Разрешимость задачи Дирихле для параболических уравнений второго порядка в Lp-пространствах Соболева тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

003487703

На правах рукописи

Гордеев Александр Николаевич

Разрешимость задачи Дирихле для параболических уравнений второго порядка в /^-пространствах Соболева

01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Белгород - 2009

1 о ДЕК 2009

003487703

Работа выполнена во Владимирском государственном гуманитарном университете

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Алхутов Ю.А.

доктор физико-математических наук, профессор Кондратьев В.А.

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Жура Н.А.

Ведущая организация: Воронежский государственный

университет

Защита диссертации состоится "23" декабря 2009 г. в 15 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.015.08 при Белгородском государственном университете по адресу: 308007, г. Белгород, ул. Студенческая, 14, корп. 1 БелГУ, ауд. 407.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Белгородского государственного университета.

Автореферат разослан '49 " ноября 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.015.08 ( Д ПрядиевВ.Л.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Рассмотрим в цилиндрической области QT = D х (О, Т) с ограниченным основанием D с К", п > 2, параболическое уравнение вида

=¿ ¿ - %=/о+fí g ip(Qr)- (i)

коэффициенты которого симметричны, непрерывны в замыкании QT и удовлетворяют условию равномерной параболичности

п

A-'KI2^ A|Ç|2, A = co7isi>0. (2)

i,fc=l

Для соответствующих эллиптических уравнений второго порядка

о 1

разрешимость задачи Дирихле хорошо изучена в пространстве \VP (D)

— замыкании C^{D) по норме \V^(D). При р = 2 задача является классической, она однозначно разрешима для уравнений с измеримыми коэффициентами в произвольной ограниченной области D. Если р / 2, то граница области не может быть произвольной и от коэффициентов требуются дополнительные ограничения. Один из первых результатов в этом направлении содержится в работе С. Агмона, А. Дуглиса и JI. Ни-ренберга1. Ими показано, что если граница 0D принадлежит классу С1, коэффициенты уравнения равномерно непрерывны в D, то задача Дирихле однозначно Lp-разрешима для всех р € (1, эо). Влияние границы на разрешимость задачи Дирихле исследовалось во многих работах, которые условно можно разделить на две группы. К одной группе можно отнести результаты в областях с изолированными особенностями на границе. Так, в плоском случае в работах В.А. Кондратьева2, П. Грива-ра3, В.Н. Масленниковой и М.Е. Боговского4 рассмотрены угловые точки. Особенности границы типа конических точек, ребер, многогранных

1 Агмон, С. Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы / С. Аг-мон, А. Дуглис, Л. Ниренберг. — M.: ИЛ, 1962.

2Кондратьев, В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками / В.А. Кондратьев // Труды Моск. мат. о-ва.

- 1967. - Т. 16. - С. 209-292.

3Grisvard, P. Elliptic problems in nonsmooth domains / P. Grisvard. — Boston -London - Melbourne. Pitman Advanced Publications Program, 1985.

4Maslennikova, V.N. Elliptic boundary value problems in unbounded domains with noncompact and nonsmooth boundaries / V.N. Maslennikova, M.E. Bogovskii // Rend, del Seminario Mat. e Fis. di Milano. - 1986. ~ V. 56. - P. 125-138.

углов изучены В.А. Кондратьевым2,5, Г.Н. Вержбинским и В.Г. Ма-зьей6. Наиболее общие результаты о разрешимости краевых задач в ¿^-пространствах с весом для областей с изолированными особенностями на границе получены в серии работ В.Г. Мазьи и Б.А. Пламенев-ского7,8. К другой группе относятся результаты, когда особенности не локализуются и основное внимание уделяется условиям регулярности границы, достаточным для справедливости тех или иных оценок решений. Этому направлению посвящены исследования В.А. Кондратьева и С.Д. Эйдельмана9 и В.Г. Мазьи и Т.О. Шапошниковой10. Задача Дирихле в выпуклой ограниченной области изучена Ю.А. Алхутовым и В.А. Кондратьевым11. Необходимое и достаточное условие на границу области, обеспечивающее однозначную £р-разрешимость задачи Дирихле для эллиптических уравнений с непрерывными в замкнутой области коэффициентами при всех р > 1 вместе с соответствующей коэрцитивной оценкой найдено Ю.А. Алхутовым12.

Для параболических уравнений вида (1) классический случай р = 2 описан в монографии O.A. Ладыженской, H.H. Уральцевой и В.А. Со-лошшкова13. Если р ф 2, то Lp-разрешимость задачи Дирихле в областях с нерегулярной границей исследована в меньшей общности. В

5Кондратьев, В.А. О гладкости решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка в окрестности ребра / В.А. Кондратьев // Дифференц. уравнения. - 1970. - Т. 6. - С. 1831-1843.

еВержбинский, Г.М. О замыкании в Lp оператора задачи Дирихле в области с коническими точками / Г.М. Вержбинский, В. Г. Мазья // Известия вузов. Математика. - 1974. - Т. 145. - № 6. - С. 8-19.

7Mäz'ya, V.G. Estimates in LP and in Holder classes and the Miranda-Agmon maximum principle for solutions of elliptic boundary value problems in domains with singular points on the boundary / V.G. Maz'ya, B.A. Plamenevsky // Math. Nachr. —

1978. - V. 81. - P. 25-82.

8Мазья, В.Г. Ip-оценки решений эллиптических краевых задач в областях с ребрами / В.Г. Мазья, Б.А. Лламеневский // Труды Моск. мат. о-ва. — 1978. — Т. 37.

- С. 49-93.

9Кондратьев, В.А. Об условиях на граничную поверхность в теории эллиптических краевых задач / В.А. Кондратьев, С.Д. Эйдельман // Доклады АН СССР. —

1979. - Т. 246. - Л"» 4. - С. 812-815.

10Мазья, В.Г. Мультипликаторы в пространствах дифференцируемых функций / В.Г. Мазья, Т.О. Шапошникова. — Ленинград: ЛГУ, 1986.

"Алхутов, Ю.А. Разрешимость задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка в выпуклой области / Ю.А. Алхутов, В.А. Кондратьев // Дифференц. уравнения. — 1992. — Т. 28. — № 5. — С. 806-818.

12Алхутов, Ю.А. Lp-оценки решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка / Ю.А. Алхутов ,// Матем. сборник. — 1998. — Т. 189. — № 1.

- С. 3-20.

13Ладыженская, O.A. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. / O.A. Ладыженская, H.H. Уральцева, В.А. Солонпиков. — М.: Наука, 1967.

известных нам работах разобран ряд случаев, когда граница основания цилиндра содержит изолированные особенности на границе. "Параболический аналог" результатов В.А. Кондратьева для широкого класса начально-краевых задач в областях с коническими точками на границе основания цилиндра получен В. А. Козловым14. Уравнение теплопроводности в цилиндре с двугранным углом на боковой поверхности изучено В.А. Солонниковым15. В перечисленных работах разрешимость задачи Дирихле доказана в £г,-пространствах с весом.

Результаты о ¿р-разрешимости задачи Дирихле для уравнения вида (1) в цилиндрической области с нерегулярной границей основания, особенности которой не локализуются, нам неизвестны. Наши исследования в этом направлении актуальны, поскольку позволяют получить "параболический аналог" ранее известных результатов для эллиптических уравнений.

Целью работы является нахождение точных условий на границу OD области D (основание цилиндра QT) при выполнении которых зада-

о 1,0

ча Дирихле однозначно разрешима в пространстве Wv (Qt) для всех р > 1 вместе с соответствующей оценкой

(3)

i=0

в которой постоянная С не зависит от и и /¿, г = 0,1,...,п. Здесь

о 1,0

wp (Qt) — пополнение гладких функций, равных нулю в окрестности боковой поверхности цилиндра Qt по норме Wp'°(Qt) ~ соболевского пространства функций, Lp-суммируемых в От вместе с обобщенными производными первого порядка по пространственным переменным. Для оператора теплопроводности ставится задача найти необходимые и достаточные условия на траншу dD, при которых задача Дирихле однозначно Lp-разрешима в указанном выше смысле.

Аналогичные вопросы рассматриваются и для разрешимости зада-

ol.O о 1,0

чи Дирихле в пространстве vp (Qt) ~ подпространстве wp (Qt), состоящем из ¿¿(.¿^-непрерывных на [0, Т] функций с нулевым следом на нижнем основании цилиндра Qt- Здесь предполагается, что р ^ 2, поскольку для 1 < р < 2 нами установлено, что задача Дирихле может

14Kozlov, V.A. On the asymptotics of the Green function and of the Poisson kernels for parabolic initial boundary value problem in a cone / V.A. Kozlov. — I: Zeitschr. Anal. Anw., 1989 (8). - P. 131-151. ; II: ibid., 1991 (9). - P. 27-42.

15Solonnikov, V.A. Lp-estimates for solutions of the heat equation in a dihedral angle / V.A. Solonnikov // Rendiconti di Matematica. — 2001. — Serie VII. Roma. — V. 21. - P. 1-15.

оказаться неразрешимой даже в том случае, когда оператор £ совпадает с оператором теплопроводности, а область £> имеет сколь угодно гладкую границу.

Методы исследования. В диссертации используются методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, теории функций, теории потенциала.

Научная новизна. В диссертации выделен новый класс цилиндрических областей, в которых задача Дирихле однозначно разрешима в

о 1,0 О 1,0

пространствах \\'р (<?т) и Ур (<2г)- Получены следующие новые результаты.

1. В предположении, что основание £> цилиндра является выпуклой областью, а коэффициенты уравнения (1) непрерывны в замыкании (¡т, доказана однозначная разрешимость задачи Дирихле в пространстве

о 1,0

И/'р ((¿т) для всех 1 < р < оо вместе с соответствующей оценкой (3). Аналогичный результат о разрешимости задачи Дирихле получен в про-

о1,0

странстве Ур {(}т)- Здесь однозначная разрешимость вместе с соответствующей оценкой установлена при р > 2. Требование непрерывности коэффициентов, выпуклости области и предположение р ^ 2 существенны.

2. Получено необходимое и достаточное условие на границу дО области £>, обеспечивающее однозначную разрешимость задачи Дирихле вместе с соответствующей Ьр-оценкой для оператора теплопроводности в про-

О 1,0 о 1,0

странстве IVр (фт) (при всех р > 1) и в пространстве ¥р (<5т) (при всех р ^ 2). Показано, что при выполнении данного условия на дБ указанная выше ¿р-разрешимость задачи Дирихле имеет место и для уравнения (1) с непрерывными в замыкании <2т коэффициентами.

3. Для уравнения (1) с непрерывными в замыкании С}т коэффициентами получено достаточное условие на дИ, гарантирующее однозначную разрешимость задачи Дирихле вместе с соответствующей ¿р-оценкой в

о 10 о 1,0

пространствах IV {Ят) и Ур (<5т) при заданных значениях р > 1 и р ^ 2 соответственно.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты и развитые в ней методы носят теоретический характер и могут быть использованы в теории параболических уравнений второго порядка.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2006), на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим

системам (Суздаль, 2008), обсуждались на научном семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством профессора В.В. Жикова во Владимирском государственном гуманитарном университете, на семинаре во Владимирском государственном университете, на семинаре по дифференциальным уравнениям и их приложениям в Белгородском государственном университете.

Публикации автора. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1—4]. Из них [4] опубликована в издании, рекомендованном ВАК для публикации основных результатов кандидатской диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, содержащих 6 параграфов, и списка литературы из 31 наименования, включая работы автора. Объем диссертации составляет 78 страниц машинописного текста.

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность и указывается степень разработанности проблемы, формулируется цель исследования, вводятся основные определения и приводятся основные результаты диссертации.

Рассмотрим задачу Дирихле

п

= /о + ^Ш*. в От, /; е 1р{Ят), г = 0,..., п, = 0,

¿=1

(4)

где др((2т) означает параболическую границу цилиндра <2г, и дадим

о 1,0

определение решения в функциональных пространствах IVр (<Эг) и

о 1,0 о 1,0

Vр (Я'г). Функция и ЕШР (Ят) называется решением задачи (4), если выполнено интегральное тождество

I ~ X) а'1их< V*' )(1х&= / (/о'у5 - У^ /.^,)^ <& (5), От ^ Яг 4=1

па гладких в <2Г пробных функциях ¡р, равных нулю в окрестности боковой поверхности и верхней крышки цилиндра <Эг-

о 1,0

В пространстве V(От) решение понимается в смысле интегрального тождества

/Л » Л 71

а^и^.) ¿х сИ- и{т,х)р{т,х)(1х = /

О- М=1 п О. •=!

А<рх.)(1х<И,

выполненного для всех значений г 6 (О, Т) на гладких в замыкании (Эт = Пх (0, г) пробных функциях <р, равных нулю в окрестности боковой поверхности цилиндра Цг.

В первой главе исследуется разрешимость задачи (4) в выпуклой области. Первый параграф посвящен получению вспомогательных ¿р-оценок. В основе этих оценок лежит конструкция разбиения единицы в области основанная на покрытиях типа Уитни. Сначала предполагается, что граница дБ принадлежит

ОХ»

классу С°°. Обозначим через Кт внутренность замкнутого куба К*° = {х : х'1 — г ^ х, ( 1® т г, г = 1,..., га} с центром в точке х° и длиной ребра 2г. Введем понятие класса /?<,-, участвующее в схеме разбиения единицы.

ОХ»

Определение 1. Будем говорить, что множество КГ П<9£>, где х° е дИ, принадлежит классу Щ, если для любых точек

О £

У, г £КГ ПсШ величина двугранного угла, содержащего область Б и образованного опорными к £) гиперплоскостями в точках у и г, больше 7Г — 5.

О

Пусть хй е дБ, КТ С\дБ — множество класса Ко и е > 0. Тогда

множество Кг ПдБ обладает тем свойством, что в системе координат ... ,гп с началом в точке ж0, в которой ось гп направлена по нормали к дБ, существует неособенное преобразование переменных, переводящее данное множество в часть гиперплоскости гп = 0. При этом всякий дивергентный равномерно эллиптический оператор второго порядка переходит в эллиптический оператор такого же вида, и его коэффициенты отличаются от коэффициентов исходного оператора менее, чем на е по модулю, если <5 < ¿о- Постоянная 5о зависит только от г и коэффициентов данного оператора. Данное свойство множества класса используется при получении Ьр-оценок с помощью техники локального распрямления границы. Ключевую роль в конструкции разбиения единицы играет компакт С К" \ Д с помощью которого удается для

тО

каждой точки xй 6 дО оценить размер г ее окрестности Кт ПдБ, принадлежащей классу Щ.

Лемма 1. Если 0 < 6 < ж/4, то существует компакт М5 С К" \ О со следующими свойствами: а) для любой точки из найдется двугранный угол с раствором не более, чем тт — 5, содержащий область Б и образованный гиперплоскостями, проходящими через эту точку; Ь)

каждой точке границы х £ 0D соответствует точка х £ M¡, такая,

°1 \х — xí

что множество КЫх) П9D, где h(x) = _' , принадлежит классу * ' 8у/п

Rs-

Ниже р(А, В) означает расстояние между множествами А, В 6 R", a ps{x) — расстояние от точки х G D до множества Mj. Нами показано (предложение 1.1.3), что если 0 < 5 < п/А и и > 1, то цилиндр Qt можно

покрыть конечной системой замкнутых цилиндров {QÍ[ 'х 0 < t' ^ Т,

фХ<) = х ^ _ г2

, f * j, обладающих следующими свойствами: а) существуют положительные постоянные не зависящие от D и <5,

такие, что Дп ^ p{K^r.,M¡) íC íhr,; b) каждый куб К*'Г. лежит целиком в D либо его центр х' лежит на границе 0D, и в последнем случае

множество Kvr. П8D принадлежит классу R¡; с) кратность покрытия {QÍlr¡x J} зависит только от п и и. Рассмотрим задачу Дирихле

п

Дм - ut = /о + в Qt, Sí е Lp(Qt), i = о, 1,... ,n, w|0p(QT) = 0

¿—i

(6)

и сначала предположим, что /, е Cq°(Qt)- Из предыдущего утверждения о покрытии цилиндра Qt с помощью стандартных рассуждений выводится, что для классического решения задачи (6) при ó ^ S0[ri,p) имеет место неравенство

п

Н^Иысг) < с(п,р)( \\Ш\ь,ш + J2 НЛНмвг) + 11«/>7г11м«т))- (7)

¿=i

Дальнейший этап рассуждений после выбора <5 = S(n,p) заключается в оценке

п

llwpjMkíQr) Н/оюИмвг) + Е НЛ11м9г))' (8)

¡=1

в силу которой

II VU |Up(0r)< cí II /о ||МОг) +¿ II h ||MQt)Y (9)

\ i=i '

где С = C(n,p,d), d — диаметр области D. При доказательстве (8) возникает необходимость рассмотрения вспомогательных задач

Aw - wt = /о в Qt, fo€C^{QT), w\8p(Qr) = 0, (10)

Д«; + «;t = / в Qt, /еСТ№т), w|s-(Qr) = 0. (И)

где d*(Qr) - объединение боковой поверхности цилиндра Qt с его верхней крышкой. Получено следующее утверждение.

Лемма 2. Если решения задач (10), (11) удовлетворяют оценкам

llmlLP(QT)<C(n>P)UMLP(QTb (12)

и

II^IImqd ^ c(n,p)\\fps\\Lq{QT) (13)

соответственно с сопряженными показателями pug, то для решения задачи (6) справедлива оценка (8).

Доказательство (12) и (13), приводимое в параграфе 3, опирается на следующую оценку функции Грина F(i, г, х,у) первой краевой задачи для оператора теплопроводности в цилиндре Qt, доказываемой в параграфе 2. В следующем утверждении хМ ~ характеристическая функция полуоси t > 0 и г = \х — у\ + \Jt — т.

Теорема 1. Существуют положительные постоянные 0 и С, зависящие только от п и 5 такие, что

T(t, т, х, у) ^ <

Cx(t-T)ps(x)pl+p(y)r-n~2-t», если г > ps(y)/2

Cx{t-T)psiy)pl+,3{x)r-n-2-i}, если r>ps{x)/2

CX(t - r)r~n, если г ^ р*(у)/2

, Cx(t-r)r~n, если г ^ ps(x)/2.

(14)

Доказательство теоремы опирается на ряд вспомогательных утверждений, одним из которых является существование специального барьера для уравнения Лапласа.

Третий параграф посвящен доказательству однозначной разреши-

о 1,0 о 1,0

мости задачи Дирихле (4) в пространствах IVр (<2т) и Ур (С?т)■ Здесь, после получения для классического решения задачи (6) оценки (9), показывается, что при р > 2 и любого г е [О, Т]

II V« |ир(дт) + || и(г,-) ||мо)< с( || /о ||МОт) +¿11/4 Иь^От)) (15)

с константой С ~ С(п,р,д). Доказательство существования решения задачи (6) в произвольной выпуклой области О осуществляется с помощью исчерпывания Б выпуклыми областями Вгп с Ап-и С В с

границами класса С°° и аппроксимации правой части уравнения функциями класса С^(Я-р), где <2™ = От х (О, Г). При исследовании задачи (4) используется метод замораживания коэффициентов. Теорема единственности основана на £р-разрешимости задачи Дирихле для параболического оператора, сопряженного к оператору £, из (1).

Теорема 2. Если основание й цилиндра <2г является выпуклой областью, а коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют условию (2) и

_ о 1,0

непрерывны в то задача (4) однозначно разрешима в IVр (Ят) для всех 1 < р < оо и для ее решения справедлива оценка (3) с постоянной С, не зависящей от и и г = 0,1,..., п.

Приводятся два примера на точность условий данной теоремы, показывающие как отсутствие единственности решения, так и неразрешимость задачи Дирихле для любой правой части уравнения. Первый пример строится для оператора теплопроводности и случая, когда область О не является выпуклой. Во втором примере область В выпуклая, но отсутствует непрерывность коэффициентов уравнения (1).

Теорема 3. Если р > 2 и выполнены условия теоремы 2, то задача

о 1,0

(4) однозначно разрешима в пространстве Ур (<3т) вместе с соответствующей оценкой

п

ИИо <с£Шм<зх), (16)

в которой постоянная С не зависит от и и /¡, г = О,1,..., п. Построен пример, показывающий, что если 1 < р < 2, то задача (4)

о 1,0

может оказаться неразрешимой в пространстве Ур (<5г) даже в том случае, когда оператор £> совпадает с оператором теплопроводности, а область £> имеет сколь угодно гладкую границу.

Во второй главе полученные результаты обобщаются на области более широкого класса. Кроме того, дается необходимое и достаточное условие на границу области Д при выполнении которого задача Дирихле для оператора теплопроводности однозначно Ьр-разрешима для всех р > 1 вместе с соответствующей £р-оценкой. Здесь важную роль играет Яа-условие, введенное Ю.А. Алхутовым12 при исследовании ¿р-разрешимости задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка. В формулировке этого условия участвует понятие гармонической меры. Конструкция построения и ее свойства приводятся в пункте 1 из параграфа 1.

Пусть О С R" ограниченная область и Е С (XI — открытое на 8Q множество. Гармоническое продолжение в (2 полунепрерывной снизу на д£1 функции, равной единице на Е п нулю на д£1\Е, которое обозначим через ш{х, Е, П), называется гармонической мерой множества Е в точке х относительно области П.

Обозначим В*0 — открытый n-мерный шар {х : \х — х0\ < г}, S*" — сфера {г : \х — ж0| = г}, d — диаметр области D. В диссертации используется гармоническая мера множества Е = S* ГШ относительно области Bf П D, где х° € дD. Положим ujf(x) = ш(х, Sf П D, Bf П D).

Определение 2. Область D удовлетворяет Яа~условию, если существует постоянная а € (0,1), такая, что для всехр £ (0,d) их0 6 dD справедливо неравенство

wf(x) <(^-J)° VxeDnBf, (17)

в котором константа 01а не зависит от р, х° и х.

Введенное понятие в случае его выполнения для всех a G (0,1) будем называть Л-условием.

Геометрические условия на область D, обеспечивающие выполнение Я-условия, приведены в работе12.

В этой части работы техника локального распрямления границы не используется и основу рассуждений составляют внутренняя априорная оценка решения и весовые интегральные оценки функции Грина Г(t,r,x,y) с весом, зависящим от расстояния р{х) от точки х € D до границы dD. Сначала в первом параграфе устанавливаются поточечные оценки T(t,T,x,y). Ниже x(f) и г имеют тот же смысл, что в (14).

Теорема 4. Если выполнено Ra-уыовие, то существует поло^си-тельная постоянная С, зависящая только от п, а и константы в (17), такая, что

Г(í, т, х, у) ^

' Cx(t - т)ра(х)ра{у)г~п~2а, если г > p{y)/i

Cx(t-T)pa(x)p0!(y)r-n-2a, если г>р(х)/А

Cx(t - т)г~л, если г ^ р(у)/4

, если г^р(х)/4.

(18)

Основной целью этих оценок является доказательство следующего утверждения.

Теорема 5. Если область D удовлетворяет Яа-условию и 7 6 (2 — а, (2 + ск) /2), то справедливо неравенство

J r(t,T,x,y)p-4(у) dydr < С(п, а, 7, %а)р2~7(х). QT

Данное соотношение основано на (18) и оценке меры специальных приграничных множеств. При оценке меры этих множеств используются свойства тепловой емкости, порожденной функцией Грина.

Второй параграф посвящен получению вспомогательных 1р-оцснок. Сначала рассматривается задача (6), в которой ft 6 C^(QT), и предполагается, что основание D цилиндра Qt удовлетворяет не только Ra-условию, но и условию внешней сферы. Условие внешней сферы обеспечивает однозначную разрешимость задачи (6) вместе с оценкой

п

l|V«|kp(Qr) ^ С(п,р)( WfoPWLAQT) + £ шМОГ) + lluP_I|Up(Qr))- (19)

i=l

При оценке последнего слагаемого в правой части (19) используются те же соображения, что и в первой главе. В данном случае важную роль играет постоянная

„ _ / 2/(Р+1). если ре {1,2] , п)

~ \ 2(р - 1)/(2р - 1), если р £ (2, оо). { >

С помощью теоремы о показало, что если а 6 (ар, 1), то для решения задач (10) и (11) имеют место оценки

II wP~l \\lp(Qt)< C(n,a,p,0io) || f0p ||Lp{Qr)

и

II wp~l IIL,(QT)< C{n,a,q,%,) II fp \\l,(Qt)

соответственно с сопряженными показателями р и q. Исходя из этих оценок, как и в лемме 2 показывается, что

W1\\lp(Qt) ^ WfoPhp(QT) + j

В итоге приходим к неравенствам (9) и (15) с постоянной С = С(п, a,p,d,KQ).

Третий параграф посвящен основным утверждениям диссертации. Доказательство однозначной £р-разрешимости задачи (4), основанное

на соотношениях (9) и (15) для решения задачи (6), реализуется по той же схеме, что и в первой главе. В данном случае возникает необходимость исчерпать область D, удовлетворяющей Ла-условиго, областями, для которых выполнено условие внешней сферы.

Лемма 3. Если область D удовлетворяет Яа-условию, то существует последовательность областей {Dm}, для которых выполнено условие внешней сферы, так что Dm С D, Drn —► D при гп —> со, и Dm удовлетворяют Яа-условию с общей для всех т постоянной 3?Q в неравенстве (17).

Сформулируем полученные результаты.

Теорема 6. Если коэффициенты уравнения (1) непрерывны в QT, удовлетворяют условию (2) и для области D выполнено Яа-условие при а 6 (ар, 1), то задача (4) однозначно разрешима в пространстве

с 1,0

Ц'р (Qt) вместе с соответствующей оценкой (3), в которой постоянная С не зависит от и и fi, i = 0,1,..., п.

В частности, однозначная £р-разрешимость задачи (4) при всех р > 1 имеет место, если область D удовлетворяет Я-условию. Анало-

ol,0

гичное утверждение справедливо и в пространстве Vp (Qt) при р > 2.

В случае липшицевой области D требование на постоянную ар из (20) можно несколько ослабить, полагая

_ Г 1/р, если р € (1,2] р ~~ \ (р - 1 )/р, если р е (2, се).

Хотя приведенные условия на постоянную а не являются точными, интересно то, что задача (4) оказывается ¿р-разрешимой для наперед выбранного р > 1 в области, которая удовлетворяет только условию внешнего конуса Пуанкаре. Условия на конус, обеспечивающие гель-деровость в граничной точке с заданным показателем а для гармонической меры (х) формулируются в терминах первого собственного числа оператора Лапласа-Бельтрами на сфере. Эти результаты хорошо известны, а подробную библиографию можно найти в обзоре В.А. Кондратьева и O.A. Олейник16.

Для оператора теплопроводности имеет место более сильное утверждение.

16Кондратьев, В.А. Краевые задачи для уравнений с частными производными в негладких областях / В.А. Кондратьев, O.A. Олейник ,// Успехи мат. наук. — 1983. - Т. 38. - вып. 2. - С. 3-76.

Теорема 7. Для однозначной разрешимости задачи (6) в простран-

о 1,0

стве Цгр (<5г) пРи всех Р > 1 вместе с соответствующей оценкой (3), в которой постоянная С не зависит от и и /,-, г = 0,1,..., п, необходимо и достаточно, чтобы область О удовлетворяла Н-условию.

о 1.0

Такая же теорема верна в пространстве Ур (0_т) при р ^ 2. Доказательство необходимости основано на применении оценки (3) к решению специально подобранной задачи (6).

В заключение автор выражает благодарность научному руководителю профессору Ю.А. Алхутову за постановку задачи, руководство и постоянное внимание к работе.

Диссертация выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 09-01-00446.

Публикации по теме диссертации

[1] Гордеев, А.Н. Разрешимость задачи Дирихле для параболических уравнений второго порядка / А.Н. Гордеев // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 10—15 июля 2006 г.). Тезисы докладов. — Владимир: Владимирское книжное издательство "Собор", 2006. — С. 70—72.

[2] Гордеев, А.Н. ¿^-разрешимость задачи Дирихле для параболических уравнений второго порядка / А.Н. Гордеев // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 27 июня — 2 июля 2008 г.). Тезисы докладов. Владимир: ВлГУ, 2008. - С. 67-71.

[3] Алхутов, Ю.А. ¿р-оценки решений параболических уравнений второго порядка / Ю.А. Алхутов, А.Н. Гордеев // Трзды Санкт-Петербургского матем. общества. — 2007. — Т. 13. — С. 1—25.

В работе Ю.А. Алхутову принадлежат постановка задачи и идея доказательства оценок функции Грина. А.Н. Гордееву принадлежит доказательство основных и вспомогательных утверждений.

[4] Алхутов, Ю.А. Хр-разрешимость задачи Дирихле для оператора теплопроводности / Ю.А. Алхутов, А.Н. Гордеев // Успехи математических наук. - 2009. - Т. 64. - вып. 1. - С. 137-138.

В работе Ю.А. Алхутову принадлежат постановка задачи и определение терминов, в которых описываются условия на область. А.Н. Гордееву принадлежит доказательство основных и вспомогательных утверждений.

Подписано в печать 17.11.09. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 0,93. Тираж 100 экз.

Заказ -3/3 -¿ОО^к Издательство Владимирского государственного университета. 600000, Владимир, ул. Горького, 87.

Введение

1. Уравнение в выпуклой цилиндрической области

§1. Разбиение единицы и вспомогательные 1/р-оценки.

§2. Оценки функции Грина.

§3. Разрешимость задачи Дирихле.

2. Уравнение в цилиндрических областях более общего вида

§1. Оценки функции Грина.

§2. Вспомогательные Lp-оценки для оператора теплопроводности

§3. Доказательство основных утверждений.

Рассмотрим в цилиндрической области Qt — D х (0,7') с ограниченным основанием d с Mn, п ^ 2, параболическое уравнение вида

0.1) /о + fi е Lp{Qt), г = 0,1,., га, г=1 коэффициенты которого симметричны, непрерывны в замыкании Qr и удовлетворяют условию равномерной параболичности п Y1 Ък&хШк А|е|2, А = const > 0. (0.2) i,fc= 1

В настоящей диссертации изучается вопрос об однозначной Lp-разрешимости однородной задачи Дирихле в областях с нерегулярной границей основания d. Разрешимость исследуется в пространствах о 1,0 о 1,0 о 1,0 wp (Qt) и vp (Qt). Здесь wp (Qt) — пополнение гладких функций, равных нулю в окрестности боковой поверхности цилиндра Qt по норме W^°(Qt) — соболевского пространства функций, Lp-суммируемых в QT вместе с обобщенными производными первого порядка по пространствено 1,0 о 1,0 ным переменным; v р (Qt) — подпространство wp (Qt), состоящее из lp(-О)-непрерывных на [0,т] функций с нулевым следом на нижнем основании цилиндра Qt

Для соответствующих эллиптических уравнений второго порядка разо 1 решимость задачи Дирихле хорошо изучена в пространстве Wp (D) — замыкании Cq°(jD) по норме Wp(D). При р — 2 задача является классической, она однозначно разрешима для уравнений с измеримыми коэффициентами в произвольной ограниченной области D. Если р Ф 2, то граница области не может быть произвольной и от коэффициентов требуются дополнительные ограничения. Один из первых результатов в этом направлении содержится в работе С. Агмона, А. Дуглиса и JI. Ниренберга [10]. Ими показано, что если граница 3D принадлежит классу С1, коэффициенты уравнения равномерно непрерывны в D, то задача Дирихле однозначно Lp-разрешима для всех р € (1, со). Влияние границы на разрешимость задачи Дирихле исследовалось во многих работах, которые условно можно разделить на две группы. К одной группе можно отнести результаты в областях с изолированными особенностями на границе. Так, в плоском случае в работах В.А. Кондратьева [19], П. Гривара [3], В.Н. Масленниковой и М.Е. Боговского [6] рассмотрены угловые точки. Особенности границы типа конических точек, ребер, многогранных углов изучены В.А. Кондратьевым в [19, 20], Г.Н. Вержбинским и В.Г. Мазьей в [15]. Наиболее общие результаты о разрешимости краевых задач в ^-пространствах с весом для областей с изолированными особенностями на границе получены в серии работ В.Г. Мазьи и Б.А. Пламеневского [7], [28]. К другой группе относятся результаты, когда особенности не локализуются и основное внимание уделяется условиям регулярности границы, достаточным для справедливости тех или иных оценок решений. Этому направлению посвящены исследования В.А. Кондратьева и С.Д. Эйдельмана в [25] и В.Г. Мазьи и Т.О. Шапошниковой в [29]. Задача Дирихле в выпуклой ограниченной области изучена Ю.А. Алхутовым и В.А. Кондратьевым в [14]. Необходимое и достаточное условие на границу области, обеспечивающее однозначную Lp-разрешимость задачи Дирихле для эллиптических уравнений с непрерывными в замкнутой области коэффициентами при всех р > 1 вместе с соответствующей коэрцитивной оценкой найдено Ю.А. Алхутовым в [11].

Для параболических уравнений вида (0.1) классический случай р = 2 описан в монографии О.А. Ладыженской, Н.Н. Уральцевой и В.А. Солон-никова [26]. Если р ^ 2, то .Lp-разрешимость задачи Дирихле в областях с нерегулярной границей исследована в меньшей общности. В известных нам работах разобран ряд случаев, когда граница основания цилиндра содержит изолированные особенности на границе. "Параболический аналог" результатов В.А. Кондратьева для широкого класса начально-краевых задач в областях с коническими точками на границе основания цилиндра получен В.А. Козловым в [4]. Уравнение теплопроводности в цилиндре с двугранным углом на боковой поверхности изучено В.А. Солонниковым в [8]. В перечисленных работах разрешимость задачи Дирихле доказана в Lp-пространствах с весом.

Результаты о Lp-разрешимости задачи Дирихле для уравнения вида (0.1) в цилиндрической области с нерегулярной границей основания, особенности которой не локализуются, нам неизвестны.

Основной целью настоящей диссертации является нахождение точных условий на границу 3D области D (основание цилиндра Qt) при выполнении которых задача Дирихле однозначно разрешима в пространстве о 1,0

Wp (Qt) для всех р > 1 вместе с соответствующей оценкой п

Ып^ш < Шыот). (0.3) i=0 в которой постоянная С не зависит от и и fi, г — 0,1,.,п. Аналогичный вопрос ставится и о разрешимости задачи Дирихле в пространстве о 1,0

Qt).

Перейдем к описанию полученных результатов. Обозначим через 9p(Qt) параболическую границу Qt и рассмотрим задачу Дирихле п

U = /о + Ув Qt, tr (0.4) fi е lp(qt), г = 0,1,., n, u\dp{qt) = о, о i,o под решением которой понимается функция и €.WP (Qt), удовлетворяющая интегральному тождеству г " г (u<pt - 22 OijUxifpxj) dxdt= / (f0(p - ^ fi<pXi) dx dt (0.5) QT ij'=1 QT i=l на гладких в qt пробных функциях </?, равных нулю в окрестности боковой поверхности и верхней крышки цилиндра Qtо 1,0

Перейдем к постановке задачи (0.4) и в пространстве vp (Qt)- Напомol,0 ним, что vp (Qt) означает пополнение гладких в Qt функций, равных нулю в окрестности боковой поверхности St и нижнего основания цилиндра Qt, по норме u\\polt0 = max / \u(t:x)\pdx + \\и\\р 1>0 vv (Qt) *6[0ДЧ J wp (Qt) d

Решение понимается в смысле интегрального тождества

Г) г>з —1 Г)

Q-r 'J~ D п j(fo<p - x] fw**) dx dti

Qr i=l выполненного для всех значений г Е (0,Т) на гладких в замыкании QT = Dx(0,r) пробных функциях </>, равных нулю в окрестности боковой поверхности цилиндра Qt.

Работа состоит из двух глав. В первой главе задача (0.4) исследуется в выпуклой области. Основные результаты этой главы заключаются в следующих утверждениях.

Теорема 1. Если основание D цилиндра Qt является выпуклой областью, а коэффициенты уравнения (0.1) удовлетворяют условию (0.2) и о 1,0 непрерывны в QT, то задача (0.4) однозначно разрешима в Wp (Qt) для всех 1 < р < оо и для ее решения справедлива оценка (0.3) с постоянной С, не зависящей от и и fi, г = 0,1,., п.

В пункте 3 параграфа 3 приводятся два примера на точность условий данной теоремы, показывающие как отсутствие единственности решения, так и неразрешимость задачи Дирихле для любой правой части уравнения. Первый пример строится для оператора теплопроводности и случая, когда область D не является выпуклой. Во втором примере область D выпуклая, но отсутствует непрерывность коэффициентов уравнения (0.1).

Теорема 2. Еслир ^ 2 и выполнены условия теоремы 1, то задача (0.4) о 1,0 однозначно разрешима в пространстве Vp (Qt) вместе с соответствующей оценкой п м-*.* ^c^\m\LpiQTh (о.б) vp [Qt) г=и в которой постоянная С не зависит от и и fi, г — 0,1,., п.

Если 1 < р < 2, то задача (0.4) может оказаться неразрешимой в просто странстве Vp (Qt) даже в том случае, когда оператор Л совпадает с оператором теплопроводности, а область D имеет сколь угодно гладкую границу. Соответствующий пример построен в пункте 3 параграфа 3.

Требование выпуклости области D в теоремах 1 и 2 можно несколько ослабить, если часть S границы 3D принадлежит классу С1. В этом случае достаточно предположить существование постоянной г > О, такой, что в r-окрестности О* каждой точки х е dD \ S функция, задающая в локальной системе координат уравнение 3D П О*, является выпуклой.

Основная идея, реализуемая в этой главе, состоит в использовании конструкции разбиения единицы в области D, основанной на покрытиях типа Уитни. С помощью этого разбиения и точных оценок функции Грина оператора теплопроводности вблизи границы, полученных в параграфе 2 (теорема 1.2.1), удается доказать априорную оценку, лежащую в основе доказательства приведенных выше теорем.

Во второй главе, с одной стороны, полученные результаты обобщаются на области более широкого класса, а с другой стороны, дается необходимое и достаточное условие на границу области D, при выполнении которого задача Дирихле для оператора теплопроводности однозначно Lp-разрешима для всех р > 1 вместе с соответствующей Lp-оценкой. Здесь важную роль играет /^-условие, введенное в работе [11] при исследовании Lp-разрешимости задачи Дирихле для эллиптических уравнений. В формулировке этого условия участвует понятие гармонической меры, которое мы сейчас напомним.

Пусть fl с 1" - ограниченная область и Е С дП — открытое на 8Q, множество. Гармоническое продолжение в Q полунепрерывной снизу на дО, функции, равной единице на Е и нулю на dil \ Е, которое обозначим через ш(х,Е,П), называется гармонической мерой множества Е в точке х относительно области Q. Конструкция построения гармонической меры и ее свойства приводятся в пункте 1 параграфа 1.

Ниже В*0 — открытый n-мерный шар {х : \х — ж0| < г}, S— сфера {х : \х — xq[ = г}, d — диаметр области D. В диссертации используется гармоническая мера множества Е = S'f П D относительно области В*" HD, где х° G 3D, и в дальнейшем положим cjp°{x) — lo(x: S*0 П D, ВП D).

Определение 0.1. Область D удовлетворяет Ra-условию, если существует постоянная a G (0,1), такая, что для всех р G (0, d) и х° G 3D справедливо неравенство в котором константа Ла не зависит от р, х° и х.

Введенное понятие в случае его выполнения для всех a G (0,1) будем называть /^.-условием.

Приведем, указанные в работе [11], геометрические условия на область D, обеспечивающие выполнение ^-условия. Пусть Q = {х = (х',хп) : f(\x'\) < хп, 0 < \х'\ < а }, где / — неотрицательная, непрерывно дифференцируемая на [0, а) функция, такая, что /'(+0) = /(0) = 0. Тогда если при некотором г0 > 0 в произвольной точке границы х° можно выбрать ортогональную систему координат, в которой Г2 не имеет общих точек с Dfl В®0, то D удовлетворяет Д-условию. В частности, Д-условие выполнено для областей, удовлетворяющих условию внешней сферы: область D удовлетворяет условию внешней сферы, если существует такое г о > 0, что для любой точки х° G 3D найдется шар В7?/о, для которого Bl0 (ID = х°.

Сюда относятся и области с нелипшицевой границей, имеющие "пик наружу". Другие достаточные требования на границу для справедливости irl-условия, связанные с первым собственным числом оператора Лапласа-Бельтрами на сфере, приведены в [22].

0.7)

Рассмотрим задачу Дирихле для оператора теплопроводности: п аи - щ = /о + У^Шхг В Qt,

0-8) г € LP(QT), г = 0,1,., n, w|0p(Qt) = 0. Теорема 3. Для однозначной разрешимости задачи (0.8) в пространо 1,0 стве Wp (Qt) при всехр > 1 вместе с соответствующей оценкой (0.3), в которой постоянная С не зависит от и и fi, i = 0,1,. ,п, необходимо и достаточно, чтобы область D удовлетворяла R-условию. о 1,0

Аналогичная теорема имеет место в пространстве Vp (Qt) при р ^ 2. Перейдем к задаче (0.4) для уравнения (0.1), предварительно положив 2/(р+1), если ре (1,2] ар = < (0.9) 2(р - 1)/(2р - 1), если р е (2, оо).

Теорема 4. Если коэффициенты уравнения (0.1) непрерывны в QT, удовлетворяют условию (0.2) и для области D выполнено Яа-условие при a G (ар, 1), то задача (0.4) однозначно разрешима в пространстве о 1,0

Wp (Qt) вместе с соответствующей оценкой (0.3), в которой постоянная С не зависит от и и fi, i = 0,1,., п.

В частности, однозначная Lp-разрешимость задачи (0.4) при всех р > 1 имеет место, если область D удовлетворяет Д-условию.

Теорема 5. Еслир « выполнены условия теоремы 4, то задача (0.4) о i,o однозначно разрешима в пространстве Vp (Qt) вместе с оценкой (0.6).

В случае липшицевой области D требование на постоянную а можно несколько ослабить, выбирая

1 /р, если ре (1,2]

Oiv = \ (0.10) р — 1 )/р, если р G (2, оо). 10

Из приведенного результата следует, что задача (0.4) оказывается однозначно Lp-разрешимой для наперед выбранного р > 1 в цилиндре Qt с основанием D, которое удовлетворяет только условию внешнего конуса Пуанкаре. Условия на конус, обеспечивающие гельдеровость в граничной точке с заданным показателем а для гармонической меры cof\x) формулируются в терминах первого собственного числа оператора Лапласа-Бельтрами на сфере. Эти результаты хорошо известны, а подробную библиографию можно найти в обзоре [24].

Предложенный нами метод исследования не использует технику распрямления границы, а основан только на оценках функции Грина вблизи границы и внутренней априорной Ьр-оценке. Основополагающую роль здесь играют точные оценки функции Грина Г(£, т, х, у) первой краевой В задачи для оператора теплопроводности L = Ах — щ в цилиндре Qt. Ниже р(х) — расстояние от точки х £ D до 3D, х(/<) — характеристическая функция полуоси t > 0, г = \х — у\ + y/t — т.

Теорема 6. Если выполнено Ra-условие, то существует полоо/ситель-ная постоянная С, зависящая только от п, а и константы 01а в (0.7), такая, что f

Cx(t — т)ра(х)ра(у)г~п~2а, если г>р(у)/А Cx{t — т)ра(х)ра(у)г~п-2а, если г > р{х)/4 Cx(t — т)г~п, если г ^ р{у)/4

Cx{t — т)г~п, если г < p{x)j4.

Г(t,r,x,y) < <

0.11)

Важную роль играет весовая оценка функции Грина с весом, зависящим от расстояния точки х € D до границы 3D. Следующее утверждение основано на (0.11) и оценке меры специальных приграничных множеств.

При оценке меры этих множеств используются свойства тепловой емкости, порожденной функцией Грина.

Теорема 7. Если область D удовлетворяет Яа-условию и а £ (2/3,1), 7 £ (2 — а, (2 + а)/2), (0.12) то справедливо неравенство

J Г(t,t,x,y)p-1{y)dydT ^ С(п,а,-у,Яа)р2-^(х).

Qt

В заключение автор выражает глубокую и искреннюю благодарность научному руководителю, профессору Юрию Александровичу Алхутову за постановку задачи, руководство и постоянное внимание к работе.

Диссертация выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 09-01-00446.

1. Aronson, D.G. Bounds for the fundamental solution of a parabolic equation / D.G. Aronson // Bull. Amer. Math. Soc. — 1967. — V. 73. — № 6. — P. 890-896.

2. Egorov, Yu.V. On spectral theory of elliptic operators / Yu.V. Egorov, V.A. Kondrat'ev // Oper. Theory Adv. Appl. — 1996. — V. 89. — Birkhauser. Basel.

3. Grisvard, P. Elliptic problems in nonsmooth domains / P. Grisvard. — Boston London - Melbourne. Pitman Advanced Publications Program, 1985.

4. Kozlov, V.A. On the asymptotics of the Green function and of the Poisson kernels for parabolic initial boundary value problem in a cone / V.A. Kozlov. I: Zeitschr. Anal. Anw., 1989 (8). — P. 131—151. ; II: ibid., 1991 (9). - P. 27-42.

5. Lanconelli, E. Sul problema di Dirichlet per 1'equazioni del calore / E. Lanconelli // Ann. Math. Рига Appl. 1973. - V. 97. — P. 83—114.

6. Maslennikova, V.N. Elliptic boundary value problems in unbounded domains with noncompact and nonsmooth boundaries /V.N. Maslennikova, M.E. Bogovskii // Rend, del Seminario Mat. e Fis. di Milano. 1986. - V. 56. - P. 125-138.

7. Solonnikov, V.A. Lp-estimates for solutions of the heat equation in a dihedral angle / V.A. Solonnikov // Rendiconti di Matematica. — 2001.Serie VII. Roma. — V. 21. — P. 1—15.

8. Watson, N.A. Thermal capacity / N.A. Watson // Proc. London Math. Soc. 1978. - V. 37. - P. 342—362.

9. Агмон, С. Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы / С. Агмон, А. Дуглис, JI. Ниренберг. — М.: ИЛ, 1962.

10. Алхутов, Ю.А. Lp-оценки решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка / Ю.А. Алхутов // Матем. сборник.1998. — Т. 189. № 1. — С. 3—20.

11. Алхутов, Ю.А. Lp-оценки решений параболических уравнений второго порядка / Ю.А. Алхутов, А.Н. Гордеев // Труды Санкт-Петербургского матем. общества. — 2007. — Т. 13. — С. 1—25.

12. Алхутов, Ю.А. Lp-разрешимость задачи Дирихле для оператора теплопроводности / Ю.А. Алхутов, А.Н. Гордеев // Успехи математических наук. — 2009. — Т. 64. — вып. 1. — С. 137—138.

13. Алхутов, Ю.А. Разрешимость задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка в выпуклой области / Ю.А. Алхутов,В.А. Кондратьев // Дифференц. уравнения. — 1992. — Т. 28. — № 5. — С. 806—818.

14. Вержбинский, Г.М. О замыкании в Ьр оператора задачи Дирихле в области с коническими точками / Г.М. Вержбинский, В.Г. Мазья // Известия вузов. Математика. — 1974. — Т. 145. — № 6. — С. 8—19.

15. Гилбарг, Д. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. / Д. Гилбарг, Н. Трудингер. — М.: Наука, 1989.

16. Кондратьев, В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками / В.А. Кондратьев // Труды Моск. мат. о-ва. — 1967. — Т. 16. — С. 209—292.

17. Кондратьев, В.А. О гладкости решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка в окрестности ребра / В.А. Кондратьев // Дифференц. уравнения. — 1970. — Т. 6. — С. 1831—1843.

18. Кондратьев, В.А. О разрешимости первой краевой задачи для сильно эллиптических уравнений / В.А. Кондратьев // Труды Моск. мат. о-ва. 1967. - Т. 16. - С. 293-318.

19. Кондратьев, В.А. О наилучших показателях Гельдера для обобщенных решений задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка / В.А. Кондратьев, И. Копачек, О.А. Олейник // Матем. сб.- 1986. — Т. 131. — № 1. — С. 113-125.

20. Кондратьев, В.А. Качественная теория линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка / В.А. Кондратьев, Е.М. Ландис // Итоги науки и техники. Совр. проблемы математики. Фундаментальные направления. —1988. — Т. 32. — С. 99—215.

21. Кондратьев, В.А. Краевые задачи для уравнений с частными производными в негладких областях / В.А. Кондратьев, О.А. Олейник // Успехи мат. наук. — 1983. — Т. 38. — вып. 2. — С. 3—76.

22. Кондратьев, В.А. Об условиях на граничную поверхность в теории эллиптических краевых задач / В.А. Кондратьев, С.Д. Эйдельман // Доклады АН СССР. 1979. — Т. 246. - № 4. - С. 812-815.

23. Ладыженская, О.А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. / О.А. Ладыженская, Н.Н. Уральцева, В.А. Солопников.М.: Наука, 1967.

24. Ландис, Е.М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов. / Е.М. Ландис. — М.: Наука, 1971.

25. Мазья, В.Г. £р-оценки решений эллиптических краевых задач в областях с ребрами / В.Г. Мазья, Б.А. Пламеневский // Труды Моск. мат. о-ва. 1978. — Т. 37. - С. 49-93.

26. Мазья, В.Г. Мультипликаторы в пространствах дифференцируемых функций / В.Г. Мазья, Т.О. Шапошникова. — Ленинград: ЛГУ, 1986.

27. Солонников, В.А. Априорные оценки для уравнений второго порядка параболического типа / В.А. Солонников // Труды МИАН. — 1964. — Т. 70. С. 133-212.

28. Стейн, Е. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций / Е. Стейн. — М.: Мир, 1973.