Регуляризация неустойчивых критериальных задач и решение несовместных операторных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Ы1Н1С1ЕРСТВ0 0СВ1ТИ УКРА1ЭД КИ1ВСЫШЙ ШВЕРСИТЕТ 1м. ТАРАСА ШЕВЧЕИКА

Г Б ОД

, На правах рукопису

/ ИОП

ЛЕВ1Н ОШСАНДР МОЙСЕЙОВИЧ

РЕГУЛЯРИЗАЩЯ КЕСТ1ЙКИХ КРИТЕРШЬНИХ ЗАДАЧ ТА РОЗВ'ЯЗАННЯ НЕСУМ1СНИХ ОПЕРАТОРНИХ Р1ВНШ{Ь

01.01.07 - осчислювальна математика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертацП на здобуття наукового ступеня доктора ф1зико - математичних наук

Ки1в - 1995

Дисертац1ею в рукошс.

Робота вяконаяа в Донбаськшу г1рничо - мегалург-Шноиу 1нс1*итуз1.

Науковий консультант: доктор ф1зико-математичних наук, профэсор, Петун1н ЮЛ.

0ф1ц1йн1 опоненти:

1. Доктор ф1зяко-математнчних иаук, профасор, Вад1рака В.К,

2. Доктор ф1зико-математвчних наук, професор, Сявавко М.С.

3. Доктор ф1зико-математичних наук, прсфзсор, Васил'ев ©.П.

Пров1дна орган1зац!я: 1нстигут математики НАН Укра1ня, и. Ка1в.

Захист в1дбудеться «ЛЗ» <М 1995 р. на зас1данн1

спец1ал1зоваво1 вчвно! рада Д 01.01.23 Ки1вського ун1верситету 1мен1 Тараса Шевченка, Ки1в, пр. Глушкова, 2, корт, б, ф-т кЛберне-

тики. ауд. 40. (Тол. ,(044-) 266-12-58. Факс 266-12-48. Е-еа11

3 дасертац1ею мота ознайоматися у Науков1й б1бд1отец1 Ки1вського ун1верситету 1мзн1 Тараса Шевченка, Ки1в, вул. Всхйадашрська, 58.

Автореферат роз1слаяий

40 1995 р.

Вчений секретар спец1ал1зовано1 вчено! ради

В.П.Шевченко

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальн!сть теми. В останн! десятир1ччя в1дбувався 1нтенсив-ний розвиток теорП некоректно поставлених задач (НПЗ). В1н був зу-новлений практичними потребами в таких галузях, як обчислювальна томограф^, грав1метр!я, геоф!зика, нест1йк! задач! управл1ння, оптимального планування та синтезу, матемагичне моделювання технолог!ч-них процес1в, обернен! задач1 теплопров1дност1, астроф1зики, опиши та 1нш1 обернет задач!, застосовна механ!ка та математична ф1зика, теор1я апроксимац!!, статистика, обчислювальн1 задач! лШЯно! ал-гебри, чисельн! метода розв'язання 1нт0гральних р!внянь;

Основи теорП некоректно поставлених задач були закладен! у роботах А.М.Тихонова, М.М.Лаврентьева, В.КЛванова. Даний напрямок об-числювалъно! математики розвивався у працях иих автор1в та в роботах

B.Я.Арсен1на, О.Ы.Ал1фанова, А.Б.Бакушинського, Г.М.ВаЙн!кко, Ф.П. Васильева, В.В.Вас1на, В.О.Винокурова, В.В,Воевод1на, Ю.Л.Гапоненко,

C.Ф.Плязова, В.Б.Гласко, О.В.Гончарського, С.Джумаева, П.Н.ЗаШна, В.ВЛввнова, О.С.Леонова, О.А.Лиековця. ВЛ.Мелешко, В.О.Морозова, ЮЛ.Петун!на, А.Н.Пличко, I.П.Рязанцево!, В.Н.Страхова, В.П.Танаш, А.М.Федотова, А.Г.Яголи, Д.Кодтона, Г.Е&гла, С.Грьотча, В.Камерера, М.З.Нашеда, А.Нойбауера, Д.ФШпса та багатьох 1нших автор!в.

Зг!дно Адамару, задача розв'язання операторного р!вняння в мет-ричних просторах назиьаеться коректно поставлено», яидо для будь яко! право! частный р!вняння мае единий розв'язок, який неперервно залекить в1д право1 частини. Узагальненням понягтя коректност1 у ви-падку несум1сного операторного р!вняшя е 1снування, един1сть 1 ст!йк1сть Його псввдорозв'язку, тобто такого елементу, який м!н!м1-зуе в!дхил р1вняння. Аналог1чно моке бути сформульована коректн1сть задач1 м1н!м1зац!1 функц1онал!в загального вигляду як Юнування 1 едннЮть розв'язку задач1 м1н!м1зац!1 та його ст1йк!сть при збурю-ва>ш! функц!оналу.

• На практиц! виникае неоОх1дн1сть у розв'язакн1 задач, не задо-вольняючих перел1ченим вщв вимогам коректност!. Основним поняттям теорП НПЗ е запровадкене A.M.Тихоновны поняття регуларизутого си~ гормплу (РА). В перел1чених вще "аргументних НПЗ" у припущенн1 1с-нування у вих1дн1й задач1 розв'язку (псевдорозв'язку) будуеться алгоритм знаходаення по збуреним вх1дним даним 1 деяк1й додатков1й 1нформац11 наближеного розв'язку (псевдорозв'язку), яке наближаетъся до шуканого у прагненн! похибки вх1дних даних до нуля.'Методам регу-ляризацИ аргументних НПЗ присвячена пере ваша частша л1тератури у ц1й галуз1. Серед них мокна в1дзначити метод А.М.Тихонова, метод кваз1розв'язк1в В.КЛванова, метод регуляризацН М.М.Лаврентьева для р1внянь з самосполучеюши операторами, метод вЛдхилу, узагальнений метод вХдхилу 1 узагальнений принцип вЛдхилу для метода A.M.Тихонова, метода дескриптивно! регуляризацН. 1терац1йн1 метода регуляризацН, метода регуляризацН задач м1н1м1зац11 функц1онал1в та роз-в'язання вар1ад1йних нер1вностей, метода статистично1 регуляризацН.

Розроблена велика к1льк1сть принцип1в вибору параметру регуля-ризацИ у метод1 А.М.Тихбнова, таких як згаданий вшце принцип в1дхи-лу 1 узагальнений принцип в1дхилу, принщши кваз1оптимальност1 1 в1дношення, принцип стабШзуючого функц1оналу.

У роботах В.О.Винокурова, Ю.Х.Петун1на, А.Н.Пличко, е.Н.Доман-ського, Л.Д.Мен1хеса, Н.С.Распопово! досл1щкувались теоретичн1 аспекта регуляризуемост1 в1добракень та сум1жн1 питания. Велика к1ль-к1сть праць була присвячена поняттям оптимальност1, оптимальност1 по порядку, асимптотично! оптимальност1 РА. У роботах А.Б.Бакушинсько-го, Г.М.8айн1кко, О.Ю.Веретенн1кова, О.В.Гончарського, С.Ф.Плязова, 1.В.емел1на, М.О.Красносельського досл1даувались загальн! принципи побудови РА для аргументних НПЗ, у тому числ1 1терац1йн1 процедури.

Велика к1льк1сть роб1т була присвячена методам ск1нченном1рно! апргкскмац11 регуляризуючих алгоритм!в аргументних НПЗ, ефёктивним

методам пошуку параметра регуляризацИ та розв'язанню НПЗ на ЕОМ.' Сорвд них мокна в1дзначити робота А.Б.Бакушнського, В.В.Вас1на, В.В.Воевод!на, О.В.Гончарського, ВЛ.Гордоново!, В.ВЛванова, O.e. Леонова, В.О.Морозова, В.П.Танани, А.Г.Яголи; роботи В.Я.Арсен1яа. М.В.Ареф'ево!, О.Ф.Сисоева з ввидких регуляризуючих алгоритм1в для р1внянъ типу згортки; А.М.Тихонова, В.1.Ям1тр1ева, G.В.Захарова з метод1в саморегуляризацП розв'язання 1нтегральних р1внянь I роду;

A.М.Тихонове, А.А.Рют1на, Г.М.Агэян з ст1йких метод1в розв'язання задач лШйного програмування; Ф.П.Васильева з регуляризацИ задач м!н1м!зац11 ка наближено задаю«, мнохинах; а такой роботи Б.Ал1ева,

B.В.Бадево!, 0.1.Гребенн1кова, С.Джумаева, О.ЮЛваницького, В.О. Кармаз1на, В.Н.Трушн1кова, Г.Енгла, Г.Пфбрвра, С.Грьотча, А.Ной-бауера, В.Камерера, М.З.Нашеда.

1э зробленого вице сгислого огляжу можна зробити висновок, що теор!я аргументних НПЗ та методи Ix регуляризацИ надто розвинут! 1 достатньо всеб1чно вивчен1 та широко вживаються на практиц1.

Однак, кр1м аргументних НПЗ 1снуе клвс так званих нест!йких "критер1альнихи задач (НКЗ) (або нестШдах "за функц1оналом" задач), як1 до TemplwHboro часу буш мало вивчен!. До них в1мносятъся не-ст1йк1 задач! обчислення нижн!х меа фукц!онал1в та побудови м1н1м1-зуючих посл1довностей для них без пршущення про 1снування точного розв'язку задач1 м1н!м1зац11; виникаюча при оц1нц1 адекватност! ма-тематичних моделей задача обчислення м1ри несум1сност1 опервторяих р1внянь; деяк1 нест1йк1 задач! управл!ння та ряд задач теорИ апрок-симацИ. Задач! даного типу виникають у методах 1нтегральних р1внянь Фредгольма I роду для розв'язання ел11гтичних р1внянь та в обернених задачах тешюпров1дност1. Визиесказане робить актуальною проблему побудови теорИ нест!йких критер!альних задач та створення для них спеиШьжх регуляризуючих за функц1оналом алгоритм1в. 3 цим типом нест!йких задач т!сно пов'язан! некоректн! аргумента! задач! для но-

сум1сних операторних р1внянь. метода регуляризацП яких потребують подальшого розвитку. Для л!н1йнкх насумХсних операторная р1внянь ду-же перспективним в п!дх1д побудови РА, як1 не под1пшуються на кла-сах еквГвалентних за точн1стю вхЛдних даних. У випадку нормально розв'язуваних операторних р1внянь в!н веде до оптимальних за порядком алгоритм1в, похибка яких за порядком прир1внюеться до порядку яохибки наближення оператора та право! частини.

Ц1ллю диоертаЩйно! роботи в:

- розробка та досл1дкення нового напрямку метод!в регуляризацП некоректних задач - теорП нест1йких критер1альних задач (НИЗ), яка м1стить в сое! нест1йк! задач! обчислення ниа®1х мек функц1онал1в, обчислення м1ри несум1сност1 л1н!йних та нэл1н1йних операторних р!в-нянь, задач! побудови за каближеною 1кформац1ею м1н1м1зуючих посл1-довностей функц1онал!в загального вигляду та функц1онал1в в1дхилу операторних р1внянь, нест1йк1 задач1 управл!ння, задач1 обчислення значвнь функц1онал!в на розв'язках операторних р1внянь, критер1альн1 задач1 теорП апроксимаЩ!;

- означення поняття "регуляризуючого за критер1ем алгоритму" (РКА) для р1зних клас1в НКЗ, будування та досл!дження метод1в крите-р1алыю! регуляризацП НКЗ;

- створвння ефективних метод1в чисельно! реал1зацП РКА та 1х ск1нченном1рно! апроксимэцП;

• - розвиток та досл1джекня метод1в регуляризацП розв'язання не-сумЛсних операторних р1внянь та використання в них РКА, побудова ефективних регуляризуючих алгоритма для нормально розв'язуваних р.1внянъ та задач псевдообернення;

- розробка програмного забезпечення ЕОМ для розв'язання НКЗ;

- застосувакня розроблених метод1в регуляризацП НКЗ у розв'я-закн1 р1эних тип1в обернених задач тешюпров1дност1 та в . методах ел1птичшх граничяих задач за допомогою 1нтегральних р!внянь I роду.

Наукова новина результате, як1 захюцаються у робот!, полагав в * тому, що вивчено новяй напрямок теорИ некоректно поставленях задач - Н8ст1йк1 крит9р1альн1 задач!:

- для критер1альних задач м1н1м1зац11 функц1онал1в загального вигляду сформульоваио поняття нритер!алъно! ст1йкост1, розроблен1 РКА для задач обчислення шга!х меж функц1онал1в та ст1йкого за функц1 овалом булуваяня м1н1м!зуячш: посл1довностей;

- вивчена задача обчисления м1рл несум1сност1 операторних р!в-нянь (л1п1Яних та нелШйних), досл1дкен1 властивост! м1ри несумЮ-ност1, одержан! необх1дн! га достатн1 умови II неперервност1 для л!-н1йних р1внянь, сфорыудьовано поняття регуляраэувчого алгоритму для Щв1 задач1 та побудований твкий РКА ("метод найменшо! оц1нки в Шилу" - ШОВ), що дае оц1нку вверху для м1ри нэсум1сност1, яка не по~ л1пшуеться на клас1 екв1валентних за точв1стю вх1дних даних;

- сформульована та внвчена "узагальнена задача управлШм", дано нова поняття II критер1эльно1 ст!йкост1 та зэпроваджене означения РКА для не1: знайдея! Н9обх1ди1 та достатн! умовн ст1йкост1 узагаль-нено! задач! управл1ння для лШйних операторних р1внянь у нормова-них просторах та з'ясовано зв'язок ц1е1 задач! 1 аргумента задач; доведена зб1ян1сть ШОВ при рогулярязацЯ дано! задач!;

- побудован1 еф8ктивн1 метода реал!зац11 ШОВ для задач без об-мекення, заснован1 на метод! рзгуляризвоИ А.М.Тихонова з новям принципом вибору параметра регуляризацП; вивчен! прям1 град1ентн1 нетодя для регулярязац!! задач з обмвяеннями: досл1даен1 питания ск1нченном1рно1 апроксимацП та чисельно! рвав!зец!1 РКА;

- розглянут! метода регуляризацП ряду ККЗ теорИ впроксимац!! та обчислення функц1ояал1в на розв'язках операторних р!вняяь;

- досл1джено ряд пигань ст1йкого розв'язання несум1сних операторних р!внянь та використання у таких задачвх РКА; одержан! нов! оц1кки параметра регуляризацП в узагальненому принцип! вГдхилу як

для сумЛсиих, так 1 для несум1сных р!внянь, як1 повн!стю обчислшгь-ся за вх1дкими данияц запропонован! нов1 завдци зб1ш1 в ШОВ -га в узагальненому щяшцип1 в1дхнлу модиф1кац11 метод!в Ньютона та с1чшх для пошуку параметра регудяризацН;

- дано розвиток методу регуляризац11 нормально розв'язуваних р1внянь та задач нсевдообернэння матриць 1 нормально розв'язуешет. оператор1в.

Практична ц!нн!сть разультат1в, що ы1стить робота, складаеться з того, що :

- розроблен1 РКА взит1 для розв'язання оборнених задач тепло-пров!дност1, у тому числ! оберкено! задач1 Стефана управл!ння режимами кристал1зац1! металу у вшптницях, а такок у методах розв'язання ел1птичних граничних задач за доаомогою 1нтегральних р1внякь I роду або методу неортогональних ряд!в (фуидамеаталышх роза'яэк1в>;

- створений комплекс програм Ве^Р алгоритм1чною новою ЮйШЫ для розв'язання нест1йких крытер!альж1х задач та несум!сних опера-торних р!внянь на ЕШ; _.

- результати дисертац1ано1 роботк застосовуються у навчальному пронес! Донбаського г!рничо-металург1йаого 1нституту.

Адробац!я роботи. Результати досл!даень, як1 увШши до дасер-тац11, булк докладен1 та отримали позитивну оц!нку на М1жнарода1й кокференцН "Кекоректко поставлен! задач1 у природн1х науках" (Москва, 199.1 р.), М1зкнародн1й конференцН "Теор1я наблшсеьня та задач! обчислювально! математики" (Дн1пропетровськ. 1993 р), VI М1жнародно-му симпоз!ум! "Метод дискретних особливостей у задачах матемагично! Ф1зики" (Харк1в, 1993 р.), I Ы1жнародн1й конференцН "Чисельн! метода у г1дравлиц1 та г1дроддаашц1" (Мар!уполь, 1994 р.). Всесоюзних симпоз!умах "Метод дискретних особливостей у задачах ыагематично! Ф1зики" (Харк1в. 1985, 1987 рр.), Республ1канськ1й науково-техн1чв1а конференцН "Ефективн! чнсельн! метода розв'язання крайових задач

механ1ки твердого т1лз, яке дофорлуеться" <Харк1в, 1989 р.), Респуб-" л1канськ1й кокферэяцП "Обврнен! задач! у ириродознавств!" (Москва, 1994 р.), сем1нар1 '"С[1та.!1зац1я метод1в розв'язешл задач оОчислю-вально! математики" Науково! ради ИАН У1фа1ш за проблемою "К1берне~ тика" (КнХв, 1нститур кЮернетшш 1м. В.К.Г.луиксва, 1994 р.), сем!~ нар! "0пткм!зац1я котоЦв наблкхення" 1нституту математики НАЛ Укра-1ни (Ки1в, 1994 р. )е сем1нар1 к&фздрн обчислюзально! математики факультету к!берн9гнш КДУ (Ки1в, 1994 р.), сем!нарах "Обернен! та не-корзкти! задач!" факультету обчислювзльяо! математики та к1бериетики Московсыгаго державного уи1верситегу та наукових сем1нарах Науково-дослШюго обчислювального центру МЛУ (Москва, 1984,1986,1987 рр.), науковсму cer.ünapi з иекоректних задач 1нституту математики та мвхан!кя Уральського в1дц1лення Рос1Ясько1 АкздемИ наук (бкатерин-бург, 1992 р.), BcQpoclilcbKií! копфс-рзнцП "Алгорятм!чний"та чксель-ний анал!з некорэктних задач" (Скатеринбург. 1995 р.).

Дубл!кацП, Основя! результата дисертацИ опубл!ковая! у 25 роботах, наведеких у к1нц! автореферату.

Структура та обсяг дисертацИ: Дисзртац1я м!стить вступ, чотирк глави, внсновок та список л1терзтури з 253 иаймезувань, приклад з списоч пакета програм Regid? для E0JJ. Обсяг робота - 237 стор!нок, в тому числ! 15 нзл}яик!в та 29 стор1нок приклада.

осноенкй бмгст дксерташг

Вступ м1стить короткий огляд л!тера?уря та стан питань, hkí розглядаються у дисертацИ. Обгрунтовапа акгуалыЦсть теш та сфор-мульоваи! основа! кауков! результата дисертацИ.

Впершэ задача про ст1йке обчяслення м1ри несум1сност1 оператор-них piBHfiHb була поставлена В.0.Морозова. Нил був запропонований один рэгуряриэуючнй алгоритм для И розв'язування у випадку лШйних рХвнянь у г1льбертовюс просторах. Задач! обчислення шшн!х меж функ-

ц1онал1в загального взгляду без щшущення про аргуыентну розв'язу-ван1сть задач м1н!м1зрц11 ставились у роботах А.М.Тихонова, В.Я.Ар-сен1на, Ф.П.Васильева. Деяк1 питания регуляризацП обчнсленкя нзш11х мек функц!онал1в при розв'язанн1, некоректних екстремалышх задач розглядалися у роботах О.С.Леовова.

Нест1йк1 критер1алън! задач! вшшкають в обернених задачах теп-лопров1дност1 (ОЗТ), вивчення яких пШймаеться до роб1т А.Ы.Тихонова, ф.Дкона.та 1нших автор1в. Для обернешь за часом задач тволопро-в1дност1 (ретроспективных ОЗТ) та ОЗТ управлШш грашгаош умов&чи не заввди 1снуе точний розв'язок задач15 тобто така початкова температура або граяичний режим, котрий для заданого моменту часу вводили б до необх1даого розпод1лу тешературн т1ла. Тому виникав задача знаходжевдя наближеного за критер1вм (за функц1оналом в1дхилу иуканою та набутоа температурою в к1нцевиЗ момент часу) розв'язку задач! з необх!днок> точн1стю. У зв'язку з »методом квезЮберкення В.-Л.Л1онса,- Р.Латтеса, для розв'язувашя обэрненкх задач теплопро-в1даост1 В.КЛвановим öyjia сформульована так звана "нест1йка задача управл1нняи, яка дал1 досл1даувалась такок у роботах е.Н.Домансько-го, Н.С.Распопово!. Для не! було упровадаено та дсслшено цими авторами поняття ¿-регуляризуемост!. Однак, для нестШавс задач управ-л1ння не були побудоЕан1 регуляризуюч! алгоритма при наявност1 поми-лок в операторах, 1 в даних роботах розглядались Пльки р1вняння, у яких м!ра нбсум1сност! дор1вшое нулю. Невявчешши тако»: залишшшсь нест1йк1 задач1 управл!нна з обмвженшши на розв'язок. Р!зн1 модаф1-кацН методу кваз1оббрнення вивчалисъ у роботах С.Даумаева, Д.Колто-на, Л.Елдена, А.С.Карассо, Д.Г.Сандерсона, Д.М.Х1мвна та 1шшс авто-р1в. Алгоритма розв'язання ОЗТ, заснован! на зведенн! ОЗТ до нело-калыш парабол1чш1х задач, розглядались у роботах П.Н'.Ваб1щев1ча, Б.Г.Карасика. Р1зн! 1терац!йн1 процедури. в тому числ1 град1ентн1 метода регуляризацП ОЗТ, вивчалися О.Ы.Ал1фановим, 6.0.Артюх1ним,

С.В.Румянцевим. Досл1дження ст1йкост1 розв'язк1в ОЗТ на* класах не-' в1д'емних фуншШ виконувались е.О.Григорьевим. Обернен! задач1 Стефана та метода 1х регулярнзацН розглядались у роботах Н.Л.Гольд-ман, П.Яохума, Р.Реемстена, А.К1рча.

Ваалквою галуззо обчислювалъно! математики, в ян1й виникаютъ НКЗ, е метода розв'язання елЛптичних граничних задач за допомогою !нтегралъних рХвнянъ Фредгольма I роду. В теорП пружност1 та 1нших задачах механ1ки такий П1дх1д п1д назвою "метода компенсуючих наван-таиень" вивчався у роботах Б.Г.Коренева. Е.С.Венцеля. З.Христ1ансе-на, а п!д назвою метода "джерел та сток1в" - у роботах Х.А.Рахмату-л1на. Дан1 метода та спор1днен1 1м метода неортогональних ряд1в або Фундаментальних розв'язк1в в задачах теорП дафракцП широко вкива-лися А.Г.Свешн1ковим, Ю.А.ерьом1нш. Ц1 метода для р!зних клас1в ел1птичних задач вивчалися у роботах В.Д.Купрадзе. М.А.Алекс1дзе, Г.X.Пергамент, 1.1.Кочетова. Г.Де Мея. Р.Масона, Р.Л.Джонстона. У методах 1нтегральних р1внянь I роду та фундаментальних розв'язк1в наближений розв'язок вих1дно1 елХптично! гранично! задач1 шукаеться у вигляд! потенЩалу з щ1льн!стю. яка розпод1ляеться не на мек! облает!. а на деякому в1ддаленн1 в1д не1. При п1дстановц1 потенц1ал!в у гракичн1 умови будь якого типу виходять !нтегральн1 р1вняння Фредгольма I роду або 1нтегро-функц1ональн! р!вняння, як1 можуть мати лиие наближен! розв'язки. Тому виникають НКЗ м1н1м1з8ц11 норми в1д-хилу 1нтегральних р1внянь I роду в умовах наближеного обчислення ядер та, правих частил р!внянь 1 при моклив!й розб1жност1 самих щ1ль-ностей потенц!ал1в. Для деяких граничних задач м!ра, несум!сност! 1н-тегралышх р1внянь може бути б!льша за нуль 1 потр!бн! ст1йк1 ал-горитми II оц!нки, а такой РКА побудови м1я1м1зуючих посл1довностей для функц!онал1в в1дхилу.

Яеяк1 критер!альн1 регуляризуюч! алгоритми в нест1йких за функ-ц!оналом задачах автоматичного регулювання (аналог!чн! кваз!опти-

мальному принципу вибору параметра регуляризацИ) вивчалися у роботах В.О.Морозова, В.В,Бадево1. До зб1кних за функц1оналом метод!в регуляризацИ 1нтегральних р!внянь I роду в!даоситься такок метод 1.1.Кочетова вибору параметра регуляризацИ за м1н1ыумом вЛдхилу у пром1зошх точках, а також метод перехресно! горев1рки Г.Вахбк. До нест1йких критер1алышх задач т1сно пришкають нест1йк1 задач1 об-чнслення функц1онал1в на розв'язках операторних р!внянь I роду, як1 розглядались. у роботах М.К.Л1хта, В.0.Морозова, 0.1.Гре0еш1кова. У роботах В.О.Морозова, В.0.Кариаз1на, О.ЮЛваницького розглядались метода визначення "чебишовських псевдорозв'язкЛв" систем лШйних алгебра1чнкх р1внянь при поточечному завданн! похибки коеф!Шент1в та регуляризуючий алгоритм отчисления "чебииовсько! м1ри несум1с-йост1" таких систем.

Р1зн1 нест1Ек1 крятер1альн! задач1 виникають в теорН апрокси-мац11 у деяких задачах методу найменших квадрат1в. задачах оШнки л!н1йних функц1онан1в за наблихеним значениям 1нших функц1онал1в, задачах оптимального в1даовлення за наближениш даними. У зв'язку з вескою к1льк1стй роб1т, зв'язаних з цим колом питань, згадаемо лише роботи М.О.Бахвалова, М.П.КорнШчука, А.Г.Мар'чука, К.Ю.Осипенка, М.П.Жидкова, Ю.А.Б1лова, В.С.Кас'янюк, В.л.Макарова, В.В.Хлобис-това, С.В.Переверзева, В.Камерера, Н.З.Нашеда, А.Мелкмана, С.А.М1-челл!, Т.Р1вл1на.

. У цей час 1нтенсивно розвиваються метода регуляризацИ несум1с-них операторних р1внянь. Вони досл1дкувались у роботах В.О.Морозова, А.Г.Яголи, 1.В.Коч1кова, А.Н.Матв1енка, О.В.Гончарського, В.В.Степанова, Б.Ал1ева; 1терац1йн1 алгоритма розв'язання несум1сних задач вивчалися у роботах о.м.Ал1фанова, е.0.Артюх1на, С.В.Румянцева. С.Ф. Илязова, Г.М.Вайн1кко, О.Ю.Веретенн1кова, А.Б.Бакушнського, О.В. Гончарського; оптималън! за порядком метода розв'язання несум1сних нормально рэзв'язуваних р1внянь були розроблен! В.О.Морозовим, С.Ф.

Илязовим, С.Дкумэевим та досл1дхувались у роботах Г.М.Вайн1кко, О.Ю.Веретенн1кова (двоетапна схема), Р.А.Розанова (одноетапна схема). 3 метод1в регуляризацП некоректних несум!сних задач л!н1йно! алгебри та псевдообернення матриць ми в!дзначемо метод м1н1мально1 псевдообернено! матриц1 О.С.Леонова.

У перш!й глав! розглядаються основн1 означения теорИ нест1й-ких критер!альних задач та 1х властивост!.

У § 1.1 наводяться в1дпов1дн1 означения теорП аргументних НПЗ та деяк1 регуляризуюч1 алгоритш, необх!дн1 надал1 для будування та пор1вняння з означеннями НКЗ. Розглядавться розв'язання операторного р!вняння I роду у нормовашх просторах Ъ 1 и з неперервним оператором Ао: 2—► и

Аог = ио, г е г, (1.1)

у припущенн1 1снування у нього розв'язку гд, а таков задача знаход-нення псевдорозв'язку 2° р!вняння (1.1) на множин! Бег при апр!орному припущенн! його 1снування

2° = аг®п!п 1А г-и !. (1.2)

0 0 0

Для важливого класу л!н1йних р!внянь з операторами Ао 1з нормова-ного простору I = Ь(г,и) лШйних неперервних оператор1в, д!ючих 1з г в и, сформульовано твердження про 1снування та ,един1сть в1д-пов1дно нормального розв'язку (1.1) та норлгхкьтго псевдорозв'язку (1.2) у випадку рефлексивност1 та строго! опуклост1 I, .а також замкненост1 та опуклост1 Б. Наведен! означения РА для цих задач при 1х розв'язуванн1 за наближеними вх1дними даними « Ь, ц(еО та в1домими точностями наближення ч = (К,6) е О

1А -А И ^ 11, 1и -и ! а5 (1.3)

11 о во

у випадку л1н1йних задач, та за неперервним оператором Ай:г—» и 1 правою частиною и{ е и, задовольняючим у нел1н1йному випадку умовам 1А г-А г! < у(Мг1). 1и,-и 1 « 5 (1.4)

ь О О О

з ведомою м!рою точност! йаближення оператора т(х,у), неперевн!йта

нев1д'емн!й при х,у г о. монотонно неспаднЛй по у та п1дпорядко-ван1й умов1 ?(0,у) = 0 для v у а о. Сформульована також НПЗ м1-н1м!зац11 функц1онал1в fQ(z) загального вигляду на D = Z за на-ближенш£и вх1дними даними i^ia). о г о, задовольняючими умовам

1Гв(г)-Х0(в)1 * Tiu.fliz)). (1.5)

де fl(z) - так званий "стабШзуючий" функц1онал, запроваджений А.М.Тихоновим, задан1 параметри похибки наближення.

Розгляден1 деяк1 РА для аргументних НПЗ, в тому числ! метод А.М.Тихонова,'узагальнений метод в1дхилу (УМВ), узагальнений принцип в1дхилу (УПВ) та 1х модиф1кац!1 для розв'язання сум1сних л!н1йних та нел1н!йних с.-ераторних р1внянь у рефлексивних просторах.

У § 1.2 формулюеться нест!йка критер!альна задача 1.1 про об-числення м1ри несум!сност1 операторних р!внянь (1.1) на D с Z MdIAo,uo] = Inf ÜAoz-uol (1.6)

без припущення про 1снування розв'язку задач1 м1н1м!зацП (1.2). Для Л1н1йних р1внянь позначимо яй W = L(Z.U) х U прост1р вх1дних даних задач1, при цьому позначно р = (А,u) е W.

Означення 1.11. Назвело задачу обчислент Aipu несул1сност1 (1.6) стШкою у яючц1 ро = (A0,U0), ящо функц1я jiDCA,u] непе-рервиа у u,tü точц1 як функц1я 613 c&olx вх1дних öcmx р е W.

В1дм1тимо так1 в1дом1 властивост1 м1ри несум1сност1:

Лема 1.1. ФугшДя р°[А,и] е невЮ'елною, у эагалънолу випадну роэридною функц1ех> в 10 р - (А,и), сие неперервною по друголу аргу-лету и е U при ф1ксованолу onepamopi А « L.

Для НКЗ 1.1 потребуються спеЩалый регуляризуюч! за функц1она-лом алгоритми обчислення (1.6) за наближеними вх1дяими даними (1.3).

Означення 1.12. Регуляриэухншi за Hpwnepie* алеоритол (РКА) ройб'язувакт НКЗ 1.1 наэвело двопаралетрачну сЫ'ю функцШ

г (А .u.): L-х О— R1, П = (h,ö>, 0 < S S 5 . О < h i h .

I) л 9 О О

тку, що Оля кожново ро = (A0,U0) « W биконуетъся сп1вв10нтення

sup lr (A ,u.)-(Jd[A„,u )l -» 0,

U.cU.lu -u Isi ,A, el, IA -A I<h " " ' 0 rj — 0

о e о h h о

нахуки öpysum словами, повинна винонуватися pi б н1стъ

lim г (А ,ц ) = /id[A ,u J. (1.7)

г)—»0 п " 4 00

Аяалог1чно формулветься РКА для нелШйних р1внянь. Задачу 1.1 незвемо регудяризуежда, якао для не! знайдеться хоча б один РКА.

Аналогично теорИ аргуиентних НПЗ, запровадкуються поняття точность та ormucubHocmt рка. П1д ¿етовол розб'яэання критер1ально1 задач1 1.1 ми будемо розум1ти будь яко в1добраяення г: W—» к1, яке з!ставляе вх1дним данш р = (А ,и„) наблияене значения г(р )

ri h О Т)

м1ри несум1сност1 на D р1вняння (1.1). Точн1сть .eemoöy г в точц1

ро характеризуемся чсюа1льшил 61 Отделяла

Ф(т),р .г) = sup ir(p )-дв1А ,u 11,

0 UA<sMu -U Jsi.AeL.lA -A lih " 0 0

о 9 0 n h О

а похибю летоду г на momnl Е с f? означаегься як

^(rj.E.r) = вир Ф(г?,р,г). (1.8)

реЕ

Означення 1.13. Иетод г называться огшиюлькил на Е, янгде ————— ^

${rj,E,r ) = Inf Ф(г).Е.г);

ч

г

асилпшотично огтишькил на В, шцо

11га { Е.г ) / Inf «(о,Е,г) > = 1; ri—» о 4 г

оптилалън ил по порядку на Б, (осщр •

$(г?,Е,г ) * C-lnf Ф(г},Е,г) , С > 0, О < и « I) .

' г .

Визначним для побудови РКА зздач1 1.1 е така доведена в робот1

властив1сть м1ри несум1сност1 д°(А,и1:

Теорема 1.1. Mtpa несул1сност1 ^°ГА,и) п1внеперервна вверху

у будь як1й точц1 ро е W, тобто виконуаяъся сп1вв1дноиенпя

lim \ sup м°[а,ил * д°(А .UJ. (1.9)

г)—0 jA«L,lA-A0!*h, UeU,Su-uoUi j 00

1з ulel теореми випливае ряд властивостей м1ри несум1сност1.

Висновок 1.1. Яшцо виконуеться р1вШсть

ii°(A ,ц ) = 0, (1.10)

moöi фунщ1я iiD[Ä,ul иеперердна у тнц1 (A0,u0), тобт задача 1,1 сш(йш у цШ точц1. j

Висновок 1.2. Ящо лнохина D с Z обленена, moöi фунщ1я двГA.ul неперербна у ОуОь як1й точц1 (A0>u0> « W.

У дисертацП одержан 1 необх1дн1 та достатн1 умови ст1йкост1 задач! 1.1 для л1н1йних операторних р1внянь на всьому простор1 Z (при D = Z величину (1.6) будеыо позначати просто р[А0.uq] ). Одна достатня умова ст1йкост1 наведена у висновку 1.1 при D = Z. Критер1й ст1Р"<ост1 доводиться за допомогою такого твердження.

Лема 1.3. 1снубання у оператора Ао с- L е-онолу, кохни& Мн1й~ кий неперервний оператор А з яяого лзе тривЮльяе ядро Ker А = {0), екв16сиентне 1снуваннх> такого доватного числа \Q, що Оля yctx елелет1в з простору Z виконутъся нер1вн1сть

lA0zl г X0lzl, Х0 > 0. V 2 « Z. (1.11)

Умова (1.11) позначае, що оператор Ао в!дображае прост1р Z на св1й образ Im Ао с и взаемно однозначно та взаемно неперервно.

Теорема 1.2 (Критер1й ст!йкост! задач! 1.1). Для неперервноагЛ фунщИ fiCA.ul у точц1 (AQ,uo) е W необхЮно Ü Зосшь, UjOtf вино-нуваласъ р1вн1апъ ц[А0,и0) = 0 обо щоб оператр А0 6ido6pazae npocmtp Z на св1й образ Im А0 с U вэаелно однозначно та вэаелно неперербна (тобто виконубалась би улова (1.1Ш.

3 теореми 1.2 виходить, що для несум1сних лШйшх операторних р1вгошь (1.1), коли ц(А0,и0) > 0, ст1йк1сть критер!ально! эадач1 1.1 практично екв1вал0нтна коректност1 аргуыентно! задач! (1.2) (при деяких додаткових припущеннях в!дносно простор1в Z та Ü).

Дал1 досл1даен1 деяк1 власгивост1 м1ри несум!сност1 нел1н!йних р!вцянь (1.1).

Теорема 1.3. Фушсц'.я (iB[A,u) "п(внеперервна вверху" у будь як<а шчц1 (Ao,uo), moo'mo викануеться сп1вв1дшиення -

Иго sup iiDCA,u] s и°[А.и ), (1.12)

J) —»0 SAü-A^Ufth.ialT.Ueü.lU-l^US ° 0

дв в вир робиться варЬованна за будь жижи пеперервтшл оператора-- ■ ли А, ир заОоволънэхть (1.4).

В!дпов!дао, для нел1н1йних неперервних оператор1в виконуються аналога вксновШв 1.1 и 1.2.

У теорП ненорэктно поставлених задач для лШйних операторных р!внянь з обмэженими операторами звичайно розглядаеться зб1ж-Н1сть наблизених опэратор1в до точного за нормою простору Ш,и). В критер1альн1й задач1 1.1 обчислення М1ри несум1сност! лШйних опе-ториих р1впянь такоя припускалась зб1гш!сть оператор1в за нормою простору Однак, деяк1 властивост1 д°(А,и] в1рн1 при силь-

н1й зб1:шост1 наблшкевдх оператор1в до точного оператора А . Зокре-ма, лшпавться в1рним твердкення про II п1внеперервн1сть зверху.

Теорема 1. Г. Вехой Оовиьна послЮовн1стъ оператор1в (Ап). Ап е Ь, сильно зб1гаетъся Со оператора А0 е Ь (1Апа-А0й8 —► О для будь ¡того е е 2 при п—► ») та пасл1довн1сть елелет1в {ип), и е и, э01гатъся до и В ( 1и -и I —* О при п—» »). Тод1

П О п О '

61рна нер1вн1ст>, ахалог1чна (1.9):

'11т ^пГАп,ип1 * (|[А0,и01.

п * <*>

3 ц1е! теореми випливае 1 аналог висновку 1.1:

Висновок 1.Г. Якщо 61рне р1вняння (1.10), то л1ра- несул1сност1 д°[А,и) неперервна у точц1 (А0,и0) при эб1хноап1 оператор1в у сшънШ операторам топологи та правих чаатн за кордою простору и.

У § 1.3 формулюються та досл1дкуються задач1 обчислення нижн1х меж функц1онал1в загального взгляду та будування м1н1м!зуючих посл1-довностей для них за наближеною 1нформац!ею такок без припущення про 1снування розв'язку у точн1й звдач1 м1н1м1зац11.

Критер1альна задача 1.2. Обчислити нижню межу на множин1 Б функц1оналу Г0(г):

||°[Г ] = !Ш Г, (в) . (1.13)

Задача 1.2 е узагальненням задач! 1.1. Наприклад, для задач!

1.1 стабШзукний функцЮнал дор1вшое ж г) = Ш. похибка набли-

кення визначаеться виразом ?(т},э(а)) = + 5 та умова (1.5) мае

/

вигляд 18А й-и 1 - ЙАг-и 81 а пВаа + е. ь а оо

Впроваджуеться шожина = х;^(Го) "(¡-экв1валентшос за точ-н1стю" функц1онал!в з деякого заданого класу функц1онал1в р: = { гч6 р: 1г()(2)-г0(2)1 а *(ч.а(а)). v а е в )■

Означения 1.14. ЗаОачу 1.2 кааб ело ■ а-аМйнао Ыдносю похибон у бхЬдних бонах- бля фуищ1отлу ¿0(й). якщо бшюнуеяься р16тсть 11т Г вир ] - 31 ] = 0. (1.14)

п ч ■ .

Умов а (1.14) фантично означае, що для ст1йко! задач1 1.2 шшш межа "наближеного" функц1оналу нрагне до никньо! мек1 вихЦщого функц!оналу при прагненн! похибки наблияення до нуля.

Означения 1.15. Регуляризутил по критерию сигортиюА (РКА)

зоОан1, 1.2 низвело паратпричну с№ю фунщШ >

О < г? я 17о, моду що для кожного 1 « Р виконуеться срЛввЮношетя

вир 1г (Г ) - |1ПСГ„]1--» 0. (1.15)

р 4 4 , 0 п—► п

п п

Для задач1 1.2 доведена "п1внеперорзн1сть вверху" шшньо! меж! фушсц1онал1в. •

Теорема 1.4. Функц1я ц0^ "а-п1внеперер8т зверху" у будь

як(й точЩ Го е Р, тобто 6(рна яар£бк1шъ

11т Г вир цв11 ) ] з (Мб)

• - .п— 0 1 1 € г* "

п . п

Дал1 розглянута нова НКЗ, в1дм1нна в1д задач1 1.2. Звичайно, як наблиаене -значения нижьо! меа! обирать значепня функц!оналу Г0(г) на деяких елементах м1н1м1зуючих посл1довностей (м-, п.), та якраз будування м. п. в1дпов1дних функц1онал1в у вшадку в!дсутност1 точных розв'язк!в аргументних задач ы1н1м1зац11 грае першорядну роль в таких галузях, як ОЗТ 1 метода 1нтегральних р!внянь I роду. -

Критер1алыш задача 1.3. Побудувати м!н1м1зумчу посл!довн!сть

функц1оналу Г (z) на миозин! D, тобто таку посл1довн1сть iz ),

О п

z «= D, для яко! виконуеться сп1вв1дношення

П

lim Г (2 ) = Inf Г (Z) = fiD[iJ. 3 е D. (1.17) П-»<»0п ZeD ° ° "

При цьому сака м. п. Cz^) може розб1гатися, так як не припускавть-ся 1снування елемента zq е D, на якому досягаеться м1н1мум функ-ц1оналу fo(z) на инокин! D.

Нехай нам дача эпроксшуюча посл1довн1сть функц1онал1в з ?, I (z) с Р, rj —* 0 при п—* », яка для кожного п задовольняе

"в п

уыов1 (1.5) з величиною похдбки пп г О. Та нехай для дов1лъно! по-сл1довност! чисел {с ). с > О, е —* 0. побудована посл1дов-

П И TI

н1сть елемент1в (й ), z е D. задовольняючих умовам

П П

f (z ) - Inf f (z) s е . (1.18)

"n " ZeD "n n .

Тод1 природньо ввакати задачу будування м. п. функц1оналу fQ(z) ст1йкою за критер1ем до похибки у вх1дних даних, якщо така посл!дов-н1сть (sn). одержана у результат1 все б1льш точного розв'язання ап-роксимуючих задач Ы1н1м1зац11, буде м. п. функц1оналу f0(z):

Означення 1.16. Задачу 1.3 побудови л. п. функц1оналу fQ(z) на AHoxuHi D тзвело нртерСалъно аШйкою, ящо для будь яко! по-сл1 довноcmt г) —► 0, г) г 0, ш будь sucol посл1довност1 фут-

Й А

ц(онал1в Т (z) е F, зодовольняючих для кохного п (1.5), о тсиюх %

вл9 дов1льно1 посл1довноап1 чисел (е>, с > О, е ~г* 0 при

п п п Г

п—♦ 0, та будь яно1 посл1довносп1 елелекп1б (z ), z с D, задо-

v It ft

вольняочха (1.18), буде виконуватиса сШШдшиення (1.17) (тобто izn> буде л. п. вих(дного фуницЬоналу fo(z) ко D).

Нижче показуеться, що далеко не усяка задача 1.3 критер1ально ст1йка та И р!шення потребуе спец1алышх метод1в регуляризац11.

Означення 1.17. Регуляризи.рукшл за щхтер1ел алгоршиол (РКА) задаче 1.3 тзвело в1дображення R (f ): Я х и х F—► D с Z

I) , П IJ

(И - лнохижх зюченъ похибки: г? е й = w - мююхна натуральных

чисел), яке те так1 влаживостЬ:

1) 1снуе токе п >,0, п е В, цо И (Г ) вигючею Оля будь яких

о * О о ,п о

п «= м, г) «= Н, 0 * п £ г)0. и I е забобольнявчиг ¿/лов! (1.5); й*я биЭь яко! посл19овност1 (п), о «= И, О а г? £ г) .

П Г) П О

п —+ 0, та вхЮних датх 1 с Р, забовольнятих для конного ц

П I) п

п

уловал (1.5), посл1довн1сть елелет1в а = Й (Г ) е лШл1зую~

п' п

чою посл1довн1сгю вихЮного фунщ{оналу f0(z) на лнохин1 Б, для яко£ 61рш (1.17).

Залежн1сть оператора Й (Г ) в1д натурального п та мохли-

Т) , п I)

ва р1вн1сть ус1х п нулев! в означенн1 1.17 забезпечуе включения у загальну схему також алгоритм1в побудови м. п. за точними вх1дними даними 10(2) при г) = 0.. Зауважимо також, що в означеин1 н1чого не говориться про зб1кн1сть "регулярмзованих" посл1довностей Сг^).

У § 1.4 розглядаеться сформульована В.КЛвановим инест1йка задача управл1ння", яка для лШйяих операторних р1внянь I роду (1'. 1) складаеться у побудов1 для будь якого заданого числа е > 0 набли-кеного розв'язку zt е V,' задовольняючого нер1вност!

НА в -и! з Е (1.19)

о « о

(у припущенн1 в1рност1 р1вност1 1т Ао = II). Для не1 ран1ше було за-провадаено поняття Л-регуляризатора, котрий е однопараметричною с1м'ею оператор1в е Ь(0,г), « > 0, для будь якого и е и за-довольняючих умов1 А И и—► и при «—► 0.

Однак, у роботах багатьох автор1в в1дзначаеться, що майже для коректних задач ефективн1 оц1нки похибки вигляду (1.19) можна одер-«ати т1лькк у в1дносно простих вийадках, але не для реальних склад-

них математичних моделей. Кр1м того, для практичних задач при 1х «

ск1нченном1рн1й апроксимацИ оператор А0 звичайно в1домий неточно 1 "управл1ння" необгЛдно ст1йко будувати за наближеними вх1дними даними. Тим б1льш, у ц!й ситуацИ для заданого ск1льки завгодно мало-

го р!вня похибки е пршщнпово немояливо забезпечити виконвння умо-

ви (1.19). Такоа для ряду практичних задач м!ра несум!сност1 р1в-

няння (1.1) моае бути додагаою (особливо для задач з обмелениями).

до не забезпечуе умови 1Т = и. Тому в дисертацП була сформу-

льована та вивчена

Узагалънена задача управл1кня. Побудуввти м1н1м1зуючу посл1дов~

н1сть функц1оналу Го(г) = 8А0г-и01 на множин! Б, тобто таку

посл!довн1сть е Б, для яко1 виконуеться р1вн1сть

11Я1 1А„2 -и ! = ШГ 1А 2-й 1 = ,и 1. (1.20) П -* <о 0 п 2бБ 0 0 о о

Так як вона е вакливкм окремим випадком критер1ально! задач1 1.3, то конкретизуеться означения з § 1.3. Для л1н1йних р1внянь II критер1альна ст1йк1сть формулмзться таким чином:

Означения 1.19. Низвело уэагалънепу задачу управМння ст1йнох> у точц1 ро = (А„»ио) е якщо для будь яних послЮовностей вивпих датх р = (А .и ) в Я,

п п п

1А -А I —* 0, 1и -и I * 0 при п—» (1.21)

ПО 11 о г

{ для будь яко1 посл16овност1 чисел {сп>, > 0, еп~► 0 при I—» <о, усяяо посл1довн1сть елелет1в Сг }, 2 € Б, эадоволъня»

п л

уа нер1вностял

1А г -и I - Ш1 1А г-и в * С , (1.22)

Л п п I) п , п

Зуде л. п. вихЮного фунщ1ожиу, тобто буде в1рне (1.20).

Аналог1чно визначена ст1йн1сть у випадку нел1н1йних ,р1внянь. Такоа було сформульовано означения РКА для узагальнено1 задач! уп-равл1ння, яке коккретизуе означения 1.17. 3<51жн1сть самих регуляри-зованих м. п. в ньсму не погребуеться, а за допомогою РКА забезпечу-еться лише зб1жн1сть за функц!оналом (за критер1ем) (1.20).

У § 1.5 знайден1 необх!пн1 та достата1 умови критер1ально1 ст1йкост! в1дпов1дно означению 1.19 узагальнено! задач! управл!ння.

Теорема 1.5. Критер!й ст!йкост! узагальнено! задач! управл!ння. Для ап1йкост1 узагальненоI задаче управл1пня щи. Ао «= Ь(г,1И, Ао * О

( В = Ъ необхЮно а досилъ виконаная улови (1.11) (тобто тоб оператор Ао в1вобрахав.просм1р Ъ на св1й образ 1т А0 с и дзаелно однозначно I взаелно неперервна).

Теорема 1.5 мае вазаиве значения для встановлення кола стЛйких узагальнених задач управлШня. Незважаючи на те, що означения 1.19 ст1йкост1 сформульоване т1льки у терм1нах зб1хност1 за фунщЮнамы, на основ! теореми 1.5 його ыокиа вважати в деякому смисл1 узагаль-ненням означення коректност1 аргументно! задач1 пошуку псевдороз-в'язк1в операторних р1внянь. Цей висновок мокна зробити тому, що, наприклад, для Е-простор1в Ъ та и умова (1.11) екв1валентна ко-ректност1 задач1 (1.2). Ящо у оператора Ао е I не !снуе обменного оберненого, то аргумзнтна задача м1н1м1зад!1 (1.2) буде некорект-ною одночасно з критер1ально» задачею (1.20) (1 з критер1альною задачею 1.1.при ц1Ао,ио] > 0 ). Типовою ситуац1е» нест!йкост1 чи-сельного розв'язання НКЗ м1н1м1зац11 в1дхилу 1нтегральних р1внянь Фредгольма 1.роду е р1вн!сть нулев1 вШилу у точках колокацп та прагнення в!дхилу до неск1нченност1 у прдаЛхних точках, якао система л1н!йних алгебра1чних р1внянь, що д!стаеться при ск!нченном!рн1й ап-роксимацП, розв'язуеться без вживання РКА, наприклад, за допомогою метода Гауса (рис. 1.1).

Я0г„' и,

Рис. 1.1. Ро'зб1жн!сть в!дхилу.у пром!жних точках

Як 1люстрац1я проблема роэглядаеться моделью® приклад 1.1 роз-в'зання за допомогою методу 1нтегральних рХвнянь I роду р1вняння Лапласа у иол1 рад1уса И < I, коли розв'язок шукаеться у вигляд! по-тевд!алу простого шару з и1льн1стю потенц1алу яка розпод1-

лена по допом!жному колу рад!уса й'= 1. Для цього прикладу образ 1нтегрального оператора Ао ортогональний функц1ям, р1вним констан-т1, та, отже, моне бути р[Ао,ио] > 0. Кр1м того, для негладко!

меково! умови и не 1снув н1 розв'язку, н1 псевдорозв'язку у 1н-

1

тегрального р1вняння Фредгольма I роду Аоя = ио, так що це типовий приклад нвст1йко! узагальнено! задач1 управл1ння.

У § 1.6 формулюеться НКЗ метода найменших квадрат1в, роэглядаеться ряд нест!йких задач теорИ апроксимац11, обчислення функц1о-нал1в на розв'язках операторних р1внянь та означения "чебишовсько! м!ри несум1сност1" систем л1н1йних алгебра1чних р1внянь. НКЗ методу найменших квадрат1в виникае, наприклад, у методах неортогональних ряд!в та полягае у м1н1м1зац11 функц1оналу вигляду

Г0(й) = 1<?(х) - £ В ♦ (Х)Ц3= (А02.2) - 2(Ь0.В) + С , (1.23)

1и1 Н

де а € г = я"; ?>(х),Ф.(х).....Ф (х) - дан1 елементи деякого г!ль~

1 Л

бертового простору функЩй Н; А - симетрична нев1д'емно означена матриця Грама системы функц1й вектор Ьо « к" з еле-

ментамн (Ь ) = (<р.<>,)„; скаляр с0 = (у»?),,- 0соблив1сть НКЗ м!ститься в тому, що сам! параметр« а1 не викликають 1нтересу, а треба знайти 1х дов1льн1 значения з й" (э • множили В си" при • р1шенн1 задач1 з обмвкекнями), як1 забезпечують з необх1дною точ-н1стю мШмально можливе значения (1.23). Система функц1й Ф1 може бути неортогональною 1 нав1ть л1н1йно залежною, а матриця Грама Ао __ - погано обумовле'ною або виродаеною. Основна проблема м1ститься в тому, що звичайно елементи А0, Ь0 1 с^ обчислюються за допомогою чисельного 1нтегрування, тому зам1сть точшх вх1дних даних е на-ближен! дан! Ал, Ьв, с . При цьому матриця А^ можв загубите влэс-

тив1сть нев1д'емно1 означеност1 1 у задач1 м1н1м1зац11 тод1 немае розв'язку (Inf Г^ = -»). Вшшкав НКЗ побудови м. п. функц1оналу (L23) за наближенимк даними А . ь , с 1 точностями наблиаення

п о 7

п = (h.i.r)—» 0:

'W * h' V V 'W s |(УС°' * »• i1-245

Друга глава дисертац11 присвячена методам регуляризацП НКЗ. У § 2.1 будуються РКА для критер1альних задач 1.2 обчислення нижн1х меж функц!онал1в загального вигляду та 1.3 побудови м. п. для

I

них. Розглядаеться таккй функц1онал

Ф (sl = f (s) + Y(ri,ß(z)), z « D, (2.1)

■n ■ п

який для кожного z, e D e сц1нкоу зверху могливого значения f0(z)

за вх1 днями даними i (г) 1 п. РКА r (f ) задач! 1.2 визнача-ч ч ч

еться таким чинш:

г (f ) = Inf Ф fzJ. (2.2)

" 4 acd 4

Теорема 2.1. Функц1я г (Г ) е РКА бCöhocko означения 1.15 дхя

-- в Г) Г)

НКЗ 1.2, при цъолу 61рна нер1вн1сю>

г (Г ) * Inf f (в) = M°lf J. (2.3)

4 " 0 0

Вмсновок 2.1« Ящо величина (2.2) обновляется з точн1сто х > О

г„<гя> * r»<fJ * *•,<*»> + (2-4)

0 4 Ч Ч Ч Ч

moöl rx(f ) 6 РКА £Ця задач1 1.2, ящо к—*> 0 при ц— 0.

п ч

Виявляеться, що викладений П1дх1д ноже застосовуватися 1 для побудови РКА задач! 1.3.

Теорема 2.2. Иехай Оля будь яно1 послЮовноШ пп > О,

i)n —> О при п~* та öJßUbHol noMiOoßwant бхЮних даних 1 « F, задоволъшястх для южного г> улобал (1.5), знаадена тю~

"п х "

слШвШань елелешц{6 z " е D, Оля яшс динонусмься нер1бност1

"п *

Г (I ) * » fz п) * Г (f ) + X (2.5) V ''п "п %

з довиъною поол1додн1<жо х —» 0 при п—♦ Год! посх10обн(оть

х п

(г^") буйе л. п. вих1 Оного функЩоналу f0(z).

У § 2.2 будуються РКА для НКЗ 1.1 та узагальнено1 задач1 управ-л!ння для випадку нел1н1йних сператорних р1впяиь, заснован1 на п1в-неперервност! зверху м!ря несум1сност! за вх1дними даними. Означаемся такий функц1онал на Z

Ф tzl = IAJ5-u.I + ?(h,lz8) + 5. (2.6)

П п 0

Означвння 2.1. Возвело "лешодол найлеюю1 оц1нки, eiöxtuy" (ШОВ) такий за оэначеннял 1.12 РКА для задачt 1.1:

р [а ,u ] = Inf ф (z) = ini Па z-u,i •(- m.izl) + al. (2.т) " h 4 ZeD " SeD L h s -> I "

Дал1 доводиться зб!нн1сть МИОВ до /jfaq ,uq] зверху:

Теорема 2.3. Для функцИ (2.7) etpne сп1вв1дношення (1.7) та р [А .и.] г fiDtA„,u ]. (2.8)

i| n ö О О

Аналогично (2.4) величина (2.7) ноже обчислюватися з точн1стю х > 0, х—» 0 при п—* 0. Як у теорем! 2.2 показуеться, що ИНОВ з РКА для узагальнено! задач1 управл!ння. Досл1дауються такок деяк1 властивост1 ншшьо! меж1 фушаЯоналу А.М.Тихонова.

У § 2.3 докладно вивчено ШОВ для л1н1йних операторних р1внянь у нормованих просторах та виникаюча при його реал1зац11 задача ' негладко! оптим1зац11. Будування використовують новий п1дх1д А.М.Тихонова за рэгуляризац1ею НПЗ на нласах екв1валентних за точн!стю вх1д-них даних, як! визначаються для заданих вх1дних даних (1.3) як

z = Z (р ) = {(A.u) е ff: lA-A I s h, 8u-u.ll S S >. (2.9)

i) 4 1 h о

Ha ochobi (1.3), нев1дом1 точн1 вх1дн1 дан1 pQ налекать , тому непол1пшуемою на клас1 (2.9) оц1нкою зверху для /jd[ao,uo] е о (А ,и ] = аир ц°(А,и) = эир Г lni lAz-ul 1. (2.10)

h 5 ре£п peE^ZiD

Доводиться, що (2.10) зб1гавться зверху до ц°[Ао,ио] при г>—» 0.

Однак, безпосереднз розв'язання максим1нно1 задач1 (2.10) утруднено.

Тому розглядаеться величинаt дво1ста до (2.10):

р CA ,u ] = lni Г вир IAz-uI 1, (2.11)

• 4 h 4 ZeD L pet J

r 7

яка завжда не менш, н1я (2.10).

Теорема 2.6. Для ФинщИ р (Ah,u4l вьяонуктъся (2.8), га

lim р la.u,] = íidia„.u j. (2.12)

ц—»o 4 00

МНОВ для л1н!йних операторних р1внянь мЮтиться у розв'яэанн1 задач! (2.11). Розглядаеться функц1онал в1д z с Z:

Ф ízJ = sup lAz-ul, г € D. (2.13)

"peí;

r n

Основне значения для МНОВ (2.11) мае таке твердження.

Теорема 2.7. Для будь sxuz Ah е L, u4 е U, Se D, h г О, 5 i О зкайдутъся moni р = (5,ü) е що

IX-A I = h, lü-u.l = 5, (2.14)

П О

Ф [й] = Ife-ül = IA z-u,¡ + hlzl + S. (2.15)

Г) ПО

Вирази для 5 1 ü записуються у явному вигляд1. Таким чином, у ро<Зот1 показано, що МНОВ складаеться з обчислення "модиф1ковано1 м1ри несум!сност1"

р (A ,u 1 = ¡í IA .uj = inf [IA z-u,l + hlzl + í]. (2.16)

ч л J uní g^p h e

У подальшому досл!джуеться задача (2.16) для рефлексивного простору Z та опукло1 замкнуто1 мнокшш D с Z.

Теорема 2.6. При h > 0 энайОетъоя хоча б овин елемет z^ D, який СИставляе л1Шлул Ф^СаЗ ко D.

Елементаршй приклад Mz] = lz-11 + Izl для Ъ = U = R1 по-казуе мокливу неедин1сть розв'язку задач1 (2.16). Однак, умови нее-диност1 з'являються достатньо короткими.

Теорема 2.9. Иехай Z - рефлексивной строго опукмй npocmlp, U - строго опукмй, баиаховий npocmip, D = Z, h > 0. Ятр знаОбутъся Ова р1зних елелента zl na za, на ятх 0%а.пешься лМлул фут-ц1оналу 4>4Czl. (2.15), по бшющрошься шк£ авердхення:

1) Icnye роэб'язок р16няння

Az=u,;. (2.17)

П 9 .

А А

2) лШлул 01стетъся ка 6Юр1зку tO;zl, Qe z - нор-жиьний роэб'язок р16няння (2.17);

3) min Ф £в) = Sit.S + S = hSzä + 5. (2.18)

S<=Z 11 3

IIa основ! цього твердаенкя доводиться, що в умовах теоремы 2.9 при внконаин1 нер1вност1 fi[Ao,uQ] < 5uQi розв'язок а^ вадач1 м1-н1м1зац11 (2.16) будв единим для достатньо малих ц.

Для НКЗ 1.1, за вийнятком ншчауназаних особистах випадк!в, ШЮВ дав оц!нку зверху для дпСАо,ио), яка из полйгаузться на клас1 эквивалентная за ?очн1стэ вх1даих дашгх (2.9), тобто виконуеться теорема дво1стоет1 для задач (2.10), (2.11): >

Теорема 2.11. Ягедо лШлуя фунщЬоналу iMz) га D (Напоешься т елв£ент1 z е D, акай задоволъше иховал А а * и., в * О,

____о а к и в п

то вшсснуеться р1вн1сть

PJW = f^VV " W-

Доведения цього твердаення спнраеться на деяк1 метода опуклого анал1зу та субд1ферэнц1алыгого числення.

Ваяянвим для раал1зац11 ШОВ у випадку задач1 без обмеаень в опрацьованнй у дисертацИ новиЯ принцип вибору параметра регуляриза-ц11 у метод! А.М.Тихонова. '

Теорема 2.12. В уловах творели 2.9 та eöuHocmt розв'яэку z saöcra безуловно1 л1нШэац11 фунщЮтлу (2.15) е екв (валентною до saöa.41 ,е1нШзац11 функц1оналу A.U.Тихонова

йв[Б1 = DA 2-u'Jp + «1й1ч (2.19)

п О

при р й 1, q > 1 з виборол параметра регуляризацИ а з "принципу найленшЬ оц1нш в1дхилу* (ШОВ):

©(«) = 8А z -uj + h9z 8 —► min, а а 0, (2.20)

т hoff в

Ое а ■ - едина енстрелалъ функц1оналу (2.19) Оля в. > 0 {обо za -норлалъний розв'язок р{вняння (2.17) при а = 0, яюцо л1н1лул функ-ц1стлу Ф^СаJ дЬспаетъся на розв'язку цього р1вняння).

ПНОВ грае основну роль при регуляризацИ НКЗ у випадку г1льбер-тових простор1в. Дал1 доведена ст1йк1сть МЧОВ 1 ПНОВ до малих вар1а-цШ вх1дних даних А , u,, h та похибок визначевня параметру

h о

регуляризацП а з (2.19) - (2.20). ,

Розгляден1 питания оптимальност1 МНОВ, зокрема доведена опти-мальн!сть за порядком МНОВ на множинах D = { zeZ: 9z( s R) з оц1н-коя похибки набликення м1ри несум1сност1 0(h+5).

У § 2.4 Судувться ефвктивн1 метода реал1зац11 ШОВ для лШйннх р1внянь у г1льбертових просторах. ЗнаЯден1 критерП досягненнл м1н1-муму футшШалу Ф^Гг J у недеференЩйовашх точках z = 0 та на розв'язках р1вняння (2.17) при D = Z.

Лема 2.3. Для того, ¡чоб яШяул íMz) йосягайся на елемекni zn = 0 необх16но й доешь, upó виконувалась улова

ia'u.i s hlu.l. (2.21)

h в С

Теорема 2.14. йеяоа tcwj/e роэв'язок (нормальной) z^ * 0 р(в-няння (2.17). Щоб функц1онал í^tz] набував лШхальне, значения на елелекгЛ z = г^, необхЮно а доать, щоб бихонуважсь улова:

V h ' y«z. (y,z )=0 h 4 4

Для регулярного випадку доведен1 так1 твердження, як1 м1стять основу реал1зац11 ПН0В:

Лема 2.5. ФункцЫ у(<х) з (2.20) при « > 0 - tienepepduo дифе-ренц1йоваха. ?'(<*) = (В z ,z )-g(a), R = (k'k + oE)".

* eee в п л

a h

g(a) = —-- - . (2.22)

¡A z -u,l Iz 5

h a í e

m лае едита лоналъкий лШлул <xt. лиий покоя е елобалътл аШ-лулол на (0;+»); оператор На - силешриинчй додатно означений оператор при а > 0.

Теорема 2.15 (Пданцип наБменио! оц!нки в1дхилу). Задача л1н1л1-зацИ функционалу QJzl ra Z при h>0 еШваленпш таколу "принхщпу наам0юю1 оценки etdxiuy":

Ящз виконуешься улова (2.21), modl г^ «= 0.

Коли (2.53) не викокуеться, moflí розб'дзушься рСбмяння Ейлера для задач1 лШШэацИ функц1оналу А.М.Тихонова (2.19) при р = q = 2

(А А + aE)Z = Au, (2.23)

n n a n S

а) I якир при ОуОъ янолу « > О винонуетъся нер1вн1сть g (а) > О, яо01 1снуе (нормальней) роэв'язок z р1внянт Aha = ua m

z = z = Ilm a : (2.24)

« * а-» 0+ "

ь; iwaaœ icnye еСиний кор1нь <xt > О р1вняння

g(«) = О, (2.25)

<3лд ялого <г = argBln ®(а), па z - в .

а Jî О 4 °i

ЗнаЙденя оц1нка зверху для параметра регуляриэацИ в ПНОВ. Теорема 2.16. Для iA^u^l > hlua i, h > О виконуетпъся ouinm

hiu IIA ia

О s oc s -;-«-Ь- = a . (2.26)

1 IA u « - hlu 1 1

П a о

Для р!шеиня (2.25) обгрунтований метод просто! 1терац1!.

Теорема 2.17. В уловах теореш 2.16 летод npocmol 1тераца

~ » » ~ л ~ hïA а -u.l

h«_î_

a. . = ^ = , «j ~ ах'

•• К" - - - « х- 9ав1

зб1гаетъся во роэв'яэку я р1вняння (2.25).

На пркклад1 СЛАР з матрицею Ильберта наведен1 результата -чи~ сельних експеримент!в реал!зац11 ШОВ. Такса запропонован! модиф1ка-ц11 метод1в Ньютона та с!чних для розв'язання нел1н!йних р1внянь з опуклими л!вими й правими частинами, волод1юч1 гарантованою зб1жн!с-•гю, та обгрунтовано 1х вживання у ПНОВ для розв'язання (2.25).

Проведено пор1вняння ПНОВ з методом регуляризацП обчислення м1рн несум!сност1, який запропонований В.О.Морозовим ! м1ститься у розв'язанн! р1вняння (А^ + аЕи)ив = 3 вибором параметра

регуляризацП 1з умови 1А^ив - аЧ^! = 2Ь1и31, п!сля чего за регу-ляризоване значения для д[Ао,ио1 уважаеться = 1ив - и41. Доведено, що цей метод'екв!валентний розв'язанню р1вняння (2.23) з вибором о 1з умови а1ав1 = 21г1и41. На конт^..риклад1 показано, що метод В.0.Морозова мо*е не давати оц1нку зверху для ¡¡1Ад,ио), важли-ву, як ми побачимо надал!, для регуляризацП розв'язання несум1сних

операторная р1внянь за допомого» узвгальненого принципу вШилу.

Дал1 розглядаеться вживання прямих град!ентних метод1в м1н1м1-зац11 для розв'язання задачЛ (2.16). ФункцЛонал Ф^СгЗ у загальному внпадку не в строго опуклим, однак при умов1 A z * и. та z * О

h л о п

доведена його строга опукл1сть у деякому окол1 точки м1н1мума (доведена додатна означен1сть друго! пох!дно1 по Фреше Ф^'izl> та зб1я-н1сть методЛв найивидкого спуску та спрякених град1ент1в. Зазначен1 економ1чн1 алгоритма пЛдрахунку кроку спуску у ц1х методох для ШОВ.

У 5 2.5 о<5грунтован1 метода ск1нченном1рно! апроксимацД! МНОВ, зокрема проекШйний та ск1нченнор1зницевий метода. ВиписанЛ системи лШйних алгебраЛчшх р1внянь, як1 отримуються при регулярязацП НКЗ для Лнтегральних р1внянь I роду, та розгляден1 ефективн! алгоритма 1х розв'язання, заснован! на методЛ В.В.ВоеводЛна. ОдерканЛ прост1 та зручн1 наближенЛ формули оц1нки похибки скЛнченномЛрно! апроксн-мац11 Лнтегральних операторЛв та правих частин у вмпадку кусково-лЛ-нЛйноЛ та кубЛчно! апроксимацН.

У § 2.6 побудовано РКА нестЛйко! критер1ально1 задач1 наймегезшх квадратЛв (1.23). АналогЛчно МНОВ. впроваджуеться клас Е^ еквЛва-лентних за точнЛстю вхЛдних даних для нвблихених даних (1.24) та розглядаеться функцЛонал на D £ R"

s is] = sup l(Az.z) - 2(b,z) + с). (2.27)

pcSn

який для кожного фЛксованого г е D уявляе собою найменшу оц1нку зверху значения . зихЛдного функШоналу f0(z) на

Теорема 2.24. Для будь яного г t R" винонусяъси р(бн(сшь S lz) = (А z.z) + h(z,z) - 2(b.,z) + 26lzl + с +7. <2.28)

1) П о J

при. цьолу версия лет у (2.27) д1стаг<ься на dxtOims Оаних з

р = (А,Б.с) ч Z , задовольнятих спШЮношеннял о

IJ-AJ = h, 115-bJ = 5, lc-c I = Ь

h 9 У

l Оля z * 0 pl6ш S = A + hE,•• t> = b. - aBzI"lz, с = с * г-

n o 7 7

KemaO кайлешо1 оц1кки квадратичного Идхилення для критерЛаль-

hoI задач1 обчислення нижньо! межи функц1оналу (1.23) та критер1аль-но1 задач1 побудови його м. п. м!ститься в обчисленн1 величини

р (р ) = int s (z) (2.29)

4 4 ZeD 4 j

та побудов! для v х > О вектору z^e D, задовольняючого умов1 Зч1ач1С3 - Рп(Рп) s х. Доводиться эб1зш1сть цього методу та теорема дво1стост1, аналог1чна до теореми (2.11) для ШЮВ. Основу ефективно! чисельно1 реал1зац11 його складають так1 твердяення:

Теорема 2.28. При D = R" летод tiaCLeemol оц1нш квадратичного вЮхилення екв1валеютлй таколу "принщпу найяенио I оц1нки квадратичного вЮахменяя": при I * 5 ветор z^ - 0, з^Св^J = 0^ + 7; при 8bÄÄ > 6 розв'язуетъся CMP (Aft + <»E)zo = be, a a h, э виборол параметра регулариэацИ а з р1вняння а = h + s/lzj, при цьолу - единий It розв 'явок, па вектор z уважаешься р1внил z = ze .

Т}

Теорема 2.29. При 1ЬДВ > S виконуепься нер1вн1сть

hSb.l + 5»А I

Ь» < -1-= ос . .

4 8b.ll - 5 "

Так само обгрунтовуеться зб1жн1сть методу просто1 1терац11

а = h +- г/iz S. к = 0,1,... , а = а . к*1 а о о

к

Розгляден1 деяк1 питания регуляризацИ НКЗ обчислення "чебипов-сько! м1ри несум1сност1" СЛАР та обчислення функц1онал!в на розв'яз-ках операторних р1внянь I роду.

Третя глава дасертацИ присвячена регуляризацИ розв'зання не-сум!сних операторних р1внянь та вжкванню у iat&x методах PICA.

У § 3.1 розглядаеться модиф1кац1я узагальненого методу в!дхилу (УМВ) 1 узагальненого прикципу в1дхалу (УПВЬ досл1даених у роботах 1.В.Коч1кова, А.Н.Матв1енко, А.Г.Яголи для рйГуляризацП несум1сних л!н1йних операторних р1внянь у Е-просторах.

Модиф1кац1я УТЮ м1ститься у розв'язанн1 вар1ац1йно! звдач1

z = argmln Izl, z е Z° (3.1)

ч ч

ZD = (а « D: lAz-u.l i hlzl + i + ¿CA .U.l>, (3.2)

I) I) 9 Ч Л • . .

де ц [Л ,и] - обчислена за допомогою МНОВ модиф1кована М1ра не-

П Ь о г

сум1сност1 (2.16). Модиф1кац1я УГО м!ститься в тому, що запровадау-еться "модиф!кований узагальнений в1дхил"

= - 11,21 ~ « - 2 1А ,и 1, (3.3)

ч л О в |) п С

та яйцо не виконуеться нер1вн1сть

1ив1 > 6 + 2ч[Аь,ив1, (3.4)

тод1 регуляризований псевдорозв'язок ач = 0; у противному випадку

розв'язуеться задача м1н1м1зац11 функц1оналу А.М.Тихонова (2.19) при

q > 1 з вибором параметра регуляризацП а з р!вняння

р («) = 0. (3.5)

о

яке мае розв'язок а0 > О (единий при Б = I). та дал1 увакаеться

г = 2 . Аналог1чн1 формулювання мають м1сце у випадку нел1н1йних о

р1внянь з використанням (2.7).

При регуляризацП сум1сних р1внянь у робот1 розглядались моди-

А

Ф1кац11 УМВ 1 УПВ, у яких зам!сть р 1А -и.) стоГгь 0. бо викори-

i) ь б

стання величини ,и.1 е неможливим 1з-за доведено! нест1йкост1

п с

задач1 обчислення м1ри несум!сносг! до похибок (Аъ,ив). Для сум1сних р!внянь у г1льбертових просторах в дисертацП знайден! ваклив1 для чисельно! реал1зац!1 УПВ оЩнки зверху для параметра регуляризацП. порядок яких ё 0(1н-б). Вони повн!стю обчислюються за вх!дними дани-ми (А .и_) тв п. Перша з них виконуеться для достатньо малих п

п v

та мае вигляд (при р = 0 або ц = ¡¡1кь,ие1)

+ 1Ак8г(в-+■(»)

а * 1А I--»--* « „ • ' <3-6>

0 л 1А и,1 - 1А8(« + ц)

л о п

Порядок ОШ+г)- у (3.6) мае м1сие через те, що для сум1сних р1внянь ц1А ,и.) = 0(11+5). Друга оц1нка виконуеться для будь яких п:

Теорема 3.2. Для сумХстх р1внянъ при вшонанн1 улови. нер(внос-т1 ъ * 0 (iu.lt > 5 + виконуеться оц1нка

а =5 ЫА И + (5 + М)1А IСЯА I2 + а >'А'и Г' = а • <3-Т)

О Ь Ь Ь так Ь £ тах

де а обчислюетъся за -формулею

так *

(1А I + Ю1А 1!и,1

а = -п-11-а <х , (3.8)

1и41 - Ь - ц 0

Для модиф1кац11 УПВ (3.3) - (3.5) для несумХсних р!внянь у ди-

сер-таци вперше одержан! оц1кка зверху для параметра регулярнзвцИ,

як! пови1стю обчислотгься за вх1дннми дсшсли. Бонн мають порядок

0(Ъ+5)°■5, при цьому доведено, що в1н не пол!пшуеться.

Теорема 3.4. При виконанн1 улови (3.4) паралетр ре&уляризацИ

<*о з лодифОюца УГО Оля несул1сгамг р1внтъ те тку оц1нку зверху

= 0(П +• г)°6:

а з а + 2(¡А I2 + а )х

0 1 Ь ПАХ

Г Г 'А-*2 + а *

х-;-1- 11+6—Ь—;-= « , (3.9)

1-Циж1 - Мид1 I ВА и 8 ]] а

«1 о 5 4 Ь о

л

Ое а4 £ а оэначен1 форлулаш (2.26) ш (3.8).

У цьому параграф1 такон обгрунтован1 модиф1кацП методу Ньютона та с1чних, як1 гарантовано зб1гаються до р1вняння (3.5).

У § 3.2 досл1дауеться новий п1дх1д А.И.Тихонова побудови РА на класах екв1валентних за точн1стю вИдаих даних. Надаеться просте^доведения, що модйф1кац1я УМВ для сумЛсних р!внянь при (1 = 0 екв1ва-лентна пошуку м!н1мального за нордою розв'яэку серед нордальних розв'язк1в ус1х сумХсних р1вяянь Аг = и з вхЛдгшш даними з класу

екв1валентних за точн1стю вх!дних даних £ (2.9).

ч

Цей же п1дх1д узагальшзеться на несуы1сн1 р1вняння. Позначимо

як Е^ клас вх1дних даних, у яких 1снуе псевдорозв'язок:

Е = ( (А,а) е г. : з г = агки1п 1Аг:-и1 } (3.10)

4 4 ае2

л»

( Е « а тому, що по првдущенню (А ,ц ) б Е ). Позначимо мнсжину

II о о ^ ч ^

норладьннх псевдорозв'язк1в р!вняь;ь Аг-и з вх1дними даними з Е^ як 1 :

г = (в«г:'а = аг0и1п I }, (3.11)

* г р

Р ч __

V = £ г « г: э (А.и) « Е , а = агвпйп 1Аг-и1 >. (3.12) п Р о^ р

Множима г »я, тому до г е 1 .

1 0 1

Означения 3.3. Метод лШлального псевдорозв'язку (ММП) л1с-

тться в толу, що эа регуляриэоване наближення Со zq обираешься

елелент z^ « э лЫ1лальною норлою, янщо такий icnye:

z = argmln Iz8, z « Z . (3.13)

jj 1

BxiOni 0ан1 (i,u) « E^, <3ля яких 2ч - норлалышй псевборозб'язок, навиваться "pecuiayvutucu" ММП.

3 1снування псевдорозв'язку у будь яко! (ЖАР 1 компактност1 £п для ск1нченном1рних простор1в Z та U легко виводиться

Припущення 3.2. Для СЛАР у ск1нченнол1ршх просторах Z. U задача (3.13) - розв'язувана та 1снуктъ *реал{зут1щ II вх1дн1 dant

(Ä.Ü) е к . ч

Означення 3.4. Метод с-л1н1лального псевдорозв'язку л1агшъся б пюлу, \цо для будь того с > 0 эа регуляриэоване набдшгешя до г0 оброешься елелент z^ «= для якого виконуеться нер1вн1сть

iz'l s Inf IzS + е (3.14)

ч ~ ~

г е Z

ч

fmaKi елелент z* эабх£>и 1снуапъ Оля будь яких rj г о i с > 0 ). Основним результатом параграфу е така теорема. Теорема 3.7. Метод с-л1н1лалъного псевдорозв'язку зб1гаеться до нормального псевдорозв'язку Eß дихЮного р1вняння прл п —► 0. е —♦ О. moömo викокуеться сп1вв10кощення - zA —» 0 при

Г)—» О, t — 0.

Аналог1чно викокуеться зб1ин1сть ММП, якщо для будь яких п та

рч задача (3.13) розв'язувана. У цъому вкладку в1дм!часться "дво-

1ста" до теореми 1.1 про п!внепэрервн1сть зверху м1ри несум1сност]

властив!сть п1внеперервнсст1 знизу за вх1дними даними норми нормаль-

них псевдорозв'язк1в 1й0В. У робот1 ставиться задача про знаход-

ження ефективного алгоритму реал1зац11 NM1 та наводяться деяк! доно-

м1жн1 результата для ньсго. наприклад, такий:

Припущення 3.3. Для г1льбертових npocmopie Z та U розв'язок

задач1 (3.13) z = 0 moöl 1-т1льки nodi, коли, п

Inf (Ia'uB - hlul) s 0 (3.15)

ueu,Su-u üsj h

О

(6 (3.15) у втаОку snam pläHocmi повинен стяш min).

Перзв1рка (3.15) легко виконувться методом mhoshhkIb Лагранжа. Пятимо, то умова (3.15) р1вност! z^ нулю в ЫМП не екв1валентна в1дпов1дн!й умов! (3.4) у моди$1кац11 УГО. В!дм!чаеться, що одам 1з моаливих вар1ант!в нзбликено! реал1зац11 ММП для г1льбертових прос-тор1в о внивання УИВ для сум1сного р1вняння = A^uQ.

У § 3.3 розвннуто п1дх!д рэгуляризацП на класах екв1валентннх за точн1стю вх1дних даних для норлально розв'язуваних р1внянь у Пльбертових просторах, заснсваний на модаф!кац!1 методу мШмально! псевдообернено! матриц! 0.С.Леонова. Цей метод регуляризацП вжива-еться таков для задач ст1йкого псевдообернення матриць та нормально розв'язуваних оператор!в та за аналог1ею називаеться у дисертацП методом мШмального псевдооберненого оператора (ШЛО).

Для задач1 псевдообернення матриць в1н м1ститься у тому, що розглядаеться клас екв1валентних за точн!стю матр1щь А^ = ¿h(Ah): А = { А е L: ЙА-А I * h ) (3.16)

л П

1 за регуляризоване паближення до шукано! псевдообернено! матриц!

А0 обираеться матриця А^, яка мае м1н1мальну спектральну норму

серед норм псевдообернеких до матриць 1з класу

А = argrnln IA+Ü. (3.17)

Ae4h

Теорема 3.9. Розв'язок задачt (3.16) - (3.17) 1снуе I при 0 i h < ho, hQ = SAoS/2, виконуетъся pldHicmb Rg Ah = Bg Aq.

Побудова розв'язку задач1 (3.17) заснована на сингулярному роз-клад1 матриц! А: А = V D U , де V,ü - ортогональн! матриц1,

А h П n n п h h

= dlag(p*,...,p£) - прямоукутна д1агональна матриця з сингулярни-т числами р* г ... г г О. Означимо матриц» Ah у витляд! К = 7Аи„' К = dlag(ü (р?).....(рЦ)). (3.18)

п ппп П П 1 ПК

{р + h при р > h

■

О при р s h

Викснусться DlBHicTb 1А -Á ! = íi (тобто A € á ) la

h h h h

К = üSVh' ®h = fliag(e(ah(pj)).....e(«h(p¡J))), (3.19)

де 0(1) = 1/ж прк x > 0, e(x) = 0 при x = 0.

Аналог!чно методу мШмально! псевдообернено! матриц! доводать-

~ X г

с я оц1нха еЛ^—Aq « = 0(Ю. ШЛО текоа места викорисговувати для рвгу-лярязац11 зяаходаення псевдорозв'язк1в СЛАР. У цьому випадку регуля-ризований псевдорозв'язок увакаеться р1вним zn = 1 для нього

справедлива оц!нка похабни Sa|)-zQi = 0(h+5).

ШЮ для нормально розв'язуваних р1внянь м1стигься в означенШ класу екв!валентних за точн!сти нормально розв'язуваних оператор1в А = ( А с L: IA-& ¡ sh, Im А = Ю } (3.20)

r> h

1 у знаходкенн1 оператора, який е розв'язкс« задач! (3.1?) на глас! (3.20). Побудова розв'язку niel задач! носить конструктивная характер та грунтуеться на полярному розклалаян! лШйшго неперарвного оператора А: А = 45, де Y : Z—» U - частково !зомвтричний

а h h h n п

оператор, a с L(Z,Z) - нев1д'емно означений симатричкш! оператор

s = (а'а )1/а. Дал! використовуеться спектральне розкладання опе-h h h

ратора Sh 1 оператор Ah шзначаеться як деяка функЩя в!д оператора S . Доводиться з01!2н1сть ШЛО з oulra<o» похибки 0(h). и

. Такоа наводиться деяк! чисельн1 результата пор!вняшя метод1в м1н!мяльного псевлорозс' язку, м1н1мального псевдооберненого оператора та кодаФ1кац11 УЯВ для несумюних р!внякь. Вони показують пзрева-гу перших дбох метод!в.для нормально розв'язуваних р!внянь. Розгля-нуто такс® приклад розв'язання Шегралького р!вняння Фредголма II роду на спектр!-за допомогоа шло.

Глава четверта присвяченэ вяиванн» розроблених у дисертацП РКА для розв'язання обернзних задач теююпровШюсти (ОЗТ)., регуляриза-ц11 метод!в 1нтегралышх р!виянь I роду 1 веортогональних ряд1в для розв'язання ел!птчних граничная задач.

У § 4*1 наводиться постановки ОЗТ з оберненим часом (ретроспшс-

тевнвя ОЗТ), ОЗТ упрзвл1няя грвнпчяими умовами та обарнених задач Стефша. Для рзтроспентивнях ОЗТ разглядаються приклада пор1ваяшш ШОВ та катоду кввз!обернення, а такон приклада використаиня прямих град!ентних метод1в м!н!м1зац11 у ШОВ для задач з обмеженнями на початкову температуру. Ц1 приклада св1дчать про високу ефективн!сть та ст1йк1сть розроблених РКА.

У § 4.2 розглядаеться загальний п!дх1д методов 1нтегральиих р!внянь I роду, кола розв'язок ел1птично! гранично! задач} шукаеться у вигляд! деяких потенц1ал!в з ядрами, утворениш з в1дпов1дних фундаментальных розв'язк!в, 1 з вЦльностяш потенц!ал1в, розпод1леними не-яо меа1 област1, а на деякому в1ддаленн! в1д не1. П1сля постановки потенц1ал1в у грашгш1 умо&ч виходять 1нтегральн1 р!вняння Фредгольма I роду, у яких мокэ бути в!дсутн1й розв'язок. У виникаю-чих ККЗ вкиваеться ШОВ. Розглядено приклад розв'язання !нтегро--фушаЦональних р1внянь, як! одержан1 при розв'язанн1 задач! згину тонких прукн1х плат1вок у многозв'язних областях з сингулярностялш напруг у вх!дних кутах. /

У висновку наведен! основн1 результата та виведешя, одеркан1 у дасертацИ. Вони м1стяться у наступному:

Досл1даено новий напрямок теорИ некоректно поставлених задач -нест!йк1 критер!альн1 задач!, як1 мавть практичну вагу. Розглядено ряд постановок НКЗ, у тому числ! нова узагальнена задача управл!ння.

Для таких критер1альш1х задач сформульован1 означення критер!-ально! ст1йкост1. 0дернан1 необх1да1 та достатн! умови критерШьно! ст1йкост1 задач1 обчислення м1ри несум!сност! л1н1йних операторних р1внянь у нормованих просторах та узагальнено! задач1 управл1ння. Бстановлеяо зв'язок некоректних аргументних та критер!злышх задач. Досл!даен1 властивост1 м1ри несум1сност1 операторних р1внянь.

Для НКЗ оформульован! поняття регуляризируючих за критер1ем алгоритм^ та побудован! так! РКА. Вони дозьоляать одераувети оц!нки.

як1 не пол1пшуються на клвсах екв1валентних за точн1стю. вх1дних даних. Сформульован1 деяк1 означення оптимальност1 РКА.

Всеб1чно вивчена задача обчислэння узагальнено! м1ри несум1с-ност1, яка м!стить суть методу найменшо! оц1нки в!дхилу. Розроблен1 ефективн1 алгоритми реал1зац!1 ШОВ для л1н!йних р!внянь у г!льбер-тових просторах, заснован! на новому приндаИ вибору параметра рвгу-ляризац11. Разгляден1 прям1 град!ентн1 методи реал!зац11 МНОВ. Побу-довано регуляризуючий алгоритм для НКЗ методу найменших квадрат1в.

Розвинут1 методи ск1нченном1рно1 апроксимацП РКА та 1х чисель-но! рэал1зац11 на ЭОЫ, у тому числ! запропонован! нов1 завзди зб1кн1 модиф1кац11 метод1в Ньютона 1 с!чних та обгрунтовано вживания цих модиф1кац1й у ШОВ 1 в узагальненому принцип1 в1дхилу для вргумент-них задач. Виведен1 нов1 оц1нки зверху для параметра регуляризацП.

Розвинут! методи регуляризацП несуы!сних операторних р1внянь 1 досл!даено ввивания у цих методах регуляризуючих за критер1ем ал-горитм!в. Запропшований 1 теоретично обгрунтований новий метод регуляризацП несум1сних р1внянь на класах екв1валентних за точн!стю вх1дних даних - метод е-мШмального псевдорозв'язку. Узагальнено метод ы1н1мально! псевдообернено! матриц! на нормально розв'язуван! операторн1 р1вняння та на задач! лсевдообернення.

Розглядено взивання розроблешх РКА в обернених задачах тепло-пров1ддаост1, обернених задачах Стефана та методах 1нтегральних р1в-нянь Фредгольма I роду при розв'язанн! елШичних граничних задач.

Л1ТЕРАТУРА

1. Венцель Е.С.Кобилннський В.Г., Лев1н О.М. Деяк1 питання застое ування методу регуляризацП для розв'язку б!гармон1чних задач теорП пру!ЯОСТ1 // Доп. АН УРСР. Сер. А. 1984. К 3. С. 25-28.

2. Венцель З.С., Кобылинский В.Г., Левин A.M. Некоторые вопросы применения метода регуляризации для численного решения задачи изгиба тонких упругих пластинок // 5Х. вычисл. матем. и у.зтем.

физ. 1984. Т. 24. № 2. С. 323-328.

3. Левин A.M. О регуляризации вычисления нижних граней функционалов // Я. вычисл. матем. и матем. физ. 1984. Т.24. N 8. С. 1123-1128.

4. Венцель Э.С., Левин A.M. Решение двумерных задач теории упругости методом интегральных уравнений I рода // Проблемы нелинейной электротехники. Тез. докл. II Всес. научно-технич. конф. Ч. 3.-К.: Наукова думка. 1984.- С. 56-59.

5. Левин A.M. О выделении особенностей при решении эллиптических краевых задач методом интегральных уравнений первого рода // ДАН УэССР. 1985. N 1. С. 17-19.

6. Левин A.M. О решении бигармонических задач теории упругости в нерегулярных областях методом интегральных уравнений I рода // Метод дискретных особенностей в задачах математической физики. Тез. Всес. симп.- Харьков: Изд-во ХВВАИУ, 1985.- С. 63-65.

7. Левин A.M. О вычислении меры несовместности операторных уравнений I рода // Ж. вычисл. матем. и матем. фаз. 1986. Т. 26. N 4. С. 499-507.

8. Венцель Э.С., Кобылинский В.Г., Левин A.M. Об учете особенностей при численной реализации метода компенсирующих нагрузок в бигармонических задачах теории упругости // Проблемы машиностроения. Вып. 25.- К.: Наукова думка. 1986.- С. 16-18.

9. Левин A.M. Об устойчивости задачи построения минимизирующих последовательностей функционалов // Я. вычисл. матем. и матем. физ. 1987. Т. 27. N 4. С. 483-489.

Ю.Левин A.M. О выделении особенностей при решении двумерных задач теории упругости в нерегулярных многосвязных областях // Прикл. матем. и механика. 1987. Т.51. N 1. С. 39-46.

11.Венцель Э.С., Левин A.M. Развитие метода интегральных уравнений первого рода в задачах теории упругости // Метод дискретных особенностей в задачах математической Физики. Тез. докл. III

Всес. симп.- Харьков: Изд-во ХВВАИУ, 198Т.- С. 38-40. ,

12.Левин A.M. О модификации методов Ньютона и секущих и их применении в регуляризущих алгоритмах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1988. Т.28. N8. С. 1123-1134.

13. Венцель Э.С., Левин A.M. Решение граничных задач теории упругости путем численной реализации метода компенсирующих нагрузок // Прикладная механника. 1989. Т.25. II 12. С. 101-107.

14. Левин A.M. О регуляризации критериальных задач метода, наименьших квадратов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1989. Т. 29. N 9. С. 1408-1413.

15. Морозов В.А., Левин A.M. О регуляризируодем алгоритме решения обратных задач теплопроводности // 0 кооперируемых работах НИВЦ МГУ и Будапештского УВЦ.- М.: Изд-во МГУ. 1990.- С. 3-11.

16. Левин A.M. Итерационный алгоритм определения параметра регуляризации в методе наименьшей оценки невязки // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1991. Т.31. N 1. С. 151-153.

¡7. Левин A.M. Методы регуляризации решения неустойчивых критериальных задач // Некорректно поставленные задачи в естественных науках. Тез. докл. Междунар. конф.- М.: Изд-во МГУ, 1991.-С.187.

18. Морозов В.А.. Левин A.M. О регуляризации обратных по времени задач теплопроводности // Некорректно поставленные задачи в естественных науках. Тез. докл..Междунар. конф.- М.: Изд-во МГУ,

1991.- С. 201.

19. Левин A.M. Оценка сверху параметра регуляризации для несовместных операторных уравнений // X. вычисл. матем. и матем. физ.

1992. Т.32."N 8. С. 1170-1179.

20. Левин A.M. Регуляризация неустойчивых критериальных задач приближения // Теор1я наближення та задач1 обчислывалыю! математики. Тез. доп. м1кнар. конф.- Дн1прспетровеьк: Вид-во да,

1993.- С. 118.

21. Levin A.M. Regularization algorithms lor solving ill-posed criterion problems.- Proc. Int. Conf. "Ill-Posed Problems In Natural Sciences. Moscow - August 19 - 25 199Г.- Utrecht: VSP/ Hobcow: TVP Scl. Publ., 1992.- pp. 84-88.

22. Левин A.M., Фролов B.H., Филатова Г.Б. Численное моделирование процесса управления кристаллизации стали в изложницах // Численные методы в гидравлике и гидродинамике. Тез. докл. I междунар. конф.- Донецк: Изд-во ДонГУ, 1994.- с. 82.

23. Левин A.M. Методы регуляризации неустойчивых критериальных' задач // Алгоритмический и численный анализ некорректных задач. Тез. докл. Всерос. конф.- Екатеринбург: Изд-во УрГУ, 1995.- С. 83.

24. Левин A.M., Филатова Г.Б. Прямые градиентные методы вычисления обобщенной меры несовместности операторных уравнений I рода // Алгоритмический и численный анализ некорректных задач. Тез. докл. Всерос. конф.- Екатеринбург: Изд-во УрГУ, 1995.- С. 84-85.

25. Левин A.M., Филатова Г.Б. Прямые методы минимизации в задаче оценки меры несовместности операторных уравнений // Ж. вычиГсл. матем. и матем. физ. 1995. Т.35. N 2. С. 282-292.

АННОТАЦИЯ

Левин A.M. Регуляризация неустойчивых критериальных задач и решение несовместных операторных уравнений.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.07- "Вычислительная математика"

Киевский университет имени Тараса Шевченко, Киев, 1995.

Защищается 25 научных работ.

Исследуется теория неустойчивых по функционалу (по критерию) задач. Она включает в себя такие задачи, как вычисление меры несовместности линейных и нелинейных операторных уравнений, вычисление нижних граней функционалов и построение для них минимизирующих последовательностей, критериальные задачи теории аппроксимации. Строятся регуляризирующие по критерию алгоритмы для этих задач и эффективные численные методы их реализации. Исследуются регуляризирующие алгоритмы решения несовместных операторных уравнений и неустойчивых задач псевдообращения операторов.

Ключевые слова: некорректно поставленная задача, регуляризирую-щий алгоритм, мера несовместности операторных уравнений, псевдообращение.

ABSTRACT

Levin A.M. Regularizatlon of ill-posed criterion problems and solving of incompatible operator equations.

Thesis submitted for degree of Doctor of Physics and Mathematics In speciality "Numerical mathematics".

Code of speciality - 01.01.0T. i

Kiev University named lor Taras Shevchenko, Kiev, 1995.

Theory of unstable by functional (by criteria) problems ie investigated. It includes Buch. problems, as calculating of measure of incompatibility of linear and nonlinear operator equations, calculating oi the least boundaries of functlonals and their minimisation sequences, criterion problems of approximation theory. The criterion regularlzatlon algorithms are founded for these problems and effective methods of their realization are considered. Regularlzatlon algorithms of solving incompatible operator equations and problems of pseudolnverses are investigated.

ill-posed problem, regularlzatlon algorithm, measure of incompatibility of operator equation, pseudoinverses.

Подписано к печати Формат 60х«4/1б.

Офсетная печать. Пвчл. Уч.-изп.л.

Тираж -fQQ Зак«>Л Uava договорная

Поцраэцеление оперативной полиграфии ЛЦНГЭН 48000, г.Лугано«, Красная nr., 4.