Развитие постановки и методов решения контактных задач применительно к исследованию композитных материалов при больших деформациях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

1 Обзор методов решения упругих контактных задач.

1.1 Вариационные методы в контактных задачах механики.

1.2 Численные методы решения контактных задач.

1.3 Решение контактных задач в рамках конечных деформаций.

2 Краткая характеристика работы.

ГЛАВА I. ПОСТАНОВКА.

1.1 Дифференциальная постановка контактной задачи с трением.

1.1.1 Упругий потенциал.

1.2 Вариационная постановка контактной задачи с трением.

1.2.1 Исследование функционала на шаге по нагрузке.

1.2.2 Учет ограничений в виде неравенств.

ГЛАВА II. ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ.

II. 1 Построение алгоритма решения.

II.2 Конечноэлементная реализация и уточнение решения.

II.2 Структура программы.

ГЛАВА III. ТЕСТИРОВАНИЕ АЛГОРИТМА.

III. 1 Плоская однородная осадка прямоугольного бруса.

III.2 Сравнение с задачей Герца.

III.3 Кручение цилиндрических тел конечных размеров.

111.3.1 Тестирование алгоритма.

111.3.2 Постановка задачи о кручении сплошного короткого цилиндра.

Выбор вида представления результатов.

Сравнение осевой силы и крутящего момента для слабосжимаемого и несжимаемого материалов при кручении цилиндра за бесконечно тонкий поясок.

111.3.3 Анализ влияния условий кручения для цилиндрических образцов .79 Кручение цилиндра за пояски различной толщины, кручение за торцы. 79 Кручение цилиндра за поясок для материалов с различными упругими потенциалами.

111.3.4 Кручение реального образца.

IIL3.5 Выводы по разделу.

ГЛАВА IV. КОМПЛЕКСНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СТРУКТУРНОЙ ЯЧЕЙКИ ЗЕРНИСТОГО ЭЛАСТОМЕРНОГО КОМПОЗИТА.

IV.1 Цилиндрическая модель ячейки при наличии межфазного трения

IV. 1.1 Параметры ячейки.

IV. 1.2 Влияние параметров модели на сопротивление ячейки растяжению

IV. 1.3 Влияние параметров модели на прочностные характеристики ячейки

IV.2 Цилиндрическая модель ячейки с изначально вклеенным включением при наличии межфазного трения.

IV.2.1 Расчетные параметры ячейки.

IV.2.2 Влияние параметров модели на сопротивление ячейки растяжению

IV.3 Модель гексагональной призматической ячейки с вложенным включением.

IV.3.1 Тестирование алгоритма решения трехмерной задачи.

IV.3.2 Гексагональная ячейка и ее цилиндрические аналоги.

IV.3.3 Растяжение ячеек с различной долей твердой фазы.

IV.4 Выводы по главе.

Практически все предметы окружающего нас мира, в том числе детали станков и механизмов, различные инструменты работают в условиях контакта с другими предметами. В связи с этим существует и всегда существовала потребность моделирования поведения систем контактирующих тел. Эта потребность связана с необходимостью точного описания и предсказания механического поведения тел, разработки новых конструкций и изделий с заданными свойствами.

В настоящее время значительное внимание в механике уделяется изучению материалов, работающих при больших деформациях. В частности, к таким материалам относятся ряд полимерных материалов: синтетических каучуков, различных резин, полиуретанов. Данные материалы обладают характерной особенностью - работая в рамках развитых деформаций, они являются слабосжимаемыми. В результате, для корректного описания таких материалов были разработаны и разрабатываются специальные модели, позволяющие описывать поведение этих материалов в широком диапазоне нагружений. Однако, практическое применение данных моделей невозможно без использования современных компьютеров.

Одним из наиболее перспективных направлений при численном моделировании сложных процессов является направление, ориентирование на привлечение мощных вычислительных систем с параллельной архитектурой. Основными преимуществами методов и алгоритмов, использующих методику распределенных вычислений, являются:

1. возможность многократного увеличения оперативной памяти:

2. сокращение времени счета посредством распределения вычислительной нагрузки на ряд процессоров.

Это открывает путь к решению сложных пространственных задач в том числе и контактных, с приемлемой точностью.

В свете выше сказанного, задача построения эффективных численных методов и алгоритмов решения контактных задач в рамках больших деформаций для слабосжимаемых материалов является актуальной.

Работа выполнялась в соответствии с планом НИР Института механики сплошных сред УрО РАН "Большие деформации в упругости, упругопластичности и вязкоупругости" (1999-2001 г.г.) № ГР 01.99.00000443 и "Конечные деформации сложных сред: построение определяющих уравнений, развитие аналитических и численных методов решения, в том числе использующих технологии параллельного программирования" (20022004 г.г.) № ГР 01.200.119223, была поддержана грантом РФФИ № 02-0790305 и грантом НОЦ № 02-01н-023а.

Автор глубоко благодарен научным консультантам: заслуженному деятелю науки и техники РСФСР, доктору технических наук, профессору Мошеву Валерию Варфоломеевичу, кандидату физико-математических наук, ведущему научному сотруднику Адамову Анатолию Арсангалеевину и кандидату физико-математических наук, старшему научному сотруднику Сурсякову Всеволоду Александровичу за большую и неоценимую помощь в работе.

IV.4 Выводы по главе

Раздел 1.

Выполнено исследование цилиндрического аналога реальной ячейки с вложенным включением при наличии межфазного трения. Получено:

1. Сопротивление ячейки растяжению возрастает при увеличении силы трения, увеличении внешнего гидростатического давления. Размеры петли гистерезиса значительно возрастают при увеличении силы трения, внешнего давления и объемной доли наполнения. Данные факты являются очевидными, однако, они позволяет сделать заключение о корректности решения контактной задачи.

2. При отсутствии внешнего давления величина трения незначительно влияет на сопротивление ячейки растяжению и размер петли гистерезиса.

3. При наличии сил трения в матрице существует две области с локальными максимумами поля главной растягивающей деформации. Первая из них размещена на плоскости симметрии матрицы, вторая на поверхности контакта матрицы с включением. При увеличении силы трения или внешнего давления первая область смещается к месту окончания контакта с включением (локальный максимум поля главной растягивающей деформации в ней возрастает), вторая смещается к боковой поверхности ячейки (локальный максимум в ней убывает).

4. Максимальное значение величины главной растягивающей деформации в матрице в целом возрастает при увеличении давления и при увеличении силы трения, но при определенных условиях может уменьшиться, что связано с изменением величин локальных максимумов этого поля.

5. Максимальное значение среднего растягивающего напряжения возрастает при увеличении силы трения, увеличении объемной доли наполнения и уменьшении внешнего давления.

Раздел 2.

Проведено исследование цилиндрического аналога реальной ячейки с изначально вклеенным включением при наличии межфазного трения. Получено:

1. В отсутствии внешнего давления роль трения незначительна.

2. При значительных растяжениях ячейки (50% и более) влияние межфазного трения снижается, поскольку уменьшается размер зоны контакта матрицы с включением.

3. При наличии внешнего давления отрыв матрицы от включения происходит при большем растяжении ячейки, чем в его отсутствии. Данный факт интуитивно предсказуем и является подтверждением корректности работы алгоритма.

4. В отсутствии внешнего давления начало отрыва матрицы от включения носит лавинообразный характер со сбросом силы сопротивления ячейки растяжению.

5. При наличии внешнего давления начало отрыва не приводит к сбросу силы, который реализуется позже, с одновременным уменьшением объема ячейки (под объемом ячейки понимается суммарный объем матрицы, включения и образующейся вакуоли). По-видимому, факт уменьшения объема ячейки объясняется тем, что в этот момент нагружения открепляющиеся участки матрицы частично заполняют объем ранее образовавшейся вакуоли.

Раздел 3.

Используя технологии параллельного программирования, решена пространственная задача, моделирующая поведение реальной гексагональной ячейки.

1. Основываясь на равенстве сил сопротивления ячейки растяжению, исследована возможность моделирования гексагональной ячейки в виде ее цилиндрического аналога. Рассмотрено пять цилиндрических моделей реальной ячейки.

2. Показано, что наиболее приемлемой является замена реальной гексагональной ячейки вписанным цилиндром с размером включения, выбранным из условия сохранения объемной доли твердой фазы. При этом отношение силы сопротивления растяжению реальной ячейки к силе ее цилиндрического аналога является практически постоянной величиной в процессе растяжения ячейки.

3. Показано, что результаты по силе сопротивления ячейки растяжению, полученные на выбранном цилиндрическом аналоге, можно привести к результатам для шестигранной ячейки путем домножения на постоянный в процессе растяжения множитель. Для 20%, 30% и 40% объемной доли твердой фазы получены множители соответствия.

Заключение

1. В рамках больших деформаций поставлена задача контакта гиперупругого слабосжимаемого материала с жестким штампом. Задача сведена к ряду последовательно решаемых задач поиска седловой точки квадратичного функционала на отдельных шагах по нагружению, которые, как показано, имеют единственное решение. Для задачи на отдельном шаге нагружения дана математическая постановка в виде вариационного неравенства.

2. Используя алгоритм Удзавы для нахождения распределенных нормальных и касательных усилий, метод конечных элементов, для определения напряженно - деформированного состояния, а также процедуру уточнения, построен ряд численных алгоритмов решения контактных задач в плоской, осесимметричной, "псевдотрехмерной" и трехмерной постановках на персональном компьютере. Построен численный алгоритм решения контактных задач в трехмерной постановке, ориентированный на использование машин с параллельной архитектурой.

3. Произведено численное тестирование, показавшее высокую точность разработанных алгоритмов. Обоснована необходимость итерационного уточнения решений полученных с помощью метода последовательных нагружений. Исследовано влияние учета слабой сжимаемости материала на интегральные характеристики напряженно - деформированного состояния. Решена задача о кручении цилиндрических тел конечных размеров. В результате ее решения выявлено, что гипотеза об искривлении радиальных материальных волокон при кручении реального образца практически не подтверждается.

1. Абрамян Б.Л. Обзор результатов, полученных по контактным задачам академии наук Армянской ССР. В кн.: Контактные задачи и их инженерные приложения. М.: НИИМаш, 1969. 447 с.

2. Адамов А. А. Кручение вязкоупругого цилиндра из несжимаемого материала при конечных деформациях// Напряженно-деформированное состояние и прочность конструкций: Сб. науч. тр. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1982. С. 61-65.

3. Айзикович С.М. Асимптотические решения контактных задач теории упругости для неоднородных по глубине сред// Прикл. Мат. Мех. 1982. Т.46. Вып. 1.С. 148-158.

4. Александров В.М. Асимптотические методы в задачах механики сплошной среды//Прикл. Мат. Мех. 1993. Т. 57. Вып. 2. С. 102-108.

5. Александров В.М. Взаимодействие плоского наклонного кольцевого штампа с упругим полупространством// Прикл. мат. и мех. 1996. Т. 60. Вып. 1.С. 132-139.

6. Александров В.М., Ворович И И. Контактные задачи для упругого слоя малой толщины//Прикл. Мат. Мех. 1964. Т. 28. Вып. 2. С. 350-351.

7. Александров В.М., Ворович И.И. О действии штампа на упругий слой конечной толщины// Прикл. Мат. Мех. 1960. Т. 24. Вып.2. С. 323-333.

8. Арутюнян Н.Х., Абрамян Б.Л. Кручение упругих тел. М.: Физматгиз, 1963.

9. Бабешко В.А. Асимптотические свойства решения некоторых интегральных уравнений теории упругости и математической физики. Доклады АН СССР. 1972. № 5. С. 1074-1077.

10. Бабешко В.А. Об одном асимптотическом методе решения контактных задач теории упругости// Прикл. Мат. Мех. 1966. Т. 30. Вып. 4. С. 732-741

11. Босаков С.В. Вариационный подход к решению контактной задачи для упругой полуплоскости// Прикл. мех. 1994. Т. 30. Вып. 7. С. 70-73.

12. Бригаднов И.А. Эффекты второго порядка в задаче конечного кручения круглого стержня// Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела: Сб. науч. тр. Санкт-Петербург, гос. ун-та, 2000. Вып. 3. С. 165-177.

13. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука. 1974. 455 с.

14. Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные контактные задачи для неклассических областей. М.: Наука, 1979. 319 с.

15. Ворович И.И., Устинов Ю.А. О давлении штампа на слой конечной толщины// Прикл. Мат. Мех. 1959. Т. 23. Вып. 3. С. 445-455.

16. Гавриляченко Т.В., Карякин М.И. Об особенностях нелинейно-упругого поведения сжимаемых тел при конечных деформациях// ПМТФ. 2000. Т. 41. №2. С. 188-193.

17. Галин JI.A. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости. М.: Гостехиздат, 1980. 304 с.

18. Галин JI.A. Контактные задачи теории упругости. М.: Гостехиздат, 1953.

19. Геррманн JI.Р. Вариационный принцип для уравнений упругости несжимаемых и почти сжимаемых материалов// Ракетная техника и космонавтика. 1965. Т. 10. С. 139-144.

20. Гловински Р., Лионе Ж.-Л., Тремольер Р.Т. Численное исследование вариационных неравенств. М.: Мир, 1979. 576 с.

21. Дмитриенко Ю.И. Тензорное исчисление. М.: Высшая школа, 2001. 576 с.

22. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980. 384 с.

23. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. 554 с.

24. Зубов Л.М., Овсеенко СЮ. Большие деформации кручения цилиндров из сжимаемых материалов// Вопросы динамики и прочности: Сб. науч. тр. Рижского политехнич. ин-та. Рига: Зинатне, 1982. Вып. 40. С. 109-117.

25. Иванова Т.Б. Применение вариационного подхода к решению задач трещинообразования и контактного взаимодействия с учетом сил адгезии. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Москва 1994.

26. Киндерлерер Д., Стампаккья Г. Введение в вариационные неравенства и их приложения. М., 1983. 256 с.

27. Коваленко Е.В. Развитие метода ортогональных функций. В кн.: Механика контактных взаимодействий/ под ред. Воровича И.И. М.: ФИЗМАЛИТ, 2001. С. 125-136.

28. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989. 624 с.

29. Кольцов А.С. Использование многопроцессорной вычислительной системы МВС-1000 для решения трехмерных контактных задач упругих слабосжимаемых тел при конечных деформациях// 13-я Зимняя школа по механике сплошных сред Тезисы докладов. Пермь. 2003. С. 219.

30. Кольцов А.С. Модель структурной ячейки зернистого резиноподобного композита, учитывающая наличие межфазного трения// Молодежная наука Прикамья. 2001. Вып. 1. С. 104-110.

31. Кольцов А.С. Модель ячейки зернистого композита, с изначально вклеенным включением, учитывающая межфазное трение// Международная молодежная конференция XXVIII Гагаринские чтения, Секция № 3 Тезисы докладов. Москва. 2002. С. 20.

32. Кольцов А.С., Сурсяков В.А., Мошев В.В. Структурная ячейка зернистого композита, учитывающая межфазное трение// 2-й Всероссийский семинар им. С.Д. Волкова "Механика микронеоднородных материалов и разрушение" Тезисы докладов. Пермь, 2000. С. 29.

33. Кравчук А.С. Вариационные и квазивариационные неравенства в механике. М.: МГАПИ, 1997. 340 с.

34. Кравчук А.С. Контактные задачи с односторонними связями и учетом сил трения. В кн.: Механика контактных взаимодействий/ под ред. Воровича И.И. М.: ФИЗМАЛИТ, 2001. С. 491-498.

35. Кравчук А.С. Метод вариационных неравенств в контактных задачах. В кн.: Механика контактных взаимодействий/ под ред. Воровича И.И. М.: ФИЗМАЛИТ, 2001. С. 93-115.

36. Кравчук А.С. О двойственности в контактных задачах// Прикл. Мат. Мех. 1979. Т. 43. С. 887-892.

37. Кравчук А.С., Сурсяков В.А. Решение задачи о контакте деформируемого тела с абсолютно жестким штампом с учетом геометрической нелинейности. В кн.: Краевые задачи теории упругости и вязкоупругости, АН, ССС Уральский Научный Центр, 1980, С. 80-87.

38. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. М.: Мир. 1974. 338 с.

39. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.

40. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М.: ГИТТЛ, 1955 491 с.

41. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 940 с.

42. Механика контактных взаимодействий/ под ред. Воровича И.И. М.: ФИЗМАЛИТ, 2001. 672 с.

43. Мошев В.В., Кожевникова Л.Л. Представительная ячейка зернистых композитов и ее механические особенности. В кн.: Структурные механизмы формирования механических свойств зернистых полимерных композитов. Екатеринбург: УрО РАН, 1997. С. 443-466.

44. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. Физматгиз, 1966.

45. Няшин Ю.И., Чернопазов С.А. Вариационный метод решения контактных задач теории упругости с трением// Прикл. Мат. Мех. 1997. Т. 61. Вып. 4. С. 692-702.

46. Няшин Ю.И., Чернопазов С.А. К постановке контактных задач упругопластичности//Прикл. Мат. Мех. 1989. Т. 53. Вып. 6. С. 1023-1027.51,Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1976. 464 с.

47. Панагиотопулос П. Неравенства в механике и их приложения. М.: Мир, 1989. 496 с.

48. Попов Г.Я. О методе ортогональных многочленов в контактных задачах теории упругости// Прнкл. Мат. Мех. 1969. Т. 33. Вып. 3. С. 518-531.

49. Попов Г.Я., Ростовцев Н.А. Контактные (смешанные) задачи теории упругости. Труды II Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. М.: Наука, 1966.

50. Развитие теории контактных задач в СССР/ под ред. Галина JI.A. М.: Наука, 1976. 493 с.

51. Ривлин Р.С. Большие упругие деформации// Реология. Теория и приложения (под ред. ЭйрихаМ.). М. ИЛ. 1962. С. 422-457.

52. Роговой А.А. Модель слабосжимаемого и несжимаемого упругого тела при конечных деформациях. В кн.: Структурные механизмы формирования механических свойств зернистых полимерных композитов. Екатеринбург: УрО РАН, 1997. С. 375-442.

53. Сегерлинд JI. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. 392 с.

54. Терещенко В.Я. Об одном подходе к исследованию задачи Синьорини, использующем идеи двойственности// Прикл. Мат. Мех. 1982. Т. 46. С. 116-123.

55. Тэлега Ю.И. Вариационные методы в контактных задачах механики// Успехи механики. Т. 10. № 2. 1987. С. 3-95.

56. Фридман А. Вариационные принципы и задачи со свободными границами М.: Наука, 1990. 536 с.

57. Чаплыгин С.А. Давление жесткого штампа на упругое основание. Собрание Сочинений. M.-JL: Гостехиздат, 1950. Т.З. С. 317-323.

58. Штаерман И.Я. Контактная задача теории упругости. М.: Гостехиздат, 1949.

59. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979. 400 с.

60. Abdou М.А. Integral equation and contact problem for a system of impressing stamps// Applied Mathematics and Computation. 1999. Y. 106. N 2-3 P. 141148.

61. Bittencourt E., Creus G.J. Finite element analysis of three-dimensional contact and impact in large deformation problems// Comput. Struct. 1998. V. 69. N 2. P. 219-234.

62. Cattaneo, C., Sul contatto di duecorpi elastici: distribuzione locale degli sforzi// Rendiconti dell 'Accademia Nazionale dei Lincei 27, 1938. P. 342-348 (In Italian).

63. Cescatto S., Fonder C. A finite element approach for large strain of nearly incompressible rubberlike materials// Int. J. Solid Struct. 1979. V. 15. N 8. P. 951-954.

64. Ciavarella M. Tangential loading of general 3D contacts// J. Appl. Mech. 1998. V. 65. P. 998-1003.

65. Ciavarella M. The generalized Cattaneo partial slip plane contact problem. I -Theoty, II Examples// Int. J. Solids Struct. 1998. V. 35. P. 2349-2378.

66. Cocu M. Existence of solution of Signorini problems with friction// Int. J. Eng. Sci. 1984. V. 22. P. 567-575.

67. Fancello Eduardo A., Feljoo Raul A. Shape optimization in Mctionless contact problems// Int. J. Numer. Meth. Eng. 1994. V. 37. N 13. P. 2311-2335.

68. Fichera G. Boundary Value problems of elasticity with unilateral constraints// Handbuch der Physik VI, 1972. V. a/2. Springer, Berlin, P. 391-424. (B: Теоремы существования в теории упругости, "Мир", Москва 1974).

69. Fichera G. Problemi elastostatici con vincoli unilaterali: il problema di signorini cin ambingue condizioni al contorno// Mem. Accad. Naz. Lincei. 1964. N 8 (7). P. 91-140. (in Italian).

70. Fichera G. Sul problema elastostatico di Signorini con ambingue condizioni al contorno. Rend. Accad. Naz. Lincei, serie VIII, 34, 1963 (in Italian).

71. Fichera G. The Italian contribution to the mathematical theory of elasticity// Meccanica, 1981. V. 19. P. 259-268.

72. Gao Y.C., Gao T J. Large deformation contact of a rubber notch with a rigid wedge// Int. I. Solids Struct, 2000. V. 37. N 32. P. 4319-4334.

73. Hanson M.T., Keer L.M. Mechanics of edge effects on frictionless contacts// Int. J. Solids Struct. 1995. V. 32, N 3-4. P. 391-405.

74. Heege A., Alart P. A frictional contact element for strongly curved contact problems// Int. J. Numer. Meth. Eng. V. 39. P. 165-184.81 .Hertz H. On the contact of elastic solids// J. Reine Angew. Math. 1882. V. 92, P. 156-171. (in German).

75. Hui L., Saigal S., Wang T.P. A solution for the contact between two spherical particles undergoing large deformation// Acta Materialia, 1996. V. 44. N 7. P. 2591-2598.

76. Johansson L. Contact with friction between two elastic half-planes//ASME J. Appl. Mech. 1993. V. 60. P. 737-742.

77. Kalker, J.J., Three-Dimensional Elastic Bodies in Rolling Contact. Kluwer, Dordrecht. 1990.

78. Key S.W. A variational principle for incompressible and nearly incompressible anisotropic elasticity// Int. J. Solids Struct. 1969. N 5. P. 951-954.

79. Kikuchi N., Oden J.T. Contact Problem in Elasticity: A Study of Variational Inequalities and Finite Element Methods. SIAM, Philadelphia. 1988.

80. Klarbring A. Examples of non-uniqueness and non-existence of solutions to quasi-static contact problems with friction// Ingenieur-Archiv. 1990. V. 60. P. 529-541.

81. Koltsov A.S., Sursjakov Y.A., and Moshev V.V. Interfacial friction in the debonded structural cell of particulate rubber composites// Int. J. Solids Struct. 2003. V. 40. N 5. P. 1299-1310.

82. Laursen T.A., Padmanabhan Y. A framework for development of surface smoothing procedures in large deformation frictional contact analysis// Finite Elements in Analysis and Design. 2001. V. 37. N 3. P. 173-198.

83. Lorenzana A., Garrido J.A. A boundary element approach for contact problems inVving large displacements// Comput. Struct. 1998. V. 68. N 4. P. 315-324.

84. Meguid S.A., El-Abbasi N. Modeling frictional contact in shell structures using variational inequalities variable thickness shells with through-the-thickness stretching// Finite Elements in Analysis and Design. 1999. V. 33. N4. P. 317334.

85. Midlin R.D., Deresiewicz H. Elastic spheres in contactunder varying oblique forces// ASME J. Appl. Mech. 1953. V. 75. P. 327-344.

86. Moreau J.J. On unilateral constraints, friction and plasticity, in: New variational techniques in mathematical physics/ ed. by G. Capriz, and G. Stampacchia, Edizioni Cremonse, Roma. 1974. P. 173-322

87. Moshev Y.V., Kovrov V.N. Interfacial Friction in Filled Polymers Initiated by Adhesive Debonding. Ill Physical Modelling// J. Adhesion. 1998. V. 65. P. 91103.

88. Moshev V.V., Kozhevnikova L.L. Highly predictive structural cell for particulate polymeric composites// J. Adhesion. 1997. V. 62. Pp. 169-186.

89. Moshev V.V., Kozhevnikova L.L. Predictive potentialities of a cylindrical structural cell for particulate elastomeric composites// Int. J. Solids Struct. 2000. V. 37. P. 1079-1097.

90. Moshev V.V., Kozhevnikova L.L. Unit cell evolution in structurally damageable particulate-filled elastomeric composites under simple extension// J. Adhesion. 1996. V. 55. P. 209-219.

91. Natgtegaal J.C., Parks D.M., Rice J.R. On numerically accurate finite element solutions in the full plastic range// Comput. Meth. App. Mech. Eng. 1974. N 4. P. 153-177.

92. Nedoma J., Dvorak J. On the FEM solution of a coupled contact-two-phase Stefan problem in thermo-elasticity. Coercive case// J. Comput. Appl. Math. 1995. V. 63. N 1-3. P. 411-420.

93. Oden J.T., Kikuchi N. Finite element methods for constrained problems in elasticity//Int. J. Numer. Meth. Eng. 1982. V. 18. P. 701-725.

94. Oden J.T., Kikuchi N. Recent advances: theory of variational inequalities with applications to problem of flow through porous media// Int. J. Eng. Sci. 1980. V. 18. P. 1173-1284.

95. Oden J.Т., Pires E.B. Algorithms and numerical results for finite element approximation of contact problems with non-classical friction laws// Comput. Struct. 1983. V. 16. N 1-4. P. 481-485.

96. Oden J.Т., Pires E.B. Numerical analysis of certain contact problems in elasticity with non-classical friction laws// Comput. Struct. 1983. V. 16. N 1-4. P. 481-485.

97. Panagiotopoulos P.D., Talaslidis D. A linear analysis approach to the solution of certain classes of variational inequality problems in structural analysis// Int. J. Solids Struct. 1980. V 16. P. 991-1005

98. Papadopoulos P., Jones R.E., Solberg J.M. A novel finite element formulation for frictionless contact problems// Int. J. Numer. Meth. Eng. 1995. V. 38. N 15. P. 2603-2617.

99. Ponthot J.P., Bui Q.V. Estimation of rubber sliding friction from asperity interaction modeling//J. Wear. 2002. V. 252. N 1-2. P. 150-160.

100. Simunovic S., Saigal S. A linear programming formulation for incremental contact analysis// Int. J. Numer. Meth. Eng. 1995. V. 38. N 16. P. 2703-2725.

101. Sun S.M., Tzou H.S., Natori M.C. Parametric quadratic programming . method for dynamic contact problem with friction// AIAA Journal. 1994. V. 32. N 2. P. 371-378.

102. Torstenfelt Bo. Contact problems with friction in general purpose finite element computer programs//Comput. Struct. 1983. V. 16. N 1-4. P. 487-493.

103. Vrbik J., Catharines St., Singh B.M., Daniluk H.T. Contact problem of a pair of flat rectangular stamps resting on an elsatic half-space// Acta mech. 1995. V. 112. N 1-4. P. 77-82.

104. Wang L.-H. On the duality methods for the contact problem in elasticity// Comput. Meth. App. Mech. Eng. 1998. V. 167. N 3-4. P. 275-282.

105. Xiao J.R. Boundary element analysis of unilateral supported Reissner plates on elastic foundations// Computational Mechanics. 2001. V. 27. N 1. P. 1-10.

106. Yan X. Non-linear three-dimensional finite element modeling of radial tires// J. Mathematics and Computers in Simulation. 2001. V. 58. N 1. P. 51-70.

107. Yeo Taein, Barber J.R. Finite element analysis of thermoelastic contact stability// ASME. J. Appl. Mech. 1994. V. 61. N 4. P. 919-922.

108. Zboinski G. The incremental variational principles for frictional contact problems of linear elasticity// ASME J. Appl. Mech. 1993. V. 60. P. 982-985.

109. Zhang F., Kassab A.J., Nicholson D.W. A boundary element solution of an inverse elasticity problem and applications to determining residual stress and contact stress// Int. J. Solids Struct. 1997. V. 34. N 16. P. 2073-2086.

110. Zhong Z.-H., Finite Element Procedures for Contact-Impact Problems. Oxford University Press, Oxford. 1993.

111. Zhou Z., Gao Y.C. Large strain contact of a rubber wedge with a rigid notch// Int. J. Solids Struct. 2001. Y. 38. N 48-49. P. 8921-8928.