Разработка способа расчёта напряжённо-деформированного состояния неохлаждаемого композитного раструба соплового блока в процессе трансформации тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

&

/

На правах рукописи

Муравьёв Василий Викторович

РАЗРАБОТКА СПОСОБА РАСЧЁТА НАПРЯЖЁННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ НЕОХЛАЖДАЕМОГО КОМПОЗИТНОГО РАСТРУБА СОПЛОВОГО БЛОКА В ПРОЦЕССЕ ТРАНСФОРМАЦИИ

01.02.06 - Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

¿'ЯНВ23Ц

Москва-2010

4843260

Работа выполнена в Московском государственном техническом университете им. Н. Э. Баумана

Научный руководитель: - доктор техн. наук, проф.

Сарбаев Борис Сафиулович

Официальные оппоненты: - доктор техн. наук, проф.

Зарубин Владимир Степанович МГТУ им. Н.Э. Баумана - кандидат физ-мат. наук, доцент Носатенко Пётр Яковлевич ОАО «ВПК «НПО Машиностроения»

Ведущая организация ГНЦ ФГУП «Центр Келдыша»

Защита состоится «27» января 2011 г. в 14 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.141.03 при Московском государственном техническом университете им. Н. Э. Баумана по адресу: 105005, г. Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного технического университета им. Н. Э. Баумана

Автореферат разослан <</£» 2010 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. В современной ракетно-космической технике широкое распространение получили композиционные материалы. Задачи прочностного анализа силовых элементов конструкций, выполненных из них, как правило, имеют динамический характер. В процессе эксплуатации несущие конструкции отсеков космических аппаратов и ракет испытывают воздействие нестационарных внешних силовых факторов, а в ряде случаев появление динамических воздействий обусловлено трансформацией геометрии и изменением размеров конструкции. Использование аналитических методов решения ограничено, в том числе особенностями применяемых материалов, и анализ напряжённо-деформированного состояния связан с выбором приближённого метода решения. Большое количество уже разработанных методов свидетельствует об отсутствии универсальных подходов к решению задач динамики. Для некоторых элементов конструкции проведение натурных испытаний проблематично или сопряжено со значительными финансовыми затратами. Поэтому разработка метода расчёта конструкций из композиционных материалов при динамическом нагружении с заданными требованиями к точности решения является весьма актуальной проблемой современной ракетно-космической техники.

Цель работы. Целью диссертационной работы является разработка способа определения полей перемещений и напряжений в тонкостенных оболочечных элементах конструкции неохлаждаемых насадков раструба соплового блока в процессе трансформации с учётом требований к точности получаемого решения. Достижение поставленной цели предполагает последовательное решение следующих задач:

- обоснование методики априорной оценки глобальной погрешности применения конечно-разностных схем для решения задачи динамики тонкостенных оболочек вращения в физически и геометрически линейной постановке;

- апробация и оценка границы применения методики на тестовых примерах;

- разработка практических рекомендаций по выбору постоянного шага интегрирования по времени уравнений движения при применении конечно-разностных схем;

- разработка математической модели неохлаждаемых композитных насадков раструба соплового блока в процессе трансформации и расчет на ее основе напряженно-деформированного состояния насадков с учетом априорных требований к точности применения конечно-разностной схемы для получения данного решения.

Методы исследования. Задача динамики тонкостенной оболочечной конструкции решается в осесимметричной, геометрически и физически линейной постановке с использованием гипотезы Кирхгофа-Лява, без решения контактной задачи и учёта сил трения между раструбами в процессе раздвижки. Пространственное представление конструкции осуществляется ко-

нечными элементами, при этом используется принцип возможных перемещений. При переходе от динамической постановки к квазистатической применяется принцип Даламбера. Решение задачи осуществляется с помощью метода конечных разностей с постоянным шагом интегрирования по времени. Сравнение конечно-разностных схем осуществляется по реализуемой ими точности и ресурсоёмкое™ на каждом шаге интегрирования. Для создания методики априорной оценки точности используются функции прогноза численного решения в виде функций аналитического решения соответствующей задачи, как дальнейшее развитие предложенной О. Зенкевичем и К. Морганом методики оценки устойчивости метода конечных элементов по времени. Исследуется аналитически применение конечно-разностных схем с помощью функций прогноза на одномерных задачах в случаях свободных и вынужденных колебаний, полученные результаты распространяются на многомерные задачи. С помощью тестовых примеров подтверждается справедливость сделанных предположений и допущений, выводов, рекомендаций по выбору шага интегрирования по времени. Выполняется анализ напряжённо-деформированного состояния насадков раструба соплового блока в процессе раздвижки с помощью разработанной методики.

Научную новизну диссертационной работы составляют:

- методика априорной оценки погрешности применения конечно-разностных схем при решении линейных задач динамики тонкостенных слоистых анизотропных пластин и оболочек методом конечного элемента; рекомендации по выбору постоянного шага интегрирования по времени для обеспечения априорно заданной точности приближённого решения при решении задач о свободных колебаниях и внезапном действии постоянного по времени силового фактора;

- новая модификация неявного метода Милна 4-ого порядка, заключающаяся во введении регуляризирующего сомножителя и обеспечивающая безусловную устойчивость и требуемую точность метода при решении задач динамики тонкостенных слоистых анизотропных пластин и оболочек;

- математическая модель процессов раздвижки композитных раструбов соплового блока, основанная на соотношениях теории тонких слоистых анизотропных оболочек при осесимметричном нагружении; новые расчетные данные о напряжённо-деформированном состоянии композитных раструбов соплового блока в процессе раздвижки.

Достоверность полученных результатов. Достоверность результатов обеспечивается применением строгих математических методов исследования, сопоставлением результатов, полученных различными методами, решением большого числа тестовых задач и сравнением ряда результатов с результатами, приведенными в известных публикациях.

Практическая ценность. Разработаны рекомендации по выбору постоянного шага интегрирования по времени для обеспечения априорно заданной погрешности метода на указанном интервале времени в выбранном диапазоне частот. Разработан специализированный программный комплекс

для анализа напряженно-деформированного состояния неохлаждаемых композитных насадков соплового блока. На основании расчетов сформулированы рекомендации по совершенствованию соплового блока двигателя системы межорбитальной транспортировки (СМТ). Результаты работы внедрены в ОАО ЦНИИСМ (г. Хотьково).

Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались:

- на XXIIV ежегодной международной конференции «Композиционные материалы в промышленности» (июнь 2007 г., Ялта).

- на всероссийском симпозиуме «Функциональные композиционные материалы» (сентябрь 2009 г., Пермь);

- на семинаре научного совета РАН по механике конструкций из композиционных материалов под руководством член-корреспонедента РАН, проф. Васильева В. В., проф. Сухинина С. Н., проф. Щуланова И. MJ (октябрь 2006 г., Москва);

- на семинаре кафедры РК5 «Прикладная механика» МГТУ им. Н. Э. Баумана (апрель 2009 г., Москва);

- на семинаре кафедры ФН2 «Прикладная математика» МГТУ им. Н. Э. Баумана (июнь 2009 г., Москва).

По теме диссертации опубликованы 3 статьи, из них в журналах из перечня ВАК-3.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, выводов и списка литературы из 146 наименования. Объем работы - 182 страниц основного текста, включая 106 рисунков.

Краткое содержание работы

Во введении по материалам открытых источников приведена динамика роста массовой доли композиционных материалов в различных образцах техники за последние полвека. Также дано краткое описание назначений трансформируемых раструбов сопловых блоков, необходимость применения углерод-углеродных композиционных материалов и их свойства. Подчёркивается актуальность и значимость решения подобных задач, увеличивающееся количество расчётных случаев.

После введения сформулированы цели и задачи диссертации.

В первой главе излагаются отечественные и зарубежные варианты исполнения конструкций раздвижных насадков раструбов сопловых блоков, применяемые материалы и технологии. Обоснован выбор системы раздвижки и фиксации телескопических насадков, состоящей из вложенных раздвижных телескопических цилиндров с замкнутой внутренней полостью, в которую по команде газогенератором нагнетается избыточное давление (рис. 1). Представлена конструкция соплового блока с системой телескопических пиротолкателей для одного выдвижного неохлаждаемого насадка.

Рис. 1. Конструкция раздвижного раструба соплового блока: 1 - неподвижный насадок; 2,4 - направляющие цилиндры; 3,5 — выдвигаемые насадки; 6 - тяги; 7,10 - уплотнения; 8,9, 11 — соосные стаканы; 12-газогенератор

В первой главе также приведён обзор литературы, посвящённой анализу напряжённо-деформированного состояния тонкостенных оболочечных конструкций при различных условиях нагружения. Значительная часть источников посвящена применяемым материалам и их свойствам. Такими авторами как М. И. Рогайлин, Дж. Хаури, А. Г. Щурик были опубликованы работы, содержащие исчерпывающую информацию об углерод-углеродных композиционных материалах (УУКМ), технологиях получения из них конструктивных элементов, основных физико-механические свойствах, методиках проведения испытаний. Приведены области возможного применения УУКМ, конкретные примеры использования в тормозных системах самолётов и сопловых насадках жидкостных ракетных двигателей. Вместе с тем, необходимо отметить, что большее количество работ посвящено определению три-бологических и теплофизических свойств материалов, тепловому состоянию конструкций.

Второе крупное направление исследований относится непосредственно к применению приближённых методов для решения различных задач динамики конструкций. В энергомашиностроении и судостроении много внимания уделяется ударному (в частности, взрывному) нагружению конструкций в процессе эксплуатации, а также моделированию напряженно-деформированного состояния конструкций с дефектами.

Немалое количество работ носит фундаментальный характер и посвящено конечно-элементному и конечно-разностному анализу, методу граничных элементов, их модификациям и применениям в различных задачах. Целый ряд исследователей решает связанные задачи динамики конструкций с задачами гидро- и аэродинамики. Существуют работы, в которых эти задачи рассматриваются и в независимой постановке. Для решения динамической задачи отечественные авторы применяют готовые пакеты прикладных программ, такие как «Динамика-2», «Динамика-3», АШУБ, используя для пространственного представления конструкций метод конечных элементов. Большинство работ содержит сравнение расчётных и экспериментальных значений исследуемых величин. Рядом авторов ведётся аналитическое исследование возможностей использования конечно-разностных и конечно-элементных схем в задачах динамики. Так, В. Г. Баженовым и Д. Т. Чекма-

рёвым предлагается преобразование вариационных конечно-элементных схем к конечно-разностному виду для последующего анализа точности и сходимости. Результаты исследования позволяют сформировать условия применения грубых сеток при расчете тонкостенных конструкций по параметру отношения размера ячейки к толщине оболочки, получены точные и приближенные оценки устойчивости. Ряд работ ориентирован на снижение трудоёмкости методов без падения точности или при незначительном и прогнозируемом снижении точности, оптимизацию моделей и процессов их создания. Исследованию возможностей применения новых методов, таких как метод граничных элементов и метод граничных значений, уделили много внимания Ванг и Йу. Отдельно хотелось бы отметить обратные задачи динамики и их методы, которые были исследованы Кимом и Чо.

В материалах первой главы даны основные определения используемых терминов, выбраны критерии устойчивости и точности метода, обоснована необходимость использования априорных глобальных оценок погрешностей.

Вторая глава посвящена разработке способа расчёта напряжённо-деформированного состояния, даны постановка задачи и подход к решению. В общем виде рассматривается некоторое сплошное неоднородное тело объемом V, плотностью р, на которое действуют нестационарные объемные силы 7, а на части поверхности 8[ - нестационарные поверхностные силы 1У. На части полной поверхности заданы кинематические граничные условия. Перемещения считаем малыми, деформации упругими. Необходимо определить напряженно-деформированное состояние с известной точностью на заданном интервале времени. Перемещения и! и их первые производные по времени в начальный момент известны. Воспользуемся вариационным принципом возможных перемещений в формулировке

- - Я- \WfMdv=о. (о

(У) (У) №) (У)

Представим тело конечными элементами. Записывая (1) для выбранного конечного элемента и применяя стандартные процедуры метода конечных элементов, получаем следующее уравнение движения

о №}=-§}+{4 т

Для простоты дальнейшего изложения символ «Л» над векторами {#} и указывать не будем.

В соответствии с предлагаемым подходом необходимо записать конечно-разностное выражение для вектора узловых ускорений. Из этого выражения необходимо получить рекуррентную зависимость очередного вектора узловых перемещений от предыдущих векторов узловых перемещений, их производных по времени и вектора узловых сил. Аппроксимируем прогнозируемое численное решение функцией вида функции аналитического решения и подставляем в рекуррентное соотношение метода, откуда, определяя коэффициенты функции прогноза, уточняем её. Получившуюся зависи-

мость анализируем на сходимость и предлагаем рекомендации по выбору шага. Продолжением этого исследования является оценка точности получаемого численного решения. Она дается по анализу разницы между прогнозируемым численным решением и аналитическим решением.

Воспользуемся неявной формулой Милна четвертого порядка точности для дифференциального уравнения первой степени вида й ~ /(и,():

= +1/3 • Лг(Л+1 + 4/* + /кА),

где ик и /к = /(ик^к) — значения приближённого решения искомой функции и правой части дифференциального уравнения соответственно в момент времени 1к, к = \,2,...,Ыа Ат = tk+l-tk - постоянный шаг интегрирования по времени. Для дифференциального уравнения второй степени (2) записывается система из двух уравнений, в которых присутствует производная от искомой функции по переменной интегрирования. Воспользовавшись представлением в матричном виде, приходим к записи:

) = } - Аг/3 - }+)+})+Аг/3 }+}+}) Перенеся все слагаемые, относящиеся к к+1-ому шагу интегрирования, кроме {Ры }, которое мы считаем априорно известным, можно последовательно перейти к явной системе. Представление матрицы [В] в соответствии со спектральной теоремой и смена базиса позволяют записать последнюю систему так:

л^ф-к ч-щк ^ 2 п (4)

Последняя запись говорит, что исследование на сходимость системы (2) сводится к исследованию на сходимость п систем (4). Для простоты дальнейшего изложения символ «~» над векторами указываться не будет, как и индекс ] у компонентов вектора узловых перемещений и вектора узловых скоростей. Рассмотрим случай свободных колебаний Р^О, к=0,1,...,п. Аналитическое решение имеет вид #(£) = С0е'^1+'Ра. Тогда функции прогноза

численного решения = ц{гк) = Се№'* д(^) = Оеп'к. Подстанов-

кой их в уравнения системы (4) и преобразованием получаем = = ц,

новую систему и выражение для . Условие устойчивости требует, чтобы | < 1; и определяет границу устойчивости Д г < л/з/.

Предлагается модификация метода Милна, заключающаяся во введении регуляризирующего сомножителя в рекуррентное соотношение метода. То есть, вместо соотношений (4) запишем систему

V

/

Ат

1 + ^

(1 + а(уу а г 2 )а = цк_х - ^-р- (4дк + ) -

(5)

Используя функции прогноза численного решения того же вида, получаем уравнение относительно х — , и, накладывая условия безусловной устойчивости < 1 для любых значений А г, получаем неравенство от, (у.АГ2)/3-1 носительно параметров а и а а\у]Лт ) ^ ^ д гу^ > котоРое удобно

решать графо-аналитическим способом. На рис. 2 показаны графики функций у = (х/3-1)/(1 + л:/9) и у-а(х)а для нескольких значений а, а и

X > 0. Условия касания двух графиков формулируется равенством ординат

*

и углов касательных при х = х . Каждому значению а соответствуют единственные значения х и а, которые можно определить из уравнений

Г Г.-—-л

X =6

и а —

3-

36

9 + х*

(х*)а. В таблице

приведены значения X и а для некоторых а, Необходимо отметить, что с ростом а при постоянном V ¿Ат2 монотонно снижаются значения комплекса а\уЛт2Т и Итп[а[у Лт2) )= 0. Это крайне важно при выборе значе-

-' ' а-> ссЛ 1 '

ний а и а по условиям точности. На практике рекомендуется выбирать значения коэффициента а на 5... 10 % больше, чем это указано в таблице 1, с целью борьбы с вычислительной погрешностью. Использование модифицированной конечно-разностной схемы приводит к решению задачи не в постановке {Т7}, а в постановке + = + То есть модифи-

кация вносит в модель дополнительное прогнозируемое демпфирование по обобщённой координате и скорости её изменения.

Таблица 1.

Таблица коэффициентов модифицированного метода Милна

а * X а а * X а

2 5,196152 0,017189 1 3,477804 1,87Е-05

3 4,291503 0,003688 8 3,412376 5,42Е-06

4 3,908327 0,000905 9 3,362669 1,6Е-06

5 3,699091 0,000238 10 3,323635 4,79Е-07

6 3,567764 6,57Е-05 20 3,155766 4,01Е-12

I ...... 11111

4,001 6,001 8,001 10,001 12,001 14.001 16,001 18,001

у = а2(х)щ -ж-

«2 > щ а3> а2>а1

Рис. 2. Графики функций, определяющие условия устойчивости

Оценка точности модифицированной конечно-разностной схемы может быть проведена по той же методике, что и оценка устойчивости, с использованием функций прогноза приближённого численного решения. Накладывается ограничение для всех собственных частот ^¡У^, на которых даётся точностная оценка -УкАт2 < 1. Функция прогноза численного решения содержит отклонения по амплитуде, фазе и частоте от функции аналитического решения. Большой объем проведённых численных экспериментов позволил выдвинуть предположение о малости этих отклонений при грамотном выборе шага интегрирования. В связи с эти возможно рассмотрение погрешности приближённого решения в виде суммы трёх независимых погрешностей, вызванных неточным определением амплитуды, фазы и частоты. Будем рассматривать ^ый тон, j=l,...,n. Для случая свободных колебаний по .¡-ому тону предложим функции прогноза численного решения

и дк=д({к) = Ое'(^+А^. Опираясь на численные эксперименты, считаем, что и е'АкАт «1 + /Дц>Дг.

Подставляя функции прогноза в рекуррентное соотношение метода и разлагая полученное в ряд Мак-Лорена, получаем оценки:

О < Ке{Ам>А г) < ^ у) ^А г5, 0 < 1т(Д>М г) < ^ а(ууАт2 У.

Асимптотическая оценка вкладов в стандартную погрешность приближённого решения слагаемых, вызванных ошибками определения частоты приближённого решения и амплитуды, на интервале времени [0;?пред]:

2/295• У^Ат\ред <к_, 36/59-а{уЛт2У

^пред ^ ^амплитуды

Последние неравенства определяют алгоритм выбора шага интегрирования по времени. Исходя из предельного значения £пред глобальной погрешности метода на интервале времени выбирается постоянный

шаг приближенного интегрирования: Л г < 4 — "ред

2 ^лГЛед

Значение собственной частоты ^Уу выбирается, исходя из соображения, что на частотах -^У^ > сосредоточена незначительная часть энергии свободных колебаний. После выбора А г, последовательно увеличивая а, начиная с а = 2, проверяется выполнение неравенства

~а(уЛт2)а<^-

I ^ з ' 1П/

59 4 7 ' Шпред

Для реализации метода выбирается наименьшее а, для которого неравенство оказывается справедливым.

Ограничим ситуации вынужденных колебаний случаем постоянной по времени внешней силы, приведённой к ]-ой главной координате, (?) = А.

Аналитическое решение # = А/у у, функции прогноза:

4к = Ч^к) = . Подстановка последних в рекуррентное соотношение (9) даёт априорную мажорантную асимптотическую оценку погрешности метода. Приближённое решение будет отличаться от аналитического только

амплитудой. Стандартная погрешность кампят^1ы < 6а(у у Ат2^ /зб. Рекомендации по выбору шага интегрирования:

6а{уЛт2)'

з6 (7>

Методика использования полученных рекомендаций по выбору постоянного шага интегрирования по времени не предполагает решения задачи динамики конструкции в главных координатах. Пользователь предлагаемого способа априорной оценки глобальной погрешности метода самостоятельно, на основе собственного опыта выбирает предельное значение круговой час-

тоты

i/vmax , такое, что ¿(С-)> (1 - s)Cz , где Cj - амплитуда колебаний

N .

по j-ому тону, Сх = е е (ОД] - наперёд заданная величина, ап соот-

j=1

ветствует неравенству < Л/ктах , j е [1, п]. Обеспечивая выбором параметров схемы а, а и А г априорную точность на интервале t е \^,tnped\ для ^ < ~Jvmax , получаем оценку глобальной погрешности метода приближенного решения £ъ <£пред/1~£- Принимая, что £ = £пред, априорно задаваемая погрешность метода, пользуясь её малостью, обеспечиваем £z <~ £пред.

Для нескольких методов - метода Рунге-Кутты 4-ого порядка, модифицированного метода Милна 4-ого порядка, метода решения в главных координатах - приводятся оценки вычислительных ресурсов, необходимых для приближённого решения задачи Коши. Сравнение приближённых схем ведётся по количеству операций умножения, как самых ресурсоёмких. По результатам анализа предпочтение отдаётся модифицированному методу Милна.

Третья глава посвящена проверке справедливости выводов и соотношений, сделанных в предыдущей главе. Коротко описаны используемые при решении задач конечные элементы - элемент BCIZ и кольцевой осесиммет-ричный конический элемент. Приведены результаты точностного анализа метода Рунге-Кутты 4-ого порядка, аналитическое обоснование которых не вошло в диссертацию. Для проверки полученных соотношений решены тестовые задачи о свободных и вынужденных колебаниях в одномерном случае. Представленные результаты приближённых решений, функций прогноза и аналитических решений наглядно демонстрируют их удовлетворительное соответствие.

Для проверки оценок точности и эффективности регуляризирующего сомножителя модифицированного метода Милна был проведён значительный объём тестовой отработки. В задачах о продольном ударе балки, о соударении двух балок и нагружении сферической оболочки внутренним давлением приближённые численные решения сравнивались с аналитическими, полученными при использовании целого ряда допущений. При решении задачи о нагружении цилиндрической многослойной композитной оболочки

избыточным внутренним давлением приближённое решение, полученное модифицированным методом Милна, сравнивалось с приближённым решением, полученным П. А. Зиновьевым и Л. Н. Суховой методом Хубольта. Также решалась задача о нагружении части кольца постоянной нагрузкой, расчётная схема которой представлена на рис. 3. .Р

ра

Рис. 3. Расчетная схема кольца, нагруженного воздействием по части поверхности

Аналитическое решение ищется в рядах Фурье для нерастяжимого кольца. Граничных условий на кольцо не накладывается, то есть оно может перемещаться как жесткое целое. Начальному моменту времени соответствует состояние покоя всех точек кольца.

О;

■^•Решение методом Милна. Предельная частота 370 Гц А Решение методом Милна. Пределная частота 1DD0 Г

■□-Аналитическое [ ____

Í, сек

— Решение методом Милна. (,ред~ 370 Г'X ¥г Решение методом Милна. (,/^=1000 Гц СЮАналитическое решение

Рис. 4. Окружные перемещения точки Рис. 5. Радиальные перемещения

с угловой координатой ср=90

точки с угловой координатой (р=90

На рис. 4 и рис. 5 графиками «Аналитическое решение» представлены значения окружного перемещения V и радиального перемещения \у точки с угловой координатой <р=90°, найденные аналитически и приближенным численным интегрированием по модифицированной схеме Милна с разными предельными частотами. Представленные графики наглядно демонстрируют возможности алгоритма по решению задач динамики с незакрепленными телами и механизмами. Рассогласование частот и амплитуд на графике с радиальными перемещениями точки (рис. 5) объясняется тем, что при аналитическом решении мы считали кольцо нерастяжимым, а при численном решении уже учитывали мембранную жесткость.

Четвёртая глава посвящена исследованию НДС насадков раструбов сопловых блоков. Она содержит описание математических моделей насадков раструбов, описание расчётных случаев с начальными и граничными условиями, результаты численных экспериментов и их анализ.

Для насадков раструба, представленного на рис. 1 предлагается рассмотреть два расчётных случая: соударение первого подвижного насадка с неподвижным насадком и соударение второго подвижного насадка с первыми двумя насадками, соединёнными между собой. В обоих случаях на левом торце граничное условие - заделка, а соединённые подвижная и неподвижная части насадка рассматриваются как единое тело, часть которого (неподвижная часть) покоится, а часть которого (подвижный насадок) имеет ненулевую осевую составляющую скорости. Допущения модели: осесимметрич-ная, физически и геометрически линейная постановка задачи, деформации поперечного сдвига не учитываются, контактная задача не решается, пренебрежение силами трения. При решении используются вариационный принцип возможных перемещений, принцип Даламбера, метод конечных элементов для пространственного представления конструкции коническими осесимметричными оболочечными элементами и метод конечных разностей с модифицированной схемой Милна 4-ого порядка для решений задачи Ко-ши. На этапе разгона используется метод Милна третьего порядка точности.

Часть оболочки насадков из ортотропного однородного по толщине УУКМ получается выкладкой по схеме «Розетта». Созданная модель учитывает только угол между нитями основы и меридианом в связи с незначительным влиянием остальных углов на упругие характеристики пакета. Некоторые физико-механические характеристики УУКМ представлены в таблице 2.

Таблица 2.

Некоторые физико-механические характеристики УУКМ_

Характеристика Значение Характеристика Значение

Модуль Юнга Е, 60,0 ГПа Коэффициенты Пуассона У12 0,273

е2 40,0 ГПа Ун 0,051

е3 6,0 ГПа Чгъ 0,043

Модуль сдвига 4,7 ГПа Прочностные характеристики 72,0 МПа

сп 3,4 ГПа Е+2 49,0 МПа

бгз 3,86 ГПа К, 87,0 МПа

Плотность Р 1420 кг/м3 Г-2 66,0 МПа

Для первого и второго расчётных случаев скорость присоединения подвижного насадка принималась равной 16,6 м/с. Исследуемый интервал времени в первом расчётном случае 0,018 сек, во втором расчётном случае -0,05 сек. Было проведено несколько численных экспериментов по анализу НДС насадков после их соединения для нескольких значений предельных частот. На рис. 6 представлен профиль насадка (перемещения условно увеличены в десять раз) в момент времени 0,015 сек, а на рис. 7 - максимальные и минимальные напряжения в УУКМ на поверхностях оболочки, достигаемые на интервале времени /е[0;0,018] для первого расчётного случая. На рис. 8 представлен профиль насадка (перемещения условно увеличены в десять раз) в момент времени 0,05 сек, а на рис. 9 - максималь-

ные и минимальные напряжения в УУКМ на поверхностях оболочки, достигаемые на интервале времени ? е [0;0,05] для первого расчётного случая.

2-10»

осевое и радиальное направ-мо».

напряжения, Па

¡.направление

-1-10»:

Рис. 6. Профиль раструба в момент времени 0,015 сек

ООО™ ст>на внутренней поверхности раструба Х«Х ШЙ ст1на внешней поверхности раструба • • • пределы прочности Рц и Ри

X, м

ДД max о-,на внутренней поверхности раструба -Ы-ГО® °iHa внешней поверхности раструба

Рис. 7. Min и max напряжения с, при /е[0;0,018]

вшжкйшя. Sa njjn с, на внутренней поверхности раструба -Х- mjfl °ina внешней поверхности раструба

1 -10э

осевое и радиалыюеда-правления

окружное направление -1-ю8

Рис. 8. Профиль раструба в момент времени 0,05 сек

• • пределы прочности F„ и F.i

X, М

-Д- max ст,на внутренней поверхности раструба -+• Ш?К ст,на внешней поверхности раструба

Рис. 9. Min и max напряжения сг, при t е [0Д05]

Для ещё одной конструкции - варианта насадка раструба двигателя СМТ предлагается рассмотреть два расчётных случая. Первый - соударение подвижного насадка радиационного охлаждения (НРО) с неподвижной часть двигателя через опорное кольцо - демпфер - на этапе разгона НРО пиротол-кателями. Второй - соударение НРО с неподвижной частью двигателя через цанги при обратном ходе демпфера с последующей фиксацией. Конечно-элементная модель в первом расчётном случае включает в себя НРО из УУКМ, элементы его арматуры из сплава ВТ-20 и демпфер из графлекса. Неподвижная часть двигателя в модель не включается, имитируется заделкой по левому краю модели. В качестве начальных условий выступает ненулевая начальная скорость НРО в осевом направлении. Во втором расчётном случае к модели НРО добавляются цанги, а неподвижная часть двигателя

вновь имитируется заделкой. В качестве начальных условий выступают поля перемещений и скоростей перемещений по результатам первого расчётного случая. Однако, для второго расчётного случая было проведено несколько численных экспериментов, соответствующих разным размерам цанг и, как следствие, разным временам соударения с цангами. Это делалось для того, чтобы предложить такую осевую длину цанг, которой соответствуют минимальные напряжения в материалах НРО. Была рассмотрена работа пиротол-кателей и определена скорость присоединения НРО в 15,6 м/с. Допущения модели те же самые, что и в случае модели предыдущего насадка. УУКМ получен выкладкой по схеме «розетта», физико-механические свойства УУКМ приведены в таблице 3. Анализ НДС проводился для двух конечно-элементных моделей, различающихся плотностью расположения элементов, и нескольких значений предельных частот.

Таблица 3.

характеристика значение характеристика значение

Е], ГПа 20,5 С12, ГПа 0,89

Е2, ГПа 18,8 р, кг/м3 1410

0,17

На рис. 10. показаны результаты в части осевых перемещений правого торца в зависимости от времени. На рис. 11. максимальные и минимальные напряжения в слое УУКМ, достигающиеся в первом расчётном случае.

Во втором расчётном случае анализ НДС проводился для значения ¡пред

= 0,05 сек и нескольких значений предельных частот. Рассматривались осевые размеры цанг, соответствующие остаточному сжатию демпфера в 13,2; 12,8; 11,5; 9,5; 7,5; 5,5; 3 мм. На рис. 12 максимальные и минимальные напряжения на поверхностях оболочки из УУКМ при остаточном сжатии демпфера в 3 мм, а на рис. 13 показаны зависимости максимальных и минимальных напряжений в слое УУКМ от осевого размера цанги. По результатам анализа результатов можно сделать несколько выводов. Основная энергия свободных колебаний насадков при соударениях без учёта местных деформаций приходится на частоты менее 2500 Гц. Значения предельных частот при получении приближённого решения рекомендуется выбирать не менее 2500 Гц. Оптимальным выбором размеров некоторых конструктивных элементов, удаётся снизить уровень перемещений и напряжений в материалах конструкций до приемлемых величин и обеспечить их работоспособность.

t, сек

-О" модель 105 узлов, iVMT2500 Гц модель 105 узлов,

ip^=10000 Гц

Рис. 10. Осевые перемещения правого торца

-ЙДЗ£*07

□<Qmlnslgmal на поверхности слоя уукм

----Предал гр очное™ F+1

Д*Дтах sigma 1 на поверхности слоя УУКМ ----Предел громкости F-1

Рис. 12. Min и шах напряжения Cj в УУКМ при / s [0;0,05]

с------

0,00£«00 , I —, I I

-О*модель 209 узлов, Jp«l=2500 Г«

-Д- модель 105 узлов,

1^=10000 Гц

□♦□min sigma 1 на поверхности слоя УУКМ

----Предел грочноста F+1

Д*Дтах sigma 1 на поверхности слоя УУКМ ----Предел грочноста F-1

Рис. 11. Min и max напряжения а1 в УУКМ при t е [0;0,05]

остаточное сжатиедемпфера, мм

-sigma 1 тгк

-sigma 1 min

-Д-sigma 2ш» -0-sigma2 min

Рис. 13. Зависимость max и min напряжений в УУКМ от остаточного сжатия демпфера

Выводы по диссертационной работе: 1. Предложена методика оценки погрешности применения конечно-разностных схем при решении задач динамики линейных механических систем с одной степенью свободы для случаев свободных колебаний, вынужденных колебаний при внезапном действии постоянной по времени силы, вынужденных колебаниях при гармоническом нагружении, вынужденных колебаний при резонансном нагружении. Методика основана на использовании функций прогноза численного решения вида функций аналитического решения соответствующей задачи и позволяет формулировать рекомендации по выбору постоянного шага интегрирования по времени для обеспечения априорно заданной точности приближённого решения на указанном интервале времени. С помощью методики даны рекомендации для метода цен-

тральных разностей, метода Рунге-Кутгы 4-ого порядка, модифицированного неявного метода Милна 4-ого порядка.

2. Предложена методика оценки погрешности применения конечно-разностных схем при решении задач динамики тонкостенных слоистых анизотропных пластин и оболочек методом конечного элемента. Разработаны рекомендации по выбору постоянного шага интегрирования по времени для обеспечения априорно заданной точности приближённого решения при решении задач о свободных колебаниях и внезапном действии постоянного по времени силового фактора. Апробация методики на тестовых задачах дала положительные результаты.

3. Разработана новая модификация неявного метода Милна 4-ого порядка, заключающаяся во введении регуляризирующего сомножителя и обеспечивающая безусловную устойчивость и требуемую точность метода при решении задач динамики тонкостенных слоистых анизотропных пластин и оболочек.

4. Предложена новая математическая модель процессов раздвижки композитных раструбов соплового блока, основанная на соотношениях теории тонких слоистых анизотропных оболочек при осесимметричном нагруже-нии. С помощью разработанной методики получены новые расчетные данные о напряжённо-деформированном состоянии композитных раструбов соплового блока в процессе раздвижки. Показано, что для обеспечения прочности конструкции необходим оптимальный выбор размеров и материалов некоторых конструктивных элементов, проведены проверочные расчёты для таких вариантов. Результаты работы внедрены в ОАО ЦНИИСМ (г.Хотьково).

Публикации по теме диссертации

1. Муравьёв В.В. Оценка точности конечно-разностного метода Рунге-Кутгы 4-го порядка при решении задач динамики тонкостенных оболочек методом конечных элементов // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2007. № 1. С. 58-71.

2. Муравьёв В. В. Оценка сходимости конечно-разностной схемы Рунге-Кутты 4-го порядка при решении задач динамики тонкостенных оболочек методом конечных элементов // Конструкции из композиционных материалов. 2007. №2. С. 24-29.

3. Моделирование напряженно-деформированного состояния сопловых насадков ЖРД из УУКМ при динамических нагрузках в процессе раздвижки / В.В. Муравьёв [и др.] // Вопросы оборонной техники. Композиционные неметаллические материалы в машиностроении. 2009. № 3-4. С. 64-69.

Подписано к печати 24.11.10. Заказ №690 Объем 1,0 печ.л. Тираж 100 экз. Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д.5 (499) 263-62-01

Введение.

Цели диссертации.

Задачи диссертации.

Глава 1. Обзор литературы, посвященной конструкциям насадков раструбов сопловых блоков, задачам динамики конструкций и методам их решения

1.1. Варианты конструктивного исполнения сопловых блоков.

1.2. Развитие методов решения прикладных задач механики

1.3. Актуальные направления исследований в области динамики тонкостенных конструкций и прикладных методов.

1.4. Численные методы решения задачи Коши.

1.5. Методы оценки устойчивости.

1.6. Методы оценки точности.

Выводы по главе 1.

Глава 2. Основные соотношения, позволяющие оценить устойчивость и точность решения для выбранной конечноразностной схемы.

2.1. Некоторые проблемы использования приближённых методов.

2.2. Постановка задачи и подход.

2.3. Метод Милна.

2.3.1. Оригинальный метод Милна 4-ого порядка точности

2.3.2. Модификация метода Милна.

2.3.3. Оценка погрешности модифицированного метода Милна.

2.4. Применение методики априорной оценки точности конечно-разностношсхемы в задачах динамики

2.5. О преимуществах использования: метода? Милна в задачах динамики тонкостенных конструкций г.

Выводы по главе 2 .;.'.'.■.;./ 86=

Глава 3. Вычислительный алгоритм; тестирование программного комплекса и определяющих соотношений методов:.

3.1. Требования; предъявляемые к алгоритму расчета.

3.2. Определяющие соотношения для элемента Зенкевича

3.3. Определяющие соотношения; для кольцевого* конечного элемента. : 90Р

3.4. Тестирование . 97:

3.4.1. Априорная оценка точности метода Рунге-Кутты 4-ого порядка.;.

3.4.2. Модифицированный, метод Милна в задаче о продольном ударе балки

3:4.3. Модифицированный метод, Милна в задаче о; соударении* двух балок;. .108

3.4.4. Модифицированный метод, Милна в задаче о нагружении цилиндрической оболочки внутренним давлением

3:415: Модифицированный; метод Милна вг задаче о нагружении кольца; постоянным воздействием по части поверхности .—.

3.4.6. Модифицированный метод Милна в задаче о нагружении сферической оболочки внутренним давлением.

Выводы по главе 3.;.

Глава 4. Анализ напряжённо-деформированного состояния раструба соплового блока в процессе раздвижки

4.1. Общие замечания, подходы к решению задачи.

4.2. Анализ напряжённо-деформированного состояния трёхсекционного раструба соплового блока в процессе трансформации.

4.2.1. Модель раструба соплового блока.

4.2.2. Первый расчётный случай, результаты анализа напряжённо-деформированного состояния.

4.2.3. Второй расчётный случай, результаты анализа напряжённо-деформированного состояния.

4.3. Анализ напряжённо-деформированного состояния насадка двухсекционного раструба соплового блока в процессе трансформации.

4.3.1. Описание насадка, модель насадка.

4.3.2. Первый расчётный случай, результаты анализа напряжённо-деформированного состояния.

4.3.3. Второй расчётный случай, результаты анализа напряжённо-деформированного состояния.

4.4. Анализ результатов.

Выводы по главе 4.

Практические задачи, которые ставила перед человеком повседневная жизнь, заставили его искать методы их решения. Исследуемые явления нередко носили не статический или квазистатический характер, а характер динамический. С течением времени появлялись проблемы не только прикладного, но и академического характера. Областями интересов человека стали механика, астрономия, термодинамика, химия. Требовалось предсказать положение небесных тел, оптимизировать работу тепловой машины, определить тепловой выход реакции горения [38]. Появлялись точные и приближенные методы, аналитические и численные. Параллельно с механикой развивалось и материаловедение. Совершенствовались традиционные конструкционные материалы, появлялись новые, которые впоследствии переходили в разряд традиционных. Известные в строительстве композиционные материалы с появлением полимеров и технологий получения органических, стеклянных и углеродных волокон пришли в технику, в частности в авиацию и космонавтику.

Интересно, что применение композиционных материалов в авиации началось с использования имеющих более или менее явно выраженную анизотропию свойств дерева и фанеры. Позднее появившиеся сталь и алюминиевые сплавы не сразу вытеснили их. Именно использование дерева обеспечило такому самолёту как «Москито» преимущества в скорости и манёвренности среди поршневых штурмовиков времён Второй мировой войны. Позднее в авиастроении стали применять и титановые сплавы, которым также была свойственна некоторая анизотропия. Органо-, стекло- и углепластики внедрялись в планерах самолётов с середины ХХ-ого века, хотя в таких элементах как лопасть пропеллера они известны с двадцатых годов прошлого века [117]. Ограничивалось использование не только их высокой стоимостью, нестабильностью характеристик, но и необходимостью применения новых подходов к проектированию и усложнением математических моделей конструкций; Доля. композиционных материалов в конструкции самолётов неуклонно возрастает.[117-125], табл! 1.

Таблица!.

Использование композиционных материалов в некоторых самолётах

Самолёт ; ' ГОД ПРИНЯТИЯ В эксплуатацию Доля композиционных материалов в планере

Gy-26 1986 >50%

Су-29 1992 >60%

• МиГ-29М 1993 8%

Northrop В-2 1993 30%

Ту-204 1994 14%

Су-47 1997 . , 13%

EuroFighter Typhoon 2003 • 40%

МиГ-29К 2007 15%

Airbus А-380 2007 , >22%,

LCA Tejas Mk. 1 2008 43% .

Ан-148 2009 17%

Boeing-787 2010 (планируется) .50%

Airbus А-350 2012 (планируется) 52%

MC-21 2016 (планируется) 37,5% Преимущества волокнистых композиционных материалов, привлекающие инженеров; - высокие: удельные характеристики, высокая коррозионная стойкость, близость, характеристик к линейным в большом диапазоне деформаций.

Если на ракете 15Ж61 (РТ-23 УТТХ) 52% доля неметаллических композиционных материалов не превышала 52%, то в конструкции современных баллистических твердотопливных ракет она достигает 80% [126128]. К этому показателю стремятся и ракеты-носители, такие как БЕГЛ'А-1У, в. которых методом намотки получены композитные баки жидких компонентов топлива. Одним из первых конструктивных элементов ракеты, в котором нашли применение композиционные материалы - сопловой блок.

Сопло - газовый канал переменного сечения, предназначенный для разгона рабочего тела с целью создания тяги [21]. Сопло или группа сопел образуют сопловой блок. Его наличие может увеличивать уровень тяги двигателя в 2 и более раз. Присутствие соплового блока обязательно в проектируемом ракетном двигателе твердого топлива (РДТТ). Многосопловые блоки (начиная уже с двухсопловых) позволяют маршевой двигательной установке создавать управляющие воздействия по тангажу, крену и рысканью. Это дает возможность избежать установки рулевых двигателей. Односопловым блоком маршевого двигателя можно создать управляющие воздействия только по тангажу и рысканью. Многосопловые блоки имеют целый ряд недостатков:

•поперечные размеры больше, чем односопловые; •по сравнению с односопловыми схемами усложняется конструкция соплового днища;

•усложняется картина газодинамического течения в окрестности дозвукового тракта сопла, что ведёт к увеличению коэффициентов газодинамических потерь;

•из-за несимметрии изготовления и сборки отдельных сопел возможна несимметричность вектора тяги, что приводит к необходимости формирования дополнительного управляющего усилия.

Наиболее распространёнными среди маршевых двигательных установок в практике ракетостроения стали односопловые блоки (рис. 1.1). Многосопловые блоки в настоящее время тоже применяются. Их можно встретить, например, в составе систем аварийного спасения (рис. 1.2)

Рис. 1.1. РДТТ с односопловым блоком

Рис. 1.2. РДТТ с многосопловым блоком

Сопла изменяемой геометрии

Наибольшие значения тяги обеспечиваются из условия, что уровни давления рабочего тела двигательной установки на срезе сопла и наружной атмосферы совпадают [22]. Если давление продуктов горения на срезе сопла превышает атмосферное, то говорят, что двигатель в этот момент работает с «недорасширением» (рис. 1.3,а). В случае, когда соотношение между давлениями обратное, говорят, что сопло работает с «перерасширением». В первой ситуации можно было бы дальнейшим расширением продуктов сгорания в сопле получить прибавку в тяге и в удельном импульсе. При использовании сопла с перерасширением та часть поверхности сопла, на внутренней стороне которой давление ниже атмосферного, создаёт отрицательную тягу. Помимо этого, внутрь сопла может войти скачок уплотнения и разрушить его. Давление атмосферы с высотой не остается постоянным, оно уменьшается. Выполнение равенства давлений на определенной высоте говорит о «высотности» двигательной установки. Классическое сопло до этой высоты работает с «перерасширением», после - с «недорасширением».

Рис. 1.3. Эпюра давлений по внутреннему и наружному контурам сверхзвукового сопла: а) недорасширение, б) перерасширение

У двигательной установки с идеальной высотной характеристикой давление на срезе сопла всегда равно атмосферному. Двигатель с внешним расширением, такой как 118-2200 (рис. 1.4), близок к этой характеристике. Для современных твердотопливных ракет такое решение проблематично, из-за наличия К-фазы в продуктах горения. Регулирование давления на срезе сопла изменением давления в камере сгорания приводит к изменению тяги. Для жидкостных двигателей это возможно и называется дросселированием. У лучших отечественных образцов глубина регулирования тяги может достигать 60 %. Для твердотопливных двигателей глубокое регулирование осложнено ограничениями условий горения твердотопливной шашки.

Рис. 1.4. Двигательная установка внешнего расширения 118-2200

Нижние ступени ракет работают на высотах, где атмосферное давление ещё довольно велико, поэтому сопла нижних ступеней отличаются небольшими степенями расширения и размерами. Сопловые блоки верхних ступеней обладают большой степенью расширения и значительными габаритами, приводя к значительному увеличению продольных габаритных размеров изделия.

Продольные размеры являются очень важной характеристикой мобильных пусковых комплексов. При проектировании ракетного комплекса железнодорожного базирования РТ-23УТТХ «Молодец» (рис. 1.5) ограничением на длину ракеты выступал стандартный вагон длиной 24,5 м. Помимо этого, необходимо обеспечить возможность выхода изделия из вагона при вертикализации. Полная длина машины в итоге составила 23,3 м [23]. Многосопловая схема для снижения длины ракеты не рассматривается из-за указанных выше недостатков. Вариантом решения проблемы может стать использование раздвижных раструбов сопловых блоков.

Большинство ранее применявшихся сопловых блоков характеризуется неизменностью своей формы. Однако сейчас стали находить применение сопла с изменяемой геометрией. Сопла изменяемой геометрии с высокой степенью расширения в транспортном положении имеют компактную укладку и небольшие габаритные размеры по длине двигателя, а в рабочем - изменяют габаритные размеры (удлиняются) и приобретают заданный профиль. При переводе в рабочее положение может изменяться длина или диаметр сопла на выходе или же и длина и диаметр. Перевод в рабочее положение может осуществляться специально предназначенными для этих целей приводами или с использованием энергии истекающих из двигателя газов.

Рис. 1.5. «Молодец» РТ-23 УТТХ

Работа сопловой части твердотопливных и жидкостных двигателей проходит при высоких силовых и тепловых нагрузках, в химически активной среде с абразивными свойствами. На сегодняшний день для конструктивных элементов насадков раструбов сопловых блоков наиболее перспективными являются композиционные материалы системы углерод-углерод и углерод-керамика. Они впервые были созданы в начале 60-х годов прошлого столетия одновременно с появлением высокопрочных углеродных волокон [128,130]. Углерод-углеродные композиционные материалы (УУКМ) содержат углеродный армирующий элемент в виде дискретных волокон, непрерывных нитей или жгутов, войлоков, лент, тканей с плоским и объемным плетением, объемных каркасных структур. Волокна могут располагаться хаотически, в одном, двух и трех направлениях. Углеродная матрица объединяет в одно целое армирующие элементы в композите, что позволяет наилучшим образом воспринимать различные внешние нагрузки. Определяющими факторами при выборе материала матрицы являются состав, структура и свойства кокса. К числу специальных свойств УУКМ относится низкая пористость, низкий коэффициент термического расширения, сохранение стабильной структуры и свойств, а также размеров изделий при нагревах до 2000 °С и охлаждении, высокие механические свойства, а также хорошая электропроводность. Основное применение УУКМ находят в изделиях, которые работают при температурах выше 1200° С.

Перечисленные преимущества УУКМ позволили успешно их применять в качестве тормозных дисков в авиации и автомобилестроении, соплах ракетных двигателей, в защитных накладках крыльев космических челноков, пресс-формах, тиглях, роторов турбин, труб высокого давления, для подшипников скольжения, уплотнений. Современные ракетные двигатели, разработанные и разрабатываемые для носителей серий Atlas, Delta, Arian, H-II, имеют в своём составе выдвижные насадки из УУКМ [134,141,143].

Тонкостенная оболочка насадка раструба соплового блока является очень ответственным элементом конструкции двигателя летательного аппарата. От работоспособности этой конструкции зависит выполнение задач, поставленных перед транспортной системой. Эксплуатация же насадков проходит в ' экстремальных условиях с большим числом расчётных случаев. Соударение при раздвижке относятся к определяющим расчётным случаям нагружения конструкции трансформируемых насадков, а значит высоки требования к точности проектного и проверочного расчётов. Во многих случаях сложность геометрии поверхности, вид внешней нагрузки, ее зависимость от времени, анизотропия применяемых материалов не позволяют использовать аналитические методы определения напряженно-деформированного состояния. В целом ряде случаев проведение натурных экспериментов затруднено по техническим или экономическим причинам. Потому роль проектных и проверочных расчётов возрастает, так же, как и требования к точности получаемых полей перемещений и напряжений и коэффициентов запаса.

Цели диссертации:

1. Оценить напряжённо-деформированное состояние насадков раструбов сопловых блоков в процессе раздвижки для расчётных случаев в физически и геометрически линейной постановке.

2. При выборе метода решения нестационарной задачи динамики тонкостенной оболочки учесть требования к точности получаемого решения.

Задачи диссертации:

1. Предложить методику априорной оценки глобальной погрешности применения конечно-разностных схем для решения задачи динамики в физически и геометрически линейной постановке.

2. Оценить границы применения методики аналитически и на тестовых примерах.

3. Предложить схему расчёта напряжённо-деформированного раструба соплового блока в нестационарной задаче с выполнением требований по априорной точности применения конечно-разностной схемы при получении данного решения.

4. Оценить границы применения предложенной схемы аналитически и на тестовых примерах.

Общие выводы:

1. Предложена методика оценки погрешности применения конечно-разностных схем при решении задач динамики линейных механических систем с одной' степенью свободы для случаев свободных колебаний, вынужденных колебаний при внезапном действии постоянной по времени силы, вынужденных колебаниях при гармоническом- нагружении, вынужденных колебаний при резонансном нагружении. Методика основана на использовании функций прогноза численного решения вида функций аналитического решения соответствующей задачи и позволяет формулировать рекомендации по выбору постоянного шага интегрирования по времени для обеспечения априорно заданной точности приближённого решения на указанном интервале времени. С помощью методики даны рекомендации для метода центральных разностей, метода Рунге-Кутты 4-ого порядка, модифицированного неявного метода Милна 4-ого порядка.

21 Предложена методика оценки погрешности применения конечно-разностных схем при решении задач динамики тонкостенных слоистых анизотропных пластин, и оболочек методом конечного элемента. Разработаны рекомендации по выбору постоянного шага интегрирования по времени для обеспечения априорно заданной точности приближённого решения при решении задач о свободных колебаниях и внезапном действии постоянного по времени силового фактора. Апробация методики на тестовых задачах дала положительные результаты.

3. Разработана новая модификация неявного метода Милна 4-ого порядка, заключающаяся во введении регуляризирующего сомножителя и обеспечивающая^ безусловную устойчивость и требуемую точность метода при решении задач динамики тонкостенных слоистых анизотропных пластин и оболочек.

4. Предложена оригинальная математическая модель процессов раздвижки композитных раструбов соплового блока, основанная на соотношениях теории тонких слоистых анизотропных оболочек при осесимметричном нагружении. С помощью разработанной методики получены новые данные о напряжённо-деформированном состоянии композитных раструбов соплового блока в процессе раздвижки. Показано, что для обеспечения прочности конструкции необходима оптимальный выбор размеров и материалов некоторых конструктивных элементов, проведены проверочные расчёты для таких вариантов.

1. Аппель П. Теоретическая механика. Т. 2. Динамика системы. Аналитическая механика. М.: Гостехиздат, 1956. 487 с.

2. Пановко Я.Г. Введение в теорию механического удара. М.: Наука, 1977. 224 с.

3. Вычислительные методы для инженеров /" A.A. Амосов, Ю.А. Дубинский, Н.В. КопченоваМ.: Высшая школа, 1994. 545 с.

4. Теория колебаний / М.М. Ильин, К.С. Колесников, Ю.С. Саратов М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. 272 с.

5. Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1977. 280 с.

6. Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. М.: Мир, 1983.384 с.

7. Феодосьев В.И. Об одном способе решения нелинейных» задач устойчивости деформируемых систем // Прикладная математики и механика. 1963. № 2. С. 265-274.

8. Гельфанд И.М. Метод «прогонки» для решения разностных уравнений // С.Г. Годунов и др. Разностные схемы. Введение в теорию. М: Физматгиз, 1962. С. 38-70.

9. Чувиковский B.C. Оболочки судовых конструкций / B.C. Чувиковский, О.М. Палий, В.Е. Спиро Л.: Судостроение, 1966. 181 с.

10. Годунов С.Г. О численном решении краевых задач для системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Успехи математических наук. 1961. Т. 99, № 16:3. С. 171-174.

11. Численное решение задач статики ортотропных оболочек с переменными параметрами / Я.М. Григоренко и др. Киев: Наукова думка, 1975. 183 с.

12. Попов Б.Г. Расчет/ многослойных1 конструкций- вариационно-матричными методами:.М:: Изд-во?МТТУ^^им: Н:Э: Баумана; 1993; 294)с:.15;, ГавуришШК: Лещиишо>методам вычислений1 М:: Наука; 1971е. 2481с.,

13. Введение в теорию разностных схем / С.К. Годунов, B.C. Рябенький Mi: Физматгиз, 1962; 340 с.

14. Разностные методы решения краевых задач / Р. Рихтмайер, К. Мортон М.: Мир, 1972. 419 с.

15. Вычислительные методы линейной алгебры / Д.К. Фадеев;, В.Н. Фаддеева СПб:: Лань, 2002. 656 с;

16. Проектирование: ракетных двигателей на твёрдом* топливе / A.M. Липанов; А.В: Алиев М:: Машиностроение, 1995. 400/с.

17. Первов М.А. Ракетные комплексы ракетных войск стратегического назначения. М.: ОАО «Типография «Новости», 1999.224 с.

18. Телескопическое реактивное сопло: Пат. 2078235 РФ / В.И: Прищепа, Б.Г. Кузьмич, В.Е. Фролов заявл. 20.08.1992; опубл. 27.04.1997. Бюлл. №14.

19. Development of a carbon-carbon translating nozzle extension for the RL10B-2 liquid rocket engine / R.A. Ellis и др. // American Institute of Aeronautics and Astronautics Papers. 1997. №2672. C. 1-7.

20. Inman F.S. Extendible thrust nozzle for rockets: Пат. 4383407 ГИТА» заявл. 02.02.1981; опубл. 17.05.1983. US Patent № 4383407.

21. Раздвижное сопло ракетного двигателя: Пат. 2190111 РФ / В.В. Смольников и*др. заявл. 07.02.2001; опубл. 27.09*2002. Бюлл. №12.

22. Раздвижное сопло ракетного двигателя: Пат. 2180405 РФ / В.В. Смольников и др. заявл. 26.05.2000; опубл. 10.03.2002. Бюлл. №6.

23. Раздвижное сопло ракетного двигателя: Пат. 2175725 РФ / В.В. Смольников и др. заявл. 15.06.2000; опубл. 10.11.2001. Бюлл. №14.

24. Расчет пластин методом* конечных элементов / А.Е. Белкин, С.С. Гаврюшин М.: Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2003. 150 с.

25. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. 542 с.

26. Численные методы решения уравнений. Курс лекций / В.А. Буслов, C.JI. Яковлев. СПб.: Кафедра вычислительной физики физического* факультета СПбГУ, 2001.44 с.

27. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений / О.Б. Арушанян, С.Ф. Залеткин // www.srcc.ru: Сервер научно-исследовательского вычислительного центра МГУ им. М.В. Ломоносова. URL. http://www.srcc.msu.su (дата обращения: 11.12.2002).

28. Райе Дж. Матричные вычисления и математическое обеспечение. М.: Мир, 1984. 264 с.

29. Архангельский А .Я. Программирование в Delphiô. M.: Бином, 2002. 1120 с.

30. Конечные элементы и аппроксимации / О. Зенкевич, К. Морган М.: Мир, 1986.318 с.

31. Сухова Л .H; Особенности поведения многослойных анизотропных цилиндрических оболочек при; осесимметричном нагружении // Механика деформированного твёрдого тела. 1976. №2. С. 31-39:

32. Греф Дж. Динамика цилиндрической оболочки: два численных метода // Ракетная техника и космонавтика. 1966. №3. С. 150-155.

33. Kuzmina L.K. General modeling problems in mechanics // SAMS. 1997. №29. C. 105-118.

34. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений / под ред. Дж. Холла, Дж. Уатта. М.: Мир; 1979. 312 с.

35. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи / Э. Хайрер, С. Нёрсетт, Г. Ваннер М.: Мир, 1990. 512 с.

36. Ляв А. Математическая, теория; упругости. М;,Л.:: Объединённое научно-техническое издательство НКТП СССР, 1935; 675 с.

37. Качественная теория динамических систем? второго порядка / А.А. Андронов и др. М.: Наука, 1966. 579 с.

38. Ляпунов А.М: Общая задача об устойчивости движения. М.: Гостехиздат, 1950. 472 с.

39. Lotka A. Elements of physical biology. Baltimore: Williams.Wilkins, 1925. 495 c.

40. Lotka A. Elements of mathematical biology. N.Y.: Dover, 1956 = 465 c:

41. Введение в; теорию колебаний и волн / М.И: Рабинович, Д.И: Трубецков М.: Наука, 1984. 560 с.

42. Теория колебаний / А.А. Андронов, А.А. Витт, С.Э. Хайкин М.: Физматгиз, 1959. 913 с.

43. Колебания в инженерном деле / С.П. Тимошенко, Д;Х. Янг, У. Уивер М.: Наука, 1967. 444 с.

44. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний: М.: Наука, 1991.256 с.

45. Irons В. Eigenvalue Economiseras in vibration problems // Journal of Royal AeroSpace Society. 1963. №67. C. 526-528.

46. Введение в теорию, нелинейных, колебаний / H.B. Бутенин, Ю.И. Неймарк, Н.Л. Фуфаев М.: Наука, 1976. 382 с.

47. Старжинский В.М. Прикладные методы нелинейных колебаний; Mi: Наука, 1977. 255 с.

48. Регулярная и стохастическая дииамика / А. Лихтенберг, М. Либерман М.: Мир; 1984. 528 с.

49. Введение в нелинейную физику: от маятника, до турбулентности и хаоса / Е.М: Заславский; Р.З. €агдеев М.:.Наука, 1988; 368 с.68; Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / H.H. Боголюбов, Ю.А. Митропольский М.: Наука, 1974. 408 с.

50. Ланцош К. Вариационные принципы механики. М.: Мир, 1965. 408 с.

51. Компьютер в математическом исследовании / В. Говорухин, Б: Цибулиш СПб^: Питер, 200К 633 с.

52. Численный анализ динамического деформирования взрывозащитной камеры и расчетно-экспериментальный критерий ее разрушения / А.А.Рябов и др. // Труды РФЯЦ-ВНИИЭФ. 2004. №6. С. 394-403.

53. Dynamic response: analysis of stochastic: frame structures undër nonstationary random; excitation*/ W. Gao » и др. // AIAAi Journal1. 2004* №9¿ G. 1817-1822:

54. Экспериментальное: и численное1 исследование динамического деформирования. крупногабаритной защитной камеры при. внутреннем взрывном; нагружении; / MIX. Абузяров и др. // Прикладные; проблемы прочности и пластичности. 2000. №61. С. 122-125.

55. Damage assessment of impacted thin CFRP panels / M.S. Found; J.R. Lamb // Composites. 2004. №9. C. 1039-1047. '

56. An evaluation of tlie use: of finite element analysis for predicting the-deformation of plastics under impact loading / G. Dean, L. Wright // Polymer Testing. 2003. №6. C. 625-631.

57. Моделирование разрушения ортотропной пластины при ударе с использованием различных критериев прочности / C.B. Кобенко^ М.Н. Кривошеина, А.В. Радченко // Механика композиционных материалов? и конструкций. 2004. №3. С. 347-354.

58. Modelling soft body impact on composite structures / A.F. Johnson, M. Holzapfel // Composite Structures. 2003. №1-2. C. 103-113.

59. Современные методы расчета и диагностики' усталости трубопроводной? арматуры / В.Н. Сызранцев, А.В. Белобородов, К.В. Сызранцева//Арматуростроение. 2004. №6. С. 32-35.

60. Широков, М.А. Оценка несущей способности газопроводов больших диаметров, ослабленных трещинами // Научно-технический сборник. Сер. Транспортировка и подземное хранение газа. 2004. №4. С. 18-27.

61. Расчет напорного туннеля Сеймаре методами Ещлайса и многослойного кольца / Р. Рахманнеджад, М*. Заргари // Известия Тульского* государственного университета. Сер. Геомеханика и механика подземных сооружений. 2004. №2. С. 224-230.

62. Yu G.Y. Relationship among coefficient matrices in symmetric Galerkin Boundary element method for two-dimensional scalar problems // Journal of applied mechanic. 2003. №4. C. 479-486.

63. Wang, X.G. A boundary value method for the singular behavior of bimaterial systems under inplane loading // International journal of solids and structures. 2005. №20. C. 5513-5535.

64. Several solution methods for the generalized complex eigenvalue problem^ with bounded uncertainties / Z. Qiu, X. Wang // International journal of solids and structures. 2005. №9-10. C. 2883-2900.

65. Аннин Б.Д. Механика,деформирования и оптимальное проектирование слоистых тел. Новосибирск: Изд-во Института гидродинамики СО РАН, 2005. 204 с.

66. Расчет и обеспечение прочности трубопроводов в сложных инженерно-геологических условиях. Т. 1: Численное моделирование напряженно-деформированного состояния и устойчивости трубопроводов / А.М; Шаммазов и др. М.: Интер, 2005. 706 с.

67. Современные конечно-элементные модели и методы исследования тонкостенных конструкций / А.И. Голованов, А.В. Песошин, О.Н. Тюленев Казань: Изд-во Казанского университета, 2005. 441 с.

68. Non-linear FE transit analysis of pre-cast hybrid1 beam-column connection / R. Hawileh, A. Rahman, H. Tabatabai // IMAC-23: Proceedings of the 23 Conference and Exposition on-Structural Dynamics. Orlando. 2005. C. 1575-1582.

69. Sensitivity analysis of potential tests for determining the interlaminar shear modulus of fiber reinforced composites / A. Chan, X.L. Liu, W.K. Chiu // Composite Structures. 20041 №1-4. C. 109-114.

70. Finite element modeling of delamination by layerwise shell element allowing for interlaminar displacements / M.L. Liu, J. Yu // Composite science and technologies. 2003. №3-4. C. 517-529.

71. Failure analysis of FRP sandwich bus panels by finite element method / H-C. Wu, B. Mu, K. Warnemuende // Composites part B: Engineering. 2003. №1. C. 51-58.

72. The correct use of finite element models for stress analysis of aircraft / R.E. Vaughan, M.F. Daniel // 60 AHS International Annual Forum: сб. науч. тр. Alexandria (Va), 2004. С. 2867-2908.

73. An element free Galerkin method for the free vibration analysis of composite laminates of complicated shape / X.L. Chen, G.R. Liu, S.P. Lim // Composite Structures. 2003. №2. C. 279-289.

74. Successive matrix inversion method for reanalysis of engineering structural-systems / H-R. Bae, R.V. Grandhi, R.A. Canfield // AIAA Journal1. 2004. №8. C. 1529-1535.

75. Direct approach in inverse problems for dynamic systems / K-O. Kim, J.Y. Cho, Y-J. Choi // AIAA Journal. 2004. №8. C. 1698-1704.

76. Efficient modal approach for flexible multibody dynamic simulation / W.Pan и др. // Mechanics Based Design of Structures and Machines. 2003'. №1. G. 1-23.

77. Element-based node selection method for reduction of eigenvalue problems / M. Cho, H. Kim // AIAA* Journal. 2004. №8. C. 1677-1684.

78. Adaptive F.E. method for the shakedown and limit analysis of pressure vessels / J.R.Q. Franco, A.R.S. Ponter, F.B. Barros // European journal of mechanics. A. Solids. 2004. №4. G. 525-533.

79. Определение частот собственных колебаний систем с помощью суперэлементного варианта частотно-динамической конденсации / А.В. Макаров, К.А. Сухин, И.Л. Довженко // Строительные материалы. 2004. №11. С. 50-51.

80. Higher-order mixed method for- time integration in dynamic structural analysis / M.F. Wang, F.T.K. Au // Journal of sound and vibration. 2004. №3. G. 690-698.

81. Study on increasing calculation precision and convergence speed of streamline strip element method / Y. Peng, H-M. Liu // Journal of Central South University of Technology. 2004. №1. C. 105-108.

82. Буриев T.B. Численное моделирование процессов оценки состояний сложных пространственных конструкций при динамических, сейсмических и тепловых воздействия // Проблемы механики. 2004. №1. С. 14-20.

83. Палювина С.Н. Исследование сходимости МКЭ при физически-нелинейном расчете изгибаемых железобетонных плит // Актуальные проблемы современного строительства: сб. матер. Пенза. 2003. С. 71.

84. Строительная механика ракет / Л.И. Балабух, H.A. Алфутов, В.И. Усюкин М.: Высшая школа, 1984. 391' с.112: Линейная теория тонких оболочек / В.В. Новожилов; К.Ф. Черных, Е.И. Михайловский Л.: Политехника, 1991. 656 с.

85. Вариационно-разностные схемы в.нестационарных волновых задачах динамики пластин и оболочек. Монография / В.Г. Баженов, Д.Т. Чекмарёв Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского университета, 1992. 159 с.

86. Решение задач- нестационарной динамики пластин и оболочек вариационно-разностными методами. Учебное пособие / В.Г. Баженов, Д.Т. Чекмарёв Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского университета,.2000* 144 с.

87. Келли А. Инженерный триумф углеволокон // Композиты и наноструктуры. 2009. №1. С. 38 49.

88. Ильин В.В. ADA LCA, успех или разочарование? // www.airshows.ru : Журнал «Авиасалоны мира». URL http://www.airshows.ru/arhiv/nl2009/adalcauspehilirazocharovanie/ (дата обращения 12.12.2009).

89. Евченко К.Е. CAD/CAM-решения компании Delcam для производства изделий из перспективных композитных материалов // САПР и? графика.,2008. №8. С. 113-120.

90. Когда время, дороже денег / А. Грицкова, Ol Пантелеев // www.aviaport.ru : АвиаПорт.11и авиация и бизнес. URL. http://www.aviaport.ru/news/2009/12/14/186967.html (Дата ' обращения, 14.12.2009).

91. ОАО «Туполев» Ту-204/214 // www.tupolev.ru : ОАО «Туполев». URL. http://www.tupolev.ru/Russian/Show.asp?SectionID=110 (дата обращения 14.12.2009).

92. МиГ-29+ // www.paralay.com : Стеле машины. URL. http://www.paralay.com/29m.html (дата обращения 14.12.2009).

93. Сухой Су-47 (С-37) Беркут // www.airwar.ru : Уголок неба Большая авиационная энциклопедия. URL. http://www.airwar.ru/enc/fighter/s37.html (дата обращения 14.12.2009).

94. Учебно-тренировочный, самолёт Су-26 // www.rusarmy.com : Военная техника российской, армии: самолёты и вертолёты ВВС, боевые корабли* и подводные лодки- ВМ. URL. http://www.rusarmy.com/avia/su26.htm (дата обращения 14.12.2009):

95. Учебно-тренировочный.самолёт Су-29 // www.rusarmy.com : Военная техника российской» армии: самолёты и вертолёты ВВС, боевые корабли и подводные лодки ВМ. URL. http://www.rusarmy.eom/avia/su29:htm (дата обращения 14.12.2009).

96. Мошненко Ю.И. От ракеты до велосипеда // www.zn.ua : Зеркало недели новости недели: политика, финансы экономика, аналитика. URL. http://www.zn.ua/3000/3100/13402/ (дата обращения 14.12.2009).

97. Новости ГМК УкрМет // http://ukrmet.com.ua : Новости ГМК. URL http://ukrmet.com.ua/news/item/4055 (дата обращения 14.12.2009).

98. Испытание экспериментальных камер ЖРД с сопловыми насадками из УУКМ / В.Н. Шнякин и др. // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика С. П. Королёва. 2006.' №2. С. 197-202.

99. Динамические процессы в ракетно-космических системах / Г.П. Аншаков // Вестник Самарского^ государственного аэрокосмического университета имени академика С. П. Королёва. 2003. №1. С. 7-23.

100. RL10B-2 ground qualification of an improved* C-C deployable nozzle extension assembly for Delta IV/ A. Lacombe и др. // AIAA paper. 20021 №3585. C. 1-10.

101. Broquere B.H. SEP carbon-carbon composites: SEPCARB & SEPCARBINOX // AIAA paper. 1997. №2674. C. 2-9.

102. Design of damping treatment for the Delta III RL 10B-2 deployable nozzle / M. Baker и др. // AIAA paper. 1998. №1723. C. 222-226

103. Impact of dynamics on the design of the RL10B-2 extendible carboncarbon exit cone / M. Baker, J. Hansen, F. Payne // AIAA paper. 1998. №2013. G. 3138-3148.

104. Testing of the RL10B-2 carbon-carbon nozzle extension / R.A. Ellison др.' //AIAApaper. 1998. №3363. G. 2-l9i

105. RL10B-2 Nozzle extension assembly improvements-for DELTA IV / T. Pichon и др. //AIAA paper. 2001. №3549: G. 1-10.140.» Dynamic Characteristics of an Extendible Nozzle During Deployment / S. Masaki и др. // AIAA paper. 2005. №3944. C. 1-7.

106. Design and development of the Nozzle Deployment Mechanism for the Vinci Cryogenic Engine / S. Strom, J. Krabberod, O. Condaminet // 13th European Space Mechanisms & Tribology Symposium: сборник трудов. Вена. 2009. С. 290298.

107. High temperature composite nozzle extensions, a mature and efficient technology to improve upper stage Liquid Rocket Engine performance / A. Lacombe, T. Pichon, M. Lacoste // AIAA paper. 2007. №5470. C. 1-14.

108. Experimental Study on Transitional« Phenomena of Extendible Nozzle / S. Masaki и др. // AIAA paper. 2007. №5471. C. 1-11.