Разрешимость краевых задач для некоторых уравнений типа Навье-Стокса тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

КАЗАКДЫН, ЭЛ-ФАРАБИ атындагы МЕМЛЕКЕТТ1К УНИВЕРСИТЕТ!

колжазба кукында САЙЛАУБЕКОВ Нурлан Турсынбекулы

Т¥РАК,СЬ13 ГИПЕРБОЛАЛЬЩ ЖЭНЕ АРАЛАС ТЕКТ1 ТЕНДЕУЛЕР УШ1Н ХАРАКТЕРИСТИКАДАН ТАЙЦЫГАН СЫЗЫЦТАГЫ ЕСЕПТЕР ЖАЙЛЫ

01.01.02 — дифференциалдык. тендеулер

физика-математика гылымдарыныц кандидаты рылыми дэрежесше ¡здену диссертациясыныц

Авторефераты

Алматы — 1992

ч

■ МИНИСТЕРСТВО НАРОДНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН КАЗАХСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ш.АЛЬ-ФАРАБИ

На правах рукописи Имапбэев Каярат Сомтсвич

РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА НАВЬН-СТОКОА

01.01.02 - дафференцжальнш уравнения

Автореферат диссэртацяи на сопсканиа учено а сггэпэни кандидата физико-математических наук

Аляа-Атя 10®

с?

/ / /

Работа выполнена в Институте математики и механики АН Республики КАЗАХСТАН и КазГУ имени Аль-Фараби

Научные руководители: доктор фшшсо-математических наук,

профессор Смагулов Ш.С. доктор физико-математических наук, . профессор Кальйзев A.A. Официальные оппонопты: доктор физико-математических наук,

чл.-корр.АН Республики КАЗАХСТАН Огелбаев Ы.О.

кандидат физико-математических наук Дкайкбаов A.M. Ведущая организация: Красноярский государственный

университет.

Ващита состоится " ■> " lup f '/о чао на заседании Регионального специализированного совета К 068.01.17.no присуждению ученой стегани кандидата наук в Казахской государственной университете им.Аль-Фараби по адресу : 4S00I2 ,г.Алма-Ата .ул.Масанчи 39/47. О диссертацией можно ознаконшъся в научной библиотеке КазГУ

Автореферат разослан

Ученый секретарь _ Регионального специализированного совета,кандидат физико-иатеиатичеетшх

наук.додзнт ""tH^tb?""* Бэдальбаев A.A.

; . ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

^ АКТУМЬНОСТЬ_ТЕМЫ. Интерес к исследованию вопросов ,

связанных с разрешимостью краевых задач для уравнения Навьо-Стокса , обусловлены многочисленными приложениями в различных прикладных задачах механики сплошной среда , к исследующих явления,описываемые уравнениями указанного вида. Вплоть до настоящего времени ведется активное исследование уравнения Навье-Стокса различными методами.

Модель Навье-Стокса вязкой сжимаемой жидкости является одной из наиболее известных моделей в механика сплошной среды , учитывающая как сжимаемость , так и вязкость среда. Постановка основных краевых задач и первая теорема существования в малом для сжимаемой жидкости в классе гладких решения получена Дк.Серрином. Дальнейшее развитие локальной теории получили в работах Дг. Наша , Н.йтая .А.И.Вольгорта и С.И.Худяева , В.А.Солонникова и А.Тани , и других авторов.

В различных модальных ситуациях с помощью аппарата банаховых пространств были исследованы краевые задачи в работах О.Я.Белова, М.О.Огелбаева . Работы Я.Ю.Канеля , Н.йтая, А.Тани, А.В.Кажихова, Ш.С.Смагуловз, В.В.Шелухина, С.Я.Белова .A.A. Дурмаганбетова .Б.Д.Кошанова и некоторых другга авторов посвящены построению нелокальной теории для одномерного уравнения сжимаемой жидкости.

Исследование гладкости решения нелинейного параболического уравнения в рефлексивном банаховом пространстве ¡однозначная разрешимость начально-краевой задачи для одномерного уравнения вязкого газа, когда вязкость

зависит от температуры, и существование периодического, ограниченного решения для уравнении баротропного газа.

М§То©®§_иссдеадвания связана с получением априорных оценок , постоянные в которых зависят от данных задачи и величины Т интервала времени , но но зависят от промежутка существования локального решения .На их основе локальное решение продолжается на весь отрезок I О , X 1.

Научнэя_ношзна. В диссертации получены следующие новые результаты :

- доказана существование решения параболического уравнения в рефлексивном банаховом пространстве, зависящего от параметра .

- доказана однозначная разрешимость начально - краевой задачи доя одномерного уравнения вязкого газа , когда вязкость зависит от температуры.

- доказана существование периодических .ограниченных решения для одномерного уравнения баротропного газа в магнитном поле .

Теоретическое и практическое значонш результатов . Работа носит теоретический характер . Результаты диссертации могут быть применены в теории краевых задач для нелинейных уравнений и в различных их приложениях. .

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах чл,- корр. АН Республики КАЗАХСТАН, профессора Отелбаева М.О.,чл.-корр.АН Республики КАЗАХСТАН,. Т.Ш.Кальменова и д.ф.-м.н..профессора Ш.С.Смагулова (КазГУ) чл.-корр.АН Республики КАЗАХСТАН.профоссора Е.И.Кима (КазГУ) 'и.-корр. АН Республики КАЗАХСТАН , профессора К.А.Касымова,

яа конференции * Совремейные методы качественной теории дифференциальных уравнения .Глобальный анализ. Многозначные отображения " < Воронеж ,1989 ), на Республиканской научной конференции по математике и механике < Алма-Ата ,1989 ), на конференции молодых ученых ИММ АН Республики КАЗАХСТАН.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ , перечень которых приложен в конце автореферата .

_Ст22кт2ра_и_обьви_в§боты.Диссертационная работа состоит из введения .трех глав и списка литературы , содержащего 50 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении поош краткого обзора литературы сформулированы основные результаты работы и указана их взаимосвязь о работами других авторов .

В первой главе рассматривается задача Кош дяя параболического уравнения, зависящего от параметра

^ + Аи + В(и,х> . Г<*,М, I - I 0,Т ) « : (1> и|1.0'и0<Х>

Здесь а - линеяныа неограниченный оператор с плопгаа в о областью определения В(а) ,со значениями из О а впэлне непрерывный обратным. При либо» 1, Яе 1 г 0 огаратор А + 1Е имеет ограниченные обратный, причем

в (А + И)*'» 4 с I |1| «• 1 .Г*

Пусть оператор а ийээт собственные функции, которые

образуют базис в а , 0 -ре&гексизвое банахово пространство , Е - тоядествЕнныа ошратор , о - псшяитояьная константа. В(-) - нелинейный огоратор, !(•»•) - зехторознзчная функ-.ция, удовлетворяющая условия»:

Условда В : I) оператор В(-,-) при некотором натуральном к представим в виде

В<и,Х) <и',иа.....Iй,- и =...=ип=и' * е С

где В (и ,и2,...#ип,х) - п - линейный оператор, действующий

п у+6 у

из О ВО.

г+£ 14

2) При каждом и « О функция В(-,•> - аналигична в С и у

О -непрерывна на С .

3) Существует числа с>0 , О, 0, Яэг: О, Н^а 1 такие, что

« В(и,Х> £ С (« и + 1)"*, (3)

1 ВОх.х^- В(ил2) <« и + 1)"г- ш (4)

» В(и+у,х)-В(и,х) »г * (I и + +»и«г,+<5) (5)

где « чс = I иа£,

при всех 6 е в , й = { X е С: |Х|<1)

Функция т в (4) предполагается неотрицательной, -г

непрерывной на С , равной нулю на диагонали: ш(х,\)=о, х в а

в я

Условие ио. Функция ио 0 - аналогична в С и 0-непрерывна на .

г

Условие 1 .Функция 1<1;,'.) 0 - аналигична в С и

г

О - непрерывна в С при кавдом г е [ о,т ], и отображение г

х 1 есть й - непрерывная на С функция.

Здесь числа у, £, в удовлетворяют нэравэнствам

}' + & < я < г' + 1/2 , 0 < <5 < 1/2 (б)

а а

Пространство 0 - зашкалив элементов из 0 по норме «Лия,

_а

где 1! и норма в 0, а 0 пространство шкгор-фушсциа

о

и: (ОД] -»Ос нормой

I U « с. = sup I U(t)« „

Q 0<1<T

Пусть о -открытое подмножество комплексной плоскости С. Определение I. Функция и: о Qa называется аналитической в о , если в окрестности любой точки хо« п она разлагается в сходящийся ряд

U <х)= с и <х-х )"

г. ем

с коэффицэнтами u <* Qa ,n е N

" а а

Непрерывная функция и:о Q называется Q - непрерывное.

Наряду с (I) рассмотрим слэдупцую систему задач (n « N) an

зГ+ Ч, + = WW

4.u.o-W^> <7>

которая является аппроксимацией го Галзркину задачи (1).В качестве базиса использованы собственные функции оператора А

Теорема I.I.Пусть выполнены неравенства (6) и условия

В ,и0 ,1 .Предположим «задача (7) имеет решение un ,n е Н

при некоторых ы < s и v «О, удовлетворяю®» условиям

sup sup luc', «i яо< « (8)

пен |Х|£1 " «

Г е sup IUC- ni; < 00 (9)

Тогда для любого м « со,1> справедливо неравенство

sup sup 1ЦС , ХЭ1 . +lu£c-. Х> fAU <-.x)i Л с„< ® <10)

Щ . . (Г

и задача (1) имеет решение u(t.x). которое удовлетворяет

оценке

ъ

sup IUC • . ХЭ I • + life-, ХЭ + AU <-,Х) I Y £ C„< e <11) |X|ÍM Q • Q f

Это решение единственно в классе ¡3 .

Доказываются четыре лэмхы . С помощью этих лемм доказывается теорема I.I.

Во второй главе рассматривается начально-краевая задача дою уравнения вязкого газа .коэффициенты вязкости и теплопроводности зависят от термодинамических величин.Первый параграф госвяиэн изучению начально-краевой задачи для уравнении теплопроводного газа, которые в массовых лагранжевых переменных имеет вид:

£У „ (Е^хИ.Я})- *Р р Р=нв вх ах т «с ¿х 4

(12)

ву ей ¿г «

<П ах ч вх ах у «с ц , к -козффицэнты вязкости и теплопроводности допускают следующую зависимость от термодинамических величин V,®

= йт + с , а > 1 , с > о

О <1+т)а ,

Чу.®) = т<х,1;) е(хд) (13)

Здесь и, у - абсолютная температура .скорость и удельный объем.

Искомые функции и .V ,е удовлетворяют начальным данным <У,и,е) <Х,0) = <и0,У0,е> (X) <Н>

и граничным условиям

<и, ~) <0,1) = (и, ~) <1 = О <15)

«с ох

Теорема 2,1. Пусть р, х удовлетворяют условию < 13 ) и начальные данные обладают следующими свойствами гладкости

<№ео> • Шо< <^о.во> < "о» С =<°'1> •

и граничные условия согласованы с начальными

ио<0> = ио<1) = 0 . Тогда существует единственное решение задачи (12)-(15)

причем

V(t) * IJO.T; W* (G)) , vt6 LJO.T; t4<C)) (U(t), e(t)) « I^O.T; W^(G)) n 1^(0,1; W*(G)) л n »'(0,Т;Ьг(С>)

0 < mii (e.v) < Mt< oo Теорема 2.2.Если,кроме требовании теоремы 2.1,выполнены

U^,eoe , 70« Clt0(S) , 0 < а < 1

и условия согласования .то решение является классическим U.0 е с2*"'1^2^) , у в с*'"'"""«^). Во втором параграфе этой главы рассматривается система уравнений вязкого теплопроводного газа с учетом магнитного поля,которая в массовых лагранжевых поремеиных имеет вид:

»В „ (tfiejtil. « . Е Р = ® R

at ох у ox ex ox v

Я - 2У <1б)

at ох

?S. = (Mv.o).»») р ,Ai(e,t) (¿U^+i^H)*

Ot ОХ V« ох V лет«

' 2iY0> = 1- (1 50) <»t ox у ax

ц , x -коэффицэнты вязкости и теплопроводности допускают вид

как в (13),а Н - напряженность магниг.яого поля.

Заданы начальные

(V, U, в, Н) (X, 0) = <VU0,eo,H0) <х> <17>

и граничные условия:

(и, 2® , Н) <0,t) = (u, — , Н) <1,t) = О (18)

ох ох

Тогда справедливы следующие утвервдения

Теорема 2.3.Пусть ц, х удовлетворяют условию (13) и

<V4,»W e «C<G> • mo£ eo' V Mo

uo(0) - uo(1> = О . Ho<0> . H0(1) = 0. Тогда существует единственное решение задачи <I6)-(I8) , причем

v(t) « IJO.ï; W*(G)) . Я « Lœ(0,T; La(G))

Ît

(u(t).H(t).e(t>> с i^o.ï; wj(c>) о i^cus «*<c)>

(—, — .:—)« l et «t «t

0<rase,vsM<®

Теорема 2.4.Если,кроме требований теоремы 2.3,выполнены

условия

yo.e C^°<G) , <ио.ео,но)в С**а<5) и условия согласования,то существует единственное решение задачи (18)-(18),обладающее свойствами (u, е. h) « c,*e'4*e"(hf) V в сй*в,1*ви*<01).

В главе 3 рассматриваются вопросы периодичности .ограниченности по времени решения уравнений магнитной газодана-мики. § I згой главы играет вспомагательную роль .В нем формулируется краевая задача без начальных данных , выясняется связь эйлеровых и лаграняевых шременных .

В § 2 главы 3 изучается ограниченное решение для уравнении магнигогазодинамики .Построение ограниченных решений проводится по схеме , изложенной в работе [ * ]

ж Шелухин В.В. Ограниченные,почти-шриодическиэ решения уравнений вязкого газа // Динамика сплошной среды.-1980.-Вып.44.-С.147-163.

Система уравнения магнитогазодинамики в массовых лагранже-вых переменных имеет ввд:

-- = — (-•—)- -- - Н--3 + i (/у dy,t) at эх V ох ах ах о

а . 2У (19)

et а<х

2ÍI0) = а_ Щ àt sx y sx

Здесь í - массовая сила. В полосе

Q = { <X,t): X е С = (0,1 ), t S J =(-«; +оо) } ищутся функции V, u, Н, удовлетворяющие (19) и условиям / y dx = 1, lili v>0, u(0,t)=u(1 ,t)=0, H(0,t)=H(1,t)=a (20)

a

где « * О.Обозначим Qt,itl» С * (t.t+1)

í»oui*co,t

Скажем, что í « С (5), если

sito i í i »euitai/» < a>

c < V*>

ixta! iihji <2*co

lUWW |U,Q + ,V,Q + IH,Q

ГД9 IZÍQ -I2| гГ.Г/гт ч, líl = suplíl

4.1+1 ^ ^t.t*»' lej С (Q 1.1*1)

Теорзма 3.1 Л. Пусть P(s) e Сг(0,со) и существуют положительные постоянные M, т4 , такие, что

|flt 5 M . ш,(1 + \ ) Ï -Р'(Т) - и2<1 + 1 ) Тогда существует ограниченное решение lí(t) = (и,7,11} задачи (19), (20), для которого справедлива оценка гир I U(t) |г+в1 í с , V 5 с

j

Теорема 3.2. Наядьтся 0 такое, что, если |í¡;¿ С, то ограниченнее решение зздачи (19), (20) единственно.

В § 3 главы 3 рассматривается задача (20) для уравнении (19) с шриодаческой правой часть». Доказывается существование периодических решений.

Теорема 3.3.1.Пусть шриодическая функция î е C*(Q i.w»)

Р(3> « С* (О,») и существуют числа mt. ml>0 такие, что mt(l + |> s s ma<1 +

Тогда существует (хотя бы одно) периодическое решение задачи (19), (20), причем

sup I um s с , c"*s ViC

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1.Иманбзев К.С. Смагулов Ш.С. Ограниченные, почти -периодические решения уравнений магнитной гидродинамики

// Численные метода решения задач механики деформируемого

твердого тела - Караганда -1987 - 67 94

2. Иманбзев К.С. Калыбавв A.A. Периодические решения уравнений магнитной газодинамики // Тезисы докладов IX Республиканской межвузовской научной конференции по мате-математике- и механике /иша-Ата , 1869 - Т 2 - С 49

3.Иманбзев К.С. Разрешимость начально-краевой задачи для уравнений теплопроводного газа, когда вязкость зависят от температур! // Известия АН Каз ССР, сери физ-иат., 1991, * I. - Дэп. ВИНИТИ 25.01.91, » 422- В 01.

4.Имаш5аев К.С. Разрешимость начально-краевой задачи дая уравнений теплопроводаого газа в капштном поле с вязкостью , вазиепщаа от тешюраггуры // Известия

\Н Каз СОР , серия физ-мат,- 1091, # I. - Дэп. ВИНИТИ 25.01.91, * 423- В 91.

Б.Имапбаав К.с. О гладкости решения нелинейного параболического уравнения в рефлексивном банаховом, пространстве аналитически зависящэго от параметра // Ред. Ж.Вестник АН Каз ССР.- Алма-Ата - 1991. - Деп. ВИНИТИ 17.01.91, № 297 - В 91.