Реконструкция уравнений колебательных систем при наличии скрытых переменных и внешних воздействий тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

На правах рукописи

СЫСОЕВ Илья Вячеславович

РЕКОНСТРУКЦИЯ УРАВНЕНИЙ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ ПРИ НАЛИЧИИ СКРЫТЫХ ПЕРЕМЕННЫХ И ВНЕШНИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ

Специальность 01.04.03 — радиофизика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Саратов 2007

003056658

Работа выполнена на кафедре динамического моделирования и биомедицинской инженерии и кафедре электроники, колебаний и волн Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского, а также в Саратовском филиале Института радиотехники и электроники РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Безручко Борис Петрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Бутковский Олег Ярославович

кандидат физико-математических наук, доцент Павлов Алексей Николаевич

Ведущая организация: Саратовский государственный

технический университет

Защита состоится 26 апреля 2007 года в 15 30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.243.01 при Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского (410023 Саратов, Астраханская, 83, корп. VIII, ауд. 73).

С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке им. В.А. Артисевич Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского.

Автореферат разослан « » марта 2007 года.

Учёный секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук

В.М. Аникин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Развитие концепции динамического хаоса продемонстрировало возможность описания сложных, в том числе хаотических, движений с помощью достаточно простых нелинейных уравнений, чем усилило интерес к реконструкции 1 моделей по дискретным последовательностям экспериментальных данных — временным рядам. Вид временного ряда имеют сигналы на выходе аналого-цифровых преобразователей (АЦП) измерительных приборов, бытовых цифровых устройств и компьютерных плат, данные метеорологических наблюдений и т. п. Построенные по рядам эмпирические модели, кроме традиционного использования для прогноза дальнейшего поведения или оценки адекватности представлений, предоставляют исследователю дополнительные возможности, в частности, выявления связей между элементами подсистем только по записям их колебаний, измерения в недоступных приборам точках объекта, кластеризации и т. д. Они служат средством решения значительного числа практически важных задач, среди которых: контроль или управление объектом, диагностика патологий, разбраковка устройств, конфиденциальная передача информации, измерение характеристик нелинейных элементов в режимах их эксплуатации (в частности, больших амплитуд и хаоса). Восстановленные по временным рядам модели используются в настоящее время в радиофизике, лазерной физике, биофизике и биологии (в частности, при изучении структуры и механизмов функционирования клетки), метеорологии, сейсмографии, экономике, медицине и физиологии, астрофизике и т. д.

Долгое время развитие алгоритмов реконструкции шло по пути создания универсальных методик, рассчитанных на широкий класс объектов2. Однако при их практическом применении возникают многочисленные и трудноразрешимые проблемы, главная причина которых — «проклятие размерности». Более успешными для решения конкретных практически важных задач являются специализированные алгоритмы, ориентированные на некоторый достаточно узкий класс систем или определённую ситуацию и опирающиеся на априорную или дополнительную информацию об объекте. В диссертационной работе рассматриваются две таких ситуации — наличие внешнего воздействия на объект и присутствие в модели скрытых переменных. Они часто встречаются при ре-

1 Так называют построение модели по экспериментальным данным в нелинейной динамике, в статистике используется термин «идеигафикация систем».

2 Gouesbet G. and Letellier С. Global vector-field approximation by using a multivariate polynomial approximation on nets. Phys. Rev. E. 1994. Vol. 49. P. 4955—4972.

шении и фундаментальных и практически важных задач, что и определяет актуальность и важность темы диссертации.

Скрытыми называются те из общего числа О переменных модели, временные ряды которых, необходимые при подгонке коэффициентов в процедуре реконструкции, отсутствуют, т.к. не могут быть измерены в принципе или не могут быть получены из рядов наблюдаемых величин из-за высокой зашумлённости. Популярным алгоритмом работы со скрытыми переменными является метод Бока (множественной стрельбы)3, однако его применение для хаотических временных рядов затруднительно из-за чувствительности траектории на больших временах к малым изменениям начальных условий.

Известно несколько подходов и к реконструкции систем, находящихся под внешним воздействием, — неавтономных. Один из них предполагает возможность измерения рядов той же системы в автономном режиме, на основе которых восстанавливаются параметры модели, а затем уже по неавтономным реализациям реконструируется само воздействие 4. Однако доступность рядов автономной системы — существенное и трудновыполнимое на практике требование, с одной стороны. С другой стороны, разработан подход, позволяющий учесть гармоническое воздействие, хотя и при произвольном способе его внесения 5. Подход основан на введении в уравнения явной зависимости от времени и требуется его расширение на случай произвольного регулярного (периодического и квазипериодического) воздействия. Поскольку информация о виде воздействия имеется не всегда, а хаотическое или шумовое воздействие не может быть аппроксимировано в явном виде, требуется разрабатывать новые подходы к реконструкции произвольного внешнего воздействия и оценке параметров модели, когда её структура известна.

Целью диссертационной работы является исследование эффективности существующих алгоритмов реконструкции динамических систем по временным рядам сложных, в том числе и хаотических, колебаний при наличии скрытых переменных и внешнего воздействия, их модернизация и применение для решения практически важных задач.

Достоверность полученных результатов и выводов подтверждается их воспроизводимостью в численном, радиофизическом и биофизическом экспе-

} Вааке Е., Вааке М., Воск H.G., and Briggs KM. Fitting ordinary differential equations to chaotic data // Phys. Rev. A. 1992. Vol. 45. № 8. P. 5524—5529.

4 Грибков ДА., Грибкова B.B., Кравцов ЮЛ и др. Б. н. // Радиотехника и электроника. 1994.39. №2. С. 231.

5 Bezruchko В.Р. and Smirnov D.A. Constructing of nonautonomous differential equations from experimental time series, Phys. Rev. E. 2000. Vol. 63. 016207.

рименте и тем, что они опираются на теоретические результаты, полученные в

самой работе, и базовые результаты нелинейной динамики и радиофизики.

Научная новизна работы состоит в следующем:

• Способ реконструкции неавтономных систем, использующий введение явной зависимости от времени в структуру уравнений, распространён на случай произвольного регулярного способа воздействия. На примере эталонной динамической системы — неавтономного осциллятора Тоды под воздействием сигналов различных форм и спектра — показано, что в типичном случае использование данного метода может привести к успеху, в то время как применение универсальных методик неэффективно.

• С помощью введённого количественного критерия сформулированы рекомендации по использованию методов множественной стрельбы реконструкции динамических систем при наличии скрытых переменных: условия на оптимальный выбор длины тренировочного ряда, способ его деления на сегменты и подсегменты, способ построения стартовых догадок для скрытых переменных.

• Проведено сравнение работоспособности различных реализаций метода множественной стрельбы. На численных примерах систем Лоренца и Рёсс-лера показано, что исходный алгоритм Бока уступает его модификации, заключающейся в допуске разрывов траектории модели при сохранении единых значений параметров.

• Предложен принципиально новый подход к реконструкции нелинейных систем под произвольным (в том числе хаотическим и шумовым) воздействием в случае, когда структура уравнений системы хорошо известна. Подход основывается на представлении внешнего воздействия в виде дополнительной скрытой переменной, написании для этой переменной собственного эволюционного уравнения и реконструкции полученной модифицированной системы методами работы со скрытыми переменными.

• На основе методов реконструкции неавтономных систем предложен способ измерения характеристик нелинейных устройств, отличающийся от уже существующих тем, что позволяет находить такие характеристики в произвольном режиме эксплуатации, в том числе и в сложных нелинейных режимах. Кроме того, способ позволяет получать характеристики, недоступные прямому измерению.

Теоретическая и практическая значимость результатов

1. Предложена и апробирована на эталонных моделях нелинейной динамики модификация метода множественной стрельбы реконструкции при наличии скрытых переменных более эффективная, чем оригинальный алгоритм Бока.

Метод позволяет использовать сколь угодно длинные временные ряды, что улучшает статистические свойства полученных оценок параметров, и задавать менее точные стартовые догадки для неизвестных параметров, что повышает шансы на успех моделирования.

2. Возможности известного метода реконструкции неавтономных систем, основанного на введении в структуру модельных уравнений явной зависимости от времени, расширены на случай произвольного регулярного воздействия.

3. Предложен новый метод восстановления внешнего воздействия, основанный на его представлении в виде дополнительной скрытой переменной. Метод применим в случае произвольного, в том числе хаотического и " умового, воздействия. Он может быть использован для решения различных прикладных задач, таких как: косвенное измерение, определение наличия связи или воздействия, а также для скрытой передачи и кодирования информации.

4. Предложен новый метод измерения нелинейных характеристик радиотехнических устройств, основанный на их реконструкции по экспериментальным рядам токов и напряжений. Его преимущество перед существующими подходами состоит в том, что искомые характеристики могут измеряться в реальном эксплуатационном режиме. Также он может быть использован для кластеризации устройств по выбранной нелинейной характеристике.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации были доложены на следующих конференциях: International Symposium «Topical problems of nonlinear wave physics» (Nizhny Novgorod, 2003), «The second international conference on circuits and systems for communication» (Moscow, 2004), «6th International School on Chaotic Oscillations and Pattern Formation» (Saratov, 2001), VII Международной школе-конференции «Хаотические автоколебания и образование структур» (Саратов, 2004), ХП и XIII Всероссийских школах-конференциях «Нелинейные волны — 2004» и «Нелинейные волны — 2006» (Нижний Новгород), Международной научно-технической конференции «Радиотехника и связь» (Саратов, 2005), VII Всероссийской научной конференции «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, 2005), VI научной конференции «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, 2002), межвузовской конференции «Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ» (Саратов, 2001), научных школах-конференциях «Нелинейные дни в Саратове для молодых» (Саратов, 2000—2005).

Личный вклад автора. Основные результаты диссертации получены лично автором. В большинстве совместных работ автором выполнены все компьютерные расчёты, включая обработку экспериментальных данных, а в работах [3, 20, 23] расчёты, относящиеся к разделам, посвященным реконструкции

неавтономных систем и реконструкции при наличии скрытых переменных. Постановка задач, разработка методов их решения, выбор объектов, объяснение и интерпретация результатов были осуществлены совместно с руководителем и другими соавторами.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, приложения, заключения и списка литературы из 110 наименований. Общий объём диссертации составляет 150 страниц, включая 51 рисунок.

Положения и результаты, выносимые на защиту.

1. Модифицированный метод множественной стрельбы имеет больший радиус сходимости, чем оригинальный алгоритм Бока, если при его использовании делить тренировочный временной ряд на сегменты длиною порядка величины, обратной старшему ляпуновскому показателю.

2. Метод реконструкции дифференциальных уравнений неавтономных систем по скалярным хаотическим временным рядам, основанный на введении явной зависимости оператора эволюции от времени, работоспособен и при произвольных периодическом и квазипериодическом воздействиях.

3. Предложенный подход к восстановлению внешнего воздействия путём его перевода в разряд скрытых переменных не требует дополнительных измерений рядов автономной системы и предположений о характере воздействия, что открывает новые прикладные возможности.

4. Разработан и запатентован способ измерения характеристик нелинейных устройств, основанный на использовании методов реконструкции неавтономных систем и позволяющий проводить измерения в произвольном эксплуатационном режиме.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении даётся общая характеристика работы, обосновывается её актуальность, новизна и место диссертации в ряду работ по данной тематике, сформулированы положения, выносимые на защиту.

В первой главе рассматривается задача реконструкции по временным рядам в случае, когда структура модели может быть получена из общих принципов, но часть переменных модели не может быть измерена или сильно за-шумлена. Такие переменные называют скрытыми. Их наличие сильно усложняет задачу, требуя использования специальных подходов, основанных на переносе тяжести задачи на этап подбора (оценки) параметров: в число оптимизируемых величин кроме искомых параметров вводят начальные условия.

Одним из наиболее перспективных в настоящее время является метод множественной стрельбы (алгоритм Бока). Его идея — снизить чувствитель-

ность к точности задания начальных условий у0 на промежуточных этапах минимизации целевой функции путем разбиения исходного ряда на I более коротких сегментов по и точек (Ы = п1). Далее задача сводится к минимизации целевой функции:

.....'с)~ уЬ^Т= ■

М У=1

Дополнительно накладывается условие непрерывности траектории модели:

Уы=У^М*-'^ = (2)-

Хотя условие (2) полезно, т.к. уменьшает общее количество свобод. .о:х параметров, оно ведет к ограничению на максимальную длину ряда при реконструкции по хаотическим рядам, поскольку чувствительность к начальным условиям затрудняет поиск глобального минимума {!)-

Рис. 1. Плоскость нормированных стартовых догадок для параметров системы Лоренца (сечение й[ =0). Белым обозначены точки, откуда доетт'ается глобальный минимум, оттенками серого локальные минимумы, чёрным — алгоритм минимизации расходится: (а), (б) алгоритм Бока нри я = 30, Ь = 35, (в) модифицированный метод с £ =! 5, л = 35, г* = 2.

Чтобы избежать этого, в данной работе предлагается отказаться от условия (2) в некоторые (ч -1) моментов времени. Такой подход назван модифицированным методом множественной стрельбы.

Для оценки эффективности методов бьш введён количественный критерий: в пространстве нормированных параметров Ь, = {с, -с°]1с", строится круг (шар, гипершар) и в качестве меры г берётся величина, равная радиусу круга, лри котором вероятность сходимости в глобальный минимум (I) составляет р (см. рис. !)■

С помощью этой меры на примере реконструкции эталонных систем нелинейной динамики показано, что модифицированный метод имеет ряд преимуществ по сравнению с алгоритмом Бока, поскольку он свободен от ограничений, связанных с высокой чувствительностью к начальным условиям: накап-

ливающиеся вдоль фазовой траектории невязки отбрасываются в разрешенных этим подходом разрывах. Во-первых, он позволяет использовать ряды большой длины, что даёт возможность уточнить оценки параметров за счёт введения в рассмотрение дополнительного объёма данных, причём такие оценки статистически предпочтительнее, чем получаемые с помощью кусочного метода множественной стрельбы (когда параметры подгоняются независимо по нескольким рядам малой длины и затем усредняются). Во-вторых, при использовании рядов фиксированной длины он в большинстве случаев предъявляет меньшие требования к стартовым догадкам для искомых параметров (ср. рис. 16 и 1в), а иногда позволяет получить достаточно точные оценки, когда с помощью алгоритма Бока это невозможно сделать ни при каких стартовых догадках, даже равных истинным значениям.

1и/тд

0 1 2 3 4 5

(а) (б)

Рис. 2. Зависимость радиуса стопроцентной сходимости г100 для системы Лоренца (а) — от общей длины используемого ряда N при различном числе разрывов (у -1); (б) — от длипы сегмента непрерывности Ьп.

Исследована степень влияния на результат оценивания параметров длины используемого ряда, количества его сегментов, выбора наблюдаемой и способа задания стартовых догадок для скрытых переменных. Показано, что шансы на успех оценки значений параметров возрастают с увеличением длины ряда, если одновременно увеличивается число допустимых разрывов траектории модели. При этом длина сегмента, на котором соблюдается требование непрерывности траектории, должна быть тем меньше и ближе к ляпуновскому времени, чем больше количество разрывов (рис. 26).

Продемонстрировано, что стартовые догадки для скрытых переменных необходимо выбирать, основываясь на свойствах объекта, учитывая наиболее общие характеристики аттрактора. Игнорирование свойств объекта может привести к полному провалу, когда метод расходится даже для идеальных стартовых догадок для параметров.

Показано, что влияние шума (вплоть до 0.2 от уровня сигнала) на процесс моделирования несущественно для обеих методик. Следует сказать, что точность оценки параметров при условии попадания в глобальный минимум целевой функции и для выбранной длины ряда наибольшая для алгоритма Бока, предъявляющего самые жёсткие требования при подгонке, меньше для модифицированного метода, и ещё меньше для кусочного метода множественной стрельбы. Если же учесть, что попасть в глобальный минимум гораздо проще при использовании модифицированного метода, то он в итоге имеет практические преимущества даже в смысле точности оценок. Но следует учитывать и то, что, так как модифицированный метод предъявляет меньшие требования к адекватности используемой модели, существует опасность при слишком малом размере сегментов успешно подогнать под наблюдаемый ряд «чужую» модель.

Во второй главе рассматривается задача реконструкции неавтономных систем при регулярном воздействии. В случае, когда измерению доступна лишь одна наблюдаемая величина rj, стандартной структурой обычно является система дифференциальных уравнений (ОДУ):

~Хъ'~си ~*3'......,~~dt~= М*1'*2''"'*0}

где в качестве х, берется сама скалярная наблюдаемая 7, а функция / представляется в виде степенного полинома порядка К. Претензии таких моделей на общность теоретически обоснованы, однако случаи успешного применения стандартного подхода на практике единичны. Работоспособность стандартного подхода можно повысить за счет частичного отказа от универсальности и разработки методик (технологий), ориентированных на сравнительно узкий класс объектов, в данном случае — систем, находящихся под регулярным (имеющим дискретный спектр) внешним воздействием.

Модификация структуры (3) заключается во введении в неё явной зависимости от времени:

/(*„*,,..., xD) -У Дх„х2,...,хв) + g(t), (4),

где функция g(t), представляющая внешнее воздействие задаётся в виде тригонометрического полинома в периодическом случае и суммы тригонометрических полиномов в квазипериодическом. Для нахождения коэффициентов полинома / и функции g используем метод наименьших квадратов (МНК), минимизируя средний квадрат ошибки аппроксимации:

Для апробирования методики были проведены реконструкции модельных ОДУ в стандартном и специальном видах по хаотическим временным рядам, полученным интегрированием неавтономного уравнения осциллятора Тоды:

——1 + е Л-ф(0 = 0, (6).

¿г

Рассматривались различные виды воздействия: периодическое гладкими импульсами, периодическое треугольными импульсами, периодическое с субгармониками основной частоты и квазипериодическое. Величины К, й и к подбирались оптимальным образом. Критериями качества моделей выступали погрешности аппроксимации е, дальность прогноза т^ и сходство фазовых портретов модели и объекта.

Стандартный алгоритм (3) не дает удовлетворительных результатов ни при одном из приведенных видах воздействия даже в отсутствие шумов (рис. 36), тогда как модернизированная структура (3, 4) при достаточном количестве учтённых гармоник обеспечивает хорошее качество реконструкции (рис. Зв), в том числе и при наличии шумов, хотя получение оптимальной модели в этом случае требует значительно большей длины тренировочного ряда.

(а) (6) (в)

Рис. 3. Фазовые портреты: (а) — объекта (6) и реконструированных по ряду переменной Х\ моделей (б) — стандартным методом, (в) — модифицированным методом.

Усложнение формы воздействия заставляет увеличивать число членов тригонометрического полинома, но это остается без негативных последствий, тогда как глобальная неустойчивость стандартных моделей с алгебраическими полиномами высоких порядков была главной причиной неудач стандартного подхода. Так, воздействие в виде треугольных импульсов потребовало учесть весьма большое, порядка 80—90, число членов ряда. Проводились успешные эксперименты с использованием даже 300—500 гармоник.

Присутствие субгармоник во внешнем воздействии не представляет никаких новых трудностей, если в качестве базовой частоты принять наименьшую

из частот субгармоник. Чтобы найти эту частоту, необходимо перебирать стартовые догадки для периода воздействия, в качестве которых следует в первую очередь брать величины, кратные периоду, соответствующему основному пику в спектре наблюдаемой.

При квазипериодическом воздействии неавтономная модель продемонстрирует очень хорошее соответствие объекту — фазовые траектории объекта и модели визуально неотличимы. Основная сложность работы с несколькими тригонометрическими полиномами состоит в том, что периоды двух высоких гармоник из разных полиномов на некотором этапе итерационной процедуры могут оказаться столь близкими, что это приведёт к вырожденной г/ га очень плохо обусловленной матрице при решении задачи оценки линейно входящих параметров. Поэтому приходится уменьшать числа членов ряда и очень точно задавать начальные догадки.

В третьей главе предложена и апробирована новая методика реконструкции внешнего воздействия и оценки параметров неавтономных систем. Она заключается в представлении воздействия в виде дополнительной скрытой переменной и преобразования структуры модели к такому виду, что в модифицированной неавтономной системе члены, соответствующие воздействию, могут быть найдены из наблюдаемых величин (не являются скрытыми). Искомая временная реализация восстанавливается вместе с подгонкой коэффициентов в процессе реконструкции получившейся модифицированной системы. Это приводит к увеличению размерности искомой модели, но освобождает от необходимости знания временного ряда автономной системы.

В достаточно общем виде неавтономная модельная система имеет вид:

У\ = /¡к'')- Уч = /?(у,с,г(г)),..., ув = /в (у, с) (7),

где^, — динамические переменные, компоненты вектора у, ряды которых получают из рядов наблюдаемых, с — вектор параметров, / — заданные функции, я(*) — искомое внешнее воздействие. Пусть <?-тое уравнение, в которое входит воздействие, однозначно разрешено относительно него:

гг(0=Ф^.У.с) (8).

Представим ¿(г) новой (о +1) -й переменной которая, т.к. воздейст-

вие не известно, является скрытой. Дополнительное уравнение для получается дифференцированием (8) по времени. Наиболее просто это реализуется в случае аддитивного воздействия, когда (8) принимает вид

g(t)=Уq-fgM (9),

а (7) сводится к:

<У (у,с)

Л =А(у>ЬУоЛ-'Уо = У„--О0)-

Несмотря на то, что последнее уравнение системы (10) имеет первый порядок, оно может иметь сложное решение, поскольку является неавтономным, а роль внешнего воздействия играет уц. Для подгонки параметров ряд уч получается численный дифференцированием ряда уч, также, поскольку все функции /(у, с) задава-

¿{ (у с) ° Э/ (ус) ° дГ (у с) лись при выборе структуры, функция £ = ^ /¡(у,с) на-

ходится аналитически, а её временной ряд — подсчитывается с использованием рядов нескрытых переменных.

0.140.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02

/ N.

/

о

0.0001 0.001

0.2

0.16

0.12

0.08

0.(М

/

0.01

0.1

0.0001

0.001

0.01

0.1

(а)

(б)

Рис. 4. Зависимости ошибки аппроксимации еарр и ошибки в оценке параметров е^ при различных автономных режимах воздействуемой системы: (а) периодическом, (б) хаотическом.

Работоспособность предложенного подхода продемонстрирована на примерах реконструкции эталонных систем в различных ситуациях. Показано, что метод успешно работает при различной собственной динамике изучаемой системы: при периодической и хаотической, а также при различных видах воздействия: хаотическом (сигнал детерминированной системы) и шумовом (реализация случайного процесса) (см. рис. 4). Хотя при использовании метода необходимо численно рассчитывать по ряду вторую производную, что приводит к увеличению влияния шумов, этот негативный эффект удаётся значительно снизить, если применять к исходному ряду фильтрацию, проводить дифференцирование с использованием сглаживающего полинома, а восстановленное воздействие дополнительно фильтровать. Такой подход позволяет получать соответствие между восстановленным и исходным сигналом воздействия даже при 10%-ном шуме (см. рис. 5).

/ I

W (Ь)

Pua 5. Графики (a) — исходного сигнала y^t) и (b) — внешнего воздействия исходного (чёрный пунктир) и восстановленного (серая сплошная линия) при уровне шума 10%.

Дополнительно показано, что предложенный подход может работать и в ситуации, когда не все переменные исследуемой системы доступны измерению, хотя, конечно, шансы на успех в таком случае снижаются.

Обсуждается возможность применения предложенного метода для решения ряда задач, таких как: косвенное измерение величин, недоступных прямому измерению, определение наличия связи между системами или внешнего воздействия на изучаемую систему, скрытая передача или кодирование информации либо приём сигнала в системах связи на хаотической несущей. Последнее приложение демонстрируется на эталонном примере.

В четвёртой главе представлены экспериментальные результаты приложения методов реконструкции по временным рядам неавтономных систем к измерению характеристик и разбраковке полупроводниковых устройств, а также для проверки адекватности моделей биологических объектов: голосовых связок человека и системы регуляции давления в нефроне (функциональная единица почки).

Суть предложенного способа заключается в следующем. Составляется эквивалентное представление исследуемого устройства таким образом, чтобы в него непосредственно вошла искомая характеристика. Например, для диодов с р-n переходом это может быть схема из параллельно и последовательно соединённых нелинейных и линейных элементов: ёмкостей, сопротивлений, ин-дуктивностей, источников тока или напряжения и т. п. Затем для составленного эквивалентного представления на основе законов Кирхгофа необходимо записать уравнения. Эти уравнения представляют собою модель. Одновременно на исследуемое устройство подаётся воздействие, в точности совпадающее с воздействием в его реальном режиме функционирования. Далее снимаются и оцифровываются ряды протекающих через него токов и напряжений на нём — они выступают в роли экспериментальных временных рядов (наблюдаемых).

С помощью методов реконструкции уравнения модели восстанавливаются по этим рядам.

Способ обладает двумя преимуществами перед ранее известными: он позволяет измерять искомые характеристики непосредственно в режиме эксплуатации, а также получать величины, недоступные прямому измерению.

Подход был апробирован на примере измерения вольтфарадных характеристик кремниевых выпрямительных диодов типа КД202Р. Для проверки адекватности предложенного метода в режимах малых амплитуд использовались приборы Е7-8 и Е7-12, работающие на частотах 1кГц и 1МГц соответственно.

Продемонстрирована возможность приложения способа для кластеризации устройств на основании интересующей нелинейной характеристики, для чего восстанавливаются искомые характеристики всех устройств и затем под-считывается интегральная мера сходства в заданном диапазоне. Результаты удобно представить в графическом (рис. 6), где по осям отложены номера устройств, так что каждая клетка соответствует паре образцов, а интенсивностью серого показана степень совпадения характеристик: чем темнее клетка, тем они ближе (диагональ соответствует сравнению образца с самим собою и потому всегда чёрная). В представленном на рис. б примере легко можно определить самую близкую пару: это диоды №27 и №43.

Рис. 6. Результата кластеризации диодов типа КД202Р, где различными оттенками серого показана величина, характеризующая степень совпадения вольтфарадных характеристик

Второй рассмотренный пример экспериментального приложения — к оценке адекватности моделей голосовых связок человека по экспериментальным рядам. Несмотря на их сложность: большое количество переменных, параметров и сложный тип нелинейностей, — их реконструкция по временным рядам возможна даже в случае, когда часть переменных являются скрытыми. Однако при этом нужно существенно ограничить число неизвестных параметров тремя-четырьмя наиболее важными, зафиксировав остальные из физиологических со-

ображений, а также специально подобрать стартовые догадки для скрытых переменных, что требует дополнительного изучения реконструируемой системы.

В третьем примере решается задача реконструкции модели нефрона (функциональной единицы почки) по временным рядам. С помощью метода множественной стрельбы оказалось в принципе возможно оценить параметры модели, если зафиксировать большинство из них равными типичным значениям. Модель успешно восстановлена по регулярному ряду и демонстрировала периодический аттрактор. Однако несовершенство модели и недостаток экспериментальных данных препятствуют успешному решению этой задачи в целом: не удаётся реконструкция по хаотическим рядам, а при по регулярным рядам возможно оценить только небольшое количество параметров модели (1, реже 2).

В заключении сформулированы основные результаты и выводы работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. На основании введённого количественного критерия проведено сравнение работоспособности различных реализаций метода множественной стрельбы. Показано, что исходный алгоритм Бока уступает модифицированному методу, допускающему разрывы модельной траектории, поскольку последний позволяет работать с более длинными рядами и имеет больший радиус сходимости. Показано, что шансы на успех оценки значений параметров возрастают с увеличением длины ряда, если одновременно увеличивается число допустимых разрывов траектории модели таким образом, чтобы длина одного сегмента составляла порядка величины, обратной старшему ляпуновско-му показателю. Влияние шума (вплоть до 0.2 от уровня сигнала) на процесс моделирования несущественно, особенно для модифицированного метода.

2. Стандартный алгоритм реконструкции не позволяет построить адекватную модель ни при каком из рассмотренных видов воздействия даже в отсутствие шумов, тогда как модернизированная структура, где воздействие учитывается введением в уравнения явной функции времени в виде тригонометрического полинома, при достаточном количестве учтённых гармоник обеспечивает хорошее качество реконструкции. При наличии измерительных шумов получение оптимальной модели требует увеличения длины тренировочного ряда. Наличие субгармоник во внешнем воздействии не представляет никаких новых трудностей, если в качестве базовой частоты принять наименьшую из их частот. При квазипериодическом воздействии модифицированная структура сохраняет работоспособность, если использовать несколь-

ко тригонометрических полиномов по числу несоизмеримых частот в спектре воздействия.

3. В третьей главе предложен новый подход к восстановлению произвольного гладкого, в том числе хаотического и шумового воздействия на динамическую систему. Он позволяет оценить параметры системы и получить сигнал внешнего воздействия, если известна структура объекта моделирования и наблюдаются некоторые (не обязательно все) переменные. В последнем случае восстанавливаются также ряды недостающих переменных. Подход апробирован на примерах реконструкции эталонных систем моделей при различной собственной динамике: как периодической, так и хаотической, а также различных видах воздействия: хаотическом (сигнал детерминированной системы) и шумовом (реализация случайного процесса). Показано, что подход устойчив к аддитивному шуму амплитудою до 10%, если при дифференцировании использовать сглаживающий полином, а полученное воздействие дополнительно фильтровать.

4. Предложен новый способ измерения нелинейных характеристик полупроводниковых устройств, основанный на реконструкции уравнений Кирхгофа по экспериментальным реализациям тока и напряжения и позволяющий проводить измерения в условиях последующей эксплуатации. Он апробирован на задаче измерения вольтфарадных и вольтамперных характеристик полупроводникового диода с р-п переходом. Рассмотрены различные способы аппроксимации искомых характеристик и показано, что оптимальный выбор аппроксимирующих функций зависит от конкретной задачи. Проде-' монстрирована возможность приложения способа для кластеризации устройств по интересующей нелинейной характеристике.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Безручко Б.П., Смирнов Д.А., Сысоев И.В. Реконструкция при наличии скрытых переменных: модифицированный алгоритм Бока // Изв. вузов, «ПНД». — 2004. Т. 12. №6. —С. 93—104.

2. Безручко Б.П., Смирное Д.А., Сысоев И.В. Реконструкция уравнений регулярно возбуждаемых динамических систем по временному ряду // Тезисы доклада «Нелинейные колебания механических систем: VI научная конференция». — Н. Новгород, 2002. — С. 22—23.

3. Некоторые проблемы реконструкции модельных уравнений по временным рядам и пути их решения / Б.П. Безручко, М.Б. Бодров, Т.В. Диканев,

A.C. Караваев, В.И. Пономаренко, М.Д. Прохоров, Е.П. Селезнев, И.В. Сысоев, Д.А. Смирнов // Нелинейные волны 2004 / Под. ред. A.B. Гапонова-Грехова,

B.И. Некоркина. — Н. Новгород: ИПФ РАН, 2005. — С. 381—397.

4. Оценка эквивалентных параметров полупроводниковых элементов в режиме больших амплитуд и хаоса / И.В. Сысоев, ДЛ. Смирнов, Е.П. Селезнёв, Б.П. Безручко // Сборник материалов XII Всероссийской школы-конференции «Нелинейные волны — 2004». — Н. Новгород, 2004. — С. 112—113.

5. Патент на изобретение №2004115469/28(016733). Способ определения характеристик нелинейных устройств / Б.П. Безручко, Е.П. Селезнёв, ДА. Смирнов, И.В. Сысоев. МПК 7 G 01 R 27/08,31/27.

6. Реконструкция моделей голосовых связок / И.В. Сысоев, A.C. Ульянов, О.В. Мареев, Б.П. Безручко // Сборник материалов XIII Всероссийской школы-конференции «Нелинейные волны — 2006». — Н. Новгород, 2006. — С. 151— 152.

7. Реконструкция нелинейных характеристик и эквивалентных параметров по экспериментальным временным рядам / И.В. Сысоев, ДА. Смирнов, Е.П. Селезнёв, Б.П. Безручко // Сборник трудов Международной научно-технической конференции «Радиотехника и связь». — Саратов, 2005. —

C. 114—117.

8. Реконструкция эквивалентных характеристик нелинейных полупроводниковых устройств по временным рядам / И.В. Сысоев, Е.П. Селезнёв, Д.А. Смирнов, Б.П. Безручко // Сборник материалов VII Международной школы-конференции «Хаотические автоколебания и образование структур». — Саратов, 2004. — С. 114—116.

9. Смирнов Д.А., Сысоев И.В., Селезнёв Е.П., Безручко Б.П. Реконструкция моделей неавтономных систем с дискретным спектром воздействия // Письма в ЖТФ. — 2003. Т. 29. Вып. 19. — С. 69—76.

Ю.Сысоев И.В. Виды модельных отображений и их описательные возможности // Сборник материалов научной школы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых — 2000». — Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2000. — С. 127—130.

11. Сысоев И.В. Захаревич А.М. Эквивалентные представления полупроводникового диода и оценка характеристик этих эквивалентных представлений методами реконструкции по временным рядам // Сборник материалов научной школы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых — 2003». — Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2003. — С. 258—261.

12. Сысоев И.В. Изучение эффективности алгоритма Бока и его модификации для реконструкции по хаотическим временным рядам // Сборник материалов научной школы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых — 2004». — Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2004. — С. 74—77.

13. Сысоев И.В. Моделирование неавтономных систем по временному ряду // Сборник материалов научной школы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых — 2001». — Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2001. — С. 98—101.

14. Сысоев И.В. Применение алгоритма множественной стрельбы для эмпирического моделирования динамики нефрона // Сборник материалов научной школы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых — 2002». — Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2002. — С. 46—49.

15. Сысоев И.В. Реконструкция модельных отображений по хаотическим временным рядам // Материалы межвузовской конференции «Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ». — Саратов, 2001. — С. 150—151.

16.Сысоев И.В., Смирнов Д.А., Безручко Б.П. Реконструкция моделей хаотических систем при наличии скрытых переменных по временным рядам // Сборник материалов VII Международной школы-конференции «Хаотические автоколебания и образование структур». — Саратов, 2004 — С. 113—114.

17.Сысоев И.В., Смирнов Д.А., Безручко Б.П. Реконструкция при наличии скрытых переменных (модифицированный алгоритм Бока) // Труды VII Всероссийской научной конференции «Нелинейные колебания механических систем». — Н. Новгород, 2005. — С. 204—206.

18 .Bezruchko В.Р., Mosekilde Е., Smirnov D.A., Sysoev I.V. Reconstruction of multidimensional multiparametric model equations from time series using Bock's algorithm (applications to single nephron model and physiological nephron data) // Proceedings of International Symposium «Topical problems of nonlinear wave physics». — Niz-hny Novgorod, Russia, 2003. — P. 42—43.

19 .Bezruchko B.P., Smirnov D.A., and Sysoev I.V. Reconstruction of model equations of nonautonomous systems under regular driving // Abstracts of the «6th International School on Chaotic Oscillations and Pattern Formation». — Saratov, Russia, 2001. — P. 17—18.

20. Construction of dynamical model equations for nonautonomous systems from time series (peculiarities and special approaches) / Boris Bezruchko, Dmitry Smirnov, Taras Dikanev, and Ilya Sysoev // Chaos and its Reconstruction / Edited by G. Gouesbet and S. Meunier-Guttin-Cluzel. —Nova Science Publishers, 2003. — P. 215—243.

21 .Identification of chaotic systems with hidden variables (modified Bock's algorithm) / Boris P. Bezruchko, Dmitry A. Smirnov and Ilya V. Sysoev // Chaos, Solitons & Fractals Vol. 29 (2006). P. 82—90.

ll.Reconstruction of nonlinear characteristics and equivalent parameters from experimental time series / Ilya V. Sysoev, Dmitry A. Smirnov, Yeugeny P. Seleznev, and Boris P. Bezruchko // Proceedings of «The second international conference on circuits and systems for communication». — Moscow, Russia, 2004. — 3 p.

23.Special Approaches to Global Reconstruction of Equations from Time Series / B.P. Bezruchko, Ye.P. Seleznev, V.I. Ponomarenko, M.D. Prokhorov, D.A. Smirnov, T.V. Dikanev, I.V. Sysoev, A.S. Karavaev // Izv. VUZ. «AND». — 2002. Vol. 10. №3. —P. 137—158.

Научное издание

Сысоев Илья Вячеславович

РЕКОНСТРУКЦИЯ УРАВНЕНИЙ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ ПРИ НАЛИЧИИ СКРЫТЫХ ПЕРЕМЕННЫХ И ВНЕШНИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ

Автореферат В авторской редакции

Подписано в печать 12.03.2007. Формат 60x84 Vi6.

Бумага офсетная. Гарнитура Times New Roman. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,16. Уч.-изд. л. 1,31. Тираж 100 экз. Заказ № 131 С

Отпечатано с готового оригинал-макета

Типография Поволжского межрегионального учебного центра 410033, Саратов, ул. Международная, 34

Введение '

1 Реконструкция при наличии скрытых переменных

1.1 Введение' . . . . .'.

1.2 Методы оценки параметров при наличии скрытых переменных.

1.2.1 Метод начального условия.

1.2.2 Метод множественной стрельбы . . ------- . . . ----------.

1.3 Сравнительный анализ в численном эксперименте.

1.3.1 Методика сравнения.

1.3.2 Оценка параметров системы Лоренца.

1.3.3 Оценка влияния измерительного шума на результат реконструкции

1.3.4 Оптимальный выбор параметров алгоритма: количества фрагментов и их длины.

1.3.5 Преимущества модифицированного метода

1.3.6 Выбор оптимального количества разрывов.

1.3.7 Универсальность оптимального выбора числа подсегментов L при различном числе сегментов непрерывности v.

1.3.8 Реконструкция системы Рёсслера.

1.3.9 Подбор стартовых догадок для скрытых перемеш1ых.

1.4 Выводы.

2 Реконструкция систем под регулярным воздействием

2.1 Введение.

2.2 Методика реконструкции.

2.3 Численный эксперимент

2.3.1 Реконструкция при гладком периодическом воздействии.

2.3.2 Влияхше шума на результат реконструкции.

2.3.3 Реконструкция при треугольном периодическом воздействии

2.3.4 Реконструкция при воздействии с субгармошжами.

2.3.5 Реконструкция при квазипериодическом воздействии.

2.4 Выводы.

3 Восстановление внешнего воздействия методами работы со скрытыми переменными

3.1 Введение.

3.2 Методика реконструкции.

3.3 Численные примеры реконструкции.

3.3.1 Автономный режим периодический, воздействие хаотическое

3.3.2 Реконструкция по зашумлённым дашшм.

3.3.3 Автономный режим хаотический, воздействие хаотическое

3.3.4 Автономный режим хаотический, воздействие шумом.

3.3.5 Ситуация большого числа скрытых переменных

3.3.6 ' Реконструкция уравнений генератора с 1,5 степенями свободы

3.4 Возможные приложения метода

3.4.1 Скрытая передача и кодирование информации.

3.5 Выводы.

4.2 Способ определения характеристик нелинейных устройств .92

4.2.1 Выбор объекта и постановка эксперимента.93

4.2.2 . Выбор эквивалентного представления.94

4.2.3 Реконструкция в режиме малых сигналов.97

4.2.4 Реконструкция в режиме больших периодических сигналов. Зависимость ёмкости от .частоты воздействия.;. 99

4.2.5 Реконструкция в режиме больших периодических сигналов. Зави-' симость ёмкости от амплитуды воздействия.104

4.2.6 Использование метода множественной стрельбы при реконструкции характеристик диода.106

4.2.7 Учёт сопротивления базы.107

4.2.8 Разбраковка устройств.109

4.3 Реконструкция моделей голосовых связок.112

4.3.1 Механические модели голосовых связок.113

4.3.2 Исследование духмассовой модели .118

4.3.3 Реконструкция уравнений двухмассовой модели по её решениям . 121

4.4 Реконструкция модели нефрона.123

4.4.1 Уравнения модели нефрона .123

4.4.2 Реконструкция модели нефрона по модельным и экспериментальным реализациям.125

4.5 Выводы.130

Заключение 132

Благодарности 136

Литература 138

Введение Развитие концепции .динамического хаоса,-продемонстрировало; воз—■, можность описания! сложных, движений, с помощью простых нелинейных моделей и усилило интерес к методам моделирования по дискретным последовательностям экспериментальных данных (временным рядам). Построенные по рядам эмпирические модели интересны сами по себе, например для организации прогноза дальнейшего поведения, оценки адекватности модельных представлений, а также дополняют традиционные методы анализа сигналов такие, как спектральный Фурье и вейвлет анализ, построение авто- и взаимных корреляционных функций, функций взаимной информации и т.д., используются для оценки структуры фазовых портретов, бифуркационных диаграмм и особенностей пространства параметров.

Исторически в основе реконструкции1 лежит задача аппроксимации то. чек на плоскости (х, у) функцией у = f(x) [2, 3, 4, 5]. Но в настоящее время речь идёт об описании сложных, часто хаотических процессов, поэтому появляется необходимость построения по экспериментальным данным разностных уравнений (дискретных отображений — отображений последова-ния):

Уп+1 = f(yn), (1)

1 Реконструкция — термин, используемый в нелинейной динамике. В математической статистике принят другой термин — «идентификация систем»[1].

Рис. 1: два подхода к обработке экспериментальных временных рядов — непосредствашая обработка и обработка на основе построения модели. обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ): = hiVuVb-^t) = f2(yi,V2,-,yD,t) ^ fy = fD(Vl,V2,~.,VD,t) и- даже уравнений, в :.частных. производных [6] и пространственно распределённых систем'в виде решёток отображений [8]2. При этом основная идея остаётся неизменною — подгонка коэффициентов аппроксимирующих функций fi по точкам в многомерном фазовом пространстве {iji}, что по силам только современным высокопроизводительным компьютерам и требует специальных алгоритмов.

Реконструкция модельных уравнений служит средством решения значительного числа практически важных задач, среди которых:

• прогноз дальнейшего поведения с целью предсказания последствий или контроля и управления объектом;

• определение наличия и направленности (или даже структуры связей) между двумя системами или между подсистемами одной системы;

• классификация систем [10].

• измерение величин, недоступных напрямую (причины могут быть различны: несовершенство аппаратуры, риск повреждения объекта и др.) н];

• оценка адекватности модельных представлений, сравнение различных моделей;

• диагностика патологий, поломок или разбраковка устройств;

2До открытия детерминированного хаоса любое сложное поведение считалось реализацией некоторого случайного процесса, поэтому использовались простые модели, в структуру которых входили только линейные функции, в обязательном порядке содержащие случайную добавку. Таковы классические модели авторегрессии и скользящего среднего [9].

• скрытая (конфиденциальная) передача, кодирование и декодирование информации [12, 13];

Восстановленные по временным рядам модели используются в настоящее время в радиофизике [14], лазерной физике [15,16], биофизике и биологии (в частности, при изучении структуры и механизмов функционирования клетки.[17])j метеорологии [18,. 19},сейсмографии. [2.0],, экономике. [21г 22],, медицине и физиологии [23, 24, 25], астрофизике [26], и т.д. V

Развитие алгоритмов реконструкции долгое время шло по пути создания универсальных методик, рассчитанных на широкий класс, систем обладающих высокою степенью универсальности. К таковым относится, например, так, называемый стандартный подход [27], когда по скалярной наблюдаемой восстанавливаются уравнения в виде:

Л Ш (3) где уг, г — 1,.,D — динамические переменные, D — размерность модели, / (yi,y2, —iVd) ~ единственная неизвестная функция, представляемая обычно в виде полинома. Претензии таких моделей на общность теоретически обоснованы, поскольку в виде (3) может быть представлена почти любая система ОДУ (подробнее см. [28]) и любая непрерывная функция / в (3) может быть сколь угодно точно равномерно приближена алгебраическим полиномом (теорема Вейерштрасса). К тому же они требуют минимума дополнительной информации об объекте. Однако при их практическом применении возникают многочисленные и трудноразрешимые проблемы, главная причина которых — «проклятие размерности». Так принято называть проблемы, связанные повышением размерности модели: быстрый рост количества коэффициентов, недостаточная длина экспериментального ряда для восстановления пространства состояний, а при использовании последовательного дифференцирования, как в 3, также увеличение влияния шумов. Большое число коэффициентов разложения в ряд по выбранному базису приводит к росту вычислительных затрат, а главное — существенно снижает область сходимости используемых итерационных алгоритмов, так как подавляющее большинство их являются лишними. Существующие способы устранения лишних коэффициентов достаточно громоздки, так как связаны с многократным перебором, и всё равно позволяют решить эту задачу лишь частично. Важно также, что коэффициенты 3 не имеют понятного физического смысла и их сложно интерпретировать.

Альтернативою универсальным методам являются специализированные алгоритмы, ориентированные на некоторый достаточно узкий класс систем. Эти подходы, опираясь на априорную или дополнительную информацию, зачастую позволяют достигнуть успеха там, где применение универсальных алгоритмов оказывается бесперспективным.

Одною из распространённый ситуаций, требующих разработки специализированных алгоритмов необходимо, является случай так называемых «скрытых» переменных. Скрытыми называются такие (D — I) из общего числа D переменных модели (2), которые не могут быть измерены в принципе или полученные временные ряды этих переменных непригодны для моделирования, например, из-за высокой зашумлённости. Основная причина — несовершенство аппаратуры, а также риск разрушить объект (это особенно актуально для биологических систем). Такая ситуация часто встречается на практике, если модель записывается из первых принципов и стоит задача проверки её адекватности или оценки неизвестных параметров и нелинейных функций.

Основной принцип методов работы со скрытыми переменными был выдвинут достаточно давно и заключается в том, что начальные условия для скрытых переменных включаются в число неизвестных параметров3. Для этих начальных условий задаются стартовые догадки у}^ (ti),., {ti)A, задаются стартовые догадки для параметров cf, .Ср. Затем формулируется критерий, на основе которого стремятся достигнуть максимально возмож

3 Альтернативный подход, использующий явление хаотической синхронизации см. в [29].

4 Индексом s сверху будем далее обозначать стартовые догадки для соответствующих величин, индексом 0 — начальные условия. ной близости между траекториями наблюдаемых щ (U) и соответствующих им нескрытых модельных переменных, для чего используется один из итерационных методов глобальной оптимизации.

Применение описанного подхода напрямую5 для длинных хаотических рядов малоэффективно, поскольку высокая чувствительность траектории к.начальным^условиям-приводитк. тому,.что* задачу, глобальной, оптими-. зации сложно решить из-за большого количества локальных минимумов ■ вблизи глобального (см. [30]). Поэтому в [31] предложена модификация, состоящая в том, что для каждой переменной задаётся не одно, а сразу несколько — L начальных условий y°k,s (ti), y°k,s (tn+i) > yl's (t{L-i)n+\) разных участках временного ряда. Такой-модифицированный метод называется методом множественной стрельбы по аналогии с одноимённым методом решения краевых задач для ОДУ. В случае, если дополнительно на траекторию накладывается условие непрерывности (4) траектории («сшивания» фрагментов), алгоритм часто называют методом Бока.

У° fen+i) = У (tjn+u У° fe(n-iHi)) ,п = 1,., (L - 1) (4) где п — число точек в одном фрагменте (таким образом N = Ln), У (^'п+ьУ° (%n-i)+i)) — значение вектора состояния модели, полученного интегрированием уравнений с начальными условиями у0 . Получается задача условной минимизации. При произвольном выборе стартовых догадок для всех искомых величин траектория модели, как правило, состоит из нестыкующихся сегментов. Но в процессе работы итерационного метода сегменты всё лучше удовлетворяют условию (4), так что в итоге траектория модели оказывается непрерывной. При L = 1 алгоритм Бока превращается в метод начального условия. Условие (4) позволяет существенно сократить количество независимых неизвестных параметров модели, однако при достаточно длинных рядах оно приводит к тем же неприятностям, что и использование метода начального условия: найти глобальный минимум оказывается чрезвычайно сложно.

5Такой подход часто называют методом начального условия.

Таким образом, для методов множественной стрельбы, рассчитанных на реконструкцию при наличие скрытых переменных, остаётся существенным ограничение на длину используемого временного ряда при применении к хаотическим временным рядам. Нет никаких правил выбора количества фрагментов L, на которые делится ряд, а также нет указаний, каким образов' формировать стартовые "догадками:- для рядов ,' скрытых- перемен- -ных. Неизвестны критерии, по которым можно оценить шансы на успех/в ' частности, на сколько, хотя бы приблизительно, можно ошибиться в зада* нии стартовых догадок для искомых параметров по сравнению с их «истинными» значениями, чтобы остаться в области притяжения глобального минимума. Без. решения, этих проблем использование, методов работы со скрытыми переменными затруднительно, что обосновывает актуальность и практическую важность данной работы.

Другой практически важный класс объектов, для которых в диссертации разрабатываются специализированные методики, — неавтономные системы. Необходимость этого обусловлена тем, что, хотя неавтономную динамическую систему можно свести к виду (3), это ведёт росту размерности и сложности аппроксимирующей функции / (yi, У2,., Vd)- Поэтому неавтономность следует учитывать в структуре модели. Информация об этом может быть известна априорно, либо такое предположение можно сделать, анализируя сами временные ряды, например, по спектру, если в нём присутствуют один или несколько резких пиков.

Существуют несколько подходов к реконструкции неавтономных систем, Один из них предполагает возможность измерения рядов той же системы в автономном режиме, на основе которых восстанавливаются параметры модели, а затем уже по невтономным реализациям реконструируется само воздействие [32, 33, 34]. Преимущество такого подхода состоят в том, что на воздействие не накладываются никакие ограничения: оно может быть как регулярным, так и хаотическим или шумовым. Но доступность рядов автономной системы — существенное и трудновыполнимое на практике требование.

Если ряды автономной системы недоступны, в [35, 36] разработан подход, позволяющий учесть только гармоническое воздействие, хотя и при произвольном способе его внесения. Подход основан на введении в уравнения явной зависимости от времени и может быть расширен на случай всякого регулярного: периодического и квазипериодического воздействия, что сделано во второй главе. Актуальность такой модификации объясняется тем, что негармоническое, в частности, импульсное воздействие очень распространено на практике.

Недостатком развитого в [35, 36] подхода является необходимость явно задавать зависимость внешнего воздействия от времени, что исключает возможность применения-для 'любого нерегулярного сигнала: как хаотического детерминированного, так и случайного. Это важное ограничение в значительной степени снимает новый метод, предложенный в третьей главе диссертации. Согласно ему внешнее воздействие представляется как дополнительная скрытая переменная.

Актуальность работы определяется тем, что развиваемые и предлагаемые в ней методики предназначены для решения теоретических (расширение и уточнение имеющихся представлений об объектах природы) и прикладных (разработка методов косвенного измерения, прогноз дальнейшего поведения, диагностика патологий, построение систем приёма и передачи информации и др.) задач. Для этого требуется разработка специализированных алгоритмов, рассчитанных на определённые ситуации, из которых в работе выделены две: присутствие скрытых переменных и наличие внешнего воздействия. Существующие специальные методы имеют большое количество ограничений, кроме того общие рекомендации по их применению отсутствуют, что в значительной степени снижает эффективность.

Практическая важность работы определяется, тем, что в ней предложены алгоритмы реконструкции модельных уравнений, позволяющие решать практические задачи, недоступные решению другими методами. В частности, предложен новый подход к измерению эквивалентных характеристик радиофизических устройств, отличающийся тем, что позволяет проводить измерения непосредственно в интересующем нас режиме независимо от его сложности, в то время как традиционные методы ориентированы на измерения только в режимах постоянных, медленно меняющихся или низкоамплитудных гармонических сигналов.

Предложенные и модифицированные в диссертации методы работы со скрытыми переменными апробированы на примерах из биофизики. Так, рассматривается задача реконструкции двухмассовой модели голосовых связок человека и модели нефрона (функциональной единицы почки). Преследуется двойная: цель: во-первых, исследовать адекватность этих моделей опираясь на экспериментальные данные, во-вторых, научиться восстанавливать некоторые параметры этих моделей для конкретного организма (к настоящему времени известны только средние, характерные значения), что может быть использовано в целях нетравматической диагностики.

Целью диссертационной работы являются исследование эффективности существующих алгоритмов реконструкции динамических систем по временным рядам сложных, в том числе и хаотических, колебаний при наличии скрытых переменных и внешнего воздействия, их модернизация и применение для решения практически важных задач.

Для достижение поставленной цели были решены следующие задачи:

• проведена оценка работоспособности современных методов работы со скрытыми переменными, основанных на алгоритме множественной стрельбы, для чего требуется ввести объективные количественные критерии;

• усовершенствован метод Бока на случай длинных рядов, а также разработаны рекомендации на оптимальную длину используемого ряда, его способ деления и вид стартовых догадок для скрытых переменных;

• осуществлено расширение известных алгоритмов реконструкции неавтономных систем на случай произвольного регулярного (сложного периодического и квазипериодического), хаотического и шумового воздействия;

• разработан способ определения нелинейных характеристик радиотехнических устройств в реальном режиме эксплуатации;

• проведена реконструкция по экспериментальным данным различных моделей реальных биологических систем с целью проверки их адекватности и измерения практически важных параметров, рассматривались система регуляции давления в нефроне (функциональной единице почки) и процесс образования основного тона колебаний голосовыми связками человека.

Объекты исследования. Представленные в работе методы, как заимствованные, так и оригинальные тестируются на эталонных динамических системах, таких как неавтономный осциллятор Тоды [37, 38], система Лоренца [39], система Рёсслера [40], а также ставших уже классическими моделях радиотехнических генераторов хаоса с 1,5 и 2,5 степенями свободы [41, 42], рекомендуемых авторами для использования в системах связи на хаотической несущей. Метод реконструкции нелинейных характеристик радиофизических устройств тестируется на примере полупроводникового диода с р-n переходом типа КД202Р, от которого измеряются ряды тока через него и напряжения на нём при различных видах воздействия. В биологических приложениях используются модель нефрона [43] и различные модели голосовых связок человека [44, 45, 46].

На защиту выносятся следующие положения и результаты:

1. Модифицированный метод множественной стрельбы имеет больший радиус сходимости, чем оригинальный алгоритм Бока, если при его использовании делить тренировочный временной ряд на сегменты длиною порядка величины, обратной старшему ляпуновскому показателю.

2. Метод реконструкции дифференциальных уравнений неавтономных систем по скалярным хаотическим временным рядам, основанный на введении явной зависимости оператора эволюции от времени, работоспособен и при произвольных периодическом и квазипериодическом воздействиях.

3. Предложенный подход к восстановлению внешнего воздействия путём его перевода в разряд скрытых переменных не требует дополнительных измерений рядов автономной системы и предположений о характере воздействия, что открывает новые прикладные возможности.

4. Разработан и запатентован способ измерения характеристик нелинейных устройств, основанный на использовании методов реконструкции неавтономных систем и позволяющий проводить измерения в произвольном эксплуатационном режиме.

Достоверность полученных результатов и выводов подтверждается их воспроизводимостью в численном, радиофизическом и биофизическом эксперименте, а также тем, что они опираются на теоретические результаты, полученные в самой работе, и базовые результаты нелинейной динамики и радиофизики.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Известный ранее способ реконструкции неавтономных систем распространён на случай произвольного регулярного способа воздействия. На примере эталонной динамической системы — неавтономного осциллятора Тоды под воздействием различных форм и спектра — показано, что в подавляющем типичном случае использование данного метода может привести к успеху, в то время как применение универсальных методик неэффективно.

2. С помощью введённого количественного критерия сформулированы рекомендации по использованию методов множественной стрельбы реконструкции динамических систем при наличии скрытых переменных: условия на оптимальный выбор длины тренировочного ряда, способ его деления на сегменты и подсегменты,способ построения стартовых догадок для скрытых переменных.

3. Проведено сравнение работоспособности различных реализаций метода множественной стрельбы. На численных примерах систем Лоренца и, Рёсслера показано,.что. исходный алгоритм Бока уступает его модификации, заключающейся в допуске разрывов траектории модели при . , сохранении единых значений параметров.

4. С использованием методов реконструкции неавтономных систем изобретён способ измерения характеристик нелинейных устройств, отличающийся от уже существующих TeMj что позволяет измерять-такие характеристики в произвольном режиме эксплуатации, в том числе и в сложных нелинейных режимах. Кроме того, способ позволяет получать характеристики, недоступные прямому измерению.

5. Предложен принципиально новый подход к реконструкции нелинейных систем под произвольным (в том числе хаотическим и шумовым) воздействием в случае, когда структура уравнений системы хорошо известна. Подход основывается на представлении внешнего воздействия в виде дополнительной скрытой переменной, написании для этой переменной собственного эволюционного уравнения и реконструкции полученной модифицированной системы методами работы со скрытыми переменными.

Теоретическая и практическая значимость результатов.

• Результаты данной работы по модернизации метода реконструкции неавтономных систем обобщают ранее полученные на случай произвольного регулярного воздействия. Это расширяет спектр объектов применения данного метода.

• Исследование эффективности и пределов применимости методов множественной стрельбы с помощью впервые введённых количественных критериев подтверждает ранее высказанное мнение об их высокой работоспособности и предлагает общие рекомендации по выбору некоторых параметров моделирования: длины используемого временного ряда, количества его сегментов, способу подбора стартовых догадок для скрытых переменных. Также показано, что мало популярный модифицированный' метод множественной стрельбы,1 допускающий1 раз-, рывы траектории модели, более эффективен, чем оригинальный алго-' ритм Бока, причём его преимущества проявляются для более длинных временных'рядов. Это позволит в дальнейшем при моделировании сократить и упростить этап подбора параметров модели.

• Предложенный новый подход к реконструкции неавтономных систем под произвольным внешним воздействием имеет целый ряд возможных приложений, среди которых можно выделить следующие. Косвенное измерение величин, которые невозможно измерить непосредственно: используя в качестве датчика объект, для которого существует хорошая модель и на который действует измеряемая величина, последняя может быть восстановлена как скрытая переменная. Определение наличия связи (воздействия): если важно выяснить, влияет ли на исследуемую систему некоторая другая система, и примерно известно в какую часть исследуемой системы это воздействие может подаваться. Построение системы скрытой передачи или кодирования информации.

• На основе метода реконструкции неавтономных систем разработан способ измерения нелинейных характеристик устройств, позволяющий измерять величины, недоступные прямому измерению, в произвольном режиме эксплуатации исследуемого устройства. Способ опробован на примере реконструкции вольтамперных и вольтфарадных характеристик полупроводникового диода с р-n переходом. Данный способ позволяет проводить разбраковку нелинейных устройств на основе произвольно выбранного критерия, что может быть использовано, в частности, при построении систем телекоммуникаций, где важно с высокой точностью соблюсти идентичность компонентов системы приёмник-передатчик.

Личный вклад соискателя. Основные результаты диссертации получены лично автором. В совместных работах автором выполнены все компьютерные расчёты, включая обработку экспериментальных данных. Постановка задач, разработка методов их решения, выбор, объектов, объясне-. ние и интерпретация результатов были осуществлены совместно с руководителем и другими соавторами.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации были доложены, на. следующих конференциях:

• International Symposium Topical problems of nonlinear wave physics (Nizhny Novgorod, 2003).

• The second international conference on circuits and systems for communication (Moscow, 2004).

• 6th International School on Chaotic Oscillations and Pattern Formation (Saratov, 2001).

• VII Международная школа-конференция «Хаотические автоколебания и образование структур» (Саратов, 2004).

• XII и XIII Всероссийские школы-конференции «Нелинейные волны — 2004» и «Нелинейные волны — 2006» (Нижний Новгород).

• Международная научно-техническая конференция «Радиотехника и связь» (Саратов, 2005).

• VI и VII Всероссийские научные конференции «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, 2002, 2005).

• Межвузовская конференция «Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ» (Саратов, 2001).

• I Конференция молодых учёных «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика» (Саратов, 2006).

• научные школы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых» (Саратов, 2000-2006).

Также результаты неоднократно обсуждались на научных семинарах:

• кафедры динамического моделирования и биомедицинской инженерии ;;; ФНиБМТ.СГУ, . ).,,/>

• кафедры электроники, колебаний и волн ФНП СГУ (объединённые семинары с участием сотрудников кафедры нелинейной физики ФНП СГУ и сотрудников отделения физики нелинейных систем НИИ ЕН СГУ).

Исследования были поддержаны Российским фондом фундаментальных исследований (гранты №02-02-17578, №05-02-16305), Фондом некоммерческих программ «Династия» и Американским фондом гражданских исследований и развития для государств бывшего Советского Союза (CRDF REC-006).

По теме диссертации опубликованы 22 работы: 4 статьи в реферируемых журналах, входящих в перечень рекомендованных ВАК, 2 в тематических сборниках статей, 16 статей и тезисов в сборниках трудов конференций.

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы. В ней содержится 101 страница текста, 51 рисунок, библиография из 110 наименований. Общий объём диссертации 150 страниц.

4.5 Выводы

Результаты приложения методов реконструкции по временным рядам к задаче измерения нелинейных характеристик полупроводниковых устройств сводятся к следующему.

Предложен новый способ измерения нелинейных характеристик полупроводниковых устройств, основанный на реконструкции уравнений Кирхгофа по экспериментальным реализациям тока и напряжения и позволяющий проводить измерения в условиях последующей эксплуатации. Он апробирован на задаче измерения вольтфарадных и вольтамперных характеристик полупроводникового диода с р-п переходом. Результаты, полученные предложенным способом, сопоставлены с показаниями эталонных приборов — полученная разница укладывается в погрешность приборов. Показано также, что предложенный способ позволяет проводить измерения нелинейных характеристик в сложных режимах, когда эталонные приборы и другие известные методы не работают. При этом результат измерения существенно зависит от режима эксплуатации.

Рассмотрены различные способы аппроксимации искомых характеристик: в специальном виде (исходя из физических соображений), полиномиальная, кусочно-полиномиальная и локально-линейная. Показано, что результат измерения зависит от способа аппроксимации, выбор аппроксимирующих функций зависит от конкретной задачи.

Продемонстрирована возможность приложения способа для разбраковки устройств по на основании интересующей нелинейной характеристики.

Несмотря на сложность моделей голосовых связок: большое количество переменных, параметров и сложный тип нелинейностей, их реконструкция по временным рядам возможна даже в случае, когда часть переменных являются скрытыми. Однако при этом нужно существенно ограничить число неизвестных параметров тремя-четырьмя наиболее важными, зафиксировав остальные из физиологических соображений, а также специально подобрать стартовые догадки для скрытых переменных, что требует дополнительного изучения реконструируемой системы. Также показано, что не всякая комбинация переменных модели годится в качестве измерительной функции: например, использование рядов давления Р\ на выходе из голосовой щели не приводит к успеху, поскольку сложная зависимость Pi от переменных 2/1,2 и Ug препятствует сходимости алгоритма.

С помощью метода множественной стрельбы в принципе возможно оценить параметры модели нефрона, предложенной в [43] по экспериментальным данным, если зафиксировать большинство из них равными типичным значениям. Модель успешно восстановлена по регулярному ряду и демонстрировала периодический аттрактор. Однако несовершенство модели и недостаток экспериментальных данных препятствуют успешному решению этой задачи в целом: не удаётся реконструкция по хаотическим рядам, а при по регулярным рядам возможно оценить только небольшое количество параметров модели (1, реже 2).

По результатам представленных в четвёртой главе исследований получен патент на изобретение [99], а также опубликованы работы [100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108].

Заключение

В первой главе на основании введённого количественного критерия проведено сравнение работоспособности различных реализаций метода множественной стрельбы. Показано, что исходный алгоритм Бока уступает модифицированному методу, отличающемуся допуском разрывов в модельной траектории, поскольку последний позволяет работать с более длинными рядами, увеличивая точность оценок и имеет больший радиус сходимости.

Продемонстрирована степень влияния на результат реконструкции длины используемого ряда, количества его сегментов, выбора наблюдаемой и способа задания стартовых догадок для скрытых переменных. Показано, что шансы на успех оценки значений параметров возрастают с увеличением длины ряда, если одновременно увеличивается число допустимых разрывов траектории модели таким образом, чтобы длина одного сегмента составляла примерно одно-два ляпуновских времени. Также отмечено, что стартовые догадки для скрытых переменных необходимо выбирать основываясь на свойствах объекта, учитывая наиболее общие характеристики аттрактора. Влияние шума (вплоть до 0.2 от уровня сигнала) на процесс моделирования несущественно, особенно для модифицированного метода.

Результаты проведённых во второй главе численных экспериментов по реконструкции динамических систем при различных видах воздействия позволяют сделать следующие выводы. Стандартный алгоритм не позволяет построить адекватную модель ни при каком из рассмотренных видов воздействия даже в отсутствие шумов, тогда как модернизированная структура, где воздействие учитывается введением в уравнения явной функции времени в виде тригонометрического полинома при достаточном количестве учтённых гармоник обеспечивает хорошее качество реконструкции. При наличии измерительных шумов получение оптимальной модели требует значительно большей длины тренировочного ряда.

Усложнение формы воздействия заставляет увеличивать число членов тригонометрического полинома, но это остаётся без негативных последствий для качества модели. Присутствие субгармоник во внешнем воздействии не представляет никаких новых трудностей, если в качестве базовой частоты принять наименьшую из частот субгармоник. Чтобы найти эту частоту необходимо перебирать стартовые догадки для периода воздействия, в качестве которых следует в первую очередь брать величины, кратные периоду, соответствующему основному пику в спектре наблюдаемой.

При квазипериодическом воздействии модифицированная структура сохраняет работоспособность, если использовать несколько тригонометрических полиномов по числу несоизмеримых частот в спектре воздействия. Основная сложность при этом состоит в том, что периоды двух высоких гармоник из разных полиномов на некотором этапе итерационной процедуры могут оказаться столь близкими, что это приведёт к вырожденной или очень плохо обусловленной матрице при решении задачи оценки линейно входящих параметров. Поэтому приходится уменьшать числа членов ряда и очень точно задавать начальные догадки.

В третьей главе предложен метод восстановления произвольного гладкого, в том числе хаотического и шумового воздействия на динамическую систему. Метод основан на представлении внешнего воздействия в виде дополнительной переменной модели, составлении для этой переменной эволюционного уравнения и использовании одного из алгоритмов работы со скрытыми переменными — метода множественной стрельбы. Предложенный подход позволяет оценить параметры системы и получить сигнал внешнего воздействия, если известна структура объекта моделирования и наблюдаются некоторые (не обязательно все) переменные. В последнем случае восстанавливаются также ряды недостающих переменных. Обязательной является доступность для наблюдения только той переменной, в уравнение для которой входит внешнее воздействие.

Подход апробирован на примерах реконструкции эталонных систем моделей при различной собственной динамике: как периодической, так и хаотической, а также различных видах воздействия: хаотическом (сигнал детерминированной системы) и шумовом (реализация случайного процесса). Показано, что подход устойчив к аддитивному шуму амплитудою до 10%, если при дифференцировании использовать сглаживающий полином, а полученное воздействие дополнительно фильтровать.

Обсуждаются возможные применения предложенного метода для решения ряда задач, таких как: косвенное измерение величин, недоступных прямому измерению, определение наличия связи между системами или внешнего воздействия на изучаемую систему, скрытая передача или кодирование информации либо приём сигнала в системах связи на хаотической несущей. Последнее приложение демонстрируется на эталонном примере.

В четвёртой главе изложены результаты приложений развитых в работе алгоритмов. А именно:

• Предложен новый способ измерения нелинейных характеристик полупроводниковых устройств, основанный на реконструкции уравнений Кирхгофа по экспериментальным реализациям тока и напряжения и позволяющий проводить измерения в условиях последующей эксплуатации. Он апробирован на задаче измерения вольтфарадных и вольт-амперных характеристик полупроводникового диода с р-n переходом. Рассмотрены различные способы аппроксимации искомых характеристик и показано, что результат измерения зависит от способа аппроксимации, выбор аппроксимирующих функций зависит от конкретной задачи. Продемонстрирована возможность приложения способа для разбраковки устройств по основании интересующей нелинейной характеристике.

• Показано, что реконструкция по временным рядам моделей голосовых связок в принципе возможна даже в случае, когда часть переменных являются скрытыми. Однако при этом нужно существенно ограничить число неизвестных параметров тремя-четырьмя наиболее важными, зафиксировав остальные из физиологических соображений, а также специально подобрать стартовые догадки для скрытых переменных, что требует дополнительного изучения реконструируемой системы. Также показано, что не всякая комбинация переменных модели годится в качестве измерительной функции.

• Также продемонстрировано, что с помощью метода множественной стрельбы в принципе возможно оценить параметры модели нефрона, предложенной в [43] по экспериментальным данным, если зафиксировать большинство из них равными типичным значениям. Модель успешно восстановлена по регулярному ряду и демонстрировала периодический аттрактор. Однако несовершенство модели и недостаток экспериментальных данных препятствуют успешному решению этой задачи в целом: не удаётся реконструкция по хаотическим рядам, а при по регулярным рядам возможно оценить только небольшое количество параметров модели.

Полученные в диссертационной работе результаты раскрывают возможности методов реконструкции по экспериментальным временным рядам применительно к достаточно широким классам объектов: неавтономным системам и при наличии скрытых переменных, предложенные новые подходы позволяют расширить область применения, а сформулированные в результате исследований рекомендации — повысить шансы на успех в приложении к реальным задачам, что подтверждается рядом приложений, проделанных в рамках работы.

Благодарности

Глубоко и искренне благодарю своего руководителя профессора Бориса Петровича Безручко за неослабевающее внимание к моей работе, постоянную поддержку и содействие на протяжении всех семи лет сотрудничества, а также за помощь в написании и оформлении диссертации. Благодарю к.ф.-м.н., старшего научного сотрудника СФ ИРЭ РАН Д.А. Смирнова, своего соавтора по многим вошедшим в диссертацию исследованиям, а также старшего научного сотрудника СФ ИРЭ РАН, д.ф.-м.н., доцента СГУ Е.П. Селезнёва, оказавшего неоценимую помощь при работе над приложением изложенных в работе методов к задачам радиотехнических измерений. Без их участия работа не состоялась бы в нынешнем виде. Также благодарю к.ф.-м.н., старших научных сотрудников ИРЭ РАН В.И. По-номаренко и М.Д. Прохорова, ассистентов СГУ к.ф.-м.н. Т.В. Диканева и к.ф.-м.н. М.Б. Бодрова, аспирантов СГУ А.С. Караваева и A.M. Заха-ревича за участие в обсуждении результатов исследований на семинарах лаборатории СФ-6, помощь в текущей повседневной работе, а также как соавторов некоторых работ.

Особую признательность хочется выразить чл.-корр., д.ф.-м.н., профессору Д.И. Трубецкову, благодаря которому я заинтересовался миром нелинейной динамики и на чьей кафедре я имел честь работать на протяжении обучения в аспирантуре.

Работы по теме диссертации были поддержаны Российским фондом фундаментальных исследований (гранты №02-02-15578 и №05-02-16305), Американским фондом гражданских исследований и развития для государств бывшего Советского Союза — CRDF (грант REC-006), Фондом некоммерческих программ «Династия» (грант 245.622) и Министерством образования РФ (грант «Оптимизация структуры модельных уравнений при эмпирическом динамическом моделировании нелинейных систем», 2003-2004 гг.).

1. Льюнг. Идентификация систем. Теория для пользователей. — М.: Наука, 1991. - 432 с.

2. Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д. Элементы прикладной математики. — М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1972. 592 с.

3. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. — М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1976. — 248 с.

4. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессия. — М.: Финансы и статистика, 1981. — 302 с.

5. Г.И. Марчук. Методы вычислительной математики: Учеб. пособие. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — 608 с.

6. U. Parlitz and G. Mayer-Kress. Predicting low-dimensional spatiotemporal dynamics using discrete wavelet transforms // Phys. Rev. E, Vol. 51 (4), pp. R2709-R2711,1995.

7. Bar M., Hegger R., and Kantz H. Fitting partial differential equations to space-time dynamics // Phys. Rev. E, 1999, V. 59, No. 1. P. 337-343.

8. Ulrich Parlitz and Christian Merkwirth. Prediction of Spatiotemporal Time Series Based on Reconstructed Local States // Phys. Rev. Lett. Vol. 84, No 9, 2000. P. 1890-1893.

9. Бокс Дж., Дженкинс Т. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. Часть 1. М.: Мир, 1974. — 242 с.

10. Kadtke J. Classification of highly noisy signals using global dynamical models, Phys. Lett. A, 1995, V. 203. P. 196-202.

11. Hegger R., Kantz H., Schmuser F., et al. Dynamical properties of a ferroelectric capacitors observed through nonlinear time series analysis // Chaos. 1998. V. 8. P. 727-754.

12. U. Parlitz, L. Kocarev, T. Stojanovski, and H. Preckel. Encoding messages using chaotic synchronization // Phys. Rev. E, Vol. 53, No 5, P. 4351-4361.

13. Аиищенко B.C., Павлов A.H., Янсон Н.Б. Реконструкция динамических систем в приложении к решению задачи защиты информации // ЖТФ, 1998.

14. Прохоров М.Д. , Смирнов Д.А. Эмпирическая дискретная модель колеба-тельного контура с диодом // Радиотехника и электроника, 1996, Т. 41, № 11, С. 1340-1343.

15. W. Horbelt and J. Timmer, M. J. Bunner, R. Meucci and M. Ciofini. Identifying physical properties of a C02 laser by dynamical modeling of measured time series. Phys. Rev. E, 2001, vol.64, 016222.

16. Swameye I., Muller T.G., Timmer J., Sandra O., and Klingmuller U. Identification of nucleocytoplasmic cycling as a remote sensor in cellular signaling by databased modeling. // Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 2003, 100, 1028-1033.

17. Монин А.С., Питербарг Л.И. О предсказуемости погоды и климата // Пределы предсказуемости, под ред. Кравцова Ю.А. — М.: ЦентрКом, 1997. С. 12-39.

18. Keller C.F. Climate, modeling, and predictability // Physica D, 1999, V. 133. P. 296-308.

19. Садовский M.A., Писаренко В.Ф. О прогнозе временных рядов // Пределы предсказуемости, под ред. Кравцова Ю.А., М.: ЦентрКом, 1997. С. 158-169.

20. Lequarre J.Y. Foreign currency dealing: a brief introduction (data set C) //in Time Series Prediction: Forecasting the Future and Understanding the Past, SFI Studies in the Science of Complexity, Proceedings Vol. XV, Addison-Wesley, 1993. P. 131-137.

21. Cecen A.A. and Erkal C. Distinguishing between stochastic and deterministic behavior in high frequency foreign exchange rate returns: Can non-linear dynamics help forecasting? // Int. J. Forecasting, 1996, V. 12. P.465-473.

22. Palus M. Nonlinearity in normal human EEG: Cycles, temporal asymmetry, non-stationarity and randomness, not chaos // Biol. Cybernetics, 1995, V.75, No. 5. P. 389-396.

23. Timmer J., Haussler S., Lauk M., and Lucking C.-H. Pathological tremor: deterministic chaos or nonlinear stochastic oscillators? // Chaos, 2000, V. 10, No. 1. P. 278-288.

24. Gouesbet G. and Letellier C. Global vector-field approximation by using a multivariate polynomial approximation on nets. Phys. Rev. E, 1994, Vol. 49, P. 4955-4972.

25. Sauer Т., Yorke J., Casdgli M., "Embedology", Journal of Statistical Physics, 1991. Vol. 65, № 3-4. P. 579-616.

26. U. Parlitz. Estimating Model Parameters from Time Series by Autosynchronization // Phys. Rev. Lett. Vol. 76, No 8, 1996. P. 12321235.

27. Baake E., Baake M., Bock H.G., and Briggs K.M. Fitting ordinary differential equations to chaotic data // Phys. Rev. A, 1992, V. 45, No. 8, P. 5524-5529.

28. H. Bock, in: K. Ebert, P. Deuflhard W. Jager (Eds.), Modelling of Chemical Reaction Systems, Springer Berlin, 1981 vol. 18, Chap. 8, pp. 102-125.

29. Д.А. Грибков, В.В. Грибкова, Ю.А. Кравцов и др. // Радиотехн. и электроника. 1994. 39, №2, С. 231.

30. Д.А. Грибков, В.В. Грибкова, Ю.И. Кузнецов. Восстановление внешнего воздействия по реализации одной переменной автостохастической системы // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 1995. 36, №1, С. 76-78.

31. О. L. Anosov, В. Hensel, S. Berczynski, Yu. A. Kravtsov. Detection threshold of the control parameters modulation in a noisy chaotic map (accepted for publication in Int. J. Bifurcation and Chaos), 2007, 17 (5), in press.

32. Безручко Б.П. , Селезнев Е.П., Смирнов Д.А. Реконструкция уравнений неавтономного нелинейного осциллятора по временному ряду: модели, эксперимент // Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 1999, Т. 7, № 1, С. 49-67.

33. Bezruchko В.P. and Smirnov D.A. Constructing of nonautonomous differential equations from experimental time series, Phys. Rev. E, 2000, Vol. 63, 016207.

34. Тода M. Теория нелинейных решёток. — M.: Мир, 1984. — 264 с.

35. Kurz Th., Lauterborn W. Bifurcation structure of the Toda oscillator.// Phys.Rev.A. 1988. Vol.37, №3. - P.1029-1031.

36. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow // J. of the Atmospheric Sciences, 1963, V. 20. P. 130-141.

37. Rossler O.E. An equation for continuous chaos // Phys. Lett., 1976, V. 57A, No. 5. P. 397-398.

38. Дмитриев A.C., Кислов В.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. — М.: Наука, 1989. 278 с.

39. Дмитриев А.С., Панас А.И. Динамический хаос: новые носители информации для систем связи. — М.: Издательство Физико-математической литературы, 2002. — 252 с.

40. J. Flanagan and L. Landgraf, Self-oscillating source for vocal-tract synthesizers, IEEE Trans. On Audio and Eletroacoustics 16 (1968), 5764.

41. K. Ishizaka and J. L. Flanagan, Synthesis of voiced sounds from a two-mass model of the vocal cords, Bell. Syst. Techn. J., 1233-1268, 1972.

42. Steineke, I., Herzel, H., 1995. Bifurcations in an asymmetric vocal fold model. J. Acoust. Soc. Am. 97, 1571-78.

43. Н.Г. Макаренко. Эмбедология и нейропрогноз // Лекции по нейроин-форматике, М.: МИФИ, 2003, 2-67.

44. Timmer J., Rust Н., Horbelt W., and Voss H. Parametric, nonparametric and parametric modelling of a chaotic circuit time series. Phys. Lett. A, 274:123-134, 2000.

45. Tokuda I., Parlitz U., Illing L., Kennel M. and Abarbanel H.D.I. Parameter estimation for neurons // Experimental Chaos, Proceedings of the 7th Experimental Chaos Conference, San Diego, USA, 2002.

46. V.F. Pisarenko, D. Sornette, Statistical methods of parameter estimation for deterministically chaotic time series. Phys. Rev. E, 2004. V. 69. 036122.

47. Horbelt W. Maximum likelihood estimation in dynamical systems: PhD thesis, University of Freiburg, 2001. http://webber.physik.uni-freiburg.de/~horbelt/diss/.

48. T. Stojanovski, L. Kocarev, and U. Parlitz. A simle method to reveal the parameters of the Lorenz system // Int. Jour. Biff. Chaos, Vol. 6, No 12B, 1996. P. 2645-2652.

49. U. Parlitz, L. Junge, and L. Kocarev. Synchronization-based parameter estimation from time series // Phys. Rev. E, Vol. 54, No 6, 1996. P. 62536259.

50. D. Huang and R. Guo. Identifying parameter by identical synchronization between different systems // Chaos, Vol. 14, No 1, 2004. P. 152-159.

51. McSharry P.E. and Smith L.A. Better Nonlinear Models from Noisy Data: Attractors with Maximum Likelihood, Phys. Rev. Lett., 1999, vol. 83, P. 4285.

52. W.H. Press, S.A. Teukolsky, W.T. Vetterling and B.P. Flannery, Numerical Recipes (Cambridge, Cambridge University Press, 1992).

53. Хаслер М. Электрические цепи с хаотическим поведением // ТИИЭР, 1987, Т. 75, В. 8. С. 40-55.

54. Безручко Б.П., Селезнев Е.П. Сложная динамика возбуждаемого осциллятора с кусочно-линейной характеристикой // Письма в ЖТФ, 1994, Т. 20, В. 19. С. 75-79.

55. Gouesbet G. and Maquet J. Construction of phenomenological models from numerical scalar time series // Physica D, 1992, V. 58, P. 202-215.

56. Павлов А.Н., Янсон Н.Б. Применение методики реконструкции математической модели к электрокардиограмме // Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 1997, Т. 5, № 1. С. 93-108.

57. Cremers J. and Hubler A. Construction of differential equations from experimental data // Z. Naturforschung A, 1987, V. 42. P. 797-802.

58. Takens F. Detecting strange attractors in turbulence //in Dynamical Systems and Turbulence, Warwick, 1980, eds. D.Rang and L.S.Young, Lecture Notes in Mathematics, 1981, V. 898. P. 366-381.

59. Пасынков В.В., Чиркин Jl.К., Шинков А.Д. Полупроводниковые приборы: Учебник для вузов. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Высш. Школа, 1981. 431 е., ил.

60. Усанов Д.А., Скрипаль А.В. Физика работы полупроводниковых приборов в схемах СВЧ. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1999. — 376 е.: ил.

61. И.П. Степаненко. Основы микроэлектроники. — М.: Лаборатория базовых знаний, 2000. — 488 с.

62. Патент на изобретение №94038819/09. Способ измерения параметров полного сопротивления и устройство для его осуществления. Зегшн А.Ю., Мокшанцев В.П., Петров Е.А., МПК G 01 R 27/02, 31/27.

63. Патент на изобретение №2000112434/09. Способ определения параметров двухполюсников. Сафаров М. Р., Сарваров Л. В., Коловертнов Ю. Д., Коловертнов Г. Ю., МПК G 01 R 27/02,26.

64. Патент на изобретение №93005722/10. Способ измерения комплексных параметров электрических цепей. Абрамзон Г.В., Каганов З.Г., Клейман А.Ю., МПК G 01 R 27/02.

65. J. W. van den Berg, J. Т. Zantema, and P. Doornenbal, Jr., On the air resistance and the Bernoulli effect of the human larynx, J. Acoust. Soc. Am., Vol. 29, 626-631, 1957.

66. J. L. Flanagan, K. Ishizaka, K. L. Shipley. Synthesis of speech from a dynamical model of the vocal cords and vocal tract, J. Acoust. Soc. Am., Vol. 54 No 3, 486-503, 1975.

67. J. C. Lucero. A theoretical study of the hysteresis phenomenon at vocal fold oscillation onset-offset, J. Acoust. Soc. Am. Vol. 105, 423-431, 1999.

68. I. R. Titze. The physics of small-amplitude oscillation of the vocal folds, J. Acoust. Soc. Am. Vol. 83, 1536-1552, 1988.

69. Ланда П.С., Руденко О.В. О двух механизмах генерации звука // Акустический журнал, т. XXXV, вып. 5, 855-862, 1989.

70. M. A. Trevisan, М. С. Eguia, and G. В Mindlin, Nonlinear aspects of analysis and synthesis of speech time series data, Phys. Rev. E 63 (2001), 026216.

71. J.C. Lucero. Dynamics of the two-mass model of the vocal folds: Equilibria, bifurcations, and oscillation region. J. Acoust. Soc. Am. 94, 3104-3111, 1993.

72. H. Herzel and C. Knudsen, Bifurcation in a vocal fold model, Nonlinear Dyn. 7 (1995), 53-64.

73. J. J. Jiang, Y. Zhang, and J. Stern, Modeling of chaotic vibrations in symmetric vocal folds, J. Acoust. Soc. Am. Vol. 110 (2001), 2120-2128.

74. Koizumi Т., Taniguichi S., and Hiromitsu S. Two-mass models of the vocal cords for natural sounding voice synthesis. J. Acoust. Soc. Am., Vol. 82, 1179-1192, 1987.

75. В. H. Story and I. R. Titze, Voice simulation with a bodycover model of the vocal folds. J. Acoust. Soc. Am., Vol. 97,1249-1260, 1995.

76. I. R. Titze. Regulating glottal air flow in phonation: Application of the maximum power transfer theorem to a low dimensional phonation model. J. Acoust. Soc. Am., Ill, 367-376, 2002.

77. Wong D., Ito M.R., Cox N.B., and Titze I.R. Observation of perturbations in a lumped-element model of the vocal folds with application to some pathological cases. J. Acoust. Soc. Am., Vol. 89, 383-394, 1991.

78. Boris P. Bezruchko, Dmitry A. Smirnov and Ilya V. Sysoev. Identification of chaotic systems with hidden variables (modified Bock's algorithm) // Chaos, Solitons к Fractals Vol. 29 (2006). P. 82-90.

79. Б.П. Безручко, Д.А. Смирнов, И.В. Сысоев. Реконструкция при наличии скрытых переменных: модифицированный алгоритм Бока // Изв. ВУЗов, «ПНД», т. 12, № 6, 2004. С. 93-104.

80. И.В. Сысоев, Д.А. Смирнов, Б.П. Безручко. Реконструкция при наличии скрытых переменных (модифицированный алгоритм Бока) // Труды VII Всероссийской научной конференции «Нелинейные колебания механических систем», Н. Новгород, 2005. С. 204-206.

81. Д.А. Смирнов, И.В. Сысоев, Е.П. Селезнёв, Б.П. Безручко. Реконструкция моделей неавтономных систем с дискретным спектром воздействия // Письма в ЖТФ, 2003, т. 29, вып. 19. С 69-76.

82. В.P. Bezruchko, Ye.P. Seleznev, V.I. Ponomarenko, M.D. Prokhorov, D.A. Smirnov, T.V. Dikanev, I.V. Sysoev, A.S. Karavaev. Special Approaches to Global Reconstruction of Equations from Time Series // Izv. VUZ. "AND", Vol. 10, №3, 2002. P. 137-158.

83. Безручко Б.П., Смирнов Д.А., Сысоев И.В. Реконструкция уравнений регулярно возбуждаемых динамических систем по временному ряду // Тез. докл. «Нелинейные колебания механических систем: VI научная конференция», Нижний Новгород, 2002. С. 22-23.

84. Сысоев И.В. Моделирование неавтономных систем по временному ряду // Сборник материалов научной школы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых — 2001», Саратов, Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2001. С. 98-101.

85. И.В. Сысоев. Метод реконструкции неавтономных систем под произвольным гладким воздействием и его возможное применение // Материалы I конференции молодых учёных «Наноэлектроника, нанофо-тоника и нелинейная физика», Саратов, 2006, — С. 50-51.

86. И.В. Сысоев. Метод реконструкции неавтономных систем под произвольным гладким воздействием и его возможное применение // Тезисы II конференции молодых учёных ИРЭ РАН, Москва, 2006 (принято к печати).

87. И.В. Сысоев. Подход к реконструкции систем под гладким хаотическим и шумовым воздействием // Сборник материалов научной школы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых — 2003», Саратов, Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2006 (принято к печати).

88. Патент на изобретение №2004115469/28(016733). Способ определения характеристик нелинейных устройств. Безручко Б.П., Селезнёв Е.П., Смирнов Д.А., Сысоев И.В., МПК 7 G 01 R 27/08, 31/27.

89. Сысоев И.В. Применение алгоритма множественной стрельбы для эмпирического моделирования динамики нефрона // Сборник материалов научной школы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых — 2002», Саратов, Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2002. С. 4649.

90. И.В. Сысоев, А.С. Ульянов, О.В. Мареев, Б.П. Безручко. Реконструкция моделей голосовых связок // Сборник материалов XIII Всероссийской школы-конференции «Нелинейные волны — 2006», Н. Новгород, 2006. С. 151-152.

91. Сысоев И.В. Реконструкция уравнений модели голосовызх связок человека // Сборник материалов научной школы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых — 2005», Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2005. С. 191-194.

92. Сысоев И.В. Реконструкция модельных отображений по хаотическим временным рядам // Материалы межвузовской конференции «Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ», Саратов, 2001. С. 150-151.

93. Сысоев И.В. Виды модельных отображений и их описательные возможности // Сборник материалов научной школы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых — 2000», Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2000. С. 127-130.