Релятивистские модели спиновых частиц в подходах с С-числовыми и грассмановыми переменными тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

1 : .'. " ' ИЙСТИТУТ ФИЗИКИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЙ

94-122 На правах рукописи

Плющай Михапл Степанович

РЕЛЯТИВИСТСКИЕ МОДЕЛИ СПИНОВЫХ ЧАСТИЦ В ПОДХОДАХ С С-ЧИСЛОВЫМИ И ГРАССМАНОВЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат дпссертащш на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Протвино 1994

М-24

Работа выполнена в Институте физики высоких энергий (г. Протвино).

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук Ю.С. Верной, доктор физико-математических наук А.Н. Лезнов, члеи-кор-респондект АН РФ A.A. Славпоп.

Ведущая организация - Лаборатория: теоретической физики Объединенного института ядер пых исследований (г. Дубна).

Защита диссертации состоится "_" _____ 1995 г.

в _ часов па заседании специализированного совета Д 034.02.01

при Институте физики высоких энергий (142284, г. Протвино Московской обл.).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИФВЭ.

Автореферат разослан 1;_" _ 1994 г.

Ученый секретарь

специализированного совета Д 034.02.01 Ю.Г. РябоЕ

© Институт физики высоких энергий, 1994.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время проблема описания релятивистских спиновых частиц в рамках классической механики приобрела новое звучание и стала вновь актуальной. С учетом возраста проблемы, возникшей вскоре после открытия спина электрона, возобновление интереса к ней представляется, на первый взгляд, неожиданным, и оно обусловлено в основном следующими тремя причинами. В последние годы были выявлены связи между совершенно различными подходами к этой проблеме и найдены геометрические структуры, связанные со спином. Кроме того, внимание к классической механике спиновых частиц вызвано интенсивно исследуемой в настоящее время проблемой ковариантного квантования суперструн. И наконец, большой интерес к обозначенной проблеме вызван исследованиями, связанными с физикой пленарных явлений: дробным квантовым эффектом Холла, высокотемпературной сверхпроводимостью и процессами, происходящими в присутствии космических струн.

Существуют несколько основных подходов к описанию спина в рамках классической механики. Наиболее известным является подход, получивший, название псевдоклассической механики, в котором спиновые степени свободы описываются грассмановымп переменными. Именно с его помощью были построены первые состоятельные классические модели для массивной и безмассовои дираковскпх частиц и найдены изначальные формулировки для суперчастицы и суперструны.

Другой подход основывается на пдее описания спиновых степеней свободы посредством коммутирующих с-чпсловых епинорных твисторопо-добных переменных пли близких им по смыслу лоренц-гармонических переменных. Использование таких переменных наряду с грассмановымп

переменными псевдоклассической механики позволило вплотную приблизиться к окончательному решению проблемы ковариантного квантования суперчастицы и суперструны.

В подходах, связанных с методом континуального интегрирования, спин описывается с помощью когерентных состояний и метода орбит, а соответствующие классические функционалы действия содержат в том или ином виде некоторый спиновый фактор, который оказывается связанным с кручением мировой траектории частицы и с различными геометрическими фазами.

Наиболее же старым является подход, в основе которого лежит идея моделирования спина частицы с помощью релятивистского волчка. Интерес к этой идее периодически возобновлялся, и соответствующие результаты в том или ином виде переоткрывались, выявляя одновременно связи этого подхода с другими подходами к описанию спина.

Цель диссертационной работы — развитие псевдоклассического подхода к описанию релятивистских спиновых п суперсимметричных частиц, а также развитие подхода без грассмановых переменных, в котором для учета спиновых степеней свободы используются либо лагранжианы с высшими производными, либо коммутирующие спинорные или векторные с-числовые переменные.

Научная новизна. В работе впервые устанавливается связь бесконечно-компонентного уравнения Майораны с моделями релятивистских частиц, описываемых функционалами действия с высшими производными, и предлагается релятивистская модель частицы с высшими производными, не содержащая в свосм спектре тахионных состояний. С помощью с-чпсловых векторных переменных в диссертации впервые производится построение (3+1)-мерных моделей частиц с произвольным целым и полуцелым спином, впервые строятся (2+1)-мерные модели релятивистских частиц с произвольным дробным спином и демонстрируется возможность построения моделей супер-истиц без использования грассмановых переменных. На основе уравнения Майораны здесь формулируется и развивается новый подход к описанию (2+1)-мерных релятивистских полей с произвольным дробным спином (анионов), не использующий статистическое калибровочное поле Черна-Саймона.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Установлена связь между квантовым спектром модели массивной релятивистской частицы с кривизной п спектром (3+1)-мерного уравнения Майораны, и предложена модель безмассовой частицы с кривизной в качестве модели для описания бозонов и фермионов. Исследован общий случай релятивистских систем с лагранжианами, зависящими от скорости и ускорения частицы, и показано, что он сводится к произвольной зависимости функционала действия от кривизны мировой траектории. Установлена выделенность случая линейной зависимости, соответствующего моделям массивной и безмассовой частиц с кривизной.

2. Построена классическая теория модели релятивистской частицы с кручением и показано, что ее квантование в пространстве Минковского приводит к бесконечномерным неприводимым унитарным представлениям дискретных серий группы 51,(2, II) и, как следствие, к (2+1)-мерному аналогу уравнения Майораны, спектр которого в общем случае содержит состояния с дробным спином. Установлены отличия квантовой теории модели в евклидовом пространстве.

3. Предложена модификация стандартной псевдоклассической модели Березина-Маринова для массивных частиц со спином 1/2, приводящая при квантовании в отличие от исходной модели в точности к ¿-мерному уравнению Дирака как в случае четных, так и нечетных значений (1. Кроме того, предложен новый подход к построению псевдоклассических моделей спиновых частиц, позволивший найти массивные ¿-мерные модели, являющиеся Р- и Т-неинвариантными в случае й = 2п + 1, квантование которых также приводит к уравнению Дирака для любой размерности пространства-времени.

4. На основе псевдоклассических моделей и моделей частиц с кривизной построены (3+1)-мерные модели релятивистских массивных и безмассовых частиц с произвольным целым или полуцелым спином, в которых спиновые степени свободы описываются посредством трансляционно-инвариантных с-числовых векторов, позволяя визуалпзовать классический аналог релятивистского "квантового дрожания". При этом здесь в отличие от псевдоклассического подхода величина спина определяется значениями квантующихся параметров моделей.

5. Прослежено возникновение проблемы ковариантного квантования (3+1)-мерной безмассовой суперчастнцы Брипка-Шварца, и предложена ее супертвпсторная модификация с неприводимым набором связей первого рода, допускающая явно ковариантное квантование. Найдена лагран-

жева формулировка для описания (3+1)-мерных безмассовых спиновых и суперсимметричных частиц в рамках (супер) твисторного подхода, и с ее помощью построена модель суперчастицы в подходе без грассмановых переменных, приводящая при квантовании к безмассовому Лг-супср:луль-тшшсту.

6. Предложена (2+1)-мерная модель релятивистской частицы с произвольным (дробным) фиксированным спином, в которой на квантовом уровне происходит нарушение Р- п Т-инварпантностп системы, а состояния описываются многозначными волновыми функциями. Установлена тесная связь между двумя способами описания дробного спина в рамках подхода без статистического калибровочного поля, использующими либо многозначные волновые функции, либо волновые функции, реализующие бесконечномерные представления дискретных серий группы 51/(2, П). Построено действие для поля с дробным спином, подчиняющегося уравнениям Майораны и Клейна-Гордона.

7. Предложена система линриных" дифференциальных уравнений Майораны-Дирака для поля с дробным спином, и найдена векторная система (2+1)-мерных линейных дифференциальных уравнений, позволяющих единым образом описывать как поля с дробным спином, так и поля со спином в = .7, 2] £ Для обеих систем уравнений построены соответствующие варианты действия. Показано, что векторная система уравнений однозначно фиксирует выбор представлений дискретных серий

группы 5Ь(2, Я) для случая полей с дробным спином.

Научная и практическая ценность работы. Разработанные методы и полученные результаты для моделей релятивистских частиц с высшими производными могут быть использованы при исследовании аналогичных струнных моделей п, в частности, релятивистской струны с жесткостью. Кроме того, представляется возможным обобщение моделей спиновых частиц в подходе с с-числовыми векторными переменными па случай релятивистских струн.

Новый подход к построению псевдоклассических моделей для частиц со спином 1/2 в й измерениях допускает обобщение на случай высших (целых и полуцелых) спинов, а сама Р- и Т-неинвариантная псевдоклассическая модель дпраковской частицы в случае (1 = 2 + 1 может найти применение в теории планарных физических явлений.

Предложенный теоретико-групповой подход к описанию (2+ 1)-мерных полей с произвольным дробным спином открывает возможность построения вторично-квантованной теории анионов без использования калибро-

вочного поля Черна- Саймона, и он также может найтп применение в теории физических явлении, имеющих планарную природу.

Рассмотренный способ построения супертвисторной модификации (3+1)-мерной суперчастицы Брпнка-Шварца может быть применен для нахождения соответствующих модификаций суперчастицы и суперструны в d = 9+1 измерениях, допускающих явно ковариантное квантование, в то время как предложенная модель суперчастпцы в подходе без грассмано-вых переменных открывает принципиальную возможность "бозонпзацип" суперспмметрии.

Апробация работы. Результаты диссертации опубликованы в работах [1-21] и док л ад ы в али с ь на Международных семинарах по проблемам физики высоких энергий п квантовой теории поля (Протвино, 1988, 1989, 1991, 1992 гг.), Международном симпозиуме по теории элементарных частиц (Аренсхоп, Германия, 198S г.), Международном совещании по проблемам квантовой теории поля (Дубна, 1990 г.), Международном семинаре "Кварки 92" (Звенигород, 1992 г.), Совещании "Суперснмметрпя-92" (Дубна. 1992 г.), Школе молодых ученых по физике высоких энергий (Дагомыс, 1990 г.). Сессии ОЯФ АН (Москва, 1988 г.), а также на семинарах ИФВЭ и Отдела теоретической физики ИФВЭ, ЛТФ ОИЯИ (Дубна), ХФТИ (Харьков), на семинарах Отдела теоретической физики ЦЕРН (Женева, Швейцария), Международного Центра теоретической физики (Триест, Италия), Института теоретической физики Стокгольмского университета (Швеция). Отделов теоретической физики Сарагосского и Барселонского университетов (Испания), и университетов Падуи и Флоренции (Италия).

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав основного текста и заключения, содержит список литературы (127 ссылок, 171 работа). Объем диссертации 179 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации л дается краткий обзор существующих подходов к построению классических моделей еппночых п супергидшетрпчных частиц.

В первой главе рассматригаются (3+1)-мсрные модели релятивистских частиц, функционал действия которых содержит зависимость от кривизн к = /'(л) пх мировых траекторий:

А = ~! Р(к{з))ё8, к2 = (с^ДЬ2)2, йз1 = -г/^Дг'1.

Здесь исследуются классическая и квантовая теории массивной (Р — т + ак) и безмассовой (.Р = ак) частиц с кривизной (жесткостью), являющихся 0-мерными аналогами релятивистской струны с жесткостью. Особенностью этих моделей, как п модели струны с жесткостью, является инвариантность члена с кривизной в действии относительно глобальных масштабных преобразований. В диссертации исследуется также общий случай зависимости действия от кривизны, и демонстрируется выделен-ность линейной зависимости и подобие всех остальных случаев между собой с точки зрения структуры гамильтоновых связей, присутствующих в системе. Здесь показано, что в линейном случае в системе имеются только спиновые степени свободы, в то время как при любой другой зависимости наряду со спиновыми в системе имеются также "радиальные" степени свободы. В качестве примера конкретной системы такого класса рассматривается модель, задаваемая функцией Г = т + /3~'А;2, которая подобна модели струны с жесткостью с точки зрения структуры гамильтоновых связей.

Специфической особенностью модели массивной частицы с кривизной, рассматриваемой в первом разделе, является наличие в ней лагранжевой связи, которая приводит к ограничению на параметр а: а > 0, в то время как гамильтоново описание системы знака этого параметра не чувствует. В результате лагранжево и гамильтоново описания оказываются эквивалентными только в случае а > 0. Кроме того, в этой модели, несмотря на досветовую скорость движения частицы, уже на классическом уровне наряду с массивными решениями (А/2 > 0), имеются также безмассовые (М2 = 0) и тахионные (Л/2 < 0) решения. Ограничиваясь массивным сектором, здесь строится квантовая теория и находится спектр мас с модели М2 = т2/(1+ оГ2«(5 + 1)), (в = 0,1,..., - енпн состояния), оказывавшийся подобным спектру масс бесконечно компонентного уравнения Майоранп.

Интересное свойство модели безмассовой частицы с кривизной, исследованию которой посвящен второй раздел, состоит в том. чте она, описывая на классическом уровне безмассовую частицу со сппральностя-ми Л = ±а, оказывается непротиворечивой только в случае движения частицы со сверхсветовой скоростью. Движение частицы при этом происходит со скоростью света в направлении вектора импульса частицы р и, кроме того, она принимает участие во вращательном движении в ор-

тогоналыюй к р плоскости, что представляет собой классический аналог релятивистского квантового дрожания (Zitterbcwegung). Никакого противоречия с теорией относительности при этом не возникает, поскольку координата частицы х не является калибровочно-гаварпанткой (наблюдаемой) величиной, в то время как калибровочно-пнварпантная координата z, будучи аналогом координаты Нъютона-Вигнера, эволюционирует в направлении вектора импульса со скоростью света. Вследствие требования релятивистской инвариантности квантовой теории параметр а может принимать только целые или полуцелые значения j. п в результате на квантовом уровне модель описывает безмассовые состояния с соответствующими спиральностями А = ±j.

Случай квадратичной зависимости действия от кривизны, рассматриваемый в третьем разделе, также обладает особенностью, проявляющейся в том, что в этой .модели интерпретация координаты х° в качестве времени возможна лпшь для J > 0. Следует отметить, что подобные проблемы с интерпретацией х° возникни: pairee и моделях частиц с высшими спинами, втишодействуюшнх с калибровочными полями.

Вторая глава посвящена исследованию (2+1)-мерной модели релятивистской частицы с: крученном, задаваемой действием

А — - J(т + пк)г1я. к = ^х'^х'^/к2.

Оно возникает в качестве эффективного действия для заряженной скаляр-нон частицы, взаимодействующей с í'( 1 ¿-калибровочным полем, имеющим член Черна-Саймона

Cc.s. = (I)

4

в качестве кинетического члена. Пшг исследовании СР'-модели с членом Черна-Саймона Поляковым было показано, что при квантовании эффективного действия с помощ! :о метода континуального интегрирования в случае выбора константы г) — ~ скалярная частица превращается в фер-мион. подчиняясь уравнению Дирака в евклидовом пространстве, т.е. имеет место бозо-фермн трансмутдцня. Вскоре, однако, было выяснено, что в случае произвольных значений кччетанты 0 в (2+1)-мерных калибровочных моделях с членом Черна-Саймона возбуждения материи приобретают дробный спин и подчиняются экзотической статистике (т.е. становятся аннонами). Ранее аналогичные свойства были обнаружены Вилчеком п Зи в 0(3)-нелпнейнон сг-моделн с членом Хопфа, переходящей в нпзко-энсргетпческом пределе в СР'-модель с членом Черна-Саймона.

В данной главе исследуется классическая теория и прослеживаются отличия квантовой теории модели релятивистской частицы с кручением в пространствах Минковского и Евклида. В первом разделе исследуются общие свойства модели и строится решение классических уравнений движения в массивном, безмассовом н тахионном секторах. Во втором разделе с помощью метода геометрического квалтования модель квантуется в пространстве Минковского во всех трех указанных секторах и, кроме того, выясняются причины возникновения дробных спинов в системе. В третьем разделе производится квантование модели в евклидовом пространстве. Показано, что в этом случае параметр модели а при члене с кручением может принимать только целые или полуцелые значения, и, в результате, возможными оказываются только целые или полуцелые значения спина. Отличие квантовых теорий модели в двух пространствах проявляется также в том, что в пространстве Минковского физические состояния модели подчиняются (2+1)-мерному аналогу уравнения Майораны, в спектре которого в массивном секторе присутствует бесконечное число состояний с массами Мп = ат/(а + п) и спинами яп — а + п, п = 0,1,..., в то время как в евклидовом пространстве спектр масс конечный, и, в частности, в случае а = 1/2 (что соответствует выбору д = тг в (1)) соответствующие физические состояния подчиняются трехмерному евклидову уравнению Дирака. Полученные в этой главе результаты используются в четвертой и пятой главах при построении соответственно модели безмассовой суперчастпцы в подходе без грассмановых переменных и моделей релятивистских частиц и классической теории полей, обладающих дробным (произвольным) спином.

В третьей главе рассматриваются модели частиц, приводящие после квантования к представлениям группы Пуанкаре с целым или полуцелым спином в пространстве-времени соответствующей размерности. Первый раздел посвящен построению модификации псевдоклассической модели Березина-Маринова, квантование которой в отличие от квантования исходной модели приводит к массивному уравнению Дирака в пространстве-времени любой размерности. Построение такой модели массивной спиновой частицы осуществляется посредством редукции соответствующего псевдоклассического лагранжиана безмассовой спиновой частицы в пространство-время на единицу меньшей размерности.' Особенностью модифицированной модели является то, что она, будучи классически эквивалентной исходной модели, в пространстве-времени четной размерности (1 — 2п сохраняет эту эквивалентность п на квантовом уровне, в то время

как п случае нечетной размерности <1 — 2п + 1 такой эквивалентности нет. Такое различие обусловлено присутствием в построенной модели дополнительной нилъпотентной связи, сводящейся в с/ = 2п к условию неприводимости представления алгебры Клиффорда С-2П+1- Это условие выполняется автоматически при построении операторов, соответствующих нечетным спиновым переменным системы, в то время как в случае сI — 2п + 1 квантовый аналог нильпотентнои связи становится проектором, аналогичным киральному проектору для безмассовой дираковской частицы л ¿ — 2(п + 1).

Во втором разделе построена псевдоклассическая модель массивной дираковской частицы, квантование которой также приводит к ¿-мерному уравнению Дирака, но в отличие от предыдущей модели здесь в случае (1 — 2п +1 модель является Р- и Т-непнварпантной уже на классическом уровне. Ключевая идея здесь состоит в том, что вместо нечетной связи стандартного псевдоклассического подхода, являющейся генератором локальных супернреобразований, используется четная пильпотентнал связь, приводящая при квантовании к уравнению Дирака при использовании условия массовой поверхности. Таким образом, локальная суперсимметрпя здесь отсутствует и вместо нее имеется другая локальная симметрия, независимая от рспараметризационной симметрии. Эта симметрия также "перепутывает" координаты частицы х^ с нечетными переменными системы и одновременно имеет свойства, присущие локальной О(Лг) -симметрии псевдоклассических моделей частиц со спином > 1/2.

В третьем разделе с помощью аналогии с псевдоклассической механикой строятся (3+1)-мерные модели безмассовой и массивной спиновых частиц в подходе без грассмановых переменных. В этих моделях спиновые степепи свободы описываются посредством коммутирующих с-числовых векторов. Безмассовая модель оказывается при этом физически эквивалентной модели безмассовой частицы с кривизной, в от.пгше от которой здесь лагранжиан не содержит высших производных, и, кроме того, здесь наряду с калибровками, в которых движение частицы происходит со сверхсветовой скоростью, существуют калибровки, в которых частица совершает движение со скоростью света с. В отличие от безмассового случая в массивной модели движение частицы может происходить со скоростями р2/(р0)2 < V2 < с2, что является следствие:! классического "релятивистского дрожания". При этом закон эволюции калпбровочно-инсарпаптной координаты г—аналога координаты Ньютопа-Вигнера — определяется равенством (1г/ <1{ = р/р°. На квантовом уровне безмассовая модель описывает состояния с целыми или полуцелыми спиральностя-

мп, а массивная модель — состояния с целым спином. Величины спи-ральностп и спина определяются при этом величинами соответствующих квантующихся параметров моделей. Таким образом, в отличие от псевдоклассических моделей, использующих разное количество грассмановых переменных для описания разных спинов, здесь это достигается просто выбором соответствующих значений параметров.

В четвертом разделе строится модель массивной спиновой частицы в подходе без грассмановых переменных, описывающая на квантовом уровне состояния либо с целым, либо с полуцелым спином. Это достигается введением пары коммутирующих трансляционно-инвариантных векторных переменных вместо одного вектора в модели из предыдущего раздела. Суть такого "расширения" состоит в том, чтобы иметь "волчковую" природу "внутреннего" вращения вместо "ротаторной" природы модели из третьего раздела. Один из членов лагранжиана системы имеет здесь смысл одномерного члена Весса-Зумино. Следует отметить, что модели из третьего и четвертого разделов описываются наборами гамильтоновых связей первого рода и допускают явно коварнантное квантование.

Четвертая глава посвящена (3+1)-мерным моделям безмассовых суперчастиц, где используется один из возможных способов решения проблемы ковариантного квантования суперчастнцы Брпнка-Швдрца, состоящий в построении ее модификации путем "расширения" фазового пространства за счет введения вспомогательных супертвнсторных степеней свободы без изменения физического содержания модели.

В первом разделе рассматривается сначала нековарпантное квантование суперчастицы Брпнка-Шварца на приведенном фазовом пространстве и прослеживается нарушение инвариантности исходной классической теории относительно пространственных отражений и возникновение трудностей квантовой теории модели в секторе с отрицательной энергией. В секторе с положительной энергией оказываются возможными две схемы квантования, приводящие к Р-нешшариантным N = 1 супермультнпле-там со спиральным составом (0,1/2) или (—1/2,0). Здесь показано, что соответствующие две схемы возникают и при квантовании модели с помощью метода Гупты-Блейлера, который поддается ковариантпзацпн за счет возникновения бесконечной приводимости ковариантного набора нечетных связей первого рода.

Во втором разделе с помощью расширения системы четными твн-стороподобными переменными и комплексно-сопряженными грассмановы-ми скалярными переменными производится конверсия смешанного набора

нечетных связей первого и второго рода в коварпантнын неприводимый набор связей только первого рода. При этом четные свята обеспечивают безмассовость расширенной системы и нулевой вклад четных епчнорнчх переменных в ее сппральность и, как следствие, гарантируют эквивалентность расширенной системы сектор}' с положительной энергией исходной модели Бринка-Шварца. Расширенная система, допускающая явно коварн-антное квантование, оказывается связанной также с супертвисторной моделью Шпрафуджп. В случае Л'-расширеншш суперсимметрии при четных N система допускает три естественные схемы коварнантного квантования, одна из которых, приводящая к Р-пнвариантному супермультлплету, становится аномальной при нечетных ./V, что согласуется с результатами квантования модели на приведенном фазовом пространстве.

В третьем разделе строится соответствующее лагранжево описание для расширенной системы в супертвпсторном подходе. При этом здесь рассматривается более общий случай системы, соответствующей при за-нуленпи нечетных переменных безмассовой частице со спиральностью

2в е г.

Четвертый раздел посвящен построению модели безмассовой спиновой частицы с дополнительными пзосшгаггаыми степенями свободы, описываемыми на классическом уровне четными пуанкаре-инвариантными переменными. Расширение спиновой модели из третьего раздела изсспи-новыми степенями свободы производится таким образом, что на квантовом уровне полученная система оппсывает в общем случае безмассовый Л'-суперкультиплет. Таким образом, здесь демонстрируется возможность построения безмассовой суперчастицы в подходе без грассмановых переменных.

Пятая глава посвящена построению (2+1)-мерных моделей релятивистских частиц с произвольным (дробным) спином п нахождению уравнений и различных вариантов действия для соответствующих полей. Существенным о'/лпчпем развиваемого подхода от стандартного подхода к описанию анионов является отсутствие в нем статистического {/(1)—калибровочного поля с кинетическим членом Черна- Саймона (1).

В первом разделе рассматривается модель спиновой частицы, получаемая переносом в пространство-время (2+1)-го измерения модели массивной релятивистской частицы, построенной в третьем разделе третьей главы. В этой модели при квантовании в случае дробных значений спина происходит нарушение инвариантности относительно Р- и Т-отражений, имеющей место на классическом уровне.

Во втором разделе рассматривается модель, допускающая две ковари-антные схемы квантования. Первая схема приводит к описанию состояний с дробным спином либо посредством многозначных волновых функций при стандартной реализации операторов координат и импульсов, либо посредством однозначных функций в случае нестандартной реализации указанных операторов. Вторая схема приводит к бесконечномерным неприводимым унитарным представлениям дискретных серий а > О, универсальной накрывающей группы БЬ(2, Щ и к уравнениям Клейна-Гордона и (2+1)-мерному аналогу уравнения Майораны. Таким образом, эта модель оказывается одновременно связанной с моделью аниона из предыдущего первого раздела и моделью релятивистской частицы с кручением. С помощью БРСТ-оператора здесь строится простейший вариант действия для соответствующего поля, подчиняющегося двум указанным уравнениям.

В третьем разделе производится "извлечение квадратного корня" из уравнений Клейна-Гордона и Майораны, что приводит в результате к релятивистскому полю с дробным спином, подчиняющемуся уравнениям Дирака и Майораны. Затем находится соответствующее действие для поля Майораны-Дирака, линейное по производным <9(1.

Четвертый раздел посвящен построению векторной системы линейных дифференциальных уравнений

£„Ф = 0, = -¿а0„ + е1шХГдх ± т(2)

для поля с дробным спином. Для этой цели снова используются представления дискретных серий группы 5Ь(2, Л) с генераторами но здесь, в отличие от поля Майораны-Дирака, поле Ф "несет" соответствующее неприводимое представление указанной группы. Найденные уравнения обладают свойством "универсальности": если в них вместо представлений Б* взять неприводимое [2] + 1 )-мерное неуннтарное представление группы 5Ь(2, Л), то в результате получаются уравнения для массивного поля с целым или полуцелым спином j, сводящиеся в случае = 1/2 л ; = 1 соответственно к уравнению Дирака и уравнению для топологически массивного калибровочного векторного поля. Здесь показано, что система уравнений (2) является единственно непротиворечивой векторной системой для поля с дробным спином, для которой находится соответствующее полевое действие.

В заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации.

Список литературы

1. Plyuslichay M.S. Canonical quantization and mass spectrum, of relativistic particle-analog of relativistic string with rigidity. // Mod. Phys. Lett,. 1988. V. A3. №13. P. 1299-1308.

2. Plyuslichay M.S. Massive relativistic point particle with rigidity. // Intern. J. Mod. Phys. 1989. V. A4. №15. P. 3851-3865.

3. Plyushchay M.S. Massless point particle with rigidity. // Mod. Phys. Lett. 1989. V. A4. Ns9. P. 837-847.

4. Plyushchay M.S. Covariant quantization of massless superparticle in 4-dimensional space-time: twistor approach. // Mod. Phys. Lett. 1989. V. A4. №19. P. 1827-1837.

5. Plyushchay M.S. Relativistic massive particle with higher curvatures as a model for the description of bosons and fermions. // Phys. Lett. 1990. V. B235. №1. P. 47-51.

6. Plyushchay M.S. Relativistic Zitterbewegung: the model of spinning particles without Grassmann variables. // Phys. Lett. 1990. V. B23G. №3. P. 291-297.

7. Plyushchay M.S. Lagrangian formulation for the massless (super) particles in (super) twistor approach. // Phys. Lett. 1990. V. B240. №1. P. 133-136.

8. Plyushchay M.S. Massless particle with rigidity as a model for the description of borons and fermions. // Phys. Lett. 1990. V. B243. №4. P. 383-388.

9. Plyushchay M.S. Relativistic model of the anyon. // Phys. Lett. 1990. V. B248. №1,2. P. 107-112.

10. Plyushchay M.S. Relativistic particle with arbitrary spin in non-Grassmannian approach. // Phys. Lett. 1990. V. B248. №3,4. P. 299-304.

11. Plyushchay M.S. Does the quantization of a particle with curvature lead to the Dirac equation? // Phys. Lett. 1991. V. B253. №1. P. 50-55.

12. Plyushchay M.S. Operator quantization of massless superparticle. // Intern. J. Mod. Phys. 1991. V. A6. №14. P. 2497-2517.

13. Plyushchay M.S. Relativistic particle with torsion, Majorana equation and fractional spin. // Phys. Lett. 1991. V. B262. №1. P. 71-78.

14. Plyushchay M.S. The model of the relativistic particle with torsion. // Nucl. Phys. 1991. V. B362. №1. P. 54-72.

15. Plyushchay M.S. Fractional spin: Majorana-Dirac field. // Phys. Lett. 1991. V. B273. N23. P. 250-254.

16. Plyushchay M.S. Spin from isospin: the model of superparticle in a non-Grassmannian approach. // Phys. Lett. 1992. V. B280. №3,4. P. 232-237.

17. Plyushchay M.S. The model of a free relativistic particle with fractional spin. // Intern. J. Mod. Phys. 1992. V. A7. №28. P. 7045-7064.

18. Cortés J.L., Plyushchay M.S. Linear differential equations for a fractional spin field. // J. Math. Phys. 1994. V. 35. Nail. P. 6049-6057.

19. Plyushchay M.S. Pseudoclassical description of the massive spinning particles in d dimensions. .// Mod. Phys. Lett. 1993. V. A8. №10. P. 937-947.

20. Cortés J.L., Plyushchay M.S., Velazquez L. A pseudoclassical model for the massive Dirac particle in d dimensions. // Phys. Lett. 1993. V. B306. №1,2. P. 34-40.

21. Plyushchay M.S. Quantization of the classical S L(2,R)-system and representations of SL(2,R) group. // J. Math. Phys. 1993. V. 34. №9. P. 3954-3963.

Рукопись поступила 11 ноября 1994 года.