Развитие теории неоклассических тиринг мод в токамаках тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.08 ВАК РФ

ШИРОКОВ Максим Станиславович

Развитие теории неоклассических тиринг мод в токамаках

01.04.08 - Физика плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва-2006

i

ШИРОКОВ Максим Станиславович

Развитие теории неоклассических тиринг мод в токамаках

01.04.08 - Физика плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2006

Работа выполнена в Московском инженерно-физическом институте (государственном университете)

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор Трубников Борис Андреевич

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

Арсенин Владимир Васильевич

доктор физико-математических наук, профессор Ерохин Николай Сергеевич

Ведущая организация Московский физико-технический институт

Защита состоится «/ » декабря 7.006 года п /Фчасов на заседании диссертационного совета Д 212.130.05 в Московском инженерно-физическом институте (государственном университете) по адресу: 115409, г.-Москва, Каширское шоссе, д. 31, ауд. К-608

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского инженерно-физического института (государственного университета)

Автореферат разослан «-^ »ноября 2006 года

РОС. Н\1ШОИЛ.ЧЬН'<'-1 Биьлиот \

09 200(

Учёный секретарь диссертационного совета ■—1 Евсеев И.В.

общая

характеристика работы

1.1 Актуальность темы

Важность исследования реакторов-токамаков ясна из того, что реакторы этого типа являются одним из наиболее перспективных типов термоядерных установок, применяемых для создания и исследования высокотемпературной плазмы.

Анализ энергетического баланса показывает, что реализация энергетически выгодного термоядерного реактора на основе токамака возможна лишь при достаточно большом отношении давления плазмы к давлению магнитного поля (параметр ß). Актуальность исследования HTM ясна из того, что они ограничивают предельно достижимое давление плазмы (параметр ß) в токамаке и тем самым являются серьёзным препятствием на пути к осуществлению управляемого термоядерного синтеза в установках типа ITER (International Thermonuclear Experimental Reactor).

Динамика HTM теоретически описывается так называемыми транспортными пороговыми моделями.

1.2 Цель работы

Развитие транспортных пороговых моделей неоклассических тиринг мод, с целью построения как можно более общих таких моделей, учитывающих градиенты температур ионов и электронов, аномальную поперечную ионную вязкость и рассматривающих различные механизмы установления профилей температуры.

1.3 На защиту выносятся следующие результаты:

1. Точные аналитические выражения для профилей температуры в случаях их установления при конкуренции поперечной теплопроводности с продольной теплопроводностью, продольной конвекцией,

продольной инерцией и вращением HTM.

2. "Двухканальные" транспортные пороговые модели HTM, учитывающие зависимость "бутстреп-драйва" от градиента температуры ионов и электронов, для различных механизмов установления профилей температуры.

3. Выражения, описывающие влияние аномального поперечного переноса на эффект магнитной ямы для четырёх механизмов установления профилей температуры.

4. Критерий подавления HTM стабилизирующим "компаунд-эффектом".

5. Формулировка представления о "четырёхканальных" моделях HTM, подразумевающего зависимость "бутстреп-драйва" не только от традиционных каналов градиентов температуры и плотности, но и от возмущённого радиального электрического поля острова ("£"-канал).

6. Обобщённое уравнение Разерфорда для эволюции ширины магнитного острова с учётом аномальной поперечной ионной вязкости.

7. Указание на возможность подавления HTM вязкостной частью вклада бутстреп тока в уравнение Разерфорда, вращающихся в направлении электронного диамагнитного дрейфа.

1.4 Достоверность результатов

Достоверность результатов, полученных в диссертации, обеспечена использованием современных аналитических и вычислительных методов и расчётных моделей. Она также подтверждена выводами некоторых работ других авторов.

1.5 Личный вклад автора

В работах, выполненных с соавторами, автору диссертации пинадлежит решение тех задач, которые вошли в основные положения диссертации,

получение аналитических решений, отражённых в диссертации, проведение численых расчётов.

В частности, автором найдены строгие аналитические решения уравнений теплопроводности для четырёх механизмов продольного тепло-переноса, лежащие в основе построения общих транспортных моделей HTM, являющегося основной целью диссертации.

1.6 Научная новизна работы

1 Большинство результатов диссертации получено впервые. Найдены точ-

ные аналитические решения уравнений теплопроводности для столкно-^ вительного, конвективного, вращательного и инерционного механизмов

установления профиля температуры. Получено уравнение эволюции острова для каждого из механизмов. Построены "двухканальные" транспортные модели HTM, учитывающие аномальную поперечную теплопроводность электронов и ионов. Проанализировано влияние аномального поперечного переноса на вклад магнитной ямы в уравнение Ра-зерфорда. Построена "двухканальная модель" эффекта магнитной ямы для четырёх указанных выше механизмов. Исследован стабилизирующий "компаунд эффект", являющийся следствием того, что стабилизирующий вклад магнитной ямы в уравнение Разерфорда в следствие аномального поперечного переноса ослабляется в меньшей степени по сравнению с дестабилизирующим вкладом в это уравнение бутстреп тока, и при достаточно сильном поперечном переносе вклад магниной ямы превосходит вклад бутстреп тока. Получен критерий подавления HTM ста' билизирующим "компаунд эффектом". Проанализировано влияние аномальной поперечной ионной вязкости на вклад бутстреп тока в уравнение Разерфорда. Установлено, что эта вязкость обусловливает существование "¿/-канала" бутстреп тока. Показано, что знак вязкостного вклада бутстреп тока в уравнение Разерфорда зависит от направления вращения магнитного острова, и при достаточно большой поперечной ионной

вязкости бутстреп ток оказывается стабилизирующим для островов, вращающихся в направлении электронного диамагнитного дрейфа, и дестабилизирующим в противном случае.

1.7 Научная и практическая ценность работы

В диссертации получены точные аналитические профили температур для четырёх конкурирующих с поперечным переносом механизмов. Кроме того получены более простые модельные выражения. Последние отличаются от точных профилей лишь количественно, поэтому могут быть использованы в "качественных" теоретических исследованиях по магнитным островам. В тоже время, практическую ценность представляют точные профили температуры, использование которых необходимо при интерпретации экспериментальных данных, для предсказания поведения HTM в токамаках следующего поколения и при тестировании численных кодов. Критерий подавления HTM стабилизирующим "компаунд эффектом", полученный в главе II, указывает на возможность подавления HTM этим эффектом, причём указанный критерий становится ещё более благоприятным при наличии "шейпинга", а также при оперировании во второй зоне устойчивости идеальных баллонных мод. Кроме того, в соответствии с результатами главы III, возможно подавление HTM вязкостным вкладом бутстреп тока при организации вращения острова в сторону электронного диамагнитного дрейфа.

1.8 Апробация работы

Некоторые результаты представленных в диссертации исследований докладывались на:

1. Научная Сессия МИФИ (2003 г., 2004 г., 2005 г.).

2. Семинары Отдела Теории Плазмы ИЯС РНЦ "Курчатовский Институт".

3. Международная конференция-школа по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу, сентябрь 2002 г., Алушта, "Украина.

1.9 ' Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из введения, трёхглав, четырёх приложений и списка литературы. Полный объём 122 стр., список цитированной литературы содержит 60 наименовний.

2 Содержание диссертации

к Во введении содержится краткое изложение истории проблемы и раз-

личные подходы к её решению, сформулированы тема и цели диссертации, обосновывается их актуальность, изложено содержание диссертации.

Глава I посвящена вычислению "бутстреп-драйва" для случаев конвективной, столкновительной, инерционной и вращательной транспортных пороговых моделей HTM.

Для нахождения вклада бутстреп тока в уравнение эволюции магнитного острова для каждой из четырёх моделей достаточно вычислить возмущённые температуры электронов и ионов. Соответствующие выражения для возмущённых температур находятся из уравнений теплопроводности. Разъяснению структуры исходных плазмодинамических уравнений посвящён раздел 1.1. Исходные уравнения для столкновительной модели аналогичны уравнениям работы Фитцпатрика. В случае конвективной модели показано, что для гидродинамического описания "бесстолк-новительной продольной конвекции" необходимо учитывать бесстолкно-г вительный продольный поток тепла, 9ц = / v\\v2fdv, где М — масса

частицы, v — её скорость, индекс || означает проекцию на суммарное магнитное поле, / — функция распределения частиц. Исходное уравнение теплопроводности для случая вращательной модели отличается от соот-

ветствующего уравнения для столкновительной модели наличием члена с производной температуры по времени, что отражает факт вращения острова. Завершает раздел разъяснение структуры исходных уравнений для случая инерционной модели.

Рассмотрение случая аномального поперечного переноса тепла позволяет различать две характерные области возмущения температуры: ближнюю, и дальнюю. Преобразованию исходных уравнений для возмущённой температуры в дальней области для каждой из четырёх моделей посвящён раздел 1.2.

В разделе 1.3 производится точное аналитическое решение уравнений для возмущённой температуры в дальней области.

Раздел 1.4 посвящён преобразованию исходных уравнений для возмущённой температуры в ближней области. В этом разделе найдены аналитические выражения для профилей температуры в ближней области. Эти выражения содержат константы, которые определены условием сшивки соответствующих каждой модели решений в ближней и дальней областях.

В разделе 1.5 находятся более простые, чем аналитические, модельные решения для столкновительной, конвективной и инерционной моделей. При этом оказывается, что различие между модельными и аналитическими результатами носит лишь количественный характер. Это обстоятельство позволяет использовать модельные профили температуры для качественного анализа различных аспектов теории магнитных островов.

Раздел 1.6 посвящён вычислению вклада бутстреп тока в уравнение эволюции ширины магнитного острова. Показано, что для вычисления возмущённого бутстреп тока при аномальном поперечном теплоперено-се можно воспользоваться вычислением, произведённым ранее в работе Кувшинова и Михайловского для случая слабого поперечного переноса. Для этого достаточно подставить вместо нечётной части функции распределения частиц для случая, рассмотренного в упомянутой рабо-

те, выражение, соответствующее интересующему нас случаю аномального поперечного переноса. Для слабого поперечного переноса, в рассматриваемом нами случае однородной плотности плазмы выражение для бутстреп тока, а следовательно и "бутстреп-драйв", представляются в виде суммы двух слагаемых. Первое слагаемое определяется градиентом плотности ионов, а второе — градиентом плотности электронов. К аналогичному представлению "бутстреп-драйва" приводит и вычисление для случая аномального поперечного переноса тепла. Далее, используя найденные выражения для вклада бутстреп тока для случая аномального поперечного переноса и заимствуя результаты, полученные в работе Кувшинова и Михайловского для случая малого поперечного переноса, в разделе 1.6 строятся экстраполяционные выражения для вклада бутстреп тока в уравнение Разерфорда для произвольного поперечного переноса для каждой транспортной пороговой модели. Эти выражения также являются суммой электронного и ионного слагаемых, то есть представляют "двухканальные" транспортные пороговые модели. Сравнение этих выражений с получающимися при использовании модельных профилей температуры показывает, что различие не слишком велико.

В разделе 1.7 конструируются некоторые разновидности транспортных пороговых моделей HTM, учитывающие электронную конвективную динамику, общую электронную динамику, инерционную ионную динамику, общую ионную динамику.

Глава II посвящена анализу стабилизирующего "компаунд-эффекта". Как отмечалось ранее, суть этого эффекта состоит в том, что стабилизирующий вклад магнитной ямы в уравнение Разерфорда может превзойти дестабилизирующий "бутстреп-драйв" при аномальном поперечном переносе и тем самым стабилизировать HTM.

Для проведения анализа стабилизирующего "компаунд-эффекта" необходимо иметь выражения для "бутстреп-драйва" Дь3 и вклада магнитной ямы Дтш в уравнение Разерфорда, соответствующее каждой из четырёх

транспортных пороговых моделей.

Вклад магнитной ямы в уравнение Разерфорда, согласно известной процедуре, может быть выражен через полное давление плазмы. В нашем анализе мы пренебрегаем поперечной диффузией, то есть считаем, что равновесная плотность плазмы однородна, щ = const, и считаем, что возмущённая плотность плазмы пренебрежимо мала. Таким образом величина .Дтш в рассматриваемом нами случае может быть выражена через температуры ионов и электронов

Дти> — (1)

Здесь Те, 7i, — соответственно, температуры электронов и ионов. Вывод такого выражения произведён в разделе 2,1. Показано, что величина Дтш может быть представлена в виде суммы "электронной" и "ионной" частей, определяющихся, соответствено, профилями электронной и ионной температур.

В разделе 2.2 производится вычисление величин Amw при наличии сильного поперечного переноса для четырёх транспортных пороговых моделей. Для этого используются аналитические профили температуры, найденные в главе I. Кроме того произведены аналогичные вычисления для модельных профилей. Отмечается, что при сильном поперечном переносе величины Дтц„ соответствующие как электронам, так и ионам, не зависят от ширины магнитного острова W в случаях столкновительной, конвективной и инерционной моделей и зависят от W логарифмически в случае вращательной модели.

Используя полученные в разделе 2.2 величины Дтш и известные выражения для Дтш при малом поперечном переносе, в разделе 2.3 конструируются выражение для Amw при произвольном поперечном переносе, характеризующее "двухканальную" модель эффекта магнитной ямы, т.е. модель, учитывающую зависимость эффекта магнитной ямы от температур электронов и ионов.

В разделе 2.5 с использованием выражения для Дтш, полученного в предыдущем разделе, и выражения для Abs, полученного в главе I, приведён критерий подавления HTM стабилизирующим "компаунд-эффектом".

В главе III диссертации показано, что "трёхканальные" модели не являются наиболее общими пороговыми моделями. Дело здесь в следующем.

"Трехканальные" модели характеризуются выражениями для Д^ типа

Аь« — X/ &i><>,A> (2)

Д=пе,Ге,Г<

где "А" означает "Л-й канал" (ср. с уравнением (1)),

W

АЬз,А ~ abs'AW2 + W2A> (3)

ö6s,a — некоторые численные коэффициенты, W^a — некоторые эффективные критические ширины острова. Предполагалось, что, аналогично МГД подходу, возмущённый бутстреп ток пропорционален возмущениям температуры электронов и ионов и плотности плазмы. Так, при получении обобщения Abs на случай аномально больших поперечных переносов тепла и частиц предполагалось, что можно использовать формулу

Л1/2с

Jbs = -2.46-

Вв

(Тое + Tot) ^ + 0.40п0Ц - 0.17по^

(4)

где Во — полоидальное магнитное поле при г = г3) с — скорость света, щ — плотность плазмы, б — обратное спектное отношение токамака, х — координата вдоль малого радиуса, "крышка" обозначает возмущение. Это предположение базировалось на том, что при малых поперечных переносах тепла и частиц из формул указанного типа получается то же самое, что и из кинетического выражения для бутстреп тока. Следует, однако, иметь в виду, что результаты кинетического и МГД подходов логически неравноценны: результаты, следующие и МГД подхода, являются

следствием результатов кинетического подхода. Физически это означает, что нечётные моменты функции распределения, такие как продольный ток, могут быть некоторым стандартным способом выражены через чётные моменты функции распределения (плотность плазмы и температуру электронов и ионов). При этом связь между моментами различной чётности оказалась такой же, как и в неоклассической тейрии равновесия и вращения плазмы в токамаке в отсутствие магнитных островов. Отмеченное выше совпадение результатов, вытекающих из МГД и кинетического подходов, свидетельствуют о том, что, в отсутствие аномальных переносов, соответствующие представления неоклассической теории в отсутствие магнитных островов остаются в силе и в задаче о магнитных островах. Остаются ли в силе эти представления при наличии аномальных переносов, — исследованию этого фундаментального вопроса и посвящена глава III.

Показано, что указанное общепринятое представление о "стандартной" связи между нечётными и чётными моментами функции распределения частиц по скоростям может существенно модифицироваться при наличии аномальной поперечной вязкости ионов. Так, в главе III отмечено, что формулу (4) можно рассматривать как следствие некоторого более общего выражения для а именно

е1^

^ = -2.46—

„ дп „ ,„ дТе ~дх + + вП°

(5)

Здесь ¿/ц,- — возмущенная продольная скорость ионов, а Ёх — радиальная компонента возмущенного электрического поля. Выражение для {/ц,-находится из уравнения продольного движения ионов, а в это уравнение входит поперечная вязкость. Оказывается, что в пренебрежении этой вязкостью

Подстановка (6) в (5) и приводит к (4). При учете же поперечной ионной вязкости ¿/¡|,- ф Вследствие этого (4) теряет силу.

Анализ роли такой вязкости и является конкретной целью настоящей главы. Для "строгого" описания интересующего нас явления в главе развит кинетический подход. Однако для понимания физики явления может быть полезно рассмотрение интересующей нас проблемы в рамках дву-жидкостного подхода, также представленного в главе III. В рамках обоих подходов показано, что "трёхканальные" модели типа (2), (3) не являются наиболее общими транспортными моделями: наряду с указанными выше каналами необходимо учитывать также ещё один канал, связанный с возмущением электрического поля острова.

Гидродинамическое описание представлено в разделе 3.1. Оно основывается на уравнении продольного движения электронов с учётом тензора продольной электронной вязкости, 7Г|,

О = еещЕ\{ - УцРе - Ь • V • тг| + . (7)

Здесь ее — заряд электрона, Ец — продольное электрическое поле, ре — давление электронов, Ь — единичный вектор вдоль магнитного поля, е* — заряд иона, а — проводимость плазмы, ^'ц — продольный ток. Показано, что для нахождения усреднённого по поверхности магнитного острова бутстреп тока необходимо иметь выражение для возмущённой продольной скорости ионов /7ц,-. Усредняя уравнение продольного движения плазмы с учётом как продольной, 7г||, так и поперечной, вязкостей по полоидальным осцилляциям равновесного магнитного поля получаем искомое выражение

= - (Ь • V ■ - (Ь • V • , (8)

где М,- — масса иона, {.. )0 означает усреднение по полоидальному углу в. Далее приведена результирующая модель НТМ, учитывающая поперечную вязкость ионов.

Кинетическое описание раскачки HTM бутстреп током в присутствии аномального поперечного переноса представлено в разделе 3.2. В этом разделе разъяснено, что такое описание требует учёта в дрейфовом кинетическом уравнении модельного члена, описывающего аномальный перенос. Этот член взят пропорциональным некоторому произвольному коэффициенту, рхи соответствующему поперечной ионной вязкости. Разъясняется структура исходного дрейфового кинетического уравнения и производится его предварительное преобразование к виду, удобному для его последующего анализа. Излагается подход к решению дрейфового кинетического уравнения для ионов при учёте эффекта их поперечной вязкости. Даётся представление бутстреп тока в виде суммы электронной и ионной частей и разъясняется стандартный подход к вычислению электронной части. Тем самым задача сводится к вычислению лишь ионной части бутстреп тока, что, как и в случае гидродинамического описания, требует знания продольной скорости ионов. Задача о вычислении кинетического выражения для продольной ионной скорости и соответствующего выражения для бутстреп тока оказывается аналитически "рентабельной" лишь в двух предельных случаях большой и малой поперечной вязкости. Это позволяет сконструировать решение для произвольной поперечной вязкости. Завершает главу III сравнение результатов, полученных в рамках кинетического подхода, с гидродинамическими результатами раздела. Показано, что эти результаты качественно совпадают. Полученное уравнение Разерфорда имеет следующий вид

rsdW..... , r3Cbs ( W> CßuW^ ы\

r3 dt p Ж \W2 + W* W2 + W*uujtpeJ- ■ [1

В соответствии с этим уравнением показано, что в присутствии поперечной вязкости широко распространённая точка зрения, что бутстреп ток всегда является дестабилизирующим, может оказаться неадекватной: на острова, вращающиеся в направлении электронного диамагнитного дрейфа, w/w*pe > 0, бутстреп ток оказывает стабилизирующее влияние, в

противном случае, ш/ш,рс < 0, — дестабилизирующее.

3 Список публикаций

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. S. V. Konovalov, А. В. Mikhailovskii, M. S. Shirokov, and V. S. Tsypin, Phys. Plasmas 9, 4596 (2002).

2. Mikhailovskii, A.B., Shirokov, M.S., Tsypin, V.S., Konovalov, S.V., Ozeki, T., Takizuka, T., Galväo, R.M.O., Nascimento, I.C. // Physics of Plasmas. 2003. V. 10. p. 3790.

3. S. V. Konovalov, A. B. Mikhailovskii, M. S. Shirokov, and V. S. Tsypin, Plasma Phys. Control. Fusion 44, 579 (2002).

4. A. B. Mikhailovskii, M. S. Shirokov, V. S. Tsypin, S. V. Konovalov, T. Ozeki, T. Takizuka, R. M. O. Galväo, I. С. Nascimento, Phys, Plasmas 10, 3975 (2003).

5. A.B. Михайловский, M.С. Широков, C.B. Коновалов, B.C. Цыпин, Физика плазмы 31, (2005).

6. C.B. Коновалов, А.Б. Михайловский, М.С. Широков, Т. Озеки, B.C. Цыпин, Физика плазмы 31, (2005).

7. S. V. Konovalov, А. В. Mikhailovskii, M. S. Shirokov, and V. S. Tsypin, Plasma Phys. Control. Fusion 44, L51 (2002).

8. A.B. Михайловский, C.B. Коновалов, М.С. Широков, B.C. Цыпин, Физика плазмы 30, (2004).

л

Ш2 22 п§

Введение

1 Влияние бутстреп тока на динамику НТМ

1.1 Исходные плазмодинамические уравнения.

1.2 Преобразование уравнений для возмущении ieMiiepaiypbi

1.3 Строгие выражения для возмущений температуры в дальней области.

1.4 Возмущение температуры в ближней обласчи.

1.4.1 Случаи сюлкновителыюго, конвеышшого и инерционного механизмов.

1.4.2 Случай вращательного механизма

1.5 Модельные профили возмущения температуры.

1.6 Вычисление вклада бу гстреп тока в обобщенное уравнение Разерфорда для ширины магншнот ос фова.

1.6.1 Кинетический подход к вычислению возмущенною бутстреп юка при наличии сильною поперечного переноса.

1.6.2 Экс1раноляционные выражения для Afia при произвольном поперечном переносе тепла.

1.6.3 "Бутстреп-драйв" для модельных профилей возмущения температуры

1.7 Некоторые разновидности транспортных пороговых моделей НТМ

1.8 Обсуждение результатов.

2 Влияние магнитной ямы на динамику НТМ

2.1 Исходные уравнении для расчёта эффек'ы Mai ни i поп ямы

2.1.1 Случай большого поперечного перенос а тепла

2.1.2 Относительная роль -эффекта магнитной ямы и "бутстрен-драйва" при малом поперечном чеплопе-реносе.

2.2 Расчёт эффекта магнитной ямы при наличии сильною поперечного переноса.

2.2.1 Вычисление параметров к"ш для ci poi их профилей температуры

2.2.2 Модельные выражения для

2.2.3 Базисные выражения для Дщ1и прп сильном поперечном переносе.

2.3 Двухканальная модель эффек-ia магнитной ямы.

2.4 Выражения для

2.5 Стабилизирующий компаунд-эффект.

2.6 Обсуждение результатов.

3 Транспортная пороговая модель НТМ при наличии аномальной поперечной вязкости

3.1 Двужидкостной анализ.

3.1.1 Исходные уравнения.

3.1.2 Общая структура возмущённого 6} к iреп тока

3.1.3 Структура продольного уравнения движения плазмы при учёте как продольной, так и поперечной вя костей.

3.1.4 Предельный случай малой поперечной ионной вязкости

3.1.5 Гидродинамическая трактовка зависимости во$му-щённою 6yicrpcn тока от возмущения элекфичеckoi о поля острова.

3.1.6 Качественная зависимость возмущенного бук ipeu чока от поперечной вязкости ионов.

3.1.7 Модель НТМ, учитывающая поперечную вяликп» ионов.

3.2 Кинетический подход.

3.2.1 Постановка задачи в рамках кинетического подхода

3.2.2 Нахождение кинетического выражения для hoihioi о вклада в бутстреп юк и вычисление1 кинетическою "бутстреп-драйва"

3.3 Обсуждение результатов.

Диссертция посвящена развитию теории неоклассических шриш мод, НТМ, в 'юкамаках.

Важность исследования реак i оров-т окамаков ж на из кно, чю реакторы эюго гипа являются одним из наиболее перспективных пшов iep-моядериых установок, применяемых для создания и исследования высокотемпературной плазмы.

Анализ энергетического баланса показывает, чю реализация энергетически выгодного термоядерной) рсакчора на основе токамака возможна лишь при достаточно большом отношении давления плазмы к давлению магнитного поля (параметр /?). Актуальное п> исследования НТМ ясна из того, что они ограничивают предельно досшжимое дав нчше плазм1>1 (параметр /3) в токамаке и тем самым являюich серьезным препятствием на пути к осуществлению управляемою 1ермоядерною син-1еза в установках типа ITER (International Thermonuclear Experimental Reactor) [1].

Впервые магнитные острова наблюдались на упановке TFTH [2]. В дальнейшем на многих установках тина токамак бы ю показано, чю при низких час ютах столкновений предельно досчижи мое значение параметра (5, определяемое возбуждением НТМ, существенно меньше, чем предел, предсказываемый идеальной МГД.

В настоящее время существует несколько пороювых моделей НТМ, т.е. моделей, позволяющих предсказывать порог возбуждения но параметру /1 Одно из основных направлений теоретичес koi о описания > помянуiого выше порога представляют собой lpaiicnopnibie лороювые модели, описывающие влияние процессов переноса на динамику HTM г [л н>-нсйшему развитию эюго направления посвящена диссертация.

Прежде чем излагать конкретное содержание работы, дадим об юр предшествующих исследований по НТМ и сформулируем её це ш и структуру.

1. Первоначальное развитие пороговых моделей НТМ

Прежде всего отметим работу [3], в которой, в частости, была сформулирована первоначальная версия уравнения эволюции неу( юйчивосчи тиринг моды

1) dt 4 ' [ 4 называемого уравнением Разерфорда. Здесь w полуширина шринг моды, А' — стандартный параметр сшивки теории шринг мод [4], определяемый профилем равновесного продольного юка. Знак пропорциональное! и означает, что правая часть ур. (1) должна быть домно/кена на положительный коэффициент, который може1 быть найден в [3]. В рамках подхода [3,4] из ур. (1) следует, что рост тиринг моды можно подавлять, создавая "благоприятный" профиль равновесного продольною юка, i.e. такой, при котором

Д' < 0. (2)

Далее мы будем всюду считать, чю неравенство (2) удовлеторено.

Дальнейшее развитие теоретических исследований тиринг' моды в работах [5,6] (см. также работу [7], явившуюся иродо 1жением [5]) иоказа-лоо, что рост тиринг моды возможен даже при благоприятном профиле равновесного тока, А' < 0, если учесть неоклассический -)ффек1 буг-стреп юка. Тем самым [5,7] сформулировали первоначальную теорию неоклассических тиринг мод (НТМ). Эю заключение4 подтвердите ь жс-перименгами на установке TFTR [2].

Согласно [5,6], качественно, вклад бутстреп юка, Д&4, оказался дестабилизирующим (так называемый "бутстреп-драйв"'), Д^ > 0, и определяется выражением Аь3 = [ЗрСь/ги, где fip — по юидальное беи на резонансной магии i ной поверхности, Q, — некоюрая коне мша Таким образом, авторы рабог [5,6] пришли к следующей версии 0606111(411101 о уравнения Разерфорда dw А' ррСъ ~----. о) dt 4 w w

Видно, что теория [5,6] позволяег получигь выражение для максимально возможной полуширины острова как функцию полоидального 6eia: wmax = 4ftpCb/(-A').

Помимо упомянутой выше возможное i и роста IITM при благоприятном профиле равновесного продольною тока, эксперименыльные данные свидетельствовали о том, чю сущес1вуег некоюрый порог возбуждения IITM по парамефу (3, при превышении коюрого происходиi нарастание НТМ. Указанная же выше теория не позво шла вычисли п> пороговое (критическое) значение параметра [5Р. Из )юго вы i екала необходимость разработки более полной теории НТМ, предсказывающей наличие критического (Зр.

Наряду с эффектом бутстреп тока, в теорию магнитных оировов (нелинейная стадия эволюции НТМ) был "инкорпорирован" г)ффек1 поляризационного тока, что было сделано в работх Смолякова [8,9]. При этом рассматривались вращающиеся острова. В ука ынных рабоых было использовано приближение плоской геометрии с учёюм диамагшпных дрейфовых эффектов. В результате автор рабог [8.9] получил следующую версию обобщенного уравнения Разерфорда dw Л' л т+л» (4) где величина Ар характеризует вклад поляризационного тока и с ючно-стыо до положительного множителя означает Ар ~ -1 /w{ < 0. Таким образом, в рамках указанных выше предположений pa6oi |8, 9] поляризационный ток оказался стабилизирующим. Такой же результат был получен в работе [10].

Следующим важным шагом в развшии теории магнитных о(1ровов явилась работа [11]. В эюй работе было произведено обьединение \помянутых выше направлений исследования влияния 6yirrpen- и по 1яри-зационного токов на эволюцию НТМ. Причём, в oi шчие 01 pa6oi [8,9], испол1> ювавших приближение плоской геометрии, в [11] был нрои шедён неоклассический расчёт вклада поляризационного нжа в уравнение Ра-зерфорда для режима бананов с относительно большой час loioii с юлк-новений. При эюм оказалось, чгю, в отличие от случая плоской геометрии, поляризационный ток является дестабилизирующим. Таким образом, аналогично [5-7], теория, развитая в работе [11]. позволяла по i\ чшь максимально возможную ширину острова, но не пошоляла вычислигь порог возбуждения НТМ по параметру

Пороговая модель поляризационного тока

Одна и? первых пороговых моделей НТМ описана в рабою [12]. В ной работе, как и в [11], рассматривался эффект поляри мционнот тока в режиме бананов, однако, в отличие от [11], где была рассмотрена об iaciь этого режима с относительно большой частотой столкновений, в [12] рассматривался случай редких столкновений. В резулыагс авторы [12] пришли к выводу, аналогичному [8-10], то есть к заключению, чю по гяри-зационный ток является стабилизирующим Ар = —iipCp/w6 < 0. Результаты работ [5-7,12] были обобщены в [13], в резулыаге чего авторы [13] пришли к следующей версии обобщённот о уравнения Разерфорда

Важным следствием рассматриваемой модели явилось указание на сущесчвование порога возбуждения НТМ oJ/2C1/2

В связи с этим уравнение (5) было названо пороговой моделью похяри-зационного тока [1].

Значение давления плазмы, соотвеютвующее порогу (6), оказл юсь меньше предельного значения давления, предсказываемою идеальной МГД, то есть следующие из работы [13] условия ( ыбильнос in оказались более жёсткими, чем соо1ве1ствующие условия по Тройону [14]. Более юго, авторы работы [13] заключили, что экс перимены шные данные, полученные на установках ASDEX Upgrade, COMPASS-I) и DIII-D, успешно описываются их моделью. В эюм контекск1 исследования ПТМ стали считаться более важными, чем исследования идеальной стабильности для изучения предела но параметру бета в юкамаке-реакторе.

Отметим также, чю на начальной стадии своею развишя порою-вая модель поляризационного тока содержала в себе некоюрые cnoj)Hbie момешы, касающиеся в частности вычисления час юты вращения острова и профиля скорости плазмы вблизи сепаратрисы острова. Однако в настоящей работе мы не будем касаться Э1их вопросов. Их подробное описание может быть найдено в [15].

Первоначальная транспортная пороговая модель НТМ

В первоначальной работе Фитцпатрика но соответсi вующей проблематике [16] предполагалось, что "бутстреп-драйв" определяйся мекфонной компонентой плазмы. Эю предположение являек-я резонным в случае плазмы, температура электронов ко юрой велика по сравнению с ie\nie-ратурой ионов (плазма с горячими электронами). При лом рассмафива-лась конкуренция между поперечной и продольной юплоироводнос 1ыо электронов в рамках столкновптельной гидродинамики Брагинскою [17]. Транспортную пороговую модель НТМ, учитывающую лишь указанный конкурирующий процесс ("механизм"), можно назван» "моде п>ю Фшц-патрика", "электронной стандартной транспортной моделью" или, для просплы, "сюлкновшельной моделью". В рамках ыкой модели >но по-ция машитного осчрова описываек-я следующим уравнением dw д; ppcbw dt ~ 4 + 1 j где W()re ~ (xie/xile)1^4 ~ критическая ширина осчрова, хи и \|< коэффициенты поперечной и продольной теплопроводной и -э leKiponoB, а индекс Те у Wc учитывает, что речь идет о процессах, определяющих возмущенную температуру электронов.

В работе [16] отмечалось также, что предположение о сто пшовшель-ном характере продольной теплопроводности не удов 1егворяекя при не слишком малой ie\nieparype электронов, поскольку при эюм их д шна свободного пробега оказывается большой по сравнению с их "протечной длиной" VTe/Ls, где Vfe — тепловая скорость элек фонов, Ьь — д шна шира. При этом, согласно [16], в качестве процесса, конкурирующею с поперечной электронной теплопроводное хью, вмесчо продольной нмию-проводности следует брать так называемую "бессюткновительную продольную конвекцию" электронов. Эта идея [16] была подхвачена исч к'до-вателями, проводившими эксперименты на установке COMPASS-I) [18] (см. также [15[). В результате было сформулировано преде ывление о транспортной пороговой модели НТМ, которую можно назван^ "моделью Фипщатрика-Гейтса", "электронной конвекгивно-транстюрпюи моделью" или, для простоты, "конвективной моделью" В рамках -мои модели критическая ширина острова Wc имеет функциональную зависимость вида WC)Tc ~ хТс

2. Экспериментальные исследования НТМ

Сущесч вование НТМ было показано во многочисленных экснеримешах. В таблице 1 указаны установки, на которых были зафиксированы НТМ.

Установка Местоположение Ключевые персонь

TFTR Princeton Chang

ASDEX Upgrade Garching Maraschek, Zhorn

D 111-13 San Diego La IIaye

COMPASS-D Culham Gates

JET Culham Buttery

JT-60 и Naka Ozeki, Isayama

TEXTOR-94 Julich Koslowski

TCV Lausanne Reinmerdes

Т-10 Курчатовский институт Кислов

Эксперименты на указанных усхановках показа ш, что IITM имеют порог возбуждения по параметру представляющему собой о i ношение давления плазмы к давлению магнитного поля. В качестве примера жс-перименов, указывающих на эют порог, можно обрлхиться к резулыа-там, помученным на установках TFTR и ASDEX Upgiade. Можно видсчь [2], что, несмотря на постоянный нагрев плазмы, в некоюрый момент времени рост параметра /3 (давления плазмы) замедляется, а зак'м и вовсе прекращается. Возможная причина прекращения этою рос ы ык-же может быть видна из следующего: момент замед 1ения рос ia дав кчшя плазмы совпадает с моментом появления МГД активности (ПТМ) в плазме токамака. Из графика эволюции простиля элекфонной темпера 1\ры можно видеть, чю ирофиль температуры уплощасмся, свидсчельсчвуя о появлении магнитного острова.

3. Современные теоретические исследования НТМ

Первоначальное представление об эффекте "бессш жновше п.ной продольной конвекции" было интуитивным [16,18,19] Затем в [20] было развию кине1ическое описание данного эффекта. Эк> описание ос новы-валось на дрейфовом кинетическом уравнении вида v„/ - хМ = о, (8) где х± ~~ коэффициент поперечного переноса, х радиальное (склонение о г сингулярной поверхнос1и, v — скорое ib частицы, индекс | — обозначает проекцию на суммарное магнитное по ie, / — функция распределения часгиц. В резулыате был найден модельный профиль юм-пературы для случая конвективной модели.

В дальнейшем в рабою [21] было разъяснено, чю для гидродинамическою описания "бессголкновительной продольной конвекции" необходимо учитывать бессюлкновительный продольный поток тепла (см. подробнее подраздел 1.1.2) эд = у fv^v2fdv, где М — масса чаешцы, а функция / удовлетворяет дрейфовому кинетическому уравнению (8), го есть использовать вместо гидродинамики Брагинского [17|, исио п/ю-вавшейся в [22], более общее описание плазмы, например гидродинамику типа Грзда (см. подробнее [21]). В результат в рабою [21] было пол\ чено уравнение Разерфорда для конвективной транспорпюй модеш, аналогичное (7) с Wt вида W(itp ~ Х'УД качеемвенно подтверждающее результат рабо!Ы [22].

В работах [16,18,23] считалось, что острова являются невращающи-мися, и = 0, где и — частота вращения островов. Исследование транспортных пороговых моделей вращающихся НТМ, ш ф О, было начаю в работе [22]. Авторы этой работы исходили из уравнения теплопроводности вида dT 2ГТ t(\\ no^ = --V.q, (9) где q = — % (хц^ц + Х±^±) Т, щ - равновесная плотное п> плазмы, d/dt = d/dt + V- V,V — скорость плазмы, Vjj и Vl — cooiвек iпенно продольный и поперечный (по отношению к суммарному магнипюму полю) градиенты, хц и х± соответственно коэффициенты продольной и поперечной теплопроводностей. Уравнение (9) отличается от исходною уравнения работы Фитцпатрика [16] отличной от нуля проп зводной по времени, что отражает факт вращения островов.

При этом поперечный перенос ассоциировался с поперечной юилопроводное i ыо. Является ли эга теплопроводность элеыронной или ионной — этот вопрос не конкретизировался, хотя при анл ш к- физичеч ки\ с тед-сIвий, вытекающих из этой модели, отмечалось, чю -эта теп юпровод-ность являеюя ионной. В качестве эффекта, конкурирующею с поперечным переносом, рассматривался "вращательный перенос" тепла, характеризуемый членом с временной производной уравнения теплопроводности. Соответствующая модель была названа "враща1ельно-транспор1 ной пороговой моделью". В рамках этой модели также по 1учалось уравнение эволюции вида (7), а функциональная зависимость \V( оказалась с кукующей

Затем в [24] было разъяснено, что модель [22[ относится к 1лк называемым "сверхзвуковым НТМ", т.е. к таким, коюрые вращаюкя с час ю-1ами и большими, чем характерная частота звуковых волн, wj, = rjc (jj, и > где cs — скоростъ звука, k^ff — характерное ("эффективное") продольное волновое число. В связи с этим в [24] было предложено называть "вращателыю-транспортную модель" работы [22] "сверхзвуковой транспортной пороговой моделью". Ниже для прос юты мы будс^м называть её также "вращательной моделью". При меньших час ioiax вращения острова, uj < ил,, доминирующим эффектом, конкурирующим с поперечным транспортом, является перенос тепла, описываемый членом с продочьным градиентом продольной скорости птл?мы Vy в уравнении теплопроводности

Это порождает еще одну разновидность транспортных пороювых моделей НТМ, которая была названа в [24] "дозвуковой транспортной пороговой моделью". В свою очередь, согласно уравнению продольною движения плазмы, продольная скорость плазмы Vjj определяется балансом между продольной инерцией плазмы и продольным градиентом длвлеwc~(x±Ml/2.

10)

11) ния пла?мы

РвЩ/dt = -n„V|,T. (12)

Поэюму при о; < us в задаче об ослаблении бутстреп тока ежазываемся "задействованной" продольная инерция плазмы (см. подробнее1 подра $дел 1.1.2). В соо!ветствии с этим "дозвуковая модель" может бьпь патана "инерционной пороговой моделью". Для проем о ш мы будем называть её также "инерционной моделью". Согласно [24], в рамках ной модели получается функциональная зависимость

Wc~(ujX±)l/i. (13)

Кроме того, в [24] оценивались условия, при коюрых должны ш поль-зоватьея инерционная или врапциельная модели. IIj)ii этом учи шва юсь, чю минимальным значением ширины магнитного о< 1рова Wmtn явчяегся величина порядка ши!>ины "ионного банана" ръ ~ pq/c1^2, Wrnm ~ pin где р — ларморовский радиус ионов, q — коэффициеш sanaca, с — обр.и ное аспектное отношение, и что характерным значением часкиы вращения острова является дрейфовая частот w*. Тогда, согласно [24], дозвуковая модель должна применяться при описании НТМ с

W/Wmm > Г1/2, (14) а сверхзвуковая — при

1 <W/Wmin<e-V'2. (15)

Из контекста ясно, что дозвуковая модель должна ассоциирования с "ионным каналом". В значительной степени то же касаемся и вращательной модели, хотя не исключено, что она можем иметь oiношение и к "электронному каналу". Конвективная же модель должна прежде1 веего ассоциироваться с "электронным каналом". Может ли она имемь ей ношение к "ионному каналу", — эют вопрос пока не раесматривате-я.

К какому из указанных каналов имеем' отношение1 емолкповше п,ная модель, в настоящее время остается неясным. Как епмечалось выпи1, при первоначальном анализе этой модели, произведенном в [16], предполагалось, что она характеризует "электронный канал". Однако, согласно вышесказанному, она в этом случае "неконкурентоспособна" по оiношению к конвективной модели [16,18]. Эю обсчоятельс пюучшываекя при интерпретации экспериментальных данных но НТМ в плазме с юрячи-ми электронами [18,19,25,26]. В [24] обсуждался вопрос о применимости стоткновшельной модели для описания "ионною канала" "бутс iреи-драйва" при и ф 0. При эюм отмечалось, что в ном случае аксальным являеюя выяснение относительной роли указанной модечи и инерционной модели. Согласно [24], инерционная модель более важна, чем сюлкновительная модель при условии, что инерционный перенос сильнее переноса обусловленного продольной теплопроводностью. Эю \сло-вие означает

С друюй стороны, согласно [24], при конечных ш имеет мес ю оценка где vteff — эффективная частота ионных столкновений. Из (17) вы i екает, что в рамках столкновительной гидродинамики, zv/y > М, условие (16) следует считать выполненным. Эю означает, чю столкновию п>ная модель неприменима для описания "ионного канала" ''бутстреп-драйва".

Таким образом, столкновительная модель неприменима для описания "ионною канала" "буютреп-драйва" НТМ и вряд ли применима в с 1учае "электронного канала". Тем не менее ее анализ преде гавлясмся важным но крайней мере по двум причинам. Во-первых, она являекя единс iвенной из всех, которая ранее анализировалась численно. В зюм смысле она до некоторой С1епени являекя "эталонной": то пжо с нечо и можно сопоставлять аналитические расчеты. Во-вторых, "удельный вес" современных работ по транспортным моделям, имеющим дело с эюй моделью,

16) teff + М

17) являем (я доминирующим. Поэюму игнорирование1 ной модели в пае ю-ящее время представляется нецелесообразным.

Как отмечалось ранее, точное решение уравнения теплопроводное!и было найдено лишь в рабсме [22], описывающей вращательную модель. Для осгальных же трёх моделей в работах [16,21,24] были найдены шшь модельные решения. Позднее в рабеме [27], резулыагы ко юрой суммированы в главе I диссертации, был установлен toi факт, что и для фёх последних моделей возможно получение точных аналитических решений уравнений теплопроводности, соотве!С1вующих каждой модем и.

Перечисленные выше четыре модели можно назвать "одноканатьиы-ми" в том смысле, что в них учитывается вклад в *'б\ ic треп-драйв" лишь от градиента температуры электронов. При более общей поечановке задачи следует иметь дело с "трехканальными" моделями, т.е. такими, в которых учитывается "бутстреп-драйв", обусловленный градиеными н>м-нературы электронов и ионов, а ткже градиенюм плотное ш платы. Например в работе [28] было показано, что при слабом поперечном переносе бутстреп ток определяется градиентами ионной и электронной темпераiyp и градиентом плотности плазмы где Во — полоидальное магии пюе поле при г = rs, s — шир, пц плотность плазмы, Тп Тг, — cooi веi сi венно, температуры пек фонов и ионов, штрих — производная по радиусу, "крышка" обозначав во?му-щение. Первым шагом в разработке "трехканальных" моделей яв гяегся работа [23]. Кроме того, важной в рассматриваемом контексче являечея работа [29], в которой было разъяснено, что величина Д^, харакюризу-ющая '"бутстреп-драйв", должна иметь следующую с груктуру

То, + То,) ^ + 0.40п„^- - ().17п0^ , (18) дТ( дх дх а=пе,те,т, где "А" означает ''А-й канал", W

Аь°>а ~ ah4'Aw2 + W*' (20)

Ubs,а ~ некоторые численные коэффициенты, W,i,a ~~ некоюрые эффек-швные критические ширины острова, с точностью до численных ко-эф-фициешов совпадающие с критическими ширинами д in случаев столкновительной и конвективной моделей. Суммирование но А в (19) означает, что за ослабление "бупчреп-драйва" Moryi быть ошчсшенны Iри разновидности аномальною переноса: аномальная поперечная диффузия (А = пс), и аномальные поперечные теплопроводности ) !ек фонов (А = Т() и ионов (А = Тг).

Опюсительно каждой из чеилрёх обсуждаемых моделей можно сказать, чю каждая из них являе!ся "моделью одного механизма" (''single-mechanism model") в том смысле, что они основываю 1ся на учен» лишь какого-либо одного конкурирующего процесса ("механизма") усыновления профиля возмущенной температуры. Поэтому, вообще говоря, к ним следусм относиться как к фрагментам более сложных "одноканальных моделей".

Модель Фитцпатрика [16] стала "встраиваться" в более общие1 (т.е. в так называемые "обобщенные") модели [29,30], учшывающие -эффект поляризационного тока [11,12,15] и эффект Mai шиной ямы ()ффект Глассера-Грина-Джонсона) [31], в качесi ве "канала", харакп'ри зующею всю плазму в целом, т.е. в качестве некого "общепла змеиного кана ia".

В указанном виде модель Фитцпатрика [16] использовалась дня ин-терпретции экспериментальных данных и в "прогнозирующих" це 1ях в большом числе работ (см. напр., [30,32-35]). Эта же модель послужила 01 нравным пунктом для последующего развития более сложных пороговых моделей, учитывающих влияние поперечного переноса на эффект магнишой ямы [36,37] и эффекшвное увеличение поперечной теплопроводности, обусловленное внешними винтовыми потями [38].

Очевидно, чю "общеплазменное" применение модели Фшцпсирика можно было бы считать до определенной степени оправданным, если бы роль "общеплазменного канала" играл канал электронной юплопро-водност. Однако, во многих работах и, в часпкк ш, в рабенах i рупп, ориеншрующихся на приложения теории к экспериментам на усчанов-ках ASDEX-U [34] и DIII-D [35] предполагалось, чю xeMnepaiypa ионов не менее существенна, чем температура электронов I loo i ому в указанных работах фактически делалось предположение1, чю "двухканальные" процессы могут быть описаны в терминах "одноканальных" с исио п,зо-ванием выражения для Д^ вида [ср. с (19), (20)] ab3w* + w*' (21)

Иначе юворя, фактически предполагалось, что вместо выражений in-па wcf/\ ~ (х±,а/хгДе а = (е7г)) можно исиользовап» выражение типа Wc ~ (xi/X||)1/4) ГДе Xi и Х|| — коэффициенты поперечной и продольной теплопроводности плазмы, означающие1 \ч = max(x±,, vi2) и Х|| = тах(х||г,хцг) • Однако, как правило, max (x±f, Л 1г) = Yin max (х (,Х||г) = Х\\е • Поэтому, фактически,

Wc~(Xll/X{le)l/\ (22)

Формулу (22) можно было бы считать оправданной в случае досточно сильного теплообмена между электронами и ионами. Тогда можно использовать приближение единой (общей) темпера 1уры плазмы и путем сложения элекхронного и ионного уравнений юилопроводносш получить единое уравнение теплопроводное!и. В экспериментальных же условиях теплообмен является слабым. Поэтому соответствующие1 "общеплазменные" модели следует рассматривать как не вполне1 адекватные.

Согласно предыдущему изложению, устойчивоеп> НТМ определяемся их "б> 1 стреп-драйвом" [5,7] и воздействием на них ряда друшх оффек

•iов, в том числе эффекта магшпной ямы (эффекта криви зны магии того поля) [27,31]. Работа Фитцпагрика [16] стимулировала исследование проблемы о том, в какой мере сильный поперечный перенос ослабляет влияние магнитной ямы на НТМ. Первоначальное исследование *юй проблемы было интуитивным [29]. При этом в [29] бы ю выдвинуто предположение, что указанное ослабление происходит но таком\ же закону, как и ослабление "бутстреп-драйва". Это предположение было сформулировано в [29] в терминах множителя hSAW) = W2/{W2 + WlGGJ), (23) который должен появляться при члене с магнишоп ямой в обобщённом уравнении Разерфорда. Здесь W(i,aaj понимает< я как некоюрая величина порядка W(i, а нижний индекс "GGJ" означает "Glabber-Gieene-.lohnsoii", что представляет собой авторский коллектив рабопл [23], посвященной линейным резистивным модам. Мы добавили верхний индекс при h\ (1У), означающий первую букву первого автора рабопл [29]. В дальнейшем зависимость вида (23) использовалась в работах [39,40]. При этом в качестве W^ggj бралась эффективная критическая длина Wj, входящая в выражение для "бутстреп-драйва". Как ( 1едствие уравнения (23) возникла точка зрения, что относительная ро п> эффекюв мапшт-ной ямы и "бутстреп-драйва" не зависит от поперечного переноса. При этом, в частности, следовало, что при произвольном поперечном переносе и в стандартных условиях круглою токамака с большим аспекшым отношением эффект магнитной ямы должен быть заведомо слабее, чем "бутарен-драйв".

Однако, в [3G, 41[ отмечалось, что аномальный поперечный перенос [16,23] ослабляет влияние магнитной ямы на НТМ в меньшей степени, чем их "бутстреп-драйв". Это замечание подводит к идее о том, что при достаточно сильном поперечном переносе эффект магнитной ямы может пересилить "буютреп-драйв" и тем самым полностью стабитизировать

НТМ. Исследование возможное in реализации эюп идеи преде ывшег собой ещё один предмет насюящей раб()1Ы. Исследуемый эффеча мы называем стабилизирующим "компаунд-эффекюм" (''compound suppic^sion effect").

Важность отмеченного выше замечания работ [30,41] сос ют в юм, что в отличие от предположения [29], из них следовало, что при сильном поперечном переносе эффект магнитной ямы зависш от И'/ как W/Wrf. Поэтому при достаточно большом отношении W(i/W он может превзойти "бутстреп-драйв" НТМ. Эю и обуеловтивает стабилизирующий "компаунд-эффект".

К выводу о том, что с ростом поперечного переноса эффект магшпной ямы должен ослабляйся не сюль сильно, как "буи фен-драйв", можно прийти без каких-либо вычислений, если принять во внимание1 следующие два обстоятельства, вытекающие из предшесхвующих исс к'дований но НТМ. Во-первых, согласно [16,23], возмущённое давление плазмы при сильном поперечном переносе является осциллирующей функцией циклической переменной островов. Во-вторых, "букчреп-драйв" определяемся усреднением бутстреп тока по этой переменной [16,23], тогда как эффек! магнитной ямы связан с осциллирующей частью возмущенного давления плазмы (см., напр., [27,42]). Кроме тою, следует учес п., что усреднение осциллирующей функции по магншной иоверхнос ш ос фова приводит к дополнительной малое!и порядка W/\\\ Тогда можно предсказать, что, поскольку ослабление "буютреп-драйва" харамер!п\егся отношением (W/Wс) , эффект магнитной ямы должен ослабтяшя как W/Wc. Этот качественный результат и был получен в [36,41].

Работа [41] была посвящена анализу качественной зависимости эффекта магнитной ямы от поперечного переноса. В силичие от [11], в рабою [36] интересующий нас эффект анализировался количес ibchho Её главный результат может быть выражен в терминах парамечра А'уу, заменяющего собой стандартный параметр линейнои кюрии шринг мод

А' [4]. При эюм в [36] было получено для Д^-у выражение вида

Д'е// = (Д'р//)ых; = ДЧ 2VV/2Dn/Wd. (24)

Здесь Оц — "резисшвный перес тновочный парамечр", введённый в [43], а верхний индекс "LLG" означает первые буквы фамилий авшров [36]. Приведенный резулыат [36] был повторён в [37].

Из сказанного о работах [36,37] можно было бы сделать вывод, что проблема влияния аномального поперечного переноса на эффект Mai ниг-ной ямы полностью исследована. Между тем, согласно ска энному выше, счолкновшельный механизм, фак1ически рас < моiреннып в [30.37], не является единственным механизмом установления профи пя венму-щения температуры. Кроме того, согласно [27], эпп механизм имечч в основном иллюстративный характер и вряд ли может быть практически реализован. Выяснению того, к каким выражениям для Д'уу приводят конвективный, вращательный и инерционный мехапи шы была нос вяще-на работа [44], резулыаты которой представлены в ыаве II диссерыции.

Как отмечалось в [20,45], указанные выше "трехканальные" модели, харак 1еризуемые выражениями для типа (19), (20), не являются наиболее общими транспортными пороговыми моделями. В рабсиах [20,45] было показано, что исходное выражение для возмущенного б> icipen тока, определяемое продольной вязкостью электронов, своди и я к с\мме вкладов ог градиентов температуры электронов и ионов и плеч носги плазмы лишь в пренебрежении поперечной вязкое п>ю ионов. При конечной же поперечной вязкосш ионов обнаруживаемся допо пнпельное семейемво более общих транспортных моделей, обсуждаемых в работах [20,45], которые можно назвать "четырёхканальными" (см. подробнее ниже). При этом роль "четвёртого канала" играет так называемый "Е-канал", характеризующий вклад в "бутстреп-драйв" возмущенного элекфического поля острова. В работах [20,45] бы ю показано, чю, в отличие от устоявшегося мнения, бутстреп ток может не то п»ко дес iaбилизировать магнитные острова, но и стабилизировать оечрова, вращающиеся в направлении ионного диамагнитного дрейфа при на шчии аномальной поперечной ионной вязкое iи. Однако, в я их paooiax была допущена ошибка в знаке перед вязкостным вкладом в уравнение 1\иер-форда, 1дк чч о в действительности при аномальной поперечной вя шхти бутстреп ток оказывает стабилизирующее влияние на острова, вращающиеся в направлении диамагнипюго дрейфа элек фонов и дее мби ш пирующее на острова, вращающиеся в обратном направлении Укл данное замечание учтено в диссертации. Результаты pa6oi [20,45] суммированы в главе III диссертации.

4. Цель диссертации

Развитие TpaiiciiopiHbix пороговых моделей неок 1ассических тиринг мод, с целью построения как можно более общих ыких моделей, учи-1ывающих градиенты температур ионов и электронов, аномл п>н>ю поперечную ионную вязкое!ь и рассматривающих ра мичные мехашпмы установления профилей температуры.

5. Новизна работы

Большинство результатов диссертации получено впервые. Найдены i очные аналитические решения уравнений теплопроводности для столкно-вительного [16], конвективного [21], вращательной) [22] и инерционного [24] механизмов установления профиля темпера 1уры. Получено уравнение эволюции острова для каждого из механизмов. Построены "двух-канальные" транспортные модели НТМ, учитывающие аномальную поперечную теплопроводность электронов и ионов. Проанализировано влияние аномального поперечного переноса на вклад м<п нитной ямы в \ равнение Разерфорда. Построена "двухканальная модеть" эффекы Mai нитной ямы для четырёх указанных выше механизмов. Исследован (1аби-лизирующий "компаунд эффект", являющийся следе 1вием тою, чю ciaбилизирующий вклад магнитной ямы в уравнение Разерфорда в ( 1ед-ствие аномального поперечною переноса ослабляекя в меньшей (чепени по сравнению с дестабилизирующим вкладом в но уравнение 6} к ipen юка, и при достаточно сильном поперечном переносе вклад Mai шиной ямы превосходит вклад бута реи тока. Получен кршерий подав ичшя НТМ (1абилизирующим "компаунд эффектом". Проанализировано в ш-яние аномальной поперечной ионной вязкости на вклад бук iреп юка в уравнение Разерфорда. Установлено, что Э1а вязкое п> обусловливав существование "Е'-канала" бутстреи тока. Показано, чю знак вязкое того вклада буютреп тока в уравнение Разерфорда зависит от илирав ичшя вращения магнитного острова, и при достаточно большой поперечной ионной вязкоеIи бутстреи ток оказывается стабили шрующим дтя ос ipo-вов, вращающихся в направлении электронного дилмагни пюю дрейфа и дестабилизирующим в противном случае.

6. Научная и практическая ценность работы

В диссертации нолучены точные аналитические профили ie\inepaiyp для чешрёх конкурирующих с поперечным переносом меха ни змов. Кроме того получены более простые модельные выражения. Последние1 отличаю! ся от точных профилей лишь количественно, поэтому moi} i быть использованы в "качественных" теоретических исследованиях по Mai нит-ным ос фовам. В тоже время, пракшческую ценное п> нредс1лвт1яю1 iочные профили юмпературы, использование которых необходимо при нн-териреыции экспериментльных данных, для предсказания поведения НТМ в токамаках следующего поколения и при ичпфовании чис чен-иых кодов. Критерий подавления НТМ стабилизирующим "компаунд эффектом", полученный в главе II, указывает на возможность подав кчшя НТМ -л им эффектом, причём указанный критерий становикя еще'1 более блаюприяхным при наличии "шейпинга", а также1 при оперировании во второй зоне устойчивости идеальных баллонных мод. Кроме тою, в cooiвоi(Лвии с результатами главы III, возможно появление НТМ вязкостным вкладом бутстреп тока при организации вращения оирова в сторону электронного диамагнитною дрейфа.

7. Основные результаты, выносимые на защиту

1. Точные аналитические выражения для профтей темпорацры в случаях их установления при конкуренции поперечной теплопроводности с продольной теплопроводностью, продольной конвекцией, продольной инерцией и вращением НТМ.

2. "Двухканальные" транстюр1ные пороговые модели НТМ. учитывающие зависимость "бутстреп-драйва" от градиента юмперацры ионов и электронов, для различных механизмов установ юния профилей темпера 1уры.

3. Выражения, описывающие влияние аномальною поперечного переноса на эффект магнитной ямы для четырёх механизмов усыновления профилей температуры.

4. Критерий подавления НТМ стабилизирующим "компаунд-эффектом".

5. Формулировка представления о"четырёхкана п.ных" моде шх НТМ, подразумевающею зависимость "бу ютрен-драйва"' не то ibkooi традиционных каналов градиентов температуры и плопюсш, но и от возмущённого радиального электрическою поля острова ("£"-канал).

6. Обобщённое уравнение Разерфорда для эволюции ширины Mai ни гною острова с учётом аномальной поперечной ионной вя зкос in

7. Указание на возможность подавления НТМ вязкостной чаиью вктада бутстреи тока в уравнение Разерфорда. вращающихся в направлении электронного диамагншного дрейфа

8. Вопросы рассмотренные в диссертации

Заключение

Сформулируем основные результаты полученные в диссертации:

1. Рассмотрены четыре механизма установления профилей ieMiiepaiy-ры: стокновительный, конвективный, инерционный, вращательный. Д 1я каждого из этих механизмов получены i очные ана нпические решения уравнений теплопроводности. Показано, ч'то точные ]мчие-ния качественно совпадают с более простыми модельными решениями, также приведёнными в диссертации.

2. Сконструированы двухканалытые транспортные пороговые модели НТМ, учитывающие каналы градиентов ионной и электронной температур, для различных конкурирующих с поперечным переносом механизмов продольною переноса.

3. Проанализировано влияние аномальной поперечной 'тепчопроводно-сIи на эффект магнитной ямы для сюлкновительного, конвективною, вращательного и инерционного механизмов установтения профилей температуры. Указано на существование стабили шрующего "компаунд-эффект", обусловленного преобладанием при аномальном поперечном переносе стабилизирующего эффекта магииiной ямы над дестабилизирующим эффектом бутстреп тока.

4. Получен критерий подавления НТМ стабилизирующим "компаунд-эффектом".

5. Сформулировано представление о "четырёхканальныч' моделях НТМ, подразумевающее возможность зависимости '6yi<ipenдрайва" не только or традиционных каналов 1радиенюв кошера-туры и плотности, но и от возмущённого радпальнот злекфиче-ского поля острова. Новый "четвёртый" канал назван "Е-канатом" и обязан аномальной поперечной ионной вязкое in.

6. По 1учено обобщённое уравнение Разерфорда д 1я эволюции ширины магнитного острова при наличии аномальной поперечной ионной вя зкости.

7. Показано, чю традиционное представление о юм, чю бук-феи юк всегда является с})актором, дестабилизирующим НТМ, неверно для осIровов, вращающихся в направлении электронного диама! ни того дрейфа, при наличии аномальной поперечной ионной вя жости бутстреп ток является стабилизирующим.

Авюр выражает глубокую благодарность А.Б. Михайловскому за фактическое руководство предеiавленной работой. С.В. Коновалову и B.C. Цыпину за еенрудничеетво в исследованиях, составивших основу работы, а также участникам семинара Отдела Теории Плазмы ИЯС РНЦ "Курчаювский Институт" за полезные обсуждения некоторых вопросов, обсуждаемых в настоящей диссертации.

1. 1.ER Physics Expert Group on Disruptions, Plasma Control, and MUD, ITER Physics Basis Editors, Nucl. Fusion 39, 2251 (1999).

2. Z. Chang, et al., Phys. Rev. Lett. 74, 4663 (1995).

3. P. H. Rutherford, Phys. Fluids 16, 1903 (1973).

4. H. P. Furth, J. Killen, M.N. Rosenbluth, Phys. Fluids 6, 459 (1963).

5. W. X. Qu, J. D. Callen, Nonlinear Growth of a Single Neoclassical MI1D Tearing Mode in a Tokamak. UWPR855 Report of Univeisity of Wisconsin (1985).

6. J. D. Callen, et al., Plasma Physics and Controlled Fusion Research, vol 2 (Vienna: IAEA), 157 (1987).

7. R. Carrera, R. D. Hazeltine, M. Kotschenreuthei, Phys. Fluids 29, 899 (1986).

8. A. I. Smolyakov, Sov. J. Plasma Phys. 15, 667 (1989).

9. A. I. Smolyakov, Plasma Phys. Control. Fusion 35, 657 (1993).

10. M. Zabiego, X. Garbet, Phys. Plasmas 1, 1890 (1994).

11. Smolyakov A. I., Hirose A., Lazzaro E., et al., Phys. Plasmas 2. 1581 (1995).

12. H. R. Wilson, J. W. Connor, R. J. Hastie, and С. C. Ilegna, Phys. Plasmas 3, 248 (1996).

13. II. R. Wilson, M. Alexander, J. W. Connor, et al., Plasma Phys. Controlled Fusion 38, A149 (1996).

14. F. Troyon, et al., Plasma Phys. Control. Fusion 26, 209 (1984).

15. A. B. Mikhailovskii, Contrib. Plasma Phys. 43, 125-177 (2003).

16. R Fitzpatrick, Phys. Plasmas 2, 825 (1995).

17. С. И. Брагинский, Вопросы Теории Плазмы, под редакцией М. А. Леонтовича, т. 1, стр. 205 (1965).

18. D. A. Gates, В. Lloyd, A. W. Morris, et al., Nucl. Fusion 37, 1593 (1997).

19. D. A. Gates, B. Lloyd, A. W. Morris, et al., 1997 Fusion Energy 1996 vol 1 (Vienna: IAEA) p 715.

20. S. V. Konovalov, A. B. Mikhailovskii, M. S. Shiiokov, and V. S. Thjpin, Phys. Plasmas 9, 4596 (2002).

21. Mikhailovskii, A.B., Shirokov, M.S., Tsypin, Y.S., Konovalov, S.V., O/eki, Т., Takizuka, Т., Galvao, R.M.O., Nabcimento, I.C1 ,/ Physics of Plasmas. 2003. V. 10. p. 3790.

22. S. V. Konovalov, A. B. Mikhailovskii, M. S. Shirokov, and V. S. Tsypin, Plasma Phys. Control. Fusion 44, 579 (2002).

23. N. N. Gorelerikov, R. V. Budny, Z. Chang, et al., Phys. Plasmas 3, 3379 (1996).

24. A. B. Mikhailovskii, M. S. Shirokov, V. S. Tsypin, S. V. Konovalov, T. O/eki, T. Takizuka, R. M. O. Galvao, I. C. Nascimento, Phys. Plasmas 10, 3975 (2003).

25. R .1. La Haye, R. ,1. Buttery, S. Gunter, et al., Phys. Plasmas 7, 3349 (2000).

26. R Л. Buttery, M. Valovic, С. D. Warrick, and H. R. Wilson, Nucl. Fusion 41, 985 (2001).

27. А.Б. Михайловский, M.C. Широков, С.В. Коновалов, ВС. Цыпин, Фи зика плазмы 31, (2005)

28. В. N. Kuvshinov and А. В. Mikhailovskii, Plasma Phys. Rep. 24, 245 (1998).

29. О. Sauter, R. J. La Haye, Z. Chang, et al., Phys. Plasmas 4, 1654 (1997).

30. Zoliin H. // Phys. Plasmas. 1997. V. 4. P. 3433.

31. M. Kotschenreuther, R. D. Hazeltine, and P. Л. Morrison, Phys. Fluids 28, 294 (1985).

32. R. Л. La Haye, L. L. Lao, E. Л. Strait, and T. S Taylor, Nucl. Fusion 37, 397 (1997).

33. A. Isayama, Y. Kamada, T. Ozeki, and N. Isei, Plasma Phys. Control. Fusion 41, 35 (1999).

34. Gunter S., Gantenbein G., Gude A., et al. // Nucl. Fusion. 2003. V 43. P. 161.

35. Popov A.M., La Haye R.J., Liu Y.Q., et al. // Ph)s. Plasmas. 2002. V.9. P. 4205.

36. Lutjens H., Luciani J.F., Garbet X. // Phys. Plasmas. 2001. V. 8. P. 4267.

37. Lutjens H., Luciani J.F. // Phys. Plasmas. 2002. V. 9. P. 4837.

38. Q Yu, et al., Phys. Rev. Lett. 85, 2949 (2000).

39. R. Л. La Haye, O. Sauter, Nucl. Fusion 38, 987 (1998).

40. Reimerdes П., Goodman Т., Poehelon A., Sauter О. // X eoclassical tearing modes in TCV. Proc. 27th Enrop. Conf. on Controlled Fusion and Plasma Physics, Budapest 2000 Part 1 (Geneva; EPS) P. 2541 4243