Развитие вихревых методов расчета обтекания тел несжимаемыми невязким и вязким потоками тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

НИКОНОВ Валерий Владимирович

РАЗВИТИЕ ВИХРЕВЫХ МЕТОДОВ РАСЧЕТА ОБТЕКАНИЯ ТЕЛ НЕСЖИМАЕМЫМИ НЕВЯЗКИМ И ВЯЗКИМ ПОТОКАМИ

Специальность: 01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Самара 2007

□ОЗОБ4ЭЗВ

003064936

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева»

Научный руководитель: кандидат технических наук, профессор В.Г. Шахов

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой высшей математики Военно-воздушной инженерной академии им. проф. Н.Е. Жуковского Сетуха Алексей Викторович

доктор технических наук, профессор кафедры математического моделирования в механике Самарского государственного университета Клюев Николай Ильич

Ведущая организация: ГНП РКЦ «ЦСКБ-Прогресс»

Защита состоится 5 октября 2007 г. в 13 часов на заседании диссертационного совета Д 212.215.01 Самарского государственного азрокосмического университета по адресу: 443086, Московское шоссе 34, корп. За.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика С.П. Королева

Автореферат разослан 23 августа 2007 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

Шахов В. Г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Течение за шгохообтекаемыми телами за исключением очень малых скоростей практически всегда сопровождается отрывом потока. При рассмотрении задач о поперечном обтекании тел большого удлинения целесообразно от трехмерной постановки проблемы перейти к двумерной. Характер обтекания таких тел, особенно с гладким контуром, является очень сложным явлением. Например, обтекание кругового цилиндра с ростом числа Рейнольдса сопровождается кризисом сопротивления, обусловленного перестройкой и изменением ширины его аэродинамического следа. Данной проблеме посвящено много экспериментальных работ, в которых показано, что причина такого явления состоит в перемещении точек отрыва вниз по потоку при переходе пограничного слоя из ламинарной формы в турбулентную. С другой стороны, плохообтекаемые тела с угловыми точками на контуре практически не имеют кризиса сопротивления. Еще более сложные течения возникают при близком расположении друг к другу нескольких тел. Необходимость исследования таких явлений обусловлена наличием ряда практических приложений.

Первое связано с учетом ветровой нагрузки, действующей на элементы строительных и инженерных сооружений. При наличии у таких объектов острых кромок или углов набегающий поток может производить нестационарную знакопеременную нагрузку, амплитуда которой может в несколько раз превышать ее среднее значение, что может приводить к разрушению элементов и самой конструкции.

Второе приложение связано с определением боковой силы от оперения летательных аппаратов (ЛА), по которой судят об его эффективности. По результатам серии численных экспериментов о поперечном обтекании под различными углами атаки нескольких конфигураций оперения можно выбрать наиболее эффективное. При этом сокращаются затраты на этапе предварительного проектирования, а значит уменьшается стоимость изделия.

Первоначально в качестве метода исследования использовался метод дискретных вихрей (МДВ), в котором точки отрыва назначаются с привлечением внешних данных. Также применялся метод «вихрь в ячейке» (ВЯ), для которого был проведен раздельный и совместный расчет процессов диффузии и конвекции завихренности. В результате исследований выяснилось, что с помощью метода ВЯ не удается провести моделирование ламинарного пограничного слоя в широком диапазоне чисел Рейнольдса. Автором предложен и разработан метод расщепления завихренности (МРЗ), который устраняет этот недостаток метода ВЯ.

Целью работы является развитие вихревых методов для расчета обтекания тел несжимаемыми невязким и вязким потоками. Были сформулированы следующие задачи:

- разработка алгоритма поперечного обтекания одиночных и групп тел большого удлинения в рамках двумерного нестационарного метода МДВ;

- провести моделирование обтекания оперения летательного аппарата;

- разработка алгоритма поперечного обтекания одиночных тел большого удлинения в рамках двумерного нестационарного метода «вихрь в ячейке»;

- раздельное и совместное тестирование процессов диффузии и конвекции, а также граничных условий для завихренности; 1 . л

- разработка метода расщепления завихренности.

Научная новизна работы заключается в следующем.

Для метода дискретных вихрей не следует задавать отрыв потока на входе в канал, при моделировании обтекания групп тел, образующих узкие, сквозные каналы, что подтверждено сравнением с экспериментальными данными..

Сформулировано правило выбора шага по времени в схеме «донор-акцептор» (Д-А), применяемое для расчета диффузии, и определена константа для этого правила в методе «вихрь в ячейке» (ВЯ).

Предлагается новый метод прямого моделирования ламинарного пограничного слоя - метод расщепления завихренности (МРЗ). Для этого метода была разработана схема вычисления поля скорости, схема аппроксимации граничных условий и численная схема учета уравнения неразрывности в случае несжимаемой жидкости.

Практическая ценность. Модифицированный метод МДВ может быть использован при расчетах аэродинамической нагрузки, действующей ; на одиночные тела и группы тел большого удлинения в поперечном потоке (инженерные сооружения, оперение летательных аппаратов и т.д.). Программы расчета воздушных нагрузок на систему тел (два уголковых профиля) и оперения ЛА при произвольной их ориентации относительно скорости набегающего потока внедрены в ряде проектных организаций, что подтверждено соответствующими актами.

Правило для выбора шага по времени в методе «донор-акцептор» может применяться как для решения только диффузионных задач, так и для более сложных с участием других процессов.

Адаптированная схема интегрирования с разными шагами по времени может применяться для решения уравнений Навье-Стокса при любых числах Рейнольдса.

Разработанный метод расщепления завихренности может применяться при прямом численном моделировании ламинарных пограничных слоев в широком диапазоне чисел Рейнольдса.

Достоверность й обоснованность результатов обусловлена строгой математической постановкой рассматриваемых задач, корректностью используемых методов. Математическое моделирование исследуемых физических процессов проведено в рамках известных теорий и моделей. Достоверность численных результатов подтверждается сравнением с результатами расчетов, аналитическими решениями и экспериментальными данными других авторов.

Публикации и апробация работы. Основные результаты работы докладывались на международной молодежной конференции «XXV Гагаринские чтения» (Москва, 1999), на 2-ой Всероссийской научной конференции "Самолетостроение России: проблемы и перспективы", (Самара, 2000 г.), на 3-й Международной конференции молодых ученых и студентов "Актуальные

проблемы современной науки", (Самара, 2002 г.), на 11-м Всероссийском семинаре по управлению движением и навигации летательных аппаратов, (Самара, 2003 г.), на 1-м Международном форуме "Актуальные проблемы современной науки", (Самара, 2005 г.), на семинаре по гидродинамике в НИИ Механики МГУ (Москва, 2006 г.), на 2-м Международном форуме "Актуальные проблемы современной науки", (Самара, 2006 г.). По теме диссертационной работы имеется 11 публикаций.

Структура и объем работы. Диссертация общим объемом 157 страниц состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, приложений; основная часть содержит 114 страниц текста, 58 рисунков, 15 таблиц, 146 наименований источников литературы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, формулируются цели и задачи исследования, излагается краткое содержание диссертации, сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

В главе 1 диссертации на основе анализа литературных источников приводится обзор методов исследования отрывных и вязких течений, а также описание методов МДВ и ВЯ. Дается краткий обзор работ, посвященных применению аналитических методов в механике жидкости и газа, как точных, так и приближенных. В частности, рассматриваются такие решения, как поле скорости потенциального вихря и вихря Озеена, первая задача Стокса, задача о ламинарном пограничном слое на плоской пластине и о спутном течении за ней. Особенно отмечается роль решений, полученных аналитически, для верификации численных схем существующих и вновь разрабатываемых методов.

Описывается классификация методов решения задач механики жидкости: лагранжевые, эйлеровые и смешанные; бессеточные и сеточные; и т.п.

Особенное внимание уделяется нестационарному методу дискретных вихрей для двумерных задач аэродинамики, отмечаются его достоинства и недостатки.

Приводится классификация сеточных методов. Дается классификация численных методов по способу дискретизаци исходных уравнений Навье-Стокса. Рассматриваются методы: конечных разностей (МКР), конечных элементов, конечных объемов (МКО). В методах «частиц в ячейках» подходы, используемые в МКО, обобщаются на случай моделирования произвольной среды. Отмечается, что метод ВЯ, с одной стороны, относится к серии методов дробных шагов, а по пространственной дискретизации метод ВЯ относится к методам «частиц в ячейках». Отмечается, что решение численным сеточным методом зачастую зависит от используемой сетки.

В обзоре вихревых методов приводится краткая историческая справка о их развитии. Отмечается большой вклад отечественных исследователей С.М. Белоцерковского, М.И. Ниигга, А.С. Гиневского в становление и развитие метода дискретных вихрей. Зарубежные исследования по вихревым методам наиболее полно представлены в обзоре вихревых методов Т. Сарпкайи, а также в более позднем Г.-Х. Коте и П. Комотсакоса. Также следует упомянуть А. Леонарда, являющегося одним из наиболее крупных авторитетов в этой области.

В частности, указывается, что большое идейное влияние на автора предлагаемой диссертации оказали работы по методу «вихрь в ячейке» Н.В. Корнева и А.Е. Таранова. Приводится классификация вихревых методов: по использованию моделей турбулентности, по способу моделирования процесса конвекции, по схемам расчета поля скорости течения, по способам моделирования вязкой диффузии в свободном потоке и гго схемам учета граничных условий для завихренности.

Глава 2 посвящена модификации численной схемы метода дискретных вихрей и результатам моделирования течений за плохообтекаемыми телами. Приводится математическая постановка задачи моделирования течения за группой плохообтекаемых тел. В этом случае условие о постоянстве циркуляции на контуре тела и в его следе должно выполняться для каждого тела, входящего в группу. Описывается отличающийся от классического алгоритм процедуры объединения вихрей, позволяющий существенно экономить машинное время, приводится методика реализации условия неттроникновения вихрей через контур обтекаемого тела, а также величина расстояния от поверхности тела, на котором располагаются попавшие внутрь тела свободные вихри, определенная путем серии численных экспериментов.

Далее представляются результаты численного моделирования МДВ обтекания пары профилей уголкового сечения (рис. 1, таблица 1) в сравнении с экспериментальными данными. Получены картины вихревого следа и коэффициенты аэродинамических сил при различных углах набегающего потока. Для обеспечения хорошего соответствия численных результатов экспериментальным данным необходимо не задавать отрыв потока на входе в узкий канал, образованный уголками (таблица I).

1 •

!...... *

*

: 3 . ' " т

л* * .

о |

■

0.45Ь

Рис. 1. Расчетная схема обтекания пары уголков: о - присоединенный, • - свободный дискретный вихрь; * - контрольная точка; 1.. .6 - номера точек отрыва

А:

Таблица 1

Сравнение данных, полученных в расчете,

Угол атаки, град. СХаэ р ^уаэ Сха Суа СХа1 Суа1 Номера исключенных точек отрыва (только для СхаЬ Суа1)

0 1,60 0,00 1,56 0,11 1,67 0,03 2,5

45 0,99 -1,13 1,20 -1,08 1,09 -0,93 2,5

90 0,70 0,95 0,76 1,16 0,78 1,19 2,5

135 1,10 -0,39 1,69 0,04 1,25 -0,39 4

180 1,50 0,00 1,87 -0,01 1,63 0,00 4,3

Для расчета обтекания одного из возможных вариантов оперения ЛА, представляющего собой группу дужек в поперечном сечении (рис. 2), приводятся геометрическая постановка задачи, содержащая схему дискретизации, результаты расчетов обтекания оперения ЛА: картины вихревых пелен и коэффициенты аэродинамических сил, полученные в скоростной (рис. 3) и связанной с телом системах координат.

Рис. 2. Расчетная схема семейства дужек

10 20 30 40 50 60 70 а,град

Рис. 3. Зависимость коэффициентов аэродинамических сил от угла атаки набегающего потока в скоростной системе координат

■ Сха * Суа

В главе 3 рассматривается применение метода «вихрь в ячейке» для моделирования течений вязкой несжимаемой жидкости. Дается краткое описание метода, приводятся основные уравнения математической модели метода ВЯ, схема расщепления уравнения Навье-Стокса для завихренности и дается подробное описание дискретной численной схемы метода ВЯ (алгоритм метода, определение вихревой интенсивности на поверхности тела, расчет диффузии завихренности в свободном потоке и с поверхности обтекаемого тела, определение поля скорости и моделирование процесса конвекции жидких частиц, расчет аэрогидродинамических нагрузок).

Представлены результаты моделирования течения за круговым цилиндром методом «вихрь в ячейке» при числе Рейнольдса Яе = 9500. Расчет проводился на однородных сетках с различными размерами ячейки. Приводятся картины полей завихренности и коэффициент сопротивления цилиндра Сх в сравнении с результатами других авторов и экспериментальными данными. Лучшее соответствие экспериментальным данным по Сх наблюдается на сетке с более крупным шагом. При уменьшении шага сетки точность решения ухудшается. Для определения причин такого влияния размера сетки рассчитывались раздельно и совместно процессы диффузии и конвекции завихренности. Исследуется вопрос о соотношении между пространственным и временным разрешением при моделировании задачи диффузии завихренности в свободном потоке. Анализируется поведение интегралов функции распределения Гаусса, которые используются в методе «донор-акцептор» для расчета обмена завихренностью. Показывается, что при выборе шага по времени с помощью предлагаемого соотношения

д1 = к<|Ь2/у

интегралы будут зависеть только от константы ка. Здесь Ь — шаг сетки, V -коэффициент кинематической вязкости.

Проводится численное моделирование диффузии вихря Озеена, которое имеет точное аналитическое решение. После серии экспериментов для различных значений к<) для двух значений коэффициента кинематической вязкости и для двух размеров сетки были получены величины коэффициентов к/1" (таблица 2), которые обеспечивают наименьшую погрешность решения и зависят только от размеров «диффузионной молекулы» п^.

Таблица 2

Оптимальная величина параметра пространственно-временного разрешения

па каопт л*, 11 = 0.01, у=1.0"3

1 0.20 ... 0.21 0.020 ... 0.021

2 0.4 ... 0.5 0.04 ... 0.05

3 0.7... 0.8 0.07... 0.08

4 1.1 ... 1.2 0.11 ... 0.12

На примере перемещения экспоненциального вихря под действием набегающего потока производится тестирование процесса конвекции завихренности. Исследуется движение вихрей трех разных интенсивностей на сетках с двумя размерами ячейки. Отмечается, что ошибка этапа конвекции складывается из двух частей: ошибки метода численного интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) движения вихрей и ошибки от перераспределения их интенсивностей в ячейки сетки. Показано, что уменьшение шага по времени дальше некоторой величины не целесообразно из-за роста ошибки этапа конвекции, который связан с ростом числа операций перераспределения, хотя ошибка интегрирования ОДУ уменьшается. Кроме того оказывается, что шаг по времени для процесса диффузии может на несколько порядков превышать шаг для процесса конвекции д^.

Излагается применение метода Пуанкаре к моделированию процесса диффузии, дается математическое обоснование включения метода Пуанкаре в численную схему Д-А, используемую для расчета процесса диффузии. Заново переформулируются: условия выбора шага по времени для расчета процесса диффузии и схема метода Д-А, в которой появляется малый параметр. Модифицированная схема Д-А получила условное название «донор-акцептор с малым параметром» (Д-АМП) и она позволяет применять шаги по времени на один или несколько порядков меньшие, чем в обычной схеме Д-А. Проводится численное моделирование диффузии двумерного вихря Озеена. Анализируя полученные данные, делается вывод, что метод Д-АМП позволяет получать результаты с точностью достаточной для инженерных целей в широком диапазоне изменения шага по времени. Метод Д-А дает аналогичные результаты только для одного значения шага по времени, который назван «оптимальным».

Проводится совместное тестирование процессов диффузии и конвекции на примере задачи о перемещении под воздействием набегающего потока вихря Озеена для различных коэффициентов кинематической вязкости. Наряду с методом Д-АМП применяется метод интегрирования с разными шагами по времени (ИРШ) для процессов конвекции и диффузии. Сравнение численного и аналитического решений показало, что при стремлении шага по времени к нулю в методе «вихрь в ячейке» со схемой Д-А вязкая диффузия отсутствует, в то время как при применении Д-АМП или ИРШ решение стремится к точному. Численная схема метода Д-А накладывает жесткие ограничения на расчетную сетку, которые сложно выполнить при малых V.

На примере задачи Блазиуса производится совместная верификация моделирования процессов диффузии и конвекции, а также аппроксимации граничных условий для завихренности. Приводится математическая постановка задачи о продольном обтекании плоской пластины конечной длины в методе «вихрь в ячейке», сравниваются полученные результаты численного моделированга с решением задачи Блазиуса и результатами численного моделирования других авторов. Результаты расчета для числа Рейнольдса 11е=103 показывают, что наблюдается неплохое соответствие с решением Блазиуса в окрестности поверхности пластины для продольной компоненты скорости, хотя в верхней части пограничного слоя наблюдается больший

«разгон» потока (рис. 4а). Такое же поведение решения наблюдается и в работе Wu. Профиль скорости, полученный Ota, имеет хорошее согласование с решением Блазиуса в верхней части пограничного слоя, но имеет заметное отклонение около поверхности пластины. При Re = 10 3 результаты для схем Д-А и ИРШ совпадают, а для случая схемы Д-АМП наблюдается большее расхождение с решением Блазиуса для профиля продольной скорости. Профиль вертикальной скорости, полученный в настоящей работе, хорошо согласуется с результатами решения Блазиуса только для первого сечения вверх по потоку (рис. 46). Для последнего сечения наблюдается область с отрицательной поперечной скоростью, что качественно отличается от решения Блазиуса. Отмечается, что в работах других авторов профиль вертикальной компоненты скорости не приводится. Для чисел Рейнольдса Re = 102 и 104 согласование с решением Блазиуса сильно ухудшается. Измельчение расчетной сетки к положительному результату не приводит. В работах других авторов результаты численного моделирования для этих чисел Рейнольса не приводятся.

Л П

а) б)

Рис. 4 Профиль продольной и вертикальной скоростей на плоской пластине (Re = 103, Л = Atd = 0.021, t= 16.8, h = 0.01, Д-А);

-- профиль Блазиуса,_- Wu (хп = 0.5),

- Ota (хп = 0.9), настоящая работа: О - хп = 0.25, + - х„ = 0.5, □ - хп = 0.75, X - хп = 0.9.

Глава 4 посвящена разработке схемы расщепления завихренности для метода «вихрь в ячейке», описывается численная схема метода. Основная идея МРЗ состоит в раздельном рассмотрении членов, входящих в определение завихренности,

dv дй

ш = —---.

ох ду

Приводится численная схема расчета скорости при использовании МРЗ. Для определения скорости данный метод использует схему интегрирования вдоль координатных линий, при этом двумерная задача сводится к нескольким одномерным. Схема расчета процесса диффузии в методе расщепления

завихренности получается из метода Д-А, используемого отдельно для величин Л„ и Диу, где

Л„,(*„у,)= I / ^Му.

X; -Ь/2 угЬ/2 °У

У)+Ь/2

Л„(х„у,)= | /

х^Ь/2 угЬ/2

Компоненты скорости между ячейками могут быть найдены следующим образом:

иО^ + 0.5) = иа^-0.5) + Диу(1,])/Ьх, у(1 + 0.5, ]) = у(1 - 0.5,}) + (1, ]) / Ьу.

Диффузия в свободном потоке для схемы МРЗ рассчитывается с использованием метода Д-А аналогично ВЯ, однако диффузия для величин и Диу рассматривается отдельно.

Диффузия с поверхности обтекаемого тела определяется следующим образом:

А иу (Х1 > У ]) = и(У I >

Описывается моделирование процесса конвекции для МРЗ. В отличие от метода ВЯ частицы переносят вместо циркуляции две компоненты, ее составляющие И Диу.

Предлагается вертикальную компоненту скорости находить из уравнения неразрывности для несжимаемого течения. Тогда для ячеек, расположенных над пластиной, вертикальная компонента скорости определяется как

ч \ ' и \ ' 10-1 у

где для аппроксимации производных в правой части использовалась центральная конечно-разностная схема.

Формулируются основные этапы алгоритма метода МРЗ.

ет{

Гугъ/2Л

На примере задачи о бесконечной плоской пластине, внезапно приведенной в движение из состояния покоя (первая задача Стокса), проводится верификация численных схем методов ВЯ и МРЗ. Данное исследование позволяет протестировать совместно части алгоритмов методов ВЯ и МРЗ, отвечающих за диффузию скорости в свободном потоке и с поверхности тела. Описывается математическая постановка модельной задачи и дается ее аналитическое решение, рассматриваются особенности численного моделирования с помощью различных схем вычисления скорости в методах ВЯ и МРЗ. Приводятся результаты численного моделирования первой задачи Стокса с помощью упомянутых выше схем в сравнении с аналитическим решением. Расчеты проводились для двух размеров ячейки сетки. Результаты представлены для нескольких моментов времени. Сделаны выводы о точности и трудоемкости использованных численных схем. Далее даются математические и геометрические обоснования причины, по которой происходит искажение поля скорости сдвигового течения в вихревых методах.

Затем рассматривается моделирование продольного обтекания плоской пластины конечной длины. Проводится выбор параметров численного моделирования (размера ячейки сетки, шагов по времени для процессов диффузии и конвекции), приводятся результаты численного моделирования задачи Блазиуса с помощью схемы МРЗ в диапазоне чисел Рейнольдса от 10 до 106. Некоторые результаты этих расчетов приводятся на рис. 5.

а) б)

Рис. 5 Профили продольной и вертикальной скоростей ламинарного пограничного слоя в сравнении с результатами других авторов (Re = 10 3, А *= дЬ = 0-021, t = 16.8, h = 0.01, Д-А);

-- профиль Блазиуса,_- Wu (х = 0.5),-----.- Ota (х = 0.9),

- Nakamura (х = 0.5),____- Ansys 8.0,------- Star CD,

настоящая работа: О - х = 0.25, + - х = 0.5, □ - х = 0.75, X - х = 0.9.

Проводится сравнение полученных с помощью МРЗ профилей продольной компоненты скорости в спутном течении позади плоской пластины конечной длины для четырех сечений с точным решением Гольдштейна.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Для метода дискретных вихрей показано, что при исключении задания отрыва потока на входе в узкие сквозные каналы происходит снижение максимальной относительной ошибки решения по коэффициентам аэродинамических сил в четыре раза.

2. Получены коэффициенты подъемной силы и сопротивления для оперения нетрадиционной формы летательного аппарата в зависимости от угла атаки.

3. Предложено правило для выбора шага по времени в схеме «донор-акцептор», применяемой для расчета диффузии, и определена константа для этого правила (к/1" = 0.21 для = 1).

4. Адаптирована схема интегрирования с разными шагами по времени, известная в теоретической механике, для моделирования процессов диффузии и конвекции.

5. Результаты верификации схем Д-АМП и ИРШ на примере задачи о конвекции - диффузии вихря Озеена показали точность достаточную для инженерных целей.

6. Результаты прямого численного моделирования методом ВЯ ламинарного пограничного слоя (в нестационарной постановке задачи) показали точность достаточную для инженерных целей только для продольного профиля скорости и только при числе Рейнольдса 103.

7. Разработан метод расщепления завихренности для прямого численного моделирования ламинарного пограничного слоя.

8. Проведено сравнение полей скорости для течения чистого сдвига, вычисленных методами ВЯ и МРЗ, для диапазона изменения безразмерного коэффициента кинематической вязкости 0.1 < V < 10"8 (V = 1/Яе). Обоснована причина, по которой с использованием метода ВЯ не удается получить удовлетворительные результаты для данной задачи.

9. Получена точность, достаточная для инженерных целей при сравнении с решением Блазиуса результатов прямого численного моделирования пограничного слоя на плоской пластине методом МРЗ в диапазоне чисел Рейнольдса 10 < Яе < 106 с применением схемы ИРШ.

10. Полученные результаты моделирования пограничного слоя методом МРЗ подтвердили методические рекомендации, что размер ячейки сетки должен быть обратно пропорционален корню квадратному из числа Рейнольдса, шаг по времени для процесса диффузии определяется по правилу предложенному в данной работе и шаг по времени для процесса конвекции находится из условия аналогичного условию Куранта.

11. Результаты расчетов профилей продольной скорости в аэродинамическом следе плоской пластины с помощью схемы МРЗ в диапазоне чисел Рейнольдса 10 < Яе < 10б в сравнении с решением Гольдштейна имеют точность достаточную для инженерных целей.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Никонов, В.В. Моделирование отрывного обтекания цилиндра методом дискретных вихрей [Текст] / В.В. Никонов // Сборник тезисов международной научной конференции студентов и аспирантов «Современные аспекты гидроаэродинамики - 98».- СПМТУ, С.-Пб.- 1998.- с. 8.

2. Никонов, В.В. Исследование двумерных отрывных течений методом дискретных вихрей [Текст] / В.В. Никонов // Тезисы докладов международной молодежной конференции «XXV Гагаринские чтения».- М., Изд. «ЛАТМЕС».-1999.-т. 1.

3. Никонов, В.В. Разработка модели отрывного обтекания группы цилиндрических тел [Текст] / В.В. Никонов, В.Г. Шахов // Тезисы докладов научной конференции «Самолетостроение России: проблемы и перспективы — 2 конф.».- СГАУ, Самара.- 2000.

4. Никонов, В.В. Исследование моделирования двумерного вихревого нестационарного течения в многосвязной области [Текст] / В.В. Никонов, В.Г. Шахов // ИВУЗ «Авиационная техника».- Казань,- ISSN 0579-2975.- 2002, №1, с. 24-26.

5. Никонов, В.В. Об использовании асимптотического ряда для моделирования процесса диффузии завихренности [Текст] / В.В. Никонов // Сборник трудов Зй международной конференции молодых учёных и студентов «Актуальные проблемы современной науки». Естественные науки. - ч. 1-2. - Самара. - 2002. с. 59-60.

6. Nikonov, V. The Ratio between Spatial and Time Resolutions for the Diffusion Substep in 2D Computational Vortex Methods [Text] / V. Nikonov, N. Koraev, A. Uder // Schiffbauforschung.- 2002,- vol. 41,- N 3/4,- pp. 5-12.

7. Никонов, В.В. Модификация схемы «донор-акцептор» для расчета диффузии завихренности и ее применение в методе «вихрь в ячейке» [Текст] / В.В. Никонов, В.Г. Шахов // Вестник СГАУ, Самара.- 2003.- N 1 (3).- с. 38-46.

8. Никонов, В.В. О применении различных методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений в методе «вихрь в ячейке» [Текст] / В.В. Никонов, В.Г. Шахов И Сборник трудов 11-го Всероссийского семинара по управлению движением и навигации летательных аппаратов.- СГАУ, Самара.-2003.- с. 268-271.

9. Никонов, В.В. Об использовании схемы интегрирования с разными шагами по времени в методе «вихрь в ячейке» [Текст] / В.В. Никонов // Сборник трудов 1-го Международного форума "Актуальные проблемы современной науки",- Самара.-2005.- с. 64-65.

10. Никонов, В.В. Схема расчета скорости для метода «вихрь в ячейке» применительно к моделированию двумерного ламинарного пограничного слоя [Текст] / В.В. Никонов, В.Г. Шахов // Известия СНЦ РАН,- Самара.- т.7.- № 2,2005,- с. 392 - 398.

11. Никонов, В.В. Нестационарные граничные условия для метода расщепления завихренности [Текст] / В.В. Никонов // Сборник трудов 2-го Международного форума "Актуальные проблемы современной науки",- ч. 1 - 3.- Самара,- 2006.-с. 194-197.

ВВЕДЕНИЕ

1. АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ 16 ИССЛЕДОВАНИЯ ВЯЗКИХ ТЕЧЕНИЙ

1.1. Аналитические методы

1.2. Обзор численных методов

1.2Л. Бессеточные численные методы

1.2.2. Сеточные численные методы

1.3 Вихревые методы

1.3.1. Развитие вихревых методов

1.3.2. Классификация вихревых методов

1.4 Цели и задачи исследования

2. МОДИФИКАЦИЯ ЧИСЛЕННОЙ СХЕМЫ МЕТОДА ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА ТЕЧЕНИЙ ЗА ПЛОХООБТЕКАЕМЫМИ ТЕЛАМИ

2.1. Краткое описание метода дискретных вихрей

2.1.1. Математическая формулировка метода дискретных вихрей

2.1.2. Расчет распределения давления и коэффициентов 39 аэродинамических сил

2.1.3. Особенности численного моделирования

2.2. Модификация численной схемы метода дискретных вихрей

2.2.1. Процедура объединения вихрей

2.2.2. Условие непроникновения вихрей через контур обтекаемого тела

2.3. Численное моделирование обтекания пары профилей уголкового сечения

2.4. Расчет обтекания оперения нетрадиционной формы

2.4.1. Геометрическая постановка задачи

2.4.2. Результаты расчетов

2.5. Выводы

3. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА «ВИХРЬ В ЯЧЕЙКЕ» ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

3.1. Краткое описание метода «вихрь в ячейке»

3.1.1. Основные уравнения математической модели

3.1.2. Схема расщепления уравнения Навье-Стокса

3.1.3. Численная схема метода «вихрь в ячейке»

3.2. Моделирование течения за круговым цилиндром методом «вихрь в ячейке»

3.3. Соотношение между пространственным и временным разрешением при диффузии завихренности в свободном потоке

3.3.1. Анализ интеграла

3.3.2. Определение соотношения между пространственным и временным разрешением при диффузии завихренности в свободном потоке

3.4. Верификация моделирования конвекции жидких частиц в методе ВЯ

3.5. Применение метода Пуанкаре к моделированию процесса диффузии

3.5.1. Схема метода «донор-акцептор» с разложением по малому параметру

3.5.2. Тестирование схемы метода «донор-акцептор» с разложением по малому параметру

3.6. Верификация моделирования процессов диффузии и конвекции

3.7. Совместное моделирование процессов диффузии и конвекции, а также граничных условий для завихренности на примере задачи Блазиуса

3.7.1. Алгоритм решения задачи методом «вихрь в ячейке»

3.7.2. Результаты численного моделирования задачи

3.8. Выводы

4. МЕТОД РАСЩЕПЛЕНИЯ ЗАВИХРЕННОСТИ

4.1. Численная схема метода

4.1.1. Вычисление скорости при использовании схемы расщепления завихренности

4.1.2. Расчет процесса диффузии в методе расщепления завихренности

4.1.3. Моделирование процесса конвекции в методе расщепления завихренности

4.1.4. Коррекция поля скорости для удовлетворения уравнения неразрывности

4.2. Алгоритм метода МРЗ

4.3. Плоская бесконечная пластина, внезапно приведенная в движение (первая задача Стокса)

4.3.1. Постановка задачи и ее аналитическое решение

4.3.2. Особенности численного моделирования

4.3.3. Сравнение и анализ полученных результатов

4.3.4. Об искажении поля скорости сдвигового течения при применении вихревых особенностей

4.4. Задача о продольном обтекании плоской пластины конечной 124 длины

4.4.1. Выбор параметров численного моделирования

4.4.2. Верификация схемы расщепления завихренности

4.4.3. Спутное течение позади плоской пластины конечной длины, 135 обтекаемой в продольном направлении

4.5. Выводы 140 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Актуальность темы

Течение за плохообтекаемыми телами за исключением очень малых скоростей практически всегда сопровождается отрывом потока. Характер обтекания таких тел особенно с гладким контуром является очень сложным явлением. Хотя в настоящее время различные вычислительные методы динамики жидкости развиваются довольно быстро, однако моделирование течений при больших числах Рейнольдса сопряжено с трудностями, которые остаются актуальными и сегодня. Например, обтекание кругового цилиндра с ростом числа Рейнольдса сопровождается кризисом сопротивления, обусловленного перестройкой и изменением ширины его аэродинамического следа. В свою очередь перестройка течения связана с переходом ламинарного пограничного слоя на поверхности тела в турбулентный режим. При прямом численном моделировании данной задачи до сих пор остаются вопросы, на которые не найден ответ.

Необходимость исследования описанных выше явлений обусловлена наличием ряда практических приложений.

Первое связано с учетом ветровой нагрузки, действующей на элементы строительных и инженерных сооружений. Как показала практика и различные исследования, при наличии у таких объектов острых кромок или углов набегающий поток может производить нестационарную знакопеременную нагрузку, амплитуда которой может в несколько раз превышать ее среднее значение, что, в конечном счете, может приводить к разрушению элементов и самой конструкции.

Второе приложение связано с определением боковой силы от оперения летательных аппаратов, что позволяет судить об его эффективности. По результатам серии численных экспериментов о поперечном обтекании под различными углами атаки нескольких конфигураций оперения можно выбрать наиболее эффективное. При этом сокращаются затраты на этапе предварительного проектирования, а значит уменьшается стоимость изделия.

Отметим факторы, затрудняющие определение аэродинамических характеристик плохообтекаемых цилиндрических тел большого удлинения при проведении эксперимента в аэродинамической трубе:

- необходимость наличия аэродинамической трубы с рабочей частью, имеющей большие размеры (ширину);

- повышенные требования к жесткости конструкции модели и в особенности ее крепления в рабочей части трубы;

- высокая точность установки модели по углу атаки, особенно для тел с углами и острыми кромками.

Первое требование обусловлено необходимостью использования модели большого удлинения, которая своим наибольшим размером располагается поперек потока. Второе и третье требования обусловлены возникновением больших по величине колебаний давления в окрестностях углов и острых кромок, выступающих в поток.

Отдельно следует отметить актуальность данной работы, связанной с важностью нахождения количественных критериев для выбора параметров схемы численного метода (размер ячеек сетки, шаг интегрирования по времени) для получения адекватных результатов моделирования. Особенное внимание уделяется получению сходимости численных решений к известным аналитическим при измельчении сетки, так как метод может быть устойчивым, но не точным. В данной работе делается акцент на получении правил для выбора конкретных значений параметров численной схемы (шаг сетки, шаг по времени) для получения результатов с точностью, достаточной для инженерных целей, а не только качественного соответствия.

Цели и задачи исследования

Целью исследования является развитие вихревых методов для расчета обтекания тел несжимаемыми невязким и вязким потоками.

Были сформулированы следующие задачи:

- разработка алгоритма поперечного обтекания одиночных и групп тел большого удлинения в рамках двумерного нестационарного метода дискретных вихрей (МДВ), его верификация, исследование влияния параметров численной схемы метода на качество получаемого решения;

- провести моделирование обтекания оперения летательного аппарата;

- разработка алгоритма поперечного обтекания одиночных тел большого удлинения в рамках двумерного нестационарного метода «вихрь в ячейке» (ВЯ), его верификация и исследование влияния параметров численной схемы на качество получаемого решения;

- раздельное и совместное тестирование процессов диффузии и конвекции, а также граничных условий для завихренности в задачах о диффузии-конвекции вихря Озеена, первой задачи Стокса (течение чистого сдвига) и задачи Блазиуса о продольном обтекании плоской пластины;

- разработка метода расщепления завихренности (МРЗ), его верификация на примере первой задачи Стокса и задачи Блазиуса и сравнение профилей скорости в следе за продольно обтекаемой плоской пластиной.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1) для метода дискретных вихрей при моделировании обтекания групп тел, образующих узкие сквозные каналы, можно не задавать отрыв потока на входе в канал, что подтверждено сравнением с экспериментальными данными;

2) для метода «вихрь в ячейке» (ВЯ):

- в нахождении правила для выбора шага по времени в схеме «донор-акцептор» (Д-А), применяемой для расчета диффузии и в определении константы для этого правила, в разработке численных схем с разложением по малому параметру (Д-АМП) для уравнения диффузии и интегрирования с разными шагами по времени для процессов конвекции и диффузии (ИРШ);

- в установлении диапазона применимости метода по числам Рейнольдса прямого моделирования ламинарного пограничного слоя (в нестационарной постановке задачи);

3) для схемы метода расщепления завихренности:

- в разработке схемы вычисления поля скорости, аппроксимации граничных условий и численной схемы учета уравнения неразрывности в случае несжимаемой жидкости и в обосновании причины, по которой с использованием метода ВЯ не удается получить хорошие результаты для сдвиговых течений;

- в результатах прямого численного моделирования пограничного слоя на плоской пластине в диапазоне чисел Рейнольдса 10 < Яе < 106.

Практическая ценность

Модифицированный метод МДВ может быть использован при расчетах аэродинамической нагрузки, действующей на одиночные тела и группы тел большого удлинения в поперечном потоке (инженерные сооружения, оперение летательных аппаратов и т.д.). Программы расчета воздушных нагрузок на систему тел (два уголковых профиля) и оперения ЛА при произвольной их ориентации относительно скорости набегающего потока внедрены в ряде проектных организаций, что подтверждено соответствующими актами.

Правило для выбора шага по времени в методе «донор-акцептор» может применяться, как для решения только диффузионных задач, так и для более сложных с участием других процессов.

Схема интегрирования с разными шагами по времени может применяться для решения уравнений Навье-Стокса при малых и больших числах Рейнольдса.

Разработанная схема метода расщепления завихренности может применяться при прямом численном моделировании ламинарных пограничных слоев в широком диапазоне чисел Рейнольдса.

Полученные в данном исследовании результаты расчетов сил, действующих на ряд тел, используются в инженерной практике и учебном процессе.

Достоверность и обоснованность результатов обусловлена строгой математической постановкой рассматриваемых задач, используемых методов, а также подтверждается их сравнением с результатами других авторов, аналитическими решениями и экспериментальными данными. Математическое моделирование исследуемых физических процессов проведено в рамках известных теорий и моделей.

На защиту выносятся следующие основные положения: результаты расчета обтекания конфигурации групп тел нетрадиционной формы методом дискретных вихрей;

- правило для выбора шага по времени в схеме «донор-акцептор», применяемой для расчета диффузии;

- схема метода расщепления завихренности.

Публикации и апробация работы.

Основные результаты работы докладывались на международной молодежной конференции «XXV Гагаринские чтения» (Москва, 1999), на 2-ой Всероссийской научной конференции "Самолетостроение России: проблемы и перспективы", (Самара, 2000 г.), на 3-й Международной конференции молодых ученых и студентов "Актуальные проблемы современной науки", (Самара, 2002 г.), на 11-м Всероссийском семинаре по управлению движением и навигации летательных аппаратов, (Самара, 2003 г.), на 1-м Международном форуме "Актуальные проблемы современной науки", (Самара, 2005 г.), на семинаре по гидродинамике в НИИ Механики МГУ (Москва, 2006 г.), на 2-м Международном форуме "Актуальные проблемы современной науки", (Самара, 2006 г.). По теме диссертационной работы имеется 11 публикаций.

Краткое содержание диссертации.

В главе 1 на основе анализа литературных источников приводится обзор методов исследования отрывных и вязких течений, формулируется цель и задачи диссертации.

В разделе 1.1 дается краткий обзор работ, посвященных применению как точных, так и приближенных аналитических методов в механике жидкости и газа.

В разделе 1.2 приводится обзор численных методов, обычно используемых для решения задач механики жидкости и газа. Описывается классификация методов, использующих лагранжево, эйлерово и смешанное представления о движении жидкости. В подразделе 1.2.1 описываются методы особенностей (граничных элементов), относящиеся к группе бессеточных методов, и раскрывается их основная идея. Подраздел 1.2.2 посвящен численным методам, использующим расчетную сетку. Приводится классификация сеточных методов.

В разделе 1.3 приводится обзор вихревых методов. Подраздел 1.3.1 посвящен краткой исторической справке о развитии вихревых методов. В подразделе 1.3.2 приводится классификация вихревых методов.

В разделе 1.4 сформулирована цель и задачи исследования.

Глава 2 посвящена модификации численной схемы МДВ и результатам моделирования течений за плохообтекаемыми телами.

В разделе 2.1 дается краткое описание МДВ. В подразделе 2.1.1 рассматривается математическая постановка задачи моделирования течения за группой плохообтекаемых тел в МДВ. В подразделе 2.1.2 приводится расчет распределения давления и коэффициентов аэродинамических сил с помощью интеграла Коши-Лагранжа. Подраздел 2.1.3 посвящен особенностям численного моделирования при применении МДВ.

В разделе 2.2 предлагаются изменения, внесенные в численную схему МДВ. В подразделе 2.2.1 описывается алгоритм процедуры объединения вихрей, несколько отличающийся от классического и позволяющий существенно сократить затраты машинного времени. В подразделе 2.2.2 приводится методика реализации условия непроникновения вихрей через контур обтекаемого тела, а также величина расстояния от поверхности тела, на котором располагаются попавшие внутрь тела свободные вихри, определенная путем серии численных экспериментов.

В разделе 2.3 рассматривается численное моделирование обтекания пары профилей уголкового сечения. Получены картины вихревого следа и коэффициенты аэродинамических сил, действующих на пару уголковых профилей при различных углах атаки набегающего потока.

В разделе 2.4 содержит результаты расчета обтекания оперения летательного аппарата. В подразделе 2.4.1 дается геометрическая постановка задачи. В подразделе 2.4.2 представлены результаты расчетов обтекания оперения под разными углами атаки. Приводятся картины вихревых пелен и коэффициенты аэродинамических сил.

В разделе 2.5 приводятся основные выводы по МДВ.

В главе 3 рассматривается применение метода ВЯ для моделирования течений вязкой несжимаемой жидкости.

В разделе 3.1 дается краткое описание метода ВЯ. В подразделе 3.1.1 рассматриваются основные уравнения математической модели метода ВЯ. В подразделе 3.1.2 приводится схема расщепления уравнения Навье-Стокса для завихренности. В подразделе 3.1.3 дается подробное описание дискретной численной схемы метода ВЯ.

В разделе 3.2 представлены результаты моделирования течения за круговым цилиндром методом ВЯ при числе Рейнольдса 11е = 9500.

В разделе 3.3 исследуется вопрос соотношении между пространственным и временным разрешением при моделировании задачи о диффузии завихренности в свободном потоке. В подразделе 3.3.1 производится анализ поведения интеграла функции распределения Гаусса, который используется в методе Д-А для расчета обмена завихренностью. В подразделе 3.3.2 проводится численное моделирование диффузии вихря

Озеена, которое имеет точное аналитическое решение, чтобы продемонстрировать справедливость предложенного выше подхода для выбора шага по времени.

Раздел 3.4 посвящен верификации моделирования конвекции жидких частиц в методе ВЯ. На примере перемещения экспоненциального вихря под действием набегающего потока производится тестирование процесса конвекции завихренности.

В разделе 3.5 излагается применение метода Пуанкаре к моделированию процесса диффузии. В подразделе 3.5.1 дается математическое обоснование включения метода Пуанкаре в численную схему Д-А, используемую для расчета процесса диффузии. В подразделе 3.5.2 проводится численное моделирование диффузии двумерного вихря Озеена с целью верификации схемы Д-АМП.

В разделе 3.6 приводятся результаты проверки получаемой точности решения при совместном моделировании процессов диффузии в свободном потоке и конвекции. Тестирование проводится на примере задачи о диффузии и конвекции под действием набегающего потока вихря Озеена для широкого диапазона изменения коэффициента безразмерной кинематической вязкости.

В разделе 3.7 на примере задачи Блазиуса производится совместная верификация моделирования процессов диффузии и конвекции, а также аппроксимации граничных условий для завихренности. Подраздел 3.7.1 содержит геометрическую и особенности математической постановки задачи о продольном обтекании плоской пластины конечной длины в методе ВЯ, а также основные этапы алгоритма численного метода. В подразделе 3.7.2 рассматривается сравнение полученных результатов численного моделирования с решением задачи Блазиуса и данными численного моделирования других авторов.

В разделе 3.8 даются выводы о применимости метода ВЯ.

Глава 4 посвящена разработке схемы расщепления завихренности для метода ВЯ.

В разделе 4.1 описывается численная схема метода. Основная идея МРЗ состоит в использовании вместо завихренности ее расщепление по направлениям. В подразделе 4.1.1 приводится численная схема вычисления скорости при использовании МРЗ. В подразделе 4.1.2 рассматривается численная схема для расчета процесса диффузии в МРЗ. В подразделе 4.1.3 описывается моделирование процесса конвекции в МРЗ. В отличие от метода ВЯ частицы переносят вместо завихренности составляющие ее компоненты. В подразделе 4.1.4 описывается включение схемы коррекции поля скорости в МРЗ для удовлетворения уравнению неразрывности.

В разделе 4.2 приводятся основные этапы алгоритма метода МРЗ.

В разделе 4.3 проводится верификация численных схем методов ВЯ и МРЗ на примере задачи о бесконечной плоской пластине* внезапно приведенной в движение из состояния покоя (первая задача Стокса). В подразделе 4.3.1 описывается математическая постановка модельной задачи и приводится ее аналитическое решение. В подразделе 4.3.2 рассматриваются особенности численного моделирования с помощью различных схем вычисления скорости в методе ВЯ и при использовании МРЗ. В подразделе 4.3.3 приводятся результаты численного моделирования первой задачи Стокса с помощью упомянутых выше схем в сравнении с аналитическим решением. В подразделе 4.3.4 даются математические и геометрические обоснования причины, по которой происходит искажение поля скорости сдвигового течения в вихревых методах.

В разделе 4.4 рассматривается моделирование продольного обтекания плоской пластины (задача Блазиуса). В подразделе 4.4.1 обосновывается выбор параметров численного моделирования (размера ячейки сетки, шагов по времени для процессов диффузии и конвекции). В подразделе 4.4.2 приводятся результаты численного моделирования задачи Блазиуса с помощью схемы МРЗ в широком диапазоне чисел Рейнольдса от 10 до 10б. В подразделе 4.4.3 проводится сравнение полученных с помощью МРЗ профилей продольной компоненты скорости с приближенным решением теории пограничного слоя в спутном течении позади плоской пластины конечной длины, обтекаемой в продольном направлении.

В разделе 4.5 даются основные выводы о применимости, точности, и трудоемкости описываемой в данной главе схемы МРЗ.

В Заключении сформулированы основные результаты, полученные в данной диссертационной работе, отражающие ее научную новизну и практическую значимость.

Основные положения, выносимые на защиту

На защиту выносятся следующие основные положения:

- результаты расчета конфигурации групп тел нетрадиционной формы методом дискретных вихрей;

- правило для выбора шага по времени в схеме «донор-акцептор», применяемой для расчета диффузии;

- схема метода расщепления завихренности.

Благодарности

Автор выражает благодарность научному руководителю проф., к.т.н. Шахову В.Г. за консультации по методу МДВ и стимулирование данной работы, научному консультанту проф., д.т.н. Корневу Н.В. за многочисленные консультации по методам ВЯ и Д-А, к.т.н. Таранову А.Е. за предоставление полезной информации по особенностям численного моделирования, к.т.н. Ляскину A.C. за советы и обсуждения.

Часть данной работы, посвященная моделированию вязких течений, была поддержана грантами Министерства образования Российской Федерации и Немецкой Службы Академических Обменов (DAAD 325-luk А/03/01253).

в) Выводы

Применение метода ВЯ со схемами вычисления скорости с помощью МФТ и (2) для решения рассмотренной выше первой задачи Стокса приводит к большим отклонениям численного решения от аналитического. Ошибка численного решения сильно возрастает с течением времени.

Разработанная схема МРЗ в отличие от ВЯ позволяет с достаточной точностью получать профиль скорости течения, причем погрешность решения несколько уменьшается с ростом числа шагов по времени.

Полученные результаты позволяют сделать вывод, что предлагаемая схема МРЗ является менее трудоемкой и более точной для рассмотренной задачи, чем метод ВЯ с вычислением скорости по МФТ и (2).

4.3.4. Об искажении поля скорости сдвигового течения при применении вихревых особенностей

Полученные выше результаты моделирования первой задачи Стокса показывают, что решение, получаемое с помощью метода ВЯ, имеет большие отклонения от аналитического решения. Для того чтобы понять причины, почему это происходит, рассмотрим сдвиговое течение, имеющие линейный профиль скорости в пределах одной ячейки расчетной сетки (рисунок 45 а). Выполним сначала операции определения циркуляции Г по (26), (34) для ВЯ и Аиу по (75) для МРЗ, а после этого вычислим поле скорости по формулам, соответствующим каждому из методов (33) и (79). При этом поле скорости, полученное с помощью схемы МРЗ, совпадет с исходным (рисунок 45 а). Поле скорости, рассчитанное по методу ВЯ, будет качественно отличаться от исходного (рисунок 45 б).

Можно показать, что существует бесконечное множество течений, имеющих различные поля скорости, но одинаковую завихренность (26).

Действительно, при замене двух величин — и — одной со будем иметь для ду дх любого значения ю бесконечный набор величин —, — (рисунок 45) ду дх удовлетворяющий уравнению (26). По этой причине взятие операции ротора от поля скорости и последующее восстановление поля скорости как суммы полей скорости от вихрей Ранкина приводит к потере информации о решении.

Получение хороших результатов при моделировании диффузии и конвекции вихря Озеена объясняется тем, что моделируемое поле скорости представляло собой вихрь и совпадало качественно с полями скоростей моделирующих его вихрей в ячейках. Естественно наилучшее качество аппроксимации достигается тогда, когда аппроксимирующая функция качественно совпадает с аппроксимируемым решением. Однако мы можем не всегда заранее предсказать характер решения, по этой причине метод ВЯ хорошо подходит только для некоторого узкого класса задач. и у / И а) течение чистого сдвига ип+и т ?—?—г б) поле, получаемое в методе ВЯ

-и0

1 3

О и0

Л / \ / у

6и° и в) при вращении со сдвигом

-ТгЫп -5-и 8 8

5. 8 \ \ \ \ к Г

1 8 тги0

7—У V У / ^— к.зИ г) при сдвиге в двух плоскостях

Рисунок 45 - Разные виды течений, имеющие одну и ту же величину завихренности со = -ио/Ь и циркуляции Г = -ио Ь.

4.4. Задача о продольном обтекании плоской пластины конечной длины

4.4.1. Выбор параметров численного моделирования

При прямом численном моделировании пограничного слоя на плоской пластине мы исходили из предположения пропорциональности необходимого шага сетки толщине пограничного слоя. Толщина ламинарного пограничного слоя [64] пропорциональна у/кё. С другой стороны на сетке с безразмерным шагом h = 0.01 были получены [124,129,143] удовлетворительные результаты для числа Re= 10 . Принимая данные величины h и Re за начало отсчета, получим необходимый размер ячейки сетки для диапазона чисел Рейнольдса 10 < Re < 106 (см. таблицу 10). Моделирование проводилось также и для вдвое более мелких сеток для проверки сходимости численного метода. Здесь t -конечное безразмерное время счета, Тт - затраты машинного времени.

Шаг по времени для процесса конвекции определялся с помощью неравенства

Л^. (97)

Uoo соответствующего критерию Куранта-Фридрихса-Леви [93, 96] с величиной коэффициента 1.5. При этом он не обязательно совпадет с оптимальным шагом для расчета процесса диффузии (54). По этой причине предлагается применить метод интегрирования с раздельными шагами по времени (ИРШ) для процессов диффузии и конвекции. Такой метод применяется в теории колебаний классической механики при решении задач с быстрыми и медленными фазами [104- 105]. Данные, представленные в таблице 10, показывают, что с ростом числа Рейнольдса для выбранной расчетной сетки процесс диффузии становится медленным процессом относительно процесса конвекции. Для реализации алгоритма ИРШ необходимо, чтобы меньший шаг по времени укладывался целое число раз в интервале большего шага по времени. Условие выбора шага для конвекции (97) менее жесткое, чем для выбора шага по времени для процесса диффузии (54), по этой причине производится вариация шагом д1с для удовлетворения условия кратности шагов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе выполнения данной диссертационной работы были получены следующие результаты:

1) Для метода дискретных вихрей:

- показано что, при исключении задания отрыва потока на входе в узкие сквозные каналы происходит снижение максимальной относительной ошибки решения по коэффициентам аэродинамических сил в четыре раза;

- получены коэффициенты подъемной силы и сопротивления для оперения нетрадиционной формы летательного аппарата в зависимости от угла атаки.

2) Для метода «вихрь в ячейке»:

- получены результаты моделирования обтекания кругового цилиндра при числе Рейнольдса Яе = 9500 в сравнении с данными эксперимента и результатами других авторов;

- предложено правило для выбора шага по времени в схеме «донор-акцептор», применяемой для расчета диффузии, и определена константа для этого правила (к/"1 = 0.21 для Па = 1);

- адаптирована схема с разложением по малому параметру, известная в теоретической механике, для решения уравнения диффузии при малых значениях коэффициента кинематической вязкости;

- адаптирована схема интегрирования с разными шагами по времени, известная в теоретической механике, для моделирования процессов диффузии и конвекции;

- результаты верификации схем Д-АМП и ИРШ на примере задачи о конвекции - диффузии вихря Озеена показали точность достаточную для инженерных целей;

- серией численных расчетов показано, что применение методов интегрирования ОДУ второго и более высоких порядков в схеме метода ВЯ не целесообразно;

- результаты прямого численного моделирования ламинарного пограничного слоя (в нестационарной постановке задачи) показали точность достаточную для инженерных целей только для продольного профиля скорости и только при числе Рейнольдса 103.

3) Для схемы метода расщепления завихренности:

- разработана схема вычисления поля скорости для метода МРЗ;

- разработана схема аппроксимации граничных условий в соответствии с аналитическим решением первой задачи Стокса;

- проведено сравнение полей скорости для течения чистого сдвига, вычисленных методами ВЯ и МРЗ, для диапазона изменения безразмерного о коэффициента кинематической вязкости 0.1 < v < 10" (v = 1/Re). Обоснована причина, по которой с использованием метода ВЯ не удается получить удовлетворительные результаты для данной задачи;

- разработана численная схема учета уравнения неразрывности при моделировании пограничного слоя несжимаемой жидкости на плоской пластине для МРЗ;

- получена точность достаточная для инженерных целей при сравнении с решением Блазиуса результатов прямого численного моделирования пограничного слоя на плоской пластине в диапазоне чисел Рейнольдса 10 < Re < 106 для МРЗ с применением схемы ИРШ;

- полученные результаты подтвердили методические рекомендации, что размер ячейки сетки должен быть обратно пропорционален корню квадратному из числа Рейнольдса, шаг по времени для процесса диффузии определяется по правилу предложенному в данной работе и шаг по времени для процесса конвекции находится из условия аналогичного условию Куранта; результаты расчетов профилей продольной скорости в аэродинамическом следе плоской пластины с помощью схемы МРЗ в диапазоне чисел Рейнольдса 10 < Re < 106 в сравнении с решением Гольдштейна имеют точность достаточную для инженерных целей.

1. Азарёнок, Б.Н. О применении адаптивных сеток для численного решения нестационарных задач газовой динамики Текст. / Б.Н. Азарёнок, С.А. Иваненко // Журнал вычислительной математики и математической физики. т .40. - 2000. - №9. - С. 1386-1407.

2. Андерсон, Д. Вычислительная гидромеханика и теплообмен Текст.: [пер. с англ.]. В 2 ч. Ч. 1. / Д. Андерсон, Дж. Таннехилл, Р. Плетчер; под ред. Г.Л. Подвидза. М.: Мир. - 1990. - 384 с.

3. Андерсон, Д. Вычислительная гидромеханика и теплообмен Текст.: [пер. с англ.]. В 2 ч. Ч. 2. / Д. Андерсон, Дж. Таннехилл, Р. Плетчер; под ред. Г.Л. Подвидза. М.: Мир. - 1990. - 336 с.

4. Арсенин, В.Я. Методы математической физики и специальные функции Текст. / В.Я. Арсенин. М.: Наука. - 1984. - 384 с.

5. Басин, М.А. Аппроксимация вихревого поля в безграничной среде Текст. / М.А. Басин, Н.В. Корнев // ЖТФ. т. 64. - 1994. - С. 179-185.

6. Бахвалов, Н.С. Численные методы Текст. / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков; под общ. ред. Н. И. Тихонова. 2-е изд. - М., Физматлит, Лаб. базовых знаний; СПб.: Невск. Диалект. - 2002. - 630 с.

7. Белоцерковский, О.М. Метод «крупных частиц» в газовой динамике Текст. / О.М. Белоцерковский, Ю.М. Давыдов. М.: Наука. - 1982. - 391 с.

8. Белоцерковский, О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред Текст. / О.М. Белоцерковский. М.: Наука. - 1984. - 520 с.

9. Белоцерковский, С.М. Моделирование турбулентных струй и следов на основе метода дискретных вихрей Текст. / С.М. Белоцерковский, A.C. Гиневский. М.: Физико-математическая литература. - 1995. - 368 с.

10. Белоцерковский, С.М. Математическое моделирование нестационарного отрывного обтекания кругового цилиндра Текст. / С.М. Белоцерковский, В.Н. Котовский, М.И. Ништ, P.M. Федоров // Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа. 1983.- № 4. - С. 138-147.

11. Белоцерковский, С.М. Математическое моделирование плоскопараллельного отрывного обтекания тел Текст. / С.М. Белоцерковский, В.Н. Котовский, М.И. Ништ, P.M. Федоров. М.: Наука. - 1988.-232 с.

12. Белоцерковский, С.М. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью Текст. / С.М. Белоцерковский, М.И. Ништ. -М.: Наука 1978.-352 с.

13. Болыыев, JI.H. Таблицы математической статистики Текст. / JI.H. Большев, Н.В. Смирнов. М.: Наука. - 1983. - 414 с.

14. Бреббия, К. Метод граничных элементов Текст. [пер. с англ.] / К. Бреббия, Ж. Теллес, JI. Вроубел. М.: Мир. - 1987. - 524 с.

15. Войткунский, Я.И. Гидромеханика Текст. / Я.И. Войткунский, Ю.И. Фаддеев, К.К. Федяевский; 2-е изд., перераб. и доп. JI: Судостроение. -1982.-456 с.

16. Вычислительные методы в физике плазмы Текст. / под ред. Б. Олдера, С. Фернбаха, М. Ротенберга. М.: Мир. - 1974. - 242 с.

17. Гильманов, А.Н. Методы адаптивных сеток в задачах газовой динамики Текст. / А.Н. Гильманов. М.: Наука, Физматлит. - 2000. - 248 с.

18. Годунов, C.K. Численное решение многомерных задач газовой динамики Текст. / С.К. Годунов, A.B. Забродин, М.Я. Иванов, А.Н. Крайко, Г.П. Прокопов. М.: Наука. - 1976. - 400 с.

19. Годунов, С.К. Уравнения математической физики Текст. / С.К. Годунов. М.: Наука. -1971. - 416 с.

20. Горелов, Д.Н. Нелинейная задача о нестационарном обтекании тонкого профиля несжимаемой жидкостью Текст. / Д.Н. Горелов, P.JI. Куляев // МЖГ. 1971. - № 6. - С. 3 8-47.

21. Григорьев, Ю.Н. Численные методы «частицы-в-ячейках» Текст. / Ю.Н. Григорьев, В. А. Вшивков. Новосибирск: Наука, Сибирская издательская фирма РАН. - 2000. - 184 с.

22. Давыдов, Ю.М. Использование дробных ячеек в методе «крупных частиц» Текст. / Ю.М. Давыдов // Отчет ВЦ АН СССР. М,- 1970. - № 195. -34 с.

23. Давыдов, Ю.М. Расчет обтекания тел произвольной формы методом «крупных частиц» Текст. / Ю.М. Давыдов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. -1971.-т. 11.-№4.-с. 1056- 1063.

24. Девнин, С.И. Аэрогидромеханика плохообтекаемых конструкций: Справочник Текст. / С.И. Девнин. JL: Судостроение, 1983 - 320 с.

25. Джеймсон, А. Метод конечных объемов для интегрирования двумерных уравнений Эйлера на сетках с треугольными ячейками Текст. / А. Джеймсон, Д. Мэврешлис //Аэрокосмическая техника. 1987. - № 1.- С. 5665.

26. Дмитрук, С.А. Расчет двумерного отрывного обтекания кругового цилиндра в нестационарном потоке идеальной жидкости Текст. / С.А. Дмитрук // Межвуз. сб. научн. трудов «Прикладная аэродинамика». -КИИГА, Киев.- 1979.

27. Дуайер, Х.А. Адаптация сеток для задач гидродинамики Текст. / Х.А. Дуайер // Аэрокосмическая техника, т. 3.- 1985. № 8. - С. 172-181.

28. Дынникова, Г.Я. Аналог интегралов Бернулли и Коши-Лагранжа для нестационарного вихревого течения идеальной несжимаемой жидкости Текст. / Г.Я. Дынникова // МЖГ. 2000. - № 1. - С. 31-41.

29. Дынникова, Г.Я. Силы, действующие на тело, при нестационарном вихревом отрывном обтекании идеальной несжимаемой жидкостью Текст. / Г.Я. Дынникова // Изв. РАН МЖГ. 2001. - № 2. - с. 128-138.

30. Дынникова, Г.Я. Лагранжев подход к решению нестационарных уравнений Навье-Стокса Текст. / Г.Я. Дынникова // ДАН. т. 399. - 2004. -№ 1. - С. 42-46.

31. Ильичев, К.П. Расчет нестационарного отрывного обтекания тел плоским потоком невязкой жидкости Текст. / К.П. Ильичев, С.Н. Постоловский // МЖГ. 1972. - № 2.

32. Кирякин, В.Ю. О разработке пользовательского пакета программ по расчету аэродинамики зданий и сооружений Текст. / В.Ю. Кирякин,

33. B.А. Миско, A.B. Сетуха // Труды 12 Международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики»,- Харьков-Херсон.- 2005.- С. 169-172.

34. Корнев Н.В., Метод вихревых частиц и его приложение к задачам гидродинамики корабля Текст.: дис. . доктора техн. наук / Корнев Николай Владимирович. Санкт-Петербург. - 1998. - 254 с.

35. Кофи, Д.А. Применение метода конечного объема для расчета трансзвукового обтекания комбинаций крыла с фюзеляжем Текст. / Д.А. Кофи, А. Джеймсон // Ракетная техника и космонавтика. 1980. - № 11.-С. 3-12.

36. Кочин, Н.Е. Теоретическая гидромеханика Текст. В 2 ч. Ч. 1. / Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе. М.: Физматгиз.- 1963. - 583 с.

37. Кузнецов, Б.Г. О постановке задач гидродинамики в многосвязных областях. Текст. Вычислительные технологии / Б.Г. Кузнецов, В.П. Сироченко // Сб. науч. трудов, ИВТ СО РАН, Новосибирск. т. 4. -1995,-№12.-С. 209-218.

38. Лагно, О.Г. Влияние цилиндрического углубления в носовой части осесимметричного тела вращения на его сопротивление Текст. / О.Г. Лагно, В.Г. Шахов // Сборник научно-технических статей по ракетно-космической тематике. Самара. - 2001. - С. 67-72.

39. Лойцянский Л.Г., Механика жидкости и газа Текст. / Л.Г. Лойцянский.- 5-е изд. М.: Наука. - 1978. - 736 с.

40. Лэмб, Г. Гидродинамика Текст. / Г. Лэмб. М.: Гостехиздат. - 1947. - 928 с.

41. Майборода, А.Н. Математическая модель гидродинамики для тела, пересекающего свободную поверхность идеальной весомой жидкости Текст. / А.Н. Майборода // Доклады АН Украинской ССР. 1991. - № 5. - С. 50-53.

42. Моисеев, H.H. Асимптотические методы нелинейной механики Текст. / H.H. Моисеев. М.: Наука. - 1981. - 400 с.

43. Новиков, Е.А. Обобщенная динамика трехмерных вихревых особенностей (вортонов) Текст. / Е.А. Новиков // ЖЭТФ.- т. 3. 1983. -С. 975-981.

44. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов Текст.: Учебное пособие для втузов. В 2 ч. Ч 3. / Н.С. Пискунов.- М.: Наука. 1985.-560 с.

45. Плисов, Н.Б. Рождественский К.В., Трешков В.К., Аэрогидродинамика судов с динамическими принципами поддержания Текст.: Учебное пособие / Н.Б. Плисов. Ленинград: Судостроение. -1991.

46. Самарский, A.A. Введение в теорию разностных схем Текст. / A.A. Самарский. М.: Наука. - 1971. - 552 с.

47. Самарский, A.A. Разностные методы решения задач газовой динамики Текст. / A.A. Самарский, Ю.П. Попов. М.: Наука. - 1980. - 352 с.

48. Сарпкайя, Т. Образование вихря и сопротивление цилиндра в неустановившемся потоке Текст. / Т. Сарпкайя // Прикладная механика.-т. 30, серия Е. 1963.-№ 1.

49. Себиси, Т. Конвективный теплообмен. Физические основы и вычислительные методы Текст.: [пер. с англ.] / Т. Себиси, П. Брэдшоу. под ред. Пирумова У.Г. - М.: Мир. - 1987. - 590 с.

50. Сироченко, В.П. Численное моделирование двумерных задач гидродинамики в многосвязных областях Текст.: дис. . канд. физ.-мат. наук / В.П. Сироченко. Самара. - 1999. - 146 с.

51. Смирных, Е.А. Численное моделирование плоской турбулентной струи методом вихревых частиц с учетом мелкомасштабной турбулентности Текст. / Е.А. Смирных. ЦАГИ. -1991.

52. Справочник по прикладной статистике Текст.: в 2 т. / под ред. Э. Ллойда, У. Ледермана. М.: Финансы и статистика. - 1989. - 2 т.

53. Таранов, А.Е. Применение метода вихревых частиц для решения задач динамики вязкой жидкости Текст.: дис. . канд. техн. наук / А.Е. Таранов. Санкт-Петербург. - 2001. - 152 с.

54. Трешков, В.К. Аэродинамика экраноплана в основном режиме его движения Текст.: дис. . доктора техн. наук / В.К. Трешков. Ленинград. -1982.

55. Флетчер, К. Вычислительные методы в динамике жидкостей Текст.: [пер. с англ.]. В 2 ч. Ч. 1. / К. Флетчер. М.: Мир. - 1991. - 504 с.

56. Флетчер, К. Вычислительные методы в динамике жидкостей Текст.: [пер. с англ.]. В 2 ч. Ч. 2. / К. Флетчер. М.: Мир. - 1991. - 552 с.

57. Хапаев, М.М. Асимптотические методы и устойчивость в теории нелинейных колебаний Текст. / М.М. Хапаев. М.: Высшая школа. - 1988. -184 с.

58. Харлоу, Ф. Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики Текст. Вычислительные методы в гидродинамике / Ф. Харлоу. М.: Мир. - 1967. - С. 316-342.

59. Хокни, Р. Численное моделирование методом частиц Текст. / Р. Хокни, Дж. Иствуд. М.: Мир. - 1987. - 638 с.

60. Шлихтинг, Г. Теория пограничного слоя Текст.: [пер. с нем.] / Г. Шлихтинг.- под. ред. Лойцянского Л.Г. М.: Наука. - 1974. - 712 с.

61. Методы расчета стационарных аэродинамических характеристик плоских несущих систем сложной формы, движущиеся вблизи опорной поверхности Текст.: Техн. отчет ЦНИИ им. Крылова; Юшин В.И., Скрипова О.Ф. -1981.

62. Anderson, C.R. A method of local corrections for computing the velocity field due to a distribution of vortex blobs Text. / C.R. Anderson // J. Сотр. Physics. 62. - 1986. - pp.111-123.

63. Anderson, W. Comparison of finite volume flux vector splittings for the Euler equations Text. / W. Anderson, J. Thomas, B. van Leer // AIAA J. v. 24. -1986.-p.1453.

64. Armfield, S. The fractional-step method for the Navier-Stokes equations on staggered grids: the accuracy of three variations Text. / S. Armfield, R. Street // J. Comp. Phys., v. 153, pp. 660.

65. Barenblatt, G.I. A new formulation of the near-equilibrum theory of turbulence Text. / G.I. Barenblatt, A.J. Chorin // Proceedings of the Third Int. Workshop on Vortex Flows and Related Numerical Methods. v. 7. - 1999. -pp. 23-35.

66. Basin, M.A. Incorporation of the Viscosity in the Vortex Method Text. / M.A. Basin and N.V. Kornev // ZAMM. 78. - 1998. - 5. - pp. 335-344 (in German).

67. Basin, M. Beruecksichtigung der Reibung in der Wirbelmethode Text. / M. Basin, N. Kornev // ZAMM. 78. - 1998. - 5. - pp. 335-344.

68. Beale, J.T. Vortex Methods II: Higher Order Accuracy in Two and Three Dimensions Text. / J.T. Beale, A. Majda // Math, of Computation. v. 39. - 1982. -159.-pp. 29-52.

69. Benhaddouch, R. Treatment of a Newmann boundary condition by a particle exchange method Text. / R. Benhaddouch // Proceedings of the Third Int. Workshop on Vortex Flows and Related Numerical Methods. v. 7. - 1999. -pp. 36-45.

70. Bernard, P.S. A Deterministic Vortex Sheet Method for Boundary Layer Flow Text. / P.S. Bernard // J. Comput. Phys. 117. - 1995. - pp. 132-145.

71. Bernard, P.S. Turbulent flow modeling using a fast, parallel, vortex tube and sheet method Text. / P.S. Bernard, A.A. Dimas, J.P. Collins // Proceedings of the Third Int. Workshop on Vortex Flows and Related Numerical Methods. 7. -1999.-pp. 46-55.

72. Blasius, H. Grenzschichten in Fluessigkeiten mit kleiner Reibung Text. / H. Blasius // Z. Math. Phys. 56. - 1908. - pp. 1-37.

73. Bliss, D.B. Novel approach to aerodynamic analysis using analytical-numerical matching Text. / D.B. Bliss, R.J. Epstein // AIAA Journal. 34. - 1995. -11.-pp. 2225-2232.

74. Bussing, T.R.A. Finite-volume method for the calculation of compressible chemically reacting flows Text. / T.R.A. Bussing, E.M. Murman // AIAAJ. v. 26.- 1988.-9.-p.1070.

75. Caughey, D.A. Implicit multigrid computation of unsteady flows past cylinders of square cross-section Text. / D.A. Caughey // Computers & Fluid. -v. 30.-2001.-pp. 939-960.

76. Chang, C.C. A numerical study of flow around an impulsively started circular cylinder by a deterministic vortex method Text. / C.C. Chang, R.L. Chern // J. Fluid Mech. v. 233. - 1991. - pp. 243-263.

77. Chorin, A.J. Hairpin Removal in Vortex Interactions Text. / A.J. Chorin // J. Comp. Phys. v. 91. - 1990. - pp. 1 -21.

78. Chorin, A.J. Hairpin Removal in Vortex Interactions II Text. / A.J. Chorin // J. Comp. Phys. v. 107. - 1993, pp. 1-9.

79. Chorin, A.J. Microstructure, renormalization and more efficient vortex methods Text. / A.J. Chorin // ES AIM: Proceedings. v. 1. - 1996. - pp. 1-14. •

80. Chorin, A.J. Numerical study of slightly viscous flow Text. / A.J. Chorin // J. Fluid Mech. v. 57. - 1973. - pp. 785-796.

81. Chorin, A.J. On the convergence of discrete approximations to the Navier-Stokes equations Text. / A.J. Chorin // Math. Comp. v. 23. - 1969. -p. 341.

82. Chorin, A.J. Vorticity and Turbulence Text. / A.J. Chorin. Springer.1994.

83. Christoph, H. Numerische Berechnung gasturbinentypischer Mischungsvorgaenge mit vollstaendigen Turbulenzmodellen zweiter Ordnung Text.: Fortschr.-Ber. VDI. Duesseldorf: VDI Verlag.- Reihe 7. - 2001. - Nr. 408.- 128 p.

84. Clauser, F.H. Turbulent boundary layers in adverse pressure gradients Text. / F.H. Clauser // AIAA Journal Special Supplement: Centennial of Powered Flight reprinted from Journal of the Aeronautical Sciences. v. 21. - 1954. - 2. -pp. 91-108.

85. Cottet, G.-H. Vortex methods: theory and practice Text. / G.-H. Cottet, P. Koumoutsakos. Cambridge University Press. - 2000. - 320 p.

86. Degond, P. A particle method to solve the Navier-Stokes system Text. / P. Degond, S. Mas-Gallic // Numer. Math. v. 57. - 1990. - pp. 805-827.

87. Haenel, D. Numerische Simulation reibungsbehafteter Stroemungen um Schiffe in Flachwasser mit freier Oberfläche Text. / D. Haenel, S.D. Sharma, N. Stuntz // Abschlussbericht zum Forschungsvorhaben 18S0084. 2000. - 46 p.

88. Dukowicz, J.K. A general topology Godunov method Text. / J.K. Dukowicz, M.C. Cline, F.A. Addessio // Journal of Computational Physics. -v. 82.- 1989.-№1,-p. 29-63.

89. Evans, M.W. The particle-in-cell method for hydrodynamic calculation Text. / M.W. Evans, F.H. Harlow. Los-Alamos Lab. Rep. № LA-2139. - 1957.

90. Ferziger, J. Computational methods or fluid dynamics Text. 3 rev. ed. / J. Ferziger, M. Peric. Springer-Verlag. - 2002. - 423 p.

91. Forsythe, J.R. Detached-Eddy simulation of a supersonic axisymmetric base flow with an unstructured solver Text. / J.R. Forsythe, K.A. Hoffmann, J.-F. Dietker // AIAA paper. 00-2410. - 2000.

92. Goldstein, S. Concerning some solutions of the boundary layer equations in hydrodynamics Text. / S. Goldstein // Proc. Cambr. Phil. Soc. v. 26. - 1930. -Part I.-pp. 1-30.

93. Greengard C. The core spreading method approximates the wrong equation Text. / C. Greengard // J. Comput. Physics. v. 61. - 1985. - pp. 345-348.

94. Greengard, L. A Fast Algorithm for Particle Simulations Text. / L. Greengard, V. Rokhlin // J. Comput. Physics. v. 73. - 1987. - pp. 325-348.

95. Hamel, G. Spiralfoermige Bewegung zaeher Fluessigkeiten Text. / G. Hamel // Jahresber. d. Dt. Mathematiker-Vereinigung. v. 25. - 1916. - pp. 3460.

96. Harten, A. Uniformly high order accuracy essentially non-oscillatory schemes. Ill Text. / A. Harten, B. Engquist, S. Osher, S.R. Chakravarthy // Journal of Computational Physics. v. 71. - 1987. - p. 231-303.

97. Harten, A. ENO schemes with subset resolution Text. / A. Harten // Journal of Computational Physics. v. 83. - 1989. - 2. - p. 148-184.

98. Harten, A. Uniformly high-order accurate non-oscillatory schemes. I Text. / A. Harten, S. Osher // SIAM J. Numer Anal. v. 27. - 1987. - p. 279-309.

99. Helmholtz, H. Über Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbelbewegungen entsprechen Text. / H. Helmholtz // Zeitschrift fuer reine und angewandte Mathematik. LV. - 1858. - pp. 485-512.

100. Hou, T.Y. Removing the stiffness from interfacial flows with surface tension Text. / T.Y. Hou, J.S. Lowengrub, M.J. Shelley // Journal of Comput. Phys. -v. 114.-1995.-p. 132.

101. Huberson, S. Particle simulation of diffusion with non uniform viscosity Text. / S. Huberson, O. Le Maitre, E. Rivoalen // Proceedings of the Third Int. Workshop on Vortex Flows and Related Numerical Methods. v. 7. - 1999. -pp. 195-204.

102. Iida, A. Prediction of aerodynamic sound spectra by using an advanced vortex method Text. / A. Iida, K. Kamemoto, A. Ojima // Proceedings of the Second International Conference on Vortex Methods, Sept. 26-28, Turkey. 2001. -pp. 235-242.

103. Kamemoto, K. Engineering application of the vortex methods developed in Yokohama National University Text. / K. Kamemoto // Proceedings of the Second International Conference on Vortex Methods, Sept. 26-28, Turkey. 2001. -pp. 197-209.

104. Keller, H.B. Numerical studies of steady viscous flow about cylinders Text. / H.B. Keller, H. Takami // in Numerical Solutions of Nonlinear Differential Equations (ed. D. Greenspan). Wiley. - 1966. - p. 115.

105. Kim, J.-D. LES investigation of the near wake dynamics for a square prism Text. / J.-D. Kim, H. Hangan // Proceedings of the Conference on Bluff Body Wakes and Vortex-Induced Vibrations, December 17-20, Port Douglas. -Australia. 2002.

106. Kornev, N. Comparison of two fast algorithms for the calculation of flow velocities induced by a three-dimensional vortex field Text. / N. Kornev, A. Leder, K. Mazaev // Schiffbauforschung. v. 40. - 2001. - 1. - pp. 47-55.

107. Kornev, N.V. A way to split the Navier-Stokes equations in the context of the vortex method Text. / N.V. Kornev, M.A. Basin // Commun. Numer. Meth. Eng. v. 14.- 1998.-pp. 313-319.

108. Koumoutsakos P. High-resolution simulations of the flow around an impulsively started cylinder using vortex methods Text. / P. Koumoutsakos, A. Leonard // J. Fluid Mech. v. 296. - 1995. - pp. 1-38.

109. Koumoutsakos, P. Boundary Conditions for Viscous Vortex Method Text. / P. Koumoutsakos, A. Leonard, F. Pepin // J. Comput.Phys. v. 113. -1994.-pp. 52-61.

110. Koumoutsakos, P. Simulations of the viscous flow normal to an impulsively started and uniformly accelerated flat plate Text. / P. Koumoutsakos, D. Shiels // J. Fluid Mech. v. 328. - 1996. - pp. 177-227.

111. Lam, K. Flow around four cylinders in square configuration using surface vorticity method Text. / K. Lam, R.M.C. So, J.Y. Li // Proceedings of the Second International Conference on Vortex Methods, Sept. 26-28. Turkey. -2001.-pp. 235-242.

112. Leonard, A. Vortex method for flow simulation Text. / A. Leonard // J. Comput. Phys. v. 37. - 1980. - pp. 289-335.

113. Lima e Silva, A.L.F. Numerical simulation of two-dimensional flows over different bluff bodies for low Reynolds numbers Text. / A.L.F. Lima e Silva,

114. A. Silveira-Neto, S.S. Mansur // Proceedings of the Conference on Bluff Body Wakes and Vortex-Induced Vibrations, December 17-20, Port Douglas. Australia. - 2002.

115. Lighthill, M.J. Introduction. Boundary Layer Theory. Laminar Boundary Layers Text. / MJ. Lighthill.- edited by J. Rosenhead. - Oxford University Press. - NY. - 1963. - pp. 54-61.

116. Marshall, J.S. Penetration of a Blade into a Vortex Core: Vorticity Response and Unsteady Blade Forces Text. / J.S. Marshall, J.R. Grant // J. Fluid Mech.- v. 306. 1996. - pp. 83-109.

117. Monaghan, JJ. Extrapolating B-Splines for Interpolation Text. / J.J. Monaghan // J. Comput. Phys. v. 60. - 1985. - pp. 253-262.

118. Ni, A.L. Boundary Conditions for the Vorticity-Velocity Formulation of Navier-Stokes Equations Text. / A.L. Ni // AIAA Journal. v. 34. - 1996. -pp. 416-418.

119. Nikuradse J. Laminare Reibungsschichten an der laengsgestriemten Platte Text. / J. Nikuradse. Zentrale f. wiss. Berichtswesen. - Berlin. - 1942.

120. Noll B., Numerische Stroemungsmechanik Text. / B. Noll. SpringerVerlag. - 1993. - 220 p.

121. Oseen C.W. Text. / C.W. Oseen // Ark. f. Math. Astron. och Fys. -vol. 7.-1911.

122. Ota, S. Study on higher resolution of vorticity layer over a solid boundary for vortex methods Text. / S. Ota, K. Kamemoto // Proc. of The Second1.tern. Conf. on Vortex Methods September 26-28, Istanbul. Turkey. - 2001. -pp. 33-40.

123. Peng, G. Finite volume scheme for the lattice Boltzmann method on unstructured meshes Text. / G. Peng, H. Xi, C. Duncan // Physical Review E. -v.59.- 1999.-4.-pp. 4675-4682.

124. Rosenhead, L. The formation of vortices from a surface of discontinuity Text. / L. Rosenhead // P. Roy. Soc. Lond. A134. - 1931. - pp. 170-192.

125. Rossi, L.F. Ressurecting core spreading vortex method: A new scheme that is both deterministic and convergent Text. / L.F. Rossi // SIAM J. Sci. Stat. Comp.-v. 17.- 1996.-pp. 370.

126. Sachs, P. Wind Forces in Engineering Text. / P. Sachs. Oxford: Pergamon Press. - 1978. - 400 pp.

127. Sarpkaya, T. Computational methods with vortices The 1988 Freeman Scholar Lecture Text. / T. Sarpkaya // J. Fluids Eng. - v. 111. - pp. 5-52.

128. Schneider, G.E. A modified strongly implicit procedure for the numerical solution of field problems Text. / G.E. Schneider, M. e Zedan // Numerical Heat Transfer. v. 4. - 1981. - pp. 1.

129. Shock, R.A. Recent results on two-dimensional airfoils using a lattice Boltzmann-based algorithm Text. / R.A. Shock, S. Mallick, H. Chen, V. Yakhot, R. Zhang // Journal of Aircraft. v. 39. - 2002. - 3. - pp. 434-439.

130. Shur, M. Detached-Eddy simulation of an airfoil at high angle of attack Text. / M. Shur, P.R. Spalart, M. Strelets, A. Travin // 4th Int. Symp. Eng. Turb. Modeling and Measurements, Corsica, May 24-26. 1999.

131. Smith, P.A. Impulsively started flow around a circular cylinder by the vortex method Text. / P.A. Smith, P.K. Stansby // J. Fluid Mech. v. 194. - 1988. -pp. 45-77.

132. Spalart, P.R. Trends in turbulence treatments Text. / P.R. Spalart // AIAA paper. v. 2000-2306. - 2000.

133. Stokes, G.G. On the effect of internal friction of fluids on the motion of pendulums Text. / G.G. Stokes // Math, and Phys. Papers., Cambridge. v. III. -1901.

134. Taranov, A. Development of the Computational Vortex Method for Calculation of Two-Dimensional Ship Sections with Flow Separation Text. / A. Taranov, N. Kornev, A. Leder // Schiffbauforschung. v. 39. - 2000. - 2. -pp. 95-105.

135. Wolfe, W.P. A hybrid method for two-dimensional flow over tube bundles Text. / W.P. Wolfe, J.H. Strickland // Proceedings of the Third Int. Workshop on Vortex Flows and Related Numerical Methods. v. 7. - 1999. -pp. 440-454.

136. Wu, J.C. Numerical boundary conditions for viscous flow problems Text. / J.C. Wu // AIAA Journal. v. 14. - 1976. - pp. 104-1049.

137. Xu C. A vortex method for separated flow around an airfoil with a detached spoiler Text. / C. Xu // Computational Mechanics. 23. - 1999. -pp. 271-278.

138. Zdravkovich, M.M. Flow around circular cylinders Text. / M.M. Zdravkovich. Oxford University Press. - New York. - v. 1, 1997.

139. Zhu, B. Computing the flow around a moving bluff body by a lagrangian vortex method Text. / B. Zhu, K. Kamemoto // Proceedings of The Second International Conference on Vortex Methods, Sept. 26-28, Istanbul. Turkey. -2001.-pp. 157-164.1. Работы автора

140. Никонов, B.B. Исследование двумерных отрывных течений методом дискретных вихрей Текст. / В.В. Никонов // Тезисы докладов международной молодежной конференции «XXV Гагаринские чтения».- М., Изд. «JIATMEC».- 1999.-т. 1.

141. Никонов, В.В. Разработка модели отрывного обтекания группы цилиндрических тел Текст. / В.В. Никонов, В.Г. Шахов // Тезисы докладов научной конференции «Самолетостроение России: проблемы и перспективы -2 конф.».- СГАУ, Самара.- 2000.

142. Никонов, В.В. Исследование моделирования двумерного вихревого нестационарного течения в многосвязной области Текст. / В.В. Никонов, В.Г. Шахов // ИВУЗ «Авиационная техника».- Казань.- ISSN 0579-2975.- 2002, №1, с. 24-26.

143. Nikonov, V. The Ratio between Spatial and Time Resolutions for the Diffusion Substep in 2D Computational Vortex Methods Text. / V. Nikonov, N. Kornev, A. Leder // Schiffbauforschung.- 2002.- vol. 41.- N 3/4.- pp. 5-12.

144. Никонов, В.В. Модификация схемы «донор-акцептор» для расчета диффузии завихренности и ее применение в методе «вихрь в ячейке» Текст. / В.В. Никонов, В.Г. Шахов // Вестник СГАУ, Самара.- 2003.- N 1 (3).- с. 38-46.

145. Никонов, В.В. Об использовании схемы интегрирования с разными шагами по времени в методе «вихрь в ячейке» Текст. /В.В. Никонов //

146. Сборник трудов 1-го Международного форума "Актуальные проблемы современной науки".- Самара.- 2005.- с. 64-65.

147. Никонов, В.В. Схема расчета скорости для метода «вихрь в ячейке» применительно к моделированию двумерного ламинарного пограничного слоя Текст. / В.В. Никонов, В.Г. Шахов // Известия СНЦ РАН,- Самара,- т.7.- № 2.2005.- с. 392 398.

148. Никонов, В.В. Нестационарные граничные условия для метода расщепления завихренности Текст. / В.В. Никонов // Сборник трудов 2-го Международного форума "Актуальные проблемы современной науки".- ч. 1 -3.- Самара.- 2006.- с. 194-197.

149. Некоторые результаты, полученные методом «вихрь в ячейке»

150. На рисунке А1 приводятся результаты других авторов для коэффициента сопротивления кругового цилиндра.

151. Рисунок А1 Зависимость коэффициента сопротивления кругового цилиндра от временипосле мгновенного старта, Яе=9500.I