Реконструкция динамических систем по экспериментальным данным тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Саратовский Государственный Университет им. Н.Г. Чернышевского

РГ 8 ОД

На правах рукописи

•1 11,1-1

О I, . ;

ЯНСОН Наталия Борисовна

Реконструкция динамических систем по экспериментальным данным

ЫсоИ-

Специальность 01.04.03 - радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов - 1997

Работа вьтолнена на кафедре радиофизики Саратовского государственного университета им. Н.Г, Чернышевского

Научный руководитель: Заслуженный деятель науки РФ,

доктор физико-математических наук, профессор Анищенко B.C.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор МГУ Климонтович Ю.Л., доктор физико-математических наук, профессор СГУ Безручко Б.П.

Ведущая организация: Саратовский филиал института радиотехники и электроники АН России.

Защита состоится 11 ноября 1997 г. в 15 час. 30 мин. на заседании специализированного совета Д.063.74.01 при Саратовском государственном университете (410026, г. Саратов, ул. Астраханская, 83).

С диссертацией можно ознакомится в Научной библиотеке Саратовского госуниверситета.

Автореферат разослан "(О " октября 1997 г.

Ученый секретарь специализизрованного совета кандидат физико-математических наук, доцент

Аникин В.М.

Общая характеристика работы.

Актуальность работы. Задача получения динамического описания систем по их реализациям становится в последние годы все более акту-альнои в связи с развитием научных направлении, связанных с использованием методов нелинейной динамики в биологии, медицине, химии, астрономии и т.д. ^де возникает йасущная» необходимость в предсказании говедения исёлсйуёмых систех*. Прогностические критерии, разработанные в перечйсленнкх ббЛастях знания, опираются в основном на статистические методы и являются уже недостаточными. Развитие науки требует создания более точных критериев, основанных на использовании динамического описания исследуемых систем, одним из которых является метод глобальной реконструкции динамических систем по экспериментальным данным.

В отличие от задачи анализа, всегда имеющей однозначное решение, задача реконструкции динамической системы по экспериментальным данным, являющаяся задачей синтеза, некорректна и неоднозначна. Существует бесконечное множество динамических систем различного вида и различной сложности, способных воспроизвести имеющийся сигнал с заданной степенью точности, однако на настоящий момент невозможно с уверенностью заранее определить хотя бы их общий вид, даже если исследователь ограничил поиск некоторым классом динамических систем, например,, системами обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка. Метод глобальной реконструкции уравнений динамической системы по ее одномерной реализации, был впервые предложен в 1987 г. (Дж. Кремерс, А.Х. Хюблер; Дж. П. Кратчфилд, Б.С. Мак-Намара). Предоженный алгоритм состоит в следующем. По одномерной , реализации процесса, происходящего в некоторой системе, которая счи-, ■ тается "черным ящиком", восстанавливается фазовый портрет, топо--т логически эквивалентный аттрактору исходной системы (Ф. Такенс). Затем априорно задается вид описывающих ее уравнений с набором неизвестньрс коэффициентов, которые находятся методом наименьших квадратов.

Позже появилось несколько работ, развивающих и совершенствующих этот метод (Х.Д.И. Абарбанель, Р. Браун, Дж. Кадтке, Дж.Л. Бриден, А.Х. Хюблер, Н. Рульков, Е. Трейси). При этом не показаны -- - существенные преимущества, даваемые каким-либо усовершенствованным (и, как правило, сильно усложненным алгоритмически) методом по сравнению с ранее введенной в работе Дж. Кремерса и А.Х. Хюблера методикой. Описываемые методы тестируются на ряде широко извест-

ных модельных систем (например, системе Хенона, Лоренца, Ресслера), имеющих малую размерность и достаточно простой вид правых частей уравнений, которые поддаются реконструкции и гораздо более простым способом (Дж. Кремерс, А.Х. Хюблер). Поэтому аргументация в пользу новых сложных алгоритмов не кажется убедительной до тех пор, пока их работоспособность не продемонстрирована на примере сложных временных рядов, генерирумых реальными "черными ящиками". На настоящий момент существует малое количество публикаций, в которых бы описывалось применение данных методик к сигналам, порожденным реальными системами, об операторе эволюции которых ничего не известно, а значит, нет информации о том, какие уравнения должны получиться в результате. На основании анализа имеющихся работ (Е.Дж. КостеличаиДж.А.Йорке,Г. ГюсбеиДж. Маке, К.Лайнсцсеки Дж. Ка-дтке, О. Аносова и др., Грибкова и др.) можно утверждать, что при работе с реальными экспериментальным данными оказывается эффективным наиболее простой первоначально предложенный способ, подвергнутый самым незначительным модификациям. Поэтому представляет интерес исследование его возможностей в применении к экспериментальным зашумленным реализациям, порождаемым реальными системами, в том числе биологическими.

При исследовании динамической системы по ее реализациям возникает проблема восстановления структуры разбиения ее фазового пространства на траектории в области исследуемого аттрактора. Д. Пирсоном и Ф. Моссом, Ф.Кс. Витковским и др., П.И. Сапариным и др. были предложены способы нахождения седловых состояний равновесия и определения их собственных значений. В работе Г.Б. Миндлина, Х.Г. Солари и др. был описан способ нахождения седловых предельных циклов. Однако исходные предпосылки предлагаемых методик не всегда оказываются достаточно хорошо аргументированными и, в частности, допускают произвол при указании в первом приближении предполагаемого местонахождения неустойчивых решений, основанного в основном на трактовке косвенных признаков. Проблема разработки надежного способа восстановления по одномерной реализации изучаемой динамической системы структуры разбиения ее фазового пространства на траектории остается нерешенной, и единственной гарантией достоверности полученных на основании обработки реализации выводов остается знание динамических уравнений, описывающих поведение системы.

Успех глобальной реконструкции во многом определяется выбором способа восстановления аттрактора ДС. Существует класс процессов и систем, чьи реализации являются существенно неоднородными, т.е.

такими, в которых участки с быстрым движением чередуются с участками медленных движений (типичным примером является электрокардиограмма человека). Традиционные методы восстановления фазовых портретов приводят к получению неоднородных аттракторов из неоднородных реализаций. Применение к восстановленному аттрактору алгоритма глобальной реконструкции, при котором для нахождения неизвестных коэффициентов'в уравнениях используется метод наименьших квадратов, оказывается неэффективным. Поэтому представляет интерес нахождение такого способа вложения неоднородных данных," который позволил бы применять к 'восстановленным аттракторам методику глобальной реконструкции.

Задача о медленном воздействии на параметры динамической системы некоторым сигналом и выделение этого сигнала из реализации данной системы посредством явления автосинхронизации была рассмотрена в работах У. Партлитца, JI. Косарева и др. в приложении к задаче скрытой передачи информации. Решение той же задачи, основанное на использовании метода глобальной реконструкции; было предложено в работах B.C. Анищенко и А.Н. Павлова. Наконец,'наиболее простой случай был рассмотрен в работе Д. А. Грибкова, где иллюстрировалась возможность восстановления вида внешнего воздействия на систему, подаваемого аддитивно в одно из уравнений/Однако во всех описанных случаях принцип выделения нужного сигнала из хаотической реализации основывался на знании исходной динамической системы, либо на использовании дополнительных сведений о виде базовой динамической системы, и в принципе не может быть применим при исследовании реальных систем. Поэтомуактуальной являетсяпроблема восстановления характера воздействия йа параметры исходной системы по ее одномерной реализации.

Цель диссертационной работы заключается в детальном исследовании возможностей алгоритма глобальной реконструкции динамических систем по одномерным экспериментальным реализациям.

Для достижения указаной цели необходимо решить следующие основные задачи:

! ,г !. Применить алгоритм глобальной реконструкции к реализациям динамических систем, полученным; в ходе биологических экспериментов;иисследовать й* фазовое пространство в непосредственной окрестности интересующих нас режимов;

■2. Решить проблему восстановления фазовых портретов динамических систем по их одномерным существенно неоднородным реализациям, чтобы обеспечить возможность применения к ним пёрвоначаль-

ного алгоритма глобальной реконструкции без его усложнения.

3. Исследовать способность алгоритма глобальной реконструкции восстанавливать закон внешнего воздействия на параметры систем, применив его для этого к дифференциальным автоколебательным системам с медленно меняющимися во времени параметрами и отслеживая поведение восстанавливаемых параметров во времени.

На защиту выносятся следующие положения.

1. По одномерной зашумленной реализации установившегося режима динамической автоколебательной системы, записанной с конечной точностью и на конечном отрезке времени, включающем порядка ста характерных периодов колебаний, можно восстановить грубые динамические уравнения, приближенно описывающие исходный режим колебаний при условиях, что размерность исходной системы мала (IV < 5) и поведение ее фазовых траекторий характеризуется не более, чем одним положительным Ляпуновским показателем.

2. Метод последовательного интегрирования позволяет решать задачу глобальной реконструкции динамической системы по ее существенно неоднородной реализации без усложнения алгоритма аппроксимации правых частей модели.

3. Метод глобальной реконструкции позволяет восстановить характер модуляции параметра исходной динамической системы по одномерной реализации независимо от того, происходят в системе динамические бифуркации или нет, при условии, что размерность динамической системы мала < 5), а модуляция ее управляющего параметра происходит медленно. Если происходит модуляция более, чем одного управляющего параметра по законам, описываемым одной и той же динамической системой, то метод глобальной реконструкции позволяет восстановить характер изменения всех управляющих параметров.

Достоверность научных выводов работы подтверждается воспроизводимостью результатов численного моделирования динамических систем, использованием при создании алгоритмов моделирования строгих результатов теории динамических систем.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- Впервые получена приближенная маломерная модель, реализации которой обладают, статистическими и динамическими характеристиками, качественно совпадающими с соответствующими характеристиками электрокардиограммы здорового человека. При этом причиной возникновения хаотического аттрактора в ней является разрушение петли сепаратрисы седлофокуса.

- Предложен и обоснован метод последовательного интегрирования

для восстановлейм Относительно однородного фазового портрета по существенно неоднородной реализации. Разработанный метод интегрирования использован для глобальной реконструкшш динамических моделей по реальным существенно неоднородным реализациям (ЭКГ, , вре-менной'зависимости координаты точки на поверхности изолированного сердца лягушки) с получением максимально простого вида динамических уравнений

- Впервые методом глобальной реконструкции получены динамические модели в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений, приближенно описывающие динамику RR интервалов

- Впервые показано, что применение алгоритма глобальной реконструкции к реализациям динамических систем с медленно менжоцш-, мися во времени параметрами позволяет восстановить характер модуляции параметров, независимо от амплитуды колебания их значений или наличия динамических бифуркаций в системе. " -

Научно-практическое значение результатов работы.

1. Показано, что несмотря на некорректность постановки задачи реконструкции динамической системы по ее одномерной экспериментальной реализации существует возможность восстановить динамическую модель, с некоторым приближением описывающую исходный режим колебаний.

2. Предложенный метод интегрирования исходной реализации, позволяющий восстановить однородные аттракторы по существенно неоднородным реализациям й приводящий к наиболее простому виду реконструируемых модельных уравнений, может быть использован как один из стандартных методов вложения экспериментальных данных.

3. Обнаруженные закономерности поведения коэффициентов в правых частях динамических уравнений, восстановленных по одномерным реализациям динамических систем с медленно меняющимися параметрами, являются основанием для применения метода глобальной реконструкции к исследованиям и диагностике реальных систем, адалтиру-ющихся к внешнему воздействию.

Апробация работы и публикации. Основные материалы диссертации были доложены на международной конференции "Laser Volga Tour" {"Лазерный тур по Волге"; г; Саратов - г. Н. Новгород, 1993), международной конференции "Third technical conference on nonlinear dynamics and full spectrum processes" (" З^й технической конференции по полному спектральному анализу", Мистик,' Коннектикут, США, Î995), международной конференции "Stochastic Dynamics of Mesoscopic Systems" ("Стохастическая динамика мезоскопических систем", Шмервитз, Германия,

1995), международной школе "Nonlinear Techniques in Physiological Time Series Analysis" (" Нелинейные йетоды в анализе физиологических временных рядов", Дрезден, Германия, 1995), международной научно - технической конференции "Физика и радиоэлектроника в медицине и биологии" (Владимир, 1996), международной конференции "International Conference on Nonlinear Dynamics" ("Международной конференции по нелинейной динамике ICND-96", Саратов, 1996) а также на научном семинаре лаборатории нелинейной динамики при кафедре радиофизики С ГУ. Материалы диссертации использовались при чтении раздела спецкурса студентам специализации "Теория колебаний". По теме диссертации в центральной печати опубликовано и принято к публикации 13 работ (8 статей и 5 тезисов докладов). Результаты работы использованы при выполнении грантов RNO ООО и RNO 300 Международного научного фонда, гранта комитета РФ по высшему образованию (N 938.2-10) и госбюджетной НИР "Автоколебания".

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка цитированной литературы и приложения. Диссертация содержит 112 страниц текста, 65 рисунков, 22 таблицы, список литературы из 162 наименований на 17 страницах. Общий объем работы 2i3 страниц.

Содержание работы

Во Введении содержится обзор литературы по проблеме моделирования динамических систем и анализу временных рядов, обоснована актуальность темы. Описана научная новизна работы, сформулированы цель и задачи исследования, приведены положения, выносимые на защиту.

В первой г лаве приводится обзор методов восстановления фазовых портретов динамических систем по их одномерным реализациям, которые иллюстрируются на примерах реализаций, полученных в ходе биологических экспериментов. Обсуждается неоднозначность как задачи восстановления аттракторов динамических систем по одномерным реализациям, так и задачи реконструкции динамических систем по восстановленным аттракторам. Описываются методы оценки размерности вложения а также сам алгоритм глобальной рекострукции.

Эффективность алгоритма реконструкции иллюстрируется на примере одномерной реализации тестовой системы МГИН (генератора Ани-щенхо - Астахова) и на примере сигналов, снимаемых с живых систем в ходе биологических экспериментов, а именно, реализации коле-

баний точки на поверхности изолированного сердца лягушки, реализации артериального давления крови белой крысы, электрокардиограмме человека, а также последовательности НЕ интервалов электрокардиограммы человека. Все фазовые портреты в данной главе восстанавливаются методом задержки либо методом последовательного дифференцирования. В результате получены динамические уравнения, приближенно описывающие исходные колебательные режимы. Динамическое описание последовательности ПН интервалов ищется в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений, а сам алгоритм глобальной реконструкции применяется к временному ряду, являющемуся последовательностью ЯД интервалов, представленной в виде набора точек, следующих друг за другом через единичный шаг по времени, и дополненной четырьмя промежуточными точками между каждыми экспериментально измеренными значениями ЯК интервалов. Дополнительные точки были получены методом полиномиальной интерполяции, а результирующий шаг по времени соответственно уменьшался в 5 раз и составлял 0.2 сек.

Во второй главе подробно описывается модель, полученная в первой главе методом глобальной реконструкции по электрокардиограмме здорового человека. Данная модель применена для подтверждения сделанного ранее ученым А. Баблоянц и другими исследователями вывода о том, что электрокардиограмма является реализацией некоторго хаотического, нерегулярного процесса. Такой вывод был сделан на основе только численного анализа снимаемых электрокардиограмм и исследования рассчитанных по ним статистических и динамических характеристик (Ляпуновских показателей, размерностей, спектров мощности, автокорреляционных функций и т.д.), которые свидетельствовали в пользу нерегулярности колебаний. (Здесь важным моментом является то, что расчет динамических характеристик по ЭКГ и сделанные на его основании выводы оправданы, если справедливо предположение о том, что ЭКГ является реализацией некоторой динамической системы.) Однако неясно, являются ли рассчитанные характеристики результатом того, что порождающая электрокардиограмму система функционирует в режиме динамического хаоса, или это следствие неавтономности системы и воздействия на нее флуктуаций, в то время как аттрактор системы без внешних воздействий является регулярным. Следует также учесть, что какой бы тип аттрактора ни лежал в основе поведения ЭКГ, он будет сложным (в силу сильной нелинейности системы) и очень неоднородным (из-за чередования "пауз" и участков с быстрым движением), что сильно затрудняет получение правильных результатов с помощью

традйционных алгоритмов, применяемых к анализу временных рядов.

В йастоягцей главе строится бифуркационная диаграмма реконстру-ировайной по ЭКГ системы на плоскости двух выбранных параметров, на которой находятся области существования периодического и хаотического аттракторов. С помощью данной системы моделируются две гипотезы о природе ЭКГ: 1. ЭКГ являетсяреализацией не^оторой динамической системы с регулярным аттрактором, находящейся под воздействием флуктуации. 2. ЭКГ является реализацией-некоторой за-шумленной динамической системы с хаотическим аттрактором (B.C. Анищенко, НБ. Янсон, А.Н. Павлов). К реализациям, соответствую-ндш двум описанныи типам движения, применяются известные методы анализа временных рядов. В силу сходства формы реализации восстановленной по ЭКГ системы с формой реальной ЭКГ (наличия у нее "пауз", "Р, Q, R, $} Т" - зубцов, пусть и не соответствующих по форуме и величине реальному PQRST - комплексу; совпадения основной частоты колебаний) появилась возможность сопоставить не только качественно, но и количественно, результаты вычислений по реализа-гога модельной системы и по реальной ,электрокардиограмме и с большей точностью проконтролиррвать правильность выводов, сделанных на основе исследования только, электрокардиограмм. Вывод о нерегулярности колебательного режима порождающей электрокардиограмму динамической системы подтверждается полученными в данной главе результатами. Здесь же описывается причина возникновения хаоса в модели, состоящая в разрушении петли сепаратрисы седлофокуса. Данный факт хорошо согласуется с выдвинутым ранее B.C. Анищенко и П.й. Сапариным предположением о существовании петли сепаратрисы седлофокуса в фазовом пространстве динамической системы, генерирующей ЭКГ. ;

В третьей главе обсуждаются недостатки существующих методов восстановления аттракторов динамических систем в применении к существенно неоднородным регцти'заршм в связи с задачей моделирования. Показано, в частности, что традиционные методы, приводят к восстановлению по неоднородным реализациям неоднородных фазовых портретов, для которых неэффективен .метод наименьших квадратов, используемый при аппроксимадии коэффгашеттовискомыхдинамических уравнений. Здесь же содержится описание предложенного автором метода" восстановления относительно однородного фазового, портрета динамической системы по ее существенно неоднородной реализации. Этот метод заключается в простом интегрировании экспериментальной реализации a(t), приведенной к нулевому среднему значению, так что вое-

становленная фазовая координата есть

«!(*)= / (1) Jo

Показаны преимущества данного метода перед остальными, известными на настоящий момент, и состоящие в следующем: а) При интегрировании зашумленной реализации происходит сглаживание шумовой компоненты, являющейся, как правило, высокочастотной по сравнению с основной частотой интересующих нас автоколебаний. Метод интегрирования является в этом смысле противоположностью широко применяемого метода дифференцирования, который резко усиливает шум в исходной экспериментальной реализации, б) Метод интегрирования позволяет восстановить динамическую систему по существенно неоднородной реализации без усложнения основного алгоритма глобальной реконструкции и при этом сохранить наиболее простую форму искомой динамической системы:

_=*2) ,-£- = /(*ь*2,(2)

Еще одним свойством метода является способность существенно усиливать медленно меняющуюся компоненту, которая, как правило, присутствует в реализациях неустановившихся процессов или процессов в системах с медленно меняющимися парамерами. Если мы заинтересованы в восстановлении фазового портрета, наиболее близкого к аттрактору (т.е. к предельному множеству) исходной системы, по данным, являющимся реализациями нестационарных процессов, применение метода интегрирования потребует привлечения дополнительных инструментов, способных уменьшить эффект нестационарности. Однако, если исследователь заинтересован в изучении как раз нестационарных процессов, метод интегрирования будет хорошим инструментом, способным усилить эффект влияния нестационарности.

Эффективность метода интегрирования иллюстрируется восстановлением с его помощью динамических моделей как по реализациям те-, стовых систем, так и по неоднородным реализациям, снятым в ходе биологических экспериментов: электрокардиограммам человека и реализациям колебаний точки на поверхности изолированного сердца лягушки.

В четвертой главе демонстрируется возможность восстановить характер внешнего воздействия на систему, состоящего в медленном изменении одного или нескольких управляющих параметров, по ее одномерным реализациям с использованием метода глобальной реконструк-

ции. Последовательность действий при этом следующая: чтобы получить приближенную оценку значений элементов численной схемы (размерность и способ вложения, степень полинома, аппроксимирующего правые части, количество' точек фазового портрета, используемых для аппроксимации коэффициентов, шаг их выборки), алгоритм глобальной реконструкции применяется для восстановления динамических уравнений по реализации исходной системы при постоянных значениях ее параметров, соответствующих базовому режиму колебаний. Далее по одномерной реализации динамической системы с меняющимися параметрами восстанавливается фазовая траектория выбранным методом или близким к нему. На ней выбирается временное окно такой длительности, чтобы за это время параметры системы не успели измениться существенным образом, но при этом оно должно включать хотя бы несколько характерных периодов колебаний базовой системы и", по возможности, быть сравнимым с временным окном, выбранным для реконструкции динамической модели по реализации установившегося режима. При вычислениях временное окно скользит вдоль фазовой траектории, и на каждом шаге к ее участку, ограничиваемому временным окном, применяется метод глобальной реконструкции. В результате строятся зависимости восстановленных коэффициентов уравнений от времени.

В качестве базовой системы была использована широко известная система Ресслера, а в качестве базового режима - режим динамического хаоса в ней. Выбор хаотического режима для иллюстрации обусловлен стремлением максимально приблизиться к условиям реального эксперимента (в том числе биологического). Параметры системы изменялись нерегулярным образом; закон их изменения описывался системой Ресслера в хаотическом режиме, время в которой было замедлено в 20 раз, а амплитуда колебании уменьшена в 5 раз. Проиллюстрирован«), как зависит качество восстановления закона внешнего воздействия на систему, от параметров алгоритма глобальной реконструкции! При задании значений элементов численной схемы, близких к оптимальным, получены зависимости восстановленных коэффициентов от времени, поведение которых коррелирует с поведением параметров Исходной системы. Таким образом, показано, что из одномерной реализации некоторой хаотической динамической системы с медленно меняющимися параметрами, можно извлечь информацию о характере модуляции ее параметров ¿ помощью метода глобальной реконструкции. Если меняется только один параметр системы, закон его измейения может быть любым, & если меняется два или несколько параметров, восстановить характер воздействия можно, если изменение параметров описывается одной динамической си-

стемой.

Основные результаты и выводы.

1. Показано, что алгоритм глобальной реконструкции может быть успешно применен для построения динамических систем, способных воспроизвести реализации установившихся процессов, снятые в ходе экспериментов с реальными живыми об'ектами. В результате применения алгоритма были построены динамические уравнения, решения которых обладали динамическими и статистическими характеристиками, сходными с соответствующими характеристиками исходных реализаций, полученных в ходе биологических экспериментов.

2. На основании изучения свойств динамической системы, восстановленной по электрокардиограмме, выдвинут еще один аргумент в пользу того, что электрокардиограмма здорового человека является реализацией процесса, отвечающего режиму динамического хаоса, а не сильно зашумленного регулярного режима.

3. Показано, что в модельной системе, приближенно описывающей поведение электрокардиограммы, существует петля сепаратрисы седло-фокуса, и при ее разрушении рождается хаотический аттрактор. Этот факт является косвенным аргументом в пользу выдвинутого ранее предположения о том, что в фазовом пространстве динамической системы, чьей реализацией является электрокардиограмма, существует петля сепаратрисы седлофокуса.

4. Разработан метод восстановления относительно однородных фазовых портретов по существенно неоднородным реализациям, заключающийся в том, что в качестве восстановленной фазовой координаты берется интеграл с переменным верхним пределом от исходной измеренной временной зависимости. Показано, что применение данного метода позволяет восстанавливать динамические модели по неоднородным реализациям без усложнения первоначального алгоритма глобальной реконструкции и сохранять простейший вид получаемых в результате динамических уравнений.

5. Метод интегрирования был применен для восстановления фазовых портретов по неоднородным экспериментальным реализациям, снятым с реальных биологических систем (реализациям механических колебаний точки на поверхности изолированного сердца лягушки и электрокардиограмме), что позволило создать динамические модели, с высокой точностью описывающие исходные сигналы.

6. Показано, что при выполнении следующих условий:

а) воздействие на автоколебательную динамическую систему х = /(х, Д), выражающееся в модуляции одного из ее параметров щ по неко-

торому детерминированному закону либо в модуляции нескольких параметров.^, j = 1,2,законы изменения которых описываются разными фазовыми координатами yi, 1/2,-- одной и той же динамической системы У — ff(у, a)j является медленным в том смысле, что ]dß/dt\ « \dx/dt\;

б) исследуемая система является маломерной (N < 5) и при постоянных параметрах обладает аттракторрм, отличным от состояния равновесия;

по одномерной реализации изучаемой динамической системы с медленно меняющимися во времени параметрами можно с использованием метода глобальной реконструкции с конечной точностью воспроизвести законы изменения данных параметров или некоторые нелинейные функции от них, независимо от того, происходят в системе динамические бифуркации или нет.

7. Точность восстановления законов изменения параметров системы или некоторых нелинейных функций от них зависит от точности записи исходных данных (чем выше точность записи исходных данных, тем выше точность воспроизведения законов изменения параметров системы или нелинейных функций от них); от выбора временного окна на фазовой траектории (существует оптимальная величина этого окна, приводящая к наиболее правильному восстановлению искомых зависимостей); от выбора формы реконструируемой системы, а именно, от размерности вложения и степени полинома, аппроксимирующего правые части.

Результаты проведенных в диссертационной работе исследований могут служить основой для изучения процессов адаптации реальных биологических систем к изменяющимся внешним условиям; для изучения возможностей алгоритма восстановления закона внешнего воздействия на параметры систем по их одномерным реализациям; для изучения возможности глобальной реконструкции динамической системы по одномерной экспериментальной реализации в смысле восстановления структуры разбиения фазового пространства на траектории.

Список работ по теме диссертации.

1) Anishchenko V.S., Smirnova N.B. Analysis and synthesis of dynamical systems from experimental data // SPIE, 1993. V. 2098. P. 137-142.

2) Janson N.B., Anishchenko V.S. Modeling the dynamical systems on , experimental data // AIP Conference Procedings 375. New York: Woodbury! AIP Press, 1996. P. 688-708. > .

3) Янсон Н.Б., Анищенко B.C. Моделирование динамических систем по экспериментальным данным // Изв. вузов, Сер. Прикладная нелинейная динамика, 1995. Т. 3, N 3. С. 112-121.

4) Анищенко B.C., Янсон Н.Б., Павлов А.Н. Седло-фокус в модели электрической активности сердца человека // Письма в ЖТФ, 1996. Т. 22, N 4. С. 78-83.

5) Анищенко B.C., Янсон Н.Б., Павлов А.Н. Об одном методе восстановления неоднородных аттракторов // Письма в ЖТФ, 1996. Т. 22, N 7. С. 1-6.

6) Янсон Н.Б., Павлов А.Н., Баланов А.Г., Анищенко B.C. Задача реконструкции математической модели применительно к электрокардиограмме // Письма в ЖТФ, 1996. Т. 22, N 16. С. 57-62.

7) Анищенко B.C., Янсон Н.Б., Павлов А.Н. Может ли режим работы сердца здорового человека быть регулярным? // Радиотехника и электроника, 1997. Т. 42, N 8-10 (принята к печати).

8) Павлов А.Н., Янсон Н.Б., Анищенко B.C. Применение статистических методов при решении задачи глобальной реконструкции // Письма в ЖТФ, 1997. Т. 23, N 8, стр. 7-13.

9) Janson N.B., Pavlov A.N., Anishchenko V.S. One method for restoring inhomogeneous attractors // Int. Journal of Bifurcation and Chaos (accepted for publication).

10) Павлов A.H., Янсон Н.Б. Применение методики реконструкции математической модели к электрокардиограмме // Изв. вузов, Сер. Прикладная нелинейная динамика, 1997. Т. 5, N 1. С. 93-108.

11) Анищенко B.C., Янсон Н.Б., Павлов А.Н. О реконструкции ДС по временным рядам биологического происхождения // Материалы конференции ФРЭМБ'96, Владимир, 1996 (принята к печати).

12) Anishchenko V.S., Janson N.B., Pavlov A.N. One method of restoring inhomogeneous attractors // Book of Abstracts: ICND-96, Saratov, 1996. P. 19.

13) Pavlov A.N., Janson N.B., Anishchenko V.S. Statistical approach to the problem of global reconstruction // Procedings of the 1st International Conference "Control of Oscillations and Chaos", St.Peterburg, August 2729,1997, Ed. by F.L. Chernousko, A.L. Fradkov, vol. 2 of 3, pp. 315-316.