Разработка теоретических методов расчета амплитуд ядро-ядерного рассеяния в рамках высокоэнергетического приближения тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение

Глава 1 Рассеяние при д > 1 /л/kR. Двухполюсное приближение

1.1 Матричный элемент перехода.

1.2 Метод расчета.

1.2.1 Эйкональные фазы для кулоновского и ядерного потенциалов

1.2.2 Преобразование кулоновской части амплитуды

1.2.3 Амплитуда — сумма по полюсам ферми-функции

1.3 Результаты и выводы.

Глава 2 Рассеяние при д > 1 /у/kR. Метод стационарной фазы

2.1 Постановка задачи.

2.2 Эйкональная фаза и точки перевала.

2.3 Моделирование ядерной эйкональной фазы на комплексной плоскости.

2.4 Анализ точности метода стационарной фазы.

Глава 3 Рассеяние при Ф < у/2/kR. Подход Глаубера-Ситенко

3.1 Амплитуда и точки основного вклада.

3.2 Классическая и квантовая области рассеяния.

3.2.1 Картина рассеяния Френеля.

3.2.2 Область кулоновской радуги.

3.2.3 Рассеяние Фраунгофера.

3.3 Обсуждение результатов. Учет кулоновского искажения траектории

С физикой ядро-ядерных взаимодействий связывают возможности получения принципиально новой информации о ядрах и ядерной материи, например, о новых фазовых состояниях ядерного вещества, о ядрах с большим избытком нейтронов, о ядерном "гало" - распределении нуклонов на далекой периферии ряда легких ядер, о сверхтяжелых ядрах в области островов ядерной стабильности и др. Исследования в этих направлениях ведутся с помощью изучения процессов столкновения ядер. Именно рассеяние и реакции с тяжелыми ионами позволяют раскрыть физическую природу наблюдаемых явлений. А здесь исходной базой для понимания механики столкновений является упругое рассеяние ядер. Изучение его механизма приводит к пониманию того, почему, например, наблюдается та или иная картина углового распределения, в чем причина многообразия экспериментальных данных, какие качественные изменения в поведении сечений можно ожидать, меняя те или иные входные параметры задачи, и т. д. И хотя в настоящее время существует ряд вычислительных программ расчета сечений рассеяния и реакций с участием тяжелых ионов, тем не менее для моделирования физики явлений важное значение имеют также разработки аналитических методов расчета и теоретических схем механизма ядро-ядерных взаимодействий.

Общей проблемой ядро-ядерных взаимодействий является установление потенциалов взаимодействия и их связи с распределениями в них плотности ядерного вещества, получение переходных потенциалов в неупругих столкновениях и вершинных функций в реакциях передачи нуклонов и т. п. Эти знания создают основу для решения многих других физических задач, например, определения сжимаемости ядерного вещества, изменения деформации сложной ядерной системы в зависимости от передаваемой энергии, зависимости эффективных нуклон-нуклонных сил в среде от плотности ядерной материи и др. Необходимые в этой связи теоретические разработки наталкиваются на серьезные технические трудности, если оставаться в рамках традиционных методов ядерной физики низких энергий, основанных на разложении волновых функций непрерывного спектра и амплитуд рассеяния в ряд парциальных волн. Число последних возрастает с ростом энергии пропорционально л/Ё, и поэтому становится невозможным уловить физику явлений на фоне большого объема вычислений. Выход здесь ищут в создании моделей, опирающихся на другие теоретические подходы, в основе которых чаще всего лежит квазиклассическое приближение.

В этом отношении весьма перспективными оказываются исследования процессов упругого, неупругого рассеяния и прямых реакций тяжелых ионов с ядрами при промежуточных и высоких энергиях 10-100 МэВ/нуклон. Их преимущество состоит, с одной стороны, в том, что для них длина волны де-Бройля очень мала по сравнению с характерными размерами ядер, а следовательно, сечения таких процессов оказываются весьма чувствительными к деталям структуры ядерной поверхности. С другой стороны, при сравнительно высоких энергиях, когда выполняются условия Е V, kR 1, оказывается возможным строить аналитические варианты таких процессов. Существует два наиболее развитых теоретических подхода для описания ядро-ядерного рассеяния при указанных выше условиях: S-матричный подход, который реализуется в дифракционной модели рассеяния [1] - [5], и потенциальный, который лежит в основе квазиклассических подходов [6, 7], эйконального [8] - [10] , модифицированного борновского [11] - [13] и др. В дифракционных моделях теория базируется на параметризованной 5-матрице рассеяния, которая задается феноменологически из общих физических предположений о механизме процесса, например, поглощении в области малых значений орбитальных моментов учета кулонов-ского рассеяния при больших I. В рамках дифракционной модели удается сопоставить отдельным областям кривых дифференциального сечения картины дифракции френелевского, фраунгоферовского типа, радужного рассеяния, выделить вклады амплитуд ближней и дальней траекторий движения, и, таким образом, найти физический язык в интерпретации угловых распределений рассеяния ядер. Однако более информативную базу для понимания природы взаимодействия тяжелых ионов с ядрами дают исследования с использованием ядро-ядерных потенциалов. В последние годы наряду с феноменологическими комплексными потенциалами (оптическая модель), стали широко использоваться потенциалы, построенные на базе микроскопических подходов, когда вводятся эффективные iVTV-силы, реалистические функции распределений плотности сталкивающихся ядер, рассматриваются эффекты обмена и т. п. (см., например, [8], [14] - [17]). Это создает более глубокую физическую основу для понимания как самого механизма рассеяния, так и особенностей структуры ядер в условиях, например, сильного сжатия, деформации поверхности ядер в момент соприкосновения. В связи с этим несомненный интерес представляет развитие соответствующих аналитических методов расчета амплитуд (сечений) именно в рамках потенциального подхода.

Наибольшее распространение для феноменологического анализа экспериментальных данных получила оптическая модель с поглощающим потенциалом V + iW [18] - [24], причем результат анализа в большой степени предопределяется конкретным выбором его формы. Для описания ядро-ядерного рассеяния, среди большого количества установившихся форм потенциала, наиболее подходит протяженный потенциал Вудса-Саксона [24] (см., например, [25] - [29]): ~~ 1 + exp{(r — i?)/a}' где Vq — глубина, R — радиус и а — диффузность его поверхности. В то же время было установлено [25], [30] - [32], что при интерпретации ограниченного набора экспериментальных данных существует неоднозначность выбора параметров потенциала, выражающаяся, в частности, в возможности объяснить эти данные набором потенциалов, имеющих примерно одинаковое значение Voexp(—R/a). В этом плане исследования ядро-ядерного рассеяния при промежуточных и высоких энергиях, опирающиеся на полуклассические подходы, имеют то преимущество, что они во многом используют более наглядный язык классической механики и оптики для интерпретации картины рассеяния. Например, при достаточно большой энергии ядер {Е > 100 МэВ) область углов рассеяния делится на классическую и квантовую, их разделяет так называемый максимальный угол отклонения значение которого уменьшается с ростом энергии [33, 34]. Вблизи этого угла происходит сгущение классических траекторий, что приводит к возрастанию интенсивности рассеянных частиц. Это явление по аналогии с оптикой получило название радужного рассеяния. Эффект радуги в реакциях с участием средних и тяжелых ионов характеризуется наличием широкого максимума в угловых распределениях при малых углах рассеяния (кулоновская радуга) [35, 36], а в сечениях рассеяния легких ядер проявляется в виде затухания дифракционных осцилляций в области средних углов (ядерная радуга) [34], [37] - [39]. Положение угла радужного рассеяния определяется реальной частью оптического потенциала, что упрощает задачу определения его параметров.

Значительно упростить теоретические исследования механизмов взаимодействия ядер позволяет весьма эффективный метод высокоэнергетического приближения (ВЭП) [40] - [46]. Более того, в рамках ВЭП имеется реальная возможность получать результаты в явном аналитическом виде. Большая величина кинетической энергии сталкивающихся ядер по сравнению с характерными величинами потенциалов взаимодействия позволяет проводить интегрирование в фазе трехмерной квазиклассической функции по прямолинейным траекториям, что позволяет развивать приближенные аналитические методы расчета амплитуд рассеяния и реакций, такие как полюсной метод, методы стационарной фазы и перевала, и другие. На этой основе удается делать довольно простые расчеты и изучать не только качественно, но и количественно основные физические закономерности механизмов ядро-ядерных взаимодействий.

Настоящая работа посвящена разработке аналитических методов расчета амплитуд (сечений) упругого рассеяния тяжелых ионов ядрами при промежуточных и высоких энергиях в рамках потенциального подхода, изучению на этой основе физики наблюдаемых явлений и объяснению ряда имеющихся экспериментальных данных.

Остановимся на основных моментах получения амплитуды упругого рассеяния в рамках ВЭП. В качестве исходного используется общее выражение теории рассеяния [9]: = /е-^ИадА-. (0-0.2) где — волновая функция, являющаяся решением уравнения Шрединге-ра, соответствующая асимптотике с расходящейся волной. При Е V ее можно представить в эйкональном виде [9]

•7 £

Ф£(г) = ехр\ikr- I (0.0.3) оо где интегрирование идет вдоль прямолинейной траектории в направлении импульса падающей частицы к, который определяет положительное направление оси z. При этом г = л/b2 + z2 — расстояние между центрами сталкивающихся ядер, Ъ — прицельный параметр. Подстановка (0.0.3) в (0.0.2) дает: о / V{VWT^))dz' f{q) = -^feivrv{rle -оо d3r (004) где q = к — к' — вектор переданного импульса q — 2fcsin(i9/2), $ — угол рассеяния. Элемент объема в цилиндрической системе координат dh = bdbd(f>dz, а скалярное произведение определяется следующим образом: q(b + kz) = q\b cos ф + q2Z. (0.0.5)

Здесь к = к/k: qi = qcos(d/2) — поперечная, и <72 = gsin($/2) — продольная компоненты переданного импульса. Очевидно, что в (0.0.4) зависимость от ф представлена только одной экспонентой exp(igi&cos0), и соответствующий интеграл сводится к функции Бесселя. Далее, при рассеянии на малые углы величиной q%z можно пренебречь. Тогда q\ ~ q, и интегрирование (0.0.4) по z дает амплитуду упругого рассеяния в виде сю f(q) = —ik J JQ(qb)[Mb) - l)bdb, (0.0.6) 0 где эйкональная фаза

7 ОО х(Ь) = / V(>/V + #)dz. (0.0.7) ОО

Этот подход для малых углов рассеяния был развит Глаубером и Ситен-ко [9, 10]. Поскольку в столкновениях тяжелых ионов основной вклад в рассеяние дает область периферии ядерного взаимодействия при г ~ R, то пренебрежение множителем ex.~p(iq2z) справедливо только в том случае, когда q2z ~ q2R <С 1. Отсюда следует, что углы рассеяния должны удовлетворять соотношению:

9 (0.0.8) tf < kR

Другое выражение для амплитуды упругого рассеяния, применимое при больших углах рассеяния i9 > l/\/kR, впервые было получено Шиффом [11] (см. также [12, 47]) приближенным суммированием бесконечного бор-новского ряда в рамках метода стационарной фазы. В результате, амплитуду можно записать в наглядном виде, допускающем простую физическую интерпретацию. А именно, = / (о.о.э)

Здесь в обкладках стоят функции так называемых искаженных волн, которые имеют вид [13, 41]: т(+) 2 Ei J к ' фУ' — g г-00

ОО ikfr — JV(r + ks)ds

2E/o . (0.0.10)

Первая из них есть эйкональная функция начального состояния, когда частица движется в поле ядра, и интегрирование идет вдоль первоначального импульса кг. В фазе второй функции интегрирование проводится вдоль конечного импульса kf. При этом, в отличие от приближения при малых углах рассеяния (0.0.4) - (0.0.7), эти траектории интегрирования не совпадают по направлению.

При рассмотрении ядро-ядерного рассеяния обычно оказывается, что области применимости выражений для амплитуд, полученных в подходах Глаубера-Ситенко и Шиффа, перекрываются в некотором интервале углов, и, в принципе, охватывают как область больших, так и малых углов рассеяния. Ниже, в диссертации, будут использоваться в качестве исходных оба выражения для амплитуды, и разрабатываться методы их расчета с учетом специфики соответствующих интегралов.

Материал диссертации изложен в трех главах. В первой главе исследуется выражение для ВЭП-амплитуды в области больших углов рассеяния. Показано, что в этом случае можно развить соответствующие аналитические методы вычисления быстро осциллирующих интегралов с выходом на комплексную плоскость и получить ответ в виде явного выражения через вычеты двух ближайших к реальной оси полюсов подынтегральной ферми-функции, которая задает форму ядерного потенциала Вудса-Саксона. При этом сами ядерные фазы трехмерных квазиклассических искаженных волн находятся в явном виде с помощью замены в них вудс-саксоновского потенциала на потенциал в форме трапеции. Сравнение аналитических расчетов с численными для дифференциальных сечений упругого рассеяния указывает на необходимость иметь более точное выражение для фаз на комплексной плоскости в области особенностей подынтегральной функции. Тем не менее, расчет сечения упругого рассеяния 6Li и

12С на

12С позволяет получить удовлетворительное согласие с экспериментом при энергиях более 30 МэВ/нуклон.

Во второй главе для расчета амплитуды упругого рассеяния при $ > 1/ykR разработан метод стационарной фазы. Предложено модельное выражение для ядерной эйкональной фазы на комплексной плоскости прицельного параметра 6, которое позволяет находить седловые точки в явном аналитическом виде в окрестности двух ближайших к реальной оси 6 особенностей ферми-функции. Сравниваются и обсуждаются соответствующие расчеты амплитуд и сечений, выполненные с точными и модельными фазами.

В третьей главе в рамках высокоэнергетического приближения Глаубера-Ситенко методом стационарной фазы получены аналитические выражения для амплитуд с учетом специфики рассеяния тяжелых ионов, а именно наличия сильного кулоновского поля и периферийного характера взаимодействия ядер. Установлено, что существенное влияние на картину рассеяния оказывает учет искажения траектории движения сильным кулоновским полем. Показано, что при заданном потенциале можно найти угловые интервалы, где преимущественно проявляется определенная картина рассеяния, как например классическое или радужное рассеяние, дифракция Френеля или Фраунгофера. Проводятся сравнения аналитических и численных расчетов сечений упругого рассеяния, а также дан анализ имеющихся экспериментальных данных при энергиях Е > 50 МэВ/нуклон.

В заключении приведены основные выводы и результаты диссертации.

Некоторые технические детали содержатся в Приложении.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах Лаборатории теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова ОИЯИ (г. Дубна), Лаборатории теоретической и ядерной физики Дальневосточного государственного университета (г. Владивосток), VI Международной школе-семинар по физике тяжелых ионов (Дубна, 1997), XVI Международном совещании по теории ядра (Rila Mountains, Болгария, 1997), Конференциях молодых ученых и специалистов по физике (Владивосток, 1998, 1999, 2000, 2001), Международных конференциях по ядерной спектроскопии и структуре ядра (Москва, 1996, 1998; Обнинск, 1997; Дубна, 1999; Саров, 2001).

Заключение

В диссертации развиты теоретические методы анализа и расчета амплитуд ядро-ядерного рассеяния на основе высокоэнергетического приближения как для малых, так и больших углов рассеяния. Особенность подхода состоит в том, что разработка методов проводилась для реалистических оптических потенциалов Вудса-Саксона с учетом главных особенностей ядро-ядерных столкновений - наличия сильного кулоновского поля и периферийного характера взаимодействия.

На защиту выдвигаются следующие результаты:

1. Разработан метод двухполюсного приближения и получено явное выражение амплитуды при $ > 1 /л/kR, в эйкональной фазе которой потенциал Вудса-Саксона смоделирован в форме трапеции. На основе этой модели проанализированы основные черты механизма рассеяния: зависимость наклона кривой экспоненциального спада сечения с ростом угла рассеяния от параметра толщины поверхностного слоя потенциала, и зависимость периода дифракционных максимумов и минимумов угловых распределений от радиуса потенциала взаимодействия.

2. Адаптирован метод перевала для расчета амплитуды в условиях, когда основной вклад в ее формирование вносят области комплексной плоскости вблизи пары ближайших к реальной оси полюсов ферми-функции - наиболее типичной формы распределения ядерного потенциала и распределения плотности заряда в ядрах. Таким образом сделано обобщение известного метода Amado и др., предложенного для описания протон-ядерного рассеяния. Сравнением с точными численными расчетами установлены области применимости полученного аналитического выражения для амплитуды, на основе которого исследован ряд деталей формирования дифракционной картины углового распределения.

3. Получено явное модельное выражение ядерной эйкональной фазы потенциала Вудса-Саксона на комплексной плоскости прицельного параметра Ъ вблизи пары полюсов основного вклада в амплитуду, которое с хорошей точностью воспроизводит ее численно найденное поведение. На этой основе проанализирована роль вклада остальных полюсов потенциала, которая сводится к формированию гладкой функции фона, определяющего "background" рассеяние.

4. Разработаны аналитические методы расчета амплитуды при углах $ < s/2/kR в рамках подхода Глаубера-Ситенко. Показано, что различным областям углового распределения соответствуют различные механизмы рассеяния: классической области при $ < - френелевская картина рассеяния, области $ ~ - радужное рассеяние, квантовой области $ > - дифракционное рассеяние Фраунгофера.

5. Установлено, что приближение Глаубера-Ситенко вполне применимо для описания ядро-ядерного рассеяния при энергиях порядка 10 — 100 МэВ/нуклон.

6. Показано, что при модификации подхода Глаубера-Ситенко весьма существенным оказывается учет кулоновского искажения траектории интегрирования, приводящий к сдвигу дифракционной картины в область больших углов рассеяния на величину предельного классического угла отклонения дс ~ Vb/E. Предложен способ учета этого искажения.

Я глубоко признателен моему научному руководителю В.К. Лукьянову за предоставленную тему диссертации, научное руководство и помощь в работе над диссертацией.

Выражаю свою искреннюю благодарность B.JI. Резнику за предоставленную мне возможность работы над диссертацией в Лаборатории теоретической физики им Н.Н. Боголюбова, помощь и поддержку.

Автор выражает свою признательность ректорату Дальневосточного госуниверситета, руководству лаборатории Теоретической и ядерной физики ДВГУ, дирекции ЛТФ им. Н.Н. Боголюбова ОИЯИ за предоставление благоприятных условий для работы.

Считаю своим приятным долгом поблагодарить соавторов опубликованных работ Е.В. Земляную и В.П. Пермякова.

Я благодарен Ф.М. Пенькову и Г.Н. Афанасьеву за интерес к работе, полезные замечания и дискуссии.

Я также благодарен С.Г. Бондаренко, С.В. Абрамовой, А.В Гладышеву и О.Г. Ткачеву за помощь и поддержку.

1. M.S. Hussein, K.W. McVoy // Prog. Part. Nucl. Phys., v. 12, 1984, p. 103.

2. W.E. Frahn // Diffractive Processes in Nuclear Physics, Clarendon Press, Oxford, 1985.

3. E.B. Инопин, А.В. Шебеко // Дифракционное взаимодействие адро-нов с ядрами, Киев: Наукова думка, 1987, с. 154.

4. Ю.А. Бережной и др. // ЭЧАЯ, т. 18, 1987, с.289.

5. А.И. Ахиезер, Ю.А. Бережной, В.В. Пилипенко // ЭЧАЯ, т.31, 2000, с.458.

6. K.W. Ford, J.A. Wheeler // Ann. Phys., v.7, 1959, p.287.

7. V.I. Zagrebaev // Ann. Phys., v.197, 1990, p.33.

8. G.R. Satchler, W.G. Love // Phys. Rep., v.55, 1979, p.183.

9. R.J. Glauber // Lectures in Theoretical Physics, New York, Interscience, 1959, p.17.

10. А.Г. Ситенко // Укр. физ. журн., т.4, 1959, с.152.

11. L.I. Shiff // Phys. Rev. v.103, 1956, p.443.

12. L.I. Shiff, D.S. Saxon // Niovo Chimento, v.6, 1957, p.514.

13. B.K. Лукьянов // Изв. РАН, сер. физ., т.58, No.l, 1994, с.8.

14. Дао Тиен Кхоа, О.М. Князьков // ЭЧАЯ, т.21, 1990, с.1456.

15. Dao Tien Khoa, G.R. Satchler, W. von Oertzen // Phys. Lett. B, v.358, 1995, p.14.

16. O.M. Князьков, И.Н. Кухтина, C.A. Фаянс // ЭЧАЯ, т.28, 1997, с.1061.

17. А.А. Ogloblin et. al. // Phys. Rev. С, v.62, 044601.

18. H. Feshbach, C.E. Porter, V.F. Weisskopf // Phys. Rev., v.96, 1954, p.448.

19. H. Feshbach, C.E. Porter, V.F. Weisskopf // Phys. Rev., v.90, 1953, p.166.

20. H. Feshbach, C.E. Porter, V.F. Weisskopf // Phys. Rev., v.91, 1953, p.453.

21. K.M. Watson // Phys. Rev., v.89, 1953, p.575.

22. N.C. Francis, K.M. Watson // Phys. Rev., v.92, 1953, p.291.

23. R.K. Adair // Phys. Rev., v.94, 1954, p.737.

24. D.S. Saxon, R.D. Woods // Phys. Rev., p.577.

25. G. Igo // Phys. Rev., v.115, 1959, p.1665.

26. J. Cook // Atomic Data and Nuclear Data Tables, v.26, 1981, p.19.

27. M.H. Macfarlane, S.C. Pieper // Phys. Lett. B, v.103, 1981, p.169.

28. R.M. De Vries, D.A. Goldberg, J.W. Watson et al. // Phys. Rev. Lett., v.39, 1977, p.450.

29. G.R. Satchler, M.L. Halbert, R.G. Stokstad et al. // Nucl. Phys. A, v.346, 1980, p.179.

30. L. McFadden, G.R. Satchler // Nucl. Phys., v.84, 1966, p.177.

31. R.M. Drisko, G.R. Satchler, R.H. Bassel // Phys. Lett., v.5, 1963, p.347.

32. S. Wiktor, С. Mayer-Borichke, A. Kiss et al. // Acta Phys. Polonica B, v.12, 1981, p.491.

33. D.A. Goldberg, S.M. Smith // Phys. Rev. Lett., v.29, 1972, p.500.

34. D.A. Goldberg, S.M. Smith, G.F. Burdzik // Phys. Rev. C, v.10, 1974, p.1362.

35. S.D. Baker, J.A. Mclnture // Phys. Rev., v.161, 1967, p.1200.

36. J.C. Pacheco, M.D. Kadi-Hanifi, B. Bilwes // Phys. Rev. C, v.60, 1999, 034612.

37. N. Willis et al. // Nucl. Phys. A, v.204, 1973, p.454.

38. M. Hyakutake et al. // Nucl. Phys. A, v.311, 1978, p.161.

39. A. Djaloeis et al. // Nucl. Phys. A, v.306, 1978, p.221.

40. D.R. Yannie, F.L. Boss, D.C. Ravenhall // Phys. Rev. B, v.137, 1965, p.882.

41. B.K. Лукьянов // ЯФ, т.58, 1995, p.1955.

42. V.K. Lukyanov //in Proc. Int. School-Seminar on Heavy Ion Phys., v.2, Dubna, 1993.

43. V.K. Lukyanov // J. Phys. G: Nucl. Part. Phys., v.21, 1995, p.145.

44. K.A. Гриднев, B.K. Лукьянов, С.И. Федотов // Изв. РАН, сер. физ., т.59, No.5, 1995, с.46.

45. S.I. Fedotov, V.K. Lukyanov // JINR Rap. Comm., 4(67)-94, Dubna, 1994.

46. A.B. Ембулаев, B.K. Лукьянов, В.П. Пермяков // Изв. РАН., сер. физ., т.59, No.ll, 1995, с.83.

47. Л. Шифф // Квантовая механика, М.: Изд. ин. литературы, 1957.

48. Е.В. Земляная, В.К. Лукьянов, В.П. Пермяков, Ю.В. Чубов // Изв. РАН, сер. физ., т.61, No.l, 1997, с.132.

49. R.C. Fuller // Phys. Rev. С, v.12, 1975, р.1561.

50. K.W. McVoy, G.R. Satchler // Nucl. Phys. A, v.417, 1984, p.157.

51. V.K.Lukyanov // J. Phys. G, v.21, 1995, p.145.

52. O.D. Dalkarov, V.A. Karmanov // Nucl. Phys. A, v.445, 1985, p.579.

53. P.J. Korol // Phys. Rev. C, v.ll, 1975, p.1203.

54. S.K. Charagi, S.K. Gupta // Phys. Rev. C, v.56, 1997, p.1171.

55. A. Nadasen et al. // Phys. Rev. C, v.39, 1989, p.536.

56. J. Chauvin et al. //In Proc. of the International Conf. on Nucl. Phys., Florence, 1983.

57. R. Liguori Neto et al.// Nucl. Phys. A, v.560, 1993, p.733.

58. B.K. Лукьянов, К.А. Гриднев, А.В. Ембулаев // Изв. РАН, сер. физ., т.58, No.l, 1994, с.23.

59. В.К. Лукьянов // Изв. РАН, сер. физ., т.60, No.ll, 1996, с.8.

60. R.D. Amado, J.P. Dedonder, F. Lenz // Phys. Rev. C, v.21, 1980, p.647.

61. A.B. Ембулаев, Е.В. Земляная, B.K. Лукьянов, В.П. Пермяков, Ю.В. Чубов // Изв. РАН, сер. физ., т.62, 1998, с.2136.

62. J.R. Shepard, Е. Rost // Phys. Rev. С, v.25, 1982, р.2660.

63. Е.П. Жидков, Г.И. Макаренко, И.В. Пузынин // ЭЧАЯ, т.4, 1973, с.127.

64. Т. Жанлав, И.В. Пузынин // ЖВМиМФ, т.32, 1992, с.846.

65. В.К. Лукьянов, В.П. Пермяков, Ю.В. Чубов // Изв. РАН, сер. физ., т.63, 1999, с.54.

66. P. Roussel-Chamaz et al. // Nucl. Phys. A, v.477, 1988, p.345.

67. W. Czyz, L.C. Maximon // Ann. Phys., v.52, 1969, p.59.

68. J. Formanec // Nucl. Phys. B, v. 12, 1969, p.441.

69. V. Franko, A. Tekou // Phys. Rev. C, v. 16, 1977, p.658.

70. К.Г. Боресков, А.Б. Кайдалов // ЯФ, т.48, 1988, с.575.

71. R. da Silveira, Ch. Leclercq-Willain // J. Phys. G., v.13, 1987, p.149.

72. B.K. Лукьянов, В.П. Пермяков, Ю.В. Чубов // Препринт Е4-2001-75, ОИЯИ, Дубна, 2001; ЯФ (в печати).

73. G. Faldt // Phys. Rev. D, v.2, 1970, p.846.

74. V.K. Lukyanov, E.V. Zemlyanaya //J. Phys. G, v.26, 2000, p.357.

75. M. Grypeos, C. Koutroulos, V. Lukyanov, V. Shebeko // J. Phys. G, v.24, 1998, p.1913.

76. N. Rowley, C. Marty // Nucl. Phys. A, v.266, 1976, p.494.

77. P. Ньютон // Теория рассеяния волн и частиц: Пер. с англ. М.: Мир, 1969.

78. Л. Фелсен, Н. Маркувиц // Излучение и рассеяния волн, т.1, Гл.4, М.: Мир, 1978.

79. D.J. Garrett et al., Phys. Rev. С, v.12, 1975, p.489.

80. A. Vitturi, F. Zardi // Phys.Rev. C, v.36, 1987, p.1404.

81. B.K. Лукьянов, В.П. Пермяков, Ю.В. Чубов // Изв РАН, сер. физ., т.66, N.3, 2002. (в печати)

82. A. Vitturi, F. Zardi // Phys.Rev. С, v.38, 1988, р.2086.

83. Н.Н. Калиткин // Численные методы, М.: Наука, 1978.