Решение краевых задач теории аналитических функций в алгебрах Владимирова и умножение распределений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

Глава I. ОБОЗНАЧЕНИЯ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ

РЕЗУЛЬТАТЫ.

Введение.

1.1. Обозначения.

1.2. Конусы.

1.3. Регулярные множества

1.4. Пространства СЧЮ и

1.5. Пространства основных и обобщенных функиий

1.6. Алгебры Владимирова

1.7. Интегральное представление Бохнера-Владимирова

Глава 2. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ В АЛГЕБРАХ ВЛАДИМИРОВА И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ТИПА БОХНЕРА-ВЛАДИМИРОВА 33 Введение.

2.1. Постановка задачи Римана для р -конуса и решение задачи о скачке для р -конуса.

2.2. Решение задачи о скачке для октантов

2.3. Решение одной задачи Римана для плоского биконуса

2.4. Решение задачи Римана для конуса

2.5. Решение задачи Шварца

2.6. Постановка задачи Гильберта и сведение ее к задаче Римана

2.7. Задача Гильберта, сводящаяся к задаче Шварпа.

2.8. Интегральное представление типа Бохнера-Владимирова

Глава 3. УМНОЖЕНИЕ МНОГОМЕРНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ МЕДЛЕННОГО Стр<

РОСТА И ГИПЕРРАСПРЕДЕЛЕНИЯ В.К.ИВАНОВА.

Введение.

3.1. Пространство аналитических представлений распределений

3.2. Алгебра Ж*

3.3. Пространство гиперраспределений 3.4. Умножение распределений и его корректность

3.5. Примеры (

Глава 4. ОДНА АЛГЕБРА ГИПЕРРАСПРЕДЕЛЕНИЙ В.К.ИВАНОВА,

СВЯЗАННЫХ СО СВЕТОВЫМ КОНУСОМ.

Введение.

4.1. Распределения, связанные со световым конусом

4.2. Аналитические представления распределений из Ее . юо

4.3. Алгебра гиперраспределений

4.4. Тождества для элементов ^

Глава 5. АЛГЕБРЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ И ВЕКТОР-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Введение.

5.1. Алгебра Ь и пространство В

5.2. Умножение вектор-распределений

5.3. Преобразование Фурье

5.4. Первообразная.

5.5. Значение в точке.

5.6. Свертка и несобственный интеграл.

5.7. Случай конечного точечного сингулярного носителя.

5.8. Об оптической теореме теории рассеяния

5.9. Нелинейные дифференциальные уравнения

5.10. О регуляризации Наканиши.

В диссертации исследуются аналоги классических краевых задач теории аналитических функций многих комплексных переменных для распределений (обобщенных функций), находятся условия их разрешимости и даются общие решения р явном виде в замкнутой форме с помощью построенного интегрального представления типа Бохнера-Владимирова. Кроме того, рассматриваются вопросы, связанные с умножением распределений, строятся ассоциативно-коммутативные алгебры распределений. Для всех решаемых в диссертации задач используется общая методика и математический аппарат, связанный с алгебрами Владимирова; для них получены законченные результаты.

Многие задачи математической физики приводят к решению классических краевых задач Римана, Гильберта, Шварца. Эти задачи и их приложения подробно исследованы [45] . В последние двадцать лет появились работы, рассматривающие эти задачи в различных классах распределений. Такие задачи также имеют приложения, например, в квантовой теории поля [8; гл. УJ . Так,, задача Римана, исрледованная В.С.Владимировым в [9] , является в некотором смысле' обобщением знаменитой теоремы об "острие клина" H.H. Боголюбова ( см. [8] ). Первая постановка задачи Римана в классе распределений принадлежит О.С.Парасюку. Дальнейшее развитие задача Римана получила в работах Ю.И.Черского [58] и B.C. Рогожина [47] . Все эти работы исследовали одномерный ( *г= I) случай. Близкая задача о представлении произвольного распределения в виде суммы 2^ граничных значений функции,голоморфной в (С'\£ЛУ\ рассмотрена при кь? 2 Тильманом [92] - [94] (см.обзор в [9; § 2 J ). Многомерная задача Римана для трубчатых радиальных областей Т± 55 КЛ * IС , где С - выпуклый острый конус, впервые поставлена и решена В.С.Владимировым в [9] (постановку см. в 2.4.1,). В [9] было найдено необходимое и достаточное условие разрешимости [9; (53)] ( см. (2.58) ) и дано общее решение в неявной форме (в виде преобразования Фурье-Лапласа некоторых мер Радона ) [9;(54),(39)] (см. замечание 3 к разделу 2.4.2.). Решение было неявным в том смысле, что не было конструктивного способа построения этих мер по заданным распределениям , кс*) £ задачи; оно принадлежало алгебрам Владимирова (см. [8] - [13] , 1.6.). Позднее О.Д. Алгазин [2] нашёл условия разрешимости и общее решение в неявной форме через меры Радона задачи Шварца; он решил эту задачу сведением к задаче Римана из [9] .

Поскольку краевые задачи имеют широкие приложения, особую актуальность приобретает нахоадение их решения в явном виде в замкнутой форме. И так же, как в "классическом" случае, решение дается интегралом типа Коши, в случае распределений эту роль должно играть интегральное представление, определённое на множестве распределений. Такое представление для множества ( алгебры) распределений М 5' , являющихся предельными значениями функций из Ж[С) , построено В.С.Владимировым в [II]-[12] (ом.1.6.-7.). Однако для нахождения в замкнутой форме решения, например, задачи Римана, требуется интегральное представление, определённое на множестве распределений + 5' , не являющемся алгеброй, где М-+ = В [33] эти вопросы были решены: найдены общие решения ( в алгебрах Владимирова) в замкнутой форме с помощью построенного интегрального представления типа Бохнера-Владимирова краевых задач Римана, Гильберга и Шварца (см.2.4.-7.), являющиеся обобщением на случай распределений соответствующих классических задач [45.] . Так же найдено условие разрешимости задачи Гильберта ( условия разрешимости задач Римана и Шварца были найдены в [9] и [2.] соответственно ).

Далее, в [34] наш была поставлена в алгебрах Владимирова краевая задача Римана для р-конуса - прямого произведения выпуклых острых конусов, которая является обобщением задачи Римана из [9] и краевой задачи Тильмана [92]-[94] (см.2.1.1.) .Там же были найдены условия разрешимости и даны в замкнутой форме с помощью построенного интегрального представления типа Бохнера-Владимирова общие решения её частных случаев - краевых за/ дач: о скачке для р-конуса (см.2.1.1.), Тильмана для октантов (см.2.2.) и задачи Римана для плоского биконуса (см.2.3.).обобщающей на случай распределений результаты В.А.Какичева [30.] . (Задача Тильмана была решена нами ранее в [32; теоремы I и 2] ).

Известно, что интегральные представления играют большую роль в различных областях математической физики и приложениях (см., например, [8] ) и их построение является актуальной задачей. Поэтому построенное в [32] - [34] интегральное представление имеет самостоятельное значение. ( В частности с его помощью как уже сказано, были на^ены в замкнутой форме решения ряда краевых задач).

Сравним интегральное представление типа Бохнера-Владимиро-ва из [32]- [34] с другими интегральными представлениями для распределений. Для случая октантов и распределений из $' аналогичное представление впервые было построено Тильманом [93; теорема 15] . Используя представление Кош с весом ^(•¿/-»-•••^^) для октантов, подобный результат для распределений из в* получил Бремерм^н [7; § 13.10Л . Однако предельные значения представления были определены только на основных функциях из . В [II]-[12] В.С.Владимиров построил интегральное представление Коши-Бохнера для распределений из Мс5' с весом I , ¿Сх.) -допустимый полином (см. 1.7.). В [32]-134} было получено интегральное представление типа Бохнера-Владимирова, обобщающее результаты [II] - [12] на различные множества распределений из ( см.2.8.). С помощью представления Коши с весом ,

Р(*) -полином, в случае Уь- I и в случае октантов представление, подобное [32] , позднее вывел Р.Л.Кармайкл [76]-[77] .

Теперь перейдем к кругу вопросов, связанных с умножением распределений. Определение умножения распределений приводит к ряду серьёзных математических затруднений. Так, хорошо известно, что на множестве распределений нельзя ввести умножение о: В х ЕЕ , где £ - линейное подпространство какого-либо пространства распределений, обладающее всеми свойствами поточечного умножения функций: для всех ^ » $ » ^ £ £ :

1) ( однозначность ) с о = 0 ;

2) ( коммутативность ) = д ;

3) ( ассоциативность ) ({~

4) ( однородность) произведение двух однородных распределений является распределением, степень однородности которого есть сумма степеней однородности сомножителей;

5) ( чётность ) С í (-*) = 4 0$ ( -■*) ;

6) ( лейбницевость ) = 'с$ + $ е

7) ( локализация ) , где к = и - открытое множество из (¿^ ;

8) если , го = 0 ;

9) ( согласованность с умножением на мультипликаторы ) 5 ° £ - , сс € &м

10) (согласованность с умножением обычных функций) » если ^ , $ - обычные функции.

Еще Л.Шварц показал (см. [13; § 1,10.1 , [90;с.П9] ),что не существует умножения со свойствами 2), 3), 9). Однако, кроме чисто математического интереса, проблема умножения распределений имеет важные приложения локальной квантовой теории поля (см. [4; гл. У1-УП ] , [6; гл.1, доп.Б] , [б8]-[70] ) и при наховде-нии обобщенных решений нелинейных дифференциальных уравнений [423- [43.] , [73]- [74] . Этим объясняется актуальность проблемы умножения распределений и большое число публикаций, появившихся в последние годы по этой тематике. Рассмотрим различные подходы к этой задаче (см. также [18; § I] , [19; введение] ). Приводимое разбиение является достаточно условным.

К первому направлению можно отнести теории, произведение в которых неоднозначно и зависит от произвольных постоянных; многие свойства 1)-10) для него не справедливы. Так, в [7; дополнение ] : + ; в [81] : 8еРсх-<)='Ъ'+ с8 . Ясно, что для такого рода умножения не справедливы свойства I), 4)-6) и оно будет нарушать симметрию физической модели; это затрудняет его применение в физике. К этому направлению отнесём теории, использующие теорему Хана-Банаха [8; § 29.7.] . На этом принципе основана (I -операция теории поля ¡5;§ 29-30.] . В [8; § 29.7] получено: З1 = . Ясно, что здесь не выполняется 4) и, как показано в [95; Д.] , 3) и 6) одновременно не имеют места.

Ко второму направлению отнесём теории общего характера, в которых класс умножаемых распределений в принципе не |иксирует-ся я в которых, согласно идее Я. Минусинского, распределения ^с*) рассматривают как некоторый предел обычных функций : ¿¿^ ^ (*)-= , и произведение двух распределений ^ , ^ определяют как распределение ^о = ^ , где , а» - соответствующие аппроксимирующие функции. В рамках этого подхода было построено много одномерных теорий умножения, например, Хирата и Огата [82] , Г.Бремермана и Л.Дюрана, Г.Тильмана [94] , Я.Мику-синского (см. [3] ). Во всех этих теориях предел последовательности не всегда сходится к распределению и, следовательно, умножение не определено на всём пространстве распределений. Как показал Итано [83] , перенесение этих теорий на многомерный случай, приводит к умножению, для которого не выполняются свойства I) и 8).

К третьему направлению отнесём теории умножения, обобщающие идеи второго направления и связанные с гиперраспределениями В.К. Иванова. В [19]- [21] В.К. Ивановым была построена одномерная бинарная теория, умножение которой было корректным: то есть определено на всём пространстве В' , однозначно, согласовано с умножением на мультипликаторы и обычным умножением. Это умножение удовлетворяло свойствам I), 2), 4)-10). Однако в общем случае произведение двух распределений не являлось распределением < из , а принадлежало более широкому классу гиперраспределений

Близость умножения [19]-[21] к обычному послужила причиной использования многими авторами схемы этих работ для многомерного обобщения. Так, впервые (одновременно), используя одномерную схему В.К.Иванова, были построены корректные многомерные теории умножения: В.И.Шарина [60] для пространства распределений, связанных со световым конусом ^в'Са^) ; В.К.Иванова и Т.А. Вержбалович [14] , [15] ,[22] ; Л.А.Айзенберга и А.М.Кытманова [I] , [38] для пространства и В.А.Какичева и В.М. Шелковича [32] для (см. гл.З). В работе М.К.Коршунова [35] эта схема обобщается на случай гиперфункций М.Сато. Как и в одномерной теории [19] - [21], произведение двух распределений (гиперфункций) в общем случае - гиперраспределение. Это умножение всюду определено и для него справедливы свойства I), 2), 4)-10). Однако в этих теориях (как и при = I) нельзя однозначно перемножать более двух распределений, а также гиперраспределения, так как пространства гиперраспределений не являются алгебрами. Отметим, что [32] - единственная работа, где строится корректное умножение для Б'С^) , п- ^ 2 .

Как уже было сказано, задача умножения распределений возникает в квантовой теории поля. Там используются распределения, связанные со световым конусом [5, гл. ШЛ . Поэтому алгебры таких распределений могут найти в квантовой теории поля приложения и построение их представляет интерес. В [61] , [64], [66.], на основе подхода В.К.Иванова и его учеников [14] ,[23],[61], строятся ассоциативные алгебры гиперраспределений, связанные со све-вым конусом и включающие в себя распределения, используемые в квантовой теории поля. В отличие от [66] , алгебра в [64] не является лейбницевой и не включает присоединённых распределений.

К чётвертому направлению отнесём теории умножения, результат которого остаётся распределением и которое определено на некоторых подпространствах пространства распределений. Для такого умножения не выполняются какие-то свойства I)-10). В |8; § 29.7] вводится алгебра распределений с умножением (1.14),обладающим свойствами 1)-7), 9)-10). Однако в эту алгебру не входят такие простейшие распределения, как , Р(х-~'") . В [18] с помощью регуляризации вводят алгебру распределений хГ^ , , т-о, ; и, «с, ; для нее не справедливы 3) и 6). В [24] , [26]-[27] произведение определялось с помощью мультипликативной регуляризации. При этом в [24] и [27] таблица умножения становится тривиальной: с В<>ч'11(х)^ о, = = РСх4"'*) > , то есть главные значения умножаются как степени, а типичная гиперсингулярность § (»■)*>$ 0 (*) обращается в нуль. Эта же алгебра построена в Г63 Л . В [26](см. также [8; § 29.7] ) отказываясь от свойства 4), получают = С(7(х) , но такое умножение [95; П.] не может иметь одновременно свойства 3) и 6). В алгебре [25] не выполняется 3).

В [46; IX.10] произведение определяется с помощью теории волновых фронтов. Однако такие простые распределения,как £Гги)Г*3 и Рсх-*] , умножать нельзя.

Сюда же можно отнести работы [62] , [78]- [80], [87]- [88.], [96], в которых для некоторых произведений распределений выводятся тождества.

К пятому типу можно отнести аксиоматические теории. В [84] для построения алгебр используются многие из аксиом 1)-10). В серии работ Ю.М.Широкова и его учеников [68]-[70] , [48] -[49] на аксиоматической основе построены некоммутативные алгебря простейших распределений; в пространстве основных функций включены распределения рассматриваемого класса. В работах М.К.Коршунова [3б]-[37] построены алгебры распределений, порождённые х Ъ{,Лш,\х), Рсх~»') . Из этих работ получаются как следствия многие соотношения [24]-[26.], [63] , [68]-[70] .В [36]-[37] не выполняется 5).

К шестому направлению отнесём появившиеся в последние годы теории, связанные с идеями нестандартного анализа и которые можно назвать асимптотическими. Общая идея этого направления такова: произведение распределений £(х) и находится как асимптотика \ у, произведения аппроксимирующих функций. Таким образом, расходящиеся члены произведения сохраняются, и выявляется их структура.

Одни из первых работ в этом направлении принадлежат Я.Б.Лив-чаку [39]- [41] . Он вводит бинарное умножение распределений,которое является элементом векторной структуры "бесконечно больших", например, в [41; § 4.4.] : где Г - некоторый предел, и "бесконечно большая" величина Г и, = £4 ¿>) - значение В (х.) в нуле. На элементах век

VI —ч ОО торной структуры определяются значение в точке и многие линейные операции. В работах Хр.Я.Христова и Б.П.Дамянова [51]-[57] вводится класс асимптотических функций, включающий в себя бесконечно дифференцируемые функции и распределения = 0,1,. .На этих функциях определяются операции умножения, деления и ряд линейных операций: сложение, интегрирование, преобразование Фурье. Однако, асимптотические функции неоднозначны, так, распределение 8(ы)(х) имеет бесконечное множество асимптотических аналогов [54; 3.] , В работах Ли-Банг-Хе [85] и В.К.Иванова [28]-[29] произведения определяются на более широких классах распределений.

Выделяя общие черты этих работ, можно сказать, что произведение ^ ~ >2, (*) распределений ;)-*(*)6 Ь, »ь заданного класса распределений Б , определяется как асимптотика

П , Ц-^+О, (0.1) для всех основных функций У г*) , где ^ с*,^) - аппроксимирующие функции распределений ^с*), к- т. . Асимптотика (0.1) имеет вид (см. [28] - [29], [39] - [41] , [51] - [57] ,[85] ): т- N (0.2) где Е . (В [51]-[57] коэффициенты (0.2) сохраняются в форме . Ясно, что аппроксимирующие функции перемножаемых распределений определены с точностью до полиномов вида и, ^

Ц(х,у) = 2. Ск(х,$ , где СкСУ.у-) ~Ск(х)6 £ , и потоглу из-за "взаимодействия" отрицательных степеней ^ в (0.2) и положительных в >{(х,у) , умножение (0.1)-(0.2) определено с точностью до произвольного распределения и неассоциативно. Заметим, что в работах В.К.Иванова [28] -[29] аппроксимирующие функции единственны и указанная неопределенность не возникает.

Для перечисленных работ, исключая работы В.К.Иванова [28]-[29] , умножение которых существенно бинарно, переход от произведения к асимптотике в (0.2) не мультипликативен в смысле определения 2 из [27] . Действительно, согласно ( 3.29) и (0.1) ( см. [85; с.579] ; ср. [28;пример 3] ):

8г(х)^(ЛКу.Т1 $(*) , у-^+о, (0.3)

Аналогично, в рамках подхода [28] , [85] можно получить: что противоречит (0.4). Таким образом, умножение (0.2) неассоциативно, и понятие степени выше второй не имеет смысла.

Немультипликативность (0.2) приводит к некорректности умножения Тильмана [94] , что было показано в [14;§ 1.2] , [27; с .734 ] . Однако, с помощью мультипликативной регуляризации из 5.1.-2. это умножение можно сделать корректным.

Возможность введения различных операций над произведениями распределений делает асимптотический подход весьма перспективным, однако, указанная неоднозначность умножения ограничивает возможности приложений. Поэтому возникает задача построения асимптотических ассоциативных алгебр распределений с однозначным умножением. Эта задача была решена в заметке [65,] (кратко излагающей результаты, описанные в гл.5), где построены алгебры простейших распределений со свойствами 1)-8), 10). На произведениях определены многие операции: преобразование Фурье, первообразная, несобственный интеграл, значение в точке. (Соответствующие операции в [51]-[57] неоднозначны). Одна из алгебр применяется для решения полиномиально-нелинейных дифференциальных уравнений ( нахождения обобщенных решений ). Кроме того (см.гл. 5), • этот формализм применяется для обоснования оптической теоремы квантовой теории рассеяния и для вычисления некоторых произведений инвариантных дельта-функций квантовой теории поля.

Материалы диссертации докладывались и обсуждались: в 1975 г. в Минске на II республиканской конференции математиков Белоруссш [34] ; на семинаре кафедры математического анализа УрГУ (руководитель - член-корреспондент АН СССР,профессор В.К. Иванов) в 1979 г. и в 1982 г. и на семинаре кафедры высшей математики в Таганрогском радиотехническом институте (руководитель -доцент В.А.Какичев) в 1983 г.

Большая часть результатов глав 2 и 3 была получена в дипломной работе автора, выполненной под руководством В.А.Какичева в 1973 г. в Ростовском-на-Дону госуниверситете. По теме диссертации опубликовано 7 работ: [31]-[34] , [64] -¡66] . Статьи [31]-[34] написаны в соавторстве с научным руководителем В.А.Какиче-вым. В этих работах постановка задач и схема их решения принадлежат В.А.Какичеву, а фактическое решение В.М.Шелковичу.

Теперь кратко остановимся на содержании диссертации. Подробное содержание глав излагается во введениях к ним. Диссертация состоит из Введения и 5 глав. Библиография содержит 96 названий. В главе I приводятся обозначения и результаты, используемые в основном тексте (главах 2-5). Формулировки и доказательства лемм 1.1 и 1.2 принадлежат автору. Лемма 1.2, имеющая самостоятельный интерес, переносит результат Л.Шварца [90; Ш, § 10.2] для 2)' на случай пространства .

1. Айзенберг Л.А. ,Кытманов A.M. Представление и умножение распределений из RS" 1 с помощью !> -замкнутых внешних дифференциальных форм типа ( ¡г , ¡г -1.. № 2690-74 Деп. .ВИНИТИ: 1975.- 20 с.

2. Алгазин О.Д. Краевые задачи для голоморфных функций многих комплексных переменных. Автореф.канд.дисс.-М.: 1973.- 12 с.

3. Антосик П. »Минусинский Я. ,Сикорский Р.Теория обобщенных функций. М.: Мир, 1976.- 311 с.

4. Боголюбов H.H. »Ширков Д.В. Квантовые поля.- М.; Наука, 1980<-319с,

5. Боголюбов H.H.,Ширков Д.В.Введение в теорию квантованных полей.-М.: Наука, 1976.- 479 с.

6. Боголюбов H.H.,Логунов A.A. Додоров И.Т. Основы аксиоматического подхода к квантовой теории поля.-М.:Наука,1969.-424 с.

7. Бремерман Г. Распределения,комплексные переменные и преобразования Фурье.- М.: Мир, 1968.- 276 с.

8. Владимиров B.C. Методы теории функций многих комплексных переменных.- М.: Наука, 1964.- 411 с.

9. Владимиров B.C. Задача линейного сопряжения голоморфных функций многих комплексных переменных.-ИАН СССР,сер.матем., 1965, т. 29,В 4, с. 807-834.

10. Владимиров B.C. Обобщенные функции с носителями,ограниченными со стороны выпуклого острого конуса.-Сиб.матем.журнал,1968, т.IX, № 5, с. 1238-1247.

11. Владимиров B.C. Обобщение интегрального представления Коши -Бохнера.-Изв.АН СССР, матем.сер.,1969,т.33, № I,с.90-108.

12. Владимиров B.C. О представлении Коши-Бохнера.-ИАН СССР, сер. матем., 1972, т.36, № 3, с. 534-539.

13. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. -М.: Наука, 1979.- 318 с.- 14314. Вержбалович Т.А. Некоторые вопросы теории умножения обобщенных функций одной и нескольких переменных. Канд.дисс.-Свердловск: 1975. 60 с.

14. Вержбалович Т.А. Об операции умножения в пространстве распределений конечного порядка в многомерном случае.-Изв.высш.учебн. завед. "Математика", 1975, № 2, с. 17-21.

15. Гельфацд И.М.,Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними.» М., 1959,- 470 с.

16. Градштейн И.С.,Рыжик И.М. Таблицы интегралов »сумм, рядов и произведений.- М., 1962.- 1100 с.

17. Иванов В.К. Умножение распределений и регуляризация расходящихся интегралов.-Изв.высш.учебн.завед."Математика", 1972, № 3, с.10-19.

18. Иванов В.К. Об операции умножения для распределений медленного роста.-Изв.высш.учебн.завед."Математика",19723,с.10-19.

19. Иванов В.К.Мельникова И.В. О свойствах произведения распределений медленного роста.-"Изв.высш.учебн.завед." "Математика", 1972, № 5, с. 58-62.

20. Иванов В.К. Гиперраспределения и умножение распределений Шварца.» ДАН СССР, 1972, т. 204, № 5, с.1045-1048.

21. Иванов В.К.,Вержбалович Т.А. Об умножении распределений Шварца.- Труды института математики и механики,вып. 13.-Свердловск: 1974, с, 3-10.

22. Иванов В.К. Об умножении обобщенных функций многих переменных с точечной особенностьго.-"Проблемы мат.физики и выч.метаметики. -М.: Наука, 1977, с.144-157.

23. Иванов В.К. Алгебра одного класса обобщенных функций.- ДАН СССР, 1977, т.237, № 4, с. 779-781.

24. Иванов В.К. Алгебра,порождаемая функцией Хевисайда и дельта- 144 функциями.-"Изв.высш.учебн. завед. "Математика" ,197710,с.65-69.

25. Иванов В.К. Об алгебре элементарных обобщенных функций.-ДАН СССР,1979, т. 246, В 4, с. 805-808.

26. Иванов В.К. Ассоциативная алгебра простейших обобщенных функций. -Сибирский матем.журнал,1979,т.ХХ,№ 4,с.731-740.

27. Иванов В.К. Асимптотическое приближение к произведению обобщенных функций.-';йзв.высш.учебн.завед."Математика",1981, № I,с. 19-26.

28. Иванов В.К. Об умножении однородных обобщенных функций нескольких переменных.- ДАН СССР,1981,т.257I, с. 29-32.

29. Какичев В.А. Методы решения краевых задач линейного сопряжения для функций, голоморфных в бицилиндрических областях.-"Тео-рия функций, функциональный анализ и их приложения", вып.14. -Харьков, 1971, с. 3-15.

30. Какичев В.А., Шелкович В.М. Решение многомерных задач Римана и Гильберта в алгебрах Владимирова. Тезисы докладов 1У республиканской конференции математиков Белоруссии.-Минек, 1975, ч.П, с Л 00.

31. Какичев В.А.»Шелкович В.М. Об умножении распределений медленного роста 8' при 1224-75, Деп.,ВИНИТИ: 1975.-30 с,

32. Какичев В.А., Шелкович В.М. Решение краевых задач теории аналитических функций многих переменных в алгебрах Владимирова.- Ма-тем.заметки, 1977, т.22, вып.1, с.51-60.

33. Какичев В.А. »Шелкович В.М. О задаче Римана для р -конуса в алгебрах Владимирова.-Матем. заметки ,1980, т. 27,вып.6,с.899-911.

34. Коршунов М.К. Об умножении гиперфункций.-"Матем.записки Уральского университета",т.10,тетр.№ 2.-Свердловск,1977,с.83-92.

35. Коршунов М.К. Об ассоциативных и лейбницевых алгебрах распре-делений.-"Изв.высш.учебн.завед."Математика" ,1979,№ 5,с.74-77.

36. Коршунов М.К. Об альтернативных и лейбницевых алгебрах распре-делений.-"Изв. высш. учебн. завед. "Математика" ,1980 ,)£ 10, с .15-22.

37. Кытманов A.M. Представление и умножение распределений многих переменных с помощью гармонических функций.-"Изв.высш.учебн.завед. "Математика", 1978, J6 I, с. 36-42.

38. Ливчак Я.Б. О предельных распределениях.-"Матем.записки Уральского университета",т.У1,тетр.3.-Свердловск,1968,с.29-37.

39. Ливчак Я.Б. К определению обобщенных функций.-"Матем.записки Уральского университета",т.У1,тетр.3.-Свердовск,1968,с.38-44.

40. Ливчак Я.Б. К теории обобщенных функций.-Труды Рижского алгебраического семинара.- Рига, 1969, с.38-164.

41. Маслов В.П. Три алгебры, отвечающие негладким решениям'систем квазилинейных гиперболических уравнений.-УШД980,т.35,выл.2, с. 252 253.

42. Маслов В.П., Омельянов Г.А. Асимптотические солитонообразные решения уравнений с малой дисперсией.- УМНД981, т. 36, вып. 3, с. 63 126.

43. Мэтьюс П. Релятивистская квантовая теория взаимодействий элементарных частиц. М.: И.Л., 1959.- 184 с.

44. Мусхелшпвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения.- М.: Наука, 1968.- 511 с.

45. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.П. М.: Мир, 1978. - 395 с.

46. Рогожин B.C. Краевая задача Римана в пространстве обобщенных функций и многочлены Фабера.- ДАН СССР, 1963, т. 152, В 6, с. 1308 I3II.

47. Толоконников Г.К., Широков Ю.М. Ассоциативная алгебра обобщенных функций, замкнутая относительно дифференцирования и взятая первообразной.- ТМФ, 1981, т.46, В 3, с.305-309.

48. Толоконников Г.К. Об алгебрах Ю.М.Широкова. I.- ТШ, 1.-ТМФ, 1982, т. 51, № 3, с. 366 375.

49. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы.-М.: Мир, 1965. 379 с.

50. Христов Хр.Я., Дамянов Б.П. Асимптотические функции новый класс обобщенных функций. I.- Болг.физ.фурнал, 1978, т.5, № 6, с. 543 - 556.

51. Христов Хр.Я., Дамянов Б.П. Асимптотические функции новый класс обобщенных функций. П - Болг.физ.журнал, 1979, т. 6, В I, с. 3 - 23.

52. Христов Хр.Я., Дамянов Б.П. Асимптотические функции новый класс обобщенных функций. Ш - Болг.физ.журнал, 1979, т.6, № 3, с. 245 - 256.

53. Христов Хр.Я., Дамянов БЛ1. Асимптотические функции новый класс обобщенных функций. 1У - Болг.физ.журнал, 1979, т. 6, № 4, с. 377 - 397.

54. Христов Хр.Я., Дамянов Б.П. Асимптотические функции новый класс обобщенных функций. У - Болг.физ.журнал, 1980,т.7, $ 6, с. 563 - 580.

55. Христов Хр.Я., Дамянов Б.П. Асимптотические, функции новый класс обобщенных функций. УХ - Болг.физ.журнал, 1981, т. 8, $ I, с. 3 - 22.

56. Христов Хр.Я., Дамянов Б.П. Асимптотические функции новый класс обобщенных функций. УП - Болг.физ.журнал, 1981, т.8, № 5, с. 423 - 448.

57. Черский Ю.И. К решению краевой задачи Римана в классах обобщенных функций. ДАН СССР, 1959, т.125, В 3, с.500-503.

58. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ .Часть 2.- М.: "Наука", 1976. 400 с.

59. Шарин В.И. Алгебра распределений, связанных со световым конусом,- Труды института математики и механики, вып. 13.- Свердловск,- 1471974, с. II 19.

60. Шарин В.И. Об одном способе построения алгебр обобщенных функций.- "Матем.записки Уральского университета",т.10,тетр.$ 2. -Свердловск, 1977, с.177-186.

61. Шарин В.И. Некоторые формулы для произведений распределений, зависящих от квадратичной формы.-"Обобщенные функции и векторные меры".( УНЦ АН СССР). Свердловск, 1979, с.16-19.

62. Шарин В.И. ,3авалишин С.Т. Об одной конструкции умножения обобщенных функций и ее приложения к сингулярным дифференциальным уравнениям.-"Обобщенные функции и векторные меры" (УНЦ АН СССР).-Свердловск, 1979, с.10-31.

63. Шелкович В.М. Умножение распределений,порождаемых функциями Вайтмана, и одна алгебра гиперраспределений.-"Изв.высш.учебн.завед. "Математика", 1980, № 2, с.80-84.

64. Шелкович В.М. Алгебра распределений с точечным сингулярным носителем.- ДАН СССР, 1982, т. 267, & I, с.53-57.

65. Шелкович В.М. Одна алгебра распределений, связанных со световым конусом. Изв.высш.учебн.завед."Математика",1983,№ 8,с.84-87.

66. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс.-М.: Наука, 1965. 327 с.

67. Широков Ю.М. Алгебра одномерных обобщенных функций.-ТМФ,1979, т.39, В 3, с. 291-301.

68. Широков Ю.М. Алгебра трехмерных обобщенных функций.- ТМФ,1979, т. 40, № 3, с. 348-353.

69. Широков Ю.М. Сильно ре1улярные потенциалы в одномерной квантовой механике. ТМФ, 1979, т. 41, Ш 3, с.291-302.

70. Эдварде Р.Функциональный анализ. М.: Мир, 1969.- 1071 с.

71. Beltrami E.J.,Ytfolilers M.R. Distributions and boundary values of analytic functions.-Hew York and London: Academic Press, 1966.116 p.

72. Braunss G. On the Regularization of Functional Equations. -Math. Ann., 1970, 186, I 1, p.70-80.

73. Braunss G., liese R. Canonical Product of Distributions and Causal Solutions of Nonlinear Wawe Equations. J.Diff.Equ., 1974, 16, N 3, p.399-412.

74. Bresters D.W. On distributions connected with quadratic forms. SI AM J.Appl.Math. 1968, v.16, IT 3, p. 563-581.

75. Carmichael E.D. Cauchy Integral Representation of the Analy4tic Functions Having S' Boundary Values. J.Elisha Mitchell Sci.Soc., 1976, v.92, IT 3, p.87-97.

76. Carmichael R,.D. n- Dimensional Cauchy Integral of Tempered Distributions.-J.Elisha Mitchell Sci.Soc.,1977,v.93,N3,P.115-135.

77. Fisher B. Products of generalized functions. Studia Math., 1969, v.33, B" 2, p.227-230.

78. Fisher B. The product of distributions. Quart.J.Math.,1971, v.22, p.291-298.

79. Gonzales Dominguez A.On some heterodox distributional multiplicative products.-"Trabl.mat.Inst.agr.mat.",lil7,1978.- 26 p.

80. Gtittinger V/. Products of Improper Operations and the renorma-lization Problem of Quantum Field Theory. Progress of Theoretical Physics, 1955, v.13, N 6, p.612-626.

81. Hirata Y., Ogata H. On the exchange formula for distributions*-J.Sci.Hiroshima Univ.Ser.A-1, 1958, v.22, U 3, p.147-152.

82. Itano M. On the multiplicative products of distributions. -J.Sci.Hiroshima Univ.,Ser. A-1, 1965, v.29, N.1, p.51-74.

83. Keller K. On the multiplication of distributions. I. Preprint Institut fur theoretische Physik. Aachen: 1975. 57 p.

84. I>i Bang-He. Non-standard analysis and multiplication on distributions. -Act a scientia sinica,1978, v.XXI, 1 5, p.561-585.

85. Mart ine au A, Distributions et valeurs au bord des fonctions holomorphes.- Proc.of the Intern.Summer Inst.- Lisbon, 1964,p.195-326.

86. Nakanishi N.Complex-dimensional invariant delta functions and lightcone singularities.-Comm.Math.Phys.,1976,v.48,p.97-118.

87. Schwartz L. Theorie des distributions.I.- Paris: Hermann,1950. 143 p.

88. Schwartz I.Theorie des distributions.II.-Paris:Hermann,1951. 166 p.

89. Tillman H.G. Randverteilungen analytischer Functionen und Distributionen. Math.Zeit., 1953, 59, p.61-83. 93» Tillman H.G. Distributionen als RandVerteilungen analytischer Functionen. - Math.Zeit., 1961, 76, S.5-21.

90. Tillman H.G.Darstellung der Schwärtzschen Distributionen durch analytische Functionen.-Math.Zeit.,1961,77,S.106-124.

91. Thurber J.K.,Katz I. Applications of fractional powers of delta functions.-lecture Kotes in Math.,v.369,1974,p.272-302.

92. Trione S.E. On some distributional multiplicative products.-»Trab1.mat.Inst.arg.mat.», H 20, 1978. 20 p.