Разрешимость и свойства решений квазилинейных уравнений переменного типа второго порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Р Г Б ОД

1 5 ДЕК 1996 На правах рукописи

Кузнецова Валентина Анатольевна

РАЗРЕШИМОСТЬ И СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ

КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРЕМЕННОГО ТИПА ВТОРОГО ПОРЯДКА

Специальность 01.01.02 - Дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-иатеыатхгческих наук

Тула - 1996

Работа выполнена в Тульском государственном университете.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Г.И.Лаптев Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Н.В.Кислов, кандидат физико-математических наук, доцент Л.Д.Покровский.

Ведущая организация - Российский Университет дружбы народов им. П.Лумумбы

Защита состоится ае&аЗят¿гг. в "/#"" часов в ауди-

тории/У7%на заседании диссертационного совета К. 053.16.16 при Московском энергетическом институте (техническом университете) /111250, Москва, ул.Красноказарменная, 14/.

Отзывы, заверенные печатью, просим направлять по адресу: 111250, Москва, ул. Красноказарменная, 14, Ученый Совет МЭИ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского энергетического института(технического университета).

Автореферат

года.

Ученый секретарь диссертационного совета

В.П.Григорьев

< >|;щля характеристика глпоты

Актуальность темы. Начально-краевые задачи для квазилиней-Ш.1Х дифферопшталт.пых уравнений с частными производными являются в настоящее иремя одним из интенсивно развивающихся напра-плопий математики и ее приложений,так как опи описывают реальные физические процессы при больших скоростях,высоких давлениях и темпсратурах.Тсрмин "уравнения переменного типа" появился в работах академика Н.Н.Яненко в связи с рассмотрением,в частности, уравнений параболического типа со сменой направления па-раболичности.Постановка краевых задач для указанных уравнений требует специального рассмотрения, они не вкладываются в общую теорию параболических уравнений.То же касается и некоторых классом вырождающихся уравнений, поскольку постановка краевых задач для них часто носит иной характер, чем в невырожденном слу-чае.Разрешимости краевых задач для квазилинейных эллиптических и параболических уравнений со специальным вырождением,а также для обыкновенных дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно старшей производной, посвящена диссертация.

Цель работы. Цель работы заключается в том, чтобы изучить особенности краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно старшей производной, и для вырождающихся эллиптических и параболических уравнений, создать новые подходы к исследованию подобных задач.

Общая методика исследования. При решении поставленных задач используются методы исследования квазилинейных дифференциальных уравпепий как обыкновенных, так и с частными производными, созданные в теории монотонных операторов, теории релаксационных колебаний, теории уравнений с малым параметром при старшей производной.

Научная новизна. В диссертации впервые установлены следующие результаты:

1.Предложены и разработаны методы решения первой краевой задачи для обыкновенного дифференцального уравнения, не разре-

иншпого относительно старшой производной.

'¿.Доказаны теоремы о существовании решений квазилинейных эллиптических и параболических уравнений с нестрого монотонными (вырождающимися) коэффициентами.

Теоретическая и практическая значимость. В диссертации найдены условия, обеспечивающие существование трех в смысле вводимых определений типов решений краевых задач для обыкновенного дифференциального уравнения, не разрешенного относительно старшей производной, а также установлена структура каждого из трех типов решений; предложены также условия, обеспечивающие разрешимость квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными эллиптического и параболического типов, когда старшие коэффициенты допускают существенное вырождение. В этом теоретическая значимость работы. Изученные в диссертации классы дифференциальных уравнений имеют своим источником математические модели конкретных физических процессов, детально изложенные, например, в трудах академика Н.Н.Янепко. Результаты диссертации могут быть использованы, в частности, в этом направлении.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на ежегодных научно-практических конференциях профессорско-преподавательского состава Тульского государственного университета, на Шестой научной межвузовской конференции ''Математическое моделирование и краевые задачи"/Самара - 1996 г./, а также на 1 Международной научно-практической конференции "Дифференциальные уравнения и Их применения"/Санкт-Петербург - 1996г./ Детально результаты неоднократно докладывались на семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством проф. Г.И. Лаптева. В целом диссертация доложена на заседании кафедры высшей математики Тульского государственного университета и на семинаре по дифференциальным уравнениям Московского энергетического института под руководством проф. Ю .А. Дубинского.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах, список которых привешен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, списка цитированной литературы и занимает 116 страниц машинописного текста, включающего 9 рисунков. Библиография содержит 31 наименование.

В диссертации изучаются условия разрешимости краевых задач для обыкновенного дифференциального уравнения, не разрешенного относительно старшей производной, а также для эллиптических н параболических уравнений с неявным вырождением. Во введении обосновывается актуальность темы, описываются предшествующие исследования, характеризуется состояние научных исследований по данной тематике в настоящее время и приводятся основные результаты автора диссертации.

В первой главе выясняются условия разрешимости краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения, не разрешенного относительно старшей производной. Примером такого уравнения служит следующее :

гдеш(г) = г3-г. Условия на функции /(х) и <р(у) накладываются отдельно в каждом разделе в зависимости от метода решения задачи. Уравнение (I) является стационарным аналогом уравнения со знакопеременным коэффициентом вязкости,предложенного академиком Н.Н.Яненко при моделировании сложных течений вязкой жидкости. Запишем уравнение (1) подробнее:

Очевидно, что коэффициент при старшей производной ухх является знакопеременным. Это не позволяет использовать известную уже теорию при решении краевой задачи с условием

Краткое содержание диссертации

6х

(1)

{'¿у1 - 1)у*х = ч>(у)у* + /(*)•

!ЛО) = у(0=<).

(2)

В монографии Ларькина H.A., Новикова В.А., Яненко H.H. "Нелинейные уравнения переменного типа"/Новосибирск:Наука,1983/ показано, что подобные уравнения могут не иметь ни одного классического решения. Поэтому введем понятие слабого решения.

о

Определение 1. Функция у(х) € Wj(0,i) называется слабым решением задачи (1),(2), если /(ж) 6 VV^^O, I) и для любой функции

а

v(x) £ W\(Q, I) удовлетворяется интегральное тождество с (

Jw(yx)vxdx + J Му)уг + f(x))vdx = 0.

о о

Задача (1), (2) может иметь континуум слабых решений, поэтому возможны два направления исследования. Согласно первому из них, стараются выделить и изучить специальные классы решений, обладающих каким-либо дополнительным свойством. При этом число решений стараются свести к минимуму. Это направление начато в упомянутой монографии для уравнений вида

-j-u{yx) = Ауух, А = 0 или А = 1. ах

Второе направление изучает всю совокупность решений задачи (1), (2), что приводит к специфическим методам и многозначным решениям . Этим методам пока доступны только такие уравнения, в которые производная ух входит линейно, т.е. главная часть уравнения имеет вид ¿[а(у)ух].

В диссертации развивается первое из указанных направлений. В частности, в главе 1 предлагаются и разрабатываются три способа регуляризации уравнения (1). Более точпо, данное уравпепие заменяется новым, которое строится по известной методике. Для каждого из новых уравнений сначала доказывается его разрешимость, а затем выясняются дополнительные условия, обеспечивающие совпадение решения измененного уравнения с решением рассматриваемого уравнения (1). Перейдем к подробному описанию применяемых регуляризации.

Благодаря специальной форме, можно проинтегрировать уравнение (1), уменьшив при этом порядок производной. Получаем

"Ы = Ф(у) + F(x) + С. (3)

V I

где Ф(у) = / ifi(y) dy, F(x) = J f(x) dx, С - постоянная интегри-

o о

рования. Так как функция w(z) глобально однозначно необратима,

то мы не всегда можем, используя классическую теорию, обеспечить

существование глобального решения даже задачи Кошн

Г w(yx) = дс(х),

\ У(0) = 0,

где дс(х) = Ф(у) + F(x) + С.

В первом разделе по известному методу релаксационных колебаний из кусков классических решений строится решение задачи (4) в смысле следующего определения:

Определение 2. Функция у(х) € С[0,/] называется релаксационным решением задачи (4), если выполнены следующие требования:

1) Область определения функции у(х) разбивается точками 0 < < xj < • • • < х„ < I на непересекающиеся промежутки, на каждом из которых функция у(х) является классическим решением одного из уравнений

Ух = /i [ус(®)] нли ух = /з[<7сО)],

где f\ и /з - непрерывные ветви отображения а>-1, определенные на [—т, +оо) и (-оо,т] соответственно (—т и m - локальные минимум и максимум функции w(z)).

2) Переход от одного уравнения к другому осуществляется на границе области определения функции ¡\ или функции /з;

3) i/(0) = 0.

В процессе построения доказывается следующая теорема.

Теорема 1.1 гл.1. Пусть функция tp(y) непрерывна, и удовлетворяет алгебраическому условию

Иу)КсМ1 + |у|г),

(5)

и пусть функция f(x) е С[0, Í]. Тогда для любого фиксированного С существует функция у(х) как решение задачи (4) на отрезке [0,/] в смысле определения 2. Таких решений может быть не более двух.

Для построения релаксационного решения выбирались только первая и третья ветви функции ы(г). Этот выбор объясняется тем, что точки на этих ветвях являются устойчивыми (по Тихонову). Доказывается, что полученное решение обладает следующими свойствами: у{1,С) —► ±оо при С -+ ±оо. Для выполнения второго краевого условия j/(i) = 0 необходима непрерывная зависимость построенного релаксационного решения от параметра С. Эти условия были найдены, что привело к следующей теореме.

Теорема 1.2 гл.1. Пусть определены и непрерывны функции f'(x),<p'(y) и пусть функция <р(у) удовлетворяет условию (5). Пусть равенство

\v'iv) + /'(*) = О

не может быть выполнено ни для каких х 6 [0,1],у 6 R. И пусть выполнены условия

-1=^(0) + ДО) < О, - ДО) < 0.

Тогда задача (5) имеет хотя бы одно релаксационное решение у(х), удовлетворяющее условию у(1) = 0.

Завершается первый раздел теоремой:

Теорема 1.3 гл.1. Пусть выполнены все условия теоремы 1.2,тогда

о

задача (1),(2) имеет хотя бы одно слабое решение у(х) € W\(0,l).

Во втором разделе рассматривается задача (1) с заменой немонотонной функции нестрого монотонной функцией u>o(z):

, v / г3 - z, И £ 1, ...

^о(г) = \ _ . . . , (6)

I 0, \z\ ^ 1.

В начале раздела обосновываются причины подобной замены. Так как функция вырождается на отрезке \z\ sí 1, то неразреши-

мость уравнения

w0(l/x) = 9с{х) (7)

относительно у(х) сохраняется.

Введем строго монотонную функцию u>,(z),0 < е < 1, достаточно близкую к о>0(.г), для которой существует непрерывная и строго монотонная обратная функция и есть возможность использовать теорему существования классического решения задачи Коши

Í ^«(Ух) = ffc(x),

1 У(0) = о (8)

при опрсдслеппых условиях на фупкпии }(х) и <р(у). В работе доказано,что для любого фиксированного е найдется такое значение параметра С', что классическое решение у*(1,С) задачи (8) удовлетворяет второму краевому условию, т.е. у'(1,Ст) = 0. По последовательности чисел {е„} 0 составляем последовательность решений {»•"(*.С*")} задачи (8), удовлетворяющих второму краевому условию. В работе доказано,что существует равномерный предел этой последовательности функция уо(х), обладающая следующими свойствами:

1. jto(x) € ЛС[0,/], причем í¿ е L*(0,l);

2. найдется такое значение параметра Со, что функция Уо(х) п.в. на [0, /] удовлетворяет уравнению (7) с С = С0;

3. íto(0) = уо(1) = О-

Сформулируем первую теорему второго раздела:

Теорема 2.1 гл.1. Пусть f(x) е W~^l3{ü,l) и как обобщенная функция совпадает с обобщенной производной j¿F{x), где F(x) € С[0,/]. Пусть iр{у) € С(Я) и удовлетворяет алгебраическому условию

М2/Жа(1 + М'). я <2. (9)

О

Тогда построенная выше функция уо(х) G Wj(0,f) и является слабым решением краевой задачи

Г £<*>{Ух) = <р(у)ух + /(*), I »Ю) = У{1) = о. (10)

Далее в диссертации выясняются условия, при которых решение регуляризованной задачи (10) совпадает с решением нерегуляризо-ванной задачи (1), (2).

ш

Теорема 2.2 гл.1. Пусть f(x) е W^O,0 и как обобщенная функция совпадает с обобщенной производной j¡¿F(x), где F(x) Е Q0,i], и пусть функция F(x) не имеет обычной производной п.в. на [О,/]. Пусть <р(у) 6 C(R) и удовлетворяет условию (9). Тогда, существует

о

слабое решение у(х) 6 WJ (0,/) задачи (1), (2).

Заметим, что в качестве функции F(x) может выступать известная функция Вейерштрасса, не имеющая производной ни в одной точке.

Подробное рассмотрение структуры решения на множестве, на котором функция w0(z) вырождается, приводит к следующим теоремам.

Теорема 2.8 гл.1. Пусть f(x) 6 И^д(0,/) и как обобщенная функция совпадает с обобщенной производной j¿F(x), где F(x) 6 C[0,í]. Пусть <p(v) € С(Я) и удовлетворяет условию (9). Тогда существует

о

хотя бы одно слабое решение у(х) е 1) задачи (1), (2).

Теорема 2.4 гл.1. Пусть <р(у) € С(Д) и удовлетворяет условию (9). Пусть f(x) G и как обобщенная функция совпадает с

обобщенной производной 2¿F(x), где F(x) £ C[0,í], и пусть п.в. на [О, Z] существует обычная производная F'(x). Тогда для любого 5 > О найдется функция F¿(x) такая, что |F(x) — Íí(x)| <6 и задача

{ (V) + F,(x)),

I У(0) = у(1) = О

о

имеет хотя бы одно слабое решение у{х) € i).

В третьем разделе осуществлена еще одна регуляризация поставленной задачи. Она основана на отыскании приближений уравнения (1), записанного в виде

о= + «(») + *'(*)),

с помощью дифференциального уравнения с малым параметром 0 < е < 1 при старшей производной:

еу«х = ^-(Ух - vi + Ф(у) + F(x)), (11)

К краевым условиям (2) добавляется условие у'(0) = 0:

у(0) = у'(0) = 0, у(/) = 0. (12)

Ряд априорных оценок приводит к следующей теореме.

Теорема 3.2 гл.1. Пусть Дх) е С[(М],¥>(у) е С(Я). Тогдадлялюбого е > 0 задача (11), (12) имеет по крайней мере одно класси ческое решение у'(х).

Далее по последовательности чисел {е„} строится последовательность {у** (г)} решений задачи (11), (12).

Теорема 3.5 гл.1. Из последовательности функций {у'" (ж)} можно выбрать равномерно сходящуюся на [0, /] подпоследовательность. Предельная функция уо(х) обладает следующими свойствами:

1) Уо(0) = »>(') = 0.

2) уо{х) € АС[0,/], более того, |у£(х)| ^ М

Определение 3. Функцию уь(х) из теоремы 3.3 назовем обобщенным решением задачи (1), (2).

Все изложенное выше приводит к утверждению.

Теорема 3.4 гл.1. Пусть /(х) е С[0,/],<р(у) 6 С(Я). Тогда существует хотя бы одно обобщенное решение задачи (1), (2).

Отметим, что теории дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной посвящена обширная литература. Наиболее полно изучены периодические решения автономных уравнений. Краевые задачи изучены существенно слабее. Эта тема развивается в работах академика А.Н.Тихонова и его учеников. Однако под эту теорию пока подпадает относительно узкий круг задач, поэтому детальную структуру обобщенного решения еще предстоит изучить. В работе удается выяснить некоторые качественные свойства поведения приближающих решений у1(х) при достаточно малых е -+ 0.

Таким образом, найдены условия, обеспечивающие существование трех типов решений краевых задач для обыкновенного дифференциального уравнения, не разрешенного относительно старшей производной.

Вторая глава посвящена изучению многомерных аналогов уравнений предыдущей главы. При этом из трех способов регуляризации выбран только второй, который строится на основе вариационного исчисления иевыпуклых функционалов. В результате получаем уравнение эллиптического типа следующего вида:

п п

- + оа(х)р(и)Ъ,и = /(»), и\во = 0, (13)

¡=1 ¡=1

где функция а>о(г) определяется формулой (6).

Особенность данной задачи заключается в том, что коэффициенты при старшей производной вырождаются в тождественный нуль на отрезке |г| ^ 1, что не позволяет применить известные результаты о разрешимости. Задача (13) записывается как операторное уравнение вида:

А0и+Ви = /, (14)

где оператор Ао строится по дифференциальному выражению

г»

А,ы = -^Р^о(^и).

¿=1

Когда оператор Ао является строго монотонным, то есть удовлетворяет условию (Aou—Aov, u—v) > 0 для и ф V, то в качестве оператора В можно брать степени производной, т.е. выражения вида

п

Ви = ^Г\Ди)|1\и|г, г < 3.

¿=1

Однако, указанный выше способ вырождения оператора Л« не выдерживает подобных возмущений. Далее показывается, что допустимы возмущения вида

п

Ви = £а(1(15) 1=1

т.е. суммы, в которые частные производные неизвестной функции входят линейно.

Порождаемый функцией ш0 оператор Ао является монотонным, но не строго. Для таких операторов допустимо возмущение компактными операторами В. Отметим, что определенный формулой (15) оператор В не является компактным по отношению к оператору Ао,

о

когда последний действует из пространства в сопряженное

пространство следовательно, указанный выше прием также

нельзя применить. В монографии М.М.Вайнберга "Вариационный метод и метод монотонных операторов''/М.:Наука,1972/ есть замечание, что для разрешимости уравнения (14) с нестрого монотонным оператором Ао достаточно, чтобы оператор В был слабо непрерывен

о

из пространства в сопряженное пространство И^^'(Л). При

детальном доказательстве этот результат удается получить только при дополнительном условии на оператор В. Это дополнительное условие получено и сформулировано в первом разделе этой главы. Из этого абстрактного результата при определенных условиях на коэффициенты а((х),#(и) следует разрешимость рассматриваемой задачи (13).

Во втором разделе аналогичное построение проводится для параболического уравнения. Это уравнение записывается в операторной форме в виде:

Г и, + Аои + Ви = /,

\ «(0) = «о- °6)

Здесь операторы А0 и В строятся по аналогии с задачей (13). Указываются условия на коэффициенты, при которых операторы Ао и В являются ограниченными и непрерывными из пространства V = //(О, Г; И^(П)) в его сопряженное V' = Ь*'3{О, Г; И^' (П)). По сравнению с эллиптическими уравнениями возникает новый момент, заключающийся в том, что оператор В не обязан быть слабо непрерывным. Это побуждает искать дополнительные условия на оператор В, которые обеспечивают разрешимость задачи (16).

Итак, в первом разделе главы рассматривается краевая задача

II I»

- Р;Шо(Аи) + оц{хЩиЩи = /(ж), и|8П = О, ¡=1 ¿=1

где V, = д/дх,,»' = 1 ,...,п; дС1 - кусочно-гладкая граница ограниченной области П 6 Я", Дх) - заданная функция, определенная для аргумента х € П.

Задачу (13) рассматриваем как операторное уравнение вида

Ли = (А0 + В)и = /.

Здесь операторы Ло и В задаются следующими выражениями:

п ¡=1

п п

Ви = 531><(аДх)Ь(и)) - £б;(и)2><а;(х), 1=1 ¡=1

и

где 6,(и) - J /?;(и) ¿и. Определим слабое решение задачи (13) как о

о

функцию и(х) е которая удовлетворяет интегральному то-

ждеству

[и0(Т>{и)Т>^ - щ(х)Ь- = I /г^х

1=111 п

о

для любой функции V 6

Будем предполагать, что функции а;(х) и для каждого г удовлетворяют следующим условиям:

1а. а;(х) 6 если размерность пространства п 3,

«¿(х) е ¿""(П), если п ^ 4; 2а. Р.пДх) € если п ^ 3,

Т>,а{(х) е Ь°°(П), если п 4; 10. А (и) € ¿{«(Л) без ограничения роста, если п ^ 3,

¿/

|Д(и)| ^ С,|и|3 + С2, если п 2 4;

О

2/5. для любого числа <5 > 0 и функции и(х) 6

£ / В;(и(х))Яы(г)<ь ^ ¿11*111.(0) + С{8),

и

где В, (а) = / и/3; (и) ¿и, С(8) - положительная функция, определенная о

для всех <5 > 0.

Отметим, что в условии 2/3 предполагается выполненным одностороннее неравенство.

Наложенные на функции а,(х) и А (и) условия позволяют доказать, что оператор А = Ао + В является непрерывным и огра-

о

ниченным как оператор из пространства И^(П) в его сопряженное коэрцитивным. Далее доказывается, что:

1. оператор В - слабо непрерывен, т.е. если и„ и слабо в

о

при N -> оо, то Нт (/?«/у,и) = (/?и,и) для любой функции N-+00

о

V 6 ИЧ(П)( Здесь через (/, д) обозначается значение функционала

о

/ € И^4/з(П) на элементе д 6

2. функционал (Ви,и) - слабо непрерывен, т.е. если и/*/ и

о

слабо в при N оо, то Пт (Ви/ч,ин) = (Ви,и).

Кроме того, оператор Ао является монотонным (нестрого), что позволяет модифицировать метод монотонности и применить его для доказательства существования решения задачи (14).

На основании вышеизложенного доказывается следующее утверждение.

Теорема 1.1 гл.2. Пусть выполнены условия 1а - 2а, 1/3 - 2/3. Тоо

гдл задача (13) имеет по крайней мере одно решение и(х) € IV'(Г2) для каждой функции }{х) 6 №^(11).

Во втором разделе рассматривается соответствующее параболическое уравнение

П II

Щ - Р.о^Х»,«) + ^а<(«,х)Д(и)Х>;и = Них) (17) 1=1 ¿=1

и начально-краевые условия

и(0,*) = но(х), "|во=0, (18)

где П - ограниченная область пространства Л", I Е [О, Г]. Будем предполагать, что функции ai(t,x) и ßi(u) для каждого » удовлетворяют следующим условиям:

la. ai{t,x) 6 L°°{Q), где Q = [0,Т] х ft; 2а. ViQi(t,x) 6 L°°(Q); Ib. /?;(«) G ['Uli)'.

2b. |/?;(u)| ^ C"i|u|'' + C2, где G"i, C3 - некоторые константы;

о

3fr. для любого числа 5 > 0 и функции u(t,x) е L4(0,T; Wj(ii)) J2 i B,{u(t,x))Viai(l,x)dQ ^ S M|«,(g) +C(J),

где В,(и) и С(5) определены так же,как и в условии 2/3. Определим операторы Ао, В соотношениями:

(Aou,v) = X) / (?>iu)VivdQ, (Bu,v) — -]|Г f{ai(t,x)bi(u)ViV + vbi^Via^x^dQ,

о U

где функции u,v € L4(0,T;W\(n)),bi(u) = J ßi(u)du. Условия la -

о

2a, 16 — 36 позволяют доказать, что оператор А — Ао + В непрерывен

о

и ограничен как оператор из пространства V = L4(0,T; Wj(fl)) в его сопряженное V* = L4'3(0,T; VV^^fl)) и является коэрцитивным, а оператор Ао является монотонным (нестрого). В работе доказывается, что оператор В удовлетворяет следующим условиям: если un —и слабо в V и ujv —>■ и сильно в L*{Q), то 1 В' lim (BuN,v) = {Bu,v), veV,

N-*oо

2В' lim (BuN, uN) = (Bu,u).

N-+oo

Запишем уравнение (17) н операторном виде:

«i + Ли = и( 4- (Ло 4- В)и — /.

Здесь и< - производная по t функции u(í, х), определяемая как элемент пространства распределений Р*(0,'/'; V'). Доказывается следующее утверждение.

Лемма 2.8 гл.2. Пусть V - сепарабельное рефлексивное банахово пространство, V* - его сопряженное. Пусть оператор А : V —>■ V* является непрерывным, ограниченным, коэрцитивным. Пусть оператор Ао является монотонным, а оператор В удовлетворяет условиям IB', 2В'. Тогда задача

( u, + Аи = и, + (До + В)и = /,

I «(0) = «о

имеет по крайней мере одно решение и G W = {и 6 V, и( g V*} для каждой функции f е V* и любой заданной функции tío € L2(ü).

Так как и< 6 Х>*(0, Т; V*) С V*, то уравнение понимается как равенство в пространстве V*. Кроме того, решение u(t) е С([0, Т];£3(П)) и как непрерывная функция принимает значение u(0) = uo.

Для доказательства существования решения задачи применяется метод Галеркина, приводящий к последовательности приближенных решений un(N = 1,2,...). Применение метода сводится к

проверке конкретных условий, где используются индивидуальные

N

особенности уравнения. Именно, пусть Vn = { £ Vt(x)} - за-

i=i

мкнутая линейная оболочка, натянутая на фундаментальную систе-

о

му (ajfc(i)} из W^n), состоящую из собственных функций оператора Лапласа, т.е. -Лык = Акшк, wt|8n = а ck(t) 6 И^О.Г), ск(Т) = 0. Существование приближенного решения uy(t,x) как элемента V^ доказано для непрерывного, ограниченного и коэрцитивного оператора А, например, в монографии Ж.-Л.Лионса "Некоторые методы решения нелинейных краевых задач"/М.:Мир,1972/. Причем, функция UN{t,x) удовлетворяет неравенству ||mjv||v ^ С, где постоянная

С по зависит от номера N. Отсюда следует, что последовательность {идг} сходится слабо в V к функции «(/, л) при N —>• оо. Далее доказывается, что существует г) как элемент пространства 2?*(0,Т; V*) С V* и что функция и(/,х) является решением задачи (19).

Сформулируем основной результат второго раздела:

Теорема 2.1 гл.2. Пусть выполнены условия 1а—2а,1Ь—ЪЬ и пусть ио(х) € £3(П). Тогда, задача (17), (18) имеет по крайней мере одно решение и(<,х) 6 ¡У для каждой функции /(*, х) 6 V*. При это.»/ сама задача понимается как уравнение в операторной форме

и( + Ли = и, + (Ло + В)и - /,

где операторы Ло, В определены выше. Кроме того, и(£) 6 СЦО.Г];^«)), и при этом и(0,х) = ио.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах.

1. Кузнецова В.А. О краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения, не разрешенного относительно старшей производной// Диф.уравнения и прикладные задачи. - Тула, 1995.-С. 32-37.

2. Кузнецова В.А. Разрешимость краевой задачи для одного квазилинейного эллиптического уравнения с существенным вырождением коэффициентов // Математическое моделирование и краевые задачи: Тр.б-ой межвуз.конф. 29-31 мая 1996г. 4.2 - Самара, 1996.- С. 56-58.

3. Кузнецова В.А. Разрешимость первой краевой задачи для квазилипейного эллиптического уравнения с существенным вырождением коэффициентов и ортогональным слагаемым // Диф.уравнения и прикладные задачи. - Тула, 1996,- С. 28-31.

4. Кузнецова В.А. О первой краевой задаче для квазилинейных эллиптических и параболических уравнений с нестрого монотонными коэффициентами // Известия ТулГУ. Математика. - Гула, 1996.-С. 139-157.

Печ. .1. Тираж /£?£) Зами 6Й.&

Типография МЭИ, Красноказарменная, 13.