Развитие метода потенциала в решении проблем фильтрации жидкости в сильно неоднородных средах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

х , ^ /г $£1 - > '

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЗАБАЙКАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н.Г.ЧЕРНЫШЕВСКОГО

На правах рукописи

Холодовский Святослав Евгеньевич

РАЗВИТИЕ МЕТОДА ПОТЕНЦИАЛА В РЕШЕНИИ ПРОБЛЕМ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ В СИЛЬНО НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ

01.02.05- механика жидкости, газа и плазмы

Диссертация на соискание ученой степени доктора физикр.-математических наук

- , - V-- V,- Л: Л у ... " 1Г* О С._

(Р'лгекие от " Л" 19 ¿3:,, №

присудил учекую степень ДОК '

---------------I ,л7: .

Начальник управления'

* I

ч

ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.

ВВЕДЕНИЕ..................6

1. Практический интерес фильтрации в средах сложной структуры ................ 6

2. Обзор литературы .............. 9

3. Краткое содержание работы ........... 21

Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В СИЛЬНО НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

§ 1.1. Аксиоматический вывод обобщенного закона Дарси . . зо

§ 1.2. Уравнения движения............38

§ 1.3. Обобщенные условия сопряжения на

трещинно-завесных системах . . . ......40

§ 1.4. Уравнения двумерной фильтрации........46

§ 1.5. Постановка задачи ........................53

Глава 2. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ПОТЕНЦИАЛОВ В КУСОЧНО-НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ С ОДИНОЧНОЙ ТРЕЩИНН0-ЗАВЕСН0Й СИСТЕМОЙ

§ 2.1. Фильтрация с прямолинейной трещинно-завесной

системой . ..................55

§ 2.2. Фильтрация с кольцевой трещинно-завесной системой . 65 § 2.3. Фильтрация с трещиной (завесой) в виде отрезка . . 74 § 2.4. Фильтрация с трещиной (завесой) в виде луча ... 80 § 2.5. Пространственная фильтрация в кусочно-неоднородных

средах с плоской трещинно-завесной системой ... 86 § 2.6. Пространственная фильтрация со сферической

трещиной (завесой)............90

§ 2.7. Упругий режим фильтрации в средах

с трещинно-завесной системой . ......94

§ 2.8. Способ операторного представления потенциалов при

упругом режиме фильтрации с трещиной (завесой) . 102 § 2.9. Фильтрация в средах с пересекающимися трещинно-

завесными системами ..........106

Глава 3. МЕТОД МНОГОКОМПОНЕНТНОГО СОПРЯЖЕНИЯ ПОСТРОЕНШ ПОТЕНЦИАЛОВ В МНОГОСЛОЙНЫХ СРЕДАХ С ТРЕЩИНАМИ И ЗАВЕСАМИ

§3.1. Суть метода МКС......................111

§ 3.2. Обоснование метода...........117

§ 3.3. Фильтрация в многослойных средах с трещинами и

завесами..............123

§ 3.4. Применение 2-операций для построения особых

точек течений............127

§ 3.5. Класс сред, допускающий построение фундаментальных

решений без применения 2-операций ............134

§ 3.6. Построение параметров среды по локальным данным . 137 § 3-7. Выражение потенциалов в сильно неоднородных средах

через гармонические функции........140

§ 3.8. Общие замечания о методе МКС ..............150

Глава 4. РАСПРОСТРАНЕНИЕ МЕТОДА МКС НА РЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВ ЗАДАЧ

§ 4.1. Фильтрация в кольцевых слоях ..............152

§ 4.2. Фильтрация в эллиптических слоях ............157

§ 4.3. Фильтрация в параболических слоях ...... 163

§ 4.4. Фильтрация в гиперболических слоях.....170

§ 4.5. Фильтрация в клиновидных слоях.......176

§ 4.6. Фильтрация в многослойных средах

при упругом режиме...........185

§ 4.7. Пространственная фильтрация в многослойных средах 192

Глава 5. ФИЛЬТРАЦИЯ В МНОГОСЛОЙНЫХ СРЕДАХ, ПЕРЕСЕКАЕМЫХ ТРЕЩИННО-ЗАВЕСНОЙ СИСТЕМОЙ

§ 5.1. Фильтрация в прямолинейных слоях, пересекаемых

трещинно-завесной системой........200

§ 5.2. Фильтрация в криволинейных слоях, пересекаемых

трещинной (завесой)...........210

§ 5.3. Фильтрация в средах с последовательно соединенными

трещинами и завесами .......... 220

§ 5.4. Упругий режим фильтрации в многослойных средах,

пересекаемых завесой .......... 225

§ 5.5. Упругий режим фильтрации в многослойных средах,

пересекаемых трещиной..........228

§ 5.6. Формулы перехода для построения потенциалов

в новых классах сильно неоднородных сред . . . 233

Глава 6. МЕТОД ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ОСРЕДНЕНИЯ СИЛЬНО

НЕОДНОРОДНЫХ СРЕД

§ 6.1. Моделирование изотропных многослойных сред . . . 237

§ 6.2. Оценка погрешности гидродинамического осреднения . 245

§ 6.3. Моделирование анизотропных многослойных сред . . 248 § 6.4. Моделирование вложенных систем сильно

неоднородных сред...........254

§ 6.5. Алгебраические свойства операции осреднения . . 257

§ 6.6. Моделирование сильно неоднородных сред в криволинейных координатах ....

Глава 7. РЕШЕНИЕ КОНКРЕТНЫХ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ ЗАДАЧ

§ 7.1. Допустимый дебит скважины при наличии

экранированной загрязненной зоны......264

§ 7.2. Обтекание поступательным потоком круговой

экранированной зоны .......... 268

§ 7.3. Фильтрация под плотиной при наличии вертикальной

трещины (завесы)........... 271

§ 7.4. Задача о выравнивании свободной поверхности

грунтовых вод в условиях дренажной сети . . . . 276 § 7.5. О расположении трещин и завес в фильтрационных

потоках..............280

§ 7-6. Влияние трещины (завесы) на течения в канале . . 283

Заключение ................287

Литература ................292

ВВЕДЕНИЕ

1. Практический интерес фильтрации в средах сложной структуры

Многие актуальные проблемы, количество и значение которых с каждым годом возрастает, связаны с движением жидкости и газа в пористых средах. К ним относятся проблемы водоснабжения, добычи энергетического сырья - нефти и газа, строительства гидротехнических сооружений; проблемы мелиорации земель, загрязнения и засоления вод и почвы; проблема миграции флюидов, которая играет большую роль при рудоотложении и землетрясении, и т. д. [105, 209, 228]. Решение указанных проблем требует теоретического исследования фильтрационных процессов в моделях максимально приближенных к естественным условиям.

Для фильтрационных процессов характерным является сложная структура проницаемых сред, обусловленная множеством факторов: тектоническими смещениями, сколами, складкообразованием, гидроразрывами, отложениями, суффозией, кольматацией, а также деятельностью человека; при этом проницаемость различных пород на отдельных участках может меняться в десятки и сотни раз [16, 36, 121, 1971. Многие авторы среди различных факторов, влияющих на фильтрационные процессы, неоднородность пористых сред ставят на одно из первых мест [13, 38, 70, 71, 207, 213, 256, 289].

Неоднородность в той или иной степени обусловлена слоистой структурой проницаемых сред, которые включают как среды с ярко выраженными границами слоев, так и мелкослоистые среды с размытыми границами, о чем говорят многочисленные опытные данные при бурении скважин, наблюдении срезов пластов и т. д., причем в слоистых средах обычно проницаемость меняется в большей степени поперек слоев,

чем вдоль них ИЗ, 16, 22, 49, 132, 142, 190].

В природных средах большое распространение имеют тонкие сильно- и слабопроницаемые пленки - трещины и завесы. Так, для песчаников характерны протяженные глинистые пропластки, для известняков, карбонатных и скальных пород - трещины и каверны, в руслах рек изобилуют гравийно-галечные прослойки и т. д. [18, 36, 39, 260]. В [24] отмечается, что "для всех естественных пластов характерна развитая в той или иной мере трещиноватость". Трещины могут быть как изолированными, так и составлять сложные системы.

В результате неравномерной тектонической деформации контакты слоев, как правило, не бывают идеальными и содержат тонкие завесы (зоны проникновения одной пористой среды в другую) и трещины (зоны разъединения сред). Также при фильтрации из более проницаемой среды в менее проницаемую на контакте сред возникают завесы в результате оседания взвешенных частиц. При этом завесы вследствие тектонических смещений могут быть окаймлены трещинами, а трещины - завесами. Трещины, возникшие в результате суффозии, часто имеют слабопроницаемые стенки вследствие закупорки их выносимыми частицами. Другими словами, трещины и завесы могут образовываться параллельно [36, 196, 243]. Указанные прослойки на контактах сред необходимо учитывать в уточненных моделях.

Мелкослоистые грунты, а также грунты с системами трещин и завес проявляют выраженные анизотропные свойства [14, 142, 182,194].

Трещины и завесы, несмотря на их незначительный суммарный объем, могут решающим образом влиять на течения. В частности, трещины обуславливают основной фильтрационный поток [193, 243, 282]. Наличие трещин наиболее опасно вблизи фундаментов гидросооружений, что может привести к их осадкам, подвижкам и вымыванию грунта.

Так, около 50% аварий гидросооружений происходит за счет фильтрационных потоков из-за неучтенной неоднородности грунта, при этом именно под воздействием тяжести гидросооружений могут возникать трещины [53, 92, 253, 255].

С другой стороны, искусственные трещинн-дренажи и завесы-экраны широко применяются в практической деятельности: при перехвате нежелательных потоков, при повышении дебита скважин посредством искусственного гидроразрыва призабойной зоны с образованием радиальных трещин, при экранировании загрязненных зон, при влагозадер-жании, при укреплении грунтов, при мелиорации земель с помощью дренажных сетей и т. д. [5, 36, 77, 90, 93, 126, 157, 210, 243, 274, 276]. Часто линейные дренажи и завесы устраивают совместно, например, под гидросооружениями для снижения давления и разгрузки потока [52, 160, 253], при экранировании загрязненных зон и т. д., при этом трещины и завесы, экономически выгодно совмещать в трещин-но-завесные системы [18*, 20*].

Экранирующие завесы обычно не бывают абсолютно непроницаемыми для фильтрующейся жидкости (за счет слабой проницаемости глинистых и бетонных завес, щелей в стыках и замках шпунтовых рядов и т. д.) и имеют малую проницаемость, отличную от нуля. Также трещины, заполненные свободной жидкостью, в силу своего малого раскрытия и частичного заполнения обломочными материалами имеют хотя и большую, но конечную проницаемость [52, 192, 243, 260, 283]. То есть трещины и завесы с фильтрационной точки зрения представляют собой слои, толщина которых много меньше характерного размера, а прони-

Работы, отмеченные (*), являются работами автора и расположены после основного списка цитируемой литературы.

цаемость много больше для трещин и много меньше для завес характерной проницаемости области фильтрации. Предельными моделями трещин и завес являются модели идеального контакта сред, абсолютно проницаемых каверн и абсолютно непроницаемых экранов.

Кроме теории фильтрации пленочные структуры имеют большой интерес в теплопроводности (тонкие теплоизоляторы), в диффузии (мембранные структуры), в электростатике (пленочные диэлектрики) и т. д. [104, 206, 2173-

При решении краевых задач в неоднородных средах основополагающее значение имеет проблема построения особых точек потенциалов, индуцирующих течения, включая фундаментальные решения. Знание особых точек течений позволяет создать теорию, подобную теории гармонических функций, соответствующих однородным изотропным средам, развить теорию потенциала, построить функции Грина и т. д. в неоднородных средах. Наличие сильных разрывов коэффициентов дифференциальных уравнений на трещинно-завесных системах делает общие методы построения особых точек мало эффективными.

Таким образом, актуальной является проблема разработки специальных методов, приспособленных к существованию сильных разрывов коэффициентов уравнений и позволяющих строить особые точки течений в слоисто-неоднородных анизотропных средах, содержащих трещины, завесы и их системы различной геометрической формы.

2. Обзор литературы

Проблеме фильтрации в неоднородных средах посвящена обширная литература. Ниже приводится библиографический обзор по типам неоднородных сред, причем главное внимание уделяется аналитическим методам решения задач.

Исследование линейной двумерной фильтрации жидкости в неоднородных изотропных средах приводит к р-аналитическим функциям, теория которых развита в работах Берса Л., Лаврентьева М.А., Векуа И.Н., Положего Г.Н. и др. [33, 45, 130, 179], при этом двумерные модели описывают плоскую, осе симметричную и плановую фильтрацию в неоднородных средах, а также фильтрацию в криволинейных слоях переменной толщины и проницаемости [61, 190]. Задачи нелинейной фильтрации с законом вида у=уф в переменных плоскости годографа т,9, (у - модуль скорости, 8 - ее полярный угол) также приводятся к линейным уравнениям, соответствующим фильтрации в неоднородных средах с функциями проницаемости, зависящими от одной переменной [17, 78, 239].

К общим методам построения особых точек течений для произвольных дифференцируемых функций проницаемости относятся метод представления потенциалов в виде интегралов или рядов от сопряженных гармонических функций с функциональными коэффициентами, определяемыми из бесконечной системы дифференциальных уравнений (метод Бергмана и его модификации) [6, 7, 31 , 154, 156], методы построения фундаментальных решений посредством редукции задачи к интегральным уравнениям Вольтерра и Фредгольма с последующим применением методов последовательного приближения [44, 58, 59, 146, 199] и др. Среди современных общих методов следует выделить метод интегральных представлений фундаментальных решений, использующий преобразование Фурье и приближения Лиувилля-Грина, для бесконечно дифференцируемых функций проницаемости, зависящих от одной переменной [247, 248].

Однако общие методы мало эффективны при решении конкретных краевых задач. Так, в последнем методе для обеспечения существова-

ния образов Фурье задача решается в обобщенных функциях и для построения n-го приближения^ потенциалов необходимо вычислить п+1 квадратуру.

Другим направлением исследования фильтрации в неоднородных средах является построение конкретных классов бесконечно дифференцируемых функций проницаемости к, для которых можно построить произвольные особые точки течений. В работах [29, 40, 80, 81, ЮЗ, 167, 168, 175, 178, 234, 241] построены потенциалы произвольных особых точек для классов функций к(у) вида еау, уа, tg^y, tn^y, ctg^y и др. Построению фундаментальных решений в средах с проницаемостью К вида некоторых цилиндрических функций или функций, удовлетворяющих определенным уравнениям, посвящены работы [57, 79, 149, 153, 155, 227, 235, 238, 245, 246, 254].

Следует отметить, что в целом теория р-аналитических функций в силу ряда причин (в том числе из-за достаточно громоздкого аппарата) не получила широкого применения по сравнению с теорией аналитических функций. Кроме того, функции проницаемости К, для которых известны решения соответствующих уравнений, как правило, возрастают (убывают) до бесконечности (нуля) и поэтому могут аппроксимировать проницаемость реальных грунтов лишь на определенных достаточно малых участках области фильтрации, вне которых расхождение проницаемости грунта и функции к может быть значительным, что может привести к существенному искажению течений.

Третье направление заключается в построении особых точек течений для кусочно-непрерывных, в частности, кусочно-постоянных функций проницаемости, что приводит к задачам сопряжения и расширяет возможности для аппроксимации проницаемости реальных грунтов. Разрешимость общих задач сопряжения для эллиптических уравнений с ра-

зрывными коэффициентами доказана в работах [юо, 261]. Данное направление имеет следующие аспекты: число неоднородных зон (слоев), форма их границ, вид функции проницаемости в этих зонах, а также характер особых точек течений в зонах.

Для двух однородных зон, разделенных окружностью или прямой, в работах [60, 61], методом отражений решена общая задача сопряжения (для произвольных особых точек): комплексные потенциалы течений выражены в конечном виде через произвольные аналитические функций (теоремы об окружности и прямой). В работах [115, 117, 119, 188 , 242] решены общие задачи сопряжения в кусочно-однородных зонах, разделенных двумя и тремя параллельными прямыми или концентрическими окружностями, при этом использовались методы отражений, преобразования Лапласа, последовательного применения теоремы об окружности и разложения в ряды Тейлора. Обобщения указанных теорем на две неконцентрические окружности получены с помощью дробно-линейных отображений и биполярных координат [187, 269]. Общие задачи сопряжения для двух однородных зон, разделенных некоторыми кривыми, решены в работах [65, 180, 205, 264, 265], где предложен метод конформных отображений плоскости течений на римановы поверхности с идентичными течениями на ее листах, что позволяет пренебречь разрезами и получить линию сопряжения в виде кривой второго порядка, при этом кривые более высокого порядка получаются при последующем применении дробно-линейных и других отображений.

При рассмотрении произвольной общей границы двух однородных зон в работах [231, 232] развит приближенный метод, когда условия сопряжения осредняются на общих границах зон, при этом потенциалы выражаются через решения аналогичных задач, соответствующие непроницаемым и проницаемым границам, которые, в свою очередь, можно

построить приближенно методом особых точек [230, 233].

В работе [25] методом отражений построены комплексные потенциалы для восьми однородных зон, разделенных прямыми и окружностью, с двумя чередующимися значениями проницаемости в зонах при симметр