Реконструкция уравнений динамики и диагностика взаимодействия нелинейных колебательных систем по временным рядам тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

На правах рукописи

СМИРНОВ Дмитрий Алексеевич

РЕКОНСТРУКЦИЯ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ

И ДИАГНОСТИКА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ ПО ВРЕМЕННЫМ РЯДАМ

01.04.03,- Радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

1 о ИЮН 2010

Саратов -2010

004603815

Работа выполнена в Саратовском филиале Института радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН и в Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского • •

. Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор

Безручко Борис Петрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Бутковский Олег Ярославович, доктор физико-математических наук, профессор Кузнецов Сергей Петрович, доетор физико-математических наук Осипов Григорий Владимирович

Ведущая организация: Институт прикладной физики РАН

' Защита диссертации Состоится 23 сентября 2010 г. в 1530 на заседании дис-' сертационного совета Д 212.243.01 в Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского (410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского.

Автореферат разослан № мая 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета:

В.М. Аникин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. За почти вековую историю своего развития радиофизика и ее идейная база - теория колебаний - постоянно расширяли круг объектов исследования и приложений своих методов. Если сначала речь шла о способах генерации и преобразования регулярных сигналов для радиосвязи и локации, то в последние десятилетия в центре внимания находятся сложные и хаотические сигналы, нелинейные колебательные процессы в системах различной природы.1 Модели и методы радиофизики активно используются в различных областях - от физики до биологии, медицины и наук о Земле.

Отличительной чертой современного периода исследования колебаний является также цифровая форма представления и обработки информации: сигналы на выходе большинства современных измерительных приборов имеют вид временных рядов — дискретных последовательностей значений наблюдаемых величин. Подходы и идеи теории колебаний, нелинейной динамики, статистической радиофизики оказываются особенно плодотворными при анализе сигналов, демонстрирующих колебательный характер, нерегулярность, признаки нелинейности. В этом круге задач выделяется проблема реконструкции уравнений динамики (построения математической модели) по временным рядам, поскольку при ее успешном решении полученные уравнения могут использоваться для целого ряда приложений - от прогноза2 до диагностики взаимодействия исследуемых систем. Последнее востребовано в физике и химии,3 кардиологии4, нейрофизиологии5, климатологии6. Этими обстоятельствами обусловлена важность и актуальность темы диссертации, что подробнее обосновывается ниже.

1 Рабинович U.U., Трубецков ДМ Введение в теорию колебаний и волн. M.: Наука, 1984. Нгймарк Ю.И., Панда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987. Дмитриев A.C., Кислое В.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. М.:

Наука, 1989. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. M.: Наука, 1990. Лоскутов А.Ю., Михайлов A.C. Введение в синергетику. М.: Наука, 1990. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны..М.: Физматлит, 1997. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М.: Эдиториал УРСС, 2000. Кузнецов С.П. Динамический хаос. М.: Наука, 2001. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Рыскин U.M. Нелинейные колебания. М.: Физматлит, 2002. Дмитриев A.C., Панас А.И. Динамический хаос: новые носители информации для систем связи. М.: Физматлит, 2002. Матросов В.В., Шалфеев ВД. Динамический хаос в фазовых системах. Н. Новгород: изд-во ННГУ, 2007. Лоскутов А.Ю., Михайлов A.C. Основы теории сложных систем. М.-Ижевек: Институт комп. исследований, 2007. 1 Farmer J.D., Sidorowich J.J. H Phys. Rev. Lett. 1987. V. 59. P. 845-848. Casdagli M. II Physica D. 1989. V. 35. P. 335-356. Аносов О.Л., Бутковский О.Я., Кравцов Ю.А. II Радиотехника и электроника. 1995. Т. 40, вып. 12. С. 1866-1873. Мольков Я.И., Фейгин A.M. II Нелинейные волны - 2002 / Ред. A.B. Гапонов-Грехов, В.И. Некоркин. Н. Новгород: ИПФ РАН, 2003. С. 34-53. Макаренко Н.Г. Теория и практика моделирования распределенных динамических систем методами современной математики. Дисе. на соиск. уч. ст. д.т.н. Алма-Ата, 2004.

3 Miyazaki J., KinoshUa S. Il Phys. Rev. Lett. 2006. V. 96, 194101. Tokuda LT. et al H Phys. Rev. Lett. 2007. V. 99, 064101.

4 Rosenblum M.G. et alII Phys. Rev. E, 2002. V. 65, 041909. Prokhorov M.D. et al. //Phys. Rev. E, 2003. V. 68,041913.

5 Pereda E. et al. II Progress in Neurobiology, 2005. V. 77, pp. 1-37.

6 Мохов И.И. u dp. Н Доклады академии наук, 2006. Т. 409. № 1. С.1-5.

Построение математических моделей по временным рядам получило название «идентификации систем»7 в математической статистике и «реконструкции динамических систем»8 - в нелинейной динамике. Предшественницами современных задач реконструкции были задачи аппроксимации и статистического исследования зависимостей между наблюдаемыми величинами. Долгое время наблюдаемые процессы моделировались с помощью явных функций времени 7 = fit), аппроксимирующих множество экспериментальных точек на плоскости (/, rj), где t - время, т] - наблюдаемая. Целью моделирования был прогноз будущего развития процесса или сглаживание зашумленных данных. В начале XX века серьезный шаг в развитии методов эмпирического моделирования нерегулярных процессов был сделан в математической статистике, когда было предложено использовать линейные стохастические модели. Этот подход практически не имел альтернатив в течение полувека (1920-е - 1970-е) и нашел многочисленные приложения, особенно для прогноза и автоматического управления.9 Успехи нелинейной динамики, обосновавшей возможность хаотического поведения нелинейных динамических систем малой размерности, и развитие вычислительной техники открыли перспективы успешного эмпирического моделирования сложных процессов на основе нелинейных разностных и дифференциальных уравнений.0

Обсуждая современное состояние проблемы, воспользуемся сложившейся типовой схемой реконструкции уравнений динамики, которая включает в себя несколько этапов. На первом получают временной ряд; на втором - выбирают структуру модельных уравнений, т.е. все, кроме конкретных значений параметров; на третьем — оценивают параметры (подгонка модели); в итоге проверяют, удовлетворительно ли полученная модель описывает наблюдаемый процесс. Предложены теоретические идеи, обосновывающие алгоритмы действия на каждом этапе. При выборе структуры уравнений - это теоремы Такенса для восстановления значений вектора состояния и обобщенная аппроксимационная теорема для задания оператора эволюции; при оценке параметров - минимизация различных целевых функций; при проверке адекватности модели - расчет метрических и топологических характеристик аттрактора и т.д. Тем не менее, на практике получить удовлетворительную модель с помощью существующих универсальных подходов зачастую не удается. Одним из широко известных препятствий является так называемое «проклятие размерности» - трудности аппроксимации и требования к объему и качеству данных, резко возрастающие с ростом размерности вектора состояния модели. Но и кроме этого на каждом

' Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. М.: Наука, 1991.

' Chaos and Its Reconstructions / Eds. G. Gouesbet, S. Meunier-Guttin-Cluzel, O. Menard. Nova Science Publishers, New York, 2003. Павлов A.H., Янсон Н.Б., Анищенко B.C. // Радиотехника и электроника. 1999. Т. 44, вып.9. С.1075-1092. Аносов ОМ., Бутковский О.Я., Кравцов Ю.А. // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2000. Т.8, № 1. С. 29-51.

9 Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. М.: Мир, 1974.

10 Abarbanel H.D.I. Analysis of observed chaotic data. Springer, New York, 1996. Kant: H., Schreiber T. Nonlinear time series analysis. Cambridge University Press, Cambridge, 1997.

этапе процедуры моделирования остаются нерешенные проблемы, связанные с оценкой параметров хаотических систем, оптимизацией структуры модели, выбором динамических переменных. Сложившаяся ситуация требует развития практически эффективных методов для реконструкции уравнений нелинейных колебательных систем в реалистичных условиях коротких временных рядов, хаотичности наблюдаемых процессов, нестационарности и зашумленности. Одним из перспективных направлений представляется разработка методов, ориентированных на избранные классы систем и задач, учитывающих особенности этих классов при выборе структуры модели, расширяющих возможности физической интерпретации результатов моделирования.

Среди практических приложений реконструкции в настоящее время выделяется обнаружение и количественная оценка связей (диагностика взаимодействия) между нелинейными системами по данным наблюдений. Эта задача является обратной по отношению к исследованию динамики в ансамбле нелинейных колебательных систем с заданной структурой связей между ними. Во многих работах" показано, что динамика существенно зависит от структуры связей в ансамбле. В частности, эти связи определяют виды синхронизации, простоту или сложность динамики, образование различных пространственно-временных структур. Поэтому оценки связей дают важную информацию при исследовании различных объектов, а методы получения таких оценок представляют значительный практический интерес. При этом особенное внимание уделяется возможности оценивания по коротким и нестационарным сигналам, широко распространенным в физике, биологии, науках о Земле.

Существуют «непосредственные» (не опирающиеся на построение моделей) методы выявления зависимостей между процессами, включая корреляционный и спектральный анализ, теоретико-информационные и нелинейно-динамические характеристики. Однако для оценки направленных связей, т.е. для ответа на вопрос о том, влияет ли один процесс на другой и с какой «силой», наиболее подходящим инструментом оказывается реконструкция уравнений. С 1960-х гг. широко применяется линейная оценка «причинности по Грейнджеру», основанная на построении линейных авторегрессионных моделей и расчете улучшения прогноза одного процесса при учете в модели данных о другом процессе.12 Она позволяет с надежностью установить факт наличия связей между линейными системами, но сталкивается с трудностями при решении более сложных задач. Во-первых, физическая интерпретация ее количественных характеристик не очевидна: не ясно, в какой степени они отражают

11 Афраймович B.C., Некоркин В.И., Осипов Г.В., Шалфеев В.Д. Устойчивость, структуры и хаос в нелинейных сетях синхронизации. Горький: ИПФ АН СССР, 1989. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Астахов В.В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Саратов: изд-во СГУ, 1999. Mosekilde Е„ Maistrenko Yu., Postnov D. Chaotic synchronization. Applications to Living Systems. World Scientific, Singapore, 2002. Boccaletti S., Kurths J., Osipov G. et al. // Phys. Rep. 2002. V.366. P. 1. Пикоеский A.C., Розенблюм М.Г., Курте Ю. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление. М.: Техносфера, 2003. Osipov G.V., Kurths J., Zhou С. Synchronization in oscillatory networks. Springer, Berlin, 2007.

12 Granger C.W.J. // Econometrica. 1969. V.37. P.424-438.

влияние связей на те или иные свойства наблюдаемой динамики. Во-вторых, при анализе нелинейных систем линейная оценка причинности по Грейнджеру часто оказывается не пригодной даже для выявления связей. Попытки ее нелинейных обобщений, использующие реконструкцию уравнений в универсальном виде, сталкиваются с упомянутыми выше общими трудностями нелинейного моделирования по временным рядам и, как следствие, с недостоверностью выводов о наличии связей. Более перспективный нелинейный метод оценки связей, предложенный для исследования колебательных систем, допускающих введение фазы, основан на моделировании фазовой динамики.13 Однако его известный вариант ориентирован на случай длинных стационарных сигналов. Для коротких или нестационарных временных рядов получаемые с его помощью результаты не надежны, т.к. не исследованы статистические свойства итоговых оценок связи и не предусмотрена оценка статистической значимости выводов. Таким образом, для исследования взаимодействий между сложными колебательными процессами различной природы на практике требуются новые подходы, позволяющие получать физически интерпретируемые характеристики связей и применимые для исследования нелинейных систем в реалистичных постановках достаточно коротких временных рядов, нелинейных и запаздывающих связей, многих взаимодействующих систем.

Наконец, следует отметить, что теоретические идеи нелинейной динамики, на которых основаны реконструкция динамических систем, диагностика связей, решение ряда других задач, и соответствующие методы обычно тестируются на эталонных динамических системах в численном эксперименте. При этом количество работ, посвященных их приложениям для анализа реальных процессов относительно мало. Поэтому в последние годы все настойчивее интерес научного сообщества к практическим приложениям идей и методов теории колебаний и нелинейной динамики в биофизике, физиологии, науках о Земле. Таким образом, актуальность темы диссертации связана с необходимостью развития практически эффективных методов для реконструкции уравнений и диагностики взаимодействия нелинейных систем в реалистичных постановках задач, а также их востребованностью при исследовании нелинейных колебательных процессов в различных естественнонаучных областях.

Цель диссертационной работы: развитие методов реконструкции уравнений и диагностики взаимодействия нелинейных колебательных систем в условиях дефицита данных и сложности наблюдаемой динамики и их приложения для анализа колебательных процессов различной природы.

Для достижения цели решались следующие основные задачи.

1. Разработка комплекса методов, повышающих эффективность процедуры реконструкции уравнений динамики по временным рядам, включая оценку параметров хаотических систем при дефиците данных, оптимизацию модельных функций, подбор динамических переменных. Апробация развитых методов при моделировании радиотехнических и биологических систем.

13 КояелЬ/мл М.О., РИсоузкуЛ.Я. II РЬу.ч. Яеу. Е, 2001. V. 64,045202(11).

2. Разработка и апробация комплекса методов для диагностики взаимодействия в ансамблях нелинейных колебательных систем, ориентированного на получение достоверных выводов о наличии связей и физически интерпретируемых характеристик связи по относительно коротким временным рядам.

3. Приложения развитых методов диагностики взаимодействия для исследования колебательных процессов в реальных системах различной природы, включая радиотехнические, нейрофизиологические и климатические.

На защиту выносятся следующие положения и результаты.

1) Разработанные методы оценки параметров хаотических динамических систем по зашумленным временным рядам дают более точные результаты, чем известные подходы. А именно, модифицированный метод множественной стрельбы, допускающий разрывы фазовой траектории на интервале наблюдения, позволяет эффективно использовать сколь угодно длинные ряды и смягчает требования к стартовым догадкам для искомых параметров. Для одномерных отображений использование обратного отображения при расчете целевой функции дает оценки параметров, среднеквадратическая погрешность которых в типичном случае уменьшается с ростом длины временного ряда N как 1/Ы в

отличие от закона 1 /4м для подходов, основанных на сегментировании ряда.

2) Разработанный комплекс методов для реконструкции уравнений динамики расширяет возможности моделирования нелинейных колебательных систем по временным рядам. Он включает в себя приемы подбора динамических переменных на основе тестирования аппроксимируемых зависимостей на однозначность и непрерывность, оптимизации модельных уравнений за счет исключения лишних слагаемых, описания внешних воздействий за счет использования многочленов с переменными коэффициентами. По сравнению с известными подходами это позволяет получать модели с меньшим числом динамических переменных, воспроизводящие наблюдаемую динамику в более широкой области фазового пространства.

3) Предложенный метод оценки динамического эффекта воздействий по временным рядам позволяет количественно охарактеризовать, в какой степени различные свойства одного процесса зависят от других наблюдаемых процессов (факторов). Он основан на построении эмпирической модели и анализе ее динамики при искусственных изменениях рассматриваемых факторов. Это дополняет широко используемые характеристики причинности по Грейнджеру, которые позволяют выявить наличие связей между исследуемыми системами, но не дают возможности оценить степень влияния этих связей на динамику.

4) Предложенный модифицированный метод моделирования фазовой динамики, основанный на учете корреляционных свойств фазовых шумов, позволяет с заданной доверительной вероятностью делать выводы о наличии связей между двумя нелинейными колебательными системами по временным рядам длиной от двадцати характерных периодов колебаний. Метод становится более чувствительным к слабой связи, чем известные подходы (оценка частной направленной когерентности и статистика ближайших соседей в пространствах

состояний), при уменьшении коэффициентов диффузии фазы исследуемых систем и длины временного ряда.

5) Предложенные обобщения метода моделирования фазовой динамики позволяют выявлять структуру связей в ансамблях колебательных систем, получать физически интерпретируемые характеристики взаимодействий, оценивать связи, характеризующиеся нелинейностью произвольно высокого порядка, получать интервальные оценки времени запаздывания связей.

6) По эмпирическим данным за период 1856 - 2005 гг. выявлено влияние вариаций солнечной и вулканической активности и содержания углекислого газа в атмосфере на вариации глобальной приповерхностной температуры (ГПТ) с помощью оценки причинности по Грейнджеру. Согласно оценке динамического эффекта воздействий рост ГПТ в последние десятилетия объясняется эмпирической моделью только при учете в ней вариаций содержания С02.

7) По эмпирическим данным за период с 1870 г. до начала XXI в. с помощью метода моделирования фазовой динамики и оценки причинности по Грейнджеру выявлены связи процесса Эль-Ниньо - Южное колебание (ЭНЮК) в Тихом океане с процессами в других регионах. А именно, обнаружены и количественно охарактеризованы воздействие ЭНЮК на Северо-Атлантическое колебание, воздействие экваториальной атлантической моды на ЭНЮК и двунаправленная связь между ЭНЮК и индийским муссоном.

8) При анализе записей локальных потенциалов с глубинных электродов и сигналов акселерометров с помощью метода моделирования фазовой динамики и линейной и нелинейной оценок причинности по Грейнджеру выявлена двунаправленная связь между активностью субталамического ядра (структуры мозга в базальных ганглиях) и колебаниями противоположной руки при паркинсо-новском треморе. Влияние колебаний руки на активность субталамического ядра обнаруживается и линейным, и нелинейными методами. Обратное воздействие выявляется только нелинейными методами и характеризуется запаздыванием от 200 до 400 миллисекунд.

Достоверность научных выводов обусловлена теоретическим обоснованием разработанных методов реконструкции уравнений и оценки связей с позиций нелинейной динамики и математической статистики, тестированием методов на эталонных системах в численных экспериментах и установлением эмпирических критериев их применимости, согласованием результатов численных расчетов и физических экспериментов, совпадением ряда результатов с результатами других авторов. При анализе физических, физиологических и климатических процессов достоверность подтверждается также проверкой адекватности эмпирических моделей, выполнением критериев применимости методов, высокой статистической значимостью выводов согласно аналитическим оценкам и воспроизводимостью результатов.

Научная новизна результатов работы состоит в следующем.

Предложен оригинальный метод оценки параметров хаотических одномерных отображений по зашумленным временным рядам. Количественно показано, что модифицированный метод множественной стрельбы позволяет эффек-

тивно использовать для оценки параметров сколь угодно длинные хаотические ряды. Предложен и апробирован комплекс методов, повышающих эффективность реконструкции уравнений динамики нелинейных колебательных систем по временным рядам по сравнению с известными подходами.

Предложен метод оценки динамического эффекта воздействий различных факторов на исследуемый процесс, дополняющий широко используемую идею причинности по Грейнджеру. Разработан оригинальный комплекс методов для оценки связей между нелинейными колебательными системами по относительно коротким временным рядам.

На основе анализа направленных связей по эмпирическим данным выявлено и охарактеризовано воздействие различных факторов на вариации глобальной приповерхностной температуры. По эмпирическим данным выявлены связи процесса Эль-Ниньо/Южное колебание с другими крупномасштабными климатическими процессами: Северо-Атлантическим колебанием, экваториальной атлантической модой и индийским муссоном.

Впервые по эмпирическим данным выявлено воздействие субталамического ядра на колебания конечностей у пациентов с паркинсоновским тремором и получена оценка времени запаздывания этого воздействия. Показано, что в начале пик-волнового разряда у крыс линии >УАО/11ц связь между ядрами таламуса и лобной корой (двунаправленная и асимметричная) резко усиливается. Показано, что автономные колебания аристы ОгоьоркИа те\апо%а51ег, вызванные введением диметилсульфоксида, адекватно описываются с помощью уравнений автогенератора с одной степенью свободы, и получены характеристики диссипации и возвращающей силы для этой системы.

Научное и практическое значение результатов работы.

В распространенной на практике ситуации, когда структура модели полностью известна из физических соображений, а все параметры и переменные имеют физический смысл, но не могут быть измерены, предложенные методы позволяют получить оценки параметров хаотических систем и восстановить временные ряды скрытых переменных.

В ситуации, когда структура модельных уравнений отчасти известна, а неизвестны входящие в них функции (характеристики объекта), которые не могут быть непосредственно измерены, предложенный метод оптимизации структуры уравнений позволяет восстановить эти характеристики по временным рядам. Он апробирован при восстановлении эквивалентных характеристик нелинейных элементов электрических цепей. Получен патент на изобретение.

В ситуации, когда структура модели неизвестна, предложенный комплекс методов для реконструкции уравнений позволяет получать модели, точнее воспроизводящие наблюдаемую динамику в широкой области фазового пространства по сравнению с известными подходами, что имеет универсальное значение для моделирования колебательных процессов различной природы.

Метод оценки динамического эффекта воздействий позволяет установить, в какой степени те или иные свойства исследуемого процесса обусловлены раз-

личными факторами, т.е. охарактеризовать важность воздействий и предсказать изменения в наблюдаемой динамике при вариации упомянутых факторов.

Предложенный комплекс методов оценки связей между нелинейными колебательными системами позволяет решать практически важные задачи диагностики структуры связей в ансамбле и оценки нелинейности и запаздывания связей по относительно коротким временным рядам с контролируемой надежностью. Последнее обстоятельство важно при нестационарности сигналов и дефиците данных, что типично в нейрофизиологии и геофизике.

Модели автономных колебаний аристы Drosophila melanogaster и полученные нелинейные характеристики значимы для биофизических исследований. Поскольку многие свойства спонтанных отоакустических излучений насекомых и позвоночных аналогичны, эти результаты должны быть востребованы при дальнейших исследованиях физики усилителя в улитке уха позвоночных.

Выявленное с помощью реконструкции уравнений деление эпилептического припадка на квазистационарные сегменты может стать основой для дальнейшего нейрофизиологического анализа, направленного на изучение и классификацию таких сегментов при различных формах эпилепсии.

Результаты анализа связей между колебаниями конечностей и активностью подкорковых структур мозга во время спонтанного паркинсоновского тремора важны для дальнейшего развития нейрофизиологических представлений о его механизме. Результаты соответствуют гипотезе о том, что исследуемые структуры мозга играют активную роль в генерации тремора. Однако представления о петле обратной связи, содержащей только линии проведения нервных сигналов в обоих направлениях, по-видимому, следует обновить.

Результаты анализа климатических данных расширяют сведения о характере связей между крупномасштабными климатическими процессами, что важно в теории климата для усовершенствования и исследования моделей земной климатической системы и построения прогнозов.

Разработанные в диссертации методы и программы используются при проведении научных исследований в Институте физики атмосферы им. A.M. Обухова РАН (г. Москва). Результаты работы внедрены в учебный процесс на факультете нано- и биомедицинских технологий Саратовского госуниверситета. Они составили основу монографий [47,48], содержащих образовательную компоненту, предназначенную для студентов и аспирантов.

Личный вклад соискателя. Соискатель лично сформулировал рассмотренные в диссертации задачи, разработал новые методы реконструкции уравнений и оценки связей и компьютерные программы для их реализации, провел тестирование и сравнительный анализ этих методов, выполнил основную часть работ по анализу экспериментальных данных. Выбор направления исследований и интерпретация ряда результатов осуществлялись совместно с проф. Б.П. Без-ручко. Некоторые результаты по тестированию методов и анализу экспериментальных данных получены совместно с Т.В. Диканевым, М.Б. Бодровым, И.В. Сысоевым, A.C. Караваевым, B.C. Власкиным, С.С. Козленке, П.И. Наконечным. Лабораторные радиотехнические макеты для тестирования развитых ме-

тодов в физическом эксперименте разработаны Е.П. Селезневым и В.И. Поно-маренко. Постановки задач анализа нейрофизиологических и климатических данных и интерпретация соответствующих результатов осуществлены совместно со специалистами в этих областях (И.И. Мохон, P. Tass, ЕЛО. Ситникова, Е. van Luijtelaar, R. Stoop, M. Goepfert, J.-L. Perez Velazquez, R. Wennberg).

Ащшбаци" работы и публикяцнн. Основные результаты диссертации составили содержание докладом на всероссийских школах «Нелинейные волны» (Нижний Новгород, 2002; 2004; 2006; 2008; 2010); международных школах «Хаотические автоколебания и образование структур» - ХЛОС (Саратов, 1998; 2001; 2004; 2007); международных симпозиумах «Topical problems of nonlinear wave physics» (Нижний Новгород, 2003; 2005; 2008), «Topical problems of Biophotonics» (Нижний Новгород, 2007; 2009), «Nonlinear Theory and ils Applications» -NOLTA (Дрезден, Германия, 2000); международных семинарах «Nonlinear Dynamics of Electronic Systems» - NDliS (Борнхольм, Дания, 1999; Делфт, Нидерланды, 2001; Ршшсрсшшь, Швейцария, 2009), «Wli Heraucs Seminar» (Бад Хонеф, Германия, 2001), «PASCAI.» (Лавин, Швейцария, 2005); международных конференциях «Нелинейные колебания механических систем» (Пилений Новгород, 1999; 2002; 2005; 2008), «Фундаментальные проблемы физики» (Саратов, 2000), «Современные проблемы электроники СВЧ н радиофизики» (Саратов, 2001), «Synchronization of chaotic and stochastic oscillations» (Саратов, 2002), European Congress on lipilcptology (Мадрид, Испания, 2002), ll-l-K on Circuits and Systems for Communications (Москва, 2004), «Dynamic Days» (Пальма-де-Майорка, Испания, 2004), «Идентификация систем и проблемы управления» - SICPRO (Москва, 2005), «Biomagiictism» (Ванкувер, Канада, 2006), «Nonlineat Dynamics, Chaos, and Applications» (Меллас, Крым, Украина, 2006); научно-практических конференциях «Системный анализ в проектировании и управлении» (Санкт-Петербург, 2004), «Новые технологии в экспериментальной биологии и медицине» (Ростов-па-Дону, 2007); научно-технических конференциях «Радиотехника и связь» (Саратов, 2005), «Физика и радиоэлектроника в медицине и экологии» (Суздаль, 2006); всероссийских симпозиумах «Медленные колебательные процессы в организме человека. Теоретические и прикладные аспекты нелинейной динамики » физиологии и медицине» (Новокузнецк, 2005; 2007); русско-япопском семинаре но нейробнолопш и пейродипамикс «Bridging nonlinear dynamics with ccllular and molecular îieurosciencc» ( Токио, Япония, 2008); всероссийских школах-семинарах «Волновые явления в неоднородных средах» (Звенигород, 2008; 2009); научных конференциях «Напоэлектроинка, нанофотоиика и нелинейная физика» (Саратов, 2006; 2007; 2008; 2009) и «Состав атмосферы. Атмосферное электричество. Климатические процессы» (Борок, 2008); школах-семинарах «Методы компьютерной диагностики в биологии и медицине» (Саратов, 2007; 2008; 2009); конкурсах работ молодых ученых им. И.В. Анисимкина (ИРЭ им. В.А. Котельннкова РАН, Москва, 2005; 2006; 2007).

Результаты работы многократно обсуждались на научных семинарах Саратовского филиала Института радиотехники и электроники им. В.А. Котельннкова РАН, Института физики атмосферы им. A.M. Обухова (г. Москва), Инстнтуга медицины и Институт вычислений им. Дж. фон Неймана Исследовательского центра Юл их (Германия), Центра но анализу данных и моделированию Фрайбургского университета (Германия), научной группы нелинейной динамики Потсдамского университета (Германия), факультета эпилептологии Боннского университета (Германия), Института познания и информации Наймсгснского университета (Нидерланды), университета Торонто (Канада), кафедры динамического моделирования и биомедиципскон инженерии Саратовского государственного университета.

Работы были поддержан!,i [рангом Президента РФ для молодых кандидатов наук. Российским фондом фундаментальных исследований, Фондом содействия отечественной науке. Американским фондом г ражданских исследований и развития для государств бывшего Советского Союза (CRDF), Немецким научным фондом (Dl'O), ФЦНТП «Исследования н разработки но приоритетным направлениям развития науки н техники на 2002-2006 годы», программами РАН и Министерства образования и пауки РФ.

По теме диссертации опубликовано 67 работ (без учета тезисов докладов), в том числе 2 монографии, 40 статей в журналах, рекомендованных ВАК, 5 статей в прочих журналах, монографиях и научных сборниках, 1 патент, 15 статей в сборниках трудов научных конференций, 4 учебно-методических пособия.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, девяти содержательных глав, сгруппированных в три части, заключения и списка литературы. Объем диссертации - 390 страниц, включая 111 рисунков, 5 таблиц и список литературы из 406 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность рассматриваемых в работе проблем, определяются цели исследования, ставятся основные задачи, формулируются положения и результаты, выносимые на защиту, раскрывается научная новизна и научно-практическое значение полученных результатов, их достоверность и личный вклад соискателя, кратко описывается содержание работы.

В первой части, состоящей из трех глав, разрабатываются и апробируются методы реконструкции уравнений динамики по временным рядам. Представлена общая схема процедуры реконструкции, дана систематизация постановок задач по объему априорной информации о структуре уравнений, обсуждается проблема возможной некорректности задач. Распределение материала первой части по главам подчиняется принципу последовательного усложнения ситуации, т.е. сокращения объема априорной информации об объекте.

В первой главе рассматривается наиболее простая постановка задачи, когда структура модельных уравнений полностью известна и процедура реконструкции начинается с этапа оценки параметров. В этой постановке временной ряд переменной i] - набор значений T](tl),T)(t2)...,T](tN) (t},t2,...,tN - моменты наблюдений, Л'-длина ряда) - генерируется дискретным отображением

*„+i = f(*n»c) (1)

или системой обыкновенных дифференциальных уравнений

dxfdi —f(x,c), (2)

где х - D-мерный вектор состояния, f - вектор-функция, с - Р-мерный вектор параметров, п - дискретное время, t - непрерывное время. Наблюдаемая переменная = h(x)+С, где h называют измерительной функцией, а случайную величину С - измерительным шумом или шумом наблюдений. Временной ряд получен при значении с = с0, соответствующем хаотическому режиму. Нужно получить статистическую оценку С величины с0.

Кроме того, что оценка параметров - неизбежный этап процедуры реконструкции, рассматриваемая постановка имеет самостоятельную ценность и часто возникает на практике. Как правило, при этой постановке все переменные и параметры модели имеют физический смысл, а прямого пути их измерения часто не существует, так что процедура реконструкции выступает как замена измерительного прибора. Несмотря на относительную простоту, даже в этой постановке возникают существенные трудности, связанные с использованием хаотических пременных рядов: такие сигналы богаты информацией о системе, так

что теоретически можно ожидать получения очень точных оценок параметров,14 но для практического достижения этой цели необходимы соответствующие методы, которые и развиваются в диссертационной работе.

В разделе 1.1 предложен метод, позволяющий повысить точность оценок параметров одномерных отображений дс(И., = /(хп,с). Известные методы в типичном случае дают оценки, среднеквадратическая погрешность которых пропорциональна . Так, при минимизации суммы квадратов невязок вида

ЛМ, М

3(с,х!)= 2]('/„(I -/("Ч*| >с)) , где - "-я итерация отображения, ж, - на. н=о

чальное состояние, невозможно с гарантией найти глобальный минимум целевой функции уже при умеренном N (рис.1,а). Поэтому ряд делят на короткие сегменты и усредняют оценки, полученные на каждом из них, что и дает погрешность порядка . Это - подход, основанный на сегментировании ряда, или «кусочный». В диссертации предложено использовать обратное отображение / "' для расчета целевой функции = -/^"'(х^с))". Из нескольких возможных значений /"' на каждой итерации выбирается то, которое ближе к соответствующему значению наблюдаемой. На примере квадратичного отображения показано, что при таком подходе существенно облегчается поиск глобального минимума целевой функции (рис. 1,6), а итоговые оценки параметров имеют погрешность порядка Лг'. Аналитически обосновано, что причина большей точности предложенных оценок состоит в возвратах фазовой траектории в окрестность экстремума /, где функция / ' особенно чувствительна к х и с. Численные эксперименты показывают, что это имеет место, если уровень шума наблюдений С меньше некоторого порогового значения. Дано обоснование и иллюстрация того, что область превосходства предложенного метода расширяется (т.е. он дает более точные оценки, чем кусочный подход, при больших шумах) с ростом числа оцениваемых параметров.

В разделе 1.2 рассматривается более общая и практически важная ситуация.

" ¡Чяагепко К/''., йоте Не О. II РИув. Ясу. 1г. 2004. V. 69. 036122.

1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 а)

1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 6)

Рис.1. Целевые функции л",) и S(c\xN) для квадратичного отображения х1П1 = 1 - с0х1 при N = 20, с0 = 1.85, хх - 0.3: а) используется прямое отображение; б) используется обратное отображение. Графики соответствуют фиксированным (истинным) значениям х, и х^.

когда оценка параметров осложняется тем, что некоторые из компонент вектора х могут быть не наблюдаемыми (скрытые переменные). Существующие методы основаны на минимизации отклонений реализации модели от наблюдаемого ряда. Согласно методу множественной стрельбы15 исходный ряд разбивают на сегменты, начальные состояния модели на каждом сегменте рассматривают как оцениваемые величины, накладывают условия итоговой непрерывности траектории модели на всем интервале наблюдения и решают задачу условной нелинейной минимизации. Метод оказался в ряде случаев полезным на практике, но результаты сильно зависят от удачного выбора стартовых догадок для параметров и скрытых переменных, что в типичном случае невозможно гарантировать. Эти трудности растут с ростом длины хаотического временного ряда.

В диссертационной работе показано, что модифицированный метод, основанный на отказе от непрерывности траектории модели в некоторых точках интервала наблюдения, существенно повышает практическую эффективность подхода. В численных экспериментах установлено, что оптимальная длина интервалов непрерывности должна быть порядка ляпуновского времени системы. Введен количественный критерий эффективности методов оценки параметров и на эталонных хаотических системах показано, что модифицированный метод позволяет эффективнее использовать сколь угодно длинные хаотические ряды и существенно смягчает требования к удачности стартовых догадок для искомых параметров, что обеспечивает его более широкую применимость. Схожие результаты независимо получены другими авторами16 в рамках байесовского формализма, адаптированного для оценки параметров хаотических систем.

Во второй главе рассматривается более сложная постановка задачи, когда структура уравнений частично известна, но в них входят неизвестные функции (компоненты функции {), а не только неизвестные параметры. Эти функции часто представляют собой физические характеристики объекта, прямое измерение которых невозможно или затруднено. При реконструкции уравнений оказывается возможным восстановить такие характеристики, что повышает практическую ценность результатов моделирования. Однако неудачный выбор функции Г часто ведет к неудовлетворительной модели. Для преодоления этой проблемы в работе предложены и апробированы соответствующие подходы.

В разделе 2.1 предложен метод оптимизации функции I, который можно проиллюстрировать на примере автогенератора с одной степенью свободы:

(к2/Ж = (*, ,х2 )х2 + Р2 (л,), где хх - переменная состояния, Р2 - «возвращающая сила», -Г](х],х2)х2 -«сила трения», ц = Х\- наблюдаемая. Пусть известна размерность системы, но неизвестны функции 1-\ и Р2, которые и нужно восстановить по временному ряду. Для этого целесообразно строить модель в соответствующем виде:

" Вааке Е. ег а1. II РЬуБ. Иеу. А. 1992. V. 45. Р. 5524-5529.

16 МиШпОЛ, ЕещтАМ, ШкиШу Е.М., Мо1коу Уа.1. //РЬув. Ксу. Е,2006. V. 73. 036211. Шкит ЕМ, Мо1коу Уа.1., МикЫп ЭЛ., Лгфи АМ. II РЬуБ. Яеу. Е, 2008. V. 77. 066214.

сЬс1/Ж = х2,

Л2М = /0*1>*2>С)>

где/- алгебраический многочлен. После оценки параметров и проверки качества модели разложение /(х1,х1,й) = -/1(х^х2,й1)х2 + /2(х,,£2) дает функции /!(*!,4,) и /2(л,,е2) - аппроксимации характеристик ^ и К,. Однако, существенная трудность состоит в том, что в случае достаточно высокого порядка нелинейности многочлен/может содержать много лишних слагаемых, которых нет в исходной системе (3). Коэффициенты при них оказываются ненулевыми из-за погрешностей оценок. Вклад таких слагаемых может привести к тому, что модель окажется неадекватной, а характеристики будут восстановлены с большими ошибками. В работе предложен метод оптимизации аппроксимирующих модельных функций, основанный на исключении лишних слагаемых, которые выявляются по наименьшей стабильности коэффициентов при реконструкции по различным участкам временного ряда. В численных экспериментах на эталонных автоколебательных системах показано, что это особенно эффективно реализуется при использовании временных рядов, соответствующих переходным процессам. Показано, что предложенный метод позволяет повысить точность воспроизведения наблюдаемой динамики в широкой области фазового пространства по сравнению с известным универсальным подходом.

В разделе 2.2 проведено эмпирическое моделирование динамики важного биологического объекта и восстановление его нелинейных характеристик. Это слуховая система насекомого Вго$орЫ1а melanogaster, которая отличается высокой чувствительностью и в отношении ряда свойств аналогична слуховой системе позвоночных, хотя гораздо проще устроена и намного доступнее для наблюдений. В работе построены модели колебаний аристы (принимающей части в органе слуха), вызванных введением диметилсульфоксида и происходящих в отсутствие звука, по экспериментальным записям скорости колебаний (рис.2). Экспериментальные данные предоставлены биофизиками из университетов Цюриха и Кельна (М.С. СоерГеП и др.).

В качестве динамических переменных выбирались различные величины: скорость колебаний, координата (полученная численным интегрированием), ускорение (полученное численным дифференцированием), и т.д. В итоге для режима развитых автоколебаний (рис.2,б) получена адекватная эмпирическая модель в виде (4), где хх - координата аристы. Восстановлены характеристики наблюдаемой колебательной динамики в виде алгебраических многочленов

ц е.:

1с\

0 0,0* ч 0,04 о,ов а) о орг _.ч 0,04 о.ов б)

/АЦ/А^^Ч /, с с

и и Ш ч им и иш V и,Щ и,'Л

в) г)

Рис.2. Наблюдаемые ряды скорости колебаний аристы: а) 10 минут после введения ДМСО; б) 20 минут (развитые автоколебания); в) 30 минут; г) 34 минуты.

/,(*,,с,) и /2(х„е2) второго и пятого порядка соответственно (рис.3). График многочлена /2 отражает асимметрию наблюдаемых колебаний. Имеет место комбинация отрицательного трения, которое квадратично по смещению, и нелинейной возвращающей силы, имеющей два экстремума при ненулевых смещениях. Оценка изменения /, и /2 во времени показывает, что изменяются их коэффициенты и вид графиков. К концу сеанса измерений (рис.2,г) сила трения и возвращающая сила приближаются практически к нулевым значениям, что соответствует исчезновению режима развитых автоколебаний.

В разделе 2.3 показано, что задача восстановления нелинейных характеристик усложняется, если исследуемые системы неавтономны, т.е. в правую часть уравнений входит явная зависимость от времени. Это связано с необходимостью точной оценки периода внешнего воздействия, для чего предложена соответствующая процедура, которая иллюстрируется на примерах диссипативных нелинейных осцилляторов с различными потенциальными функциями. В разделе 2.4 она апробируется в физическом эксперименте на неавтономных электрических контурах для получения эквивалентных характеристик нелинейных элементов в режимах больших амплитуд и хаоса. Идея состоит в том, чтобы предположить то или иное эквивалентное представление нелинейного элемента, записать структуру модельных уравнений на основе законов Кирхгофа, оценить параметры модели, проверить ее адекватность и получить характеристики как компоненты восстановленных модельных функций. На примерах неавтономных колебательных контуров с переключаемыми конденсаторами и с полупроводниковым диодом показано, что с помощью такого подхода удается получить адекватные модели и восстановить эквивалентные характеристики в режимах больших амплитуд и хаоса, где известные методики измерений, ориентированные на случай малых гармонических колебаний, не применимы.

В третьей главе рассматривается наиболее сложная постановка задачи реконструкции, когда информация о структуре модельных уравнений отсутствует. В разделе 3.1 представлен обзор известных методов, включающий в себя изложение теорем Такенса и методов реконструкции фазовой траектории, способов аппроксимации многомерных функций и других элементов процедуры моделирования. Обсуждаются трудности реконструкции при использовании известных универсальных подходов. В следующих разделах представлены оригинальные методы, развитые для преодоления этих трудностей.

Рис.3. Восстановленные характеристики для режима полностью развитых автоколебаний - 20 минут после введения ДМСО (единицы измерения - 10"4 мм):

а) характеристика диссипации (ед. измерения 1/с),

б) возвращающая сила (ед. измерения мм/с ).

В разделе 3.2 обсуждается проблема подбора динамических переменных модели, которая актуальна из-за наличия большого количества вариантов (метод временных задержек, метод последовательных производных и другие, комбинации различных методов), далеко не все из которых позволяют получить адекватную модель. Предложен метод проверки различных наборов динамических переменных, основанный на тестировании аппроксимируемых модельных зависимостей на однозначность и непрерывность. Его эффективность продемонстрирована в численных (эталонные хаотические системы) и физических (неавтономные электрические цепи с нелинейными элементами в хаотических режимах) экспериментах.

В разделе 3.3 рассматривается проблема выбора аппроксимирующих функций в модельных уравнениях. Показана возможность учета минимальной априорной информации об объекте в стандартной структуре уравнений. А именно, предложен подход для учета сведений о наличии регулярного внешнего воздействия, который состоит во введении явной временной зависимости во все коэффициенты модельного многочлена. В численном эксперименте на эталонных системах показано, что для неавтономных систем такой подход позволяет получать модели с меньшим числом динамических переменных по сравнению со стандартным подходом. Далее целесообразно использовать предложенный во второй главе метод оптимизации модельной функции. Таким образом, комплекс развитых методов расширяет практические возможности реконструкции в ситуациях, где известные универсальные подходы не дают удовлетворительного результата из-за трудностей многомерной аппроксимации.

В разделе 3.4 представлено одно из перспективных приложений реконструкции - исследование динамической нестационарности. Этот термин относится к ситуации, когда на ограниченных интервалах времени исследуемый объект может быть описан как система с постоянными параметрами (определяющими оператор эволюции на данном интервале), но эти параметры могут меняться при переходе от одного интервала времени к другому. Такие изменения часто представляют собой важную информацию о свойствах исследуемого объекта.17 Характеристики динамической нестационарности основаны на построении моделей по различным участкам временного ряда и выделении динамически стационарных областей, где полученные модели близки друг к другу в некотором количественном смысле. При успешном решении проблемы моделирования такой подход расширяет возможности диагностики режима функционирования колебательных систем. В работе представлены иллюстрации подхода в численном эксперименте и применение для сегментации электроэнцефалограмм (ЭЭГ) пациентов с височной эпилепсией во время эпилептического припадка. Записи ЭЭГ трех пациентов с глубинных электродов сделаны в Западной больнице Торонто и Детской больнице Торонто (J.L. Perez Velazquez, R. Wennberg). С по-

" Аносов О.Л., Бутковский О.Я., Кравцов Ю.А. II Радиотехника и электропика. 1997. Т. 42, вып. 3. С. 313-319. Anishchenko V.S., Pavlov A.N. II Phys. Rev. E. 1998. V. 57. P. 2455-2457. Gribkov D., Gribkova V. II Phys. Rev. E. 2000. V. 61. P. 6538-6545. Фейгин A.M., МольковЯ.И., Мухин Д.Н., Лоскутов Е.М. II Изв. вузов. Радиофизика. 2001. Т. 44, № 5-6. С. 376-399.

мощью построения модельных отображений показано, что припадок делится на последовательные динамически различные интервалы. Это может стать основой для дальнейшего нейрофизиологического анализа.

Во второй части диссертации развиваются методы диагностики взаимодействия между исследуемыми системами на основе реконструкции уравнений по временным рядам. Дана систематизация известных методов оценки зависимостей между процессами по данным наблюдений. Большую группу составляют «непосредственные» методы, включая кросс-корреляционный и кросс-спектральный анализ, функцию взаимной информации, кросс-коррелляционный интеграл, характеристики ближайших соседей в фазовых пространствах, и др. Однако эти подходы трудно использовать для выявления направленных связей. Более подходящими для этой цели оказываются «опосредованные» методы, основанные на построении эмпирических моделей, что рассматривается в главах 4-7.

В четвертой главе показано, что широко используемая идея причинности по Грейнджеру сталкивается с трудностями при анализе нелинейных систем и интерпретации результатов. Предлагается метод, дополняющий ее и дающий количественные характеристики «важности» связей (раздел 4.1). Рассматриваются возможности оценки направленных связей между нелинейными системами при учете специфической информации об их свойствах (разделы 4.2 и 4.3).

Идея оценки связи «по Грейнджеру» состоит в следующем. Если учет процесса х2(/) в эмпирической модели процесса х,(/) позволяет улучшить прогноз х{ по сравнению с «авто»-прогнозом, основанным только на данных об , то делают вывод, что х2 влияет на . Для реализации идеи сначала строят индивидуальные авторегрессионные (АР) модели

**(') = А,о + -0+ &('), к = 1,2, (5)

/=1

где ¿к - порядок модели, - нормальный белый шум, интервал выборки равен единице. Эти модели дают ошибки прогноза на один шаг вперед с дисперсиями &1. Затем строят совместную АР-модель:

** (0 = «¿,0 + ('-')+£ К<х1 С-'- )+ % С).}, к = 1,2, У * к, (6)

где - пробные запаздывания, цк - нормальный белый шум. Она дает ошибки прогноза с дисперсиями и для первого и второго процессов, соответственно. Улучшение прогноза процесса хк при учете лу- - это характеристика влияния _/'->&: Р1 - - <$1у. Уровень статистической значимости р (вероятность случайной ошибки) вывода о наличии влияния у к рассчитывается аналитически с помощью /"-теста. На практике обычно считается удовлетворительным уровень значимости р <0.05.

В разделе 4.1 на математических примерах показано, что полученные количественные характеристики затруднительно интерпретировать физически, хотя они и полезны для установления факта наличия воздействий. Причинность по Грейнджеру напрямую отражает только эффект осведомленности исследователя о другом процессе и лишь косвенно характеризует «силу» воздействия одного процесса на динамику другого. В диссертационной работе развит дополняющий метод, который позволяет оценить к каким изменениям в динамике одного процесса (в спектре мощности, амплитуде колебаний, характере трендов и т.д.) привели бы изменения в другом процессе. Для оценки влияния } -> к строится совместная эмпирическая модель (линейная или нелинейная) и по ансамблям ее временных реализаций исследуются изменения в динамике хк при тех или иных искусственных условиях, наложенных на реализации х}, рассматриваемые как воздействие, подающееся «на вход» модели. Метод обоснован аналитически и проиллюстрирован в численных экспериментах на линейных АР-процессах, включая нестационарные случаи, и хаотических отображениях.

В разделе 4.2 представлен вариант реализации идеи причинности по Грейнджеру в случае нелинейных систем в физическом эксперименте. Рассмотрена задача оценки связи между автогенераторами с квадратичной нелинейностью, где имеется априорная информация о подходящей структуре уравнений. Модель строится в виде дифференциальных уравнений и оценивается уменьшение ошибки аппроксимации при учете данных от второго генератора. Демонстрируется корректное обнаружение направленных связей в различных режимах динамики, включая периодические, квази-периодические и хаотические.

В разделе 4.3 рассматривается ситуация, когда при оценке связей учитываются характерные свойства динамики исследуемых нелинейных процессов, а именно, рассматриваются системы с переключениями. Предложен метод оценки связей, основанный на анализе условных вероятностей переключений, и получена формула для оценки статистической значимости выводов. Эффективность метода показана при анализе эталонных хаотических систем и передемпфированных стохастических бистабильных осцилляторов.

В пятой главе развивается метод диагностики взаимодействия между нелинейными колебательными системами по коротким временным рядам.

В разделе 5.1 описан известный подход, основанный на моделировании фазовой динамики (МФД). Его идея состоит в том, чтобы оценить, насколько сильно будущая эволюция фазы одной системы зависит от текущего значения фазы другой системы. По исходным временным рядам 7, (Г) и г/2(!) рассчитываются временные ряды фаз {$(*1)>->А('лг)} и {Фг(1\).....& ('«)}• Предполагается, что фазовая динамика описывается уравнениями фазовых осцилляторов.18 Эмпирическая модель имеет вид стохастических разностных уравнений:

№ + ФЛ0=Ъ(Ш>ФА 0, ■*) + «■* (О, *,У = и, ]*к, (7)

18 Kuramoto Y. Chemical Oscillations, Waves and Turbulence. Berlin: Springer-Verlag, 1984.

где г- конечный временной интервал, равный характерному периоду колебаний, ек - шумы с нулевым средним, Гк - тригонометрические многочлены:

!?к(Фк,ФРЧ) = + £(а*.п,„ со<тфк - пф]) + рк т „ &т(тфк - (8)

(л|,П)еС1ц

а* = Ь^к,{ак,т,П'Рк,т,п}(т,п^а„) -вектор коэффициентов, ак - набор слагаемых в многочлене. Многочлены третьего порядка оказываются подходящим вариантом для достаточно широкого круга ситуаций. Величина

Сь = -

вия

_1_ 2яг2

¿7Г ¿1% , .

| (фк,фр*к)/дф^<1ф1с1фг считается характеристикой воздейст-

/ —> к, Она выражается через коэффициенты многочленов как с\ = + Рк,т,п)- По временному ряду получают оценки коэффициен-

тов актп и Д т „, по ним - оценки связей <?* = £и2 {й1„, „ + Д2„, „). Метод не

применим для режимов, близких к фазовой синхронизации.

В разделе 5.2 показано аналитически и в численных экспериментах, что при небольшой длине ряда достоверно определить характер связи с помощью описанного метода невозможно, т.к. оценки связей не снабжены доверительными интервалами и оказываются смещенными. На рис.4 представлены результаты оценивания по ансамблю временных рядов (длиной 100 характерных периодов каждый) системы фазовых осцилляторов с двунаправленной связью:

с!ф1 /Л = 1.1 + 0.03 - фх) + (0,

(1ф2/Ж = 0.9 + 0.05&1п(ф1 -&) + &(')>

где ~ независимые белые шумы с нулевым средним и автоковариационными функциями (&(')&('')) = Имеет место смещен-

ность оценок при больших уровнях шума.

В разделе 5.3 предложен модифицированный метод, основанный на учете корреляционных свойств фазовых шумов ек, который позволяет

(9)

0.2 О, 0.4

Рис.4. Оценки связи по реализациям системы (9):

устранить смещение оценок связи и получить

оценки

средние по ансамблю из доверительные интервалы. Новые оценки имеют 1000 реализаций значения ¿1 (светлые кружки), (черные кружки), ух (х), у2 (0), значения с22, полученные по длинному ряду (сплошные линии).

вид ук = ¿1 - £2и , где

(т.п)еПд.

дисперсий величин йк т п и А „, „. 95%-ные доверительные интервалы для искомых величин с\ найдены полуэмпирическим путем для случая многочленов рк третьего порядка. В разделе 5.4 исследуются пределы применимости предложенных интервальных оценок связи при изменении свойств шума

и фазовой нелинейности путем анализа ансамблей временных реализаций фазовых осцилляторов и осцилляторов Ван-дер-Поля при различных значениях параметров. Показано, что предложенные оценки имеют достаточно широкую область применимости: изменения закона распределения вероятностей ек не влияют на применимость метода, допустима значительная фазовая нелинейность осцилляторов.

В разделе 5.5 исследуется применимость предложенных оценок при уменьшении длины ряда, что важно при практическом применении к нестационарным нейрофизиологическим и коротким климатическим сигналам. Проблема состоит в том, что при анализе коротких временных рядов даже для несвязанных осцилляторов (с близкими частотами колебаний) велика вероятность того, что сигналы окажутся почти синхронны и будут получены ошибочные выводы о наличии связи. В численных экспериментах найдено эмпирическое условие применимости метода: он позволяет делать выводы с контролируемой надежностью (вероятность ошибки не более 0.05) по рядам длиной 20 характерных периодов и более, если оценка коэффициента фазовой когерентности р не превышает некоторого порога рс. Найдены значения рс в зависимости от длины ряда и расстройки частот осцилляторов.

В шестой главе проводится сравнительный анализ предложенного выше модифицированного метода моделирования фазовой динамики с другими методами оценки связей, которые используются на практике и часто оказываются полезными. Все методы сравниваются по их чувствительности (способности обнаружения существующих слабых связей) в численном эксперименте.

В разделе 6.1 представлено сравнение метода МФД с нелинейным анализом в пространстве состояний (АПС).19 Идея последнего состоит в том, что для связанных систем возврат одной системы в окрестность некоторого (опорного) состояния повышает вероятность одновременного возврата другой системы в окрестность состояния, одновременного с опорным. Количественные характеристики рассчитываются через средние величины расстояний от опорного вектора до его ближайших соседей и до его условных соседей, определяющихся моментами возврата второй системы в окрестность вектора, одновременного с опорным. Метод АПС используют для процессов с различными свойствами, как с явно выделенной основной частотой колебаний, так и с широким спектром, включая и детерминированные хаотические режимы. В диссертации сравнительный анализ проведен на примерах хаотических систем Ресслера и Лоренца и стохастических осцилляторов Ван-дер-Поля при различных уровнях шума.

Проведено исследование ансамблей временных реализаций при различных параметрах и получены следующие выводы. Важным фактором, определяющим превосходство одного из методов, является диффузия фазы. Чем она сильнее, тем менее чувствителен метод МФД. Если она вызвана детерминированной хаотической динамикой, то на чувствительность АПС это не влияет. Если же причина в наличии случайных воздействий, то чувствительность АПС тоже

"ЛглАоШ. ею!. //РЬузюаЭ. 1999. V. 134. Р. 419-430.

снижается с усилением диффузии фазы, но медленнее, чем для метода МФД. АПС более требователен к длине ряда и более устойчив к шуму наблюдений. Важно, что метод МФД имеет преимущество в случае коротких временных рядов, что существенно расширяет область его практической востребованности. :

В разделе 6.2 проводится сравнение метода МФД с линейной оценкой частной направленной когерентности (ЧНК).20 Этот линейный метод связан с идеей причинности по Грейнджеру: он основан на построении совместных линейных АР-моделей и расчете характеристик связи в зависимости от частоты. Из линейных методов оценки направленных связей ЧНК наиболее уместна при анализе систем с выраженной основной частотой колебаний. Для расширения круга тестовых объектов сравнительный анализ проводился в работе на нелинейных системах с сильно неоднородной во времени динамикой. Это математические модели нейронов с колебательной активностью. Такой выбор тестовых объектов имеет самостоятельный интерес, поскольку задача выявления связей между нейронами все чаще возникает в нейрофизиологических приложениях.

Проводился анализ ансамблей временных реализаций систем ФитцХью - На-гумо, Морриса - Лекара, Хайндмарша - Розе с различными видами связей (моделирующими электрическую связь или пороговую химическую связь) в различных динамических режимах, включая периодическую генерацию спайков (импульсов), индуцированную шумом генерацию спайков, хаотическую генерацию спайков и беретов (пачек импульсов). При этом рассматривались режимы периодической генерации спайков, возникшие в результате различных бифуркаций состояния равновесия, т.к. известно, что фазовая динамика нейронных осцилляторов зависит от типа пройденной бифуркации. Показано, что методы МФД и ЧНК применимы в широких диапазонах значений параметров. Однако они имеют разные условия наибольшей чувствительности. МФД имеет существенные преимущества в случае осцилляторов, индивидуально демонстрирующих периодическую (возможно, слабо возмущенную шумом) генерацию спайков. Он эффективен и для анализа режимов генерации беретов, если фаза определена так, что отражает динамику межберстовых интервалов. Трудности возникают в случае индуцированной шумом генерации спайков. Оценка ЧНК не применима в случае детерминированной периодической генерации. При введении слабого шума ЧНК можно использовать, но она менее чувствительна, чем метод МФД. При сильном шуме или хаотической генерации использование ЧНК становится предпочтительным. Метод МФД менее требователен к длине ряда и может быть применен к рядам, содержащим порядка 100 спайков. ЧНК требует гораздо больших объемов данных (около 1000 спайков) для получения надежных результатов, т.к. приходится строить АР-модели высокого порядка, чтобы достаточно точно воспроизвести спектры мощности наблюдаемых нелинейных процессов. Таким образом, метод МФД вновь оказывается более чувствительным при исследовании колебаний со слабой диффузией фазы и, что особенно важно на практике, в случае коротких временных рядов.

211 Вассс'и LA , Sameshima К. // Biological Cybernetics, 2001. V. 84, pp. 463-474.

В седьмой главе метод оценки связей, основанный на моделировании фазовой динамики, обобщается на широкий круг ситуаций: ансамбли осцилляторов, произвольно сложные нелинейные связи, запаздывающие связи.

В разделе 7.1 предложен метод диагностики связей в ансамбле из М осцилляторов ( М > 2 ). Для этого строится модель в виде М фазовых осцилляторов:

Ф^ + т)-Фк(') = Ш('Ш<),--.,Фм«)) + еЛ<), * = 1 (Ю)

где г - фиксированный интервал, ек - независимые гауссовские шумы с нулевым средним и автокорреляционной функцией, линейно спадающей до нуля на интервале [0,г], Рк - многочлены первого порядка (в случае осцилляторов с близкими частотами такие функции содержат резонансные члены)

РкШ1)МЧ-М)) = <*к,о + Т{а^со5^-фк) + 0^5\пЩ-фк)). (11)

ни'*)

В работе показано, что дисперсия приращения фазы к-го осциллятора

и

= + представляет собой сумму а\фк = + агц, где

.НО**)

а]к - дисперсия шума £к, а слагаемые = ~[akJ + Рк,) 3 характеризуют силы

воздействия у -> к. Таким образом, дисперсия приращения фазы (интенсивность частотной модуляции) представлена как суммарный эффект воздействия М факторов: собственного шума и М-\ осцилляторов ансамбля. Это можно толковать как физический смысл введенных количественных характеристик связи. Предложены различные варианты нормировки величин с^к, позволяющие выразить силы связи в относительных единицах. Предложены и оценки величин по временным рядам, включая расчет уровня значимости выводов о

наличии воздействий у -» к. Последний основан на доказательстве того факта, что в случае несвязанных осцилляторов оценки &нк = + А2,;] при должной нормировке распределены по закону х1 с Двумя степенями свободы.

Применимость метода показана в численных экспериментах на эталонных системах с различными свойствами: ансамблях фазовых осцилляторов, осцилляторов Ван-дерПоля, хаотических систем Ресслера, цепочки генераторов, описываемой дискретным уравнением Гинзбурга - Ландау. Пример анализа ансамбля из 10 фазовых осцилляторов со случайной структурой связей (рис.5,а) по отдельному временному ряду длиной 300 характерных периодов представлен на рис.5,б,в. На диаграммах квадрат с горизонтальной координатой у и вертикальной координатой к представляет результат оценки воздействия у —>■ к. Диаграммы показывают, что на уровне значимости р = 0.05 выявлены 18 из 20 связей и ошибочно диагностированы 2 связи, что допустимо при данном р (рис.5,б). Значение р = 0.005 обеспечивает отсутствие ложных выводов для данного ряда, но повышает вероятность не выявить существующие связи. Дос-

товерно обнаружить все связи можно при увеличении длины ряда. Как показывает анализ набора временных рядов, эти результаты типичны.

а) б) в)

Рис.5. Ансамбль из 10 фазовых осцилляторов: а) структура связей; б),в) диаграммы результатов оценки связей при р = 0.05 (б) и р = 0.005 (в). Черный цвет означает существующую связь, выявленную на уровне значимости р; двойная штриховка — существующую связь, не выявленную на уровне р; вертикальная штриховка - отсутствующую связь, ошибочно признанную существующей; белый цвет - отсутствующую связь, не признанную существующей.

По результатам численных экспериментов сформулированы эмпирические критерии применимости метода, связанные с требованиями достаточной длины ряда, зависящей от размера ансамбля, невысокой степени синхронности колебаний, определенных корреляционных свойств фазовых шумов. Показано, что предложенный метод различает прямые и опосредованные связи и может использоваться для анализа сравнительно коротких рядов.

В разделе 7.2 метод обобщен на ситуацию, когда для описания связей требуется использовать многочлены Fk произвольно высокого порядка в уравнениях (10). Предложены теоретические характеристики связи. Для оценки статистической значимости выводов доказано, что оценки этих характеристик в случае несвязанных осцилляторов распределены по закону %2 с числом степеней свободы, зависящим от порядка нелинейности. Эффективность метода продемонстрирована на примерах фазовых осцилляторов, осцилляторов Ван-дер-Поля, систем Ресслера и систем Морриса - Лекара с различными видами связи.

В разделе 7.3 метод обобщен на случай запаздывающих связей. На основе известной точечной оценки времени запаздывания21 предложена интервальная оценка, что важно при анализе коротких рядов для получения надежного вывода о наличии ненулевого запаздывания. Идея состоит в том, что в модельные уравнения (10) вводится пробное время запаздывания А и строится зависимость среднего квадрата остаточных ошибок модели от А. Оценка времени запаздывания соответствует точке минимума этой зависимости с точностью до поправки, введенной в диссертационной работе для устранения смещения оценки.

Cimpoueriu /,. el ui // Phys. Rev. !•. 2004. V. 70. 046213.

*а, а.и.

2.0-1

0-

Дисперсия полученной оценки рассчитывается по кривизне зависимости в точке минимума согласно формализму оценок максимального правдоподобия. По значению дисперсии рассчитывается доверительный интервал для искомого значения времени запаздывания. Эффективность метода показана в численных экспериментах на эталонных осцилляторах с запаздывающей связью.

В третьей части диссертации развитые методы диагностики взаимодействия нелинейных систем применяются для решения практически важных задач нейрофизиологии и климатологии.

В восьмой главе представлены нейрофизиологические приложения. В разделе 8.1 исследуется взаимодействие между активностью глубоких структур мозга и колебаниями конечностей при паркинсоновском треморе. Последний представляет собой непроизвольные регулярные колебания конечностей с частотами от 4 до 7 Гц, при которых имеет место синхронная генерация импульсов нейронами суб'таламического ядра (СТЯ) - структуры мозга в базальных ганглиях - на близкой частоте. Функциональная роль этой синхронизации остается предметом обсуждений. Гипотеза о том, что она вызывает тремор, пока не получила убедительного эмпирического подтверждения. Для выяснения механизмов генерации тремора актуальна задача определения характера связей между активностью подкорковых структур мозга и колебаниями конечностей.

Данные от пациентов с болезнью Паркинсона были получены на факультете стереотак-сической и функциональной нейрохирургии Университета Кельна и в Институте нейро-науки и биофизики Исследовательского центра Юлих (Р. Таэз и др.). Они представляли собой одновременные записи сигналов акселерометров, закрепленных на руках, и локальных потенциалов с глубинных электродов, введенных в СТЯ. Пример одного из интервалов тремора представлен на рис.6. Фазы сигналов определялись после полосовой фильтрации около частоты тремора (например, 3-7 Гц на рис.6). Результаты были устойчивы к вариациям границ полосы фильтрации в широких пределах. Проводился анализ с помощью интервальных оценок связи (Р^Дел 5.3) при учете возможного запаздывания (раздел 7.3). Усло-

■Г), а.и. 0.4

-0.4 -0.8

-2.0

5 I, с 6) 2 5, а.и.

80.0

40.0

■ну . , 0

5 с

8 Ш /.Гц г)

Ю /.Гц

а)

30.0 20.0 10.0 ^

о 4

в) 2

Рис.6. Интервал спонтанного паркинсоновского тремора: а), б) сигнал акселерометра (начало интервала, общая длина которого 36 с) и одновременная запись ЛП, исходные сигналы - серые линии, результаты фильтрации в полосе 3-7 Гц - сплошные линии; в), г) оценки спектров мощности обоих сигналов.

у2.„(мо:!г тремор) 0.12 т гапхГ2..„

у1(2 (тремор -> мозг) шах у

вия применимости метода выполнялись. Рис.7 иллюстрирует наличие двунаправленной связи между СТЯ и тремором контралатеральной (противоположной) руки для интервала, показанного на рис.6. Оценка влияния тремора на активность СТЯ имеет максимум при нулевом пробном запаздывании. Как показано при более подробном исследовании, запаздывание связи в этом направлении может быть и

а)

0 200 400 600 800 1000 Л2-1. мс

б)

200 400 600 800 1000 Л^г, мс

Рис.7. Оценки связей для интервала на рис.6 в зависимости от пробного запаздывания (жирные линии). Тонкие линии - критические значения, соответствующие поточечному уровню значимости 0.025.

ненулевым, но в любом случае составляет не более 100 мс. Оценка влияния активности мозга на тремор имеет максимальное значение ^2 И(335мс) = 0.1. Запаздывание в этом направлении значимо отлично от нуля.

Описанные результаты хорошо воспроизводятся для нескольких десятков интервалов тремора от четырех пациентов. Их надежность подтверждается тестами на суррогатных данных22 и на математической модели в виде связанных осцилляторов, воспроизводящих наблюдаемые спектры мощности.

Нелинейная оценка причинности по Грейнджеру выявляет двунаправленную связь, но не дает стабильных оценок запаздывания, что может быть объяснено тем, что метод относится к широкой полосе частот, а не ограничен окрестностью частоты тремора. Линейная оценка достаточно уверенно выявляет влияние тремора на активность СТЯ, но не обнаруживает обратное воздействие.

Полученные результаты подтверждают гипотезу о том, что СТЯ играет активную роль в генерации паркиисоновского тремора. При этом нелинейность и большое запаздывание воздействия СТЯ на колебания руки указывает, что это воздействие является более сложным механизмом, чем простая передача нервных импульсов. Колебательная активность подкорковых структур мозга при паркинсоновском треморе, по-видимому, является процессом, связанным со сложной многоступенчатой обработкой информации. Что касается малого запаздывания связи в обратном направлении, оно соответствует времени прохождения импульсов по нервным волокнам.

В разделе 8.2 исследуется взаимодействие между различными структурами мозга крыс линии \VAGZRij - генетических моделей абсанс-эпилепсии. Абсанс-эпилепсия рассматривается как неконвульсивная генерализованная эпилепсия с неизвестным происхождением. ЭЭГ у людей во время типичных абсанс-припадков характеризуются последовательностями генерализованных пик-волновых комплексов, которые начинаются и прекращаются внезапно. Анало-

: Т. НсИгеЛсг. А. Яс1тШ:, // РЬуяюа О, 2000. V. 142, рр. 346-382.

гичные изменения ЭЭГ, которые называются пик-волновыми разрядами (ПВР), наблюдаются у крыс. Известно, что начало ПВР характеризуется увеличением когерентности между определенными областями мозга и предполагается, что цепочка кора-таламус-кора - первичный фактор возникновения и распространения ПВР. Однако действительный механизм не известен. В диссертационной работе проводился анализ взаимодействия областей мозга по одновременным записям локальных потенциалов до, во время, и после ПВР.

Экспериментальные данные предоставлены нейрофизиологами из Института высшей нервной деятельности и нейрофизиологии РАН (г. Москва) и Найме-генского университета (Нидерланды). Эксперименты проводились на пяти крысах, для каждой из которых записано несколько десятков ПВР. Записи проводились из лобной коры и вентропостеромедиального ядра таламуса, где эпилептическая активность наиболее устойчива. Оценки причинности по Грейнд-жеру рассчитывались в скользящих окнах различной длины. Показано, что двунаправленная связь между лобной корой и ядром таламуса присутствует всегда и резко усиливается в самом начале ПВР. При этом количественная характеристика силы воздействия ядра таламуса на лобную кору существенно больше и растет быстрее, чем для обратного воздействия.

В девятой главе представлены климатологические приложения развитых методов. Постановки задач и подбор данных для анализа осуществлены совместно с И.И. Моховым (Институт физики атмосферы им. A.M. Обухова РАН, Москва). В разделе 9.1 исследуется влияние солнечной и вулканической активности и содержания С02 в атмосфере на вариации глобальной приповерхностной температуры (ГПТ). Важность задачи связана с тем, что один из ключевых глобальных вопросов об относительной роли различных факторов изменений климата пока не получил убедительного разрешения при анализе данных наблюдений. В диссертационной работе он исследован с использованием оценок причинности по Грейнджеру и динамического эффекта воздействий.

Для анализа использовались данные для среднегодовой ГПТ Т (1856-2005 гг.),23 межгодовых вариаций потока солнечного излучения /,24 вулканической активности i7,25 содержания углекислого газа в атмосфере п.26 Временные ряды всех четырех процессов представлены на рис.8. ГПТ демонстрирует рост со средней скоростью 0.02 К/год в период 1985-2005 гг.

Попарные оценки причинности по Грейнджеру выявили наличие воздействий всех трех факторов на ГПТ на уровне значимости р < 0.05. При этом наиболее сильной оказывается зависимость ГПТ от С02, что еще более четко проявляется при оценке динамического эффекта воздействий. Это подробнее иллюстрируется ниже на результатах многокомпонентного анализа. Оптимальная четырехкомпонентная модель получена в виде:

Т, = а0 + + а4Т,_4 + Ъ,1,_х +byV,+ bnn,_, + ц,. (12)

23 Climate Research Unit (University of East Anglia): http://www.cni.uea.ac.uk

24 Lean J. el al. // Solar Physics. 2005. V.230. P.27-53.

25 SatoM: el al. Hi. Geophys. Res. 1993. V.98. P.22987-22994.

26 Conway J. etal. //J. Geophys. Res. 1994. V.99. P.22831-22855.

0.8 -пТ 0.4 -

а)

1366.8

У 1366.4 -1366 -1365.6 -

-0.8

2000

1365.2

2000

Рис.8. Используемые данные: а) ГПТ (отклонение от среднего значения за период 1961-1990 гг., К), б) солнечная постоянная (плотность мощности излучения в диапазоне от ИК до УФ, Вт/м2), в) вулканическая активность (оптическая толщина вулканического аэрозоля, безразм.), г) содержание С02 в атмосфере (ед. измерения ррш - число частиц на миллион).

Реализации этой модели, построенной по данным 1856-1985 гг., при «реальных условиях» (т.е. при подаче ей «на вход» настоящих сигналов I, п, V) близки к наблюдаемому ряду ГПТ и предсказывают рост ГПТ в 1985-2005 гг. со средней скоростью 0.015 К/год (рис.9,а). Если на вход модели подается сигнал / с удаленным трендом или нулевая вулканическая активность, то ничего не меняется в ее поведении, т.е. динамический эффект этих факторов мал. Если же подать на вход модели величину п на уровне 1856 года вместо настоящих данных по С02, то модель (12) не демонстрирует роста ГПТ (рис.9,б). Таким образом, 75% тренда ГПТ (0.015К/год из 0.02К/год) объясняется только при учете антропогенного фактора (СОг) в эмпирической модели. Результаты аналогичны при моделировании по данным за период 1856 -1 гг. при любых Ь > 1940.

1920 год

2000

Рис.9. Исходный ряд ГПТ (жирная линия) и 95%-ный интервал для ансамбля реализаций модели (12), построенной по данным за период 1856-1985 гг.: а) при реальных условиях С0, б) при условии л, = /?1856 и прочих, как в С0.

В разделах 9.2, 9.3, 9.4 исследовано взаимодействие между крупномасштабными процессами в азиатско-тихоокеанском регионе и северной и экваториальной Атлантике. А именно, проведен анализ связей процесса Эль-Ниньо/Южное колебание (ЭНЮК), который отражает вариации температуры поверхности

океана в экваториальных областях Тихого океана, с другими процессами. В разделе 9.2 выявлено воздействие ЭНЮК на Северо-Атлантическое колебание с помощью метода моделирования фазовой динамики и нелинейной оценки причинности по Грейнджеру по данным за период 1950-2004 гг. Это воздействие характеризуется эффектом запаздывания примерно на 2 года и усиливается в течение последних 10 лет. Обратного воздействия не выявлено.

В разделе 9.3 выявлено воздействие экваториальной атлантической моды (аналога ЭНЮК в экваториальной Атлантике) на ЭНЮК по данным за период 1870-2006 гг. с помощью линейной и нелинейной оценок причинности по Грейнджеру. Оно характеризуется временем инерционности 2 месяца и усиливается во второй половине XX века. Обратного воздействия не выявлено.

В разделе 9.4 выявлена двунаправленная связь ЭНЮК с индийским муссоном по данным за период 1871-2006 гг. Получены характеристики ее инерционности и нелинейности. Анализ вариаций оценок связи с использованием скользящего окна показывает, что взаимодействие этих процессов представляет собой чередование различных режимов, включая и интервалы почти однонаправленной связи. Полученные результаты имеют ценность для климатологии, т.к. расширяют сведения о крупномасштабных процессах, которые определяют сильные вариации климата на планете.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В диссертационной работе развит и апробирован комплекс практически эффективных методов для реконструкции уравнений динамики и диагностики взаимодействия нелинейных колебательных систем по временным рядам в условиях дефицита данных и сложности наблюдаемой динамики:

1. Для оценки параметров хаотических одномерных отображений по временным рядам предложен метод, дающий более точные результаты, чем известные подходы, при умеренном шуме наблюдений. Это преимущество растет с ростом длины ряда.

2. Показано, что при оценке параметров хаотических систем модифицированный метод множественной стрельбы, допускающий разрывы фазовой траектории модели на интервале наблюдения, позволяет использовать сколь угодно длинные временные ряды и смягчает требования к стартовым догадкам для искомых параметров и скрытых переменных.

3. Предложен метод подбора наиболее подходящего для построения модели варианта динамических переменных на основе тестирования аппроксимируемых зависимостей на однозначность и непрерывность.

4. Предложен метод оптимизации модельной функции на основе исключения лишних слагаемых, позволяющий получить модель, воспроизводящую наблюдаемую динамику в более широкой области фазового пространства, чем при использовании известных подходов.

5. Предложен способ описания внешних воздействий в эмпирической модели с помощью многочлена с переменными коэффициентами, что позволяет получать модели неавтономных систем с меньшим числом динамических переменных по сравнению с известными универсальными подходами.

6. Предложен метод оценки динамического эффекта воздействий различных факторов (процессов) на исследуемый процесс по временным рядам.

7. Предложен метод оценки связей между системами с переключениями.

8. Для диагностики связей между автоколебательными системами по коротким временным рядам предложен модифицированный метод моделирования фазовой динамики, основанный на учете корреляционных свойств фазовых шумов для контроля статистической значимости результатов.

9. Показано, что модифицированный метод моделирования фазовой динамики становится более чувствительным к слабой связи, чем другие известные методы, при уменьшении коэффициента диффузии фазы исследуемых процессов и длины временного ряда. Показана его применимость для оценки связей между нейронными осцилляторами.

10. Предложены обобщения метода моделирования фазовой динамики для анализа направленных связей в ансамбле осцилляторов (характеристики связи интерпретируются физически, аналитическая формула для уровня статистической значимости выводов позволяет выявлять структуру связей с заданной надежностью), оценки нелинейных связей, выявления запаздывающих связей и интервальной оценки времени запаздывания.

С помощью развитых методов в диссертационной работе получены новые результаты при исследований колебательных процессов из области радиотехники, биофизики, нейрофизиологии, климатологии:

11. Показано, что адекватное описание автономных колебаний колебаний аристы ОгояорЫ1а me¡anogaster, вызванных введением диметилсульфоксида, достигается с помощью уравнений автогенератора с одной степенью свободы. Получены характеристики диссипации и возвращающей силы.

12. Предложен способ получения эквивалентных характеристик нелинейных элементов электрических цепей в режимах больших амплитуд и хаоса. Он апробирован в физическом эксперименте и получен патент на изобретение.

13. Проведен анализ динамической нестационарности электроэнцефалограмм пациентов с височной эпилепсией с помощью реконструкции уравнений. Выявлены последовательные динамически стационарные участки во время эпилептического припадка.

14. Проведен анализ взаимодействия между активностью подкорковых структур мозга и колебаниями конечностей у пациентов с паркинсоновским тремором. Выявлена двунаправленная связь между этими процессами. Получены характеристики запаздывания и линейности/нелинейности воздействий.

15. Исследовано взаимодействие между различными областями мозга крыс генетической линии WAG/R¡j до, во время, и после пик-волновых разрядов. Установлено и количественно охарактеризовано усиление взаимодействия между ядрами таламуса и лобной корой в самом начале разряда.

16. Исследовано влияние солнечной и вулканической активности и содержания С02 в атмосфере на глобальную приповерхностную температуру (ГПТ). Показано, что при наличии влияния всех факторов рост ГПТ в последние десятилетия может быть объяснен только при учете С02 в эмпирической модели.

17. Выявлено и количественно охарактеризовано воздействие процесса Эль-Ниньо/Южное колебание (ЭНЮК) на Северо-Атлантическое колебание во второй половине XX века.

18. Исследована взаимосвязь процессов в экваториальных широтах Тихого и Атлантического океанов с использованием индексов ЭНЮК и экваториальной атлантической моды (ЭАМ) по данным за период 1870-2006 гг. Выявлено и количественно охарактеризовано влияние ЭАМ на ЭНЮК.

19. Проведен анализ взаимосвязи ЭНЮК и индийского муссона по данным за период 1871-2006 гг. Установлено, что связь является двунаправленной, и получены характеристики ее инерционности, нелинейности, вариаций во времени.

По мнению автора, полученные в диссертационной работе результаты вносят значительный вклад в развитие таких научных дисциплин, как теория колебаний, нелинейная динамика, статистическая радиофизика, и представляют практическую ценность для анализа нелинейных колебательных процессов различной природы по экспериментальным данным.

Список основных работ по теме диссертации

Статьи в научных журналах, рекомендованных ВАК

1. Смирнов ДА. Выявление нелинейных связей между стохастическими осцилляторами по временным рядам // Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 2010. Т. 18, № 2, с. 16-38.

2. Tass P., Smirnov D., Karavaev A., Barnikol U., Barnikol Т., Adamchic I., Hauptmann C., Pawelcyzk N., Maarouf M., Sturm V., Freund H.-J., Bezruchko B. The causal relationship between subcortical local field potential oscillations and parkinsonian resting tremor II J. Neural Engineering, 2010. V. 7, 016009.

3. Smirnov D.A., Bezruchko B.P. Detection of couplings in ensembles of stochastic oscillators // Phys. Rev. E, 2009. V. 79,046204.

4. Smirnov D.A., Mokhov I.I. From Granger causality to long-term causality: Application to climatic data // Phys. Rev. E, 2009. V. 80, 016208.

5. Мохов И.И., Смирнов Д.А. Эмпирические оценки воздействия естественных и антропогенных факторов на глобальную приповерхностную температуру // Доклады академии наук, 2009. Т. 426, № 5, с. 679-684.

6. Козленко С.С., Мохов И.И., Смирнов Д.А. Анализ причинно-следственных связей между Эль-Няньо в Тихом океане и ею аналогом в экваториальной Атлантике // Известия РАН. Физика атмосферы и океана, 2009. Т. 42, № 6, с. 754-763.

7. Smirnov D., Barnikol U.B., Barnikol Т.Т., Bezruchko В.P., Hauptmann С., Buehrle С., Maarouf M., Sturm V., Freund H.-J., Tass P.A. The generation of Parkinsonian tremor as revealed by directional coupling analysis // Europhys. Lett., 2008. V. 83, 20003.

8. Смирнов Д.А., Сидак E.B., Безручко Б.П. Статистические свойства оценки коэффициента фазовой синхронизации // Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 2008. Т. 16, № 2, с. 109-119.

9. Мохов И.И., Смирнов Д.А. Диагностика причинно-следственной связи солнечной активности и глобальной приповерхностной температуры Земли // Известия РАН. Физика атмосферы и океана, 2008. Т. 44, № 3, с. 283-293.

10. Безручко Б.П., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Смирнов Д.А., Тасс П.А. Моделирование и диагностика взаимодействия нелинейных колебательных систем по хаотическим временным рядам (приложения в нейрофизиологии) // Успехи физических наук, 2008. Т. 178, № 3, с. 323-329.

11. Sitnikova Е., Dikanev Т., Srairnov D., Bezruchko В., van Luijtelaar G. Granger causality: Cortico-thalamic interdependencies during absence seizures in WAG/Rij rats // J. Neuroscience Methods, 2008. V. 170, pp. 245-254.

12. Smirnov D., SchelterB., Winterhalder M., Timmer J. Revealing direction of coupling between neuronal oscillators from time series: Phase dynamics modeling versus partial directed coherence // Chaos, 2007. V. 17,013 111.

13. Смирнов Д.А., Карпеев И.А., Безручко Б.П. Выявление связи между осцилляторами по коротким временным рядам: условие применимости метода моделирования фазовой динамики // Письма в ЖТФ, 2007. Т. 33, вып. 4, с. 19-26.

.14. Безручко Б.П., Смирнов Д.А., Зборовский А.В., Сидак Е.В., Иванов Р.Н., Беспя-тов А.Б. Реконструкция по временному ряду и задачи диагностики // Технологии живых систем, 2007. Т.4, вып. 3, с. 49-56.

15. Смирнов Д.А. Диагностика слабой связанности между автоколебательными системами по коротким временным рядам: метод и приложения // Радиотехника и электроника, 2006. Т. 51. № 5, с. 569-579.

16. Смирнов Д.А., Бодров М.Б., Безручко Б.П. Интервальные оценки связанности между системами с переключениями // Письма в ЖТФ, 2006. Т. 32, вып. 18, с. 73-81.

17. Смирнов Д.А., Диканев Т.В., Веннберг Р., Перес Веласкес X.-JL, Безручко Б.П. Динамическая нестационарность в электроэнцефалограммах при височной эпилепсии //Биомедицинские технологии и радиоэлектроника, 2006. № 12, с.26-32.

18. Mokhov I.I., Smirnov D.A. El Nino Southern Oscillation drives North Atlantic Oscillation as revealed with nonlinear techniques from climatic indices // Geophys. Res. Lett., 2006. V. 33, L03708, doi:10.1029/2005GL024557.

19. Stoop R., Kern A., Goepfert M.C., Smirnov D.A., Dikanev T.V., Bezrucko B.P. A generalization of the van-der-Pol oscillator underlies active signal amplification in Droso-phila hearing // Eur. Biophys. J., 2006. V. 35, pp. 511-516.

20. Bezruchko B.P., Smirnov D.A., Sysoev I.V. Identification of chaotic systems with hidden variables (modified Bock's algorithm) // Chaos, Solitons, & Fractals, 2006. V. 29, pp. 82-90.

21. Мохов И.И., Смирнов Д.А. Исследование взаимного влияния процессов Эль-Ниньо - Южное колебание и Северо-Атлантического и Арктического колебаний нелинейными методами II Известия РАН. Физика атмосферы и океана, 2006. Т. 42. № 5, с. 650-667.

22. Диканев Т.В., Смирнов Д.А., Гепферт М., Керн А., Ступ Р., Безручко Б.П. Эмпирическая автоколебательная модель слуховой системы дрозофилы // Биомедицинские технологии и радиоэлектроника, 2006. № 12, с.54-60.

23. Smirnov D.A., Andrzejak R.G. Detection of weak directional coupling: phase dynamics approach versus state space approach II Phys. Rev. E, 2005. V.71, 036207.

24. Smirnov D.A., Bodrov M.B., Perez Velazquez J.L., Wennberg R.A., Bezruchko B.P. Estimation of coupling between oscillators from short time series via phase dynamics modeling: limitations and application to EEG data//Chaos, 2005. V. 15,024102.

25. Smirnov D.A., Vlaskin V.S., Ponomarenko V.I. Estimation of parameters in onc-dimensional maps from noisy chaotic time series // Phys. Lett. A, 2005. V. 336, pp. 44!!-458.

26. Смирнов Д.А., Бодров М.Б., Безручко Б.П. Оценка связанности между осцилляторами по временным рядам путем моделирования фазовой динамики: пределы применимости метода II Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 2004. Т. 12, № 6, с.79-92.

27. Смирнов Д.А., Власкин B.C., Пономаренко В.И. Метод оценки параметров одномерных отображений по хаотическим временным рядам // Письма в ЖТФ, 2005. Т. 31, вып. 3, с. 18-26.

28. Dikanev Т., Smirnov D., Wennberg R., Perez Velazquez J.L., Bezruchko B. EEG nonstationarity during intracranially recorded seizures: statistical and dynamical analysis // Clin. Neurophysiol., 2005. V. 116, pp. 1796-1807.

29. Безручко Б.П., Смирнов Д.А., Сысоев И.В. Реконструкция при наличии скрытых переменных (модифицированный алгоритм Бока) // Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 2004. Т.12, № 6, с. 93-104.

30. Smirnov D., Bezruchko В. Estimation of interaction strength and direction from short and noisy time series // Phys. Rev. E, 2003. V. 68, 046209.

31. Смирнов Д.А., Сысоев И.В., Селезнев Е.П., Безручко Б.П. Реконструкция моделей неавтономных систем с дискретным спектром воздействия // Письма в ЖТФ, 2003. Т. 29, вып. 19, с.69-76.

32. Диканев Т.В., Смирнов Д.А., Пономаренко В.И., Безручко Б.П. Three subprob-lt:ms of global model reconstruction from time series and their peculiarities // Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 2003. Т. 11, № 3, с.165-178.

33. Smirnov D., Bezruchko В., Seleznev Ye. Choice of dynamical variables for global reconstruction of model equations from time series//Phys. Rev. E, 2002. V. 65, 026205.

34. Безручко Б.П., Диканев Т.В., Смирнов Д.А. Тестирование на однозначность и непрерывность при глобальной реконструкции модельных уравнений по временным рядам // Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 2002. Т. 10, № 4, с. 6981.

35. Безручко Б.П., Селезнев Е.П., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Смирнов Д.А., Диканев Т.В., Сысоев И.В., Караваев А.С. Special approaches to global reconstruction of equations from time series II Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 2002. Т. 10, № 3, с. 137-158.

36. Bezruchko В., Smirnov D. Constructing nonautonomous differential equations from a time series//Phys. Rev. E, 2001. V. 63, 016207.

37. Bezruchko В., Dikanev Т., Smirnov D. Role of transient processes for reconstruction of model equations from time series // Phys. Rev. E, 2001. V. 64, 036210.

38. Безручко Б.П., Смирнов Д.А. Метод восстановления уравнений с гармоническим внешним воздействием по временному ряду // Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 2001. Т. 9, № 2, с. 27-38.

39. Безручко Б.П., Диканев Т.В., Смирнов Д.А. Глобальная реконструкция модельных уравнений по реализации переходного процесса // Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 2001. Т. 9, № 3, с. 3-14.

40. Безручко Б.П., Селезнев Е.П., Смирнов Д.А. Реконструкция уравнений неавтономного нелинейного осциллятора по временному ряду: модели, эксперимент // Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 1999. Т. 7, N° 1, с. 49-67.

Статьи в прочих журналах, монографиях и научных сборниках

41. Smirnov D.A., Bezruchko В.Р. Nonlinear dynamical models from chaotic time series: methods and applications II in Handbook, of Time Series Analysis (eds. M. Winterhalder, B. Schelter, J. Timmer). Berlin, Wiley-VCH, 2006, pp. 181-212.

42. Безручко Б.П., Смирнов Д.А. Современные проблемы моделирования по временным рядам // Известия Саратовского госуниверситета, серия "физика", 2006. Т. 6, вып. 1, с. 3-27.

43. Безручко Б.П., Бодров М.Б., Диканев Т.В., Караваев А.С., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Селезнев Е.П., Сысоев И.В., Смирнов Д.А. Некоторые проблемы реконструкции модельных уравнений по временным рядам и пути их решения // Нелинейные волны - 2004 (ред. А.В. Гапонов-Грехов, В.И. Некоркин). ИПФ РАН, Нижний Новгород, 2005. С. 381-397.

44. Пономаренко В.И., Смирнов Д.А., Бодров М.Б., Безручко Б.П. Глобальная реконструкция уравнений по временным рядам в приложении к определению направления связи // Вопросы прикладной физики: Межвузовский научный сборник. Выпуск 11 (ред. Ю.В. Гуляев, Н.И. Синицын, В.М. Аникин). Саратов: Изд-во ГосУНЦ "Колледж", 2004. С. 192-200.

45. Bezruchko В., Smirnov D., Dikanev Т., Sysoev I. Construction of dynamical model equations for nonautonomous systems from time series (peculiarities and special techniques) // in Chaos and its reconstructions (eds. G. Gouesbet, G. Meunier-Guttin-Cluzel, O. Menard). Nova Science Publishers, 2003. P. 215-243.

Патент

46. Безручко Б.П., Селезнев Е.П., Смирнов Д.А., Сысоев И.В. Патент на изобретение № 2265859. МПК 7 G 01 R 27/08,31/27. Способ определения характеристик нелинейных устройств. Патентообладатель ГОУ ВПО «Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского». № 2004115469/28(016733), заявл. 24.05.2004, зарегистрировано в Государственном реестре изобретений Российской Федерации 10.12.2005.

Монографии

47. Bezruchko В.Р., Smirnov D.A. Extracting knowledge from time series: An introduction to nonlinear empirical modeling. Springer, Berlin, 2010. in press.

48. Безручко Б.П., Смирнов Д.А., Математическое моделирование и хаотические временные ряды. Саратов: ГосУНЦ "Колледж", 2005. 320 с.

СМИРНОВ Дмитрий Алексеевич

РЕКОНСТРУКЦИЯ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ

И ДИАГНОСТИКА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ ПО ВРЕМЕННЫМ РЯДАМ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук 01.04.03-радиофизика

Подписано в печать 05.05.2010. Формат 60 х 84 1/16. Гарнитура Times. Объем 2,0 п.л.

Отпечатано ИП Беглаковой Е.С. 410004, г. Саратов, ул. Чернышевского, д. 46, кв. 64. Тираж 150 экз. Заказ №

ВВЕДЕНИЕ.

ЧАСТЬ I. Реконструкция уравнений динамики.

Глава 1. Оценка параметров хаотических систем.

1.1. Оценка параметров одномерных отображений.

1.1.1. Известные методы.

1.1.2. Оценка с использованием обратного отображения.

1.2. Оценка параметров в случае скрытых переменных.

1.2.1. Известные методы.

1.2.2. Модифицированный метод множественной стрельбы.

Основные результаты главы 1.

Глава 2. Восстановление нелинейных характеристик.

2.1. Оптимизация модельной функции.

2.2. Моделирование автоколебаний аристы дрозофилы.

2.2.1. Объект исследования и данные.

2.2.2. Предварительный анализ и выбор структуры модели.

2.2.3. Результаты моделирования.

2.2.4. Обсуждение.

2.3. Реконструкция уравнений неавтономных осцилляторов.

2.3.1. Особенности процедуры реконструкции.

2.3.2. Примеры эталонных осцилляторов.

2.4. Восстановление характеристик нелинейных элементов электрических цепей.

2.4.1. Контур с переключаемыми конденсаторами.

2.4.2. Контур с полупроводниковым диодом.

Основные результаты главы 2.

Глава 3. Реконструкция в случае черного ящика.

3.1. Известные методы реконструкции.

3.1.1. Реконструкция фазовой траектории.

3.1.2. Аппроксимация функций многих переменных.

3.2. Подбор динамических переменных.

3.3. Описание внешних воздействий.

3.4. Исследование динамической нестационарности.

3.3.1. Стационарность и нестационарность, эталонный пример.

За почти вековую историю своего развития радиофизика и ее идейная база - теория колебаний - постоянно расширяли круг объектов исследования и приложений своих методов. Если сначала речь шла о способах генерации и преобразования регулярных сигналов для радиосвязи и локации, то в последние десятилетия в центре внимания находятся сложные и хаотические сигналы, нелинейные колебательные процессы в системах различной природы [113]. Модели и методы радиофизики активно используются в различных областях - от физики до биологии, медицины и наук о Земле.

Отличительной чертой современного периода исследования колебаний является также цифровая форма представления и обработки информации: сигналы на выходе большинства современных измерительных приборов имеют вид временных рядов - дискретных последовательностей значений наблюдаемых величин. Подходы и идеи теории колебаний, нелинейной динамики, статистической радиофизики оказываются особенно плодотворными при анализе сигналов, демонстрирующих колебательный характер, нерегулярность, признаки нелинейности. В этом круге задач выделяется проблема реконструкции уравнений динамики (построения математической модели) по временным рядам, поскольку при ее успешном решении полученные уравнения могут использоваться для целого ряда приложений - от прогноза [14-17] до диагностики взаимодействия исследуемых систем [18-23]. Последнее очень востребовано в физике и химии [18,19], кардиологии [20,21], нейрофизиологии [22], климатологии [23]. Этими обстоятельствами обусловлена важность и актуальность темы диссертации, что подробнее обосновывается ниже.

Актуальность работы. Построение математических моделей по временным рядам получило название «идентификации систем» в математической статистике [24] и «реконструкции динамических систем» - в нелинейной динамике [25-27]. Предшественницами современных задач реконструкции были задачи аппроксимации, и статистического исследования зависимостей между наблюдаемыми величинами. Долгое время наблюдаемые процессы моделировались с помощью- явных функций времени 77 = /(/), аппроксимирующих множество экспериментальных точек на плоскости (/, 77), где / -время, 77 - наблюдаемая. Целью моделирования был прогноз будущего развития процесса или сглаживание зашумленных данных. В начале XX века серьезный шаг в развитии методов эмпирического моделирования нерегулярных процессов был сделан в математической статистике, когда было предложено использовать линейные стохастические модели [28]. Этот подход практически не имел альтернатив в течение полувека (1920-е - 1970-е) и нашел многочисленные приложения, особенно для прогноза и автоматического управления [29]. Успехи нелинейной динамики, обосновавшей возможность хаотического поведения нелинейных динамических систем малой размерности, и развитие вычислительной техники открыли перспективы успешного моделирования сложных процессов на основе нелинейных разностных и дифференциальных уравнений [30,31].

Обсуждая современное состояние проблемы, воспользуемся сложившейся типовой схемой реконструкции уравнений движения, которая включает в себя несколько этапов. На первом получают временной ряд; на втором -выбирают структуру модельных уравнений, т.е. все, кроме конкретных значений параметров; на третьем - оценивают параметры (подгонка модели); в итоге проверяют, удовлетворительно ли полученная модель описывает наблюдаемый процесс. Предложены теоретические идеи, обосновывающие алгоритмы действия на каждом этапе. При выборе структуры уравнений - это теоремы Такенса для реконструкции вектора состояния [32] и обобщенная аппроксимационная теорема для задания оператора эволюции [33]; при оценке параметров - минимизация различных целевых функций; при проверке адекватности модели — расчет метрических и топологических характеристик 8 аттрактора [34] и т.д. Тем не менее, на практике получить удовлетворительную модель с помощью* существующих универсальных подходов. зачастую не удается. Одним из широко известных препятствий является так называемое «проклятие размерности» - резко возрастающие с ростом размерности модели трудности аппроксимации и требования к объему и качеству данных. Но и кроме этого на каждом этапе процедуры моделирования остаются» нерешенные проблемы, связанные с оценкой параметров хаотических систем, оптимизацией структуры модели, выбором динамических переменных. Сложившаяся ситуация требует развития практически эффективных методов для реконструкции уравнений нелинейных колебательных систем в реалистичных условиях коротких временных рядов, хаотичности наблюдаемых процессов, нестационарности и зашумленности. Одним из перспективных направлений представляется разработка методов, ориентированных на избранные классы систем и задач, учитывающих особенности этих классов при выборе структуры модели, расширяющих возможности физической интерпретации результатов моделирования.

Среди практических приложений реконструкции в настоящее время выделяется обнаружение и оценка связей (диагностика взаимодействия) между нелинейными системами по данным наблюдений. Эта задача является обратной по отношению к исследованию динамики в ансамблях нелинейных колебательных скстем. Во многих работах [35-39] показано, что динамика существенно зависит от структуры связей между элементами ансамбля. В частности, эти связи определяют виды синхронизации, простоту или сложность динамики, образование различных пространственно-временных структур. Поэтому оценка связей дает важную информацию при исследовании различных объектов, а методы решения этой задачи представляют значительный практический интерес. При этом особенное внимание уделяется возможности получения оценок по коротким и нестационарным сигналам, широко распространенным в физике, биологии, науках о Земле.

Существуют «непосредственные» (не опирающиеся на построение моделей) методы выявления зависимостей между процессами, включая корреляционный и спектральный анализ, теоретико-информационные и нелинейно-динамические характеристики. Однако для оценки направленных связей, т.е. для ответа на вопрос о том, влияет ли один процесс на другой и с какой «силой», наиболее подходящим инструментом оказывается реконструкция уравнений. С 1960-х гг. широко применяется линейная оценка «причинности по Грейнджеру», основанная на построении линейных авторегрессионных моделей и расчете улучшения прогноза одного процесса при учете в модели данных о другом процессе [40]. Она позволяет с надежностью установить факт наличия связей между линейными системами, но сталкивается с трудностями при решении более сложных задач. Во-первых, физическая интерпретация ее количественных характеристик не очевидна: не ясно, в какой степени они отражают влияние связей на те или иные свойства наблюдаемой динамики. Во-вторых, при анализе нелинейных систем линейная оценка причинности по Грейнджеру часто оказывается не пригодной даже для выявления связей. Попытки ее нелинейных обобщений, использующие реконструкцию уравнений в универсальном виде, сталкиваются с упомянутыми выше общими трудностями нелинейного моделирования по временным рядам и, как следствие, с недостоверностью выводов о наличии связей. Более перспективный нелинейный метод оценки связей, предложенный для исследования колебательных систем, допускающих введение фазы, основан на моделировании фазовой динамики [41]. Однако его известный вариант ориентирован на случай длинных стационарных сигналов. Для коротких или нестационарных временных рядов получаемые с его помощью результаты не надежны, т.к. не исследованы статистические свойства итоговых оценок связи и не предусмотрена оценка статистической значимости выводов. Таким образом, для исследования взаимодействий между сложными колебательными процессами различной природы на практике требуются новые подходы, позво

10 ляющие получать физически интерпретируемые характеристики связей и применимые для исследования нелинейных систем в реалистичных постановках достаточно коротких и зашумленных временных рядов, нелинейных и запаздывающих связей, многих взаимодействующих систем.

Наконец, следует отметить, что теоретические идеи нелинейной динамики, на которых основаны реконструкция динамических систем, диагностика связей, решение ряда других задач, и соответствующие методы обычно тестируются на эталонных динамических системах в численном эксперименте. При этом количество работ, посвященных их приложениям для анализа реальных процессов относительно мало. Поэтому в последние годы все настойчивее интерес научного сообщества к практическим приложениям идей и методов теории колебаний и нелинейной динамики в биофизике, физиологии, науках о Земле. Таким образом, актуальность темы диссертации связана с необходимостью развития практически эффективных методов для реконструкции уравнений и диагностики взаимодействия нелинейных систем в условиях дефицита данных и сложности наблюдаемой динамики, а также их востребованностью при исследовании нелинейных колебательных процессов различной природы.

Целью диссертационной работы является развитие методов реконструкции уравнений и диагностики взаимодействия нелинейных колебательных систем в условиях дефицита данных и сложности наблюдаемой динамики и их приложения для анализа колебательных процессов различной природы.

Для достижения цели решались следующие основные задачи.

1. Разработка комплекса методов, повышающих эффективность процедуры реконструкции уравнений динамики по временным рядам, включая оценку параметров хаотических систем при дефиците данных, оптимизацию модельных функций, подбор динамических переменных. Апробация развитых методов при моделировании радиотехнических и биологических систем.

11

2. Разработка и апробация комплекса методов для диагностики взаимодействия вк ансамблях нелинейных колебательных систем, ориентированного на получение достоверных выводов о- наличии связей и физически интерпретируемых характеристик связи по относительно коротким временным рядам.

3. Приложения развитых методов диагностики-взаимодействия для исследования колебательных процессов в реальных системах различной природы, включая радиотехнические, нейрофизиологические и климатические.

На защиту выносятся следующие положения и результаты.

1) Разработанные методы оценки параметров хаотических динамических систем по зашумленным временным рядам дают более точные результаты, чем известные подходы. А именно, модифицированный метод множественной стрельбы, допускающий разрывы фазовой траектории на интервале наблюдения, позволяет эффективно использовать сколь угодно длинные ряды и смягчает требования к стартовым догадкам для искомых параметров. Для одномерных отображений использование обратного отображения при расчете целевой функции дает оценки параметров, среднеквадратическая погрешность которых в типичном случае уменьшается с ростом длины временного ряда N как 1/Ы в отличие от закона \/-Лм для подходов, основанных на сегментировании ряда.

2) Разработанный комплекс методов для реконструкции уравнений динамики расширяет возможности моделирования нелинейных колебательных систем по временным рядам. Он включает в себя приемы подбора динамических переменных на основе тестирования аппроксимируемых зависимостей на однозначность и непрерывность, оптимизации модельных уравнений за счет исключения лишних слагаемых, описания внешних воздействий за счет использования многочленов с переменными коэффициентами. По сравнению с известными подходами это позволяет получать модели с меньшим числом динамических переменных, воспроизводящие наблюдаемую динамику в более широкой области фазового пространства.

12

3) Предложенный метод оценки динамического эффекта воздействий по временным рядам позволяет количественно охарактеризовать, в какой степени различные свойства одного процесса зависят от других наблюдаемых процессов (факторов). Он основан на построении эмпирической модели и анализе ее динамики при искусственных изменениях рассматриваемых факторов. Это дополняет широко используемые характеристики причинности по Грейнджеру, которые позволяют выявить наличие связей между исследуемыми системами, но не дают возможности оценить степень влияния этих связей на динамику.

4) Предложенный модифицированный метод моделирования фазовой динамики, основанный на учете корреляционных свойств фазовых шумов, позволяет с заданной доверительной вероятностью делать выводы о наличии связей между двумя нелинейными колебательными системами по временным рядам длиной от двадцати характерных периодов колебаний. Метод становится более чувствительным к слабой связи, чем известные подходы (оценка частной направленной когерентности и статистика ближайших соседей в пространствах состояний), при уменьшении коэффициентов диффузии фазы исследуемых систем и длины временного ряда.

5) Предложенные обобщения метода моделирования фазовой динамики позволяют выявлять структуру связей в ансамблях колебательных систем, получать физически интерпретируемые характеристики взаимодействий, оценивать связи, характеризующиеся нелинейностью произвольно высокого порядка, получать интервальные оценки времени запаздывания связей.

6) По эмпирическим данным за период 1856 - 2005 гг. выявлено влияние вариаций солнечной и вулканической активности и содержания углекислого газа в атмосфере на вариации глобальной приповерхностной температуры (ГПТ) с помощью оценки причинности по Грейнджеру. Согласно оценке динамического эффекта воздействий рост ГПТ в последние десятилетия объясняется эмпирической моделью только при учете в ней вариаций содержания ео2.

7) По эмпирическим данным за период с 1870 г. до начала XXI в. с помощью метода моделирования фазовой динамики и оценки причинности по Грейнджеру выявлены связи процесса Эль-Ниньо - Южное колебание (ЭНЮК) в Тихом океане с процессами в других регионах. А именно, обнаружены и количественно охарактеризованы воздействие ЭНЮК на СевероАтлантическое колебание, воздействие экваториальной атлантической моды на ЭНЮК и двунаправленная связь между ЭНЮК и индийским муссоном.

8) При анализе записей локальных потенциалов* с глубинных электродов и сигналов.акселерометров с помощью метода моделирования фазовой динамики и линейной и нелинейной оценок причинности по Грейнджеру выявлена двунаправленная связь между активностью субталамического ядра (структуры мозга в базальных ганглиях) и колебаниями противоположной руки при паркинсоновском треморе. Влияние колебаний руки на активность субталамического ядра обнаруживается и линейным, и нелинейными методами. Обратное воздействие выявляется только нелинейными методами и характеризуется запаздыванием от 200 до 400 миллисекунд.

Достоверность научных выводов обусловлена теоретическим обоснованием разработанных методов реконструкции уравнений и оценки связей с позиций нелинейной динамики и математической статистики, тестированием методов на эталонных системах в численных экспериментах и установлением эмпирических критериев их применимости, согласованием результатов численных расчетов и физических экспериментов, совпадением ряда результатов с результатами других авторов. При анализе физических, физиологических и климатических процессов достоверность подтверждается также проверкой адекватности эмпирических моделей, выполнением критериев применимости методов, высокой статистической значимостью выводов согласно аналитичек ским оценкам и воспроизводимостью результатов. I 14

Научная новизна результатов работы состоит в следующем.

Предложен оригинальный метод оценки параметров хаотических одномерных отображений по зашумленным временным рядам. Впервые показано, что модифицированный метод множественной стрельбы позволяет эффективно использовать для оценки параметров сколь угодно длинные хаотические ряды. Предложен и апробирован комплекс методов, повышающих эффективность реконструкции уравнений динамики нелинейных колебательных систем по временным рядам по сравнению с известными подходами.

Предложен метод оценки динамического эффекта воздействий различных факторов на исследуемый процесс, дополняющий широко используемую идею причинности по Грейнджеру. Разработан оригинальный комплекс методов для оценки связей между нелинейными колебательными системами в условиях относительно коротких временных рядов и существенных шумов.

На основе анализа направленных связей по эмпирическим данным выявлено и охарактеризовано воздействие различных факторов на вариации глобальной приповерхностной температуры. По эмпирическим данным выявлены связи процесса Эль-Ниньо/Южное колебание с другими крупномасштабными климатическими процессами: Северо-Атлантическим колебанием, экваториальной атлантической модой и индийским муссоном.

Впервые по эмпирическим данным выявлено воздействие субталамиче-ского ядра на колебания конечностей у пациентов с паркинсоновским тремором и получена оценка времени запаздывания этого воздействия. Показано, что в начале пик-волнового разряда у крыс линии \\^АО/Яу связь между ядрами таламуса и лобной корой (двунаправленная и асимметричная) резко усиливается. Показано, что автономные колебания аристы ИгоБоркПа те1апо%а$1ег, вызванные введением диметилсульфоксида, адекватно описываются с помощью уравнений автогенератора с одной степенью свободы, и получены характеристики диссипации и возвращающей силы для этой системы.

Научное и практическое значение результатов работы.

В распространенной на практике ситуации, когда структура модели полностью известна из физических соображений, а все параметры и переменные имеют физический смысл, но не могут быть измерены, предложенные методы позволяют получить оценки параметров хаотических систем и восстановить временные ряды скрытых переменных.

В ситуации, когда структура модельных уравнений- отчасти известна, а неизвестны входящие в них функции (характеристики объекта), которые не могут быть непосредственно измерены, предложенный метод оптимизации структуры уравнений позволяет восстановить эти характеристики по временным рядам. Он апробирован при восстановлении эквивалентных характеристик нелинейных элементов электрических цепей. Получен патент на изобретение.

В ситуации, когда структура модели неизвестна, предложенный комплекс методов для реконструкции уравнений позволяет получать модели, точнее воспроизводящие наблюдаемую динамику в широкой области фазового пространства по сравнению с известными подходами, что имеет универсальное значение для моделирования колебательных процессов различной природы.

Метод оценки динамического эффекта воздействий позволяет установить, в какой степени те или иные свойства исследуемого процесса обусловлены различными факторами, т.е. охарактеризовать важность воздействий и предсказать изменения в наблюдаемой динамике при вариации упомянутых факторов.

Предложенный комплекс методов оценки связей между нелинейными колебательными системами позволяет решать практически важные задачи диагностики структуры связей в ансамбле и оценки нелинейности и запаздывания связей по относительно коротким временным рядам с контролируемой надежностью; Последнее: обстоятельство» важно« при нестационарности; сигналов и дефиците данных, что типично в нейрофизиологиши геофизике.

Модели, автономных колебаний apucrbi Drosophila melanogaster и полученные- нелинейные характеристики* значимы для биофизических исследований. Поскольку многие свойства спонтанных отоакустических излучений ■ насекомых и позвоночных аналогичны, этирезультаты должны быть t востребованы, при дальнейших исследованиях физики усилителя в улитке уха позвоночных.

Выявленное с помощью реконструкции уравнений деление эпилептического припадка на квазистационарные сегменты может стать основой для дальнейшего нейрофизиологического, анализа, направленного на изучение и классификацию таких сегментов, приразличных формах эпилепсии.

Результаты анализа: связей между колебаниями конечностей и активностью подкорковых структур мозга во время спонтанного паркинсоновского тремора важны для дальнейшего^ развития нейрофизиологических представлений о его механизме. Результаты соответствуют гипотезе о том, что исследуемые структуры мозга играют активную роль в генерации тремора. Однако представления о петле обратной связи, содержащей только линии; проведения нервных сигналов в обоих направлениях, по-видимому, следует обновить.

Результаты анализа климатических данных расширяют сведения о характере связей между крупномасштабными климатическими процессами, что важно в теории климата для усовершенствования и исследования моделей земной климатической системы и построения прогнозов.

Разработанные в диссертации методы и программы используются при проведении научных исследований в Институте физики атмосферы им. A.M. Обухова РАН (г. Москва). Результаты работы внедрены в учебный процесс на факультете нано- и биомедицинских технологий Саратовского госуниверситета. Они составили основу монографий [340, 341], содержащих образовательную компоненту, предназначенную для студентов и аспирантов.

Личный вклад соискателя; Соискатель лично сформулировал, рассмотренные в диссертации задачи, разработал новые методы реконструкции уравнений и оценки связей и компьютерные программы для-их реализации, провел тестирование и. сравнительный, анализ этих методов, выполнил основную часть работ по анализу экспериментальных данных. Выбор направления исследований и интерпретация ряда результатов осуществлялись совместно с проф. Б.П. Безручко. Некоторые результаты по тестированию методов и анализу экспериментальных данных получены совместно с Т.В. Ди-каневым, М.Б. Бодровым, И.В. Сысоевым, A.C. Караваевым, B.C. Власки-ным, С.С. Козленко, П.И. Наконечным. Лабораторные радиотехнические макеты для тестирования развитых методов в физическом эксперименте разработаны Е.П. Селезневым и В.И. Пономаренко. Постановки задач анализа нейрофизиологических и климатических данных и интерпретация соответствующих результатов- осуществлены совместно со специалистами в этих областях (И.И. Мохов, P. Tass, Е.Ю. Ситникова, Е. van Luijtelaar, R. Stoop, M. Goepfert, J.-L. Perez Velazquez, R. Wennberg).

Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертации составили содержание докладов на всероссийских школах «Нелинейные волны» (Нижний Новгород, 2002; 2004; 2006; 2008; 2010); международных школах «Хаотические автоколебания и образование структур» - ХАОС (Саратов, 1998; 2001; 2004; 2007); международных симпозиумах «Topical problems of nonlinear wave physics» (Нижний Новгород, 2003; 2005; 2008), «Topical problems of Biophotonics» (Нижний Новгород, 2007; 2009), «Nonlinear Theory and its Applications» - NOLTA (Дрезден, Германия, 2000); международных семинарах «Nonlinear Dynamics of Electronic Systems» - NDES (Борнхольм, Дания, 1999; Делфт, Нидерланды, 2001; Рапперсвиль, Швейцария, 2009), «WE Heraues Seminar» (Бад Хонеф, Германия, 2001), «PASCAL» (Лавин, Швейцария, 2005); международных конференциях «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, 1999; 2002; 2005; 2008), «Фундаменталь

18 ные проблемы физики» (Саратов, 2000), «Современные проблемы электроники СВЧ и радиофизики» (Саратов, 2001), «Synchronization of chaotic and stochastic oscillations» (Саратов, 2002), European Congress on Epileptology (Мадрид, Испания, 2002), IEEE on Circuits and Systems for Communications (Москва, 2004), «Dynamic Days» (Пальма-де-Майорка, Испания, 2004), «Идентификация систем и проблемы управления» - SICPRO (Москва, 2005), «Biomagnetism» (Ванкувер, Канада, 2006), «Nonlinear Dynamics, Chaos, and Applications» (Меллас, Крым, Украина, 2006); научно-практических конференциях «Системный анализ в проектировании и управлении» (Санкт-Петербург, 2004), «Новые технологии в экспериментальной биологии и медицине» (Ростов-на-Дону, 2007); научно-технических конференциях «Радиотехника и связь» (Саратов, 2005), «Физика и радиоэлектроника в медицине и экологии» (Суздаль, 2006); всероссийских симпозиумах «Медленные колебательные процессы в организме человека. Теоретические и прикладные аспекты нелинейной динамики в физиологии и медицине» (Новокузнецк, 2005; 2007); русско-японском семинаре по нейробиологии и нейродинамике «Bridging non-linear dynamics with cellular and molecular neuroscience» (Токио, Япония, 2008); всероссийских школах-семинарах «Волновые явления в неоднородных средах» (Звенигород, 2008; 2009); научных конференциях «Нано-электроника, нанофотоника и нелинейная физика» (Саратов, 2006; 2007; 2008; 2009) и «Состав атмосферы. Атмосферное электричество. Климатические процессы» (Борок, 2008); школах-семинарах «Методы компьютерной диагностики в биологии и медицине» (Саратов, 2007; 2008; 2009); конкурсах работ молодых ученых им. И.В. Анисимкина (ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН, Москва, 2005; 2006; 2007).

Результаты работы многократно обсуждались на научных семинарах Саратовского филиала Института радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН, Института физики атмосферы им. A.M. Обухова (г. Москва), Института медицины и Института вычислений им. Дж. фон Неймана Ис

19 следовательского центра Юлих (Германия), Центра по анализу данных и моделированию Фрайбургского университета (Германия), научной группы нелинейной динамики Потсдамского университета (Германия), факультета эпилептологии Боннского университета (Германия), Института познания и информации Наймегенского университета (Нидерланды), университета Торонто (Канада), кафедры динамического моделирования и биомедицинской инженерии Саратовского государственного университета.

Работы были поддержаны грантом Президента РФ для молодых кандидатов наук, Российским фондом фундаментальных исследований, Фондом содействия отечественной науке, Американским фондом гражданских исследований и развития для государств бывшего Советского Союза (CRDF), Немецким научным фондом (DFG), ФЦНТП «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития науки и техники на 2002-2006 годы», программами РАН и Министерства образования и науки РФ.

По теме диссертации опубликовано 67 работ (без учета тезисов докладов), в том числе 2 монографии, 40 статей в журналах, рекомендованных ВАК, 5 статей в прочих журналах, монографиях и научных сборниках, 1 патент, 15 статей в сборниках трудов научных конференций, 4 учебно-методических пособия [340-406].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, девяти содержательных глав, сгруппированных в три части, заключения и списка литературы. Объем диссертации - 390 страниц, включая 111 рисунков, 5 таблиц и список литературы из 406 наименований.

Основные результаты главы 9 опубликованы в работах [341, 361, 364, у 374, 376, 377, 379, 385, 386].

Заключение

В1.диссертационной работе развит и апробирован комплекс практически эффективных методов.для реконструкции уравнений динамики и.диагностики взаимодействия нелинейных колебательных систем по временным рядамв-условиях дефицита данных и сложности наблюдаемой динамики:

1. Для оценки параметров хаотических одномерных отображений по временным рядам предложен метод, дающий более точные результаты, чем известные подходы, при умеренном шуме1 наблюдений. Это преимущество растет с ростом длины ряда.

2. Показано, что при оценке параметров хаотических систем модифицированный метод множественной стрельбы, допускающий разрывы фазовой траектории модели на интервале наблюдения, позволяет использовать сколь угодно длинные временные ряды и смягчает требования к стартовым догадкам для искомых параметров1 и скрытых переменных.

3. Предложен метод подбора наиболее подходящего для построения модели варианта динамических переменных на основе тестирования аппроксимируемых зависимостей на однозначность и непрерывность.

4. Предложен метод оптимизации модельной функции на основе исключения лишних слагаемых, позволяющий получить модель, воспроизводящую наблюдаемую динамику в более широкой области фазового пространства, чем при использовании известных подходов.

5. Предложен способ описания внешних воздействий в эмпирической модели с помощью многочлена с переменными коэффициентами, что позволяет получать модели неавтономных систем с меньшим числом динамических переменных по сравнению с известными универсальными подходами.

6. Предложен метод оценки динамического эффекта воздействий различных факторов (процессов) на исследуемый процесс по временным рядам.

7. Предложен метод оценки связей между системами с переключениями.

8. Для диагностики связей между автоколебательными системами по коротким временным рядам предложен модифицированный метод моделирования фазовой динамики, основанный на учете корреляционных свойств фазовых шумов для контроля статистической значимости результатов.

9. Показано, что модифицированный метод моделирования фазовой динамики становится-более чувствительным к слабой связи, чем другие известные методы, при уменьшении коэффициента диффузии фазы исследуемых процессов и длины временного ряда. Показана его применимость для оценки связей между нейронными осцилляторами.

10. Предложены обобщения метода моделирования фазовой динамики для анализа направленных связей в ансамбле осцилляторов (характеристики связи интерпретируются физически, аналитическая формула для уровня статистической значимости выводов позволяет выявлять структуру связей с заданной надежностью), оценки нелинейных связей, выявления* запаздывающих связей и интервальной оценки времени запаздывания.

С помощью развитых методов в диссертационной работе получены новые результаты при исследовании колебательных процессов в радиотехнике, биофизике, нейрофизиологии, климатологии:

11. Показано, что адекватное описание автономных колебаний колебаний аристы Пго$орЫ1а melanogaster, вызванных введением диметилсульфок-сида, достигается с помощью уравнений автогенератора с одной степенью свободы. Получены характеристики диссипации и возвращающей силы.

12. Предложен способ получения эквивалентных характеристик нелинейных элементов электрических цепей в режимах больших амплитуд. Он апробирован в физическом эксперименте, получен патент на изобретение.

13. Проведен анализ динамической нестационарности электроэнцефалограмм пациентов с височной эпилепсией с помощью реконструкции уравнений. Выявлены последовательные динамически стационарные участки во время эпилептического припадка.

14. Проведен анализ взаимодействия* между активностью подкорковых структур мозга и колебаниями конечностей у пациентов с паркинсоновским тремором. Выявлена двунаправленная связь между этими процессами. Получены характеристики запаздывания и линейности/нелинейности воздействий.

15. Исследовано взаимодействие между различными областями мозга крыс генетической линии "\МАО/1Ц)' до, во время, и после пик-волновых разрядов. Установлено и количественно охарактеризовано усиление взаимодействия между ядрами таламуса и лобной корой в начале разряда.

16. Исследовано влияние солнечной и вулканической активности и содержания СОг в атмосфере на глобальную приповерхностную температуру (ГПТ). Показано, что при наличии влияния всех факторов рост ГПТ в последние десятилетия может быть объяснен только при учете СО2 в эмпирической модели.

17. Выявлено и количественно охарактеризовано воздействие процесса Эль-Ниньо/Южное колебание (ЭНКЖ) на Северо-Атлантическое колебание во второй половине XX века.

18. Исследована взаимосвязь процессов в экваториальных широтах Тихого и Атлантического океанов с использованием индексов ЭНКЖ и экваториальной атлантической моды (ЭАМ) по данным за период 1870-2006 гг. Выявлено и количественно охарактеризовано влияние ЭАМ на ЭНКЖ.

19. Проведен анализ взаимосвязи ЭНКЖ и индийского муссона по данным за период 1871—2006 гг. Установлено, что связь является двунаправленной, и получены характеристики ее. инерционности, нелинейности, вариаций во времени.

По мнению автора, полученные в диссертационной работе результаты вносят значительный вклад в развитие таких научных дисциплин, как теория колебаний, нелинейная динамика, статистическая радиофизика, и представляют большую практическую ценность для анализа нелинейных колебательных процессов различной природы по экспериментальным данным.

351

Благодарности

Выражаю искреннюю признательность своему научному консультанту профессору Борису Петровичу Безручко за постоянное внимание к работе, многочисленные полезные советы и участие в решении многих рассмотренных задач. Благодарю весь состав группы нелинейного динамического моделирования (сотрудников СФ ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН и Саратовского госуниверситета): д.ф.-м.н. Е.П. Селезнева и д.ф.-м.н. В.И. Пономаренко за обеспечение физического эксперимента и участие в ряде работ по теме диссертации; д.ф.-м.н. М.Д. Прохорова за полезное обсуждение работы в течение многих лет; к.ф.-м.н. Т.В. Диканева, к.ф.-м.н. И.В. Сысоева, к.ф.-м.н. A.C. Караваева, к.ф.-м.н. М.Б. Бодрова, И.В. Карпеева, B.C. Власкина, П.И. Наконечного, Е.В. Сидак за сотрудничество по ряду задач, рассмотренных в диссертации.

Для выполнения работы было исключительно полезным сотрудничество с коллегами-климатологами (чл.-корр. РАН И.И. Мохов и асп. С.С. Козленко, ИФА им. A.M. Обухова РАН), нейрофизиологами (P. Tass, J.-L. Perez Velazquez, R. Wennberg, Е.Ю. Ситникова, Е. van Luijtelaar) и физиками (R. Stoop, А. Kern, J. Timmer, В. Schelter, М. Winterhaider, R. Andrzejak).

Благодарю рецензентов работы проф. Н.М. Рыскина, проф. А.П. Кузнецова, проф. B.C. Анищенко за полезные замечания и советы.

1. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984.

2. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987.

3. Дмитриев А.С., Кислое В.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. М.: Наука, 1989.

4. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990.

5. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Физматлит, 1997.

6. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Астахов В.В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Саратов: изд-во СГУ, 1999.

7. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М.: Эдиториал УРСС, 2000.

8. Кузнецов С.П. Динамический хаос. М.: Наука, 2001.

9. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Рыскин Н.М. Нелинейные колебания. М.: Физматлит, 2002.

10. Anishchenko V.S., Astakhov V.V., А.В. Neiman, et al. Nonlinear effects in chaotic and stochastic systems. Springer, Berlin, 2002.

11. Дмитриев А.С., Панас A.M. Динамический хаос: новые носители информации для систем связи. М.: Физматлит, 2002.

12. Матросов В.В., Шалфеев В.Д. Динамический хаос в фазовых системах. Н. Новгород: изд-во ННГУ, 2007.

13. Лоскутов А.Ю., Михайлов А. С. Основы теории сложных систем. М.Ижевск: Институт комп. исследований, 2007.

14. Farmer J.D., Sidorowich J.J. Predicting chaotic time series // Phys. Rev. Lett. 1987. V. 59. P. 845-848.

15. Макаренко Н.Г. Эмбедология и нейропрогноз // Труды V Всеросс. конф. «Нейроинформатика-2003». Москва; 2003. Ч. 1. С. 86-148^

16. Miyazaki J., Kinoshita S. Determination of a coupling, function in multicoupled oscillators //Phys. Rev. Lett. 2006. V. 96, 194101.19: Tokuda I.T. et al. Inferring phase equations from multivariate time series // Phys. Rev. Lett. 2007. V. 99; 064101.

17. Rosenblum M.G., Cimponeriu L., Bezerianos A., Patzak A., Mrowka R. Identification' of coupling direction: Application- to cardiorespiratory interaction // Phys. Rev. E, 2002. V. 65, 041909.

18. Prokhorov M.D., Ponomarenko V.I., Gridnev V.I., Bodrov M.B., Bespyatov A.B. Synchronization between main rhythmic processes in the human cardiovascular system//Phys. Rev. E, 2003. V. 68, 041913.

19. Pereda E., Quian Quiroga R, Bhattacharya J. Nonlinear multivariate analysis of neurophysiological signals // Progress in Neurobiology, 2005. V. 77, pp. 137.

20. Лъюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. М.: Наука, 1991.

21. Chaos and Its Reconstructions / Eds. G. Gouesbet, S. Meunier-Guttin-Cluzel, O. Menard. Nova Science Publishers, New York, 2003.

22. Павлов A.H., Янсон Н.Б., Анищенко B.C. Реконструкция динамическихсистем // Радиотехника и электроника. 1999. Т. 44, вып.9. С. 1075-1092.

23. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. М.: Мир, 1974.

24. Abarbanel H.D.I. Analysis of observed chaotic data. Springer, New York, 1996.

25. Kantz H., Schreiber 71 Nonlinear time series analysis. Cambridge University Press, Cambridge; 1997.

26. Tokens F. Detecting strange attractors in* turbulence // Lec. Notes in Math., 1981. V. 898. P. 366-381.

27. Горбанъ A.H: Функции многих переменных и нейронные сети // Соросов-ский образовательный-журнал. 1998. № 12. С. 105-112.

28. Афраймович B.C., Некоркин В.И., Осипов Г.В., Шалфеев В.Д. Устойчивость, структуры и хаос в нелинейных сетях синхронизации. Горький: ИПФ АН СССР, 1989.

29. Mosekilde Е., Maistrenko Yu., Postnov D. Chaotic synchronization. Applications to Living Systems. World Scientific, Singapore, 2002.

30. Boccaletti S., Kurths J., Osipov G., Valladares D., Zhou C. The synchronization of chaotic systems // Phys. Rep. 2002. V.366. P.l.

31. Пиковский А.С., Розенблюм М.Г., Курте Ю. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление. М.: Техносфера, 2003.

32. Osipov G.V.,. Kurths Ji, Zhou- С. Synchronization in oscillatory networks; Springer, Berlin; 2007.

33. Granger C.W.J. Investigating causal relations, by econometric models and cr0ss-spectral?meth0dsi//Econometrica^ 1969; ¥.37:.Б:424-438;

34. Rosenblum M.G., Pikovsky A.S. Detecting1direction ofcoupling inunteracting oscillators // Phys. Rev. E, 2001. V. 64, 045202(R).

35. Гинсберг КС., Басанов Д.М: Идентификация и задачи управления // Труды IV межд. конф. SICPRO. М.: ИЛУ РАН, 2005. С. 56-63.

36. Timmer J., Rust H., Horbelt W., Voss H. Parametric, nonparametric and parametric modelling of archaotic circuit time series. Phys. Lett. A, 2000. V. 274. P. 123-134.

37. Horbelt W., Timmer J., Btinner MJJ., Meiicci, R. Giofini M. Identifying physical properties of a GO2 laser by dynamical modeling of measured time series // Phys. Rev. E, 2001. V. 64. 016222.

38. Tokuda I., Parlitz U., Illing L., Kennel M:, Abarbanel H.D.I. Parameter estimation for neurons // Experimental Chaos, Proceedings of the 7th Experimental Chaos Conference, San Diego, USA, 2002.

39. Swameye I., Muller T.G., Timmer J., Sandra O., Klingmuller U. Identification of nucleocytoplasmic cycling as a remote sensor in cellular signaling by data-based modeling. // Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 2003. V 100. P. 1028-1033.

40. Pisarenko V.F., Sornette D. Statistical methods of parameter estimation for de-terministically chaotic time series //Phys. Rev. E, 2004. V. 69. 036122.

41. Jaeger L., Kanrz H. Unbiased reconstruction of the dynamics underlying anoisy chaotic time series // Chaos. 1996. V. 6. P: 440-450.

42. McSharry P:E., Smith L.A: Better Nonlinear Models from Noisy Data: Attrac-tors with Maximum Likelihood // Phys. Rev. Lett. 1999. V. 83. P. 4285-4288.

43. Бутковский О.Я., Кравцов Ю.А., Логунов М.Ю: Анализ погрешности восстановления, параметров нелинейного отображения по зашумленным хаотическим временным рядам // Изв. вузов. Радиофизика; 2002. Т. 45, № 1. С. 55-66.

44. Judd К. Chaotic time series reconstruction by the Bayesian paradigm: Right results by wrong methods? // Phys. Rev. E. 2003. V. 67. 026212.

45. Horbelt W., Timmer J. Asymptotic scaling laws for precision of parameter estimates in dynamical systems // Phys. Lett. A. 2003. V. 310. P. 269-280.

46. Bock H.G. Numerical treatment of inverse problems in chemical reaction kinetics // Modelling of Chemical Reaction Systems / Eds. K.H. Ebert, P. Deuflhard, W. Jaeger, et al. Springer, New York, 1981. P: 102-125.

47. Baake E., Baake M, Bock H.J., Briggs KM. Fitting ordinary differential equations to chaotic data // Phys. Rev. A. 1992. V. 45. P. 5524-5529.

48. Breeden J.L., Hubler A. Reconstructing equations of motion from experimental data with unobserved variables I I Phys. Rev. A. 1990. V. 42. P. 5817-5826.

49. Parlitz U. Estimating model parameters from time series by auto-synchronization // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 76. P. 1232-1235.

50. Voss H.U., Timmer J., Kurths J. Nonlinear dynamical system identification from uncertain and indirect measurements // Int. J. Bif. Chaos. 2004. V. 14. P. 1905-1933.

51. Аносов О.Л., Бутковский О.Я., Кравцов Ю.А. Минимаксная процедура идентификации хаотических систем по наблюдаемой временной последовательности // Радиотехника и электроника, 1997. Т. 42, № 3. С. 313-319.

52. Фейгин A.M., Молъков Я.И., Мухин Д.Н., Лоскутов Е.М. Прогноз качественного поведения динамической системы по хаотическому временному ряду // Изв. ВУЗов. Радиофизика, 2001. Т. 44, № 5-6. С. 376-399.

53. Farmer J.D., Sidorowich J.J. Optimal shadowing and noise reduction // Physica D, 1991. V. 47. P. 373-392.

54. Andreyev Yu.V., Dmitriev A.S., EJremova E.V. II Phys. Rev. E, 2002. V. 65. 046220.

55. Ибрагимов И.А., Хасъминский Р.З. Асимптотическая теория оценивания. М.: Наука, 1979. 528 с.

56. Деннис Дж., Шнабелъ Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений. М.: Мир, 1988. 440 с.

57. Horbelt W. Maximum likelihood-estimation in dynamical systems: PhD thesis. University of Freiburg, Freiburg, 2001. http://webber.physik.uni-freiburg.de/~horbelt/diss/.

58. Mukhin D.N., FeiginA.M., Loskutov E.M., Molkov Ya.I. Modified Bayesian approach for the reconstruction of dynamical systems from time series // Phys. Rev. E, 2006. V. 73.036211.

59. Loskutov E.M., Molkov Ya.I., Mukhin D.N., Feigin A.M. Markov chain Monte. Carlo method in Bayesian reconstruction of dynamical systems from noisy chaotic time series // Phys. Rev. E, 2008. V. 77. 066214.

60. Hegger R., Kantz H., Schmuser F., et al. Dynamical properties of a ferroelectric capacitors observed through nonlinear time series analysis // Chaos. 1998. V. 8. P. 727-754.

61. Aguirre L.A., Freitas U.S., Letellier C., Maquet J. Structure-selection techniques applied to continuous-time nonlinear models // Physica D. 2001. V. 158. P. 1-18.

62. Judd K., Mees A.I. On selecting models for nonlinear time series // Physica D. 1995. V. 82. P. 426-444.

63. Goepfert M.C., Robert D. Active auditory mechanics in mosquitoes // Proc. R. Soc. Lond. В 2001. V. 268. P. 333-339.

64. Goepfert M.C., Robert D. Motion generation by Drosophila mechanosensory neurons //Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 2003. V. 100. P. 5514-5519.

65. Goepfert M:C., HumpfriesA.D.L., Albert J.T., Robert D., Hendrich O. Power gain exhibited by motile neurons in Drosophila ears- // Proc. Natl: Acad. Sci. U.S.A. 2005. V. 102. P: 325-330.

66. Gold T. Hearing-II: The physical, basis of the action of the1 cochlea // Proc. R. Soc. Lond. B; 1948, V. 135: P: 492-498.

67. Kennedy H.J., Crawford A. C., Fettiplace R. Force generation by mammalian hair bundles supports a role in cochlear amplification // Nature, 2005. V. 433. P. 880-883.

68. Martin P., Mehta A.D., Hudspeth A.J. Negative hair-bundle stiffness betrays a mechanism for mechanical amplification by the hair cell // Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 2000. V. 97. P. 12026-12031.

69. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Гидродинамика. M.: Наука, 1986.

70. Choe Y., Magnasco M.O., Hudspeth A.J. A model for amplification of hair-bundle motion by cyclical binding of Ca2+ to mechanoelectrical-transduction channels //Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 1998. V. 95. P. 15321-15326.

71. Camalet S., Duke Т., Julicher F., Prost J. Auditory sensitivity provided by self-tuned critical oscillations of hair cells // Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 2000. V. 97. V. 3183-3188.

72. Eguyluz V.M., Ospeck M., Choe Y., Hudspeth A.J., Magnasco M.O. Essential nonlinearities in hearing // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 84. P. 5232-5235.

73. Duke Т., Julicher F. Active.traveling wave in the cochleat// Phys. Rev. Lett. 2003. V. 90: 158101.

74. Magnasco M.O. A wave traveling over a Hopf instability shapes the cochlear tuning curve // Phys. Rev. Lett. 2003'. V. 90:058101. P. 1-4.

75. Kern A., Stoop R. Essential role of couplings between hearing nonlinearities // Phys. Rev. Lett. 2003. V. 91:128101.

76. Stoop R., Kern A. Two-tone suppression and combination tone generation as computations performed by the Hopf cochlea // Phys. Rev. Lett. 2004. V. 93:268103.

77. Julicher F., Andor D., Duke T. Physical basis of two-tone interference in hearing // Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 2001. V. 98. P. 9080-9085.

78. Sisto R., Moleti A. Modeling otoacoustic emissions by active nonlinear oscillators // J. Acoust. Soc. Am. 1999. V. 106. P. 1893-1906.

79. Scheffczyk G., Parlitz U., Kurz Т., Knop W., Lauterborn W. Comparison of bifurcation structures of driven dissipative nonlinear oscillators // Phys. Rev. A, 1991, V.43, No. 12. P.6495-6502.

80. Пасынков B.B., Чиркин JI.K, Шинков А.Д. Полупроводниковые приборы. М.: Высшая школа, 1981. 488 с.

81. Степаненко И.П. Основы микроэлектроники. М.: Лаборатория базовых знаний, 2000. 431 с.

82. Linsay P.S. Period doubling and chaotic behavior in a driven anharmonic oscillator//Phys. Rev. Lett. 1981. V. 47. P. 1349-1352.

83. Testa J., Perez J., Jeffries C. Evidence for universal behavior of a driven nonlinear oscillator // Phys. Rev. Lett. 1982. V. 48. P. 714-717.

84. Klinker Т., Meyer-Ilse W., Lauterborn W. Period doubling and chaotic behavior in a driven Toda oscillator // Phys. Lett. A, 1984. V. 101. P. 371-375.

85. Bronson S.D., Dewey D., Linsay P.S. Self-replicating attractor of a driven semiconductor oscillator // Phys. Rev. A, 1983. V. 28. P. 1201-1203.

86. Астахов В.В., Безручко Б.П., Селезнев Е.П. Исследование динамики нелинейного колебательного контура при гармоническом воздействии // Радиотехника и электроника, 1987. Т. 32*, №12. С. 2558-2566.

87. Matsumoto Т., Chua L.O., Тапака S. Simplest chaotic nonautonomous circuit //Phys: Rev. A, 1984. V. 30: P. 1155-1158:

88. Максимов А. С., Максимов-H:А. Динамика нелинейного колебательного конутра с р-п-переходом при различных напряжениях смещения и воздействии внешнего гармонического сигнала // ЖТФ, 1989. Т. 59; № 8. С. 147-149.

89. Кипчапгов А.А: Особенности сложной динамики неавтономного нелинейного контура//Изв. ВУЗов. Радиофизика, 1989. Т. 33, № 2. С. 182-190.

90. Grutchfield J.P., McNamara B.S. Equations of motion from a data series // Complex Systems. 1987. V. 1. P. 417-452.

91. Cremers J., Hubler A. Construction of differential» equations from experimental data // Z. Naturforschung A. 1987. V. 42. P. 797-802.

92. Broomhead D.S., Lowe D. Multivariable functional .interpolation and adaptive networks // Complex systems. 1988. V. 2. P. 321-355.

93. Abarbanel H.D.I., Brown R., Kadtke J.B. Prediction and system identification in chaotic nonlinear systems: time series with broadband spectra // Phys. Lett. A. 1989. V. 138. P. 401-408.

94. Breeden J.L., Hubler A. Reconstructing equations of motion from experimental data with unobserved variables // Phys. Rev. A. 1990. V. 42. P. 58175826.

95. Mees A.I. Dynamical systems and tesselations: Detecting determinism in data // Int. J. Bif. Chaos. 1991. V. 1. P. 777-794.

96. Gouesbet G. Reconstruction of the vector fields of continuous dynamical systems from scalar time series // Phys. Rev. A. 1991. V. 43. P. 5321-5331.

97. Giona M., Lentini F., Cimagalli V. Functional reconstruction and local prediction of chaotic time series // Phys. Rev. E. 1991. V.44. P. 3496-3502.

98. Smith L.A. Identification and prediction of low-dimensional dynamics I I

99. PhysicaD. 1992. V. 58. P. 50-76.

100. Гликлих Ю.Е. Что такое гладкое многообразие // Соросовский1 образовательный журнал. 1998. № 11. С. 155-159.

101. Макаренко Н.Г. Фракталы, аттракторы, нейронные сети и все такое // «Нейроинформатика-2002». М., 2002. Ч. 2. С. 121-169.

102. Sauer Т., Yorke J.A., Casdagli М. Embedology // J. Stat. Phys. 1991. V. 65, №3-4. P. 579-616.

103. Gibson J.F., Farmer J.D., Casdagli M, Eubank S. An analytic approach to practical state space reconstruction // Physica D. 1992. V. 57. P. 1-30.

104. Fraser A.M., Swinney H.L. Independent coordinates for strange attractors from mutual information // Phys. Rev. A. 1986. V. 33. P. 1131-1140.

105. Liebert W., Schuster H.G. Proper choice the of time delay for the analysis of chaotic time series // Phys. Lett. A. 1989. V. 142. P. 107-111.

106. Eckmann J.P., Ruelle D. Ergodic theory of chaos and strange attractors // Rev. Mod. Phys. 1985. V. 57. P. 617-656.

107. Judd K., Mees A.I. Embedding as a modeling problem // Physica D. 1998. V. 120. P. 273-286.

108. Kennel M.B., Brown R., Abarbanel H.D.I. Determining embedding dimension for phase-space reconstruction using a geometrical construction // Phys.Rev. A. 1992. V. 45. P. 3403-3411.

109. Broomhead D.S., King G.P. Extracting qualitative dynamics from experimental data // Physica D. 1986. V. 20. P. 217-236.

110. Grassberger P., Procaccia I Measuring the strangeness of strange attractors // Physica D. 1983. V. 9. P. 189-208.

111. Ланда П.С., Розенблюм М.Г. Сравнение методов конструирования фазового пространства и определения размерности аттрактора по экспериментальным данным // ЖТФ. 1989. Т. 59, № 11. С. 1-8.

112. Brown R., Rulkov N.F., Tracy E.R. Modeling and synchronizing chaotic systems from experimental data // Phys. Lett. A. 1994. V. 194. P. 71-76.

113. Huang N.E., Shen Z, Long S.R. The empirical'1 mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis // Proc. R. Soc. Lond. A. 1998. V. 454. P. 903-995.

114. Cao L., Mees A.I., Judd■ K. Dynamics from multivariate time series // PhysicaD. 1998. V. 121. P. 75-88.

115. Cellucci C.J., Albano A.M., Rapp P.E. Comparative study of embedding methods // Phys. Rev. E. 2003. V. 67. 066210.

116. Павлов A.H., Янсон Н.Б., Анищенко B.C. Применение статистических методов при решении задачи глобальной реконструкции // Письма в ЖТФ. 1997. Т. 23, № 8. С. 7-13.

117. Павлов А.Н., Янсон Н.Б., Капитаниак Т., Анищенко В. С. Реконструкция динамических систем по сигналам малой длительности // Письма в ЖТФ. 1999. Т. 25, №11. С. 7-13.

118. Abarbanel H.D.I., Brown R, Sidorowich J.J., Tsimring L.S. The analysis of observed chaotic data in physical systems // Rev. Mod. Phys. 1993. V. 65. P. 1331-1392.

119. Kugiumtzis D., Lingjaerde O.C., Christophers en N. Regularized local linear prediction of chaotic time series // Physica D. 1998. V. 112. P. 344-360.

120. Schroer C., Sauer Т., Ott E., Yorke J. Predicting chaos most of the time from embeddings with self-intersections // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 80. P. 14101413.

121. JuddK., Small M. Towards long-term-prediction // Physica D. 2000. V. 136. P. 31-44.

122. Small M, Judd K. Comparisons of new nonlinear modeling techniques with applications to infant respiration // Physica D. 1998. V.l 17.P.283-298.

123. Small M, Judd K., Mees A. Modelling continuous processes from data // Phys. Rev. E. 2002. V. 65. 046704.

124. Molkov Ya.I., Mukhin D.N., Loskutov E.M., Feigin A.M. Using the minimum description length principle for global reconstruction of dynamic systems from noisy time series // Phys. Rev. E, 2009. V. 80. 046207.

125. Schwartz G. Estimating the order of a model // Ann. Stat. 1978. V. 6. P. 461464.

126. Rissanen J. Stochastic complexity in statistical inquiry. World Scientific, Singapore, 1989.

127. Gouesbet G., Letellier C. Global vector-field approximation by using a multivariate polynomial L2 approximation on nets // Phys. Rev. E. 1994. V. 49. P. 4955-4972.

128. Грибков Д.А., Грибкова В.В., Кравцов Ю.А., и др. Восстановление структуры динамической системы по временным рядам // Радиотехника и электроника. 1994. Т. 39, вып. 2. С. 269-277.

129. Грибков Д.А., Грибкова В.В., Кравцов Ю.А. и др. Построение по экспериментальным данным модели систем стабилизации резонансной частоты и температуры секции линейного ускорителя электронов // Вестник МГУ. 1994. Сер. 3. Т. 35, № 1. С. 96-98.

130. Янсон Н.Б., Павлов А.Н., Баланов А.Г., Анищенко B.C. Задача реконструкции математической модели применительно к электрокардиограмме //

131. Письма в ЖТФ. 1996. Т. 22, вып. 16. С. 57-62.

132. Letellier С., Le Sceller L., Gouesbet G., et al. Recovering deterministic behavior from experimental time series in mixing reactor // AIChE Journal. 1997. V. 43, №9. P. 2194-2202.

133. Letellier C., Le Sceller L., Maréchal E., et al. Global vector field reconstruction from a chaotic experimental signal in copper electrodissolution // Phys. Rev. E. 1995. V. 51. P. 4262-4266.

134. Letellier C., Maquet J., Labro H., et al. Analyzing chaotic behavior in a Be-lousov-Zhabotinskyi reaction by using a global vector field reconstruction // J. Phys. Chem. 1998. V. 102. P. 10265-10273.

135. Letellier C., Macquet J., Le Sceller L., et al. On the non-equivalence of observables in phase space reconstructions from recorded time series // J. Phys. A: Math. Gen. 1998. V. 31. P. 7913-7927.

136. Letellier C., Aguirre L.A. Investigating nonlinear dynamics from time series: The influence of symmetries and the choice of observables // Chaos: 2002. V. 12. P. 549-558.

137. Small M., Tse C.K. Optimal embedding: A modelling paradigm // Physica D. 2004. V. 194. P. 283-296.

138. Kaplan D.T. Exceptional events as evidence for determinism // Physica D, 1994, Vol. 73, P. 738-748.

139. Anishchenko V.S., Pavlov A.N. Global reconstruction in application to multichannel communication // Phys. Rev. E. 1998. V. 57. P. 2455-2457.

140. Schreiber T. Interdisciplinary application of nonlinear time series methods // Phys. Rep. 1999. V. 308. P. 1-64.

141. Hively L.M., Gaily P.C., Protopopescu V.A. Detecting dynamical change in nonlinear time series // Phys. Lett. A, 1999. V. 258. P. 103-114.

142. Eckmann J.P., Kamphorst S.O., Ruelle D. Recurrence plots of dynamical systems // Europhys. Letters. 1987. V. 4. P. 973-977.

143. Schreiber T. Detecting and Analyzing Nonstationarity in a Time Series Using.Nonlinear Gross Predictions // Phys. Rev. Lett. 1997. V. 78. P. 843-846.

144. Schiff N.D., Labar D:R., Victor J.D. Common dynamics in temporal lobe seizures and absence // Neuroscience. 1999. V. 91. P. 417-428.

145. Gribkov D., Gribkova V. teaming dynamics from nonstationary time'series: analysis of electroencephalograms // Phys. Rev. E. 2000. V.63. P. 6538-6545.

146. PalusM. Nonlinearity in'normal human EEG: cycles, temporal-asymmetry, nonstationarity and randomness, not chaos // Biol. Gybern. 1996. V. 75. P. 389396.

147. Blanco S., Garcia H., Quian Quiroga R., Romanelli L., Rosso O.A. Station-arity of the EEG series // IEEE Engineering in Medicine and Biology. 1995. V. 4. P. 395.

148. Каплан А.Я. Нестационарность ЭЭГ: методологический и экспериментальный анализ // Успехи физиол. наук. 1998: Т.29. № 3. С. 35-55*

149. Kohlmorgen J., Muller К R., Rittweger J., Pavelzik К. Identification of non-stationary dynamics in physiological recordings// Biol. Cybern. 2000. V. 83. P. 73-84.

150. Voss H.U., Schwache A., Kurths J., Mitschke F. Equations of motion from chaotic data: A driven optical fiber ring resonator // Phys. Lett. A. 1999. V. 256. P. 47-54.

151. Шишкин C.JI., Бродский Б.Е., Дарховский Б.С., Каплан А.Я. ЭЭГ как нестационарный сигнал, подход к анализу на основе непараметрической статистики // Физиол. человека, 1997. Т. 23. №.4. С. 124-126.

152. Jefferys J.G.R. Basic mechanisms of focal epilepsies // Exp. Neurol. 1990. V. 75. P. 127-162

153. Franaszczuk P.J., Bergey J.K, Durka P. J., Eisenberg H.M. Time-frequencyanalysis using the matching pursuit algorithm applied to seizures* originating from the mesial temporal lobe // Electroencephalogr. Clin. Neurophysiol. 1998. V. 106. P. 513-521.

154. Manuca R., Savit R. Stationary and nonstationary time series analysis // PhysicaD. 1996. V. 99. P. 134-161.

155. Dejin Yu., Weiping Lu., Harrison R.G. Space time-index plots for probing dynamical nonstationarity // Phys. Lett A. 1998. V. 250. P. 323-327.

156. Rieke C., Stemickel K., Andrzejak R.G., Elger C.E., David P., Lehnertz K. Measuring nonstationarity by analyzing the loss of recurrence in dynamical systems // Phys. Rev. Lett. 2002. V. 88. P. 24-27.

157. Кендалл Дж., Стъюарт А. Статистические выводы и связи. М.: Наука, 1973.

158. Кендалл Дж., Стъюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. М.: Наука, 1976.

159. Айвазян С.А. Статистическое исследование зависимостей. М.: Металлургия, 1968.

160. Rulkov N.F., Sushchik М.М., Tsimring L.S., Abarbanel H.D.I. Generalized synchronization of chaos in directionally coupled chaotic systems // Phys. Rev. E. 1995. V.51. P.980-994.

161. Cenys A., Lasiene G., Pyragas К Estimation of interrelation between chaotic observables // Physica D. 1991. V.52. P.332-337.

162. SchiffSJ., So P., Chang Т., Burke R.E., Sauer T. Detecting dynamical interdependence and generalized synchrony through mutual prediction in a neural ensemble // Phys. Rev. E. 1996. V.54. P.6708-6724.

163. Le Van Quyen M, Martinerie J., Adam C., Varela F. Nonlinear analyses of interictal EEG map the brain interdependences in human focal epilepsy // PhysicaD, 1999. V. 127. P. 250-266.

164. Arnhold J., Lehnertz K, Grassberger P., Elger C.E. A robust method for detecting interdependences: application to intracranially recorded EEG // Physica

165. D, 1999. V. 134. P. 419-430.

166. Mormann F., Lehnertz K., David P:, Elger C.E. Mean phase coherence as a measure for phase synchronization and its application to the EEG of epilepsy patients // Physica D, 2000. V. 144. P. 358-369.

167. Pikovsky A.S., Rosenblum -M. G., Kurths J. Phase synchronization in regular and chaotic systems // Int. J: Bifurc. Chaos, 2000. V. 10. P. 2291-2305.

168. Quian Quiroga R., Kreuz T., Grassberger P. Event synchronization: a simple and fast method to measure synchronicity and time delay patterns // Phys. Rev. E, 2002. V. 66. 041904.

169. Galan R.F., Ritz R., Szyszka P., Herz A. V.M. Uncovering short-time correlations between multichannel recordings of brain activity: A phase-space approach // Int. J Bifurc. Chaos, 2004. V. 14. P. 585-597.

170. Blinowska K.J., Kus R., Kaminski M. Granger causality and information flow in multivariate processes // Phys. Rev. E, 2004. V.70. 050902(R).

171. Baccala L.A., Sameshima K. Partial directed coherence: a new concept in neural"structure determination//Biol. Cybern., 2001. V. 84. P. 463-474.

172. Schreiber T. Measuring information transfer I I Phys. Rev. Lett. 2000. V. 85. p. 461-464.

173. Palus M., Komarek V., Hrncir Z., Sterbova K. Synchronization as adjustment of information rates: Detection from bivariate time series // Phys. Rev. E, 2001. V. 63.046211.

174. Verdes P.F. Assessing causality from multivariate time series // Phys. Rev.1. E, 2005. V. 72. 026222.

175. Hlavackova-Schindler K., Palus M, Vejmelka M., Bhattacharya J. Causality detection based on information-theoretic approaches in time series analysis //

176. Phys. Rep., 2007. V. 441-. P. 1-46.

177. Vejmelka M, Palus M. Inferring the directionality of coupling with conditional mutual information // Phys. Rev. E, 2008. V. 77. 026214.

178. Feldmann U., Bhattacharya J. Predictability improvement as an asymmetrical-measure of interdependence in bivariate time series // Int. J Bifurc. Chaos, 2004. V. 14. P. 505-514.

179. Ancona N., Marinazzo D., Stramaglia S. Radial basis function approach to nonlinear Granger causality of time series // Phys. Rev. E, 2004. V. 70. 056221.

180. Tass P. A. A model of desynchronizing deep brain stimulation with a demand-controlled coordinated reset of neural subpopulations// Biol. Cybern. 2003. V. 89. P. 81-88.

181. Climate Change 2007: The Physical Science Basis. Contribution of Working Group I to the Fourth Assessment Report of the Intergovernmental Panel on Climate Change, edited by Solomon S. et al. Cambridge Univ. Press, Cambridge. 2007. 996 pp.

182. Moore J., Grins ted A., Jevrejeva S. Is there evidence for sunspot forcing of climate at multi-year and decadal periods? // Geophys. Res. Lett. 2006. V. 33. LI7705, doi: 10.1029/2006GL026501.

183. Anishchenko V.S., Silchenko A.N., Khovanov I.A. Synchronization of switching processes in coupled Lorenz systems // Phys. Rev. E, 1998. V. 57. P. 316322.

184. Сюсань У. Семейство схемы Чуа // ТИИЭР, 1987. Т. 75, № 8. С. 55-65.

185. Kiemel Т., Cohen А.Н. Estimation of coupling strength in regenerated lamprey spinal cords based on a stochastic phase model // J. Comput. Neurosci. 1998. V. 5. P. 267-284.

186. Kiemel Т., Gormley KM., Guan L., Williams T.L., Cohen A.H. Estimating the strength and direction of functional coupling in the lamprey spinal cord // J. Comput. Neurosci. 2003. V. 15. P. 233-245.

187. Palus M., Stefanovska A. Direction of coupling from phases of interacting oscillators: An information-theoretic approach // Phys. Rev. E, 2003. V. 67. 055201(R).

188. Brea J., Russell D.F., NeimanA.B., Measuring direction in the coupling of biological oscillators: A case study for electroreceptors of paddlefish // Chaos; 2006. V. 16. 026111.

189. Kralemann В., Cimponeriu L., Rosenblum M., Pikovsky A., Mrowka R. Uncovering interaction of coupled oscillators from data // Phys. Rev. E, 2007. V. 76. 055201.

190. Kralemann В., Cimponeriu L., Rosenblum M., Pikovsky A., Mrowka R. Phase dynamics of coupled oscillators reconstructed from data // Phys. Rev. E, 2008. V. 77. 066205.

191. Gabor D. Theory of communication // J. IEEE, 1946. V. 93. P. 429-459.

192. Lachaux J.P., Rodriguez E., Le Van Quyen M., et al. Studying single-trials of phase synchronous activity in the brain // Int. J. Bif. Chaos, 2000. V. 10. P. 2429-2455.

193. Torrence C., Compo G.P. A practical guide to wavelet analysis //.Bull. Am. Meteorol. Soc. 1998. V. 79. P.61-78.

194. Hramov A. Ye., Koronovskii A.A. An approach to chaotic synchronization // Chaos, 2004. V. 14. P. 603-610.

195. Kuramoto Y. Chemical Oscillations, Waves and Turbulence. SpringerVerlag, Berlin, 1984.

196. Bezruchko B.P., Ponomarenko V.I., Rosenblum M.G., Pikovsky A.S. Characterizing direction of coupling from experimental observations // Chaos, 2003. V. 13. P. 179-184.

197. СеберДж. Линейный регрессионный анализ. М.: Мир. 1974.

198. Вапник В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. М.: Наука, 1979. 448 с.

199. Theiler J. Spurious dimension from correlation algorithms applied to limitedtime-series data // Phys. Rev. A, 1986. V. 34. P. 2427-2432.

200. Zheng Z., Ни G. Generalized synchronization versus phase synchronization // Phys. Rev. E, 2000. V. 62. P. 7882-7885.

201. Hanley J., McNeil B.J. The meaning and use of the area under a receiver operating characteristic (ROC) curve //Radiology, 1982. V. 143. P. 29-36.

202. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Окрокверцхов Г.А., Стрелкова Г.И. Статистические свойства динамического хаоса // УФН, 2005. Т. 175. С. 163-179.

203. Handbook of Time Series Analysis, edited by M. Winterhalder, B. Schelter, J. Timmer. Berlin: Wiley-VCH, 2006.

204. Izhikevich E.M. Neural excitability, spiking and bursting // Int.- J. Bifurc. Chaos, 2000. V. 10. P. 1171-1266.

205. Hodgkin A.L., Huxley A.F. A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve // J. Physiol. 1952. V. 117. P. 500-544.

206. FitzHugh R. Impulses and physiological states in theoretical model of nerve membrane //Biophys. J. 1961. V. 1. P. 445-446.

207. Morris C., Lecar H. Voltage oscillations in the barnacle giant muscle fiber // Biophys. J., 1981. V. 35. P. 193-213.

208. Hindmarsh J.L., Rose R.M. A model of neuronal bursting using three coupled first order differential equations // Proc. R. Soc. London B, 1984. V. 221. P. 87-102.

209. Pikovsky A.S., Kurths J. Coherence resonance in a noise-driven excitable system // Phys. Rev. Lett. 1997. V. 78. P. 775-778.

210. Sosnovtseva O.V., FominA.I., Postnov D.E., Anishchenko V.S. Clustering ofnoise-induced oscillations //Phys. Rev. E, 2001. V. 64. 026204.

211. Makarov V.A., Nekorkin V.I:, Velarde M.G. Spiking Behavior in.a Noise-Driven System Combining Oscillatory and Excitatory Properties // Phys. Rev. Lett. 2001. V. 86. P. 3431-3434.

212. Terman D. Chaotic spikes arising from a model of bursting in excitable membranes // SIAM J. Appl. Math. 1991. V. 51. P. 1418-1450.

213. Mirolo R.E., Strogatz S.H. Synchronization of pulse-coupled biological oscillators // SIAM J. Appl'. Math. 1990. V. 50. P. 1645-1662.

214. Ermentrout G.B., Kopell N. Oscillator death in systems of coupled neural oscillators // SIAM J. Appl. Math., 1990. V. 50. P. 125-146.

215. Kazantsev V.B., Nekorkin V.I., Binczak S., et al. Spiking dynamics of interacting oscillatory neurons // Chaos, 2005. V. 15. 023103.

216. Eguia M.C., Rabinovich M.I., Abarbanel H.D.I. Information transmission and recovery in neural communications channels // Phys. Rev. E, 2000. V. 62. P. 7111-7122.

217. Kori H., Kuramoto Y. Slow switching in globally coupled oscillators: robustness and occurrence through delayed coupling // Phys. Rev. E, 2001. V. 63. 046214.

218. Mackey M.C., GlassL. Oscillation and chaos in physiological control systems // Science, 1977. V. 197. P. 287-289.

219. Cimponeriu L., Rosenblum M., Pikovsky A. Estimation of delay in coupling from time series // Phys. Rev. E, 2004. V. 70. 046213.

220. Eichler M. Graphical modelling of dynamic relationships in multivariate time series // in Handbook of Time Series Analysis, edited by M. Winterhalder, B. Schelter, J. Timmer. Wiley-VCH, Berlin, 2006. P. 335-367.

221. Wang S. Chen Y., Ding M., Feng J., Stein J.F., et al. Revealing the dynamic causal interdependence between neural and muscular signals in parkinsonian tremor // J. Franklin Institute, 2007. V. 344. P. 180-195.

222. Osterhage H., Mormann F., Wagner Т., Lehnertz К Detecting directional coupling in the human epileptic brain: Limitations and potential pitfalls // Phys. Rev. E, 2008. V. 77.011914.

223. Wang W., Anderson B.T., Kaufmann R.K, Myneni R.B. The relation between the North Atlantic Oscillation and SSTs in the North Atlantic basin // J. Climate, 2004. V. 17. P. 4752-4759.

224. Mosedale T.J., Stephenson D.B., Collins M., Mills T.C. Granger causality of coupled climate processes: Ocean feedback on the North Atlantic Oscillation // J. Climate, 2006. V. 19. P. 1182-1194.

225. Timme M. Revealing network connectivity from response dynamics // Phys. Rev. Lett. 2007. V. 98. 224101.

226. Schreiber Т., Schmitz A. Improved surrogate data for nonlinearity tests // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 77. P. 635-638.

227. Арансон КС., Гапонов-Грехов A.B., Рабинович М.И. Развитие хаоса в ансамблях динамических структур // ЖЭТФ, 1985. Т. 89, № 1. С. 92-104.

228. Thompson J.M.T., Stewart H.B. Nonlinear Dynamics and Chaos. New York: Wiley, 1987.

229. Bünner M.J., Popp M., Meyer Th., et al. Tool to recover scalar time-delay systems from experimental time series // Phys. Rev. E. 1996. V. 54. P. 30823085.

230. Bünner M.J., Ciofini M., Giaquinta A., et al. Reconstruction of systems with delayed feedback//Eur. Phys. J. D. 2000. V. 10. P. 165-185.

231. Voss H. U., Kurths J. Reconstruction of non-linear time delay models from data by the use of optimal transformations // Phys. Lett. A, 1997. V. 234. P. 336-344.

232. Voss H.U., Kurths J. Reconstruction of nonlinear time delay models fromoptical data // Chaos, Solitons & Fractals, 1999. V. 10. P. 805-809.

233. Horbelt W., Timmer J:, Voss H. U. Parameter estimation in nonlinear delayed" feedback systems from noisy data // Phys. Lett. A, 2002. V. 299. P. 513-521.

234. BezruchkoBlP., Karavaev A.S., Ponomarenko-V.I., Prokhorov M.D. Reconstruction of time-delay systems from chaotic time series // Phys. Rev. E, 2001. V. 64. 056216.

235. Prokhorov M.D., Ponomarenko V.I., Karavaev A.S., Bezruchko B.P. Reconstruction of time-delayed feedback systems from time series // PhysicaD. 2005. V. 203. P. 209-223.

236. Tziperman E., Cane M.A., Zebiak S.E., Xue Y., Blumenthal B. Locking of El Nino's peak time to the end of the calendar year in the delayed oscillator picture ofENSO//J. Climate, 1998. V. 11. P. 2191-2199.

237. Llinas R., Jahnsen H. Electrophysiology of mammalian thalamic neurones in vitro //Nature, 1982. V. 297. P. 406-408.

238. Pare D., Curro'Dossi R., Steriade M. Neuronal basis of the parkinsonian resting tremor//Neuroscience, 1990. V. 35. P. 217-226.

239. Lenz F.A. , Kwan H.C., Martin R.L., Tasker R.R., Dostrovsky J.O., et at Single unit analysis of the human ventral thalamic nuclear group, tremor related activity in functionally identified cells // Brain, 1994. V. 117. P. 531543.

240. Nini A., Feingold A., Slovin H., Bergman H. Neurons in the globus pallidus do not show correlated activity in the normal monkey, but phase-locked oscillations appear in the mptp model of parkinsonism // J. Neurophysiol. 1995. V. 74. P. 1800-1805.

241. Rivlin-Etzion M., Marmor O., Heimer G., Raz A., Nini A., Bergman H. Basal ganglia oscillations and pathophysiology of movement disorders // Current Opinion in Neurobiology, 2006. V. 16. P. 629-637.

242. Benabid A.L., Pollak P., Gervason C., Hoffmann D., Gao D.M., Hommel M., Perret J.E., De Rougemont J. Long-term suppression of tremor by chronic stimulation of the ventral intermediate thalamic nucleus // The Lancet, 1991. V. 337. P. 403-406.

243. Tass P.A., Majtanik M. Long-term anti-kindling effects of desynchronizing brain stimulation: a theoretical study // Biol. Cybern. 2006. V. 94. P. 58-66.

244. Tass P.A. Phase resetting in medicine and biology — stochastic modelling and data analysis. Berlin: Springer, 1999.

245. Stilles R., Pozos R. A mechanical-reflex oscillator hypothesis for parkinsonian hand tremor // J. Appl. Physiol., 1976. V. 40. P. 990-998.

246. Brown P. Oscillatory nature of human basal ganglia activity: relationship to the pathophysiology of parkinson's disease // Mov. Disord., 2003. V. 18. P. 357-363.

247. Bartlett M.S. Stochastic Processes. Cambridge: Cambridge University Press, 1978.

248. Dietz V. Spinal cord pattern; generators: for locomotion I I Glin. NeurophysioU, 2003. V: 114. P. 1379-1389:

249. Panayiotopoulos C.P. Absence epilepsies // in Epilepsy: a: comprehensive textbook; edited^ by J.J: Engel, T.A. Pedley. Lippincott-Raven Publishers: Philadelphia, 1997. P. 2327-2346.

250. Coenen A.M.L., van Luijtelaar E.L.J.M. Genetic animal models for absence epilepsy: a review of the WAG/Rij strain of rats // Behavioural Genetics, 2003. V. 33. P. 635-655.

251. Midzianovskaia I.S., Kuznetsova G.Di, Coenen A.M., Spiridonov A.M., van Luijtelaar E.L. Electrophysiological and pharmacological? characteristics of two « types of spike-wave discharges in WAG/Rij rats // Brain Research, 2001. V. 911. P. 62-70.

252. Sitnikova E., van Luijtelaar E. Cortical and thalamic coherence during spike-wave seizures in WAG/Rij rats//Epilepsy Res., 2006. V. 71. P. .159-180:

253. Steriade M. Sleep, epilepsy and thalamic reticular inhibitory neurons I I Trends in Neurosciences, 2005. V. 28. P; 317-324.

254. Meeren H., van Luijtelaar E., Lopes da Silva F., Coenen A. Evolving concepts on the pathophysiology of absence seizures: the cortical focus theory// Arch. Neurol., 2005. V. 62. P. 371-406.

255. Vergnes M., Marescaux C., Depaulis A., Micheletti G., Warter J.M. Spontaneous spike and wave discharges in thalamus and cortex in a rat model of genetic petit mal-like seizures//Exp. Neurol., 1987. V. 96. P. 127-136.

256. Jones E.G. The Thalamus. Plenium Press: New York, 1985.

257. Meeren H.K., Pijn J.P., van Luijtelaar E.L., Coenen A.M., Lopes da Silva F.H. Cortical focus drives widespread corticothalamic networks during spontaneous absence seizures in rats // J. Neurosci., 2002. V. 22. P. 1480-1495.

258. Inoue M., Duysens J., Vossen J.M., Coenen A.M. Thalamic multiple-unit activity underlying spike-wave discharges in anesthetized rats // Brain Research, 1993. V. 612. P. 35-40.

259. Seidenbecher Т., Staak R., Pape H.C. Relations between cortical, and thalamic cellular activities during absence seizures in rats // Eur. J: Neurosci. 1998. V. 10. P. 1103-1112.

260. Polack P.O., Guillemain I., Ни E., Deransart C., Depaulis A., Charpier S. Deep layer somatosensory cortical neurons initiate spike-and-wave discharges in a genetic model of absence seizures // J. Neurosci. 2007. V. 27. P. 65906599.

261. Climate Research Unit (University of East Anglia): http:// www.cru.uea.ac.uk

262. Lean J., Rottman G., Harder J., Kopp G. Source contributions to new understanding of global change and solar variability // Solar Physics, 2005. V. 230. P. 27-53.

263. Sato M., Hansen J.E., McGormick M.P., Pollack J.B. Stratospheric aerosol optical depths, 1850-1990 // J. Geophys. Res., 1993. V. 98. P. 22987-22994.

264. Conway T.J., Tans P.P., Waterman L.S., Thoning K. W., Kitzis D.R., Masarie K.A., Zhang N. Evidence of interannual variability of the carbon cycle from the NOAA/CMDL global air sampling network // J. Geophys. Res., 1994. V. 99. P. 22831-22855.

265. CLIVAR Initial Implementation Plan. 1998. WCRP No. 103. WMO/TD No.869. ICPO No. 14. 313 pp., http://www.clivar.dkrz.de/hp.html.

266. Climate Change 2001: The Scientific Basis. Intergovernmental Panel on Climate Change. Edited by Houghton J.T., Ding Y., Griggs D J., Noguer M., et al. Cambridge: Cambridge Univ. Press. 2001. 881 pp.

267. Арпе К, Бенгтссон JI., Голицын Г.С., Мохов И.И., Семенов В.А., Спо-рышев П.В. Анализ и моделирование изменения гидрологического режима в бассейне Каспийского моря // Доклады акад. наук, 1999. Т. 366. № 2.1. С. 248-259.

268. Агре К., Bengtsson L., Golitsyn G.S., Mokhov I.L., Semenov V.A., Spory-shev P:V. Connections between Caspian> Sea level variability and ENSO // Geophys. Res. Lett. 2000. V.27. P. 2693-2696.

269. Bjerknes J. Atmospheric teleconnections from the equatorial Pacific // Mon. Wea. Rev. 1969. V. 97. P. 163-172.

270. Wallace J.M., Gutzler D.S. Teleconnections in the geopotential height field during the northern hemisphere winter // Mon. Wea. Rev. 1981. V.109. P.784-812.

271. Rogers J.C. The association between the North Atlantic Oscillation and the Southern Oscillation in the North Hemisphere // Mon. Wea. Rev. 1984. V. 112. P. 1999-2015.

272. Hurrell J. W. Decadal trends in the North Atlantic Oscillation: Regional temperatures and precipitation // Science, 1995. V. 269. P. 676-679.

273. Hurrell J. W., van Loon H. Decadal variations associated with the North Atlantic Oscillation // Climate. Change, 1997. V. 36. P. 301-326.

274. Wallace J.M. North Atlantic Oscillation / Northern Hemisphere annual mode: Two paradigms one phenomenon // Quart. J. Roy. Meteorol. Soc. 2000. V. 126. P. 791-805.

275. Barnston A.G., Livezey R.E. Classification, seasonality, and persistence of low frequency atmospheric circulation patterns // Mon. Wea. Rev. 1987. V. 115. P. 1083-1126.

276. Мохов И.И., Петухов В.К. Пространственно-временные климатические структуры. 4.1, II. М.: ИФА АН СССР. 1989. 191 с.

277. Philander S.G.H. El Nino, La Nina and the Southern Oscillation. London: Academic Press. 1990. 289 pp.

278. The TOGA decade: Reviewing the progress of El Nino research and prediction. Edited by D.L.T. Anderson, E.S. Sarachik, P.J. Webster, L.M. Rothstein // J. Geophys. Res. 1998. V.103. No. C7. P. 14167-14510.

279. Гущина ДЮ., ПетросянцМ.А. О связи температуры поверхности экваториальной части Тихого океана с циркуляцией скорости ветра в центрах действия атмосферы // Метеорология и гидрология, 1998. № 12. С. 5-22.

280. Мохов И.И., Елисеев А.В., Хворостьянов Д.В. Эволюция характеристик климатической изменчивости, связанной с явлениями Эль-Ниньо/Ла-Нинья // Изв. АН. Физика атмосферы и океана. 2000. Т. 36. С. 741-751.

281. Deser С. On the teleconnectivity of the "Arctic Oscillation" // Geophys. Res. Lett. 2000. V. 27. P. 779-782.

282. Безверхний В.А. Развитие метода вейвлет-преобразования для анализа геофизических данных // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана, 2001. Т. 37. С. 630-638.

283. Wanner H., Bronnimann S., Casty С., Gyalistras D., Luterbacher J., Schmutz C., Stephenson D.B., Xoplaki E. North Atlantic oscillation-concepts and studies // Surv. Geophys. 2001. V. 22. P. 321-382.

284. Pozo-Vazquez D., Esteban-Parra M.J., Rodrigo F.S., Castro-Diez Y. The association between ENSO and winter atmospheric circulation and temperature in the North Atlantic region // J. Climate, 2001. V. 14. P. 3408-3420.

285. Полонский А.Б., Башарин ДБ. О влиянии Северо-Атлантического и Южного колебаний на изменчивость температуры воздуха в Европейско

286. Средиземноморском регионе // Изв. АН. Физика атмосферы, и океана, 2002. Т. 38. С. 135-145.

287. MerkebU., Latif M. A high resolution AGC1VD study of the El Nino impact on the North Atlantic / European sector // Geophys. Res. Lett. 2002. V.29(9), 1291. doi: 10.1029/2001GL013726.

288. Lin H., Derome J., Greatbath R.J., Peterson K.A., Lu J. Tropical links of the Arctic Oscillation // Geophys. Res. Lett. 2002. V.29(20), 1943, doi: 10:1029/2002GL015 822.

289. Jevrejeva S., Moore J., Grinsted A. Influence of the Arctic Oscillation and El Nino Southern Oscillation (ENSO) on ice conditions in the Baltic Sea: The wavelet approach // J. Geophys. Res. 2003. V. 108(D21), 4677, doi: 10.1029/2003JD003417.

290. Mokhov I.I., Khvorostyanov D.V., Eliseev A.V. Decadal and longer term changes in El Nino Southern Oscillation characteristics // Intern. J. Climatol. 2004. V.24.P.401-414.

291. Grinsted A., Moore J. C., Jevrejeva S. Application of the cross wavelet transform and wavelet coherence to geophysical time series // Nonlin. Proc. Geophys., 2004. V. 11. P. 561-566.

292. URL: http://www.ncep.noaa.gov.

293. Mokhov LI. Climate changes: Analyses of global cycles // Ann. Geophys. 1993. V.12 (Suppl. II). P. C334.

294. Мохов И.И. Диагностика структуры климатической системы и ее эволюции в годовом ходе и межгодовой изменчивости. Дисс. на соиск. уч. степ, докт.физ.-мат. наук. М.: ИФАРАН. 1995. 64 с.

295. Merle J. Variabilité thermique annuelle de l'océan Atlantique equatorial

296. Est. L'hypothese d'un "El Nino" Atlantique // Oceanol. 1980. Acta 3. P. 209220.

297. Zebiak S.E. Air-sea interaction in the equatorial Atlantic region // J. Climate, 1993. V.6. P.1567-1586.

298. Keenlyside N.S., Latif M. Understanding equatorial Atlantic interannual variability // J. Climate; 2007. V. 20. P. 131-142.

299. Latif.M., Grótzner A. The equatorial Atlantic oscillation and its response to ENSO. // Climate Dynamics, 2000. V. 16. P. 213-218.

300. Chang P., Fang Y., Saravanan R, Ji L., Seidel H. The cause of the fragile relationship between the Pacific El Niño and the Atlantic Niño // Nature, 2006. P. 324-328, doi: 10.1038/nature05053.

301. Бышев В.И. Синоптическая и крупномасштабная изменчивость океана и атмосферы. М.: Наука. 2003.

302. Maraun D., Kurths J. Epochs of phase coherence between El Nino/Southern Oscillation and Indian monsoon // Geophys. Res. Lett. 2005. V. 32, LI5709, doi: 10.1029/2005GL023225.

303. Zhou, Т., Zhang L., Li H. Changes in global land monsoon area and total rainfall accumulation over the last half century // Geophys. Res. Lett., 2008. V. 35, LI6707, doi:10.1029/2008GL034881.

304. Walker G.T., Bliss E.W. World weather V // Mem. R. Meteorol. Soc., 1932. V. 4. P. 3-84.

305. Kripalani, R.H., Kulkarni A. Rainfall variability over Southeast Asia: Connections with Indian monsoon and ENSO extremes: New perspectives // Int. J. Climatol., 1997. V. 17. P. 1155-1168.

306. Kumar K.K., Rajagopalan В., Cane A.M. On the weakening relationship between the Indian monsoon and ENSO// Science, 1999. V. 284. C. 2156-2159'.

307. Krishnamurthy V., Goswami B.N. Indian monsoon-ENSO relationship» on interdecadal timescale // J. Climate, 2000: V. 13. P: 579-595.

308. Kripalani R.H., Kulkarni A: Monsoon rainfall'variations and teleconnections over South and East Asia // Int. J. Climatol., 2001. V. 21. P: 603-616.'

309. Sarkar S.-, Singh R.P., Kafatos M. Further evidences for the weakening relationship of Indian rainfall and'ENSO over India // Geophys. Res. Lett:, 2004. V. 31, L13209, doi:10.1029/2004GL020259.

310. Zubair L., Ropelewski C.F. The strengthening relationship between ENSO and Northeast Monsoon, rainfall'over Sri Lanka and Southern India // J. Climate, 2006. V. 19. P. 1667-1675.

311. Yim S.-Y., Jhun J.-G., Yeh S.-W. Decadal change in the relationship between east Asian-western North Pacific summer monsoons and ENSO in the mid-1990s // Geophys. Res. Lett. 2008. V.35,L20711, doi:10.1029/2008GL035751.

312. Reynolds R.W., Smith T.M. Improved global sea surface temperature analyses // J. Climate, 1994. V. 7. P. 929-948.

313. Mooley D.A., Parthasarathy B. Fluctuations in all-India summer,monsoon rainfall during 1871-1978 // Clim. Change, 1984. V. 6. P. 287-301.

314. Безручко Б.П., Смирнов Д. А. Математическое моделирование и хаотические временные ряды". Саратов: ГосУНЦ "Колледж", 2005. 320 с.

315. Bezruchko В.Р., Smirnov D.A. Extracting knowledge from time series: An introduction to nonlinear empirical modeling. Berlin: Springer, 2010. in press.

316. Безручко Б.П., Селезнев Е.П., Смирнов ДА. Реконструкция уравнений неавтономного нелинейного осциллятора по временному ряду: модели, эксперимент // Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 1999. Т. 7, № 1. С. 49-67.

317. Bezruchko В., Smirnov D. Constructing nonautonomous differential equations from a time series // Phys. Rev. E, 2001. V. 63, 016207.

318. Bezruchko В., Dikanev Т., Smirnov D. Role of transient processes for reconstruction of model equations from time series I I Phys. Rev. E, 2001. V. 64, 036210.

319. Безручко Б.П., Смирнов Д.А. Метод восстановления уравнений с гармоническим внешним воздействием по временному ряду // Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 200 Г. Т. 9, № 2. С. 27-38.

320. Безручко Б.П., Диканев Т.В., Смирнов Д.А. Глобальная- реконструкция модельных уравнений по реализации переходного,процесса // Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 2001. Т. 9, № 3. С. 3-14'.

321. Smirnov D., Bezruchko В., Seleznev Ye. Choice of dynamical variables for global reconstruction of model equations from time series // Phys. Rev. E, 2002. V. 65, 026205.

322. Безручко Б.П., Диканев Т.В., Смирнов Д.А. Тестирование на однозначность и непрерывность при глобальной реконструкции модельных уравнений по временным рядам // Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 2002. Т. 10, № 4. С. 69-81.

323. Smirnov D., Bezruchko В. Estimation of interaction strength and direction from short and noisy time series // Phys. Rev. E, 2003. V. 68, 046209.

324. Смирнов Д.А., Сысоев И.В., Селезнев Е.П., Безручко Б.П. Реконструкция моделей неавтономных систем с дискретным спектром воздействия // Письма в ЖТФ, 2003. Т. 29, № 19. С. 69-76.

325. Диканев Т.В., Смирнов Д.А., Пономаренко В.И., Безручко Б.П. Three subproblems of global model reconstruction from time series and their peculiarities // Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 2003. Т. 11, №. 3. С. 165-178.

326. Смирнов ДА., Бодров М.Б., Безручко Б.П. Оценка связанности междуосцилляторами по временным рядам путем моделирования фазовой динамики: пределы применимости метода // Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 2004. Т. 12, № 6. С. 79-92.

327. Безручко Б.П., Смирнов Д.А., Сысоев И*.В. Реконструкция при наличии скрытых переменных (модифицированный алгоритм Бока) // Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 2004. Т. 12, № 6. С. 93-104.

328. Smirnov D.A., Andrzejak R.G. Detection of weak directional coupling: phase dynamics approach versus state space approach // Phys. Rev. E, 2005. V. 71, 036207.

329. Smirnov D.A., Vlaskin V.S., Ponomarenko V.I. Estimation of parameters in one-dimensional maps from noisy chaotic time series // Phys. Lett. A, 2005. V. 336. P. 448-458.

330. Smirnov D.A., Bodrov M.B., Perez Velazquez J.L., Wennberg R.A., Bez-ruchko B.P. Estimation of coupling-between oscillators from short time series via phase dynamics modeling: limitations and application to EEG data // Chaos, 2005. V. 15. 024102.

331. Dikanev Т., Smirnov D., Wennberg R., Perez Velazquez J.L., Bezruchko B. EEG nonstationarity during intracranially recorded seizures: statistical and dynamical analysis // Clin. Neurophysiol., 2005. V. 116. P. 1796-1807.

332. Смирнов Д.А., Власкин B.C., Пономаренко В.И. Метод оценки параметров одномерных отображений по хаотическим временным рядам // Письма в ЖТФ, 2005. Т. 31, № 3. С. 18-26.

333. Смирнов Д.А. Диагностика слабой связанности между автоколебательными системами по коротким временным рядам: метод и приложения // Радиотехника и электроника, 2006. Т. 51, № 5. С. 569-579.

334. Mokhov /./., Smirnov D.A. El Nino Southern Oscillation drives North Atlantic Oscillation as revealed with nonlinear techniques from climatic indices // Geophys. Res. Lett., 2006. V. 33, L03708, doi:10.1029/2005GL024557.

335. Stoop R., Kern A., Goepfert M.C., Smirnov D.A., Dikanev T.V., Bezrucko

336. Мдхов И.И., Смирное Д.А. Исследование взаимного влияния.процессов Эль-Ниньо Южное колебание и Северо-Атлантического и Арктического колебаний нелинейными методами // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана, 2006. Т. 42, № 5. С. 650-667.

337. Смирнов Д.А., Бодров М.Б., Безручко Б.П. Интервальные оценки связанности между системами1 с переключениями // Письма в ЖТФ, 2006. Т. 32, № 18. С. 73-81.

338. Смирнов Д.А., Диканев Т.В., Веннберг Р., Перес Веласкес X.-JI., Безручко Б.П. Динамическая нестационарность в электроэнцефалограммах при височной эпилепсии // Биомед. технологии и радиоэлектроника, 2006. № 12. С. 26-32.

339. Диканев Т.В., Смирнов ДА., Гепферт М., Керн А'., Ступ Р., Безручко Б.П. Эмпирическая автоколебательная-модель слуховой системы дрозофилы // Биомед. технологии и радиоэлектроника, 2006. № 12. С. 54-60.

340. Smirnov D., Schelter В., Winterhalder М, Timmer J. Revealing direction of coupling between neuronal oscillators from time series: Phase dynamics modeling versus partial directed coherence // Chaos, 2007. V. 17. 013111.

341. Смирнов Д. А., Карпеев И. А., Безручко Б.П. Выявление связи между осцилляторами по коротким временным рядам: условие применимости метода моделирования фазовой динамики // Письма в ЖТФ, 2007. Т. 33, № 4. С. 19-26.

342. Безручко Б.П., Смирнов ДА., Зборовский А.В., Сидак Е.В., Иванов Р.Н., Беспятов А.Б.' Реконструкция по временному ряду и задачи диагностики

343. Технология живых систем, 2007. Т. 4, № 3. С. 49-56.

344. Smirnov D:, Barnikol U.B., Barnikol Т.Т., Bezruchko В.P., Hauptmann С., Buehrle С., Maarouf M, Sturm V., Freund H.-Jl, Tass P.A. The generation.of Parkinsonian tremor as revealed by directional coupling analysis // Europhys. Lett., 2008. V. 83, 20003.

345. Sitnikova E., Dikanev Т., Smirnov D., Bezruchko В., van Luijtelaar G. Granger causality: Cortico-thalamic interdependencies during absence seizures in WAG/Rij rats // J. Neuroscience Methods, 2008. V. 170. P. 245-254.

346. Мохов ИМ, Смирнов Д.А. Диагностика причинно-следственной связи, солнечной активности и глобальной приповерхностной температуры Земли// Изв: РАН1. Физика атмосферы и океана, 2008. Т. 44, № 3. G. 283-293.

347. Смирнов ДА., Сидак Е.В., Безручко Б.П. Статистические свойства оценки коэффициента фазовой синхронизации // Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 2008. Т. 16, № 2. С. 109-119.

348. Мохов И.И., Смирнов Д.А. Эмпирические оценки воздействия естественных и антропогенных факторов на глобальную приповерхностную температуру // Доклады академии наук, 2009. Т. 426, № 5. С. 679:684.

349. Козленко С. С., Мохов ИИ, Смирнов Д.А. Анализ причинно-следственных связей между Эль-Ниньо в Тихом океане и его аналогом в экваториальной Атлантике // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана, 2009. Т. 42, № 6. С. 754-763.

350. Smirnov D.A., Bezruchko В.P. Detection of couplings in ensembles of stochastic oscillators // Phys. Rev. E, 2009. V. 79. 046204.

351. Smirnov D.A., Mokhov II. From Granger causality to long-term causality: Application to climatic data // Phys. Rev. E, 2009. V. 80. 016208.

352. Смирнов Д.А. Выявление нелинейных связей между стохастическими осцилляторами по временным рядам // Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 2010: Т. 18, № 2. С. 16-38.

353. Smirnov D.A., Bezruchko В.Р. Nonlinear dynamical models from chaotic time series: methods and applications // in Handbook of Time Series Analysis, eds. M. Winterhalder, B. Schelter, J. Timmer, Berlin, Wiley-VCH, 2006. P. 181-212.

354. Безручко Б.П., Смирнов Д.А. Современные проблемы моделирования по временным рядам // Известия Саратовского госуниверситета, серия "физика", 2006. Т. 6, № 1. С. 3-27.

355. Bezruchko B.P., Dikanev Т. V., Smirnov D.A. Informational value of different parts of a time series for reconstruction of a dynamical system // Proceedings of International Symposium NOLTA (Dresden, Germany), 2000. V. 2. P. 709712.

356. Bezruchko B.P., Seleznev Ye.P., Smirnov D.A. On the possibility of constructing a bifurcational diagram from an experimental time series // Proceedings of International Symposium NOLTA (Dresden, Germany), 2000. V. 2. P. 775-778.

357. Smirnov D. Hierarchy of phenomenological models for harmonically driven systems // Proceedings of the IX International Specialist Workshop NDES (Delft, The Netherlands), 2001. P. 201-204.

358. Bezruchko В., Seleznev Ye., Smirnov D. Test of an experimental dependency for continuity // Proceedings of the IX International Specialist Workshop NDES (Delft, The Netherlands), 2001. P. 205-208.

359. Смирнов Д.А., Бодров М.Б., Безручко Б.П. Идентификация связи междунелинейными осцилляторами по хаотическим временным'рядам,// Труды-IV- Международной конференции "Идентификация« систем w проблемы управления" (SICPRO-2005), Москва, 2005. С. 1875-1890.

360. Безручко Б.П, Зборовский A.B., Смирнов Д.А. Реконструкция по временному ряду и задачи диагностики // VII Международная научно-техническая конференция "Физика и радиоэлектроника в медицине и экологии ФРЭМЭ 2006". Суздаль, 2006. С. 112-114.

361. Смирнов Д.А., Сидак Е.С., Безручко Б.П. Выявление нелинейной связи между осцилляторами по временному ряду // Материалы 8 Всероссийской научной конференции "Нелинейные колебания механических систем", Нижний Новгород, 2008. С. 307-314.

362. Безручко Б.П., Смирнов Д.А. Статистическое моделирование по временным рядам (учебно-методическое пособие). Саратов, ГосУНЦ «Колледж», 2000. 23 с.

363. Безручко Б.П., Смирнов ДА. Построение модельных отображений по хаотическим временным рядам (учебно-методическое пособие). Саратов, ГосУНЦ «Колледж», 2000. 38 с.

364. Безручко Б.П., Смирнов ДА. Реконструкция обыкновенных дифференциальных уравнений по временным рядам (учебно-методическое пособие). Саратов, ГосУНЦ «Колледж», 2000. 46 с.

365. Безручко Б.П, Левин Ю.И., Смирнов ДА. Моделирование неавтономных систем по временным рядам (учебно-методическое пособие). Саратов, ГосУНЦ «Колледж», 2001. 44 с.