Сб-к науч. тр. М.: В/О "Нефтехим", 1979. Вып. 19. С.27-39.

56. Коренев Б.Г., Резников Л.М. Динамические гасители колебаний: Теория и технические приложения. М.: Наука, 1988. - 304с.

57. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров / 4-е изд. Пер. с англ М.: Наука, 1978. 832с.

58. Королев В.И. К расчету подкрепленных пластин и оболочек // Инж. сб-к, т.26. Изд. АН СССР, 1958.

59. Королев В.И. Слоистые анизотропные пластинки и оболочки из армированных пластмасс. М.: Машиностроение, 1965. - 272с.

60. Кренцке, Кирнан. Упругая устойчивость почти идеальных пологих сферических оболочек // Ракет, техн. и косм-ка. М.: Мир, 1963. №12. С.174— 176.

61. Куркин С.А. Прочность сварных тонкостенных сосудов, работающих под давлением. М: Машиностроение, 1976. 184с.

62. Лурье А.И. Статика тонкостенных упругих оболочек. М.-Л., Гостехиздат, 1947. 252с.

63. Лурье А.И. Теория упругости М.: Наука, 1970 - 940с.

64. Мак-Элман Дж., Микулас М., Стейн М. Влияние эксцентричности ребер жесткости на статику и динамику пластин и цилиндрических оболочек // Ракета, техн. и космонавтика. 1966. Т.4, №5. С. 151-160.

65. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. Изд.2-е, перераб. -М.: Машиностроение, 1975. 400с.

66. Маневич А.И. Об устойчивости подкрепленной цилиндрической оболочки при внешнем давлении // Тр. YI Всес. конф. по теории оболоч. и пл-нок, 1966. М.: Наука, 1966. С. 621-625.

67. Маневич А.И. Устойчивость подкрепленных цилиндрических оболочек с учетом эксцентриситета ребер // В сб.: Расчет пространств, к-ций. Вып. 14. М.: Стройиздат, 1971. С.72-86.

68. Мяченков В.И., Григорьев И.В. Расчет составных оболочечных конструкций на ЭВМ: Справочник. М.: Машиностроение. 1981. 216с.

69. Муштари Х.М., ГалимовК.З. Нелинейная теория упругих оболочек. -Казань: Таткнигоиздат, 1957. 431с.

70. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел / Пер. с анл. М.: Изд-во ИЛ, 1954. 647с.

71. Нашиф А., Джоунс Д., Хендерсон Дж. Демпфирование колебаний / Пер. с англ. М.: Мир, 1988. 448с.

72. Никифоров А.С. Акустическое проектирование судовых конструкций: Справочник. Л.: Судостроение, 1990. 200с.

73. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромгиз, 1962. 431с.

74. Новожилов В.В., Черных К.Ф., Михайловский Е.И. Линейная теория тонких оболочек. Л.: Политехник, 1991. 640с.

75. Образцов И.Ф., Онанов Г.Г. Строительная механика скошенных тонкостенных систем. М.: Машиностроение, 1973. 660с.

76. Ольховский Н.Е. Предохранительные мембраны для защиты оборудования в химической, нефтехимической и нефтеперерабатывающей промышленности. М.: Химия, 1970. 69с.

77. Ольховский Н.Е. Предохранительные мембраны. М: Химия, 1976. 232с.

78. Панов Д.Ю., Феодосьев В.И. О равновесии и потере устойчивости пологих оболочек при больших прогибах // ПММ. 1948. Т. 12, №4. С.389-406.

79. Пановко Я.Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем. -М.: Физматгиз, 1960. 190с.

80. Писаренко Г.С., Можаровский Н.С. Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести. Справочное пособие Киев: Наук, думка, 1981. 496с.

81. Погорелов А.В. Геометрическая теория устойчивости оболочек. М.: Наука, 1966. 296с.

82. Понтрягин JLC. Дифференциальные уравнения и их приложения. -М: Наука, 1988.-208с.

83. Пьянков Б.Г. Предварительный расчет тонкостенных и среднетол-щинных хлопающих сферических мембран // Повыш. безоп. экспл. нефтеперерабат. и нефтехим. произ-в с помощью предохр. мембран. Сб-к науч. тр. М.: В/О "Нефтехим", 1979. Вып. 19. С. 39^6.

84. Пьянков Б.Г. О двух видах потери устойчивости хлопающих мембран // Тр. XII Всес. конф. по теории оболочек и пластин. Ереван: Изд-во Ереван, ун-та, 1980. Т.З. С. 174-178.

85. Пьянков Б.Г., Какурин A.M., Юдин А.С. Артифицированные куполообразные оболочки, теряющие устойчивость // Современ. пробл. мех. спл. среды. Тр. IV Междунар. науч. конф. Ростов н/Д: Изд-во СКНЦ ВШ, 1998. Т.2. С. 129-133.

86. Пьянков Б.Г., Какурин A.M., Юдин А.С. Экспериментальные и теоретические основы артификации предохранительных мембран // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 1999. №2. С.22-24.

87. Пьянков Б.Г., Какурин A.M., Юдин А.С. Оболочки в системах безопасности: типология, эксперимент, расчет // Совр. пробл. мех. спл. среды. Тр. IV Междунар. науч. конф. Ростов-на-Дону: Изд-во СКНЦ ВШ, 1999. Т.2. С. 134-139.

88. Сафроненко В.Г., Юдин А.С. Виброакустика композиционных структурно-неоднородных оболочек // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2002, №4. С.87-91.

89. Сафроненко В.Г. О некоторых задачах математического моделирования в виброакустике композитных оболочек // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. Спецвыпуск. 2004. С.94-98.

90. Справочник по динамике сооружений / Под ред. И.М. Коренева и ИМ. Рабиновича. -М.: Стройиздат, 1972. 511с.

91. Срубщик J1.C. Выпучивание и послекритическое поведение оболочек. Ростов-на-Дону: Изд-во Ростовского ун-та. 1981. 96с.

92. Стейн. Последние достижения в исследовании выпучивания оболочек // Ракетн. техн. и косм-ка. 1968. Т.6, №2. С. 122-130.

93. Суркин Р.Г. К вопросу о потере устойчивости сферической оболочки при внешнем равномерно-распределенном давлении // Изв. Казанск. филиала АН СССР. Серия физ.-матем. и техн. наук. 1956. № 10. С.51-56.

94. Суркин Р.Г., Степанов С.Г. Экспериментальное исследование устойчивости сферических сегментов при внешнем равномерно распределенном давлении // Теория пластин и оболочек: Тр. II Всес. конф., Киев: Изд-во АН УССР, 1962. С.311-313.

95. Теребушко О.И. О влиянии расположения подкрепляющих оболочку ребер на величину критической нагрузки // Тр. YI Всес. конф. по теории обол, и пл-к. М.: Наука, 1966. С.791-803.

96. Теребушко О.И. Устойчивость подкрепленных и анизотропных оболочек // Тр. VII Всес. конф. по теории оболочек и пластинок. М.: Наука, 1970. С.884-897.

97. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластины и оболочки. -М.: Наука, 1966. 635с.

98. Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле / Пер. с англ. -М.: Машиностроение, 1985. 472с.

99. Устинов Ю.А. Математическая теория поперечно-неоднородных плит. Ростов-на-Дону: «ЦВВР». 2006. 256с.

100. Феодосьев В.И. Об устойчивости сферической оболочки, находящейся под действием внешнего равномерно распределенного давления // ПММ. 1954. Т.18, №1. С.35-42.

101. Феодосьев В.И. Осесимметричная эластика сферической оболочки // ПММ. 1969. Т.ЗЗ, №2. С.280-286.

102. Фич, Будянский. Выпучивание и послекритическое поведение сферических куполов под действием осесимметричной нагрузки // Ракетн. техн. и косм-ка. М.: Мир. 1970. Т.8, №4. С.99-108.

103. Хатчинсон Дж., Койтер В.Т. Теория послекритического поведения конструкций // В кн. .-Механика. М.: Мир, 1971. Т. 128, №4. С. 129-150.

104. Хуан Най-чэн. Несимметричная потеря устойчивости тонких пологих сферических оболочек // Прикл. мех. М.: Мир. 1964. №3. С.91-102.

105. Хеджпет Дж., Холл Д. Устойчивость подкрепленных цилиндрических оболочек // Ракетн. техн. и косм-ка. М.: "Мир", 1965. №12.

106. ЧернинаВ.С. Статика тонкостенных оболочек вращения. М.: Наука, 1968. 456с.

107. Черных К.Ф. Линейная теория оболочек. Л.: Изд. Ленингр. ун-та, 1962.41.273с.; 1964. 42. 395с.

108. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. Л.: Машиностроение, 1986. 336с.

109. ШепелеваВ.Г., ЮдинА.С. Вынужденные колебания подкрепленной оболочки вращения под действием несимметричной нагрузки // Тр. XII Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластин. Т.З. Ереван: Изд-во Ереван, ун-та, 1980. С.276-280.

110. Шкутин Л.И. Критические давления выпучивания для пологих сферических оболочек // Прикл. мех. 1969. Т.5, №5. С.124-127.

111. ЮдинА.С. Устойчивость сферической оболочки ступенчато-переменной жесткости // Физико-матем. иссл-ния. Изд-во Рост, ун-та, 1972. С.46-51.

112. Юдин А.С. О некоторых нелинейных уравнениях осесимметричной деформации оболочек вращения // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки. 1973. №4. С.93-98.

113. Юдин А.С. Применение уравнений Рейсснера к исследованию устойчивости непологой сферической оболочки // Изв. АН СССР. МТТ. 1974.3. С Л 22-129.

114. Юдин А.С. Исследование устойчивости подкрепленных оболочек вращения при осесимметричной деформации и больших перемещениях: Дисс. канд. физ.-мат. наук. Ростов-на-Дону, 1974. 223с.

115. Юдин А.С. Большие осесимметричные деформации физически-нелинейных оболочек вращения (полулинейный материал) // Изв. Сев.-Кав. науч. центра высшей школы. Естеств. науки. 1977. №1. С. 18-22.

116. Юдин А.С. Большие осесимметричные деформации упруго-пластических оболочек вращения // Изв. Сев.-Кавк. науч. центра высш. школы. Естеств. науки. 1978. №3. С.34-37.

117. Юдин А.С. Моделирование начальных несовершенств сферических куполов // Соврем, пробл. мех. сплош. среды. Ростов-на-Дону: МП "Книга", 1995. С.210-219.

118. Юдин А.С. Эффективные модели для составных оболочек вращения // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки. 2000. №3. С. 184-188.

119. Юдин А.С., Какурин A.M., Пьянков Б.Г. Критические нагрузки куполообразных оболочек при математическом и физическом моделировании // Соврем, пробл. мех. сплош. среды. Тр. IV Междунар. науч. конф. Ростов н/Д: Изд-во СКНЦВШ. 1998. Т.2. С.222-225.

120. Юдин А.С., Пономарев С.Е., Юдин С.А. Модели устойчивости подкрепленных оболочек // Изв. Вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2001. №4. С.71-77.

121. Юдин А.С., Пономарев С.Е., Юдин С.А. Устойчивость подкрепленных цилиндрических оболочек // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2002. №1. С.45^9.

122. Юдин А.С., Пономарев С.Е., Юдин С.А. О спектре собственных частот колебаний подкрепленных цилиндрических оболочек // Современ. пробл. мех. сплош. среды. Тр. VIII Междунар. конф. Ростов-на-Дону: Изд-во "Новая книга", 2002. Т.2. С.212-216.

123. Юдин А.С., Рукина Т.И., Шевченко В.И. О расчете собственных частот и форм осесимметричных оболочек // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки. 1981. №3. С.32-36.

124. Юдин А.С., Шевченко В.И., Шепелев В.Г., Макарова Л.М., Рукина Т.И. Резонансные частоты цилиндрических и бочкообразных подкрепленных оболочек // Изв. Сев-Кавк. науч. центра высш. шк. Естеств. науки. 1983, №4. С.37-39.

125. Юдин А.С., Шепелева В.Г. Критические давления упругого выпучивания несовершенных сферических оболочек // Современ. пробл. мех. сплошн. среды. Тр. II Междунар. конф. Ростов-на-Дону: МП "Книга". 1996. Т.З. С.156-160.

126. Юдин А.С., ЮдинС.А., Пономарев С.Е. Вынужденные колебания подкрепленной цилиндрической оболочки // Труды III Всеросс. конф. по теории упругости с междунар. участием. Ростов-на-Дону: «Новая книга», 2004. С.433-436.

127. Юдин А.С., Юдин С.А. Моделирование пластической формовки артифицированной хлопающей мембраны // Соврем, пробл. мех. сплош. среды. Тр. X Междунар. конф. Ростов-на-Дону: Изд-во ООО "ЦВВР". 2006. Т.1. С.290-294.

128. Юдин А.С., Яценко М.Н. Вынужденные колебания подкрепленных оболочек вращения с неосесимметричными жесткостными и массовыми неоднородностями // Изв. АН СССР. МТТ. 1991. №2. С.161-166.

129. Юдин А.С., Яценко М.Н. Метод модального анализа виброакустики составных двумерно-неоднородных подкрепленных оболочек // Фундамент, и прикл. пробл. мех. деф. сред и к-ций. Н.-Новгород: Изд-во Нижегородского ун-та. 1993. Вып.1. С. 157-163.

130. Юдин А.С., Яценко М.Н. Виброакустика оболочки с кольцевыми ребрами переменной жесткости // Фунд. и прикл. пробл. мех. деф. сред и к-ций. Науч. тр. Н.-Новгород: Изд-во Нижегор. ун-та. 1995. Вып.2. С.97-105.

131. Юдин С.А., Пономарев С.Е. Некоторые модели для подкрепленных оболочек вращения в задачах на собственные значения // Матем. моделир., выч. мех. и гефизика. Тр. I шк.-сем. Ростов н/Д: Изд-во РГУ. 2002. С. 173175.

132. Юдин С. А. Резонансные спектры вынужденных колебаний подкрепленных оболочек // Тр. асп-тов и соиск. Ростовского гос. ун-та. Т. 10. Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 2004. С.51-53.

133. Юдин С.А, Пономарев С.Е., Юдин А.С. Анализ вариантов вибродемпфирования оболочки // Труды III Всеросс. конф. по теории упругости с междунар. участием. Ростов-на-Дону: «Новая книга», 2004. С.429^432.

134. Юдин С.А. Модель формовки оболочки вращения при конечных деформациях // Современ. пробл. мех. сплош. среды. Тр. IX Междунар. конф. Ростов-на-Дону: Изд-во ООО «ЦВВР», 2005. Т.2. С.228-231.

135. Юдин С.А., Юдин А.С. Аналитика пластической формовки сферического купола из круглой пластинки // Матем. модели и алгор. для имитац. физич. процессов. М-лы Междунар. науч.-технич. конф. Таганрог: Изд-во ТГПИ, 2006. T.I. С.212-215.

136. Юдин С.А. Пластическое формоизменение оболочек вращения // Тр. асп-тов и соиск. Ростовского госун-та. Т. 12. Ростов-на-Дону: «ТерраПринт», 2006. С.38-40.

137. Юдин С.А., Юдин А.С. Устойчивость сфероидальных оболочек переменной толщины // Соврем, пробл. мех. сплош. среды. Тр.Х междунар. конф. Ростов-на-Дону: Изд-во ООО "ЦВВР". 2006. T.l. С.295-299.

138. Ball R.E., Stilwell W.C. Buckling of shallow spherical caps and truncated hemispheres // AIAA Journal, 1972. V.10, №3. P.241-242.

139. Baruch M., Singer J., Harari O. Inversion of the eccentricity effect in stiffened cylindrical shells buckling under external pressure // Journal of Mech. Eng. Sci., 1966. V.8, №4. P.363-373.

140. Baruch M., Singer J., Weller T. Effect of eccentricity of stiffeners on the general instability of cylindrical shells under torsion // Israel Journal of Technology. 1966. V.4. №1. P.144-154.

141. Card M.F. Preliminary results of compression tests on cylinders with eccentric longitudinal stiffeners // NASA TM X-1004. -1964.

142. Hutchinson I.W. Imperfection-sensitivity of externally pressurized spherical shells // Appl. Mech. Trans. ASME. 1967. E34, №1. P.49-55.

143. Hatchinson J.W., Koiter W.T. Postbuckling theory // Applied Mechanics Review. 1971. V.24. P.1353-1366.

144. Reissner E. On the equations for finite symmetrical deflections of thin shells of revolution // Progr. Appl. Mech., Prager Anniv. Vol. 1963. P.171-178.

145. Reissner E. On finite symmetrical deflections of thin shells of revolution // Appl. Mech. Trans. ASME. 1969. E36, №2. P.267-270.

146. Singer J., Baruch M., Harari O. On the stability of eccentrically stiffened cylindrical shells under axial compression // Intern. J. Solids and Struct., 1967. V.3, №4. P.445-470.

147. Singer J. Buckling of integrally stiffened cylindrical shells a review of experiment and theory // Contrib. Theory Aircraft Struct. Delft. 1972. P.325-357.

148. Singer J. Vibrations and buckling of imperfect stiffened shells recent developments // "Collapse: Buckl. Struct. Theory and Pract." Symp., London, 31 Aug.-3 Sept., 1982. Cambridge e.a.: Univ. Press. 1993. P.443-479.

149. Stein M. Recent advances in shell buckling // AIAA Journal. 1968. V.6, №2. P.2339-2345; AIAA Paper. 1968, №103. 9p.

150. Van der Neute A. The general instability of stiffened cylindrical shells under axial compression // Nat. Aeron. Res. Inst., Amst., Holland. Rept. 5, 314, 1947.