Реализация односторонних связей

Дерябин, Михаил Владимирович

Реализация односторонних связей тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Дерябин, Михаил Владимирович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

1998 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Реализация односторонних связей»

Автореферат диссертации на тему "Реализация односторонних связей"

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.Ломоносова

-:-

^^ \Ц®Яеханико-математический факультет

На правах рукописи ДЕРЯБИН Михаил Владимирович

УДК 531.01

РЕАЛИЗАЦИЯ ОДНОСТОРОННИХ СВЯЗЕЙ

01.02.01. - теоретическая механика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1998 год

Работа выполнена на кафедре теоретической механики механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - член-корреспондент РАН, профессор

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук.

Ведущая организация - Вычислительный центр РАН.

Защита состоится 11 декабря 1998 г. в 16.00 часов на заседании диссертационного совета Д 053.05.01 по механике при Московском государственном университете по апресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, Главное здание МГУ, аудитория 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан 11 ноября 1998 г.

В.В.Козлов.

профессор А.П.Иванов,

доктор физико-математических наук

А.И.Нейштадт.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 053.05.01 при МГУ, профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Для обоснования динамики систем как с двусторонними, так и с односторонними связями обычно используется классический формально-аксиоматический метод. При этом остаются неясными происхождение и физический смысл моделей движения, а также границы применимости этих моделей. С этой точки зрения более предпочтительным является т.н. конструктивный метод, который был намечен в первой четверти XX века в работах Клейна, Прандтля, Лекорню и Пфейфера, в связи с анализом парадоксов "сухого трения", указанных Пэнлеве. Голономная связь заменялась полем упругих сил, а затем коэффициент упругости устремлялся к бесконечности. Первые общие результаты о реализации двусторонней голономной связи полем упругих сил, направленных к соответствующей поверхности, были сформулированы Курантом и доказаны его учениками в предположении о потенциальности силового поля. Для более общего случая, когда поле сил непотенциально, теорема о реализации связи упругими силами была доказана В.В.Козловым и А.И.Нейштадтом, и Г.-Ю.Шмидтом. Были доказаны теоремы о реализации двусторонней голономной связи силами вязкого трения.

В отличие от двусторонних связей, системы с неудерживающими, или односторонними связями (т.е. когда движение возможно по и над поверхностью связи) - это существенно более сложный объект. Существуют задачи, в которых сам вопрос существования решения до конца не изучен. Конструктивный метод

обоснования динамики систем с односторонними связями был развит В.В.Козловым для случая, когда траектория трансверсально пересекала границу. Случай гладкого схода со связи почти не рассматривался. Поэтому представляется актуальной необходимость разработки аналогичного конструктивного подхода для случая, когда траектория системы касается поверхности связи.

Цель работы. Настоящая диссертация посвящена построению конструктивного метода обоснования динамики систем с односторонними голономными идеальными связями в случае, когда в начальный момент система находится на поверхности связи и движется по связи какое-то время, а затем сходит со связи.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно.

1. Проведен сравнительный анализ различных условий движения и схода системы с односторонней связи. Приведены примеры, показывающие, что эти условия неэквивалентны.

2. Сформулированы и доказаны теоремы о реализации односторонней голономной идеальной связи упругими силами без предположения о потенциальности силового поля. Получены оценки для движения "свободной" системы. Приведены примеры.

3. Рассмотрен общий случай реализации односторонней связи, когда полупространство заменяется вязко-упругой средой Кельвина-Фойгта, а затем коэффициенты жесткости, вязкости и

присоединенные массы согласованным образом устремляются к бесконечности. Доказаны теоремы о предельном переходе.

4. Исследован эффект запаздывания схода системы со связи для модели движения, в которой односторонняя связь реализуется вязко-упругой средой Кельвина-Фойгта. Рассмотрены примеры.

5. Найден вариационный принцип для модели реализации односторонней голономной связи силами вязкого трения.

Практическая ценность. Полученные в диссертации результаты позволяют обосновать применение тех или иных моделей в различных задачах, оценить качественное поведение систем, а также обосновать возможность стабилизации численных алгоритмов при помощи введения диссипации. Практическая ценность работы состоит в том, что разработанный конструктивный метод является теоретической базой для разрешения парадоксов типа Пенлеве.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Чебышевских чтениях и научно-исследовательских семинарах Механико-математического факультета МГУ.

Основные результаты диссертации содержатся в работах автора, перечисленных в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация изложена на 75 страницах и состоит из введения, четырех глав, разбитых на 8 параграфов, заключения и списка литературы (36 наименований).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обзор работ, относящихся к теме диссертации и изложены основные результаты.

В первой главе диссертации рассмотрены различные критерии движения системы с односторонней связью по связи и схода со связи. Два основных критерия рассмотрены в первом параграфе. Классическое условие, которое присутствует во многих пособиях по теоретической механике, заключается в том, что рассматривается множитель Лагранжа для соответствующей системы с двусторонней связью и теми же начальными условиями. Если в какой-то момент времени множитель Лагранжа меняет знак, то система с односторонней связью сходит со связи. Другой критерий для движения и схода со связи состоит в том, что в каждый момент времени вместо системы с односторонней связью рассматривается соответствующая свободная система с теми же начальными условиями в этот момент. Если для каждого момента времени существует такая его окрестность, что в ней траектория свободной системы не оказывается над поверхностью связи, то система с односторонней связью движется по связи. Если в окрестности некоторого момента времени траектория свободной системы оказывается над связью, то система с односторонней связью сходит со связи. Это условие сообщено автору В.В.Козловым и в литературе, по-видимому, не встречалось. Показано, что оба критерия движения по связи эквивалентны.

Приведен пример, показывающий, что для схода со связи второе условие является более сильным, т.е. его можно применять, когда классическое условие формально неприменимо.

Во втором параграфе первой главы рассмотрены критерии, основанные на вариационных принципах Даламбера-Лагранжа, Гамильтона и Гаусса. Исследован вопрос об их эквивалентности и приведены примеры. Показано, что все эти условия эквивалентны в случае, когда нулн множителя Лагранжа изолированы, например, когда все функции - аналитические.

Во второй главе рассматривается задача о реализации односторонней связи упругой силой с большим коэффициентом упругости, направленной к поверхности связи. В первом параграфе второй главы доказывается теорема об оценках для отклонения системы со связью от соответствующей "свободной" системы с теми же начальными условиями: в начальный момент времени система находится на поверхности связи и скорость направлена по касательной к этой поверхности. Оказывается, что когда система движется по связи, траектория "свободной" системы отличается от траектории системы со связью на величину порядка где N - безразмерный коэффициент упругости.

Второй параграф посвящен сходу системы со связи. Оказывается, что в окрестности схода со связи отклонение системы со связью от соответствующей "свободной" системы может быть порядка квадратного корня из МЫ. Как для движения по связи, так и для схода со связи, скорости обеих систем

отличаются на величину того же порядка. Приведен пример, показывающий, что эти оценки неулучшаемы.

Доказательства теорем основаны на результатах, полученных В.В.Козловым и А.И.Нейштадтом для систем с двусторонними связями; как и в случае реализации двусторонней связи, теорема Тихонова-Градштейна о сингулярно возмущенных уравнениях неприменима.

В третьей главе рассматривается общий случай реализации связи, когда полупространство заменяется вязко-упругой средой Кельвина-Фойгта, а затем коэффициенты жесткости, вязкости и присоединенные массы (величины порядка АО согласованным образом устремляются к бесконечности. В первом параграфе формулируется и доказывается теорема о том, что такое предельное движение существует. В случае, когда исходная система с односторонней связью движется по связи, движение "свободной" системы отличается от движения системы со связью на величины порядка Момент схода со связи в классическом случае и в таком предельном движении может не совпадать. Возникает эффект запаздывания схода со связи, который изучен во втором параграфе. Получены оценки запаздывания схода со связи.

Частный случай реализации связи только силами вязкого трения исследован в третьем параграфе третьей главы. Доказана теорема о предельном переходе: при устремлении коэффициента вязкости к бесконечности предельное движение существует, и полученная система будет двигаться по связи, удовлетворяя

классическим уравнениям Лагранжа, до тех пор, пока среднее значение реакции двусторонней связи для соответствующей системы не обратится в нуль. Если в этот момент времени реакция отрицательна (а это общий случай), то происходит сход со связи. Теорема доказывается с использованием результатов о реализации двусторонней связи анизотропным трением и о сингулярно возмущенных уравнениях.

Четвертая глава диссертации посвящена выводу вариационного принципа Гамильтона для модели, в которой односторонняя связь реализовывалась только силами вязкого трения.

В заключении кратко сформулированы основные результаты.

Текст научной работы диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Дерябин, Михаил Владимирович, Москва

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.Ломоносова

механико-математический факультет

На" правах рукописи ДЕРЯБИН Михаил Владимирович

УДК 531.01

РЕАЛИЗАЦИЯ ОДНОСТОРОННИХ СВЯЗЕЙ

01.02.01. - теоретическая механика

Диссертация

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель член-корреспондент РАН, профессор Козлов Валерий Васильевич

Москва - 1998 год

Содержание

Введение. 5

Глава 1. Сравнительный анализ различных условий.

движения и схода со связи.

§1. Основные условия схода со связи.

п.1. Определение движения системы с

односторонней связью. 12

п.2. Формулировка основных условий схода

со связи. 14

п.З. Сравнительный анализ основных условий

схода со связи. 15

§2. Вариационные принципы.

п.1. Условия движения и схода со связи для

принципа Даламбера-Лагранжа. 19

п.2. Принцип Гамильтона. 21

п.З. Принцип Гаусса. 24

§3. О нетрадиционных условиях схода со связи.

п.1. Исключение односторонних связей. 27

п.2. Конструктивное обоснование динамики

систем с односторонними связями. 27

Глава 2. Реализация односторонних связей упругими силами.

§1. Реализация движения системы по связи.

п.1. Исходные уравнения. 29 п.2. Теорема о реализации движения системы

по связи. " 30

п.З. Доказательство теоремы 1. 32

§2. Сход со связи.

п.1. Теорема о реализации связи в общем случае. 40 п.2. Доказательство теоремы 2. 43

Глава 3. Реализация связи средой Кельвина-Фойгта

§1. Теорема о предельном переходе.

п.1. Основные уравнения. 46 п.2. Формулировка основной теоремы о реализации

связи вязко-упругой средой; (а,Д/)-модель. 50

п.З. Доказательство основной теоремы. 51

§2. Движение предельной системы по связи.

п.1. Запаздывание момента схода со связи. 54

п.2. Реализация связи упругими силами. 56

§3. Реализация связи анизотропным трением.

п.1. (0,1,0)-модель, как предельный случай устремления к нулю присоединенной массы. 58

п.2. Теорема о предельном переходе в случае

реализации связи анизотропным трением. 61

Глава 4. Принцип Гамильтона для движения со связью, реализуемой силами вязкого трения.

п.1. Постановка задачи. ,, 66

п.2. Принцип Гамильтона для (0,1,0)-модели. 67

Заключение. 70

Литература. 72

Введение

Для обоснования динамики систем как с двусторонними, так и с односторонними связями обычно используется классический формально-аксиоматический метод,- При этом остаются неясными происхождение и физический смысл моделей движения, а также границы применимости этих моделей. С этой точки зрения более предпочтительным является так называемый конструктивный метод, который был намечен в первой четверти XX века в работах Клейна, Прандтля, Лекорню и Пфейфера, в связи с анализом парадоксов "сухого трения", указанных Пэнлеве [1]. Голономная связь заменялась полем упругих сил, направленных к соответствующей поверхности, а затем коэффициент упругости устремлялся к бесконечности. Оказывается, что в этом случае движения "свободной" системы стремятся к движениям системы с голономной связью. Теорема о реализации двусторонней голономной связи полем упругих сил, направленных к соответствующей поверхности, была впервые сформулирована Курантом и доказана его учениками в предположении о потенциальности силового поля [2]. Позднее многие исследователи независимо формулировали и доказывали аналогичные теоремы (см. [3-8]). Для более общего случая, когда поле сил непотенциально, теорема о реализации связи упругими силами была доказана В.В.Козловым и А.И.Нейштадтом [9], и Г.-Ю. Шмидтом [10].

Существуют другие способы реализации связей. Линейные по скоростям неголономные связи можно реализовать силами вязкого трения. Эта идея обсуждается в статье Каратеодори [11]. Он использует термин "реализация" связи (die Realisierung). Теорему о реализации неголономной связи, линейной по скоростям, доказали А.В.Карапетян [12] и В.Н.Бренделев [13]. В работах [14,15] рассмотрен случай реализации неголономной связи присоединенными массами и силами вязкого трения.

Силами вязкого трения можно реализовывать и двустороннюю голономную связь [16]. Исследовался вопрос о стабилизации численных методов интегрирования уравнений движения с двусторонними связями с помощью дополнительных потенциальных и диссипативных сил [17].

В отличие от двусторонних связей, системы с неудерживающими, или односторонними связями (т.е., когда движение возможно по и над поверхностью связи) - это существенно более сложный объект. Существуют задачи, в которых сам вопрос существования решения до конца не изучен (см., например, [18]).

Конструктивный метод обоснования динамики систем с односторонними связями был развит для случая, когда траектория трансверсально пересекала границу [19,20,21]. Этот метод оказался эффективным при исследовании виброударных систем (ср. с [22]).

Случай касательного удара и гладкого схода с односторонней связи исследовался в работах [23-29]. Однако вопрос конструктивного обоснования динамики систем с односторонней голономной связью для случая гладкого схода со связи, аналогичный подходу, развитому для двусторонней связи, почти не рассматривался (ср. с [19]).

Настоящая диссертация посвящена построению конструктивного метода обоснования динамики систем с односторонними голономными идеальными связями в случае, когда в начальный момент система находится на поверхности связи и движется по связи какое-то время, а затем сходит со связи.

существует такая его окрестность, что в ней траектория свободной системы не оказывается над поверхностью связи, то система с односторонней связью движется по связи. Если в окрестности некоторого момента времени траектория свободной системы оказывается над связью, то . система с односторонней связью сходит со связи. Показано, что оба критерия движения по связи эквивалентны. Приведен пример, показывающий, что для схода со связи второе условие является более сильным, т.е. его можно применять, когда классическое условие формально неприменимо.

Во втором параграфе первой главы рассмотрены критерии, основанные на вариационных принципах Даламбера-Лагранжа, Гамильтона и Гаусса. Исследован вопрос об их эквивалентности и приведены примеры. Показано, что все эти условия эквивалентны в случае, когда нули множителя Лагранжа изолированы, например, когда все функции -аналитические.

связи, траектория "свободной" системы отличается от траектории системы со связью на величину порядка НИ, где N - безразмерный коэффициент упругости.

Второй параграф посвящен сходу системы со связи. Оказывается, что в окрестности схода со связи отклонение системы со связью от соответствующей "свободной" системы может быть порядка квадратного корня из 1/М. Как для движения по связи, так и для схода со связи, скорости обеих систем отличаются на величину того же порядка. Приведен пример, показывающий, что эти оценки неулучшаемы.

Доказательства теорем основаны на результатах, полученных В.В.Козловым и А.И.Нейштадтом для систем с двусторонними связями [9]; как и в случае реализации двусторонней связи, общие результаты Тихонова и Градштейна [30,31] о сингулярно возмущенных уравнениях неприменимы.

В третьей главе рассматривается общий случай реализации связи, когда полупространство заменяется вязко-упругой средой Кельвина-Фойгта, а затем коэффициенты жесткости, вязкости и присоединенные массы (величины порядка АО согласованным образом устремляются к бесконечности. В первом параграфе формулируется и доказывается теорема о том, что такое предельное движение существует. В случае, когда исходная система с односторонней связью движется по связи, движение "свободной" системы отличается от движения системы со связью на величины порядка 1/Ы. Полученная модель движения получила название (а,/3,у) - модели: А1а, N{3 и Ыу -

присоединенные массы, коэффициенты вязкости и упругости соответственно. Момент схода со связи в классическом случае и в таком предельном движении может не совпадать. Возникает эффект запаздывания схода со связи, который изучен во втором параграфе. Получены оценки запаздывания схода со связи.

Задача реализации односторонней связи большими упругими силами, как предельный случай (а,0,1)-модели когда параметр а устремляется к нулю, рассматривается в третьем параграфе. Получены оценки движения "свободной" системы в "запрещенной" области.

Частный случай реализации связи только силами вязкого трения отдельно исследован в четвертом параграфе третьей главы. Доказана теорема о предельном переходе: при устремлении коэффициента вязкости к бесконечности предельное движение существует, и полученная система будет двигаться по связи, удовлетворяя классическим уравнениям Лагранжа, до тех пор, пока среднее значение реакции двусторонней связи для соответствующей системы не обратится в нуль. Если в этот момент времени реакция отрицательна (а это общий случай), то происходит сход со связи. Теорема доказывается с использованием результатов [12,13,32] о реализации связи анизотропным трением и о сингулярно возмущенных уравнениях.

Четвертая глава диссертации посвящена выводу вариационного принципа Гамильтона для (0,1,0)-модели, т.е. в

случае, когда односторонняя связь реализовывалась только силами вязкого трения.

Результаты, представленные в диссертации, докладывались на научных семинарах кафедры теоретической механики МГУ, конференции "Чебышевские чтения", и содержатся - в работах автора [33-35].

Глава 1.

Сравнительный анализ различных условий движения и схода со связи

§1. Основные условия схода со связи

п.1. Определение движения системы с односторонней связью.

Пусть дана натуральная механическая система с

конфигурационным пространством Я" = {х}, на которую наложена голономная идеальная односторонняя связь /(х) > О,

и пусть гладкое отображение х: [0,7] —> Я" - движение этой системы.

Определение I. Система с односторонней связью движется по связи, если в процессе движения выполняется равенство /(х)=0. Система сходит со связи в момент времени г, если до этого момента времени система двигалась по связи и для любого достаточно малого £ > 0 найдется такой момент *е(г,г + <?], что/(х(0) > 0.

Очевидно, что это определение не представляет конструктивного условия схода со связи. Прежде следует дать

строгое определение самого движения системы с односторонней связью.

Определение 2. Движение системы с односторонней связью

- это отображение х: [0,7] —» Я", которое удовлетворяет уравнениям Лагранжа

Г V дТ

\дх у

/ \ дТ

дТ д{

\дх у

/('»0 (1-2)

при этом множитель Лагранжа Л - неотрицательный.

Как известно, уравнения (1.1) описывают движение системы с двусторонней связью Дх)=0.

Отметим, что задача о существовании и единственности решений системы (1.1)-(1.2) до конца не решена: имеются примеры гладких систем с регулярной границей /(х)=0, для которых существование движений оказывается под вопросом (см. [18]). Кроме того, после схода системы со связи возможны удары, поэтому уравнения (1.1)-(1.2) следует дополнить гипотезами о природе ударного взаимодействия (см. [19]).

п.2 Формулировка основных условий схода со связи. Условие 1. Система (1.1)-(1.2) движется по связи в интервале времени 0 < Ь < г, если существует отображение

х: [0,г] -> Яп ,

удовлетворяющее уравнениям (1.1) и условию Л>0. Если для любого достаточно малого е > О и решения

х: е(т,т + е) -> К"

уравнений (1.1) множитель Л становится отрицательным, то

система сходит со связи в момент времени т.

Условие 2. В каждый момент времени 0<1<г рассмотрим решение х1: т] —> К" уравнений

( \ дТ

дх

дх (1-3)

такое, что х1 (I) = ), х{ (/) = х(/), где х{1) - решение уравнений Лагранжа с двусторонней связью (1.1). Если отображение удовлетворяет условию

в окрестности момента времени I, то система с односторонней связью движется по связи в указанном интервале времени. Если для момента времени т и некоторого £ > 0 решение системы

(1.3) таково, что

/ > О, Т <1<Т + £,

то система с односторонней связью в момент времени г сходит со связи.

Замечание. Условие 1 является классическим и фигурирует во многих руководствах по теоретической механике. Условие 2 сообщено автору В.В.Козловым и в литературе, по-видимому, не встречалось.

п.З. Сравнительный анализ основных условий схода со

связи.

Предложение 1. Условия 1 и 2 для движения по связи эквивалентны.

Доказательство. Пусть отображение х: [0,г] —» Я" -решение уравнений (1.1) такое, что множитель Лагранжа Л> 0. Рассмотрим произвольный момент времени 0<?<г. В окрестности точки х(() можно ввести полугеодезические координаты так, чтобы связь задавалась неравенством

дп >0 и кинетическая энергия Т имела вид

Известно, что такие координаты всегда существуют (см., например, [18,36]). Последние уравнения систем (1.1) и (1.3) будут иметь вид соответственно

1 -2

= ^я + Я(0, д„ = 0 (1.5)

х-« да„„ • • 1 да„„ -2 дТ* _

(1.6)

/ ^ 2

При этом первые п-1 уравнений этих двух систем совпадают. Если точка движется по связи в смысле условия 2, то в

момент времени Г ускорение #и(0 не будет положительным.

Положив в уравнении (1.5) значения Я„, Ц„ и дп равными

нулю и сравнив с уравнением (1.6), получаем Л>0, т.е. выполняется условие 1.

Пусть точка движется по связи в смысле условия 1. Тогда при некотором значении д > 0 множитель Л > 0 в интервале - д, I + 6]. Сравнивая уравнения (1.5) и (1.6), получаем

дя(0<о.

Если неравенство строгое, то условие 2 выполнено.

Допустим, что = ^ и условие 2 не выполняется.

Рассмотрим случай, когда координата будет постоянно осциллировать, меняя знак в сколь угодно малой ^-окрестности момента времени Другие случаи расматриваются аналогично.

В любой ¿■-окрестности точки / найдется такой момент что чМ>0, ЯпЮ = 09 дя(О<0

и следующий момент времени, в который координата становится равной нулю, находится в этой же ^-окрестности.

Пусть момент времени Т е . локальный максимум ускорения Цп,Т£ — Тогда будут выполняться неравенства

Разложим правую часть уравнения (1.6) в ряд по :

ат*

дЧп

(1.7)

и воспользуемся неравенствами (1.7). Тогда в момент времени

<*пп<1п

у дапп

8Чп +

1 да

пп

2 дц,

(^<7„)2+|Я,1у<?„

Устремляя е к нулю и используя ограниченность всех функций получаем, что апп стемится к нулю, что противоречит предположению о невырожденности квадратичной формы (1.4). Предложение доказано.

Условие 1 для схода со связи применимо не всегда: существуют примеры, в которых начиная с какого-то момента времени г множитель Л осциллирует, постоянно меняя знак. Однако в некоторых таких случаях можно применить

условие 2. Рассмотрим пример, показывающий, что условия 1 и 2 для схода со связи неэквивалентны. Пример 1. Рассмотрим систему:

у = О, t<0

у = [е~т2 (со8(1 /11) +1.1))" + Л, / > О ^ > о, Я > О

с начальными условиями >>(-1) = 0, >4-1) = 0.

Движение системы при / > 0 задается равенством

У = е 1/1 (соз(1 / / 2) +1.1); очевидно, что в момент ? = 0 система сходит со связи и можно применять условие 2. Формально используя условие 1, получаем, что множитель Лагранжа

Я(/) = -{е~т2 (сов(1 / /2 ) +1.1))"

при / > 0 не является отрицательным, следовательно, условие 1 неприменимо.

Не следует считать, что условие 2 для схода со связи универсально: в некоторых случаях в окрестности момента времени т, подозрительного на момент схода со связи, свободная система бесконечное число раз пересекает поверхность связи /(х)=0.

Замечание. Оба условия становятся универсальными, когда нули множителя Л изолированные (в частности, простые).

§2. Вариационные принципы.

п.1. Условия движения и схода со связи для принципа Даламбера-Лагранжа.

Движение х: [0,7] —> Я" системы с односторонней связью можно определять с помощью вариационных принципов. Рассмотрим принцип Даламбера-Лагранжа применительно к системе с односторонней связью.

Определение 3. Отображение х: [0,7] -» М - движение,

если в любой момент в