Исследование динамики систем управления с неоднозначными нелинейностями и внешним воздействием тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

О ¡рАНКТ-ПЕТЕРБУРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ЕВСТАФЬЕВА Виктория Викторовна

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ С НЕОДНОЗНАЧНЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ И ВНЕШНИМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ

Специальности: 01.01.09 - Математическая кибернетика

05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (в области физико-математических наук)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1998

Работа выполнена на факультете прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Камачкин А.М.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Туркин И.И.

кандидат физико-математических наук, доцент Михеев С.Е.

Ведущая организация:

институт проблем машиноведения РАН

Защита состоится СЛ-г-Яб*-? 1998 года в // часов на за-

седании диссертационного совета К-063.57.16 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199004, Санкт-Петербург, 10-я линия В.О., д.ЗЗ, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., д.7/9.

Автореферат разослан " 1998 года

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н., профессор

В.Ф. Горьковой

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Вопрос о наличии периодических режимов в нелинейных системах управления и проблема построения этих режимов точными или приближенными методами возникают в различных задачах теории нелинейных колебаний. Не менее важными являются проблемы анализа и синтеза законов управления, обеспечивающих возникновение в нелинейной системе колебательных процессов с заданными свойствами.

В данной работе предлагается подход к решению этих вопросов для одного класса нелинейных управляемых систем. Рассматривается п-мерная система обыкновенных дифференциальных уравнений следующего вида:

Y"= AY + Bw(cr) + К/(/), cr = (C,Y), (1)

где матрица А и векторы В, К, С - вещественные постоянные , Y -вектор состояний системы, Y е£", и{а) = F(о)- нелинейный функционал, описывающий нелинейность типа неидеального двухпозици-онного реле. Функция /(/) принадлежит классу непрерывных функций и описывает внешнее воздействие, приложенное к объекту управления.

Исследование моделей вида (1) было начато с автономного случая (/(/) = 0) и рассматривались в основном системы второго порядка (работы A.A. Андронова и его школы). В начале 60-х появились эффективные методы аналитического изучения п -мерного фазового пространства В.И. Зубова, Ю.И. Неймарка, ЯЗ. Цыпкина, В. А. Якубовича. Общие вопросы динамики систем вида (1) изложены в монографиях В.И. Зз'бова, в том числе и при наличии внешнего возмущения. P.A. Нелепин исследовал системы вида (1) в автономном случае с нелинейной функцией, объединяющей все типовые нелинейности.

Одновременно проводились исследования неавтономных систем вида (1) приближенными методами. В прикладной теории нелинейных колебаний широко применяется метод гармонической линеаризации, получивший развитие в работах Е.П. Попова, Е.И. Хлыпало, A.A. Вавилова.

Существенный вклад в развитие методов нелинейной теории колебаний, в том числе и для систем вида (1), кроме выше упомянутых, внесли такие ученые, как H.H. Боголюбов, В В. Булгаков, Н.В. Бутенин,

H.М. Крылов, А.И. Лурье. Среди зарубежных работ необходимо отметить исследования Г. Каудерера, Ю. Ку, С. Минагава, Н. Минорского, Дж. Стокера, Т. Хаяси.

В последние годы нелинейные неавтономные системы, содержащие функцию релейного гистерезиса, описывают широкий класс физических и технических объектов, подвергающихся внешнему воздействию. В работах М.А. Красносельского и A.B. Покровского был предложен челночный алгоритм построения периодических решений системы (1), когда функция /(/) является периодической и аналитической.

Трудно указать область современной техники, для которой не были бы актуальны проблемы изучения колебаний, в том числе вибраций. Нередко колебания мешают эксплуатации технических объектов или даже угрожают их прочности. С этим вынуждены считаться разработчики и исследователи самых разнообразных машин и механизмов, строительных конструкций, транспортных средств. Цели работы заключаются в следующем:

I. исследовать точными аналитическими методами фазовое пространство и пространство параметров системы вида (1), определить достаточные условия существования периодических решений в случае периодического внешнего воздействия и колебательных решений в случае непериодического воздействия, изучить свойства этих решений;

2. выделить в пространстве параметров (коэффициентов) системы вида (1) множество, которое отвечает существованию периодических или колебательных решений;

3. построить в пространстве параметров системы бифуркационные поверхности, при переходе через которые меняется число решений периодических или колебательных решений;

4. разработать алгоритм, позволяющий по коэффициентам системы определять наличие периодических решений, их параметры (период, точки и моменты времени переключения), или наличие колебательных решений, их параметры (время и точки возврата);

5. синтезировать закон управления, обеспечивающего возникновение в системе вида (1) периодических или колебательных решений с заданными колебательными свойствами.

Научная новизна. Рассмотрена модель внешнего воздействия, которая ранее не рассматривалась при исследовании систем точными аналитическими методами:

f(t)=ea,än{at + <p), (2)

где ix,cú,<p - вещественные числа.

Доказана теорема существования двуточечно-колебательных решений с точками возврата, принадлежащими заданным множествам, в случае, когда система вида (1) подвергается внешнему воздействию вида (2) с нарастающей и убывающей амплитудой.

При внешнем воздействии, которое задается Т - периодической функцией вида:

fit) = /о + Л sin (<° t + ч\) + /2 sin (2со t + q>2), (3)

где/о,/¡,/2,<Р[,<Р2,0) - вещественные числа, изучены Тв - периодические решения в случае, когда их период равен периоду внешнего воздействия, но объект управления собственно неустойчив, и в случае, когда их период не равен периоду внешнего воздействия.

Доказаны теоремы существования субгармонических (Тв=кТ, keN) и супергармонических ( 7}¡ - Т/к, к eN ) колебаний с двумя точками переключения, принадлежащими заданным множествам. Получены достаточные условия единственности асимптотически-устойчивого периодического решения с периодом, равным периоду внешнего воздействия вида (3).

Предложен алгоритм синтеза закона управления, обеспечивающего возникновение асимптотически - орбитально устойчивых периодических решений в системе с бигармоническим внешним воздействием вида (3) или асимптотически - орбитально устойчивых двуточечно-колебательных решений в системе, которая подвергается воздействию вида (2) с убывающей амплитудой. Работоспособность алгоритма и эффективность принятого подхода подтверждена с помощью компьютерных реализаций.

Методика исследования основана на методе неподвижной точки, методах теории канонических преобразований систем, качественных методах теории обыкновенных дифференциальных уравнений, результатах В.И. Зубова, P.A. Нелепина, В.А. Покровского.

Практическая значимость. Полученные в диссертации результаты позволяют строить новые эффективные численные алгоритмы для нахождения периодических или колебательных решений (их свойств, па-

раметров и конфигураций в фазовом пространстве) в нелинейных неавтономных управляемых системах вида (1).

Результаты могут быть использованы для изучения математической модели систем указанного класса на начальной стадии проектирования этих систем, поскольку позволяют обосновать выбор коэффициентов, при которых система имеет устойчивые периодические или колебательные решения с требуемыми свойствами, и избежать возникновения в системе решений, как правило, нежелательных с точки зрения приложений (биение, странный аттрактор).

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинаре Воронежской Зимней Математической Школы - 95 (г. Воронеж, 1995 г.); на IV Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, 1996 г.); на III Международной конференции по динамике пучков и оптимизации "BDO-96" (Санкт-Петербург, 1996 г); на научных конференциях факультета прикладной математики - процессов управления СПбГ'У (1994 г., 1996 г.); на научных семинарах кафедры теории систем управления электрофизической аппаратурой и кафедры высшей математики факультета прикладной математики - процессов управления СПбГУ .

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 6 печатных работах, их перечень приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на 16 параграфов и 9 пунктов, двух приложений и заключения. В конце работы приведен список цитируемой литературы из 63 наименований. Общий объем работы составляет 132 машинописные страницы, включая приложения на 34 страницах, 9 рисунков и 4 таблицы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, дано общее описание рассматриваемой в работе системы, проведен краткий обзор научных работ по теме диссертации, сформулированы цели исследования и указана структура работы, кратко изложены основное содержание и результаты диссертации.

В главе 1 изложена идея метода исследования фазового пространства и- мерной неавтономной нелинейной системы вида (1), где Л"(<х) описывает, например, пространственное запаздывание по фазовым координатам управляющих механизмов и задается следующим образом:

р(о) =т2 при и /•'(ст) =т, при а(1)<(2, причем т1<т2,

(\<^2 (щ 1' ^ ь ^ 2 " вещественные числа). Вещественный п- мерный вектор С определяет обратную снять в системе.

Решения системы вида (1) ищем в классе непрерывных функций и используем их аналитическое представление в форме Коши. В фазовом пространстве решениям системы вида (1) соответствует фазовая траектория, составленная из траекторий в силу разных правых частей системы. "Сшивание" этих траекторий по непрерывности происходит в точках, лежащих на гиперплоскостях вида (С, У) = I! (/ = 1,2). При функции /(О вида (3) ищем решения системы (1) в классе периодических функций с периодом Тв и числом точек переключения, кратным двум (точки переключения совпадают с точками "сшивания"). При функции /(О вида (2) ищем 2п -точечно-колебательные решения, изображающая точка которых в фазовом пространстве системы (1) возвращается в каждую точку "сшивания" за время Тв . При этом точки "сшивания" называем точками возврата 2п -точечно-колебательного решения системы вида (1), а время Тц - временем возврата. Точки переключения периодического решения и точки возврата 2п -точечно-колебательного решения системы вида (1) обладают одинаковыми свойствами:

У;= У(/0, иу, /0) = \0о,«/, 'о + Тв), (С,У) = е,, /,7= 1,2.

В §1.1 рассмотрен случай, когда матрица А имеет собственные числа Л((/ = 1,и)с отрицательными вещественными частями. С помощью функций Ляпунова построены в фазовом пространстве компактные множества .V,- (; = 1,2), которые отображаются решением системы в себя. Если в системе вида (1) существуют периодические или колебательные решения, тогда их точки переключения (точки возврата) принадлежат указанным множествам. Задача построения в фазовом пространстве периодических или колебательных решений системы вида (1) сводится к определению этих точек.

В §1.2 изложен общий подход к изучению пространства параметров системы вида (1) с целью нахождения параметров 2п -точечно-колебательного решения или периодического решения с любым числом точек переключения, кратным двум. Этот подход, предложенный В.И. Зубовым, основан на построении и исследовании системы трансцендентных алгебраических уравнений.

Из необходимых условий существования 2п -точечно-колебательных решений или периодических решений с 2п точками переключения, выписана система трансцендентных уравнений относительно параметров решения:

(с,У2М) = ^, (с,У2/)=^2, 1=1,...,п, (4)

где

'1

V2 =еА'1У1 +|еА('1-т)[Вт,+ К /(Г)] «/Г, о <2

\3 = еЛ(,1-'1'>\2+1еА('^[Вт2+К/(Г)] ¿Г,

'г*

1 = у1 =еАС2л-'2-1)у2и + |*еА('2"-Г)[Ви2+К /(Г)]с/Г.

В случае, когда среди собственных чисел матрицы А нет чисто мнимых чисел, исключаются из системы (4) точки переключения У-1 0 = 1 ,п). В результате, система (4) преобразуется в систему относительно /Д/ = 1,2и). В общем случае такую систему аналитически решить невозможно. Поэтому, основываясь на теореме о неявных функциях, выписано условие (в виде неравенства) на коэффициенты, при котором система трансцендентных уравнений однозначно - непрерывно разрешима относительно 2п моментов времени переключения. Этим условием мы пользуемся (в главе 4) для определения бифуркационных поверхностей в пространстве параметров системы вида (1).

В §1.3 выписана система трансцендентных уравнений вида (4) для нахождения параметров двуточечно-колебательного или периодического решения с двумя точками переключения. Далее для того, чтобы привести исходную систему и трансцендентную систему к виду, допускающему их аналитическое исследование, использованы известные канонические преобразования системы вида (1) и метод ссчсний пространства параметров.

В случае простых вещественных собственных чисел матрицы А (в том числе, когда одно число нулевое) и в случае, когда среди её веще-

ственных собственных чисел есть одно число кратности два, система вида (1) приведена к следующему каноническому виду:

X = A0X+B0F«x) + K0/(0,

= (г,х),

(5)

где матрица А0- либо диагональная, либо в матрице А0 имеется ящик Жордана 2-го порядка. Далее предполагаем, что компоненты преобразованного вектора обратной связи Г -- ,...уп)Т удовлетворяют следующим условиям: /.5*0, /у = 0 (_/'= 1,1,$ +1,.-.,«). При сделанных предположениях относительно собственных чисел матрицы А и коэффициентов у, (' ~ 1") выписаны системы трансцендентных уравнений и функции, определяющие точечное отображение одной поверхности переключения в другую. Эти функции и системы являются объектами изучения в главах 2-4.

В §1.4 получены достаточные условия, при которых изображающая точка решения системы вида (1) достигает поверхностей переключения без касания. Пусть множество С> описывается следующей системой неравенств:

1

X <

min А,

max и, В0 +М К0

(6)

f.j < XS/S <t2, j = 1,4 + 1,...,«,

где | /(r)| < M = const.

Теорема 1.4.1 (условие достижимости без касания) Пусть при к® выполняются следующие условия-.

1) матрица системы (1) имеет (п-1) вещественных, отрицательных собственных чисел Я, (J * .v), и одно ненулевое число Лх ,

2) координаты yj О * •<) вектора Г равны нулю, и координата ф 0 ,

3) при ysAs > 0 , т\<т2, г | < f 2 справедливы неравенства -ysm2l Я5 <f.x, -Ys,mxlXs > /2,

4) /'(;) является ограниченной, Т - периодической функцией,

г

Уз4

мт^ирпо

.М [о,г]

Ы Пс) ,&ир/{1) .М [о,г]

6) множество 0 описывается системой неравенств (6).

Тогда, в фазовом пространстве изображающая точка, начав свое движение в Х0 на одной из гипертоскостей вида а(0 = (/ = 1,2), достигает в силу системы (5) вторую гиперплоскость без касания.

Аналогичная теорема сформулирована для случая, когда внешнее воздействие задается функцией /(/) вида (2) при а< О (теорема 1.4.2). Эти теоремы используются при изучении свойств решений системы вида (1).

В главе 2 исследуется система трансцендентных уравнений, выписанная при /(г) вида (2) для любого вещественного числа а . Рассматривается следующий частный вид системы при % > а :

=

е, +

у^т, 51П((3 + Д <р)

к

2 2 + IО

л/с«

- Ду )2 + (О2

Гят 1 %

«1=^2

Уъ™ 2 Уяк^'С0'1 + (р + й<р)

)/(«- Ду)2 У5 ■ е" Тв + Аф) У Б т2

■е

МГв

где д (р = агод

0}

(7)

В §2.2 найдены достаточные условия на параметры системы трансцендентных уравнений (7), при которых она имеет решения вида (/,, Тв ), где через обозначен момент времени первого переключения, причем таких решений не более, чем счётное множество (теорема 2.2.1). Найдены также условия для а <0, при которых система трансцендентных уравнений (7) не имеет решений (?], Тв ), и условия для

а > О, при которых система уравнений (7) не имеет решений (гь Тв ) на заданном промежутке (теорема 2.2.2).

В §2.3 определены достаточные условия, при которых изображающая точка двуточечно-колебательного решения системы вида (1) переходит с одной поверхности переключения на другую за одно и то же

время и в одну и ту же точку. Точки возврата X1 = ,

X2 = определяются по следующим формулам:

'1 . Ч

от,

о г, о

-1 . . .. 'I

М 'И и

)' е^Пе'У'-^тг+к° /Шт + $к*/(Т)]<1Т ,

['I о ]

4 = ¿1 /Уя . Х1 = ^г/Гх , 1 = 1-у*- 1,-,» •

(8)

Коэффициенты системы трансцендентных уравнений получены в результате алгебраический операций из коэффициентов системы (1),

п

например, у1 =Я,), - 1,и), где Nпрсдстав-

ляет собой определитель £> (р) матрицы А, в котором элементы к -го столбца заменены компонентами вектора В .

Теорема 2.2.3. Пусть внешнее воздействие системы (1) задается функцией /(0 = /((,а,а>,<р) вида (2) при а * 0 . Пусть система (1) приведена неособым преобразованием 8 к каноническому виду (5) при следующих условиях: 1) собственные числа Х{ (/ = I,«) матрицы А -

вещественные, простые, ненулевые, равные; 2)(р + ап^-= 0;

— а

3) СЩВ,АВ,А2В,...,АП-,В||*0; 4)= 0 ,

где

¿"1

7 = 1,...,5-1,5 + 1,...я. Пусть |((ь7'л,х' Д2)| - набор решений системы

трансцендентных уравнений (7),(8), траметры которой удовлетворяют условиям теоремы 2.2.1, где /] - л к / т , Тп - ят / м, т>к, у,т,к е А'. Тогда существует по крайней мере одно двуточечно-колебательное решение системы (1) с параметрами (/Ь7}ЬУ!, У2),

гА' точки возврата У1 , У2 =8Х2, /г/л/ а/нол/ система (1) не может иметь более, чем счетное множество двуточечно-колебательных решении.

Определены достаточные условия отсутствия двуточечно-колебательных решений системы (1) (теорема 2.2.4).

В главе 3 исследуется система трансцендентных уравнений в случае Т - периодического внешнего воздействия /(() вида (3). Известно, что в этом случае в нелинейной системе могут существовать не только колебания с основной частотой со, но и сопутствующие им супергармонические колебания с кратными частотами, и субгармонические колебания, частота которых в целое число раз меньше основной частоты.

В §3.2 при условии % > 0 после преобразований получена система трансцендентных уравнений следующего вида:

I'

^ /я!+й>'

I з2 . л ,.,2

+ 4(0'

• к0' Г

+ </>2 + <%),

Л = -?-<** + к + £(^/о) + +

Ах ^ I М+аР-

с

+

\

\

+

с * (0 с * 1(0

, где 3 = ап^—, 4 = агОД—.

% %

/

Рассмотрен случай, когда в системе вида (1) существуют вынужденные колебания с периодом Тв=кТ, где к а N. Получены достаточные условия на параметры системы трансцендентных уравнений, при которых существует её единственное решение ¡\ <; (0,кТ), отвечающее заданному значению параметра к (теорема 3.2.1). Затем рассмотрен случай существования в системе вида (1) колебаний с периодом Тв = Г/к , к = 1,2,... Указаны условия разрешимости системы трансцендентных уравнений относительно двух переменных ^ , Тв, причем переменная е (О,Г/к) (теорема 3.2.2).

Определены также условия, при которых система трансцендентных уравнений не имеет положительных решений ,ТВ) (теорема 3.2.3), и система вида (1) не имеет периодических решений рассматриваемого класса (теорема 3.2.4).

В §3.3 исследована система трансцендентных уравнений при условии % < 0 Отличие её от системы (9) только в знаке перед функцией синус, обозначим ее номером (10). Принят тот же подход к исследованию, что и в предыдущем параграфе. Получены аналогичные теоремы существования положительного решения системы трансцендентных уравнений, когда Тв =кТ, где к (теорема 3.3.1), и когда Тв = Т/к, где к вЫ (теорема 3.3.4).

На основании условий разрешимости систем трансцендентных уравнений при * о сформулированы теорема о существовании не более, чем счетного множества Гв - периодических решений системы вида(1),где Тв = Т1к, к = 1,2,... (теорема 3.3.5) и следующая теорема.

Теорема 3.3.2. Пусть внешнее воздействие системы (1) задается функцией /(0 = /((,/о>/ъГ2>0}><Р1><Р2) виДа (3), " пусть система (1) приведена неособым преобразованием Б к каноническому виду (5) при условии, что собственные числа Я -, (; = I,«) матрицы А - простые, ненулевые, вещественные, и при условиях 3,4 теоремы 2.2.3. Пусть (/1(&7',Х',Х2)-решение либо системы трансцендентных уравнений (8), (9), либо системы (8), (10), параметры которых удовлетворяют соответственно либо условиям теоремы 3.2.1 для > 0, либо теоремы

3.3.1 для Ду <0, где Т = 2х!а>, к еМ. Пусть точки X1,X2 молено соединить дугами интегральных кривых в силу системы (5). Тогда су-

ществует единственное периодическое решение системы (1) с параметрами ОькТ,У1,\2),где У1 = 8Х1, V2 =вХ2.

Определены условия единственности асимптотически устойчивого по Ляпунову Т - периодического решения системы (1) при следующих условиях: > 0, /И] > 0; все собственные числа матрицы А являются вещественными, простыми, причем А, <О (/ = 1,5 + 1,...,я), чис-

ло Л; может принимать любой знак; справедливы условия 3,4 теоремы 2.2.3 (теорема 3.3.3).

В главе 4 предлагается общий подход к исследованию пространства параметров системы трансцен-

дентных уравнений, где рх,...,ру - параметры функции /(0- Введено множество Сг с 3, точкам которого отвечает по крайней мере одна пара решений (¡1,ТВ) системы трансцендентных уравнений, представленной в следующем виде:

*К'1)=0, = (П)

Элементом множества СсЗ является точка Р = к$ ть т2, £1г с параметрами, которым отвечают

решения /] ,ТВ, удовлетворяющие системе (11) и либо равенству, либо неравенству, следующим ниже:

(12)

¿г, <ПВ dF.it,) ^2(/ь7'я)

(¡Тв

= 0. (13)

Определение 1. Бифуркационной поверхностью будем называть совокупность точек Р е С, в которых существуют решения Г], Тв системы уравнений (11), (13) и меняется число пар решений системы уравнений (11).

Определение 2. Точку Р множества С с 3 будем называть внутренней точкой множества <7, если в этой точке все пары решений

(/,, 'Гц) системы уравнений (11) удовлетворяют либо неравенству (12), либо равенству (13), когда не меняется число пар решений ,ТВ).

Определение 4. Точку Г множества ОсЗ будем называть граничной точкой множества С , если сколь угодно малое изменение хотя бы одного параметра, который входит в вектор, определяющий эту точку, может привести к исчезновению решений системы уравнений (11).

Эти понятия основываются на условиях однозначно-непрерывной разрешимости системы трансцендентных уравнений. В точках Ре (7, принадлежащих бифуркационным поверхностям, нарушается непрерывная зависимость от параметров функций 11 = (Р), Т^ = Тд (Р).

В §4.1 рассмотрено внешнее воздействие, которое описывается функцией /(г) вида (2). Изучен вопрос о количестве решений системы трансцендентных уравнений в зависимости от ширины и высоты гисте-резисной петли. В пространстве параметров 3 определены множества точек Р, принадлежащих множеству О, его граничной поверхности и не принадлежащих множеству О . Множество точек Р еО разделено на подмножества, внутренние точки которых отвечают различному числу пар решений и граничные точки - бифуркационным по-

верхностям (теорема 4.1.1).

В §4.2 рассмотрено внешнее воздействие, которое описывается функцией /(/) вида (3). В этом случае также проведено разбиение пространства параметров 3 (теорема 4.2.1).

В §4.3 показан способ разбиения пространства параметров 3 =<Аь...,А„,к1,...,к% «1, т2, Рг> канонической систе-

мы уравнений (5) на основании полученных в предыдущем параграфе теорем. Далее рассматривается динамика системы вида (1). Изучение периодических и колебательных решений системы вида (1) сведено к рассмотрению в фазовом пространстве точечного отображения одной из поверхностей переключения в себя и изучению неподвижных точек, их окрестностей.

На основании условий существования неподвижных точек, их свойств и условий достижимости без касания гиперплоскостей вида с (О = 0 = 1,2) сформулированы достаточные условия существования не более, чем счетного множества асимптотически-орбитально устой-

чивых двуточечно-колебательных решений системы вида (1) для /(/) вида (2) при а < 0 (следствие 1 к теореме 2.2.3). Для систем вида (1) с функцией f(t) вида (3) получены условия асимптотически - орбитальной устойчивости Тв- периодических решений и сформулированы следствие 2 (к теореме 3.3.2) и следствие 3 ( ктеореме 3.3.5).

В §4.4 исследуются системы трансцендентных уравнений и точечные отображения одной из поверхностей переключения в дру|"ую, полученные в §1.3 для частных случаев, при /(0 вида (3). В случае, когда среди простых, вещественных собственных чисел матрицы А есть одно нулевое, доказана теорема о существовании единственного асимптоти-чески-орбитально устойчивого кТ - периодического решения системы вида (1), где к = 1,2,...(теорема 4.4.2). В случае, когда среди вещественных, ненулевых собственных чисел матрицы А есть одно число кратности два, сформулирована теорема о существовании единственного кТ -периодического решения системы вида (1), где к -1,2,... (теорема 4.4.3).

В главе 5 разработан алгоритм синтеза закона управления системы вида (1), обеспечивающего существование колебательных или периодических решений с заданными колебательными свойствами.

В §5.1 рассмотрены две частные задачи синтеза для систем вида (1) с Т - периодическим внешним возмущением /(/) вида (3). Первая задача заключается в выборе таких значений параметров £ ь 12 1m ь m2 > ск (А = 1,«) функции F (а) = и(сг), которые обеспечивают существование периодических решений системы вида (1) рассматриваемого класса с периодом Тв =кТ, где к = 1,2,... Вторая задача состоит в выборе таких значений указанных параметров, которые обеспечивают существование периодических решений системы вида (1) с периодом Тв = 7Y к, где к = 1,2,...

В §5.2 рассмотрена задача синтеза для систем вида (1) с непериодической функцией /(/) вида (2) при а < 0. Задача состоит в том, чтобы обеспечить существование двуточечно-колебательного решения системы вида (1) с заданным временем возврата.

Значения указанных параметров выбираются такие, чтобы соответствующая этим значениям точка Р е 3 принадлежала множеству G и не принадлежала бифуркационной поверхности.

В приложении 1 рассмотрены канонические преобразования системы вида (1).

В приложении 2 алгоритм, разработанный для синтеза законов управления, обеспечивающих в системе вида (1) колебательные или периодические решения с заданными свойствами, реализован на численном примере в пакете прикладных программ МаЛсас!.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие результаты:

1) достаточные условия на коэффициенты неавтономной системы с релейным гистерезисом, при которых не существуют периодические решения с двумя точками переключения и двуточечно-колебательные решения;

2) достаточные условия на коэффициенты системы, при которых существует единственное асимптотически устойчивое по Ляпунову периодическое решение с периодом, равным периоду внешнего воздействия;

3) достаточные условия на коэффициенты системы, при которых существует единственное асимптотически-орбитально устойчивое периодическое решение системы с периодом, кратным периоду внешнего воздействия;

4) достаточные условия существования в системе не более, чем счётного множества периодических решений, в том числе и асимптотически-орбитально устойчивых, с периодом, соизмеримым с периодом внешнего воздействия;

5) достаточные условия существования в системе не более, чем счётного множества двуточечно-колебательных решений, в том числе и асимптотически-орбитально устойчивых;

6) алгоритм, позволяющий определять параметры периодических или колебательных решений системы, независимо от ее размерности;

7) способ выделения в пространстве коэффициентов системы вида (1) множества, отвечающего существованию периодических или колебательных решений, и определения его граничной поверхности;

8) способ разбиения в пространстве коэффициентов системы вида (1) множества, точки которого отвечают существованию периодических или колебательных решений, на подмножества, точки которых отвечают различному числу этих решений, и определения бифуркационных поверхностей, переход через которые приводит к качественному изменению поведения исходной автоматической системы;

9) алгоритм синтеза закона управления, обеспечивающего возникновение в системе колебательных или периодических решений с заданными колебательными свойствами.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Евстафьева В.В., Камачкии A.M. Динамика одного класса гистере-зисных систем. //Тезисы докл. в Трудах Воронежск. Зимн. Матем. Школы - 95: Современные методы теории функций и смежные проблемы прикладной математики и механики, Воронеж, 1995 г., стр.94.

2. Евстафьева В.В. Алгоритм определения бифуркационных поверхностей в пространстве параметров гистерезисной системы с бигармо-ническим внешним воздействием. //Деп. в ВИНИТИ 2700-В95 от 06.10.95, 12 с.

3. Евстафьева В.В., Камачкии AM. Алгоритм построения бифуркационных поверхностей для одного класса гистерезисных систем. //Тезисы докладов IV Международного семинара: Устойчивость и колебания нелинейных систем управления, Москва, 1996 г., стр. 92-93.

4. Kamachkiti A.M., Evstafyexa V.V. Calculation of Closed Trajectory of Nonautonomus Hysteresis Control Systems. //Abctracts of Third international workshop: Beam Dynamics & Optimization (BDO-96), St.Petersburg, 1996,

5. Kamachkin A.M., Evstafyeva V.V. Calculation of Closed Trajectory of Nonautonomus Hysteresis Control Systems. //Proceedings of Third international workshop: Beam Dynamics & Optimization (BDO-96), St.Petersburg, 1997, p.152-155.

6. Евстафьева B.B., Камачкии AM. Динамика системы управления с неоднозначными нелинейностями при наличии внешнего воздействия. //Сб. Анализ и управление нелинейными колебательными системами. -СПб: ИПМ РАН, Наука, 1998 г., стр. 37-54.

р. 19.