Разрушение тел при учете диффузии тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МАШИНОВЕДЕНИЯ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

;чь О А :

/ Пп } ■ ' На правах рукописи

ПРОСКУРА Алексей Владимирович

РАЗРУШЕНИЕ ТЕЛ ПРИ УЧЕТЕ ДИФФУЗИИ

Специальность 01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 1997

Работа выполнена на кафедре высшей математики Санкт-Петербургского государственного морского технического университета.

Научный консультант член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор Никита Федорович МОРОЗОВ.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Р. В. ГОЛЬДШТЕИН;

Ведущая организация — Центральный научно-исследовательский институт (ЦНИИ) им. акад. А. Н. Крылова.

на заседании специализированного совета Д 200.17.01 при Институте проблем машиноведения Российской Академии наук по адресу: 199178, Санкт-Петербург, В. О., Большой пр., 61.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ОНТИ ИПМаш РАН.

доктор физико-математических наук, профессор С. А. КУКУШКИН; доктор физико-математических наук, профессор В. А. ПАЛЬМОВ.

Защита состоится "С. О »

1997 г. в № ч.

Автореферат разослан « <~ 1 »

Ученый секретарь совета кандидат химических наук

¿Г *евл а*лг

В. П. ГЛИНИН

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В технике, в быту, других отраслях деятельности людей постоянно приходится встречаться с разрушением. По исчерпании ресурса или вследствие чрезмерных внешних нагрузок разрушаются машины и механизмы, конструкции и сооружения, детали приборов и сами приборы, а также аппараты различного назначения. Разрушаются горные массивы, памятники истории Земли и истории цивилизации, памятники искусства и.т.д. - это перечисление можно продолжить. Отметим только, что часто разрушение служит и на пользу деятельности человека - оно составляет основу процессов дробления н измельчения, резания и шлифования и целого ряда других технологических процессов.

Причинами разрушения серьезно интересовались Г.Галилей, Ш.Кулон, Л.Эйлер, многие видные ученые прошлого века, когда инженерная практика впервые столкнулась с потерей устойчивости равновесия стержней и пластин и с явлением усталостного разрушения. Многообразие форм н сложность мпкроприроды разрушения проявляются, кроме всего прочего, в том, что, как правило, решение каких-либо вопросов или проблем в этой области порождает новые проблемы. Так, несколько полученных в начале нашего столетня принципиальных результатов породили ряд вопросов, в попытках дать ответы на которые в 40-е и 50-е годы были выполнены десятки исследований. Они стимулировали в свою очередь сотни новых работ, а далее поток исследований в этой области стал расти, как снежный ком, и далеко не иссяк к настоящему времени. Не только потому, что не удалось решить все основные из возникших в свое время вопросов, но н потому, что эти вопросы породили (и порождают с развитием познаний) множество новых вопросов. Например, уже к началу 60-х годов стало несомненным, что даже хрупкое разрушение твердого тела не является внезапно ' наступившим мгновенным актом, а "подготавливается" подходящими изменениями его микроструктуры в ходе предшествующей разрушению деформации. Однако каковы эти "микроповреждения" материала тела, можно сказать далеко не всегда. И еще труднее, часто невозможно, обоснованно ответить на вопрос о том, как из микроповреждений образуются трещины и как последние достигают критического размера (размера, при котором возможен спонтанный рост трещины).

Цель работы и ее актуальность. Основной задачей работы является построение и анализ физически обоснованных моделей возникновения и докрити чес кого роста трещин в металлических телах. Так, в отличие, например, от полимеров в металлах начальные микроповреждения всегда представляют собой микропоры и микрополости, т.е. микроразрывы, не закрывающиеся с разгрузкой тела. В условиях "холодной" пластической деформации эти микропоры имеют шелевидную форму, и чаще всего транскристаллитны (располагаются внутри зерен), в то время как при высокотемпературной ползучести микропоры имеют обычно округлую форму и лежат на границах зерен. Это всегда показывает эксперимент, но причины различия низко- и высокотемпературной ситуации удается понять только при помоши термодинамики необратимых процессов. Возможно, более полное использование последней в этих целях - тоже одна из основных задач данной работы. Поскольку достаточно глубокое проникновение в причины указанных экспериментальных фактов -очевидно, необходимый этап для понимания механизма перехода от микроповреждений к макроразрушению тела, актуальность задач работы вряд ли требует особого обоснования.

Научная новизна. В работе построены новые механические модели концевой зоны трещины, на основе которых получены новые результаты. Так, удалось объяснить причины скачкообразности докритического роста трещины. Термодинамика необратимых процессов в работе строится по схеме, характерной для голландско-бельгийской школы, но с использованием более общего и точного "фундаментального уравнения", учитывающего возможность равновесия кристаллического тела в отличающемся от гидростатического состояния "поле напряжения. Это позволило обобщить баланс энтропии и на этой основе построить новые уравнения диффузии, относительно простые и, вместе с тем. учитывающие конечную скорость распространения диффузионных потоков. При помощи асимптотических методов для коэффициента интенсивности напряжений построен главный член асимптотики, учитывающий влияние неоднородного включения или поры. Па основе баланса энергии и полученного разложения для

коэффициента интенсивности напряжений выведены уравнения для докритмческого подрастания трещины.

Научная и практическая ценность. Научная ценность работы определяется созданием новых механических моделей, позволяющих решать новые типы задач. В частности, как уже отмечаюсь, в работе на основе термодинамики выводятся уравнения диффузии, показывается зависимость коэффициента диффузии от тензора напряжения, вычисляется асимптотика коэффициента интенсивности напряжений в вершине трещины, находятся инкубационные периоды развития трещины при заданном характере нагружения в зависимости от значения параметров, предложены уравнения докритического роста трещины и образования микротрещин н микропор.

Разработанные методы были использованы в алгоритмах экспертных систем оценки фактического состояния прочности конструкции, сроков н объемов контроля и сроков и объемов замен.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на III Всесоюзной конференции по нелинейной теории упругости (Сыктывкар, 1989), Международном симпозиуме Евромех-291 "Микро- и макроразрушения" (Санкт-Петербург,

1992), Международном Конгрессе по разрушению (Хайфа, Израиль

1993), конференциях "Моделирование и исследование устойчивости систем" (Киев, 1994, 1995, 1996), Международной конференции по судостроению (Санкт-Петербург, 1994), на 1-ом семинаре "Неклассические проблемы теории упругости и механики рафушения", (Москва, 1995), IX конференции по прочности и пластичности, (Москва, 1996), на научных семинарах по теории упругости в Санкт-Петербургском университете (руководитель-член-корреспондент РАН Н.Ф.Морозов 1994, 1996) и в Институте Проблец Механики (руководитель - профессор Р. В. Гольдштейн, Москва, 1995).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и двух приложений. Работа содержит 38 рисунков, 2 таблицы. Список литературы включает в себя 206

наименований. Общий объем диссертации - 227 страниц; машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, отмечается значительный интерес, проявляемый в настоящее время к проблемам разрушения в различных областях техники, сформулирована цель работы, по-новому проиллюстрированы некоторые уже известные результаты.

В первой главе выводится уравнение локального баланса плотности энтропии г| для многокомпонентных сред с учетом непидростатического нагружения, источником в котором служит 0:

гае

1

/ = -" Т

т

-

(I)

- вектор потока энтропии;

- плотность производства ("рождения") энтропии.

В силу второго начала термодинамики всегда 0>0, причем 9=0 тогда и только тогаа, когда процесс протекает обратимо. Подчеркнем также, что рождение энтропии всегда обуславливается необратимостью процессов в системе. Из соотношения (1) классическое "неравенство Клазиуса" получается только при \7Т =0 и для однокомпонентного тела:

или

(¡77 1 г,

Соотношение (2) имеет вид мощности - суммы парных

т

произведений параметров, одни из которых (а*', УТ, Уцк, ^ |Дк )

к = 1

называются термодинамическими силами, другие

1&1 / / Л ' " & ,

- обобщенными скоростями или потоками. В

термодинамике необратимых процессов обычно потоки или скорости считаются функциями (и чаще всего линейными) соответствующих термодинамических сил:

< = 7\ V/'. .....),

Это позволяет учесть так называемые •'перекрестные эффекты" -возникновение градиентов температуры и вещества под действием достаточно быстрых нагружений, появление градиента вешества вследствие градиента температуры. градиента температуры вследствие градиента вещества и другие.

Для двухкомпонентной среды, с которой одной из компонент являются вакансии, рассматриваются в дальнейшем только такие процессы, при которых поле температуры в теле можно считать однородным. При этом соотношение (2) упрощается:

Тв = -1(- У//г

В силу второго начала термодинамики 9. а поэтому и Связанная с ней удельная мощность диссипации ТО. должны быть неотрицательными и равными ну/но тогда и только тогда, когда процесс протекает вполне обратимо. Принимая во внимание известные свойства металлических тел. можно считать, что в данной формуле указанному условию неотрицательности

удовлетворяет не только вся правая часть, но и каждый член в отдельности.

Во второй главе на основе термодинамических соотношений, полученных в. первой- главе, приводится вывод уравнений диффузии, обладающих конечной скоростью распространения, "памятью" и учитывающих напряженно-деформируемое состояние в теле:

р£| = {уМ^,*)- (3)

Указывается возможность конкретизации вида ядра 11(1,^,*) в уравнении (3), отвечающего за "память" процесса. Из физических соображений следует, что ядро интегрального оператора в данном случае имеет вид убывающей (по времени) экспоненты. Для нахождения ядра заменим соотношение Максвелла-Каттанео на "обобщенный закон Фика", когла вектор потока диффузии связан с градиентом концентрации следующим образом:

N ^»у

Г = -£>Ус. (4)

Найденное из (4) ядро для уравнения (3) может давать несколько времен релаксации для уравнения диффузии.

Представим общий вид коэффициента диффузии в зависимости от тензора напряжений для изотропного случая. Для этого обозначим через Б . тензор, компоненты которою характеризуют диффузионную проницаемость »для какого-либо и; потоков диффузии, возможных в рассматриваемом кристаллите. В соответствии с представлением тензорной функции будем считан, этот коэффициент функцией тензора напряжении а:

Р = Э(*,о),

где (♦) означает совокупность всех других (скалярных) аргументов упомянутой тензорной функции (в число этих аргументов прежде

всего входят абсолютная температура Т и инварианты тензора напряжений). При разложении этого тензора учтем его изотропию, основанную, как уже отмечалось, на симметрии кристаллический решетки образца. На основе тождества Гамильтона-Кзли в разложение тензора 0(*,а) по степеням тензора с не должны входить степени выше второй. С учетом этого, для кристаллита или монокристалла с заданным типом решетки имеем:

0=0о1+01-а+02-а-о,

где Оо, Эь Ог - коэффициенты функции инвариантов тензора напряжений и температуры.

Кроме представления коэффициента диффузии, на основе вариационного принципа выводятся граничные условия, которые связывают концентрацию вакансий с нормальным напряжением, приложенным к контуру. Междузеренные границы в поликристалле при этом рассматриваются как границы раздела фаз.

Зафиксируем какую-либо точку границы между парой соседних зерен поликристалла и рассмотрим материальную окрестность этой точки (вообще говоря, не "бесконечно малую") как термодинамическую систему. Эта система не может находиться в состоянии термодинамического равновесия, так как в ней происходит диффузия. Но при принятых условиях - отсутствии радиации и неизменности поля температуры (и других "немеханических" полей) - диффузию вакансий в упомянутой системе можно считать стационарным процессом, а систему -находящейся в стационарном состоянии. Кроме этого необходимо,, чтобы вместе со стационарностью диффузии в ней имело место и фазовое равновесие.

Рассмотрим простое нелинейно-упругое тело, вещество которого может находиться в двух фазовых состояниях, в геометрически нелинейной постановке. В качестве начальной возьмем такую конфигурацию, в которой тело однородно и однофазно, и введем в нее аффинную лаграьжевую систему координат. Будем считать, что вариации положения границы между зернами в рассматриваемой части поликристалла производятся достаточно медленно, и вызываемыми этими вариациями возмущениями стационарности диффузионных потоков и полями температуры в системе можно пренебречь. Тогда можно пренебречь

и обменом из-за диффузии вещества через границу (так как при стационарности количество вещества в системе не изменяется).

Об'/славливаемые • упомянутыми вариациями изменения состояния системы считаются квазистатическими, и процессы являются локально обратимыми.

При этих условиях в случае малых деформаций соотношение для химического потенциала примет вид

Р„ (5)

Р

где f - плотность внутренней энергии. С другой стороны, выражение для химического потенциала в приближении слабого раствора имеет вид

/и„ = Цй + aRT ln — . (6)

со

Так как концентрация примесных атомов или вакансии всегда невелика (менее 0.01% от общего числа узлов решетки даже при температуре близкой к температуре плавления среды, то есть при максимально возможном для твердого тела количестве вакансий), можно воспользоваться этой формулой для слабых растворов. Эта же формула справедлива и в случае твердых растворов. Следовательно, плотность свободной энергии f(e,T) вычисляется при равновесной концентрации со. Поэтому формулу (5) с учетом (6) при постоянной температуре можно представить в виде

\<V Р

и, при учете близости концентрации к равновесной концентрации [с / с„ » l),.логарифм в последнем выражении можно переписать:

\cj i'o

Равенство нулю химического потенциала на границе области и предположения о малости тензора напряжений позволяют привести эту формулу к виду

Такие граничные условия рассматривались Ф.Набарро и И.Лифшицем в работах по диффузионной ползучести. Формулы (4) и (7) позволяют учесть влияние напряженно-деформируемого состояния на распределение концентрации.

В третьей главе изучается влияние включений и пор на значение коэффициента интенсивности напряжений (КИН). Известно, • что прочность любой реальной конструкции сильно зависит от неоднородности и дефектов внутреннего строения его материала. Однако представление, что разрушение какой-либо части конструкции начинается сразу же по достижению какой-либо комбинации компонент тензора напряжения критического значения, редко соответствует действительности. Практически всегда разрушение - это процесс, развивающийся во времени, причем на разных этапах могут проявляться и доминировать различные конкретные механизмы разрушения.

При повышенных температурах и низких нагрузках подрастание трещины обуславливается главным образом притоком в концевую зону вакансий, а также микропор и частиц примесей. Изменения концентрации вакансий (примесей) в концевой зоне может существенно повлиять на значение коэффициента интенсивности напряжений в вершине трещины, что обуславливает возможность постепенного распространения трещины задолго до того, как оно может стать спонтанным. Внешняя нагрузка и характеристики диффузии определяют скорость роста и длину трещины. В дальнейшем везде при рассмотрении задачи о росте конечной трещины в упругой среде будем предполагать, что нагрузка, приложенная к телу, ниже критической, а механические свойства тела могут медленно изменяться согласно диффузионным уравнениям.

При исследовании задач, связанных с разрушением, особый интерес представляет анализ напряженно-деформируемого состояния тела в окрестности вершины трещины. Хорошо известно,

что вершина трещины является концентратором напряжений и поэтому наличие в этой области даже малых пор или включений может существенно изменить локально напряженно-деформируемое состояние и, значит, создать предпосылки для развития разрушения.

Рассмотрена задача о влиянии двух симметричных относительно трещины пор, расположенных в окрестности вершины трещины; построено асимптотическое решение такой задачи; вычислен коэффициент интенсивности напряжений (КИН) в вершине разреза, имеющий вид

К, = К0, + £гК) + а{ег), (8)

гае главный член в асимптотическом разложении = о\ \7г1 является коэффициентом интенсивности напряжения растягиваемой плоскости с трещиной без пор.

Математическая постановка задачи. Пусть плоскость И2 с прямолинейным разрезом (рис.1)

Г = (х = (х„*2) | < 1, л, = о)

и двумя симметричными относительно Г порами, испытывающими давление Р,

Я

21

% 8

Ф

Рис.1

гг №

Q+ = [x |(.v, - i - ficosçj)" + (x, - R sin (p)~ < tf2}, Q. = { x |(jc, - 1 - tfcos (p)' + (x, + Л sin (p)" < ¿>2J

находятся в равновесии под действием постоянной растягивающей нагрузки в бесконечно удаленных точках. Берега трещины свободны от напряжений. Задача сводится к построению поля перемещений, удовлетворяющего уравнения равновесия.

Решение задачи ищется при помощи комплексных потенциалов (р и у. Так как введение комплексных потенциалов, описывающих поведение решения плоскости с разрезом, позволяет автоматически удовлетворить уравнениям равновесия, го в краевых условиях на Q+ и Ci. появляются возникающие из-за наличия пор "невязки". Поэтому решение задачи представляется в асимптотическом виде так, что точность асимптотики на всех границах имеет порядок о(е'). Применяется следующий алгоритм поиска решения задачи:

а) вводим потенциалы, которые дают однородное решение и "снимают" краевые условия на бесконечности;

б) в силу линейности задачи все остальные потенциалы снимают "невязки" на берегах трещины или поры и убывают на бесконечности, как 0(z"');

в) в качестве базового возьмем решение Седова-Келдыша для задачи о плоскости с трещиной, нагруженной по берегам;

г) с помощью введения комплексных потенциалов, убывающих на бесконечности, снимается "невязка" на поре (решение задачи о плоскости с вырезанным кругом).

Построенную по решению задачи асимптотику коэффициента интенсивности напряжений для пор, находящихся под давлением, окончательно с точностью o(¿-2) можно записать в следующем виде:

_| : 2

К, -= п \,тИ 1 ч -—г| 7cosp - -ki'Oç» - 3cos3ç> - 8Tcos~ Ф ! «ач 2

+о(£-). (9)

Здесь применяются обозначения с =--; а = —; Т = В

1 1 <

случае неоднородного г^жук.-шш приведенная асимптотическая формула преобразуется в соотношение:

К, = о-у ->/Îtï|i + |~[3(casç>-cos3p) +4y(cosç? + cos2p)]j+o(£2), (10) rae

1 ~ J* ^ ~ 1 ~ ~ ti Л»

G = :-; y ~ G-«-:-, s, = —.

1 + s.Z+ 2í. + z0 - 1

Выписанные выражения (9), (10) имеют место при входящих параметрах е= о(1), а= о(1), е/а- о(1).

Полученная формула позволяет уточнить напряженно-деформируемое состояние тела вблизи вершины трещины и записать напряжения и смещения аналитическими выражениями, ограничившись только первым членом асимптотики.

Рассмотрим локальное изменение напряженно-деформируемого состояния упругого тела в окрестности вершины трещины в зависимости от vnia ср, под которым видно включение из вершины трещины (см. рис.1).

Отличие в асимптотике в напряжениях и в смещениях определяется коэффициентом интенсивности напряжений К ¡ в соответствии с формулами (9) и (10). Эта разница, согласно асимптотическому разложению (8) с точностью о(е2), определяется коэффициентом K¡. Его порядок пропорционален квадрату "отношения радиуса включения к расстоянию от центра включения до вершины трещины.

Исследуем величину К) в зависимости от угла. Так как имеется, симметричное расположение включений, достаточно проследить за изменением угла <р на промежутке [0,л]. Обозначим угловую часть формулы (10) (без нормирующего коэффициента) как

F(<p)= 3(cos<p - cos3cp) +4y(cos<p + cos2(p), (11)

а для пор под давлением (9)

Ф(ср)= 7cos(p + 4cos2q> -3cos3<|> -8Tcos(3/2<p).

Нетрудно заметить, что в среднем включения не оказывают никакого воздействия на изменение КИН, так как

— I F(<p)d<p = О,

а величина среднего воздействия пор равна

Цф{<p)d<p = ~т.

л „ 3

Вьщелим по угловому параметру зоны расположения включений, в которых они увеличивают коэффициент интенсивности напряжений, и зоны, где их расположение ослабляет этот коэффициент, для чего найдем корни уравнения F(<p)=0. Преобразуем (11) в кубическое уравнение, один из корней которого известен (coscp=-l):

F(cp)= -4(1+ cos<p)[3(cos<p)2-(2y+3) costp +y]=0.

Два оставшихся корня легко находятся из квадратного уравнения, и их значения имеют вид

2г + 3± л/4 У2 + 9

COS <Р = ---.

6

Хотя данное кубическое относительно косинусов уравнение и имеет три различных вещественных корня, однако из неравенства |со5ср|< I вытекает, что все три корня могут реализоваться только в том случае, если для параметра у выполняется неравенство

-2 2 у < 0.

Во всех остальных случаях реализуется лишь два корня. Например, для поры в промежутке от нуля градусов до приблизительно 76.6 значение коэффициента интенсивности напряжений увеличивается, а на оставшемся промежутке до развернутого угла - уменьшается. Такая асимптотика объясняет прерывистость продвижения трещины.

Рассматривается задача о деформации однородной изотропной плоскости, содержащей треш у Г и упругое включение П.

Область Л заполнена неоднородным упругим материалом со слабо отличающимися от матрицы свойствами. Будем считать, если А. и ц - коэффициенты Ламэ упругой плоскости, то коэффициенты Ламэ, отвечающие упругому включению, имеют вид

- Л(х) = Л + еЛ (л); //(*) = ц + е]й{х) .

Тогда для случая, когда коэффициенты Ламэ являются функциями, второй добавочный член в (8) носит уже интегральный характер:

С = -1 Е* ш, дак, («■'; *) ю

о |.М»1

Найденное представление КИН позволяет прослеживать его изменение в зависимости от коэффициентов Ламэ. Если последние представить в виде

Л{х) = Л,+ ее (х)Л (х)\ ^(х) = /л++ ес(х)]л(х),

то значение коэффициента интенсивности напряжения будет зависеть от концентрации, которая, в свою очередь, изменяется согласно уравнениям диффузии. Это дает возможность связать процесс внутренней диффузионной перестройки материала с проблемами разрушения.

В четвертой главе на основе предложенного в третьей главе значения коэффициента интенсивности и кинетического уравнения Л~.М.Качанова выводится уравнение роста трещины.

Для изучения этого явления отметим, что накопление и рост повреждении - это сложный физико-химический процесс, описать который во всех деталях, как правило, не представляется возможным. Поэтому накопление повреждений в теле часто считают случайным процессом. Удовлетворительное описание развития этого процесса можно получить, если ввести некоторую априорную характеристику поврежденности. В простейшем варианте поврежденность можно представить некоторой скалярной функцией от времени и пространственных переменных с областью изменения своего значения в интервале 1 > у > 0. В начальном состоянии при отсутствии поврежденности у=1 и с накоплением в

среде дефектов функция со временем убывает. Кинетика микродефектов, возникающих в упругом теле, описывается уравнением Качанова:

с1цг

Л

= -А

1уг.

гае А и п - константы материала, определяемые экспериментально;

~ наибольшее растягивающее напряжение; I - время. Принятую степенную зависимость следует интерпретировать не как исследуемую физическую закономерность, а лишь как удобную во многих практических случаях аппроксимацию.

Проинтегрируем нелинейное дифференциальное уравнение с начальным условием

И,.о = 1

и получим зависимость повреждаемости от напряжения и времени (при условии, что <ттп стационарно) в следующем виде:

ЙЛ (р, 1) = - - А{п + 1 )<>, <р,{)1,

где через е(г,ф,0- 1-*|/(г,ф,0 обозначена повреждаемость. Подставим полученную повреждаемость в формулу (12). В случае, если К, < К1с, трещина не подрастает на всем времени его выполнения. При этом происходит накопление повреждений внутри упругого тела, описываемое в принятом приближении кинетическим уравнением Л.М.Качанова.

Накопление повреждений обуславливает увеличение коэффициента интенсивности напряжений К, с ростом времеьи, вычисляемого в данном случае по формуле (12). Время, в течение которого происходит накопление повреждений, называется инкубационным периодом. В работе приведены графики инкубационного периода при заданной нагрузке.

При достижении в ход», подрастания К, критического значения К,с возникает качественно другая механическая ситуация

(выполняется критерий разрушения). С момента времени I =70, когаа коэффициент интенсивности напряжений впервые достигнет критического значения, и до тех пор, пока будет выполняться равенство

К, < К1с, (13)

трещина будет непрерывно продвигаться (при с>г0) и после достижения критической длины ее дальнейшее развитие станет спонтанным.

Дадим приращение длине трещины и проварьируем равенство (13) вдоль оси абсцисс (трещина в силу симметричности поставленной задачи может продвигаться лишь в этом направлении), на которой лежит разрез, и выпишем нелинейное дифференциальное уравнение, описывающее рост длины трещины:

¿5 втр й>

ф.И**'

^ + ая н т(р'9л)р^р = о,

ще функции Б и Т имеют следующий вид:

ДА<0,о = ¿^(и0,л ц)еХ<;')-Яр,9,0 = (1 - у/(р,<р,г))Т(р,<р, 1)

¡.¡=1

Для решения задачи о продвижении трещины наряду с решением указанного дифференциального уравнения необходимо совместно решать систему Ламэ и кинетическое уравнение Качанова. Совместное решение описывает не только напряженно-деформируемое состояние тела и повреждаемость, но и геометрическое изменение области.

Кроме только что рассмотренной, исследуется похожая симметричная задача о продвижении трещины, но вместо уравнения Качанова используется .физически более обоснованное уравнение диффузии с краевым условием (7).

Наиболее существенный вывод для сосчитанных модельных задач - отсутствие пороговой нагрузки для роста трещины.

Приводятся примеры расчетов инкубационных периодов и графиков роста трещины при заданных нагрузках.

В пятой главе рассматривается вопрос об обра? гании при помощи диффузии микропор и микротрещин. Влияни? вакансий как дефектов решетки не описывается в рамках модели сплошной среды. Поэтому проблема образования полости из вакансий (т.е. трансформации микрополости с взаимодействующими на атомном уровне берегами в пору), дальнейшее ее развитие, а также описание влияния вакансий на напряженно-деформируемое состояние упругого тела, - являются одними из важнейших вопросов механики деформируемой среды. Для этого в качестве модели вакансии представляются сингулярностями типа "центра сжатия" в упругом сплошном теле. Действительно, используя хорошо известное решение задачи о сосредоточенной силе, можно построить такую сингулярность из трех взаимно перпендикулярных силовых диполей (а в плоской задаче двух). Хотя это - точечная сингулярность, ей можно естественным образом приписать малый характерный объем (объем, освобождаемый с образованием вакансии и приблизительно равный ио=10"23см3) и с достаточными основаниями определить значение сил, образующих диполи. Энергия такой модели вакансии может быть вычислена по формуле Клапейрона. В качестве критерия образования поры или полости на макроуровне (появления новых границ и краевых условий на уровне сплошной среды) из совокупности вакансий будем считать такую область, при заполнении вакансиями которой их суммарная энергия превосходит поверхностную энергию границ щели. Вычислим длину микрополости на основе решения диффузионного уравнения с краевым условием (7). Так как времена релаксации в малых частях реального кристалла всегда значительно меньше таких же времен для системы в целом, то рассматривая диффузию во включении (зерне), заведомо можно ограничиться стационарным уравнением V2c=0 с краевым условием (7) (именно в таком приближении решается аналогичная задача в работах Ф.Набарро и ИЛифшица).

Найденный поток вектора вакансий можно переписать, используя решение уравнения Лапласа, в следующем виде:

De г

1с = <г, —r= — (cos W е, - sin 2в ев) (14) ркТ г'

На границе области при г=г0, в точке А (рис.2) 6=0 и нормальная составляющая вектора потока 1сег>0 (а это означает, что поток вещества, имеющий противоположное направление, уносит атомы из этой точки), тоща как касательная составляющая в окрестности точки А меняет знак (1с ее<0 при 8>0 и 1сее>0 при 6<0), и поток вакансий в касательном направлении согласно (14) стремится к точке А.

В целом картина получается следующей: к точкам А и С направлен поток вакансий и из окрестностей этих точек уходит вещество, что создает возможность образования поры; к точкам В и й направлен поток вещества, и оттуда уходят вакансии. На рис.2, заштрихованные области соответствуют наращиванию тела за счет притока. вещества, а незаштрихованные -соответствуют образованию новой полости.

Как уже упоминалось, в качестве критерия образования поры или полости на макроуровне из совокупности вакансий будем считать такую область сплошной среды, при заполнении вакансиями которой суммарная энергия вакансий будет не меньше поверхностной энергии границ щели. Математически это можно выразить в виде неравенства

у1 £ Ео п,

(15)

гае у - плотность поверхностной энергии, которую обычно считают константой материала; 1 - длина образовавшейся микротрещины; Ео - энергия образования одной вакансии; п - количество вакансий, создающих данную микрополость. Количество вакансий, попавших

попавших в эту зону, найдем по концентрации, определенной ранее. Из условия (15) выведено нелинейное уравнение для отыскания длины микротрещины:

Е с 0 _ с0 ,

2 А, ч У

29 +

ркТ

, . (ах - сг) 1

(ст, + сг)0 + ---—Чт20

1

Показано, что оно имеет нетривиальные (отличные от нуля) решения. Однако это происходит не всегда. Например, при оЛ=сту (равностороннее растяжение плоскости) таких решений у уравнения нет.

В работе имеется два приложения. В первом приложении изложены вычисления двухпараметрической асимптотики интегралов, значение которых использовано при отыскании коэффициента интенсивности напряжений. После линейной замены эти серии могут быть представлены выражениями:

= I

1 + г__

1 - {

|(г - 1)" - 2а со- 1) +

Jí(a.<p) = г Л

[(г - 1)" - 2а соч <р(г - 1) + а

Для к=|.2,3 эти интеграты сосчитаны с использованием фунмши комплексной переменной через вычеты.

Во втором приложении излаиются результаты эксперимента на образцах из оргстекла Э 2 по измерению коэффициента интенсивности напряжений (постановка и теоретическое значение изложены в третьей главе) методами фотоупругости. Приводятся фотографии с полосами нюхром у вершины трсшины.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ.

1. Для плотности энтропии в случае твердых растворов получено уравнение локального баланса, плотность источников в котором (называемая обычно плотностью производства или "рождения" энтропии) определена для случая деформации неупругого деформируемого твердого тела, напряженное состояние в котором может существенно отличаться от гидростатического.

2. Выведено уравнение диффузии, достаточно просто учитывающее эффекты памяти и конечность скорости распространения диффузионных частиц; дается общий вид зависимости коэффициента диффузии от тензора напряжений и других основных параметров состояния.

3. Проанализированы и выявлены основные физико-механические причины квазистатического роста трещины до достижения ею критического размера.

В ходе дайной работы:

а) определяется влияние включений и пор на значение коэффициента интенсивности напряжений;

б) выявляются причины прерывистости движения трещины в докритичесиом режиме;

в) вычисляется воздействие концентрации примесей и вакансгй на значение коэффициента интенсивности напряжений:

О получаются граничные условия, связывающие конц;нтрацпю примесей или вакансий с напряжением;

л) выделяются зоны различного воздействия включений или пор .¡а значение коэффициента интенсивности напряжений.

4. Изучено влияние температуры тела на скорость роста трещины; доказано отсутствие порогового значения напряжений для подрастания трещины в условиях средних и повышенных гомологических температур.

5. Дано объяснение одного из основных механизмов образования микротрещин и микропор.

6. Математически строго показаны причины возникновения пор преимущественно на границах зерен в поликристаллах при повышенных температурах; установлен критерий перехода скоплений вакансий в микропору.

Результаты работы позволяют математически строго проследить и описать весь путь от зарождения трещины до достижения ею критической длины, в зависимости от происходящих в теле диффузионных процессов.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ.

Основные результаты опубликованы в следующих работах:

1. Проскура А.В, Об изгибе тонкой плиты в условиях физической и геометрической нелинейности. //М.Т.Т. Известия АН СССР, 1979, № 6. С. 112-113.

2. Проскура A.B. Оценка погрешности уравнения в случае геометрически нелинейной задачи. //Труды XII всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Ереван, 1980. Ч. III. С. 164-169.

3. Проскура A.B. Об одном асимптотически точном уравнении в случае несжимаемости. //М.Т.Т. Известия АН СССР, 1981. № 3.

С. 114-115.

4. Проскура A.B. Об асимптотически точных уравнениях изгиба плит в случае несжимаемости. //Вестник ЛГУ, 1981. №4. С. 56-60.

5. Назаров С.А., Морозов Н.Ф., Проскура A.B. Краевые задачи теории упругости для плоских областей с окаймлением. // Механика деформируемого тела: В сб. 1985. С 67-79.

6. Назаров С.А., Леора С.Н., Проскура A.B. Вывод предельных уравнений для эллиптических задач в тонких областях при помощи ЭВМ. //ЖВМИМФ 1986, т.26, № 7. С.1032-1048.

7. Морозов Н.Ф., Проскура A.B. Энергия задачи с двумя отверстиями для неогуковского потенциала: III Всесоюзная конференция по нелинейной теории упругости. Сыктывкар, 1989. С.43-44.

8. Proskura A. Fracture of metals bodies. EUROMECH-291, Macro-and micromechanical aspects of fracture. 1992. S-Petersburg, Russia.

P. 53-55.

9. Morozov N.. Proskura A., Vakulenko A. Fracture of metals by creep. IUTAM, 1993, Israel, Haifa. P 38.

10. Grigoriev-Golubev V., Kadyrov S., Proskura A. Fracture caused by an internal pressure. EUROMECH-291, Macro- and micromechanical aspects of fracture. 1992, S-Petersburg, Russia. P. 46.

11. Григорьев-Голубев B.B., Проскура A.B. Исследование влияние поры, заполненной жидкостью, на напряженно-деформируемое состояние в вершине трещины: Международная конференция по судостроению (ISC), СПб., 1994, секция С. С. 382-386.

12. Вакуленко A.A., Морозов Н.Ф., Проскура A.B. Определение скорости распространения трещин. //ФХММ, 1993, т. 29, N 3. С. 137-140.

13. Григорьев-Голубев В.В., Проскура A.B. Влияние поры, заполненной жидкостью, на напряженно-деформируемое состояние в вершине трещины. //Моделирование и исследование устойчивости систем: Тезисы докладов конференции. Киев, 1994. С. 160.

14. Вакуленко A.A., Проскура A.B. Развитие зернограничных пор и трещин в поликрисгллах. Неклассические проблемы теории упругости и механики разрушения: 1-й семинар. М., 1995. С. 6.

15. Вакуленко A.A., Морозов Н.Ф., Проскура A.B. Расчет времени задержки разрушения. //Исследования по упругости и пластичности. Механика разрушения, теория и эксперимент. Изд-во СПбГУ, 1995, т. 17. С. 19-22.

16. Григорьев-Голубев В.В., Кадыров С.Г., Проскура A.B.

Исследование влияния слабой неоднородности в задачах разрушения. //Моделирование и исследование устойчивости систем: Тезисы докладов конференции. Киев, 1995. С.43.

17. Вакуленко A.A., Проскура A.B. О кинетике мартенситных превращений и их роли в процессах усталостного разрушения: IX конференция по прочности и пластичности, М., 1996 . С.26.

18. Вакуленко A.A., Морозов Н.Ф., Проскура A.B. Физика развития микроповреждений в металлах: IX конференция по прочности и пластичности, М„ 1996 . С.25.

19. Григорьев-Голубев В.В., Проскура A.B. Влияние диффузии на развитие разрушения. //Моделирование и исследование устойчивости систем: Тезисы докладов конференции. Киев, 1996. С.52.