Регулярные методы локализации особенностей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ
|
Антонова, Татьяна Владимировна
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Екатеринбург
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2014
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.07
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ им. Н.Н.Красовекого
На правах рукописи
Антонова Татьяна Владимировна
РЕГУЛЯРНЫЕ МЕТОДЫ ЛОКАЛИЗАЦИИ ОСОБЕННОСТЕЙ
01.01.07 — вычислительная математика
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
2 и НАР 2014
Екатеринбург - 2014 005546191
005546191
Работа выполнена в ФГБУН Институте математики и механики им.Н.Н.Красовского Уральского отделения РАН
Научный консультант: доктор физико-математических наук
Агеев Александр Леонидович Официальные оппоненты: Кабанихин Сергей Игоревич.
доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, профессор, зав. лабораторией математических задач геофизики ИВМиМГ СО РАН, г. Новосибирск; Рязанцева Ирина Прокофьевна, доктор физико-математических паук, профессор, профессор кафедры прикладной математики НГТУ им. P.E. Алексеева, г. Нижний Новгород; Танана Виталий Павлович, доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой вычислительной математики ЮУрГУ, г. Челябинск. Ведущая организация: ФГБОУ ВПО Московский государственный
университет им. М.В.Ломоносова, Физический факультет
Защита состоится 16 апреля 2014 г. в 11 часов на заседании диссертационного совета Д 004.006.04 при Институте математики и механики им. H.H. Красовского УрО РАН (620990, г. Екатеринбург, ул. С.Ковалевской, 16).
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ УрО РАН. Автореферат разослан 5 марта 2014 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета Д 004.006.04
доктор физико-математических наук At^^ В.Д.Скарин
Общая характеристика работы
Работа посвящена конструированию и исследованию методов решения неустойчивых чадам локализации особенностей функции одного или двух переменных. Изучены методы усреднения, для которых удастся аналитически описать эффекты типа Гиббса, возникающие в окрестности особенностей. Это аналитическое описание, в частности, позволяет исследовать сходимость и получить оценки точности методов.
Актуальность темы. Развитие теории некорректно поставленных (неустойчивых) задач началось с основополагающих работ А.Н. Тихонова, В.К. Иванова. М.М. Лаврентьева, в которых был предложен подход - метод регуляризации, позволяющий эффективно решать такого рода задачи. Среди авторов, внесших значительный вклад на этапе становления теории, необходимо упомянуть D.L. Phillips, R. Lattes и J.-L. Lions.
В дальнейшем существенный вклад в развитие теории некорректно поставленных задач также внесли А.Л. Агеев, Ю.Е. Аниконов, A.C. Ап арцин. А.Б. Бакушипский, Ф.П. Васильев, В.В. Васин, А.Ю. Веретенников, В.Б. Гласко. A.B. Гончарский, А.И. Гребенников, A.M. Денисов, С.И. Кабанихин, А.И. Короткий, A.C. Леонов, В.И. Максимов, И.В. Мельникова, Л.Д. Менсхис, В.А. Морозов, В.Г. Романов, И.П. Рязанцева, В.В. Степанов, В.Н. Страхов, В.П. Танана, Г.В. Хромова, С.П. Шишатский, А.Г. Ягола, G. Vainikko, M. Hanke, A. Neubauer, О. Scherzer, G. Wahba и многие другие математики.
В классической теории решения некорректно поставленных задач важным направлением исследований является построение специальных регуляризирующих алгоритмов в случае, когда искомое решение не является гладким. Негладкое решение для функций одной переменной, в частности, может иметь особенности типа ¿-функций, разрывов первого рода или изломов (разрывов производной); для функций двух переменных (изображений) решение часто содержит линии разрыва, то есть линии, в каждой точке которых функция терпит разрыв. В настоящее время по этому направлению опубликовано большое число работ, в том числе и теоретических. Останавливаясь только на теоретических работах, необходимо упомянуть статьи В.В. Васина, A.C. Леонова, R. Асаг и C.R. Vogel, в которых конструировались и исследовались эффективные
методы решения многомерных некорректно поставленных задач в пространствах функций ограниченной вариации, решения которых, в частности. могут содержать линии разрыва. Также отмстим статьи А.Г. Яго-лы и других авторов, в которых решались одномерные и двумерные интегральные уравнения первого рода с гауссовым ядром на классах, содержащих 6 -функции. Однако необходимо заметить, что классическая теория некорректных задач дает обоснование восстановлению функций, а не локализации их особенностей.
Анализ литературы, опыта прикладных и теоретических исследований. выполненных в Институте математики и механики УрО РАН. позволяет утверждать, что существует достаточно много прикладных задач, для которых решение состоит в определении характеристик особенностей. И поэтому, методы решения таких задач должны изучаться и оцениваться именно с точки зрения локализации особенностей. А сами задачи такого рода должны рассматриваться как самостоятельный класс некорректно поставленных проблем, относительно которых можно утверждать следующее:
— в классической и неклассической спектроскопии, астрономии, биологии, медицине, технике, картографии, навигации и других областях встречаются задачи, где необходимо гарантированно локализовать особенности; кроме того, возникает проблема, отсутствующая в классической теории некорректных задач — проблема разделения близких особенностей; при этом методы локализации необходимо исследовать как на точность локализации, так и на способность разделять близкие особенности;
— методы локализации особенностей могут использоваться как составная часть при решении других задач: восстановления негладких решении, идентификации параметров в ядре интегрального уравнения и других приложениях;
— для гарантированной работоспособности методов локализации необходима неклассическая (не используемая в классической теории) априорная информация об особенностях, которая встречается на практике.
В прикладных исследованиях различные элементы постановки проблемы именно с точки зрения локализации особенностей встречаются достаточно часто. В то же время многие теоретические вопросы по этой
проблематике изучены недостаточно, особенно это касается детерминированной постановки. Поэтому направление исследований настоящей диссертационной работы по конструированию и исследованию регулярных методов локализации особенностей является актуальным.
Приведем краткий обзор основных подходов к построению и исследованию методов локализации особенностей.
Первые работы по этой тематике были выполнены в спектроскопии. Уравнение
Лх = f K(t - s) x{s) ds = y(t). t e (-ос, +oc). (1)
J -DC
связывающее истинный спектральный профиль х и наблюдаемый профиль у , было выписано лордом Релеем [4] в конце XIX века. Здесь К(1) — известная функция. Для многих материалов искомое решение пред-ставимо в виде
I
х{з) = ^^к-6{з-зк). (2)
k=\
Заметим, что в некоторых задачах функция х может дополнительно содержать гладкую составляющую. Лорд Релей для случая точно заданного наблюдаемого профиля у и распределения Гаусса I<[t) предложил определять sj. по правой части у . При этом им было замечено, что, если Sk достаточно близко к s, при к ф i. то гауссовы формы в правой части у практически не разделяются. В этом случае велика вероятность неправильного определения числа I. Точность определения положений St и S; при этом резко падает. Лорд Рэлей предложил критерий разделимости двух одинаковых по величине спектральных линий (¿-функций). Для улучшения ситуации с разделением близких спектральных линий в работах Релея и Шустера были построены итерационные алгоритмы решения уравнения (1), которые в отсутствии погрешностей позволяют разделить пики, не разделяющиеся по правой части. Однако наличие возмущений в задании наблюдаемого профиля у ограничивает точность, с которой любой метод может разделить близкие спектральные линии, В работах В.П. Козлова [1,2] для статистических погрешностей в задании у было введено понятие разрешающая способность прибора и предложена
методика ее вычисления. Это был. вероятно, первый строго обоснованный теоретический результат в этой тематике. Изучением разрешающей способности прибора для интегральных уравнений первого рода в детерминированной постановке занимались A.B. Гончарский. A.C. Леонов. А.Г. Ягола (1973 г.). Детерминированный аналог этого понятия для рассматриваемых в диссертации задач — порт разделимости задачи— был введен А.Л.Агеевым [24].
В дальнейшем задачи локализации особенностей функций одной переменной возникали в классической и неклассической спектроскопии (5-функции), медицине ( д -функции и разрывы первого рода), технике и других областях. Для функций двух переменных задача определения положения и разделения близких S -функций решалась в астрономии; необходимость локализовать д -функции и линии разрыва возникала при обработке изображений, в частности, в картографии и навигации.
По локализации разрывов первого рода функции одной переменной, зашумленной статистическим шумом (задача о "разладке"), опубликовано большое количество работ. В нашей стране эта тематика активно развивается начиная с 60-х годов прошлого столетия. Для решения этой задачи используются различные методы, в том числе методы усреднения, для которых получены вероятностные оценки точности локализации. Из всего разнообразия публикаций, остановимся на работе [3] (см. также [7]), которая наиболее близка нашему подходу. В [3] для липшицевого класса функций с разрывами первого рода предложен метод, оптимальный по порядку точности локализации. В работах [3,7] оценки получены при условии nimfc?ij{|sfc -s,-| > h}, где h > 0 — константа, sk — положения разрывов, и условие на близость особенностей (разрывов) не зависит от уровня шума, то есть понятие порога разделимости не вводилось.
Построению и исследованию методов усреднения для локализации особенностей зашумленной функции одной переменной в детерминированной постановке посвящена первая глава диссертации.
Необходимость решать уравнение (1) на классе (2) возникает во многих областях, и в литературе предложено большое количество алгоритмов решения данной задачи. Для определения числа особенностей I и начальных приближений к точкам St при решении уравнения (1) на классе (2) часто предлагается использовать методы классической тео-
рии некорректно поставленных задач, например, решать уравнение (1) методом Тихонова. Поскольку регуляризованное решение в этом случае является суммой пиков, то. задавая величину порога Р. подбирая параметр регуляризации и оценивая количество пиков /. можно в качестве приближения к величинам выбирать точки, в которых регуляризованное решение достигает локального максимума, (и больше порога Р ). Заметим, что в диссертационной работе в главе 2 построены специальные методы регуляризации, для которых удаётся обосновать такой способ действий для уравнения типа свертки (1).
В литературе, посвященной прикладным задачам, предложено большое количество других подходов к построению методов локализации особенностей (в том числе и более общего вида, чем рассмотрено в настоящей работе), но эти методы, насколько известно автору, не исследованы на устойчивость к шуму, то есть с точки зрения численного анализа полностью не обоснованы.
Особую актуальность задачи локализации особенностей приобретают для функции двух переменных в связи с проблемой обработки изображений. В литературе предложено большое количество практических алгоритмов, позволяющих локализовать особенности и определять области, в которых особенностей нет. В третьей главе настоящей работы, по-видимому впервые, теоретически исследованы методы усреднения локализации линий разрывов зашумленной функции двух переменных (выписана априорная информация на точную функцию и получены оценки точности локализации).
Отметим цикл работ по расшифровке атомной структуры радиоактивных комплексов методом ЕХАРБ [5,13,27]. В этих работах решалась система интегральных уравнений Фредгольма первого рода общего вида (не типа свертки) на классе функций (2). Для локализации особенностей использовался эвристический алгоритм (метод разделяющих функционалов), который строился на основе вариационного метода Тихонова для сопряженного оператора к оператору задачи (подробнее см. § 1 главы 5).
Как уже было сказано выше, при решении некоторых задач методы локализации используются в качестве промежуточного этапа. Остановимся на двух классах задач, в которых вопрос о локализации особенностей не ставится, но для их решения нужно получить приближение
положений особенностей с оценкой точности локализации.
Опишем первый класс такого рода задач. При восстановлении функции с особенностями в случае, когда известны приближения к положениям особенностей с оценками точности локализации, можно улучшить оценки точности аппроксимации точного решения регуляризован-ным. Например, в [7] для задачи восстановления зашумленной функции с конечным числом разрывов первого рода в статистической постановке показано, что для функции с конечным числом изолированных точек разрыва можно получить такие же вероятностные оценки точности аппроксимации, как и для непрерывной функции, если вычислить приближения к точкам разрыва с хорошей точностью. В работе [15] в детерминированной постановке при восстановлении зашумленной функции и решении интегрального уравнения типа свертки на классах функций с особенностями для исключения эффекта типа Гиббса использовалось приближение положений особенностей, полученное методом локализации. Учитывая оценки точности локализации для приближённых положений особенностей в этих работах получена равномерная оценка близости регуляризованного решения к точной функции на множестве Д \ (и'^ - (В(д"))-р, + (В{6))~Р)), где параметр регуляризации В = В(<5) —► оо при <5—^0, число р > 0 зависит от задачи.
Перейдем к описанию второго класса задач. Рассмотрим интегральное уравнение первого рода с оператором типа свертки, который нелинейно зависит от числового параметра а
А[а]х= ( - ст)с?5 = £ е (-сх>,+сс). (3)
и - ос
При. каждом фиксированном а оператор А действует из Ь2 = ¿2(-—оо, +оо) в Ьо. Вместо точной правой части у задана приближенная правая часть у" : \\у-уд\\ь2< 5- Требуется по у6 и уровню погрешности 5 одновременно определить пару {ст*,а;*}. Нетрудно привести пример, когда на всем пространстве Ь2 без дополнительной априорной информации это невозможно.
. Тем не менее, оказывается, что решение вышеприведённой задачи возможно на классах функций с особенностями, например, разрывами первого рода. В диссертационной работе обсуждается только задача опреде-
лепия (уточнения) параметра <т" при <5 —> 0 поскольку методы решения интегрального уравнения первого рода при известном а* хорошо разработаны. Назовем эту проблему задачей идентификации параметра.
Насколько известно автору, первые теоретические результаты по идентификации параметра получены в работах [14,16.20,25]. В первых двух работах [14, 20| положения особенностей считались известными. В работах [16. 25] положения особенностей определялись конкретным методом локализации. В диссертационной работе в главе 4 удалось развить и упростить предложенную ранее в работах [14.16.20.25] методику. Позже появилась оригинальная работа |6|. в которой в статистической постановке рассматривается задача определения параметра а" в ядре двумерного уравнения типа свертки с двумерным гауссовым ядром.
Цель работы. Для неустойчивых проблем локализации особенностей функции одной или двух переменных построить новые регулярные методы локализации. На классах функций с особенностями изучить предложенные методы как с точки зрения точности локализации, так и с точки зрения способности разделять близкие особенности. Разработать методику получения оценок точности и разделимости как сверху, так и снизу. Ввести понятие оптимальных (оптимальных по порядку) методов и исследовать предложенные методы на оптимальность. Построить и обосновать новые методы идентификации параметра в ядре оператора типа (3).
Методы исследования. В работе используются методы математического анализа, теории некорректно поставленных задач, теории приближения функций и теории обобщенных функций.
Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. Основные результаты состоят в следующем:
— введены множества обобщенных функций МУ,МС,М\¥™,тп = 1.2,1 < р < ос, одной переменной с не более чем счётным числом особенностей и условиями гладкости вне особенностей, для которых аналитически описаны эффекты типа Гиббса при использовании методов усреднения, то есть получено основное разложение вспомогательной функции;
— предложены множества Ф1. Ф1'. Ф2.Ф2'. ФГ1, ФР2 масштабируемых
усредняющих функций, каждая из которых порождает метод локализации особенностей:
— рассмотрены четыре неустойчивых задачи локализации конечного числа особенностей зашумленной функции одной переменной: предложен новый принцип выбора параметра регуляризации А. для которого получены оценки сверху точности локализации: введена важная характеристика метода локализации - порог разделимости метода и получены его оценки сверху; для тех же задач и тех же методов в случае счётного числа особенностей для особенностей с большой величиной скачка получены оценки сверху точности локализации и порога разделимости (при дополнительных условиях на особенности с малой величиной скачка):
— для упомянутых выше задач получены оценки снизу для оптимальной точности локализации и порога разделимости задачи, что для предложенного выбора параметра регуляризации позволяет утверждать оптимальность по порядку построенных методов одновременно по точности и по разделимости на классах функций с особенностями;
— для интегральных уравнений первого рода типа свертки рассмотрено две задачи локализации особенностей решения этого уравнения; предложен подход (решение сопряженного уравнения), позволяющий построить вспомогательную функцию и получить для неё основное разложение; для указанных задач построены методы локализации с оценками сверху точности локализации и порога разделимости; также получены оценки снизу для оптимальной точности локализации и порога разделимости: для уравнения первого рода со ступенчатым ядром построен метод локализации, для которого удалось доказать оптимальность но порядку точности локализации и порога разделимости;
— для приближенно заданной функции двух переменных рассмотрено две задачи локализации линий разрыва в различных функциональных пространствах; для этих задач построены регулярные методы усреднения локализации линий разрыва и получены оценки сверху точности локализации и порога разделимости;
— найден класс интегральных уравнений первого рода, содержащих параметр в ядре оператора, для которых возможна однозначная идентификация параметра на классе функций с особенностями; построен регулярный итерационный процесс идентификации параметра для функций
из этого класса;
для прикладной задачи обработки ЕХАГБ-данных с целью расшифровки атомной структуры химических комплексов выполнен полный цикл работ по методу разделяющих функционалов, включая программную реализацию, отработку методики и проведение модельных расчетов для соединений никеля и урана.
Теоретическая и практическая значимость. Первые четыре главы посвящены конструированию и исследованию методов локализации и носят теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в теоретических работах при дальнейших исследованиях по этой тематике. Некоторые теоретические результаты, полученные в этих главах (выбор параметра регуляризации, оценки снизу точности и разделимости и т.д.), имеют практическую значимость. Результаты пятой главы имеют прикладной характер и находят применение при расшифровке атомной структуры химических комплексов.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [8—27].
Апробация. Результаты диссертации докладывались на
— Всероссийских конференциях "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (Екатеринбург, 2001, 2008, 2011 гг.);
— Международной конференции "Теория приближения функций и операторов" , посвященной 80-летию со дня рождения С.Б. Стечкина (Екатеринбург, 2000 г.);
— летних научных Школах С.Б. Стечкина по теории функций (Миасс, 2000, 2001, 2002, 2006, 2008, 2010, 2011, 2013 гг.; Алексин, 2007 г.);
— Международной конференции "Теория приближения", посвященной 90-летию со дня рождения С.Б. Стечкина (Москва, 2010 г.):
— Международной конференции "Обратные и некорректные задачи математической физики" (Новосибирск. 2012 г.);
— 4-ой Международной конференции "Функциональные пространства, Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования" (Москва, 2013 г.):
— семинарах член-корреспондента РАН В.В. Васина по обратным и некорректным задачам в ИММ УрО РАН (1997-2013 гг.).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Главы разбиты на параграфы. Общий объем работы — 207 страниц. Список литературы содержит 122 наименования.
Основное содержание работы
Во введении приводится обзор литературы, обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цели проводимых в ней исследований и кратко излагается содержание работы.
В первой главе рассматриваются задачи локализации особенностей (разрывов первого рода и изломов) зашумленной функции одной переменной. При построении и обосновании методов локализации центральными являются два момента.
Хорошо известно, что при аппроксимации рядами Фурье функции, имеющей разрывы первого рода, в окрестности разрывов наблюдается эффект Гиббса. Аналогичные эффекты наблюдаются в окрестности особенностей в случае применения метода усреднения. При наличии аналитического описания эти эффекты могут быть использованы для локализации особенностей. В диссертации с помощью метода усреднения конструируется вспомогательная функция, для которой выводится основное разложение, описывающее эффекты в окрестности особенностей. Для удобства понимания приведем пример построения и разложения вспомогательной функции в случае наличия у точной функции разрывов первого рода.
Рис. 0,1.
На рис. 0.1 изображены точная функция х , имеющая пять разры-
12
вов. и зашумленная функция . Рассмотрим вспомогательную функцию х"х. порожденную усредняющей функцией фх ( А > 0 — параметр регуляризации)
:Га(5) = [ х'ЮШа-г))'я<Н. ф{Ь) = ехр(-«2/2). оА(0 = Ф{1/\).
Рис. 0.2.
На рис. 0.2 изображен модуль вспомогательной функции х\ и прямая линия, соответствующая некоторому порогу Р. Видно, что количество локальных максимумов, превышающих порог Р. равно количеству разрывов у точной функции. В качестве аппроксимации положения разрывов исходной функции можно выбрать локальные максимумы функции lijj на каждом из интервалов, где эта функция выше порога. То есть для определения количества разрывов и приближений к положениям можно использовать пороговый метод. Можно показать, что большие пики определяются эффектами типа Гиббса в окрестности разрывов и главная часть этих эффектов описывается аналитически с помощью основного разложенья (подробнее см. § 1 главы 1)
5
4(5) = Д4 . фх(я - Sk) + a{(s), К(,9)! < Д)(.г)А0,5 + AÎA"0-5.
где s*- - положения разрывов точной функции х, Да- = x(sk + 0) — x[sk ~ 0) — величины скачков, константа Aq(x) зависит от точной функции х. Оценки выписаны в предположении, что х, х' € Lo( —оо, +оо), Цз: — ifHtjf-oo^x,) < 5. Аналитическое представление вспомогательной функции позволяет выбрать параметр регуляризации
- 1 !
LëhiêÀÎ ÉkMMâbuMI MiiJUi
А = X(S), порог Р. а затем обосновать метод определения числа особенностей и получить оценки точности их аппроксимации.
Вторая центральная идея первой главы связана с описанием классов функций х. для которых максимум константы А0(х) на классе ограничен и. поэтому, возможно получить абсолютные оценки точности локализации и других важных характеристик методов (максимум Л0(х) на классе также будет обозначаться буквой А0 ).
В классической теории некорректно поставленных задач изучение оценок погрешности на классе корректности началось с работ В.К. Иванова, С.Б. Стечкипа, В.Н. Страхова, в которых были введены понятия оптимального (оптимального по порядку) на классе корректности метода. разработаны способы вычисления его погрешности и построены оптимальные (оптимальные по порядку) методы
Целью диссертационной работы является введение аналогичных понятий и развитие аналогичного аппарата для задач локализации особенностей. В классической теории класс корректности обычно является шаром Мг = {х: ||я|| < г}, где || • || - некоторая подходящая норма, более сильная по сравнению с нормой, в которой производится оценка точности решения. Обычно Мг является компактом в основном пространстве функций х.
Для простоты рассмотрим случай конечного числа разрывов, расположенных в точках s*., к = 1. 2. ■ • • , / .
На. рис. 0.3 изображена точная функция х (нарисована точками) и возмущенная функция х6: \\х - ^Цад-ос.+ос) < <5 (сплошная линия). Легко видеть, что для любого 6 > 0 число разрывов и их положение известной возмущенной функции х6 могут как угодно сильно отличаться
от искомых положений разрыва функции х, т.е. рассматриваемая задача локализации особенностей некорректно поставлена. Поэтому для гарантированной локализации разрывов и получения оценок точности локализации необходимо привлекать дополнительную априорную информацию, которая позволит отличить разрывы, отвечающие точной функции, от разрывов приближенной функции.
Пример, приведённый на рис. 0.3. показывает, что при наличии шума невозможно гарантировать локализацию особенностей с малой величиной скачка. Также при заданном 5 > 0 существует некоторая величина h(S) такая, что. если |sa- — s,| < h{5). к ф i, то никакой метод не может гарантированно разделить разрывы s а- и s,-. Поэтому наряду с классическим условием х € Мг необходимо вводить два следующих пекласси-ческих условия:
а) задана величина Дтш > 0, что гшщ,|Да-| > ДтЬ;
б) задана функция h(ô) > 0 такая, что гшщ-.и-^,- |sa- — s,;| > h(S), где h(6) > h(5).
Важно, что функцию h (S) можно использовать как характеристику метода локализации в проблеме разделения близких пиков и изучать методы не только с точки зрения точности локализации, но и с точки зрения разделимости.
Перейдем к последовательному изложению материала.
Целью §1.1 является формулировка наиболее слабых условий на точную функцию х и функции усреднения ф , при которых возможно получение основного разложения. Сначала определяются два линейных множества MV и Л/№р,1 < р < оо, точных функций со счётным или конечным числом разрывов первого рода (сумма модулей скачков всех разрывов конечна), имеющих почти всюду обычную производную х'. Для функций из MV функции х и х' ограничены; для функций из MWp.l < р < оо, функции X и х' принадлежат Ьр( — оо. +ос). Аналогично определяется два множества M С и 1 < р < со, точных функций со счётным или конечным числом изломов (производная терпит разрыв первого рода; величины скачков Да- = x'(sk + 0) - x'(sk - 0) и сумма модулей скачков всех изломов конечна), имеющих почти всюду обычную вторую производную х". Для функций из MV функции х, х' и х" ограничены; для функций из MW*, 1 < р < оо, функции х и х"
принадлежат Lp{—оо.+оо). Счётное число особенностей требуется для моделирования изображений. Все функции определены на (—оо.+оо). и в дальнейшем при обозначении пространств область определения функций будем опускать. Затем функции из этих множеств интерпретируются как обобщенные функции над пространствами основных функций M'l; ll <r Щ- гае 1 /р+ l/q = 1. соответственно, и для них приводятся выражения для обобщенных производных (определение 1.1.1.). Основным результатом этого параграфа являются формулы для введенных обобщенных производных (определение 1.1.1.). Основным результатом этого параграфа являются формулы для введенных обобщенных производных.
Лемм а 1.1.2. Для обобщенной производной dx(s)/ds функции х из множеств MV и Л/И'1 имеет место формула
k = l
Лемма 1.1.4. Для обобщенной производной d2x{s)/ds2 функции из множеств MW* и МС имеет место формула
^ = kS(s-sk)+^[s).
Заметим, что для функций из множеств MV, MW*, Л/И72, МС , например, как распределений Шварца, эти формулы известны. В работе доказана справедливость приведенных формул для существенно более широких классов основных функций, что позволит рассмотреть более широкий класс методов усреднения.
В § 1.2 приведены постановки задач локализации особенностей и получено основное разложение вспомогательной функции, на котором основано построение методов локализации. Задачи формулируются в максимальной общности для счётного числа особенностей. При этом понятно, что численно определить счётное число особенностей невозможно. Поэтому считается, что у функции х имеется I особенностей (разрывов или изломов) с "большой" по модулю величиной скачка А*., к = 1,2, •■■ .1, которые подлежат локализации, а остальные особенности
имеют "маленькие" по модулю величины Дд.. к — I + 1. / -f- 2. • • • . Первые / особенностей занумерованы по возрастанию 5д. так. что Зд. < s, для /с < г. а остальные — произвольно. В случае конечного числа / особенностей определению подлежат положения всех особенностей.
Задача I локализации разрывов в MW* для 1 < р < оо . Функция х € Л-ДГр. Требуется по функции х6 G Lp и уровню погрешности 5 таким, что ||х — < 6, определить число / и аппроксимировать положения разрывов
Задача II локализации разрывов в MV . Функция х 6 MV . Требуется по функции х6 £ ¿х и уровню погрешности 5 таким, что ||.г — x6\}ip < S. 1 < р < оо. определит!, число / и аппроксимировать положения разрывов .
Задача III локализации изломов в MW£ для 1 < р < оо . Функция х 6 MWy. Требуется по функции х" € Lp и уровню погрешности S таким, что ||.т — x"\\ip < 5, определить число I и аппроксимировать положения изломов {s^}'].
Задача IV локализации изломов в МС. Функция х S МС. Требуется по функции х" € С и уровню погрешности д таким, что ||.т — .т^Цс < <5, определить число I и аппроксимировать положения изломов {sk}\.
Для каждой задачи усредняющая функция ф выбирается из соответствующего пространства IV/, IV'1. И"2 или IV,2, где l/p+1/7 --- 1. Тогда для задач I, II вспомогательная функция строится по формуле
4П = [ х'ШФ\(з - t))'.dt, Фх(з) = ф(з/А). Л > 0.
J - ЭС
Для задач III. IV вспомогательная функция строится по формуле
/ + ОС
х6(1){фх{з - t))"„dt, фх(з) = ф(з/Х), А > 0.
■ос
Л с м м а 1.2.1. Пусть х точная функция а задачах I —IV. Для любых A. S > 0 и непрерывной функции .гд. и.м.еет, места разложение
ос
= At • Фх{s - sk) + aA(s) + &x5x(s): (4)
1
и справедливы оценки
«"Р..!|<*а(«)|<ЛпА,'! эгф^Дх^)! <А1д\-и. (5)
со значениями параметров, приведёнными в таблице 1.2.1 .
Например, для задачи I А„ = М^Ни,. Л, = ||<У||£ . //. = (р -1)/Р: "=\/р.
В § 1.2 показано, что для задачи IV с конечным числом изломов можно в качестве вспомогательной функции выбрать функцию, построенную с помощью конечных разностей, и для неё также имеет место разложение (4) и справедливы оценки (5).
После получения основного разложения построение и исследование методов локализации для всех рассматриваемых задач выполняется единым образом и не зависит от задачи.
В § 1.3 для задач 1-1У построены и исследованы методы локализации для конечного числа I особенностей. Рассмотрены два множества усредняющих функций: множество Ф1 одноэкс/гремальных функций типа ■•шапочка" и множество Ф2 функций, имеющих два экстремума (минимум и максимум).
В каждом из пространств, связанных с задачами 1-Г\Л введен шар радиуса г > 0: М,. = {х: ||а:||. < г}, где ||х||, равна ||ж'||лр! йивирЛгф)!, ||.т"||^, екйБир5|х"| для задач I,ИЛИ,IV соответственно. Для того, чтобы Ао в оценке (5) не зависело от х. введены необходимые дополнительные условия на точную функцию (условие на близость разрывов вводится непосредственно в теореме):
(1) задано число г > 0 такое, что х £ Мг;
(2) задано число Д™п>0 такое, что тт^Д^: к= 1,2,...,/}>Дт1п.
Для определения величины I и выделения непересекающихся отрезков [оа-.Ь*]. содержащих точки 5^.. предложен метод П. Метод в своей работе использует следующие параметры: порог Р = Дш'п/2, параметр регуляризации Л = А(<5) и функцию к = к(6). Для определения приближений {в^}', предложен метод ПР. который выбирает как середину отрезка [а;., . Метод локализации особенностей в данном случае состоит в последовательной работе методов П и ПР (П-ПР). В общем случае метод определения величины I и выделения непересекающихся отрезков [ак;Ьк], содержащих точки й^., остается постоянным
(метод П ). а метод определения приближений {ssk}\ зависит от множества усредняющих функций.
Для получения оценок в общем случае должна быть известна дополнительная априорная информация (для финитных усредняющих функций это условие не требуется):
(3) заданы L > 0 и Дшах > 0 такие, что 0 < / < L и тах{|ДА.! • к = 1.2. •••./}< Дгпах.
Т е о р е м а 1.3.1. Пусть для функции хдх имеет, место разложение
I
х{(s) = 0\(s - Sk.) + ax(s) -r- Ax'lis), (6)
t-i
с оценками (5) , функция ф £ Ф1 (ф £ Ф2); для функции х выполнены условия (1) - (3). Тогда для всех 6 < S0 при связи параметров А(<5) = D5l/" и выполнении неравенства minis*. - s,| > h(5) . где
кф]
h{6) = 2HX(S). для метода П-ITF получим. т = I, и будет справедлива оценка |s£ - sfc| < 0.5HDS^i".
Для величин J0, Я и D приведены явные формулы. Множества финитных ядер обозначены через <I>F1 (одноэкстремаль-ные) и ФГ2 (двуэкстремальные) соответственно. Теорема 1.3.2 аналогична теореме 1.3.1 для случая, когда ф е <£F1 и ф е ФГ2 .
Введено множество Ф1' функций ф 6 Ф1 с дополнительным условием: sup \ф(Ь)\ - sup |o(f)| = а > 0. В теореме 1.3.3 показано, что «€(-1.1; t^f-1,1) в этом случае можно получить лучшую оценку точности локализации
положений разрывов по сравнению с теоремой 1.3.1. При этом нужно вместо метода П.Р использовать метод П1. который выбирает sf. как точку максимума функции |^(s)| на отрезке [аь ök] (если таких точек несколько, то берет самую левую из них).
Аналогично через Ф2' обозначено множество функций ф е Ф2 с дополнительным условием: sup |g!>(£)| -sup |<j(i)| = a > 0. В теореме 1.3.4
te [0.1] '>1
показано, что в этом случае можно получить лучшую оценку точности локализации положений разрывов по сравнению с теоремой 1.3.1, если вместо метода ПF использовать метод П2 : находим на каждом отрезке [a*, точку глобального максимума sf и точку глобального минимума sf функции x\(s) и по ним строим sf..
Из леммы 1.2.1 и теорем 1.3.1-1.3.4 настоящего параграфа следуют оценки точности локализации и других величин на классе функций с особенностями для задач I - IV . Для компактной записи результаты сведены в таблицы 1.3.1-1.3.3.
Например, в результате применения леммы 1.2.1 и теоремы 1.3.1 к задаче I имеет место следующее утверждение: пусть точное решение задачи I удовлетворяет условиям (1)-(3), функция ф б Ф1 Р| И7^ ( ф £ Ф2 П W1); тогда для всех 5 < So при связи параметров A(i) = D6P
и выполнении неравенства mm|s^ — 5,| > h(5) . где h(ö) = 2HX(ö).
кф]
для метода П IIF получим т. = I. и будет справедлива оценка 14 - Si l < 0.5HD5i'.
В § 1.4 получены оценки снизу оптимальной точности и порога разделимости для рассматриваемых задач. Показана оптимальность по порядку построенных в предыдущем параграфе методов локализации. Все определения даны на примере задачи I. Множество точных функций х для задачи I, удовлетворяющих условиям (1), (2), обозначается 971/ . Через OR'l обозначается класс функций ШТ/, дополнительно удовлетворяющих условию: задано число h > 0 такое, что min|s*. — s,| > h.
kytj
В § 1.4 введены аналогичные классическим понятия оптимальной точности т(Ш". 5) локализации особенностей на классе Ш"; и оптимального (оптимального по порядку) метода по точности на классе Ш" (определение 1.4.1). Даны определения порога разделимости h(Tli, П. 6) для произвольного метода локализации П на классе Wlj (определение 1.4.2), порога разделимости h{fflr,5) задачи I на классе функций 9Л/ и Р-оптимального (Р-оптимального по порядку) метода на классе Ш; (определение 1.4.3). Функции h(S). приведенные в теоремах 1.3.1-1.3.4. являются оценками сверху для порога разделимости для каждого метода
h(mj,Tl,d).
Напомним, что понятие порога разделимости задачи (разрешающей способности прибора) и методика его вычисления для локализации <5-функций при решении уравнений первого рода типа свертки впервые введена в работах В.П. Козлова [1,2]. В детерминированной постановке это понятие вводилось A.B. Гончарским, A.C. Леоновым, А.Г. Яголой и А.Л. Агеевым в [24]. Автору диссертации принадлежит введение понятия
порога разделимости метода и получение оценок сверху этой величины.
Т е о р е м а 1.4.1. Для задачи I на классах функций 931'! и Ж, справедливы оценки
т(Щ. Ö) > (д/А>™)р. h(mr. 6) > (S/Amm)p.
В теоремах 1.4.2 -1.4.5 получены оценки снизу для оптимальной точности и порога разделимости задач II - IV на соответствующих классах функций. Основным результатом является
С л о д с т в и е 1.4.1. Методы решения задач I IV при выборе параметра регуляризации А = А(<5) (как в теоремах § 1.3), отчима гь-пи по порядку (по точности и по разделимости) на соответствующих классах функций с особенностям,и.
В § 1.5 построены и исследованы методы локализации для задач I-IV в случае, когда точная функция имеет счетное число особенностей Для построения метода локализации при этом необходимы допотнптеаь-ные условия на "маленькие' особенности. Рассмотрены два варианта условий:
(20 IX,-1 lAfrl < 7Дт™. где 0 < 7 < 1/2,
(2") задано число р>0 такое, что |Да-|'< Amin-p: к = 1+1.1+2
При этих условиях предложены регулярные методы локализации и доказаны теоремы, показывающие их оптимальность по порядку по точности И по разделимости па классах функций с особенностями.
В главе 2 исследуется задача локализации особенностей решения уравнения первого рода типа свертки. Основным этапом методов локализации, так же как и в предыдущей главе, является построение вспомогательной функции, для которой имеет место основное разложение (4). Однако в этом случае оценки не являются степенными, как в (5). и зависят от ядра оператора уравнения.
В § 2.1 излагается общий способ построения вспомогательной функции для уравнения первого рода типа свертки
/+оо
х K(t-s)x(s)ds = y(t), t е (-оо,+оо). (7)
Предполагается, что функция К принадлежит L,nZq. У точной функции г возможны два типа особенностей: 6 -функции и разрывы первого
21
рода. Первое множество и действие на нём оператора А определяются следующими выражениями:
ОЬ2 = |.ф) = ггп(5) + Ф - вк), х0 £ ¿2| ;
I
= ¡АхоЩ) 4- Д* ■ К(1 - з,).
А-=1
При этом у также принадлежит Ь? ■ Поясним, что символ ¿(й) здесь не является обычным распределением, например, в смысле §1.1 или другого известного пространства, распределений, а определяется формулой, приведённой выше. В качестве множества функций с разрывами рассматривается множество Л/1Г]. введённое в § 1.1, с конечным числом разрывов (все рассмотрения могут быть обобщены на счётное число разрывов).
В § 2.1 формулируются две задачи локализации особенностей для точных функций из множеств ОЬ2 и АПУ^ (задачи V, VI соответственно). Требуется по функции у" £ Ь2 и уровню погрешности 5 таким, что ||у — у^\\ь2 < 5, определить число I и аппроксимировать положения {«А;}!-
Для задачи V рассматривается множество функций /а, А > 0, являющихся решением сопряжённого уравнения
И7а](5) = фх{-з), Фх(з) = ф(з/А), А > 0.
Считается, что сопряженный оператор А" действует из Ьо в Ьг- Таким образом, усредняющие функции ф для задачи V должны принадлежать следующему множеству:
Фо[АГ] = {Ф £ Ь2: УХ > 0 3/А е Ь2 : \А'П](з) = ^д(-з)}.
Для задачи VI рассматривается множество функций /д, А > 0, являющихся решением сопряжённого уравнения
[А'Ы(з) = -ф'х(-з). 22
Усредняющие функции ф для задачи VI. должны принадлежать множеству
ф1№ = {6 6 И'-/: УА > 0 3ЛеЬ: И7А](*) = -Од(-5)}. Для задач V и VI вспомогательная функция строится по формуле
*!(«)= [ УЧ 1Ш1-з)<И, А > 0.
^-УС
Л е м м а 2.1.1. Пусть для задачи V функция о принадлежит, классу ф0[1<) , а для задачи VI функция ф принадлежат классу Ф^А'] . Тогда для любых А. д > 0 и непрерывной функции х{ , имеет место разложение (0) с оценками
«ир,|ал(5)| < ЛПА°"\ 5пр5|Дт1(5)| < 6т]{Х), (8)
где константа А0 есть \\xUM\h или М^И^, для задачУ иУ1 соответственно; т](А) = ||/л||^2.
Функция г/(А) зависит от ядра К уравнения (7). Оценки (8) в общем случае не степенные, поэтому теоремы §1.3 не применимы. Однако при построении методов локализации применяется тот же подход. Так же как и в главе 1, методы определения количества I особенностей и приближений для положений в д. зависят от вида усредняющей функций, порождающей вспомогательную функцию . В настоящем параграфе построены методы локализации только для усредняющей функции из множества. Ф1' (см. § 1.3). Заметим, что методы локализации для данных задач с использованием других множеств усредняющих функций, введенных в главе 1, могут быть построены аналогично.
В каждом из пространств, связанных с задачами V, VI. введен шар радиуса г > 0: Мт = {х: ||х||. < г}, где ||х||. есть КЦ^ или \\х'\\и для задач V и VI соответственно. Для построения метода локализации относительно функции х в рассматриваемых задачах также должна быть известна дополнительная априорная информация — условия (1)-(3) из § 1.2. В качестве метода локализации для решения задач V, VI используется метод П-П1. Параметр А(<5) выбирается из условия г]{Х{6)) < а- Ат!П/(66).
Теорема 2.1.1. Пусть для функции х\ имеет .место разло-о/сение (6) с оценками (8) , функция ó 6 Ф1'; для функции х выполнены. условия (1)-(3). Тогда для. всех д < ¿о при связи, параметров А = A(ó) и выполнении неравенства min |sj- — .s,| > h(S). где
h¿.i
h(ö) = 2HX(ö). для метода П -П1 получим т = /. и. будет, справедлива оценка — 4| < А(6).
Для константы Я выписано явное выражение.
Из леммы 2.1.1 и теоремы 2.1.1 следует основное утверждение данного параграфа.
Следствие 2.1.1. Пусть в задаче V для. точной функции х выполнены условия (1)-(3) и порождающая функция, ф £ Ф0[/л]Р|Ф]': в задаче VI для, точной функции х выполнены условия (1)-(3) и порождающая. функция, ф 6 Ф^Л'] • Тогда для. всех 6 < <5о при связи.
параметров А = А(<5) и выполнении неравенства mm|sj. — s;¡ > h(5)
j
для м.етода П-П1 получим т = I. и будет справедлива оценка |s,-sfl<A(á).
В § 2.1 приведены условия (условие (К)) на ядро К уравнения (7), при которых функция r¡(X) оценивается аналитически, и для конкретных ядер К функцию А(5) можно выписать явно. Представлены результаты применения следствия 2.1.1 к задачам V , VI с конкретными функциями K{t), для которых выполнено условие (К), и ó(t) — s'mt/t (таблица 2.1.1).
В § 2.2 рассматривается пример конкретного уравнения типа свертки со ступенчатым ядром
rt+A
Ах= x(s)ds — y{t). te (-00.-boo). Д > 0. (9)
Jl-A
В задаче VII точное решение уравнения (9) принадлежит множеству DL>2• Требуется по функции уА и уровню погрешности 6 таким, что ||у — y6\\j,2 < 5. определить число I и аппроксимировать положения
Уравнение (9) является частным случаем уравнения (7), однако построение метода в § 2.2 не следует общей схеме § 2.1. Для уравнения (9) строится особый метод . для которого удаётся в § 2.3 уста-
повить оптимальность (по порядку) по точности и разделимости. Для построения метода локализации используется усредняющая функция Ó(í) = схр( —f2/(2гт)) из множества усредняющих функций Ф1.
Т е о р е м о 2.2.1. Пусть для точного ранения задачи VII выполняются условия (1)-(3). Тогда для всех 6 < 6п при связи параметров
A(d) = D62 и выполнении неравенства min \si. - s,| > h(ó) где
1<к.!<1, kjti у ''
h(ä) = Зя\(S). для метода Пх получим, т = I. и будет, справедлива
оценка \s¡. - sk\ < 0.5xDS2.
Для констант x. D выписаны явные выражения.
В § 2.3 получены оценки снизу для оптимальной точности приближения положений особенностей и порога разделимости для рассматриваемых в этой главе задач. В начале параграфа даны определения оптимальной точности локализации особенностей и порога разделимости. оптимальности (оптимальности по порядку) и Р-оптимальности (Р-оптимальности по порядку), аналогичные определениям предыдущей главы.
В теоремах 2.3.1-2.3.3 оценки получены для задач V, VI при разных условиях на ядро уравнения (7). Основной интерес представляют оценки для задачи VII. Множество точных функций х для задачи VIL удовлетворяющих условиям (1), (2), обозначается Шуц . Через обозначается класс функций Жуц , дополнительно удовлетворяющих условию: задано число h > 0 такое, что min \sk - Sj| > h.
Теорема 2.3.4. Для задачи VII на классах функций ШуП и Шуц справедливы, оценки,
rWvu: í) > (<5/(2Дт'"))2, h(Wlvn, <5) > 2 [5¡Дт'")2.
Из приведенных оценок следует, что метод локализации для задачи VII, при подходящем выборе параметра регуляризации А = А(<5). оптимален по порядку (по точности и rio разделимости) на соответствующих классах функций с особенностями.
В главе 3 для задачи локализации линий разрыва приближенно заданной функции конструируются и исследуются регулярные методы усреднения. Точная функция f{x,y), -оо < х,у < +оо, двух переменных имеет разрывы в каждой точке линий Г,, i = 1.2. •■• Л. ко-
торые назовем линиями разрыва; в полосе D = {(х,у): — ос < х < -f-oc, \у — у\ < 6} линии разрыва Г, задаются функциями х — "¡¡(у). Через хi обозначим точки пересечения Г, с прямой £. заданной уравнением у = у: х, — 7,(у). i = 1.2. •• • Л. Требуется по функции /6 и уровню погрешности д таким, что \\f — f\\i, < 6. определить число / и аппроксимировать точки {х,}j с оценками точности локализации. Рассматривается две задачи при различных функциональных условий на точную функцию. Условия на точную функцию накладываются только в полосе D. то есть локально.
В задаче DI функция / принадлежит множеству DA1V. которое является двумерным локальным аналогом множества MV. Для задачи DI вспомогательная функция определяется формулой
КъМ = Г Аг Г Л' - х))^А3(у - №dy- (10)
Jy-X-i Jx~\\
&xM) = o(t/Ai), U'x2(t) = (l/X-i^it/Xo). A1;A2>0. Здесь Ф £ Ф.Р1 (см. § 1.2) й ф G Ф , где Ф — новое множество усредняющих функций, состоящее из положительных финитных функций, принадлежащих L2.
В задаче DII функция / принадлежит множеству DMW\ — модифицированному двумерному локальному аналогу множества M\V\. функция р £ ¿ос. Метод усреднения для задачи DII задаётся с помощью поворота системы координат на угол д и усреднения в новых координатах
Нхх2М= Г Г fimidxA^Mdzdw, (11)
J-X2 J-А,
где W = W(z, w) = (zcos^ — wsind + x, zsintf + w costf + y).
В § 3.1 проводятся вспомогательные оценки. В § 3.2 приводятся постановки двух задач локализации линий разрыва и получены оценки для вспомогательных функций (10) и (11).
В § 3.3 построены и исследованы методы локализации для конечного числа особенностей. Для задачи DI при этом исследуется функция
для задачи Dil рассматривается функция
Метод локализации UD с. точностью до обозначений совпадает с методом П — UF . изложенным в главе 1.
Теорема 3.3.1. Пусть f является точной функцией в задаче DI. ф £ ФП Р| IV/ и у € Ф . Тогда для всех 5 < 60 при связи параметров
А,=Л, (S), Аи выполнении условия min |.т,~:г,| > 3D6 для .метода.
Mj
UD получим m — L и будет справедлива оценка |.rf - ,т,( < 0.5D6 .
Величины 50.uj.D и функция A2(i) выписаны явно. Аналогичное утверждение для задачи Dil доказано в теореме 3.3.2. Приведены примеры. для которых вычислены все параметры, участвующие в теоремах 3.3.1 и 3.3.2.
В § 3.4 рассматриваются задачи локализации линий разрыва функций двух переменных для счетного числа особенностей. Предполагается, что у функции / имеется I линий, для которых заданы положительные величины Д™»,Д™*; дтш < тЬ |Д.(у)|< mRX ¡Д.(у)|< Лтет - i<i<i,v-t:<i 1<;</,\у-у\<Г
i\ . а остальные особенности имеют "маленькие" по модулю величины
= ^ + 1+2. • • • . Первые I особенностей занумерованы по
возрастанию хг так, что х{ < хк для i < к, а остальные - произвольно. Введено следующее условие малости для разрывов i = 1+1.1 + 2. ■■■ :
(3") шах.|Д,-(г,)| < 7Д™». где 0 < у < 1/2.
\y-y]<i
Заметим, что вместо условия (3*), аналогично тому, как это было сделано в § 1.4, могут быть использованы другие условия на "маленькие" линии разрывов. В данном параграфе также рассмотрено две задачи DIII и DIV с разными условиями на функцию /.
В главе 4 исследована задача идентификации параметра а в ядре интегрального уравнения типа свертки
/DO
K{t~s,a)x{s)ds = y[t), t е (-оо,+оо). (12)
где при каждом ае(стьст2) функция I<{t,a) принадлежит L2r\Lx. а /1 [а] является линейным непрерывным оператором из Ь2 в Ь2.
Предполагается, что уравнение (12) имеет точное решение х G Л/Ж,1 при точном значении параметра а", то есть Л\а*]х = у. Вместо точного значения параметра <т* известно приближенное значение а такое, что |<т* — а\ < р: вместо точной правой части у известно уд 6 Lo такое, что ||у — yd\\i2 < 6: уровни погрешности р и 5 известны. Рассматривается задача уточнения параметра а при <5 —>■ 0. А именно, требуется построить итерационный алгоритм вычисления а, , где сг0 = д\ указать правило останова i = i(S) такое, что а^ а* при 8 —> 0. Сходимость алгоритма должна иметь место начиная с достаточно малого р при любых а : \а* — <т\ < р.
Опишем основную техническую идею построения итерационного процесса, которая изложена в § 4.1. Оказывается, для некоторых ядер K{t.a) при неточном задании параметра а в окрестности разрывов функции х наряду с эффектами типа Гиббса, описываемыми формулой (4), появляются новые эффекты, главную часть которых можно описать аналитически. Для вспомогательной функции (схема § 2.1 для задачи VI)
/—ос
ys{t)h[<j}{s-t)dt, А > 0,
-зс
если порождающая функция ф принадлежит множеству
ф^цреи^1: v<tg(ct 1, сто), va > 03/а[ст] € li: a>]/a[<t]=-<&(-s)} , имеет место разложение
I
= J2Ak' ~ ^ + + Дз:аМ(«)+ (13)
<t=i
i
+ {о-а')р{о*\ £ Аа- ■ (<M-s - sk)№ + (cr-OtfiKKs) + (<т-о')2вЦа}(з). к=1
где
sup|tta(s)|<^0An-5. sup |д4н(5)|<г77(а,ст). r?(A. а) = ||/а[<х] ¡к2.
s s. я' —п\<р
0<р{а*}<р.. sup|/3i[a*](s)|<5,A0-5^, sup \0l[a}(s)\ < В2\~2\
s.\a'-a\<p
Здесь p.A0.Bi,B2 — положительные константы, целое число 7>1. Также предполагается, что существует функция 77(A) ' такая.' что Г7(Л, сг)А"05 < ij( А) для всех а: | а' - а\ < р. функция т/(А) монотонно
убывает и lim fi(\) = зс Х--П
Сначала постулируется наличие разложения (13) с оценками (14). В § 4.3 приведен содержательный пример, для которого это разложение имеет место.
В случае выполнения основного разложения (13) с оценками (14) построен итерационный метод идентификации параметра а. состоящий из двух этапов. На первом этапе определяется приближение к одной из точек разрыва точной функции х при приближенном значении параметра а. Затем проводится уточнение параметра а, с использованием приближенного значения положения разрыва. Для первого этапа используется один шаг метода П-П1 из главы 2.
В § 4.2 исследуется один шаг итерационного процесса идентификации параметра а. Обоснование итерационного метода идентификации параметра приведено в § 4.3. Выписана формула для параметра регуляризации А, на г -м шаге и правило останова г = i(6) : при первом выполнении неравенства ?7(А,) > M/S, М > 0 - фиксированная константа. В доказательстве теоремы 4.3.1 проводится согласование всех используемых параметров.
Теорема4.3.1. Пусть определена непрерывная функции хЦа], для которой имеет, место разложение (13) с оценками (14): д-гя функции х выполнены, условия (1) -(4). функция ф £ Ф1.,; константы ()<q< 1. Л/ > 0 фиксированы. Тогда, существует р0 для всех р,а0 таких, что (То = 67, |(7* - п\ <p<pQ итерационный процесс всегда завершится, г(<5)->ос при ö -f 0 и имеет место оценка |с71((5) - а'\ <
В заключение § 4.3 приводится содержательный пример ядра K{t,o) = ехр(-г2/(2сг2)) и усредняющей функции ф(£) = sini/i, для которых имеет место основное разложение (13) с требуемыми оценками (14) и, следовательно, справедлива теорема 4.3.1.
В пятой главе приведены примеры решения уравнений первого рода на классах функций с особенностями, связанные с приложениями.
Первый параграф посвящен задаче, возникающей в структурном ис-
следовании радиоактивных комплексов методом EXAFS. Одним из основных этапов обработки EXAFS-данных с целью расшифровки структуры материалов является решение интегрального уравнения (системы уравнений) Фредгольма первого рода. В нашем случае необходимо по одному интегральному уравнению определить три функции, описывающие структуру материала. Для некоторых материалов в первом приближении каждую из этих функций можно считать суммой небольшого числа ö-фуикций (неклассическая априорная информация). Без использования этой или другой информации решить задачу не представляется возможным. Физики решали эту проблему в случае приближенно известного положения особенностей (¿-функций), минимизируя невязку уравнения первого рода. В рамках сотрудничества между Институтом математики и механики УрО РАН (Екатеринбург, Россия) и Institut für Kernchemie, Johannes Gutenberg-Universität (Mainz. Germany) была создана более формализованная методика обработки EXAFS-данных. в которой не используется начальное приближение, и обработка производится по формально описанным неизменным правилам [5,13,27]. В разработке методики автор принимала активное участие. Далее методика, была успешно использована при обработке двух больших серий экспериментальных данных с целью расшифровки структуры наборов химических комплексов, содержащих U и Ри (расчёты проводились Т.Е.Райх и частично дублировались М.Е.Коршуновым [5,27]).
Один из основных этапов обработки EXAFS-данных, который позволяет учитывать неклассическую априорную информацию о том, что каждая искомая функция является суммой небольшого числа 5 -функций, состоит в использовании ".метода разделяющих функционалов" [13]. Идея метода была предложена А.Л. Агеевым, а программная реализация, отработка методики (в частности, автоматический выбор параметра регуляризации), модельные расчеты для NiZi% и соединений урана были проведены автором [13]. Далее методика и программы, реализующие метод разделяющих функционалов, использовались в неизменном виде. В § 5.1 более подробно описан только метод разделяющих функционалов. Приведено описание алгоритма и результаты модельных и экспериментальных расчётов для радиоактивных комплексов, состоящих из U, Si, О , иллюстрирующие применение метода разделяющих
функционалов. Общие сведения об обработке EXAFS-данных изложены в сокращённом виде.
В § 5.2 приведены численные результаты, иллюстрирующие работу методов локализации разрывов первого рода зашумлонной функции из главы 1. Модельные расчеты были проведены для точной функции :г. которая имеет пять разрывов. Возмущение моделируется с помощью гауссовой некоррелированной случайной величины. Для решения задачи локализации разрывов численно реализуется дискретизованньтй вариант метода П - 111 (см. главу 1) с использованием усредняющей функции ф(1) = ехр( —£2/2). Результаты приведены для двух уровней шума. Численные эксперименты иллюстрируют как точность локализации особенности, так и проблему разделимости.
В § 5.3 приведены результаты численных модельных расчетов по идентификации параметра в ядре уравнения типа свертки с гауссовым ядром I<{t,a) = ехр( —t'/a2). Затем уточненное значение Ощ используется при решении уравнения первого рода. Результат сравнивается с решением этого же уравнения при исходном значении а. Расчеты, приведенные в этом параграфе, проводились до создания теории, изложенной в главе 4. Поэтому хотя методы главы 4 и методы, используемые в § 5.3. идейно близки, но расчетные формулы различаются. Результаты проведенных расчетов показывают эффективность применения процедуры идентификации параметра.
Основные результаты
1. Введены множества обобщенных функций MV,MC,MWm,т —
1, 2.1 <р < ос, для которых аналитически описаны эффекты типа Гибб-са при использовании методов усреднения.
2. Рассмотрены четыре неустойчивых задачи локализации конечного числа особенностей зашумленной функции одной переменной; предложен новый принцип выбора параметра регуляризации А, для которого получены оценки сверху точности локализации; введена важная характеристика метода локализации — порог разделимости метода и получены его оценки сверху. Установлена оптимальность но порядку построенных методов одновременно по точности и по разделимости на классах функ-
ций с особенностями.
3. Для интегральных уравнений первого рода типа свертки построены методы локализации с оценками точности локализации и порога разделимости.
4. Для приближенно заданной функции двух переменных рассмотрено две задачи локализации линий разрыва: построены регулярные методы усреднения локализации линий разрыва и получены оценки сверху точности локализации и порога разделимости.
5. Найден класс интегральных уравнений первого рода, содержащих параметр в ядре оператора, для которых построен регулярный итерационный процесс идентификации параметра для функций из этого класса.
6. Для прикладной задачи обработки EXAFS-данных с целью расшифровки атомной структуры химических комплексов выполнен полный цикл работ по методу разделяющих функционалов.
Автор выражает благодарность своему научному консультанту Александру Леонидовичу Агееву за интересное и плодотворное сотрудничество, ценные замечания и полезные обсуждения при написании диссертации. Автор глубоко признателен Владимиру Васильевичу Васину за поддержку и постоянное внимание к работе.
Литература
[1] Козлов В. П. О разрешающей способности спектральных приборов. I. Постановка задачи и критерий разрешения /7 Оптика и спектроскопия. 1964. Т. 16, Л'? 3. С. 501-506.
[2| Козлов В. П. О разрешающей способности спектральных приборов. II. Обобщенная разрешающая сила спектрального прибора // Оптика и спектроскопия. 1964. Т. 17, 2. С. 278-283.
[3] Коростелев А. П. О минимаксном оценивании разрывного сигнала // Теория всрояностей и ее применения. 1987. Т. 32, выи. 4. С. 796-799.
[4] Стретт (Релей) Дж. В. Волновая теория света. М.: Едиториал YPCC, 2004. 208 с.
[5] Ageev A. L., Korshunov M. Е., Reich T. Ye., Reich T., Moll H. Application of regularization methods to analysis of EXAFS spectra of chemical complexes // J.Inverse and IU-Posed Problems. 2007. V. 15, iss. 8. P. 767-783.
|6| Hall P., Qui P. Blind deconvolution and debarring in image analysis Statistica Sinica. 2007. V. 17. P. 1483 1509. '
|7| Oudshoorn Catarina G.M. Asymptotically minimax estimation of a function with jumps ', Bernoulli 1998. 4(1) P. 15-33
Публикации автора по теме диссертации из списка ВАК
|8] Агеев А. Л., Антонова Т. В. Регуляризируюпше алгоритмы выделения разрывов в некорректных задачах /7 Жури, вычисл. математики и мат. физики 2008. Т. 48. .Ys 8. С. 1362-1370.
[9] Агеев А.Л., Антонова Т. В. Метод локализации особенностей решения уравнении 1 рода со ступенчатым ядром /, Изв. вузов. Математика. 2011. Л' 7. С. 3-
|l0j Агеев А.Л., Антонова Т. В. О некорректно поставленных задачах локализации особенностей // Тр. Ин-та математики и механики УрО Р\Н 2011 Т 17 Д'? 3. С. 30-15. ' '
[111 Агеев А.Л., Антонова Т. В. О локализации разрывов первого рода для функций ограниченной вариации // Тр. Ин-та .математики и механики УрО РАН. 2012. Т. 18, ^ l.C. 56- CS.
[12] Агеев А.Л., Антонова T.B. Аппроксимация линий разрыва зашумленной функции двух переменных // Сиб.журнал индустр. математики 20Р Т XV .№1(49). С. 3-13. ' !
[13J Агеев А.Л., Антонова Т. В., Райх Т.Е., Райх Т., Хеншшг К. .Метод разделяющих функционалов при расшифровке локальной атомной структуры ;/ Мат. моделирование. 2004. Т.16, .YslO. С.81-92.
[14| Антонова Т. В. О решении нелинейных по параметру уравнении 1 рода на классах обобщенных функций // Жури, вычисл. математики и мат физики 2000. Т. 40. .Ys 6. С. 819-831.
[1о] Антонова Т. В. Восстановление функции с конечным числом разрывов 1 рода по зашумленным данным /,/ Изв. вузов. Математика. 2001. .Ys 7. С. 65-68.
[16] Антонова Т. В. Решение уравнений первого рода на классах функций с особенностями /,/ Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2002. Т. 8, Д» 1. С. 147-188. (Перевод на англ.: Antonova T. V. Solving equations of the first kind on classes of functions with singularities // Proc. Stekloy Inst. Math. Suppl. 1 2002 P. S145-S189.)
|17| Антонова Т. В. Регуляризирующие алгоритмы локализации изломов затупленной функции /У Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2009. Т. 15. .V 1. С. 44 58.
[18| Антонова Т. В. Новые методы локализации разрывов зашумленнон функции Сиб. жури, вычпел. математики РАН Си б. отд-ние. Новосибирск. 2010. Т. 13. .Ys 4. С. 375-386.
[19] Антонова Т. В. Метол локализации линии разрыва приближенно заданной функции двух переменных // Сиб. жури, вышел. математики / РАН Сиб. отд-ние. Новосибирск, 2012, Т. 15, .V4. С. 345-357.
[20] Ageev A. L., Antonova Т. V. On solution of nonlinear with re.spect to parameter equation of the first kind on the class of discontinuous functions /,■■' J.Inverse and Ill-Posed Problems. 1999. Y.7, iss.l. P.l-16.
[21] Ageev A. L., Antonova Т. V. Localization algorithms for singularities of solution to convolution equation of the first kind 7 J.Inverse and 111-Posed Problems. 2008. V. 16, iss. 7. P. 639-650.
[22] Ageev A.L., Antonova Т. V. New Methods for the Localization of Discontinuities of the First Kind for Functions of Bounded Variation // J.Inverse and Ill-Posed Problems. 2013. V. 21, iss. 2. P. 177-191.
Другие публикации автора по теме диссертации
[23] Агеев А. Л., Антонова Т. В. О задаче разделения особенностей // Изв. вузов. Математика. 2007. Д* 11. С. 3-10.
[24| Агеев A.JT., Антонова Т.В. О новом классе некорректно поставленных задач /,' Изв. Урал. гос. ун-та. 2008. .V* 58. С. 27-45. (Математика. Механика. Информатика. Вып.11.)
[25] Антонова Т.В. Решение нелинейных уравнений 1 рода на классах функций с разрывами / ИММ УрО РАН. Екатеринбург, 2000. 32 с. Деп. в ВИНИТИ 17.10.00, -V-2639-B00.
[26] Antonova Т. V. Approximation of function with finite number of discontinuities by noised data // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2002. Vol. 10, iss. 2. P. 1-11.
[27] Reich T.Ye., Reich Т., Korshunov M.E., Antonova T.V., Ageev A.L., Moll H. New regularization method for EXAFS analysis. В сборнике: AIP Conference Proceedings X-ray absorption fine structure - XAFS13: 13th International Conference. Сер. "X-ray absorption fine structure - XAFS13: 13th International Conference"Stanford, CA, 2007. C. 153-155.
Подписано в печать 10.01.2014. Формат 60x84/16. Объем 2 п.л. Тираж 100 экз. Заказ .V 5002 Размножение с готового оригинал-макета в типографии
ООО "Издательство УМЦ УПИ" г. Екатеринбург, ул. Гагарина, 35а, оф.2, Тел.: (343) 362-91-16, 362-91-17
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ им. H.H. Красовского
На правах рукописи
0520'i 450743
Антонова Татьяна Владимировна
Регулярные методы локализации особенностей
01.01.07 — вычислительная математика
Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Научный консультант — доктор физико-математических наук,
А.Л. АГЕЕВ
Екатеринбург - 2014
Содержание
Введение 4
Глава 1. Локализация особенностей зашумленной функции 42 § 1.1. Интерпретация функций с особенностями как обобщенных
функций.............................. 42
§ 1.2. Постановка задач локализации особенностей и основное разложение вспомогательной функции .............. 51
§ 1.3. Построение и исследование методов локализации для конечного числа особенностей..................... 59
§ 1.4. Оценки снизу точности и разделимости; оптимальность методов ................................ 71
§ 1.5. Построение и исследование методов локализации для функции со счетным числом особенностей.............. 80
Глава 2. Локализация особенностей решения уравнения первого рода типа свертки 93 §2.1. Методы локализации особенностей решения уравнения первого рода типа свертки ..................... 93
§ 2.2. Метод локализации особенностей решения уравнения первого
рода типа свертки со ступенчатым ядром...........103
§ 2.3. Оценки снизу точности и разделимости; оптимальность методов ...............................111
Глава 3. Локализация линий разрыва зашумленной функции двух переменных 118 § 3.1. Построение и исследование вспомогательной функции . . . . 118 § 3.2. Постановка задач локализации линий разрыва........125
§ 3.3. Построение и исследование методов локализации для конечного числа особенностей.....................133
§ 3.4. Локализация линий разрыва функций двух переменных для
счетного числа особенностей ..................140
Глава 4. Идентификация числового параметра в ядре оператора на классах функций с разрывами 145
§ 4.1. Постановка задачи и основное разложение..........145
§ 4.2. Предварительные оценки....................149
§4.3. Метод идентификации параметров...............160
Глава 5. Прикладные задачи локализации особенностей 167
§5.1. Метод разделяющих функционалов при расшифровке локальной атомной структуры...................168
§ 5.2. Численные эксперименты локализации разрывов первого рода зашумленной функции....................180
§ 5.3. Численные эксперименты идентификации параметра на
классах функций с разрывами.................184
Список обозначений 190
Список литературы..........................194
Введение
Работа посвящена конструированию и исследованию методов решения неустойчивых задач локализации особенностей функции одного или двух переменных. Изучены методы усреднения, для которых удается аналитически описать эффекты типа Гиббса, возникающие в окрестности особенностей. Это аналитическое описание, в частности, позволяет исследовать сходимость и получить оценки точности методов.
Одним из центральных понятий, используемых для классификации задач математической физики, является понятие корректности. Задача называется корректно поставленной по Ж.Адамару, если выполнены следующие условия:
1) решение существует для всех входных данных;
2) решение единственно;
3) решение непрерывно зависит от данных в некоторой разумной топологии.
Задачи, не удовлетворяющие хотя бы одному условию, называются некорректно поставленными (или некорректными). Поскольку такого рода задачи описывают многие процессы и явления в науке, технике и естествознании, то естественно пытаться построить методы решения задач, не удовлетворяющих условиям 1)-3). При этом наиболее сложной является ситуация, когда рассматриваемая задача не удовлетворяет условию 3). В этом случае решение, полученное классическими методами с данными близкими к точным, может как угодно сильно отличаться от точного (искомого) решения.
Развитие теории некорректно поставленных (неустойчивых) задач началось с основополагающих работ А.Н. Тихонова, В.К. Иванова, М.М. Лаврентьева, в которых был предложен подход — метод регуляризации, позволяющий эффективно решать некорректно поставленные задачи. Среди
авторов, внесших значительный вклад на этапе становления теории, необходимо упомянуть D.L. Phillips [113], R. Lattes и J.-L. Lions [57].
В дальнейшем существенный вклад в развитие теории некорректно поставленных задач также внесли A.JI. Агеев, Ю.Е. Аниконов, A.C. Апар-цин, А.Б. Бакушинский, Ф.П. Васильев, В.В. Васин, А.Ю. Веретенников, В.Б. Гласко, A.B. Гончарский, А.И. Гребенников, A.M. Денисов, С.И. Ка-банихин, А.И. Короткий, A.C. Леонов, В.И. Максимов, И.В. Мельникова, Л.Д. Менехис, В.А. Морозов, В.Г. Романов, И.П. Рязанцева, В.В. Степанов, В.Н. Страхов, В.П. Танана, Г.В. Хромова, С.П. Шишатский, А.Г. Ягола, G. Vainikko, M. Hanke, A. Neubauer, О. Sclierzer, G. Wahba и многие другие математики. Изложение теории и ссылки на литературу можно найти, например: по методам регуляризации для решения уравнений первого рода в [21,43,57,62,78,83-85,119], для обратных коэффициентных задач в [56,70]. В дальнейшем были также глубоко изучены некорректные вариационные проблемы [29], несобственные задачи выпуклого программирования [37,74], динамическая регуляризация [49,50,65,66,111] и другие постановки некорректно поставленных задач.
В классической теории решения некорректно поставленных задач важным направлением исследований является построение специальных регу-ляризирующих алгоритмов в случае, когда искомое решение не является гладким. Негладкое решение для функций одной переменной, в частности, может иметь особенности типа ö -функций, разрывов 1-го рода или изломов(разрывов производной); для функций двух переменных (изображений) решение часто содержит линии разрыва, то есть лииии, в каждой точке которых функция терпит разрыв. В этом случае важным является сохранение "тонкой структуры" [51] и отсутствие "заглаживания" решения. В настоящее время по этому направлению выполнено большое число работ, в том числе и теоретических. Останавливаясь только на теоретических работах, необходимо упомянуть статьи [58,59,94,118], в которых констру-
ировались и исследовались эффективные методы решения многомерных некорректно поставленных задач в пространствах функций ограниченной вариации, решения которых, в частности, могут содержать линии разрыва. Также отметим статьи А.Г. Яголы и других авторов (см., например, [23]), в которых решались одномерные и двумерные интегральные уравнения первого рода с гауссовым ядром на классах, содержащих 6 -функции. Однако необходимо заметить, что классическая теория некорректных задач дает обоснование восстановлению функций, а не локализации их особенностей.
Анализ литературы, опыта прикладных [9,10,38,98] и теоретических исследований, выполненных в Институте математики и механики УрО РАН, позволяет утверждать, что существует достаточно много прикладных задач, для которых решение состоит в определении положений особенностей, и поэтому методы решения таких задач должны изучаться и оцениваться именно с точки зрения локализации особенностей. А сами задачи такого рода должны рассматриваться как самостоятельный класс [4] некорректно поставленных проблем, относительно которых можно утверждать следующее:
— в классической и неклассической спектроскопии, астрономии, биологии, медицине, технике, картографии, навигации и других областях встречаются задачи, где необходимо гарантированно локализовать особенности; кроме того, возникает проблема, отсутствующая в классической теории некорректных задач — проблема разделения близких особенностей; при этом методы локализации необходимо исследовать как на точность локализации, так и на способность разделять близкие особенности;
— методы локализации особенностей могут использоваться как составная часть при решении других задач: восстановления негладких решений, идентификации параметров в ядре интегрального уравнения и других приложениях;
— для гарантированной работоспособности методов локализации необхо-
дима неклассическая (не используемая в классической теории) дополнительная априорная информация об особенностях, которая встречается на практике.
В прикладных исследованиях различные элементы постановки проблемы именно с точки зрения локализации особенностей встречаются достаточно часто. Ограничимся тремя примерами. В [79] на стр.167 для задач спектроскопии в связи с проблемой разделения близких особенностей сказано: "Прежде всего хотелось бы знать, от каких факторов зависит степень восстановления мелких деталей, существует ли естественный предел достижимого разрешения и чему равен этот предел в типичных условиях, если он действительно существует". В [34] на стр.150 153 обсуждается проблема' разделения близких пиков в связи с задачей радиоастрономии для случая конечного числа точечных источников. В статье [35] на инженерном уровне проводится интересное различие при определении линий разрыва на изображении: "визуализация разрывов", когда линии разрывов нужно восстановить качественно, и "идентификация разрывов", когда необходимо обеспечить их локализацию, то есть гарантировать надежность определения положения с оценкой точности восстановления.
В то же время многие теоретические вопросы по этой проблематике изучены недостаточно, особенно это касается детерминированной постановки. Поэтому направление исследований настоящей диссертационной работы по конструированию и исследованию регулярных методов локализации особенностей является актуалъпъш.
Приведем краткий обзор основных подходов к построению и исследованию методов локализации особенностей. Ввиду большого количества прикладных работ сделать их сколько-нибудь полный обзор невозможно. Поэтому приведем только некоторые ключевые работы, в которых можно найти ссылки на дополнительную литературу.
Первые работы по этой тематике были выполнены в спектроскопии.
Уравнение
+оо
Ах =
J K(l-s)x(s)ds = y{t), t E (—00, +00), (0.0.1)
связывающее истинный спектральный профиль х и наблюдаемый профиль у , было выписано лордом Релеем [77] в конце XIX века. Здесь К(Ь) — известная функция. Для многих материалов искомое решение предста-вимо в виде
Заметим, что в некоторых задачах функция х может дополнительно содержать гладкую составляющую. Лорд Релей для случая точно заданного наблюдаемого профиля у и распределения Гаусса Kit) предложил определять Sk по правой части у. При этом им было замечено, что, если Sk достаточно близко к Sj при h ф %, то гауссовы формы в правой части у практически не разделяются. В этом случае велика вероятность неправильного определения числа I. Точность определения положений sk и Si при этом резко падает. Лорд Рэлей предложил критерий разделимости двух одинаковых по величине спектральных линий (¿-функций) (см. также обзор [69], где приведены критерии разделимости, предложенные другими авторами). Для улучшения ситуации с разделением близких спектральных линий в работах [77,93] были построены итерационные алгоритмы решения уравнения (0.0.1), которые в отсутствии погрешностей позволяют разделить пики, не разделяющиеся по правой части. Однако наличие возмущений в задании наблюдаемого профиля у ограничивает точность, с которой любой метод может разделить близкие спектральные линии. В работах В.П. Козлова [45,46] для статистических погрешностей в задании у было введено понятие разрешающая способность прибора и предложена методика ее вычисления. Это был, вероятно, первый строго
(0.0.2)
обоснованный теоретический результат в этой тематике. Изучением разрешающей способности прибора для интегральных уравнений первого рода в детерминированной постановке занимались A.B. Гончарский, A.C. Леонов, А.Г. Ягола [33]. Детерминированный аналог этого понятия для рассматриваемых в диссертации задач — порог разделимости задачи — был введен А.Л.Агеевым [3,4].
В дальнейшем задачи локализации особенностей функций одной переменной возникали в классической [79, 80] и неклассической спектроскопии [9,98] (6-функции), медицине [85,120] (6-функции и разрывы первого рода), технике [71-73] и других областях. Для функций двух переменных задача определения положения и разделения близких 6 -функций решалась в астрономии [34], навигации по радиолокационным изображениям [10]. Примеры проблем, где используются линии разрыва можно найти, например, в [30,61].
Рассмотрим наиболее часто встречающиеся подходы к построению прикладных алгоритмов.
Одним из методов, предлагаемых для решения уравнения (0.0.1) на классе (0.0.2), является решение следующей экстремальной задачи:
i
min \\у - £ ДkK(t - 5fc)||ia(_00j+<X)).
к=1
В случае, если I известно, задача формально сводится к методу квазирешений В.К. Иванова, но остаётся необходимость построения алгоритмов определения минимума. Однако в случае неизвестного I полное теоретическое обоснование этого подхода, по-видимому, отсутствует. Практически (см., например, [34, стр.151]) предлагается задать некоторый уровень точности 5 и последовательно увеличивать I, проводя каждый раз минимизацию. Минимальная величина I = 1(0), для которой существует набор варьируемых параметров, удовлетворяющих заданному уровню точности
5 , принимается за искомое количество особенностей. В [85, стр.272] отмечается, что даже при известном I эта задача не всегда разрешима. Для функций одной переменной поиск величин вк можно достаточно эффективно организовать перебором на сетке. Этот подход можно перенести на случай, когда функция х в уравнении (0.0.1) содержит гладкий фон.
Для определения числа особенностей I и начальных приближений к точкам вк при решении уравнения (0.0.1) на классе (0.0.2) часто предлагается использовать методы классической теории некорректно поставленных задач, например, решать уравнение (0.0.1) методом Тихонова [73]. Поскольку регуляризованное решение в этом случае является суммой пиков, то, задавая величину порога Р, подбирая параметр регуляризации и оценивая количество пиков можно в качестве приближения к величинам Бк выбирать точки, в которых регуляризованное решение достигает локального максимума и больше порога Р. Заметим, что в диссертационной работе в главе 2 построены специальные методы регуляризации, для которых удаётся обосновать такой способ действий для уравнения типа свертки (0.0.1).
Отметим цикл работ по расшифровке атомной структуры радиоактивных комплексов методом ЕХАГБ [9,98,114,115]. В этих работах решалась система интегральных уравнений Фредгольма первого рода общего вида (не типа свертки) на классе функций (0.0.2). Для локализации особенностей, в частности, использовался эвристический алгоритм (метод разделяющих функционалов), который строился на основе вариационного метода Тихонова для сопряженного оператора к оператору задачи (подробнее этот прием изложен в §1 главы 5).
В работе [23] для уравнения (0.0.1) с гауссовым ядром К [сг] рассматривается следующий прием (опишем его для функций одной переменной, но все рассуждения верны для функции многих переменных). Функция К[а]
представляется в виде свертки
K[<j](t) = ехр(-£2/(2<r2))/(vW), К[а] = К[аг] * К[а2], а2 = <7? +
Вместо исходного уравнения (0.0.1) предлагается решать уравнение
I
K[ai] *х = у, где x(s) = ^ ДkK[a2}{s - sk),
k=i
используя метод Тихонова. Метод модифицируется для случая, когда точное решение имеет гладкий фон. Для регуляризованного решения этой задачи доказывается сходимость к функции х на основе классической теории некорректно поставленных задач. К сожалению, не совсем ясно, как применять этот прием в случае не гауссового ядра уравнения (0.0.1).
По локализации разрывов первого рода функции одной переменной, за-шумленной статистическим шумом (задача о "разладке"), опубликовано большое количество работ. В нашей стране эта тематика активно развивается начиная с 60-х годов прошлого столетия (описание основных подходов и ссылки на литературу можно найти в [39,91]). Для решения этой задачи используются различные методы, в том числе методы усреднения, для которых получены вероятностные оценки точности локализации (см. также [52,64,92,109]). Из всего разнообразия публикаций, остановимся на работе [48] (см. также [112]), которая наиболее близка нашему подходу. В [48] для липшицевого класса функций с разрывами первого рода предложен метод, оптимальный по порядку точности локализации. В работах [48,112] оценки получены при условии min^{|sfc — Sj| > h}, где h — положительная константа, Sk — положения разрывов, и условие на близость особенностей (разрывов) не зависит от уровня шума, то есть понятие порога разделимости не вводилось.
В литературе, посвященной прикладным задачам, предложено большое количество других подходов к построению методов локализации особенностей (в том числе и более общего вида, чем рассмотрено в настоящей pall
боте), но эти методы, насколько известно автору, не исследованы на устойчивость к шуму, то есть с точки зрения численного анализа полностью не обоснованы. В качестве примера упомянем [61, раздел 6.2], где предлагается метод, основанный на исследовании коэффициентов в ассимптотическом вейве�
