Регулирование собственных частот упругих систем с помощью дополнительных связей и масс тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РСФСР

Томский ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени политехнический институт км. С.М.Кирова

На правах рукописи

МАЛЁТКИН Олег Юрьевич

РЕГУЛИРОВАНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ УПРУГИХ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ СВЯЗЕЙ И МАСС

Специальность 01.02.Об-Д'.шамика, прочность машин,

приборов и аппаратуры

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Томск - 1990

' / , ■ *

/ ✓ : /у X

Работа- выполнена на кафедре, сопротивления материалов Томского политехнического института им. С.М.Кирова

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИШЬ - доктор технических наук, . ' . профессор Ляхович Л.С.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ - доктор технических наук,

профессор Лазарев И.Б.

- кандидат физико-математических наук, доцент Масловский В.И.

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ - НИИ прикладной математики и механики

Защита диссертации состоится " '2 ь - дящь^ 1990 г.

часов на заседании специализированного совета

К 063.60.04 в Томском политехническом институте им. С.М.Кирова та адресу: 634001, г,Томск, пр.Ленина, 30, ауд._ .

С диссертацией молено ознакомиться в библиотеке института.

".2*2" 1990 г. №

Автореферат разослан

Ученый секретарь Специализированного Совета, доктор технических наук, ^

доцент / \ ^ . ^у,

С"/^1*/ Ул^ Л.А.Саруев

в

'АКТУАЛЬНОСТЬ ТКМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. Создание высокопроизводи-' !

'^тельных машин и сгчостных транспортных средств неизбежно приводит ¡«"увеличению интенсивности и расширению спектра вибрационного и виброакустического воздействия. Этому способствует также широкое использование и промышленности и строительстве высокоэффективных вибрационных и виброударных процессов. Из-за вибрации увеличиваются динамические нагрузки, действующие на элементы конструкций, ■стыки и сопряжения, снижается несущая способность деталей, возникают усталостные разрушения.

Перечисленные факты указывают на актуальное значение разработки средств и методов, обеспечивающих надежную работу конструкций в условиях вибрации.

Одним из таких методов является регулирование собственных частот конструкции путем изменения ее кесткостных и инерционных параметров. При реконструкции существующих зданий и сооружений изменение жесткоетных и инерционных параметров в большинство слу-:,-чаев возможно только за счет введения дополнительных связей и масс. Анализ имеющихся исследований по проблеме регулирования собственных частот упругих систем с помощью дополнительных связей и масс, свидетельствует об актуальности рассматриваемых задач. Но несмотря на большое количество работ по данному вопросу, проблему нельзя считать решенной. В частности, мало ра: •. . метода регулировав!;; частот при помощи масс, практически не сматривал:«ь способы регулирования частот путем совместного наложения связей и масс. Поэтому возникает необходимость я ;;алг-не'.¡шеи исследования данной проблей).

ЦЕЛЮ ДИССЕРТАЦИИ является обссиоваазд ч розработк.-; глете-дов регулирования собственных чво-.от упругих систем с -.V -г числом степеней свс5одч при пегюци допо.пмтел1 :дах сз.у.-сй е. касс.

На оснозе этих исследований необходимо построить вычислительные алгоритма, позволяющие решать задачи регулирования собственных -частот упругих систем в различных вариантах.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА РАБОТЫ. В диссертации исследованы свойства собственных значеккй матрицы динамической жесткости упругой системы, на основе котсрис получка ре ценя я ряда задач регулирования собсгзеннмх частот. Сформулированы критерии оптимальности дополнительных упругих опор и масс в задачах регулирования собственных частот. Получены условия, которым должны отвечать дополнительная опорная система и дополнительная система масс, прицельно регулкру^дие собственно частоты. Предложена конструкция и расчзт кинематического устрс":тва, являющегося реализацией прицолъной системы дополнительных марс.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ РАБОТЫ. Предложенная методика позво-. ляет рассчитцзать рациональные дополнительные линейные связи и некснсзруктигные массы, регулирующие собственные частоты основной конструкции до-заданных величин. Результаты диссертационной работы могут быть использованы при решении задач по отстройке резонансных частот различных вибрирующих систем, например, при установке нового виброактивного оборудования во время реконструкции.

Разработанные способы приняты к использованию в институте УкрИйИлроектсг&льконструкция г.Киев для разработки программного обеспечения по расчетам реконструируемых зданий и сооружений.

НАУЧНЫЕ ПОЛОШИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ-.

1. Свойства собственных значений матрицы динамической жесткости упругой системы и их использование для решения задач регулирования собственных частот.

2. Критерии оптимальности дополнительных связей и масс в задачах регулирования собственных частот упругих систем.

3. Получение уравнений и синтез по ним прицельных связей и прицельной систе'ль. дополнительных масс регулирующих величину лишь одной собстьинной частоты без изменения величин остальных собственных частот.

4. Расчет устройства, обеспечивающего реализацию прицельной систеш дополнительных масс.

5. Построение расчетных алгоритмов на основе предложенных методов.

АПРОБЛЦИЯ РАБОТУ. Результаты исследований доложены и обсуждены на Всесоюзном семинаре по строительной механике при Ленинградском политехническом институте (г.Ленинград, 1989 г., руководитель семинара д.т.н., профессор Розин Л.Л.); на Второй Всесоюзной школе-семинаре "Актуальные проблемы оптимизации конструкция" (г.Владимир, 1990 г.); на научно-техническом семинаре кафедры "Сопротивление материалов" Томского политехнического института (г.Томск, 1933 г.); на научно-техническом семинаре кафедрц "Строительная механика" Томского инженерно-строительного института (г.Томск, 1989 г.).

Диссертация обсукдена и одобрена на научно-техническом семинаре кафедра "Сопротивление материалов" Томского политехнического института (г.Томск, 1990 г.).

ПУЕ/ЩДЦНИ. Г1о результатам выполненных исследог». «;й опубликовано четыре статьи.

ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка' литературы. Она с держит 117 страниц, в том числе 97-страниц машинописного текста, 23 рисунка, 13 таблиц, 82 наименования литературы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В ПЕРВОЙ ГЛАВЕ формулируется постановка задачи о регулировании собственных частот упругих систем с помощью дополнительных связей и масс. Рассматриваются малые свободные колебания некоторой исходной упругой системы "Ц с конечным числом степеней свободы ^ , описываемые уравнением:

1А - = о, (и

гДе А ~ матрица статической жесткости системы ; М - матрица масс; ОЬ - частота колебаний; У - вектор формы собственных колебаний. Кроме исходной упругой системы IX вводятся понятия дополнительной опорной системы и системы дополнительных масс . Дополнительная опорная система £>с есть система некоторых линейных связей, накладываемых на исходную систецу. XI . Пусть при наложении опорной системы »>« на исходную систему XI получена модифицированная система XI . Тогда потенциальная энергия П системы И будет равна:

Здесь С - Матрица жесткости системы £>с . '

Система дополнительных масс »Ц} есть не обладающая потенциальной энергией система сосредоточенных неконструктивных масс, 'вкладываемых на исходную систему И . Пусть в результате такого наложения получена модифицированная система ТД . Тогда кинетическая энергия Т системы ТТ будет равна:

Т*=^Ут(И+Ь)У= ^гу>гу о)

Здесь Ь - матрица масс системы .

Отмечено, что общие законы изменения частот системы при из-

менениях потенциальной или кинетической энергий системы, а также при наложении связей сформулированы в трудах Рэлея Дж., Куранта Р., Фишера Е. Дальнейшее развитие вопрос регулирования частот с помощью рациональных связей голучил в работах отечественных и зарубежных ученых, среди которых следует отметить И.Г.Бубнова, Д.М.Гитермана, М.Д.Дольберга, Л.С.Ляховича, Я.Л.Нудельмана, В.Ф.Фишера, А.Н.Плахотина, Б.Акессона, Н.Ольхоффа, Д.Тейлора. Исследованию проблемы регулиропания частот системы с помощью дополнительных масс посвящены работы С.А.Герпгорина, Ф.Р.Гантма-хера, М.Г.Крейна, Ё.Л.Макаровского, Л.П.Малинсчского, Ю.Г.Сгояна и других ученых. На осноае анализа приведенных работ формулируются основные цели и задачи диссертации.

Пусть исходная упругая система IX имеет спектр собственных частот (¿1 ( и = I + IV ). Общую задачу регулирования частот упругой системы сформулируем в виде: с помощью наложения на исходную упругую систему дополнительных связей и Сили) неконструктивных масс, освободить заданный частотный интервал (несколько интервалов) от собственных частот.

В зависимости .от способа реиенкя: I) с помощью связей; 2) с помощью масс; 3).совместным наложением связей и масс; - общая задача может иметь следующие варианты.

Задача I. Создать такую дополнительную опорную систему £>с, чтобы при наложении ее на исходную систему "Ц" , частоты ОУ[ модифицированной системы удовлетворяли условию:

V = л -V- IV . и)

Задача 2. Создать такую'систему дополнительных маге £> !> ,

чтобы при наложении ее на исходную систему. О" , частота цс-!мч XIЛ удовлетворяли условию:

¿0? ¿Ра, {5)

дифицированной системы XI*

Задача 3. Создать такие системы и , чтобы при наложении их на исходную систему LT частоты модифицированной системы U удовлетворяли условию:

Здесь р, , рг и р^ - заданные величины.

Способ решения каждой из этих задач будет во многом зависеть от конкретного вида систем и . В диссертационной работе рассматриваются методы решения сформулированных задач для дополнительных систем следующих частных типов.

I тип. Система £>с в виде конечного числа отдельных упругих опор одинаковой жесткости. Система в виде конечного числа сосредоточенных масс одинаковой величины.

" 2 тип. Система £>с в виде отдельных упругих опор различной жесткости. Система в виде конечного числа сосредоточенных масс различной величины.

3 тип. Прицельная шпренгельная опорная система £>с . Прицельная система дополнительных масс в виде кинематического устройства.

ВО ВТОРОЙ ГЛАВЕ получены решения задач регулирования собственных частот с помощью дополнительных систем £>с.и первого частного типа. Для такого случая матрица жесткоети системы и матрица масс системы будут иметь вид, соответственно:

С = сЪс, <?>

ь = ; . (о)

Здесь: С - жесткость опор; К* - величина дополнительных масс; % и Dfc - единичные диагональные матрицу порядка IV* Н» , имеющие ( tV -fe ) нулевых диагональных элементов по тем координатам, в направлении которых дополнительные опоры (массы) отсутствуют;

6. - число упругих опор (масс). При решении задач 1-3 с помощью систем £>с и типа (7), (8) определению подлежат три вида неизвестных: р, - число опор (масс),С - величина жесткости опор (массы), направления их введения. Наименьшее число опор (масс) и наиболее выгодные направления их наложения, необходимые для решения сформулированных задач могут быть получены на основании известных качественных теорем, приведенных в первой главе. Для определения величин С и в диссертационной работе предложен простой способ на основе анализа свойств собственных значений 51 матрицы динамической жесткости К. .

При колебаниях системы

ЪЕ с некоторой частотой р матрица имеет вид:

. £=ЦА-р*М1\. (9)

Собственные значения Я, матрицы й определятся из уравнения

1К-ЯЕ1«о. (ю)

Рассмотрим собственные значения Д. как функцию параметра р*" . Для заданной системы И график функции ЯСр*) представляет собой семейстзо IV монотонно убывающих кривых ^СрО (рис. I). При значениях р = ( I. = 1 + IV )имеют место следующие соотношения:

Я-/«!) = о;

В случае, когда дополнительные опоры (массы) накладываются по направлениям всех степеней свободы исходной системы "Ц Т^а = = Б ) величины С и % могут быть получены непосредственно-по графику •Я.Ср") (рис. I и 2), либо р'^литичесни.

После наложения на исходную систему IV упругих опор жесткостью С матрица К модифицированной системы. Ц будет

(14)

(15)

равна:

А + сЕ. (ю

Собственные значения определятся из уравнения:

(ш

Сравнивая (9) к (12), а затем (10) и (13) получаем

и- ч-т-л..

Откуда, в соответствии с (II) имеем:

Таким образом, жесткость опор С , необходимая для решения задачи I, определится из (15) при р = р< . Аналогично, величина дополнительных масс % , решающих задачу 2 определится из выражения:

% « . (16)

Величины и. С , решающие задачу 3 определятся из уравнений:

% -р.*), (17) ср:- ро. (18)

Для более общего случая, когда число дополнительных опор (масс) меныке числа степеней свободы исходной системы ( IV,

Е , т/В ), аналогичные решения задач 1-3 получены в диссертационной работе с помощью собственных значений 5 уп-. лотненной матрица динамической жесткости £ . Матрица порядка получается кз матрицы " порядка IV х Л* с помощью исключений по Гауссу-Жордану. При этом разрешающими являются

) диагональных элементов с номерами координат, по которым не вводятся дополнительные опоры (массы). На рис. 3 и 4 показано графическое решение задач 1-3 по графику .^ССр*) • В от-

Рис. 2.

0 il . p-, К e> V * ~ Ol; * - (4*>г;

J \ <£9 m> i ^рГх *

Рис. 4.

личие от функции , функция jl^p*-) имеет ( tt- - ) раз-

—г

рывов при значениях , физический смысл которых есть часто-

ты модифицированной системы U , в которой дополнительные опоры являются абсолютно жесткими.

Б ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ рассматривается решение задач 1-3 для дополнительных систем £>с v. второго частного типа. В этом случае задачи регулирования частот преобразуются в задачи минимизации стоимостной функции дополнительных систем £>с и при ограничении на величины собственных частот. Решение производится аналогично известным регаениям этих задач с помощью метода множителей Лагракжа.

При решении задачи I требуется минимизировать функцию стоимости дополнительных опор Vc при ограничении на величины собственных частот ! 4) - £

Vc=Z<vcL. (19)

1*4 v

Здесь С;, - жесткость L. - ой опоры; «¿v». ~ стоимостной коэффициент.

Для получения решения был составлен функционал Лагранжа

Условия стационарности по , j^l и Jb примут вид, соответственно 1

о, >= (su

(23)

Поскольку определяются с точностью до множителя, aJL^COitSt,

то полагая J& = I, получим

Таким образом, в форме собственных колебаний упругой систеыь с оптимальными упругими опорами абсолютные величины квадратов перемещений по направлению проектируемых упругих опор имеют те же соотношения, что и коэффициенты при в выражении (19). Это свойство форм собственных колебаний является критерием оптимальности связей и может использоваться при проектировании оптимальных упругих опор.

При решении задачи 2 требуется минимизировать функцию стоимости дополнительных масс при ограничении на частоты колебаний (5).

А, 0

(26)

Здесь величина I,- ой дополнительной массы; о^- стои-

мостной коэффициент.

Для получения решения составляется функционал Лагранжа:

Те = зь^А + >С к^х* > - Р- (ч>У)1 . . <»> •

Из условий стационарности по переменным проектирова- <

ния получен критерий оптимальности распределения дополнительных масс, аналогичный (25):

При решении задачи 3 требуется минимизировать функцию стоимости \^£при ограничении ка частоты колебаний (6).

Для получения решения был составлен функционал Лаграняа

ти - ^ - +соео-

Из условий стационарности по переменным проектирова-

ния получены соотношения» однозначно определяющие абсолютные значения координат форм колебаний, соответствующих требуемым частотам р« и р* :

илиь. (32)

Выражения С 31) и (32) являются критерием оптимальности дополнительных опор и масс для случая, когда' число и точки наложения масс я опор совпадают;.

Рассмотрев методом перебора все возможные сочетания знаков перемещений и и вычислив из. уравнений типа (22) набо-

ры жесткостей опор С^ или величин дополнительных масс ^ , приходим к оптимальному решению.

В ЧЕТВЕРТОЙ ГЛАВЕ решаются задачи прицельного регулирования собственных частот наложением дополнительных опорных систем и систем дополнительных масс с одной степенью активности.

Прицельным регулированием называется изменение одной из собственных частот до заданного значения, при котором остальные частоты из рассматриваемого интервала не меняют своих величин. То есть для собственных частот исходной и модифицированной (/&*)

систем справедливы соотношения:

* (33)

В диссертационной работе доказано, что условие (33) не может быть выполнено путем наложения на исходную систему И конечного числа отдельных упругих опор. Для того, чтобы опорная система выполняла условие (33) необходимо равенство нулю работ, выполняемых обобщенной реа-тквной силой , порождав-

юй системой , на соответствующих перемещениях - I) рорм колебаний. Существование такой опорной системы вытекает из георемы Д.М.Гитермана, согласно которой составляющие обобщенной реакции опорной системы , выполняющей условия (33), должны удовлетворять системе (£- I) линейных алгебраических уравнений с £ неизвестными /

> (34)

В настоящее время единственным известным примером опорной системы £>с , позволявшей реализовать заданные соотношения между реакциями в точках контакта с основной конструкцией (34), является шпрвнгель, построенный по веревочному многоугольнику, для заданного силового вектора С?«, (рис, 5, а,б).

В диссертационной работе рассмотрен вопрос фор/иров&ния матрицы жесткости прицельной опорной системы с одной степенью активности. Показано, что конкретные размеры элементов шпренгеля могут определяться из условия минимума веса шпренгеля при варьировании величиной полисного расстояния Н (рис. 5, б), либо назначаться в соответствия с конструктивными ограничениями.

Далее в четвертой главе диссертации решается задача по синтезу системы дополнительных масс с одной степень» активности, наложение которой на исходную систем IX привадит к выполнению условия (33). При этом частота ^ уменьшается до заданного значения Р« .

Составляющие обобщенный силы инерции £3«. , источником которой является система , выпо; шющая условия (33), должны удовлетворять систомс ( - I) линейных алгебраических уравнений с -С- ноиз неегнши

Д = А, 2,...

В диссертационной работе предложен вариант реализации прицельной системы дополнительных масс в виде кинематического устройства, представляющего собой обратный веревочный многоугольник (рис. 5 в), на одном из концов которого в месте шарнирной опоры на блоке подвешена сосредоточенная масса .

Величина сосредоточенной массы подбирается из условия выполнения первого равенства из (33).

Все способы ревения задач регулирования собственных частот упругих систем, описанные в диссертационной работе иллюстрируются примерами.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные результаты данной работы могут быть сформулированы следующим образом:

I. Сформулированы задачи регулирования собственных частот упругих систем при помощи дополнительных опорных систем и систем ' дополнительных масс следующих частных типов:

1 тип. Дополнительная опорная система в виде конечного числа отдельных упругих опор одинаковой жесткости. Дополнительная система в виде конечного числа сосредоточенных масс одинаковой величины.

2 тип. Дополнительная опорная система в виде отдельных упругих опор различной жесткости. Дополнительная система масс в виде сосредоточенных масс различной величины.

3 тип. Прицельная шпренгельная опорная система. Прицельная система дополнительных масс в виде кинем^т-и чес кого уст-

юйства.

2. Для дополнительных систем первого типа получены решения 1адач регулирования собственных частот на основе анализа свойств :о<5стпскных значений матрицы динамической жесткости. При этом сражения, определяющие величину жесткости опор и величину до-голнительних масс получены в явном виде.

3. При решении задач регулирования собственных частот для дополнительных систем второго типа сформулирована критерии олти-!а.чьности дополнительных опор и масс.

4. Получены условия, которым должны удовлетворять дополнительные системы третьего типа для реализации свойства прицель-гости.

5. Предложена конструкция и расчет прицельной системы до-юлнительных масс в виде кинематического устройства.

6. Сформулированы и решены задачи регулирования собственных частот основной упругой системы путем совместного наложения до-юлнителъных опорных систем и дополнительных систем масс.описанных частных типов.

7. На основе полученных теорем и критериев разработаны шгориткш решения задач регулирования собственных частот с по-«хцью дополнительных систем описанных типов.

8. Показано, что несмотря на существенную качественнуг разницу влияние связей и влияние дополнительных масс на собственные частоты имеют характерные общие закономерности.

9. На конкретных примерах продемонстрированы возможности разработанных методов и алгоритмов, показана их точность и эффективность.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ИЗЛОЖЕНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ:

I. Ляхович Л.С., Мале?кия О.Ю. О прицельном регулировании собственных частот упругих систем//Изв.вузов. Строительство и архитектура. - 1990. - » I. - С. 113-117.

- го -

2. Ляхович Л.С., Малёткин С.Ю. Решение задач регулирования собственных частот упругих систем на основе анализа свойств соб ственных значений матрицы жесткости// $.<зика быстропротекающих процессов: Сб. статей/Томск, Изд-во Том. ун-та. -"1990. -

3. Ляхооич Л.С., Малиновский Л.П., Малёткин О.Ю. Оптимальное проектирование б задаче об устойчивости и--собственных колебаниях упругих систем//Актуальные проблем оптимизации конструкции. Тезисы докладов II Всесоюзной школы-семинара. Суздаль-Влад! 20-23 февраля Г990. - С. 64-65.

4. Малёткин О.Ю. Использование свойств собственных значени! матрицы жесткости для решения некоторых задач регулирования собственных частот упругих систем/Том.- инж.-строит, ин-т.-Томск, 1990. - 21 е., Дел. в ВИНИТИ 6.04.90., № 1907-В90.